3 Modulorekenen

3
Modulorekenen
3.1
De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat
Oefening 3.1.
Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).
Oefening 3.2.
Geef van de drie uitspraken over de Eulertotiëntfunctie hieronder aan of ze
waar of vals zijn. Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.
(a) (∀n > 0) (Φ(n) = n − 1 ⇐⇒ n is een priemgetal)
(b) (∀n > 2) (Φ(n) is even)
(c) ggd(Φ(a), Φ(b)) = Φ(ggd(a, b))
Oefening 3.3.
Bewijs dat voor een gegeven natuurlijk getal n de som van alle natuurlijke
getallen x ∈ N[1, n] die copriem zijn met n gelijk is aan 12 nΦ(n).
Oefening 3.4.
Bewijs dat voor elke twee natuurlijke getallen geldt:
Φ(nm ) = nm−1 Φ(n)
3.2
Een oefening voor vorig hoofdstuk
Oefening 3.5.
Zoek het kleinste getal (verschillend van nul), deelbaar door 2 en door 3,
dat een kwadraat is en eveneens een vijfdemacht.
3.3
Lineaire congruenties
Oefening 3.6.
Merk op dat 25 · 92 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab
dat gelijk is aan 25 · ab ? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het
cijfer voor de tientallen voorstelt en b het cijfer voor de eenheden.)
Oefening 3.7.
Vind alle m zodanig dat 1066 ≡ 1776 (mod m).
Oefening 3.8.
Los op
Oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 3
23
a. 3x ≡ 6 (mod 18)
b. 40x ≡ 777 (mod 1777)
Oefening 3.9.
Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een
derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
Oefening 3.10.
Bereken de rest na deling van 347 door 23.
Oefening 3.11.
Bereken de kleinste positieve macht n zodat voor elke a ∈ Z, met ggd(a, 1020) =
1,

n


 a ≡ 1 (mod 15)
an ≡ 1 (mod 20)


 an ≡ 1 (mod 17)
3.4
Chinese Reststelling
Oefening 3.12.
Zoek het kleinste natuurlijk getal x dat aan het volgend stelsel voldoet.


 2x ≡ 3 (mod 5)
7x ≡ 11 (mod 13)

 6x ≡ 8 (mod 14)
Oefening 3.13.
Zoek het kleinste


 5x ≡
−2x ≡

 8x ≡
natuurlijk getal dat oplossing is van
13 (mod 17)
3 (mod 5)
12 (mod 14)
Oefening 3.14.
a. Ga na welke van de volgende congruenties oplosbaar zijn:
18x ≡ 6
(mod 12)
x≡8
(mod 13)
35x ≡ 25
(mod 14)
25x ≡ −5
(mod 15)
28x ≡ 13
(mod 16)
Oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 3
24
b. Los het stelsel, gevormd door de oplosbare congruenties, op.
Oefening 3.15.
Zoek de oplossingen van Z 6 ≡ 29 (mod 35).
Oefening 3.16.
Toon aan dat het berekenen van 56791 (mod 391) te herleiden valt tot het
oplossen van het stelsel
(
X ≡ 10 (mod 17)
X ≡ 19 (mod 23).
Zoek de oplossingen van dit stelsel.
Oefening 3.17.
Hoeveel primitieve elementen bezit het veld Z16 ? Welke orde kan een nietprimitief element van Z16 hebben en hoeveel elementen van die orde zijn
er?
Oefening 3.18.
Zoek het kleinste natuurlijk getal dat een oplossing is van volgend stelsel.
(
5x ≡ 36 (mod 91)
x ≡ 38 (mod 70)
Oefening 3.19.
Zoek het kleinste natuurlijk getal dat een oplossing is van volgend stelsel.
(
x ≡ 15 (mod 32)
x ≡ 12 (mod 72)
Oefening 3.20.
Zoek het kleinste natuurlijk getal dat een oplossing is van volgend stelsel.
(
x ≡ 5 (mod 62)
(6)
x ≡ 17 (mod 14)
Oefening 3.21.
Zoek alle oplossingen van de vergelijking
y 2 = 2158
(mod 2479),
als je weet dat 2479 = 37 · 67.
Oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 3
25
Oefening 3.22.
Los op:
(
x4 ≡ 17 (mod 19)
x2 ≡ 5 (mod 59)
Oefening 3.23.
Los op:
(
x3 ≡ 5 (mod 11)
x4 ≡ 38 (mod 43).
Oefening 3.24.
Geef alle oplossingen van x2 = 1526 (mod 1829).
Oefening 3.25.
Wat is het laatste cijfer van het getal 794 ?
Oefening 3.26.
Zoek de oplossing(en) (x, y) van het volgende stelsel over Z7 .
(
x + 2y = 4
4x + 3y = 4
Zoek eveneens de oplossingen over Z5 .
Oefening 3.27.
Stel dat een jaar een schrikkeljaar is, m.a.w. 366 dagen bevat, als en slechts
als het jaartal een veelvoud is van 4. Veronderstel ook dat een maancyclus
bestaat uit 29 dagen.
Op zaterdag 1 juni 1991 was het volle maan.
In welk jaar, volgend op een schrikkeljaar, zal het voor het eerst volle maan
zijn op een dinsdag 2 juni?
Oefening 3.28.
Los het volgende stelsel op:
(
z2 ≡ 2
(mod 7)
z 2 ≡ 81
(mod 101)
Oefening 3.29.
Hoeveel oplossingen natuurlijke getallen (x1 , . . . , x6 ) zijn er voor de vergelijking x1 + · · · + x6 = 31 met x1 , . . . , x4 ≡ 1 (mod 3) en x5 , x6 ≡ 0 (mod 3)?
En als we 31 vervangen door 32?
Oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 3
26
Oefening 3.30.
Zoek alle oplossingen voor de congruentie
X 2 + 6X − 31 ≡ 0
(mod 72).
Oefening 3.31.
Wanneer bezit de vergelijking
5X 2 + 8X + 1 ≡ 0
(mod p),
p priem, p ≥ 13, een oplossing?
Oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 3
27