PORTFOLIO F DEEL XVI HOOFDSTUK 2 DEELBAARHEID VAN

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PORTFOLIO
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
F
DEEL XVI HOOFDSTUK 2 DEELBAARHEID VAN GEHELE GETALLEN (2)
2 Deelbaarheid van gehele getallen
Basis
?
Verdieping
?
??
??
Uitbreiding
?
??
2.4 Eenheden, priemgetallen, samengestelde getallen
38
39
40
41
42
43
44
2.5 Hoofdstelling van de rekenkunde
46
47
48
49
50
51
52
53
54
2.6 Grootste gemene delers
57
58
59
60
61
62
63
64
66
67
68
69
70
71
72
63
64
65
45
55
56
Oefeningen bij §2.4
B
Oefening 38. Geef de zeven kleinste natuurlijke getallen die samengesteld zijn.
B
Oefening 39. Zij a, p ∈ Z waarbij p een priemgetal is. Bepaal alle gehele getallen n die een deler zijn van an + p.
B?
Oefening 40. Bepaal alle positieve priemgetallen kleiner dan 100.
B?
Oefening 41. Bepaal alle gehele getallen a en b waarvoor a2 − b2 = 79.
B?
Oefening 42. Bepaal telkens alle natuurlijke getallen n waarvoor p een priemgetal is.
V
(a) p = 17n
(c) p = n2 − 4
(b) p = n2 − 1
(d) p = n3 + 1
Oefening 43 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1990 eerste ronde).
Definieer n! = 1·2·3 · · · (n−1)·n, het produkt van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n. Het aantal priemgetallen
p met eigenschap
77! + 1 < p < 77! + 77
is gelijk aan
(A) 0
(B) 1
(C) 7
(D) 11
(E) 17
V?
Oefening 44. Zij n ∈ N. Bewijs dat het verschil van twee opeenvolgende n-de machten altijd een oneven getal is.
U?
Oefening 45 (bovengrens voor positieve priemdelers in samengestelde getallen).
Zij n een positief samengesteld getal en noem p de kleinst positieve deler van n verschillend van 1. Bewijs:
(a) p is een priemgetal,
√
(b) p ≤ n.
Po-z
Oefeningen bij §2.5
B
Oefening 46. Bepaal het grootste negatief geheel getal dat precies vijf verschillende priemdelers heeft.
B
Oefening 47. Bepaal het kleinste positief geheel getal n waarvoor 1260n de derdemacht van een natuurlijk getal is.
B?
Oefening 48. Bepaal telkens de standaardontbinding van het geheel getal. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.
B?
(a) −899
(c) −5820
(b) 1485
(d) 9075
Oefening 49 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1986 eerste ronde).
Hoeveel verschillende positieve delers heeft het getal 30 030 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13?
(A) 6
(B) 36
(C) 62
(D) 64
(E) 128
V
Oefening 50. Bepaal de rest bij deling van 2015! door 2016.
V?
Oefening 51. Bepaal 100 opeenvolgende gehele getallen waarvan geen enkele een priemgetal is.
U
Oefening 52 (perfecte getallen). Een natuurlijk getal wordt perfect (of volmaakt)1 genoemd als het gelijk is aan
de som van zijn echte positieve delers. Toon aan dat 6 en 28 perfecte getallen zijn.
U
Oefening 53 (gehele getallen met zes delers). Toon aan dat de gehele getallen met zes verschillende delers
gegeven worden door
±p2 waarbij p een priemgetal is.
U
Oefening 54 (bevriende getallen). Van twee verschillende natuurlijke getallen a, b wordt gezegd dat ze bevriend2
zijn als de som van de echte positieve delers van a gelijk is aan b, en de som van de echte positieve delers van b gelijk
is aan a. Toon aan dat 220 en 284 bevriende getallen zijn.
U?
Oefening 55 (gehele getallen met acht delers). Toon aan dat de gehele getallen met acht verschillende delers
gegeven worden door
±p3 en ± pq waarbij p, q verschillende priemgetallen zijn.
Aanwijzing. Maak gebruik van Oefening 56(a).
U??
Oefening 56 (aantal positieve delers van een natuurlijk getal). Zij n ∈ N0 en stel dat de standaardontbinding
van n gegeven wordt door
n = pn1 1 pn2 2 . . . pnk k
waarbij k ∈ N, ni ∈ N0 en p1 < p2 < . . . < pk positieve priemgetallen zijn.
(a) Toon aan dat het aantal positieve delers van n gegeven wordt door de formule
d(n) =
k
Y
(ni + 1).
i=1
(b) Bepaal het kleinste natuurlijke getal dat 15 positieve delers heeft.
Oefeningen bij §2.6
B
Oefening 57. Zij a ∈ Z. Bewijs de volgende eigenschappen.
(a) ggd(a, 0) = |a| voor a 6= 0
(c) ggd(a, a) = |a| voor a 6= 0
(b) ggd(a, 1) = 1
(d) ggd(a, a + 1) = 1
B
Oefening 58. Bewijs dat elke twee verschillende positieve priemgetallen relatief priem zijn.
B
Oefening 59 (Junior Wiskunde Olympiade 2013 eerste ronde).
Wat is de grootste gemene deler van 2012 en 1220 ?
(A) 2
(B) 22
(C) 212
(D) 220
(E) 224
1 Euclides van Alexandrië bewees dat als 2p − 1 een priemgetal is, dat dat 2p1 (2p − 1) een perfect getal is. In 1747 bewees Leonhard
Euler dat elk even perfect getal van die vorm is. Het is tot op heden niet bekend of er een perfect getal bestaat dat oneven is.
2 De eerste vijf paar paren bevriende getallen zijn (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) en (6232, 6368). Leonhard Euler
vond tussen 1747 en 1750 een zestigtal nieuwe bevriendegetallenparen. Anno 2007 waren er bijna twaalf miljoen paren bevriende getallen
bekend. Het is niet bekend of er oneindig veel paren bevriende getallen zijn, en of er bevriende getallen bestaand die onderling ondeelbaar
zijn.
Po-aa
B?
Oefening 60. Zij a ∈ Z en p een priemgetal. Bewijs dat
ggd(a, p) =
(
p als p | a
1 als p6 | a.
B?
Oefening 61. Zij n ∈ N. Bewijs dat ggd(35n + 57, 45n + 76) ∈ {1, 19}.
B?
Oefening 62. Zij n ∈ N. Bewijs dat 5n + 3 en 7n + 4 onderling ondeelbaar zijn.
Oefening 63. Bepaal telkens de positieve grootste gemene deler van a en b met behulp van het algoritme van Euclides.
Schrijf daarna die positieve grootste gemene deler als een lineaire combinatie van a en b.
B? (a) a = 1014 en b = 1404
B?? (c) a = 80 934 en b = 110 331
B? (b) a = 2268 en b = 3444
B?? (d) a = 147 231 en b = 839 160
Oefening 64. Zij a, b, c ∈ Z0 . Bewijs de volgende eigenschappen.
B? (a) Als c | ab en ggd(a, c) = 1 dan is c | b.
B? (b) Als a | c en b | c en ggd(a, b) = 1 dan is ab | c.
B?? (c) ggd(ac, bc) = |c| ggd(a, b)
B?? (d) Als d = ggd(a, b) dan is ggd(a/d, b/d) = 1.
B??
Oefening 65. Zij a, b ∈ Z niet beide nul en d ∈ Z0 . Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:
(i) d is een grootste gemene deler van a en b,
(ii) del(d) = del(a) ∩ del(b),
V
Oefening 66. Bewijs dat twee opeenvolgende kwadraten altijd relatief priem zijn.
V
Oefening 67. Schrijf 20151977 als een lineaire combinatie van 71 en 83.
V
Oefening 68 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2001 tweede ronde).
De grootste gemene deler van 878 787 878 787 en 787 878 787 878 is
(A) 3
(B) 9
(C) 27
(D) 10 101 010 101
(E) 30 303 030 303
V?
Oefening 69. Zij a, b ∈ Z0 en stel dat ggd(a, b) = 1. Vul aan en bewijs: ggd(a + b, a − b) = . . .
V?
Oefening 70. Zij n ∈ N0 en beschouw n + 1 verschillende natuurlijke getallen, alle groter dan nul en kleiner of gelijk
aan 2n. Toon aan dat er minstens één tweetal van deze getallen is die relatief priem zijn.
U
Oefening 71 (grootste gemene deler van meer dan twee getallen). Zij a, b, c ∈ Z0 . Een grootste gemene deler
van a, b en c is een geheel getal d 6= 0 dat voldoet aan de volgende twee voorwaarden:
(1) d | a, d | b en d | c,
(2) ∀e ∈ Z0 : e | a en e | b en e | c ⇒ d | e.
Net zoals bij een grootste gemene deler van twee gehele getallen kan aangetoond worden dat d een grootste gemene
deler van a, b en c is als en slechts als dZ = aZ + bZ + cZ. De positieve grootste gemene deler van a, b en c wordt met
ggd(a, b, c) genoteerd. Analoog kan de grootste gemene deler van vier of meer gehele getallen worden gedefinieerd.
(a) Toon aan dat ggd(a, b, c)Z = ggd(a, b)Z + cZ.
(b) Bepaal ggd(13 320, 15 984, 19 980). Maak gebruik van je grafische rekenmachine.
U
Oefening 72 (Diophantische vergelijkingen). Een Diophantische vergelijking is een vergelijking waarbij enkel
de oplossingen worden onderzocht die gehele getallen zijn. De meest eenvoudige Diophantische vergelijkingen zijn de
lineaire veeltermvergelijkingen in één of meerdere onbekenden.
Zij a, b, c ∈ Z0 . Vul telkens de uitspraak aan en bewijs.
(a) De Diophantische vergelijking ax = c heeft oplossingen als en slechts als . . . | c.
(b) De Diophantische vergelijking ax + by = c heeft oplossingen als en slechts als . . . | c.
Po-ab
Reflectie
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• efficiëntie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
oefening verbeterd? (kruisje)
31/12
99a
X
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
• eenheden (EF)
• nauwkeurig gewerkt?
• grafisch rekenmachine (GF)
• modelvoorbeelden bekeken?
• rekenfout (RF)
• opgave begrepen?
• interpretatie van de opgave (IF)
• leerstof voldoende begrepen?
• denkfout (DF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
EF, NF
verder oefenen nodig? (kruisje)
oefening nummer
vb.
datum oefening afgewerkt
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.