Hogere Wiskunde Rijen en Reeksen Sommeren College week 3

Hogere Wiskunde
Rijen en Reeksen Sommeren
College week 3
Een inleiding
M.J.Roos
8 mei 2011
Rijen en Reeksen sommeren
n
 f (k )
is de som van de getallen f(k) die ontstaat als k
achtereenvolgens de waarden m, m + 1,….n (n ≥ m) doorloopt.
k m
• In formulevorm:
n
 f (k )  f (m)  f (m  1)  f (m  2)  ....  f (n)
k m
Voorbeeld 1 :
6
 k  1  2  3  4  5  6  21
k 1
Voorbeeld 2 :
3
3
k
 3 2  31  30  31  32  33  40
k  2
4
9
Voorbeeld 3 :
 k
6
k 3
2
 
 
 
 

 1  32  1  4 2  1  52  1  6 2  1  82
Rijen en Reeksen sommeren
• n! is het produkt van alle getallen van alle natuurlijke
getallen van n tot en met 1 (n in N+)
• In formulevorm luidt deze definitie:
n! = n * (n – 1) * (n – 2)…..3 * 2 * 1
• Voorbeelden:
3! = 3 * 2 * 1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24, maar ook 4! = 4 * 3!
(n + 1)! = (n + 1) * n * (n – 1) * (n – 2)….3 * 2 * 1 = (n + 1) * n!
Rijen en Reeksen sommeren
• Voorbeelden:
8! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1

 8 * 7 * 6  336
5!
5 * 4 * 3 * 2 *1
n! n * (n  1) * (n  2)...( k  1) * k * (k  1)...3 * 2 *1

k!
k * (k  1) * 3 * 2 *1
 n * (n  1) * (n  2)....( k  1)
(n  1)! (n  1) * n * (n  1) * (n  2).....3 * 2 *1

 n 1
n!
n * (n  1) * (n  2)......3 * 2 *1
• Definitie: 0! = 1
Rijen en Reeksen sommeren
• Binomiaalcoeficienten
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
n  n 
n!
n!
n!
   
 


 k   n  k  (n  k )!(n  (n  k ))! (n  k )! k! k!(n  k )!
• Voorbeelden
 5
5!
5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 * 4 20
  




 10
3
3
!
(
5

3
)!
3
!
2
!
3
*
2
*
1
*
2
*
1
2
*
1
2
 
7
7!
7! 7 * 6 42
  



 21
 2  2!(7  2)! 2!5! 2 *1 2
 6
6!
6!
  

1
0
0
!
(
6

0
)!
1
*
6
!
 
Rijen en Reeksen sommeren
De Driehoek van Pascal
•
•
•
•
•
(a + b)0 =
(a + b)1 =
(a + b)2 =
(a + b)3 =
(a + b)4 =
1
a1 + b 1
a2 + 2a1b1 + b2
a3 + 3a2b1 + 3a1b2 +b3
a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + b4
• De macht van a, van links naar rechts, neemt
met 1 af en de macht van b neemt met 1 toe.
Rijen en Reeksen sommeren
De Driehoek van Pascal
• De coefficienten van de machten a en b
kunnen we als volgt rangschikken
•
•
•
•
•
•
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Rijen en Reeksen sommeren
• Nemen we bijvoorbeeld de laatste rij:
1, 5, 10, 10, 5
Dan zijn deze getallen gelijk aan de uitkomsten
van:
 5   5  5   5  5   5
 ,  ,  ,  ,  ,  
 0   1   2   3  4   5
• Deze getallen in de Driehoek van Pascal
worden binomiaalcoefficienten genoemd
Rijen en Reeksen sommeren
Het Binomium van Newton
0
a  b    
0
 1  1  1 1
1
a  b    a   b
0
 1
 2 2  2 1 1  2 2
2
a  b    a   a b   b
0
1
 2
 3
 3
 3
 3
(a  b) 3   a 3   a 2b1   a1b 2   b 3
0
1
 2
 3
 4
 4
 4
 4
 4
(a  b) 4   a 4   a 3b1   a 2b 2   a1b 3   b 4
0
1
 2
 3
 4
0
Rijen en Reeksen sommeren
Het Binomium van Newton
• We kunnen nu voor (a + b)n opschrijven:
 n  n 0  n  n 1 1  n  n2 2
n 0 n
a  b   a b   a b   a b  ....... a b
0
1
 2
n
n
• Met de Ʃ-notatie kunnen we dit opschrijven als:
 n  nk k
(a  b)    a b
k 0  k 
n
n
• Deze reeks heet de Binomiaalontwikkeling van (a+b)n
Rijen en Reeksen sommeren
•
Voorbeeld, bewijs dat

  1 
6
  0
k 0
k 
herschrijf
6
k
6
  k 1  1
6
6k
k
k 0
6 6
0
 1  1  1
0
 
6 5
 1  11  6
1
6 4
2
 1  1  15
 2
6 3
3
 1  1  20
3
 
6 2
4
 1  1  15
4
 
6 1
5
 1  1  6
5
6 0
6
 1  1  1
6
1  6  15  20  15  6  1  0
of
1  16  0
Men kan de faktor 16-k toevoegen omdat
deze altijd gelijk is aan 1.
Rijen en Reeksen sommeren
• Voorbeeld, bewijs dat
n
 n  1

k    n
k 
 k  1
n
n!
k * n!
k    k *


k!n  k ! k * k  1k  2* ....3 * 2 *1* n  k !
k 
n!
(k  1)!(n  k )!
En
 n  1
(n  1)!
n * (n  1) * (n  2) * ... * 3 * 2 *1
  n *
n


(k  1)!(( n  1)  (k  1))!
(k  1)!(n  1  k  1)!
 k  1
n!
(k  1)!(n  k )!