Opgave 1: Degeneratie van eigentoestanden van een atoom

Schoolexamen Moderne Natuurkunde
Natuurkunde 1,2 VWO 6
29 maart 2004
Tijdsduur: 90 minuten
Deze toets bestaat uit 3 opgaven met 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven
hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Na de laatste vraag staat het
woord Einde afgedrukt.
Bij dit schoolexamen is een blad toegevoegd met enkele gegevens en formules die wel tot de
stof behoren, maar niet in Binas zijn te vinden. Uit het feit dat ze hier staan mag niet de
conclusie worden getrokken dat ze in deze toets ook beslist gebruikt moeten worden.
Succes !
Moderne Natuurkunde
gegevens en formules
Tabel 1: Elementaire deeltjes
Elementaire Deeltjes: Fermionen
Quarks
Genera
tie
Deeltje/smaak
1
u
Lading
(e)
Gene
ratie
0.003
2/3
1
0.006
-1/3
1.3
2/3
0.1
-1/3
175
2/3
4.3
-1/3
up quark
d down
quark
c charm
quark
s strange
quark
t top quark
b bottom
quark
2
3
Leptonen
Massa
(GeV/c2)
Massa
(GeV/c2)
Ladin
g (e)
<1. 10-5
0
0.000511
-1
<0.0002
0
0.106
-1
ντ tau neutrino
<0.02
0
τ
1.7771
-1
Deeltje/smaak
νe elektron
neutrino
e-
2
νµ muon
neutrino
µ-
3
elektron
muon
tau
Elementaire Deeltjes: Bosonen
Sterke interactie
Elektrozwakke interactie
g gluon
0
0
0
γ photon
−
W-min-boson
80.4
W
Gravitatie
80.4
W + W-plus-boson
graviton
91.2
Z 0 Z boson
(hypothetisch)
0
Ieder deeltje heeft een antideeltje, met dezelde massa en met tegengestelde lading,
baryon- of leptongetal.
Alle genoemde quarks hebben baryongetal 1/3 en leptongetal 0
Alle genoemde leptonen hebben baryongetal 0 en leptongetal 1
▪
▪
▪
Tabel 2: Enkele samengestelde deeltjes
deeltje
samenstelling
p+ proton
uud
–
p
anti-proton
uud
n
neutron
udd
n anti-neutron
udd
π − pi-min-meson
π + pi-plus-meson
π
0
-1
+1
0
H
pi-nul- meson
ud
ud
uu / dd
waterstofatoom
Tabel 3: Formules
Ek =
p2
2m
2
h 2  nx2 n y nz2 
Ek =
+ 
 +
8m  L2x L2y L2z 
+ –
pe
baryongetal
1
-1
1
-1
leptongetal
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Opgave 1 Caroteen
Caroteen is een stof die voorkomt in bijvoorbeeld worteltjes en mango’s. Het is een
koolwaterstof met de molecuulformule C40H56. Een model van het caroteenmolecuul is
gegeven in figuur 1.
figuur 1
Volgens de theorie van moleculaire bindingen zijn er bij de bindingen in caroteen twee
soorten elektrontoestanden betrokken. De zogenaamde σ-elektronen zitten op vaste plekken
tussen de atomen. De π-elektronen bevinden zich in toestanden waarbij ze kunnen bewegen
over de hele lengte van het molecuul. Op de π-elektronen is in goede benadering het
(eendimensionale) deeltje-in-een-doos-model van toepassing.
2p 1 □
2p 2 □
Koolwaterstoffen zoals caroteen ontstaan door de vorming van covalente bindingen tussen
de koolstof- en de waterstofatomen. Covalente bindingen komen tot stand doordat de totale
energie lager wordt als atomen hun elektronen delen.
Leg uit hoe het delen van elektronen leidt tot het verlagen van de totale energie.
Leg uit waarom helium, in tegenstelling tot waterstof, niet de neiging heeft om covalente bindingen
aan te gaan.
In figuur 2 is het absorptiespectrum van caroteen gegeven. Horizontaal staat de golflengte,
vertikaal de mate van absorptie.
figuur 2
3p 3 □
Verklaar de kleur van worteltjes met behulp van dit spectrum.
3p 4 □
4p 5 □
Bij caroteen blijkt dat er 22 π-elektronen per molecuul zijn.
Leg met behulp van het Pauli-principe uit welke energieniveaus betrokken zijn bij het aanslaan van
het eerste π-elektron.
Er is een energie van 2,76 eV nodig om het eerste π-elektron aan te slaan.
Bereken de effectieve lengte waarlangs de elektronen volgens dit model vrij kunnen bewegen.
Opgave 2
Pentaquark
Lees eerst onderstaand krantenartikel uit de Wetenschapsbijlage van NRC-Handelsblad
Fysici ontdekken deeltje bestaande uit vijf quarks
figuur 3
Twee teams van natuurkundigen hebben beide
een deeltje ontdekt dat is opgebouwd uit vijf
quarks, een zogenaamd pentaquark. Een
Japanse groep van de Universiteit van Osako
zag het pentaquark het eerst. De Japanners
richtten een bundel krachtige gammastralen
(tot 2,4 GeV) op een plaatje plastic. Botsingen
tussen een gammadeeltje en een neutron in een
koolstofatoom leverde het gezochte pentaquark
op. De massa werd vastgesteld op 1,54 GeV/c2.
Het pentaquark blijkt te bestaan uit twee down-
quarks, twee up-quarks en een anti-strangequark. Het vervalt in zeer korte tijd in een
neutron en een positief K-meson. De Japanse
ontdekking is reeds bevestigd door een
Amerikaanse groep wetenschappers van Ohio
University. Het is nog onduidelijk of het
pentaquark uit vijf stevig gebonden quarks
bestaat of dat het een soort molecuul is
bestaande uit een neutron en een positief
K-meson.
Het krantenartikel suggereert dat de volgende reactie heeft plaatsgevonden:
γ + n → pentaquark
2p 6 □
Leg met een behoudswet uit dat deze reactie niet kan hebben plaatsgevonden.
Een reactie die wel kan hebben plaatsgevonden, is de volgende:
γ + n → pentaquark + K –
3p 7 □
4p 8 □
4p 9 □
Bereken de energie (in MeV), die het gammafoton minstens moet hebben om deze reactie mogelijk te
maken. Ga er van uit dat het neutron snelheid 0 heeft.
Teken het reactiediagram van deze reactie. Geef hierin bij het K– -deeltje geen pijl aan.
Door het toepassen van symmetrie-operaties op de gegeven reactie kunnen nog andere
manieren worden gevonden om het pentaquark te maken.
Geef nog twee manieren om het pentaquark te maken en geef aan welke symmetrieën je gebruikt.
De massa van het pentaquark heeft men bepaald door het verval van het pentaquark te laten
plaatsvinden in een homogeen magnetisch veld. In figuur 4 is dit verval getekend zoals het
door de detector is waargenomen. Het magnetisch veld staat loodrecht op het vlak van de
tekening.
figuur 4
Om de massa van het pentaquark te kunnen bepalen moet onder andere de impuls van het
positieve kaon bekend zijn. Deze impuls is te bepalen met behulp van figuur 4.
3p 10 □ Leg uit hoe men uit figuur 4 de impuls van het positieve kaon zou kunnen bepalen. Leid hiertoe eerst
een uitdrukking af voor het verband tussen de impuls en de straal van de baan.
(N.B.: Je hoeft de bepaling zelf niet uit te voeren)
Opgave 3
Het Starkeffect
Energietoestanden van een atoom zijn soms ‘ontaard’. Dit betekent dat ze dezelfde energie
hebben ondanks dat hun golffuncties verschillend zijn. Door een elektrisch veld aan te
leggen kan men ervoor zorgen dat ontaarde energietoestanden een verschillende energie
krijgen. Dit verschijnsel wordt het ‘Starkeffect’ genoemd, en het heeft tot gevolg dat de
spectraallijnen van het atoom gesplitst worden. Het Starkeffect is in de praktijk te zien bij het
spectrum van gasontladingslampen, waarover immers een elektrisch veld is aangelegd
wanneer ze branden.
Om het Starkeffect te onderzoeken gebruiken we in deze opgave het model van een ‘deeltje
in een doos’.
Als ruw model voor het waterstofatoom nemen we een kubusvormig doosje met daarin een
elektron. Dit driedimensionale doosjesmodel schiet in een aantal opzichten tekort als model
voor het waterstofatoom.
3p 11 □ Geef drie opzichten waarin het doosjesmodel tekortschiet als model voor het waterstofatoom.
1p 12 □ Geef een reden waarom het ‘deeltje in de doos’ toch een aardig model voor het waterstofatoom kan
zijn.
2p 13 □
Leg uit dat het eerste aangeslagen energieniveau van het doosje bestaat uit drie ontaarde
energietoestanden.
De ribbe van het kubusvormige doosje wordt zo gekozen, dat het verschil in energie van de
grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand gelijk is aan 10 eV, zie figuur 5b.
Met behulp van een homogeen elektrisch veld, dat langs de x-as is gericht, wordt de energie
van elke energietoestand van het elektron in de doos veranderd. Hoeveel deze
energieverandering bedraagt, hangt af van de veldsterkte en van het quantumgetal nx . De
energieverandering hangt niet af van ny en nz, omdat het veld langs de x-as is gericht.
figuur 5
In figuur 5a is de ruimtelijke situatie getekend. In figuur 5b is te zien welke gevolgen het
elektrisch veld heeft voor de energieniveaus.
2p 14 □ Leg uit waarom na aanleg van het veld nog steeds twee toestanden ontaard zijn.
3p 15 □ Bereken de kleinste golflengte van het spectrum behorend bij het energieschema van figuur 5b, voor
de situatie met elektrisch veld.
Het elektrisch veld verandert niet alleen de energie maar ook de golffunctie van elke
energietoestand. In figuur 6 is de golffunctie (in x-richting) getekend van de grondtoestand
van het elektron als er geen elektrisch veld is. L is de ribbe van de kubus. L
figuur 6
Als het elektrisch veld wel aanwezig is verandert deze golffunctie. In figuur 7 zijn drie
mogelijkheden getekend (a, b of c).
figuur 7
3p 16 □
Kies de juiste golffunctie (a, b of c) en leg uit waarom de andere twee niet juist kunnen zijn.
Einde