HUISWERKOPGAVEN GETALTHEORIE DEEL 1 Inleverdatum 4 maart

HUISWERKOPGAVEN GETALTHEORIE DEEL 1
Inleverdatum 4 maart
1.a) Schrijf (Z/240Z)∗ als een direct product van cyclische groepen waarvan de orde
een priemmacht is.
b) Bepaal een basis van (Z/240Z)∗ .
2.
Zij n = pk11 · · · pkt t waarbij p1 , . . . , pt priemgetallen zijn met p1 < p2 < · · · < pt en
k1 , . . . , kt ≥ 1. De Carmichael functie λ(n) is gedefinieerd door
λ(n) = kgv pk11 −1 (p1 − 1), . . . , pkt 1 −1 (pt − 1)
als n oneven is of als p1 = 2, k1 ≤ 2;
λ(n) = kgv 2k1 −2 , pk22 −1 (p2 − 1), . . . , pkt 1 −1 (pt − 1) als p1 = 2 en k1 ≥ 3.
a) Bewijs dat aλ(n) ≡ 1(mod n) als n even is en ggd(a, n) = 1 (het geval dat n oneven
is is op het werkcollege behandeld).
b) Zij a een geheel getal met ggd(a, n) = 1.
Bewijs dat
ordn (a) = kgv ordpk1 (a), . . . , ordpkt (a) .
1
t
c) Bewijs dat er een getal a bestaat met ordn (a) = λ(n) (gebruik de Chinese reststelling).
3.
Fermat bewees dat ap−1 ≡ 1(mod p) wanneer p een priemgetal is, en a een geheel
getal met ggd(a, p) = 1. Hij suggereerde om dit te gebruiken om te testen of een
gegeven getal n een priemgetal is. Kies aselect een aantal getallen a, en test voor
elk van deze getallen of
(∗)
an−1 ≡ 1(mod n) .
Als een van de gekozen getallen a niet aan (*) voldoet dan is n zeker geen priemgetal. Als alle gekozen getallen a wel aan (*) voldoen dan is n ”waarschijnlijk”
een priemgetal. Er zijn echter getallen die geen priemgetal zijn, maar waarvoor
wel ”bijna alle” getallen a aan (*) voldoen. Dit zijn de zogenaamde Carmichaelgetallen, dat zijn getallen n met de eigenschap dat an−1 ≡ 1(mod n) voor elke a
met ggd(a, n) = 1. Volgens een moeilijke stelling van Alford, Granville en Pomerance uit 1994 bestaan er oneindig veel Carmichael-getallen.
In de onderstaande opgaven mag je gebruiken dat aλ(n) ≡ 1(mod n) als ggd(a, n) =
1. Hieruit volgt direct dat n een Carmichael-getal is als λ(n) een deler is van n − 1.
a) Laat zien dat 561 een Carmichael-getal is.
b) Veronderstel dat n aan de volgende drie voorwaarden voldoet:
(i) n is oneven;
(ii) n = p1 · · · pt waarbij p1 , . . . , pt verschillende priemgetallen zijn en t ≥ 2;
(iii) kgv(p1 − 1, p2 − 1, . . . , pt − 1) is een deler van n − 1.
Bewijs dat n een Carmichael-getal is.
1
c) Bewijs: als n een Carmichael-getal is, dan voldoet n aan (i),(ii),(iii).
4.
Onderzoek voor elk van de onderstaande kwadratische congruenties of ze oplosbaar
zijn in gehele getallen x:
x2 ≡ 33(mod 101);
x2 ≡ 101(mod 1001);
x2 ≡ 77(mod 99).
5.
Zij p een priemgetal > 2. Bewijs dat 6 een kwadraatrest van p is dan en slechts
dan als p ≡ 1, 5, 19, 23(mod 24).
6.
Zij p een priemgetal met p ≡ 3(mod 4) en zij a een getal met
a
p
= 1.
a) Bewijs dat de oplossingen van x2 ≡ a(mod p) gegeven worden door
x ≡ a(p+1)/4 (mod p),
x ≡ −a(p+1)/4 (mod p).
b) Bewijs dat x4 ≡ a(mod p) oplosbaar is.
2
HOMEWORK EXERCISES NUMBER THEORY PART 1
Date of delivery March 4
1.a) Express (Z/240Z)∗ as a direct product of cyclic groups whose order is a prime
power.
b) Determine a basis of (Z/240Z)∗ .
2.
Let n = pk11 · · · pkt t where p1 , . . . , pt are prime numbers with p1 < p2 < · · · < pt and
where k1 , . . . , kt ≥ 1. The Carmichael function λ(n) is defined by
λ(n) = lcm pk11 −1 (p1 − 1), . . . , pkt 1 −1 (pt − 1)
k1 −2
λ(n) = lcm 2
, pk22 −1 (p2
−
1), . . . , pkt 1 −1 (pt
if n is odd or if p1 = 2, k1 ≤ 2;
− 1) if p1 = 2 and k1 ≥ 3.
a) Prove that aλ(n) ≡ 1(mod n) if n is even and gcd(a, n) = 1 (the case that n is odd
has been treated during the course).
b) Let a be an integer with ggd(a, n) = 1. Prove that
ordn (a) = lcm ordpk1 (a), . . . , ordpkt (a) .
1
t
c) Prove that there is an integer a with ordn (a) = λ(n) (use the Chinese Remainder
Theorem).
3.
Fermat proved that ap−1 ≡ 1(mod p) for every prime number p and every integer
a with gcd(a, p) = 1. He suggested to use this to test whether a given positive
integer n is a prime number. Choose at random some integers a, and test for each
of them whether
(∗)
an−1 ≡ 1(mod n) .
If one of the chosen integers a does not satisfy (*) then clearly n is not a prime
number. If all integers a satisfy (*) then “probably” n is a prime. However, there
are integers n which are not prime, but for which “almost all” integers a satisfy
(*), the so-called Carmichael numbers. A positive integer n is called a Carmichael
number if an−1 ≡ 1(mod n) for every integer a with gcd(a, n) = 1. According to
a rather difficult theorem by Alford, Granville en Pomerance from 1994 there are
infinitely many Carmichael numbers.
In the exercises below you may use that aλ(n) ≡ 1(mod n) if gcd(a, n) = 1. Consequently, if λ(n) divides n − 1 then n is a Carmichael number.
a) Show that 561 is a Carmichael number.
b) Assume n satisfies the following conditions:
(i) n is odd;
(ii) n = p1 · · · pt where p1 , . . . , pt are distinct primes and t ≥ 2;
(iii) lcm(p1 − 1, p2 − 1, . . . , pt − 1) is a divisor of n − 1.
Prove that n is a Carmichael number.
3
c) Prove that if n is a Carmichael number then n satisfies (i),(ii),(iii).
4.
Determine for each of the following congruences whether they are solvable in integers:
x2 ≡ 33(mod 101);
x2 ≡ 101(mod 1001);
x2 ≡ 77(mod 99).
5.
Let p be a prime number > 2. Prove that 6 is a quadratic residue of p if and only
if p ≡ 1, 5, 19, 23(mod 24).
6.
Let p be a prime number with p ≡ 3(mod 4) en let a be an integer with
a) Prove that the solutions of x2 ≡ a(mod p) are given by
x ≡ a(p+1)/4 (mod p),
x ≡ −a(p+1)/4 (mod p).
b) Prove that x4 ≡ a(mod p) is solvable.
4
a
p
= 1.