er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie Hoofdstuk 7 Goniometrie Voorkennis V-1a C 58° 33° ∠C = 180° – 58° – 33° = 89° ABC is geen rechthoekige driehoek. M 76° 14° K d Ui tg b c B 5 cm ev A 8 cm ∠M = 180° – 14° – 76° = 90° L K V-2a L b c d De rechthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. zijde LM = 30 kwadraat 900 KM = 16 256 + 1156 or KL = … Zijde KL is 1156 = 34 . © No M dh 30 off 16 ⁄ 4 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 4 © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:04 zijde AB = 7 kwadraat 49 BC = 9 81 + H zijde GH = 4 kwadraat 16 HI = c 90 90 I GI = 74 zijde KM = 20 kwadraat 400 KL = 15 225 + LM = … 625 LM = 625 = 25 V-4a In ADC: zijde AD = 5 75 + 100 AC = 10 L M 20 15 K kwadraat 144 dh zijde BD = 12 75 + 75 219 BC = … BD = 219 ≈ 14, 8 V-5a zijden van ABC zijden van DEF Je moet met 0,5 vermenigvuldigen. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. or AB = 12 DE = 6 BC = 10 DF = 5 AC = 11 EF = 5,5 No © c G ? CD = 75 Ze gebruikt CD = 8,7, maar dat is een afgerond getal, want 75 ≈ 8,660254… Als ze CD = 75 gebruikt, krijgt ze wel een nauwkeurig antwoord. CD = b 4 ? kwadraat 25 CD = … b c d 90 74 + GI = … B 7 ev b A AC = 130 9 Ui tg ? 130 AC = … C off V-3a er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 5 ⁄ 5 01-04-2009 16:36:06 b c zijden van ABC zijden van HIG AB = … HI = 3,1 BC = 4 GI = … AC = 6 GH = 4 De zijden van ABC zijn met factor 4 : 6 = 23 vermenigvuldigd. AB = 3,1 : 23 = 4,65 GI = 4 × 23 = 2 23 ∠B = 88° (zie opdracht a) ∠K = ∠D (overeenkomstige hoeken) dus ∠K = 55° ∠M = 180° – 101° – 55° = 24°, ∠F = ∠M (overeenkomstige hoeken), dus ∠F = 24° ev ABC is gelijkvormig met HIG, want ∠B = 180° – 42° – 50° = 88° en ∠G = 180° – 88° – 42° = 50°, dus de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. DEF is gelijkvormig met KLM, want de overeenkomstige zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigd, namelijk 1,5. Ui tg V-6a er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie 7-1 Tangens f 2a De hoek is 21°. dh 1a off ij drie treden hoort een afstand van 3 × 40 = 120 cm en B een hoogte van 3 × 15 = 45 cm. b Nee, de helling blijft gelijk. cBij 13 treden hoort een afstand van 13 × 40 = 520 cm en een hoogte van 13 × 15 = 195 cm. d Bij één trede hoort een afstand van 40 cm en een hoogte van 15 cm. hoogte hoogte 195 eBij opdracht a is = 45 = 0, 375 , bij opdracht c is = = 0, 375 en afstand 120 afstand 520 hoogte 15 bij opdracht d is = = 0, 375 . afstand 40 De deling levert telkens dezelfde uitkomst op. 20 = 0, 4 geeft afstand = 20 = 50 . afstand 0, 4 20 cm De treden zijn 50 cm diep. b De hellingshoek is 22°. c Nee, dat is niet van belang. d Hoe groter het hellingsgetal, hoe groter de hellingshoek. or I n de tekening hiernaast is de schaal 5 cm : 2500 m, dus 1 cm : 500 m. De hoogte is gemeten 2,9 cm, dus de hoogte is 2,9 × 500 = 1450 m. b tan 30° = 1450 ≈ 0, 6 2500 cBij deze kabelbaan is de hoogte 2900 m. De tangens van deze hellingshoek is 2900 = 1, 16 . 2500 3a © No 50 cm ⁄ 6 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 6 30° 2500 m © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:08 d er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie ee, de hoek is niet twee keer zo groot, zoals na te meten is N in de tekening hieronder is de hoek ongeveer 50°. ev 1450 m 30° 2500 m 4a b Met de rekenmachine is tan 30° ≈ 0,577, dus dat klopt met het antwoord van opdracht 3b. Met de rekenmachine is tan–1(1,2) ≈ 50°. Dat klopt met het antwoord van opdracht 3c. Zie de schets hiernaast. b tan ∠H = 117 cRanita vindt 7,44°. Divya vindt 32°. Jonny vindt 33°. d Divya vindt de juiste hellingshoek. off 5a 6Schets: dh 50 tan ∠H = 650 −1 50 tan ( 650 ) ≈ 4, 4 De hellingshoek is 4°. chets: S 15 tan ∠H = 120 15 tan −1 ( 120 ) ≈ 7, 1 De hellingshoek is 7°. chets: S tan ∠H = 15 80 tan −1 ( 15 ) ≈ 10, 6 80 De hellingshoek is 11°. © b No 7a © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 7 7m H 11 m 50 m H 650 m or Ui tg 1450 m 15 m H 120 m 15 m H 80 m ⁄ 7 01-04-2009 16:36:10 7-2 De tangens gebruiken 8a Q 26 10 ? P R 24 btan ∠P = ∠P ≈ 23° 10 24 9a 10tan ∠A = ∠A ≈ 23° zijde 15 kwadraat 225 64 + … 289 17 off tan∠B = 115 ∠B ≈ 24° 3 7 Ui tg tan–1( 68 ) ≈ 36,9 dus ∠A = 37°. b Zijde AC is de overstaande rechthoekszijde van hoek B. c Zijde BC is de aanliggende rechthoekszijde van hoek B. dtan∠B = 86 ∠B ≈ 53° e ∠B = 180° – 90° – 37° = 53° ev er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie zijde 7 kwadraat 49 16 + … dh De aanliggende rechthoekszijde van hoek C is 8. tan ∠C = 158 ∠C ≈ 62° 11a b 12a tan ∠A = 53 tan ∠B = 45 ∠A ≈ 59° ∠B ≈ 51° In driehoek ABC zijn de hoeken samen 180°, dus ∠C = 180° – 59° – 51° = 70°. No or 65 65 De overstaande rechthoekszijde van hoek D is 4. tan ∠D = 47 ∠D ≈ 30° tan 13° = 110 a a= 110 tan 13° © a ≈ 476 m bOp een afstand van 476 meter spelen enkele centimeters geen rol van betekenis. Ook is het waarschijnlijk dat de hoogte van 110 meter en de hoek van 13° al zijn afgerond. ⁄ 8 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 8 © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:12 er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie 13 40 m 7° a tan 7° = 40 a 40 tan 7° a= a ≈ 326 m De afstand van het schip tot de vuurtoren is ongeveer 326 meter. ev e kabelbaan van Coq naar Ballon gaat omhoog want Coq ligt op 1830 meter D hoogte en Ballon ligt op 2520 meter hoogte. bDe horizontale afstand is 3,6 cm. Dat is in werkelijkheid 3,6 × 50 000 = 180 000 cm en dat is 1800 meter. cVoor de kabelbaan van Coq naar Ballon is het hoogteverschil 2520 – 1830 = 690 m. 690 tan ∠C = 1800 ∠C ≈ 21° dVoor de kabelbaan van Douce naar Azur is het hoogteverschil 2640 – 2120 = 520 m. De horizontale afstand is 1,6 cm, dat is in werkelijkheid 800 m. tan ∠A = 520 800 ∠A ≈ 33° Voor de kabelbaan van Douce naar Ballon is het hoogteverschil 2520 – 2120 = 400 m. De horizontale afstand is 3,1 cm, dat is in werkelijkheid 1550 m. 400 tan ∠B = 1550 ∠B ≈ 14° De kabelbaan van Douce naar Azur heeft de grootste hellingshoek. 14a dh off Ui tg 7-3 Sinus en cosinus De zijden van ABC zijn allemaal met dezelfde factor vermenigvuldigd, namelijk 2. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E en ∠C = ∠F 15a b c d e f g LM = 27 = 0, 75 KL 36 DE = 48 = 0, 8 DF 60 LM = 27 = 0, 6 KM 45 M KL = 36 = 0, 8 KM 45 45 mm 27 mm Iets nauwkeuriger: de delingen van de overeenkomstige zijden geven dezelfde uitkomst. Bij de delingen EF , BC en LM krijg je de tangens. DE AB KL © EF = 36 = 0, 6 DF 60 BC = 18 = 0, 75 BC = 18 = 0, 6 AB = 24 = 0, 8 AB 24 AC 30 AC 30 Bijvoorbeeld met factor 1,5, zie de tekening hiernaast. No EF = 36 = 0, 75 DE 48 or © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 9 K 36 mm L ⁄ 9 01-04-2009 16:36:14 5 12 sin ∠P = bsin–1( 135 ) = 23° c d tan ∠P = cos–1( 12 ) = 23° 13 tan ∠Q = 10 12 cos ∠R = 5 7 dus ∠R ≈ 44° cos ∠S = 9 11 dus ∠S ≈ 35° 18a b tan ∠C1 = 68 dus ∠C1 ≈ 37° cos ∠C2 = 158 dus ∠C2 ≈ 58° Nee, want ∠C = 37° +58° = 95° 19a dus ∠Q ≈ 40° AE = 15 225 + BE = … 369 dh BE = 369 ≈ 19, 2 9 tan ∠BEC = 369 dus ∠BEC ≈ 25° BE = kwadraat 369 369 81 + BC = 9 450 or CE = … CE = 450 ≈ 21, 2 sin ∠ECD = 20a b 19 450 dus ∠ECD ≈ 64° Zie de tekening hiernaast. PQ tan ∠PRQ = QR No g off kwadraat 144 zijde tan–1( 125 ) = 23° ∠E1 = ∠AEB, ∠E2 = ∠BEC, ∠E3 = ∠CED ∠C1 = ∠BCE, ∠C2 = ∠DCE 15 tan ∠ABE = 12 dus ∠ABE ≈ 51° ∠BEA = 180° – 90° – 51° = 39° zijde AB = 12 e f 12 13 dus ∠P ≈ 35° 4 7 b c d cos ∠P = ∠P ≈ 23° In STU zijn slechts de overstaande zijde en de langste zijde gegeven. sin ∠S = 178 dus is ∠S ≈ 28° 17sin ∠P = c 5 13 ev 16a Ui tg er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie tan ∠PRQ = 4 3 dus ∠PRQ ≈ 53° © cOmdat de driehoeken PQR en RST gelijkvormig zijn geldt ∠RTS = ∠PRQ dus ∠RTS ≈ 53° ⁄ 10 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 10 T 8 7 6 5 S R P Q 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:17 7-4 Rekenen in rechthoekige driehoeken er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie d e 21a cos 27° = 8 AC 8 Uit cos 27° = 8 volgt AC = dus AC ≈ 9,0. AC cos 27° 22Uit cos 59° = 3 volgt BC = 3 dus BC ≈ 5,8 BC cos 59° Uit tan 27° = EF 5 Uit sin 31° = LM volgt LM = 10 × sin 31° dus LM ≈ 5,2 10 dus YZ ≈ 9,3 Uit sin 40° = 6 volgt YZ = 6 YZ sin 40° Uit tan 88° = 30 volgt IG = 30 dus IG ≈ 1,0 IG tan 88° QR Uit cos 63° = volgt QR = 10 × cos 63° dus QR ≈ 4,5 10 Ui tg volgt EF = 5 × tan 27° dus EF ≈ 2,5 23a b Uit tan 35° = CD volgt CD = 6 × tan 35° dus CD ≈ 4,2. 6 sin ∠B = 45,,25 dus ∠B ≈ 50° c AB = AD + DB dh CD = 4,2 17,64 + BC = 5,5 30,25 DB = 12, 61 ≈ 3, 6 AB = 6 + 3,6 = 9,6 oppervlakte ABC = 9,6 × 4,2 : 2 = 20,16 24a F No kwadraat 12,61 or d zijde DB = … off ev AC is de langste zijde. b De lengte is gegeven van de aanliggende rechthoekszijde van ∠A. cVoor sin 27° en cos 27° heb je de lengte van de overstaande rechthoekszijde nodig en die is niet gegeven. 8 c 55° D b c E De driehoek heeft geen rechte hoek. Zie de tekening bij opdracht a. © G 55° © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 11 ⁄ 11 01-04-2009 16:36:20 er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie dDGF heeft een rechte hoek. Verder is in deze driehoek een zijde en een hoek gegeven. DG volgt DG = 8 × cos 55° dus DG ≈ 4,59 8 DE = 2 × 4,59 ≈ 9,2 eUit cos 55° = e kan verder rekenen met de hoogtelijnen uit Q en R (dus in plaatje 1 en 3). Z In beide gevallen kun je gebruik maken van de zijde OR = 13. De hoogtelijn uit P kun je niet gebruiken, want dan kun je zijde OR niet meer gebruiken. bMet de hoogtelijn uit Q: Noem de hoogtelijn QS. Uit cos 59° = RS volgt RS = 13 × cos 59° dus RS ≈ 6,7 13 QS Uit sin 59° = volgt QS = 13 × sin 59° dus QS ≈ 11,1 13 11, 1 11, 1 volgt PS = dus PS ≈ 10,0 PS tan 48° Uit tan 48° = PR = 10,0 + 6,7 = 16,7 26a Zie de schets hiernaast. b P ∠P = 180° – 78° – 84° = 18° Uit sin 18° = off Uit sin 84° = AW volgt AW = 120 × sin 84° 120 dus AW ≈ 119,3 m 119, 3 119, 3 volgt WP = WP sin 18° dus WP ≈ 386 m dh ev 25a Ui tg A 78° 84° W 120 m M 7-5 Gemengde opdrachten 14 100 , dus 14 een hellingshoek van tan–1( 100 ) ≈ 8°. bBij een helling van 100% stijg je 100 m over een horizontale afstand van 100 m. Bij een helling van 14% hoort een tangens van or 27a 28a De tangens is dan 100 100 , en de hellingshoek is tan–1(1) = 45°. No 10 X 80° P V © 11 ⁄ 12 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 12 W © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:22 bUit cos 80° = XP volgt XP = 10 × cos 80° dus XP ≈ 1,7. 10 Uit sin 80° = VP volgt VP = 10 × sin 80° dus VP ≈ 9,8. 10 zijde PW = … kwadraat 24,0 97,0 + VP = 9,85 121 VW = 11 ev Ui tg PW = 24, 0 ≈ 4,9 WX = 1,7 + 4,9 = 6,6 er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie 29Kies de loodlijn door de top van de berg naar punt D op zijde AB. Uit tan 40° = 1350 volgt AD = 1350 dus AD ≈ 1609 m. AD tan 40° Uit tan 22° = 1350 volgt BD = 1350 dus BD ≈ 3341 m. BD tan 22° De tunnel zal ongeveer 1609 + 3341 = 4950 meter lang worden. 30Kies de loodlijn uit punt L naar punt N op KM. Uit sin 49° = LN volgt LN = 570 × sin 49° dus LN ≈ 430 m. 570 Uit cos 49° = MN volgt MN = 570 × cos 49° dus MN ≈ 374 m. 570 KN = KM – NM = 630 – 374 = 256 m 31a LN = 430 184 900 + KL = … 250 436 De afstand punt K naar punt L is ongeveer 250 436 ≈ 500 meter. Uit tan 45° = b volgt b = 14 × tan 45° dus b = 14 m. 14 De lengte van het brugdek is 2 × 14 = 28 meter. 14 volgt k = 14 dus k ≈ 19,8 m k cos 45° De buitenste kabels zijn ongeveer 19,8 meter lang. bUit cos 45° = Uit cos 30° = 14 volgt k = 14 dus k ≈ 16,2 m. k cos 30° De middelste kabels zijn ongeveer 16,2 meter lang. Uit cos 15° = 14 volgt k = 14 dus k ≈ 14,5 m. k cos 15° De binnenste kabels zijn ongeveer 14,5 meter lang. © No kwadraat 65 536 dh zijde KN = 256 or off © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 13 ⁄ 13 01-04-2009 16:36:25 tan 89° ≈ 57, 3 tan 89, 9° ≈ 573, 0 b Zie de schets hiernaast. Met ∠P = 90° is er geen rechthoekige driehoek meer te maken. Als ∠P bijna 90° is, is de overstaande rechthoekszijde heel groot. ctan 80° ≈ 5,7 tan 40° ≈ 0,8 Onno heeft geen gelijk. 33a zijde AB = 4 144 + AC = 160 160 BC = P kwadraat 16 BC = … tan 89, 99° ≈ 5729, 6 ev 32a 144 = 12 Dus BM = 12 : 2 = 6. Ui tg er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie Uit tan ∠MAB = 64 volgt ∠MAB ≈ 56°. bUit tan ∠BAC = 124 volgt ∠BAC ≈ 72°. ∠MAC = ∠BAC – ∠MAB ≈ 72° – 56° ≈ 16° csin ∠BAC = 12 160 en sin ∠C = 4 160 dus de bewering sin ∠BAC = 3 × sin ∠C is waar. ∠C = 90° – 72° = 18° en 3 × ∠C = 3 × 18° = 54° en omdat ∠BAC = 72° is bewering B niet waar. 34a b Bij ‘langsparkeren’ hoort een hoek van 0° en bij ‘haaksparkeren’ een hoek van 90°. Q off dh 2,25 m 32° P c or 2, 25 2, 25 volgt PR = dus PR ≈ 4,25 m. PR sin 32° ie de schets van ABC hiernaast. Z Uit sin 32° = A B Uit sin 32° = AB volgt AB = 2, 25 × sin 32° 2, 25 dus AB ≈ 1,19 m. No R N M 2,25 m 32° 32° 4,60 m C © L ⁄ 14 Uit cos 32° = NM volgt NM = 4, 60 × cos 32° dus NM ≈ 3,90 m. 4, 60 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 14 © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:28 er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie dAls je de lengte van BN deelt door de lengte van PR, dan krijg je het aantal parkeerplaatsen op 1 na, oftewel aantal = 1 + BN . PR Verder is BN = 100 – AB – NM. Dit invullen geeft aantal = 1 + 100 − AB − NM . PR eaantal = 1 + 100 − 1, 19 − 3, 90 ≈ 23, 33 4, 25 Je kunt maximaal 23 parkeerhavens maken. ev Test jezelf Ui tg 315 T-1atan ∠A = 1000 ∠A ≈ 17° Dit sportvliegtuig vertrekt onder een hoek van ongeveer 17°. btan 18° ≈ 0,325, dus dit sportvliegtuig is na 1 km op een hoogte van 325 meter. Dat is ongeveer 10 meter hoger dan het eerste sportvliegtuig. 3500 ctan ∠B = 17000 ∠B ≈ 12° De piloot moet onder een dalingshoek van ongeveer 12° op Terlet aanvliegen. T-2aUit tan 74° = a volgt a = 40 × tan 74° dus a ≈ 139 m. 40 43 volgt a = 43 dus a ≈ 221,2 m. a tan 11° De schipper is ongeveer 221 meter van die vuurtoren af. bUit tan 11° = T-3sin ∠A = 73 ∠A ≈ 25° T-4Uit sin 35° = sin ∠B = 105 cos ∠C = 246 ∠B = 30° ∠C ≈ 76° sin ∠D = 53 ∠D ≈ 37° sin ∠E = 63 sin ∠F = ∠E = 30° ∠F ≈ 59° 3 3, 5 AC volgt AC = 9 × sin 35° dus AC ≈ 5,2. 9 or dh Uit tan 68° = b volgt b = 40 × tan 68° dus b ≈ 99 m. 40 De afstand tussen de bootjes is ongeveer 139 – 99 = 40 meter. off 7 Uit tan 50° = 7 volgt FE = dus FE ≈ 5,9. FE tan 50° No Uit sin 20° = 3 volgt KL = 3 dus KL ≈ 8,8. KL sin 20° Uit cos 70° = PR volgt PR = 12 × cos 70° dus PR ≈ 4,1. 12 Trek in VWX een hoogtelijn WP op zijde VX. Uit sin 50° = WP volgt WP = 16 × sin 50° dus WP ≈ 12,3. 16 © Uit sin 60° = © Noordhoff Uitgevers bv 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 15 12, 3 12, 3 volgt WX = dus WX ≈ 14,2. WX sin 60° ⁄ 15 01-04-2009 16:36:32 er sb v Hoofdstuk 7 Goniometrie Uit sin 70° = h volgt h = 100 × sin 70° dus h ≈ 94,0 m. 100 De hoogte van de ballon is ongeveer 94 meter. bDe loodlijn vanuit de ballon naar de grond verdeelt de gevraagde hoek in twee hoeken: ∠A en ∠B. ∠A = 180° – 90° – 70° = 20° 94 cos ∠B = 120 ∠B ≈ 38° De gevraagde hoek is ongeveer 20° + 38° = 58°. T-6a/b D C 47° A E B 5 cm Ui tg 3 cm ev T-5a c d Uit sin 47° = DE volgt DE = 3 × sin 47° dus DE ≈ 2,2 cm. 3 De oppervlakte is ongeveer 5 × 2,2 = 11 cm2. e Dat zijn ∠ADE of ∠EDA en ∠EDC of ∠CDE. h volgt h = 3 × tan 14° dus h ≈ 0,75 m. 3 De hoogte van het schuurtje wordt 2 + 0,75 = 2,75 meter en dat is te hoog. T-7Uit tan 14° = © No or dh off ⁄ 16 0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 16 © Noordhoff Uitgevers bv 01-04-2009 16:36:33