elektriciteit voor 5TSO

e5
Dirk Sarens
4
elektriciteit voor 5TSO
versie 1.0
1
© 2011 Dirk Sarens
Versie 1.0
Schooljaar 2011-2012
Gemaakt voor het leerplan D/2009/7841/036
Dit boek kan worden gekocht via de website www.unibook.com
Had je graag een aangepaste versie van dit boek (een extra hoofdstuk of liever een
hoofdstuk minder) of een CD met alle figuren uit dit boek, dan kan je dit aanvragen door
een mailtje te sturen naar [email protected]
2
Inhoud
e5
4
Inhoud
0 Woord vooraf
1 Wisselspanning
Soorten spanningen 6
Waarden van een sinusoïdale wisselspanning 7
2 Vectoriële voorstelling
Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid 13
Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden 14
3 Complex rekenen
De operator j 19
Vormen van complexe getallen 20
Bewerkingen met complexe getallen 22
4 Enkelvoudige wisselstroomketens
Ohmse weerstand aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 25
Ideale spoel aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 27
Ideale condensator aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 28
Samenvatting 30
5 RLC serieketens
Serieschakeling van gelijkaardige elementen 33
Ideale spoel en weerstand in serie (RL) 35
Werkelijke spoel en weerstand in serie 38
Twee of meer praktische spoelen in serie 38
Ideale condensator en weerstand in serie (RC) 40
Ideale spoel en ideale condensator in serie (LC) 43
Weerstand, spoel en condensator in serie (RLC) 46
6 RLC parallelketens
Parallelschakeling van gelijkaardige elementen 53
Ideale spoel en weerstand parallel (RL) 56
Ideale condensator en weerstand parallel (RC) 59
Ideale spoel en ideale condensator parallel (LC) 63
Weerstand, spoel en condensator parallel (RLC) 65
3
Inhoud
7 RLC gemengde ketens
Voorbeeld 1: (R+L)//C 72
Voorbeeld 2: (R+L)//(R+C) 73
Uitgewerkt voorbeeld 74
8 Eerste orde filters
Decibel (dB) 80
RC-laagdoorlaatfilter 80
LR-laagdoorlaatfilter 83
CR-hoogdoorlaatfilter 84
RL-hoogdoorlaatfilter 86
Banddoorlaatfilter 87
9 Eénfasig wisselstroomvermogen
Herhaling 91
Begrippen 92
Berekenen van het vermogen 93
Vermogendriehoek 97
Arbeidsfactor 97
10 Driefasenspanning
Driefasenspanning 104
Driefasenstroom 105
Hoofdeigenschap van een driefasennet 107
De sterschakeling 108
De driehoeksschakeling 113
Schakelen van driefasenverbruikers 118
Vermogen en arbeidsfactor in driefasennetten 120
Arbeidsfactor van een driefasenet 123
11 Complexe netwerken
Herhaling 127
De wetten van Kirchhoff 130
Het theorema van Thévenin 134
De superpositiemethode 138
Het theorema van Norton 141
Ster-driehoektransformatie 146
e 5 Bijlage
4
Afleiding
Afleiding
Afleiding
Afleiding
Afleiding
4
formule effectieve waarde van een sinusvormige spanning 147
formule gemiddeld vermogen 149
formule gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning 149
formules inductieve reactantie 150
formules capacitieve reactantie 152
Woord vooraf
0
Woord vooraf
Over de inhoud
In dit boek vinden we de basis van de wisselstroomtheorie.
We beginnen met een herhaling van de belangrijkste waarden van een sinusvormige
wisselspanning en de vectoriële en complexe voorstelling daarvan.
Daarna worden alle mogelijke combinaties van R, L en C aangesloten op deze
wisselspanning en wordt het gedrag ervan bestudeerd.
Verder wordt de reeds gekende maar onvolmaakte formule P=U.I op punt gezet, om
daarna alles nog eens
keer moeilijker te maken bij de driefasenspanning.
We eindigen in alle eenvoud met het oplossen van complexe netwerken.
Over de opbouw
Alhoewel de Homo sapiens een prachtig schepsel is, durft hij in zijn rol van leerling wel
eens afwijkend gedrag te vertonen. Dit boek is daarom een beetje aangepast aan zoveel
mogelijk subcategorieën van de Homo leerlingus.
De Homo dromerus blijft fysisch meestal op zijn plaats zitten. Zijn gedachten vertonen
echter vaak de neiging om een wandelingetje te maken. Daarom wordt er in de tekst op
heel wat plaatsen gevraagd om iets aan te vullen of om een korte oefening te maken. Dit
kan ook ten goede komen aan de Homo prutserus of de Homo adeadeus.
De Homo graffiticus kleurt graag in zijn boek. Daarom werd er bewust gekozen om in
de tekst heel weinig te ‘highlighten’, dus geen B, I of U. Op die manier blijft deze soort
actief en wordt ze uitgedaagd om uit de lessen de hoodzaken te distilleren.
De Homo slordigus vindt vaak zijn nota’s niet terug. Daarom worden aan het einde van
een hoofdstuk een vijftal basisoefeningen in het boek zelf gemaakt. Voor huistaken en/of
differentiatie werden er telkens nog een vijftal extra oefeningen aan toegevoegd. Ook de
Homo nerdus kan zijn lusten botvieren op deze extra oefeningen, maar hij heeft ook
een hele kluif aan de bijlage waarin alle gebruikte formules wiskundig worden bewezen.
Speciaal voor de Homo dyslexus werd Verdana in- en uitvullen uitgeschakeld.
Met de Homo genintressus werd geen rekening gehouden. Aan deze soort wordt
aangeraden om eens uit te kijken naar een andere richting.
5
Wisselspanning
1
Wisselspanning
Onze huishoudelijke spanning van 230V is ongetwijfeld de meest
gebruikte spanning. Deze spanning is een sinusvormig signaal dat
ook op die manier wordt opgewekt in de alternator van een
elektriciteitscentrale. Aangezien in dit boek bijna alleen maar
sinusvormige signalen aan bod komen, is het heel belangrijk dat
we deze sinus en zijn bijhorende waarden goed begrijpen.
In dit hoofdstuk worden alleen maar spanningen besproken, maar
alles is evengoed van toepassing op stromen.
Soorten spanningen
Gelijkspanning
U
Een gelijkspanning is een spanning die
niet verandert van polariteit. Dit betekent
dat de pluspool en de minpool altijd op
dezelfde plaats blijven. Op de (U-t)grafiek ligt U dus altijd boven of altijd
onder de t-as. Bv.:
t
U
Constante gelijkspanning: een
gelijkspanning waarvan de waarde niet
verandert in de tijd. Bv.:
t
Periodieke gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde verandert volgens een
bepaald patroon dat zich steeds herhaalt. Bv.:
U
U
t
6
U
t
t
Wisselspanning
Wisselspanning
Een wisselspanning is een spanning die in de tijd
verandert van polariteit. Bv.:
U
t
Zuivere wisselspanning: een wisselspanning
waarvan de waarde verandert volgens een bepaald
patroon dat zich steeds herhaalt en waarvan de
gemiddelde waarde (zie verder) nul is. Bv.:
U
t
U
Sinusoïdale wisselspanning: een zuivere
wisselspanning waarvan de waarde verandert
volgens een sinusfunctie.
Opmerking:
gelijkspanning en wisselspanning kunnen worden
samengevoegd. In dat geval spreekt men van een
gesuperponeerde spanning. Dit is een wisselspanning die een gelijkstroomcomponent heeft.
Bv.:
t
U
DC
t
Waarden van een sinusoïdale wisselspanning
Periode
U
De periode van een periodieke spanning is de tijd
die nodig is om alle verschillende waarden van die
spanning éénmaal te doorlopen.
T
t
Symbool: T
Eenheid: seconde (s)
Frequentie
De frequentie van een wisselstroom is het aantal perioden per seconde.
Symbool: f
Eenheid: hertz (Hz)
7
Wisselspanning
Verband tussen frequentie en periode:
In Europa is de frequentie van het wisselspanningsnet
men
Hz.
Hz en in Amerika gebruikt
Bereken in beide gevallen de periodeduur.
Europa:
Amerika:
Cirkelfrequentie
Een sinusoïdale wisselspanning kan worden opgewekt door een winding in een tweepolig
magnetisch veld te laten ronddraaien.
a
De cirkelfrequentie is dan de hoeksnelheid van de winding.
Andere benamingen zijn pulsatie of hoeksnelheid.
r
1 rad
Symbool: ω
Eenheid: rad/s
(radialen per seconde)
boog ab = r
Verband tussen frequentie en cirkelfrequentie:
Amplitude
De amplitude is de grootste waarde die een wisselspanning bereikt.
Symbool: Um
Andere benamingen: maximumwaarde, amplitudo, topwaarde
Hoeveel keer per periode bereikt de wisselspanning zijn amplitude?
Als Upp (piek-tot-piekwaarde) de som is van de absolute waarden van de positieve en de
negatieve amplitude, stel dan de formule op die het verband aangeeft tussen U pp en Um.
Ogenblikkelijke waarde
De ogenblikkelijke waarde van een wisselspanning is de waarde op een bepaald ogenblik.
Symbool: u
Verband tussen u en Um:
8
of
(want
)
b
Wisselspanning
Effectieve waarde
De effectieve waarde van een wisselspanning is gelijk aan de waarde van een constante
gelijkspanning, die in een gelijke weerstand en gedurende eenzelfde tijd, eenzelfde jouleeffect ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning.
Symbool: U of URMS
Opmerking: wanneer men de waarde van een wisselspanning aangeeft, dan wordt steeds
de effectieve waarde bedoeld. Dit is ook de waarde die normaal door de meettoestellen
wordt weergegeven.
Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat
Bereken Upp voor de spanningen van 230V en 400V.
Gemiddelde waarde
De gemiddelde waarde van een wisselstroom is de waarde van een constante
gelijkstroom, die in eenzelfde tijd, eenzelfde hoeveelheid lading verplaatst als de
beschouwde wisselstroom. Bij deze gemiddelde stroomwaarde hoort dan een gemiddelde
spanning.
Symbool:
Opmerking: in een U-t grafiek is de oppervlakte onder de curve (tussen 2 tijdstippen)
een maat voor de hoeveelheid verplaatste lading.
Bij een zuivere wisselspanning (bv. een sinusoïdale wisselspanning) is de oppervlakte
boven en onder de curve gelijk. De ladingsverplaatsing in de ene zin is even groot als in
de andere zin. De gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning is dus nul.
Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat
bij dubbelzijdige gelijkrichting
U
U
t
bij enkelzijdige gelijkrichting
t
9
Wisselspanning
Oefeningen
1)
De pulsatie van een wisselspanning is 314,16 rad/s. Bereken de periode.
Gegeven:
Gevraagd:
Oplossing:
2)
Een sinusoïdale wisselstroom heeft een frequentie 50 Hz. 1/300s na de nuldoorgang
is de momentele waarde 5 A. Bereken de amplitude.
Gegeven: (tekening)
Gevraagd:
Oplossing:
3)
Gegeven: u = 141,4.sin(754t)
Gevraagd: Bereken de amplitude, pulsatie, frequentie, effectieve waarde en periode
van deze wisselspanning. Teken het verloop van deze spanning in de tijd
en duid alle berekende waarden aan op de tekening (indien mogelijk)
Oplossing:
10
Wisselspanning
4)
Met een gelijkspanningsvoltmeter meten we een enkelzijdig gelijkgerichte spanning.
De voltmeter geeft een waarde aan van 63,6V. Wat is de maximumwaarde van deze
spanning?
Gegeven: (tekening van de golfvorm)
Gevraagd:
Oplossing:
11
Wisselspanning
5)
Bereken de tijd tussen de nuldoorgang en het bereiken van de amplitude bij een
sinusvormige spanning met een frequentie van 1kHz.
Gegeven: (tekening)
Gevraagd:
Oplossing:
Extra oefeningen
6)
Toon aan dat de volgende formule juist is:
7)
Hoe groot is de hoeksnelheid als in 0,18s twee perioden doorlopen worden?
8)
Een wisselstroom heeft een cirkelfrequentie van 377 rad/s. Bereken de frequentie en
de periode.
9)
Teken in eenzelfde assenstelsel twee wisselstromen
a. met kleine amplitude en grote frequentie.
b. met tweemaal grotere amplitude en viermaal kleinere frequentie.
10) Na een tijd van 1/8 periode is de momentele waarde van een spanning 230V.
Bereken de effectieve waarde van de sinusvormige wisselspanning.
12
Vectoriële voorstelling
2
Vectoriële voorstelling
Het tekenen van een sinusvormig signaal is voor de doorsnee mens
niet zo eenvoudig. Ook het aflezen van waarden op een sinusoïde
blijkt vaak onnauwkeurig.
Het kan echter veel gemakkelijker. We zullen zien dat, met een
beetje verbeelding, een sinusvormige spanning perfect kan
weergegeven worden door een vector. En zo’n vector is meteen
heel wat eenvoudiger te tekenen.
Vooral bij het voorstellen van meerdere elektrische spanningen
en/of stromen zoals bv. bij een driefasenspanning (zie verder),
wordt het nut van de vectoriële voorstelling pas echt duidelijk.
Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid
Een sinusvormige wisselgrootheid kan worden voorgesteld door een vector als :
 de grootte van de vector op schaal de amplitude voorstelt.
 de vector in tegenuurwijzerzin draait met een hoeksnelheid w =2.p.f
Eén volledige omwenteling van de vector stemt dan overeen met één periode T van de
wisselstroomgrootheid.
u
3
4
2
1
5
7
0
6
0
1
2
3
4
5 6
8
9 10 11 12
t
11
7
10
8
9
De oorsprong wordt genomen in stand 0. De richting van de vector in deze stand is de
horizontale en de zin is naar rechts.
Terwijl de vector ronddraait, maakt hij voortdurend een hoek met de oorsprong. Deze
hoek noemt men de fasehoek a die positief is als de vector zich bevindt boven de
horizontale en negatief als de vector zich bevindt onder de horizontale.
13
Vectoriële voorstelling
Bepalen van de amplitude
Um
De lengte van de vector stelt de amplitude voor. De
wisselgrootheid bereikt deze amplitude of maximumwaarde
als de fasehoek 90° of –90° is.
u
a
Bepalen van de ogenblikkelijke waarde
De ogenblikkelijke waarde is de loodrechte afstand van de pijlpunt tot de oorsprong.
Dit komt overeen met de wiskundige uitdrukking :
Bepalen van de effectieve waarde
De effectieve waarde kan afgeleid worden uit de amplitude
Um
Aangezien 0,707
U
a=45°
overeenstemt met sin 45° vindt men de
effectieve waarde dus ook als de fasehoek 45° is.
Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden
Twee of meer wisselgrootheden met dezelfde frequentie kunnen voorgesteld worden door
evenveel vectoren die hetzelfde aangrijpingspunt hebben en die draaien met dezelfde
hoeksnelheid. Hierdoor blijft de hoek tussen de vectoren onderling op elk ogenblik
hetzelfde.
Meestal wordt één van de vectoren in de oorsprong getekend.
Opmerking: Het heeft geen zin om in één assenstelsel vectoren voor te stellen die niet
dezelfde frequentie hebben.
In fase
Twee wisselgrootheden zijn in fase, als ze dezelfde frequentie hebben en op dezelfde
ogenblikken de nulwaarde en hun gelijknamige amplitudes doorlopen.
u i
Dit wordt voorgesteld
door twee vectoren met
dezelfde richting en zin.
i
u
Wiskundig :
Um
Im
t
14
Vectoriële voorstelling
Faseveschil of faseverschuiving
Tussen twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie bestaat er een faseverschil, als ze
niet gelijktijdig hun gelijknamige topwaarden doorlopen.
Het faseverschil is het kleinst mogelijke interval (tijdsinterval of hoek) tussen de
overeenkomstige waarden van twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie.
De faseverschuivingshoek is de kleinste hoek tussen de twee vectoren en wordt
voorgesteld door de griekse letter f.
u i
Wiskundig :
i
Um
f
u
Im
t
Voorijlen en naijlen
Een wisselgrootheid ijlt voor op een andere wisselgrootheid als hij zijn amplitude vroeger
bereikt, of als hij eerder door nul gaat dan de andere. Aangezien voorijlen en naijlen een
relatief begrip is bij ronddraaiende vectoren, plaatst men het best één van de twee
vectoren in de oorsprong als vergelijkingsgrootheid.
In de bovenstaande figuur ijlt de spanning voor op de stroom of ijlt de stroom na op de
spanning.
Tegenfase
Twee wisselgrootheden zijn in tegenfase als er tussen beiden een faseverschil bestaat
van 180°. Dit wordt voorgesteld door twee vectoren met dezelfde richting maar een
tegengestelde zin.
u i
Wiskundig :
i
u
Um
Im
t
15