II. Hilbertruimten, Fourierreeksen en operatoren.

II. Hilbertruimten, Fourierreeksen en operatoren.
Een belangrijk onderdeel van de mathematische fysica bestaat uit de studie naar de oplossingen
van vergelijkingen. De oplossingen van zulke vergelijkingen die hun oorsprong vinden in een fysisch probleem zijn doorgaans van een speciaal type, bijvoorbeeld continue functies. De klasse
van oplossingen maakt dan deel uit van een zekere functieruimte. Aan de functieruimten die we
beschouwen wordt doorgaans nog een extra structuur opgelegd. Zo is het gebruikelijk te eisen dat
de betreffende functieruimte een vectorruimte is (over de reële of complexe getallen). Om te kunnen spreken over nabijheid van oplossingen wordt de vectorruimte voorzien van een afstand of een
norm. Dit maakt het mogelijk om een oplossing te benaderen d.m.v. een rij functies. Nog extra
structuur krijgen we als we de vectorruimte voorzien van een inwendig product. In dit hoofdstuk
bestuderen we een aantal aspecten van dergelijke functieruimten.
§2.1 Banachruimten en Hilbertruimten.
Zij V een vectorruimte over een lichaam K (we beperken ons tot het geval K = R of C). Een
seminorm op V is een afbeelding k k : V → R≥0 met de volgende eigenschappen:
a. kvk ≥ 0 als v ∈ V .
b. kλvk = |λ|kvk voor v ∈ V , λ ∈ K.
c. kv + wk ≤ kvk + kwk (de driehoeksongelijkheid).
De seminorm heet een norm als bovendien geldt dat
a’. kvk > 0 als v ∈ V , v 6= 0.
Een vectorruimte V waarop een norm is gedefinieerd, noemen we een genormeerde vectorruimte. Zij
V een genormeerde vectorruimte; laat {fn }∞
n=1 een rij in V zijn. We noemen zo’n rij een Cauchyof fundamentaalrij als voor elke ² > 0 er een N (²) bestaat zodanig dat voor m, n > N (²) geldt
dat kfn − fm k < ². In het geval dat V = RN of CN geldt dat iedere fundamentaalrij convergeert,
d.w.z. er is een f ∈ V zodanig dat kf − fn k → 0 als n → ∞. Een vectorruimte V waarvoor geldt
dat iedere fundamentaalrij convergeert, heet volledig. Een volledige genormeerde ruimte noemen
we ook wel een Banachruimte.
Een inwendig product op een reële of complexe vectorruimte V is een afbeelding h , i : V × V → K
met de volgende eigenschappen:
i.
ii.
iii.
iv.
hv, w + w0 i = hv, wi + hv, w0 i voor v, w0 , w ∈ V .
hv, λwi = λhv, wi voor v, w ∈ V , λ ∈ C.
hv, wi = hw, vi voor v, w ∈ V .
hv, vi > 0 als v ∈ V en v 6= 0.
Merk op dat uit de eerste drie eigenschappen volgt dat hv + v 0 , wi = hv, wi + hv 0 , wi en hλv, wi =
λhv, wi voor v, v 0 , w ∈ V en λ ∈ K. Verder volgt uit hv, vi = 0 dat v = 0V .
Opmerking: Indien K = R dan kan complexe conjugatie worden achterwege gelaten. Het inwendig
product is dan bilineair en symmetrisch en positief-definiet. In het complexe geval is het inproduct
sesquilineair, hermites en positief-definiet.
Opmerking: Als eigenschappen (i)-(iii) gelden maar (iv) vervangen is door
iv’. hv, vi ≥ 0 als v ∈ V ,
dan spreken we van een semi-inwendig product.
Een inwendig product induceert een norm op V d.m.v. kf k2 = hf, f i, zodat een vectorruimte met
inwendig product ook een genormeerde vectorruimte is. Als zo’n vectorruimte tevens volledig is
t.a.v. de door het inwendig product geı̈nduceerde norm, noemen we deze een Hilbertruimte.
1
Propositie 2.1: (Ongelijkheid van Schwarz). Zij V een vectorruimte met semi-inwendig product.
Dan geldt voor x, y ∈ V
|hx, yi| ≤ kxkkyk
(2.1)
en in het geval van een (echt) inwendig product geldt gelijkheid slechts als x, y lineair afhankelijk
zijn.
Bewijs: Als y 6= 0 zijn we klaar. Neem dus aan dat y 6= 0. Voor elke λ ∈ C geldt dat
0 ≤ hx − λy, x − λyi = hx, xi − 2Re λhx, yi + |λ|2 hy, yi.
Laat nu λ = hy, xi/hy, yi. De ongelijkheid volgt dan meteen. In het geval dat het semi-inproduct
een echt inproduct is, geldt gelijkheid alleen in het geval dat x − λy = 0. ¦
Gevolg 2.2:
i. (driehoeksongelijkheid voor normen):
kx + yk ≤ kxk + kyk
voor x, y ∈ H.
ii. (de stelling van Pythagoras:) Als x, y ∈ H en hx, yi = 0, dan is
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
Bewijs:
kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi = kxk2 + 2Re hx, yi + kyk2 ≤
≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
¦
Voorbeelden:
1. De eindig-dimensionale vectorruimten Rn en Cn met het standaard-inproduct zijn Hilbertruimten.
2. H
is de vectorruimte van rijtjes (x1 , x2 , . . .) met xi ∈ K (K = R of C) zodanig
dat
P∞
P∞= `2 (K)
2
n=1 xn yn .
n=1 |xi | convergeert. Voor x, y ∈ H is het inproduct gedefinieerd door hx, yi =
Merk op dat volgens de ongelijkheid van Schwarz
¯! 2
ï N
N
N
¯X
¯
X
X
¯
¯
xn yn ¯
≤
|xn |2 ·
|yn |2
¯
¯
¯
n=1
n=1
n=1
zodat het inproduct inderdaad goed gedefinieerd is. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat H
volledig is. H is dus een Hilbertruimte. We noteren `2 (C) meestal als `2 .
P∞
3. H = `1 is de vectorruimte van rijtjes (x1 , x2 , . . .) met xi ∈ K (K
= R of C) zodanig dat n=1 |xi |
P∞
convergeert. Voor x ∈ H is de norm gedefinieerd door kxk = n=1 |xn |. H is volledig en dus een
Banachruimte.
4. Laat nu Ω = [a, b] ⊂ R zijn, waarbij −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Op de vectorruimte V = C(Ω) = C(Ω, K)
van continue (reëelof complexwaardige) functies op Ω is een semi-inwendig
R product gedefinieerd
R
door hf, gi = Ω f (x)g(x)dx. Dit is geen inwendig product, omdat uit Ω |f (x)|2 dx = 0 niet
noodzakelijk volgt dat f = 0 (een voorbeeld wordt gegeven door een functie f die overal 0
is op Ω met uitzondering van een eindig aantal punten). Verder is C(Ω) niet volledig: laat
2
Ω = [0, 1] en nummer de rationale getallen op [0, 1] (bijv. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 1/2, n4 =
1/3, n5 =
n 2/3, n6 = 1/4, n7 = 3/4, . . .). Laat de rij functies f1 , f2 , f3 , . . . gedefinieerd zijn door
1 als x = n1 , . . . , ni−1
fi (x) =
. De rij vormt een Cauchyrij in V maar er is geen limietfunctie
0 anders ½
1 als x ∈ Q
in V : de functie f (x) =
is niet integreerbaar. Door over te gaan op een ruimer inte0 als x 6∈ Q
graalbegrip (de Lebesgue-integraal) zijn limieten van integreerbare functies (zoals f ) wel integreerbaar (de integraal is in het geval van f gelijk aan nul). Functies die Riemann-integreerbaar zijn,
zijn ook Lebesgue-integreerbaar en de integraal
heeft in beide gevallen dezelfde waarde. Beschouw
Z
nu op V de 2-norm gegeven door kf k2 =
|f (x)|2 dx (waarbij de integraal de Lebesgue-integraal
Ω
is). V is niet gesloten t.a.v. convergentie m.b.t. deze norm. De afsluiting van V (die de limieten
van fundamentaalrijen in V bevat) is de vectorruimte L2 (Ω) van kwadratisch integreerbare functies
op Ω. L2 (Ω) is wel volledig.
Op RL2 (Ω) leggen we nu een equivalentierelatie: twee functies f, g ∈ V zijn equivalent (notatie f ∼ g)
als Ω |f (x) − g(x)|2 dx = 0 (we zeggen dan dat f = g bijna overal op Ω). Dit geeft een equivalentierelatie. Een equivalentieklasse bevat alle functies die bijna overal gelijk zijn aan een willekeurige
functie uit dezelfde klasse; de verzameling equivalentieklassen vormt de quotiëntverzameling
L2 (Ω).
Z
L2 (Ω) is een Hilbertruimte met inwendig product gegeven door hf, gi =
f (x)g(x)dx. De waarde
Ω
van de integraal is onafhankelijk van de keuze van de representanten f en g en hangt dus alleen
van de klassen van f en g af. Het feit dat de quotiëntverzameling een vectorruimte vormt, volgt
uit het feit dat als f ∼ f 0 , g ∼ g 0 dan f + g ∼ f 0 + g 0 en λf ∼ λf 0 .
5. Een ander maar soortgelijk voorbeeld van een Hilbertruimte is de ruimte L2 (Ω)w waarbij w een
op (a, b) Rstrict positieve (gewichts)functie is en het inproduct wordt gegeven door
hf, gi = Ω f (x)g(x)w(x)dx, waarbij hf, f i en hg, gi eindig zijn.
Definitie: Zij H een Banach- of Hilbertruimte. Een lineaire deelruimte U ⊂ H heet gesloten als de
limiet van elke fundamentaalrij in U in U ligt.
Zij U een lineaire deelruimte van een Hilbertruimte H. De verzameling U ⊥ = {x ∈ H : hx, ui =
0 voor alle u ∈ U } heet het orthogonaal complement van U . Merk op dat U ∩ U ⊥ = {0}; echter is
i.h.a. U ⊕ U ⊥ 6= H (wel als H eindige dimensie heeft).
Lemma 2.3: U ⊥ is een gesloten lineaire deelruimte van H.
Bewijs: Het is duidelijk dat U ⊥ weer een lineaire deelruimte van H is. Zij {xn } een fundamentaalrij
in U ⊥ . Deze rij heeft een limiet x ∈ H. We moeten aantonen dat x ∈ U ⊥ : aangezien voor u ∈ U
|hx, ui| = |hx − xn , ui| ≤ kx − xn k · kuk
en het rechterlid naar 0 convergeert, is hx, ui = 0 voor alle u ∈ U . ¦
Zij U een lineaire deelruimte van H en x ∈ H. De afstand d(x, U ) van x tot U is gedefinieerd als het
infimum van alle afstanden d(x, u) voor u ∈ U . Als u ∈ U en v ∈ U ⊥ , dan is ku−vk2 = kuk2 +kvk2
en dus is d(v, U ) = kvk.
Voorbeeld: Beschouw in de Hilbertruimte H = `2 de lineaire deelruimte W die alle rijtjes (x1 , x2 , . . .)
bevat zodanig dat xi =
6 0 voor slechts eindig veel i. W is niet gesloten en W ⊥ = {0}. De afsluiting W van W bevat alle limieten van fundamentaalrijen in W en is de kleinste gesloten lineaire
deelruimte in H die W bevat. Er geldt dat W = W ⊥⊥ = H.
3
Propositie 2.4: (1) Laat H een Hilbertruimte zijn en W een gesloten lineaire deelruimte. Dan is
er voor elke x ∈ H een unieke y ∈ W zodanig dat kx − yk = d(x, W ). Verder is x − y ∈ W ⊥ .
(2) H = W ⊕ W ⊥ .
(3) W ⊥⊥ = W .
We bewijzen Propositie 2.4. in de volgende paragraaf.
§2.2. Orthogonale stelsels en Fourierreeksen.
Zij H een Hilbertruimte. Een deelverzameling S heet een orthogonaal stelsel als he, f i = 0 voor
e, f ∈ S, e 6= f . Als bovendien he, ei = 1 voor alle e ∈ S dan heet het stelsel orthonormaal. Een
orthogonaal (resp. orthonormaal) stelsel {e1 , e2 , . . .} heet volledig als er voor iedere f ∈ H een rij
PN
complexe getallen {a1 , a2 , . . .} bestaat zodanig dat kf − i=1 ai ei k → 0 als N → ∞. Een volledig
orthonormaal stelsel noemen we ook een orthonormale basis van H.
Lemma 2.5: Een orthogonaal stelsel S in H dat 0 niet bevat, is lineair onafhankelijk.
Bewijs: Neem aan dat λ1 e1 + . . . + λn en = 0 waarbij λ1 , . . . , λn scalairen zijn en e1 , . . . , en ∈ S.
Het inproduct met ej nemen geeft 0 = λj hej , ej i en dus λj = 0. ¦
Propositie 2.6: Laat {ej }∞
j=1 een orthonormale basis van de Hilbertruimte H en x ∈ H. Dan
geldt:
N
X
i. hem , x −
hei , xiei i = 0 voor m = 1, . . . , N .
i=1
N
N
X
X
ii. kx −
hei , xiei k2 = kxk2 −
|hei , xi|2 .
i=1
iii.
N
X
i=1
|hei , xi|2 ≤ kxk2 .
i=1
iv. kx −
N
X
2
ai ei k ≥ kx −
i=1
N
X
hei , xiei k2 en gelijkheid geldt dan en slechts dan als ai = hei , xi voor
i=1
i = 1, . . . , N .
Bewijs: (i.) Triviaal.
ii. Dit volgt onmiddellijk uit (i.).
iii. Dit volgt uit (ii) door op te merken dat het linkerlid en dus ook het rechterlid niet-negatief zijn.
iv. Volgens (i) en Gevolg 2.2(ii) is
kx −
N
X
ai ei k2 = kx −
i=1
N
X
hei , xiei k2 + k
i=1
N
X
(hei , xi − ai )ei k2 .
i=1
Hieruit volgt de bewering meteen. ¦
Ongelijkheid (iii) heet de ongelijkheid van Bessel. Uit (iv) volgt dat de beste benadering van x in
N
X
de lineaire deelruimte opgespannen door e1 , . . . , eN wordt gegeven door
hei , xiei . Verder volgt
i=1
uit (iii) en (iv) dat het orthogonale stelsel {ei }∞
i=1 volledig is dan en slechts dan als
kxk2 =
∞
X
|hei , xi|2
i=1
4
voor alle x ∈ H.
(2.1)
(2.1) heet de identiteit van Parseval of de volledigheidsrelatie. Uit (2.1) volgt ook dat het stelsel
{ei }∞
i=1 volledig is dan en slechts dan als er geen x ∈ H, x 6= 0 is die orthogonaal is met alle
ei . Dit betekent ook dat x ∈ H geheel bepaald is door de Fouriercoëfficiënten hei , xi. De reeks
∞
X
hei , xiei heet wel de (gegeneraliseerde) Fourierreeks van x. Merk op dat de Fouriercoëfficiënten
i=1
niet geheel willekeurig kunnen worden gekozen, omdat ze aan de ongelijkheid van Bessel moeten
∞
X
voldoen en i.h.b.
|hei , xi|2 < ∞ moet zijn. Anderzijds geldt dat in het geval dat H = L2 (Ω)
i=1
P∞
met Ω = [a, b] ∈ R er voor elke rij getallen c1 , c2 , . . . waarvoor geldt dat i=1 |ci |2 < ∞, er een
g ∈ H bestaat zodat ci = hei , gi voor alle i:
P∞
2
Stelling 2.7: (Riesz-Fisher) Laat {cn }∞
n=1 een rij getallen zijn zodanig dat
n=1 |cn | convergeert,
en H een Hilbertruimte met orthonormale basis {ek }∞
waarvan de
k=1 . Dan is er een unieke x ∈ H
P∞
2
2
Fouriercoëfficiënten t.o.v. de basis {en }∞
gelijk
zijn
aan
de
getallen
c
en
kxk
=
n
n=1
n=1 |cn | .
PN
Bewijs: Laat voor N = 1, 2, . . .: xN = n=1 cn en . Omdat voor M > N geldt dat kxM − xN k =
PM
2
n=N +1 |cn | , is de rij {xn } een fundamentaalrij. Wegens de volledigheid van H is er een x zodanig
dat kx − xn k → 0 als n → ∞. Kies een vaste m. Dan is voor N ≥ m, hem , xN i = cm en dus, met
de ongelijkheid van Schwarz,
|hem , xi − cm | = |hem , x − xN i| ≤ kx − xN k → 0 als N → ∞
en dus is hem , xi = cm voor alle m. Tenslotte is
2
2
kxk = lim kxN k = lim
N →∞
N →∞
N
X
m,n=1
cm cn hem , en i =
∞
X
|cn |2 .
¦
n=1
Voorbeelden:
i. Laat Ω = [−1, 1]. Een q
volledig orthonormaal stelsel op L2 ([−1, 1]) wordt gegeven door de genormeerde
2n+1
Legendre-polynomen
2 Pn (x) (n = 0, 1, . . .). Hierbij is Pn een polynoom van graad n met
Z 1
2
Pn (1) = 1 en
.
Pn (x)Pm (x)dx = δmn
2n
+1
−1
√1 einx een volledig orthonormaal stelsel.
ii. Op L2 ([−π, π]) is het stelsel {en }∞
n=−∞ waarbij en (x) =
2π
r
Z π
2
sin aπ
1
−inx iax
iax
Laat f (x) = e . Daar hen , f i = √
e
e dx =
(−1)n
, is de Fourierreeks van
π
a−n
2π −π
∞
1 X
sin aπ inx
f gelijk aan
(−1)n
e . In dit geval geldt zelfs gelijkheid op (−π, π) en voor x = π
π n=−∞
a−n
geldt
∞
eiaπ + e−iaπ
1 X sin aπ
cos aπ =
=
2
π n=−∞ a − n
∞
X
∞
X
1
1
a
dus π cot aπ =
= +2
.
2
a−n
a
a − n2
n=−∞
n=1
2
iii. Voor Ω = R en w(x) = e−x vormen de Hermite-polynomen Hn (nZ = 0, 1, 2, . . .) een volledig
2
orthogonaal stelsel t.a.v. het inproduct met gewichtsfunctie w, d.w.z.
Hn (x)Hm (x)e−x dx = 0
R
als m, n ≥ 0, m 6= n.
5
Nu volgt het bewijs van Propositie 2.4:
Bewijs: Neem eerst aan dat W eindig-dimensionaal
Pnis. Als {f1 , . . . , fn } een orthonormale basis
is van W , dan is volgens Propositie 2.6(iv) y =
k=1 hfj , xifj het unieke element van W met
minimale afstand tot x en tevens is y − x ∈ W ⊥ . Neem nu aan dat W oneindig-dimensionaal is.
Laat d = d(x, W ). Er bestaat een rij {yn }∞
n=1 in W zodanig dat dn = kx − yn k en dn ↓ d als
n → ∞. Laat voor m, n ∈ N en m > n, dm,n de afstand zijn van x tot de lineaire deelruimte Wm,n
opgespannen door yn en ym . Dan is d ≤ dm,n ≤ dm ≤ dn . Omdat Wm,n eindig-dimensionaal is, is
⊥
er een t ∈ Wm,n zodanig dat kx − tk = dm,n . Dan volgt, omdat x − t ∈ Wm,n
, m.b.v. de stelling
van Pythagoras (Gevolg 2.2(ii)) dat
kyn − ym k ≤ kyn − tk + kt − ym k =
q
q
p
d2n − d2m,n + d2m − d2m,n ≤ 2 d2n − d2 .
Omdat het rechterlid naar 0 gaat als m > n → ∞, is de rij {yn } een fundamentaalrij en heeft dus
een limiet y ∈ W . Dan is kx − yk = d. Verder geldt voor w ∈ W
kx − wk2 = kx − yk2 + ky − wk2 + 2Rehx − y, y − wi.
Als x−y 6∈ W ⊥ dan bestaat er een w0 ∈ W zodanig dat hx−y, w0 i 6= 0. Kies nu w = y−²w0 , waarbij
² ∈ C zodanig is gekozen dat |²|2 kw0 k2 + 2Re ²hx − y, w0 i < 0. Maar dan is kx − wk < kx − yk = d,
tegenspraak. Conclusie: H = W + W ⊥ en aangezien W ∩ W ⊥ = {0}, is H = W ⊕ W ⊥ en
y = PW (x) is de orthogonale projectie van x op W .
Tenslotte volgt uit H = W ⊥ ⊕ W ⊥⊥ en W ⊂ W ⊥⊥ , dat W = W ⊥⊥ . ¦
Opmerking: Laat H en H 0 twee Hilbertruimten zijn met aftelbare orthonormale bases. Dan zijn
H en H 0 isomorf in de zin dat er een vectorruimte-isomorfisme φ : H → H 0 bestaat zodanig
∞
dat hx, yiH = hφ(x), φ(y)iH 0 . Als immers {en }∞
n=1 en {fn }n=1 orthonormale bases zijn van H
0
resp. H , dan laat φ(en ) = fn en zet φ lineair en continu voort. Een Hilbertruimte H heet
separabel als er een aftelbare deelverzameling W van H is zodanig dat H de afsluiting W is. Een
Hilbertruimte H is separabel dan en slechts dan als H een eindige of aftelbare orthonormale basis
heeft. Separabele Hilbertruimten zijn `2 (K), L2 (a, b) en L2 (a, b)w . Een orthonormale basis van
H = L2 (a, b) resp. L2 (a, b)w wordt verkregen door de verzameling polynomen {1, x, x2 , . . .} te
orthonormaliseren (m.b.v. de methode van Gram-Schmidt) t.o.v. het inproduct in H. Dit laatste
resultaat is (een speciaal geval van) de stelling van Stone-Weierstrasz. Op deze wijze ontstaan,
voor verschillende gewichtsfuncties, de orthogonale polynomen, zoals de Legendre-polynomen (voor
2
w(x) = 1 en [a, b] = [−1, 1]) en de Hermite-polynomen (met w(x) = e−x en [a, b] = R).
§2.3 Klassieke Fourierreeksen.
Zij a > 0 een reëel getal en f : [−a, a] → C een op [−a, a] absoluut integreerbare functie (d.w.z.
f en |f | zijn integreerbaar op [−a, a]; stuksgewijs continue functies zijn i.h.b. absoluut intePN
greerbaar). De (klassieke) Fourierreeks van f is gedefinieerd als limN →∞ k=−N ck exp(ikπx/a),
Z a
1
waarbij ck =
f (ξ) exp(−ikπξ/a)dξ. De Fouriercoëfficiënten ck zijn zo gedefinieerd dat als
2a −a
PN
f een trigonometrisch polynoom is op [−a, a], m.a.w. als f (x) =
k=−N dk exp(ikπx/a) dan
geldt dat dk = ck , dus f (x) is gelijk aan zijn eigen Fourierreeks. Merk op dat omdat de functies
1
²k (x) = √ exp(ikπx/a) een orthonormaal stelsel vormen op L2 ([−a, a]), de klassieke Fourier2a
reeks van een stuksgewijs continue functie op [−a, a] gelijk is aan de gegeneraliseerde Fourierreeks
6
m.b.t. het orthonormale stelsel {²k (x)}∞
k=−∞ . De Fouriercoëfficiënten zijn op slechts een factor na
in beide gevallen gelijk.

als 0 < x < π
 (π − x)/2
Voorbeeld: Beschouw op [−π, π] de functie f (x) = 0
als x = 0, ±π . De Fourier
(−π − x)/2 als −π < x < 0
coëfficiënten van f zijn:
1
ck =
2π
Z
0
Z
−ikx
(−π − x)e
π
dx +
−π
(π − x)e
−ikx
0
1
dx =
2π
Z
2π
0
(π − x)e−ikx dx =
1
ik
(k 6= 0)
(de tweede gelijkheid geldt omdat de functie periodiek met periode 2π tot geheel R kan worden
∞
∞
X
X
eikx − e−ikx
sin kx
voortgezet) en c0 = 0. De Fourierreeks is dan
=2
. De Fourierreeks
ik
k
k=1
k=1
representeert zo de functie op geheel R. De Fourierreeks kan ook geschreven worden in termen van
∞
X
cos(kπx) = (eikx +e−ikx )/2 en sin(kπx) = (eikx −e−ikx )/2i als a0 /2 +
ak cos(kπx/a) + bk sin(kπx/a)
k=1
Z
Z
1 a
1 a
waarbij ak =
f (ξ) cos(kπξ/a)dξ en bk =
f (ξ) sin(kπξ/a)dξ. In het bovenstaande voora −a
a −a
beeld zijn de coëfficiënten ak = 0 omdat f een oneven functie is.
Er zijn verschillende voorwaarden waaronder de klassieke Fourierreeks puntsgewijs resp. uniform
naar f convergeert. We noemen zonder bewijs het volgende criterium:
Stelling 2.8 (convergentiecriterium van Dini): Laat f : R → C een stuksgewijs continue periodieke functie met periode 2a zijn. Als voor zekere x0 ∈ R geldt dat de functie
f (x0 + y) + f (x0 − y)
− s absoluut integreerbaar is op [0, a], dan convergeert de Fourierreeks van
y
f (x) in x0 puntsgewijs naar s/2. Als f bovendien continu is, dan is de convergentie zelfs uniform
op R.
Merk op dat aan de voorwaarden voldaan is als f stuksgewijs continu is en als f in x0 rechtsen linksdifferentieerbaar is. s/2 is dan gelijk aan het gemiddelde van de linker- en rechterlimiet
∞
X
sin kx
(f (x0 +) + f (x0 −))/2. In het geval van het voorbeeld geldt dus dat π − x = 2
voor
k
k=1
0 < x < 2π. De convergentie is echter niet uniform vanwege de discontinuı̈teiten.
§2.4. Begrensde operatoren.
Laat H, H 0 genormeerde vectorruimten zijn. Een lineaire operator van H naar H 0 is een afbeelding
T : D → H 0 zodanig dat T (λf + µg) = λT (f ) + µT (g) voor f, g ∈ D ⊂ H en λ, µ ∈ R of C.
Hierbij is D een gesloten lineaire deelruimte van H. D (of D(T )) heet het domein van T .
Voorbeelden.
1. Laat H = `2 (K). De (links- en rechts)verschuivings-operatoren:
L(x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , . . .),
R(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .)
zijn lineaire operatoren met als domein geheel H.
7
2. Zij H een Hilbertruimte. Voor a ∈ H is de afbeelding ia : H → C gegeven door ia (x) = ha, xi een
lineaire operator.
3. Een paar voorbeelden voor het geval datR H = L2 (a, b):
i. Voor f ∈ H en g ∈ H vast is T (f ) = Ω f (x)g(x)dx een lineaire operator van H naar K. Een
dergelijke operator heet een integraaloperator.
ii. Laat D de verzameling van continue functies (preciezer: functies met een continue representant)
in H zijn. Voor c ∈ [a, b] is de evaluatie-operator Ec (f ) = f (c) een lineaire operator van H naar R
resp. C met domein D.
d
iii. De differentiaaloperator D = dx
beeldt f ∈ H af op zijn afgeleide f 0 ∈ H. Het domein√is een echte
deelverzameling van de verzameling van differentieerbare functies in H: laat f (x) = x − a. Dan
Rb
√
is D(f )(x) = 1/(2 x − a) dus f ∈ L2 (a, b) maar Df ligt niet in L2 (a, b) omdat a (x − a)−1 = ∞.
Een bijzondere klasse van lineaire operatoren wordt gevormd door de begrensde operatoren: een
lineaire operator T : H → H 0 heet begrensd indien er een M > 0 bestaat zodanig dat kT (f )k < M
voor alle f ∈ H met kf k ≤ 1. De norm van een begrensde operator T is gedefinieerd als
kT f k
.
f 6=0 kf k
kT k = sup kT f k = sup
kf k=1
(2.2)
Er geldt: als S, T : H → H 0 begrensd zijn, dan is S + T begrensd en
kS + T k = sup k(S + T )f k ≤ sup kSf k + kT f k = kSk + kT k
kf k=1
kf k=1
en ook is kaSk = |a|kSk als a ∈ K. De begrensde operatoren T : H → H 0 vormen dus zelf een
genormeerde vectorruimte B(H, H 0 ). Als H = H 0 dan vormen de begrensde operatoren (met de
compositie als vermenigvuldiging) een algebra en we noteren dan B(H).
De operatornorm heeft nog een extra eigenschap t.o.v. een gewone norm: voor S ∈ B(H, H 0 ) en
T ∈ B(H 0 , H 00 ): kST k ≤ kSk · kT k. Immers, voor x ∈ H is kST xk ≤ kSkT xk ≤ kSkkT kkxk.
Propositie 2.9: Als H 0 een Banachruimte is, dan is B(H, H 0 ) zelf een Banachruimte.
Bewijs: Laat {Tn } een fundamentaalrij van lineaire operatoren in B(H, H 0 ) zijn. Voor x ∈ H is
kTn (x) − Tm (x)k ≤ kTn − Tm kkxk, dus {Tn (x)} is een fundamentaalrij in H 0 . Omdat H 0 volledig
is, heeft de rij een limiet T (x). Het is nu eenvoudig om na te gaan dat T een lineaire operator is
en dat kT k = limn→∞ kTn k. I.h.b. is T begrensd. ¦
Voorbeelden:
1. Op een eindig-dimensionale vectorruimte is elke lineaire afbeelding begrensd.
2. Laat H = `2 . Beschouw de (links- en rechts)verschuivings-operatoren:
L(x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , . . .),
R(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .)
Er geldt dat L, R ∈ B(H) en kLk = kRk = 1.
3. De operator idH : H → H die elke v ∈ H op zichzelf afbeeldt, is begrensd met norm 1.
4. Voor H een Hilbertruimte is voor v ∈ H de operator iv : H → K gedefinieerd door iv (x) = hv, xi.
Volgens de ongelijkheid van Schwarz is |iv (x)| ≤ kvkkxk. Anderzijds is iv (v) = kvk2 . iv is dus een
begrensde operator en kiv k = kvk.
8
5. De evaluatie-operator Ec en de differentiaaloperator
opgaven.)
d
dx
op L2 (a, b) zijn niet begrensd. (Zie de
Propositie 2.10: Laat H, H 0 genormeerde vectorruimten zijn. Een lineaire operator T : H → H 0
is begrensd dan en slechts dan als T continu is.
Bewijs: Stel dat T begrensd is. Voor x, y ∈ H is kT (x) − T (y)k ≤ kT kkx − yk, dus T is continu.
Omgekeerd, stel T : H → H 0 is niet begrensd; dan is er een rij {yi }∞
i=1 met yi ∈ H en kyi k = 1
zodat kT (yi )k = ai → ∞. Dan kyi /ai k → 0 maar kT (yi /ai )k = 1, dus is T niet continu. ¦
Gevolg: Zij T ∈ B(H, H 0 ). Dan is ker(T ) = {x ∈ H : T (x) = 0} een gesloten deelruimte van H.
Bewijs: Laat {xn }∞
n=1 een Cauchyrij in ker(T ) zijn. De rij heeft een limiet x ∈ H. Omdat T
continu is, is T (x) = limn→∞ T (xn ) = 0 en dus x ∈ ker(T ).
We bekijken voorbeeld 4 nog wat nader. De ruimte H ∗ = B(H, K) heet de duaal van H. H ∗ bevat
alle operatoren van de vorm iv met v ∈ H. Omgekeerd geldt ook:
Stelling 2.11: (representatiestelling van Riesz) Voor elke f ∈ H ∗ bestaat er een v ∈ H zodanig
dat f = iv .
Bewijs: Als f = 0, dan is v = 0. Als f 6= 0, dan is de dimensie van (ker(f ))⊥ gelijk aan 1.
Immers als x, y ∈ (ker(f ))⊥ , dan is f (x)y − f (y)x ∈ ker(f ) en dus is f (x)y − f (y)x = 0 m.a.w.
x, y zijn lineair afhankelijk. Kies w ∈ (ker(f ))⊥ zodanig dat kwk = 1. Nu is v = wf (w): immers
is f (w) = hv, wi en als x ∈ ker(f ), dan is f (x) = 0 en hv, xi = 0. Omdat ker(f ) gesloten is, is
H = ker(f ) ⊕ (ker(f ))⊥ . Omdat f en iv lineair zijn en overeenstemmen op ker(f ) en (ker(f ))⊥ ,
stemmen ze overeen op H. ¦
Opmerking: Op H ∗ kunnen we een inproduct definiëren d.m.v. hiv , iw i = hw, vi. H ∗ wordt zo
een Hilbertruimte. Elke Hilbertruimte is isomorf met zijn eigen duaal: φ : H → H ∗ zodanig
dat φ(v) = iv een (antilineair) isomorfisme van Hilbertruimten is dat het inproduct op complexe
conjugatie na invariant laat: hv, wi = hφ(w), φ(v)i.
Definitie. T ∈ B(H) heet inverteerbaar (op B(H)) als T bijectief is en als T −1 ∈ B(H). λ ∈ C
heet een regulier punt van T als de operator T − λ · idH inverteerbaar is. De verzameling ρ(T ) van
reguliere punten van T heet de resolvente verzameling van T . Het complement σ(T ) = C\ρ(T )
heet het spectrum van T . Merk op dat σ(T ) de eigenwaarden van T bevat (dit zijn de complexe
getallen λ zodanig dat T (x) = λx voor zekere λ ∈ H), maar groter kan zijn.
Uit het volgende lemma volgt dat σ(T ) een begrensde deelverzameling van C is.
Lemma 2.12: (a) Laat T ∈ B(H) en kT k < |λ|. Dan is T − λ · idH begrensd en inverteerbaar en
∞ µ ¶n
1X T
−1
(T − λ · idH ) = −
.
λ n=0 λ
(b) Als S, T ∈ B(H) en T is inverteerbaar en kT − Sk < kT −1 k−1 , dan is S inverteerbaar.
P∞
een rij beBewijs: (a) Daar kT /λk < 1, is n=0 kT kn /|λ|n een convergente reeks en de limiet van
P∞
grensde operatoren is zelf een begrensde operator volgens Propositie 2.9 m.a.w. S = n=0 (T /λ)n
is begrensd. Verder geldt dat
(T − λ · idH )
N
X
N
¡
¢ X
N +1
(T /λ) = −λ idH − (T /λ)
=
(T /λ)n (T − λ · idH )
n
n=0
n=0
en door de limiet voor N → ∞ te nemen zien we dat (T − λ · idH )S = −λ · idH .
9
(b.) kST −1 − idH k ≤ kT −1 kkS − T k < 1 dus volgens (a) is ST −1 inverteerbaar. Maar dan is S
bijectief en S −1 = T −1 (ST −1 )−1 , dus is S −1 begrensd. ¦
Gevolg 2.13: Zij T ∈ B(H). Het spectrum σ(T ) is een begrensde en gesloten verzameling.
Bewijs: Uit lemma 2.12(a) volgt dat voor λ ∈ σ(T ) geldt dat |λ| ≤ kT k. Uit (b) volgt dat als
λ ∈ ρ(T ), en |µ − λ| < kT −1 k−1 , dan µ ∈ ρ(T ). Dus ρ(T ) is een open verzameling. ¦
Opmerking: Het spectrum bevat in elk geval de eigenwaarden van een operator: als T (x) = λx
voor zekere x 6= 0 en λ ∈ C, dan is T −λ·id niet inverteerbaar. Het spectrum kan echter groter zijn
dan de verzameling eigenwaarden. Beschouw de right-shift R : `2 → `2 . Het is niet moeilijk om na
te gaan dat R geen eigenwaarden heeft. Maar omdat het beeld van R het orthogonaal complement
van het opspansel van e1 = (1, 0, . . .) is, is R niet-inverteerbaar, en dus is 0 ∈ σ(R). In feite geldt
zelfs: σ(R) = {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}.
Laat H, H 0 Hilbertruimten zijn en T ∈ B(H, H 0 ). Voor elke x ∈ H 0 is de afbeelding y → hx, T yi
een begrensde afbeelding van H naar K, dus een element van H ∗ . Volgens stelling 2.10 is er dan
een v ∈ H zodanig dat hx, T yi = hv, yi voor y ∈ H. We schrijven v = T † x. Er geldt dus
hx, T yi = hT † x, yi
(y ∈ H, x ∈ H 0 ).
(2.3)
T † : H 0 → H heet de geadjungeerde van T . Het is eenvoudig om in te zien dat T † een lineaire
operator is en dat T †† = T . Bovendien is T † begrensd. Er geldt nl:
Lemma 2.14: Als T ∈ B(H, H 0 ) dan T † ∈ B(H 0 , H) en kT k = kT † k.
Bewijs: Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat
kT k =
sup
|hx, T yi|.
(2.4)
kxk=kyk=1
We bewijzen (2.4): zij x ∈ H 0 en y ∈ H met kxk = kyk = 1. Dan is |hx, T yi| ≤ kxkkT yk ≤
kT k. Kies verder x = T y/kT yk. Dan is hx, T yi = kT yk, en dus is supkxk=kyk=1 |hx, T yi| ≤
supkyk=1 kT yk = kT k. ¦
Definitie: T ∈ B(H) heet zelfgeadjungeerd of hermites als T = T † .
Propositie 2.15: Zij T ∈ B(H, H 0 ). Dan geldt
⊥
⊥
ker(T † ) = (im(T )) ,
im(T † ) ⊂ (ker(T )) .
⊥
Als im(T † ) gesloten is, dan geldt zelfs im(T † ) = (ker(T )) .
⊥
Bewijs: Zij x ∈ ker(T † ). Dan is hx, T yi = hT † x, yi = 0 voor alle y ∈ H. Dus is x ∈ (im(T )) .
De redenering geldt ook in omgekeerde richting. Stel nu y = T † z voor zekere z ∈ H 0 en laat
x ∈ ker(T ). Dan is
hy, xi = hT † z, xi = hz, T xi = 0.
¡
¢⊥⊥
⊥
Als im(T † ) gesloten is, dan geldt: im(T † ) = im(T † )
= (ker(T )) volgens Propositie 2.4 en de
eerste identiteit (waarbij we gebruiken dat T †† = T ). ¦
§2.5. Compacte operatoren.
Laat H, H 0 Banachruimten zijn. Een begrensde operator T : H → H 0 heet compact als voor elke
∞
0
begrensde rij {xn }∞
n=1 in H de rij van beelden {T (xn )}n=1 een convergente deelrij in H heeft.
10
Voorbeelden:
i. Als H, H 0 eindig-dimensionaal zijn, dan is het beeld van de eenheidsbol {x ∈ H : kxk = 1} onder
de continue afbeelding T begrensd en gesloten in H 0 , en dus compact. Elke lineaire operator in
B(H, H 0 ) is dus compact.
ii. Een lineaire operator T ∈ B(H, H 0 ) waarvan de dimensie van het beeld T (H) eindig is, heet een
operator van eindige rang. Operatoren van eindige rang zijn compact.
We geven een voorbeeld
Pn
van zo’n operator: laat a, b ∈ R, H = L2 ([a, b]), laat K(x, y) = i=1 φi (x)ψi (y) waarbij φi , ψi :
[a, b] → C continue functies zijn. De lineaire operator T : H → H gegeven door T (f )(x) =
Rb
K(x, y)f (y)dy is compact.
a
iii. Laat H een oneindig-dimensionale Hilbertruimte zijn. Dan is de identiteitsoperator idH begrensd,
∞
maar niet compact. Immers, kies
√ een orthonormaal stelsel {en }n=1 . Dan is voor n 6= m:
kT en − T em k = ken − em k = 2. De rij {T en } bevat dus geen convergente deelrij.
iv. Een operator K : H → H heet een Hilbert-Schmidtoperator als tr(K † K) eindig is. HilbertSchmidtoperatoren zijn compact. Een voorbeeld van een Hilbert-Schmidtoperator is de operator
Rb
K : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]) gegeven door Kf (x) = a K(x, t)f (t)dt waarbij a, b ∈ R en K :
[a, b] × [a, b] → C een continue functie is. Laat nl. {fn }∞
n=1 een orthonormale basis zijn van de
Hilbertruimte. Dan is
†
tr(K K) =
∞
X
∞ Z
X
hKfn , Kfn i =
n=1
n=1
Z
b
Z
=
a
b
Z
b
Z
b
K(x, t)K(x, u)fn (t)fn (u)dudtdx =
a
a
b
K(x, t)K(x, t)dtdx < ∞.
a
a
Propositie 2.16: Laat H, H 0 Hilbertruimten zijn. Zij {Kn : H → H 0 }∞
n=1 een convergente rij
compacte operatoren. Dan is K = limn→∞ Kn compact.
Bewijs: Zij {xn }∞
n=1 een begrensde rij in H en kxn k ≤ M . Dan heeft de rij {K1 xn } een convergente
(2)
(1)
(1)
deelrij {K1 xn }. De rij {K2 xn } heeft een convergente deelrij {K2 xn }. In het algemeen is voor
(m−1)
(m)
(m)
}. Beschouw nu de
m = 1, 2, . . . de rij {Km xn } convergent en {xn } is een deelrij van {xn
(n)
rij {yn = xn }. Dit is een deelrij van {xn } en de rijen {Km yn } convergeren voor elke m. Kies nu
² > 0 en N zo groot dat kK − KN k < ²/M . Kies N 0 zo groot dat voor m > n ≥ N 0 geldt dat
kKN yn − KN ym k < ². Dan is voor m > n ≥ N 0
kKyn − Kym k ≤ kKyn − KN yn k + kKN yn − KN ym k + kKN ym − Kym k < ² + ² + ² = 3².
De rij {Kyn } is dus een fundamentaalrij en dus convergent. ¦
Voorbeeld: Laat K : `2 → `2 gegeven zijn door K(x1 , x2 , x3 , . . .) = (x1 , x2 /2, x3 /3, . . .). Dan is
K = limn→∞ Kn waarbij Kn (x1 , x2 , . . .) = (x1 , x2 /2, . . . , xn /n, 0, 0, . . .) van eindige rang is. Dus
is K compact.
Men kan aantonen dat elke compacte operator K = B(H) voor H een Hilbertruimte de limiet is van
een rij operatoren van eindige rang. Dit geldt niet in het geval dat H een Banachruimte is. Omdat
de geadjungeerde van een eindige-rangoperator weer van eindige rang is en K † = limn→∞ Kn† als
K = limn→∞ Kn , geldt:
Propositie 2.17: Als K ∈ B(H) een compacte operator is met geadjungeerde K † , dan is K †
compact.
11
Voor het spectrum van een compacte operator geldt nu het volgende resultaat:
Stelling 2.18 (spectraalstelling voor compacte operatoren): Zij H een oneindig-dimensionale Hilbertruimte en K ∈ B(H) een compacte operator. Dan zijn de volgende beweringen waar:
a. 0 ∈ σ(K).
b. Ker(K − λ · idH ) is eindig-dimensionaal als λ 6= 0.
c. Als λ 6= 0, dan is hetzij λ ∈ ρ(K) of λ is een eigenwaarde van K.
d. σ(K) is hetzij een eindige verzameling hetzij een aftelbaar oneindige begrensde verzameling met 0
als enige ophopingspunt.
Om de spectraalstelling te bewijzen, tonen we eerst een aantal deelresultaten aan.
Propositie 2.19: Laat S, K ∈ B(H) waarbij bovendien K een compacte operator is. Dan zijn de
operatoren SK en KS compact.
Bewijs: Zij {xn } een begrensde rij in H. Dan is {Sxn } ook begrensd en dus heeft {KSxn } een
convergente deelrij. KS is dus compact. Ook heeft {Kxn } een convergente deelrij {Kxnj } met
limiet y. Omdat S begrensd is, convergeert de rij {SKxnj } dan naar Sy. Dus is SK een compacte
operator. ¦
Stelling 2.20: Zij K ∈ B(H) een compacte operator en λ 6= 0 een complex getal. We schrijven id
voor idH .
(m)
(1)
(2)
i. Laat Kλ = Ker(K − λ · id)m voor m = 1, 2, . . .. Dan breekt de rij van inclusies Kλ ⊂ Kλ ⊂ . . .
(q)
(q+1)
na eindig veel stappen af, m.a.w. er is een q zodat Kλ = Kλ
. Verder zijn de deelruimten
(m)
Kλ eindig-dimensionaal en dus gesloten.
(m)
(r)
ii. Laat Rλ = Im(K − λ · id)m voor m = 1, 2, . . .. Dan is Rλ gesloten als r ≥ q (met q als in (i)).
(1)
(2)
Verder breekt de rij van inclusies Rλ ⊃ Rλ ⊃ . . . na eindig veel stappen af, m.a.w. er is een r
(r)
(r+1)
zodat Rλ = Rλ
.
iii. Laat q resp. r de kleinste getallen zijn zodat in de rij inclusies in (i) en (ii) gelijkheid optreedt.
(q)
(q)
Dan is q = r. Verder is H = Kλ ⊕ Rλ .
(1)
Bewijs: (i.) Stel dat de dimensie van Kλ oneindig is. Dan is er een orthonormaal stelsel B =
(1)
{e1 , e2 , . . .} in Kλ (merk op dat we zo’n orthonormaal stelsel m.b.v. de methode van√GramSchmidt kunnen maken). B is een begrensde
verzameling; anderzijds is ken − em k = 2 voor
√
n 6= m, en dus is kKen − Kem k = 2|λ|. De rij {Ken } heeft dus geen convergente deelrij.
Tegenspraak. Aangezien volgens Prop.2.19 (K − λ · id)m = (Km + (−λ)m · id) met Km compact,
(m)
(m)
is ook dim Kλ eindig voor m > 1. In het bijzonder zijn de lineaire deelruimten Kλ gesloten.
(q)
(q+1)
(q+j)
(q+j+1)
Het is nu eenvoudig in te zien, dat als Kλ = Kλ
, dan is ook Kλ
= Kλ
voor j ≥ 1.
(1)
(2)
Als de rij Kλ ⊂ Kλ ⊂ . . . niet afbreekt, dan bestaat er dus (volgens Propositie 2.4) een orthonor(m)
(m−1) ⊥
maal stelsel vectoren {f1 , f2 , . . .} met fm ∈ Kλ en fm ∈ (Kλ
) . Dan is Kfm = λfm + gm
(m−1)
(n−1)
met gm ∈ Kλ
dus voor n > m is kK(fn − fm )k = kλfn + hn k ≥ |λ| waarbij hn ∈ Kλ
. De
rij {Kfn } heeft dus geen convergente deelrij, tegenspraak.
(q)
(q+1)
(r)
ii. Laat q het kleinste getal zijn zo dat Kλ = Kλ
. We tonen aan dat Rλ gesloten is voor r ≥ q.
(r)
Laat hiertoe {xn } een begrensde rij in Rλ zijn die convergeert naar x ∈ H. Dan is xn = (K−λ)r yn .
(r)
(r)
(r)
(r)
Omdat Kλ gesloten is, is H = Kλ ⊕ (Kλ )⊥ en dus kunnen we yn ∈ (Kλ )⊥ kiezen. Als de rij
0
r
{yn } een begrensde deelrij {yn } heeft, dan convergeert ((K − λ · id) − (−λ)r )yn00 = Kr yn00 voor een
deelrij {yn00 } van {yn0 } naar een limiet y (Kr is compact). Maar dan convergeert de rij {yn00 } zelf naar
12
(r)
y 0 = (x − y)(−λ)−r en dus is x = (K − λ)r y 0 en x ∈ Rλ . Als de rij {yn } geen begrensde deelrij
heeft, dan is limn→∞ kyn k = ∞, en als wn = yn /kyn k, dan (K − λ)wn = (Kr − (−λ)r )wn → 0 voor
n → ∞. Anderzijds heeft de rij {Kr wn } een convergente deelrij {Kr wn0 }. Maar dan convergeert
(r)
(r)
de rij {wn0 }. Noem de limiet w. Dan geldt kwk = 1, Kw = λw en w ∈ (Kλ ) ∩ (Kλ )⊥ = {0}.
(1)
(2)
Tegenspraak. Het bewijs dat de rij inclusies Rλ ⊃ Rλ ⊃ . . . afbreekt verloopt analoog aan het
(m)
bewijs voor Kλ .
(q)
(q)
iii. Laat x ∈ Kλ ∩ Rλ . Dan is x = (K − λ)q y en (K − λ)q x = 0. Dan is (K − λ)2q y = 0, dus
(q)
(q−1)
(q−1)
(1)
x = (K − λ)q y = 0. Laat nu x ∈ Kλ , x 6∈ Kλ
. Dan y = (K − λ)q−1 x ∈ Rλ
∩ Kλ . Als
(q)
(q−1)
(q+1)
(q)
Rλ = Rλ
, dan is y = (K − λ)q w voor zekere w en uit w ∈ Kλ
= Kλ volgt dan dat y = 0,
(q)
(m)
tegenspraak. Conclusie: r ≥ q. We tonen nu aan dat H = Kλ + Rλ voor alle m ≥ 1. Laat
(q)
(r)
x 6∈ Kλ = Kλ , en laat y = (K − λ)r x. Dan is er een w zodanig dat y = (K − λ)r+1 w en dus is
(q)
(1)
(q)
(K − λ)r ((K − λ)w − x) = 0. Dus x = (K − λ)w + x0 met x0 ∈ Kλ , dus H = Rλ + Kλ . Laat
(1)
(1)
(q)
nu x ∈ Rλ . Dan is x = (K − λ)y met y ∈ H dus y = y 0 + y 00 met y 0 ∈ Rλ , y 00 ∈ Kλ zodat
(1)
(2)
(q)
(2)
(q)
(m)
(q)
Rλ = Rλ + Kλ en dus ook H = Rλ + Kλ . Zo verdergaand vinden we dat H = Rλ + Kλ
(m)
(q)
voor alle m ≥ 1 en i.h.b. is voor m ≥ q de som een directe som H = Rλ ⊕ Kλ . Maar omdat
(m+1)
(m)
(q)
(q+1)
tevens Rλ
⊂ Rλ voor alle m, is Rλ = Rλ
en dus is r ≤ q. Conclusie: q = r en
(q)
(q)
H = Rλ ⊕ Kλ . ¦
Bewijs van Stelling 2.18:
a. Zij K een compacte operator. Als K niet-inverteerbaar is, dan ligt 0 in σ(K). Als K inverteerbaar is, en K −1 begrensd, dan is KK −1 = idH compact volgens Propositie 2.19, maar dit is in
tegenspraak met voorbeeld (ii). Dus K −1 is niet begrensd en 0 ∈ σ(K).
b. Dit volgt direct uit Stelling 2.20.
c. Laat λ 6= 0. Neem aan dat λ ∈ σ(K). Dan is hetzij λ een eigenwaarde van K of (K − λ) is bijectief
maar (K − λ)−1 is niet begrensd. In het laatste geval is er een rij {xn } met kxn k = 1 zodanig
dat (K − λ)xn naar 0 convergeert. Omdat K compact is, is er een convergente deelrij {Kx0n } van
{Kxn }. Maar dan convergeert de rij {x0n } naar een element x met kxk = 1 en (K − λ)x = 0. Maar
dan is K − λ · id niet bijectief, dus dit geeft een tegenspraak.
(q)
(q)
(q)
d. Laat λ 6= 0 en laat Kλ : Rλ → Rλ de restrictie zijn van K tot Rλ . Volgens stelling 2.20(iii)
(q)
is λ geen eigenwaarde van Kλ , verder is Kλ compact omdat Rλ gesloten is. Volgens (c) is dan
λ ∈ ρ(Kλ ) en omdat ρ(Kλ ) open is, is λ geen verdichtingspunt van σ(Kλ ).
Verder geldt: als µ 6= λ, µ 6= 0 in σ(K) ligt, dan is het een eigenwaarde van K, en dus ook een
eigenwaarde van Kλ : immers stel Kx = µx voor zekere x ∈ H, x 6= 0. Dan is (K − λ)q x =
(q)
(q)
(µ − λ)q x 6= 0 en (K − λ)q x ∈ Rλ , en dus ook x ∈ Rλ . Maar dan is µ ∈ σ(Kλ ). Conclusie: λ is
geen verdichtingspunt van σ(K). ¦
Opmerking: Er zijn compacte operatoren zonder eigenwaarden. In dit geval bestaat het spectrum
alleen uit het nulelement. Een voorbeeld is de Hilbertruimte H = `2 (C) met K ∈ B(H) gedefinieerd
door K(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 /2, x3 /3, . . .).
§2.6. De spectraalstelling voor compacte zelfgeadjungeerde en normale operatoren.
Als H een Hilbertruimte is en K ∈ B(H) is zowel compact als zelfgeadjungeerd, dan geldt het
volgende resultaat:
13
i.
ii.
iii.
iv.
Stelling 2.21: Zij K een compacte zelfgeadjungeerde operator op een Hilbertruimte H. Dan
geldt:
K heeft een eigenwaarde.
Alle eigenwaarden van K zijn reëel.
Eigenvectoren behorende bij verschillende eigenwaarden van K zijn orthogonaal.
H = H0 ⊕W waarbij W = ⊕λ6=0 Hλ en waar Hλ = Ker(K −λ·id) de eigenruimte is bij eigenwaarde
λ.
v. Voor x ∈ H geldt dat
Kx =
∞
X
λk (ek , x)ek
(2.5)
k=1
waarbij λ1 , λ2 , . . . de eigenwaarden ongelijk aan 0 van K zijn, met multipliciteit geteld en {ek }∞
k=1
een orthonormaal stelsel is van eigenvectoren bij de eigenwaarden λ1 , λ2 , . . ..
Bewijs:
i. Omdat K begrensd is, bestaat k = supkxk=1 hx, Kxi en ` = inf kxk=1 hx, Kxi. Als k = ` = 0, dan
is hx, Kxi = 0 voor alle x ∈ H. Omdat K zelfgeadjungeerd is, is dan ook hx, Kyi = 0 voor alle
x, y ∈ H en K is de nuloperator. In het andere geval kunnen we aannemen dat k 6= 0 (door zo nodig
−K i.p.v. K te beschouwen). Er is dan een rij {xn } met kxn k = 1 zodanig dat kn = (xn , Kxn ) en
kn ↑ k. De operator L = k · id − K is begrensd en positief semi-definiet (d.w.z. (x, Lx) ≥ 0 voor
alle x ∈ H). Dan is (x, y) := hx, Lyi een semi-inproduct en dus geldt de ongelijkheid van Schwarz:
|(y, Lx)|2 ≤ (y, Ly)(x, Lx). Nu geldt voor y ∈ H, kyk = 1:
|hy, Lxn i| ≤ hxn , Lxn ihy, Lyi ≤ (k − kn )kLk.
Als Lxn = 0, dan is Kxn = kxn en zijn we klaar. Als Lxn 6= 0, dan vinden we door y = Lxn /kLxn k
te nemen dat
kLxn k = kKxn − kxn k ≤ (k − kn )kLk
dus de rij {Kxn − kxn } convergeert naar het nulelement. Anderzijds is er, omdat K compact is,
een deelrij {x0n } zodanig dat Kx0n convergeert. Noem de limiet z. Merk op dat z 6= 0 omdat k 6= 0
is (anders convergeert de rij {kx0n } naar 0, tegenspraak). Nu convergeert {K 2 x0n − kKx0n } enerzijds
naar 0, en anderzijds naar Kz − kz. Dus Kz = kz en z is een eigenvector bij eigenwaarde k.
ii. Laat λ een eigenwaarde van K zijn en Kx = λx, x 6= 0, dan is
λ(x, x) = (x, Kx) = (Kx, x) = λ(x, x)
dus λ = λ.
iii. Laat λ en µ verschillende eigenwaarden zijn en laat Kx = λx, Ky = µy en λ 6= µ. Dan λ, µ ∈ R
en
λ(x, y) = (Kx, y) = (x, Ky) = µ(x, y)
en dus is (x, y) = 0.
iv. Omdat volgens stelling 2.18 λ = 0 het enige verdichtingspunt is van eigenwaarden en de eigenruimten bij de andere eigenwaarden eindig-dimensionaal zijn, en verder de eigenruimten Hλ bij verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn, zijn er hoogstens aftelbaar veel eigenwaarden λ1 , λ2 , . . .
en is de directe som W = ⊕∞
k=0 Hλk goed gedefinieerd, waarbij de som is genomen over alle eigen⊥
waarden λk (waarbij λ0 = 0). Laat W de afsluiting van W zijn. Dan is H = W ⊕ W . We
14
⊥
tonen aan dat W gelijk is aan de nulruimte {0}. Omdat K(W ) ⊂ W en K continu is, is ook
⊥
K(W ) ⊂ W . Dan geldt, voor willekeurige x ∈ W en y ∈ W , dat (x, Ky) = (Kx, y) = 0, m.a.w.
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
K(W ) ⊂ W . Laat nu K0 : W → W de restrictie van K tot W zijn. K0 is weer compact
en zelfgeadjungeerd en heeft een eigenwaarde k. Maar dan is k ook een eigenwaarde van K en een
⊥
eigenvector x van K0 is bevat in W . Dit is een tegenspraak, tenzij W = {0}.
v. Volgens het voorgaande is x ∈ H te schrijven als
x = x0 +
∞
X
hek , xiek
k=1
waarbij x0 ∈ H0 en {ek }∞
k=1 een (aftelbare) orthonormale basis is van eigenvectoren bij eigenwaarden λk 6= 0 (de dimensie van H0 = Ker(K) kan overaftelbaar zijn!). Daar Kx0 = 0, is
Kx =
∞
X
hek , xiKek =
k=1
∞
X
λk hek , xiek .
¦
k=1
Normale operatoren. Definitie: Een operator T ∈ B(H) heet normaal als T T † = T † T .
Lemma 2.22: T is normaal dan en slechts dan als T = U + iV met U, V ∈ B hermites en
[U, V ] = U V − V U = O.
T + T†
T − T†
Bewijs: Zij T normaal. Laat U =
en V =
. Dan T = U + iV en U, V hermites en
2
2i
[U, V ] = O. Voor de omgekeerde bewering gebruiken we dat T † = U − iV . ¦
Voor compacte normale operatoren geldt een soortgelijke spectraalstelling als voor hermitese operatoren, behalve dat de eigenwaarden van een normale operator i.h.a. niet reëel zijn:
Stelling 2.23: Zij K een compacte normale operator op een Hilbertruimte H. Dan gelden de
beweringen van stelling 2.21(i,iii,iv,v) voor K.
Bewijs: Zij K een compacte normale operator. Dan is volgens Propositie 2.17 en Lemma 2.22
K = U + iV waarbij U, V commuterende compacte zelfgeadjungeerde operatoren zijn. Toepassing
van Stelling 2.21 op U geeft dat H een orthogonale directe som is van eigenruimten H = ⊕λ Hλ
van U waarbij de som loopt over de eigenwaarden λ van U . Zij nu w ∈ Hλ , dus U w = λw. Dan
is U V w = V U w = λV w, dus V laat Hλ invariant: V (Hλ ) ⊂ Hλ . Omdat Hλ een gesloten lineaire
deelruimte is van H, is Hλ zelf een Hilbertruimte
¯ met als inproduct de restrictie van het inproduct
op H tot Hλ . Dus is de restrictie Vλ = V ¯H van V tot Hλ een compacte zelfgeadjungeerde
λ
operator op Hλ . Toepassing van stelling 2.21 op Vλ geeft dat Hλ = ⊕µ Hλ,µ een orthogonale
directe som is van eigenruimten Hλ,µ van Vλ waarbij µ loopt over de eigenwaarden van V . Maar
dan is H = ⊕λ ⊕µ Hλ,µ de orthogonale directe som van gemeenschappelijke eigenruimten Hλ,µ
van U en V . Het is niet moeilijk in te zien dat Hλ,µ precies de eigenruimte van K = U + iV met
eigenwaarde λ + iµ is. ¦
§2.7. Distributies.
We hebben gezien dat volgens de representatiestelling van Riesz een Hilbertruimte H gelijk is aan
zijn duaal H ∗ , d.w.z. als T ∈ H ∗ , dan is er een h ∈ H zodanig dat T (f ) = hh, f i. Integraaloperatoren zoals in voorbeeld 3(i) van §2.4 vervullen dus een centrale rol.
15
Voor de evaluatie-operatoren uit voorbeeld (ii) liggen de zaken anders. Bekijk de operator Ec (f ) =
fZ (c) op H = L2 (Ω) met Ω en interval [a, b] en c ∈ [a, b]. We kunnen formeel noteren T (f ) =
δ(x − c)f (x)dx, maar δc : x → δ(x−c) is geen element van de Hilbertruimte H. Dit hangt ermee
Ω
samen dat het domein van de operator niet geheel H is (maar de deelruimte van continue functies).
De representatiestelling van Riesz is dus niet toepasbaar. Als we desondanks de operator T (f ) in de
vorm hδc , f i willen uitdrukken, zodat δc (met δc (x) = δ(x − c)) een element is van een duale S ∗ van
een vectorruimte S, dan moeten we voor de vectorruimte S een echte deelruimte van H nemen. Wat
deze vectorruimte moet zijn, hangt af van de precieze aard van de operator T . Zo krijgen we het
concept van een rigged Hilbert space: een lineaire deelruimte S van H zodat S ⊂ H = H ∗ ⊂ S ∗ . S is
hier een vectorruimte van testfuncties en de elementen van S ∗ heten distributies. Een voorbeeld van
een ruimte van testfuncties voor het geval dat Ω = (−∞, ∞) is de Schwarzruimte S, bestaande uit
C ∞ -functies (oneindig vaak differentieerbaar) φ zodanig dat |φ|m,n = supx∈Ω |x|n |φ(m) (x)| eindig
is voor alle m, n ∈ N. Een ander voorbeeld wordt gevormd door de C ∞ -functies met compacte
drager waarvoor geldt dat f (x) = 0 voor |x| groot genoeg. Distributies zijn dan continue lineaire
operatoren op S, d.w.z. voor u ∈ S ∗ geldt dat u(φk ) → u(φ) als φk → φ, waarbij φk → φ betekent
dat |φk − φ|m,n → 0 voor alle m, n. Zo is δ gedefinieerd als hδ, φi = δ(φ) = φ(0) voor φ ∈ S
(n)
een
gedefinieerd door δ (n) (φ) = (−1)n φ(n) (0). Formeel noteren we
Z distributie en eveneens δ
δ (n) (x − c)φ(x)dx = (−1)n φ(n) (c). Gewone (kwadratisch integreerbare) functies kunnen we nu
R
R
ook als distributies opvatten: f ∈ L2 (Ω) werkt op een testfunctie φ als hf, φi = Ω f (x)φ(x)dx.
Hetzelde geldt ook voor ”functies” in L2 (Ω): laat immers f ∈ L2 (R). f is op te vatten als de
limiet van een Cauchyrij van gewone (kwadratisch integreerbare) functies {fn }∞
n=1 . Volgens de
2
ongelijkheid van Schwarz is (voor φ een testfunctie): |hfn − fm , φi| ≤ kfn − fm kkφk en dus is
ook de rij hfn , φi een Cauchyrij in C. De limiet hf, φi = limn→∞ hfn , φi hangt niet af van de
precieze keuze van de rij {fn }∞
n=1 : als {gn } een andere rij functies is met kgn − fn k → 0 dan is
limn→∞ hfn − gn , φi = 0, weer volgens de ongelijkheid van Schwarz. Nu definieert f dus ook weer
een distributie. Zo kunnen we L2 -functies opvatten als distributies (de distributies die zelf limiet
van een Cauchyrij van distributies in L2 zijn).
Opmerking: De hierboven beschreven constructie levert een alternatieve methode om functies op
L2 (Ω) te definiëren, zonder van het begrip Lebesgue-integraal gebruik te maken. In feite moet
wel nog worden nagegaan dat elke limiet van een Cauchyrij van L2 -functies ook de limiet van een
Cauchyrij van L2 -functies is: laat {gn }∞
n=1 een Cauchyrij zijn van functies gn ∈ L2 waarbij gn
∞
zelf de limiet is van een rij L2 -functies {gnm }∞
m=1 . Nu kan worden aangetoond dat {gnn }n=1 een
Cauchyrij is die naar g convergeert (m.b.v. een soortgelijke ”diagonaalprocedure” als in het bewijs
van Prop.2.14). Voor f, g in L2 die limieten zijn van rijen {fn } resp. {gn } van L2 -functies, is
verder het inwendig product gedefinieerd als hf, gi = limn→∞ hfn , gn i.
Voor een distributie u kunnen we een zwakke of distributie-afgeleide definiëren: laat eerst g ∈ L2 (R)
een gewone continu differentieerbare functie zijn en φ een testfunctie. Dan is
Z ∞
Z ∞
0
0
hg , φi =
g (x)φ(x)dx = −
g(x)φ0 (x) = −hg, φ0 i.
−∞
−∞
We definiëren nu voor een willekeurige distributie v de distributie-afgeleide van v als de distributie
v 0 waarvoor geldt dat hv 0 , φi = −hv, φ0 i voor een willekeurige testfunctie φ.
d
Voorbeelden: (we schrijven dx
voor de zwakke afgeleide):
d
i. dx |x| = sgn(x) = 2θ(x) − 1.
d
θ(x) = δ(x).
ii. dx
16
iii.
d
dx
ln |x| = P (1/x). De Cauchy-hoofdwaarde P (1/x) van 1/x is de distributie gedefinieerd door
Z ∞ Z −²
φ(x)
+
hP (1/x), φi = lim
dx voor φ ∈ S.
²↓0 ²
−∞ x
n
1 als x > 0
Hierbij is θ(x) =
de Heaviside-functie. We tonen (ii.) en (iii.) aan. Laat φ een
0 als x < 0
testfunctie zijn. Dan is
Z
Z ∞
hθ0 , φi = −hθ, φ0 i = −
θ(x)φ0 (x)dx = −
φ0 (x)dx = φ(0) = hδ, φi.
R
0
Verder is
d
h ln |x|, φi = −hln |x|, φ0 i = −
dx
Z
ÃZ
∞
−∞
ln |x|φ (x)dx = − lim0
= lim0 ln(²)φ(²) − ln(²0 )φ(−²0 ) +
²↓0,² ↓0
²
Z
∞
−²0
+
²
−²0
!
+
²↓0,² ↓0
ÃZ
Z
∞
0
−∞
ln |x|φ0 (x)dx =
−∞
!
φ(x)
dx.
x
Kies nu ² = ²0 . Aangezien φ(²) − φ(−²) = O(²) voor ² → 0 en lim²↓0 ² ln ² = 0, is
d
h ln |x|, φi = lim
²↓0
dx
µZ
Z
∞
−² ¶
+
²
−∞
φ(x)
dx =: hP (1/x), φi.
x
De limiet van een rij distributies kan als volgt worden gedefinieerd: laat {un }∞
n=1 een rij distributies
zijn zodat {hun , φi} voor elke testfunctie φ een fundamentaalrij is. Dan is de limiet u = limn→∞ un
de distributie waarvoor geldt dat hu, φi = limn→∞ hun , φi. Deze definitie komt in het geval van
een convergente rij functies overeen met de limiet van de rij. Een belangrijk
voorbeeld is het
½
1
n als |x| < 2n
volgende: laat de rij functies {δn : R → R} gegeven zijn door δn (x) =
1 . Laat φ
0 als |x| > 2n
een testfunctie zijn. Dan is lim hδn , φi = φ(0) = hδ, φi. Immers is φ(x) = φ(0) + xψ(x) waarbij ψ
n→∞
continu is en i.h.b. is |ψ(x)| < M als |x| < 1 voor zekere M . Dan is
Z
Z
1/2n
hδn , φi = n
1/2n
φ(x)dx = φ(0) + n
−1/2n
xψ(x)dx
−1/2n
en de laatste term gaat naar 0 als n → ∞. De δ-distributie is dus de limiet van de rij functies
{δn }∞
n=1 . Een dergelijke rij heet een deltarij. Een ander voorbeeld van een deltarij is de rij functies
1 sin nx ∞
{fn (x) =
}n=1 .
π x
R
Als f : R → C absoluut integreerbaar is (d.w.z. R |f (x)|dx bestaat en is eindig), dan is de
Fourier-getransformeerde F(f ) = fˆ van f gedefinieerd als
Z ∞
f (x)e−ixy dx.
(2.6)
fˆ(y) =
−∞
Als f continu is op R dan geldt de omkeerformule
Z
1
f (x) =
fˆ(y)eixy dy.
2π R
17
(2.7)
voor elkeRx waar f links- en rechtsdifferentieerbaar is. (Strict genomen moet in (2.7) de hoofdwaarde
n
limn→∞ −n worden genomen. In het geval dat f voldoende glad is en de afgeleiden f 0 , f 00 zelf
absoluut integreerbaar zijn is fˆ zelf absoluut integreerbaar en de integraal in (2.7) convergeert dan.
I.h.b. geldt de omkeerformule in het geval dat f een testfunctie is. Laat nu φ een testfunctie zijn
en f absoluut integreerbaar op R. Dan geldt
Z
∞
1
hf, φi :=
f (x)φ(x)dx =
2π
−∞
1
=
2π
Z
∞
Z
∞
f (x)e−ixy dxφ̂(y)dy
−∞
−∞
Z
∞
Z
−∞
1
=
2π
∞
f (x)φ̂(y)eixy dy dx =
−∞
Z
∞
1 ˆ
fˆ(y)φ̂(y)dy =
hf , φ̂i.
2π
−∞
Voor een distributie u definiëren we nu de Fouriergetransformeerde û door
hû, φ̂i = 2πhu, φi
voor een willekeurige testfunctie φ.
Voorbeeld. Laat u(x) = eiax voor a ∈ R. u is niet absoluut integreerbaar en niet kwadratisch
integreerbaar maar u is als distributie op te vatten. Voor een testfunctie φ is
Z
∞
hu, φi =
φ(x)e−iax dx = φ̂(a) = hδa , φi
−∞
en dus is F(eiax ) = 2πδa . Analoog kunnen we eenvoudig aantonen dat F(δa )(y) =
1 −iay
e
.
2π
Op dezelfde wijze kunnen deltafuncties in meer dimensies worden gedefinieerd. We gaan dan uit
van de Hilbertruimte L2 (Rn ) en nemen voor de lineaire deelruimte van testfuncties S opnieuw de
C ∞ -functies met compacte drager, resp. de C ∞ -functies zodat alle partiële afgeleiden van orde
O(kxk−m ) zijn (met m > 0 willekeurig groot) als kxk → ∞. Een voorbeeld is het volgende: laat Σ
een oppervlak in R2 zijn. Dan is voor φ ∈ S een oppervlakte-delta-distributie δΣ gedefinieerd als
Z
hδΣ , φi =
φ(x)dA(x)
Σ
de oppervlakte-integraal van φ over Σ.
18