Hoe keek men in West-Europa tijdens de Middeleeuwen tegen nul

Dag van Wiskunde Eerste en Tweede graad
Kortrijk, Zaterdag 26 november 2005
NUL
Marjolein Kool
[email protected]
Nul in de Nederlanden
Het traditionele penningrekenen
Hoewel al in 1445 in een Nederlandstalig rekenboek werd uitgelegd hoe je met de HindoeArabische cijfers kunt rekenen, bleef men in de Nederlanden de traditionele manier van
rekenen nog lang trouw. Naast het nieuwe schriftelijke rekenen, rekende men gedurende lange
tijd nog steeds met penningen op een rekenbord.
In verschillende rekenboeken uit de zestiende eeuw wordt naast het ‘moderne’ rekenen dit
traditionele penningrekenen nog steeds onderwezen. Dat is bijvoorbeeld het geval in het
rekenboek van Gielis van den Hoecke, Antwerpen, 1545. (fol. 12v)

Opdracht 1
Hiernaast is berekend: 28 + 76. De termen
en de som zijn elk in een eigen kolom
afgebeeld. Probeer te achterhalen hoe deze
optelling met penningen op de lijnen is
uitgevoerd.
a. Noteer de uitkomst in Romeinse cijfers.
b. Welke rol speelt nul in deze berekening?
En bij het noteren van de uitkomst in
Romeinse cijfers?
28
+
76
= …?
1
Mengvormen van Romeinse en Hindoe-Arabische getallen
Bij het noteren van getallen met Hindoe-Arabische cijfers en bij het rekenen met deze getallen
heb je wel een nul nodig. Soms zie je de auteurs van de zestiende-eeuwse rekenboeken daar
nog wat onwennig mee omgaan. Een enkeling gebruikt bijvoorbeeld een mengvorm van het
Romeinse getalsysteem en het Hindoe-Arabische getalsysteem.
Zo staat bijvoorbeeld in de arithmetica van Bernaert Stockmans, Dordrecht, 1595, fol. 6r:
Ic XXIIIm IIII c LVI

Opdracht 2
a. Welk getal staat hier?
b. In welk opzicht zijn hier twee getalsystemen vermengd?
c. Is bij deze notatiemanier een nul nodig?

Opdracht 3
Martin van den Dijcke hanteert in zijn Chijferboeck, Antwerpen, 1591 op p.11 een
vergelijkbare notatie:
1c 23mm 4c 56m 7c 89
a. Welk getal staat hier?
b. Deze mengvorm lijkt een redelijk efficiënte en overzichtelijke manier van noteren.
Waarom zou hij toch nooit echt gebruikt zijn?
c. Is dit een positioneel systeem?
Stockmans en Van den Dijcke hebben deze notatiemanieren in de rest van hun rekenboek niet
gebruikt.
Bij de twee voorgaande getallennotatiemanieren (van Stockmans en Van den Dijcke) is al wel
sprake van een soort rangwaardesysteem, maar het is benoemd. De rang wordt nog door een
letter aangeduid. Daardoor is er geen nul nodig. Het Hindoe-Arabische getalsysteem is een
abstract positiesysteem. Dat wil zeggen dat de rang niet expliciet wordt aangeduid. De positie
die een cijfer in een getal inneemt bepaalt de waarde ervan. In zo’n abstract positiesysteem is
de nul onmisbaar om aan te duiden dat die bewuste positie leeg is.
2
De arithmetica van Christianus van Varenbraken
Christianus van Varenbraken was een van de auteurs die in de zestiende eeuw een rekenboek
schreef over het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. Hij deed dat in 1532. Het boek is
nooit gedrukt, maar het manuscript is overgeleverd en bevindt zich in de universiteitsbibliotheek van Gent (hs.2141). Van Varenbraken behandelt kort het penningrekenen, - hij geeft
aan dat hij dat doet voor mensen die niet kunnen schrijven - en hij gaat vooral zeer uitvoerig
in op het nieuwe schriftelijke rekenen. Hij verklaart hoe je met de Hindoe-Arabische cijfers
moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zowel met gehele (positieve) getallen
als met breuken. En daarna behandelt hij allerlei praktische toepassingen, dat wil zeggen
rekenkundige vraagstukken uit de dagelijkse praktijk van kooplieden, bankiers,
geldwisselaars, timmerlieden, edelsmeden, enzovoort.
Hoe ging Christianus met de nul om? Laten we daar eens naar gaan kijken.
Christianus van Varenbraken en het rekenen met gehele getallen
Op fol. 142v van het arithmeticatractaat van Christianus van Varenbraken komt de volgende
vermenigvuldiging voor:
Wanneer ghij met eenighe articulen multipliceren wilt eenighe
compositen, als exemplum: 300 met 111, so slaet die 00 af
ende multipliceert met die 3 ende compt 333. Nu setter die 00
voren an. So comet 33300 ende es ghedaen.
Parafrase
Als u tientallen met gemengde getallen wilt vermenigvuldigen,
zoals bijvoorbeeld: 300 met 111, zet de nullen dan apart
en vermenigvuldig (111) met 3. Daar komt 333 uit. Zet die nullen
er nu weer achter. Dan krijgt u 33300 en dan is het klaar.

Opdracht 4
a. Hoe noteert Christianus van Varenbraken zijn getallen?
b. Hoe gaat Van Varenbraken in dit fragment met nul om? Welke opvatting over nul kunt u
hier mogelijk uit afleiden? Ziet hij nul als een getal?
Het volgende fragment (fol. 144 v) laat zien hoe Van Varenbraken met de nul omgaat in een
deling. Hij wil 301 schellingen omrekenen in ponden. 1 pond = 20 schellingen. Hij berekent
3
dus 301 : 20. Het algoritme dat hij hiervoor gebruikt heeft iets weg van onze staartdeling,
maar er zijn wel wat verschillen. Het quotiënt wordt tussen deeltal en deler genoteerd, en de
staart die bij ons omlaag wijst, wordt bij deze aanpak omhoog boven het deeltal geplaatst. De
berekening gaat als volgt:
1 werf niet es
niet
Ende daer rest 0
10 die trect van 10 ende daer rest 0
5 werf 0 es niet Die trect van 1
Parafrase:
Als u van deze voornoemde (301) schellingen ponden wilt maken
dan moet u uw bedrag als hiernaast staat noteren.
301 scellinghen
En dat bedrag (301) moet u delen door 20, want
ponden
20 schellingen maken 1 pond.
20 divisor
Kijk eerst hoe vaak 2 op 3 gaat. Dat gaat 1 keer.
Daarom moet u een 1 tussen de lijnen zetten onder de 0 (van 301).
Zeg nu: 1 x 2 = 2. Trek deze 2 van 3 en er blijft 1 over.
Noteer deze 1 boven 3 en streep 3 door. En streep ook de 2 van uw deler door.
Vermenigvuldig nu de 1 tussen de lijnen met de 0 van uw deler en zeg:
1 keer nul is nul. Streep de nul door. Noteer uw deler 20
een plaats verder naar rechts opnieuw.
1
Dan ziet uw berekening eruit als hiernaast.
301 scellinghen
Onderzoek hoeveel keer 2 in 10 gaat.
1 ponden
Dat is 5 keer. En er blijft 0 over.
200 divisor
Zet 5 tussen de lijnen onder de 1 (van 301)
2
En streep de 10, en de 2 van uw deler door.
Vermenigvuldig de 5 die tussen de lijnen staat met nul, zeggende: ‘5 keer nul is nul’, trek die nul
van 1 af en er blijft 1 schelling over. Streep de nul door en het is klaar. (15 ponden en 1 schelling)
4

Opdracht 5
a. Welke bewerkingen met nul voert Van Varenbraken uit in dit fragment? Komen we iets
over delen door nul te weten?
b. Probeer uit het citaat iets over het nulconcept van Van Varenbraken af te leiden.
c. In de zestiende-eeuwse rekenboeken komen verschillende benamingen voor nul voor. In
een rekenboek uit 1508 spreekt de auteur van nulla. In een rekenboek uit 1578 staat zero.
Sommige auteurs gebruiken verschillende benamingen voor nul binnen één boek. In een
rekenboek uit 1568 komen zelfs vier benamingen voor: niet, nul, nullo, sypher.
Simon Stevin die ernaar streeft om eenduidige Nederlandse termen in de wiskunde in te
voeren, kiest in zijn ‘De Thiende’ (1585) voor de term ghebreeckende: Soo … eenich der
natuerlicke oirden ghebraecke, men sal sijn plaetse vollen met dat ghebreeckende.
Wat vindt u van de term ghebreeckende?
d. Van Varenbraken gebruikt ‘niet’ als benaming voor nul. Volgens het Middelnederlands
woordenboek betekent ‘niet’ zowel niets als niet. Levert dit nog een aanknopingspunt op
in onze zoektocht naar het nulconcept van Van Varenbraken?
Christianus van Varenbraken en het rekenen met breuken
Bij het rekenen met gehele getallen zijn we al iets te weten gekomen over het nulconcept van
Christianus van Varenbraken, maar het beeld wordt helderder als we gaan kijken naar de
wijze waarop hij omgaat met nul bij het rekenen met breuken.
Op fol. 142r behandelt hij het vermenigvuldigen met breuken, met name het
vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal.
Wildy ghebroken met heele multipliceren, als Error! met 6 ellen, so set onder die 6 een 1 oft 0, -dat
een getal es dat niet en gheeft ofte en neempt-, ende setse beede in oordenne Error!Error!. Ende
multipliceert telder met telder, noemer met noemer, als voorsien es. Ende die somme compt Error!.

Opdracht 6
Welke ideeën omtrent nul spreken uit dit fragment?
In een ander breukenvraagstuk wordt het allemaal iets duidelijker. Op fol. 179r behandelt
Christianus van Varenbraken het volgende vraagstuk:
5
Parafrase:
In een kerk zijn 12 kanunniken en eens zoveel priesters, dat is dus 24, en nog eens zoveel
klerken, dat zijn er dus 48. De kanunniken, priesters en klerken is in een testament 400 pond
nagelaten, om van te rentenieren en hun hele leven voor de erflater te bidden. De bedragen
verhouden zich als volgt: Als een priester 1Error! pond krijgt, krijgt een klerk een halve pond en
Error!, en een kanunnik 2Error! pond. De vraag is nu hoeveel ieder krijgt.
Wat betreft de kanunniken: 2Error! = Error!, vermenigvuldig dit met 12, - dat is het aantal
kanunniken -, aldus Error!Error!, doe teller keer teller, en noemer keer noemer, en deel de
uitkomst van de tellers door de uitkomst van de noemers.
Op vergelijkbare wijze wordt berekend hoeveel de priesters en de klerken krijgen.
Samengevat:
Geef 12 kanunniken elk 2Error! pond, dat is 27 pond
Geef 24 priesters elk 1Error! pond, dat is 27 pond
Geef 48 klerken elk Error! + Error! pond, dat is ook 27 pond.
Iedere groep krijgt dus precies Error! deel van de 400 ponden, dat is 133Error! pond.
Wat krijgt ieder persoonlijk?
Elke kanunnik: 133Error! : 12 = 11Error! pond
6
Elke priester: 133Error! : 24 = 5Error! pond
Elke klerk:
133Error! : 48 = 2Error! pond

Opdracht 7
a. Is het vraagstuk correct opgelost?
b. Welke ideeën omtrent nul spreken uit dit fragment?
c. Van Varenbraken schrijft: 12 = Error! betekent dit nu dat hij meent 12 : 0 = 12?
Tot slot volgt nog een fragment uit het rekenboek waarin Van Varenbraken zich expliciet
uitlaat over nul. Het fragment is afkomstig uit het begin van het rekenboek waarin hij uitlegt
hoe je de Hindoe-Arabische cijfers moet schrijven en lezen. Hij geeft eerst de cijfers van 1 tot
en met 9 en dan vervolgt hij:
. 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . Ende tot desen dygyten oft neghen letteren doetmen een
0, de welcke 0 in haer selven niet en doet, maar sy doet deze neghen letteren doen, -yeghelijc
dit wel verstaende- tien werf meer dan sij in haer selven doen.
Ende dan heetmense ‘articulen’. Ende men scrijftze aldus als hier naer bij exemplen verclaert
wordt. 10 / 20 / 30 / 40 / 50 / 60 / 70 / 80 / 90
Parafrase
.1.2.3.4.5.6.7.8.9.
En aan deze digiten of negen letteren voegt met een 0 toe, deze 0
is van zichzelf niets waar, maar zij geeft deze negen letteren een waarde – en let goed op – die
waarde is tien keer groter dan de waarde die ze van zichzelf hebben. En dan noemt men ze
articulen en men schrijft ze zoals hierna volgt: 10 / 20 / 30 / 40 / 50 / 60 / 70 / 80 / 90

Opdracht 8
Als u nu alle voorgaande fragmenten uit het rekenboek van Van Varenbraken nog eens langs
loopt kunt u dan samenvattend het nulconcept van de auteur beschrijven?
Nul bij Bartjens, 1604
7
Nul is in het rekenboek van Van Varenbraken nog niet helemaal gewoon en vanzelfsprekend.
En dat is in de rekenboeken van de andere zestiende-eeuwse Nederlandse auteurs niet anders.
Zelfs de beroemde zeventiende-eeuwse rekenmeester Willem Bartjens is in zijn rekenboek De
Cijfferinghe, Amsterdam, 1604, af en toe nog zoekende naar nul. Vraagstuk 10, p. 24:
Parafrase
100 ponden kosten 10 groten. Hoeveel kosten 78.606 ponden? Uitkomst: 32 ponden,
15 schellingen 0Error! groten.

Opdracht 9
a. Is het vraagstuk correct opgelost? U moet weten dan 1 pond = 20 schellingen en
1 schelling = 12 groten.
b. 0Error! is in onze ogen een vreemde notatie. De 0 is overbodig. Waarom is er binnen deze
context toch wel iets voor te zeggen?
Bartjens is nog zoekende als het gaat om nul. Dat blijkt ook uit zijn terminologie. Hij spreekt
van nullo ofte niet. En hij beschrijft dat nul van zichzelf niets is, maar wel de waarde van
andere getallen kan veranderen als er nullen aan toegevoegd worden.
Nul bij Peter van Halle, 1568
Peter van Halle, is de enige zestiende-eeuwse rekenmeester die in zijn rekenboek het
machtsverheffen behandelt. Wat wordt een getal als je het tot de macht nul verheft? Hij
gebruikt als notatie de hoofdletter N van Numerus en hij geeft de volgende omschrijving:
N ofte numerus en bediet niet anders dan een uniteyt ofte daerin dat werden gheresolueert
alle andere quantiteyten.

Opdracht 10
a. Kunt u zelf de parafrase van dit citaat geven?
De volgende tabel uit het rekenboek van Van Halle kan daar misschien bij helpen.
8
b. Wat is volgens Van Halle de uitkomst van 40 = ….?
De ontwikkeling van het nulconcept was nog niet af in de zestiende en zeventiende eeuw,
maar men maakte behoedzaam vorderingen. Geleidelijk aan werden de stappen voorwaarts
ook in grotere kring verbreid.
9
Nul anno 2005
Nul is voor ons tegenwoordig zo vanzelfsprekend geworden dat we er meestal achteloos aan
voorbij gaan. Nul is een getal als alle andere getallen, maar daarbinnen toch wel weer een
geval apart. Geen van de getallen roept zoveel vragen op als nul, ook tegenwoordig nog.
Kijk maar eens naar de volgende vragen die allemaal de laatste tijd op Wiskfaq zijn gesteld.
Kunt u ze beantwoorden?
1. Waarom is n • 0 = 0?
2. Waarom mag je niet delen door nul?
3. Waarom mag je niet zeggen a : 0 = oneindig?
4. Waarom is Error! niet gedefinieerd?
5. Waarom geldt a0 = 1 als a ≠ 0?
6. Wat komt er uit a0 als a = 0? Met andere woorden wat is 00?
7. Waarom is nul een even getal?
8. Waarom is 0! = 1?
9. Wat is het tegengestelde van 0?
10. Wat is het omgekeerde van 0?
11. Weet u zelf nog een intrigerende nul-vraag? Kunt u hem beantwoorden?
Literatuur
Meer lezen over nul?
Flegg, Graham, ‘Numbers through the ages.’ The Open University, Milton Keynes, 1989.
Ifrah, Georges, ‘De wereld van het getal.’ Servire, Katwijk aan Zee, 1985.
Kaplan, Robert, ‘Het paradoxale niets. Een geschiedenis van het getal nul.’ Bert Bakker, 2000
Menninger, Karl, ‘Number words and number symbols.’ New York, 1969.
Wilt u bladeren in een zeventiende-eeuws rekenboek?
Beckers, D. en M. Kool (ed.), ‘Willem Bartjens, De Cijfferinghe (1604).’ Verloren, 2004.
10
Antwoordenblad: Nul anno 2005
1. Waarom is n • 0 = 0?
n • 0 = n • (k – k) = nk – nk = 0
2. Waarom mag je niet delen door nul?
Dan zouden alle getallen hetzelfde zijn.
Immers: 5 • 0 = 0 en 6 • 0 = 0
dus 5 • 0 = 6 • 0
Als je zou mogen delen door nul en dus in deze vergelijking de nullen zou mogen
wegstrepen, dan komt er te staan 5 = 6. Daarom is delen door nul onmogelijk.
3. Waarom mag je niet zeggen a : 0 = oneindig?
a : 0,0000001 = een heel groot positief getal
a : -0,0000001 = een heel groot negatief getal
Is a : 0 nou positief oneindig of negatief oneindig????
4. Waarom is 0/0 niet gedefinieerd?
Omdat 0/0 alles kan zijn
Bijvoorbeeld: 0/0 = 7 want 7 x 0 = 0
Maar ook geldt: 0/0 = -0,465 want –0,465 x 0 = 0
0/0 is niet gedefinieerd om het bouwwerk van de rekenkunde waterdicht te houden.
5. Waarom geldt a0 = 1 als a ≠ 0?
Als a ≠ 0 dan geldt: ap : ap = ap-p = a0
ap : ap = 1
dus a0 = 1
6. Wat komt er uit a0 als a = 0? Met andere woorden wat is 00?
a0 = 1 als a ≠ 0
0a = 0 als a ≠ 0
Wat moet je nou kiezen voor 00?
7. Waarom is nul een even getal?
- Het is deelbaar door 2, want 0 : 2 = 0
- Om de afwisseling in de even telrij regelmatig te houden: …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …
8. Waarom is 0! = 1?
Omdat men dat zo heeft afgesproken. Het biedt voordelen bij de notatie.
9. Wat is het tegengestelde van 0?
Het tegengestelde van 0 is 0.
Want het tegengestelde van a = -a. Met andere woorden de som van een getal en zijn
tegengestelde is 0. Aangezien 0 + 0 = 0 volgt hieruit dat 0 het tegengestelde is van 0.
10. Wat is het omgekeerde van 0?
Het omgekeerde van 0 bestaat niet, want het omgekeerde van a = 1/a.
Met andere woorden het product van a en zijn omgekeerde is 1.
Maar met welk getal kan ik 0 vermenigvuldigen zodat 1 het product is? Dat is niet te
vinden omdat 0 • a = 0 voor elke a.
11