(2Y650) op dinsdag 10 maart

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Bij ieder onderdeel van een open vraag dient U uw antwoord dus
goed te beargumenteren.
De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alléén de antwoorden in het
aangegeven kader worden ingevuld. Bij een kort-antwoord vraag is een nadere uitwerking
dus niet nodig. Het vel met kort-antwoord vragen dient U aan het einde van het tentamen
in het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam,
identiteitsnummer en studierichting.
Bij dit tentamen mag U alleen gebruik maken van schrijf- en tekengerei, alsmede van een
eenvoudige niet-grafische en niet-programmeerbare rekenmachine. Het gebruik van enig ander hulpmiddel is niet toegestaan.
Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
1a:
1b:
1c:
1d:
3
3
3
3
punten
punten
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
2a:
2b:
2c:
2d:
4
2
2
2
punten
punten
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
3a:
3b:
3c:
3 punten
3 punten
3 punten
Opgave
Opgave
Opgave
4a:
4b:
4c:
3 punten
3 punten
3 punten
Opgave
Opgave
Opgave
5a:
5b:
5c:
3 punten
3 punten
3 punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
6a:
6b:
6c:
6d:
6e:
2
3
2
3
3
punten
punten
punten
punten
punten
Opgave
7:
3 punten
Opgave
Opgave
8a:
8b:
3 punten
3 punten
Opgave
9:
3 punten
Opgave
Opgave
10a:
10b:
3 punten
3 punten
Uw tentamenresultaat wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door acht te delen,
en af te ronden naar het dichtstbijzijnde gehele getal.
1
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
Open vragen
1.
Beschouw in IR3 de punten P = (1, 2, 0)T , Q = (2, 1, 1)T en R = (0, 2, 3)T . Zij ℓ de lijn
door de punten P en Q.
(a) Geef een parametervoorstelling van de lijn ℓ.
Zij V het vlak door het punt R, loodrecht op de lijn ℓ.
(b) Bepaal een vergelijking van het vlak V .
Zij W het vlak in IR3 door de punten P , Q en R.
(c) Geef een parametervoorstelling van het vlak W .
(d) Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van V en W .
2.
Gegeven zijn de volgende matrix A en vector b:

3
0
 2
1
A=
 1
1
1 −1

6
2 −8
3
1 −1 
,
1
2
0 
3 −1 −5


14
 9 

b=
 11  .
−3
(a) Bepaal de algemene oplossing van de vergelijking Ax = b.
(b) Geef een basis van N (A), de nulruimte van A.
Zij W de verzameling van alle vectoren c ∈ IR4 , zó dat de vergelijking Ax = c een
oplossing heeft.
(c) Laat zien dat W een deelruimte is van IR4 .
(d) Bepaal een basis van W . Motiveer uw antwoord.
3.
Beschouw de 3 × 3

1 α

A= α 4
1 α
matrix

1
α ,
1
met α ∈ IR.
(a) Voor welke waarde(n) van α geldt rang(A) = 1? Motiveer uw antwoord.
(b) Voor welke waarde(n) van α geldt rang(A) = 2? Motiveer uw antwoord.
(c) Voor welke waarde(n) van α is de matrix B = 2I + A niet inverteerbaar?
zie volgende pagina
2
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
4.
In de vectorruimte IR3 zijn de volgende vectoren gegeven:
 
 
 
1
0
1
v 1 = 3 , v 2 = 3 , v 3 = 0 .
0
1
1
(a) Laat zien dat S = {v 1 , v 2 , v 3 } een basis is van IR3 .
Zij T = {w 1 , w 2 , w 3 } een andere basis van IR3 , en veronderstel dat de overgangsmatrix
PT ←S gegeven wordt door
PT ←S


1 1 1
= 2 1 1 .
0 2 1
(b) Bepaal de vectoren w 1 , w2 , en w3 .
 
1
Van de vector u ∈ IR3 zijn de coördinaten t.o.v. basis T gegeven door [u]T = 0.
2
(c) Bepaal de coördinaten [u]S van de vector u t.o.v. basis S.
5.
 
 
1
2
In IR3 beschouwen we de vectoren v = 1 en w = 3. Zij ℓ de lijn door de oorsprong
0
2
met richtingsvector v, d.w.z. ℓ = hvi.
(a) Bepaal de loodrechte projectie van w op hvi.
Zij U = hv, wi de deelruimte van IR3 opgespannen door de vectoren v en w.
(b) Bepaal een orthogonale basis van U .
(c) Breid de onder (b) gevonden basis van U uit tot een orthogonale basis van IR3 .
z.o.z.
3
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
6.


−5
1 1
Gegeven is de matrix A =  0 −1 4 .
0
2 1
(a) Bepaal alle eigenwaarden van A.
(b) Bepaal bij iedere eigenwaarde van A de bijbehorende eigenvectoren.
(c) Geef de eigenwaarde-decompositie van A, d.w.z. bepaal een diagonaalmatrix Λ en
een inverteerbare matrix S zó dat A = SΛS −1 .
(d) Bepaal eAt .
(e) Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking
 
3
ẋ(t) = Ax(t) + e2t 5 .
0
zie volgende pagina
4
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
Naam en voorletters: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identiteitsnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studierichting: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort-antwoord vragen
7.

1
7
Gegeven is de matrix A = 
0
0
2
1
7
0
0
2
1
7

0
0
. Bereken det(A).
2
1
Antwoord:
8.
Zij A1 een reële 4 × 4 matrix met det(A1 ) = 3, en A2 een reële 4 × 3 matrix met
rang(A2 ) = 2. Definieer de 4 × 7 matrix A door A = (A1 | A2 ).
(a) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
(b) Bepaal de rang van AT .
Antwoord:
9.
Zij B een 3 × 3 matrix met eigenwaarden 1, 2 en 3, en U een orthogonale 3 × 3 matrix.
Bereken det(2U B 2 U T ).
Antwoord:
z.o.z.
5
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op dinsdag 10 maart 2009, 9.00 –
12.00 uur.
10. Zij B een reële 2 × 2 matrix met eigenwaarden 3 en 4. De matrix C is gedefinieerd door
C = B 2 + 2B − 4I.
(a) Bepaal alle eigenwaarden van C.
Antwoord:
Van de 2 × 2 matrix A is gegeven dat A twee verschillende eigenwaarden heeft, en dat
A2 − 7A + 10I = 0.
(b) Bepaal alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
6