wiskunde analyse

WISKUNDE
ANALYSE
2016-2017
Rudy De Wever
6 ECWI-WEWI 6/8
Inhoud
1.
HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE ...................... 1
1.1. Definitie afgeleide in een niet-geïsoleerd punt van het domein ........................ 1
1.2. Rekenregels ........................................................................................................ 2
1.3. Herhalingsoefeningen ......................................................................................... 3
2.
DIFFERENTIAAL EN ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN REËLE
FUNCTIE ......................................................................................... 4
2.1. Differentiaal van een reële functie ..................................................................... 4
2.1.1. Inleidend voorbeeld ......................................................................................... 4
2.1.2. Algemene afleiding, definitie ............................................................................. 6
2.1.3. Opmerkingen ................................................................................................... 8
2.1.4. Rekenregels voor het differentiëren ................................................................ 10
2.1.5. Oefeningen ................................................................................................... 11
2.2. Onbepaalde integraal: stamfuncties ................................................................. 13
2.2.1. Inleidende voorbeelden .................................................................................. 13
2.2.2. Definities, notaties, eigenschap, opmerkingen ................................................. 14
2.2.2.1 Definities ........................................................................................... 14
2.2.2.2 Notaties ............................................................................................. 14
2.2.2.3 Eigenschap ........................................................................................ 14
2.2.2.4 Opmerkingen ..................................................................................... 15
2.2.3. Fundamentele onbepaalde integralen .............................................................. 16
2.2.4. Algemene integratietechnieken ....................................................................... 17
2.2.4.1 Methode 1: Integratie door splitsing .................................................... 17
2.2.4.2 Methode 2: Integratie door substitutie ................................................. 20
2.2.4.3 Methode 3: Partiële integratie (PI) ....................................................... 28
2.2.5. Oefeningen ................................................................................................... 32
3.
BEPAALDE INTEGRAAL ................................................................ 45
3.1. Begrensde deelverzamelingen in IR ................................................................. 45
3.1.1. Voorbeelden .................................................................................................. 45
3.1.2. Definities ....................................................................................................... 46
3.1.3. Opmerkingen ................................................................................................. 46
3.1.4. Eigenschappen .............................................................................................. 47
3.2. Ondersommen, bovensommen en Riemannsommen ....................................... 50
3.2.1. Definitie, meetkundige betekenis .................................................................... 50
3.2.1.1 Inleidend voorbeeld ............................................................................ 50
3.2.1.2 Definities ........................................................................................... 54
2
3.2.1.3 Meetkundige betekenis ....................................................................... 55
3.2.2. Eigenschappen, opmerkingen ......................................................................... 56
3.2.2.1 Inleidende opmerkingen ..................................................................... 56
3.2.2.2 Eigenschappen ................................................................................... 56
 a,b 
3.3. Bepaalde integraal in CIR 
.......................................................................... 58
3.3.1. Definitie, meetkundige betekenis, opmerkingen ............................................... 58
3.3.2. Eigenschappen .............................................................................................. 61
3.4. Oppervlakte van willekeurige vlakdelen........................................................... 69
3.4.1. Algemene formules ........................................................................................ 69
3.4.1.1 Oppervlakte van een vlakdeel begrensd door een functie en de X-as over
een bepaald interval ........................................................................... 69
3.4.1.2 Oppervlakte van een vlakdeel begrensd door 2 functies ........................ 69
3.4.2. Oppervlakte van elementaire vlakke figuren .................................................... 70
3.4.2.1 Trapezium, parallellogram, rechthoek, vierkant en driehoek .................. 70
3.4.2.2 Cirkelschijf en cirkeldelen .................................................................... 71
3.5. Oneigenlijke integralen .................................................................................... 74
3.5.1. Convergerende oneigenlijke bepaalde integraal ............................................... 74
3.5.2. Divergerende oneigenlijke bepaalde integralen ................................................ 76
3.6. Toepassing op bepaalde integraal: ERB en EVRB ............................................. 77
3.6.1. Inleiding ........................................................................................................ 77
3.6.2. Eenparig rechtlijnige beweging (ERB) .............................................................. 78
3.6.3. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)............................................. 78
3.6.4. Economische toepassing................................................................................. 80
3.7. Oefeningen ........................................................................................................ 84
4.
LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES ........................ 94
4.1. Logaritmische functies ...................................................................................... 94
4.1.1. Inleiding ........................................................................................................ 94
4.1.1.1 Rekenen met rationale exponenten...................................................... 94
4.1.1.2 Algemene vorm van een logaritmische functie L ................................... 98
4.1.2. De natuurlijke logaritmische functie .............................................................. 100
4.1.2.1 Definitie, opmerkingen ...................................................................... 100
4.1.2.2 Eigenschappen, het getal e ............................................................... 101
4.1.2.3 Grafiek van de natuurlijke logaritmische functie .................................. 105
4.1.3. Willekeurige logaritmische functie met grondtal a .......................................... 106
4.1.3.1 Inleiding .......................................................................................... 106
4.1.3.2 Definitie, opmerkingen ...................................................................... 106
4.1.3.3 Eigenschappen en grafiek van een willekeurige logaritmische functie ... 107
4.1.4. Oefeningen ................................................................................................. 109
4.2. Exponentiële functies. Machten met reële exponenten ................................. 113
3
4.2.1. Inleiding ...................................................................................................... 113
4.2.2. Definitie, opmerkingen ................................................................................. 114
4.2.3. Eigenschappen ............................................................................................ 115
4.2.4. Grafiek van exponentiële functies ................................................................. 116
4.2.5. Oefeningen ................................................................................................. 117
4.3. Toepassingen van logaritmische en exponentiële functies ............................ 121
4.3.1. Limieten van logaritmische en exponentiële functies ...................................... 121
4.3.2. Verloop van logaritmische en exponentiële functies ........................................ 123
4.3.3. Logaritmische en exponentiële vergelijkingen ................................................ 129
4.3.4. Functies waarvoor geldt dat afgeleide recht evenredig is met functiewaarde ... 131
4.3.5. Onbepaalde integralen ................................................................................. 132
4.3.6. Oefeningen ................................................................................................. 133
5.
AANVULLENDE INTEGRATIETECHNIEKEN ................................ 140
5.1. Rationale functies ........................................................................................... 140
5.1.1. Algemene inleiding ....................................................................................... 140
5.1.2. Partiële breuken .......................................................................................... 141
5.1.2.1 Definities, opmerkingen .................................................................... 141
5.1.2.2 Stelling van Jacobi ............................................................................ 141
5.1.2.3 Voorbeelden: Berekening van partiële breuken ................................... 142
5.1.2.4 Voorbeelden van integratie van partiële breuken ................................ 145
5.1.2.5 Integratie van partiële breuken (theoretische afleiding) ...................... 146
5.1.2.6 Opmerkingen ................................................................................... 148
5.1.3. Oefeningen ................................................................................................. 151
5.2. Goniometrische functies ................................................................................. 153
5.2.1. Type 1: De elementaire goniometrische functies ............................................ 153
 sin u  cos u  du m,n   ............................................... 155
Type 3:  R  tan x   dx (Rationale functie van tan x) ................................. 159
Type 4:  cos ax  cos bx  dx
 sin ax  sinbx  dx  sin ax  cos bx  dx
m
5.2.2. Type 2:
5.2.3.
5.2.4.
a, b 
n
T
0
 a, b  IN0 ............................................................................... 161
5.2.5. Type 5: Type zonder naam
 R  sin x, cos x  dx ......................................... 163
5.2.6. Oefeningen ................................................................................................. 165
5.3. Irrationale functies ......................................................................................... 166
5.3.1. Type 1 ........................................................................................................ 166
5.3.2. Type 2: goniometrische substitutie................................................................ 171
5.3.3. Oefeningen ................................................................................................. 177
4
6.
TOEPASSINGEN VAN INTEGRAALREKENING ............................ 181
6.1. Oppervlakte van willekeurige vlakdelen......................................................... 181
6.2. Inhoud van willekeurige lichamen ................................................................. 181
6.2.1. Algemene formule........................................................................................ 181
6.2.2. Toepassingen .............................................................................................. 183
6.2.2.1 Prisma ............................................................................................. 183
6.2.2.2 (Afgeknotte) piramide ....................................................................... 184
6.2.3. Inhoud van omwentelingslichamen ............................................................... 186
6.2.3.1 Algemene formule ............................................................................ 186
6.2.3.2 Toepassingen ................................................................................... 187
6.3. Lengte van willekeurige krommen. Booglengte. ............................................ 189
6.3.1. Algemene formule........................................................................................ 189
6.3.2. Toepassing: cirkelboog ................................................................................. 190
6.4. Manteloppervlakte van omwentelingslichamen ............................................. 191
6.4.1. Algemene formule........................................................................................ 191
6.4.2. Toepassingen .............................................................................................. 193
6.4.2.1 Bolzone ............................................................................................ 193
6.4.2.2 Bol................................................................................................... 193
6.5. Toepassingen in andere disciplines ................................................................ 193
6.5.1. Fysica: valbeweging onder invloed van een veranderlijke kracht ..................... 193
6.5.2. Inkomensongelijkheid. Gini-coëfficiënt. ......................................................... 195
6.6. Oefeningen ...................................................................................................... 196
6.6.1. Inhoud ........................................................................................................ 196
6.6.2. Booglengte .................................................................................................. 197
6.6.3. Manteloppervlakte ....................................................................................... 198
6.6.4. Herhalingsoefeningen................................................................................... 199
5
1.
HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE
1.1.
Definitie afgeleide in een niet-geïsoleerd punt van het
domein
f : dom f  IR , a is een niet-geïsoleerd punt van het dom f
f '  a is de afgeleide van f in a
asa
f  x   f  a
f ' a   lim
xa
x a
 lim
f a  h  f a
h
h 0
 IR
Y
f
Q
f x
Q’
f x
Ta
P
f  a

x’
a
0
x
X
Meetkundige betekenis:
Indien
de
f '  a   lim
x a
afgeleide
f  x   f  a
xa
in
een
punt

P a,f  a

bestaat,
m.a.w.
indien
 IR dan is deze limiet eveneens gelijk aan de Rico van de raaklijn


aan de grafiek van f in P a,f  a , notatie: Ta .
f '  a is eveneens gelijk aan tan , met  de hellingshoek, ofwel de hoek die de raaklijn Ta
maakt met de X-as.
1
1.2.
Rekenregels
f  x   u , g  x   v , r  IR
r   0
'
x  1
'
u 
q
'
 q  uq1   u 
'
 sinu  cos u  u 
'
'
 cos u    sinu  u 
'
'
'
1
 u 
2
cos u
'
'
1
 cot u   sin2 u  u 
'
'
'
1
  u    Bg cos u 
Bg sinu  
1  u2
'
'
'
1
Bg tanu   1  u2  u    Bg cot u 
 tanu 
'

 f  x   g  x   f '  x   g '  x 
r  f  x   r  f  x 
 f  x   g  x   f '  x   g  x   g '  x   f  x 
'
'
'
'
 f x  f ' x  gx  g' x  f x

 
g
x
g2  x 




'
 g  f  x   g '  f  x   f '  x 
'
2
1.3.
Herhalingsoefeningen
Bereken de afgeleide van volgende functies:
1.
f(x)  sin3 (4x  1)
14.
f(x) 
x x x
2.
x2  4
f(x)  2
x 4
15.
f(x) 
1  tan x
1  tan x
3.
f(x) 
16.
f(x) 
4.
 x  2
f(x) 
2
 x  2
17.
f(x) 
18.

x 3  3x 2  4
x2
2
3
sin
x

cos
x

3
2
3
3
5
5.
f(x)  x  x
6.
2x
f(x) 
 4x 2  7x  3
x 1
7.
f(x) 
8.
f(x) 
sin x  cos x
sin x  cos x
9.
f(x) 
1  cos x
sin x
10.
f(x) 
1
3
x
x 3  x 2  Bgsin
2
2
3
11.
f(x) 
sin x  (4 cos 2 x  3)
2 cos 2 x
12.
f(x) 
13.
f(x) 
4x  1
3x  2
cos(x  3)3
x3
f(x)  1  x
2


2
x  1  x



1
2



1
x 2  6x  1
4(x  1)
19.
f(x) 
20.
f(x)  Bg tan
3
1
2
1 x
1 x
4(1  x)(1  4x)
2x(1  x)
1
3
Bg tan
x 3
1  x2
3
2.
DIFFERENTIAAL EN ONBEPAALDE INTEGRAAL
VAN EEN REËLE FUNCTIE
2.1.
Differentiaal van een reële functie
2.1.1.
Inleidend voorbeeld
Bereken (zonder rekentoestel) een “zo nauwkeurig mogelijke” benadering van
11
(op 2 decimalen nauwkeurig).
Beschouw f  x   x . Onze opdracht komt dus neer op het berekenen van f 11  11 .
We kiezen een x-waarde zo dicht mogelijk in de buurt van 11, die we “a” noemen, en
waarvan we f  a kennen. We kiezen a = 9, want f  9  9  3 kennen we uit het hoofd.
Intuïtief weten we dat de te benaderen waarde tussen 3 en 4 ligt en dichter bij 3 dan bij 4.
x  x  a  11  9  2
Y
Ta  g
f  a  x   f 11   ?
f  a  g  a 
f x  x
 f g
9 3
1
0
1
11  a  x
a9
X
x
f  a  x   f  a  f  g  a  f of
11  9  f  3  f  g  9  f . Het komt er dus op
neer om de waarde van f te bepalen. We construeren een raaklijn in het gekende punt a
en noemen deze eerstegraadsfunctie g. We benaderen f  a  x   f 11  11
door
g  a  x   g 11 omdat g een makkelijker functievoorschrift heeft en functie g (raaklijn) in
4
de buurt van a een goede benadering vormt voor f. We benaderen f door g . Het verschil
tussen f en g is onze gemaakte benaderingsfout. In onze grafiek zien we dat onze
benadering te groot zal zijn (dit omdat f concaaf of bol is in de buurt van a).
11  3  f  3  g met g  g 11  g  9
We kunnen eenvoudig het functievoorschrift van g bepalen. We kennen reeds 1 punt van


deze rechte nl. a,f  a   9,3 . De richtingscoëfficiënt van g = f '  a  f '  9 .
f 'x 
 x   2 1x
 g:
y  f 9  f ' 9   x  9
'
 f ' 9 
1
2 9

1
6
1
  x  9
6
1
3
y  x   gx
6
2
y 3 
 g  g 11  g  9  
 11  3 
1
3 1
3 1
 11    9  
6
2 6
2 3
1
 3, 33
3
Op basis van onze grafiek weten we dat onze benadering “te groot” is, maar we kunnen dit
ook op een andere manier uitzoeken. Als we het teken van de tweede afgeleide van f


kennen in de buurt van het gekende punt a,f  a   9,3 weten we of onze functie daar
convex of concaaf is (een holle of bolle zijde vertoont). Indien de tweede afgeleide van f in
de buurt van het gekende punt positief is, zal de benaderende raaklijn onder de grafiek van f
liggen en is onze benadering “te klein”. Indien de tweede afgeleide van f in de buurt van het
gekende punt negatief is, zal de benaderende raaklijn boven de grafiek van f liggen en is
onze benadering “te groot”.
f ''  x  
 x
''
'
 1 
1

 
2 x 
4 x3
f” is voor alle strikt positieve x-waarden negatief, dus ook voor x-waarden in de buurt van 9.
Dit bekent (zoals we reeds wisten uit de grafiek) dat f concaaf (bolle zijde) is over haar
domein ( IR  ). Onze benadering is dus “te groot”.
Indien we dit controleren met onze ZRM bekomen we inderdaad
11 =3,31662479035540
 3,32  3,33 .
5
2.1.2.
Algemene afleiding, definitie
Gegeven:
f : A  IR  IR : x
f x
a  dom f '  f is afleidbaar in a  grafiek van f bezit een raaklijn Ta in  a, f  a  
f is continu over a, a  x 
Gevraagd: Benadering voor f  a  x  .
Y
f
f  a  x  ?
onze fout !!
g  a  x 
f  a  g  a !
g
0
a
X
We berekenen een benadering van f  a  x  omdat f een “te moeilijk” voorschrift heeft (d.w.z.
uit het hoofd kunnen we niet alle functiewaarden berekenen). We gaan daarom f benaderen
door g , want g is een functie met een “makkelijk” voorschrift, nl. een eerstegraadsfunctie
(raaklijn Ta ).
f  f  a  x   f  a
(= )
g  g  a  x   g  a
(= )
g  Ta : y  f  a  f ' a x  a
 y  f '  a x  a  f  a
g x 
6
 g  g  a  x   g  a 
 f '  a  a  x  a   f  a   f '  a  a  a   f  a 
0
 f '  a   x
 f  a  x 

f  a   f

f  a   g

f  a   f '  a   x
De raaklijn Ta is een goede benadering van f in een “voldoende kleine” omgeving van a. De
differentie of aangroei f van f in a bij een toename x kunnen we dus benaderen door de
overeenkomstige differentie van g in a bij een toename x , nl. g .
g  f '  a x
Definitie:
Dit getal g noemen we de differentiaal van f in a bij een differentie x van x in a.
Notatie: df a  g  f ' a   x
7
2.1.3.
Opmerkingen


1. Algemeen noteren we in een willekeurig punt x, f  x   dom f '
df  x   dy  f '  x   x
2. Nemen we f  1IR : IR  IR : x
f(x)  1IR  x   x
Y
=f= raaklijn in x
fout = 0 !!
x
0
x
X
df  x   d1IR  x   dx  f '  x   x 
"
dx
 x
"
differentiaal van de identieke functie
1
xIR
3. Wegens opmerking 2 kunnen we de differentiaal van een willekeurige functie f ook
uitdrukken met behulp van de differentiaal van de identieke functie:
df  x   f '  x   x  f '  x   dx
4. We kunnen de afgeleide van een functie f dus ook schrijven als een quotiënt van
differentialen:
df  x   f '  x   dx

f 'x 
cfr. Fysica v 
df  x 
dx
Leibniz  notatie 
dx
dv
en a 
dt
dt
De gemiddelde snelheid is de afgelegde weg gedeeld door het tijdsinterval:
8
v
x
t
Om over te gaan tot de ogenblikkelijke snelheid moeten we dit tijdsinterval “infinitisimaal”
klein nemen, met andere woorden t  0 :
x
dx
 x ' t 
t 0 t
dt
Ogenblikkelijke v  lim
We zien dus dat de ogenblikkelijke snelheid overeenkomt met de afgeleide van de functie
die de afgelegde weg uitdrukt in functie van de tijd naar de tijd.
De gemiddelde versnelling is de verandering van de snelheid gedeeld door het tijdsinterval:
a
v
t
Om over te gaan tot de ogenblikkelijke versnelling moeten we dit tijdsinterval “infinitisimaal”
klein nemen, met andere woorden t  0 :
v
dv
 v ' t 
x 0 t
dt
Ogenblikkelijke a  lim
We zien dus dat de ogenblikkelijke versnelling overeenkomt met de afgeleide van de functie
die de snelheid uitdrukt in functie van de tijd naar de tijd.
5. De voorwaarde f continu op a, a  x  is noodzakelijk omdat er anders sprongen in de
grafiek van f kunnen voorkomen, waardoor de benadering niet nauwkeurig genoeg is.
6. De gevonden benadering  g  df voor  f is ofwel te groot of te klein al naargelang van
het teken van f ''(x) .
f ''  x   0
f ''  x   0
9
2.1.4.
Rekenregels voor het differentiëren
d r   0
 q  IQ 
dx  1
 
d x q  q  x q1  dx
d  sin x   cos u  dx
d  cos x    sin x  dx
1
 dx  sec 2 x  dx
2
cos x
1
d  cot x  
 dx   csc 2 x  dx
sin2 x
1
d Bg sin x  
 dx  d  Bg cos x 
1  x2
1
d Bg tan x  
 dx  d  Bg cot x 
1  x2
d  f  g   df  dg
d  tan x  
d  r  f   r  df
d  f  g   df  g  f  dg
 f  df  g  dg  f
d  
g2
g
d  f  g  f  dg  g  df
Bewijs:
Stel x  dom f '  dom g'
d  f  g  x 

 f  g  x  dx
 f '  x  g  x   g '  x  f  x   dx
f '  x  g  x  dx  g '  x  f  x  dx
f '  x  dx g  x   g '  x  dx f  x 

df  g  dg  f



'
q.e.d.
UOVT: bewijs alle andere rekenregels
10
2.1.5.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken de differentiaal van de volgende functie f van IR naar IR gedefinieerd door y=f(x).
1.
y = x 3  3x 2  5x  7
2.
y = 3x 2  (5  2x 2  x 3 )
3.
y = (x 2  2x  3)10
4.
y=
5.
y=
x3  x
6.
y = cos(1  x 2 )
7.
y=
sin x
1  cos x
8.
y=
9.
y = cos 2x  sin3x
10.
y = Bg sin
11.
y = Bg tan
12.
y = Bg sin
3
x
1  x2
x 4  x2  1
Bg tan x
ax
ax
x
a2  x 2
Oefening 2:
Gebruik de differentiaal om een benadering van de volgende getallen te berekenen. Kies
daartoe op gepaste wijze een functie, een argument van het domein, een differentiewaarde.
Ga tevens na of je benadering te groot of te klein is.
1.
36,1
2.
5. tan  40
48
3.
6. sin  31
3
4. cos 0,15
124
7. Bgsin  0, 48
8. csc 59
Oefening 3:
Bepaal de functie f als “dy=df” gegeven is.
1.
df(x)  (x 2  x  1) dx
3.
df(x) 
5.
df(x) 
1
cos x dx
4
1
2 x
dx
2.
df(x)  (2x  3) dx
4.
df(x) 
6.
df(x) 
1
sin 3x dx
3
5
1  x2
dx
Oefening 4:
Bewijs volgende gelijkheden door toepassing van de definitie van de onbepaalde integraal.
1.
 (x
3
 2x 2  4)  dx 
1 4 2 3
x  x  4x  c
4
3
11
2.
 (x
2
1
 5)3 x dx   (x 2  5)4  c
8
3x  1
1
dx 
c
2
2
(3x  2x  1)
2  (3x  2x  1)
3.




4.




5.




6.
 sin x  cos x dx   4 cos 2x  c
7.




2
2x  1
2
x  x 1
dx  2 x 2  x  1  c
2
x 1
dx 
c
2
x 1
(x  1)
1
sin x  x  cos x
x
dx 
c
2
sin x
sin x
12
2.2.
Onbepaalde integraal: stamfuncties
2.2.1.
Inleidende voorbeelden
Zoek alle functies met als afgeleide …
3x 2  6x  2
2
x2
sin3x
1
4  9x 2
Bg sin 3x
2 1  9x 2
13
2.2.2.
2.2.2.1
Definities, notaties, eigenschap, opmerkingen
Definities
f : dom f  IR  IR
F : dom F  IR  IR
F is een stamfunctie (of primitieve functie) van f
asa
F'  f


d F  x   F '  x  dx  f  x  dx
De onbepaalde integraal van f is de verzameling van de stamfuncties van f
2.2.2.2
1.
Notaties
 f  x  dx
 f  x  dx  F F is een stamfunctie van f
We noteren de onbepaalde integraal als
met
en f  x  dx de differentiaal van een functie
en f  x  de integrand of de te integreren functie
2.

is het integraalteken. Dit teken (een uitgerekte letter S) komt van de gotische
letter s, de eerste letter van “som”. De historische betekenis van dit symbool zal
duidelijk worden in hoofdstuk 3 (bepaalde integraal).
2.2.2.3
Eigenschap
f : I  IR  IR : x
f x
I convex deel van IR
F en G zijn stamfuncties van f

 c  IR, x  I : G  x   F  x   c
In woorden: stamfuncties van “eenzelfde” functie zijn op een constante na gelijk.
UOVT: Ga na waarom I een convex deel van IR moet zijn.
14
Bewijs:
F en G zijn stamfuncties van f
 x  I : G'  x   F'  x 
 x  I : G'  x   F'  x   0
 x  I : G  F '  x   0
 c  IR,  x  I :  G  F  x   c
 c  IR,  x  I : G  x   F  x   c
 c  IR,  x  I : G  x   F  x   c
2.2.2.4
q.e.d.
Opmerkingen
1. Als F een stamfuncties is van
representant van
f : I  IR  IR , dan is F  x   c
een algemene
 f  x  dx , wegens de vorige eigenschap die zegt dat alle stamfuncties
van een zelfde functie f slechts op en constante na verschillen. We noteren:
 f  x  dx  F

F is een stamfunctie van f = F  x   c met c  IR .
We noemen c de integratieconstante.
2. Grafisch betekent dit dat alle stamfuncties van f verkregen worden door de grafiek van F
evenwijdig met de Y-as te verschuiven of “in de lift te zetten”.
3. We mogen c berekenen op een goed gekozen (lees: makkelijk te berekenen) plaats en
dan overal gebruiken, want die c is toch overal dezelfde.
 c  IR,  x  I   x  I,  c  IR
4. Uit dF  x   F'  x  dx  f  x  dx volgt dat

 dF  x    f  x  dx  F  x   c
(*)

Ook geldt  c  IR : d F  x   c  dF  x   f  x  dx , wat we kunnen noteren als:
d f  x  dx  f  x  dx (**)

15
Uit (*) en (**) blijkt dat d en

elkaar wederzijds opheffen, m.a.w. dat
differentiëren en integreren omgekeerde operaties zijn.
2.2.3.
Fundamentele onbepaalde integralen
1
 x q1  c
q 1
 1  dx  x  c
x
 cos x dx  sin x  c
 sin x dx   cos x  c
1

dx  tan x  c

 cos 2 x
 1 dx  Bg sin x  c  Bg cos x  c

 1  x2
1

 2 dx   cot x  c
 sin x
x
Bewijs:
q
 dx 
q
 dx 
1

dx  Bg tan x  c  Bg cot x  c

 1  x2
1
 x q1  c
q 1
 1

1
d
 x q1  
  q  1  x q dx  x q dx
q

1
q

1


UOVT: Bewijs de andere rekenregels.
Opmerkingen:
1.
x
q
 dx 
1
1
 x q1  c geldt niet voor q = -1, want dan is
niet gedefinieerd. We
q 1
q 1
1
kunnen “momenteel” 
 dx niet oplossen.
x
 1 dx  Bgsin x  c  Bgcos x  c
 1  x2
2. 
  c  IR,  x  1,1 : Bgsinx   Bgcos x  c
We berekenen c op een goed gekozen plaats, nl. x = 0: Bgsin 0  Bgcos 0  c
0


c  c 
2
2
 x  1,1 : Bgsin x  Bgcos x 

2
16
2.2.4.
Algemene integratietechnieken
Sommige eenvoudige onbepaalde integralen kunnen we onmiddellijk bepalen door het
toepassen van de fundamentele of elementaire integratieformules. We noemen dit
onmiddellijke integratie.
Voorbeelden:
1
x dx  
 x 2 dx 
3
2 2
2 3
x c 
x c
3
3
1.

2.
1
1
1

 x 5dx   x 4  c   4  c
 5 dx  
4

x
4x
3..

4..
1
2
 x  x3
 x3

3 3
3
 x x
3 dx 
dx

dx

dx

x
x
 c  3 x2  c



2
2
2

 x
2
2
 x
x


5

3
x 3 dx  x 5 dx 
3
2
8
5 5
5
x  c  5 x8  c
8
8
2
5
De meeste onbepaalde integralen zijn echter niet onmiddellijk in één van de fundamentele
integratieformules te gieten. In wat volgt gaan we na of er rekenregels bestaan om de som,
het reëel veelvoud, het product , het quotiënt of de samenstelling van functies te berekenen,
net zoals bij het berekenen van de afgeleide van functies het geval was.
2.2.4.1
Methode 1: Integratie door splitsing
Voor het berekenen van de afgeleide van functies geldt dat de afgeleide van een som gelijk
is aan de som van de afgeleide van iedere term. We gaan na of dit voor het berekenen van
de onbepaalde integraal ook geldt. We gaan m.a.w. na of volgende gelijkheid opgaat:
??
  f  g x  dx   f  x  dx   g  x  dx
17
Bewijs:
F is een stamfunctie van f en G is een stamfunctie van g

F + G is een stamfunctie van f+g , want F  G '  F' G'  f  g
 f  x  dx  F  x   c
1
 g  x  dx  G  x   c
 f  x  dx   g  x  dx
2

F  x   c1  G  x   c 2

F x  Gx  c

F  G  x   c

  f  g x  dx
q.e.d

  f  g x  dx   f  x  dx   g  x  dx
Op analoge manier kunnen we bewijzen dat (net zoals bij afgeleide) de onbepaalde integraal
van een reëel veelvoud (verschillend van nul) van een functie gelijk is aan het reëel veelvoud
van de onbepaalde integraal van die functie.

 r  f  x  dx  r   f  x  dx
r  IR 0 
Bewijs: UOVT
Samengevat betekent dit dat de onbepaalde integraal


lineair is:
 r  f  s  g x  dx  r   f  x  dx  s   g  x  dx
Met deze lineariteitseigenschap wordt het integreren van een veeltermfunctie heel
eenvoudig. Algemeen wordt het integreren door gebruik te maken van de lineariteit van

integratie door splitsing genoemd, omdat we iedere term apart zullen nemen en apart
zullen integreren.
18
Voorbeelden:
1.

 x3

 x2

3x 2  2x  6 dx  3 x 2 dx  2 x dx  6 1dx  3 
 c1   2 
 c 2   6  x  c 3 
 3

 2





 x 3  x 2  6x  3c1  2c 2  6c 3
c
5
2.
3
1
 x 3  5x 2  7 dx   x 3 dx  5 x 2 dx  7 dx   x 2 dx  5 x 2 dx  7 x  2 dx








 x 
x

 x
 x
7
5
1
2 2
2
x  5  x 2  7  2x 2  c
7
5
2 7
2


x  2 x 5  14 x  c  x   x 3  2x 2  14   c
7
7





3.
2
2
 3x  4 dx  3 x  1  1 dx  3 dx   dx  3x  Bg tan x  c
 2

 2

 x 1

x2  1
 x 1

4.
  cos x  sin x  dx   cos xdx   sin xdx  sin x  cos x  c
5.
 tan2 x dx   sin2 x dx   1  cos2 x dx   1 dx  dx  tan x  x  c





 cos2 x
 cos2 x
 cos2 x

Andere manier:
  sec
2



x  1 dx  sec2 x dx  dx  tan x  x  c
19
2.2.4.2
Methode 2: Integratie door substitutie
2.2.4.2.1 Inleiding

In de inleidende voorbeelden (2.2.1.) vonden we dat
 sin3x dx
niet gelijk is aan
1
1
mogen we niet vergeten en is
 cos 3x  c , maar wel aan  cos 3x  c . De factor
3
3
afkomstig van de kettingregel bij het berekenen van de afgeleide van samengestelde
functies.
Een algemene manier om tot de goede oplossing te komen is om over te gaan tot een
Stel t  3x  dt  3dx 
nieuwe variabele.
1
1
1
dt  dx
3
1
 sin3x dx  3  sin t dt   3 cos t  c   3 cos 3x  c

 2x  1 dx    8x
3
 2x  1 dx
8
3

 12x 2  6x  1 dx  2x 4  4x 3  3x 2  x  c
op te lossen door de 8ste macht uit te rekenen en dan te splitsen vergt al
iets meer rekenwerk. We gaan na of er geen verband is met de fundamentele
onbepaalde integratieformule:
Jammer genoeg merken we dat
x
q
 dx 
1
 x q1  c
q 1
9
1
2x  1  c niet de correcte oplossing is, want:

9
'
9
8
1

 9  2x  1  c   2   2x  1 . We ontbreken (opnieuw) de factor 2 die afkomstig is van


de kettingregel bij de afgeleide van samengestelde functies.
Het correcte resultaat is dus:
1
 2x  1 dx  18 2x  1
8
9
c.
Indien we overgaan tot een nieuwe variabele of veranderlijke vinden we eenvoudig de
correcte oplossing:
Stel t  2x  1  dt  2 dx 
Onze opgave wordt dus:
1
dt  dx
2
1
 2x  1 dx  2  t
8
8
dt 
9
1 1 9
1
 t c 
2x  1  c

2 9
18
Deze vervanging of substitutie van x door de nieuwe variabele t steunt op de omkering
van de kettingregel.
20
2.2.4.2.2 Substitutieregel
F is een stamfunctie van f 
F'  f

 f  g  x   g'  x  dx   f  g  x  dg  x    f u du  F u  c  F  g  x   c
Bewijs:

d F gx

d F gx

d F gx

F  g  x  dx
'





F ' g  x   g'  x  dx





f g  x   g'  x  dx




F gx  c
 f  g  x    g'  x  dx

q.e.d.
2.2.4.2.3 Voorbeelden
1.
 cos 5x dx
Stel t  5x  dt  5dx 

1
dt  dx
5
1
1
1
 cos t dt   sin t  c   sin 5x  c
5
5
5

Opmerking:
Bij dergelijke eenvoudige onbepaalde integralen is het niet nodig om expliciet de
overgang naar de nieuwe variabele te noteren. We passen gewoon de differentiaal
aan.
2.

8x  6

 2x 2  3x  7

1
1
 cos 5x dx  5  cos 5 d 5x   5 sin5x  c

3
dx
Stel t  2x2  3x  7  dt   4x  3 dx
21
2
t 2
1
1
3
dt

2

t
dt

2

c   2 c  
3
2

2
t
t
2x  3x  7


3.



2
c
sin x

dx

 cos 3 x
Stel t  cos x  dt   sin x dx
1
t 2
1
1
3
dt


t
du


c  2 c 
c
3
2
t
2t
2  cos 2 x



Andere manier:
sin x
1

dx  
dx

 tan x 
3
 cos x

cos 2 x
Stel t  tan x  dt 

 t dt 
1
dx
cos 2 x
t2
1
 c   tan2 x  c .
2
2
Deze oplossing is op een constante na gelijk onze eerst gevonden oplossing
(UOVT: controleer)
4.
1

dx
 2
 a  x2
Deze onbepaalde integraal doet ons denken aan de elementaire formule:
dt

 Bg tan t  c . Mits een gepaste substitutie kunnen we onze opgave

 1  t2
omvormen tot deze fundamentele integraal.

1
1 
dx

dx  2
 2
2
2
a x
a 
x
1 
Stel t 
x
1
 dt  dx
a
a
a

1
dx
1
dt
1
1
x
a
 
 Bg tan t  c  Bg tan  c

2
2
a1 t
a
a
a
 1   x 

a
1
 
a
22
5.
1

dx

 5  2x  x 2
5  2x  x 2 is steeds strikt positief, want D < 0 en de coëfficiënt bij x² is positief.
Dit betekent dat we de integrand kunnen omvormen tot de vorm
1
en deze
a  x2
2
onbepaalde integraal kunnen oplossen zoals we in voorbeeld 4 hebben gedaan.


1
dx
1
dx

dx




2
2
2
4
 5  2x  x
 x 1
 4   x  1
1

 2 
Stel t 

x 1
1
 dt  dx  2 dt  dx
2
2
1  dt
1
x 1
 Bg tan
c

2  1  t2 2
2
dx

met p  0 en D  q2  4pr  0
2
 px  qx  r
Elke onbepaalde integraal van de vorm 
kunnen we herleiden tot een boogtangens.
6.
1

 2 2 dx
 a x
met a > 0
Deze onbepaalde integraal doet ons denken aan de elementaire formule:
 dt
 Bgsin t  c . Mits een gepaste substitutie kunnen we onze opgave

 1  t2
omvormen tot deze fundamentele integraal.



1
dx
1
dx

dx  

 2
2
 a  x2
 2   x 2  a 

x
 1 
 a 1    

 a 
a




dt
x
 Bgsin t  c  Bgsin    c
a
1t
2
23
7.
1

dx

 5  12x  4x 2
5  12x  4x 2 heeft een positieve discriminant en het teken van x² is negatief.
Dit betekent dat we de integrand kunnen omvormen tot de vorm:
1
2
a  x2
en
deze onbepaalde integraal kunnen oplossen zoals we in voorbeeld 6 hebben
gedaan.



1
1
dx

dx 
2
2
2

 2x  3 
 4   2x  3 
1



 2 
Stel t 

2x  3
 dt  dx
2
1  dt
1
1
 2x  3 
 Bgsin t  c  Bgsin 

c
2  1  t2 2
2
 2 

Elke onbepaalde integraal van de vorm 
dx
 px 2  qx  r
met p < 0 den D > 0 kunnen
we herleiden tot een boogsinus.
24
2.2.4.2.4 Enkele belangrijke goniometrische integralen
2.2.4.2.4.1
Herhaling formules goniometrie
sin2 x  cos 2 x  1
Grondformule:
cos 2 x  1  sin2 x
tan2 x  1 
1
2
cos x
sin2 x  1  cos 2 x
 sec 2 x
1  cot 2 x 
1
2
sin x
 cs c 2 x
Som- en verschilformules:
cos       cos   cos   sin   sin 
tan      
cos       cos   cos   sin   sin 
tan      
tan   tan 
1  tan   tan 
tan   tan 
1  tan   tan 
sin       sin   cos   cos   sin 
sin       sin   cos   cos   sin 
Dubbele hoekformules:
cos 2x  cos 2 x  sin2 x
sin 2x  2  sin x  cos x
tan 2x 
2  tan x
1  tan2 x
 cos 2x  1  2  sin2 x  2  cos 2 x  1
 sin2 x 
 cos 2 x 
1  cos 2x
2
1  cos 2x
2
Door som-en verschilformules bij mekaar op te tellen en van elkaar af te trekken bekomen
we de formules van Simpson:
1
 cos       cos      
2 
1
1
sin   sin     cos       cos         cos       cos      
2
2
1
sin   cos    sin       sin      
2
cos   cos  
25
2.2.4.2.4.2
A.
 cos
3
B.
 cos
4
 sin
m
x  cosn x dx
m,n  IN
m en n niet allebei even
x  sin2 x dx =
m en n allebei even
x  sin2 x dx =
26
2.2.4.2.4.3
 sinmx  cos nx dx
 sinmx  sinnx dx
 cos mx  cos nx dx
 cos 2x  sin3x dx =
 cos 3x  cos 5x dx =
27
2.2.4.3
Methode 3: Partiële integratie (PI)
Daar de afgeleide van een product niet gelijk is aan het product van de afgeleiden, bestaat
er geen algemene regel om de onbepaalde integraal van een product van functies te noteren
als het product van de onbepaalde integralen van elke factor.
f, g : IR  IR

 f  x  g'  x  dx  f  x  g  x    f '  x  g  x  dx
Bewijs:

d f x  gx



'
 f  x   g  x   dx


 f '  x   g  x   f  x   g'  x  dx
 f '  x   g  x  dx  f  x  g'  x  dx



f  x   g'  x  dx  d f  x   g  x   f '  x   g  x  dx

 f  x   g'  x  dx  f  x   g  x    f '  x   g  x  dx
q.e.d.
Opmerking: Praktische notatie
Neem f  x   u en g  x   v
 u  v ' dx  u  v   u' v dx
 u  dv  u  v   v  du
Voorbeelden:
1.
 x  cos x dx

Kies u = x en v’ = cos x  v  cos x dx  sin x  c
PI


x  sin x  sin x dx
Je mag de integratieconstante (c ) laten vallen, dus “meestal” best c = 0 kiezen.
=
x  sin x  cos x  c
Stel c verschillend van 0:
PI

x   sin x  c  
 sin x  c  dx
28



x  sin x  c  x  sin x dx  c dx

x  sin x  c  x  cos x  c  x  c*

x  sin x  cos x  c*
We mogen integratieconstante c dus willekeurig kiezen, best is deze “bijna
altijd” gelijk aan 0 te nemen.
De keuze van u en v’ is van essentieel belang!!
 x  cos x dx
Kies u = cos x
en v’ = x  v  
 x dx 

1 2
x c
2

1 2
1 

x  cos x   sin x   x 2  dx
2

2 
=
1 2
1 2
x  cos x 
x  sin x  dx
2
2

het nog te integreren deel is moeilijker geworden dan
PI

oorspronkelijke opgave  STOP !!
2.
x
3
 cos x dx
29
3.
 cos
2
x dx


 cos x  cos x dx  cos x d sin x
P.I.

 cos x  sin x   1  cos x  dx
 cos x  sin x  1 dx   cos x dx
 cos x  sin x  sin2 x dx
2
2


2
2  cos x dx  cos x  sin x  x  c


1
1
cos2 x dx  cos x  sin x  x  c
2
2
Andere manier: (UOVT)
4.

Bgsin x dx
P.I.
 x dx
 1  x2
 x  Bgsin x  
1
dt  2x dx   dt  x dx
2
1
1
 x  Bg sin x  
dt
2
t
Stel t  1  x 2


1

1
 x  Bg sin x   t 2 dt
2

 x  Bgsin x  1  x2  c
30
5.

1  x 2 dx
Opmerking:
Momenteel kunnen we slechts bepaalde types onbepaalde integralen oplossen. In hoofdstuk
5 zullen we op systematisch wijze de integratie van rationale, goniometrische en irrationale
functies verder uitdiepen. De reeds geziene technieken vormen echter de basis van het
integreren.

1.
De integrand is te schrijven als een som
integratie door splitsing
2.
De integrand is te schrijven als een product van functies, waarvan één factor een
functie is van de tweede functie waarvan de andere factor precies de afgeleide is

3.
integratie door substitutie
Vorige methoden zijn niet bruikbaar en de integrand is te schrijven als een product
van functies, waarvan 1 gemakkelijk integreerbaar is

partiële integratie
31
2.2.5.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 x dx
3.



5.




7.
9.
2.
x
x 3 dx
4.



x 5 dx
1
dx
x5
6.




x3
dx
x10
 x dx
8.
 x

 3
 x

10.

12.
x x
 3 dx
 x
14.




3
 dx
4
16.




x
18.






4
2
x dx
11.
x
13.



15.
 1

 4 7
 x
17.



19.




21.




23.




2
 3 x dx
x2  x

1
7
 dx
 dx
1
3
2
5
x  x  dx
1
x3 x
 dx
x3x
4
x
 dx
1
(1  x)(1  x)
3
dx
3
5
 dx
x 4 dx
x2
 dx
1
x2
x
 dx
2
3
1
20.




22.




2.
 7x
4.




x
 dx
x2  5 x
 dx
x3
 dx
Oefening 2:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 6x
3.




5
 dx
x4
 dx
5
7
 dx
1
 dx
6x 6
32
 dx
6.




7
 dx
x4
x 2  dx
8.

3
10.
 5x
12.
 x3

 5
 2x
14.
 3  dx
 2
 x 1
16.
 (4x  7)  dx
18.
 (x
2
 5x  1)  dx
20.
 (x
3
 x 2  x  1)  dx
22.

 1


24.
(
26.

 x


28.




30.





32.
 cot
34.
 (2x  3)(x  4)  dx
36.
 2  x 
38.




5.
 10x
7.
2
9.
 3 sin x  dx
11.




13.




4 1  x2
15.




3
 dx
4 sin2 x
17.

 (9


19.
 (4  x
21.




23.

 x


25.
3
 (3  x  2 x )  dx
27.




29.
2

2
  5x  3 



x 

31.




33.




35.
2
2
 (x  x  1)  dx
37.

9
3
5
 dx
cos 2 x
1

 dx
1
x)  dx
4
2
)  dx
4 5
1 
x  3x 3  x   dx
3
2 

1 
 dx
x 3 
x 4  x2  1
 dx
x2
x 1
3
x
 dx
2x  1
2 x

 dx
 dx

x 2  x  dx
4x 2  dx
4
x  dx
 dx
1
1 
 4   dx
2
x
x 
x  1)  dx
1 
  dx
x
1 
3x 3  x 2  4
 dx
5x 2
2  x  1
3
 dx
x5
2
x  dx
2
3x  1
x
3
 dx
 dx
33
39.





2  5 x3  x  1
41.




x2  2
 dx
x2  1
3 3 x
 dx
40.
 (sin x  5 cos x)  dx
42.
 sec
2.
 (3  5x)
4.




3x
 dx
(x  2)4
6.

3x  2  dx
8.




10.

x

4

1 x
12.




14.
 (x  1)
16.
x
18.


 sin 4




2
x  csc2 x  dx
Oefening 3:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 (x  1)
3.
2
3
2
 x (x  4)  dx
5.




7.
x
5
9.



 5

x2
11.



 4

13.




15.
x
17.
 sin5x  dx
19.


 9 sin




21.




1
 dx
sin (1  3x)
22.




cos x
 dx
sin3 x
23.




tan x
 dx
cos 2 x
24.




cot x  1
 dx
sin2 x
25.




cos x
 dx
1  sin2 x
26.
 cos x
27.




3
 dx
7
 dx
(1  5x)5
x 2  4  dx
3
x 7
 dx
3x 2  2x
x3  x2  1
x
1 x
 dx
 dx
2x  4  dx


 4x   dx
3

2
sin x
cos x  4
20.




4
 dx
2
1
1 x
 dx
 dx
x3
 dx
4x 8  20x 4  25
2
1  x  dx
 5 x 3  4  dx

x
 dx
3 
3
 dx
cos (4x  1)
2
sin x  dx
 dx
34
Oefening 4:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




3.




5.




7.





9.




11.




1
1
2.




 dx
4.




 dx
6.





8.





10.




12.




2.




1
 dx
2  x2
 dx
4.




1
 dx
9  16x 2
1
 dx
5  7x 2
6.

1

 1  (4x

8.




1
 dx
5  4x  x 2
x2
 dx
x 6  5x 3  12,5
sec2 x
 dx
tan2 x  2 tan x  2
9x
 dx
2
1
1  4x 2
1
2  3x 2
1
1  (4  3x)2
1
 dx
 dx
7  6x  x 2
1
4  8x  2x 2
 dx
 dx
7  x2
1
4  9x 2
 dx
1
 dx
1  (x  5)2
1
3  (2x  1)2
1
3  4x  4x 2
x
3  2x 2  x 4
 dx
 dx
 dx
Oefening 5:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1
 dx
4  x2
1.




3.

1

2

 1  9x
5.




7.





 11 

9.




1
 dx
3  2x  9x 2
10.




11.




x2
 dx
6  (x 3  1)2
12.




1
x

 2  5


2
 dx
 3)2
 dx
35
Oefening 6:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 cos 2x  sin3x  dx
2.
 sin2x  sin x  dx
3.
 cos 3x  cos 5x  dx
4.
 sin2x  cos 2x  cos 3x  dx
5.
 cos 5x  cos 4x  dx
6.
 cos
3
3x  cos x  dx
7.
 cos x  cos 2x  cos 3x  dx
8.
 cos
2
3x  sin2 3x  dx
9.
 sin3x  sin5x  sin7x  dx
10.
 sin x  cos
11.
 cos x  sin
12.
 cos
13.




x
 dx
2
14.




15.
 cos
4
x sin3 x  dx
16.
 sin
17.
 cos
2
x  dx
18.
 cos
19.
 sin
x  dx
20.
 sin
21.
 cos
x  sin2 x  dx
22.
 cos
4
x  sin2 x  dx
23.
 sin
x  dx
24.
 cos
2
3x  sin2 3x  dx
4
cos 5
2
2
6
x  dx
3
x
 dx
3
x cos3 x  dx
4
4
x  dx
x  dx
sin5
3
2
2x  dx
3x  dx
Oefening 7:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 x  sin x  dx
2.
 x  sin5x  dx
3.
 x  cos 3x  dx
4.
x
2
 sin
5.
 (x
6.
x
3
 sin2x  dx
7.
x
8.
x
3
 cos
9.
 (x
10.
 Bg cos x  dx
11.
 Bgsin2x  dx
12.
 x  Bg tan x  dx
13.
 cos
14.
 sin
2
2
 3)  sin x  dx
 cos 3x  dx
2
 2x  1)  cos x  dx
3
x  dx
4
x
 dx
3
x
 dx
2
x  dx
36
Oefening 8:
Bewijs de volgende recursieformules
1
n 1
x  dx   sinn1 x cos x 
sinn2 x  dx

n
n
1.
 sin
2.
 cos
3.
x
4.
x
5.
m
n
 sin x cos x  dx 
n
n
n
x  dx 
1
n 1
cos n1 x sin x 
cos n2 x  dx
n
n 
cos ax  dx 
1 n
(x sin ax  n x n1 sin ax  dx)
a
(n  IN, a  IR 0 )
sin ax  dx 
1
( x n cos ax  n x n1 cos ax  dx)
a
(n  IN, a  IR 0 )
n
sinm1 x cos n1 x n  1

sinm x cos n2 x  dx

mn
mn
Oefening 9:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.





3.





5.
cos3 x sin x
2.
 x cos x
4.
 (3x
 (x  sec x tan x)  dx
6.
 (sin x  2
7.
 x Bgcos x  dx
8.
x
2
9.
 cos x sin x
2
10.





x2  1 
  dx
x 
11.
2
 (tan x  cot x)  dx
12.





13.
x
1  x  dx
14.
 sin
15.
 sin
x cos 3 x cot gx  dx
16.
x
17.





18.



1
1
 dx
cos x
19.




20.
1


1
cos x
 dx
cos x
x
x2  2
3
x  6x
 dx
 dx
2
2
3
1 x
1 x
1  sin x  dx
 dx
1
 dx
1  sin x
2
2
 dx
 sin x  2 sec2 x)  dx
x )  dx
 3 x  2  dx
2
x3
x 2  25
5
 dx
x  dx
1  x 3  dx
37
21.




1  sin x
 dx
1  sin x
22.

1  x 2  dx
Oefening 10:
a.
De verkoop van het eerste kilo waspoeder brengt 150 fr. op. De marginale opbrengst
m0 (de afgeleide van de opbrengstfunctie naar hoeveelheid) is gelijk aan
f(x)  210  0,75x voor 1  x  400
1. Bepaal de opbrengst van de verkoop van 25kg waspoeder.
2. Hoe groot is de opbrengst als de marginale opbrengst gelijk is aan nul?
b.
Een massa beweegt heen en weer op een recht. De snelheid v van de massa varieert
in de tijd als: v  f(t)  3 sin t  2 cos t . Noem p de positie van de massa op de
rechte.
Bepaal p op een willekeurig tijdstip t als de beginpositie gelijk is aan 0.
c.
De marginale kost is de afgeleide van de totale kost. Stel dat de marginale kost gelijk
is aan f(x)  90  1,5x
voor
1  x  50 .
1. Bepaal hoe een totale kost met deze marginale kost er moet uitzien.
2. Stel dat de totale kost van de eerste productie-eenheid gelijk is aan 150, bepaal
dan de totale kost.
38
Herhalingsoefeningen Onbepaalde integralen
Reeks 1: (splitsing, substitutie en PI)
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 5a x dx
2.
 (6x
3.
 x  (x  a)  (x  b) dx
4.

5.

6.

7.





8.




dx
x 7
9.





10.




b
11.

12.




x 1
13.




14.




x2
dx
x2  2
15.





16.





x dx
17.




18.






19.
 sin(a  bx) dx
20.
 cos
21.
  cos ax  sin ax 
22.





cos x
23.

sec 2 (ax  b) dx
24.




x
dx
cos 2 x 2
25.
 x  sin(1  x ) dx
26.
x
x

 cos  sin dx
a
a

27.
 sin
28.




29.





30.

2 6
(nx)
1 n
n
dx
 x 2  1   x 2  2 
3
x2
dx
dx
8  x2
a  bx dx
dx
3x 2  5
dx
7  5x 2
Bgsin x
dx
1  x2
2
dx
2
3
6x  cos 6x dx
sin x  cos x
2
2
cos x  sin x
dx
2
 8x  3)dx
2px dx


x  1  x  x  1 dx
2
dx
1 x
x
2
dx
a4  x 4
x
2 dx
2
Bg tan
4x
x
2
x
dx
dx
cos ax
dx
sin5 ax
1  3  cos 2 x sin2x dx
39
x
x
 sec2 dx
3
3
tan x
dx
cos 2 x
32.




34.
 1  sin3x

2

 cos 3x
36.


 3


38.






dx
40.
 x  cos 3x dx

42.
 x  Bg tan xdx
(Bgsin x)2 dx
44.





31.

tan3
33.





cot 3 x
dx
sin2 x
35.

 2


37.





39.




41.
 x
43.

45.





2

x
1

dx

2
2
2x  1  2x  1
sec2 x
dx
4  tan2 x
Bgsin x  x
1  x2
2
 5x  6  cos 2x dx
x2
9  x2
x2
x3  1
Bg cos
dx
dx
x
2 dx
4  x2
Bgsin x
1 x
dx
dx
40
Reeks 2: (splitsing en substitutie)
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
 (x
3.
 x  sin x²dx
5.





7.
x
9.




11.





13.




3  x²
dx
1  x²
14.

15.




sin3x
dx
cos 3 3x
16.
 (3x²  1)  (x³  x)
17.




dx
18.
 x³  sec  x  dx
19.
 sin³x 

1  sin²x dx
20.




21.
 sin³x dx
22.
 sin³x  cos²x dx
23.
 cos²x dx
24.
 sin
25.
 sin
26.
1


1
27.
1  sin x

dx

 1  sin x
28.





29.




dx
2
sin x  cos 2x
30.




sin x  cot x  1
31.





3  x  Bgsin x
32.




cos 3x
dx
(1  sin 3x)2
2
 1)3  2x dx
x
( x³  4)³
dx
3  x dx
Bg tan x
dx
1  x²
4 x
x
1 x
4
4
4
2x  cos 2 2x dx
1  x²
 x² 
4.




dx
dx
8.




12.
1  x³ dx
dx
1  x²








3
Bg sin x
6.
10.
x  2  3 x²  3  4 x³
5
2.
x²
1  x6
dx
sec²x
dx
tan²x  2  tan x  2
dx
cos ²(3x  4)




x²
dx
x²  1
cos x  sin x dx
5
2
4
x  Bg cos 2x
1  4x²
4
dx
dx
x dx
cos x
dx
cos x
cos²x  sin²x
1  sin2x 
3
dx
dx
2
41
33.
35.
37.




1  cos 2x
dx
(2  x  sin 2x)2

 tan x  cot x  dx
34.
2







3  x  Bg cos 2 (
3x




Bg tan2x
dx
1  4x 2
(1  2  x )3
36.





38.
(

40.




1
dx
cos 4 x
42.





4  cos2 x  2  cos x  sin x
dx
(2  cos x)2
44.




sin 2x
dx
(1  cos 2x)2
3
2x
x
)
3 dx
2
(cot x  cs cx)2
dx
sin2 x
sin3x  cos 3x)2 dx
39.




41.
 1  sin2x


 1  sin2x
43.

dx


 1  sin x
45.




x  cot x²
dx
sin x²
46.
 sin x


 1  sin x
47.




1 x
dx
1 x
48.

dx


 1  cos x
50.





49.

x2

6

1 x
dx
dx
sin x
51.





53.





cos x  1  4 tan x
55.




sec5 x
dx
cs c x
57.
4
 sec x  tan x dx
59.





2
3  cos x
dx
52.
dx
2
dx
2
1 x
2 x
dx
dx
3
2
 cot (2x)  cs c (2x)dx
54.




cos 2x
dx
sin2 2x  8
56.




1
dx
sin x
58.





cos x
x
dx
dx
4  8  x  2  x2
42
Reeks 3: (gemengde reeks)
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.





Bgcos2 x
1  x2
dx
3.
 3x 
5.




x  Bgsin x
7.




dx
9.





11.





13.




1  2x 2 dx
dx
1  x2
cos 2 x  tan x  1
5  4x
12x  4x 2  8
Bgsin x
x
x3
dx
dx
dx
1  x2
2.
 sin x sin3x dx
4.






6.




8.






x 2  1  2x
1 x
x3  3 x
64 x
3
2 2
x
10.
 4  
12.




14.





Bgcos x  x
1  x2
1  x 2  (1  x 2 )3
18.








dx
2 sin x  3cos 2 x
20.




21.

x  cos 2 x dx
22.




23.





x 2  2x
dx
24.
 Bg sin
25.





 x  1   x  2 dx
26.
x
27.
 x  Bg tan
28.
 Bg tan
29.

dx


1

cos x

30.









19.
2
 x  1
2
x
x 2  1dx
dx
xdx
dx
2
2 cos x  sin x  cos x  sin2 x
17.
x 2  2x 4 dx
dx
dx
 x  Bgsin x

dx
sin8x
dx
9  sin4 4x
16.
15.

1
5
x2
4x  x 2
2
dx
dx
x dx
a  bx
cos x
dx
a  sin2 x
2
x
dx
1 x
1  x dx
xdx
dx
5  7x  3x 2
43
2
31.

 2
x


1 
 3  dx
x
33.





dx
35.





37.

39.





4 
3
2 2
x

x  Bg tan x

x2  1

2
dx
1  3 cos 2 x sin2x dx
sin2x
1  cos 2x 
2
dx
32.
 (tan2x  sec 2x) dx
34.





36.
 x  Bg tan xdx
38.
 sin
40.




2
1 x
x
4
dx
x  cos5 x  dx
cos 3 x
dx
sin4 x
44
3.
BEPAALDE INTEGRAAL
In dit hoofdstuk gaan we op zoek naar een algemene manier om de oppervlakte van een
willekeurig vlakdeel te bepalen. We bouwen onze redenering op via ondersommen,
bovensommen en Riemannsommen om uiteindelijk tot het begrip bepaalde integraal te
komen.
3.1.
Begrensde deelverzamelingen in IR
Om tot het begrip bepaalde integraal te komen, is het nodig dat we enkele begrippen
omtrent begrensde deelverzamelingen van IR introduceren. Wegens de totale orde in IR
(gedefinieerd voor  in het 5de jaar), heeft een verzameling hoogstens één kleinste
respectievelijk grootste element:
3.1.1.
1.
x, y  IR : x  y of y  x
Voorbeelden
1 
 1 1 1 1
D  1, , , , ,..., ,...
n 
 2 3 4 5
We noemen deze deelverzameling van IR begrensd omdat er getallen bestaan die kleiner,
respectievelijk groter zijn dan alle elementen van D. Zo is -1 een ondergrens van D, want
x  D : 1  x . Het getal 3 is een bovengrens van D, want x  D : x  3 .
Er bestaat een essentieel verschil tussen een begrensde en een eindige verzameling. Zo is D
een begrensde deelverzameling van IR, maar geen eindige verzameling.
D bezit een kleinste bovengrens, nl. het getal 1. We noemen deze kleinste bovengrens het
supremum van D, notatie: sup D = 1.
D bezit eveneens een grootste ondergrens nl. het getal 0. We noemen deze grootste
ondergrens het infimum van D , notatie inf D = 0.
In dit voorbeeld is het supremum ook het grootste element of het maximum van D, notatie
max D. Dit betekent dat in dit voorbeeld geldt dat: sup D = max D = 1. Merk op dat indien
een verzameling een maximum bezit, dit maximum ook steeds het supremum is.
2. IN   0,1,2,3,...,n,... is eveneens een deelverzameling van IR, maar is niet begrensd,
want er zijn geen bovengrenzen. IN is echter wel naar onder begrensd. Alle negatieve
reële getallen zijn ondergrenzen van IN. De grootste ondergrens is 0 en behoort tot IN,
vandaar: inf IN = min IN = 0
45
3. De verzameling van de gehele getallen is een onbegrensde deelverzameling van IR,
want ze bevat geen ondergrenzen, noch bovengrenzen in IR.
4. Het interval [0,3[ is een begrensde deelverzameling van IR, want het bezit zowel bovenals ondergrenzen. De kleinste waarde van dit interval is hier eveneens de grootste
ondergrens of het infimum. Dit interval bezit geen grootste waarde, maar wel een kleinste
bovengrens, nl. 3 is het supremum van deze deelverzameling van IR.
3.1.2.
D  IR
Definities
en a,b,m,M  IR
m is het minimum van D  m is het kleinste element van D
Notatie : m = min D
M is het maximum van D  M is het grootste element van D
Notatie : M = max D
a is een ondergrens van D  elk element van D is groter dan of gelijk aan a
b is een bovengrens van D  elk element van D is kleiner dan of gelijk aan b
a is het infimum van D  a is de grootste ondergrens van D
Notatie : a = inf D
b is het supremum van D  b is de kleinste bovengrens van D
Notatie : b = sup D
3.1.3.
Opmerkingen
1. Niet elke deelverzameling van IR heeft een minimum, maximum, infimum of supremum
(zie bovenstaande voorbeelden).
2. Synoniemen voor ondergrens en bovengrens zijn respectievelijk minorant en
majorant.
3. De verzameling van de ondergrenzen van D noemen we de minorantie van D, notatie:
mnt D. De verzameling van de bovengrenzen van D noemen we de majorantie van D,
notatie: mjt D.
46
4. Elk getal kleiner dan een ondergrens is ook een ondergrens en elk getal groter dan een
bovengrens is ook een bovengrens.
5. Als een ondergrens (bovengrens) van D tot D behoort is het noodzakelijk ook het
infimum (supremum) en het minimum (maximum) van D.
6. Een verzameling die bovengrenzen bevat noemen we naar boven begrensd. Een
verzameling die ondergrenzen bezit noemen we naar onder begrensd. Een
begrensde verzameling is zowel naar onder als naar boven begrensd.
3.1.4.
Eigenschappen
Eigenschap 1:
Een niet-lege naar boven begrensde deelverzameling van IR bezit een supremum. Een nietlege naar onder begrensde deelverzameling van IR bezit een infimum.
Bewijs: niet kennen!
Deze eigenschap lijkt misschien wel vanzelfsprekend, maar voor de verzameling van de
rationale getallen geldt dit niet.

Neem bijvoorbeeld: D  x 

| x2  2
Criterium voor supremum:
D is een niet-lege deelverzameling van IR en s = sup D  IR

1. x  D : x  s
2.   IR0 ,  x  D : s    x  s
In woorden: Als een verzameling D een supremum s bezit, ligt in elke linkeromgeving van s
minstens 1 element van die verzameling en omgekeerd als elke omgeving van een
bovengrens s minstens 1 element van D bevat, dan is s = sup D.
Bewijs: zie schrift
47
Criterium voor infimum:
D is een niet-lege deelverzameling van IR en i = inf D  IR

1. x  D : i  x
2.   IR0 ,  x  D : i  x  i  
Bewijs: UOVT !
Gevolg criterium voor supremum:
t   t1 , t2 , t3 ,..., tn ,... , heeft als limiet het
Een stijgende, naar boven begrensde rij
supremum van de verzameling
 t1 , t2 , t3 ,..., tn ,...
Bewijs:
Eerst enkele begrippen:
Een rij is een functie t : IN0  IR : n
t n . Er zijn dus oneindig veel beelden en die hebben
een volgnummer 1, 2, 3, …, n, … Die beelden vormen een verzameling
Een rij t is stijgend als geldt : n  p

 t1 , t2 , t3 ,..., tn ,...
tn  tp , d.w.z. een beeld dat verder komt in de
rij is groter dan of gelijk een beeld dat eerder komt in de rij
De limiet van een rij : s is de limiet van een rij t als geldt :
  IR0 ,  p  IN0 : n  p

tn  s   ,
d.w.z. vanaf een bepaald volgnummer p, is het verschil tussen het beeld en de
vooropgestelde limiet zeer klein.
Stel nu dat s het supremum is van de verzameling
criterium voor supremum:
 t1 , t2 , t3 ,..., tn ,... , dan volgt uit het
  IR0 ,  p  IN0 : s    tp  s .
De rij is stijgend dus geldt : n  p

tn  tp .

Gecombineerd wordt dit :   IR 0 ,  p  IN0 : n  p

s    tp  tn  s .
Deze laatste ongelijkheid is logisch want s is supremum van t en dus groter dan of gelijk aan
elk element van de rij.
We
verminderen
  IR0 ,  p  IN0 : n  p
elk

lid
van
de
ongelijkheid
met
s:
   tn  s  0   .
48
Met absolute waarden noteren we deze ongelijkheid als:
  IR0 ,  p  IN0 : n  p

tn  s   .
Deze laatste uitdrukking betekent per definitie : lim tn  s , en dus is de limiet van de rij
n
gelijk aan het supremum van de verzameling.
Gevolg criterium voor infimum:
Een dalende, naar onder begrensde rij t   t1 , t2 , t3 ,..., tn ,... , heeft als limiet het infimum
van de verzameling
 t1 , t2 , t3 ,..., tn ,...
Bewijs: UOVT !
49
3.2.
Ondersommen, bovensommen en Riemannsommen
3.2.1.
3.2.1.1
Definitie, meetkundige betekenis
Inleidend voorbeeld
We willen de oppervlakte bepalen van een willekeurig vlakdeel. Beschouwen we hiervoor de
veeltermfunctie f  x  
2 3
x  2x 2  x  5 . De oppervlakte van het vlakdeel bepaald door
5
deze functie en de X-as op het interval [0,4] kunnen we niet bepalen door middel van onze
gekende oppervlakteformules.
We gaan dus op zoek naar een algemene manier om dergelijke willekeurige oppervlakte te
kunnen berekenen. Vermits we de oppervlakte van een rechthoek wel makkelijk kunnen
bepalen gaan we de oppervlakte van het gezochte vlakdeel proberen te benaderen met
behulp van rechthoeken. We verdelen het interval [0,4] in 4 gelijke delen. Hiertoe voegen
we aan het interval [0,4] drie deelpunten toe, nl. x = 1, 2 en 3. We noemen dit de
verdeling of partitie V1   0,1,2,3, 4  van het interval [0,4]. In elk deelinterval
construeren we een rechthoek met basis (de lengte van het deelinterval) en hoogte (de
kleinste functiewaarde die bereikt wordt door f op dit deelinterval). Indien we de oppervlakte
van deze 4 rechthoeken optellen, bekomen we een (te kleine) benadering voor de
oppervlakte van het gewenste vlakdeel, we noemen dit de ondersom s 1 horend bij de
partitie V1 .
50
4
s1   mi  xi  m1  x1  m2  x 2  m3  x 3  m4  x 4
i1
x i  x i  x i1  s1  f 1  1  f  2   1  f  3   1  f  3   1 
met
mi  min f xi1 , xi 
en
22 11 4 4 41

  
 8,2
5
5 5 5
5
We kunnen voor dezelfde partitie of verdeling V1 de bijhorende bovensom bepalen.
Hiervoor construeren we op de 4 deelintervallen van het interval [0,4] vier rechthoeken met
basis (de lengte van het deelinterval) en hoogte (de grootste functiewaarde die bereikt
wordt door f op dit deelinterval). Indien we de oppervlakte van deze 4 rechthoeken optellen
bekomen we een (te grote) benadering voor de oppervlakte van het gewenste vlakdeel.
51
Bovensom S1 (horend bij de partitie V1 )  M1  x1  M2  x 2  M3  x 3  M4  x 4
met
Mi  max f xi1 , xi  en x i  x i  x i1 .
S1  f  0,27   1  f 1  1  f  2   1  f  4   1  5,13 
22 11 13


 14,33 1
5
5
5
We merken op dat s 1 kleiner is dan S1 .
Indien we deelpunten aan de partitie V1 toevoegen, bekomen we een nieuwe verdeling of
partitie V2 . We noemen V1 een verfijning van V2 en verfijnen V1 tot V2 door het interval
[0,4] te verdelen in 8 deelintervallen. We berekenen opnieuw de bijhorende ondersom en
bovensom.
Door het optellen van de gevonden rechthoeken vinden we s 2 = 9,47 en S 2 = 12,57. We
merken op dat s 2 kleiner is dan S 2 en dat door het verfijnen van onze verdeling de waarde
van de ondersom is gestegen en de waarde van onze bovensom is gedaald. Zowel de
ondersom als de bovensom zijn een betere benadering geworden voor de gezochte
oppervlakte. In wat volgt zullen we algemeen bewijzen dat bij een verfijning van de
verdeling ondersommen stijgen en bovensommen dalen.
Het is intuïtief duidelijk dat indien we onze verdeling verder verfijnen de waarde van de
corresponderende
ondersommen,
respectievelijke
bovensommen
steeds
een
betere
benadering vormen voor de gezochte oppervlakte. We verwachten dezelfde limiet bij een
oneindige
verfijning
van
onze
partitie
voor
de
corresponderende
ondersommen,
respectievelijk bovensommen. We zullen in wat volgt bewijzen dat de verzameling van de
ondersommen een kleinste bovengrens (supremum) en de verzameling bovensommen een
grootste ondergrens (infimum) bezit. Deze zijn bij continue afbeeldingen op een gesloten
1
f bereikt een maximum op het deelinterval [0,1] in x= 0,27. De functiewaarde van f(0,27)=5,13.
52
interval gelijk en bepalen de waarde van de gezochte oppervlakte. Onderstaande
afbeeldingen illustreren dit. Indien we in ons voorbeeld onze verdeling verfijnen door het
interval [0,4] te verdelen in 40 deelintervallen bekomen we voor de corresponderende
ondersom s 3 = 10,62 en voor de corresponderende bovensom S 3 = 11,25.
Bij een verdere verfijning van het interval [0,4] in 100 deelintervallen, bekomen we voor de
corresponderende ondersom s 4 = 10,81 en voor de corresponderende bovensom S 4 =
11,06.
We kunnen bij een welbepaalde verdeling ook in elk deelinterval xi1 , xi  een willekeurige xwaarde  i kiezen om de hoogte van onze rechthoeken te bepalen (dus niet de x-waarde
met de kleinste functiewaarde (ondersom) of de x-waarde met de grootste functiewaarde
(bovensom)). De optelling of sommatie van deze gevonden rechthoeken noemen we een
Riemannsom van f bij de gegeven verdeling, notatie:
n
 f     x
i1
i
i
. Een Riemannsom kan
dus zowel een onderschatting als een overschatting van de gezochte oppervlakte zijn. Merk
op dat een (willekeurige) Riemannsom van f bij een welbepaalde verdeling steeds groter of
53
gelijk aan de corresponderende ondersom van f en kleiner of gelijk aan de corresponderende
bovensom van f is (bij dezelfde verdeling).
sn 
n
 f     x
i
i1
i
 Sn
Bij een onbeperkte verfijning van de partitie zullen de waarden van de corresponderende
ondersommen, bovensommen en Riemannsommen convergeren. De waarde van deze limiet
zullen we de bepaalde integraal van f over het interval [a,b] noemen.
b
 f  x  dx  lim sn  lim
n
a
n
n
 f     x
i1
i
i
 lim Sn
n
Merk tevens op dat de ondersom (bovensom) horend bij een welbepaalde partitie 1 van de
mogelijke Riemannsommen is die horen bij deze partitie.
3.2.1.2
Definities
V   x0 , x1 , x2 ,..., xi1 , xi ,..., xn1 , xn  is een verdeling of partitie van [a,b]
n  IN
asa
x 0  a en x n  b en x 0  x1  x 2  ...  x i1  x i  ...  x n
De verdeling V2 van [a,b] is een verfijning van de verdeling V1 van [a,b]
asa
alle deelpunten van V1 zijn ook deelpunten van V2
Notatie: V1  V2
n
s   mi  x i is de ondersom van f bij de verdeling V
i1
asa
mi  min f xi1 , xi  en xi  xi  xi1
n
S   Mi  x i is de bovensom van f bij de verdeling V
i1
asa
Mi  max f xi1 , xi  en xi  xi  xi1
n
 f     x
i1
i
i
is de Riemannsom van f bij de verdeling V
asa
i is willekeurig punt van xi1 , xi  en xi  xi  xi1
54
3.2.1.3
Meetkundige betekenis
Een ondersom is een reëel getal dat een maatgetal is voor de georiënteerde (van een teken
voorziene) trapoppervlakte, die we op de in de definitie afgesproken manier, onder de
grafiek van f construeren2. Het is een benadering voor de oppervlakte van het vlakdeel
begrensd door:
y

y

x
x

0
 f x
a
b
Een bovensom is een reëel getal dat een maatgetal is voor de georiënteerde (van een
teken voorziene) trapoppervlakte, die we op de in de definitie afgesproken manier, boven de
grafiek van f construeren3. Het is een benadering voor de oppervlakte van het vlakdeel
begrensd door:
y

y

x
x

0
 f x
a
b
Opmerkingen:
1. Ondersommen en bovensommen zijn speciale gevallen van Riemannsommen
2. Merk op dat de waarde van een ondersom, respectievelijk een bovensom zowel positief,
negatief als nul kan zijn.
2
3
Boven de grafiek van f construeren indien f onder de X-as ligt.
Onder de grafiek van f construeren indien f onder de X-as ligt.
55
3.2.2.
3.2.2.1
Eigenschappen, opmerkingen
Inleidende opmerkingen
1. Afspraak: in wat volgt gaan we er steeds vanuit dat onze functies f : a,b  IR  IR
steeds reële continue afbeeldingen zijn op a,b , m.a.w. f  CIR 

a,b

 f f is een continue afbeelding op a,b 
2. Uit het 5de jaar weten we dat:
“het beeld van een gesloten interval door een continue afbeelding is een gesloten
interval”.
De stelling van Weierstrass leerde ons dat:
“een functie die continu is op een gesloten interval bereikt in dat interval een
grootste en een kleinste waarde”.
Hierdoor weten we dat:
f  a,b   f a,b  m,M met m de kleinste waarde die f bereikt op a,b
en M de grootste waarde die f bereikt op a,b .
3. De lengte van een (deel)interval is steeds (strikt) positief wegens de gekozen ijking
van de deelpunten van onze partities, met name:
a  x 0  x1  x 2  x 3  ...  x i1  x i  ...  x n  b
3.2.2.2
Eigenschappen
Eigenschap 2:
De verzameling van de ondersommen is begrensd.
 ondersom :
...
 s 
...
Bewijs: zie schrift
56
Eigenschap 3:
Bij verfijning van een verdeling stijgt de ondersom.
Bewijs: zie schrift
Eigenschap 4:
De verzameling van de bovensommen is begrensd.
 bovensom :
...
 S 
...
Bewijs: UOVT !
Eigenschap 5:
Bij verfijning van een verdeling daalt de bovensom.
Bewijs: UOVT !
Eigenschap 6:
Voor willekeurige verdelingen of partities geldt: elke ondersom is kleiner dan elke bovensom.
Bewijs: niet kennen, grafisch kunnen uitleggen en illustreren.
57
3.3.
Bepaalde integraal in CIR a,b 
3.3.1.
Definitie, meetkundige betekenis, opmerkingen
Dankzij de voorgaande eigenschappen komen we tot de definitie van de bepaalde integraal
van een functie f over een interval [a,b].
Uit
Eigenschap 1:
Een niet-lege naar boven begrensde deelverzameling van IR bezit een supremum. Een nietlege naar onder begrensde deelverzameling van IR bezit een infimum.
en
Eigenschap 2:
De verzameling van de ondersommen is begrensd. (D.w.z. zowel naar onder als naar boven)
volgt dat de verzameling van de ondersommen van f over [a,b] een supremum bezit. We
weten dat de verzameling van de ondersommen van f die horen bij een verdeling van het
interval [a,b] niet alleen een naar boven begrensde rij vormen, maar dat deze rij
eveneens stijgend is. Dit laatste volgt immers uit eigenschap 3.
Eigenschap 3:
Bij verfijning van een verdeling stijgt de ondersom.
Indien we de limiet van deze stijgende, naar boven begrensde rij nemen (bij oneindige
verfijning) bekomen we niet alleen onze gezochte oppervlakte, maar vinden we eveneens
dat deze limiet gelijk is aan het supremum van de verzameling van de ondersommen van f
die horen bij een verdeling van het interval [a,b]. Dit volgt immers uit het gevolg van het
criterium voor supremum.
Gevolg criterium voor supremum:
Een stijgende, naar boven begrensde rij
t   t1 , t2 , t3 ,..., tn ,... , heeft als limiet het
58
supremum van de verzameling
 t1 , t2 , t3 ,..., tn ,...
Op analoge manier kunnen we aantonen dat deze limiet ook gelijk is aan het infimum van de
verzameling van de bovensommen van f die horen bij een verdeling van het interval [a,b].
(UOVT)
Per definitie noemen we deze limiet, dus het supremum van de verzameling van de
ondersommen van f die horen bij een verdeling van het interval [a,b] (of het infimum van de
verzameling van de bovensommen van f die horen bij een verdeling van het interval [a,b]),
de bepaalde integraal van f over het interval [a,b].
a,b
f  C IR   ; a ,b  IR
b
 f  x   dx
a
met
 sup s | s is de ondersom van f bij een verdeling van a,b  IR
 inf S | S is de bovensom van f bij een verdeling van a,b  IR

het integraalteken
[a,b] het integratie-interval
a en b de integratiegrenzen (a = ondergrens, b = bovengrens)
f  x  de integrand
x de integratieveranderlijke of integratievariabele
Meetkundige betekenis:
De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door :
y 0
y  f x
xa
x b
59
Opmerkingen:
1. Functies die positief zijn over [a,b] (a < b) hebben positieve ondersommen
(bovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) van de verzameling
ondersommen (bovensommen) positief.
b
 x  [a,b]  a  b  : f  x   0   f  x  dx  0
a
2. Functies die negatief zijn over [a,b] (a < b) hebben negatieve ondersommen
(bovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) van de verzameling
ondersommen (bovensommen) negatief.
b
 x  [a,b]  a  b  : f  x   0   f  x  dx  0
a
3.
We hebben steeds a < b gesteld. Indien a > b kunnen we opnieuw bij een
verdeling V   a  x0 , x1 , x 2 ,..., xi1 , xi ,..., xn1 , xn  b  ondersommen definiëren, maar
dan is x i  x i  x i1  0 . We vinden tegengestelde waarden voor de verzameling van
de ondersommen. Vandaar dat:
b
a
a
b
 f  x  dx    f  x  dx
a  b
a
en
 f  x  dx  0
a
b
4. Het getal
 f  x  dx
hangt volgens de definitie uitsluitend af van de functie f en de
a
integratiegrenzen. De naam van de veranderlijke speelt hierbij geen rol. We noemen dit
een loze variabele of “stomme” letter. Net zoals bij limieten.
b
b
b

f
x
dx

f
u
du






a
a f 

d
 ...
a
60
3.3.2.
Eigenschappen
Optelbaarheid van de bepaalde integraal
f is een continue afbeelding op het interval I en a,b, c  I

b
c
b
a
a
c
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
Bewijs: geen strikt bewijs, grafisch kunnen verklaren!
Geval 1:
a < c < b (zie schrift)
Geval 2:
a < b < c (zie schrift)
Geval 3:
b < a < c (UOVT)
Geval 4:
b < c < a (UOVT)
Geval 5:
c < a < b (UOVT)
Geval 6:
c < b < a (UOVT)
Middelwaardestelling van de integraalrekening (stelling van het buldozerke)
f : a,b   IR continue afbeelding over a,b 

b
 c  a,b  : f  x  dx  f  c   b  a 

a
Grafische illustratie:
61
Bewijs:
Geval 1:
a
a=b

 f  x  dx  0  f  c    a  a 

IR
a
* 
0
** 
 0


b
a
b
a
b
a
b
 f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  0
a
optelbaarheid bep.int . a

 f  x  dx  0
a
 :
omwisselen integratiegrenzen, wisselt het teken van de bepaalde integraal
* :
symmetrisch element voor de optelling in IR
* * :
0 is het opslorpend element voor de
Geval 2:
in IR
a<b
b
Stel
m  min f a,b , M  max f a,b en B  f  x  dx  IR

a
 
f is een continue afbeelding op a,b   f a,b   m,M
(stelling van Weierstrass)
Uit de definitie van bepaalde integraal (supremum verzameling ondersommen
respectievelijk infimum verzameling bovensommen van f horend bij een verdeling van het
interval a,b ) en het feit dat de verzameling van de ondersommen / bovensommen
(van f horend bij een verdeling van het interval a,b ) begrensd is, volgt dat:
m  b  a

B
beide leden van een 
M  b  a

ongelijkheid vermenigvuldigen met een zelfde strikt
positief reëel getal b  a  0  , behoudt de orde
m
B
b  a


M

B
b  a

m,M  f a,b 
 

 c  a,b  : f  c  
B
b  a
f
is een continue afbeelding op a,b 
62

beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigen met
eenzelfde van o verschillende getal b  a  0 
b
 c  a,b  : f  c   b  a   B  f  x  dx

a
Geval 3:
a>b
a
In geval 2 hebben we bewezen dat:
 f  x  dx  f  c    a  b 
b
omwisselen integratiegrenzen,

wisselt het teken van de bepaalde
integraal
b
 f  x  dx  f  c    a  b   f  c   b  a
a
Q.E.D.
Opmerking:
Deze stelling is een existentiestelling, d.w.z. dat ze het bestaan van (minstens 1) zo’n
getal c waarborgt op het interval [a,b], maar ze vertelt ons niet hoe we deze c kunnen
b
bepalen. Deze stelling stelt ons dus niet in staat om
 f  x  dx te berekenen, want c en f  c 
a
zijn niet gekend.
63
Hoofdstelling van de integraalrekening
(= THEORETISCH verband bepaalde integraal en onbepaalde integraal)
f : a,b   IR is een continue afbeelding op a,b 

x
F  x    f  t  dt is een stamfunctie van f
F : a,b   IR : x
Te bewijzen:
a
 x  a,b : F'  x   f  x 
Grafische illustratie:
Bewijs:
 x  a,b  :
F '  x   lim
F  x  h  F  x 
h
h0
(definitie afgeleide van een functie in een
niet-geïsoleerd punt van het domein)
x h
 lim

a
h
x h
h0

a
h0
 lim
x
f  t  dt  f  t  dt

(definitie F)
a
f  t  dt  f  t  dt

a
x
h
(omwisselen integratiegrenzen, wisselt het
teken van de bepaalde integraal)
64
x h
a
 lim
 f  t  dt   f  t  dt
x
a
h
h0
(commutativiteit van
tov + in IR)
x h
 f  t  dt
x
 lim
(optelbaarheid bepaalde integraal)
h
h 0
MWS
x h
f is een continue afbeelding op  x, x  h   c  a,b  :
 f  t  dt  f  c    x  h  x   f  c   h
x
 lim
f c   h
(symmetrisch element
h
h0
in IR)
 lim f  c 
x  c  x  h :
 f x
f continue afbeelding op  x, x  h  limiet is gelijk aan de
c x
h0c x

beeldwaarde, m.a.w. lim f  c   f  x  4
c x
Q.E.D.
4
cfr. 5de jaar: f continu in a  lim f  x   f  a of f geïsoleerd punt vh domein
x a
65
Grondformule van de bepaalde integraal
(= PRAKTISCH verband bepaalde integraal en onbepaalde integraal)
f : a,b   IR is een continue afbeelding op a,b 
F : a,b   IR is een stamfunctie van f

b
 f  x  dx  F b   F  a 
a
Bewijs:
f : a,b  IR is een continue afbeelding op a,b

Hoofdstelling integraalrekening
x
G  x   f  t  dt is een stamfunctie van f

G : a,b   IR : x
a
en
 gegeven
F is een stamfunctie van f
 Stamfuncties (F en G) van eenzelfde functie (nl. f) zijn op een cte na gelijk
x
 c  IR,  x  a,b  : G  x   F  x   c  f  t  dt

a
We mogen kiezen waar we c bepalen, want  x  a,b heeft c dezelfde waarde.
a
Stel x = a
 G  a   f  t  dt  F  a   c

a
0
 c   F  a
Dit betekent dat:  x  a,b : G  x   F  x   F  a
Deze gelijkheid geldt dus ook voor x = b:
b
G  b   F  b   F  a   f  t  dt

a
b
Volgens de definitie van bepaalde integraal is
 f  t  dt
volledig bepaald door f en integratiegrenzen a
a
en b. De naam van de veranderlijke speelt geen rol (“stomme” letter).
b
 f  x  dx  F b   F  a 

a
Q.E.D.
66
Opmerkingen:
b
1.
Notaties:
 f  x  dx  F  x 
a
2.
b
a
 F  x  a  F b   F  a 
b
De keuze van de stamfunctie om de bepaalde integraal te berekenen speelt geen rol.
b
 f  x  dx  F  x   c 
a
b
a
 F  b   c   F  a   c   F  b   c  F  a   c  F  b   F  a 
Lineariteit van de bepaalde integraal
a,b
f, g  C IR   ; r, s  IR

b
b
b
a
a
a
 r  f  x   s  g  x   dx  r   f  x  dx  s   g  x  dx
Bewijs:
Stel F en G zijn stamfuncties van respectievelijk f en g, dan is r  F  s  G een stamfunctie
van r  f  s  g , want
r  F  s  G 
'
 r  F'  s  G'  r  f  s  g . Uit de grondformule van
bepaalde integraal volgt dat:
b
 r  f  x   s  g  x   dx

r  F  x   s  G  x  
a

r  F b   s  G b   r  F  a   s  G  a  

r  F b   s  G b   r  F  a   s  G  a 

r  F  b   F  a    s   G  b   G  a  

r   f  x  dx  s   g  x  dx
a
b
b
b
a
a
De bepaalde integraal en de orde:
a,b
f,g  C IR 
x  a,b  : f  x   g  x  en a  b

b
b
a
a
 f  x  dx   g  x  dx
67
Bewijs:
g  x    g  x   f  x    f  x  met g  x   f  x   0
Uit de lineariteit van de bepaalde integraal volgt:
b
b
b
 g  x  dx    g  x   f  x   dx   f  x  dx
a
a
b
b
a
a
a
b
 g  x  dx  f  x  dx    g  x   f  x   dx  0
b
 g  x  dx
a
a
b

 f  x  dx
a
68
3.4.
Oppervlakte van willekeurige vlakdelen
3.4.1.
3.4.1.1
Algemene formules
Oppervlakte van een vlakdeel begrensd door een functie en de X-as over
een bepaald interval
Zie schrift!
3.4.1.2
Oppervlakte van een vlakdeel begrensd door 2 functies
Zie schrift!
69
3.4.2.
3.4.2.1
Oppervlakte van elementaire vlakke figuren
Trapezium, parallellogram, rechthoek, vierkant en driehoek
In dit paragraaf zullen we aantonen dat we onze reeds lang gekende oppervlakteformules
voor trapezium, parallellogram, … met behulp van bepaalde integralen terug vinden.
3.4.2.1.1 Trapezium
We kiezen de coördinaatgetallen van de hoekpunten van onze trapezium zo dat onze
berekeningen het eenvoudigst zullen zijn.
De rechte AB is de grafiek van f  x  
gx 
ab
 x  b en de rechte OC is de grafiek van
h
aB
x.
h
De oppervlakte van de trapezium OABC wordt dan:
h
h
0
0
h
  a  b  x  b  a  B  x   dx    B  b  x  b   dx   B  b  x 2  b  x 
 





h
 h
 h


 2 h
0

B b 2
h  bh
2h

B b
h
2
De oppervlakte van een parallellogram, rechthoek, vierkant en driehoek zijn speciale gevallen
van het trapezium. Kies steeds de meest efficiënte coördinaatgetallen voor de hoekpunten!
70
3.4.2.1.2 Parallellogram
Afleiding is analoog aan deze van de oppervlakte van trapezium, kies in dit geval: b = B
Oparallellogram  B  h
3.4.2.1.3 Rechthoek
Afleiding is analoog aan deze van de oppervlakte van trapezium, kies in dit geval: a = b = B
Orechthoek  B  h
3.4.2.1.4 Vierkant
Afleiding is analoog aan deze van de oppervlakte van trapezium, kies in dit geval: h = b = B
Ovierkant  B2
3.4.2.1.5 Driehoek
Afleiding is analoog aan deze van de oppervlakte van trapezium, kies in dit geval: b = 0
Odriehoek 
3.4.2.2
B h
2
Cirkelschijf en cirkeldelen
3.4.2.2.1 Cirkelschijf
De cirkel is de unie van de grafieken van de
functies van f  x   r 2  x 2 en g  x    r 2  x 2 .
Wegens de symmetrieën ten opzichte van de Xen Y-as kunnen we de oppervlakte van de
cirkelschijf berekenen door:
r
Ocirkelschijf  4 

r 2  x 2 dx  ...  via PI 
0
r
 4
1 
x
  x  r 2  x 2  r 2  Bgsin 
2 
r 0



 2   0  r2   0  0 
2


   r2
71
3.4.2.2.2 Cirkelsegment
We maken gebruik van de symmetrie ten opzichte van de X-as en berekenen de oppervlakte
van het cirkelsegment met behulp van bepaalde integralen als volgt:
r
r

Ocirkelsegment
2

r 2  x 2 dx

2
x
1 
u
 u  r 2  u2  r 2  Bgcos 
2 
r x
0  r 2  Bgc os1  x  r2  x2  r2  Bgcos

x
r
  CAS  x S

 x

x

cos     
  cos
 cos    Bg cos
2
r
2
2 r
2
r

x  r2  x 2  r2 

cos
 x
 x2


x2
  cos 2  2  sin2  1  cos 2  1  2
2 r
2 r
2
2
r
 sin2
sin 

2
dubbele hoek formules

 r2  x2

2
r2
2  sin

sin

r2  x2


2
r


r2  x2 x
 cos  2 

2
2
r
r
Oppervlakte cirkelsegment

r2  x2
r


 2  I of II 


r2
 sin   x  r 2  x 2
2
r2

 sin   r 2 
2
2
=

=
r2
    sin  
2
72
3.4.2.2.3 Cirkelstrook
3.4.2.2.4 Cirkelsector
73
3.5.
Oneigenlijke integralen
Tot hiertoe hebben we bepaalde integralen steeds gebruikt voor het bepalen van begrensde
vlakdelen. We hebben steeds gesteld dat de integratiegrenzen (a en b) reële getallen zijn en
dat de integrand f een begrensde functie is op [a,b]. We breiden het begrip bepaalde
integraal uit voor de gevallen waarin f niet begrensd is in een eindig aantal punten van [a,b]
of waarin het integratie-interval [a,b] niet begrensd is. Dit noemen we oneigenlijke bepaalde
integralen. Zo kunnen we ook de oppervlakte van onbegrensde vlakdelen berekenen. Deze
oppervlakte zal vreemd genoeg niet steeds  zijn. We illustreren hoe we te werk gaan aan
de hand van onderstaande voorbeelden.
3.5.1.
Convergerende oneigenlijke bepaalde integraal
1
Voorbeeld 1:
 dx

 x
0
De integrand bestaat niet in 0 (de ondergrens). We zien duidelijk in de grafiek dat het te
zoeken vlakdeel onbegrensd is. Deze bepaalde integraal bestaat echter wel op ]0,1].
1
dx
Voor elke t  ]0,1] is de integraal 

 x
zinvol.
t
Onze te zoeken bepaalde integraal kunnen we dus schrijven als:
74
1
1
0
t
 dx  lim  dx  lim 2 x 1  lim 2  2 t 



t


 x t  0  x t  0 
t 0
2  2 t   2  0  2 .
Deze functie bezit een limiet in 0: lim
 

t 0
Merk op dat vreemd genoeg dit onbegrensd vlakdeel een eindige oppervlakte bezit, nl. 2. We
noemen deze oneigenlijke integraal convergerend (naar 2).

dx

 2
x
Voorbeeld 2:
1
De integrand bestaat niet in  (de bovengrens). We zien duidelijk in de grafiek (zie
voorbeeld 1) dat het te zoeken vlakdeel onbegrensd is. Deze bepaalde integraal bestaat
echter wel op [1,t] met t een willekeurig (groot) reëel getal.
Onze te zoeken bepaalde integraal kunnen we dus schrijven als:

t
1
1
t
dx
dx
 1 
 1


 2  lim 
 2  lim    lim    1  0  1  1
x
t
x

x
1 t  

t 
t  
Ook dit onbegrensd vlakdeel bezit een eindige oppervlakte, nl. 1, want deze oneigenlijke
integraal is eveneens convergerend (naar 1).
75
3.5.2.
Divergerende oneigenlijke bepaalde integralen

 dx

 x
Voorbeeld 1:
1
De integrand bestaat niet in  (de bovengrens). We zien duidelijk in de grafiek dat het te
zoeken vlakdeel onbegrensd is. Deze bepaalde integraal bestaat echter wel op [1,t] met t
een willekeurig (groot) reëel getal.
Onze te zoeken bepaalde integraal kunnen we dus schrijven als:

t
1
1
 dx  lim  dx  lim 2 x  t  lim 2 t  2   


1 t  

 x t   x t  
We noemen deze oneigenlijke bepaalde integraal divergerend.
1
dx

 2
x
Voorbeeld 2:
1
De integrand bestaat niet in 0 (verticale asymptoot). We zien duidelijk in de grafiek (zie
voorbeeld 2) dat het te zoeken vlakdeel onbegrensd is.
We zullen deze oneigenlijke bepaalde integraal opsplitsen in 2 gelijke delen (symmetrie over
de Y-as)
1
0
1
1
1
1
1
0
0
t
1

dx
dx
dx
dx
dx
1
 1 


 2   1  lim
 2 
 2 
 2  2
 2  2  lim
 2 2  lim
 = 





x
x x
x
t 0  x
t 0  x t
t 0 t 

76
3.6.
Toepassing op bepaalde integraal: ERB en EVRB
3.6.1.
Inleiding
We beschouwen x  t  als de functie die de positie weergeeft in functie van de tijd.
De gemiddelde snelheid is de verplaatsing per tijdseenheid:
v
x
t
Wanneer we het hebben over de ogenblikkelijke snelheid, nemen we het tijdsinterval t
infinitesimaal of “petieterig” klein:
t  0
De ogenblikkelijke snelheid is dus:
v  lim
t 0
x  x1
x
 lim 2
t

t
2
1 t
t
2  t1
Hierin herkennen we de definitie van de afgeleide in een (niet-geïsoleerd) punt van het domein:
f’(a) is de afgeleide van f in a
asa
f '(a)  lim
h 0
f(a  h)  f(a)
f(x)  f(a)
 lim
 IR
x

a
h
xa
en kunnen we de ogenblikkelijke snelheid dus noteren als de afgeleide van x  t  naar de
tijd.
v  x '(t)  D x (t) 
d x (t)
of korter als dx
dt
dt
Op een analoge manier kunnen we de ogenblikkelijke versnelling beschouwen als de
afgeleide van de snelheidsfunctie naar de tijd. Immers als we in de formule van de
gemiddelde versnelling a 
v
het tijdsinterval opnieuw infinitesimaal klein nemen,
t
verkrijgen we de ogenblikkelijke versnelling als:
v
dv
d2 x
 v ' (t) 
 x ' ' (t) 
t 0  t
dt
dt
a  lim
77
3.6.2.
Eenparig rechtlijnige beweging (ERB)
Bij een ERB blijft de snelheid v constant, dus gelijk aan de beginsnelheid vo.
v  v0 
dx
 cte
dt
v 0  dt  dx
Wanneer we de formule opstellen die de positie weergeeft, die afgelegd wordt tussen het
begintijdstip t 0 en (het variabel tijdstip) t vinden we:
t
x  t   x 0   dx 
t0
t
v
t0
0
 dt  v 0  t  tt0  v 0   t  t 0 
Met t een lopende variabele (“een willekeurig tijdstip t”). De eindpositie die bereikt wordt na
het afleggen van een afstand tussen tijdstip t 0 en t wordt dan weergegeven door:
x  t   x0  v0  (t  t0 ) met x 0 = de beginpositie op tijdstip t 0
3.6.3.
Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)
Bij een eenparig versnelde rechtlijnige beweging blijft de versnelling constant, de snelheid
zal hier dus niet constant blijven, maar evenredig veranderen.
a  cte 
dv
dt
a  dt  dv
Wanneer we de formule opstellen die de snelheidsfunctie weergeeft, die afgelegd wordt
tussen tijdstip t 0 en t vinden we:
t
t
t0
t0
v  t   v 0   dv   a  dt  a   t  t 0 
v  t   v0  a   t  t0 
Wanneer we de formule opstellen die de afgelegde weg weergeeft, die afgelegd wordt
tussen tijdstip t 0 en t vinden we:
78
x  t   x0


t
t
t
t0
t0
t0
t
 dx   v  dt    a   t  t   v   dt   v
0
v0   t  t0  
0
t0
t
0
 dt   a   t  t 0   dt
t0
a
2
  t  t0 
2
De eindpositie die bereikt wordt na het afleggen van een afstand tussen tijdstip t 0 en t
wordt weergegeven door:
x  t   x 0  v 0  (t  t 0 ) 
a
2
  t  t0 
2
met x 0 = de beginpositie op tijdstip t 0
Opmerking:
De ERB is een speciaal geval van de EVRB, waarin de snelheid (v) constant blijft (gelijk aan
de beginsnelheid) en de versnelling (a) dus gelijk is aan nul.
Namelijk:
x  t   x 0  v 0  (t  t 0 ) 
0
2
  t  t0   x0  v0   t  t0 
2
79
3.6.4.
Economische toepassing
Een onderneming maakt een product dat een (vaste) marktprijs p heeft. We nemen aan dat
alles wat de onderneming produceert ook effectief wordt verkocht. Veronderstel dat de
marginale kostenfunctie5 van de onderneming gekend is, nl.
MK : IR   IR : q
Probleem:
MK  q
Hoeveel eenheden moet de onderneming produceren om een
maximale winst te realiseren?
We zoeken eerst de functie die de winst van de onderneming beschrijft in functie van het
aantal geproduceerde (en dus verkochte) aantal eenheden product (q).
W : IR   IR : q
W  q
De winst van een onderneming is het verschil tussen de totale opbrengsten (TO) en de
totale kosten (TK). De totale opbrengsten zijn hier gelijk aan de omzet, m.n. TO  p  q en
de TK die gepaard gaan met het produceren van q aantal eenheden komt overeen met
q
 MK  s  ds .
0
q
De totale kostenfunctie kunnen we noteren als:
TK : IR   IR  : q
TK  q  MK  s  ds

0
Merk op dat we voor de integratievariabele hier s kiezen om geen verwarring te stichten met
het aantal eenheden (q) waarvoor de totale kosten worden berekend. Zoals reeds gezegd is
een bepaalde integraal volledig bepaald door de te integreren functie, onder- en
bovengrenzen. De integratievariabele is een “stomme” of “loze” letter.
5
De marginale kosten zijn de extra kosten die gemaakt worden wegens het produceren van een extra
TK
eenheid van het product, nl. MK 
. Indien de totale kosten voor het produceren van 10
q
eenheden product 200 EUR zijn en de totale kosten voor het produceren van 11 eenheden product
230 EUR, is de MK om het 11de eenheid product te maken gelijk aan 30 EUR. Dit betekent dat indien
MK > 0 de totale kosten zullen toenemen bij uitbreiding van de productiegrootte en indien de MK < 0
de totale kosten zullen afnemen bij uitbreiding van de productiegrootte. De marginale kosten zijn dus
niets anders dan de afgeleide van de totale kosten. Het teken van de MK verklapt dus het verloop
(stijgen of dalen) van de totale kosten.
80
De winstfunctie kunnen we noteren als:
q
W : IR   IR : q
W  q  p  q  MK  s  ds

0
De hoofdstelling van de integraalrekening vertelde ons dat:
f : a,b   IR is een continue afbeelding op a,b 

x
F : a,b   IR : x
F  x   f  t  dt is een stamfunctie van f, m.a.w. F '  f

a
Als we aannemen dat de marginale kostenfunctie (MK) een continue afbeelding is, dan volgt
uit de hoofdstelling van de integraalrekening dat
'
q


W '  q   p  q  MK  s  ds   p  MK  q


0



De productiehoeveelhe(i)d(en) (q) waarbij een maximale winst wordt gerealiseerd moet(en)
voorkomen bij een tekenwissel van W’. Daar wij met “brave” functies werken, zal dit steeds
in (een) nulpunt(en) van W’ zijn. Dit betekent dat de marginale kostprijs gelijk zal zijn aan de
marktprijs van het product.
W'  q  p  MK  q  0  p  MK  q) 
Meestal zal de marginale kostenfunctie een convexe functie zijn (met U-vormig verloop).
prijs
MK
MK
p
0
q1
q2
productie
81
In de cursus economie van het 5de jaar wordt dit aangetoond. Dit volgt uit het feit dat voor
de meeste productieprocessen de productie bij toevoeging van een variabele productiefactor
arbeid (kortweg: meer arbeiders inzetten) aan een vaste productiefactor kapitaal
(machineapparaat) op eenzelfde manier verloopt. De productie zal eerst meer dan evenredig
(of progressief) toenemen, dan minder dan evenredig (of degressief) toenemen, vervolgens
een maximum bereiken om alvorens te dalen bij het verder toevoegen van eenheden arbeid.
Dit fenomeen staat gekend als de wet van toenemende en afnemende fysieke
meerproductie (of marginale productie). Bij dergelijke productiefuncties horen marginale
kostenfuncties met U-vormig verloop (afnemende en toenemende marginale kosten).
De eerste afgeleide van de winstfunctie (W’) heeft twee nulpunten namelijk q1 en q2. Via een
tekenonderzoek van W’ kunnen we bepalen welk van beide nulpunten (anders gezegd:
snijpunten van MK en p) een maximale winst oplevert.
q
W’
q1
-
0
q2
+
0
-
M
W
m
We zien dat de winst maximaal is bij q2 .
Opmerking:
Merk op dat de marktprijs gelijk is aan de marginale opbrengsten (MO). De marginale
opbrengst is niets anders dan de extra opbrengst wegens het produceren van een extra
eenheid. Indien er een extra eenheid wordt geproduceerd (en dus verkocht) is de extra
opbrengst gelijk aan de prijs van de laatst verkochte eenheid, m.a.w. MO = p.
We kunnen dus tevens zeggen dat de winstfunctie een extremum zal bereiken indien MO
gelijk is aan MK (MO = MK). Bij de start van de productie zien we dat de MK > MO bij het
produceren van extra eenheden. Dit betekent dat de extra kost om een extra eenheid te
produceren strikt groter is dan de extra opbrengst wegens het produceren van dit extra
goed. De winstfunctie zal dus dalen. Vanaf q1 zullen de extra opbrengsten die gegenereerd
worden strikt groter zijn dan wat deze extra eenheden extra aan kosten met zich
82
meebrengen, waardoor de winstfunctie zal dalen. Vanaf q2 zijn de extra kosten wegens het
produceren van extra eenheden opnieuw groter dan de extra opbrengsten die deze extra
productie met zich meebrengt. De winstfunctie zal opnieuw dalen. Dit verklaart meteen ook
economisch waarom bij het tweede snijpunt van MO en MK een maximale winst wordt
bereikt en bij het eerste snijpunt van MO en MK een minimale winst (maximaal verlies) wordt
gerealiseerd. Op deze manier werd het bepalen van de optimale productiegrootte (aantal
eenheden waarbij winst maximaal is) aangebracht tijdens de lessen economie in het 5de jaar
(toen waren de begrippen afgeleide en bepaalde integraal nog niet gekend).
83
3.7.
Oefeningen
Oefening 1:
Welke van de volgende verzamelingen zijn naar boven of naar onder begrensd? Geef, indien
ze bestaan, voor elke verzameling het maximum en/of het minimum, de verzameling van de
ondergrenzen/bovengrenzen en het supremum en/of het infimum.
1.
IR \
4.
5 ,9
6.
1,1  IR \
8.
1

n  IN0 

n

3.
x 
5.
2 ,3 
7.
a , a
9.
n  1

n  IN0 

 n

10.
 (1)n

 n 1
11.
 2n2  1

n  IN

 n 1

12.
1
 n
3
13.
  Z
 
 4 
14.
del 72
| | x |  10

2.
(a  IR  )

z 



n  IN


n  IN

Oefening 2:
Construeer voor de volgende functies over het interval a,b een eindige verdeling en
bepaal de ondersom, de bovensom en de Riemannsom bij die verdeling (n is het aantal
deelintervallen).
1.
f(x)  2x  5
over
1,3
n4
2.
f(x)  x 2  1
over
2,2
n6
3.
f(x)  4  x 2
over
2,2
n8
4.
f(x)  4  x
over
0,2
n4
5.
f(x) 
over
1 
 2 , 4


n7
6.
f(x)  sin x
over
0, 
n6
7.
f(x)  x 3  x  1
over
0,6
n  12
1
x
84
Oefening 3:
Bepaal een waarde van c die voldoet aan de middelwaardestelling van de bepaalde integraal
voor de volgende functies en intervallen.
1.
f(x)  3x  5
0,1
2.
f(x)  x 2
0,3
3.
f(x)  x 2  x  1
1,1
4.
f(x)  3x 2  4x  1
1, 4 
5.
f(x)  x  2
2,7
6.
f(x)  x  x 2  1
 3
0, 4 


7.
f(x)  sin x
0, 
8.
f(x)  sec 2 x
 
0, 4 


Oefening 4:
Bereken de volgende bepaalde integralen en geef een grafische interpretatie.
4
4
1.
 (4  x)  dx
2.
0
2
 (1  x )  dx
2
4.
5.
3
 (x
4
 1)  dx
6.
1
1
2
7.




1

2
3
2
9.

11.
1
dx
1  x2
cos x  dx
 (2  x
2




1
8.




1
2
 3x)  dx
dx
x2
1
 dx
x 1
2
1
10.

2
2
 (x
0
1
1
x  dx
0
1
3.

 (x
3
 x 2 )  dx
4
 4x 2 )  dx
1
2
2
)  dx
12.
 (x
0
85

13.
 (sin x  cos x)  dx
7
14.
0
7
 (3x  5)  dx
3
16.

3
 5 cos(3x  )  dx
19.
18.
3
4  x 2  dx
20.




0
1
2
4x  9
1
 dx

7
(3x  5)2  dx
22.
x 2  4  dx
 x  (2x
2
 3) 2  dx
0
24.
1




0
0
 1)3  dx
cos x
 dx
sin2 x
1
2
25.




0
2
23.
 x

2
x
2
2
0
21.
 x  (x
2

2
2
 dx
0
1
17.
4
3
2
15.
 (2x  1)
dx
25  16x 2
dx
x  2x  2




2
1
Oefening 5:
Bereken de volgende bepaalde integralen en geef een grafische interpretatie.
3
2

1.
x  1  dx
2.

3.

cos x  dx
0
 2x  4  dx
3
2
2
4.
 2x
2
 dx
1

5.
 2 sin x  1  dx
0
86
Oefening 6:
Als
f : 0,1  IR : x  x2  1
k1 : 0,1  IR : x  1
1IR : 0,1  IR : x  x
g : 0,1  IR : x  x2  2
1
Bereken dan telkens O f 

1
f(x )  dx
of
Of ,g 
0

f(x)  g(x )  dx
en
geef
0
telkens een grafische interpretatie.
Of ; Ok1 ; O1IR ; Og ; Of ,k1 ; Of ,1IR ; Og,1IR ; Of ,g
Oefening 7:
Bepaal de oppervlakte van het begrensde vlakdeel gelegen tussen de grafieken van de
functies f en g. Bepaal eerst de coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken.
1.
f(x)   x 2  6x  5
g(x)  0
2.
f(x)  x 3  2x 2  3x
g(x)  0
3.
f(x)  2  x 2
g(x)   x
4.
f(x)  9  x 2
g(x)  x  3
5.
f(x)  x 2  4
g(x)  8  2x 2
6.
f(x)  1  x 2
g(x)  x 2  2x
7.
f(x)  x 3
g(x)  x 2  x  1
8.
f(x)  x 3  3x 2  5x  10
g(x)  x  2
9.
f(x)  x
g(x)  x 3
10.
f(x)  25  x 2
g(x) 
1
 x  25 
7
Oefening 8:
Teken de grafiek van de functie y  1 
1
en de rechten y  1, x  1 en x  4.
x2
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door deze vier krommen.
Oefening 9:
Bepaal de oppervlakte van het vlakdeel gelegen tussen y  x 3 en de raaklijn in het
punt 1,1 aan deze grafiek.
87
Oefening 10:
De parabool met vergelijking y 
1 2
x verdeelt de cirkel met vergelijking x 2  y 2  8 in
2
twee stukken. Bereken de verhouding van de oppervlakte van het grootste stuk tot de
oppervlakte van het kleinste stuk.
Oefening 11:
Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel.
Oefening 12:
Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel.
88
Oefening 13:
Bereken de oppervlakte van het gearceerde vlakdeel (straal van de cirkel is 5).
Oefening 14:
We beschouwen krommen door de oorsprong. K b noemen we bissectrice van K 1 en K 2 als
voor alle punten p  K b de oppervlakten tussen de krommen K1K b en K 2K b met de
evenwijdigen aan de assen gelijk zijn (zie tekening). Neem als kromme K 1 de parabool
P1  y  x2 en als K 2 de parabool P2  y  2x2 ; bepaal dan de vergelijking van de
parabool Kb  y  ax2 .
89
Oefening 15:
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de parabool y 
p3
kromme y  2
x  p2
1 2
x en de
2p
(met p  0)
Oefening 16:
Bepaal de oppervlakte van het begrensde vlakdeel omvat door de kromme met de volgende
vergelijking.
1.
y 2  x 2  (x  3)
2.
x2 y2

1
a2 b2
(ellips)
3.
x  (x 2  y 2 )  (x 2  y 2 )  0
(strofoïde)
Oefening 17:
(oneigenlijke bepaalde integralen)
1
1
a.
 dx

 1  x2
b.
1
1

2

c.
 dx

2
  2x  1
 x dx
 2
2
  x  1
d.
 cos x dx

 1  sin x
0
0
Oefening 18:
(oneigenlijke bepaalde integralen)
Bereken de oppervlakte tussen de gegeven kromme en hun asymptoten:
a. f  x  
b. f  x  
c.
f x 
d. f  x  
x2  9
x2
x
1  x 
2
2
1
x
8
x  16
2
90
Herhalingsoefeningen oppervlakte van willekeurige vlakdelen
Oefening 1:
4
a.
2
 (1  cos x)dx
b.
0




1
c.
2


2
x x  4dx
2
d.
x 4
2 x
dx

4
2
 tan xdx
0
Oefening 2:
Bereken de oppervlakte tussen de krommen:
f  x   x 3  3x 2  2
gx  x 1
en de rechte x = -2
Maak een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te maken!)
Oefening 3:
Bereken de oppervlakte tussen de krommen:
f  x   x 2  4x  3
g  x   x 2  x  2
Maak een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te maken!)
Oefening 4:
Bereken de oppervlakte tussen de krommen:
f  x   x 3  2x 2  4
g  x   x 2  4x
Maak een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te maken!)
Oefening 5:
Bereken de oppervlakte tussen de krommen:
f  x   x2
g  x   x3
Maak een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te maken!)
91
Oefening 6:
Bereken de oppervlakte tussen de krommen:
f  x   sin x
g  x   cos x
op interval [0,

]
4
Maak een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te maken!)
Oefening 7:
Bereken de oppervlakte van het gebied, begrensd door de kromme y  x 3  3x 2  5 , de Xas en de verticale lijnen door het maximum en het minimum van de gegeven functie. Maak
een duidelijke tekening!
Oefening 8:
Bereken de oppervlakte van het vlakgebied tussen de grafiek van f : x

f  x   x 3  x 2 , de

raaklijn in P 2, f  2  en de X-as. Maak een duidelijke tekening. (Neem X-as: 1 eenheid = 4
cm en Y-as: 1 eenheid = 1 cm)
Oefening 9:
Bepaal de vergelijking van de rechte L door de oorsprong die het gebied tussen
y   x 2  6x en de X-as in twee gebieden verdeelt met dezelfde oppervlakte.
Oefening 10:
Bepaal de rechte L, evenwijdig met de X-as, die het gebied tussen y   x 2  9 en de X-as in
2 gebieden verdeelt met dezelfde oppervlakte.
Oefening 11:
Gegeven:
P1 : y  2x 2
P2 : y 
1 2
x
2
Bepaal de vergelijking van P3 : y  ax2 zodat de oppervlakte tussen P1 en P3 gelijk is aan de
oppervlakte tussen P3 en P2 op het interval [0,2].
92
Oefening 12:
Bepaal de oppervlakte van de driehoek abc met a(0,0), b(2,2) en c(4,-1) met behulp van
bepaalde integraal! Maak een duidelijke tekening.
Oefening 13:
Bereken m zodat de oppervlakte van het vlakdeel dat begrensd wordt door de parabool P:
y
1 2
 x en de rechte A: y  m  x (m > 0) gelijk is aan 2.
2
Maak een duidelijke tekening.
Oefening 14:
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de volgende 3 krommen:
f  x   25  x 2
y  2x
y
1
x
2
Maak een duidelijke tekening.
Oefening 15:
Bereken de oppervlakte van het begrensde vlakdeel door de kromme met vergelijking
y 2  x 2  x 4 . Maak een duidelijke tekening.
93
4.
LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4.1.
Logaritmische functies
4.1.1.
4.1.1.1
Inleiding
Rekenen met rationale exponenten
Een macht met rationale exponenten (strikt positief grondtal) kennen we reeds van vroeger:
 a  IR 0 ,  q 
Rekenregels:
z

q  n 


: aq  n az
1.
aq1  aq2  aq1 q2
2.
aq1 : aq2  aq1 q2
3.
a 
4.
a
q1
q1
q2
 aq1 q2
 aq2  q1  q2

 a  1
Over irrationale exponenten weten we nog niets!
Voorbeeld 1: We nemen als grondtal a = 10:
10 4  10000
100  1
10 3  0, 001
5
10 4  4 105  10  4 10

A10  10q q 
 is de verzameling van alle rationale machten van 10. Deze verzameling
is een deelverzameling van IR 0 .
Beschouw de functie L10 die elke macht van 10 afbeeldt op haar exponent.


Deze functie L10 : A10  IR 0 
:10q
q is een exponentenplukker en noemen we de
logaritmische functie met grondtal 10.
94
Uit onze rekenregels met rationale exponenten leiden we volgende belangrijke kenmerken /
eigenschappen van L10 af:
 
L10 1  L10 100  0
L10 beeldt 1 af op 0:
L10 beeldt producten af op sommen:


L10 is een bijectie van A10  IR 0 op
IR 0
A10


L10 10q1  10q2  q1  q2
: wegens
L10
a
q1
 aq2  q1  q2
  a  1
IR
0
100  1 
10 2  0, 01 
2
103  1000 
3
5
2
q
5

10 2  105 
10q  1 
…
…
…
…
De omgekeerde of inverse bijectie van L10 beeldt dus elk rationaal getal q af op de macht
10 q (exponentenzetter) en noemen we de exponentiële functie met grondtal 10.
E10  L101 :
  A10  IR 0 : q
10q
Voorbeeld 2: Nemen we een ander strikt positief grondtal, bijvoorbeeld a = 2.
Op analoge manier kunnen we volgende functies definiëren:


L 2 : A 2  IR 0 
: 2q
q
E2  L21 :
  A2  IR0 : q
2q
95
Beide functies zijn mekaars spiegelbeeld ten opzichte van
cartesiaans assenstelsel
y  x ,
de eerste bissectrice van het
ze zijn immers elkaars inverse of omgekeerde relatie. Ze
zijn echter niet continu (alle irrationale getallen ontbreken op de Y-as).
Beide voorbeelden kunnen we veralgemenen voor elk strikt positief reëel grondtal
a
(verschillend van 1).

A a  aq | q 
 = de verzameling van elke rationale macht van a
La : Aa  IR0 
 IR : aq
q is de logaritmische functie met grondtal a, die een
product afbeeldt op een som.
Ea :
 IR  Aa  IR0 : q
aq is de exponentiële functie met grondtal a, die een
som afbeeldt op een product.
Deze bijecties willen we nu uitbreiden tot afleidbare bijecties L, respectievelijk E tussen de
verzamelingen IR 0 en IR, met behoud van de eigenschappen dat een product (van
machten) omgezet wordt in een som (van exponenten), en dat 1 afgebeeld wordt op 0, en
omgekeerd.
Een bijectie L of E met die eigenschappen noemen we een isomorfisme tussen IR0 ,
en
IR,  . Een morfisme is een afbeelding tussen 2 wiskundige structuren (hier 2
commutatieve groepen) waarbij het beeld van de bewerking, de bewerking van de beelden
is. Het gedeelte “iso” slaat op het bijectief karakter.
IR0 , is een commutatieve groep, want de vermenigvuldiging in IR 0
1. is intern;
2. is associatief;
3. bezit een neutraal element, nl. 1;
4. bezit een inverteerbaar element, nl. het omgekeerde;
5. is communtatief
Om dezelfde redenen is IR,  eveneens een commutatieve groep.
Een morfisme behoudt de morfologie (vorm) tussen beide structuren. Het neutraal element
(invers element) van de ene wiskundige structuur zal op het neutraal element (invers
element) van de andere wiskundige structuur worden afgebeeld.
96
q
q2
Een product a 1  a
in Aa  IR0 wordt afgebeeld op een som q1  q2 in
 IR .
Het neutraal element voor de vermenigvuldiging in IR 0 , nl. 1 wordt afgebeeld op het
neutraal element voor de optelling in IR, nl. 0.
IR 0
Aa
IR
La
q1
aq1 
aq2 
q2
aq1  aq2 
a q1 
q1  q2
1

aq1
  q1
0
1  a0 
…
…
…
…
Het symmetrisch element voor de vermenigvuldiging in IR 0 wordt afgebeeld op het
symmetrisch element voor de optelling in IR. Immers, a
 q1
s het symmetrisch element voor
aq1 voor de vermenigvuldiging in IR 0 en wordt afgebeeld op  q1 , het symmetrisch element
van q1 voor de optelling in IR.
Deze gewenste uitbreiding betekent dat we
 a  IR0 ,  q 
: aq
uitbreiden tot
 a  IR0 ,  q  IR : aq .
97
4.1.1.2
Algemene vorm van een logaritmische functie L
We willen L definiëren als een continue, afleidbare bijectie van IR 0 op
Uitgangspunt:
IR die producten afbeeldt op sommen en 1 afbeeldt op 0.
Het voorschrift van L : IR 0  IR : x
L  x  kennen we (nog) niet, maar we gaan de
afgeleide functie L’ bepalen, steunend op de gestelde eigenschappen van L:
 
(1)
L 1  L a0  0
(2)
 t , x  IR0 : L  t  x   L  t   L  x 
a  IR 0
Neem t = cte (een willekeurig strikt positief reëel getal) en L afleidbaar:
 x  IR 0 : t  L'  t  x   L'  x 
Dit geldt voor elke strikt positieve reële x, dus ook voor x = 1.
Neem x = 1:
t  L'  t  1  L' 1

t0
L'  t   L' 1 
 IR
1
 IR 

0
Dit geldt voor een willekeurige t  IR 

0
t
Stel L' 1 = m
 t  IR 0 : L'  t   m 
1
t
met m  IR 0
De afgeleide functie van L is een reëel veelvoud van f  t  
f : IR 0  IR : t
f t  
1
over IR 0 (•)
t
1
is continu over IR 0
t

x
F
: IR 0
 IR : x
x
1
F  x    f  t  dt  
 dt is een stamfunctie van f
t
a
a
98
Uit (•) volgt:
L'  t   m  f  t   m 
1
t

m  IR 0 
L  m F  c

x
x
1
L  x   m   f  t  dt  c  m  
 dt  c
t
a
a
L 1  0 en m  0 kiezen we a = 1 en c = 0
1
1
 L 1  m  
 dt  0 = 0
t
1
0
Elk afleidbaar isomorfisme van IR 0 , naar IR,  is noodzakelijk van de vorm:
x

0
L : IR  IR : x
1
L x  m  
 dt
t
met
m0
1
= willekeurige logaritmische functie L : IR0  IR
We zullen tevens het omgekeerde bewijzen, nl. dat elke functie van bovenstaande vorm wel
degelijk een afleidbaar isomorfisme is.
De eenvoudigste keuze voor m = 1 noemen we de natuurlijke logaritmische functie of
Neperiaanse logaritme6, notatie: ln
6
De Neperse of Neperiaanse logaritmen worden genoemd naar de Schotse wiskundige John Napier
(1550-1617).
99
4.1.2.
4.1.2.1
De natuurlijke logaritmische functie
Definitie, opmerkingen
x
x
 IR 0
1
: ln x  
 dt
t
1
Opmerkingen:
1. Grafische interpretatie:
2. Tekenonderzoek:
3. ln is strikt stijgend over IR 0
 x1 , x2  IR0 : x1  x2  lnx1  lnx2
4.  x  IR 0 : ln
1
  ln x
x
100
x
1
1
5. ln x  
 dt is een stamfunctie van f  t  
t
t
1
1
x
1

 dx  ln x  c
x

 x  IR 0 : ln x  

ln is afleidbaar over IR 0 d.w.z. de grafiek van ln heeft geen knikken

ln is continu over IR 0 d.w.z. de grafiek maakt geen sprongen in punten van het
'

x  IR 0
domein
4.1.2.2
Eigenschappen, het getal e
Eigenschap 1:
ln is een morfisme van IR0 ,  op IR,  :
 a , x  IR 0 : ln a  x   lna  ln x
IR 0 ,  is een commutatieve groep, want de vermenigvuldiging in IR 0 is:
1. intern
2. associatief
3. bezit een neutraal element, nl. 1
4. symmetrisch (inverteerbaar) element van x,
1
x
5. commutatief
Op deze wijze is ook IR,  een commutatieve groep.
Een afbeelding tussen 2 wiskundige structuren (hier 2 commutatieve groepen) waarbij het
beeld van de bewerking, de bewerking van de beelden is = morfisme.
IR 0 ,
ln
x
y
x y
1
1

x
…
IR,+
 ln x
 ln y
 ln  x  y   ln x  ln y
0
1
 ln     ln x
x
…
101
Bewijs:
Eigenschap 2:
 x  IR 0 ,  q 
 
: ln x q  q  ln x
Bewijs: (UOVT !)
102
Gevolg eigenschap 2:
1
  ln x
x
x
: ln  ln x  ln y
y
 x  IR 0 : ln
 x , y  IR 0
Bewijs:
Eigenschap 3:
ln is strikt stijgend over IR 0
 x , y  IR0 : x  y  lnx  lny
Bewijs:
Gevolg eigenschap 3:
0  x 1
x 1


ln x  0
ln x  0
Bewijs:
103
Eigenschap 4:
ln is een bijectie van IR 0 op IR
Betekenis:
Uit elk element van IR 0 vertrekt juist 1 pijl en in elk element van IR
komt juist 1 pijl toe.

Elk reëel getal wordt door ln juist 1 keer bereikt door juist 1 strikt positief
getal.

! getal g  IR0 : lng  1
Dit getal g noemen we “het getal e” (het getal van Euler)
e

1

 dt  ln e  1
t
1
Men kan bewijzen dat
1.
e = 2,718 …
2.
e  IR \
Grafisch:
Eigenschap 5:
lim
ln x  

en
x 0
lim ln x  
x 
Bewijs:
1.
We gebruiken de Q,   vorm van de definitie:
lim ln     Q  IR 0 ,    IR 0 : 0  x    ln x  Q
0
ln is een bijectie van IR 0 op IR   Q  IR0 ,    IR0 : ln   Q
Uit het feit dat ln is strikt stijgend is over IR 0 volgt: 0  x    ln x  ln   Q
2.
We gebruiken de Q,P  vorm van de definitie:
lim ln     Q  IR 0 ,  P  IR 0 : x  P  ln x  Q

ln is een bijectie van IR 0 op IR   Q  IR0 ,  P  IR0 : lnP  Q
Uit het feit dat ln is strikt stijgend is over IR 0 volgt: x  P  ln x  lnP  Q
104
Opmerkingen:
  is gelijk aan de functiewaarde, want
a. De limiet van ln in een punt van het domein IR 0
ln is een continue functie.
b. De grafiek van ln heeft:
i. een VA: x = 0
ii. geen HA
c. ln is een isomorfisme van IR 0 ,  op IR,  .
d.  q 
: ln e q  q  ln e  q
 e is het grondtal van de natuurlijke logaritmische functie (ln).
4.1.2.3
Grafiek van de natuurlijke logaritmische functie
105
4.1.3.
4.1.3.1
Willekeurige logaritmische functie met grondtal a
Inleiding
Een willekeurige logaritmische functie is steeds van de vorm:
x

0
L : IR  IR : x
1
L x  m  
 dt  m  ln x
t
met m  IR 0
1
Het grondtal van een willekeurige logaritmische functie is het strikt positieve getal a dat
wordt afgebeeld op 1. Voor de natuurlijke logaritmische functie was dit het getal e, namelijk:
lne  1 .
Daar elke willekeurige logaritmische functie een afleidbare bijectie is van IR 0 op IR geldt
! a  IR 0 : L  a   m  lna  1  m 
dat:
1
lna
met m = modulus  IR 0
a = het grondtal  IR 0 \ 1
4.1.3.2
Definitie, opmerkingen
Een willekeurige logaritmische functie met grondtal a  IR 0 \ 1
 x  IR 0 : a log x  ln x 
1
ln x

lna lna
Opmerkingen:
1. Dat a het grondtal wordt genoemd, wordt gerechtvaardigd door:
 
L aq 
   q  lna  q
ln aq
lna
lna
2. Elke logaritmische functie is een reëel veelvoud van de natuurlijke logaritme:
a
log  m  ln
met m 
1
lna
3. De logaritmische functie met grondtal a, wordt ook de a-logaritme genoemd.
4.
a
log x lezen we als “de a-logaritme van x” of kortweg “a-log x”.
5.
a
log wordt soms ook genoteerd als loga .
6. De natuurlijke logaritme heeft e als grondtal en 1 als modulus, ln  e log .
106
7. De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse logaritme.
10
log x noteren we
kortweg als log x . Op ons rekentoestel staat zowel een knop om rechtstreeks de
natuurlijke logaritme (ln) te berekenen als de Briggse logaritme (log). Eigenlijk is de knop
log overbodig, want indien je de natuurlijke logaritme kan berekenen kan je meteen ook
alle willekeurige logaritmen berekenen, nl. log3 
4.1.3.3
ln3
.
ln10
Eigenschappen en grafiek van een willekeurige logaritmische functie
Elke willekeurige logaritmische functie met grondtal a is een afleidbaar isomorfisme van
IR0 , naar IR,  .
Hieruit volgen meteen volgende eigenschappen:
log: IR0  IR is een bijectie
Eigenschap 1:
a
Eigenschap 2:
 x , y  IR0 :
a
log  x  y   a logx  a logy
De logaritme van een product is de som van de logaritme van de factoren.
Eigenschap 3:
Eigenschap 4:
 q
:
a
 
log aq  q (exponenteigenschap)
a , b  IR 0 \ 1   x  IR 0 : b log x 
a
a
log x
logb
= Verandering van het grondtal
Eigenschap 1 moet je niet strikt kunnen bewijzen, wel kunnen uitleggen. De bewijzen van
eigenschappen 2 en 4 zijn UOVT en volgen uit de definitie van a log .
107
OPDRACHT:
Onderzoek het verband tussen het grondtal en de grafiek van willekeurige logaritmische
functies.
1. Teken in 1 assenstelsel de grafieken van … door goed gekozen koppels te kiezen.
1
2
log
2
ln  e log
log
4
log
Neem als indeling op de X-as: 2 cm (4r) = 1 eenheid en op de Y-as: 2 cm (4r) = 1
eenheid.
2. De afgeleide van ln kennen we reeds. Onderzoek (en bewijs) wat de afgeleide is van
een willekeurige logaritmische functie met grondtal a.
a
log is afleidbaar:

a

'
log x  D

a

log x 
...
3. Onderzoek het verband tussen het grondtal en het verloop van een willekeurige
logaritmische functie. Bewijs dit verband.
4. Onderzoek het verband tussen de grafiek van
1
a
log en de grafiek van
a
log . Bewijs dit
verband.
5. Onderzoek het verband tussen de grafiek van
a
log en de grafiek van a log . Bewijs dit
a
log boven / onder de grafiek van
verband.
6. Indien a en b allebei >1 dan ligt de grafiek van
b
log
voor 0 < x <1 en ligt de grafiek van a log boven / onder de grafiek van b log voor x > 1 .
108
4.1.4.
Oefeningen
Oefening 1:

Bereken de volgende logaritmen zonder rekentoestel a, x  IR 0 \ 1
log32
2.
2
log
1
32
3.
2
log 3 4
1
log 5
2
5.
2
log 4 0,125
6.
3
log(3  3 9)
log 4 7
9.
1.
2
4.
2
7.
49
10.
0,04
13.
a
1
log 5
7
8
8.
log 4 5
log
4
16.

3
a2
5
a3
log5
log5
1
7


11.
a
log a7  3 a2
14.
x
log
17.
3
log
1
x

3
log 3 3
1
16

log 32  3 4
4
a3
a4
12.
a
15.
 1 
ln 

e e 
log


Oefening 2:
Als gegeven is log2  0,30103 en log3  0, 47712 bereken dan
1.
log8
2.
log 3 2
4.
log0,25
5.
log
7.
log0,75
8.
10.

1
log 13  
3

11.
3.
log5
6.
log6
log30
9.
log13,5
log200
12.
log36
8
125
Oefening 3:
Bereken met behulp van een rekentoestel.
1.
7
5.
14
9.
0,25
log13
log 9
log2,145
2.
0,5
6.
5
10.
log372
3.
13
1
27
7.
2
log
2
log0,78
4.
9
log14
log14
8.
3
log 213
log e
109
Oefening 4:
 x1 , y1 
Bereken de vergelijkingen van de raaklijnen in het punt
aan f  x   lnx en stel
grafisch voor.
1.
x1  1
2.
x1  e
3.
x1  2
4.
x1 
1
2
5.
x1  e2
6.
x1  e1
Oefening 5:
Bereken de vergelijkingen van de raaklijnen in het punt  x1 , y1  aan y  f  x  .
1.
x1  e
f  x   2  ln x
2.
x1  2
f  x   ln  x  1
3.
x1  1
f  x   ln x 
4.
x1  1
f  x   x  lnx
2
Oefening 6:
Bepaal het domein van de volgende functies en bereken de afgeleide functie ervan.
2.
y  2 log  4x  7 
4.
y  ln2 x
y  x 2  ln x
6.
y
7.
y  lnx
8.
y  ln x  x2  1
9.
y
10.
y
11.
y  ln x  3
12.
y  log logx 
13.
y  log log log x 
14.
y  ln  sinx 
1.
y  ln  4x  5
3.
y  ln x 3  5x 2
5.


ln 1  x 
x
2


ln x
x


ln x
1  ln x
Oefening 7:
Bewijs de volgende eigenschappen van de logaritmische functie met grondtal a.
1.  x, y  IR0 :
2. q 
:
a
3. D a log x 
a
log  x  y   a logx  a logy
 
log aq  q
1
x  lna
110
Oefening 8:
Gegeven zijn de volgende functies
f : IR0  IR : x
x 1
g : IR 0  IR : x
1
ln : IR0  IR : x
lnx
1
x
Toon aan dat  x  IR 0 :1 
1
 ln x  x  1
x
Maak de grafiek van de functies op één tekening. Welke meetkundige interpretatie kunnen
we aan de ongelijkheid geven?
Oefening 9:
Bewijs volgende gelijkheden (a, b, c en d  IR 0 , alle grondtallen zijn verschillend van 1 en
m, n zijn van 0 verschillende rationale getallen).
a.
c.
e.
a
logb  b log c  c log d  a log d
ab
log x 
b.
a
log x
1  a logb
d.
b
logc a
 logc
b
loga
f.
a
az
a
b
1
1
b

log x
log x
ab
1
log x
logbz  a logb
logc a
 logb
logc
 a logc 
logc  a log  a

 logb 
m b
 loga
n
h.
a
log
log c  b log d  a log d  b log c
j.
a
log c n  b log d  a log c  b log dn
g.
bn
i.
a
logam 

b

Oefening 10:
Bewijs volgende eigenschappen:
(i)
 a, b  IR0 \ 1 ,  x  IR0 :
(ii)
 a, b  IR0 \ 1 : a logb 
b
(iii)
 a, b  IR0 \ 1 : a log'1 

b
log x 
1
of
log a
a

'
log1 
a
a
1
 a log x
logb
logb  b log a  1
1
 m  IR 0
lna
Meetkundige betekenis van de modulus: de modulus van een logaritmische functie is de Rico
van de raaklijn in (1, … ) aan de grafiek van deze functie.
111
Oefening 11:
Bewijs volgende gelijkheden (P, Q zijn strikt positieve reële getallen) en alle grondtallen zijn
strikt positieve van 1 verschillende reële getallen.
a.
ab
b.
abc
logP 
logP 
a
logP  b logP
a
logP  b logP
a
logP  b logP  c logP
a
logP  b logP  b logP  c logP  c logP  a logP
Oefening 12:
a. De marginale opbrengst m0 van de verkoop van dozen is gegeven door: f(x) 
66
x 1
met x uitgedrukt in duizend verkochte eenheden en f  x  in euro.
1. Bepaal de totale opbrengstfunctie F.
2. Stel F grafisch voor en ga na of de functie een aannemelijke totale
opbrengstfunctie is.
b. Sommige psychologen zijn van oordeel dat de functie f  x  
5
3 x ln x  5x  10
de
mogelijkheid om te leren vanaf de zesde maand tot het vierde levensjaar goed benadert.
Hierin is x uitgedrukt in jaren. Op welke leeftijd leert het kind volgens deze theorie het
best?
112
4.2.
Exponentiële functies. Machten met reële exponenten
4.2.1.
Inleiding
Beschouw de uitdrukking ab . Deze uitdrukking is reeds gedefinieerd voor a  IR0 , b 
Uitdrukkingen zoals: 02 ,  2

1
4
, 00 , 2 , 1
2
.
, … zijn (voorlopig) niet gedefinieerd.
We wensen nu ab te definiëren  b  IR .
 a  IR 0 \ 1 ,  q 
: a logaq  q
 a  IR 0 \ 1 ,  q 
: aq  a log1 q
* 
dom a log1  IR  bld a log
bld a log1  IR 0  dom a log
Elke logaritmische functie a log beeldt producten in IR 0 af op sommen in IR.
De omgekeerde relatie van
a
log , met name
a
log1 beeldt sommen in IR af op producten in
IR 0 .
De gelijkheid * is bewezen  q 
.
Het linkerlid van deze gelijkheid is voorlopig enkel gedefinieerd  q 
a
. Het rechterlid
log1 q is gedefinieerd  q  IR , want dom a log1 =IR  bld a log .
Vermits
beide
leden
 a  IR0 \ 1 ,  q  IR \
gelijk
stellen
we
per
definitie:
: aq  a log1 q
Voor a = 1 was reeds gedefinieerd:  q 
1
zijn
: 1q  1
log  1 log 1
We stellen per definitie:  q  IR \
: 1q  1
113
4.2.2.
1.
Definitie, opmerkingen
r
a
1

a  log r
 r  IR : 
r

a  1

a  IR 0 \ 1

a 1
= Definitie van “macht met reële exponent”
2.
a
exp  a log1 : IR  IR0 is de exponentiële functie met grondtal a  IR 0 \ 1
= Definitie van “willekeurige exponentiële functie”
Opmerkingen
1.
e
2.
a
3.
a
notatie
exp  exp  e log1  ln1 is de natuurlijke exponentiële functie.
 ln x 
log x  exp x  a  

 lna 
1
a
x
1

lna
ln x
exp x  a log1

 
exp  log x   x  a
 x  IR : a log ax  x
 x  IR 0 :
a
a
a
log x
log1  a exp is een isomorfisme van IR,  naar IR 0 ,
4.
a
5.
10
exp x 
10
log1  log1
= Briggse exponentiële functie
6.
ax  e xln a
ln ax  x  ln a
114
4.2.3.
Eigenschappen
Eigenschap 1: Rekenregels voor machten met reële exponenten
1.
 a  IR0 ,  x, y  IR : ax  ay  ax y
2.
 a  IR0 ,  x, y  IR : ax : ay  ax y
3.
 a  IR 0 ,  x, y  IR : a x
4.
 a,b  IR 0 ,  x  IR :  a  b   ax  b x
 
y
 a x y
x
x
5.

a,b  IR 0 ,
ax
a
 x  IR :    x
b
b
Bewijs: UOVT !
Eigenschap 2: Afgeleide van exponentiële functies
    ...
:  exp x    e   ...
 a  IR 0 \ 1 ,  x  IR :
ae

a
'
exp x  ax
'
x
'
'
Bewijs:
115
Eigenschap 3: Verloop van exponentiële functies
0<a<1 
a
exp is strikt dalend op IR
a>1 
a
exp is strikt stijgend op IR
Bewijs:
4.2.4.
Grafiek van exponentiële functies
Teken in 1 assenstelsel de grafieken van:
1
2
exp 
1
2
log1
2
exp  2 log1
2
log
1
2
log
Neem als indeling op de X-as: 2 cm (4r) = 1 eenheid
Y-as: 2 cm (4r) = 1 eenheid
116
4.2.5.
Oefeningen
Oefening 1:
Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen.
a.
eln2
b.
e x ln2
c.
eln x ln y
e.
e  ln 4
f.
e 4 ln x
g.
lne  x
i.
ln x  e x

2

2
d.
e  ln x
h.
e x ln x
Oefening 2:
Bereken de vergelijking van de raaklijn in het punt  x1 , y1  aan f.
1.
x1  0
f(x)  e x
2.
x1  1
f(x)  e x
3.
x1  2
f(x)  e x
4.
x1  1
f(x)  e  x
5.
x1  1
f(x)  e 2x
Oefening 3:
Bepaal de afgeleide functie van
1.
y  e5x
2.
y  ex
4.
y  x
5.
7.
y  e x  ln x
10.
y  ex
3.
y  e sin x
y  ex
6.
y
8.
y  acos x
9.
y  ex  ex
11.
y  ln e x  1
1
2
5x 1

ex
x

Oefening 4:
Bepaal het domein van de volgende functies en bereken de afgeleide functie ervan:
1.
y  xx
ln x
3.
yx
5.
1

y  1  
x

7.
y   2x  5 
2.
y   x  1
4.
1
y 
x
6.
y   ln x 
8.
y  xx
x
x
x 1
x
x
1
117
Oefening 5:
Bepaal het domein van de volgende functies en bereken de afgeleide functie ervan:
1.
y  x log 5x  1
3.
y
tan x
5.
y
sin x
3x 1

log x 2  1
2.
y
log  sin x 
4.
y  x log x 3  x 2
log  cos x 
6.
y

5x

log x 3  5



Oefening 6:
Bereken het getal a  IR 0 zo dat de functie y  ax voldoet aan de vergelijking y ' 2y  0 .
Oefening 7:
Bewijs de rekenregels voor machten met reële exponenten (eigenschap 1 p. 95).
a,b  IR0 ; x, y  IR
1.
ax  ay  ax  y
2.
ax : a y  a x  y
3.
 a  b   ax  b x
4.
ax
a

 
b
bx
x
x
Oefening 8:
Bewijs de eigenschap:
0  a 1 
1 a 
a
a
exp is strikt dalende functie
exp is strikt stijgende functie
Oefening 9:
1. Bewijs dat er voor 1  a raaklijnen bestaan aan
a
log en
a
exp die evenwijdig zijn met de
eerste bissectrice van het assenstelsel. Bereken de coördinaten van de raakpunten.
2. Bewijs dat er voor 0  a  1 raaklijnen bestaan aan
a
log en
a
exp die evenwijdig zijn met
de tweede bissectrice van het assenstelsel. Bereken de coördinaten van de raakpunten.
Oefening 10:
Welke relatie bestaat er tussen de grondtallen van exponentiële functies waarvan de
grafieken symmetrisch zijn t.o.v de Y-as? Verklaar dat.
118
Extra oefeningen op afgeleide van logaritmische en exponentiële functies
Bepaal de afgeleide van volgende functies.
a.

1 x 
D ln

1 x 

b.
D  x  1  ln x 2  1 


c.
D ln x  x 2  1 


d.
D 



2x  ln2
e.
 e2x  1 
D

 2e x 
e 2x  1
2  ex
f.
 e x  e x 
D ln x

 e  e x 
e
g.
sin x 

D ln
 1  sin x 
cos x
sin x  sin2 x
h.
 ex  3  e x 
D ln

ex  1 

i.

1
1 
D  x 2  1  ln   1  2   met x > 0
x  
x

j.
1
1 x 
D   log

1 x 
4
k.
 ln x 
D
 2  ln x 
l.
D  5 log 5x  4 
m.
D x
n.
D  x ln x 
o.
D  xlog(sin x) 
p.
D  tan x 
1
1  x2


2x
 x 1  x 2 
2x
x 1

ln x 2  1 


 2

1
x2  1
2x
e
4
 e 2x
ex  3  ex  6
x

 1  e x 3  e  x

x2  1
x
1
4   x  1  ln10
2
2
2
x   2  ln x 

5x
5x  4
xx
2
3x 1
  x  2x  3  ln x  x2  3x  2
2  xln x 1  ln x
sin2 x
xlog(sin x)   x  cot x  log x  log(sin x)

2
 tan x sin
x 1
 2  cos 2 x  ln(tan x)  1
119
 
q.
D Bg tan x

r.
D  cos 2x 
s.
2


x
2x

2



D 
 
 x  6  
x
x
6 x

x
1
2

 ln x  2
2  1  x 2
  cos 2x 
5 x
x

 cos 2x  ln  cos 2x   2   6  x   sin 2x 
2
2  2x  2  x


x2  x  6 
7x
 2x  2

 ln


 x  6 (x  6)  (x  1) 
120
4.3.
Toepassingen
van
logaritmische
en
exponentiële
functies
4.3.1.
Limieten van logaritmische en exponentiële functies
lim
Voorbeeld 1:
lim
x 0
x 0
ax  1
bx  1
ax  1 1  1 0

 |
bx  1 1  1 0
H
 lim
x 0
ln a  ax ln a b

 loga
lnb  b x lnb
x
1

lim 1    1   |
x  
x
Voorbeeld 2:
Dit is een nieuwe onbepaalde vorm! We weten wel dat  r  IR : 1r  1 .
1

f  x   1  
x

1
2
2
9
4
10
1,1
100
1,01
10
x
 2,5937...
100
 2,7048...
1000
2,716...
1000.000
2,71828...  e
x
1

lim 1    1   |
x  
x
Eigenschap 5de jaar:
lim f bestaat en g is continu in lim f
a
1

 lim exp ln 1  
x 
x

a
x

 lim  g f   g lim f
1

 exp lim ln 1  
x 
x

a
a

x
121
x
1
1


 lim ln 1    lim x  ln 1      0  |
x 
x

x
x


1

ln 1  
x 0

 lim
 |
x 
1
0
x
'
1
1
 
1 x
1
H
1
x
 lim
 lim
1
'
x 
x 
1
1
1
x
x
 
=exp 1 = e
Voorbeeld 3:

lim x  e x
x 0
 lim exp

1
x
 1  |

ln x  e x
x
x 0
 lim
x 0
  exp lim ln  x  e 
x
x 0

ln x  e x
x
x
  0 |
0
1  ex
H
x
1  ex 2
 lim x  e  lim
 2
x 0
x 0 x  e x
1
1
= exp 2 = e 2
122
4.3.2.
Verloop van logaritmische en exponentiële functies
Om de grafiek van een logaritmische of exponentiële functie te onderzoeken, gaan we te
werk volgens ons “7 stappenplan” (zie 5de jaar).
1. Bepalen van het domein. Nagaan of de grafiek symmetrieën (even of oneven)
vertoont of een periode heeft.
f is een even functie  f  x   f  x   Y is een symmetrie-as
f is een oneven functie  f  x   f  x   oorsprong is een symmetriemiddelpunt
2. Bepalen van de (eventuele) snijpunten met de X- en Y-as. Tekenonderzoek.
3. Limieten bepalen in de ophopingspunten van het domein die niet tot het domein
behoren. Zoeken naar eventuele asymptoten (VA, HA of SA).
4. Bepalen van de eerste afgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informatie over het
stijgen en dalen van de grafiek.
5. bepalen van de tweede afgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informatie over
de convexiteit / concaviteit (holle en bolle zijde) van de grafiek.
6. Samenvattende tabel met tekenonderzoek van eerste en tweede afgeleide en
besluiten voor het verloop en holle / bolle zijde van de grafiek.
7. Tekenen van de grafiek op basis van onze voorgaande berekeningen en enkele
aanvullende koppels om de nauwkeurigheid te vergroten.

f  x   ln x 2  x
Voorbeeld 1:

1. Domein, ophopingspunten, …
x  dom f  x 2  x  0
x
x2  x
0
1
+ 0 - 0 +
dom f    ,0   1,  
De grafiek van f is noch even, noch oneven, noch periodisch.
123
2. Snijpunten met assen en tekenonderzoek
f  X  as  x 2  x  1  x 2  x  1  0
D  1  4  1  5
x1,2 
1 5
2

1  5 

f  X  as  
,0 
2




f  Y  as   (zie domein)
x
0
1 5
2

f  x   ln x 2  x

+
0
-
1
1 5
2
-
0
+
Berekening:

f  x   ln x 2  x

 0  x2  x  1  x2  x  1  0
3. Limieten in speciale punten + asymptoten
a.




lim ln x 2  x  ln lim x 2  x  







lim ln x 2  x  ln lim x 2  x  
0
0
0




lim ln x 2  x  ln lim x 2  x  
1
b.
VA1 : x  0
1
VA 2 : x  1
(zie 3.a.)
Geen HA (zie 3.a.)
SA ?
lim

ln x 2  x

x
    |

2x  1
2
2x  1
2x
 lim x  x  lim 2
 lim 2  0  IR 0 dus geen SA

 x  x
 x
1
H
4. Eerste afgeleide + meetkundige betekenis
f 'x 
2x  1
x2  x
Nulpunt
1
 dom f
2
124
5. Tweede afgeleide + meetkundige betekenis
f ''  x  


2 x 2  x   2x  1
x
2
2
x

2

2x 2  2x  4x 2  4x  1
x
2
x

2

2x 2  2x  1
x
2
x

2
Tweede afgeleide heeft geen nulpunten, dus f geen buigpunten.
6. Samenvattende tabel
x
0
1
f’
-
+
f’’
-
-
f


7. Grafiek
125
f x 
Voorbeeld 2:
1
1 x
e
x
1. Domein, ophopingspunten, …
x  dom f  x  0  dom f  IR 0
oph dom f \ dom f  ,0
2. Snijpunten met assen en tekenonderzoek
1
a. f  X  as  , want
1 x
e  0
x 0
b. f  Y  as   , zie dom f
c. Tekenonderzoek:
x
0
f x
-
/
+
3. Limieten in speciale punten + asymptoten
a. lim f  x  met x  oph dom f \ dom f
x a
lim
e
x 
lim
x 0
e

1
x
1

0
x


x
1
x
=
=
l im
e
x 
0
0

0

1
x
x

1
0

RL 
LL 
1
LL:
1 
lim  e x    e   
x 0 x
 

RL:
lim

1
x 0

1 x
 e    e   /
x
0
lim

e
x 0
H

lim
e

x 0
1
x


x

1
x

0
/
0
1
0
 /
2
0
x
 wordt moeilijker!
126
'
1
x    /
 lim
1


x 0
ex
b. Asymptoten:
VA: x = 0
H

1
x
   lim 1  0
lim
'
1


1
x 0
1  x 0 e x
x 
e  
x
HA  : y  0
4. Eerste afgeleide + meetkundige betekenis
 1 1  e
a. f ' x     e x  
x



'

1
x
1
1


1
 2 x e x e x
x

x2
1

1

   1
x
x
  e  1  x 
x2
x3
b. Tekenonderzoek f’:
x
0
1
+
+
+
+
+
1 x
+
+
+
0
-
x3
-
0
+
+
+
f ' x 
-
/
+
0
-
e

1
x
M
f x
0

/
5. Tweede afgeleide + meetkundige betekenis
a. f ''  x 





1

e x
e

1
x

1
x


e
1
1
 1 1
 

3
2
x
x
 e  2 1  x   e   x  3x  e x  1  x 
x
 1  x   

 
3
x
x6


'
1

 1  x


 
 x   3  1  x  e x

 x

4
x

 1  x  3x  2x 2
x
5
1
x
  e  2x

2
x
1  x  x 2


 3  3x 
x


4
x
 4x  1
5

 D  8  x1,2 
2 2
2
127
b. Tekenonderzoek f’’:
x
0
+
+
+
2 2
2
+
2x 2  4x  1
x5
f '' x 
+
-
+
0
/
+
+
+
0
+
0
+
-
0
+
0
+
+
+
f x


Bgpt

Bgpt

e

1
x
+
2 2
2
+
+
6. Samenvattende tabel
x
0
f ' x 
-
/
+
2 2
2
+
f '' x 
-
/
+
0
f x
/
+
0
-
-
-
2 2
2
-
-
-
0
+
M
Bgpt

1
0
Bgpt
0
7. Grafiek
128
4.3.3.
Logaritmische en exponentiële vergelijkingen
Wanneer een onbekende x als argument van een logaritmische (exponentiële) functie
voorkomt noemen we dit een logaritmische (exponentiële) vergelijking.
Voorbeeld 1:
2
log x  3
Eerste manier:
2
exp
Tweede manier:
ln x
 3  ln x  3  ln2  ln x  ln23  x  8
ln2
Voorbeeld 2:
4x 
1
8
Eerste manier:
4x 
1
3
 22x  23  2x  3  x  
8
2
Tweede manier:
4
Voorbeeld 3:
logx  2  log3  log2  log  x  7
BV:

2

log x  2 exp3  x  23  8
 3 
3
1
log 4 x  4 log    x  4 log  4 2   x  


8
2
 


 
x  0 en x  7  0  x  7
log x  2  log3  log2  log  x  7 
log x  log  x  7   log2  log32

log  x   x  7    log 2  32



log x 2  7x  log18
x 2  7x  18
x 2  7x  18  0
s7 
  x  9 en x  2  vervalt wegens BV!
p  18 
129
log x 
2
Voorbeeld 4:
BV:
 log x5  6  0
x0
log x 
2
 5  log x  6  0
Stel t  log x
t2  5  t  6  0
s  5
  x  2 en x  3
p  6


log x  2
x  10
2
Voorbeeld 5:
Eerste manier:
of
log x  3
of
x  103

10

x2

10

x2
1 2
x
10 2
1
10 2
 0,012x  1
 0,012x  1

 102
x 2  4x

2x
1
 1  100
1 2
x  4x  0
2
x  0 of x  8
Tweede manier:
Neem log van beide leden


log  10


x2

 0,012x   log1  0


x2  log 10  2x  log0,01  0

x2 

1 2
x  4x  0
2

x  0 of x  8
1
 2x   2   0
2
130
4.3.4.
Functies waarvoor geldt dat afgeleide recht evenredig is met
functiewaarde
Functies waarvan geldt dat afgeleide recht evenredig is met de functiewaarde
f' kf  f :x
f  x   b  ekx
met
b  IR
Bewijs:

f  x   b  ek x

f '  x   b  k  e k x

f '  x   k  b  ek x
fx

f 'x  b  f x

k f  x 
'
f 'x  k  f x 


 f  x   f '  x   ek x  f  x   k  e k x
0
 k x  
e2k x
e 
f x
 b (cte functie)
ek  x
f  x   b  ek x met b  IR
Voorbeeld 1:
a. Stijn belegt 2500 euro tegen 5% samengestelde intrestvoet. Het kapitaal neemt dus
jaarlijks met 5% toe. Hoeveel euro heeft hij na 5 jaar?
b. Jan bezit eveneens 2500 euro en krijgt van zijn bank een intrestvoet van 0,5% per
maand. Hoeveel bedraagt zijn jaarlijkse intrestvoet?
c. Hoeveel heeft Jan na 5 jaar op zijn spaarrekening?
Voorbeeld 2:
Stel je voor dat je de groei van een cultuur bacteriën bestudeert. De groei hangt af van de
tijd t in uren. De groeisnelheid verloopt volgens de vergelijking:
N'  t   0,34  N  t  waarbij N  t  het aantal bacteriën na t uren voorstelt.
Stel dat voor t = 0 het aantal bacteriën 100 bedraagt.
a. Bereken N  t  .
b. Bereken de verdubbelingstijd (dit is de tijd, waarin het aantal bacteriën verdubbelt)
131
4.3.5.
Onbepaalde integralen
1
We kunnen nu eindelijk de eenvoudige onbepaalde integraal 
  dx oplossen. Vermits
x
ln x 
'

1
en dit  x  IR0 . Dus:
x
1

  dx  ln x  c
x
 
We kunnen eveneens stamfuncties berekenen van exponentiële functies. Vermits e x
e
wordt
x
'
 ex
 dx  e x  c . Merk op dat de natuurlijke exponentiële functies een stamfunctie is
van zichzelf!
Ook het berekenen van stamfuncties van willekeurige exponentiële functies kent voor ons
a
geen geheimen meer:
x

 dx  e xln a  dx 
1
1  t
1
 ax  c
 e xln a  c 
 e  dt 
lna 
lna
lna
Stel t  x  lna  dt  lna  dx 
x
De formule (zie leerstof september)
q
 dx 
dt
 dx
lna
1
 x q1  c was voorlopig slechts
q 1
gedefinieerd voor rationale exponenten. We breiden deze formule uit tot reële exponenten
(verschillend van -1).
Voorbeeld 1:
x
2
 ex
3
2
 dx  
 ex

3
2
3
1
1
  d x 3  2   e x 2  c
3
3


Voorbeeld 2:

PI
ln x  dx  x  ln x  
x

1
 dx  x  ln x  x  c
x
Voorbeeld 3:

PI

PI

cos x  e x  dx  cos x  e x  sin x  e x  dx  cos x  e x  sin x  e x  cos x  e x  dx


 2  cos x  e x  dx  cos x  e x  sin x  e x  c  cos x  e x  dx 
1
cos x  e x  sin x  e x  c
2


Voorbeeld 4:
 dx  1  d  3x  2   1  ln 3x  2  c  ln 3 3x  2  c


3
 3x  2 3  3x  2
132
4.3.6.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken de volgende limieten
1.
lim
ln x
x  x
2.
3.
lim  x  ln x 
4.
ln x
x  1  ln x
6.
lim
2.
1 

lim 1 

x  
ax  b 
4.
lim 1  ax  x
5.
7.
x 
lim
ln 1  x 
x
x 0
lim  x  ln x 
x 0
lim
ln  2x  1  ln 7
x 3
x 3
lim ln  2  x   ln 1  x  
x  
Oefening 2:
Bereken de volgende limieten
1.
1 

lim 1 

x  
2x  5 
3.
lim 1  3x  x
x
2
x 0
5.
 3x  5 
lim 

x   3x  2 
7.
 ax  b  x
lim 

x 0  cx  b 
x
b
x 0
x
6.
 ax  b 
lim 

x   ax  c 
8.
x x

lim 1 

x 0 
2x  7 
1
x
1
Oefening 3:
Bereken de volgende limieten.
1.
lim
x 0
ax  1
bx  1
2.
3.
1 
 1
lim 
 x

x 0  ax
e 1 
5.
lim
7.
x 0
lim
x 

 
x ex  5  6 ex  1
x3
2e x
e2x  e  x
4.

6.
8.

lim x  e x
x 0
lim
x 0

1
x
ex  1
x
lim
e3x  e 3x
e3x  e 3x
lim
x  ex  ex  1
x2
x 
x 0
133
Oefening 4:
Bestudeer het verloop van de volgende functies.
1.
y  ln 5x  1
3.
y  ln 9  4x 2
5.
y
7.
y   x  3  e x 1


ln2 x
x

2.
y  ln x 2  1
4.
y  x  ln x
6.
y  e x
2

1
1
Oefening 5:
Bepaal / bespreek voor onderstaande functies
a. het domein;
b. de snijpunten met de X- en de Y-as;
c. het stijgen en dalen / extrema;
d. de holle en bolle zijde / buigpunten.


1.
f(x)  3  ln e x  1  2x (enkel a, c en d !)
2.
f  x   xln x
3.
 1  ex 
f  x   ln 

 2 
4.
f  x   ln e x  1  x
5.
f  x   3x  3  ln 2e x  1
6.
f  x   xx
7.
 x 1
f  x   ln 

 x 
8.
f  x   x  e1x
9.
f x  e


1 x
x2
10.

f x 
1
ex

 x  2  x 
Oefening 6:
Bepaal het grondtal a.
a.
a
log25  2
b.
a
log14  a log2  1
c.
a
log250  3  a log2
d.
4  a log 2  a log 4 32


134
Oefening 7:
Los de volgende logaritmische vergelijkingen op.
1.
log x  2  log10  log28  log9  log35
2.
log x 2  2  log30  4  log3  2  log5  log100
3.
2  log x 2  3  log3  log64  log28  log21
4.
1
 log  x  3  3  log2
2
5.
2  logx  log 7x  6 
6.
5  log x  log288  4  log
7.
2
8.
2  ln  x  1  lnx  1
9.
log x  log 3 x  3  log 4 x 
10.
x
11.
x 2
12.
log x 2  log3 x  4  log2 x
13.
log 2 x  12  log x 7
14.
log3 x  4  log2 x  log x  0
15.
log3 x 2  2, 83
16.
ln lnx   1
x
2
log x  3 log x  5 log x  1
11
 log3
4
log5  5 log x
log x  2 
x 2
log0,28
log x  log x  
n
n
Oefening 8:
Los de volgende exponentiële vergelijkingen op.
1.
6x  5
2.
0,79x  2,63 x
3.
(36  x )7  x  1
4.
23 x  57  4x  352x  46 3x
5.
1
81 x
6.
3x 1
 27
1
x 2 
9
1
1 x
7.
9x  32
9.
22x  7  2x  8  0
11.
2x 3  4 x 1  320  0
(Stel y  2 x )
16 
x 1
4


8.
x x  x x  3  1  x x
10.
5  9x  7  3x  3456  0
12.
ex  2  e x  1
135
Oefening 9:
Los de volgende exponentiële / logaritmische vergelijkingen op.
1.
2
2.
2
3.
2

log  2

log 10  x 2  4  16 log  x  1  2 log x  x log18
x

 1  x  4 log144
log 3 x  2 log x  2 log 2 x
2

log x
x
3
log3  2
4.
5
5.
3 1
6.
3
log2 
7.
5
log  6  x   25 logx2  x log  x  2  x logx  5 logx
8.
8  16 x 1  4 2x 1  3  2 x 2  4 x  2  8x
9.
0,2 x 2  5  0,04
10.
5  5 x 1  1  4  0,2 x  5  0,04 x
2
logx
9
2
4
log4x2
 11  3
2
log8x2
logx  3 log  3  x  




3
log2

x 1

 130


Oefening 10:
 x  3  x
a. f  x   
 x 3
x4
e
x3
x 3
Ga na of f continu / afleidbaar is in 3.
ln x
b. f  x   
ax  b
x  e2
x  e2
Bepaal a en b zodat f  x  afleidbaar is in e 2 .
c.
 2  x   e x
f x  
x
 x  2   e
f : IR  IR : x
x2
x2
Onderzoek of f afleidbaar is in 2.

d. f  x   ln a  e x  b  e  x

Bereken f ''  x   f '  x 


2
136
Oefening 11:
De relatieve toename van een kapitaal, dat uitgezet wordt tegen een samengestelde
intrestvoet, verloopt volgens de vergelijking:
K '  t   0,0693  K  t  met t: de tijd in jaren en K  t  het kapitaal in euro.
Stel dat voor t = 0 het kapitaal 5000 euro bedraagt.
a. Bereken K  t  .
b. Hoelang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is?
Oefening 12:
Voor een insectenpopulatie is de omvang N  t  gegeven door: N  t   500  e0,2t . Hierbij is t
de tijd in dagen gerekend vanaf een bepaald moment.
a. Hoeveel insecten waren er op het tijdstip t = 10?
b. Bereken hoeveel insecten er bijkomen tussen t = 10 en t = 11.
c. Geef de formule voor de groeisnelheid van de insectenpopulatie.
d. Wat is de groeisnelheid op het tijdstip t = 10? Wat is de betekenis van dit getal?
Vergelijk met opgave b.
Oefening 13:
Een parachutespringer opent zijn valscherm op het moment (t = 0) dat hij 700 m boven de
grond is. De valweg (in meter) na t seconden wordt weergegeven door:
s  t   30  6  t  30   0,223
t
a. Geef de formule voor de snelheid van de parachutist.
b. Welke snelheid (m/s) had de parachutist op het moment dat zijn parachute open ging?
Hoeveel km/u is dit?
c. Geef de formule voor de vertraging van de parachutist.
d. Wat is de vertraging (in m/s²) na 1 seconde? En na 3 seconden?
e. Beredeneer dat de snelheid van de parachutist afneemt tot ongeveer 6 m/s.
Oefening 14:
De buitentemperatuur van afgelopen nacht kan benaderd worden door volgende functie:
T t  e

3
 t 2 
2
e

1
 t 2 
2
Hierbij is T uitgedrukt in graden Celsius en t in uren. t = 0 komt overeen met 23u ’s avonds
vorige nacht.
137
a. Wanneer begon het te vriezen?
b. Wanneer begon de temperatuur weer te stijgen?
c. Hoe koud was het om 7u ’s morgens?
Oefening 15:
Bereken de volgende integralen.
1.




dx
5x  1
2.




dx
4  3x
3.
 5x  dx

2

 1  3x
4.




x  dx
5x 2  2
5.




x
 dx
x 1
6.




x 1
 dx
x  2x
7.




sin x
 dx
cos x  2
8.




x2  x  1
 dx
x
9.




ln2 x
 dx
x
10.
 tan x  dx
11.
 cos 2x


 1  sin2x
12.




2
 dx
2
1
 dx
x  ln x
Oefening 16:
Bereken de volgende bepaalde integralen en geef er een grafische betekenis aan.
1
1
1.

e x  dx
2.
2
 1  1   dx


x

1
4.
3
x

 dx
 2
 x 1
1

 dx

 3x  1
0
1
5.

 e  x  dx
x
1
0
3.
 e
1
6.
x e
1 x 2
 dx
0
2
Oefening 17:
Bereken de volgende integralen.
1.
e
3.




2x 3
2
e
2x 1
1
 dx
e5x
 dx
2.




 dx
4.
x

 dx
138
5.
x e
6.
x e
7.





8.





e x  dx
10.





ex
 dx
x2
9.
 e  1  e 
11.
5
12.
2
13.
21 x  x  dx

14.
  2x  1
15.
1


1
e 2x
 dx
e 2x
16.




17.
 sin x  e
x2
x
e
 dx
 dx
x
2x
x
2x
3
 dx
 dx
2
cos x
x2 4
 dx
ex  1
1
3x 1
 dx
2
 dx
dx
e  ex
x
 dx
Oefening 18:
Bereken de volgende integralen.
1.
x
3.
 2x  1  e
5.
e
x
7.
e
7x
9.
 2x  e
3
 e x  dx
x
 dx
 cos 5x  dx
 sin2x  dx
 x 2
 dx
2.
x e
4.
e
x
6.
e
2x
8.
x
2
10.
 x
3x
 dx
sin x  dx
sin2x  dx
 ln x  dx
3

 x  ln x  dx
139
5.
AANVULLENDE INTEGRATIETECHNIEKEN
5.1.
Rationale functies
5.1.1.
Algemene inleiding
Stelling van de Euclidische deling in IRx  (4de jaar):
 
 f  x   IRx , g  x   IR x \ 0 , !q  x  ,r  x   IR x : f  x   g  x   q  x   r  x 
en de graad van r  x  < graad van g  x  (niet opgaande deling) of r  x  = 0 (opgaande
deling)

 f  x   IR x  , g  x   IR x  \ 0 , !q  x  ,r  x   IR x  :
f x
gx
 q x  
r x
gx

 f x
 r x
 f  x   IR x  , g  x   IR x  \ 0 , !q  x  ,r  x   IR x  : 
 dx   q  x   dx  
 dx
 gx
 gx
Dus:
Om een rationale functie te integreren, delen we eerst: we moeten dan het quotiënt
(een veelterm in x) integreren (= gemakkelijk !!) en een nieuwe rationale functie waarbij de
graad van de teller < de graad van de noemer.
Dit laatste bestuderen we in wat volgt. We noemen zo’n breuk een “echte” breuk (graad
van de teller < graad van de noemer).
140
5.1.2.
5.1.2.1
Partiële breuken
Definities, opmerkingen
Partiële breuk van de eerste soort:
k
met m  IR 0 ,k, q  IR,n  IN0
mx  q
n
Partiële breuk van de tweede soort:
mx  q
 ax
2
 bx  c
met

n
a  IR 0 ,b, c,m, q  IR

n  IN0

2
D  b  4  a  c  0
Opmerkingen:
8. o is een partiële breuk van de eerste en van de tweede soort.
9. Bij partiële breuken (PB) geldt dat graad T < graad N
5.1.2.2
Stelling van Jacobi
Volgens de stelling van d’Alembert is “elke veelterm met reële coëfficiënten over IR
ontbindbaar
in
een
product
van
eerstegraadsfactoren
en
niet-ontbindbare
tweedegraadsfactoren (D < 0)”.
De stelling van Jacobi toont hoe een (echte) breuk van veeltermen op exact 1 manier kan
geschreven worden als de som van meer eenvoudige breuken (nl. partiële breuken van de
eerste en de tweede soort). Hierdoor kunnen we het integreren van rationale functies
herleiden tot het integreren van partiële breuken van de 1ste en 2de soort.
Stelling van Jacobi:
Elke echte, onvereenvoudigbare breuk

A x
B x
2
met B  x    ax  b    cx  d   ...  px  qx  r


A  x   IR x  ,B  x   IR x \ 0


 ...
141
 IR 0
a, c,...,p,...

 IR
b, d,..., q,r,...

 IN
, ,...,  ,...
D  q2  4pr  0,...

met
kan op precies 1 manier geschreven worden als som van partiële breuken, nl.
A x
B x

k
k1
k2

 ... 
2

ax  b  ax  b 
 ax  b 

l
l1
l2

 ... 
2

cx  d  cx  d 
 cx  d


...
m1 x  n1
m2 x  n2

2
px  qx  r
px 2  qx  r



2
 ... 
m x  n
px
2
 qx  r


...
Bewijs: niet kennen!
5.1.2.3
Voorbeelden: Berekening van partiële breuken
Voorbeeld 1:


J
a x2  4  b  x  2 x  c  x  x  2
1
1
a
b
c

 


x  x  2  x  2 
x 3  4x x  x  2  x  2  x x  2 x  2
We kunnen de coëfficiënten a, b en c op 2 manieren bepalen.
Methode 1: Definitie gelijkheid van veeltermen
coëff. x 2 : a  b  c  0
coëff. x1 : 2b  2c  0
coëff. x 0 : 4a  1
1
4
2b  2c  b  c
a


1
1
 2b  0  b  c 
4
8
142
Methode 2: Definitie gelijkheid van functies
x0

1  4a

a
x2

1  8b

b
x  2

1  8c

J
1
1
1
1



3
4x 8  x  2  8  x  2 
x  4x
1
4
1
8
1
c
8
(UOVT: controleer !)
Voorbeeld 2:
x 4  3x 3  x 2  2
x  x  1
2

143
Voorbeeld 3:
2x  1

x3  x
Voorbeeld 4:
x 3  2x  6

x 2  2x  5

2

Besluit: Afhankelijk van het geval is soms methode 1, soms methode 2 korter. Kies zelf de
te volgen weg, combineer eventueel beide methodes, maar controleer zeker nadien!
144
5.1.2.4
Voorbeelden van integratie van partiële breuken
We nemen dezelfde voorbeelden als in 5.1.2.3., waar we onderstaande rationale vormen
reeds gesplitst hebben in partiële breuken.
Voorbeeld 1:
 dx
 3
 x  4x
 dx 
dx
 dx


 ...  
 4x  8  x  2   8  x  2 
1
1
1
   ln x   ln x  2   ln x  2  c
4
8
8
 ln 8
x2  4
c
x2
Voorbeeld 2:
 x 4  3x 3  x 2  2


2
4
1

  dx
dx

...

x

1





2


x x  1  x  12 
x
x

1





1 2
1
x  x  2 ln x  4 ln x  1 
c
2
x 1
...
x2

 ln
c
4
x 1
 x  1

Voorbeeld 3:
 2x  1 dx  ...    1  x  2   dx  ln x  1  2x dx  2 dx
 3
 2



2
x x
 x 1
2  x2  1
  x x 1 
 ln x 
x
1
ln x 2  1  2  Bg tan x  c  ln
 2  Bg tan x  c
2
x2  1


Voorbeeld 4:
 x 3  2x  6

x 2
x4


dx

...


dx




2
2
 2
 2
 x  2x  5
 x  2x  5
 x  2x  5



 ln x 2  2x  5 

3x  1
2
8 x  2x  5



2
 dx  ...
21
x 1
 Bg tan
c
16
2
145
5.1.2.5
Integratie van partiële breuken (theoretische afleiding)
5.1.2.5.1 Integratie van partiële breuken van de eerste soort

k
dx

n
  ax  b 
a  IR 0 ; k,b  IR; n  IN0
met
n
k
ax  b   d  ax  b 

a
 k  ax  b n1
 
c


n  1
 a
k

 a  ln ax  b  c


n 1
n 1
5.1.2.5.2 Integratie van partiële breuken van de tweede soort

kx l

 ax 2  bx  c

a  IR 0 ;k,l,b,c  IR

n
 dx
n  IN0
met
b2  4ac  0
b
c
Stel  p en  q


a
a
kx l
1
kx l

dx  n 
dx

n
n
  2 b
a  2 b
c
c 
 x  x  
 a x  x  
a
 
a 
a

a
1 
kx l
n 
2
a  x px  q


n
dx
b2  4ac
0
a2
2l

p
k 
k
dx  n
2a  x 2  px  q
p2  4q  0, want
 2  1  k  x  l
 2x  2l  p  p
k  k 
k 
k 
2x p
k
 n
dx

dx

n
n
n
n 
2a  x 2  px  q
2a  x 2  px  q
2a  x 2  px  q




k 
2x p
n 
2a  x 2  px  q


n

dx 


2l  pk 
dx
n 
2a  x 2  px  q

I
=

 x 2  px  q n1

c


n  1

ln x 2  px  q  c



II
=




n
II

I

n

dx

 2
 x  px  q



n 1

n 1

n
146

n
dx
Geval 1:
n 1

dx

 2
 x  px  q

(zie eerste trimester)

n


dx
dx
4



2
2
2
2


4q  p2
p
p
p
4q  p
 x    q
 x   
2
4
2
4


2x  p
Stel t 

4q  p
4q  p2  dt
4


2
4q  p2
 1  t2
2
 dt 

2
4q  p2


dx

  2x  p

 4q  p2

2

 1


dx
2 4q  p2
2x  p
 Bg tan
c
2
4q  p
4q  p2
Het heeft weinig zin om deze formule van buiten te leren. We konden dergelijke onbepaalde
integraal zonder problemen in het eerste trimester oplossen, dus blijven we dit nu ook op
zelfde manier doen (cfr. pp 22-23).
Geval 2:
n 1

dx

 2
 x  px  q


n

 u 


p

d x  
2






2
 
 
2
   x  p    4q  p
2  
2
  

   u   k IR 0


du

 2
2
 u k


n

1
k2






2
n






 k 2  u2  u2
1 
du

du



n
2

2
2
k  u2  k 2
 u k





n 1

1
2k 2
 u  2u

 2
2
 u k


n
 du
147
v' 
2u


n
u2  k 2


PI


2 n  1 
du

2
2
2

2k  n  1
 u k


n 1
u

2k 2  n  1 u2  k 2


n1

1
u
 2

2k  n  1  u2  k 2



n1



 n 1
u2  k 2
 2u  du
v

n
 2
2
n  1
u

k

u
1

2
2k  n  1 u2  k 2

2n  3 
du

2

2
2k  n  1  u  k 2

1
n  1 u2  k 2 
n 1

c

1
du


2
2k n  1   u  k 2
2


n 1


du
  2n  3  
 2
2
 u k


n 1

c
n1


n1



(Recursieformule)
Na n-1 keer toepassen vind je de formule van het geval n = 1.
5.1.2.6
Opmerkingen
 x 2  2x  5
 dx

4
  x  1
Methode 1: Splitsen in partiële breuken
x 2  2x  5
 x  1
4
=
a
b
c
d



2
3
4
x  1  x  1
 x  1  x  1
x 2  2x  5  a  x  1  b  x  1  c  x  1   d
3
coëff. x 3 :
2
0a
2
1  3a  b  b  1
1
2  3a  2b  c  c  0
4d
coëff. x :
coëff. x :
x  1:
148
 x 2  2x  5
 dx

4
x

1



 d  x  1
 dx
 d  x  1
 dx

 4

 4
2
4
2
4

  x  1   x  1
  x  1
  x  1
1
4


c
x  1 3  x  1 3
Methode 2: Algemene integratietechnieken (1ste trimester)
  x  12  4
 dx
 x 2  2x  5
 dx
 dx  
 dx  
 4
 ...

4
4
2
4

x

1
x

1
x

1
x

1





 

 

veel korter en efficiënter !!
Besluit:
Soms werken we korter (lees: beter) zonder te splitsen in partiële breuken, de algemene
integratietechnieken (splitsing, substitutie en partiële integratie = 1ste trimester) blijven de
belangrijkste !!
149
5.1.2.6.1 Enkele standaardformules
1.
 du  1  Bg tan u  c
 2
k
 u  k2 k
D  0 ; k  IR0
Bewijs: zie vroeger !
2.
 du 
 2
 u  k2
D0
1

J

a
b

uk uk
u  k u  k 
 1  a u  k   b u  k 
uk 
1  2k a
u  k 
1  2  k  b
1
2k
1
b
2k
a
1  du
1  du



2k  u  k 2k  u  k
1

  ln u  k  ln u  k   c
2k
1
uk
=
 ln
c
2k
uk

3.
 du 
 2
 k  u2
du zie 2.
1
uk
1
uk

 
 ln
c 
 ln
c
 2
2
 u k
2k
uk
2k
uk
D0
Besluit:
dx

2
 ax  bx  c
Elke integraal van de vorm 
 a  IR0 ;b,c  IR 
Kan dus kort worden opgelost met behulp van deze standaardformules
D0
D0
D0
 du
 2
 u  k2
 du
 2
 u  k2
 du
 2
u
of
 du
 2
 k  u2
150
5.1.3.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken de volgende onbepaalde integralen.
1.




2x  1
 dx
x2  1
2.




x
 dx
x  x 1
3.




2x
 dx
2
x  x 1
4.




4x  1
 dx
x x 3
5.




3x  1
 dx
2
3x  3x  5
6.




2x  3
 dx
(x  2x  2)2
7.




4x  1
 dx
2
(x  4x  5)2
8.




3x  3
 dx
(x  3x  3)2
9.




4x  1
 dx
2
(x  2x  2)3
10.




1
 dx
(x  1)2
2
2
2
2
2
Oefening 2:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




2x  1
 dx
2
x  5x  6
2.





x2
 dx
x  (x 2  1)
3.




x 5
 dx
x  10x  9
4.




3x  2
 dx
2x  x 2  5x  2
5.




1
 dx
6
x 1
6.




x2
 dx
x6  9
7.




1
 dx
2
x (x  1)
8.




3x  2
 dx
(x  1)2 (x  2)
9.




1
 dx
2
2
x (x  x  1)2
10.




1
 dx
x (x  1)
11.




x 1
 dx
2
x (x  2)2
12.




2x 3  3x 2  x
 dx
x 4  2x 3  x 2
13.




3x  1
 dx
x2  1
14.




x2  1
 dx
x3  1
15.





x2  x  1
 dx
(x  1)(x 2  2x  2)
16.




x2  1
 dx
x3  x
17.




1
 dx
4
x 1
18.





x 4  x 3  2x 2
 dx
(x 2  1)3
2
3
3
151
Oefening 3:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




x4
 dx
x 3  3x 2  2x
2.





x3
 dx
(2x  1)2 (x  2)
3.




x 3  3x 2  2x  3
 dx
x 2  3x  4
4.




x 4  2x 2  x
 dx
x 2  2x  2
5.




x4  1
 dx
x 4  x2
6.




x 4  2x 2  2x  5
 dx
x3  x2  x  2
Oefening 4:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




ex
 dx
e2x  9
2.




cos x
 dx
sin x  5 sin x  4
3.




e 3x  e2x  e x
 dx
ex  1
4.




ex  1
 dx
ex  2
5.




1
 dx
x
e  e x
6.




(e x  1)(e x  2)
 dx
ex  1
2
152
5.2.
Goniometrische functies
5.2.1.
Type 1: De elementaire goniometrische functies
 cos x  dx  sin x  c
 sin x  dx   cos x  c
 tan x  dx   sin x dx   d cos x dx   ln cos x  c  ln sec x  c



 cos x
 cos x

Stel t cos x
dt


  ln t  c  ...

 t
 cot x  dx   cos x dx   d sin x dx  ln sin x  c



 sin x
 sin x

Stel t  sin x
 dt  ln t  c  ...


 t

 cos 2 x  sin2 x
 dx

2
2  dx
 csc x  dx   sin x  
x
x

 2  sin  cos


2
2
 cos x
 sin x

2  dx  
2  dx


x
x
 2  sin
 2  cos


2
2
x
x
Stel t  sin
Stel t  cos
2
2


1
x
1
x
dt   cos  dx
dt   sin  dx
2
2
2
2
x
x
 ln sin  ln cos  c
2
2
x
2  c  ln tan x  c
 ln
x
2
cos
2
sin
153
Andere manier:
 sin x  dx   sin x  dx

sin2 x
 1  cos 2 x
Stel t  cos x  dt   sin x  dx
 dx
 csc x  dx   sin x  
 dt
dt
dt

 


 2
2
 t  1   t  1 t  1
1t
J
a
b


 1  a  t  1  b  t  1
t 1 t 1
1
t  1  1  2a  a 
2
1
t  1  1  2b  b  
2
1
dt
1
dt
 
 


2  t 1 2  t 1
1
1
  ln cos x  1   ln cos x  1  c
2
2

1
cos x  1
 ln
 c  ln
2
cos x  1
 ln
cos x  1
c
cos x  1
1  cos x
c
1  cos x

 
d x  

2
x 
 sec x  dx   dx 

 ln tan     c




 cos x 


2 4
 sin  x  
2


AC
Andere manier:
 dx
 cos x  dx   cos x  dx

cos 2 x
 1  sin2 x
 sec x  dx   cos x  
 ... (UOVT)
 ln
sin x  1
c
sin x  1
154
5.2.2.
Type 2:
Geval 1:
 sin
m
u  cosn u  du
m,n  
m of n oneven
m2
1
n2
of

Stel t  cos u


Stel t  sinu

...
1
 R  t   dt
(= integratie van een rationale functie = 5.1.)
Het geval waarin beide machten oneven natuurlijke getallen zijn, hebben we reeds
behandeld in het eerste trimester. We splitsen de oneven macht af en schrijven alles in
functie van het andere goniometrische getal (cfr. infra, voorbeeld 2). Dit komt uiteraard neer
op het algemeen (gehele exponenten) recept (zie bovenstaande kader).
Voorbeeld 1:
 dx
 csc x  dx   sin x   sin
1
x  cos 0 x  dx
 cfr. Type 1: Elementaire goniometrische functies
Voorbeeld 2:
 sin
3
x  dx 
  sin
3



x  cos 0 x  dx   sin2 x  sin x  dx    1  cos 2 x  d cos x
1
2
3

 
 d cos x   cos x  d cos x   cos x   cos x  c
3


Voorbeeld 3:
2
2
 cos 2 x  sin x
 cos x
 cos x  sin x

dx


dx

 dx



3
2

2
sin4 x
 sin x

 1  cos x


Stel t  cos x  dt   sin x  dx
155

t2
 
 1  t2



2
 tt
 dt  

2
 1t

 t  dt
v

2
 1t

PI
 t 



1
2 1 t
2

 cos x
2
2  1  cos x

2

2
 dt
Stel u  t en v ' 
t
1  t 
2
2
1  du 1
1
 ...    2 
c 
c
2 u
2u
2  1  t2



dt
 cos x
1 1
cos x  1


   ln
c
2
2
2 2
cos x  1
2  1  cos x
 2 1 t





cos x  1
c
cos x  1
 ln 4
In bovenstaand voorbeeld kwam sinus voor tot een oneven macht, dus schreven we alles in
functie van cosinus.
Geval 2:
m en n allebei even
m2

0
of

Stel t  cot x

...

0
n2

Stel t  tan x

 R  t   dt
(= integratie van een rationale functie = 5.1.)
Opmerking:

Indien m en n allebei even natuurlijke getallen  2 

 zijn, maken we gebruik van de
graadverlagingsformules (cfr. eerste trimester)
sin2 x 
1  cos 2x
2
cos 2 x 
1  cos 2x
2
Voorbeeld 1:
 sin
2
x  cos 2 x  dx 
1
1 1  cos 4x
sin2 2x  dx  
 dx  ...


4
4
2
156
Voorbeeld 2:
4
dx
 sin x
4
 dx  
 sin x 

2

cos 2 x
 cos x
1
1  tan2 x 
cos 2 x

1
cos 2 x 
1  tan2 x

1
sin2 x  1 
1  tan2 x
Stel t  tan x

dt 
2


1 
2
1


 1 
 dt   1 

2 
2

 
1 t 
1t
1  t2


 1  t2  t2
 t  2  Bg tan t  
 dt
2

2
1

t




dx
cos 2 x

  dt
2 



 t  2  Bg tan t  Bg tan t 
1  t  2t

2
2
 1 t


2
 dt
Stel u  t en v ' 
2t
1  t 
2
2
du
1
v
c
 2 
u
1  t2
 t  Bg tan t 
 t  Bg tan t 
t
1  t
dt 


2

2 1  t
 1  t 2 
t

2 1  t2


1
 Bg tan t  c
2
3
t
 Bg tan t 
c
2
2 1  t2


3
1
3
1
 x   tan x  cos 2 x  c  tan x   x   sin x  cos x  c
2
2
2
2
3
1
 tan x   x   sin 2x  c
2
4
 tan x 
Andere manier (duidelijk korter en dus beter in dit geval):

2
 sin4 x
 1  cos x
 dx  

 cos 2 x
cos 2 x



2
2
4
 1  2 cos x  cos x
 dx  
 dx
cos 2 x

157
dx
1

 2x   cos 2 x  dx  tan x  2x   1  cos 2x  dx

2
2
 cos x
1
1
 tan x  2x  x  sin 2x  c
2
4
3
1
 tan x  x  sin 2x  c
2
4
Voorbeeld 3:
dx
 dx  


4
2
 cos 2x  cos 2x  cos 2 2x

Stel t  tan 2x 
1
dx
dt 
2
cos 2 2x
1
1
1 3
1
1
2
3
 1  t dt  t  t  c  tan 2x  tan 2x  c
2
2
6
2
6


Merk op dat we deze onbepaalde integraal ook kunnen oplossen door de teller (= 1) te
vervangen door cos 2 2x  sin2 2x (grondformule).
158
5.2.3.
Type 3:
 R  tan x   dx
(Rationale functie van tan x)
Methode:
Stel t  tan x

1
dt 
dx  1  tan2 x dx  1  t 2 dx
cos 2 x

dt
dx 
1  t2
dt


 int egratie van een rationale functie  5.1.
 R  tan x  dx   R  t 
1  t2






Voorbeeld 1:
 tan2 x  tan x  1 dx   t 2  t  1  dt   1  t  dt



1  t 2   1  t 2 



t



1  2  t  dt
 t  ln 1  t 2  c  tan x  ln 1  tan2 x  c

2  1  t2
 tan x  ln
1
 c  tan x  ln cos x  c
cos 2 x
Voorbeeld 2:
3
3
 tan x  tan x  1  dx   t  t  1  dt

 2
2
2
 tan x  tan x  1
 t  t 1 1  t
J
t3  t  1
at  b
ct  d
 2


2
t  t  1 1  t2
t  t  1 1  t2






 t 3  t  1   at  b  1  t 2   ct  d  t 2  t  1
coëff. t 3 :
2

1ac
coëff. t :
0 bdc
coëff. t1 :
1  a  c  d
coëff. t 0 :
1bd

a2
b3
c  1
d  2
159



2t  3  2  2
 1  2t  4
 dt     
 dt
 2
2
t  t 1
 2  t 1
2t  1
dt
1
2t
dt

 dt  2  
 
 2
 2
 2
 2
 2
 t  t 1 2  t 1
 t 1
 t  t 1

dt
1

2
 ln t  t  1  2
 ln t 2  1  2  Bg tan t  c
2
2
2
1  3

  t    

2  2 





 ln t 2  t  1 


 2t  1 
4 3
Bg tan 
  2  Bg tan t  c
3
 3 
 2 tan x  1 
4 3
 ln  tan2 x  tan x  1  cos x  
Bg tan 
  2x  c


3
3




160
5.2.4.
Type 4:
 cos ax  cos bx  dx  sin ax  sinbx  dx
 sin ax  cos bx  dx
T
a, b 
0
 a, b  IN0
Dit type zagen we reeds in het eerste trimester. We herhalen kort.
Methode 1: 2 maal partiële integratie
Methode 2: Formules van Simpson
Het is niet nodig de formules van Simpson van buiten te leren. De afleiding van deze
formules gebeurt zeer snel op basis van de som- en verschilformules voor cosinus en
sinus. Deze laatste kennen we immers voor het leven (PVBK).
Ter herinnering:
cos  a  b  cos a  cos b  sina  sinb
(1)
cos  a  b  cos a  cos b  sina  sinb
(2)
(1) + (2):
cos  a  b  cos  a  b  2  cos a  cos b
(1) - (2):
cos  a  b  cos  a  b  2  sina  sinb
cos a  cos b 
sin a  sinb 
(3) + (4):
1
 cos  a  b   cos  a  b  
2 
1
 cos  a  b   cos  a  b  
2 
sin  a  b  sina  cos b  cos a  sinb
(3)
sin  a  b  sina  cos b  cos a  sinb
(4)
sin  a  b  sin  a  b  2  sina  cos b
sin a  cos b 
1
 sin  a  b   sin  a  b  
2 
161
Voorbeeld 1:
Methode 1: 2 keer partiële integratie toepassen.
1
Stel v '  sin3x  v   cos 3x  c
3
 sin3x  cos 2x  dx
PI

1
2
cos 3x  cos 2x 
cos 3x  sin2x  dx
3
3
en
u  cos 2x
1
Stel v '  cos 3x  v  sin3x  c en u  sin2x
3

Merk op dat v '  sin2x en u  cos 3x kiezen geen goede keuze is! Controleer UOVT !
PI

1
2 1
2

cos 3x  cos 2x    sin3x  sin2x 
sin3x  cos 2x  dx 
3
3 3
3


1
2
4
cos 3x  cos 2x  sin3x  sin2x 
sin3x  cos 2x  dx
3
9
9
5
1
2

sin3x  cos 2x  dx   cos 3x  cos 2x  sin3x  sin2x  c
9
3
9
9 1
2

 sin3x  cos 2x  dx    cos 3x  cos 2x  sin3x  sin2x   c
5 3
9





3
2
 sin3x  cos 2x  dx   cos 3x  cos 2x  sin3x  sin2x  c
5
5

Methode 2: Formules van Simpson
1
1
1
 sin3x  cos 2x  dx  2   sin5x  sin x  dx   10 cos 5x  2 cos x  c
We vinden (veel sneller!) ogenschijnlijk een “andere” oplossing. We kunnen echter heel
makkelijk aantonen dat beide oplossingen gelijk zijn aan elkaar:
3
2
 cos 3x  cos 2x  sin3x  sin2x  c
5
5
=

3 1
 2 1

cos x  cos 5x      cos x  cos 5x  


5 2
 5 2

=

3
3
1
1
cos x  cos 5x  cos x  cos 5x  c
10
10
5
5
=
1
1
 cos x  cos 5x  c
2
10
162
Voorbeeld 2:
T
1
1
sin10x  sin  4x    sin5x  dx 
 sin10x  sin 4x   sin5x  dx

2
2
1
1
1

sin10x  sin5x  dx 
sin 4x  sin5x  dx  
 sin2 5x  cos 5x  dx 
 cos x  cos 9x  dx

2 2sin5xcos 5x
2
4

sin3x  sin5x  cos 7x  dx  






1
1
1
sin3 5x  sin x 
sin 9x  c
15
4
36
5.2.5.
Type 5: Type zonder naam
 R  sin x, cos x  dx
Integralen van goniometrische functies die niet tot één van vorige types kunnen gerekend
worden, behoren tot type 5.
Methode:
Stel
t-formules
t  tan

2t
sin x 
1  t2
1  t2
cos x 
1  t2
2t
tan x 
1  t2
x
2

1
dt 
dx
x
2 cos
2

1
dt  1  t 2 dx
2
2



dx 
2dt
1  t2
...   R  t  dt  §1 = integraal van een rationale functie
163
Voorbeeld 1: (oefening 2 (1))


2dt
dt
dx


=

2
 2  3sin x  
2t 
 1  t  3t
1  t2
 1  t2

 2  3 
2 
2
1 t 
1 t




3

d t  


dt
2

 2

2
2
 t  3t  1 
3  5 


 t    
D0

2   2 

5

 ln
5
3

2
3
t 
2
t
5
x
2 tan  3  5
5
2 c 
2
 ln
c
x
5
5
2 tan  3  5
2
2
Voorbeeld 2: (oefening 2 (4))


dx
 sin x  2 cos x  1


2dt

1  t2
2

1

t


2t
1  t2
1  t2


2


1
 1  t2
1  t2


 d  t  1
2dt
dt




2

2
 2
2
 t 2  2t  3
 2t  2  2t 2  1  t 2
 2   t  1


D0


 2
 ln


1
t 1  2
1
t 1
 ln
 c   ln
c
4
t 1  2
2
t 3
x
1
2
c
x
tan  3
2
tan
164
5.2.6.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




cos 3 x
 dx
sin2 x
3.
 tan
5.




7.
 tan
3
x  dx
1
 dx
cos x  sin x
2
6
9.
 cot
11.
 tan
13.
15.
x  sec 4 x  dx
2.




sin2 2x
 dx
cos 2x
4.




1
 dx
cos x  sin2 x
6.
 tan
8.
 sec
2
6
4
x  sec 2 x  dx
x  dx
x  sin2 x  dx
10.
 tan
x  dx
x  dx
12.
 sin
x  cos 3 x  cot x  dx




cos 2 x
 dx
sin x
14.









tan3 x
 dx
sec x
16.
 sec 2 x

 1  tan x

5
4
2
3
cos3 x
sin x
 dx
 dx
Oefening 2:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




1
 dx
2  3sin x
2.




sin x
 dx
2 cos x  5
3.





1  sin x
 dx
sin x   2  sin x 
4.




1
 dx
sin x  2 cos x  1
5.
 cos x


 1  cos x
 dx
6.




1
 dx
2 sin x  cos x  1
7.




2 sin x  cos x  1
 dx
2 cos x  sin x  1
8.

1


 1  cos x
9.




1
 dx
5  3sin x
10.




cos x
 dx
3cos x  1
11.




1
 dx
sin x  cos x
12.




sin x  cos x
 dx
sin x  cos x
 dx
165
5.3.
Irrationale functies
5.3.1.
Type 1:
Type 1
 f  x  dx waarbij het voorschrift van f  x  bevat
 a,b, c, d  IR
gehele machten van x



ax  b met  a b
wortelvormen van 1 functie van de vorm
 c d  0  ad  bc  0

cx  d


Indien ad – bc = 0  ad  bc 

a b
  s  IR
c d
ax  b  cx  d  s

 s  f  x  is geen irrationale functie
cx  d
cx  d
Methode:
Stel
ax  b
r  kgv noemers wortel exp onenten
t
cx  d

ax  b  t r   cx  d   c  t r  x  d  t r 
 dx 





r  d  t r 1  c  t r  a  b  d  t r  c  r  t r 1
r  t r 1


  d   c  t  a    b  d  t   c 

  dt
 c  t  a
c  tr  a
r
r 1
2
x
b  d  tr
c  tr  a
 dt
r
2
r
rt

 
b  d  tr  c  tr  x  a  x 
0


r
  d  c  t  ad  bc  d  c  t r 



  dt
c  t
r  t r 1  ad  bc 
c  t
r
a

2
r
a

2
 dt
 f  x  dx   R  t  dt
(= integratie van een rationale functie = § 1)
166
Voorbeeld 1:
1 1
  3 1  0
1 3
 3 x 1
 dx

 x 3
Stel t 3 
x 1
x 3

x  1  t 3   x  3   x  t 3  3t 3


1  3t 3  x  t 3  x  x  t 3  1


x

1  3t 3
t3  1


dx

t

3
t3  1
12  t 2

Jacobi

1

2
9t 5  9t 2  3t 2  9t 5



9t 2  t 3  1  3t 2  1  3t 3

t3  1

2

2
 dt
 dt


12  t 2
t3
 3 t3 

dt


12


2
 3
3

t

1
 t 1


  dt



2
a
b
ct d
et  f

 2

2
t  1  t  1
t  t  1 t2  t  1



t3
 dt  12  
 dt
2


2

2
  t  1   t  t  1 
 D0 

2
 ...
Voorbeeld 2: (= oefening 3 (6))
2

3
 x  x1  dx

 1  x2
Stel
xt
x
kgv2,3
 t6
1 x  0
0  x 1
met
1 0
 1 0
0 1
t0

dx  6t 5  dt
167
2

3
 6 3 12
t6  t 4 5
t11  t 9

 x  x1  dx =  t  t  6t 5  dt = 6
 t  dt  6
 dt

3
3
6

 1t
 1t
1

t

2
 1 x
Maak een euclidische deling:
quotiënt
=
t 8  t 6  t 5  t 3  t 2  1
rest
=
t2  1


t2  1 
6   t 8  t 6  t 5  t 3  t 2  1 
  dt
1  t3 



6
6
6
6
6
t2  1
 t 9  t 7  t 6  t 4  t 3  6t  6
 dt
2
9
7
6
4
3
1

t
1

t

t





Jacobi



t2  1
 dt

2
1

t
1

t

t





a
bt  c

 t 2  1  a 1  t  t 2  bt  c 1  t 
2
1t 1 t  t


t 1 :
2  3a

t0 :
1ac

coëff. t 2 :
1  ab

2
3
1
c
3
a
b
1
3
1
1

 t
6 9 6 7 6 6 6 4 6 3
2  dt
3  dt
  t  t  t  t  t  6t  6 
 6 2 3


9
7
6
4
3
31t
t  t 1


4
t 1
2t  2  3  3
 ...  4  ln 1  t  2
 dt  ...  ln 1  t   
 dt
 2

 t  t 1
 t2  t  1

2t  1
dt


 ...   2
 dt  3
2
2
 t  t 1
1  3

  t    

2   2 

 2t  1 
 ...  ln t 2  t  1  2 3  Bg tan 
c
 3 
 ...  omzetten naar x 


168
Voorbeeld 3:
1 2
0
3 1
 3 x2
 dx

 3x
Stel t 3 
x2
3x

t  3  x   x  2
3

3
3t  xt 3  x  2

3t 3  2  x  xt 3

x
 dx 

3
3t  2
1  t3



9t 2 1  t 3  3t 2 3t 3  2
1  t 
3
2
9t 2  9t 5  9t 5  6t 2
1  t 
3
3 3
t2
 15 t 

1  t3



2
2
 dt
dt 
15t 2
1  t 

t3
 dt  15

3
 1t

3

2
2
dt
 dt
Methode 1:
 t3  1  1
15
 dt 
2

3
 1 t

eerst splitsen en dan oplossen via splitsen in partiële breuken

(Jacobi) (heel lang !!!)
Methode 2:

t3
15
2

2
  t  1 t  t  1


2
 dt  splitsen in partiële breuken (Jacobi) (even lang !!!)
169
Methode 3:
 t  3t 2
3t 2
5

dt

v
'

2

3
1  t3
 1 t




v

2
en
ut
1
c
t 1
3
PI
t
dt
 5  3
 5
 3
t 1
 t 1

dt
dt


 splitsen in PB ' en (Jacobi)
 3
 t  1   t  1 t 2  t  1


(kortste en dus beste manier!!!)
170
5.3.2.
Type 2: goniometrische substitutie


Type 2 :
 R x, ax 2  bx  c  dx

Stel D = 0
x1,2 
met a  IR 0 en b, c  IR;D  0
b  0
2a
2
b 

a x 

2a 

dx
b
a x
2a
 geen irrationale functie
We kunnen steeds ax 2  bx  c omvormen tot:

1.
k2  u2
D0
a0
2.
u2  k 2
D0
a0
3.
u2  k 2
D0
a0
met k  IR0
geval D < 0, a < 0 kan niet, want dan is de integrand niet gedefinieerd
Voorbeeld 1: (= oefening 1 (8) )





1
2
x  6x  5
 dx
171
OPDRACHT:
1. Zoek voor voorbeeld 2 en 3 de gepaste goniometrische substitutie.
2. Definieer het interval van je nieuwe variabele en leg grafisch uit.
3. Los de onbepaalde integraal op na het toepassen van de goniometrische substitutie.
Voorbeeld 2: (= oefening 1 (6) )





3
2
x  x 6
 dx
Voorbeeld 3: (= oefening 1 (5) )




1
x2  x  1
 dx
172
ax2  bx  c niet steeds in de noemer te staan en kunnen er ook gehele
Uiteraard hoeft
machten van x in de rationale vorm voorkomen. De oplossingswijze blijft dezelfde.
Voorbeeld 4: (= oefening 1 (18) )

9x 2  12x  3  dx  3 

3x 2  4x  1  dx
2

2 
1
3x  4x  1   3x 
 
3
3

2
met
Stel
3x 
2
3

1
3
sec t  3  dx 
2

2  1
3x 2  4x  1   3x 
  
3
3

1
sin t
1 sin t
dt  dx  
dt
2
3 cos 2 t
3 cos t

met t 
...
1
1
1
1
1
sec 2 t  
 sec 2 t  1 
 tan 2 t  
 tan t
3
3
3
3
3
Grafische uitleg:
 3 

1
 3
 tan t 
1 sin t
1  sin2 t
dt

dt  ... UOVT 

3 cos 2 t
3  cos3 t
173
Voorbeeld 5:
x 2  dx


  x 2  2x  8
 3    x  1
2
 x 2  2x  8 
2
x  1  3  sin t  dx  3  cos t  dt
Stel
 3    x  1
2
2

 3
2
met
  
t   , 
 2 2
 32  sin2 t  3 1  sin2 t  3  cos t
Grafische uitleg:
  3  sin t  1  3  cos t  dt
2


3  cos t
 t  6 cos t 




 1  9 sin2 t  6 sin t dt  t  6 cos t 
9
2
 1  cos 2t  dt
9
9
11
x 1
9
t  sin2t  c  Bgsin
 6 1  sin2 t  sin t 1  sin2 t  c
2
4
2
3
2
2
2

11
x 1
9 x 1
 x 1 
 x 1
 Bgsin
6 1
 
 1

 c
2
3
2 3
 3 
 3 

11
x 1
9 x 1 1
 Bgsin
 2 x 2  2x  8  

x 2  2x  8  c
2
3
2 3 3

11
x 1 
x 1 
2
 Bg sin
  2 
   x  2x  8  c
2
3
2



11
x 1 x  3
 Bgsin

 x 2  2x  8  c
2
3
2
174
Voorbeeld 6:
dx


 x x2  9
Stel x  3 sec t  dx 
3 sin t
 dt
cos 2 t
met
    3 
t   0,    , 
 2  2 
x 2  9  9 sec 2 t  9  3 tan t



3 
(UOVT) Verklaar grafisch (verplicht!) waarom t   0,    ,
 en tant  0 .
 2  2 
3  sin t




dx
1
1
1
3
cos 2 t

 dt  
dt   t  c   Bg cos  c



2
3
sin t
3
3
3
x
3
 x x 9 
 cos t

cos t
x
 1

  3  Bg sec 3  c 


175
Herhaling formules cyclometrische functies (5de jaar)
1.
Bgsin  x    Bgsin x
2.
Bgcos  x     Bgcos x
3.
Bgtan  x    Bgtanx
4.
cos Bgsin x   sin Bgcos x   1  x 2
5.
tan Bg sin x  
6.
tan Bg cos x  
7.
cos Bg tan x  
8.
sin Bg tan x  
x
1  x2
1
1  x2
1  x2
x
x
1  x2
Deze formules moet je niet van buiten leren, want je kan ze snel terug opstellen door
gebruik te maken van de grondformule van de goniometrie:
sin2   cos 2   1
Voorbeeld:
cos Bgsin x   1  x 2
Uit de grondformule weten we dat: cos    1  sin2  , dus geldt voor de
  
verzameling van de hoofdwaarden van Bg sin  sin1 , nl.   ,  dat:
 2 2

cos Bgsin x   1  sin Bgsin x 
tan Bgsin x  
cos Bg tan x  
sin Bgsin x 
cos Bgsin x 


2
 1  x2
x
1  x2
1
1  x2
Uit de grondformule weten we dat: tan2   1 
1
1
 cos   
2
cos 
1  tan2 
  
dus geldt voor de verzameling van de hoofdwaarden van Bgtan, nl.   , 
 2 2
dat cos Bgtan x  
1

1  tan Bgtan x 

2

1
1  x2
176
5.3.3.
Oefeningen
Oefening 1:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.




3.





5.




7.
1
 dx
2.





 dx
4.





6.





8.





2
x 4
3
x2  5
1
 dx
2
x  x 1
1





4x 2  8x  8
x
9.





11.

13.
x
15.

17.
19.
 dx
1
4x 2  3
8
3x 2  7
 dx
 dx
3
2
x  x 6
 dx
1
x 2  6x  5
 dx
sin x
10.





12.

4x  x 2  dx
14.

11  12x  9x 2  dx
16x 2  16x  3  dx
16.

x 2  4x  13  dx

4x 2  4x  3  dx
18.

9x 2  12x  3  dx
x
2
2.
x
4.





6.




8.
x
4
2
x  3x  3
 dx
2  2x  x 2  dx
4x 2  x 4  dx
2
cos x  cos x  1
 dx
 x 6  12x 3  21  dx
Oefening 2:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
1.
x
3.





5.

x2  1


2

 1  x 1
7.




2
 x 2  1  dx
x3
x2  1
 dx
 dx
x2  9
 dx
x
x 2  x  1  dx
1
x2  9  x2
1
2
x  4  x2
3
 dx
 dx
 16  x 2  dx
177
x4
9.





11.





x  3x  4
13.




x2  x  1
 dx
x 1
1  x2
 dx
x 1
 dx
2
x2
10.





12.
x
14.




2.

3


4.
x
6.






x 2  3x  10
2
 dx
 x 2  2x  5  dx
1
x  1  x  x2
 dx
Oefening 3:
Bereken volgende onbepaalde integralen.
x
 dx
x 1
1.




3.
x
5.






5
x  1  dx
1
x2  x
1
x5
 dx
1
x 1
7.


 3

9.




11.




x
14.




x2  3
x 1 1
 dx
1
3
2 x  3 x
 dx
x 1
 dx
x 1
3x
 dx
x2
x4
 dx
x
2
 3 x  2  dx
2
x  x3
1
1
x2
 dx
8.

10.


 3


x 4  2x 3
12.

3


x2
 dx
3x
15.





x  x  dx
x  2 1
x
x 3x
 dx
 dx
178
Herhalingsoefeningen aanvullende integratietechnieken
14
1.
 1 x 2
 dx

x

2

x

2



x 3  dx
2  x3  x2  5  x  2
12.




13.
x
x
 e  e  2  dx
 x
x
 e e 2
14.

dx

2

4 3
6
 1 x  x
1
2.





dx
x
3
1

2
3
3.
 tan x  sin x  dx
4.
 X  x  x  1  dx
15.




5.
 x4
 dx
3
 2x  1
16.
x5  dx


3
2
 12x  4x  5x  2
6.





17.
cos x

 dx

 3  cos x  1
7.

x  dx

2
  x  1  x  2x
18.




8.

x  dx

2
4
 1 x  1 x
19.
x
1  x  x 2  dx
9.
 3 3x  1
 dx

 2x
20.
x
 x 2  2x  5  dx
10.




21.

1 
x

2


  dx

3
x2

11.
  16  9x 2


x2

22.

x 5
 dx
 2
2
 x  10x  22  x  10x  21
2
2
dx
x

3
 x2  x

2

tan3 x  5 tan x
 dx
tan x  1
3

 dx




1  sin x  cos x
 dx
5  cos x  sin x
2  x 4  12  x 3  25  x 2  15  x  27
 dx
2  x 2  12  x  23
2


179
dx
x4x
23.
 x2  x  1
 dx

 3
x 1

24.



25.




26.
 x x
 dx

 3
6
 x x
27.
dx


 2 sec x  3 tan x
28.
 tan x  5 tan x
 dx

tan x  1

29.

ex

 e 2 x  4e x  5

30.
 x 3  2x  6

 dx
 x 2  2x  5 2


dx
x 1 3 x



2
3
 dx


180
6.
TOEPASSINGEN VAN INTEGRAALREKENING
6.1.
Oppervlakte van willekeurige vlakdelen
Zie eerste trimester.
6.2.
Inhoud van willekeurige lichamen
6.2.1.
Algemene formule
Stel een willekeurig lichaam L dat begrensd wordt door 2 evenwijdige vlakken  en  .
We nemen een rechte loodrecht op  (en dus loodrecht op  ), ijken deze rechte zó dat
abscis a   X  as   < abscis b   Y  as  .
We nemen een eindige verdeling (of partitie) van het interval [a,b].
In elk deelpunt x i construeren we een vlak loodrecht op de X-as waardoor het lichaam L
verdeeld wordt in n deellichaampjes.
In elk deelinterval  xi1 , xi  nemen we een willekeurig punt  i en construeren hierdoor een
vlak loodrecht op de X-as. De doorsnede van dit vlak (door  i ) met het lichaam L nemen we
als grondvlak van een cilindrisch schijfje met hoogte x i  x i  x i1  0 .
Indien we de inhouden van al deze cilindrische schijfjes corresponderend met elk deelinterval
van [a,b] bepalen en optellen, bekomen we een benadering voor de gezochte inhoud van
lichaam L.
Het is intuïtief duidelijk dat bij (verdere) verfijning van de gekozen verdeling van [a,b] de
benadering voor de gezochte inhoud steeds beter wordt.
De inhoud van lichaam L 
n
 inhoud cilindrisch schijfje
i1
Stel g : a,b  IR  : x
oppervlakte grondvlak  hoogte
g  x  = de oppervlakte van het vlakdeel dat de doorsnede vormt
van het lichaam L en het vlak loodrecht op de X-as door x. (g is een continuë afbeelding op
[a,b]).
De inhoud van lichaam L 
n
 g     x wat een Riemannsom van g op [a,b] is.
i1
i
i
181
Bij oneindige verfijning van onze verdeling (partitie) van [a,b], bekomen we de gewenste
inhoud van lichaam L.
De inhoud van lichaam L  lim
n
b
n
 g     x   g  x  dx
i
i1
i
0
a
Bij oneindige verfijning van een verdeling van een interval [a,b] wordt de corresponderende
Riemannsom van een continue afbeelding (hier g) gelijk aan de bepaalde integraal van deze
afbeelding over het hele interval [a,b].
182
6.2.2.
Toepassingen
Door toepassing van de algemene formule van de inhoud van een willekeurig lichaam
begrensd door 2 evenwijdige vlakken, kunnen we enerzijds enkele bekende inhoudsformules
(prisma, piramide en afgeknotte piramide) afleiden en kunnen we anderzijds de inhoud van
omwentelingslichamen bepalen.
6.2.2.1
Prisma
Een prisma kunnen we beschouwen als een veelvlak waarvan twee zijvlakken (grond- en
bovenvlak) in evenwijdige vlakken liggen en de overige zijvlakken evenwijdig zijn met
eenzelfde lijn die de evenwijdige vlakken snijdt. Het bepalen van de inhoud van een prisma
is dus duidelijk een voorbeeld van een toepassing op de inhoud van een (willekeurig)
lichaam begrensd door twee evenwijdige vlakken.
h
Inhoud van een prisma
=
 g  x   dx
0
h
=
 G  dx
0
h
=

G  dx
0
h
=
G   x  0
=
G  h  0 
=
Gh
183
6.2.2.2
(Afgeknotte) piramide
De doorsnede aangebracht ter hoogte van x is een homothetie van het grondvlak
2
x
(oppervlakte G) met centrum T en factor   . Om van abscis b naar x te gaan moeten we
b
b vermenigvuldigen met factor
x
, vandaar is intuïtief duidelijk dat de factor voor 2
b
2
x
dimensies (oppervlakte)   wordt7.
b
b
Inhoud afgeknotte piramide
=
 g  x   dx
a
b
=
2
 x  G  dx
 2
b
a
b
=
7
G
 x 2  dx
2
b a

De transformatie van een vlakdeel onder een homothetie vermenigvuldigt de oppervlakte
van dit vlakdeel immers met een factor gelijk aan het kwadraat van de homothetiefactor.
Een homothetie met centrum T en factor k is de transformatie van het vlak die T op zichzelf
afbeeldt en elk ander punt X op een punt X' zodat X' tot [TX behoort en |OX'|=k.|OX|
184
b
=
G
b2
1 
  x3 
 3 a
=
G
 b3  a3
3b2
=
G
 b  a   b2  ab  a2
3b2
=
G
 h  b2  ab  a2
3b2
=

h 
a
a2
  G   G  2  G 
3 
b
b

=
h
 G BG B
3








Zo komen we ook tot de inhoud van een piramide. Kies a = 0 en b = h.
Inhoud piramide
=
h
G
3
185
6.2.3.
Inhoud van omwentelingslichamen
Een omwentelingslichaam is een lichaam dat ontstaat door wenteling van een begrensd
vlakdeel om een as.
6.2.3.1
Algemene formule
We wentelen een vlakdeel begrensd door een functie f, de X-as en de rechten x  a en
x  a om de X-as en bekomen een omwentelingslichaam L. De doorsneden loodrecht op de
X-as zijn cirkelschijven met oppervlakte   f 2 x  . Door toepassing van de algemene formule
van inhoud van een willekeurig lichaam begrensd door 2 evenwijdige vlakken, bekomen we:
b
Inhoud omwentelingslichaam
=

a
g  x   dx
b
=
   f  x   dx
2
a
186
6.2.3.2
Toepassingen
6.2.3.2.1 Cilinder, (afgeknotte) kegel
De inhoud van een cilinder, afgeknotte kegel en kegel komt neer op de inhoud van een
lichaam beschreven door wenteling van een lijnstuk.
h
Inhoud afgeknotte kegel
=
   f  x   dx
2
0
h
=
2
r r

  2 1  x  r1   dx

 h
0
h
=
  r2  r1 2
r2  r1 
2
2
 

x

r

2

r

 x  dx
1
1
  h2

h


0
h
=
  r  r 2

r r
   2 12  x 3  r12  x  r1  2 1  x 2 
h
 3h


0
=
 r  r 2

r r
   2 12  h3  r12  h  r1  2 1  h2 
h
 3h



=
 r  r 2
r 2  h 3  r1  r2  r1   h 

  2 1 h  3 1

3
3
3




=
2
h 
 r2  r1   3  r12  3  r1  r2  r 1 


3 
=
h  2
 r  r1  r2  r12 
3 2
187
In het geval r1  0 en r1  r bekomen we een kegel.
Inhoud kegel
=
  r2
h
3
In het geval r1  r2  r bekomen we een cilinder.
Inhoud cilinder
=
  r2  h
=

b2  ab  a2 
  b  a    r 2 

3


=
4    r3
3
6.2.3.2.2 Boldelen
6.2.3.2.2.1 Bolschijf
Inhoud bolschijf
6.2.3.2.2.2 Bol
Inhoud bol
6.2.3.2.2.3 Bolsegment
Inhoud bolsegment
=
  h2
 3  r  h
3
=
2    r2  h
3
=
2  k  2  r 2
6.2.3.2.2.4 Bolsector
Inhoud Bolsector
6.2.3.2.3 Torus
Inhoud torus
188
6.3.
Lengte van willekeurige krommen. Booglengte.
6.3.1.
Algemene formule
Y
f  xi 
f
f  xi1 
0
a
b
X
We willen de lengte van een kromme bepalen, namelijk de boog P0Pn die de grafiek van f
beschrijft op a,b . We nemen een eindige verdeling van a,b
 a  b .
We verdelen de kromme in kleine boogjes Pi1Pi volgens elk deelinterval  xi1 , xi  van
a,b .
We benaderen vervolgens de lengte van ieder boogje Pi1Pi door de lengte van de lijnstukjes
 xi  xi1    f  xi   f  xi1 
2
Pi1 ,Pi  met lengte Pi1 Pi 
2
.
Indien we de lengten van al deze lijnstukken optellen, bekomen we een benadering voor de
lengte van de boog P0Pn . Bij verdere verfijning van onze verdeling krijgen we een steeds
betere benadering.
Booglengte P0Pn

n

i1
P0 Pi
189

n
 x
i1

 x i1    f  x i   f  x i1  
2
i
n
  x    y 
2
i
i1

n

i1
2
2
i
2
 y 
1   i   x i
 x i 
f :  x i1 , x i   IR

f continu op  x i1 , x i 

f afleidbaar op  x i1 , x i 

Stelling van Lagrange
i   x i1 , x i  : f '  i  


n


1  f '  i 
i1
Dit is een Riemannsom van g  1   f ' 
2

2
x i  x i1

y i
x i
a,b
f '  CIR 
We hebben zelfs een sterkere eis gesteld namelijk:
Booglengte P0Pn
f  x i   f  x i1 
 xi 
n
 g    x
i
i
i1
op a,b .
Bij een oneindige verfijning van onze verdeling bekomen we de gewenste booglengte P0Pn .

Booglengte P0Pn
f ' continu op a,b 
Bij
oneindige

verfijning
lim
n
n


1  f '  i 
i1

2
 xi
g  1   f '  continu op a,b 
2
van
een
verdeling
van
een
interval
a,b wordt de
corresponderende Riemannsom van een continue afbeelding gelijk aan de bepaalde integraal
van deze afbeelding over het betreffende interval.
b
Booglengte P0Pn
2

 1   f '  x    dx

a
6.3.2.
Toepassing: cirkelboog
Lengte cirkelboog
=
 r
190
6.4.
Manteloppervlakte van omwentelingslichamen
6.4.1.
Algemene formule
We willen de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam bepalen, beschreven door
wenteling van de boog van een vlakke kromme om een as gelegen in het vlak van de
kromme.
We veronderstellen (net zoals bij de afleiding van booglengte) dat de kromme de grafiek is
van een functie (afbeelding) die een continue afgeleide bezit op [a,b].
Y
f
f  xi1 
f  xi 
0
a
We nemen een eindige verdeling of partitie van a,b
b
X
a  b . We verdelen de boog P P
0 n
in n deelboogjes Pi1Pi volgens elk deelinterval  x11 , xi  van a,b . Wanneer we f
wentelen om de X-as bekomen we een omwentelingslichaam. We benaderen de lengte van
191
ieder deelboogje Pi1Pi door de lengte van de lijnstukjes Pi1 Pi . Na wenteling om de X-as
beschrijven de lijnstukjes op hun beurt afgeknotte kegels op de verschillende deelintervallen
 x11 , xi  . De som van de manteloppervlakten van de afgeknotte kegels over de
verschillende
deelintervallen
van
a,b vormt een benadering voor de gezochte
manteloppervlakte van het omwentelingslichaam. Wanneer we onze partitie of verdeling
verfijnen, verkrijgen we een betere benadering voor de manteloppervlakte van het
omwentelingslichaam. Bij oneindige verfijning bekomen we de gezochte manteloppervlakte.
Vooreerst gaan we op zoek naar de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel. Hiervoor
bepalen we eerst de manteloppervlakte van een kegel.
192
6.4.2.
6.4.2.1
Toepassingen
Bolzone
Oppervlakte bolzone
6.4.2.2
2 r h
=
4    r2
Bol
Oppervlakte bol
6.5.
=
Toepassingen in andere disciplines
6.5.1.
Fysica: valbeweging onder invloed van een veranderlijke
kracht
Wanneer een voorwerp valt , ondervindt het 2 tegengestelde krachten: de zwaartekracht
en de wrijvingskracht. Bij lage snelheden is de wrijvingskracht eerder evenredig met de
snelheid, bij hogere snelheden eerder evenredig met het kwadraat van de snelheid.
Voorbeelden van het eerste geval zijn vallende waterdruppels of een steen die met een
kleine beginsnelheid in het water valt. De beweging van een tennisbal of de valbeweging van
een parachutist vallen onder het tweede geval.
Geval 1: Wrijvingskracht evenredig met de snelheid
Volgens de tweede wet van Newton:


F  m a
Bij een valbeweging met wrijvingskracht wordt dat:



Fz  Fw  m  a
Of nog:
Fz  Fw  m  a
m
dv
 m g  k  v
dt
1
Hierin zijn m, g en k gekend. Voor een vallende regendruppel zijn volgende waarden
realistisch: m  4,2 mg en k  6,3  10 6 kg / s .
193
k is een positieve evenredigheidsfactor van die afhangt van de aard van de middenstof en
van de vorm en de afmetingen van het vallende voorwerp. Een regendruppel valt relatief
traag omdat de luchtweerstand voor zo’n druppel relatief groot is.
Vergelijking (1) is een differentiaalvergelijking omdat naast de onbekende functie v  t 
ook de afgeleide (genoteerd als differentiaalquotiënt)
dv
voorkomt. Een oplossing van deze
dt
differentiaalvergelijking is een functie v  t  die aan de vergelijking voldoet. We kunnen deze
differentiaalvergelijking oplossen door de veranderlijken te scheiden (methode: scheiding
der veranderlijken).
m
 dt   m  g  k  v  dv
t
m  d m  g  k  v 

k  mgk  v
t
m
m
 ln m  g  k  v   t    ln m  g  k  v   c
k
k
Elke waarde van integratieconstante c geeft een andere oplossing. We spreken daarom van
een parameterfamilie van oplossingen (algemene oplossing). Een oplossing die aan
een bepaalde beginvoorwaarde voldoet, wordt een particuliere oplossing van de
differentiaalvergelijking genoemd.
Voor een vallende regendruppel geldt dat v = 0
0
c

m
als t = 0 s.
s
m
 ln  m  g   c
k
m
 ln  m  g 
k
t
m
m
 ln m  g  k  v    ln m  g
k
k
We willen de vergelijking van de snelheidsfunctie v  t  afleiden.
194
t
m
 ln  m  g  k  v   ln m  g  
k 
 mgk v 
 k 
exp    t   exp  ln

mg 
 m 

mge

k
t
m
 mgk v
k  v  mg mge

k
t
m
k
 t 
mg 
m
v
 1  e


k 

Geval 2: Wrijvingskracht evenredig met het kwadraat van de snelheid
Indien we de valbeweging van een parachutist bekijken is de wrijvingskracht evenredig met
het kwadraat van de snelheid. Uit de stromingsleer weten we dat de wrijvingskracht van
grote voorwerpen aan hoge snelheid benaderend kan geschreven worden als:
Fw 
1
 C    A  v2
2 w
 : dichtheid van de middenstof
A: loodrechte doorsnede van het voorwerp dwars op de bewegingsrichting
C w : weerstandscoëfficiënt (empirische constante die afhangt van de vorm van het lichaam)
We kunnen deze formule ook vereenvoudigen tot Fw  k  v2 met k 
1
C  A .
2 w
UOVT:
Toon aan dat de snelheidsfunctie nu geschreven kan worden als v  t  
6.5.2.
2
mg e

k
2
e
gk
t
m
gk
t
m
1
1
Inkomensongelijkheid. Gini-coëfficiënt.
195
6.6.
Oefeningen
6.6.1.
Inhoud
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam, bepaald door wenteling van een
begrensd vlakdeel om de X-as. Gegeven zijn vergelijkingen van de grenzen van het
wentelende deel.
a.
f  x   x2
b.
f x 
c.
x 0
en
x 2
x 1
en
x4
f x  x
x 0
en
x4
d.
f  x   2x  1
x 1
en
x4
e.
f  x   4x  1
x 1
en
x 5
f.
f  x   sinx
x 0
en
x
g.
f  x   tan x
x 0
en
x
h.
f  x   4  x2
x 1
en
x 2
i.
f x 
x 1
en
x 2
j.
f x 
1
x
x 1
en
x4
k.
f  x   ex
x 0
en
x 1
l.
f  x   x 9  x2
x  3
en
x 3
m.
f x 
x0
en
x 1
n.
f  x   lnx
x 1
en
x e
o.
f  x   e x  sin x
x 0
en
x
p.
f  x   x 4 1  x2
x 0
en
x 1
q.
f x 
x0
en
x 2 3
r.
x2 y2

1
a2 b2
1 2
x
2
1 x
x3
1
1  x2
x
4
x2  4

4
 a,b  IR 0 
196
s.
x2 y2

1
a2 b2
 a,b  IR 0 
t.
f  x   25  x 2
gx 
u.
f x  x
g  x   x2
v.
f x 
1 2
x
4
6.6.2.
(wentelen om de Y-as)
1
5
x
2
2
gx  x
Booglengte
Bereken de lengte van de krommen bepaald door:
a.
f  x   3x
op
2,5
b.
f x  x
op
0,1
c.
f x  x2
op
0, 4 
d.
f x 
op
1,2
e.
f  x   1  3 x2
op
8, 1
f.
f x 
1
3
op
0,1
g.
f x 
x4  1
3x
op
1,2
h.
f  x   lnx
op
1,2
i.
f  x   2  ln 4  x 2
op
1,1
j.
f  x   ln 1  x 2
op
 1
0, 2 


k.
f  x   ex
op
0,1
l.
f x 
op
0,1
m.
f  x   2x2  ln x
op
1,e
n.
f  x   ln  cos x 
op
 
0, 4 


o.
f  x   ln  sin x 
op
 
6 , 4 


3
 x  1
x
2
3
2



ex  e x
2

3

197
6.6.3.
Manteloppervlakte
Bereken de manteloppervlakte die ontstaat door wenteling van de gegeven kromme om
de X-as op het gegeven interval.
a.
f  x   3x
op
2,5
b.
f  x   4x
op
0, 4
c.
f  x   4x  4
op
0,8
d.
f x 
1
16  x 2
2
op
4, 4 
e.
f x 
12x 4  1
12x
op
1,2
f.
f  x   sinx
op
0, 
g.
f  x   x2  1
op
1,2
h.
f  x   x2
op
0,1
i.
f x 
op
0,1
ex  e x
2
198
6.6.4.
Herhalingsoefeningen
1. Bereken de lengte van de boog bepaald door f(x) 
x3
1

op [1,3].
6 2x
2. Bereken de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam gevormd door de grafiek
van f(x) 
1
 2x 2  2x 4 te wentelen om de X-as op het interval [0,1].
4

3. Bereken de lengte van de boog bepaald door f(x)  ln 1  x 2


2


op 0,  .
3
4. Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling om de X-as van de
kromme met vergelijking f(x) 
4
1 x
op het interval [0,1].
1 x
2
5. Bereken de booglengte van de lus van de kromme met vergelijking y 
2
1
 x  3  x 
9
6. Bereken de manteloppervlakte die ontstaat door wenteling om de X-as van de


 e2  1 
kromme met vergelijking f(x)  ln x  x  1 op het interval 1,
.
2e 

2


7. Bereken de lengte van de boog bepaald door f(x)  ln x  x 2  1 op 1,3 .
8. Bereken de booglengte voor x  p, 4p en y  IR  van de semi-kubische parabool
met vergelijking y 2 
3
8
  x  p .
27  p
9. Bereken de inhoud van de torus die ontstaat door wenteling om de X-as van de cirkel
2
met vergelijking x   y  4   9 .
2
10. Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling om de X-as van de

2
2
kromme met vergelijking y  1  x

3
op het interval [-1,1].
2
2
2
11. Bereken de omtrek van de regelmatige astroïde met vergelijking x 3  y 3  a 3 .
12. Een éénbladige omwentelingshyperboloïde ontstaat door wenteling om de Y-as van de
hyperbool met vergelijking
x2 y2

 1 . Bereken de inhoud voor y  k,k  .
a2 b2
199
2
2
13. Een torus ontstaat door wenteling van de cirkel c  x   y  R   r om de X-as.
2
Bewijs dat de manteloppervlakte van deze torus gelijk is aan het product van de
omtrek van de cirkel beschreven door het middelpunt van c én de omtrek van de
wentelende cirkel c.
14. Bereken de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam dat gevormd wordt door
wenteling van y 2  x 2  x 4 om de X-as.
15. De cirkels x 2  y 2  16 en x 2  y 2  8x wentelen rond de X-as. Bereken de inhoud
van het gemeenschappelijke deel van de twee ontstane bollen.
Oplossingen


1.
14
3
8.
p 3 3 1
2.

4
9.
722
3.

10.
32

35
11.
6a
12.
2  a2  k
 3b2  k 2
3  b2
13.
4 2  R  r
14.
5,58
2
 ln5
3
4.
5.
6.
7.
4 3
2  e  1
e
2 2

15.
80

3

200