Analyse deel I

Analyse deel I
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor
Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde
en Wetenschappen-Wiskunde
2
Hoofdstuk 1
Reële getallen
1.1
Het geordend veld van de reële getallen
In dit deel over de reële getallen zullen we de verzameling R van de reële getallen nader
bestuderen. De verzameling van de reële getallen heeft een aantal specifieke eigenschappen
die bij andere verzamelingen niet voorkomen. Het is hier geenszins de bedoeling om alles
streng wiskundig te bewijzen, echter wel om een goede notie te krijgen van het begrip reëel
getal. Om reële getallen in te voeren bestaan er verschillende ingewikkelde methodes, bvb.
de methode van de sneden van Dedekind en de methode van de rationale Cauchy-rijen.
De verzameling van de natuurlijke getallen N vormt een commutatieve semigroep voor
de optelling (commutativiteit, inwendigheid en associativiteit) met neutraal element. Als
we aan elk natuurlijk getal n een symmetrisch element −n voor de optelling hechten en
deze elementen toevoegen aan N dan verkrijgen we een nieuwe verzameling, nl. de verzameling van de gehele getallen Z die een commutatieve groep vormt voor de optelling
(semigroep en symmetrisch element).
In Z wordt er vervolgens een vermenigvuldiging gedefinieerd, maar voor deze bewerking
vormt Z maar een commutatieve semigroep met eenheidselement. De structuur Z, +, .
wordt een ring met eenheidselement genoemd (Z, + is een commutatieve groep, Z, .
is een commutatieve semigroep en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de
optelling is geldig).
We breiden de verzameling Z uit zodat elk element een invert element heeft voor de
vermenigvuldiging en zorgen er tevens voor dat de eigenschap van de inwendigheid voor
de vermenigvuldiging geldig is in de nieuwe verzameling. Deze nieuwe verzameling noemen
we dan de verzameling van de rationale getallen Q. De structuur Q, +, . is een veld
(Q, + en Q0 , . zijn commutatieve groepen en de distributiviteit van de vermenigvuldiging
t.o.v. de optelling is geldig). We definiëren vervolgens in het veld van de rationale getallen
3
4
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
het quotiënt. Elk rationaal getal is te schrijven als het quotiënt van een geheel getal en
een natuurlijk getal.
z
∀q ∈ Q, ∃z ∈ Z, n ∈ N0 |q = .
n
STELLING 1.1 De structuur Q, +, . is een veld dat de ring van de gehele getallen omvat.
Elk rationaal getal heeft een decimale voorstelling die ofwel afbrekend is ofwel oneindig
doorlopend maar repeterend. Deze schrijfwijze bekomen we door de euclidische deling uit
te voeren van de teller door de noemer van de breuk.
Heeft een getal een decimale voorstelling met een slotreeks van allemaal 9es dan is dit
het getal met een afbrekende decimale voorstelling, die we bekomen door de 9es te laten
vallen en het cijfers juist vóór de 9es met 1 te verhogen. Dit zullen we later verklaren met
de theorie van de limieten.
Voorbeeld: 0,58999999999999999. . . =0,59
Sluiten we de decimale voorstellingen met een slotreeks van allemaal 9es uit en maken we
de afbrekende decimale voorstellingen oneindig doorlopend door slotreeks van oneindig
veel nullen aan toe te voegen dan kunnen we zeggen dat elk rationaal getal juist één
oneindig doorlopende repeterende decimale voorstelling heeft.
De irrationale getallen zijn de getallen waarvan de decimale voorstelling oneindig doorlopend is maar niet repeterend is.
√
Het irrationale getal dat het eerst ontdekt werd was 2, en de ontdekking dat het irrationaal was, leidde tot iets wat men een crisis zou kunnen noemen in de vroeg-Griekse
wiskunde.
√
√
2 = 1, 414213562...; 3 = 1, 73205...; π = 3, 141592...; het getal e =
Voorbeelden:
2, 7182818..., het gulden getal 1, 618033989.., het getal van Liouville 0,01001000100001...met
een gelijkmatig toenemend aantal nullen tussen de enen, het ’getal getal‘ 0,12345678910111213...
met achter elkaar alle natuurlijke getallen.
De irrationale getallen kunnen niet geschreven worden in de vorm van een breuk, waarvan
teller en noemer gehele getallen zijn. De verzameling van de reële getallen is de unie van
de verzameling van de rationale getallen en de verzameling van de irrationale getallen.
Elk reëel getal heeft een oneindig doorlopende decimale voorstelling.
1.1. HET GEORDEND VELD VAN DE REËLE GETALLEN
5
STELLING 1.2 De structuur R, +, . is een veld dat het veld van de rationale getallen
Q, +, . omvat.
D.m.v. de decimale voorstelling van de reële getallen kunnen we nu gemakkelijk de verzameling van de reële getallen ordenen volgens de relatie “is kleiner dan of gelijk aan”.
Om te ordenen vergelijken we de gelijkstandige decimalen in de relatie “≤”. Elke twee
reële getallen zijn op die manier met elkaar te vergelijken in de relatie “≤”.
De velden R, +, . en Q, +, . worden totaal geordende velden genoemd.
De volgende stellingen zijn in de meeste axiomastelsels voor reële getallen onmiddellijke
gevolgen van de axioma’s of zijn soms zelf axioma’s:
STELLING 1.3
1. Elk reëel getal ligt tussen twee opeenvolgende gehele getallen.
2. Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander reëel getal (R is een
dichte verzameling).
GEVOLG 1.1
getal.
1. Bij elk strikt positief getal bestaat er steeds een kleiner strikt positief
2. Als een positief getal kleiner is dan elk strikt positief getal dan is het gelijk aan 0.
3. Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander rationaal getal alsook
een ander irrationaal getal.
Het geheel gedeelte van een reëel getal is het grootste geheel getal dat niet groter is
dan het reëel getal zelf.
We noteren brc
Voorbeeld: b2, 135 . . .c = 2; b−3, 456 . . .c = −4.
De meeste getallen waarmee men in het dagelijks leven te maken heeft zijn rationaal.
Toch drijven rationale getallen, net zoals het leven zelf, in een zee van irrationaliteit rond,
en in een belangrijke en goed gedefinieerde betekenis van deze woorden, te danken aan de
wiskundige Georg Cantor, zijn er meer irrationale getallen dan rationale getallen.
√
√
√
√
√
OPGAVEN — 1 Bepaal n als b 4 1c + b 4 2c + b 4 3c + b 4 4c + · · · + b 4 nc = 2n.
Oplossing: n = 95
6
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
1.2
Absolute waarde in R
1.2.1
Eigenschappen van de absolute waarde
* x > 0 ⇐⇒ |x| = x en x < 0 ⇐⇒ |x| = −x;
* De bestaansvoorwaarde van een vergelijking is de voorwaarde opdat de vergelijking
minstens één oplossing zou hebben.
De bestaansvoorwaarde van |x| = r is r ≥ 0.
* ∀r ∈ R+ : |x| = r ⇐⇒ x = −r ∨ x = r;
∀r ∈ R+ : |x| < r ⇐⇒ −r < x < r;
∀r ∈ R+ : |x| > r ⇐⇒ x < −r ∨ x > r;
* ||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|;
* |a.b| = |a|.|b|;
* | ab | =
|a|
.
|b|
Voorbeelden:
•
x2 − | 3x2 − 4 |= 0 ⇐⇒ |3x2 − 4| = x2 ⇐⇒ 3x2 − 4 = x2 ∨ 3x2 − 4 = −x2
⇐⇒ 2x2 − 4 = 0 ∨ 4x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x2 = 1 ∨ x2 = 2
√
⇐⇒
x = ±1 ∨ x = ± 2
Deze oplossingen stemmen overeen met de nulpunten van de functie
y = x2 − | 3x2 − 4 |.
•
5
4
2
=⇒ −x − 3x + 4 = x + 45 ∨ −x2 − 3x + 4 = −x −
⇐⇒ x2 + 4x − 11
= 0 ∨ x2 + 2x − 21
=0
4
4
| − x2 − 3x + 4| = x +
5
4
√
⇐⇒ x = −2 ± 3 2 3 ∨ x = 23 ∨ x = − 27
⇐⇒ x = 0, 598 · · · ∨ x = −4, 598 · · · ∨ x = 1, 5 ∨ x = −3, 5
Enkel de oplossingen x = 1, 5 en x = 0, 598 · · · stemmen overeen met de nulpunten
van de functie y = | − x2 − 3x + 4| − x − 54
1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R
7
Figuur 1.1: de grafiek van y = x2 − | 3x2 − 4 |. Opgave: Teken hier de grafieken van
y = |3x2 − 4| en y = x2 . Wat merk je op?
Twee oplossingen werden door de berekeningen ingevoerd. Het eerste lid van de
gegeven vergelijking is positief dus moet het tweede lid eveneens positief zijn. Dit
geeft aanleiding tot de zogenaamde bestaansvoorwaarde van de vergelijking.
We kunnen enkel oplossingen toelaten waarvoor x + 54 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1, 25
Figuur 1.2: de grafiek van y = | − x2 − 3x + 4| − (x + 54 ). Opgave: Teken hier de grafieken
van y = | − x2 − 3x + 4| en y = x + 54 . Wat is de betekenis van de snijpunten?
8
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
•
| x | +x+ | x − 1 |≤ 3
(1.1)
Omdat we hier verschillende uitdrukkingen hebben met een absolute waarde gaan
we best in een tabel het tekenverloop maken van de verschillende uitdrukkingen
binnen de absolute waardetekens.
0
1
x
x − 0 + + +
x−1 − − − 0 +
We onderscheiden voor de x-waarden drie gevallen:
1. x ≤ 0 dan volgt uit 13 dat −x + x − (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≥ −2.
In dit geval is de oplossingenverzameling: [−2, 0].
2. 0 ≤ x ≤ 1 dan volgt uit 13 dat x + x − (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ 2.
In dit geval is de oplossingenverzameling: [0, 1]
3. x ≥ 1 dan volgt uit 13 dat x + x + (x − 1) ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ 34 .
In dit geval is de oplossingenverzameling: [1, 43 ]
Besluit: We voegen de 3 oplossingengverzamelingen samen. De ongelijkheid heeft
als oplossingenverzameling [−2, 43 ].
We controleren deze oplossingen grafisch. We tekenen met de computer de grafiek
van de functie y =| x | +x+ | x − 1 | en van de constante functie y = 3.
Figuur 1.3: | x | +x+ | x − 1 |≤ 3 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤
4
3
1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R
1.2.2
9
Afstand in R
De gewone afstand van twee reële getallen a en b is gelijk aan |a − b|.
1.2.3
Basisomgeving van een reëel getal
De basisomgeving van een punt a ∈ R met straal is de verzameling van alle reële getallen
die op een afstand liggen van a kleiner dan .
{x ∈ R : |x − a| < } = {x ∈ R : − < x − a < }
= {x ∈ R : a − < x < a + } =]a − , a + [.
Een basisomgeving van een reëel getal is een open interval.
Een gereduceerde basisomgeving van een getal a is een basisomgeving van dat getal
waaruit we dat getal weglaten.
]a − , a + [\{a}.
AN I HUISTAAK 1
1. Los op in R en controleer je oplossingen aan de hand van
een grafische voorstelling met de computer:
a. |(|x| − 1)| < 1;
b. | x2 + 2x | −x2 + 3 = 0.
c. |x − 2| + |x − 3| = 1.
2. Bepaal x + y als | x | +x + y = 10 en x+ | y | −y = 12.
Stel de twee vergelijkingen voor in het vlak t.o.v. een coördinatenstelsel en duid de
oplossing(en) aan. (Tip: Maak onderscheid tussen de verschillende kwadranten: I:
x > 0 en y > 0, II: x < 0 en y > 0, .III: x < 0 en <> 0, II: >< 0 en y < 0.)
10
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
1.3
Machten in R
1.3.1
Gehele machten
We herhalen de definitie van een gehele macht van een reëel getal.
∀n ∈ N, ∀a ∈ R0 : a−n =
1.3.2
Rationale machten
1.3.2.1
Definitie
z
1
.
an
n
∀z ∈ Z, n ∈ N0 , ∀a ∈ R+
0 : a =
√
n
az .
Opmerking:
LET OP:
• Elk positief reëel getal verschillend van nul heeft twee verschillende reële evenmachtswortels.
√
1
x2 = a ⇐⇒ x = ± a = a 2 met a ∈ R+
√
1
In de notatie a 2 en a beschouwen we dus enkel de positieve wortel uit het positief
getal a. We kennen
dan ook de andere wortel die gewoon het tegengestelde getal is,
√
1
2
nl. −a en − a
• Elk reëel getal heeft slechts één onevenmachtswortel die positief is als het getal
positief is en negatief is als het getal negatief is.
x3 = a ⇐⇒ x =
√
1
3
a = a3
√
• Als we met Derive 3 x willen invoeren, moeten we schrijven x1/3 . Derive beschouwt
x als positief, niettegenstaande hier x ook
√ negatieve waarden mag aannemen.
Willen we de grafiek van de functie y = 3 x tekenen dan moeten we twee voorschriften invoeren, nl. y = x1/3 en y = −(−x)1/3 . Het eerste voorschrift geeft de tak
waarvoor x > 0, het tweede voor x < 0.
1.3. MACHTEN IN R
1.3.2.2
11
Rekenregels met evenmachtsswortels
Deze eigenschappen van de vierkantswortel zijn eveneens geldig voor elke andere evenmachtswortel.
√
√ √
STELLING 1.4
∀a, b ∈ R+ : a.b = a. b;
√
√
√
∀a, b ∈ R− : a.b = −a. −b;
√
pa
a
√ ;
∀a ∈ R+ , b ∈ R+
=
0 :
b
b
∀a ∈ R− , b ∈ R−
0 :
pa
b
=
√
√−a ;
−b
Deze vier formules kunnen we in twee formules samenvatten.
p
p
√
∀a, b ∈ R : a.b = | a |. | b |;
√
p
|a|
∀a ∈ R, b ∈ R0 : ab = √ ;
|b|
1.3.2.3
Rekenregels met onevenmachtsswortels
Deze eigenschappen van de derdemachtswortel zijn eveneens geldig voor elke andere onevenmachtswortel.
√
√ √
STELLING 1.5
∀a, b ∈ R : 3 a.b = 3 a. 3 b;
√
p
3a
∀a ∈ R, b ∈ R0 : 3 ab = √
3 ;
b
12
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
1.3.2.4
Rekenregels met rationale machten
De vorige eigenschappen kunnen samengevat worden als we gebruik maken van rationale
machten.
p q
p+q
∀a ∈ R+
0 , ∀p, q ∈ Q : a .a = a
ap
∀a ∈ R+
,
∀p,
q
∈
Q
:
= ap−q
0
aq
p p
p
∀a, b ∈ R+
0 , ∀p ∈ Q : a .b = (a.b)
ap
a
+
∀a, b ∈ R0 , ∀p ∈ Q : p = ( )p
b
b
+
p q
∀a ∈ R0 , ∀p, q ∈ Q : (a ) = apq
1.4
1.4.1
Logaritmen
Definitie
De logaritmische functie met grondtal 10 beeldt elk positief getal af op zijn exponent
als je dat getal schrijft als een macht van 10.
Notatie: log10 = log
Voorbeelden:
• log 10 = 1
• log 100 = log 102 = 2
• log 0, 1 = log 10−1 = −1
√
1
• log 10 = log 10 2 = 12
301
• log 2 ≈ 0.301 ⇐⇒ 2 ≈ 100.301 = 10 1000 =
√ 301
10
1000
Algemeen:
r
∀x ∈ R+
0 : log x = r ⇐⇒ x = 10
De logaritmische functie met grondtal 2 beeldt elk positief getal af op zijn exponent
als je dat getal schrijft als een macht van 2.
Notatie: log2
Voorbeelden:
• log2 2 = 1
1.4. LOGARITMEN
13
• log2 4 = log 22 = 2
• log2 64 = log2 26 = 6
• log2 0, 125 = log2 2−3 = −3
• log2 10 ≈ 3, 322 ⇐⇒ 10 ≈ 23,322
Algemeen:
s
∀x ∈ R+
0 : log2 x = s ⇐⇒ x = 2
1.4.2
Rekenregels met logaritmen
+
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga x + loga y
x
+
= loga x − loga y
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
y
−
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga (−x) + loga (−y)
x
−
∀a ∈ R+
= loga (−x) − loga (−y)
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
y
+
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x
−
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga (−x)
(De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor xr bestaat.)
We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met de
rekenregels voor evenmachtswortels.
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga |x| + loga |y|
x
∀a ∈ R+
= loga |x| − loga |y|
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
y
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga |x|
Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reële exponenten. We geven
een bewijs van bvb. de rekenregel:
+
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x
Bewijs: Stel s = loga x, hieruit volgt x = as . Uit de rekenregel
(as )r = ars
volgt dat
loga xr = loga (as )r = loga ars = rs = r. loga x.
Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels.
Voorbeeld: log 2216091 = 216091 · log 2 ≈ 216091 · 0, 301 = 65049, 6
14
1.4.3
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
Verband tussen twee verschillende logaritmen
log x = r ⇐⇒ x = 10r
en
log2 x = s ⇐⇒ x = 2s
We combineren deze twee betrekkingen:
log x = log 2s
= s. log 2
= log2 x · log 2
Op de rekenmachine vinden we de logaritme met grondtal 10. We kunnen de logaritme
met grondtal 2 berekenen met de volgende formule:
log2 x =
1.4.4
log x
log 2
(1.2)
Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en
binaire schrijfwijze
Het getal 2347990 kunnen we schrijven als 2, 347990 · 106 .
Dit getal heeft in de decimale schrijfwijze 7 cijfers.
log 2347990 = 6, 37069 ⇐⇒ 2347990 = 106,37069
Het getal 210 = 1024 heeft 4 cijfers want log 210 = 10 · log 2 = 10 · 0, 301 = 3, 01
Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze is gelijk aan dlog xe.
Het getal 73 kunnen we schrijven als 1, 14062 · 26 . Het getal 73 is in de binaire schrijfwijze
gelijk aan 1001001 en heeft dus 7 cijfers in de binaire schrijfwijze.
73 = 26,18982 ⇐⇒ log2 73 = 6, 18982
Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de binaire schrijfwijze is gelijk aan dlog2 xe.
Opmerking: In de voorbeelden hebben we bijvoorbeeld 2 geschreven als een rationale
macht van 10. Maar eigenlijk is 2 een reële macht van 10. Reële machten van een getal
worden echter pas volgend schooljaar gedefinieerd. De bedoeling van deze beschouwingen
omtrent logaritmen heeft enkel als doel deze functie op de rekenmachine vanaf nu te
kunnen gebruiken.
OPGAVEN — 2 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine als je weet dat log 2 = 0, 301:
1. log 20
3. log 0,√5
5. log 46
7. log 50
2. log2 10
4. log2 8
6. log2 20
8. log2 50
3 Bepaal het aantal cijfers van 32010 .
1.5. WISKUNDE-CULTUUR
1.5
1.5.1
15
Wiskunde-Cultuur
Over getallen en Oneindigheid
In de zesde eeuw voor Christus, de tijd van PYTHAGORAS, werden de getallen beschouwd als het wezen van alle dingen. Getallen belichaamden zekere specifieke abstracte
begrippen zoals de geest (1), het oordeel (2), de volledigheid (3), de gerechtigheid (4), het
huwelijk (5=2+3 met 2 als even en vrouwelijk en 3 als oneven en mannelijk). In een later
stelsel werden 1, 2, 3 en 4 vereenzelvigd met punt, lijn, vlak en lichaam. Het getal 10 werd
een specifieke waarde toegekend en zou de volmaaktheid symboliseren. De mens heeft 10
vingers en 10 = 1 + 2 + 3 + 4. De pythagoreeërs erkenden geen andere verhoudingen dan
die tussen natuurlijke getallen. De verhouding van de lengte van de diagonaal en de zijde
van een vierkant werd dan ook alogos genoemd, dat “onuitdrukbaar” betekent en kon dus
niet in een getal worden uitgedrukt.
Hoe kunnen we zeker zijn dat de kunstmatig gevormde decimale ontwikkelingen zoals het
getal van LIOUVILLE (1809-1882) en het “getal getal” echte getallen zijn. Een eeuw
geleden werd dit probleem opgelost door CANTOR (1845-1918) en DEDEKIND (18311916). Cantor definieerde een reëel getal als een reeks of een oneindige som zoals
0, 123456789101112... = 1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10000 + ...
Met behulp van definities kan men deze reeksen dan bij elkaar optellen en met elkaar
vermenigvuldigen. Dedekind definieerde de reële getallen ook als oneindige verzamelingen.
Hij karakteriseerde een reëel getal als een snede [L, M ], een partitie van R d.w.z. dat
ieder rationaal getal ofwel in L ofwel in √M voorkomt en ieder element van L kleiner
is dan ieder element van M . Zo wordt 2 weergegeven door de snede [{a/b|a2 /b2 <
2}, {a/b|a2 /b2 > 2}]. Dedekind beschouwde de feitelijk oneindige verzamelingen van de
snede als fundamenteel en het doet er niet toe of men beschikt over een bepaalde truc
voor het construeren van een lengte waarmee je een punt kunt plaatsen in het gat van de
snede.
Toen men eenmaal inzag dat reële getallen kunnen worden uitgedrukt in termen van
oneindige verzamelingen was het tien jaar na de dood van Cantor al vanzelfsprekend dat
ieder wiskundig object kan worden weergegeven als een verzameling.
Liouville maakte het verschil tussen algebraı̈sche en transcendente getallen duidelijk
en bewees in 1844 dat e noch e2 wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking met
rationale coëfficiënten. Dit was een eerste stap vooruit in een reeks van onderzoekingen
over de natuur van e en π, die in 1761 tot LAMBERT’s bewijs gevoerd hadden dat π
irrationaal is, en later voerde tot het bewijs van HERMITE (1873) dat e en dat van
LINDEMANN (1882) dat π transcendent is.
16
1.5.2
HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN
Het onbenoembare
Voor het benoemen van grote getallen gebruiken wij het vernuftig systeem gebaseerd op
de machten van 10. In principe is er voor elk getal een naam. De naam voor het getal dat
we schrijven als een 1 met 3(n + 1) nullen is in het Amerikaans een -“illion”. Een 1 met
twaalf nullen heet dus “trillion”. Het getal dat bestaat uit een 1 met 100 nullen wordt
vaak “googol” genoemd, maar zou evengoed “duotrentillion” kunnen worden genoemd,
want 100 = 1 + 3(32 + 1). De hogere “-illion” namen worden eigenlijk zelden gebruikt en
getallen met meer dan dertig cijfers worden gelezen als een opsomming van de cijfers, met
dien verstande dat deze cijfers worden geı̈nterpreteerd in termen van het getalstelsel van
de machten van 10. Voor grote getallen is de notatie met exponenten handiger. Googol
wordt dan geschreven als 10100 en het is gemakkelijk over te gaan naar “googolplex”,
100
gedefinieerd als 10googol = 1010 . Merk op dat een googolplex niet benoembaar is
in minder dan een miljard woorden, tenminste als we de gebruikelijke -“illion”-notatie
toepassen. Er zijn natuurlijk getallen dicht bij googolplex die zo onregelmatig zijn dat er
geen kortere manier bestaat om ze te benoemen als door de cijfers ervan op te noemen.
Deze getallen zijn voor een mens echt onbenoembaar, want een getal met googol cijfers
zou, uitgeschreven op vellen papier, met gemak de hele ruimte tot de verst afgelegen
zichtbare ster vullen: als we tien miljard kubieke lichtjaren zouden vullen met boeken
die de cijfers bevatten, zou daarin, slechts ruimte zijn voor ongeveer 1062 cijfers. Volgens
ARCHIMEDES (287-212 v.C.) zijn er minder dan 1063 zandkorrels nodig om een bol te
vullen met straal gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon.
Wat is het grootst mogelijke natuurlijk getal dat ik kan bedenken of het natuurlijk getal
dat ikzelf kan beschrijven? Misshien kan ik een keer een getal G beschrijven, maar ga ik
dood voordat ik zover ben G + 1 te noemen; dus is het toch niet waar dat je, als je over
G kunt spreken, ook altijd over G + 1 kunt spreken. Hoe kunnen we over dingen spreken
waarover we niet kunnen spreken? Deze vraag geeft aanleiding tot de paradox van Berry:
Het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in minder dan vijfentwintig lettergrepen is
zelf een naam bestaande uit vierentwintig lettergrepen, dus het kleinste natuurlijk getal
niet benoembaar in vijfentwintig lettergrepen kan in vierentwintig lettergrepen worden
benoemd, wat een contradictie is.
Een wereld zonder paradoxen is niet denkbaar, aangezien een paradox eigen is aan het
rationele denken zelf. In plaats van te stellen dat de paradoxen aangeven dat de wereld
“onwaar” is, kunnen we beter stellen dat ze aangeven dat de wereld onvolledig is of dat
de werkelijkheid meer is dan wat je op het eerste gezicht zou zeggen.
Hoofdstuk 2
Functies
2.1
Relaties
Inleiding: Het begrip functie is bijzonder belangrijk in de wiskunde omdat het idee dat er een verband
tussen twee bepaalde grootheden bestaat er op een formele wijze door vastgelegd wordt. De wereld is
vol zaken die afhankelijk zijn van, een functie zijn van, of een bepaalde relatie hebben met andere zaken.
Men zou zelfs kunnen stellen dat de wereld eenvoudigweg geheel uit zulke verbanden is opgebouwd. We
zijn genoodzaakt afhankelijkheid te formaliseren. Door het in een wiskundig bruikbare vorm te gieten,
zullen we deze fenomenen beter kunnen beschrijven, en vooral begrijpen. Op die manier ontwikkelen
we wiskundige modellen voor natuurlijke (en ook door de mens in het leven geroepene) fenomenen. Dit
stelt ons in staat niet alleen dingen te begrijpen, maar soms zelfs voorspellingen te doen, vb: het weer,
economie, enz... Wij worden geconfronteerd met het probleem een bruikbare schrijfwijze voor wiskundige
afhankelijkheid te ontwerpen. De schrijfwijze om functionele afhankelijkheid weer te geven is onmisbaar.
Het stelt ons in staat verbanden in een notedop weer te geven. Zonder een schrijfwijze zou het bijzonder
moeilijk zijn de flexibiliteit en de kracht van de wiskundige analyse toegankelijk te maken. In de loop
van de geschiedenis van de wiskunde is het heel duidelijk dat het vinden van schrijfwijzen en notaties het
wiskundig denken grote sprongen vooruit helpt.
2.1.1
Definitie
Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van
koppels (x, y) waarbij x een element is van A en y een element is van B.
Uit de definitie volgt onmiddellijk:
Elke relatie van A naar B is een deelverzameling van de productverzameling A × B.
We zeggen ‘y staat in relatie met x? of ‘y correspondeert met x in de relatie’.
17
18
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.1.2
Triviale relaties
* De groots mogelijke relatie.
De productverzameling A × B is een relatie van A naar B, die alle koppels (x, y)
bevat waarbij x een element is van A en y een element is van B.
* De kleinst mogelijke relatie
De ledige relatie ∅ bevat geen enkel koppel.
2.1.3
Analytisch voorstelling van een relatie
Zijn x en y reële getallen dan kan het verband tussen x en y meestal voorgesteld worden
door een vergelijking (eventueel ongelijkheid) die we algemeen noteren door R(x, y) = 0.
Alle koppels (x, y) van de relatie zijn oplossing van R(x, y) = 0.
in dit geval is de relatie een deelverzameling van R × R.
2.1.4
Voorstelling van een relatie
1. Op Venn-diagram: Als y in relatie staat met x dan trekken we een pijl van x ∈ A
naar y ∈ B.
2. Grafisch d.i. in een (x, y)-vlak als x en y reële getallen zijn. Alle koppels van de
relatie vormen dan een figuur in het (x, y)-vlak.
Het (x, y)-vlak zelf is de grafische voorstelling van R × R.
2.1.5
Voorbeelden
• De relatie ’y is ouder van x’ in een familie is een relatie van de familie naar de
familie. Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.1). Het tekenen van
die relatie in het Venn-diagram geeft juist de stamboom weer van de familie.
• De relatie ’y is een deelverzameling van x’ in de verzameling D(A) van de deelverzamelingen van A = {1, 2, 3} is een relatie van D(A) naar D(A). Stel deze relatie
voor op Venn-diagram (zie figuur 2.2).
2.1. RELATIES
19
Figuur 2.1: de relatie ’y is ouder van x’
Figuur 2.2: de relatie ’y is deelverzameling van x’
20
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.3: de relatie ’y is het dubbel van x’ in Z
Figuur 2.4: de relatie ’y is kleiner dan x’ in N
• De relatie ’y is het dubbel van x’ in de verzameling van de gehele getallen is een
relatie van Z naar Z.
R(x, y) = 0 ⇐⇒ y = 2x ⇐⇒ y − 2x = 0 ⇐⇒ 2x − y = 0
Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie
figuur 2.3).
• De relatie ’y is kleiner dan x’ in de verzameling van de natuurlijke getallen is een
relatie van N naar N.
y < x ⇐⇒ y − x < 0 ⇐⇒ x − y > 0
Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie
figuur 2.4).
2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES
2.2
21
Functies - reële functies
2.2.1
Definities
Een functie van A in B is een relatie van A naar B, waarbij elk element x
van A overeenkomt met hoogstens één element y van B.
We zeggen: y is functie van x.
We zeggen: y is het beeld van x.
We noemen x de onafhankelijk veranderlijke en y de afhankelijk veranderlijke en
Een functie van A in B is een reële functie als en slechts als de verzamelingen
A en B twee deelverzamelingen zijn van R.
We schrijven:
f : A −→ B, x 7→ f (x)
(x, f (x)) is een koppel van de functie.
We zeggen: f (x) is de functiewaarde van f voor x.
Er geldt
R(x, y) = 0 ⇐⇒ y = f (x)
y = f (x) wordt het voorschrift van de reële functie genoemd.
De grafische voorstelling van een relatie die een functie is, wordt de grafiek
van de functie f genoemd.
Belangrijke opmerking: Een functie is volledig bepaald door zijn voorschrift en door
de verzamelingen A en B. Enkel het voorschrift geven is onvoldoende. Twee reële functies
met hetzelfde voorschrift kunnen gedefinieerd zijn in verschillende deelverzamelingen van
R.
In het vervolg vermelden we enkel het voorschrift van de functie als A = B = R.
Zijn A of B echte deelverzamelingen van R dan vermelden we dat er expliciet bij.
Voorbeeld: De relatie ‘y is het kwadraat van x’ is een functie omdat elk getal x maar één
kwadraat heeft.
y = x2
Tegenvoorbeeld: De relatie ‘y is een vierkantswortel uit x’ is geen functie omdat elk strikt
positief getal x twee vierkantswortels heeft.
√
y 2 = x ⇐⇒ y = ± x
22
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.5: Venn-diagram
Figuur 2.6: Grafische voorstelling
OPGAVEN — 4 Welke van alle voorgaande relaties zijn functies en welke niet?
2.2.2
Praktische voorbeelden
:
• De oppervlakte van een cirkel is functie van de straal:
Opp. = πR2 .
De grafiek is een halve parabool.
• De afgelegde weg bij de valbeweging is functie van de tijd :
1
x = gt2
2
(g = 9, 81...m/sec2 ).
2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES
23
De grafiek is een halve parabool.
Ook snelheid en versnelling zijn functies van de tijd.
De kinetische energie is een functie van de snelheid.
De potentiële energie is een functie van de afstand.
De barometerdruk is een functie in van de hoogte.
• In de economie: Het aantal eenheden dat de consument bereid is te kopen is afhankelijk van de prijs (vraagfunctie, vraagkurve, collectieve vraagkurve). Het aantal
eenheden dat de producent bereid is te verkopen wordt bepaald door de prijs dat hij
er kan voor krijgen (aanbodfunctie, aanbodkurve). Het aantal verkochte eenheden
van een product is een functie van de eenheidsprijs (omzetkurve, prijsafzetfunctie).
De totale kosten zijn functie van het geproduceerde en verkochte eenheden.
• In de scheikunde: De snelheid van een chemische reactie is een functie van de tijd
en de radioaktiviteit is een functie van de tijd.
• In de geneeskunde: De hoeveelheid bacteriën is een functie van de tijd, evenals het
aantal geboorten en sterften.
2.2.3
Verdere begrippen en zegswijzen
De verzameling A wordt de bron van de functie genoemd.
De verzameling B wordt het doel van de functie genoemd.
De verzameling van alle x van A die een beeld hebben wordt het domein van
de functie of het definitiegebied van de functie genoemd.
We noteren domf .
domf ⊂ A.
De verzameling van alle beelden wordt de beeldverzameling f (A) genoemd.
We noteren f (x).
f (A) ⊂ B.
Stel al deze begrippen voor op Venn-diagram en op grafiek (zie figuur 2.7).
24
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.7: voorbeeld: ‘y is het omgekeerde van x’
2.2.4
Bijzondere functies
Afbeelding
Een functie van A in B is een afbeelding van A in B als elk element van A juist één
beeld heeft in B (zie figuur 2.8).
domf = A
Figuur 2.8: voorbeeld van afbeelding: ‘y is het kwadraat van x’
Injectie
Een injectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A
in B waarbij elk element van B het beeld is van hoogstens één element van A (zie figuur
2.9).
Met symbolen:
∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
m
∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Surjectie
Een surjectie van een verzameling A op een verzameling B is een afbeelding van
2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES
25
Figuur 2.9: voorbeeld van injectie: ‘y is een reële macht van 10’
Figuur 2.10: voorbeeld van surjectie: ‘y is de som van de derde macht van x en het
kwadraat van x’
A in B waarbij elk element van B het beeld is van ten minste één element van A, m.a.w.
f (A) = B (zie figuur 2.10).
Bijectie
Een bijectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A
in B waarbij elk element van B het beeld is van juist één element van A. Een bijectie is
een afbeelding die t.z.t. een injectie en een surjectie is (zie figuur 2.11).
Figuur 2.11: voorbeeld van bijectie: ‘y is de derdemachtswortel uit x’
26
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.2.5
Restrictie en uitbreiding van een functie
De restrictie van een functie f : A → B tot een deelverzameling D van A en een
deelverzameling E van B is de functie g : D → E waarvoor ∀x ∈ D : g(x) = f (x).
Belangrijke opmerkingen :
* Het verschil tussen het begrip functie en het begrip afbeelding hangt enkel af van hoe
de bron gedefinieerd is. Als we van een functie de restrictie nemen tot zijn domein
dan verkrijgen we een afbeelding. Zo kunnen we van elke functie een afbeelding
maken.
Voorbeeld:
1
f : R −→ R : x 7→
x
is geen afbeelding omdat 0 ∈ R geen beeld heeft. Maar
f1 : R0 −→ R : x 7→
1
x
is een afbeelding omdat elk element van R0 een beeld heeft.
Figuur 2.12: functie en afbeelding
* Het verschil tussen het begrip injectie en het begrip bijectie hangt enkel af van hoe
het doel gekozen werd. Beperken we het doel B van een injectie tot de beeldverzameling dan wordt de injectie een bijectie. Zo kunnen we van elke injectie een bijectie
2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES
27
maken.
Voorbeeld: De afbeelding
1
x
is een injectie maar geen surjectie. Maar de injectie
f1 : R0 −→ R : x 7→
f2 : R0 −→ R0 : x 7→
1
x
is een surjectie en dus een bijectie.
Figuur 2.13: injectie en bijectie
Een uitbreiding van een functie f : A → B in een punt d ∈ A met d 6∈ domf is een
functie f : A → B waarvoor
∀x ∈ A \ {d} : f (x) = f (x)
2
−1
Voorbeeld: De functie f : y = xx+1
is een functie die geen beeld heeft in x = −1 omdat
voor deze waarde de noemer dan nul is.
De functie f : y = x − 1 is een uitbreiding van f in −1 omdat
x2 − 1
∀x ∈ R \ {−1} :
=x−1
x+1
28
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.14: uitbreiding van een functie
OPGAVEN — 5 Gegeven is de relatie xy − x + 3 = 0
1. Toon aan dat de gegeven relatie een functie?
2. Geef het voorschrift van de functie;
3. Ga na of de functie een afbeelding is;
4. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie
verloren gaan. Bepaal deze restrictie;
5. Teken de grafiek met de computer en verifieer alles op grafiek.
6 Gegeven is de relatie x2 + y 2 = 4.
1. Is de gegeven relatie een functie? Leg uit;
2. Teken de grafische voorstelling.
7 Gegeven is de relatie ux + vy + w = 0. met (u, v, w) ∈ R3 . In welk geval is de gegeven relatie
1. geen functie? Hoe ziet de grafische voorstelling eruit?
2. een functie? Hoe ziet de grafiek eruit?
3. een functie die geen injectie is? Hoe ziet de grafiek eruit?
8 Gegeven is de functie y =
√
x.
1. Geef het domein van de gegeven functie;
2. Is de gegeven functie een afbeelding?
3. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie
verloren gaan. Bepaal deze restrictie;
4. Teken de grafiek van de functie.
9 Gegeven is de kwadratische functie y = (x − 1)(x − 5).
1. Is de functie een afbeelding?
2. Is deze functie een injectie? Leg uit;
3. Is deze functie een surjectie? Leg uit;
10 Is de volgende vergelijking het voorschrift van een functie.
1) x2 + 2y = 0 2) 4x2 − 9y 2 = 36 3) y 3 = x
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
2.2.5.1
29
Lineaire afbeeldingen
Een afbeelding f : A −→ B is een lineaire afbeelding of een homomorfisme als en
slechts als het beeld van een lineaire combinatie van elementen van A gelijk is aan de lineaire
combinatie van de beelden. De verzamelingen A en B zijn reële vectorruimten. In het geval
van reële functies is A = B = R. De verzameling van de reële getallen vormt eveneens een
reële vectorruimte.
∀x1 , x2 ∈ A, ∀r, s ∈ R : f (r.x1 + s.x2 ) = r.f (x1 ) + s.f (x2 ).
We zien gemakkelijk in dat bij een lineaire afbeelding de nulvector van A afgebeeld wordt op
de nulvector van B.
Voor lineaire reële functies wordt 0 op zichzelf afgebeeld. De enige reële functies die lineair
zijn, zijn de functies
f : x 7→ ax met a ∈ R.
Deze functies zijn eerstegraadsfuncties waarvoor de grafiek een rechte is door de oorsprong
(verschillend van de y-as).
2.3
Bewerkingen met functies
Bewerkingen zoals som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies kunnen
voor functies van A naar B enkel gedefinieerd worden als deze bewerkingen ook gedefinieerd zijn in de
verzamelingen A en B. Deze bewerkingen zijn gedefinieerd in R, dus kunnen ze gedefinieerd worden voor
reële functies.
In een reële vectorruimte is de som en de scalaire vermenigvuldiging van vectoren gedefinieerd, maar het
product en het quotiënt van twee vectoren definiëren wij daar niet. Voor homomorfismen zullen we dus enkel
de som, het verschil en de scalaire vermenigvuldiging beschouwen.
De definities van som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies zijn enkel
geldig waar de gelijknamige bewerkingen in het doel gedefinieerd zijn.
2.3.1
Samenstelling van twee relaties
De samenstelling van de relatie R1 (x, y) van A naar B en de relatie R2 (y, z) van B naar
C is een relatie van A naar C.
We illustreren met voorbeelden.
• De samenstelling van de relatie ’y is moeder van x’ gevolgd door de relatie ’z is
zus van y’ is de relatie ’z is een tante van x’. Stel deze samenstelling voor op
Venn-diagram (zie figuur 2.15)
y is moeder van x
−→ z is zus van de moeder van x ⇐⇒ z is tante van x
z is zus van y
30
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
• De samenstelling van de relatie ’y is een vierkantswortel uit x’ gevolgd door de
relatie ’z is de derdemachtswortel uit y’ is de relatie ’z is een zesdemachtswortel uit
x’.
√ √
y2 = x
y=± x
3 2
2
6
6
√
⇐⇒
⇐⇒
(z
)
=
y
=
x
⇐⇒
z
=
x
−→
z
=
±
x
3
z= 3y
z =y
Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling
(zie figuur 2.15).
Figuur 2.15: de samenstelling van relaties - Venndiagrammen
2.3.2
Samenstelling van twee functies
De samenstelling van twee functies f : A −→ B, x 7→ y en g : B −→ C, y 7→ z is de
relatie g ◦ f : A −→ C, x 7→ z (We lezen g na f of f wordt gevolgd door g). Er geldt
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Voorbeeld: We beschouwen de functies f : y = x2 en g : y = x + 1.
In de samenstelling g ◦ f werkt de functie g in op de beelden y van f . Daarom is y de
onafhankelijk veranderlijke van g en schrijven we g : z = y + 1 voor het voorschrift van g.
f : y = x2
=⇒ g ◦ f : z = x2 + 1
g :z =y+1
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
31
In de samenstelling f ◦ g werkt de functie f in op de beelden y van g. Daarom is y de
onafhankelijk veranderlijke van f en schrijven we f : z = y 2 voor het voorschrift van f .
g :y =x+1
=⇒ f ◦ g : z = (x + 1)2
f : z = y2
We zien dat de samenstelling van twee functies niet commutatief is. Dit komt overeen
met het product van matrices dat eveneens niet commutatief is.
Teken enkele punten van de twee samenstellingen g ◦ f en f ◦ g aan de hand van de
grafieken van f en g in de figuur 2.16.
Figuur 2.16: g ◦ f : y = x2 + 1 en f ◦ g : y = (x + 1)2
2.3.3
Inverse relatie
De inverse relatie van een relatie R(x, y) = 0 van A naar B is de relatie R(y, x) = 0
van B naar A die de verzameling is van alle koppels (y, x) waarvoor (x, y) een koppel is
van de relatie R(x, y) = 0.
Zijn x en y van een relatie reële getallen dan liggen de grafische voorstellingen van relatie
en haar inverse relatie symmetrisch t.o.v. de rechte x = y.
32
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Voorbeelden:
• De inverse relatie van de relatie ’y is ouder van x’ is de relatie ’x is ouder van y’
wat hetzelfde is als ’y is kind van x’. Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram
(zie figuur 2.17).
Figuur 2.17: ‘y is ouder van x’ en ‘y is kind van x’ zijn inverse relaties
• De inverse relatie van de relatie ’y is strikt kleiner dan x’ is de relatie ’y is strikt
groter dan x’.
y < x −→ x < y ⇐⇒ y > x
Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.18).
Figuur 2.18: ‘y is kleiner dan x’ en ‘y is groter dan x’ zijn inverse relaties
• De inverse relatie van ’y is het kwadraat van x’ is de relatie ’y is een vierkantwortel
van x’.
√
y = x2 −→ x = y 2 ⇐⇒ y = ± x ⇐⇒ y 2 = x
Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.19).
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
33
Figuur 2.19: ’y is kwadraat van x’ en ‘y is een vierkantswortel van x’ zijn inverse relaties
2.3.4
Inverse functie
In voorgaande voorbeelden zagen we dat de inverse relatie van een functie niet altijd een
functie is. De volgende stelling geeft de voorwaarden opdat de inverse relatie van een
functie een functie zou zijn.
STELLING 2.1 De inverse relatie van een functie is een functie op voorwaarde dat de
restrictie tot het domein van de functie een injectie is. Beperken we het doel van een
injectie tot zijn beeldverzameling dan wordt deze injectie een bijectie. De inverse functie
van een bijectie is weer een bijectie.
Bewijs: Wat in de definitie van functie gezegd wordt over de bron, wordt in de definitie
van injectie gezegd over het doel.
We noteren: f −1 is de inverse functie van f .
Restrictie tot het domein is een injectie.
Voorbeelden:
• De inverse relatie van ’y is het dubbel van x’ is de relatie ’y is de helft van x’.
f : y = 2x is een bijectie daaruit volgt dat f −1 : y = x2 een functie en tevens een
bijectie is.
x
y = 2x −→ x = 2y ⇐⇒ y =
2
Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling
(zie figuur 2.20).
• De functie y = ax + b met a 6= 0 is een bijectie. De inverse functie is
1
x = ay + b ⇐⇒ y = (x − b).
a
Merk op dat de richtingscoëfficiënten van de rechten elkaars omgekeerden zijn.
34
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.20: ‘y is dubbel van x’ en ‘y is de helft van x’ zijn inverse relaties
• Gegeven zijn de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 6x + 15. Bepaal de functie g
zodat g ◦ f = h.
Oplossing: Aangezien f een eerstegraadsfunctie is bestaat de inverse functie f −1 :
y = 31 (x − 5). We gaan beide leden van de gelijkheid g ◦ f = h rechts samenstellen
met f −1 .
(g ◦ f ) ◦ f −1 = h ◦ f −1 ⇔ (g ◦ (f ◦ f −1 ) = h ◦ f −1 ⇔ g = h ◦ f −1
1
f −1 : y = 31 (x − 5)
=⇒ g : z = 6( (x − 5)) + 15 ⇔ g : z = 2x + 5
h : y = 6x + 15
3
De gevraagde functie is g : y = 2x + 5.
• De restrictie van de functie f : y =
1
x
f : R0 −→ R0 : x 7→
1
x
is een bijectie.
Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie.
y=
1
1
1
−→ x = ⇐⇒ y =
x
y
x
De inverse functie is de functie zelf. De grafiek van deze functie moet dus noodzakelijk symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = x.
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
35
De restrictie tot het domein is geen injectie
Voorbeeld: De restrictie van de functie y = x2 tot zijn domein is geen injectie. Bijgevolg
is de inverse relatie y 2 = x geen functie. De grafische voorstelling van
√ deze relatie
√ bestaat
echter wel uit de unie van de grafieken van de twee functies y = x en y = − x. Duid
deze functies aan op de grafische voorstelling van y 2 = x in de figuur 2.21.
We kunnen twee restricties van f beschouwen die injecties zijn, nl.
f1 : R+ −→ R : x 7→ x2
en
f2 : R− −→ R : x 7→ x2
Beperken we de doelen van f1 en f2 tot hun beeldverzamelingen dan verkrijgen we de
bijecties:
g1 : R+ −→ R+ : x 7→ x2
en
g2 : R− −→ R+ : x 7→ x2
De inverse functies van g1 en g2 zijn resp.:
√
√
g1−1 : R+ −→ R+ : x 7→ x en g2−1 : R+ −→ R− : x 7→ − x
Praktisch kunnen we kort schrijven:
√
y = x2 met x ≥ 0 en y > 0 −→ x = y 2 met y ≥ 0 en x > 0 ⇔ y = + x met y ≥ 0 en x > 0
√
y = x2 met x ≤ 0 en y > 0 −→ x = y 2 met y ≤ 0 en x > 0 ⇔ y = − x met y ≤ 0 en x > 0
Figuur 2.21: de inverse relatie y 2 = x is geen functie
36
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.3.5
Som van twee functies
De som van twee functies f en g van A in B is de functie f + g van A in B die
elke x waarvoor de beelden f (x) en g(x) bestaan, afbeeldt op de som van de beelden nl.
f (x) + g(x).
Met symbolen:
∀x ∈ domf ∩ domg : (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Voorbeelden:
• In de economie is de collectieve vraagfunctie de som van de individuele vraagfuncties.
√
√
• De som van de functies f : y = x1 en g : y = x is de functie f + g : y = x1 + x.
Het domein van deze som is de doorsnede van het domein R0 van f en het domein
R+ van g, nl. R+
0 . Teken enkele punten van f + g in figuur 2.22 aan de hand van de
grafieken van f en g.
Figuur 2.22: y =
1
x
+
√
x
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
37
STELLING 2.2 De som van functies van A naar B is commutatief in de verzameling
van de functies van A naar B.
Bewijs: Deze eigenschap is geldig voor reële functies omdat de som van reële getallen
commutatief is.
De eigenschap is ook geldig voor lineaire afbeeldingen omdat de som van vectoren in een
vectorruimte commutatief is.
De tegengestelde functie van de functie f : A −→ B is de functie −f , die elke x-waarde
van domf ⊂ A afbeeldt op −f (x).
Voor reële functies is −f (x) het tegengesteld reëel getal van f (x). De grafieken liggen
symmetrisch t.o.v. de x-as.
Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is −f (x) de tegengestelde vector van de vector
f (x).
Voorbeeld: De tegengestelde functie van de functie f : y = 2x2 + 1 is de functie
−f : −2x2 − 1. Teken enkele punten van de grafiek van −f in figuur 2.23 aan de hand
van de grafiek van f .
Figuur 2.23: y = 2x2 + 1 en y = −2x2 − 1
38
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.3.6
Het verschil van twee functies
Elke functie heeft een tegengestelde functie. We kunnen nu het verschil van twee functies
definiëren.
Het verschil van twee functies f en g is de functie f − g die we bekomen door bij f
de tegengestelde functie van g op te tellen. Het komt er op neer de beelden van de twee
functies van elkaar af te trekken. Voor reële functies is dit volgens de definitie van verschil
van twee reële getallen.
Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is dit volgens de definitie van verschil van
vectoren.
(f − g)(x) = (f + (−g))(x) = f (x) + (−g(x)) = f (x) − g(x).
Voorbeeld: In de economie is de winst of het verlies (positief en negatief resultaat) het
verschil van de omzetfunctie en de totale kostenfunctie.
2.3.7
De scalaire vermenigvuldiging van functies
Het product van de functies f en het reëel getal r is de functie r.f die elke x ∈ domf
afbeeldt op het product van r en het beeld f (x) nl. rf (x).
Met symbolen:
∀r ∈ R, ∀x ∈ domf : (r.f )(x) = rf (x).
Voor reële functies steunt deze definitie op het product van reële getallen.
Voor lineaire afbeeldingen steunt ze op de scalaire vermenigvuldiging van vectoren.
Voorbeelden:
• Het product van de functie f : y =
√
√
x en het reëel getal 23 is de functie 32 f : y = 32 x.
• Het product van de functie y = bxc met het reëel getal
1
2
is de functie y = 12 bxc.
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
39
Figuur 2.24: scalaire vermenigvuldiging van functies op grafiek
Figuur 2.25: y =
3√
x
2
40
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.26: grafiek van y = bxc en y = 12 bxc
2.3.8
Het product van twee functies
Het product van twee functies f en g is de reële functie f.g die elke x-waarde waarvoor
de beelden f (x) en g(x) bestaan, afbeeldt op het product van de beelden nl. f (x)g(x).
Met symbolen:
∀x ∈ domf ∩ domg : (f.g)(x) = f (x)g(x).
√
√
Voorbeeld: Het product van de functies f : y = x en g : y = x is de functie f ·g : y = x x.
Het domein van dit product is de doorsnede van het domein R van f en het domein R+
van g, nl. R+ . Teken enkele punten van f · g in de figuur aan de hand van de grafieken
van f en g.
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
41
De omgekeerde functie van een functie f is de functie f1 , die elke x-waarde waarvoor
1
het beeld f (x) bestaat en verschillend is van nul, afbeeldt op f (x)
.
1
De omgekeerde functie f heeft hetzelfde domein als f op de nulpunten van f na.
1
is gelijk aan de constante functie
Het product van y = f (x) en haar omgekeerde f (x)
y = 1.
1
.
Voorbeeld: De omgekeerde functies van de functie f : y = x + 1 is de functie f1 : y = x+1
Het domein van de omgekeerde is R \ {−1}.
Teken enkele punten van f1 in de figuur aan de hand van de grafiek van f .
42
2.3.9
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Quotiënt van twee functies
De omgekeerde functie van de nulfunctie, dit is de functie die elke x op 0 afbeeldt, is de
ledige functie. Voor elke andere functie bestaat de omgekeerde functie.
Het quotiënt van twee functies f en g is het product van de eerste functie f met de
omgekeerde functie van de tweede functie g op voorwaarde dat g niet de nulfunctie is.
Het quotiënt van twee functies f en g beeldt elke x-waarde van domf ∩ domg en waarvoor
g(x) 6= 0, af op het quotiënt van de beelden.
Met symbolen:
f (x)
f
.
∀x ∈ domf ∩ domg ∧ g(x) 6= 0 : (x) =
g
g(x)
Het quotiënt van twee functies is niet commutatief in de verzameling van de functies van
A in B.
√
Voorbeeld:√ Het quotiënt van de functies f : y = x en g : y = x + 2 en is de functie
x
f
: y = x+2
. Het domein van dit quotënt is de doorsnede van het domein R+ van f en
g
het domein R van g en waar we x = −2 moeten uitsluiten omdat het een nulpunt is van
g, nl. R+ \ {−2}. Teken enkele punten van fg in de figuur aan de hand van de grafieken
van f en g.
2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES
43
AN I groepswerk 1
1. Gegeven de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 3x2 + 3x + 2.
Bepaal de functie g zodat f ◦ g = h.
2. Gegeven is de functie f : y = 2x3 − 16.
(a) Teken de grafiek van f met de computer;
(b) Is f een injectie, een bijectie? Bekijk dit op het voorschrift en op grafiek van
f;
(c) Bepaal de inverse relatie van f en teken de grafiek a.h.v. de grafiek van f .
3. Gegeven zijn de functies f : y = −2x2 − 7x + 4 en g : y = 1 − 2x.
(a) Teken t.o.v. eenzelfde coördinatenstelsel de grafiek van f in potlood en de
grafiek van g in groen;
(b) Bepaal de nulpunten x1 en x2 van f ;
(c) Leid uit de waarden van x1 en x2 de x-waarde xt af van de top van de parabool
y = f (x);
(d) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12 f voor x = 0, x1 , x2 en xt schets
in groen de grafiek van 12 f ;
(e) Bepaal het voorschrift van 21 f .
(f) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12 f + g voor x = 0, x1 , x2 en xt ;
(g) Welk nulpunt van 21 f + g is eenvoudig grafisch te bepalen;
(h) Schat de x-waarde van de top van 12 f + g. Leid hieruit de waarde af van het
ander nulpunt van 12 f + g;
(i) Schets de grafiek van 21 f + g aan de hand van de gevonden punten;
(j) Bepaal het voorschrift van 12 f + g;
(k) Maak een andere tekening met de grafieken van f en g. Bepaal indien mogelijk
grafisch de punten van de grafiek van fg voor x = 0, x1 , x2 en xt . Je merkt op
dat deze punten op eenzelfde rechte liggen. Wat moet de vergelijking zijn van
die rechte? Duid ook het punt aan waar fg niet bestaat;
(l) Als je de grafiek van fg tekent met de computer dan zie je dat de grafiek
inderdaad een rechte is die een gaatje vertoont.
(m) Kan je dat verklaren a.d.v. de voorschriften van f en g en het voorschrift van
f
.
g
Oplossingen: 1:g : y = x2 + x − 1, 1: f −1 : y =
p
3 x
2
+8
44
2.4
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Transformaties van krommen
In deze paragraaf zullen we de invloed onderzoeken van een transformatie op de vergelijking R(x, y) = 0 van een kromme.
2.4.1
Verschuivingen
2.4.1.1
Het beeld van een punt onder een verschuiving
We beschouwen in het vlak de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ). Elk punt P (x, y) van
het vlak wordt door de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ) afgebeeld op een punt P 0 (x0 , y 0 )
en de transformatieformules zijn
~ 0 = op
op
~ + ~v
m
(x0 , y 0 ) = (x, y) + (x0 , y0 )
m
(x, y) = (x0 , y 0 ) − (x0 , y0 )
De formule in de vorm van een stelsel is
0
x = x + x0
y 0 = y + y0
m
x = x0 − x0
y = y 0 − y0
Het is handig deze stelsels schematisch voor te stellen met matrices.
0 x
x
x0
=
+
y0
y
y0
m
x
y
=
x0
y0
−
x0
y0
De matixvoorstelling van de transformatieformules in verkorte gedaante is
X 0 = X + X0 ⇐⇒ X = X 0 − X0 .
(2.1)
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
2.4.1.2
45
Het beeld van een kromme onder een verschuiving
Is R(x, y) = 0 de vergelijking van de kromme K dan zoeken we de vergelijking van
het beeld K 0 van K onder de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ). Daartoe zoeken we het
verband waaraan de coördinaat (x01 , y10 ) van het beeld P 0 van het punt P (x1 , y1 ) ∈ K moet
voldoen opdat het op K 0 zou gelegen zijn.
Voor elk beeldpunt P 0 (x01 , y10 ) van een punt P (x1 , y1 ) ∈ K geldt volgens de transformatieformules 2.1
R(x01 − x0 , y 0 − yo ) = 0.
De coördinaat (x01 , y10 ) van elk beeldpunt P 0 voldoet aan de vergelijking
R(x − x0 , y − yo ) = 0.
De kromme K 0 met vergelijking
R(x − x0 , y − y0 ) = 0
is het beeld onder de verschuiving met vector ~v (x0 , y0 ) van de kromme K met vergelijking
R(x, y) = 0
.
Bijzondere geval: verschuiving van de grafiek van een functie
De grafiek G0 : y − y0 = f (x − x0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f (x) onder een
verschuiving over de vector (x0 , y0 ).
De grafiek G0 : y = f (x − x0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f (x) onder
de verschuiving langs de x-as over de vector (x0 , 0).
De grafiek G0 : y − y0 = f (x) ⇐⇒ y = f (x) + y0 is het beeld van de grafiek
G : y = f (x) onder de verschuiving langs de y-as over de vector (0, y0 ).
De functie
y − y0 = f (x) ⇐⇒ y = f (x) + y0
bekomt men ook door de som te maken van de functie y = f (x) en de constante functie
y = y0 (zie bladzijde 36).
46
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.27: verschuiving van een grafiek langs de x-as en langs de y-as
Voorbeelden:
• Elke parabool y = ax2 + bx + c is de verschuiving van een parabool met vergelijking
y = ax2 .
We herhalen de berekening die we kunnen maken om de vector van verschuiving te
bepalen. De vergelijking y = ax2 + bx + c van de parabool kunnen we als volgt in
een andere gedaante brengen.
y = ax2 + bx + c
b
b2
b2
2
= a(x + x + 2 ) + c −
a
4a
4a
b 2 4ac − b2
= a(x + ) +
2a
4a
De parabool met vergelijking
y+
b2 − 4ac
b
= a(x + )2
4a
2a
is het beeld van de parabool met vergelijking
y = ax2
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
47
onder de verschuiving met vector
~v (−
b
b2 − 4ac
b
D
,−
) = ~v (− , − ) met D de discriminant
2a
4a
2a 4a
dit is de plaatsvector van de top van de parabool (t.o.v. een orthonormale basis).
Figuur 2.28: bepaal de vector van verschuiving die y = 12 x2 afbeeldt op y = 12 x2 + 2x + 5
• De cirkel met vergelijking C 0 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 is de verschuiving met
vector ~v (x0 , y0 ) van de cirkel met vergelijking C : x2 + y 2 = R2 . De vector van de
verschuiving is de plaatsvector van het middelpunt van de cirkel C 0 .
Figuur 2.29: bepaal de vector van verschuiving die x2 + y 2 = 1 afbeeldt op 4x2 + 4y 2 +
4x + 16y + 13 = 0
48
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.30: y = bxc en y = bx − 1c = bxc − 1
• Toon aan dat bx − 1c = bxc − 1. Dit betekent dat de grafiek van de trapfunctie y = bxc
voor een verschuiving met vector ~v (1, 0) dezelfde is als voor een verschuiving met vector
w(0,
~ −1).
y = bx − 1c ⇐⇒ y + 1 = bxc.
2.4.1.3
Periodieke functies
Een functie f is een periodieke functie als en slechts als
∃p ∈ R : f (x − p) = f (x + p) = f (x).
De kleinste positieve waarde p waarvoor het voorgaande geldig is wordt de periode van
de functie genoemd.
Een periodieke functie met periode p is een functie waarvan de grafiek overgaat in zichzelf
voor de verschuiving met vector ~v (kp, 0) met k ∈ Z.
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
49
Figuur 2.31: grafiek van een periodieke functie
Voorbeelden:
• De functie y = x + 1 − bxc is een periodieke functie met periode p = 1.
Inderdaad, vervangen we in het voorschrift van de functie x door x − 1 dan verkrijgen
we y = x − bx − 1c; dan moeten de twee voorschriften dezelfde grafiek voorstellen.
x + 1 − bxc = x − bx − 1c ⇐⇒ bx − 1c = bxc − 1
Dit laatste hebben we reeds aangetoond.
• De functie y = |x − 2b x+1
c| + 1 is een periodieke functie met periode p = 2. Bewijs dit
2
zelf.
Figuur 2.32: y = x + 1 − bxc
y = |x − 2b x+1
c| + 1
2
50
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.4.2
Spiegelingen
2.4.2.1
Het beeld van een punt onder een spiegeling
1. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de y-as
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de spiegeling om de rechte
x = a volgens de x-richting dan geldt:
0
x + x0 = 2a
x = 2a − x0
x = 2a − x
⇐⇒
⇐⇒
y = y0
y = y0
y0 = y
2. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de x-as
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om de
rechte y = b volgens de y-richting dan geldt:
0
x = x
x = x0
x = x0
⇐⇒
⇐⇒
y 0 = 2b − y
y + y 0 = 2b
y = 2b − y 0
3. Voor een spiegeling om een punt
Een spiegeling om een punt is de samenstelling van twee spiegelingen om twee orthogonale rechten door dat punt (draaiing of rotatie over 180o ). De spiegeling om
het punt (a, b) is de samenstelling van de spiegeling om de rechte x = a volgens de
x-richting en de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting (X ⊥ Y ).
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om het
punt (a, b) dan geldt:
0
x + x0 = 2a
x = 2a − x0
x = 2a − x
⇐⇒
⇐⇒
y = 2b − y 0
y 0 = 2b − y
y + y 0 = 2b
4. Voor een spiegeling om de rechte y = x
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om de
rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x dan geldt:
0
x = y
y0 = x
m
⇐⇒
x = y0
y = x0
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
2.4.2.2
51
Het beeld van een kromme onder een spiegeling
1. De krommen met vergelijking R(2a − x, y) = 0 is het beeld van de kromme met
vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte x = a volgens de x-richting.
2. De krommen met vergelijking R(x, 2b − y) = 0 is het beeld van de kromme met
vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting.
3. De krommen met vergelijking R(2a − x, 2b − y) = 0 is het beeld van de kromme met
vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om het punt (a, b).
4. De krommen met vergelijking R(y, x) = 0 is het beeld van de kromme met vergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = x volgens de richting van
y = −x. Ze stellen inverse relaties voor.
Voorbeelden:
1. De cirkels x2 + y 2 − 10x + 6y + 9 = 0 en x2 + y 2 + 10x − 6y + 9 = 0 liggen symmetrisch
t.o.v. de oorsprong.
Figuur 2.33: x2 + y 2 − 10x + 6y + 9 = 0 en x2 + y 2 + 10x − 6y + 9 = 0
2. Toon aan dat de krommen K1 : 2x2 + 3y 2 = 6 en K2 : 2(x − 4)2 + 3y 2 = 6
symmetrisch liggen t.o.v. de rechte x = 2. Bovendien is K2 het beeld van K1 onder
52
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
een verschuiving ~v (4, 0).
3. T.o.v. welke rechte liggen de krommen P1 : y 2 + y = 2x en P2 : (y − 6)2 − y + 6 = 2x
symmetrisch?
Bijzonder geval: Spiegelingen van grafieken van functies.
1. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. de
rechte y = b als
f (x) + g(x)
= b ⇔ f (x) + g(x) = 2b
2
In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de x-as als
f (x) + g(x)) = 0 ⇐⇒ g(x) = −f (x)
Deze functies zijn tegengestelde functies (zie hoofdstuk 3 bladzijde 37).
2. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. de
rechte x = a als
g(x) = f (2a − x)
In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de y-as als
g(x) = f (−x)
3. De grafieken van de functies y = f (x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. het
punt (a, b) als
f (2a − x) + g(x) = 2b
In het bijzonder liggen y = f (x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de oorsprong O als
f (−x) + g(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = −f (−x)
Voorbeelden:
• De parabolen y = −(x − 1)2 en y = 2 + (x − 1)2 liggen symmetrisch t.o.v. de rechte
2
2
y = 1 want −(x−1) +2+(x−1)
= 1.
2
• De grafieken van de functies y = x2 + 1 en y = (2 − x)2 + 1 ⇐⇒ y = (x − 2)2 + 1 ⇐⇒
y = x2 − 4x + 5 liggen symmetrisch t.o.v. de de rechte x = 22 = 1. We zien dat de
tweede parabool tevens een verschuiving is van de eerste over (2, 0).
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
53
Figuur 2.34: y = −x2 + 2x − 1 en y = x2 − 2x + 3
Figuur 2.35: y = x2 + 1 en y = x2 − 4x + 5
• De parabolen y = x2 −4x+5 en 5−y = (1+x)2 −4(−1−x)+5 ⇐⇒ y = −x2 +6x−11
liggen symmetrisch t.o.v. het punt ( 52 , − 12 ).
• De rechten y = 2x + 1 en y = 21 (x − 1) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte y = x
volgens de richting van y = −x.
54
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Figuur 2.36: y = −x2 − 4x + 5 en y = −x2 + 6x − 11
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
2.4.2.3
55
Assen en punten van symmetrie
1. As van symmetrie
Gaat bij spiegeling om een rechte een kromme over in zichzelf dan is deze rechte een
as van symmetrie voor de kromme.
Voorbeeld: Als we x vervangen door 4 − x in het voorschrift y = (x − 2)2 + 1 dan
krijgen we hetzelfde voorschrift. De grafiek van de functie ligt symmetrisch t.o.v.
x = 2.
Figuur 2.37: y = x2 − 4x + 5 ligt symmetrisch t.o.v. x = 2
2. Punt van symmetrie
Gaat bij spiegeling om een punt een kromme over in zichzelf dan is dat punt een
punt van symmetrie voor de kromme.
Voorbeelden:
• Een cirkel gaat over in zichzelf als we spiegelen t.o.v. zijn middelpunt.
• De functie y =
3x+2
x−5
ligt symmetrisch t.o.v. het punt (5, 3) omdat
3x + 2 3(10 − x) + 2
+
=6
x−5
(10 − x) − 5
56
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.4.2.4
Even en oneven functies
Gaat bij een spiegeling om de y-as de grafiek van de functie over in zichzelf dan is de yas een as van symmetrie voor de grafiek. De functie wordt dan een even functie genoemd.
y = f (x) is een even functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f (−x) = f (x).
Voorbeelden:
1. De functies y = 3, y = x2 en y = 2x2 + 1 zijn even functies want als we in het
voorschrift x vervangen door −x dan verkrijgen we hetzelfde voorschrift.
(−x)2 = x2 en 2(−x)2 + 1 = 2x2 + 1
2. y = 2x2 − x4 ligt symmetrisch t.o.v. y-as en is dus een even functie.
2(−x)2 − (−x)4 = 2x2 − x4
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
57
Gaat bij een puntspiegeling om de oorsprong de grafiek van de functie over in zichzelf dan
is de oorsprong een punt van symmetrie voor de grafiek van de functie. De functie wordt
dan een oneven functie genoemd.
y = f (x) is een oneven functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f (−x) = −f (x).
Voorbeeld: De functie y = 4x3 − x is een oneven functie want
4(−x)3 + x = −(4x3 − x)
De grafiek van y = 4x3 − x ligt symmetrisch t.o.v. O.
OPGAVEN — 11 Bewijs voor de onderstaande grafieken het even of oneven zijn van de corresponderende functies.
58
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
2.4.3
Uitrekkingen
2.4.3.1
Het beeld van een punt onder een uitrekking
1. Voor een uitrekking langs de x-as
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factor
r langs de x-richting dan geldt:
0
0
x = rx
x = xr
⇐⇒
y0 = y
y = y0
2. Voor een uitrekking langs de y-as
Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factor
r langs de y-richting dan geldt:
0
x = x0
x = x
0
⇐⇒
y 0 = ry
y = yr
3. Voor een uitrekking langs de x-as en de y-as Is het punt P 0 (x0 , y 0 ) het beeld van
een punt P (x, y) onder een uitrekking langs de x-as met factor r en een uitrekking
langs de yas met factor s dan geldt:
0
0
x = xr
x = rx
⇐⇒
0
y 0 = sy
y = ys
Bijzonder geval: Indien r = s dan is deze afbeelding een homothetie met centum O
en factor r.
Opmerking: Als r < 1 dan kunnen we een uitrekking met factor r een inkrimping met
factor 1r noemen.
2.4.3.2
Het beeld van een kromme onder een uitrekking
1. De krommen met vergelijking R( xr , y) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor
r van de kromme R(x, y) = 0.
2. De kromme met vergelijking R(x, ys ) = 0 is een uitrekking langs de y-as met factor
s van de kromme R(x, y) = 0.
3. De kromme met vergelijking R( xr , ys ) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor
r en langs de y-as met factor s van de kromme R(x, y) = 0.
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
59
Voorbeelden:
• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de
2
x-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x9 + y 2 = 1. Deze kromme noemen
we een ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op de
figuur.
• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een inkrimping langs de
x-as met factor 3 is de kromme met vergelijking 9x2 + y 2 = 1. Deze kromme is een
ellips met halve grote as 1 en halve kleine as 13 . Duid deze ellips aan op de figuur.
• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de
2
y-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + y9 = 1. Deze kromme is een
ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op de figuur.
• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een inkrimping langs de
y-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + 9y 2 = 1. Deze kromme is een
ellips met halve grote as 1 en halve kleine as 13 . Duid deze ellips aan op de figuur.
60
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1 onder een uitrekking langs de
x-as met factor 5 en een uitrekking langs de y-as met factor 2 is de kromme met
2
2
vergelijking x25 + y4 = 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 5 en halve
kleine as 2 (Zie figuur).
• Het beeld van de parabool met vergelijking P : y = x2 onder een inkrimping langs
de x-as met factor 2 is de parabool met vergelijking y = 4x2 want
y = 4x2 ⇐⇒ y = (
x 2
).
1/2
We zien dat de parabool smaller geworden is (zie figuur).
We kunnen P 0 ook opvatten als het beeld van P onder een uitrekking langs de y-as
met factor 4 vermits er geldt
y = 4x2 ⇐⇒
y
= x2 .
4
Bijzonder geval: De kromme met vergelijking R( xr , yr ) = 0 is het beeld onder een
homothetie met factor r van de kromme R(x, y) = 0.
Voorbeeld: De parabool met vergelijking y = 4x2 kunnen we ook opvatten als het
beeld onder een homothetie met factor 14 vermits er geldt
y = 4x2 ⇐⇒
y
x 2
=(
).
1/4
1/4
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
61
AN I groepswerk 2 Bij dit groepswerk is de redenering op grafieken het belangrijkst.
Laat de computer de grafieken tekenen en de berekeningen uitvoeren. In principe werken
we hier t.o.v. een orthonormale basis.
1. Gegeven is de cirkel (x + 1)2 + (y − 2)2 = 9.
(a) Teken deze cirkel.
(b) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de uitrekking met
factor 52 in de richting van de x-as.
(c) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze.
(d) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de inkrimping met
factor 2 in de richting van de y-as.
(e) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze.
2. Gegeven is de functie f : y =
10
.
x2 +4
(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer.
(b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de
y-as. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening.
3. Gegeven is de functie f : y =
10x
.
x2 +4
(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer.
(b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de puntspiegeling om de oorsprong
O. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening.
4. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 15 x(x + 5) en
y = − 51 (x2 + 5x − 20) symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = 2. Controleer dat met
de computer.
5. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 51 x(x + 5) en y =
− 51 (x2 + 11x + 14) symmetrisch liggen t.o.v. het punt (−4, 1). Controleer dat met
de computer.
62
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
6. Gegeven de functie f : y = x6 − 2x3 + 1
(a) Teken met de computer de grafiek van f ;
(b) Bereken het voorschrift van het beeld g1 van f onder een verschuiving met
vector (−2, −1). Controleer de grafiek g met de computer;
(c) Teken g1 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van
gegeven transformaties. Dus niet zomaar aftekenen van de computer;
(d) Bereken het voorschrift van het beeld g2 onder een spiegeling om de rechte
x = 1/2. Controleer met de computer;
(e) Teken g2 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van
gegeven transformaties.
(f) Bereken het voorschrift van het beeld g3 onder een puntspiegeling om het punt
(1, 0). Controleer met de computer;
(g) Teken g3 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van
gegeven transformaties.
(h) Bereken het voorschrift van het beeld g4 onder een uitrekking langs de y-as
met factor 3/2 en een inkrimping langs de x-as met factor 3/2. Controleer met
de computer.
(i) Teken g4 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken van
gegeven transformaties.
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
63
64
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
7. Gegeven is de functie f : y = x1 . De grafiek van f heeft een zogenaamde verticale
asymptoot (VA) nl. de y-as en een horizontale asymptoot (HA) nl. de x-as. Een
asymptoot is zogezegd de raaklijn aan de grafiek in een punt op oneindig dit betekent
dat de afstand tussen de grafiek en de asymptoot oneindig klein wordt naarmate we
y naar oneindig gaat voor de VA en x naar oneindig gaat voor de HA.
(a) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie g die het beeld is van
de grafiek van f onder de verschuiving over de vector ~v (3, − 34 ). Los deze
vergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van g);
(b) Verschuif de verticale - en horizontale asymptoot van f en teken ze op de bijgevoegde figuur. Deze rechten zijn dan de verticale - en horizontale asymptoot
van de grafiek van g;
(c) Bepaal de vergelijkingen van deze asymptoten;
(d) Breng het voorschrift van g in een andere gedaante door de euclidische deling
uit te voeren op g(x). Hoe kan je de vergelijkingen van de asymptoten van de
grafiek van g afleiden uit dit nieuwe voorschrift van g?
(e) Maak gebruik van de verschuiving om op bijgevoegde figuur enkele punten te
tekenen van de grafiek van g en zo de grafiek van g te schetsen. Hou hierbij
rekening met de asymptoten.
(f) Bepaal nu ook het domein en het beeld van g.
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
65
66
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
8. Gegeven is de functie f : y =
3−2x
.
x−4
(a) Bepaal het domein van f en de vergelijkingen van de horizontale en verticale
asymptoten voor de grafiek van f . Maak gebruik van wat je geleerd hebt in de
vorige oefening.
(b) Teken de grafiek van f met de computer en maak gebruik van de horizontale
en verticale asymptoten om de grafiek over te tekenen op je blad.
(c) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie h die het beeld is van de
grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = 3.
(d) Teken een viertal punten van de grafiek van h door gebruik te maken van deze
spiegeling en schets de grafiek van h.
(e) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie k die het beeld is van de
grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = y. Los deze
vergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van k).
(f) Teken een viertal punten van de grafiek van k door gebruik te maken van deze
spiegeling en schets de grafiek van k.
2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN
67
68
HOOFDSTUK 2. FUNCTIES
Hoofdstuk 3
Rijen: Convergentie en Divergentie
3.1
Rekenkundige en meetkundige rijen
3.1.1
Even herhalen. . .
Verleden jaar hebben jullie reeds het begrip “reële rij” gezien. Het is in feite niets anders
dan een afbeelding u van de strikt positieve natuurlijke getallen N0 naar de reële getallen
R, waarbij we de vreemde verkorte notatie un gebruiken voor het beeld van n onder u.
Meestal laten we het adjectief “reëel” weg omdat we met geen andere dan reële rijen
zullen te maken hebben. Maar wees ervan overtuigd dat er ook andere rijen bestaan,
zoals complexe rijen, rijen van reële functies, rijen van punten van het vlak of de ruimte,
enz. . . .
1. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door bij de
voorgaande term een constante op te tellen. Deze constante v wordt het verschil
van de rekenkundige rij genoemd.
De algemene term van een rekenkundige rij is
un = u1 + (n − 1)v.
De algemene term is van de gedaante
un = an + b.
De eerste term van de rij is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl.
u1 = a + b en a is het verschil van de rekenkundige rij.
Een rekenkundige rij un = an + b is de restrictie tot N0 van de eerstegraadsfunctie
y = ax + b.
69
70
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
De grafische voorstelling van een rekenkundige rij is een rij punten gelegen op de
rechte met vergelijking y = ax + b (zie fig. 3.11 op pagina 92). Het verschil v = a is
de richtingscoëfficiënt van de rechte. De eerste term is de functiewaarde voor x = 1.
2. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door de voorgaande term met een constante te vermenigvuldigen. Deze constante q wordt de
reden van de meetkundige rij genoemd.
De algemene term van een meetkundige rij is van de gedaante
un = u1 q n−1 .
De algemene term is van de gedaante
u n = k · an .
De eerste term is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl. u1 = k · a en de
reden is het grondtal a.
Alnaargelang het teken van a en van |a| − 1, bekomen we verschillende soorten
grafische voorstellingen van de meetkundige rij (zie pagina 87, 88, 93 en 94 en ??).
De meetkundige rij un = k · an met a > 0 en a 6= 1 is de restrictie tot N0 van de
zogenaamde exponentiële functie y = k · ax .
Opmerking: Al naargelang de auteur of de context sluit men wel eens v = 0 voor rekenkundige rijen,
of u1 = 0, q = 0 of q = 1 voor meetkundige rijen uit. In deze gevallen bekomt men namelijk telkens
een constante rij un = c, voor alle n ∈ N0 . Dit uitsluiten wordt uitsluitend gedaan om sluitende en
eenvoudige formuleringen mogelijk te maken voor bepaalde stellingen. Dit geeft echter tot gevolg dat je
dan soms de stelling toepast als het niet mag omdat je er niet op let dat sommige gevallen van in den
beginne uitgesloten zijn, of omgekeerd, je een stelling in feite niet mag toepassen terwijl ze wel geldt
maar je ze niet bewezen hebt voor die gevallen. Daarom zullen wij deze beperkingen niet opleggen, maar
steeds de geldigheid van een uitspraak vooraf expliciet vermelden. Een ander voordeel van onze werkwijze
is, dat je leert om steeds de precieze voorwaarden te formuleren waaronder een stelling geldig is. Dit is
een heel belangrijk aspect van wiskunde. In feite mag je stellen dat dit één van de bestaansredenen is
van wiskunde. Anders zouden we steeds op onze intuı̈tie kunnen blijven afgaan! Maar in de tijd van
Newton — en ook deze van Einstein — liep dat soms eens verkeerd af en had men nood aan een stevig
gefundeerde en strikt wiskundige theorie die precies vertelde waar en wanneer men een bepaalde stelling
mocht toepassen!
3.2. NOTATIES EN TERMINOLOGIE
3.2
71
Notaties en terminologie
Niettegenstaande een rij dus gewoon een functie is, worden toch enkele speciale notaties
gebruikt, die historisch gegroeid zijn. Te beginnen met de rij zelf. De rij
u : N0 → R : n 7→ un
wordt kortweg genoteerd als
(un ),
indien dit mogelijk is. Inderdaad, het is soms onmogelijk een voorschrift te vinden die
alleen met symbolen kan geschreven worden. We geven een voorbeeld: de rij u waarbij
un gelijk is aan het aantal uren, naar beneden afgerond, dat Mieke slaapt op de n-de dag
na haar geboorte (waarbij de “eeuwige slaap” als werkelijk slapen wordt aanzien). Dit
lossen we dan elegant op door te zeggen: zij (un ) de rij met un gelijk aan het aantal uren
enz.. . . .
Soms, als we een expliciete rij geven, is verwarring mogelijk met een gewoon getal. Bijvoorbeeld de constante rij met algemene term un = 1 moeten we noteren als (1) of de
rekenkundige rij met algemene term un = n als (n). Dit kan soms onduidelijk zijn en dan
voegen we de index “n ∈ N0 ” toe. Dus de voorgaande voorbeelden worden (1)n∈N0 voor
de constante rij en (n)n∈N0 voor de rekenkundige rij van daarnet.
Wanneer een rij een duidelijke en eenvoudige wetmatigheid vertoont, noteert men ze soms
ook alleen door de beelden (u1 , u2 , u3 , u4 , . . .). Dit is echter een intuı̈tieve definitie en bij
voorkeur alleen te gebruiken wanneer de rij voorheen al eens precies gedefinieerd was.
Beschouw bijvoorbeeld de rij (1, 2, 3, 4, . . .). Iedere weldenkende logisch aangelegde mens
met gezond verstand zou er zeker van zijn dat hier de rekenkundige rij (n) bedoeld wordt.
Maar als je het vervolg bekijkt, moet je je mening bijsturen: (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, . . . ).
Met deze rij wordt bedoeld un = de afronding van “n, n”, dus bijvoorbeeld u5 is 5, 5
afgerond en dit is 6, of u10 is 10, 10 afgerond, wat 10 is. Dit is dus ook een eenvoudig
voorschrift, maar iets moeilijker te vinden als we slechts enkele elementen krijgen. In
intelligentietesten komen vaak zo’n vragen voor: schrijf de volgende term op van de rij
waarvan de eerste vier of vijf termen gegeven zijn. Werkelijk intelligent ben je als je een
logisch voorschrift kunt vinden die niet hetzelfde geeft als wat in feite bedoeld wordt.
Zoals we reeds weten noemt men voor een rij (un ) het element un de n-de term van de
rij of de term met rangnummer n. Dit is ook de reden waarvoor we een afbeelding
van N0 nemen en niet van N zelf. Het is echter louter een afspraak, die de taal wat
vergemakkelijkt. Het woord “term” is in feite wat misleidend, daar er nergens een som
voorhanden is en gewoonlijk is een term een stuk dat wordt geteld bij een ander stuk.
Deze terminologie komt voort uit het feit dat men met een rij een reeks kan associëren,
d.i. een rij van partiële sommen (sn ) waarvoor sn = u1 + u2 + · · · + un . In deze rij zijn
72
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
de ui ’s werkelijk termen. Wij zullen soms ook reeksen beschouwen, maar omdat we dit
niet systematisch doen, en er zeker geen deftige theorie voor opbouwen, zullen we de
terminologie van reeksen niet gebruiken, maar ze verder als rijen beschouwen.
3.3
Enkele bijzondere rijen
Buiten de rekenkundige en meetkundige rijen bestaan nog een reeks rijen die een bepaald
aanzien verworven hebben binnen de wiskunde, om uiteenliggende redenen: omdat ze
veel gebruikt worden, omdat ze bijzondere limieten hebben (zie later), of omdat ze tegenvoorbeelden opleveren voor stellingen die vaak, maar niet altijd gelden. We geven enkele
voorbeelden.
3.3.1
De harmonische rij
De harmonische rij is de rij (1/n)n∈N0 .
(un ) : 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · ·
−
Uit deze rij worden twee andere belangrijke rijen (s+
n ) en (sn ) geconstrueerd als volgt:
1
1
+
(s+
n ) : 1, 1 + , 1 +
2
| {z 2} | {z
1
1 1
1
,··· ,1 + + + ··· + ,···
3}
n}
| 2 3{z
en
1
1
(s−
+
n ) : 1, 1 − , 1 −
2
2
| {z } | {z
1 1 1
1 1 1
1
(−1)n+1
,1 − + − ,··· ,1 − + − + ··· +
,···
3} | 2 {z 3 4}
2
3
4
n
|
{z
}
Met DERIVE kunnen we de grafische voorstelling maken van deze rijen.
Om de eerste twintig termen voor te stellen, typen we:
voor de harmonische rij:
VECTOR([n, n1 ], n, 1, 20).
Pn 1 voor (s+
VECTOR([n, sum( 1i , i, 1, n)], n, 1, 20).
n) =
i=1 ( i ) :
Pn 1
i+1
voor (s−
) : VECTOR [n, sum( 1i (−1)∧ (i + 1), i, 1, n)], n, 1, 20 .
n) =
i=1 ( i (−1)
3.3.2
De rij van Fibonacci
De rij van Fibonacci (un ) wordt als volgt gedefinieerd:
u1 = u2 = 1 en un = un−1 + un−2 , voor n ≥ 3.
3.3. ENKELE BIJZONDERE RIJEN
73
Dit noemt men een inductieve definitie. De eerste termen van deze rij zijn
(un ) : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . .
Laat je echter niet vangen: het is niet omdat een rij inductief gedefinieerd wordt en ze er
inderdaad niet zo regelmatig uitziet, dat er geen expliciete definitie van bestaat. Bereken
eens bijvoorbeeld met je rekenmachine of computer enkele termen van de rij
"
√ !n
√ !n #
1+ 5
1
1− 5
)n∈N0 .
(√
−
2
2
5
De berekening van de algemene term van de rij van Fibonacci vind je achteraan het
hoofdstuk bij Wiskunde Cultuur.
De rij van Fibonacci wordt verkregen als oplossing van het volgend vraagstuk: Hoeveel
paren konijnen kunnen in één jaar uit een enkel paar konijnen worden gewonnen zo (a)
elk paar elke maand één nieuw paar gewint dat zichzelf wederom vanaf de tweede maand
begint voort te planten, en (b) geen enkel konijn sterft.
Met DERIVE kunnen we de rij van Fibonacci grafisch voorstellen. We definiëren
FIB(n) := IF(n = 1, 1, IF(n = 2, 2, FIB(n − 1) + FIB(n − 2)))
en plotten we
VECTOR([n, FIB(n)], n, 1, 20).
Zie figuur op pagina 76
Een belangrijke rij afgeleid uit de rij van Fibonacci is deze gevormd door opeenvolgende
quotiënten te vormen. Als (un ) de rij van Fibonacci voorstelt, dan vormen we de rij
1 2 3 5 8 13 21
(un /un+1 ) : 1, , , , , , , , · · ·
2 3 5 8 13 21 34
en noemen dit de gulden rij.
Plot nu met DERIVE de gulden rij. Zie figuur op pagina 101
3.3.3
Een rij van faculteiten. . .
Voor een willekeurig natuurlijk getal n definiëren we n!, gelezen als “n faculteit”, als n! =
1.2.3. . . . .n (het product van de eerste n strikt positieve natuurlijke getallen), wanneer
n 6= 0, en als 0! = 1 voor n = 0. We kunnen dan de rij (n!)n∈N0 vormen.
(n!) : 1, 2, 6, 24, 120, 720, · · ·
74
3.3.4
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Alternerende rijen
Een alternerende rij is een rij waarvan de termen afwisselend strikt positief en strikt
negatief zijn. Het schoolvoorbeeld (en aangezien we op school zijn moeten we het wel
geven) is de rij ((−1)n )n∈N0 .
(un ) : −1, 1, −1, 1, −1, · · ·
De alternerende harmonische rij is de rij ((−1)n+1 /n)n∈N0 .
1 1 1 1 1
(un ) : 1, − , , − , , − , · · ·
2 3 4 5 6
Opmerking: Zoals een rekenkundige rij een restrictie is van een eerstegraadsfunctie zo
is het omgekeerd veelal mogelijk het definitiegebied van een rij uit te breiden naar R
of R uitgezonderd enkele elementen, door gewoon hetzelfde voorschrift over te nemen.
Bijvoorbeeld de harmonische rij breidt uit naar de afbeelding
R0 → R : x 7→
1
.
x
Voor sommige andere rijen gaat dat niet, zoals voor de rij van Fibonacci, en voor nog
andere rijen zijn nieuwe definities nodig.
3.4
Begrensde en monotone rijen
Een rij (un ) is naar onder begrensd als er een reëel getal l bestaat dat kleiner is dan
elke term van de rij, m.w.s.
(un ) is naar onder begrensd ⇐⇒ ∃l ∈ R, ∀i ∈ N0 : l ≤ ui
l wordt een ondergrens van de verzameling van de termen genoemd.
De rij (un ) is naar boven begrensd als er een reëel getal g bestaat dat groter is dan
elke term van de rij, m.w.s.
(un ) is naar boven begrensd ⇐⇒ ∃g ∈ R, ∀i ∈ N0 : g ≥ ui
g wordt een bovengrens van de verzameling van de termen genoemd.
De rij (un ) wordt kortweg begrensd genoemd als ze naar onder en naar boven begrensd
is, m.a.w. als er twee reële getallen l en g bestaan waartussen alle termen van de rij
liggen, m.w.s.
(un ) is begrensd ⇐⇒ ∃l, g ∈ R, ∀i ∈ N0 : l ≤ ui ≤ g
3.4. BEGRENSDE EN MONOTONE RIJEN
75
Een rij die uitsluitend uit positieve termen bestaat, wordt een positieve rij genoemd.
Een rij (un ) wordt (strikt) stijgend genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term
(strikt) groter is dan zijn voorgaande, m.w.s.
(un ) is stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 ≥ un
(un ) is strikt stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 > un
Formuleer nu zelf de analoge definities voor dalend en strikt dalend.
(un ) is dalend ⇐⇒ · · ·
(un ) is strikt dalend ⇐⇒ · · ·
Een monotone rij is er één die ofwel dalend, ofwel stijgend is; een strikt monotone is
ofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend.
Een rij wordt een constante rij genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term gelijk
is aan zijn voorgaande, m.w.s.
(un ) is constant ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 = un
2
Voorbeeld: De rij − n20 + 2n is een monotoon dalende rij omdat vanaf rangnummer 20
elke term kleiner is dan zijn voorgaande.
OPGAVEN — 12 Onderzoek of de rij
n2
50
− 4n + 200 een monotone rij is. Ga ook het (naar boven
en/of naar boven) begrensd zijn na van de rij.
13 Onderzoek of de rij (|n − 50| + 50) een monotone rij is. Ga ook het (naar boven en/of naar boven)
begrensd zijn na van de rij.
14 Gegeven is de rij −3, −2, −1, 0, 1, 0, − 12 , − 32 , − 34 , − 45 , · · ·
Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Vertoont deze rij een regelmaat?
Zoja, vind deze regelmaat aan de hand van de grafiek (zie figuur).
76
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
13 9 9 23 23 7 7
15 Gegeven de rij 23 , 32 , 2, 2, 13
6 , 6 , 4 , 4 , 10 , 10 , 3 , 3 , · · ·
Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Probeer de regelmaat van de
rij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).
16 Welke eigenschappen heeft de rij van Mieke ? En de rij van faculteiten?
17 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de rij van Fibonacci.
Probeer de regelmaat van de rij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).
3.5. CONVERGENTE RIJEN
77
18 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de gulden rij.
3.5
3.5.1
Convergente rijen
Inleiding
We komen nu tot de essentie van deze korte theorie over rijen. We zouden namelijk willen
weten hoe een bepaalde rij verloopt als n zeer groot is. Bijvoorbeeld, we voelen aan dat
de harmonische rij naar nul nadert als n steeds maar groter wordt. De rij van Fibonacci
zal zelfs onbeperkt en onbegrensd blijven stijgen voor toenemende n. Dit “onbeperkt
toenemen van n” kunnen we ook formuleren als: n gaat naar plus oneindig.
3.5.2
Definitie van eindige limiet
Het probleem dat we willen behandelen is, gegeven een rij, te zoeken naar welk getal
U ∈ R de rij nadert (als zo’n getal bestaat). We zullen dit formuleren als: de rij heeft als
limiet U .
78
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
* De harmonische rij ( n1 )
We maken met de computer de grafische voorstelling van de rij als functie.
Met DERIVE plotten we
1
VECTOR([n, ], n, 1, 20)
n
De termen van de rij zijn de functiewaarden die we op de y-as terugvinden.
Figuur 3.1: de harmonische rij
– De harmonische rij is strikt dalend want vanaf n = 2 is elke term un kleiner
dan zijn voorgaande term un−1 ;
∀n ∈ N0 \ {1} :
1
1
<
n
n−1
– De termen van de harmonische rij zijn allemaal positief en kleiner dan 1. De
hamonische rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1.
– Heeft de rij een limiet?
We zijn geneigd om te zeggen dat deze rij “in het oneindige nul wordt”.
Waarom? Omdat de termen naarmate n groter wordt steeds dichter bij 0
komen. Toch moeten we even opletten. De termen van de harmonische rij
(1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .) komen ook altijd dichter bij bvb. het getal −1 naarmate
n groeit. Maar −1 zien we nu niet bepaald als de limiet van de harmonische
3.5. CONVERGENTE RIJEN
79
rij, wèl nul! Wat is het verschil? Wel, In het eerste geval nadert de rij wel
het getal −1, maar niet onbeperkt, d.w.z. het komt er nooit dichter tegen dan
1 eenheid. Er bestaat dus een basisomgeving van −1, nl. ] − 2, 0[ waarin geen
enkele term van de rij zit. In het tweede geval zitten in elke basisomgeving van
0 termen van de rij.
Nemen bvb. de basisomgeving van ] − 0, 15; 0, 15[. We kijken op de grafiek
welke punten in de strook tussen −0, 15 en 0, 15 zitten. We zien dat vanaf
rangnummer 7 de corresponderende punten in de beschouwde strook zitten.
Er zitten dus 6 punten buiten de strook. Dit betekent dat alle termen van de
rij in ] − 0, 15; 0, 15[ zitten op 6 termen na. We kunnen zeggen:
Voor het straaltje = 0, 15 geldt dat van zodra n ≥ 7 de afstand van de term
1
tot 0 kleiner is dan 0, 15 of | n1 − 0| < 0, 15 ⇐⇒ | n1 | < 0, 15.
n
Figuur 3.2: de harmonische rij
Nemen we nog een basisomgeving van 0 met een kleinere straal, bvb. de basisomgeving ] − 0, 0036; 0, 0036[ dan zijn er meer punten die buiten de strook van
deze omgeving vallen. Nu is het niet goed meer zo duidelijk te zien vanaf welk
rangnummer al de volgende termen in die basisomgeving ] − 0, 0036; 0, 0036[
zitten. Dus maken we een kleine berekening. We noemen m het onbekende
rangnummer. We eisen dat
|
1
1
n>0 1
− 0| < 0, 0036 ⇐⇒ < 0, 0036 ⇐⇒ n >
= 277, 8
n
n
0, 0036
80
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Vanaf rangnummer m = 278 zitten alle corresponderende punten binnen de
strook en zitten er 277 punten buiten de strook.
Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde :
1
1
n>0 1
− 0| < ⇐⇒ < ⇐⇒ n >
n
n
het rangnummer m kunnen we gelijk nemen aan een geheel getal groter dan
Uit n > m ≥ 1 volgt dan dat n1 < dus ook | n1 − 0| < .
Hieruit besluiten we dat het vinden van een m mogelijk is voor elke .
|
1
Figuur 3.3: de harmonische rij
In de basisomgeving ] − , [ met ( ∈ R+
0 ) zit steeds een term van de rij hoe
klein we het straaltje ook kiezen. Zo kunnen we zeggen: voor alle > 0
bestaat er een rangnummer m ∈ N0 waarvoor geldt dat van zodra n ≥ m de
term 1/n op een afstand ligt van 0 kleiner dan , m.w.s.,
∀ ∈ R0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |
1
− 0| < .
n
Dit betekent dat de termen van de rij naarmate n groter wordt steeds dichter
bij 0 liggen. We zeggen dat de rij nadert naar 0 of dat de limiet van de rij 0 is.
We schrijven
1
lim
=0
n→+∞ n
3.5. CONVERGENTE RIJEN
81
We kunnen de betekenis van deze limiet nog eenvoudig met woorden uitdrukken:
In een willekeurige basisomgeving van 0 zitten alle termen van de rij op een
eindig aantal na.
Dit blijkt nu een bevredigende wiskundige definitie te zijn voor wat wij als
limiet intuı̈tief aanvoelen. Waarom we nu plots alle termen vanaf um dicht
genoeg bij 0 willen, zullen straks vlak vóór stelling 3.1 uitleggen (niet te veel
ineens, hé).
n
). We geven de eerste 24 termen van deze rij
* Beschouw de rij (un ) = (1 − cos
n2
in de volgende tabel en laten vervolgens de grafische voorstelling plotten door de
computer.
0, 459 1.104 1.109
1.040 0.988 0.973
0.984
1.002
1.011 1.008 0.99996 0.9941 0.9946 0.9993 1.0033 1.0037
1.0009 0.9979 0.9972 0.9989 1.0012 1.00206 1.00100 0.999363
Figuur 3.4: de rij 1 −
cos n
n2
– Deze rij is niet alternerend en ook niet monotoon;
– Omdat geldt
n6=0
| cos n| ≤ 1 ⇐⇒
| cos n|
1
≤ 2
2
n
n
82
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
en omdat n een getal is groter dan 1 geldt
| cos n|
1
≤ 2 ≤1
2
n
n
cos n
cos n
cos n
≤
1
⇐⇒
0
≤
1
−
≤2
| 2 | ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤
n
n2
n2
Hieruit volgt dat alle termen van de rij gelegen zijn tussen 0 en 2. Deze rij is
dus begrensd.
– Heeft deze rij een limiet?
In de tabel van de rij zien we dat de termen naderen naar 1. We vermoeden dus
dat de limiet 1 is. Bepaal aan de hand van de grafiek vanaf welk rangnummer
alle punten in bvb. de volgende stroken liggen en hoeveel punten er dan buiten
liggen (Daartoe zoom je in op deze omgevingen, zie figuur 3.5). :
∗ ]1 − 0, 008; 1 + 0, 008[:
∗ ]1 − 0, 002, 1 + 0, 002[:
∗ ]1 − 0, 0008, 1 + 0, 0008[:
Figuur 3.5: de rij 1 −
cos n
n2
ingezoomd
In feite volstaat deze observatie voor de praktijk. Maar als wiskundige willen
we het nog altijd eens strikt bewijzen, om onze definitie te testen, en, om ons
te oefenen voor meer ingewikkelde en niet zo logische gevallen.
3.5. CONVERGENTE RIJEN
83
Algemeen bepalen van een rangnummer m voor een vooropgestelde :
Dus gegeven > 0 zoeken we vanaf welke term alle volgende termen van de
rij in de basisomgeving ]1 − , 1 + [ zitten. We zoeken dus een rangnummer
m ∈ N0 zó dat |un − 1| < voor alle n ≥ m.
|un − 1| = |1 −
cos n
cos n
− 1| = | 2 |
2
n
n
Er geldt:
1
cos n
|≤ 2
2
n
n
We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n ≥ m geldt
dat
1 n>0
1
1
2
√
<
⇐⇒
n
>
⇐⇒
n
>
.
n2
∀n ∈ N0 : |
We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan √1 bv. m = d √1 e.
n
Is n > m, dan is ook cos
≤ n12 < m12 ≤ . We hebben dan:
n2
cos n
|<
n2
We zien hier opnieuw dat in een willekeurige omgeving van 1 alle termen van
de rij zitten op een eindig aantal na. Onze voorspelling komt dus uit.
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |
* De meetkundige rij (un ) = (1/2n )
– De rij is strikt dalend:
– De rij is begrensd want alle termen van de rij zitten tussen 0 en 1.
– Heeft de rij een limiet?
Hier zou duidelijkerwijs 0 de limiet moeten zijn. Neem als basisomgeving van
0 met het straaltje 0,000005 en bepaal vanaf welk rangnummer je zeker bent
dat alle termen van de rij zitten in die basisomgeving (zie figuur 3.6).
Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde :
Nemen we een willekeurige dan vragen we ons af vanaf welke term van de rij
alle volgende termen in de basisomgeving van 0, nl. ] − , [ zitten.
|un − 0| = |
1
1
− 0| = | n |
n
2
2
Er geldt:
∀n ∈ N0 : |
1
1
|≤
n
2
n
84
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Figuur 3.6: de rij (un ) = (1/2n )
We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n > m geldt
dat
1
1
< ⇐⇒ n >
n
We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan 1 , bvb. m = d 1 e.
Is n > m dan is ook 21n ≤ n1 < m1 ≤ . Er geldt dus
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |
1
|<
2n
* Wij vragen ons nu af of een rij niet meer dan één limiet kan hebben.
Beschouw even de rij (un ) = ((−1)n (1 − n1 )) .
Als we enkele termen uitrekenen of de grafiek maken (zie figuur 3.7) dan zien we
vlug in dat dit een alternerende rij is waarvoor het positief stuk naar 1 gaat en het
negatief stuk naar −1. Onze intuı̈tie zegt ons dat er dus twee limieten zullen zijn.
MAAR. . . we zullen later zien dat dit een ernstig probleem zou vormen wanneer we
continuı̈teit van een reële functie zouden willen definiëren aan de hand van rijen.
Daarom mag een rij nooit meer dan één limiet hebben. Doordat we nu alle termen
vanaf um betrokken hebben in onze definitie van limiet, kunnen we bewijzen dat er
hoogstens één limiet is voor elke gegeven rij.
3.5. CONVERGENTE RIJEN
85
Figuur 3.7: de rij (un ) = ((−1)n (1 − n1 ))
STELLING 3.1 Een reële rij (un )n∈N0 bezit hoogstens één reële limiet.
Bewijs: Veronderstel dat de rij (un ) ten minste twee limieten zou bezitten, bijvoorbeeld
a ∈ R en b ∈ R (bewijs uit het ongerijmde). Daar dit twee verschillende reële getallen
zijn, is één van de twee de grootste. We mogen onderstellen dat dit a is. Aangezien a een
limiet is van (un ), geldt
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − a| < .
Aangezien b een limiet is van (un ), geldt
0
0
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − b| < .
. Voor een
Aangezien beide formules gelden voor alle > 0, nemen we eventjes = a−b
2
0
geheel getal n die groter is dan m èn groter is dan m geldt dan (en we gebruiken de
equivalente vorm):
a−
a+b
3a − b
a−b
a−b
=
< un <
=a+
2
2
2
2
b−
a−b
3b − a
a+b
a−b
=
< un <
=b+
2
2
2
2
en
en dit levert een contradictie op natuurlijk, want un kan niet tegelijk groter zijn en kleiner
zijn dan a+b
. Aldus is de stelling bewezen.
2
Vanaf nu mogen we dus spreken van de limiet van een rij (als hij bestaat tenminste).
Een rij die een reële limiet heeft noemen we vanaf nu een convergente rij, of een rij die
convergeert (naar zijn limietwaarde).
86
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Besluit: Een rij is convergent als en slechts als de limiet in +∞ van de rij een reëel
getal is. We zeggen dat de rij convergeert naar dat reëel getal. Zij (un ) een rij en U een
reëel getal. Dan zeggen we dat U de limiet is van (un ) (voor n gaande naar +∞) als
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < .
We noteren dit als limn→+∞ un in doorlopende tekst, of
lim un
n→+∞
in gecentreerde formules. Als er geen verwarring mogelijk is dan vervangen we dikwijls
“n → +∞” kortweg door “+∞” of we laten het zelfs helemaal weg.
lim+∞ un = U ⇐⇒ ∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < .
We kunnen het begrip van limiet van een rij ook met woorden formuleren:
De limiet van de rij (un ) is gelijk aan U als in een willekeurige basisomgeving van U
alle termen van de rij zitten op een eindig na.
OPGAVEN — 19 Plot de gulden rij en onderzoek de convergenie aan de hand van de grafiek. Naar
welke waarde convergeert deze rij? De exacte berekening van deze limiet wordt later gegeven als toepassing
van stellingen (pagina 101)
20 Gegeven de rij un =
Gevraagd:
3n−1
2n+3
1. de eerste 10 termen van de rij;
2. stel de rij grafisch voor;
3. is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde?
4. welke termen van de rij zitten in het interval ]1, 499; 1, 501[, welke termen zitten erbuiten en
hoeveel?
5. is de verzameling van de termen van de rij begrensd? Zoja, waarom en tussen welke waarden zijn
ze gelegen?
3.5. CONVERGENTE RIJEN
87
Nog enkele voorbeelden:
• De meetkundige rij 12( 12 )n
– Deze meetkundige rij is strikt dalend;
– Deze meetkundige rij is begrensd want alle termen van de rij liggen tussen 0
en 6.
– Zoals de rij ( 12 )n nadert ook deze rij naar 0 (het bewijs verloopt analoog).
Gemakkelijker is gebruik te maken van een rekenregel voor limieten (zie later
op pagina 114):
1
1
˙ =0
lim(12( )n ) = 12 lim( )n = (12)(0)
+∞ 2
+∞
2
Figuur 3.8: de meetkundige rij 12( 21 )n
• De constante rij (2)n∈N0
– Deze rekenkundige rij is constant en dus monotoon;
– Deze constante rij is begrensd want alle termen zijn gelijk aan 2;
– Deze rij is convergent.
lim 2 = 2
+∞
88
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
• De meetkundige rij 6(− 32 )n
– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon;
– De rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen −4 en 83 .
– Bewijs hieronder met de definitie van limiet dat lim+∞ 6(− 23 )n = 0.
Figuur 3.9: de meetkundige rij 6(− 23 )n
AN I HUISTAAK 2
1. Onderzoek de convergentie van de rijen uit de oefeningen
nrs 12, 13, 14, 15, 16, 17. Formuleren een verband tussen het begrensd zijn van een
rij en het convergent zijn van een rij?
2. Gegeven de rij un =
Gevraagd:
√
1− n
√
1+ n
(a) is de rij monotoon, begrensd (naar boven en/of naar onder?
(b) bereken de eerste 20 termen van de rij en maak met de computer een grafische
voorstelling;
(c) is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde?
(d) welke termen van de rij zitten in het interval ] − 1, 25; −0, 75[, welke termen
zitten erbuiten en hoeveel? Maak zeker een berekening om dit aan te tonen.
3.6. DIVERGENTE RIJEN
3.6
89
Divergente rijen
We beschouwen nu rijen die niet convergent zijn en we gaan na of we ook over deze rijen
iets zinvols kunnen vertellen.
3.6.1
+∞ en −∞
Dit zijn symbolen die geen reële getallen zijn en die we nog wiskundig moeten definiëren.
Definitie van +∞ en −∞. Het symbool +∞ is per definitie een object dat strikt groter
is dan elk reëel getal. Het symbool −∞ is een object dat strikt kleiner is dan elk reëel
getal.
Dus de symbolen +∞ en −∞ zijn geen getallen. We hebben deze symbolen al gebruikt
om verzamelingen van reële getallen voor te stellen.
+∞ en −∞ zijn alleen symbolische hulpmiddelen om wiskundig uit te kunnen drukken
dat iets onbegrensd groot wordt. Daar zullen van gebruik maken voor de definitie van
divergente rijen.
3.6.2
Definitie
Beschouwen we de rij (n2 )n∈N0 . Deze rij is niet begrensd naar boven, maar wel naar beneden, d.w.z. de verzameling der termen heeft geen bovengrens, maar wel een benedengrens,
meer nog, deze rij wordt onbegrensd groter en groter. Nemen we bijvoorbeeld een groot
getal M = 9500 dan is elke term met rangnummer groter dan 100 groter dan 10000 en
dus ook groter dan 9500. We kunnen 100 kiezen voor m√maar ook een kleinere waarde
nl. een getal niet kleiner dan het geheel getal groter dan 9500 = 97, 5 dus 98.
Algemeen bepalen van een rangnummer m behorende bij een M : we nemen een willekeurig groot positief getal M en vragen ons af vanaf welke term van de rij alle volgende
termen groter zijn dan M .
√
n>0
n2 > M ⇐⇒ n > M .
√
Neem in ons geval namelijk m = d M e.
Is n > m dan is ook n2 > m2 ≥ M . Er geldt dus
2
∀M ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ n > M
In dit geval zeggen we dat de rij divergeert naar +∞ en we noteren:
lim n2 = +∞
n→+∞
90
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
en noemen +∞ de limiet van de rij.
We definiëren algemeen:
lim+∞ un = +∞ ⇐⇒ ∀M ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un > M.
Wordt een rij (un ) onbegrensd kleiner (onbegrensd groter in absolute waarde).
Wiskundig kunnen we dat als volgt uitdrukken: voor alle positieve grote getallen M
bestaat er een rangnummer m zó dat voor de termen met een rangnummer groter dan m
geldt dat ze kleiner zijn dan −M . We zeggen dat de rij (un ) divergeert naar −∞
We noteren
lim un = −∞.
n→+∞
We noemen −∞ de limiet van de rij (un ). We definiëren algemeen:
lim+∞ un = −∞ ⇐⇒ ∀M ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un < −M.
De symbolen +∞ en −∞ voldoen dus aan
−∞ < r < +∞, ∀r ∈ R.
In principe kunnen we vanaf nu +∞ en −∞ gebruiken om intervallen af te bakenen. Dit
is wat we vroeger reeds deden. Bijvoorbeeld, het interval ] − ∞, 0] is de verzameling van
alle negatieve getallen (inclusief 0).
STELLING 3.2 De limietwaarde van een divergente rij is uniek.
Voorbeelden van divergente rijen:
• De rekenkundige rij (−4 + 34 n)
– Deze rekenkundige rij is strikt stijgend;
– Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar onder begrensd
want alle termen van de rij zijn groter dan − 13
.
4
– De termen van deze rij worden steeds groter naarmate n groter wordt. De rij
divergent naar +∞. Vanaf welk rangnummer is een term van de rij groter dan
een zeer grote waarde M ∈ R+ ?
3
4(M + 4)
−4 + n > M ⇐⇒ n >
4
3
We nemen m = d 4(M3+4) e.
Uit n > m volgt dan dat n > m >
4(M +4)
3
en dus −4 + 34 n > M .
3
lim(−4 + n) = +∞
+∞
4
3.6. DIVERGENTE RIJEN
91
• De rekenkundige rij (3 − 2n)
– Deze rekenkundige rij is strikt dalend;
– Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar boven begrensd
want alle getallen van de rij zijn kleiner dan 3.
– De termen van deze rij worden steeds kleiner (groter in absolute waarde) naarmate n groter wordt. De rij divergent naar −∞. Vanaf welk rangnummer is
een term van de rij kleiner dan een zeer kleine waarde −M ∈ R− ?
3 − 2n < −M ⇐⇒ n >
We nemen m = d M2+3 e.
Uit n > m volgt dan dat n > m >
M +3
2
M +3
2
en dus 3 − 2n < −M .
lim(3 − 2n) = −∞
+∞
Figuur 3.10: de rekenkundige rijen (−4 + 43 n) en (3 − 2n)
92
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
• De rekenkundige rij ( 15
− 38 n)
8
Onderzoek hier het monotoon-zijn, begrensd-zijn en de divergentie.
– Deze rekenkundige rij is · · ·
– Deze rekenkundige rij is · · ·
– Deze rekenkundige rij is · · ·
Figuur 3.11: rekenkundige rij ( 15
− 38 n)
8
3.6. DIVERGENTE RIJEN
• De meetkundige rij
1 n
3
12
93
– Deze meetkundige rij is strikt stijgend;
– Deze meetkundige rij is niet begrensd. Maar ze is naar onder begrensd want
alle termen van de rij zijn groter dan 14 .
– Neem een groot getal M en zoek een rangnummer m van een term die zeker
groter is dan M en ook al de daaropvolgende termen.
Schrijf de limiet op van de rij:
Figuur 3.12: de meetkundige rij
1 n
3
12
94
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
3.7
Onbesliste rijen
Is elke rij ofwel convergent, ofwel divergent? Neen, natuurlijk niet. Neem bijvoorbeeld de
rij ((−1)n )n∈N0 . Wegens Stelling 3.8 is dit geen divergente rij, maar wegens Stelling 3.10
is ze ook niet convergent! Zulke rij noemen we een onbesliste rij.
Voorbeelden:
• De meetkundige rij
− 19 (− 23 )n
– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon;
– Deze meetkundige rij is niet naar boven begrensd en ook niet naar onder. De
rij is dus niet begrensd.
Figuur 3.13: de meetkundige rijen
n
• De meetkundige rij (−1)
− 19 (− 32 )n en (−1)n
– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon;
– Deze meetkundige rij is naar boven begrensd door alle getallen die groter zijn
dan of gelijk aan 1 en naar onder begrensd door alle getallen kleiner dan of
gelijk aan −1. De rij is dus begrensd.
3.8. BESLUIT VOOR DE CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE VAN REKENKUNDIGE EN MEETK
3.8
Besluit voor de convergentie en divergentie van
rekenkundige en meetkundige rijen
Uit de voorbeelden van rekenkundige en meetkundige rijen kunnen we de volgende besluiten trekken. Voor het bewijs verwijzen we naar pagina 3.15.3 na de rekenregels voor
limieten.
• Een niet-constante rekenkundige rij is nooit begrensd en is strikt dalend als het
verschil kleiner is dan nul en strikt stijgend als het verschil groter is dan nul
• Voor een meetkundige rij maken we een tabel met het gedrag al naar gelang de
eerste term en de reden. In geval van convergentie is de limiet van de meetkundige
rij gelijk aan 0 tenzij de rij constant is dan is de limiet gelijk aan de constante
waarde.
q < −1
Alt.
Nt. Begr.
onbeslist
u1 < 0
Alt.
Nt. Begr.
onbeslist
q
u1 > 0
3.9
q = −1 −1 < q < 0 q = 0 0 < q < 1 q = 1
q>1
Alt.
Alt.
Const.
Dalend
Const. Stijgend
Begr.
Begr.
Begr.
Begr.
Begr. Nt. Begr.
onb.
conv.
conv.
conv.
conv. divergent
Alt.
Alt.
Const. Stijgend Const. Dalend
Begr.
Begr.
Begr.
Begr.
Begr. Nt. Begr.
onb.
conv.
conv.
conv.
conv. divergent
Speciale bovengrenzen en ondergrenzen
Bij rijen die bvb. naar boven begrensd zijn, merken we op dat een bovengrens eventueel een
term is van de rij of dat geen enkele bovengrens een term van de rij is. Om een onderscheid
te maken tussen die verschillende soorten bovengrenzen (en ook ondergrenzen) definiëren
we de begrippen van supremum (infimum) en maximum (minimum) van een verzameling
reële getallen.
Is D een deelverzameling van R dan is d ∈ R supremum (infimum) van D als en
slechts als d de kleinste bovengrens (grootste ondergrens) van D is.
Notatie: sup A, inf A.
Als een deelverzameling D een supremum (infimum) d bezit dan kunnen we twee gevallen
onderscheiden:
1. ofwel is d een element van D en dan is d het grootste (kleinste) element van D of
het maximum (minimum) van D.
96
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
2. ofwel is d geen element van D. Toch ligt d oneindig dicht tegen D vermits er geen
enkele bovengrens (ondergrens) kleiner (groter) is dan d. Zo een element zullen we
later ook een plakpunt van een verzameling noemen.
Merk op dat supremum en infimum en dus ook maximum en minimum reële getallen zijn.
OPGAVEN — 21 Zoek rijen waarvan de verzameling van de termen een supremum, infimum, maximum of minimum bezit.
3.9.1
Eigenschappen van begrensde verzamelingen
STELLING 3.3 Heeft een deelverzameling van R een supremum (infimum) dan is dat
enig.
STELLING 3.4 Elke niet-ledige deelverzameling van reële getallen die naar boven (onder) begrensd is heeft een supremum (infimum) in R.
Dit volgt uit de eigenschappen van reële getallen.
Omdat in het geordend veld R, +, ., ≤ deze laatste eigenschap geldig is wordt R, +, ., ≤
het compleet totaal geordend veld genoemd.
Voor Q, +, ., ≤ geldt dit niet. We kunnen dit illustreren met het voorbeeld
√
{x ∈ Q : 0 < x < 2} ⊂ Q
is een verzameling van rationale getallen die naar boven begrensd is in de verzameling van
de rationale getallen. In Q heeft deze deelverzameling geen supremum. De verzameling
√
van de bovengrenzen in Q is de verzameling van de rationale getallen groter dan 2 en
deze verzameling heeft als deelverzameling van Q geen rationaal minimum in Q.
GEVOLG 3.1 Elke niet-ledige verzameling van gehele getallen die naar boven (onder)
begrensd is heeft een maximum (minimum).
√
√
Voorbeeld: De verzameling {x ∈ Z : 0 < x ≤ 10} is naar boven begrensd door bvb. 10
en bezit dus een supremum. Het supremum is hier het maximum van de verzameling nl.
3.
GEVOLG 3.2 Elke niet-ledige verzameling van positieve (negatieve) reële getallen heeft
steeds een positief infimum (negatief supremum) in R.
Met positief bedoelen we groter dan of gelijk aan nul, anders zeggen we strikt positief.
3.10. EIGENSCHAPPEN VAN CONVERGENTE/DIVERGENTE RIJEN
3.10
97
Eigenschappen van convergente/divergente rijen
We vragen ons nu af hoe we in hemelsnaam de limiet van een convergente rij berekenen. En hoe weten
we of een rij al dan niet convergent is?
We kunnen deze vragen niet algemeen oplossen. Bijna elke rij moet afzonderlijk onderzocht worden. Er
zijn wel enkele hulpmiddelen die we kunnen aanwenden.
Vooreerst is er een nodige voorwaarde voor het convergent zijn, namelijk begrensd zijn. Dus onbegrensde
rijen kunnen nooit convergeren.
Verder zullen we zien dat stijgende rijen begrensd kunnen zijn en bijgevolg convergent.
Dat kan voor jou logisch lijken, maar dit is het niet altijd geweest! Vroeger dacht men namelijk dat iets
wat steeds groter wordt automatisch onbegrensd is. Een voorbeeld daarvan is het verhaal van de haas en
de schildpad. Zij gingen om ter snelst een afstand van 1000 meter lopen. Maar aangezien de haas toch
tien keer sneller liep dan de schildpad, kreeg deze laatste 100 meter voorsprong. Toen de haas 100 meter
afgelegd had, had de schildpad dus nog altijd tien meter voorsprong. Toen de haas ook deze 10 meter
afgelegd had, was de schildpad alweer 1 meter verdergesukkeld; toen de haas déze meter overbrugd had,
was de schildpad nog 10 centimeter verder, enzovoort. We zien dus dat de afgelegde weg van de haas
een strikt stijgende rij vormt, en als je nu aanneemt dat zo’n rij automatisch onbegrensd is, dan komt de
haas na 1 kilometer nog steeds achter de schildpad. Dit is één van de Oud-Griekse paradoxen. De rij van
de haas 100; 110; 111; 111, 1; 111, 11; · · · is een meetkundige reeks met reden 0, 1, dit is de rij der partiële
sommen van de meetkundige rij 100; 10; 1; 0; 1; 0, 1; 0, 01 · · · .
STELLING 3.5 Een convergente rij is begrensd.
Bewijs: Zij (un ) een convergente rij met limiet U ∈ R. Er geldt:
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n ≥ m ⇒ |un − U | < .
Alle termen van de rij zitten in de basisomgeving van U met straal op een eindig
aantal na. De eindige verzameling termen {u1 , u2 , . . . , um−1 } heeft een maximum g en een
minimum l. Dus alle termen van de rij (un ) zijn kleiner dan of gelijk aan g of U + en
groter dan of gelijk aan l of U − . De rij (un ) is dus begrensd.
en 5n+7
.
We passen het bewijs van de stelling toe op 3 rijen, 1 − (−1)n n1 , − 3n+2
2n
n+1
Kies voor elk van de voorbeelden een en duid op de figuren 3.14, 3.15 en 3.16 de getallen
l, g, U − of U + aan.
Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Het is mogelijk dat een nietconvergente rij tevens begrensd is. Neem bvb. de alternerende rij ((−1)n ), die begrensd
is en onbeslist.
98
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Figuur 3.14: de rij 1 − (−1)n n1
Figuur 3.15: de rij
Figuur 3.16: de rij
−
3n+2
2n
5n+7
n+1
3.11. CRITERIA VOOR CONVERGENTE RIJEN
99
STELLING 3.6 Als een rij niet begrensd is dan is ze niet convergent.
Deze stelling is de contrapositie van stelling 3.5.
Zoals voor convergente rijen hebben we voor divergente rijen ook enkele eigenschappen
waarvan de bewijzen parallel verlopen met deze voor convergente rijen. We kunnen ze
dus weglaten.
STELLING 3.7 Een divergente rij is niet begrensd.
Opmerking: Het omgekeerde van de stelling geldt niet. Er zijn rijen die niet begrensd
zijn en toch niet divergent zijn.
STELLING 3.8 Een alternerende rij is nooit divergent.
OPGAVEN — 22 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden
1. de rijen die niet convergent zijn maar toch begrensd;
2. de rijen die niet begrensd zijn en divergent;
3. de rijen die niet begrensd zijn en onbeslist.
3.11
Criteria voor convergente rijen
De rij (1 − 21n ) is een strikt stijgende rij want we trekken van 1 steeds maar een kleiner
getal af. De rij is tevens begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1. Juist omdat
deze stijgende rij begrensd is, is ze convergent. Dit gaan we bewijzen.
STELLING 3.9 Elke stijgende (dalende) begrensde rij is convergent.
De limiet is het supremum (infimum) van de verzameling van de termen van de rij.
Bewijs:
We bewijzen dit voor bijvoorbeeld een stijgende rij.
We tonen aan als een stijgende rij begrensd is dan is ze convergent.
Onderstel dus dat de stijgende rij (un ) begrensd is. Dan heeft de verzameling A = {un :
n ∈ N0 } een supremum U ∈ R. Nemen we nu een willekeurige basisomgeving van U , nl.
]U − , U + [. In deze omgeving zit er minstens één term van de rij, want anders zou
U − een kleinere bovengrens zijn van A en dit is in strijd met het feit dat U de kleinste
100
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
bovengrens is. Dat betekent dat er, voor elke gegeven > 0, er steeds een element m ∈ N0
bestaat waarvoor U − < um ≤ U . Maar voor elk natuurlijk getal n ≥ m geldt dan ook
U − < um ≤ un ≤ U < U + ,
vermits de rij stijgend is.
∀ ∈ R+
0 , ∃m ∈ N0 : n > m ⇒ |un − U | < Hieruit besluiten we dat U de limiet is van (un ).
Een analoog bewijs geldt voor dalende rijen.
OPGAVEN — 23 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden van rijen de rijen die monotoon zijn en begrensd.
Een alternerende rij kan convergent zijn maar dan moet ze aan bijzondere voorwaarden
voldoen. Dit formuleren we in de volgende stelling:
STELLING 3.10 Een alternerende rij (un ) convergeert als en slechts als de rijen
(u2n )n∈N0 en (u2n−1 )n∈N0 van respectievelijk de even genummerde termen en oneven genummerde termen beiden convergeren naar 0. In dit geval is de limiet van de oorspronkelijke rij (un ) ook 0.
OPGAVEN — 24 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden de rijen die alternerend zijn en tevens convergent zijn.
Een rij kan ook termgewijs begrensd zijn door een andere rij. In deze situatie kunnen we
iets algemeen zeggen over de convergentie van een rij:
STELLING 3.11 (De gedomineerde convergentie/divergentie stelling) Zijn (un )
en (vn ) twee convergente/divergente rijen, en geldt dat un < vn (respectievelijk un ≤ vn ),
dan geldt:
lim un ≤ lim vn .
+∞
+∞
We geven het bewijs in het geval dat de twee rijen convergent zijn.
Bewijs: Inderdaad, indien V < U , met V de limiet van (vn ) en U deze van (un ), dan
kiezen, en bestaan er dus natuurlijke getallen m1 en m2
kunnen we gelijk aan U −V
2
waarvoor
U −V
n > m1 =⇒ |un − U | <
2
3.12. TWEE MERKWAARDIGE LIMIETEN
en
n > m2 =⇒ |vn − V | <
101
U −V
2
Van zodra n ≥max{m1 , m2 } = m geldt
U−
U −V
U −V
U +V
3U − V
< un < U +
⇐⇒
< un <
2
2
2
2
V −
U −V
3V − U
U +V
U −V
< vn < V +
⇐⇒
< vn <
2
2
2
2
en
Dit impliceert echter vn <
U +V
2
< un =⇒ vm < um van zodra n ≥ m, een strijdigheid. STELLING 3.12 (De Sandwich Regel) Zijn (un ), (vn ) en (wn ) drie rijen waarvoor
geldt un ≤ vn ≤ wn , en zijn (un ) en (wn ) convergent/divergent met gemeenschappelijke
limiet r ∈ R ∪ {+∞, −∞}, dan is ook (vn ) convergent/divergent en haar limiet is ook
gelijk aan r.
Bewijs: Ook dit bewijs (in geval (un ) en (wn ) convergent zijn) is niet zo moeilijk en is een
beetje in dezelfde stijl als het voorgaande. Alleen hoef je nu geen contrapositie te doen.
Probeer het zelf eens!
3.12
Twee merkwaardige limieten
De gulden rij.
We geven nu twee toepassingen op de voorgaande stellingen. Eerst de gulden rij (un /un+1 ),
waarbij (un ) de rij van Fibonacci voorstelt. De even termen (u2n /u2n+1 ) vormen een
stijgende rij (dit kan men inductief bewijzen, we laten het bewijs weg) en de oneven
termen (u2n−1 /u2n ) vormen een dalende rij. Beide rijen zijn begrensd want alle termen
liggen tussen 0 en 1. Deze rijen convergeren dus. Zij leven de limiet van de even termenrij
en loneven de limiet van de oneven termenrij. Er geldt:
u2n
1
u2n
.
=
=
u2n+1
u2n + u2n−1
1 + uu2n−1
2n
Nemen we van beide leden de limiet (als we die leden opvatten als de even termen rij),
dan bekomen we
1
leven =
1 + loneven
102
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
en analoog hebben we ook
loneven =
Aldus is
1
.
1 + leven
loneven + leven loneven = 1
,
leven + loneven leven = 1
def
waaruit we vinden leven = loneven = l. Vullen we dat in in bovenstaande gelijkheden,
dan bekomen we l2 + l − 1 = 0, dus
√
−1 ± 5
.
l=
2
Aangezien de limiet positief moet
zijn (als het supremum van een stijgende positieve
√
5−1
verzameling
reële getallen) is l = 2 , één van de twee gulden snede getallen, de andere
√
5+1
is − 2 .
Het getal e.
Beschouw de rij (un ) = 1 + n1 )n . Men kan bewijzen dat deze rij strikt stijgend is (met
behulp van het binomium van Newton; zie later) en naar boven begrensd door het getal
3 bijvoorbeeld. Deze rij convergeert dus. We zullen de limiet voorstellen door de letter e.
Dus vanaf nu is de letter e als wiskundig symbool dit bepaalde getal en mogen we e niet
meer gebruiken om een variabel getal, een parameter of een onbekende te benoemen.
lim(1 +
+∞
1 n
) = e = 2, 718281828459 · · · .
n
Figuur 3.17: het getal e
3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN
103
3.13
Ophopingspunten, geı̈soleerde punten en plakpunten
3.13.1
Definities
Als toepassing op de convergente en divergente rijen zullen we nu een stukje reële topologie zien. Echter
alleen de grondbegrippen die we later nog nodig zullen hebben bij limietonderzoek en continuı̈teit.
We hebben gezien dat een monotone rij die begrensd is convergent is. De limiet van zo een rij is dan
supremum of infimum van de verzameling van de termen van de rij. Er kunnen echter nog andere speciale
punten zijn voor de verzameling van de termen van een rij. Bijvoorbeeld, een niet convergente rij waarvan
de rij van de even termen nadert naar een bepaalde waarde en de rij van de oneven termen naar een
andere waarde. Deze punten spelen in zeker opzicht dezelfde rol als de limiet van een convergente rij.
Vandaar dat we zo punten wiskundig willen definiëren. Deze punten zullen we ophopingspunten noemen.
We definiëren echter eerst het begrip geı̈soleerd punt.
Zij D een deelverzameling van R.
Een element van D is een geı̈soleerd punt van D als en slechts er geen enkele rij bestaat
met termen in D \ {d} die convergeert naar d.
Een element d ∈ R ∪ {+∞, −∞} is een ophopingspunt van D als en slechts als er een rij
bestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeert of divergeert naar
d en d mag geen geı̈soleerd punt zijn van D.
Een plakpunt van D is een ophopingspunt dat geen element is van D. Een plakpunt kan
dus niet geı̈soleerd zijn.
Een element d ∈ R ∪ {+∞} is een linkerophopingspunt van D als en slechts als er een
strikt stijgende rij bestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeert
of divergeert naar d (dus d is “van links bereikbaar”).
Geef nu zelf de analoge definitie voor een rechterophopingspunt.
104
3.13.2
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Eigenschappen
We bewijzen de volgende stellingen.
STELLING 3.13 Heeft D een supremum in R dat geen maximum is dan is dat supremum een plakpunt van D. Eenzelfde bewering geldt voor infimum en minimum uiteraard.
Bewijs: Zij d het supremum van D. We construeren als volgt een rij (un ). Daar d de
kleinste bovengrens is van D, bestaat er zeker nog een element van D groter dan of gelijk
aan d − n1 , voor alle n ∈ N. Kies zo een getal en stel het gelijk aan un . De aldus gevormde
rij convergeert naar d want elke ∈ R+ is groter dan een zekere m1 , m ∈ N en alle termen
van (un ) vanaf um liggen per definitie tussen d − m1 en d, en dus ook tussen d − en d + .
Voorbeeld: We passen de constructie van een convergente rij, in het voorgaande bewijs,
toe op de verzameling
1
D = {(−1)n (1 − ) : n ∈ N0 }.
n
1 3 3 5 5
Zo verkrijgen we de rij van termen in D: 0, 2 , 4 , 4 , 6 , 6 , · · · . We kunnen van deze laatste
rij een strikt stijgende deelrij nemen die tevens convergeert naar 1.
Een soort omgekeerde van deze stelling is de volgende de stelling:
STELLING 3.14 Is d een ophopingspunt van D, en is d terzelfdertijd een bovengrens,
dan is d het supremum van D. Eenzelfde eigenschap geldt voor infimum en ondergrens.
Bewijs: Stel dat d0 een kleinere bovengrens is dan d voor D. Zij (un ) een rij met termen
in D die convergeert naar d. Wegens de definitie van limiet moeten er termen van (un )
gelegen zijn tussen d − en d, voor alle ∈ R. Neem nu even = d − d0 , dan zouden
er termen van (un ) moeten gelegen zijn tussen d0 en d, strijdig met het feit dat d0 een
bovengrens is. Dit bewijst de stelling.
Tenslotte een stelling die het verband legt met convergente en divergente rijen en waarvan
het bewijs onmiddellijk uit de definities volgt (vandaar dat we het weglaten).
STELLING 3.15 De limiet van een niet-constante convergente rij of divergente rij is
een ophopingspunt van de verzameling van haar termen. De limiet van een constante rij
is een ge”ısoleerd punt van de verzameling van haar termen.
Merk op dat in tegenstelling met supremum en infimum van een verzameling een ophopingspunt niet noodzakelijk een reëel getal moet zijn. Een ophopingspunt kan eventueel
+∞ of −∞ zijn.
3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN
105
In de volgende voorbeelden gaan we van de gegeven deelverzamelingen alle speciale punten
opsporen.
Voorbeelden:
• D = {(−1)n (1 − n1 ) : n ∈ N0 }
Ophopingspunten : Het element 1 is een ophopingspunt van D want de rij waarvan
de termen elementen zijn van D voor n even convergeert naar 1, nl. 21 , 43 , 56 , · · · .
Het element −1 is tevens een ophopingspunt van D want de rij waarvan de termen
elementen zijn van D voor n oneven convergeert naar −1, nl. 0, − 23 , − 45 , − 67 , · · · .
Linkerophopingspunt : 1 is enkel van links bereikbaar dus 1 is een linkerophopingspunt maar is geen rechterophopingspunt.
Rechterophopingspunt : −1 is een rechterophopingspunt maar geen linkerophopingspunt.
Plakpunten Omdat het ophopingspunt 1 niet tot D behoort is het een plakpunt
van D. Ook −1 is een plakpunt van D.
Geı̈soleerde punten : Alle elementen van D zelf zijn geı̈soleerde punten van D.
Neem bvb. 21 dan bestaat er geen enkele rij met elementen in D \ { 21 } die convergeert naar 12 .
Supremum 1 is een ophopingspunt en tegelijk een bovengrens dus is 1 het supremum dat geen maximum is.
Infimum −1 is een ophopingspunt en tegelijk een ondergrens dus −1 is het infimum
dat geen minimum is.
• D = { n1 : n ∈ N0 }
Ophopingspunten : Het element 0 is een ophopingspunt van D want 0 is de limiet
van de niet-constante rij ( n1 ) waarvan alle termen elementen zijn van D.
Rechterophopingspunt : De rij ( n1 ) is een strikt dalende rij die convergeert naar 0.
0 is dus een rechterophopingspunt van D.
Plakpunten : 0 is een ophopingspunt dat niet tot D behoort dus is 0 een plakpunt.
Geı̈soleerd punten : Alle punten van D zijn geı̈soleerde punten van D.
Supremum : 1 is een bovengrens die element is van de verzameling. Dus is 1 het
maximum van D.
Infimum : 0 is een ophopingspunt dat tevens een ondergrens is van D. Dus 0 is het
infimum en geen minimum omdat het niet tot D behoort.
n
• D = {1 − cos
: n ∈ N0 }.
n2
Ophopingspunten : 1 is een ophopingspunt van D want 1 is de limiet van de nietn
constante convergente rij (1 − cos
) waarvan de termen elementen zijn van D.
n2
Rechterophopuntspunt : 1 is een rechterophopingspunt van D want er bestaat een
106
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
strikt dalende deelrij van (1 −
cos n
)
n2
die convergeert naar 1, bvb. de deelrij
u2 , u4 , u8 , u17 , u27 , · · · = 1, 104; 1, 041; 1, 002; 1, 00095; 1, 0004; · · ·
Linkerophopingspunt : Toon hier nu zelf aan dat 1 tevens een linkerophopingspunt
van D is.
Plakpunten : 1 is een plakpunt van D.
Geı̈soleerde punten : Alle elementen van D zijn geı̈soleerde punten.
• D =] − 1, 3] ∪ {5}
Ophopingspunten : Alle punten van [−1, 3] zijn ophopingspunten van D. Voor −1
bestaat er een strikt dalende rij bvb. de rij (−1 + n1 ) die convergeert naar −1 en
waarvan de termen elementen zijn van ] − 1, 0] ⊂ D.
Rechterophopingspunten: Alle punten van [−1, 3[ zijn rechterophopingspunten.
Linkerophopingspunten : Alle elementen van ] − 1, 3] zijn linkerophopingspunt van
D.
Plakpunten : −1 is een plakpunt.
Geı̈soleerd punten : Het punt 5 is een geı̈soleerd punt van D want geen enkele rij
met termen in ] − 1, 3] convergeert naar 5.
Supremum : 5 is het maximum van D.
Infimum : −1 is het infimum.
• N
Ophopingpunten : +∞ is een ophopingspunt van N.
Linkerophopingspunten: +∞ is een linkerophopingspunt van N omdat er een rij
bestaat met elementen in N nl. de rij (n)n∈N0 die divergeert naar +∞.
Plakpunten : +∞ is een plakpunt van N.
Geı̈soleerde punten : Alle elementen van N zijn geı̈soleerde punten van N.
Supremum : N heeft geen bovengrenzen dus ook geen supremum.
Infimum : N heeft een minimum , nl. 0.
• Q
Ophopingspunten : Alle elementen van R zijn ophopingspunten van Q. Er bestaat
altijd een rij van rationale getallen die convergeert naar een irrationaal getal.
+∞ is een ophopingspunt van Q want er bestaat een rij van rationale getallen die
3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN
107
divergeert naar +∞. Zo is −∞ tevens een ophopingspunt van Q.
Linkerophopingspunt: Alle elementen van R ∪ {+∞} zijn linkerophopingspunten
van Q. +∞ is linkerophopingspunt want we kunnen zeker een strikt stijgende rij
vinden van rationale getallen die divergeert naar +∞.
rechterophopingspunt : Alle elementen van R ∪ {−∞} zijn rechterophopingspunten
van Q. −∞ is een rechterophopingspunt van Q want we kunnen zeker een strikt
dalende rij vinden van rationale getallen die divergeert naar −∞.
Plakpunten : Alle irrationale getallen zijn ophopingspunten die niet tot de verzameling behoren en dus plakpunten van Q, alsook +∞ en −∞ zijn plakpunten.
Geı̈soleerde punten : er zijn geen geı̈soleerde punten in Q.
Supremum : Q heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum.
Infimum : Q heeft geen ondergrenzen dus ook geen infimum.
• D = {(x − 5)(x + 9) : x ∈ R}
Deze verzameling is de verzameling van de beelden van de functie y = (x−5)(x+9).
Deze functie stelt een parabool voor en bereikt een kleinste waarde voor x = 5−9
=
2
−2, di. de x-waarde van de top van de parabool. De y-waarde van de top is de
kleinste waarde nl. −49.
D = {(x − 5)(x + 9) : x ∈ R} = [−49, +∞[
Ophopingspunten : Alle punten van [−49, +∞] zijn ophopingspunten van D.
Rechterophopingspunten : Alle punten van [−49, +∞[ zijn rechterophopingspunten
van D.
Linkerophopingspunten : Alle punten van ] − 49, +∞] zijn linkerophopingspunten
van D.
Plakpunten : +∞ is een plakpunt van D.
Geı̈soleerde punten : er zijn geen geı̈soleerde punten in D.
Supremum : D heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum.
infimum : D heeft −49 als minimum.
108
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
AN I groepswerk 3
1. Gegeven is de verzameling D = {3 −
1
n
: n ∈ N0 }.
(a) Geef enkele bovengrenzen van D;
(b) 3 een speciale bovengrens van D want ze is de kleinste bovengrens. Die bovengrens noemen we het supremum van D;
(c) Voor 3 bestaat er een niet constante rij met termen in D die convergeert naar
3. Dit is de rij (un ) : · · ·
(d) Omdat er een niet-constante rij voor 3 bestaat, noemen we 3 een ophopingspunt
van D;
(e) Omdat (un ) een strikt stijgende rij is, is 3 een linkerophopingspunt van D
(we naderen in D naar 3 van aan de linkerkant);
(f) Zoek in de cursus een stelling die het verband legt tussen ophopingspunt en
supremum van een verzameling. Formuleer ze.
(g) D is de verzameling van termen van een rij! Zoek in de cursus een stelling
die het verband legt tussen de limiet van een rij en ophopingspunt van de
verzameling van de termen van de rij. Formuleer ze.
(h) Geef enkele ondergrenzen van D;
(i) 2 is een speciale ondergrens van D omdat 2 de grootste ondergrens is. Die
ondergrens noemen we het infimum van D;
(j) Omdat 2 tevens het kleinste element is van D noemen we 2 ook het minimum
van D;
(k) Voor 2 bestaat ook een rij met termen in D die convergeert naar 2, nl. de
constante rij 2, 2, · · · ;
(l) Omdat er voor 2 geen andere rij bestaat met termen die elementen zijn van D
dan enkel een constante rij , wordt 2 een geı̈soleerd punt van D genoemd;
(m) Zijn er nog andere geı̈soleerde punten in D?
(n) Geef de verzameling van alle geı̈soleerde punten van D:
(o) Zijn er nog andere ophopingspunten buiten 3 in D?
(p) D als verzameling van termen van een rij is een begrende verzameling. Zoek in
de cursus twee stellingen die een verband leggen tussen convergentie van een
rij en het begrensd zijn van de rij. Formuleer de twee stellingen.
3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN
109
2. Gegeven is de verzameling D = {(−1)n+1 (5 + n1 ) : n ∈ N0 }
(a) Zoek de eventuele ophopingspunten (linker en/of rechter) en geı̈soleerde punten
van D;
(b) Heeft D een supremum en/of een infimum?
(c) Formuleer nog eens het verband tussen ophopingspunt, supremum en infimum?
(d) D is de verzameling van de termen van een rij. Is de rij begrensd? Is de rij
convergent? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig? Formuleer de
stelling.
(e) Is een ophopingspunt van de verzameling van de termen van een rij steeds de
limiet van de rij? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig?
3. Gegeven is de verzameling D = {−1, 1}
(a) Zoek de eventuele ophopingspunten en geı̈soleerde punten van D;
(b) Het supremum 1 van D is tevens het grootste element van D. We noemen 1
het maximum van D;
(c) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij ((−1)n )n∈N0 .
Is de rij begrensd? Is de rij convergent?
(d) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij −1, ; −1, ; −1, ; −1, 1, 1, 1
Waarom is de rij een constante rij?
(e) Zoek een stelling die het verband legt tussen de limiet van een rij en geı̈soleerd
punt van de verzameling van haar termen.
110
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
4. Gegeven is de verzameling D = {3 +
sin n
n3
: n ∈ N0 }
(a) Toon aan dat D enkel bestaat uit geı̈soleerde punten. Is D een begrensde
verzameling? Wat kan je besluiten omtrent het supremum en het infimum?
(b) Waarom heeft D een ophopingspunt (linker en/of rechter)?
(c) Is er nu een verband tussen ophopingspunt en supremum of infimum? Welke
voorwaarde is niet vervuld?
5. Geef een voorbeeld van een verzameling die uit enkel geı̈soleerde punten bestaat
maar niet naar boven en niet naar onder begrensd is. Heeft zo een verzameling
ophopingspunten (linker en/of rechter), supremum, infimum, maximum, minimum?
6. Geef een voorbeeld van een verzameling van de termen van een divergente rij. Bepaal
van zo een rij de speciale punten.
7. Toon aan dat in de verzameling Z van de natuurlijke getallen elk natuurlijk getal een
geı̈soleerd punt is in Z. Heeft Z ophopingspunten? Zoek de stelling die je daarvoor
kan toepassen. Is Z begrensd?
8. Zoek in de cursus wat een plakpunt is van een verzameling. Bepaal voor alle voorgaande verzamelingen D de plakpunten.
Opmerking: In de bovenstaande voorbeelden bestaat voor de verzameling D minstens één rij waarvan alle elementen van D termen zijn.
3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEÏSOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN
111
In de volgende voorbeelden is het niet mogelijk een rij te vinden waarvan alle elementen van D termen zijn. Maar we kunnen oneindig veel rijen beschouwen waarvan
de termen elementen zijn van D (maar niet alle elementen).
9. Gegeven is de verzameling D =] − 4, 3] ∪ {5}
(a) Geef enkele bovengrenzen van D;
(b) 5 is een speciale bovengrens want ze is de kleinste bovengrens. Hoe noemen we
die bovengrens?
(c) 5 is ook het grootste element van D. Hoe noemen we zo een element?
(d) Ga na of er voor 5 een rij bestaat met termen in D die convergeert naar 5;
(e) Welk soort punt is 5 voor D?
(f) Geef enkele ondergrenzen van D;
(g) −4 is een speciale ondergrens, nl. · · · · · · · · · .
Die speciale ondergrens noemen we · · · · · · · · ·
(h) Is −4 een speciaal infimum voor D?
(i) Maak gebruik van de voorgaande voorbeelden om aan te tonen dat 3 en 1
ophopingpunten zijn van D.
(j) Zoek voor −4 een niet-constante rij met termen in D die convergeert naar −4
(denk aan de rij die convergeert naar 3).
(k) Toon aan dat voor geen enkele andere ondergrens er een rij bestaat met termen
in D die convergeert naar die ondergrens;
(l) Welk soort punt is −4 voor D?
(m) Zijn er nog andere elementen van D die ophopingspunten zijn van D?
(n) Geef de verzameling van alle ophopingspunten van D:
2
10. Gegeven de verzameling D = {− x20 − 2x : x ∈ R}
(a) Bepaal D als deelverzameling van R;
(b) Bepaal de speciale punten van D.
112
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
11. Toon aan dat in de verzameling R \ Q van de irrationale getallen elk rationaal getal
en elk irrationaal getal een ophopingspunt is van R \ Q.
12. Verzamel de eigenschappen voor supremum en infimum en ga die eigenschappen na
in de bovenstaande verzamelingen.
AN I HUISTAAK 3 Stel de volgende verzamelingen voor op een georiënteerde rechte
(op de y-as of eventueel op de x-as). Bepaal de eventuele ophopingspunten, linker- en
rechterophopingpunten, plakpunten, geı̈soleerde punten, supremum, infimum, maximum
en minimum van deze deelverzamelingen van R. Zet de resultaten in een tabel (een kolom
per verzameling en eventuele berekeningen apart zetten).
3.14
1.
2.
{x ∈ Z : x > π}
{ 12 , 34 , 78 , . . .}
5.
6.
{x ∈ R \ Q : x ≥ − 43 }
{x2 − 1 : x ∈ R}
3.
{1, − 21 , 13 , − 41 , . . .}
7.
{−2x2 + 7x + 4 : x ∈ R}
4.
{ 21 , − 23 , 43 , − 45 , . . .}
8.
{x2 + y 2 : 2x + y = 3 met x, y ∈ R}
Bewerkingen met rijen
De bewerkingen met rijen stemmen volledig overeen met de bewerkingen met functies. Zo
definiëren we andere rijen. Bijvoorbeeld, onderstel dat (un ) en (vn ) twee rijen zijn, dan
kunnen we de somrij (un + vn ) vormen, of de verschilrij (un − vn ), of de productrij
(un vn ), of, indien geen enkele term van (vn ) gelijk aan nul is, de quotiëntrij (un /vn ).
Zijn a en b twee willekeurige reële getallen, dan kunnen we ook een lineaire combinatie
(aun + bvn ) vormen.
Ook met slechts één rij kunnen we andere maken. De tegengestelde rij van de rij (un )
is de rij (−un ); de omgekeerde rij van de rij (un ) zonder nultermen is de rij (1/un ); de
i-de macht van een rij (un ), i ∈ N, is de rij (uin ). Voor een positieve rij (un ) kan men
ook rationale machten beschouwen en aldus een rij (uqn ), q ∈ Q+ , krijgen. Je kunt ook
een sinusrij vormen door van elke term de sinus te nemen, enzoverder.
3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN
3.15
Rekenregels voor limieten van rijen
3.15.1
Stellingen – de rekenregels voor limieten
113
We geven nu enkele regels die het ons gemakkelijker moeten maken om, ten eerste, de
convergentie van een rij te bewijzen, en, ten tweede, de limiet effectief te berekenen. We
zullen er enkele van bewijzen om je te laten zien hoe het in zijn werk gaat. Meestal zijn
er ingewikkelde technische snufjes nodig en daar willen we uiteraard niet op ingaan.
We beginnen met een belangrijke opmerking.
Opmerking: Beschouw de rij van Mieke eens terug. De limiet van deze rij is duidelijk
het getal 24, want uiteindelijk slaapt Mieke 24 uren per dag. We kennen dus de limiet
van deze rij zonder dat we elke term kennen van deze rij. Wat we wèl kennen zijn alle
termen uitgezonderd een eindig aantal. Algemeen is het zo, dat we in een rij een eindig
aantal termen mogen veranderen, weglaten of bijvoegen zonder de eventuele convergentie
en limietwaarde te veranderen.
STELLING 3.16 (i) Zij q ∈ Q+ en zij (un )n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+ .
Dan is ook (uqn )n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ uqn = U q .
(ii) Zij q ∈ Q− en zij (un )n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+
0 . Is un 6= 0 voor alle
q
q
n ∈ N0 , dan is ook (un )n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ un = U q .
We zeggen kortweg: De limiet van een macht van een convergente rij is gelijk aan de
macht van de limiet van de rij.
lim(uqn ) = (lim un )q .
+∞
+∞
Bewijs: We bewijzen alleen (i) en dan nog voor q = 2. We moeten dus bewijzen dat voor
elk getal > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zó dat |u2n − U 2 | ≤ , voor alle
n ≥ m. Wel, neem zo een willekeurig getal > 0.
|u2n − U 2 | = |(un − U )(un + U )| = |un − U |.|un + U |
Daar (un ) convergent is, is ze ook begrensd en dus bestaat er een reëel getal M zó dat
|un | < M , voor alle n ∈ N0 . Er geldt dan ook dat
|un + U | ≤ |un | + |U | < M + |U |.
Daar limn→+∞ un = U , kan |un −U | kleiner gemaakt worden dan het positieve getal
van zodra m ∈ N0 voldoende groot is.
∀n ∈ N0 : n ≥ m =⇒ |un − U | <
.
M + |U |
M +|U |
114
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Voor n > m hebben we dus:
.(M + |U |)
|u2n − U 2 | = |un − U |.|un + U | < M +|U
|
< ,
hetgeen we moesten bewijzen.
Je ziet dat er een “kunstgreep” nodig is om ons doel te bereiken. Voor andere waarden
van q, vooral dan de niet-gehele, is de kunstgreep nog ingewikkelder. Maar we hebben
opzettelijk het geval q = 2 bewezen omdat we dit geval nodig hebben voor Stelling 3.18.
1−2n
Voorbeeld:
De
rij
convergeert naar −2. Volgens voorgaande stelling convergeert de
n
(1−2n)2
naar 4.
rij
n2
Opmerkingen: In feite hoeven in (ii) niet alle termen van (un ) verschillend van nul
te zijn. Maar dan moeten we in de rij (uqn ) de niet-gedefinieerde termen (namelijk deze
waarvoor un = 0) vervangen door een getal naar keuze, of gewoon weglaten; wegens U 6= 0
zullen dat er toch maar een eindig aantal zijn.
STELLING 3.17 Zijn (un ) en (vn ) twee convergente rijen met limiet U en V respectievelijk, en zijn a en b twee reële getallen, dan is de rij (aun + bvn ) convergent en heeft als
limiet aU + bV .
We zeggen kortweg: De limiet van een lineaire combinatie van twee convergente rijen is
gelijk aan de lineaire combinatie van de limieten.
lim(a · un + b · vn ) = a lim un + b lim vn .
+∞
+∞
+∞
Bewijs: We bewijzen de stelling voor het algemene geval a 6= 0 6= b. We moeten dus
bewijzen dat voor elk getal > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zó dat
|a.un + b.vn − a.U − b.V | ≤ , voor alle n ≥ m. We kiezen dus terug een willekeurig getal
> 0.
|a.un + b.vn − a.U − b.V | = |a.(un − U ) + b.(vn − V )| ≤ |a|.|un − U | + |b|.|vn − V |
We moeten het laatste lid van deze laatste betrekking proberen naar boven te begrenzen
door . Elke term moeten we dan kleiner kunnen maken dan 2 .
1. De rij (un ) convergeert naar U , dus voor het getal
dat voor alle n ≥ m1 er geldt:
|un − U | ≤
.
2|a|
2|a|
bestaat er een m1 ∈ N0 zó
3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN
2. De rij (vn ) convergeert naar V , dus voor het getal
dat voor alle n ≥ m2 er geldt:
|vn − V | ≤
115
2|b|
bestaat er een m2 ∈ N0 zó
.
2|b|
Neem m = max{m1 , m2 } dan geldt van zodra n groter is dan m dat
|a.un + b.vn − a.U − b.V |
≤ |a|.|un − U | + |b|.|vn − V |
< |a|. 2|a|
+ |b|. 2|b|
< 2 + 2
< Hetgeen we moesten aantonen.
STELLING 3.18 Zij (un ) en (vn ) twee rijen met limiet respectievelijk U en V . Dan
geldt:
(i) de rij (un vn ) convergeert naar U V ;
(ii) als vn 6= 0 voor alle n ∈ N0 en V 6= 0, dan convergeert (un /vn ) naar U/V .
We zeggen kortweg:
De limiet van een product van twee convergente rijen is gelijk aan het product van de
limieten.
lim(un · vn ) = lim un · lim vn .
+∞
+∞
+∞
De limiet van een quotiënt van twee convergente rijen is gelijk aan het quotiënt van de
limieten.
un
lim+∞ un
lim
=
.
+∞ vn
lim+∞ vn
Bewijs: (i) Onderstel dat de rijen (un ) en (vn ) convergeren naar U en V respectievelijk
zoals in de opgave. Wegens Stelling 3.17 convergeert (un +vn ) naar U +V . Wegens Stelling
3.16 convergeren ((un + vn )2 )n∈N0 , (u2n ) en (vn2 ) naar (U + V )2 , U 2 en V 2 respectievelijk.
We passen dan Stelling 3.17 drie maal toe om te bekomen dat (un vn ), wat kan geschreven
worden als ( 21 ((un + vn )2 − u2n − vn2 )), convergeert naar 12 ((U + V )2 − U 2 − V 2 ) = U V .
(ii) Als (vn ) convergeert naar V , dan convergeert (1/vn ) naar 1/V (wegens Stelling 3.16
voor q = −1), en wegens (i) convergeert (un /vn ) dan naar U/V .
Het is opnieuw niet nodig dat alle vn verschillend van nul zijn. Daar V 6= 0, zullen er toch
maar een eindig aantal zijn, en deze mogen we altijd vervangen door niet-nul elementen,
of gewoon weglaten.
116
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
We zien dus dat de algebraı̈sche bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking) de convergentie van een rij niet storen en op
dezelfde manier inwerken op de limiet(en) als op de corresponderende rij(en). Dit maakt
het eenvoudig om sommige limieten te berekenen. Bijvoorbeeld, neem de rij (un ) met
un =
n2 + n + 1
.
3n2 − 2n + 1
We kunnen un ook nog schrijven als
un =
n2 (1 +
n2 (3 −
1
n
2
n
+
+
1
)
n2
1
)
n2
=
1+
3−
1
n
2
n
+
+
1
n2
1
n2
.
Daar de rij (1/n) naar 0 convergeert (zoals vroeger aangetoond), zullen ook (2/n) en
(1/n2 ) naar 0 convergeren wegens de bovenstaande stellingen. Dus de rij
1
1
1+ + 2
n n n∈N0
convergeert naar 1 en de rij
1
2
3− + 2
n n n∈N0
convergeert naar 3. Aldus convergeert de rij
1 + n1 +
3 − n2 +
1
n2
1
n2
n∈N0
wegens Stelling 3.18(ii) naar 1/3.
3.15.2
Rekenregels in R ∪ {−∞, +∞}
Er zijn nu terug een hele reeks rekenregels met convergente èn divergente rijen. Om ons
het leven wat gemakkelijker te maken, voert men een nieuwe korte notatie in. We zullen
deze notatie niet formeel definiëren, doch met een sprekend voorbeeld illustreren.
Beschouw daarvoor de rij (un ) = (n2 ) van daarnet en de rij (vn ) = (1 − 1/n). Je kan
opnieuw zeer gemakkelijk controleren dat de rij (un + vn ) = (n2 + 1 − 1/n) divergeert naar
+∞. Men kan zelfs bewijzen dat, voor elke willekeurige rij (un ) die naar +∞ divergeert,
en elke willekeurige rij die convergeert, zegge naar het reële getal r ∈ R, de rij (un + vn )
ALTIJD naar +∞ zal divergeren. Deze uitspraak noteren we kort door:
(+∞) + r = +∞
en we noemen het een rekenregel in R ∪ {−∞, +∞}.
We hebben nu de volgende rekenregels:
3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN
(+∞) + r
(−∞) + r
(+∞) − r
(−∞) − r
(+∞) + (+∞)
(−∞) + (−∞)
r · (+∞)
r · (+∞)
r · (−∞)
r · (−∞)
(+∞) · (+∞)
(+∞) · (−∞)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+∞
=
r
+∞
=
r
−∞
=
r
−∞
=
r
r
=
+∞
1
|0| =
√
n
+∞ =
√
n
−∞ =
r+∞
r+∞
r−∞
(+∞)−∞
r−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
0
+∞
+∞
−∞
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
r + (+∞)
r + (−∞)
r − (−∞)
r − (+∞)
(+∞) − (−∞)
(−∞) − (+∞)
(+∞) · r
(+∞) · r
(−∞) · r
(−∞) · r
(−∞) · (−∞)
(−∞) · (+∞)
117
(r
(r
(r
(r
> 0)
< 0)
> 0)
< 0)
(r
(r
(r
(r
> 0)
< 0)
> 0)
< 0)
r
−∞
= +∞ = (+∞)+∞
= 0
= 0
= 0 = (−∞)−∞
= +∞
(n ∈ N0 )
(n ∈ N0
en oneven)
(r > 1)
(−1 < r < 1)
(|r| > 1)
(0 < r < 1)
Tabel 3.1: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen.
STELLING 3.19 De rekenregels van tabel 3.1 gelden voor de limieten van convergente
en divergente rijen (voor alle r ∈ R).
118
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
We gaan dit niet allemaal bewijzen, daar temeer we deze rekenregels gemakkelijk intuı̈tief
kunnen aanvoelen. We merken wel op dat voor de voorlaatste en derde laatste regel de
corresponderende rijen moeten gedefinieerd zijn! Bijvoorbeeld de rij (uvnn ) met un = vn =
−n is goed gedefinieerd, maar neem un = −n en vn = n/2, dan is dit niet meer het geval,
want vierkantswortels van negatieve getallen bestaan niet in R! Dus alle regels gelden,
als de corresponderende rijen bestaan!
We kunnen dus heel wat algebraı̈sch rekenwerk verrichten in de verzameling R∪{+∞, −∞}.
Doch enkele bewerkingen zijn niet gedefinieerd. Neem bijvoorbeeld de rijen (n2 ) en (n3 ).
De rij (n2 −n3 ) divergeert naar −∞ (inderdaad, n2 −n3 = n3 ( n1 −1) en dit geeft aanleiding
tot (+∞) · (−1) = −∞), dus we zijn geneigd om te zeggen (+∞) − (+∞) = −∞. Maar
de rij (n3 − n2 ) divergeert duidelijkerwijs naar +∞ en daar gaat onze “rekenregel”!
De tabel 3.2 geeft een lijstje van de uitdrukkingen waarover we niets algemeen kunnen
zeggen en waarvoor we dus de betreffende rijen zelf moeten bekijken om de limiet te weten
te komen.
(+∞) − (+∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞), (−∞) − (−∞)
0 · (+∞),
(+∞) · 0,
0 · (−∞),
+∞
,
0
−∞
,
0
r
0
+∞
,
+∞
+∞
,
−∞
−∞
,
+∞
(+∞)0 ,
(−∞)0 ,
0−∞
1+∞ ,
1−∞
, r+∞ (r ≤ −1),
(−∞) · 0
−∞
−∞
r−∞ (r ≤ −1)
Tabel 3.2: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen.
Deze uitdrukkingen noemen we onbepaaldheden.
Als we bewerkingen willen uitvoeren met +∞ en −∞ bevinden we ons meteen op glad
ijs. Inderdaad, het symbool +∞ kan ons vaak verleiden tot valse uitspraken omdat we
geneigd zijn een conclusie te trekken die wel geldt voor reële getallen, maar niet voor +∞
of −∞. We geven een voorbeeld aan de hand van een verhaal.
Er was eens een land waar iedereen die wat verdiende de helft moest afstaan aan de koning (in moderne
termen dus ‘belastingen’). Maar iedereen had er het eeuwige leven (hier is +∞ dan!). Zo ook de drie
meisjes Tom, Linde en Louise die aan het hof werkten. Zij verdienden elk per week 20 goudstukken. Ze
kregen die uitbetaald op vrijdag en moesten op zaterdag de belasting betalen. Alle drie nummerden zij
voortdurend de goudstukken die ze kregen om goed te kunnen bijhouden hoeveel ze nu precies verdiend
hadden. Tom deed dat als volgt. De eerste keer dat ze betaald werd, nummerde ze alle goudstukken van
3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN
119
1 tot 20. Op zaterdag gaf ze dan de nummers 11 tot 20 terug. De volgende week kreeg ze de nummers
11 tot 20 terug en nummerde de andere tien goudstukken van 21 tot 30. Deze laatste gaf ze dan terug op
zaterdag. De volgende keer hield ze dan nummers 21 tot 30, daarna 31 tot 40, enzoverder. Uiteindelijk
heeft ze dan alle goudstukken te pakken (want ze bezit elk nummer) en de koning niets. Slim bekeken
van Tom! Linde deed het anders. Zij nummerde ook de eerste twintig goudstukken die ze kreeg van 1
tot 20, maar gaf de even nummers terug. De volgende goudstukken die ze kreeg nummerde ze verder
van 21 tot 40 en gaf terug de even nummers weer. Zo verder gaande zien we dus dat Linde alle oneven
genummerde goudstukken zal bezitten en de koning de even genummerde. Elk even veel dus. Eerlijk
bekeken van Linde! Louise daarentegen legde het nog anders aan boord. De eerste twintig goudstukken
werden weer van 1 tot 20 genummerd, maar zij gaf de nummers 1 tot en met 10 terug. Het volgend
weekloon werd van 21 tot 40 genummerd en Louise gaf op zaterdag de oude nummers 11 tot 20 terug.
De volgende keer gaf ze dan de nummers 21 tot 30, enzovoort, tot wanneer ze dus alles teruggeven had.
Zij hield niets over, alles was voor de koning! “Geld maakt toch niet gelukkig”, zei Tom tot Louise .
Zo eindigt het verhaaltje. Drie identieke situaties en afhankelijk van een eenvoudige nummering bekom
je drie totaal verschillende eindes. Dit komt doordat er in feite geen einde is, want alles loopt tot in het
oneindige. Zo zie je dat je moet oppassen met de termen +∞ en −∞.
OPGAVEN — 25 Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepassen van de stellingen en
de rekenregels.
√
1. un = n3
5. un = n
6. un = √1n
2. un = n12
3.
un =
4.
un =
n+2
2n+3
2n+7
n2 −7
7.
un =
8.
un =
n2 +3
n−1
(2+n)2 +5
3−4n2
AN I HUISTAAK 4
1. Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepassen van de stellingen en de rekenregels.
3. un = (2+3n)(1−n)
n(8n−7)
n4 −3n+2
4. un = 3n
2 −5n+6
2 −8n+15
2. Gegeven de rijen (un ) = 1+3n
en (vn ) = −( nn2 −8n+17
).
n+1
Gevraagd:
1. un = 1 − 8n
2. un = 2n5 − 3n3 + 9
(a) Bepaal de waarden U en V waarnaar de twee gegeven rijen convergeren. Naar
welke waarde W convergeert de rij (wn = un + vn ). Maak hiervoor gebruik van
een stelling. Controleer de waarde W met het voorschrift van (wn ).
(b) Neem een basisomgeving met straal 0,02 van W . Vanaf welk rangnummer m
ben je zeker dat alle termen van de rij wn in die omgeving zitten op een eindig
aantal na (maak hiervoor gebruik van hetgeen gedaan wordt om de stelling in
2a te bewijzen).
120
3.15.3
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen
Rekenkundige rijen
STELLING 3.20 De rekenkundige rij (an + b)n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0, naar
−∞ als a < 0, en ze convergeert naar b als a = 0.
Bewijs: We kunnen (an + b)n∈N0 schrijven als a · (n)n∈N0 + (b)n∈N0 . Is a 6= 0, dan volgt uit
de rekenregels en het feit dat de rij (n)n∈N0 naar +∞ divergeert, dat
+∞
als a > 0
lim (an + b) = a · (+∞) + b =
−∞
als a < 0
n→+∞
Is a = 0, dan hebben we de constante rij (b), die overduidelijk convergeert naar b.
Convergentie van meetkundige rijen
STELLING 3.21 De meetkundige rij (aq n )n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0 en q > 1;
naar −∞ als a < 0 en q > 1; ze convergeert naar a als q = 1; naar 0 als −1 < q < 1; ze
is onbeslist als q ≤ −1.
De schematisch voorstelling van de stelling is:

+∞




 −∞
a
lim (aq n ) = a · q +∞ =
n→+∞


0



0
als
als
als
als
als
a > 0, q > 1
a < 0, q > 1
q=1
−1<q <1
q ≤ −1
Bewijs Voor q > 1 en −1 < q < 1 volgt dit uit de rekenregels q +∞ = 0 als −1 < q < 1, en
q +∞ = +∞ als q > 1. Als q = 1 bebben we de constante rij (a), die naar a convergeert;
als q = −1 hebben we een begrensde alternerende rij die wegens Stelling 3.10(ii) niet
convergeert, en wegens Stelling 3.8 niet divergeert; als q < −1, dan is de rij niet begrensd,
dus niet convergent, en ook niet divergent wegens Stelling 3.8.
3.16
Meetkundige reeksen
3.16.1
Inleidend praktisch voorbeeld
We nemen een voorbeeldje uit de economie. We veronderstellen een gesloten econmie
zonder overheid. I is de investeringsfunctie. Uit de waarde van de productie van alle
3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN
121
producenten samen (het nationaal product) resulteert het nationaal inkomen Y . Het
grootste deel van het inkomen wordt geconsumeerd C, wat overblijft wordt gespaard S.
Er geldt
Y =C +S
en
C = 50 + 0, 75Y
is de consumptiefunctie als functie van het nationaal inkomen. Hieruit volgt dat
S = −50 +
Y
.
4
Een automontagebedrijf van Justine heeft goede vooruitzichten en wil uitbreiden, het
investeert 100 mln. Hierdoor zal de tewerkstelling in de bouwonderneming van Wouter
en de constructiewerkplaats van Tom toenemen. Dit leidt tot een inkomensverhoging bij
de betrokken werknemers. Ze profiteren ervan om zich eens in het nieuw te steken, ze
besteden 75 mln aan nieuwe kleding en de rest van het meerinkomen sparen ze. In de
textielsector wordt men nu geconfronteerd met een stijging van de vraag, de productie en
het inkomen. De ‘textielgezinnen besteden ook 0,75 % van hun meerinkomen aan nieuw
videomateriaal; de rest sparen ze. Daardoor stijgt de productie en de inkomens in de
videosector enz. Dit voorbeeld veralgemenen we tot de macro-economie.
We bekijken het effect op het nationaal inkomen Y bij een toename van de investering
∆I= 100mln. De marginale consumptiequote c is hier 0,75. Dit is de toename van C als
het Y stijgt met 1 eenheid.
1ste periode ∆I = 100mln
2de periode ∆C1 = 100 × 0, 75
3de periode ∆C2 = (100 × 0, 75) × 0, 75
4de periode ∆C3 = (100 × 0, 752 ) × 0, 75
5de periode ∆C4 = (100 × 0, 753 ) × 0, 75
..
.
···
Effect op Y (∆Y )
100,-mln
75,-mln
56,25-mln
42,18-mln
31,63-mln
..
.
De laatste kolom geeft de rij van de toename van Y in de opeenvolgende periodes. Deze
rij is een meetkundige rij met reden 0,75. De toename van het nationaal inkomen ∆Y na
de n-de periode is gelijk aan de som van de toenames in de opeenvolgende periodes.
∆Y
= ∆I + c · ∆I + c2 · ∆I + · · · + cn−1 · ∆I
= ∆I(1 + c + c2 + · · · + cn−1 )
1 − 0, 75n
1 − cn
) = 100(
) = 400(1 − 0, 75n )
= ∆I(
1−c
1 − 0, 75
122
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
Na onbepaalde tijd convergeert deze som, de toename van het nationaal inkomen naar
een vaste waarde die we bekomen door de limiet te nemen van de bovenstaande functie
voor n gaande naar +∞. Deze limiet zullen we in de volgende paragraaf berekenen.
3.16.2
Definitie
Vervolgens bekijken we eens de rij (sn ), met sn = u1 +u2 +· · ·+un , waarbij (un ) = (u1 .q n−1 )
een meetkundige rij voorstelt. We noemen zo een rij een meetkundige reeks.
Voorbeeld: We beschouwen de meetkundige rij
2 n−1
(un ) = 5.( )
3
dan is de corresponderende meetkundige reeks
(sn ) = (5 +
3.16.3
10 20 40
2
+
+
+ · · · + 5.( )n−1 ).
3
9
27
3
De algemene term van een meetkundige reeks
Zij dus un = u1 q n−1 dan geldt voor de algemene term sn van de meetkundige reeks:
sn
=
=
q6=1
=
=
=
u1 + u2 + · · · + un
u1 (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 )
u1 (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 )(1 − q)
1−q
u1 (1 − q n )
1−q
u1 − un+1
.
1−q
We gebruiken deze uitdrukking om de som te bepalen van de eerste n termen van een
meetkundige rij waarvan de reden verschillend is van 1.
Voorbeeld: Bereken de som van de eerste 100 termen van de rij
2, 6, 18, 54, . . .
De rij is een meetkundige rij met reden 3 en eerste term 2. De som is
2(1 − 3100 )
= 5, 1538.1047 .
1−3
3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN
3.16.4
123
Convergentie van meetkundige reeksen
We behandelen eerst de triviale gevallen.
Is q = 0 of a = 0, dan is (sn ) de nulrij en die convergeert naar 0.
Is q = 1, dan is (sn ) de rekenkundige rij (an).
Is q = −1, dan is s2n = 0 en s2n−1 = a. We bekomen dus de rij (a, 0, a, 0, a, . . .). Men
gaat gemakkelijk na dat deze onbeslist is zodra a 6= 0.
Onderstel nu dus dat a 6= 0, q 6= −1, 0, +1. Uit de betrekking
sn =
u1 − un+1
1−q
volgt dat als q 6= 1 is (sn ) en (un ) dezelfde convergentiekenmerken hebben.
1. (sn ) is convergent als en slechts als −1 < q < 1 (a 6= 0, anders moeten we dit ook
beschouwen!) en de limiet is
u1 − un+1
n→+∞
1−q
u1
=
1−q
lim sn =
n→+∞
lim
We noemen deze limiet de reekssom van de convergente meetkundige reeks.
Voorbeeld:We hernemen het inleidend voorbeeld 3.16.1 op p. 120. Het effect na
∆I
onbepaalde tijd op het nationaal inkomen Y is 1−c
= 400. Het nationaal inkomen
convergeert naar 400 mln.
2. Is q > 1, dan is de rij (sn ) divergent naar +∞ (voor a > 0) of −∞ (voor a < 0).
3. Is q < −1, dan is de rij (sn ) onbeslist.
BESLUIT : Een meetkundige reeks is convergent als en slechts als de reden ligt tussen
−1 en 1. De reekssom is dan gelijk aan de eerste term van de rij gedeeld door één min de
reden. In dit geval heeft de oneindige som werkelijk de betekenis van een som.
Voorbeelden:
• Heeft de volgende reeks een reekssom?
36 − 30 + 25 −
125
+ ···
6
Deze reeks is een meetkundige reeks met reden − 56 . Omdat de reden ligt tussen −1
36
en 1 is de meetkundige reeks convergent en heeft een reekssom gelijk aan 1+5/6
=
216
= 19, 636364.
11
124
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
• Is de volgende reeks
X
22n .31−n
convergent?
We kunnen de algemene term op een andere manier schrijven
22n .31−n =
4n
4
= 4.( )n−1 .
n−1
3
3
De gegeven reeks is een meetkundige reeks met reden 43 . Omdat de reden niet gelegen
is tussen −1 en 1 is de meetkundige reeks niet convergent en heeft ze bijgevolg geen
reekssom.
OPGAVEN — 26 Zet de volgende repeterende decimale getallen om naar een breuk: 0,3333. . . ,
0,56818181. . . , 95,2475475475. . . .
27 Beschouw de volgende rij: 4,5; 4,25; 4,125; 4,0625; Bepaal de algemene term van deze rij. Is deze rij
convergent? Leg uit waarom en bereken haar limiet. Op welke eigenschap steun je daarvoor?
28 Saqib doet graag wiskunde en het verhaal over het inhaalmanoeuvre van de haas intrigeerde haar.
Woensdagnamiddag houdt ze zich bezig met het studeren van analyse. Om 19u wist ze alles af van
meetkundige reeksen. Ze keek naar haar uurwerk en dacht: ‘Ik zal eens berekenen op welk tijdstip exact
de grote wijzer van mijn uurwerk de kleine wijzer ingehaald heeft en dan neem ik een pauze. Ondertussen
studeer ik nog wat woordjes van Duits. Wanneer pauzeert Saqib?
29 We tekenen een spiraal op de volgende wijze: we tekenen een halve cirkel met straal 6cm, vervolgens
een halve cirkel met straal 3cm, een halve cirkel met straal 1,5cm enz. We laten de cirkels op elkaar
aansluiten zodat we een spiraal krijgen. Bereken de lengte van de spiraal.
30 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC met de rechte hoek in A, de scherpe hoek in B met
maatgetal θ en de lengte van de schuine zijde is gelijk aan k. Vanuit A trekken we een loodlijn op de
schuine zijde BC, vanuit dat voetpunt de loodlijn op BA, vanuit dit laatste voetpunt de loodlijn op BC
enz.. Bereken de lengte van de zo bekomen gebroken lijn.
Oplossingen:
26: 1/3, 25/44, 951523/9990; ??: 49; 29: 12π; 30: k cot θ2 cos θ;
3.17. WISKUNDE-CULTUUR
125
AN I HUISTAAK 5
1. Heeft de volgende reeks een reekssom 1- 0,4 + 0,16 - 0,064
+ ...? Leg uit en bepaal eventueel de reekssom.
2. Een strook met lengte k wordt in 3 gelijke delen verdeeld. Eén derde wordt bijgehouden, één derde wordt weggegooid en één derde wordt opnieuw in drie gedeeld,
waarvan weer één derde wordt behouden, één derde wordt weggegooid en één derde
weer op dezelfde manier wordt verdeeld, enz.. Welk deel houden we uiteindelijk
over?
3. Ynse doet zoals Saqib ook graag wiskunde. Maar woensdagnamiddag houdt ze zich
toch liever bezig met iets anders. Vanop haar studeerkamer laat ze een balletje
vallen van een hoogte van 7m. Het balletje kaatst terug omhoog maar verliest
daarbij telkens 25% van zijn hoogte. Ynse vraagt zich af welke afstand het balletje
aflegt vóór het stilvalt. Nu komt ze tot de constatatie dat ze dat kan berekenen als
ze eerst de les over de meetkundige reeksen instudeert. Dat zou ze nu best doen
want ze heeft trouwens ook morgen herhaling van analyse.
3.17
Wiskunde-Cultuur
In de twaalfde en dertiende eeuw ontstonden de eerste machtigen handelssteden in Italië,
zoals Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence. Zij hadden een bloeiend handelsverkeer
met de Arabische wereld. Italiaanse kooplieden bezochten Egypte en Azië, waarvan zij
ook de cultuur bestudeerden.Zij poogden de wetenschap en de kunst van een oudere beschaving niet alleen te bestuderen om ze te reproduceren, doch ook om haar te verwerken
ten bate van de eigen cultuur. De eerste koopman van de Latijnse wereld, wiens wiskundige studies een zekere rijpheid vertonen, was LEONARDO van PISA (1180-1250), ook
FIBONACCI (lid van het huis der Bonacci) genaamd. Hij reisde als koopman naar de
Arabische wereld. Na zijn terugkeer schreef hij het Liber Abaci (1202), een groot handboek
over het rekenen met het Hindoe-Arabisch getallensysteem, dat ook algebraı̈sche vraagstukken bevat. Dit boek heeft bijgedragen aan de verspreiding van het Hindoe-Arabisch
positiestelsel in West Europa. Deze verspreiding is een langdurend proces geweest, waarin
allerhand soort blieden moeten hebben meegeholpen: kooplui,diplomaten, soldaten, pelgrims en geleerden. Langs de Adriatische Zee bleef de Griekse schrijfwijze eeuwenlang
nog in gebruik. Gewoonlijk werden rekeningen uitgevoerd op de aloude abacus, het telof zandbord, waarbij rekenpenningen of eenvoudige steentjes (calculi) de aantallen aangaven. Men denke aan de telramen die bij ons nog wel op de scholen of aan de baby-boxen
te zien zijn. Zo nodig werd dan het resultaat van zo een abacusrekening met behulp van
symbolen, b.v. Romeinse cijfers, opgeschreven. Gedurende de Middeleeuwen en nog wel
later vindt men in vele koopmansboeken zulke Romeinse cijfers, waaruit blijkt dat op de
kantoren telramen werden gebruikt. De invoering van het rekenen met de tien IndischArabische symbolen stuitte zelfs op tegenstand, omdat niet iedereen uit die symbolen wijs
126
HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE
kon worden. In de statuten van de Florentijnse ‘Arte del Cambio, die van 1299 en later
dateren, vinden we zelfs een verbod om Arabische cijfers te gebruiken. Op den duur drong
het gebruik van zulke cijfers met hun positiewaarde toch door, maar eerst in de vijftiende
en zestiende eeuw kan men van een overwinning van het Hindoe-Arabische stelsel spreken.
Bepaling van de algemene term van de rij van Fibonacci
De berekening steunt op de theorie van de vectorruimten We merken op dat bij de rij van Fibonacci de
volgende betrekkingen geldig zijn tussen drie en vier opeenvolgende termen:
u2n = un−1 · un+1 − (−1)n
(3.1)
n
(3.2)
un · un+1 = un−1 · un+2 − (−1)
We beschouwen de verzameling van alle rijen waarvan een term de som is van de twee voorgaande termen.
De algemene gedaante van zo een rij is:
(un ) : a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b . . . , un−1 a + un .b
Zo een rij is volledig bepaald door het geven van de eerste en de tweede term. We zien gemakkelijk
in dat de verzameling van al deze rijen voor de som van rijen en de scalaire vermenigvuldiging een
tweedimensionale reële vectorruimte vormt. We gaan na of deze verzameling meetkundige rijen bevat.
Een rij is meetkundig als het kwadraat van elke term het product is van zijn voorgaande en zijn volgende
(elke term is het meetkundig gemiddelde van zijn voorgaande en zijn volgende):
∀n ∈ N0 : (un a + un+1 b)2 = (un−1 a + un b).(un+1 a + un+2 b)
We werken beide leden uit en houden rekening met 3.1 en 3.2. We bekomen de eenvoudige betrekking
tussen a en b.
√
1± 5
2
2
a
∀n ∈ N0 : b − ab − a = 0 ⇐⇒ ∀n ∈ N0 : b =
2
De verzameling bevat
oneindigveelmeetkundige
rijen, oneindig veel met reden
√
1− 5
2
√
( 1+2 5 )n
√
( 1−2 5 )n
√
1+ 5
2
en oneindig veel met
reden
De rijen
en
zijn twee lineair onafhankelijke rijen in de tweedimensionale
vectorruimte. Ze vormen dus een basis. Elke rij kan op juist één manier geschreven worden als een lineaire
combinatie van deze twee meetkundige rijen. Ook de rij van Fibonacci, die ook tot deze verzameling
behoort.
√
√
1+ 5 n
1− 5 n
r.(
) + s.(
)
2
2
Voor de rij van Fibonacci moeten de eerste twee termen gelijk zijn aan 1. We verkrijgen het volgende
stelsel in r en s:
(
(
(
√
√
√
√
r = √15
r.( 1+2√5 ) + s.( 1−2 √5 ) = 1
r.( 1+2√5 ) + s.( 1−2√5 ) = 1
⇐⇒
⇐⇒
s = − √15
r.( 1+ 5 )2 + s.( 1− 5 )2 = 1
r.( 3+ 5 ) + s.( 3− 5 ) = 1
2
2
2
Hieruit verkrijgen we de algemene term van de rij van Fibonacci.
2
Hoofdstuk 4
Limieten en continuı̈teit van reële
functies
4.1
Woorden wekken. . .
Bijna elk proces in de natuur is continu. Dat wil zeggen, dat elke toestandsverandering
geleidelijk (wat niet noodzakelijk “traag” betekent!) verloopt. Bijvoorbeeld de temperatuur op een bepaalde plaats op aarde. Toch kunnen er zich “sprongen” voordoen, en
die geven meestal aan dat er iets speciaal gebeurt. Bijvoorbeeld bij een zonsverduistering
daalt de temperatuur plots een tiental graden van boven de dertig graden naar 20 graden.
Je kunt je dus voorstellen dat bij het onderzoek van een bepaald natuurkundig verschijnsel
grafieken van bepaalde grootheden (in bovenstaand voorbeeld de temperatuur in functie
van de tijd) een belangrijke rol zullen spelen, omdat daaruit ’t één en ’t ander af te
lezen valt. Daarom stellen wij ons tot doel een methode te ontwikkelen een gegeven
(wiskundige) functie te onderzoeken om deze dan zo goed mogelijk te kunnen schetsen.
Om het verloop van een functie te onderzoeken bepalen we vooreerst haar domein. Het
is ook nuttig te kijken of het domein samenhangend is, m.a.w. of het domein een interval
is of een unie van intervallen.
Wat verstaan we nu wiskundig onder “iets continu”? Zoals reeds aangehaald, betekent
continuı̈teit in een punt, dat de functie geen sprong maakt in dit punt, m.a.w. dat de
functie rond dat punt geleidelijk verandert. Continu zijn in een punt is dus een eigenschap
die niet enkel afhangt van de functiewaarde in dat punt, maar ook van de functiewaarden
rondom dat punt.
We hernemen ons voorbeeld van de temperatuursmeting. Stel dat je om juist twaalf uur
exact 20 graden Celcius meet. Wat betekent het dan dat de temperatuur op dit tijdstip
geen sprong maakt? Wel, het betekent dat, als je een reeks metingen doet vóór twaalf
127
128
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
uur, maar altijd dichter tegen twaalf uur, dan wijzen de metingen erop dat het om twaalf
uur precies 20 graden zal zijn, wiskundig uitgedrukt, als de tijd nadert naar twaalf uur,
dan nadert de temperatuur naar 20 graden. Wiskundig kun je nu ook naderen “vanuit de
toekomst” naar twaalf uur, en we moeten dit ook doen, want het zou evengoed kunnen dat
de temperatuur een sprong maakt juist het moment na twaalf uur, d.w.z. alle metingen
na twaalf uur wijzen erop dat de temperatuur om twaalf uur bijvoorbeeld dertig graden
was.
We zien dus dat we continuı̈teit in een punt a kunnen uitdrukken door een strikt monotone
rij te nemen die convergeert naar a in het domein van de functie f en vervolgens de limiet
te beschouwen van de rij der beelden. Is deze limiet, (d.w.z. voor elk zulke mogelijke rij)
steeds de functiewaarde f (a), dan kunnen we f continu noemen in a en de limiet in a van
f is f (a). Is deze limiet steeds dezelfde, bijvoorbeeld gelijk aan het reëel getal b, maar
verschillend van f (a), dan zeggen we alleen dat b de limiet is van f in a. We kunnen
zeggen dat limiet b de verwachte waarde is in het punt a. En als de verwachte waarde
gelijk is aan de functiewaarde dan is de functie continu in a.
Je ziet dus dat we een strikt monotone rij moeten hebben die convergeert naar a in het
domein om continuı̈teit in a te onderzoeken. Zo’n rijen bestaan precies wanneer a geen
geı̈soleerd punt is.
Maar er zijn ook punten a die niet tot het domein behoren, maar waarvoor er wel strikt
monotone rijen bestaan, in het domein van de beschouwde functie f , die naar a convergeren (of divergeren, als we +∞ of −∞ beschouwen). Dit zijn precies de plakpunten. Als
de beeldrijen van al die rijen dezelfde limiet hebben, bijvoorbeeld b, dan zeggen we dat
b de limiet is in a van de functie f . Zijn a en b beide reële getallen, dan kunnen we de
functie uitbreiden met het koppel (a, b) en de nieuwe functie f zal dan continu zijn in a!
Inderdaad, alle strikt monotone rijen in het domein van f die naar a convergeren, hebben
de eigenschap dat hun beeldrij naar b = f (a) convergeert.
Dus om de continuı̈teit en de limieten te onderzoeken moeten we de geı̈soleerde punten
en de plakpunten van het domein bepalen. De eerste omdat we daarin geen continuı̈teit
hoeven te onderzoeken (we stellen per definitie dat elke functie continu is in elk geı̈soleerd
punt van haar domein); de tweede om mogelijke limieten op te sporen.
Het onderzoek op continuı̈teit en limieten is dus gebaseerd op de convergentie en divergentie van rijen. In het domein nemen we echter altijd strikt monotone rijen die naar
het beschouwde punt a convergeren. We zouden ons ook kunnen beperken tot de strikt
stijgende. Dan laten we alles van de grafiek wat rechts ligt van a links liggen. We kijken
dus alleen links van a. Is a een punt van het domein van de beschouwde functie f , en
convergeren alle mogelijke beeldrijen naar f (a), dan kunnen we zeggen dat f linkscontinu
is in a. Is a een plakpunt van het domein en convergeren de beeldrijen van alle bovenbeschouwde strikt stijgende rijen naar één gemeenschappelijke limiet b, dan zeggen we dat
b de linkerlimiet is van f in a. Analoog definieert men rechtscontinuı̈teit en rechterlimiet.
4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT
129
De volgende strenge wiskundige definities komen tot stand en worden overvloedig gedemonstreerd aan de hand van de functies in de hoofdstukken over de algebraı̈sche -, de
exponentiële - en de goniometrische functies, want ...VOORBEELDEN STREKKEN.
4.2
Definitie van limiet en continuı̈teit
We geven nu de strikt wiskundige definitie van limiet en continuı̈teit aan de hand van een
voorbeeld en een tegenvoorbeeld.
DEFINITIE 1.
De limiet van een functie f in een ophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞, +∞} van haar
domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt monotone rij
(un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij
(f (un )) convergeert/divergeert naar b.
We schrijven:
lim f (x) = b
a
Voorbeeld:
We beschouwen de functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 en het punt 3 dat ophopingspunt is
van het domein R. We zoeken de limiet in 3. De strikt stijgende rij (3 − n1 ) convergeert
naar 3 en de strikt dalende rij 3 + n1 convergeert eveneens naar 3. We onderzoeken of de
beeldrijen convergeren en zoja naar welke waarde. We maken de volgende tabellen
n 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 · · ·
1
3 − n 2 2,5 2,67 2,75 2,8 2,83 2,86 2,88 2,89 2,93 · · ·
f (3 − n1 ) 6 5,38 5,11 4,97 4,88 4,82 4,78 4,74 4,72 4,70 · · ·
div
n +∞ ←−
conv
3 + n1
3 ←−
conv
f (3 + n1 ) · · · ←−
···
···
···
div
−→ +∞
conv
−→ 3
conv
−→ · · ·
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3,1 3,11 3,13 3,14 3,17 3,2 3,25 3,33 3,5 4
4,30 4,27 4,24 4,20 4,15 4,08 3,97 3,78 3,38 2
Voor elke rij die convergeert naar 3 geldt dat de beeldrij convergeert naar 4,5. We zeggen
dat de limiet in 3 van de functie gelijk is aan 4,5.
1
lim( |(x + 2)(x − 4)| + 2) = 4, 5
3 2
130
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
Figuur 4.1: y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2
DEFINITIE 2.
De rechterlimiet van een functie f in een rechterophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞}
van haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt
dalende rij (un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de
beeldrij (f (un )) convergeert/divergeert naar b.
We schrijven:
lim
f (x) = b
+
a
DEFINITIE 3.
De linkerlimiet van een functie f in een linkerophopingspunt a ∈ R ∪ {+∞} van
haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞, +∞} als en slechts als voor elke strikt stijgende
rij (un ) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij
(f (un )) convergeert/divergeert naar b.
4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT
131
We schrijven:
lim
f (x) = b
−
a
Voorbeelden:
• We beschouwen de functie y = xb(x)c. Het punt 2 is een linker- en een rechterophopingspunt van het domein.
We beschouwen eerst de linkerlimiet in 2. We maken een tabel voor de strikt stijgende rij (2 − n1 ) die convergeert naar 2.
n
2 − n1
f (2 − n1 )
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 · · ·
1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · ·
1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · ·
div
−→ +∞
conv
−→ 2
conv
−→ · · ·
Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeert
naar 2. We zeggen dat de linkerlimiet in 2 gelijk is aan 2.
lim
xb(x)c = 2
−
2
Voor de rechterlimiet beschouwen we nu de strikt dalende rij (2 + n1 ) die convergeert
naar 2.
div
n +∞ ←−
conv
2 + n1
2 ←−
conv
f (2 + n1 ) · · · ←−
···
···
···
10
9
8
7
6
5
4
3
2 1
2,1 2,11 2,13 2,14 2,16 2,2 2,25 2,33 2,5 3
4,2 4,22 4,25 4,29 4,3 4,4 4,5 4,67 5 6
Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeert
naar 4. We zeggen dat de rechterlimiet in 2 gelijk is aan 4.
xb(x)c = 4
lim
+
2
De linkerlimiet is verschillend van de rechterlimiet. De limiet in 2 bestaat niet.
132
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
Figuur 4.2: y = xbxc
√
• Het domein van de functie y = x is R+ . 0 is een punt van het domein dat tevens
rechterophopingspunt is van het domein. We beschouwen de strikt stijgende rij ( n12 )
die convergeert naar 0. We maken een tabel om de beeldrij te beschouwen.
n 1
1
1
n2
f ( n12 ) = ( n1 ) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
1
2
1
9
1
3
1
16
1
4
1
25
1
5
1
36
1
6
1
49
1
7
1
64
1
8
1
81
1
9
1
100
1
10
···
···
···
div
−→ +∞
conv
−→ 0
conv
−→ · · ·
Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeert
naar 0. De rechterlimiet van de functie is dus gelijk aan 0.
√
lim
x=0
+
0
4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT
133
0 is geen linkerophopingspunt van het domein. Bijgevolg kunnen we geen linkerlimiet beschouwen. Het is echter zo dat voor elke rij met termen in het domein die
convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeert naar 0. Hieruit volgt dat de
limiet in 0 van de functie gelijk is aan 0.
Bij deze functie is de limiet in 0 een rechterlimiet maar geen linkerlimiet.
√
√
x=0
lim x = lim
+
0
0
Figuur 4.3: y =
√
x
134
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
• De functie y = x1 heeft geen functiewaarde in 0 dat een ophopingspunt is van het
domein R0 .
We beschouwen de linkerlimiet. We nemen bvb. de strikt stijgende rij (− n1 ). We
beschouwen de volgende tabel om de rij der functiewaarden te bekijken.
n
− n1
f (− n1 ) = (−n)
1
2
−1 − 12
3
− 13
4
− 41
5
− 15
6
− 61
7
− 17
8
− 18
9
− 19
10
1
− 10
···
···
-1
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
···
-2
div
−→ +∞
conv
−→ 0
div
−→ · · ·
Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij divergeert
naar −∞. De linkerlimiet in 0 is gelijk aan −∞.
lim
−
0
1
= −∞
x
Beschouw nu zelf voor de rechterlimiet in 0 een strikt dalende rij die convergeert
naar 0 en de daarbij horende beeldrij.
Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar nul geldt dat de beeldrij divergeert
naar +∞. De rechterlimiet in 0 is gelijk aan +∞.
lim
+
0
1
= +∞
x
De linkerlimiet is echter verschillend van de rechterlimiet. De functie heeft geen
limiet in 0. We kunnen echter deze twee limieten samenvatten als we het symbool
∞ invoeren. We schrijven:
1
lim = ∞
0 x
4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT
Figuur 4.4: y =
135
1
x
DEFINITIE 4.
Een functie f is continu in een ophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de limiet
in a van f bestaat en gelijk is aan f (a).
Met symbolen:
f is continu in a ⇐⇒ lim f (x) = f (a).
a
Elke functie is continu in elk geı̈soleerd punt van haar domein.
Voorbeelden:
• De functie y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 omdat de limiet in 3 gelijk is
aan de functiewaarde in 3.
1
1
5
9
lim( |(x + 2)(x − 4)| + 2) = |(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = + 2 = = 4, 5
3 2
2
2
2
136
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
• Onderzoek nu zelf of de functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 continu is in 4.
√
• De functie y = x is continu in 0 want er geldt:
√
√
lim x = 0 = 0.
0
DEFINITIE 5.
Een functie f is linkscontinu in een linkerophopingspunt a ∈ R van haar domein,
als de linkerlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f (a).
Met symbolen:
f is linkscontinu in a ⇐⇒ lim
f (x) = f (a).
−
a
Elke functie is linkscontinu in elk punt van haar domein dat geen linkerophopingspunt is.
Voorbeelden:
• De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is linkscontinu in 3 want de linkerlimiet in 3 is
gelijk aan de functiewaarde in 3.
1
1
(
|(x
+
2)(x
−
4)|
+
2)
=
|(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = 4, 5.
lim
3− 2
2
• De functie y = xb(x)c is niet linkscontinu is 2 want de linkerlimiet in 2 is 2 en de
functiewarde in 2 is 4.
lim
xb(x)c = 2 6= 2b(2)c = 4.
−
2
√
• De functie y = x is linkscontinu in 0 want 0 is geen linkerophopingspunt van het
domein van de functie.
DEFINITIE 6.
Een functie f is rechtscontinu in een rechterophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de rechterlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f (a).
Met symbolen:
f is rechtscontinu in a ⇐⇒ lim
f (x) = f (a).
+
a
Elke functie is rechtscontinu in elk punt van haar domein dat geen rechterophopingspunt is.
4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUÏTEIT
137
Voorbeelden:
• De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is rechtscontinu in 3 want de rechterlimiet in 3
is gelijk aan de functiewaarde in 3.
1
1
|(x
+
2)(x
−
4)|
+
2)
=
|(3 + 2)(3 − 4)| + 2 = 4, 5.
lim
(
3+ 2
2
• De functie y = xb(x)c is rechtscontinu is 2 want de rechterlimiet in 2 is gelijk aan 4
die de functiewaarde is in 2.
lim
xb(x)c = 2b(2)c = 4.
+
2
√
• De functie y = x is rechtscontinu in 0 want de rechterlimiet in 0 is gelijk aan d
functiewaarde in 0.
√
√
lim x = 0 = 0.
0
DEFINITIE 8.
Een functie is continu over een deelverzameling D van haar domein als f continu
is in elk punt van D. Een functie f wordt kortweg continu genoemd als ze continu is
over haar domein.
Voorbeelden:
• De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu (in R).
• De functie y =
√
x is continu (in R+ ).
• de functie y = xb(x)c is continu in open deelintervallen van haar domein, bvb. in
]2, 3[.
• De functie y =
1
x
is continu (in R0 ).
Tot zover de definities. We gaan ze allemaal nog nagaan op de voorbeelden van hoofdstuk
6. We gaan nu, alvorens enkele techniekjes te ontwikkelen voor het berekenen van limieten,
een paar eigenschappen zien van limieten en continue functies die van theoretisch en
praktisch belang zijn.
138
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
4.3
Eigenschappen van limieten en continue functies
STELLING 4.1 Een functie is continu in een punt a van haar domein als en slechts
als ze links- en rechtscontinu is in a.
Bewijs. Als a niet tergelijkertijd een linker- en rechterophopingspunt is, dan volgt dit
direct uit definitie 7. Is a wel een linker- en rechterophopingspunt, dan volgt dit onmiddellijk uit het feit dat een strikt monotone rij ofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend is.
Voorbeelden:
• De functie y = 21 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 want deze functie is links- en
rechtscontinu in 3.
√
• De functie y = x is continu in 0 want de functie is links- en rechtscontinu in 0.
• de functie y = xb(x)c is niet continu in 2 want de functie is niet linkscontinu in 2
want lim2− (xb(x)c) = 2 6= 4.
• De functie y =
behoort.
1
x
is niet continu in 0 omdat 0 niet tot het domein van de functie
STELLING 4.2 Een functie heeft een limiet b in een punt a dat terzelfdertijd linker- en
rechterophopingspunt is van haar domein als en slechts als de linker- en rechterlimiet
in a bestaan en beiden aan b gelijk zijn.
Bewijs. Volgt ook rechtstreeks uit de definities. Schrijf een nauwkeurig bewijs uit als
oefening.
Voorbeelden:
• Het punt 3 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van
y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2. De linker- en rechterlimiet in 3 bestaan en zijn gelijk aan
4,5. De functie heeft dus een limiet in 3 die gelijk is aan 4,5.
• het punt 2 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van
y = xb(x)c. De linker- en rechterlimieten bestaan maar zijn niet gelijk aan elkaar.
Hieruit volgt dat de limiet in 2 niet bestaat.
• Het punt 0 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein van
y = x1 . De linker- en rechterlimiet bestaan maar zijn niet aan elkaar gelijk. De
functie heeft geen limiet in 0. Met de notatie ∞ kunnen hier het limietbegrip
uitbreiden en zeggen dat de limiet bestaat.
4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES
139
STELLING 4.3 Als a een ophopingspunt is van het domein van een functie f , dan bezit
de functie f hoogstens één limiet in het punt a.
Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat een convergente/divergente rij juist één
limiet heeft.
Ook de gedomineerde convergentie stelling geldt hier, maar heet nu anders:
STELLING 4.4 (De gedomineerde limiet stelling) Onderstel dat f en g twee functies zijn, D ⊆ R een deelverzameling is van het domein van f en van g waarvoor
f (x) ≤ g(x), voor alle x ∈ D, en zij a een ophopingspunt van D. Als lima f (x) en
lima g(x) bestaan, dan geldt:
lim f (x) ≤ lim g(x).
a
a
Bewijs. Dit volgt rechtstreeks uit de gedomineerde convergentie stelling voor rijen.
Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelf
als oefening.
Uit de Sandwich Regel voor rijen volgt ook:
STELLING 4.5 (De Sandwich Regel) Onderstel dat f , g en h drie functies zijn gedefinieerd over een deelverzameling D van R en waarvoor geldt dat f (x) ≤ g(x) ≤ h(x),
voor alle x ∈ D. Zij a een ophopingspunt van D en onderstel dat f en h een gelijke limiet
b ∈ R ∪ {+∞, −∞} in a hebben. Dan heeft ook g een limiet in a en deze is ook gelijk aan
b.
Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelf
als oefening.
Figuur 4.5: de Sandwich Regel op grafiek
140
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
STELLING 4.6 Als een functie continu is in een punt a van haar domein, dan is elke
restrictie van deze functie tot een deel van haar domein dat het punt a bevat eveneens
continu in a.
Bewijs. Elke rij in de restrictie die naar a convergeert is ook een rij in het oorspronkelijk
domein en convergeert bijgevolg naar de functiewaarde.
Het omgekeerde is echter niet waar. Het kan zijn dat de restrictie van een functie tot een
deel van haar domein continu is in een punt, maar dat de functie zelf niet continu is in
dat punt.
Bijvoorbeeld nemen we de trapfunctie f (x) = xbxc. De restrictie van deze functie tot
[2, 3[ is continu in 2, terwijl de functie zelf niet continu is in 2.
STELLING 4.7 Zij f een functie en a ∈ R ∪ {+∞, −∞} een ophopingspunt van het
domein van f . Is lima f (x) = b ∈ R ∪ {+∞, −∞}, en is (un ) een willekeurige rij in
het domein van f die convergeert/divergeert naar a, dan convergeert/divergeert de beeldrij
(f (un )) naar b.
Het bewijs van deze stelling laten we weg.
Nu volgt een zeer opmerkelijke stelling. Uit weinig gegevens volgt het besluit dat een
functie continu is over een gans interval. Zonder van rijen te spreken! We zullen deze
stelling later gebruiken om aan te tonen dat tal van functies continu zijn. Het is in feite
zo, dat we uit deze en voorgaande stelling zelfs alle geziene rekenregels kunnen bewijzen
op een eenvoudige manier, zonder steeds opnieuw te moeten werken met (zonder een
kringredenering te maken, want het bewijs van de stelling maakt geen gebruik van deze
rekenregels!). We geven een voorbeeld achteraf.
STELLING 4.8 Elke monotone bijectie f van een interval I ⊆ R naar een interval
J ⊆ R is continu over het interval I.
Het bewijs van deze stelling laten we weg.
De volgende stelling is in feite een soort middelwaardestelling voor continue functies.
STELLING 4.9 (Stelling van Bolzano) Is f continu over een gesloten interval [a, b],
a < b, en hebben f (a) en f (b) een verschillend teken, i.e. is f (a)f (b) < 0, dan bestaat er
een getal c ∈]a, b[ waarvoor f (c) = 0.
Het bewijs van deze stelling laten we weg.
Deze stelling kunnen we iets meer algemeen formuleren als volgt.
4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES
141
Figuur 4.6: voorbeeld en tegenvoorbeeld
Figuur 4.7: stelling van Bolzano
STELLING 4.10 Is f continu over een gesloten interval [a, b], a < b, dan bestaat voor
elk getal d gelegen tussen f (a) en f (b) een getal c ∈ [a, b] zó dat f (c) = d.
Het bewijs wordt gegeven, ofwel analoog aan voorgaande stelling, ofwel door op de functie
f (x) − d de voorgaande stelling toe te passen.
De volgende stelling is een soort omgekeerde van Stelling 4.8.
142
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
Figuur 4.8: tussenwaardestelling
STELLING 4.11 (i) Is f continu over een interval I, dan is het beeld van I over f
opnieuw een interval.
(ii) Is f continu en strikt monotoon over een interval I = [a, b], dan is f een bijectie van
I in het beeldinterval J = [f (a), f (b)] (of J = [f (b), f (a)]).
Bewijs. (i) volgt onmiddellijk uit voorgaande stelling daar een interval I gekenmerkt
wordt door de eigenschap
a, b ∈ I
⇔ c ∈ I.
a<c<b
(ii) Injectiviteit volgt uit het strikt monotoon zijn; surjectiviteit uit deel (i) van de stelling.
Tenslotte formuleren we nog de belangrijke stelling van Weierstrass.
STELLING 4.12 (Stelling van Weierstrass) Het beeld van een gesloten interval onder een functie continu over dat interval, is opnieuw een gesloten interval.
Figuur 4.9: stelling van Weierstrass
De stelling van Weierstrass betekent eigenlijk dat, onder de gegeven voorwaarden, een
continue functie in een gesloten interval steeds een absolute maximale en een absolute
minimale waarde bereikt in dat interval.
In het volgend hoofdstuk zullen we dieper ingaan op de praktische berekening van limieten.
4.4. DE REKENREGELS ALWEER
4.4
143
De rekenregels alweer
Voor de limiet van een functie in een ophopingspunt punt a ∈ R ∪ {+∞, −∞} van haar
domein zullen logischerwijs dezelfde rekenregels gelden als voor de limiet van een rij.
STELLING 4.13 De limiet van een lineaire combinatie van twee functies is gelijk aan
de lineaire combinatie van de limieten (als die lineaire combinatie door de rekenregels
gedefinieerd is).
Met symbolen:
lim(r.f + s.g) = r lim f + s lim g
a
a
a
STELLING 4.14 De limiet van een product van twee functies is gelijk aan het product
van de limieten (als dat product door de rekenregels gedefinieerd is).
Met symbolen:
lim(f.g) = lim f. lim g
a
a
a
STELLING 4.15 De limiet van een quotiënt van twee functies is gelijk aan het quotiënt
van de limieten (als dat quotiënt door de rekenregels gedefinieerd is).
Met symbolen:
lim
a
lima f
f
=
g
lima g
STELLING 4.16 De limiet van een rationale macht van een functie is gelijk aan de
rationale macht van de limiet (als die macht door de rekenregels gedefinieerd is).
Met symbolen:
lim f q = (lim f )q
a
a
Tabel 3.1 op pagina 117 geeft de rekenregels ook voor de limieten van functies (buiten de
gebruikelijke algebraı̈sche bewerkingen met reële getallen).
Deze rekenregels gelden zowel voor limieten, als voor linker- en rechterlimieten.
De zogenaamde onbepaaldheden in tabel 3.2 op pagina 118 blijven ook hier van kracht.
Dus bijvoorbeeld (+∞) + (−∞) moeten we oplossen op een andere manier dan het te
schrijven als som van twee limieten.
Een belangrijk gevolg van deze rekenregels is:
144
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
STELLING 4.17 Zijn f en g twee functies die continu zijn in een gemeenschappelijk
punt a van hun domein, dan is r.f + s.g, respectievelijk f.g, f /g, f q (q ∈ Q) continu in
a zodra a tot het domein van deze nieuwe functie behoort.
Bewijs: We bewijzen de stelling voor de lineaire combinatie van twee functies. We onderstellen dat de functies f en g continu zijn in a en dat a een ophopingspunt is van het
gemeenschappelijk domein van de functies.
Is een functie continu in een ophopingspunt van het domein van de functie dan is de limiet
in dat punt gelijk aan de functiewaarde.
Er geldt dus:
lim f (x) = f (a) ∧ lim g(x) = g(a)
a
a
Omdat de limiet van een lineaire combinatie gelijk is aan de lineaire combinaties van de
limieten geldt:
lim(r.f + s.g)(x) = r lim f (x) + s lim g(x) = rf (a) + sg(a) = (rf + sg)(a)
a
a
a
Omdat de limiet in a van de lineaire combinatie gelijk is aan de functiewaarde in a, is de
lineaire combinatie continu in a.
Geef zelf het bewijs voor de andere gevallen.
Er is wel één bewerking die we met rijen niet konden doen, maar met functies wel, namelijk, de samenstelling. Daarover de volgende stellingen:
STELLING 4.18 Als lima f (x) = b ∈ R ∪ {+∞, −∞} en limb g(x) is gedefinieerd, dan
is lima g(f (x)) = limb g(x). Is in het bijzonder de functie g continu in b en is b een
ophopingspunt van het domein van g, dan is lima g(f (x)) = g(b), of dus lima g(f (x)) =
g(lima f (x)).
STELLING 4.19 Is een functie f continu in een punt a van haar domein en is een
functie g gedefinieerd en continu in f (a), dan is de samenstelling van deze twee functies
g ◦ f continu in a.
De bewijzen van deze stellingen zijn echt niet moeilijk, maar we laten ze weg wegens
tijdsgebrek. Merk wel op dat Stelling 4.19 in feite een gevolg is van Stelling 4.18.
4.5. WISKUNDE-CULTUUR
4.5
145
Wiskunde-Cultuur
1. BOLZANO Bernard is een Tsjechisch, (Oostenrijks) wijsheer van 1781 tot 1848.
Zijn vader was Italiaan en zijn moeder Duitse; hij zelf sprak en schreef Duits. Hij
studeerde theologie, filosofie en wiskunde. In zijn theologie was hij ervan overtuigd
dat het rooms-katholicisme de meest volkomen godsdienst was. Op politiek terrein
schreef hij een utopie, die hij zelf als zijn belangrijkste nalatenschap beschouwde.
Zijn wiskundig werk geniet groot aanzien, omdat hij tot de pioniers van het grondslagenonderzoek behoort samen met CAUCHY (1789-1857), GAUSS (1777-1855)
en ABEL (1802-1829). Daarin heeft hij bijgedragen tot de aritmetisering van de
wiskunde die met de naam Weierstrass is verbonden. Bolzano’s werk is eerst na zijn
dood als algemeen erkend; verscheidene van zijn geschriften zijn eerst in deze eeuw
uitgegeven.
2. WEIERSTRASS Karl
De moderne theorie van het irrationaal getal werd ontwikkeld door DEDEKIND
(1831-1916) en Weierstrass. Zij vertoont grote overeenkomst met die van EUDOXUS
(408-355 v.C.), ondanks het feit dat de moderne theorie aritmetisch, de klassieke
meetkundig is. De aritmetische opzet van de moderne theorie heeft echter wijdere
perspectieven geopend.
146
HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN REËLE FUNCTIES
Hoofdstuk 5
Afgeleiden
5.1
Snelheden en raaklijnen
Saqib rijdt per fiets op een rechte baan aan 20 km per uur. Als zijn snelheid constant
blijft, weten we dat hij na 1 uur 20 kilometer heeft afgelegd. Maar meestal varieert zijn
snelheid. Wat betekent het dan dat de snelheid op een zeker moment gelijk is aan 20
kilometer per uur? Stel dat we om de minuut de afstand kunnen bepalen afgelegd door
Saqib. De volgende tabel geeft de resultaten:
0 1
t=tijd in min.
x=afstand in m 0 132
2
3
4
5
387 778 1229 1684
De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is:
∆x
1684
=
= 336, 8.
∆t
5
De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is 336,8 meter per minuut of 20,20
kilometer per uur.
Willen we nu de snelheid kennen na 2 minuten dan kunnen we de gemiddelde snelheid
berekenen in het tijdsinterval [2, 4].
∆x
1229 − 387
=
= 421.
∆t
4−2
De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 4] is gelijk aan 421 meter per minuut of
25,26 km per uur.
147
148
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Figuur 5.1: de afgelegde weg in functie van de tijd
We kunnen nu ook de gemiddelde snelheid berekenen in een nog kleiner tijdsinterval, bv.
in [2, 3].
778 − 387
∆x
=
= 391.
∆t
3−2
De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 3] is gelijk aan 391 meter per minuut of
23,46 km per uur.
We zien dat we met meer nauwkeurigheid de werkelijke snelheid na 2 minuten kunnen
kennen als we het interval vanaf 2 kleiner maken. We kunnen de snelheid nauwkeuriger
bepalen indien we de afstanden meten vanaf 2 minuten om de 6 seconden. Hier volgt een
tabel:
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
t in min.
x in meter 387 414 441 469 499
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3
533 575 620 670 722 778
We maken een tabel waarin we de gemiddelde snelheden geven in verschillende tijdsintervallen beginnende bij 2.
tijdsinterval
[2,3] [2;2,7] [2;2,5] [2;2,4] [2;2,3] [2;2,2] [2;2,1]
gem. snelh. in km/u 23,46 19,97 17,52
16,8
16,4
16,2
16,2
We zien dat de gemiddelde snelheid in kleinere intervallen nadert naar de waarde van 16,2
kilometer per uur. We zullen de snelheid op het ogenblik van 2 minuten definiëren als de
limiet van de gemiddelde snelheid in kleiner wordende intervallen.
Zetten we de afstanden uit in functie van de tijd dan krijgen we de grafiek van de beweging
van Saqib.
5.1. SNELHEDEN EN RAAKLIJNEN
149
We stellen het voorschrift van de functie voor door x(t). De gemiddelde snelheid in het
interval [2, t] is
x(t) − x(2)
∆x
=
∆t
t−2
Dit is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn van de punten (2, x(2)) en (t, x(t)) op
de grafiek. De snelheid na 2 minuten is de limiet van de gemiddelde snelheid als t nadert
naar 2.
x(t) − x(2)
.
v(2) = lim
t→2
t−2
De snelheid van een rechtlijnige beweging is de ogenblikkelijke verandering van de afgelegde weg. Deze snelheid wordt in de wiskunde gedefinieerd als de afgeleide naar de tijd
van de afgelegde weg.
Meetkundig gezien is de limietstand van een verbindingslijn van twee punten p en q voor
q naderend naar p de raaklijn in p aan de kromme. De limiet van de richtingscoëfficiënt
van de verbindingslijn is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
In verschillende wetenschappen worden veranderende processen bestudeerd. De snelheid
waarmede deze veranderingen plaatsgrijpen zullen ook met deze hierboven beschreven
techniek kunnen berekend worden. De limietberekening zal ook daar zijn diensten kunnen bewijzen.
Wouter is ingenieur. Hij is geı̈nteresseerd in de snelheid waarmee water in of uit een reservoir stroomt. Dit wordt het debiet van het water genoemd. Linde daarentegen is geografe
en wil de snelheid van de verandering van de populatiedichtheid in een stad kennen als
de afstand tot het centrum groter wordt. Mieke, een beroemde meteorologe die later het
weerbericht op T.V. zal presenteren, bestudeert de verandering van de atmosferische druk
in functie van de hoogte. Tom is een psycholoog en wenst de vakkundigheid in functie van
de trainingstijd te kennen. Louise, onze sociologe, onderzoekt de snelheid waarmede een
gerucht, een rage of een vernieuwing zich verspreidt in de tijd. Als chemicus onderzoekt
Justine de reactiesnelheid en Ynse, de biologe, bekijkt de snelheid waarmede het bloed in
de aders stroomt.
Het abstracte begrip van afgeleide in de wiskunde kent specifieke interpretaties in de verschillende wetenschappen. Dit illustreert nog eens de macht van de wiskunde. De Franse
wiskundige Joseph Fourier (1768-1830) zei het beknopt: “Wiskunde vergelijkt de meest
diverse fenomenen en ontdekt de geheime overeenkomsten die hen verenigt”.
We geven nog enkele praktische voorbeelden.
* In de electriciteit.
We beschouwen een geleider. De vergelijking y = q(t) geeft aan hoeveel lading q
er door de geleider stroomt op het ogenblik t. De gemiddelde verandering van de
150
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
lading in een tijdsinterval [a, t] is
∆q
q(t) − q(a)
=
.
∆t
t−a
Nemen we de limiet van dit quotiënt voor de tijd naderend naar het tijdstip a dan
verkrijgen we de zogenaamde intensiteit of stroomsterkte I op het ogenblik a:
q(t) − q(a)
.
t→a
t−a
I(a) = lim
De stroomsterkte is dus de ogenblikkelijke verandering van de lading in een geleider.
* In de biologie.
We beschouwen een populatie bacteriën. De vergelijking y = N (t) geeft de grootte
van de populatie aan in functie van de tijd. De gemiddelde groeisnelheid van het
aantal bacterieën in een tijdsinterval [a, t] is
N (t) − N (a)
∆N
=
.
dt
t−a
Nemen we de limiet van dit quotiënt voor de tijd naderend naar het tijdstip a dan
verkrijgen we de groeisnelheid van het aantal bacteriën op het tijdstip a:
N (t) − N (a)
.
t⇒a
t−a
lim
De groeisnelheid is dus de ogenblikkelijke verandering van de grootte van de populatie.
* In de economie.
De totale kosten van een bedrijf voor de vervaardiging van een hoeveelheid x van
een bepaald product wordt voorgesteld door de functie y = K(P ). Deze functie K
wordt de kostenfunctie genoemd. Als het aantal geproduceerde eenheden stijgt van
een hoeveelheid P a naar een hoeveelheid P dan is de gemiddelde verandering van
de kosten in het interval [Pa , P ]:
K(P ) − C(Pa )
∆K
=
.
dP
P − Pa
Nemen we de limiet van dit quotiënt voor het aantal eenheden naderend naar Pa ,
dan verkrijgen we de zogenaamde marginale kosten voor de productie van de Pa -de
eenheid:
K(P ) − K(Pa )
Kµ = lim
.
P →Pa
P − Pa
De marginale kosten voor de productie van de Pa -de eenheid is dus de verandering
van de kosten bij de productie van de Pa -de eenheid.
5.2. DIFFERENTIAALQUOTIËNT
5.2
5.2.1
151
Differentiaalquotiënt
Definitie
Gegeven: Een functie y = f (x) en een punt a van haar domein. We beschouwen de functie
y=
f (x) − f (a)
.
x−a
Deze functie bestaat niet in het punt a.
Deze functie wordt het differentiequotiënt in a van f genoemd.
De teller f (x) − f (a) = ∆f = ∆y is de toename in a van de functiewaarde of de
differentie in a van de functie f .
De noemer x − a = ∆x = h is de toename van de x-waarde in a of de differentie in a
van de identieke functie.
We kunnen de differentie van de functie in a nog als volgt schrijven:
∆f = ∆y = f (a + ∆x) − f (a) = f (a + h) − f (a).
5.2.2
Betekenis van het differentiequotiënt
Het differentiequotiënt in a van f
f (x) − f (a)
x−a
drukt de gemiddelde verandering uit van de functie f tussen x en a.
5.2.3
Meetkundige betekenis van differentiequotiënt
Het differentiequotiënt in a van f
f (x) − f (a)
x−a
is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn van de punten (a, f (a)) en (x, f (x)).
152
5.3
5.3.1
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Afgeleide in een punt van een functie
Definities
Is a ∈ domf een ophopingspunt van het domein van de functie
y=
f (x) − f (a)
x−a
dan kunnen we de limiet van deze functie beschouwen in het punt a:
lim
a
f (x) − f (a)
.
x−a
Als deze limiet bestaat en een reëel getal oplevert dan zeggen we dat de functie f afleidbaar is in het punt a of differentieerbaar is in het punt a. Het reëel getal wordt
de afgeleide van de functie f in het punt a genoemd.
lim
x→a
∆y
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
= lim
.
∆x→0
h→0
x−a
∆x
h
Notaties voor de afgeleide in a van de functie y = f (x):
f (x) − f (a)
.
x→a
x−a
Da f = f 0 (a) = lim
df
∆f
= lim
.
dx ∆x→0 ∆x
dy
∆y
= lim
.
∆x→0
dx
∆x
De symbolen D en d zijn differentiatieoperators omdat ze de operatie differentiëren
dx
aanduiden.
De notatie dy is de notatie van Leibniz.
dx
Is a ∈ domf een linkerophopingspunt van het domein van de functie
f (x) − f (a)
x−a
dan kunnen we de linkerlimiet van deze functie beschouwen in het punt a:
y=
lim
−
a
f (x) − f (a)
.
x−a
5.3. AFGELEIDE IN EEN PUNT VAN EEN FUNCTIE
153
Figuur 5.2: helling van de raaklijn in punt p
Als deze linkerlimiet bestaat en een reëel getal oplevert dan is dit reëel getal de linkerafgeleide in het punt a van de functie f .
Is a een rechterophopingspunt van het domein van de functie
y=
f (x) − f (a)
x−a
dan kunnen we de rechterlimiet van deze functie beschouwen in het punt a:
lim
+
a
f (x) − f (a)
.
x−a
Als deze rechterlimiet bestaat en een reëel getal oplevert dan is dit reëel getal de rechterafgeleide in het punt a van de functie f .
5.3.2
De meetkundige betekenis van afgeleide
De afgeleide van een functie f in een punt a is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in
het punt (a, f (a)) aan de grafiek van de functie.
154
5.4
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Afleidbaarheid
STELLING 5.1 De afgeleide in een punt a van het domein van een functie f dat terzelfdertijd een linker- en een rechterophopingspunt is van het domein is gelijk aan b ∈ R
als en slechts als de functie continu is in a en linker- en rechterafgeleide van de functie
in het punt a gelijk zijn aan b
Voorbeelden:
• De functie y =
|x|
x
is niet continu in 0.
lim
−
0
|x|
|x|
= lim
(−1)
=
−1
en
lim
= lim
1=1
0−
0+ x
0+
x
Linker- en rechterlimiet zijn verschillend van elkaar. De afgeleide van de functie is
overal 0 uitgezonderd in 0 waar de afgeleide niet bestaat.
• De functie y = x2 + 2|x| is continu in 0 maar niet afleidbaar in 0 want de linkerafgeleide in 0 is verschillend van de rechterafgeleide in 0.
lim
−
0
x2 − 2x
x2 + 2|x| − 0
= lim
= lim(x − 2) = −2
0−
0−
x
x
x2 + 2|x| − 0
x2 + 2x
lim
= lim
= lim(x + 2) = 2
0+
0+
0+
x
x
• De functie y = −x|x| is continu in 0 en afleidbaar in 0 want de linkerafgeleide in 0
is gelijk aan de rechterafgeleide in 0.
lim
−
0
lim
+
0
−x|x| − 0
x2
= lim
= lim x = 0
0−
0− x
x
−x|x| − 0
−x2
= lim
= lim
(−x) = 0
0+
0+
x
x
• De functie y = 12 |(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 4 dat terzelfdertijd een linker- en
een rechterophopingspunt is van het domein. We zien op de grafiek dat er in het
punt (4, 2) geen raaklijn bestaat. Maar de richtingscoëfficiënten van de raaklijntjes
in de punten van de grafiek waarvoor de x groter is dan 4 naderen naar de waarde
3 als x nadert naar 4 en de richtingscoëfficiënten van de raaklijntjes waarvoor de x
kleiner is dan 4 naderen naar −3. De linker- en rechteafgeleiden bestaan maar zijn
verschillend van elkaar. Hieruit volgt dan dat de functie niet afleidbaar is in 4.
5.4. AFLEIDBAARHEID
155
STELLING 5.2 Als f afleidbaar is in a dan is f continu in a.
Bewijs: Het punt a is een ophopingspunt van het domein van de functie. We moeten
aantonen dat de functie continu is in a of dat de limiet in a van de functie gelijk is aan
de functiewaarde in a.
Is x 6= a en x ∈ domf , dan kunnen we schrijven:
f (x) = f (a) +
f (x) − f (a)
(x − a).
x−a
Gebruikmakend van de eigenschappen van de limieten verkrijgen we
lim f (x) = lim[f (a) +
a
a
f (x) − f (a)
(x − a)]
x−a
m
f (x) − f (a)
. lim(x − a)
a
a
x−a
m f’bestaat
lim f (x) = lim f (a) + lim
a
a
lim f (x) = f (a) + f 0 (a).0
a
m
lim f (x) = f (a)
a
De limiet in a van f is de functiewaarde in a van f . Hetgeen we moesten bewijzen.
STELLING 5.3 (De contrapositie van stelling 5.2) Is f niet continu in a dan is f
niet afleidbaar in a.
Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Als een functie continu is in
a dan is ze niet noodzakelijk afleidbaar in a. Om afleidbaar te zijn moet ze echter al zeker
continu zijn. Afleidbaarheid is een sterkere voorwaarde dan continuiteit.
156
5.5
5.5.1
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
De afgeleide functie van een functie
Definitie
De functie f 0 is de afgeleide functie van de functie f als en slechts als f 0 elk punt a van
het domein van f waar f afleidbaar is afbeeldt op de afgeleide van f in a.
f 0 (x) =
f (x + h) − f (x)
df
= lim
.
dx h→0
h
Figuur 5.3: grafiek van een functie f en haar afgeleide functie f 0
5.6. RAAKLIJNEN AAN DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE
5.6
157
Raaklijnen aan de grafiek van een functie
1. Is de functie y = f (x) afleidbaar in een punt a van haar domein, dan is de vergelijking
van de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt (a, f (a)):
y − f (a) = f 0 (a)(x − a).
2. Is een functie y = f (x) continu in a en geldt er dat
lim
a
f (x) − f (a)
= ∞,
x−a
dan is x = a de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = f (x)
in het punt (a, f (a)).
3. Is een functie y = f (x) continu in a en zijn de linker- en de rechterafgeleide in a
verschillend van elkaar of één van beide afgeleiden is ∞ dan heeft de grafiek van de
functie twee verschillende raaklijnen in het punt (a, f (a)).
Opmerkingen:
• Vermits de afgeleide de richtingscoëfficiënt is van een raaklijn aan de grafiek van
de functie, zien we dat als de afgeleide in een punt van een functie positief is dat
de functie stijgend is in de omgeving van dat punt en als de afgeleide negatief is
de functie dalend is (positieve snelheid, groeisnelheid; negatieve snelheid, afname).
Het tekenverloop van de afgeleide functie zal ons dus informatie geven omtrent het
stijgen en dalen van een functie. Dit zullen we later bewijzen, met de bijkomende
onderstelling dat de afgeleide zelf continu is.
• Beschikken we over de grafiek van functie dan kunnen we een ruwe schets maken
van de afgeleide functie (zie figuur 5.3).
158
5.7
5.7.1
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Asymptoten voor de grafiek van een functie
Verticale asymptoten
Verticale asymptoten komen voor bij functies die naar oneindig gaan voor reële x-waarden.
Definitie : De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot voor de
grafiek van een functie f als en slechts als lim
f (x) = ±∞ of lim
f (x) = ±∞.
+
−
a
a
Opsporen van verticale asymptoten : om verticale asymptoten op te sporen onderzoeken we voor welke reële x-waarden de linker- en/of rechterlimiet van de functie ±∞
wordt.
De plakpunten van het domein van een functie zijn hierbij goede kandidaten. Voor algebraı̈sche functies zijn dat de nulpunten van de noemer. MAAR WE MOETEN STEEDS
DE LIMIET IN DEZE PUNTEN NOG EXPLICIET BEREKENEN.
In vorige paragraaf 5.6 beschouwden we punten van het domein waar de functie continu
is en al dan niet afleidbaar.
We veronderdstellen dat a een plakpunt is van het domein van een functie of een punt is
van het domein waar de functie discontinu is. We beschouwen punten op de grafiek van
f waarvoor de absis nadert naar a. Als functiewaarden naderen naar oneindig dan geldt
lim
f =∞
+
a
en/of
lim
f = ∞.
−
a
Als de functie afleidbaar is in de omgeving van a dan geldt ook dat de richtingen van de
raaklijnen in deze punten aan de grafiek naderen naar de richting van de y-as (links of
rechts of aan beide kanten). De limietstand van deze raaklijnen is een verticale asymptoot
voor de grafiek van de functie. Een asymptoot is dus zogezegd de raaklijn in een punt op
oneindig van de grafiek. Er geldt dus ook
f0 = ∞
lim
+
a
en/of
lim
f 0 = ∞.
−
a
De vergelijking van de verticale asymptoot is
x = a.
5.7. ASYMPTOTEN VOOR DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE
5.7.2
159
Schuine - en horizontale asymptoten
Definitie : De rechte met vergelijking y = ωx + q met ω 6= 0 is de vergelijking van een
niet-verticale asymptoot voor de grafiek van de functie f als en slechts als de verticale
afstand tussen de grafiek van de functie en de rechte naar nul nadert naarmate x nadert
naar +∞ en/of −∞.
lim(f (x) − (ωx + q)) = 0 (en/of lim(f (x) − (ωx + q)) = 0)
−∞
+∞
(5.1)
Als x nadert naar +∞ (en/of −∞) dan naderen de raaklijnen in de overeenkomstige
punten van de grafiek naar de asymptoot aan de kant van +∞ en/of −∞. Dit betekent
dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen naderen naar ω. De richtingscoëfficiënt ω
van de asymptoot kunnen we bijgevolg berekenen met de volgende limiet
ω = lim f 0 (en/of ω = lim f 0 ).
−∞
+∞
De waarde van q kunnen we bepalen door gebruik te maken van de limiet uit 5.1.
lim(f (x) − (ωx + q)) = 0 ⇐⇒ lim(f (x) − ωx) − q = 0 ⇐⇒ q = lim(f (x) − ωx)
+∞
+∞
+∞
en/of q = lim(f (x) − ωx)
−∞
Opsporen van horizontale en schuine asymptoten :
1. Is lim+∞ f (x) = q ∈ R dan is y = q de vergelijking van de horizontale asymptoot
aan de kant van +∞. Analoog voor −∞.
2. Is lim+∞ f (x) = ∞ (en/of lim−∞ f (x) = ∞) dan is er geen horizontale asymptoot
aan de kant van +∞ (en/of −∞).
Is er een schuine asymptoot voor +∞ (en/of −∞) dan is y = ωx + q de vergelijking
met
ω = lim+∞ f 0 (x)
ω = lim−∞ f 0 (x)
en/of
q = lim+∞ (f (x) − ωx)
q = lim−∞ (f (x) − ωx)
Merk op dat een functie ten hoogste 2 niet-verticale asymptoten kan hebben, één voor
+∞ en/of één voor −∞.
160
5.8
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Methode van Newton voor het benaderen van
nulpunten
Figuur 5.4: methode van Newton
Voor het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie beschikken we over formules. Om de wortels te bepalen van een derde- of vierdegraadsvergelijking bestaat er
ook een (ingewikkelde) methode. Voor veeltermfuncties van een nog hogere graad bestaat
helemaal geen methode, tenzij ze van een speciale gedaante is, bv. wederkerig of bikwadratisch. Hetzelfde geldt voor andere algebraı̈sche functies en transcendente functies.
We beschikken echter wel over methodes om een benadering te vinden voor de nulpunten
van een afleidbare functie, nl. de methode regula falsi en de methode van Newton.
Voor beide methodes is het nodig dat we reeds een eerste benadering kennen van de
nulpunten. We bestuderen nu de methode van Newton.
We noemen x1 een eerste benadering van een nulpunt r van de functie y = f (x). We
benaderen de grafiek van f in de omgeving van r door de raaklijn in (x1 , f (x1 )) aan de
grafiek van f . De vergelijking van de raaklijn is
y − f (x1 ) = f 0 (x1 )(x − x1 )
Is f 0 (x1 ) 6= 0 dan snijdt deze raaklijn de x-as in een punt met absis x2 .
y − f (x1 ) = f 0 (x1 )(x − x1 )
−f (x1 ) = f 0 (x1 )(x2 − x1 )
⇐⇒
y=0
y=0
Omdat f 0 (x1 ) 6= 0 kunnen we x2 oplossen uit de eerste vergelijking van het laatste stelsel
x2 = x1 −
f (x1 )
f 0 (x1 )
5.8. METHODE VAN NEWTON VOOR HET BENADEREN VAN NULPUNTEN 161
De absis x2 van het snijpunt van de raaklijn met de x-as is in de meeste gevallen een
betere benadering voor het nulpunt r van de functie (zie figuur 5.4). Door middel van
dezelfde redenering vinden we een derde benadering x3 van r.
x3 = x2 −
f (x2 )
f 0 (x2 )
We kunnen deze werkwijze blijven volgen. Als de n-de benadering xn is en f 0 (xn ) 6= 0
dan is de (n + 1)-de benadering
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
(5.2)
Op de figuur 5.4 naderen de opeenvolgende benaderingen xn naar het werkelijke nulpunt
r van de functie.
lim xn = r
+∞
Praktisch kunnen we de computer deze opeenvolgende benaderingen laten berekenen tot
we een benadering krijgen op een vooropgegeven aantal decimalen nauwkeurig.
Voeren we bvb. 5 iteraties uit dan verkrijgen we 5 opeenvolgende benaderingen.
We schrijven dan in DERIVE: iterates(x − f (x)/dif(f (x), x), x, x1 , 5).
Het kan gebeuren dat de rij van de opeenvolgende waarden xn niet nadert naar het beoogde
nulpunt. Deze situatie zien we op figuur 5.5.
Figuur 5.5: methode van Newton in geval het niet lukt
162
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
5.9
Maximale en minimale functiewaarden
5.9.1
Absoluut maximum en absoluut minimum
Een functie f bereikt een absoluut maximum (absoluut minimum) in een punt
c ∈ D ⊂ domf als en slechts als f (c) de grootste (kleinste) functiewaarde is in D of het
maximum (minimum) is van de verzameling f (D).
f bereikt een absoluut maximum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f (x) ≤ f (c)
f bereikt een absoluut minimum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f (x) ≥ f (c)
Een functie bereikt een absoluut extremum in een punt c ∈ D ⊂ domf als en slechts
als de functie een absoluut maximum of een absoluut minimum bereikt in c ∈ D.
5.9.2
Relatief maximum en relatief minimum
5.9.2.1
Definitie
Figuur 5.6: relatief maximum — relatief minimum
Een functie f bereikt een relatief maximum (relatief minimum) in een punt c
van haar domein als en slechts als er ∈ R+
0 bestaat waarvoor de functie een absoluut
maximum (absoluut minimum) bereikt in c ∈]c − , c + [∩ domf .
f bereikt een relatief maximum in c ⇐⇒ ∃ ∈ R+
0 : |x−c| < ∧x ∈ domf =⇒ f (x) ≤ f (c)
f bereikt een relatief minimum in c ⇐⇒ ∃ ∈ R+
0 : |x−c| < ∧x ∈ domf =⇒ f (x) ≥ f (c)
Een functie bereikt een relatief extremum in een punt c van haar domein als en slechts
als de functie een relatief maximum of een relatief minimum bereikt in c.
5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN
5.9.2.2
163
Stellingen
STELLING 5.4 De stelling van Fermat (Fransman 1601-1665)
Als een reële functie afleidbaar is in een punt c ∈]a, b[⊂ domf en in c een relatief extremum bereikt, dan is de afgeleide in c gelijk aan 0.
Schematisch:

f is afleidbaar in c 
f bereikt een relatief extremum in c
⇒ f 0 (c) = 0

c ∈]a, b[⊂ domf
Figuur 5.7: vwden vervuld :y = 3x2 − 5x + 6 en vwden niet vervuld: y =
√
3x − 2 − 2
Bewijs: We veronderstellen dat de functie f een relatief maximum bereikt in c.
∃ ∈ R+
0 : |x − c| < ∧ x ∈ domf =⇒ f (x) ≤ f (c)
We kunnen deze uitspraak beschouwen voor x-waarden kleiner dan c en voor x-waarden
groter dan c. Voor x-waarden kleiner dan c geldt:
∃ ∈ R+
0 : c − < x ≤ c =⇒ f (x) − f (c) ≤ 0
m
∃ ∈ R+
0 : c − < x ≤ c =⇒
f (x) − f (c)
>0
x−c
164
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
⇓ gedom. lim. stel.
lim
−
c
f (x) − f (c)
≥0
x−c
(5.3)
en voor x-waarden groter dan c geldt:
∃ ∈ R+
0 : c ≤ x < c + =⇒ f (x) − f (c) ≤ 0
m
f (x) − f (c)
≤0
x−c
⇓ gedom. lim. stel.
∃ ∈ R+
0 : c < x < c + =⇒
lim
+
c
f (x) − f (c)
≤0
x−c
(5.4)
De limietovergang was mogelijk omdat de functie f afleidbaar is in c. Hierbij is linkerlimiet
dan ook gelijk aan de rechterlimiet. Uit 5.3 en 5.4 volgt dat
lim
c
f (x) − f (c)
=0
x−c
Dit betekent dat de afgeleide van de functie in c gelijk is aan 0.
f 0 (c) = 0.
Het bewijs verloopt op analoge wijze als we veronderstellen dat de functie een minimum
bereikt in a.
Opmerkingen:
a. Een functie kan in een punt wel een extremum bereiken zonder dat de afgeleide in
dat punt noodzakelijk gelijk aan nul moet zijn;
b. Een functie kan in een punt een afgeleide gelijk aan nul hebben zonder dat in dat
punt een extremum bereikt wordt.
De stelling van Fermat suggereert dat we om extreme waarden te vinden eerst kunnen
gaan kijken in punten van het domein waar de afgeleide gelijk is aan nul of waar de
afgeleide niet bestaat. Zo een punt van het domein wordt een kritisch punt genoemd.
In een kritisch punt bereikt een functie niet noodzakelijk een extremum.
5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN
165
Figuur 5.8: extr. in c en f 0 (c) bestaat niet —- geen extr. in c en f 0 (c) = 0
STELLING 5.5 Is een functie continu in een gesloten interval [a, b] dan vinden we de
absolute extreme waarden van de functie
1. door de functiewaarden te bepalen in de kritische punten van [a, b];
2. door f (a) en f (b) te bepalen;
De grootste functiewaarde van 1. en 2. is het absoluut maximum, de kleinste waarde van
1. en 2. is het absoluut minimum in [a, b].
Figuur 5.9: de absolute extreme waarden van y = x3 − 3x2 + 1 in het interval [− 23 , 52 ]
166
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
5.9.2.3
Soorten relatieve extrema
De functie f bereikt een relatief extremum in c ∈]a, b[⊂ domf . Twee mogelijkheden doen
zich voor:
1. De functie f is afleidbaar in c, m.a.w. f 0 (c) is een reëel getal. Volgens de stelling
van Fermat is f 0 (c) = 0.
In dit geval bereikt f een gewoon relatief extremum in c.
2. De functie f is niet afleidbaar in c. We vermelden twee mogelijkheden die zich vaker
dan andere voordoen.
a. Is limc f 0 = ∞ dan is de raaklijn in het punt (c, f (c)) een rechte parallel met
de y-as. In dit geval noemen we het punt (c, f (c)) een keerpunt voor de
grafiek van de functie. We hebben een gewoon keerpunt of cuspide als de
raaklijn driepuntig snijdt en een zelfaanrakingspunt of tacnode als de raaklijn
vierpuntig snijdt (zie later bij de studie van algebraı̈sche krommen).
b. Is minstens één van de limieten limc− f 0 en limc+ f 0 een reëel getal (de andere
eventueel ∞) en zijn ze verschillend van elkaar dan heeft de grafiek van de
functie twee verschillende raaklijnen in het punt (c, f (c)). In dit geval is het
punt (c, f (c)) een knooppunt of crunode voor de grafiek van de functie.
Opmerking: Keerpunten en knooppunten zijn dubbelpunten voor de kromme.
Figuur 5.10: gewoon relatief extremum — keerpunt – knooppunt
5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING
5.10
Stellingen van de differentiaalrekening
5.10.1
De stelling van Rolle
167
STELLING 5.6 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaar
in het open interval ]a, b[ en is f (a) = f (b) dan bestaat er minstens één punt c van het
open interval ]a, b[ waarvoor de afgeleide 0 is.
Met symbolen:

f is continu in [a, b] 
f is afleidbaar in ]a, b[
⇒ ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) = 0

f (a) = f (b)
Bewijs: Aangezien de functie f continu is in [a, b] bereikt ze volgens Weierstrass in dat
interval een grootste waarde M en een kleinste waarde m.
1. Is M = m dan is de functie f een constante functie in het interval [a, b]. Voor elk
punt van [a, b] is de afgeleide 0.
2. Is M 6= m dan wordt in minstens één punt c ∈]a, b[ één van de extreme waarden
bereikt want f (a) = f (b).
Neem bv. f (c) = M . De functie f bereikt een relatief maximum in c en c is een
punt van het open interval ]a, b[⊂ domf . Hieruit volgt dat f 0 (c) = 0.
Met symbolen

f bereikt een relatief maximum in c 
f is afleidbaar in c
⇒ f 0 (c) = 0

c ∈]a, b[⊂ domf
Het bewijs verloopt analoog als f (c) = m.
Meetkundige vertolking van de stelling van Rolle: Als een functie f continu
is in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ en de functiewaarden in de grenspunten a en b gelijk zijn
aan elkaar dan bestaat er in ]a, b[ minstens één punt c waarvoor de raaklijn in (c, f (c))
parallel is met de x-as.
Fysische vertolking van de stelling van Rolle: Beweegt een voorwerp op een
traject zonder lussen en bevindt het zich op twee verschillende tijdstippen op dezelfde
plaats dan is de snelheid van het voorwerp minstens één keer gelijk aan nul tussen die
twee tijdstippen.
Een goed voorbeeld daarvan is in de situatie waarbij een voorwerp omhoog gegooid wordt.
168
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Figuur 5.11: stelling van Rolle — stelling van Lagrange
5.10.2
Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van de
differentiaalrekening
STELLING 5.7 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaar
in het open interval ]a, b[ dan bestaat er minstens één punt c van het open interval ]a, b[
(a)
waarvoor de afgeleide gelijk is aan f (b)−f
.
b−a
Met symbolen:
f is continu in [a, b]
f is afleidbaar in ]a, b[
⇒ ∃c ∈]a, b[: f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Bewijs: We beschouwen de verbindingslijn L van de punten (a, f (a)) en (b, f (b)). De
vergelijking is
y − f (a) =
f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
(x − a) ⇐⇒ y = f (a) +
(x − a).
b−a
b−a
De uitdrukking
f (x) − (f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a)).
b−a
drukt het verschil uit van de functiewaarde voor f en van de functiewaarde van de eerstegraadsfunctie met L als grafiek (de absolute waarde ervan is de verticale afstand tussen
de grafiek van f en L).
5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING
169
Voor x = a en x = b wordt het verschil gelijk aan nul.
We beschouwen nu de functie
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
Voor deze functie geldt dat
h(a) = h(b) = 0.
Dit is een voorwaarde voor de stelling van Rolle. Bovendien voldoet deze functie ook nog
aan de eerste twee voorwaarden van de stelling van Rolle vermits dat ook het geval is
voor de functie f en elke eerstegraadsfunctie.
Volgens de stelling van Rolle geldt:
∃c ∈]a, b[: h0 (c) = 0
m
∃c ∈]a, b[: f 0 (c) −
f (b) − f (a)
=0
b−a
m
∃c ∈]a, b[: f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Opmerking:
De stelling van Rolle is een bijzonder geval van de stelling van Lagrange.
Meetkundige vertolking van de middelwaardestelling: Als een functie f continu is in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ dan bestaat er in ]a, b[ minstens één punt c waarvoor
de raaklijn in (c, f (c)) parallel is met de verbindingslijn van de punten van de grafiek
(a, f (a)) en (b, f (b)).
Fysische vertolking van de stelling van Lagrange: De stelling van Lagrange
betekent voor een bewegend lichaam binnen een bepaald tijdsinterval dat de gemiddelde
snelheid in dat tijdsinterval minstens één maal gedurende die tijd bereikt wordt.
170
5.11
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
De regel van de l’Hospital
STELLING 5.8 Zijn de functies f en g beide afleidbaar in een gereduceerde basisomgeving van een ophopingspunt a van het domein, en is
lim f = lim g = 0
a
a
dan geldt
lim
a
f0
f
= lim 0
a g
g
Bewijs: De afgeleiden in a van de functies f en g zijn
f 0 (a) = lim
f (x) − f (a)
x−a
g 0 (a) = lim
g(x) − g(a)
x−a
a
en
a
We vervangen de functies f en g door hun resp. continue uitbreidingen f en g tot de
gegeven basisomgeving van a.
f 0 (a) = lim
f (x) − f (a)
x−a
g 0 (a) = lim
g(x) − g(a)
x−a
a
en
a
Vermits
lim f = lim f = f (a) = 0
a
a
en
lim g = lim g = g(a) = 0
a
a
geldt
f 0 (a) = lim
f (x)
x−a
g 0 (a) = lim
g(x)
x−a
a
en
a
5.11. DE REGEL VAN DE L’HOSPITAL
lim
a
f
g
=
=
171
lima f
lima g
f (x)
x−a
g(x)
lima x−a
0
lima
f (a)
g 0 (a)
f0
= lim 0
a g
=
Belangrijke opmerking: We kunnen eveneens het volgende bewijzen:
1. Als lima f (x) = ±∞ en lima g(x) = ±∞ dan is ook
lim
a
f
f0
= lim 0
a g
g
2. Als lim±∞ f (x) = 0 en lim±∞ g(x) = 0 of als lim±∞ f (x) = ∞ en lim±∞ g(x) = ∞
dan is ook
f0
f
lim = lim 0
∞ g
∞ g
3. Soms kan de regel van de l’Hospital niet gebruikt worden omdat door het afleiden
de onbepaaldheid nooit verdwijnt. In dit geval zijn we aangewezen op de gewone
methodes van de limietberekening.
4. Soms kan de regel van de l’Hospital maar gebruikt worden als we de limiet eerst in
een andere gedaante brengen.
172
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
5.12
Stijgen en dalen van een functie
5.12.1
Definitie
Een functie is strikt stijgend in een interval [a, b] als en slechts als
∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Merk op dat elk differentiequotiënt van een strikt stijgende functie in [a, b] groter is dan
0:
f (x2 ) − f (x1 )
∀x1 , x2 ∈ [a, b] :
>0
x 2 − x1
Een functie is strikt dalend in een interval [a, b] als en slechts als
∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Merk op dat elk differentiequotiënt van een strikt dalende functie in [a, b] kleiner is dan
0:
f (x2 ) − f (x1 )
∀x1 , x2 ∈ [a, b] :
<0
x 2 − x1
5.12.2
Test voor stijgen en dalen
STELLING 5.9 Als een functie f continu is in een interval [a, b] en afleidbaar in ]a, b[
dan geldt
1. als f 0 (x) > 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt stijgend in [a, b] ;
2. als f 0 (x) < 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt dalend in [a, b];
3. als f 0 (x) = 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f constant in [a, b].
Bewijs: We bewijzen het eerste deel van de stelling. De twee andere delen zijn op analoge
wijze aan te tonen.
We beschouwen twee punten x1 en x2 van [a, b] waarvoor x1 < x2 . Omdat f continu
is in [x1 , x2 ] en afleidbaar in ]x1 , x2 [ bestaat volgens de middelwaardestelling een punt
c ∈]x1 , x2 [ waarvoor geldt
f (x2 ) − f (x1 )
f 0 (c) =
.
x2 − x1
5.12. STIJGEN EN DALEN VAN EEN FUNCTIE
Aangezien f 0 (c) > 0 is
f (x2 )−f (x1 )
x2 −x1
173
> 0.
Uit x1 < x2 volgt dat f (x1 ) < f (x2 ). Deze laatste implicatie is geldig voor elke twee
punten x1 en x2 waarvoor x1 < x2 . De functie f is stijgend in [a, b].
Opmerking: In het domein van de functie y = |x|
is de afgeleide steeds gelijk aan nul. De
x
functie is echter niet constant in zijn domein. Dit is niet in tegenspraak met de voorgaande
stelling omdat het domein R \ {0} van de functie geen interval is maar wel een unie van
twee intervallen. De functie is echter wel constant in de twee deelintervallen ] − ∞, 0[ en
]0, +∞[.
GEVOLG 5.1 Hebben twee functies f en g gedefinieerd in een interval [a, b] dezelfde
afgeleiden in ]a, b[, dan verschillen f en g slechts door een constante functie in [a, b].
Bewijs:
∀x ∈]a, b[: f 0 (x) = g 0 (x)
m
0
∀x ∈]a, b[: f (x) − g 0 (x) = 0
m
∀x ∈]a, b[: (f − g)0 (x) = 0.
Uit de voorgaande stelling volgt dat de functie f − g een constante functie is in [a, b].
f − g = k ⇐⇒ f = g + k.
Opmerking:
* Als een functie stijgend is in een interval [a, b], dan kunnen er in dit interval één
of meerdere punten bestaan waar de afgeleide nul wordt. Het omgekeerde van de
voorgaande stelling is dus niet geldig.
Inderdaad, is f stijgend en afleidbaar in [a, b] dan geldt voor elke x en elke c van
[a, b] dat
f (x) − f (c)
> 0.
x−c
Na limietovergang kan het gelijkheidsteken optreden.
f (x) − f (c)
≥ 0 ⇐⇒ f 0 (c) ≥ 0.
x−c
De afgeleide kan dus ook gelijk zijn aan 0 in een punt van het interval waar de
functie strikt stijgend is.
lim
174
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
* Het omgekeerde van het derde deel van de voorgaande stelling is wel geldig.
Als een functie constant is in een interval dan is de afgeleide steeds gelijk aan nul
in dat interval.
5.12.3
De eerste afgeleide test
STELLING 5.10 Is een functie f continu in het interval [a, b] en is c een kritisch punt
van f in [a, b] dan geldt
a. ∀x ∈]a, c[: f 0 (x) > 0 ∧ ∀x ∈]c, b[: f 0 (x) < 0 =⇒ f bereikt een relatief maximum in c;
b. ∀x ∈]a, c[: f 0 (x) < 0 ∧ ∀x ∈]c, b[: f 0 (x) > 0 =⇒ f bereikt een relatief minimum in c;
c. Als f ’ niet verandert van teken in c dan bereikt f geen relatief extremum in c.
Bewijs van a.: De functie f is stijgend in ]a, c[ omdat de afgeleide daar groter is dan nul.
Er geldt
x < c =⇒ f (x) < f (c)
(5.5)
De functie f is dalend in ]c, b[ omdat de afgeleide daar kleiner is dan nul. Er geldt
x > c =⇒ f (x) < f (c)
Uit 5.5 en 5.6 besluiten we dat f een relatief maximum bereikt in c.
(5.6)
5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN
175
5.13
Concaviteit en buigpunten
5.13.1
Concaaf naar boven en concaaf naar beneden
5.13.1.1
Definitie
* Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie boven al
zijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar boven is in I of
dat de holle kant van de grafiek naar boven ligt in I.
* Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie onder al
zijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar onder is in I of
dat de holle kant van de grafiek naar onder ligt in I.
Figuur 5.12: concaaf naar boven
5.13.1.2
concaaf naar onder
Test voor concaviteit
• Holle kant naar boven in een interval I voor de grafiek van een functie f betekent
dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechts
bekeken groter worden in I. De afgeleide functie f 0 is stijgend in I. Dit laatste
betekent dat de tweede afgeleide functie f 00 positief is in dat interval.
• Holle kant naar onder in een interval I voor de grafiek van een functie f betekent
dat de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechts
bekeken kleiner worden in I. De afgeleide functie f 0 is dalend in I. Dit laatste
betekent dat de tweede afgeleide functie f 00 negatief is in dat interval.
176
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
STELLING 5.11 Is een functie f twee keer afleidbaar in een interval I dan geldt
a. ∀x ∈ I : f 00 (x) > 0 =⇒ f is concaaf naar boven in I;
b. ∀x ∈ I : f 00 (x) < 0 =⇒ f is concaaf naar onder in I.
5.13.2
Buigpunten
5.13.2.1
Definitie
Een buigpunt voor de grafiek van een functie is een punt van de grafiek waar de
grafiek verandert van concaaf naar boven naar concaaf naar beneden of van concaaf naar
beneden naar concaaf naar boven.
Figuur 5.13: buigpunten
Opmerking: Is (c, f (c)) een buigpunt voor de grafiek van een functie f en bestaat de
raaklijn in (c, f (c)) aan de grafiek (f is afleidbaar in c) dan gaat de grafiek in dit punt
van de ene kant van de raaklijn naar de andere kant van de raaklijn.
5.13.2.2
De tweede afgeleide test
STELLING 5.12 De functie f bezit een eerste afgeleide functie die continu is in [a, b] ⊂
domf en afleidbaar is in ]a, b[. De tweede afgeleide is continu in een punt c ∈]a, b[.
a. Als f 0 (c) = 0 en f 00 (c) > 0, dan bereikt f een relatief minimum in c;
b. Als f 0 (c) = 0 en f 00 (c) < 0, dan bereikt f een relatief maximum in c.
5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN
177
Figuur 5.14: soorten buigpunten
Bewijs: Als f 00 (c) > 0, dan bestaat er een basisomgeving I ⊂]a, b[ van C waar f 00 (x) > 0
omdat f 00 continu is in c. Volgens de test voor concaviteit is de functie f concaaf naar
boven in I. Daaruit volgt dat de grafiek van f boven zijn raaklijn ligt in het punt (c, f (c)).
Maar omdat f 0 (c) = 0, is deze raaklijn parallel met de x-as. Dit toont aan dat
∀x ∈ I : f (x) ≥ f (c)
waarbij I een basisomgeving is van c. Hieruit volgt dat f een relatief minimum bereikt
in c.
Het bewijs voor het tweede deel is analoog.
5.13.2.3
Soorten buigpunten
Het punt (c, f (c)) is een buigpunt voor de grafiek van de functie f . We onderscheiden
twee gevallen:
a. De functie f is afleidbaar in c. De buigraaklijn is dan een rechte niet parallel met
de y-as en eventueel in het bijzonder parallel met de x-as.
b. De functie f is niet afleidbaar in c. Aangezien de raaklijn steeds bestaat in een
buigpunt is de enige mogelijkheid dat limc f 0 = ∞. De buigraaklijn is parallel met
de y-as.
OPGAVEN — 31 Zijn twee functies concaaf naar boven in R, is de samenstelling van de twee functies
ook concaaf naar boven?
32 Bewijs dat als (c, f (c)) een buigpunt is voor de grafiek van de functie f , en f 00 bestaat in een open
interval I dat het punt c bevat, dan is f 00 (c) = 0.
178
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
5.14
Wederom rekenregels
5.14.1
De afgeleide functie van een lineaire combinatie van twee
functies
STELLING 5.13 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan en r en s zijn reële constanten, dan geldt
(r.f + s.g)0 (x) = r.f 0 (x) + s.g 0 (x).
D(r.f + s.g) = r.Df + s.Dg
We zeggen: De afgeleide van een lineaire combinatie is gelijk aan de lineaire
combinatie van de afgeleiden.
Bewijs: Het bewijs steunt op de gelijknamige eigenschap van de limieten.
(r.f + s.g)(x + h) − (r.f + s.g)(x)
h→0
h
(r.f + s.g)0 (x) = lim
m def. v. lin. comb. v. funct.
r.f (x + h) + s.g(x + h) − r.f (x) − s.g(x)
h→0
h
(r.f + s.g)0 (x) = lim
m
r.(f (x + h) − f (x)) + s.(g(x + h) − g(x))
h→0
h
(r.f + s.g)0 (x) = lim
m
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x) + s.
(r.f + s.g)0 (x) = lim r.
h→0
h
h
m lim. v. lin. comb. v. funct.
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
+ s. lim
h→0
h→0
h
h
(r.f + s.g)0 (x) = r. lim
m f en g zijn afl.
(r.f + s.g)0 (x) = r.f 0 (x) + s.g 0 (x).
5.14. WEDEROM REKENREGELS
5.14.2
179
De afgeleide functie van het product van twee functies
STELLING 5.14 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan, dan geldt
(f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x)
D(f.g)(x) = g(x).Df (x) + f (x).Dg(x)
We zeggen: De afgeleide van het product van twee functies is de afgeleide
van de eerste functie maal de tweede functie plus de eerste functie maal
de afgeleide van de tweede functie.
Bewijs:
(f.g)(x + h) − (f.g)(x)
h→0
h
(f.g)0 (x) = lim
m def. v. prod. v. funct.
f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x)
h→0
h
(f.g)0 (x) = lim
m
f (x + h).g(x + h) − f (x + h).g(x) + f (x + h).g(x) − f (x).g(x)
h→0
h
(f.g)0 (x) = lim
m
f (x + h) g(x + h) − g(x) + f (x + h) − f (x) .g(x)
(f.g) (x) = lim
h→0
h
0
m eig. v. lim.
g(x + h) − g(x)
f (x + h) − f (x)
+ lim
. lim g(x)
h→0
h→0
h→0
h
h
(f.g)0 (x) = lim f (x + h). lim
h→0
m
(f.g)0 (x) = f (x).g 0 (x) + f 0 (x).g(x)
Merk op dat
• limh→0 f (x + h) = f (x) omdat de functie f afleidbaar is en dus ook continu.
• limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h.
180
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
We kunnen deze stelling uitbreiden voor het product van een eindig aantal functies. We
geven de uitbreiding voor drie functies:
(f.g.h)0 (x) = f 0 (x)g(x).h(x) + f (x)g 0 (x).h(x) + f (x).g(x).h0 (x).
D(f.g.h)(x) = g(x).h(x).Df (x) + f (x).h(x).Dg(x) + f (x).g(x).Dh(x).
Een bijzonder geval van de regel voor het product is de regel voor een natuurlijke macht
van een functie.
GEVOLG 5.2
∀n ∈ N : D(f (x))n = n(f (x))n−1 Df (x)
Bewijs: We bewijzen de regel door volledige inductie.
1. De regel is geldig voor n = 1.
2. Als de regel geldt voor n dan geldt hij ook geldig is voor n + 1.
Gegeven : D(f (x))n = n(f (x))n−1 Df (x);
Te bewijzen: D(f (x))n+1 = (n + 1)(f (x))n Df (x).
Bewijs:
D(f (x))n+1 = D((f (x))n .f (x))
afg. prod.
=
f (x).D(f (x))n + (f (x))n .Df (x)
geg.
= f (x)n(f (x))n−1 + (f (x))n = (n + 1)(f (x))n .
5.14. WEDEROM REKENREGELS
5.14.3
181
De afgeleide functie van het quotiënt van twee functies
STELLING 5.15 Als f 0 (x) en g 0 (x) bestaan, dan is
0
f
g(x).f 0 (x) − g 0 (x).f (x)
(x) =
.
g
g 2 (x)
f
g(x).Df (x) − f (x).Dg(x)
D
(x) =
.
g
g 2 (x)
We zeggen: De afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan de
noemer maal de afgeleide van de teller min de teller maal de afgeleide
van de noemer en dit alles gedeeld door het kwadraat van de noemer.
Bewijs:
0
f
(x + h) − fg (x)
f
g
(x) = lim
h→0
g
h
m def. v. quot. v. funct.
0
f (x+h)
(x)
− fg(x)
f
g(x+h)
(x) = lim
h→0
g
h
m
0
f
f (x + h).g(x) − f (x).g(x + h)
(x) = lim
h→0
g
h.g(x + h).g(x)
m
0
f
f (x + h).g(x) − f (x).g(x) + f (x).g(x) − f (x).g(x + h)
(x) = lim
h→0
g
h.g(x + h).g(x)
m
0
(x)
g(x). f (x+h)−f
− f (x). g(x+h)−g(x)
f
h
h
(x) = lim
h→0
g
g(x + h).g(x)
m
0
(x)
limh→0 g(x). limh→0 f (x+h)−f
− limh→0 f (x). limh→0
f
h
(x) =
g
limh→0 g(x + h). limh→0 g(x)
m
0
f
g(x).f 0 (x) − f (x).g 0 (x)
(x) =
g
g 2 (x)
g(x+h)−g(x)
h
182
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Merk op dat
• limh→0 g(x + h) = g(x) omdat de functie g afleidbaar is en dus ook continu.
• limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h. Hetzelfde is geldig voor f (x).
Bijzonder geval:
1
g 0 (x)
(x) = − 2
g
g (x)
Uit het bijzonder geval kunnen we de regel afleiden voor de afgeleide van een gehele macht.
GEVOLG 5.3
∀n ∈ N : D(f (x))−n = −n(f (x))−n−1
Bewijs:
D(f (x))−n = D
1
D(f (x))n
n(f (x))n−1 Df (x)
=
−
=
−
= −n(f (x))−n−1 Df (x).
(f (x))n
(f (x))2n
(f (x))2n
Hierbij maakten we gebruik van de definitie van negatieve macht en de regel voor de
afgeleide van een natuurlijke macht van een functie.
Besluit: De regel voor de afgeleide van een gehele macht is:
∀z ∈ Z : D(f (x))z = z(f (x))z−1 Df (x).
5.14.4
De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies—
De kettingregel
STELLING 5.16 Als f 0 (x) en g 0 (f (x)) bestaan, dan is
(gof )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
We zeggen: De afgeleide van een samenstelling van twee functies y = f (x)
en z = g(y) is de afgeleide van de tweede functie g naar y maal de afgeleide
van de eerste functie f naar x.
Met de Leibniznotatie:
dz
dz dy
=
·
.
dx
dy dx
5.14. WEDEROM REKENREGELS
183
Bewijs:
(g ◦ f )(x + h) − (g ◦ f )(x)
h→0
h
m def. v. samenst. v. funct.
(g ◦ f )0 (x) = lim
g(f (x + h)) − g(f (x))
h→0
h
m
(g ◦ f )0 (x) = lim
g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x)
·
h→0
h
f (x + h) − f (x)
(g ◦ f )0 (x) = lim
m
g(f (x + h)) − g(f (x)) f (x + h) − f (x)
·
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Omdat de functie f afleidbaar is, is ze tevens continu. Er geldt
(g ◦ f )0 (x) = lim
lim f (x + h) = f (x)
h→0
We stellen f (x + h) − f (x) = k ⇐⇒ f (x + h) = f (x) + k = y + k
f (x + h) − f (x)
g(y + k) − g(y)
· lim
h→0
k→0
k
h
m
dg df
·
(g ◦ f )0 (x) =
dy dx
(g ◦ f )0 (x) = lim
Uitbreiding van de kettingregel: De afgeleide van de samenstelling van drie functies.
Als f 0 (x), g 0 (f (x)) en h0 (g(f (x))) bestaan, dan is
(h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (g(f (x)))g 0 (f (x))f 0 (x) =
dh dg df
·
.
dz dy dx
Deze kettingregel kan gemakkelijk uitgebreid worden voor de afgeleide van de samenstelling van meer dan drie.
PRAKTISCH: Bij het afleiden van de samenstelling van meerdere functies beginnen we
met het afleiden van de functie die we het laatst toepassen, vervolgens leiden we de voorlaatste functie af enz. tot alle functies van de samenstelling afgeleid zijn.
184
5.14.5
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Afgeleide functie van de inverse functie van een functie
STELLING 5.17 Heeft de functie y = f (x) een inverse functie y = f −1 (x), dan is de
afgeleide functie van y = f −1 (x) gelijk aan de omgekeerde functie van de afgeleide functie
van z = f (y), waarin we y vervangen door f −1 (x).
Met symbolen:
(f −1 (x))0 =
1
met y = f −1 (x)
f 0 (y)
m
(f −1 (x))0 =
1
f 0 (f −1 (x))
.
We zeggen: De afgeleide van de inverse functie van een functie is gelijk
aan de omgekeerde van de afgeleide van de functie
Met Leibniznotatie:
dy
1
=
dx
dx
dy
Bewijs: Zijn twee functies f en f −1 elkaars inverse dan is
y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y).
dy dx
dx
·
=
=1
dx dy
dx
m
dy
1
=
dx
dx
dy
5.14. WEDEROM REKENREGELS
Figuur 5.15: raaklijnen in corresponderende punten van inverse functies
185
186
5.15
HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN
Wiskunde-Cultuur
Gottfried Wilhelm LEIBNIZ was een Duits wiskundige van de zeventiende eeuw. Hij
bracht het grootste deel van zijn leven door in de buurt van het hof van Hannover en
in dienst van de hertogen. Hij streefde de grootste denkers van zijn tijd voorbij in de
breedte van zijn scheppend werk; zijn wijsbegeerte omvatte behalve de logica ook geschiedenis, theologie, linguistiek, biologie, geologie, wis- en natuurkunde, diplomatieën en de
uitvindingskunst. Hij was een der eersten na PASCAL die een rekenmachine uitvond,
hij dacht over stoomwerktuigen, studeerde Chinese filosofie en werkte aan de eenheid van
Duitsland. Zijn geheel wetenschappelijk en wijsgerig streven werd gedragen door zijn
zoeken naar een universele methode, waarmee men ware kennis zou kunnen verkrijgen,
uitvindingen kon verrichten en het wezen van de eenheid van het heelal kon begrijpen.
Dit zoeken beheerste ook DESCARTES’ denken. De “Algemene Wetenschap”, de “Scientia generalis”, waarnaar Leibniz streefde, was zeer veelzijdig en bracht hem ook tot zijn
wiskundige ontdekkingen. Hij hoopte de Algemene Wetenschap te kunnen uitdrukken in
een aparte symboliek, de “Characteristica Universalis” en op weg daarheen bestudeerde
hij permutaties en combinaties, en zocht naar een Algemene Taal, een “Lingua Universalis”, waarin alle gedachtenfouten en rekenfouten zouden optreden. Dit leidde hem niet
alleen tot een begin van de symbolische logica, doch ook naar de infinitesimaalrekening
met zijn sprekende notatie. Doch niet alleen hier, maar ook op andere wiskundige gebieden trachtte hij de symboliek te verbeteren, en zo werd Leibniz een Rvan de grootste
uitvinders van mathematische notaties. Hij voerde het integraalteken
in, onder zijn
invloed hebben tekens zoals = voor gelijkheid en · voor vermenigvuldiging algemene ingang gevonden. Ook de uitdrukkingen “functie” en “coördinaten”, “ordinaat” en “absis”
komen van Leibniz, evenals de ondeugende term “osculeren”. Hij gebruikte verschillende
manieren om het begrip “oneindige” te benaderen, zo aanvaarde hij in een van zijn brieven
(aan FOURCHER, 1693) het actueel oneindige ten einde ZENO’s paradoxen (Achilles en
de schildpad) te overwinnen. Er zijn weinig mensen geweest die zo diep de eenheid van
vorm en inhoud hebben trachten uit te drukken. Zijn uitvinding van de differentiaalen integraalrekening (ook deze namen zijn van hem) was gedragen door zijn streven een
“lingua universalis” van de verandering, en in het bijzonder van de beweging te scheppen,
al speelde hier natuurlijk ook de liefde voor de wiskunde een belangrijke rol. Leibniz bestudeerde Descartes, Pascal en andere voorgangers. Ook stimuleerde hem het bericht uit
Engeland dat daar NEWTON een algemene methode had gevonden om problemen met
infinitesimalen te beheersen. Terwijl Newtons methode kinematisch was georiënteerd,
was die van Leibniz allereerst van meetkundige aard; hij dacht in de taal van de zgn.
karakteristieke driehoek (dx, dy, dz). Leibniz heeft een periode geopend van buitengewone wiskundige productiviteit. Na 1687 werd hij vooral door de broers Jacob en Johann
BERNOULLI geholpen. Nog vóór 1700 hadden zij het voornaamste gevonden van wat
we nu de elementaire differentiaal- en integraalrekening noemen.
Hoofdstuk 6
Algebraı̈sche functies
6.1
6.1.1
Veeltermfuncties
Standaardveeltermfuncties
Het voorschrift van enkele standaardveeltermfuncties: y = 1, y = x, y = x2 , y = x3 ,
y = 2x4 , y = x5 enz.....
Figuur 6.1: y = x2 — y = x4 — y = x6 — y = x3 — y = x5
187
188
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
6.1.2
Voorschrift van een veeltermfunctie
6.1.2.1
Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveeltermfuncties
Een veeltermfunctie heeft een voorschrift van de algemene gedaante:
y = V (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 met an , an−1 , · · · , a2 , a1 , a0 ∈ R.
Een veeltermfunctie kunnen we opvatten als een lineaire combinatie van de standaardfuncties.
Figuur 6.2: som en scalaire vermenigvuldiging van veeltermfuncties
Bijzondere gevallen: eerste- en tweedegraadsfuncties
Vorige jaren hebben jullie de eerste- en tweedegraadsfuncties grondig bestudeerd.
y = ax + b en y = ax2 + bx + c
6.1. VEELTERMFUNCTIES
6.1.2.2
189
Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties
STELLING 6.1 Elke veeltermfunctie van de graad n heeft maximaal n nulpunten in R.
Is a een nulpunt van een veeltermfunctie dan is de veelterm deelbaar door x − a. Het
quotiënt van de deling door x − a kan dan bepaald worden met de regel van Horner.
Dit betekent dat elke veelterm ontbindbaar is in factoren van de eerste en/of de tweede
graad (zie deeltje Complexe Getallen).
Een veeltermfunctie kan geschreven worden als het product van eéń of
meerdere eerste en/of tweedegraadsfuncties.
Grafisch betekent dit dat elke veeltermfunctie van de graad n hoogstens n snijpunten heeft met de x-as.
Kent men van een veeltermfunctie een nulpunt x1 dan bevat deze veelterm de factor x−x1
. De veelterm is deelbaar door de factor x − x1 .
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )Q(x)
Q(x) is een veelterm van de graad n − 1.
Kent men van een veeltermfunctie twee nulpunten x1 en x2 dan bevat deze veelterm de
factoren x − x1 en x − x2 . De veelterm is deelbaar door het product:
(x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = x2 − Sx + P
waarbij S = x1 + x2 en P = x1 x2 resp. de som en het product zijn van de nulpunten.
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(x − x2 )Q(x)
Q(x) is een veelterm van de graad n − 2.
Kent men van een veeltermfunctie drie nulpunten x1 , x2 en x3 dan bevat deze veelterm
de factoren x − x1 , x − x2 en x − x3 . De veelterm is deelbaar door het product:
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
= x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 )x − x1 x2 x3
= x3 − Sx2 + ax − P
waarbij S = x1 +x2 +x3 en P = x1 x2 x3 resp. de som en het product zijn van de nulpunten.
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )Q(x)
Q(x) is een veelterm van de graad n − 3.
190
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Maak zelf de redenering voor een veelterm met vier en vijf nulpunten.
Meestal zijn de nulpunten van een veeltermfunctie niet gekend. Het is soms een hele
klus om nulpunten te bepalen. Heeft een veeltermfunctie een geheel nulpunt dan is dat
een deler van de constante term. De delers van de constante term zijn dus kandidaat
nulpunten van de veeltermfunctie.
In de volgende voorbeelden gaan we een gegeven veelterm in factoren ontbinden met
behulp van de grafiek van de veeltermfunctie, die we kunnen verkrijgen met DERIVE.
De voorschriften zijn echter geselecteerd, d.w.z. dat de veelterm minstens één geheel of
rationaal nulpunt bezit, die we gemakkelijk op de grafiek van de functie kunnen aflezen.
Voorbeelden:
• y = −2x3 + 11x2 − 4x − 5
Op de grafiek van deze functie zien we het nulpunt 1. De veelterm is deelbaar door
x − 1. Met de regel van Horner kunnen we het quotiënt bepalen. Het quotiënt is van
de tweede graad waarvan we de eventuele nulpunten gemakkelijk kunnen bepalen.
De nulpunten van deze tweedegraadsfunctie zijn -1/2 en 5. De veeltermfunctie is
dus deelbaar door
1
(x − 1)(x + )(x − 5).
2
De ontbinding van de veelterm in factoren is
1
−2x3 + 11x2 − 4x − 5 = −2(x − 1)(x + )(x − 5).
2
Deze veeltermfunctie is het product van drie eerstegraadsfuncties:
y = −2x3 + 11x2 − 4x − 5 = (x − 1)(2x + 1)(5 − x).
• y = x3 + 1
Aan het voorschrift zien we gemakkelijk dat -1 een nulpunt is. Het quotiënt bij
deling door x + 1 is onontbindbaar. Deze veeltermfunctie van de derde graad is het
product van een eerstegraadsfunctie en een onontbindbare tweedegaadsfunctie:
y = x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1)
• y = x4 + 1
Bij deze veeltermfunctie zien we geen snijpunten met de x-as. Uit het voorschrift
leiden we af dat de functie voor elke waarde van x positief is. Toch is deze veelterm
ontbindbaar maar dan in twee veeltermen van de tweede graad die op hun beurt
onontbindbaar zijn.
6.1. VEELTERMFUNCTIES
191
y = x4 + 1
= x4 + 2x2 + 1 − 2x2
√
√
= (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)
OPGAVEN — 33 Gegeven de veeltermfuncties
1. y = x4 − 1
6.
2. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x + 12
7.
3. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x + 125
8.
4. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1
9.
5. y = 2x4 − x2
10.
y
y
y
y
y
= 2x3 + x2 − 13x + 6
= −x4 − 3x3 + x + 3
= 4x3 − 12x2 + 9x − 2
= 2x4 − x2 + 81
= 2x4 − x2 − 1
1. Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nulpunten die je met
zekerheid van de tekening kan aflezen;
2. Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Horner toepassen of de
euclidische staartdeling uitvoeren);
3. Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweede graad);
4. Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren.
Oplossingen:
1.
2.
3.
4.
5.
y
y
y
y
y
= (x2 + 1)(x − 1)(x + 1)
= (1 − 3x)(x − 2)(x + 2)(x − 3)
= (2x + 5)3 (x + 1)
= (2x√
− 1)3
√
2
= x ( 2x − 1)( 2x + 1)
6.1.2.3
6.
7.
8.
9.
10.
y
y
y
y
y
= (2x − 1)(x + 3)(x − 2)
= (x2 + x + 1)(1 − x)(x + 3)
= (2x − 1)2 (x − 2)
= 81 (2x − 1)2 (2x + 1)2
= (x − 1)(x + 1)(2x2 + 1)
Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties
De samenstelling van twee veeltermfuncties is weer een veeltermfunctie. Omgekeerd,
kunnen we elke veeltermfunctie opvatten als de samenstelling van twee of meerdere veeltermfuncties. Merk op dat de samenstelling van twee functies NIET commutatief is.
Voorbeeld: Gegeven de functies f : y = x + 1 en g : y = x2 . De samenstelling van de twee
functies in de twee volgorden:
g ◦ f : y = (x + 1)2 ;
f ◦ g : y = x2 + 1.
OPGAVEN — 34 Gegeven f : y = 9x + 2 en g : 3x + a. Bepaal a zodat f ◦ g = g ◦ f .
35 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere veeltermfuncties:
(i) y = (x − 9)5
(iii) y = 3x2 + 3x + 2
2
(ii) y = 3x − 7x + 9 (iv) y = x2 (x2 + 4)
192
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Oplossingen:
34 a = 21 ;
35(i) y = x − 9, z = y 5 ; (ii) y = x − 1, z = 3y 2 − y + 5 of y = x − 67 ;
(iii) y = x + 12 , z = 3y 2 + 54 ; (iv) y = x2 , z = y(y + 4).
6.1.3
Het domein van een veeltermfunctie
Het domein van een veeltermfunctie is gans R. Plakpunten van het domein zijn +∞ en
−∞.
6.1.4
Limieten en continuı̈teit van een veeltermfunctie
6.1.4.1
Limiet in een reële waarde en continuı̈teit
In deze paragraaf maken we gebruik van de theoretische beschouwingen over limieten en
continuı̈teit van functies van het hoofdstuk 4.
Alle punten van het domein R van een veeltermfunctie zijn ophopingspunten van R. We
kunnen dus in elke reële waarde de limiet beschouwen.
• Voor de constante functie y = 1 geldt:
lim 1 = 1 met a ∈ R
a
want voor elke monotone rij die convergeert naar a geldt dat de beeldrij van de
functiewaarden de constante rij (1) is waarvan de limiet gelijk is aan 1 (zie definitie
1 van p. 129).
De limiet in elke reële waarde a is gelijk aan de functiewaarde in a. Hieruit volgt
dat de functie y = 1 continu is in elke reële waarde (zie definitie 4 van p. 129).
• De identieke functie y = x is continu over R omdat ze een stijgende bijectie is van
het interval ] − ∞, +∞[ naar het interval ] − ∞, +∞[ (zie stelling 4.8 op bladzijde
140).
lim x = a met a ∈ R
a
• De standaardfuncties y = xn met n ∈ N0 zijn continu in R vermits ze natuurlijke
machten zijn van de identieke functie die continu is over R (zie stelling 4.17 op
bladzijde 144).
6.1. VEELTERMFUNCTIES
193
• Een veeltermfunctie is een lineaire combinatie is van de continue standaardfuncties
y = xn . Volgens de stelling 4.17 van bladzijde 144 kunnen we het volgend besluit
formuleren:
Een veeltermfunctie is continu in elke reële waarde.
lim V (x) = V (a).
a
Praktische betekenis voor de grafiek van een veeltermfunctie: de grafiek van een
veeltermfunctie is een vloeiende lijn waar geen verticale sprongen voorkomen.
6.1.4.2
Limiet in ∞
Vermits +∞ en −∞ plakpunten zijn van R, die het domein is van elke veeltermfunctie, is
het zinvol de limiet te beschouwen in +∞ en in −∞. Volgens de rekenregels van limieten
is de limiet in +∞ of −∞ van een veelterm een som van +∞’s en −∞’s (zie bladzijde
143, 118 en ??). In de meeste gevallen is dit echter een onbepaaldheid. We lossen dit op
door de hoogste graadsterm voorop te zetten en aldus de rekenregel voor de limiet van
een product toe te passen, zoals we dit voor rijen ook gedaan hebben. We bekomen:
an−1
a1
a0
+ · · · + n−1 + n )
±∞
x
x
x
= lim xn lim(an + · · · )
lim(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ) = lim xn (an +
±∞
±∞
±∞
n
= an lim x
±∞
= lim an xn
±∞
Dus hieruit blijkt dat de limiet in +∞ of −∞ van elke veeltermfunctie gelijk
is aan de corresponderende limiet van zijn hoogstegraadsterm.
Voorbeelden:
lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞
+∞
+∞
en
lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞
−∞
−∞
Omdat de resultaten voor zowel +∞ en −∞ dezelfde zijn schrijven we kort:
lim(0, 1x2 + x − 3) = lim(0, 1x2 ) = +∞
∞
∞
194
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
GEVOLG 6.1 De limiet in +∞ van een veeltermfunctie heeft hetzelfde teken als van de
coëfficiënt van de hoogstegraadsterm an van de veelterm.
OPGAVEN — 36 Bepaal de volgende limieten en controleer op de grafiek met DERIVE:
1. lim+∞ (x2 + 12x − 2) =
4. lim−∞ (x2 − 2x − 12) =
2
2. lim−∞ (−x − 2x − 12) =
5. lim+∞ (−5x2 + 3x + 65) =
3
2
3. lim−∞ (x + 5x + 3x − 50) =
6. lim−∞ (−2x3 + x + 100) =
We merken op dat als de graad van een veeltermfunctie oneven is, de limieten in +∞
en −∞ verschillend teken hebben. Volgens de stelling van Bolzano (op bladzijde 140)
kunnen we besluiten dat een veeltermfunctie van een oneven graad minstens één nulpunt
heeft in R.
We formuleren de volgende stelling:
STELLING 6.2 Een veeltermfunctie van een oneven graad heeft minstens één nulpunt
in R. De grafiek van een veeltermfunctie met een oneven graad heeft minstens één snijpunt
met de x-as.
6.1.5
Tekenverloop van een veeltermfunctie
Komt een nulpunt a bij een veeltermfunctie k keer voor dan is de veelterm deelbaar door
(x − a)k :
V (x) ≡ (x − a)k .Q(x).
We zeggen dat a een nulpunt is met multipliciteit k.
Is k ≥ 2 dan raakt de grafiek van de functie aan de x-as in het punt (a, 0).
a. Is k even dan blijft de grafiek in een voldoende kleine omgeving van a aan de ene
kant van de xas.
b. Is k oneven dan gaat de grafiek in punt a van de ene kant naar de andere kant van
de x-as ((a, O) is een buigpunt voor de grafiek van de functie).
Inderdaad, snijden we de grafiek met de x-as dan vallen minstens 2 snijpunten samen met
het punt (a, 0). Later gaan we dat nog op een andere manier bewijzen.
Besluit voor het tekenverloop van een veeltermfunctie:
Doorlopen we het domein van rechts naar links dan beginnen we voor de veeltermfuncties
met hetzelfde teken van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm. Verder wisselt het teken
van de functie in de nulpunten die een oneven multipliciteit hebben en blijft het teken
behouden in een nulpunt met een even multipliciteit.
6.1. VEELTERMFUNCTIES
195
Voorbeelden:
• de veeltermfunctie f : y = −8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162 kan men drie keer
delen door de factor (x − 3/2). De veelterm bevat de factor (x − 3/2)3 of (2x − 3)3 .
De ontbinding in factoren is
−8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162 = (2x − 3)3 (6 − x).
De veeltermfunctie verandert van teken rond 3/2 en rond 6 omdat de multipliciteit
van beide nulpunten oneven is.
lim(−8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162) = lim(−8x4 ) = −∞.
+∞
+∞
We starten het tekenverloop rechts met −.
3/2
6
x
y − 0 + 0 −
In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punt (3/2, 0).
• De veeltermfunctie y = 5x(2x + 1)2 (−4 + 3x)3 verandert van teken rond 4/3 en rond
0 en verandert niet van teken rond −1/2 en
lim(5x(2x + 1)2 (−4 + 3x)3 ) = lim((20) · (27)x6 ) = +∞.
+∞
+∞
We starten het tekenverloop rechts met +.
x
−1/2
0
4/3
y +
0
+ 0 − 0 +
196
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punten (−1/2, 0)
en (4/3, 0).
OPGAVEN — 37 Gegeven de functie:
1. y = x4 − 1
2. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x + 12
3. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x + 125
4.
5.
6.
y = 2x3 + x2 − 13x + 6
y = −x4 − 3x3 + x + 3
y = 4x3 − 12x2 + 9x − 2
1. Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten door berekening:
2. Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haar grafiek te tekenen
met de computer.
AN I HUISTAAK 6
1. Gegeven de veeltermfuncties:
1. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1
3. y = 4x4 + 12x2 + 9
2. y = x4 + 4
4. y = 4x4 − 4x3 − 47x2 + 48x − 12
(a) Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nulpunten die je met zekerheid van de tekening kan aflezen;
(b) Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Horner
toepassen of de euclidische staartdeling uitvoeren);
(c) Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweede
graad);
(d) Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren.
2. Stel het voorschrift op van een even veeltermfunctie en van een oneven veeltermfunctie en teken hun grafieken. Welk kenmerk vertonen de grafieken?
6.1. VEELTERMFUNCTIES
197
3. Gegeven de functie:
1. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1
2. y = 2x4 − x2
3. y = 2x4 − x2 + 18
4. y = 2x4 − x2 − 1
(a) Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten door
berekening:
(b) Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haar
grafiek te tekenen met de computer.
6.1.6
Afgeleide functie van een veeltermfunctie
We zouden graag zonder de grafiek van de functie te kennen, weten in welke intervallen
de functie stijgt of daalt. Het begrip van afgeleide (zie hoofdstuk 5) geeft ons de mogelijkheid dat te onderzoeken. De afgeleide in een punt is immers de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn in het corresponderend punt op de grafiek. Is in een punt de afgeleide
positief (positieve richtingscoëfficiënt) dan stijgt de functie en is ze negatief (negatieve
richtingscoëfficiënt) dan daalt de functie in dat punt (zie definitie 5.3.1 en meetkundige
betekenis 5.3.2 op resp. p. 152 en p.153).
De afgeleide functie gedefinieerd op p. 156 geeft ons de afgeleide van de functie in elk punt
waar ze bestaat.
6.1.6.1
De afgeleide functie van een constante functie
STELLING 6.3 De afgeleide functie van een constante functie is de nulfunctie.
Dk = 0
of
dk
=0
dx
Bewijs: We beschouwen de constante functie y = k.
k−k
= 0.
h→0
h
f 0 (x) = lim
(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt)
Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van een constante
functie vallen samen met de grafiek van die functie, die een evenwijdige is met de x-as.
De richtingcoëfficiënt van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 0.
198
6.1.6.2
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
De afgeleide functie van de identieke functie
STELLING 6.4 De afgeleide functie van de identieke functie is de constante functie
y = 1.
Dx = 1
of
dx
=1
dx
Bewijs: We beschouwen de identieke functie y = x.
h
x+h−x
= lim = lim 1 = 1.
h→0 h
h→0
h→0
h
f 0 (x) = lim
(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt.)
Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van de identieke
functie vallen samen met de grafiek van die functie, die een rechte is met richtingcoëfficiënt
gelijk aan 1. De richtingcoëfficiënt van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 1.
6.1.6.3
Afgeleide van een natuurlijke macht van x
Om de afgeleide van een natuurlijke macht van x is een bijzonder geval van de regel voor
het afleiden van een natuurlijke macht van een functie (zie hoofdstuk 5 op p. 180).
Omdat f (x) hier de identieke functie x is geldt de regel:
∀n ∈ N : Dxn = nxn−1 .
6.1.6.4
De afgeleide functie van een veeltermfunctie
Vermits een veeltermfunctie een lineaire combinatie is van machten van x hebben we een
regel nodig voor het berekenen van de afgeleide van een lineaire combinatie van functies
(zie p. 178 van hoofdstuk 5).
STELLING 6.5 De afgeleide functie van een veeltermfunctie is een veeltermfunctie van
één graad lager.
Bewijs:
D(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + 2a2 x + a1 .
Voorbeelden:
6.1. VEELTERMFUNCTIES
• D(x3 − 9x2 + 27x + 2) = 3x2 − 18x + 27;
• D((3x − 2)5 (5x2 + 5x + 7)3 )
= 5(3x − 2)4 3(5x2 + 5x + 7)3 + (3x − 2)5 3(5x2 + 5x + 7)2 (10x + 5)
= 15(3x − 2)4 (5x2 + 5x + 7)2 (5x2 + 5x + 7 + (3x − 2)(2x + 1))
= 15(3x − 2)4 (5x2 + 5x + 7)2 (11x2 + 4x + 5)
199
200
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Praktisch voorbeeld: Een leerling Mieke bezit een oud stereosysteem met een naald. Zij
heeft een tekening van de naald gemaakt (zie figuur 6.3). De naald heeft een doorsnede
in de vorm van een parabool. De vergelijking van de parabool is y = 16x2 waarin x en y
gemeten zijn in millimeter. De naald zit in de groef van de plaat die een hoek θ maakt
met de horizontale richting zodat tan θ = 1, 75. Mieke is nieuwsgierig en zij wil weten
waar de contactpunten p en q van de naald met de groef zich juist bevinden, alsook het
laagste punt van de groef. Help Mieke!!!
Oplossing: We zoeken een punt a waarin de afgeleide van y = 16x2 gelijk is aan 1,75.
f 0 (a) = 32a = 1, 75.
Hieruit volgt dat
1, 75
= 0, 054
32
De contactpunten zijn de punten met coördinaat (−0, 055; 0, 048) en (0, 055; 0, 048).
Het laagste punt van de groef is de doorsnede van de raaklijn en de y-as.
De vergelijking van de raaklijn is (zie 5.6 op bladzijde 157):
a=
y−
1, 75
1, 752
= 1, 75(x −
)
64
32
m
1, 752
=0
64
Het snijpunt van deze raaklijn met de y-as (x = 0) is het punt met coördinaat:
1, 75x − y −
(0, −
1, 752
) = (0; −0, 048).
64
Figuur 6.3: naald in een groef van een plaat
6.1. VEELTERMFUNCTIES
201
OPGAVEN — 38 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y
y
y
y
y
y
= x5 − 5
= 16x5 + 170x4 + 700x3 + 1375x2 + 1250x − 50
= 6x8 − 8x4 + 3x − 2
= x4 − 5x3 + 12x2 − 4x + 1
= −4x5 − 15x4 + 10x2 + 60x − 15
= 48x5 − 40x3 + 15x − 6
7.
8.
9.
10.
11.
12.
y
y
y
y
y
y
= −6x5 + 25x4 + 30x3 − 200x2 + 120x − 10
= 2x4 − 4x3 + 3x2 − x + 2
= 2x5 − 5x4 + 5x3 − 5x2 + 5x − 2
= 3x4 + 2x3 − 39x2 + 36x − 7
= 2x4 − 8x3 + 9x2 − 4x + 2
= 12x5 − 15x4 − 235x3 + 360x2 − 180x + 60
39 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties.
Geef een ontbinding in factoren van het resultaat.
1. y = 6x5 − 5x3 + 1
5. y = x5 + 20x − 6
2
3
2. y=(x + 1) (x + 2)
6. y = x2 (x + 1)2 (x − 2)4
5
3
4
3. y = x (x − 2) (x + 3)
7. y = (x2 + 1)3 (x3 + 1)2
3 2
3
4. y = (x − 1) (x + x + 1)
8. y = (x + 1)3 (x − 1)3 (x2 + 1)
40 Gegeven is de functie:
1. y = 2x3 + x2 − 13x + 6
2. y = 8x3 − 12x2 + 6x − 1
3. y = 2x4 − x2 + 1/8
4. y = 2x4 − x2
5.
6.
7.
y = x4 + x2 − x − 1
y = 81 x3 − 1
y = 2x4 − x2 − 1
1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit.
2. Schets door enkele punten te verbinden de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van de
computer.
3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.
41 Bereken de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties. Geef een ontbinding in factoren van
het resultaat.
1.
2.
y = x(x − 1)2
y = (4 − 3x2 )7
42 Gegeven is de functie:
1. y = 4x3 − 12x2 + 9x − 2
2. y = 51 x5 − 2
3.
4.
3.
4.
y = x2 (1 + x)3 (2 − x)2
y = (x2 − 1)3 (1 − 2x3 )4
y = x4 + 2x3 − 2x + 1
y = x4 − x3 − 7x2 + x + 6
1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit.
2. Teken op de uitprinting, de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van de computer.
3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.
202
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
6.1.7
Verloop van een veeltermfunctie
6.1.7.1
Stijgen, dalen en relatieve extrema
De afgeleide functie zal om iets leren over het stijgen en het dalen van de functie en dan
ook over de punten waar we een overgang hebben van stijgen naar dalen en van dalen
naar stijgen. De punten waar zo een overgang plaats vindt zijn de punten waar de functie
een relatief maximum of een relatief minimum bereikt (zie hoofdstuk 5 op p. 162, p. 172
en p. 174).
OPGAVEN — 43 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies:
1. y = x4 + x2 − 2
5. y = x3 + x2 + 1
3
2. y = x − x
6. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x + 2
3
2
3. y = x + 6x + 9x + 2
7. y = x2 + 4x − 16
5
3
4. y = 6x − 5x + 1
8. y = x5 + 20x − 6
44 Onderzoek het verloop van de functie y = 2x4 − x2 + a. Leid uit het teken van de relatieve extreme
waarden van de functie af, in hoeveel punten de grafiek de x-as snijdt.
Oplossingen:
1. min: (0, −2)
√
√
√
√
2. max: (− 33 , 2 9 3 ), min: ( 33 , − 2 9 3 )
3. max: (−3,
2),√min: (−1, −2) √
√
2
4. max: (− 2 , 22 + 1), min: ( 22 , 1 −
√
2
2 )
5.
6.
7.
8.
max: (− 32 , 31
27 ), min: (0, 1)
min: ( 21 , 15
)
8
min: (−2, −20)
steeds stijgend
1. Het bepalen van het beeld van gesloten interval voor een veeltermfunctie
Vermits een veeltermfunctie continu is over gans R, bereikt volgens de stelling 4.12
van Weierstrass op pagina 142 een veeltermfunctie minstens één maal een grootste
en een kleinste waarde in een gesloten interval of is het beeld van een gesloten
interval weer een gesloten interval. Hierbij gebruiken we het begrip van kritisch
punt van een functie, dat een punt is van het domein van de functie waar de
afgeleide functie nul is of niet bestaat (zie p. 164). We berekenen de functiewaarden
in de kritische punten, alsook in de eindpunten van het gesloten interval. We nemen
van al deze functiewaarden de kleinste en de grootste waarde.
Voorbeelden:
• Bepaal voor de functie f : y = −x3 (x − 2)2 het beeld in het interval [−1, 3].
Oplossing: De afgeleide functie is
y 0 = −x2 (x − 2)(5x − 6).
De kritische punten in het interval [−1, 3] zijn 0, 2 en 6/5.
f (−1) = 9
f (3) = −27
f (0) = 0
f (6/5) = −0.43
6.1. VEELTERMFUNCTIES
203
In [−1, 3] is het absoluut maximum 9 en het absoluut minimum −27.
f ([−1, 3]) = [f (3), f (−1)] = [−27, 9].
• Zoek het beeld van het gesloten interval [− 12 , 4] voor de functie f : y = x3 −
3x2 + 1.
Oplossing: De afgeleide functie is
f 0 (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2).
De kritische punten in het interval [− 21 , 4] zijn de punten 0 en 2.
f (0) = 1
f (2) = −3
1
1
f (− ) =
2
8
f (4) = 17
In [− 21 , 4] is het absoluut maximum 17 en het absoluut minimum −3.
1
f ([− , 4]) = [f (2), f (4)] = [−3, 17].
2
204
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 45 Bepaal van de volgende functies het beeld van het gesloten interval:
1. y = x3 + 6x2 + 9x + 2 in [−4, 0]
3. y = x4 − 2x2 + 1 in [−5, 5]
4
2. y = x3 − 3x in [− 21 , 29 ]
4. y = − x4 + x in [− 32 , 72 ]
Oplossingen:
2177 3
45 1. [−2, 2], 2. [−2, 621
8 ], 3. [0, 576], 4. [− 64 , 4 ].
2. Veeltermfuncties die aan bepaalde voorwaarden voldoen
In deze paragraaf gaan we op zoek naar het voorschrift van een veeltermfunctie die
aan bepaalde voorwaarden voldoet.
Voorbeeld: Voor welke waarde van p heeft de functie y = x3 + px − 1
(i) noch een maximum, noch een minimum;
(ii) een maximum, een minimum en drie verschillende nulpunten;
(iii) een maximum en een minimum en drie nulpunten waaronder twee samenvallende?
Oplossing: We berekenen de afgeleide functie: y 0 = 3x2 + p.
(i) De functie bereikt geen extrema als y 0 een vast teken heeft, d.i. als 3x2 + p geen
nulpunten of twee samenvallende nulpunten heeft.
∀x ∈ R : 3x2 + p ≥ 0 ⇐⇒ p ≥ 0.
6.1. VEELTERMFUNCTIES
205
(ii) De functie bereikt twee extreme waarden als y 0 twee verschillende nulpunten
heeft, waarin y 0 van teken verandert. Dit gebeurt als p < 0 is.
r
p
2
p < 0 ∧ 3x + p = 0 ⇐⇒ x = ± −
3
De grafiek van deze functie heeft drie snijpunten als de twee relatief extreme
waarden tegengesteld zijn van teken. De relatief extreme waarden zijn:
r
r
r
r
p
2p
p
p
2p
p
f (− − ) = −
− − 1 en f ( − ) =
− − 1.
3
3
3
3
3
3
De laatste functiewaarde is negatief vermits p negatief is. De andere functiewaarde moet dus positief zijn.
r
p
3
2p
− − 1 > 0 ⇐⇒ p < − √
.
−
3
3
3
4
(iii) De grafiek van de functie raakt aan de x-as als de relatieve maximale extreme
functiewaarde gelijk is aan nul.
r
3
2p
p
−
− − 1 = 0 ⇐⇒ p = − √
.
3
3
3
4
Figuur 6.4: y = x3 − 3x − 1
3
y = x3 + − √
3 x − 1
4
y = x3 − 1/2x − 1
y = x3 + x − 1
206
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 46 Bespreek de relatieve extreme waarden van een algemene veeltermfunctie van
de vierde graad.
3. Extremumvraagstukken
Voorbeelden:
• Een landbouwer heeft 1200 m afsluiting. Hij wil daarmee een rechthoekig
stuk grond afbakenen, gelegen aan een rivier. Langs de rivier hoeft hij geen
afsluiting te plaatsen. Wat zijn de afmetingen van het weiland met de maximale
oppervlakte?
Oplossing: We zoeken de afmetingen van het rechthoekig stuk grond dus kiezen
we één van de afmetingen als onafhankelijk veranderlijke x (bvb. de breedte
rechtop de rivier). De andere afmeting is dan 1200 − 2x. We bepalen steeds
vooraf tussen welke waarden de onbekende x kan variëren.
De uiterste waarden voor x zijn 0 en 600.
De functie waarvan we een maximum moeten zoeken, is de oppervlakte S van
het stuk grond.
S = x(1200 − 2x)
. We zoeken de extreme waarden van S door S af te leiden.
S 0 = −4x + 1200.
We maken een tabel met het tekenverloop van S en S 0 .
x
S0
S
0
300
600
+
0
−
0 % 180000 & 0
6.1. VEELTERMFUNCTIES
207
Het rechthoekig stuk grond moet 300 meter breed zijn en 600 meter langs de
rivier lopen. De maximale oppervlakte is dan 180000 m2 .
• Indien het draagvermogen van een balk evenredig is met de breedte en met het
kwadraat van de hoogte, vraagt men uit een cilindervormige boomstam een
balk met maximaal draagvermogen te zagen.
Oplossing: We zoeken de afmetingen van de balk dus kiezen we voor de
onafhankelijk veranderlijke x één van de twee afmetingen van de balk.
De beste keuze is de breedte. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R . De
andere afmeting noemen we h. Omdat de balk uit een cilinder met straal R
moet worden gezaagd, zijn breedte x en hoogte h van de balk verbonden door
de volgende betrekking:
h2 = 4R2 − x2 .
De functie waarvan we het maximum moeten bepalen is het draagvermogen.
D = k.x.h2 = kx(4R2 − x2 )
D0 = k(4R2 − 3x2 ).
We maken de tabel met D en D0 .
x
D0
D
√
2 3
R
3
0
+
0 %
0
√
16 3
kR3
9
De gevraagde breedte is
√
2 3
R.
x=
3
De hoogte is dan
√
2 6
h=
R
3
2R
−
&
0
(6.1)
208
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
• Hoe verandert de oppervlakte van een rechthoek waarvan twee hoekpunten op
de x-as liggen en de andere twee op het deel boven de x-as van de parabool
met vergelijking y = 12 − x2 ?
Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de absis van het
punt van de parabool. De ordinaat van √
het punt is 12 − x2 .
De uiterste waarden voor x zijn 0 en 2 3.
De functie is de oppervlakte S van de rechthoek met afmetingen 2x en 12−x2 .
S = 2x(12 − x2 )
S 0 = 6(4 − x2 )
x
S0
S
√
2
2 3
+ 0 −
0 % 32 & 0
0
De oppervlakte is maximaal voor het punt (2, 8)
Figuur 6.5: y = 2x(12 − x2 )
6.1. VEELTERMFUNCTIES
209
OPGAVEN — 47 Hoe verandert het product van twee getallen als hun som constant blijft?
48 Verdeel het getal 120 in twee delen zodanig dat het produkt P van het ene deel en het
kwadraat van het andere deel maximaal is.
49 De som van twee positieve getallen is 20. Zoek deze getallen als
a. het produkt maximaal is;
b. de som van hun kwadraten minimaal is;
c. het produkt van het kwadraat van het ene en de derde macht van het andere getal maximaal
is.
50 Zoek de minimale afstand van het punt (4, 2) tot de parabool y = 14 x2 .
51 Welke rechthoekige driehoek, waarvan de som van de schuine zijde en de hoogte daarop gelijk
is aan a, heeft de grootste oppervlakte?
52 Welke is de hoogte van de rechte omwentelingscilinder met een maximaal volume die kan
ingeschreven worden in een bol met straal R?
Oplossingen:
47 als de getallen gelijk zijn, is er een maximaal product; 48 80 en 40;
49 a. 10 en 10; b. 10 en 10; c. 8 en 12;
p
√
√
√
50 het punt is (2 3 4, 2 3 2), de min. afstand is 20 − 12 3 2 ≈ 0.98
51 max. opp. vr. driehoek met hoogte = a2 .
2R
52 de hoogte is √
3
AN I HUISTAAK 7 (a) Gegeven is de functie fa : y = −3x3 + 9x − a.
i. Bespreek het aantal nulpunten met hun multipliciteit van f al naar gelang
de waarden van a;
ii. Geef in elk van de gevallen de gedaante van de ontbinding in factoren in
R van f (x).
iii. Als je een negatief nulpunt van fa gegeven krijgt, hoe kan je dan uit de
waarde van dat nulpunt afleiden zonder berekeningen uit te voeren of er
nog andere nulpunten zijn en of ze positief of negatief zijn?
(b) Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad, die twee extrema bereikt, één
voor x = 1 en één voor x = 2. De functie heeft 0 als nulpunt en bereikt de
waarde −10/3 voor x = 1. Onderzoek het verloop van de veeltermfunctie en
teken haar grafiek.
(c) Hoe verloopt de inhoud van een lichaam dat ontstaat door het wentelen van
een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde, als de schuine zijde constant
is?
210
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
4. Benaderen van de nulpunten van een veeltermfunctie
Als de veeltermfunctie geen mooie gehele of rationale nulpunten heeft dan kunnen
we de methode van Newton (zie p. 160) toepassen om de nulpunten van de
veeltemfunctie bij benadering te bepalen. We illustreren met enkele voorbeelden.
• Bepaal het tekenverloop van y = x3 − 3x2 − 1.
Oplossing: We zien dat de functie geen mooie gehele of rationale nulpunten
heeft. We gaan daarom de nulpunten benaderen met de methode van Newton
(zie paragraaf op p. 160). Om een idee te krijgen van hoeveel nulpunten er zijn
en waar ze ergens gelegen zijn, maken we een ruwe schets van de functie.
We bepalen daartoe de afgeleide functie y 0 = 3x2 −6x = 3x(x−2) en maken een
tabel met het tekenverloop van f 0 en met de relatief extreme functiewaarden
van f .
0
2
4
x
0
y + 0 − 0 +
y % −1 & −5 % 15
Nu kunnen we de functie schetsen.
Figuur 6.6: ruwe schets van de grafiek van y = x3 − 3x2 − 1
In 0 en 2 zijn de functiewaarden negatief. Op de schets zien we dat de functie
positief wordt in de omgeving van 4. We voegen 4 toe aan de tabel. In 4 is de
functiewaarde 15. Volgens de stelling van Bolzano (zie p. 140) zal de functie
nul worden tussen 2 en 4. We nemen bvb. 3 als eerste benadering van het
nulpunt van de functie y = x3 − 3x2 − 1. Volgens de formule 5.2 is
xn+1 = xn −
x3n − 3x2n − 1
.
3x2n − 6xn
De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijn
x1 = 3 x2 = 3, 111111111 x3 = 3, 103835979 x4 = 3, 103803403
6.1. VEELTERMFUNCTIES
211
en x5 = 3, 103803403.
Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 3, 103803.
Het tekenverloop van de functie is:
x
3, 103 · · ·
y −
0
+
• Een andere opgave waarbij we een nulpunt
van een veeltermfunctie moeten
√
bepalen is de volgende opgave. Bepaal 7 3 zonder dit rechtstreeks op je rekentoestel
te berekenen.
√
7
3 is een wortel van de vergelijking x7 = 3 of het nulpunt van de functie
y = x7 − 3. We weten dat deze wortel in de omgeving zal liggen van 1. We
nemen 1 als eerste benadering. Volgens de formule 5.2 is
xn+1 = xn −
x7n − 3
.
7x6n
De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijn
x1 = 1 x2 = 1, 285714286 x3 = 1, 196916823 x4 = 1, 171689051
x5 = 1, 169938708 x6 = 1, 169917156 x7 = 1, 169889953
x8 = 1, 170001529 x9 = 1, 169930826 en x10 = 1, 169930813.
Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 1, 169931.
√
7
3 = 1, 169931
OPGAVEN — 53 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veeltermfuncties:
1.
y = x5 − x + 3
3.
y = 2x3 + x2 − 13x + 8
54 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veeltermfuncties op 10
cijfers nauwkeurig:
1.
6.1.7.2
y = x4 + x3 − 22x2 − 2x + 41 in [3, 4]
2.
y = x3 + x2 + x − 2
Concaviteit en buigpunten
Om een grafiek correct te tekenen is het niet voldoende het stijgen, dalen en extrema van
de functie te kennen. Men moet ook weten hoe de kromming van de grafiek is en in welke
punten er een verandering is van kromming. Voor grafieken van functies maken we een
onderscheid tussen holle naar boven en holle kant naar beneden (zie p. 175 in hoofdstuk
5) .
Het teken van de tweede afgeleide functie leert ons wanneer de grafiek de holle naar
boven of de holle kant naar beneden heeft (zie stelling 5.11 op p. 176). Een buigpunt
komt voor daar waar de eerste afgeleide een extremum bereikt of daar waar de tweede
afgeleide van teken verandert (zie de definite op p. 176)
212
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Voorbeelden:
• Bepaal de relatief extreme waarden, de concaviteit en de buigpunt(en) voor de
grafiek van de functie f : y = x3 − 3x + 1. Teken tenslotte de grafiek.
Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn:
f 0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) en f 00 = 6x.
De tabel met het tekenverloop van f 0 en f 00 :
x
y0
y 00
y
−1
0
1
+ 0 − −3 − 0 +
−
− 0 +
+
%
3
&
1
&
−1
%
T
T
S
S
De functie bereikt een relatief maximum in −1, een relatief minimum in 1 en het
buigpunt is (0, 1). Volgens de tweede afgeleide test 5.12 op p. 176 kunnen we de
extrema bepalen met enkel het teken van f 00 in de nulpunten van f 0 te bepalen.
f 0 (−1) = 0 ∧ f 00 (−1) < 0 =⇒ f bereikt in -1 een maximum
f 0 (1) = 0 ∧ f 00 (1) > 0 =⇒ f bereikt in 1 een minimum.
Figuur 6.7: de grafiek van y = 3x2 − 3x + 1 en haar tweede afgeleide
6.1. VEELTERMFUNCTIES
213
• Bepaal de relatieve extrema, de concaviteit en de buigpunten van de functie f : y =
x4 − 4x3 . Teken tenslotte de grafiek.
Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn:
y 0 = 4x3 − 12x2 en y 00 = 12x2 − 24x.
Tabel met het tekenverloop van f 0 en f 00 :
0
2
3
4
x
0
y − 0 − −16 −
0
+ 64 +
y 00 + 0 −
0
+ 36 +
+
y + 0 − −16 − −27 − 0 +
&
&
&
%
%
S
T
S
S
S
Omdat f 0 (3) = 0 en f 00 (3) > 0 bereikt de functie een relatief minimum in 3 (tweede
afgeleide test). In 0 bereikt de functie geen extremum omdat f 0 niet van teken
verandert in 0. In 0 verandert f 00 van teken. Het punt (0, 0) is een buigpunt van de
grafiek. Dit voorbeeld illustreert dat de tweede afgeleide test (zie stelling 5.12 op p.
176) geen informatie geeft als f 00 (c) = 0 is. Deze test faalt eveneens als de tweede
afgeleide niet bestaat.
Figuur 6.8: de grafiek van y = x4 − 4x3 en haar tweede afgeleide
214
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 55 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteit
en buigpunten van de volgende functies.
1. y = 4 + 72x − 3x2 − x3
3. y = x3 (x + 6)4
4
3
2
2. y = x − 3x + 3x − x
4. y = 3x5 − 5x3 + 3
56 Onderzoek het verloop van de volgende functies van de vierde graad, schets de grafiek en bepaal
daarna grafisch de ontbinding in factoren:
(i) y = x4 − 1
(ii) y = x4 + 1
4
3
2
(iii) y = −3x + 10x + 9x − 40x + 12;
(iv) y = −x4 − 3x3 + x + 3
4
3
2
(v) y = 8x + 68x + 210x + 275x + 125
57 Onderzoek het verloop van de volgende veeltermfuncties, teken de grafiek en geef dan de ontbinding
in factoren:
1. y = x3 − 3x2
4. y = x3 + 3x2 + 3x − 7
4
2. y = x4 − 2x2 + 1 5. y = − x4
4
6. y = x6 − 2x3 + 1
3. y = − x4 + x
Oplossingen:
55:
1. min: (−6, −320), max: (4, 180), buigpt: (−1, −70)
27
1
2. min: ( 41 , − 256
), buigptn: ( 21 , − 16
) en (1, 0)
√
−18±6
3. min: (− 18
7 , · · · ), max: (−6, 0), buigptn: (
7
2
, · · · ) en (0, 0)
√
4. min: (1, 1), max: (−1, 5), buigptn: (0, 3) en (
2
2 ,3
±
7
√
)
4 2
56
√
√
(i) y = (x2 + 1)(x − 1)(x + 1))
(ii) y = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)
(iii) y = (−3x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 3)
(iv) y = (x2 + x + 1)(1 − x)(3 + x)
3
(v) y = (2x + 5) (x + 1)
57
1. y = x3 − 3x2 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 3x2 − 6x, y 00 = 6x − 6,
x
y0
y 00
y
+
−
−
%
T
0
0
0
1
− −3
− 0
− −2
&
T
2
− 0
+
− −4
&
S
3
+ 9
+
− 0
%
S
+
+
+
%
S
Extrema: max:(0, 0), min:(2, −4) Buigpunt: (1, −2)
De grafieken van de functies y = x3 − 3x2 + 1 en y = x3 − 3x2 − 1 kunnen uit de grafiek van de functie
y = x3 − 3x2 afgeleid worden door een verschuiving langs de x-as.
6.1. VEELTERMFUNCTIES
215
2. y = x4 − 2x2 + 1 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geen
asymptoten, y 0 = 4x3 − 4x, y 00 = 12x2 − 4,
√
√
x
−1
−√ 3/3
0
3/3
1
√
0
y
− 0
+ 8 3/9 + 0 − −8 3/9 − 0 +
y 00 +
+
0
−
−
0
+
+
y
+ 0
+
4/9
+ 1 +
4/9
+ 0 +
&
%
%
&
&
%
S
S
T
T
S
S
Extrema: max:(0,
1), min:(−1,
0) en (1, 0);
√
√
3 4
3 4
Buigpunt: (− 3 , 9 ) en ( 3 , 9 );
De grafieken van de functies y = x4 − 2x2 , y = x4 − 2x2 + 21 en y = x4 − 2x2 − 1 bekomen we uit de
grafiek van y = x4 − 2x2 + 1 door een verschuiving uit te voeren langs de y-as.
4
3. y = − x4 + x : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = −x3 + 1, y 00 = −3x2 ,
x
y0
y 00
y
+
−
−
%
T
0
1
0
0
√
3
1
0
+
−
+ 3/4
%
T
−
−
+
&
T
4
−3
0
−
−
−
&
T
Extrema: max:(1, 3/4);
Buigpunt: geen
4. y = x3 + 3x2 + 3x − 7 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 3x2 + 6x + 3, y 00 = 6x + 6,
x
y0
y 00
y
+
−
−
%
T
−1
0
0
−8
+
+
−
%
S
0
3
−7
+
+
−
%
S
1
12
0
+
+
+
%
S
Extrema: geen Buigpunt: (−1, −8), de buigraaklijn is parallel met de x-as.
4
5. y = − x4 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geen asymptoten,
y 0 = −x3 , y 00 = −3x2 ,
x
y0
y 00
y
Extrema: max:(0, 0);
Buigpunt: geen
+
−
−
%
T
−1
1
−1/4
0
+ 0
− 0
− 0
%
T
−
−
−
&
T
1
−1
−1/4
−
−
−
&
T
216
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
6. y = x6 − 2x3 + 1 : Domf = R, geen asymptoten, y 0 = 6(x3 − 1)x2 , y 00 = 6x(5x3 − 2),
x
y0
y 00
y
−
+
+
&
S
0
0
0
1
√
3
−
−
+
&
T
0, 4
−1, 95
0
9/25
1
− 0
+
+ 0
&
S
+
+
+
%
S
Extrema: min:(1, 0); √
Buigpunten: (0, 1) en ( 3 0, 4, 9/25).
AN I HUISTAAK 8
1. Gegeven zijn de functie f : y = x4 − x2 − 2x − 7, de cirkel met middelpunt
(1, 1) en straal 3 en de parabool y = x2 . Gevraagd:
(a) een tabel met het tekenverloop van de eerste afgeleide functie van f ;
(b) het beeld van [−2, 2];
(c) een schets zonder computer de grafiek van f zo nauwkeurig mogelijk en leid daaruit de
waarden af van de nulpunten van f (1 cijfer na de komma);
(d) de coördinaten van de snijpunten van de cirkel en de parabool. Stel deze krommen voor bij
de grafiek van f .
2. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 − ax2 − 4 al naargelang de waarden van
a. Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f 0 en f 00 , de schets van de
grafiek en de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm.
3. Aan de vier hoeken van een vierkant blad papier snijden we gelijke vierkanten weg. Hoe verloopt
de inhoud van de doos, die ontstaat door de vier rechthoeken van de boorden rechtop te zetten?
Oplossing: max. inh. voor de zijde van de afgesneden vierkanten gelijk aan een zesde deel van
2 3
z .
de zijde z van het blad papier, max. inh. = 27
PROEFHERHALINGSTOETS
1. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 + ax + 1 al naargelang de waarden van a.
Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f 0 en f 00 , de schets van de grafiek
en de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm.
2. Onder welke voorwaarde bezit de functie y = ax4 + bx3 + cx2 + d een maximum maar geen
minimum?
3. Gegeven een gelijkbenige driehoek. Noem de lengte van de basis 2a en de hoogte h. Bepaal het
punt op de hoogtelijn uit de top waarvoor geldt dat de som van de kwadraten van de afstanden
van dit punt tot de hoekpunten van de driehoek extremaal is. Bepaal de aard van het extremum.
Is dit punt een bijzonder punt van de driehoek?
6.2. RATIONALE FUNCTIES
6.2
6.2.1
217
Rationale functies
Standaardrationale functies
Standaardrationale functies zijn y = x1 , y =
Figuur 6.9: y =
1
x
1
,
x2
y=
— y=
1
,
x3
1
x3
enz.· · · .
— y=
1
x5
218
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Figuur 6.10: y =
1
x2
—— y=
1
x4
— y=
1
x6
6.2.2
Voorschrift van een rationale functie
6.2.2.1
Een rationale functie als quotiënt van twee veeltermfuncties
Een rationale functie is het quotiënt van twee veeltermfuncties.
Bijzondere gevallen:
• Veeltermfuncties zijn bijzondere rationale functies.
• Homografische functies
Een homografische functie is het quotiënt van twee eerstegraadsfuncties. Het
voorschrift van een homografische functie is van de algemeen van de gedaante:
y=
ax + b
.
cx + d
• Even en oneven rationale functies
OPGAVEN — 58 Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y =
x3 +x
x4 +1
en y = x2 − x12 .
6.2. RATIONALE FUNCTIES
219
59 Splits de volgende functie in de som van een even en een oneven functie: y =
Oplossing: 59 f : y =
6.2.2.2
x2 +1
x2 −1
en g :
x−1
x+1
2x
1−x2
Een rationale functie als samenstelling van rationale functies
De samenstelling van twee rationale functies is weer een rationale functie.
OPGAVEN — 60 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies:
2−x
x
3
(iv) y = (x−9)
(vii) y = 1−x
+1
(i)
y = ( x−1
5
x+1 )
(ii)
y = x2 −
(iii)
y=
6.2.3
1
x2
1
(x+1)2
+1
(v)
y=
(vi)
y=
x2
x2 +4
1
x2 +1
(viii)
y=
(ix)
y=
1
x+3
(2x−3)4
(x+4)4
Het domein van een rationale functie
Het domein van een rationale functie is de verzameling van alle reële x-waarden waarvoor
de noemer niet nul wordt. Het domein is dus het verschil van R en de verzameling van de
nulpunten van de veeltermfunctie bepaald door de veelterm in de noemer. Deze nulpunten
zijn plakpunten van het domein alsook −∞ en +∞.
Voorbeelden:
y=
y=
y=
1
x
ax+b
cx+d
x2 +1
x+1
domf = R0
domf = R \ (− dc )
domf = R \ (−1)
2
−1
Opmerking: De rationale functies f : y = xx−1
en f : y = x + 1 zijn twee verschillende rationale functies. De tweede functie is een veeltermfunctie, de eerste niet. In hun
gemeenschappelijk domein zijn ze aan elkaar gelijk.
∀x ∈ R \ {1} : x + 1 =
x2 − 1
.
x−1
De grafieken zijn dan ook gelijk op één punt na, nl. het punt (1, 2). De grafiek van de
funtie f is een grafiek die een gaatje bevat, nl. het punt (1, 2). De tweede functie f vult
dat gaatje op en is dus continue uitgebreide functie van f in het punt 1.
OPGAVEN — 61 Bepaal de eventuele gaatjes in de grafiek van de volgende functies. In geval van een
gaatje, geef dan de continu uitgebreide functie in dat punt.
2
3
+34x−15
−5x−6
(i) y = −15x
(ii) 2x
−5x2 +28x−15
x2 −3x+2
220
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
62 Geef het voorschrift van een rationale functie die in het punt (3, −2) een gaatje vertoont.
63 Bepaal het reëel getal a als gegeven is dat de functie y =
met absis 3.
ax2 −16x+1
x−3
in haar grafiek een gaatje heeft
TAAK ♣ 64 Bepaal de reële getallen a en b als je weet dat de functie y =
(0, 2) gaat en een gaatje heeft met absis 1.
x3 −ax2 +4x+b
x2 −1
door het punt
Oplossingen:
8
61: (i) gaatje ( 35 , 11
), VA: x = 5; (ii) gaatje (2, 19), VA: x = 1 63 a = 47/9;
64 a = 3 en b = −2;
6.2.4
Tekenverloop van een rationale functie
Het tekenverloop van het quotiënt van twee veeltermfuncties is gelijk aan het tekenverloop
van het product van de twee veeltermfuncties op de nulpunten van de noemer na. We
gaan dus voor het tekenverloop van een rationale functie dezelfde regel volgen als voor
een veeltermfunctie.
OPGAVEN — 65 Bepaal het domein en het tekenverloop van volgende rationale functies. Controleer
je resultaten met de grafiek op DERIVE.
1.
2.
y=
y=
x−1
x+1
x3 +5x2 +x+5
x2 +12x+35
4.
5.
y=
y=
x
1−4x2
x+1
x(x2 +4)
3.
y=
5x+7
3x3 −18x2 +36x+24
6.
y=
x4 −8x3 +2x2
x3 +x2
Oplossingen:
√
65 1. R \ {−1},
VA: x = −1; 2. R \ {−5, −7}, gaatje (−5, 13), VA: x = −7; 3. R \ {2 − 3 2} =≈ −0, 52,
√
3
1
VA: x = 2 − 2, 3 extrema; 4. R \ {− 12 , 12 }, VA: x = ± 21 , buigpt: (0, 0); 5. R0 , VA: x = O, max: (−2, 16
)
2
, buigpt: (−3, 39 ); 6. R0 \ {−1}, gaatje (0, 2), VA: x = −1, 2 extrema.
TAAK ♣ 66 Bepaal het domein, het tekenverloop van volgende rationale functie alsook de gaatjes in
de grafiek. Controleer je resultaten met de grafiek op DERIVE.
y=
x4 − 6x3 + 8x2 + 6x − 9
x2 − 4x + 3
Oplossing: domf =R \ {1, 3}, gaatje (1, −4) en (3, 0);
6.2. RATIONALE FUNCTIES
221
6.2.5
Transformaties van de grafiek van een rationale functie
6.2.5.1
Transformatie van een rationale functie in een standaardrationale
functie
Het is mogelijk om de grafiek van sommige rationale functie te transformeren in de grafiek
van een standaardrationale functie mits het toepassen van een geschikte transformatie.
Zo kunnen we grafiek van de homografische functie transformeren in de grafiek van de
standaardrationale functie y = x1 .
Het voorschrift van de homografische functie kan door het uitvoeren van de euclidische
deling in de volgende gedaante gebracht worden:
ax + b
cx + d
a
bc − ad
=
+
c c(cx + d)
y =
Opmerking: Met het commando ‘EXPAND van DERIVE kunnen we ook deze gedaante
voor het voorschrift van een rationale functie bekomen.
We kunnen het voorschrift van de functie als volgt schrijven:
y−
a
bc − ad
1
.
=
·
2
c
c
x + dc
De grafiek van de homografische functie y =
. x1 .
van de grafiek van de functie y = bc−ad
c2
ax+b
cx+d
is de verschuiving met vector ~v (− dc , ac )
ax + b
a
bc − ad
= +
cx + d
c c(cx + d)
Na een gepaste uitrekking in de richting van de x-as
0
c2
x
x = bc−ad
0
y = y
verkrijgen we de standaardrationale functie y = x1 .
OPGAVEN — 67 Bepaal de transformatie (verschuiving, spiegeling en /of uitrekking, inkrimping) die
elk van de grafieken van de volgende functies afbeeldt op één van de grafieken van de standaardrationale
functies.
√
2
−2x+4)
3 2x−7
√
(i) g1 : y = −3(x
(iv) g3 : 3(x−
x2 −2x+1
2)
(ii) g2 : y = 13 x3 − 2x2 + 4x −
14
3
(v) g4 : y =
6x2 −20x+17
(3x−5)2
Open daartoe twee grafische vensters, in het ene venster teken je een gegeven functie en in het tweede
venster teken je de mogelijke standaardrationale functies. Kijk welke standaardfunctie het best past bij
de g-functie. Leid hieruit de gepaste transformatie af.
222
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Figuur 6.11: zoek de transformatie: y =
1
x
−→ y =
3−x
x−2
Figuur 6.12: zoek de transformatie: y =
1
x
−→ y =
5x+4
3x−2
6.2. RATIONALE FUNCTIES
223
TAAK ♣ 68 Beantwoord dezelfde vraag als in opgave 67 voor de volgende functies:
f :y=5
6.2.5.2
3 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 83
125x3 − 75x2 + 15x − 2
en g : y =
3
(5x − 1)
2
(2x + 3)4
De inverse relatie van een rationale functie
De kromme die we bekomen door de grafiek van een rationale functie te spiegelen om de
rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x is de grafische voorstelling van de
inverse relatie van de rationale functie. We illustreren met enkele eenvoudige voorbeelden.
tot haar domein en haar beeld
• De restrictie van elke homografische functie y = ax+b
cx+d
is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie.
x=
ay + b
−dx + b
⇐⇒ y =
.
cy + d
cx − a
We merken op dat de inverse van een homografische functie weer een homografische
functie is.
Figuur 6.13: inverse functies van 2 homografische functies – stel de voorschriften op
224
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Figuur 6.14: 2 homografische functies gelijk aan hun inverse – stel de voorschriften op
• Bewijs hieronder dat de functie y =
ax+b
cx−a
gelijk is aan haar inverse functie.
6.2. RATIONALE FUNCTIES
6.2.6
225
Limieten en continuı̈teit van een rationale functie
In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 4
6.2.6.1
Limiet en continuı̈teit in een punt van het domein
Een rationale functie is continu in alle punten van haar domein vermits ze het quotiënt is
van twee veeltermfuncties, die continu zijn in R. De nulpunten van de veeltermfunctie in
de noemer behoren niet tot het domein van de rationale functie. Bijgevolg kan de functie
niet continu zijn in deze punten. (zie stelling 4.17 op p. 144).
Besluit: Een rationale functie is continu in elk punt van haar domein.
Bijgevolg is de limiet van een rationale functie in elk punt van haar domein gelijk aan de
funciewaarde.
6.2.6.2
Limiet in en reëel plakpunt van het domein
Beschouwen we een reëel punt a dat niet tot het domein behoort dan is a een nulpunt
van de noemer van f (x). Dit betekent dat de noemer de factor x − a bevat. We kunnen
nu twee gevallen onderscheiden
1. Het reëel plakpunt a correspondeert met een gaatje in de grafiek
van de functie.
Dit doet zich voor als a tevens een nulpunt is van de teller van f (x) met een multipliciteit die groter dan of gelijk is aan de multipliciteit van a in de noemer.
Passen we de rekenregel 4.15 van p. 143 dan verkrijgen we de onbepaaldheid
0
lim f = .
a
0
We kunnen in het geval van deze onbepaaldheid 00 de limiet berekenen door zoveel
mogelijk de factor x − a in teller en noemer weg te delen. Zodoende verkrijgen we
een continue uitgebreide functie f in a van f .
lim f = f (a) = b ∈ R
a
Het punt met coördinaat (a, b) is een gaatje in de grafiek van de functie f .
Voorbeeld:
lim
1
x−1
1
1
= lim
=
2
1 x+1
x −1
2
226
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
en
lim
1
(x − 1)2
x−1
= lim
= 0.
2
1 x+1
x −1
Een andere en gemakkelijke manier om de limiet te berekenen is met de regel van
de l’Hospital (zie p. 170).
Voorbeeld:
lim
1
3x7 − 3x6 + 5x5 − 5x4
21x6 − 18x5 + 25x4 − 20x3
0
=
lim
=4
=
1
x8 − x7 + x3 − x2
0
8x7 − 7x6 + 3x2 − 2x
Figuur 6.15: een grafiek met een gaatje en de continue uitgebreide
6.2. RATIONALE FUNCTIES
227
2. Het reëel plakpunt a correspondeert met een vertikale asymptoot
voor de grafiek van de functie.
Dit doet zich voor als de multipliciteit van a in de teller strikt kleiner is dan de
multipliciteit van a in de noemer of in het bijzonder als a een nulpunt is van de
noemer en geen nulpunt van de teller.
Na toepassen van de rekenregel 4.15 op p. 143 en eventueel de regel van de l’Hospital
in geval van de onbepaaldheid 00 , verkrijgen we:
lim
f (x) =
±
a
r
=∞
0
Deze limiet is een onbepaaldheid en is de samenvatting van de linker- en rechterlimiet
in a (zie definitie 2 en 3 op p. 129). Deze limieten zijn ofwel gelijk aan +∞ ofwel
gelijk aan −∞. Daarom schrijven we kortweg het symbool ∞. Dus ∞ staat voor
+∞ of voor −∞.
Omdat de grafiek van de functie naar oneindig gaat als x nadert naar de reële waarde
a zeggen we dat
x=a
de vergelijking is van een verticale asymptoot voor de grafiek van de functie
y = f (x) (zie definitie in paragraaf 5.7.1 op p. 158).
Voorbeelden:
• Teken met DERIVE de functie y = x25x+3
. De grafiek van de functie heeft
−3x+2
twee verticale asymptoten x = 1 en x = 2, vermits de volgende limieten geldig
zijn:
5x + 3
= +∞
lim
1− x2 − 3x + 2
5x + 3
lim
= −∞
2
1+ x − 3x + 2
5x + 3
lim
= −∞
2
2− x − 3x + 2
5x + 3
lim
= +∞
2
2+ x − 3x + 2
3
2
−3x−18
• Teken met DERIVE de functie y = x x+4x
3 −4x2 +4x . De grafiek van de functie
heeft twee verticale asymptoten x = 0 en x = 2, vermits de volgende limieten
geldig zijn:
x3 + 4x2 − 3x − 18
−18
lim
=
=∞
3
2
0
x − 4x + 4x
0
x3 + 4x2 − 3x − 18
0
3x2 + 8x − 3
25
lim
=
=
lim
=
=∞
2
2 3x2 − 8x + 4
x3 − 4x2 + 4x
0
0
228
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 69 Ga de volgende limieten na door berekening (bij ongelijke linker- en rechterlimiet
schrijven we tussen haakjes eerst de linkerlimiet en dan de rechterlimiet). Wat is telkens de meetkundige
betekenis van de limiet voor de grafiek van de functie?
2
2
+x+6
1. lim2 −2xx−2
= −7
4. lim−1/3 6x6x2+11x+49
−7x−3 = ∞ (+∞, −∞)
4x3 +13x2 +2,5x−1,5
3x2 +3,25x−1
2.
lim1/4
3.
lim−2/3
5x+1
9x2 −4
=
39
19
= ∞ (−∞, +∞)
5.
lim−3
6.
lim0
x
x+3
(x+1)3
x2
= ∞ (+∞, −∞)
= +∞
70 Bij rationale functies is het ook mogelijk de onbepaaldheid ∞
∞ te bekomen bij de berekening van een
limiet in een reële waarde. Dit kan als het voorschrift niet als een zuiver quotiënt van twee veeltermen
gegeven wordt. Je kan dit oplossen door het voorschrift te herleiden naar wél een quotiënt van twee
veeltermen. Bijvoorbeeld toon door berekening aan dat
lim
x+3+
x+
2
6.2.6.3
x+1
x−2
x2
= 3/4
x−2
Limiet in oneindig
Om de limiet in ±∞ te zoeken, kunnen we hetzelfde trucje als bij veeltermen toepassen.
We zetten in teller en noemer de hoogstegraadsterm voorop.
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
∞ bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0
1
an xn (1 + aan−1
+ · · · + an xan−1
+ anax0 n )
nx
= lim
b1
∞ b xm (1 + bm−1 + · · · +
+ bmbx0 m )
m
bm x
bm xm−1
an x n
= lim
∞ bm x m
lim
Hierin zijn uiteraard an 6= 0 en bm 6= 0.
De limiet in +∞ of in −∞ van een quotiënt van twee veeltermfuncties is
gelijk aan de corresponderende limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen van beide veeltermfuncties.
Voor wat de grafiek van de rationale functie betreft onderscheiden we drie verschillende
gevallen
a. De rationale functie heeft een horizontale asymptoot
n≤m
In dit geval bezit de grafiek van de functie een horizontale asymptoot omdat de
limiet in oneindig van de functie een reële waarde oplevert (zie definitie 5.7.2 op p.
159).
lim f (x) = b ∈ R.
±∞
6.2. RATIONALE FUNCTIES
229
en de rechte y = b is de vergelijking van de horizontale asymptoot voor de grafiek
van de functie.
Voorbeelden:
(i) De functie y =
−3x2 +5x−6
4x2 +7x
heeft een horizontale asymptoot want
−3x2 + 5x − 6
−3x2
−3
lim
= lim
.
=
2
2
∞
∞
4x + 7x
4x
4
De vergelijking van de horizontale asymptoot is y = − 34 .
(ii) Als de graad van de teller strikt kleiner is dan de graad van de noemer dan is
de x-as steeds de horizontale asymptoot.
lim
∞ x2
De functie y =
7x−3
x2 +2x−1
7x
7
7x − 3
7
= lim 2 = =
= 0.
∞ x
+ 2x − 1
x
∞
heeft y = 0 als horizontale asymptoot.
b. De rationale functie heeft een schuine asymptoot
n=m+1
In dit geval levert het quotiënt van de euclidische deling van teller en noemer een
eerstegraadsveelterm op.
Voorbeeld: De rationale functie y =
(EXPAND met DERIVE):
(x+1)3
x2
kan als volgt geschreven worden
1
1
(x + 1)3
=
x
+
3
+
+
x2
x x2
Als x nadert naar oneindig gaan de laatste twee termen naar nul naderen.
(x + 1)3
1
1
lim
= lim(x + 3 + + 2 ) = lim(x + 3).
2
∞
∞
∞
x
x x
De grafiek van de functie nadert naar de grafiek van de eerstegraadsfunctie y = x+3.
De verticale afstand tussen de grafiek van de functie en de rechte met vergelijking
y = x + 3 nadert naar nul. We zeggen dat de rechte met vergelijking y = x + 3 de
schuine asymptoot is voor de grafiek van de rationale functie.
c. De rationale functie heeft geen horizontale of schuine asymptoten
n>m+1
Voorbeeld: De grafiek van de functie
y=
2x5 − x4 + 6x2 + 6x − 8
6 − x − x2 − 9x3
heeft geen horizontale of schuine asymptoten.
230
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 71 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymptoten voor de grafiek van de functie:
2
x5 −3x2
−7x+3
3
1. lim−∞ −5x
2. lim±∞ 3x
3. lim+∞ xx−3
3 +1 = −∞
2 −3x = 0
2x2 −4x+1 = 2
4.
lim±∞
−2x2 +x+6
x−2
= ∓∞
5.
lim±∞
x
3−4x
= − 14
6.
lim±∞
(x+1)3
x2
= ±∞
TAAK ♣ 72 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymptoten
voor de grafiek van de functie:
3
2
2
+2,5x−1,5
5x+1
2. lim±∞ 4x +13x
=∞
3. lim±∞ 9x
1. lim±∞ 6x6x2+11x+49
2 −4 = 0
−7x−3 = 1
3x2 +3,25x−1
6.2.7
Afgeleide functie van een rationale functie
In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 5
Voorbeelden: Bij deze voorbeelden steunen we op de stelling 5.15 van p. 181 voor de
afgeleide functie van een quotiı̈ent van twee functies .
• D ax+b
=
cx+d
(cx+d).a−(ax+b).c
(cx+d)2
=
ad−bc
(cx+d)2
• D x1 = − x12
2 +bx+c
• D ax
x
=
x.(2ax+b)−(ax2 +bx+c)
x2
2
2
−6x+8
−6x+8
= D x(x−1)
D xx2 −2x+1
2
=
(x−1)2 (2x−6)−2(x−1)(x2 −6x+8)
(x−1)4
=
(x−1)(2x−6)−2(x2 −6x+8)
(x−1)3
=
2(2x−5)
(x−1)3
•
6.2.7.1
Afgeleide van een gehele macht
De regel voor de afgeleide van een gehele macht van x is een bijzonder geval van de regel
voor de afgeleide van een gehele macht van een functie (zie p. 182).
∀z ∈ Z : Dxz =
Voorbeelden:
• D x57 = D(5x−7 ) = −35x−8 = − x358 ;
dxz
= zxz−1 .
dx
6.2. RATIONALE FUNCTIES
D 6x
4 −2x3 +12x2 −3x+9
3x10
•
=
231
D(2x−6 − 23 x−7 + 4x−8 − x−9 + 3x−10 )
= −12x−7 +
14 −8
x
3
= − x127 +
−
14
3x8
32
x9
− 32x−9 + 9x−10 − 30x−11
+
9
x10
−
30
x11
OPGAVEN — 73 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies:
1.
y=
1
1−3x2
6.
y=
3−x
x
2.
y=
x+1
2x−1
7.
y=
2x+1
x+3
3.
y=
x
x2 −1
8.
y=
x2 +1
x3 −1
4.
y=
x3 −3x+2
x2 −x+2
9.
y=
x3 +1
x3 +3x−2
5.
y=
(x−1)2
x2 +9x−9
10.
y=
(x+1)3
(x−1)2
TAAK ♣ 74 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies:
1.
y=
2x+1
4x2 +3x−1
3.
y=
x2 +9
x2 +12x+11
2.
y=
(2x−1)3
(x2 +3)4
4.
y=
(x2 +1)(x−2)4
(x+7)3
6.2.8
Verloop van een rationale functie
6.2.8.1
Extremumvraagstukken
• Hoe verandert de waarde van een positieve breuk als we eenzelfde reëel getal x
optellen bij teller en noemer?
Oplossing: Als y = ab met a, b ∈ R+ de breuk is en x de waarde die we in teller
en noemer optellen dan moeten we het verloop van y = x+a
nagaan.
x+b
y0 =
b−a
(x + b)2
Voor het teken van y 0 onderscheiden we twee gevallen
1. Als b > a dan is de functie steeds stijgend. We tekenen de grafiek van de functie
en daarop kunnen we de waarden van de breuk aflezen. De grafiek heeft twee
asymptoten, nl. x = −b en y = 1.
−b
−a
x
1
0
y + | + b−a
+
y + | − 0 +
%
%
%
0
b−a
b2
a
b
+
+
%
232
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Besluit: Van links naar rechts zien we dat de waarde van de functie groter is
dan 1 (juist boven de horizontale asymptoot y = 1), stijgt naar +∞ naar mate
de waarde x nadert naar −b, vervolgens maakt de waarde een sprong naar −∞
als x groter wordt dan −b. De waarde van de breuk is nu negatief, stijgt en
wordt 0 voor −a, positief, om tenslotte te stijgen naar de waarde 1 voor groter
wordende x-waarden. De waarden blijven kleiner dan 1, vermits y = 1 een
horizontale asymptoot is.
Figuur 6.16: de functie y =
x+5
x+7
voor de breuk
5
7
2. Trek zelf de besluiten voor als b < a en teken hieronder de grafiek.
6.2. RATIONALE FUNCTIES
233
• Door een vast punt P (3, 4) trekken we een veranderlijke rechte, die de x-as en de
y-as snijdt resp. in de punten A en B. Voor welke rechte is de oppervlakte van de
driehoek OAB minimaal?
Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke van de oppervlakte kiezen we de richtingscoëfficiënt ω van de veranderlijke rechte door P , nl. y − 4 = ω(x − 3).
, 0) en B(0, 4 − 3ω).
De punten A en B hebben coördinaat A( 3ω−4
ω
De functie is de oppervlakte S van driehoek AB0.
S=−
(3ω − 4)(3ω + 4)
(3ω − 4)2
en haar afgeleide functie S 0 = −
2ω
2ω 2
De nulpunten van S 0 zijn ± 43 .
4
− 43
0
x
3
y0 − 0 + | + 0 −
y + 24 + | − 0 −
&
%
%
&
Besluit: De oppervlakte is minimaal voor de rechte 4x + 3y − 24 = 0. Als de richtingscoëfficiënt van de rechte positief is dan wordt de oppervlakte negatief. Omdat
de oppervlakte steeds een positieve grootheid is, moeten we voor ω > 0 de absolute
waarden beschouwen. Het maximum voor 34 voor de functie is eigenlijk een minimum
voor de oppervlakte. De minimale waarde is gelijk aan nul vermits voor die waarde
van ω de rechte door de oorsprong gaat en de punten A en B samenvallen met O.
Figuur 6.17: de driehoek met minimale oppervlakte — de oppervlakte in functie van ω
234
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
• Vraagstuk van de filevorming.
Een rij auto’s moet door een tunnel. Bij welke snelheid passeren er zoveel mogelijk
auto’s per minuut? Men dient rekening te houden met de veiligheid en dus met de
remafstand. Voor de remweg van auto’s is de minimale remafstand s recht evenredig
met het kwadraat van de snelheid in m/s:
s=
v2
.
8
Oplossing: We noemen a de gemiddelde lengte van een auto in m.
De afstand tussen twee auto’s is s + a.
.
Het tijdsinterval in sec. tussen twee auto’s is t = s+a
v
De functie is het aantal auto’s per seconde dat voorbij snort:
1
v
8v
dF
8a − v 2
⇐⇒ F =
=
en
haar
afgeleide
functie
=
8
t
s+a
8a + v 2
dv
(8a + v 2 )2
√
Het aantal auto’s per seconde is maximaal als v = 2 2a m/s. In de praktijk
√ neemt
men 4 m voor de gemiddelde lengte a van een auto. Bij een snelheid van 4 2 m/s of
20,36 km/u passeert een maximaal aantal auto’s per tijdseenheid. Bij deze snelheid
is de remafstand gelijk aan 4 m, di. de gemiddelde lengte van een auto.
We tekenen de functie voor een snelheid uitgedrukt in km/u. Daartoe vervangen we
v
in het voorschrift v door 3,6
.
F =
Figuur 6.18: file: de ideale snelheid in km/u – y =
720v
25v 2 +10368
6.2. RATIONALE FUNCTIES
235
• De brandstofkosten per uur van een schip zijn evenredig met de derde macht van zijn
snelheid. Bij een snelheid van 10 km/u zijn de kosten 30 dollar/u. De andere kosten
hangen niet af van de snelheid en bedragen 480 dollar/u. Wat moet de snelheid
zijn om de totale kosten per km minimaal te maken? Wat bedragen in dit geval de
totale kosten per uur? (toelatingsexamen Ir.)
Oplossing: We noemen B de branstofkosten per uur: B = kv 3 .
Bij een snelheid v =10 km/u is B/u = 30. Hieruit volgt dat k = 0, 03
B = 0, 03.v 3 .
De totale kosten Tu per uur bedragen:
Tu = 0, 03.v 3 + 480.
De totale kosten T per km zijn gelijk aan de totale kosten Tu per uur gedeeld door
de snelheid:
0, 03v 3 + 480
0, 06v 3 − 480
Tu
0
=
en haar afgeleide functie T =
.
T =
v
v
v2
De brandstofkosten per km worden minimaal voor een snelheid van 20 km/u. De
totale kosten per km bedraagt 720 dollar.
Figuur 6.19: de brandstofkosten per km
236
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 75 Het produkt van twee getallen is 16. Zoek deze getallen als
a. hun som minimaal is;
b. de som van het ene getal en het kwadraat uit het andere getal minimaal is.
76 Een rechthoekig stuk weiland met een bepaalde oppervlakte ligt langs een rivier. Als er geen omheining nodig is aan de kant van de rivier, toon dan aan dat er het minst omheining zal nodig zijn als de
lengte van het veld tweemaal zijn breedte is.
77 Voor welk punt in het eerste kwadrant van de grafiek van de parabool met vergelijking y = 4 − x2
vormt de raaklijn in dat punt aan de grafiek met de coördinaatassen een driehoek OAB met minimale
oppervlakte?
78 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek beschreven om een rechthoek met L en
B als afmetingen?
79 Hoe verloopt de inhoud van een in een sfeer, met straal R, ingeschreven rechte omwentelingskegel?
80 Welke zijn de afmetingen van de rechte omwentelingskegel met minimaal volume beschreven om een
bol met een straal van acht cm.
81 Hoe verloopt de omtrek van een gelijkbenige driehoek beschreven om een gegeven cirkel?
82 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium beschreven om een gegeven cirkel?
Oplossingen:
75 a. 4 en 4; b. 8 en 2.
√
76 de√ lengte gelijk aan maatgetal vd oppervlakte maal 2;
77 2 33 en 38 78 min. opp. vr. de driehoek met hoogte = 2 keer de breedte van de rechthoek;
79 max. inh. vr kegel met h = 43 R;
√
√
80 R = 8 2 en H = 32 81: min. voor een gelijkzijdige driehoek met zijde 3R;
82: min. voor een vierkant.
TAAK ♣ 83 Een cilindervormig blik met een cirkelvormige basis heeft een inhoud van 2 liter. Hoe
moeten de afmetingen zijn van dat blik opdat het nodige metaal voor de vervaardiging van het blik
minimaal zou zijn. Bereken dit in geval het blik open is en in geval het blik gesloten is.
Oplossing: open blik: Straal=hoogte; gesloten blik: hoogte= 2maal de straal.
6.2. RATIONALE FUNCTIES
6.2.8.2
237
Tekenen van de grafiek van een rationale functie
Om de grafiek van een rationale functie te tekenen, bepalen we eerst het domein vervolgens
de eventuele asymptoten en de eventuele gaatjes in de grafiek. Door middel van de
eerste en tweede afgeleide functies kunnen we het stijgen, dalen, extrema, kromming en
buigpunten nagaan.
OPGAVEN — 84 Bepaal het domein, de eventuele asymptoten en het tekenverloop van volgende
rationale functies:
x
5. y = 1−4x
1. y = x−1
2
x+1
2.
y=
x3 +5x2 +x+5
x2 +12x+35
6.
y=
x+1
x(x2 +4)
3.
y=
5x+7
3x3 −18x2 +36x+24
7.
y=
x4 −8x3 +2x2
x3 +x2
4.
y=
x4 −6x3 +8x2 +6x−9
x2 −4x+3
85 Bepaal het verloop van de volgende functies en teken hun grafiek:
x3
1. y = xx−1
4. y = 1+x
2 −3
2
2.
y=
x2 −8x+12
x2
5.
y=
(x+1)3
x2
3.
x2 y − 4y = 8
6.
y=
x2 +6x+8
x2 +6x+5
Oplossingen:
84
1. VA: x = −1
2.
3.
gaatje (−5, 13), VA: x = −7
√
VA: x = 2 − 2 3 2
5.
VA: x = ± 21
6.
VA: x = 0
7.
gaatje (0, 2), VA: x = −1
4. gaatjes: (1, −4) en (3, 0)
85
√ √
√
√
Domf = R \ {− 3, 3}, asymptoten: V.A.: x = − 3 en x = 3, H.A.: y = 0,
1. y = xx−1
2 −3 :
y0 =
−x2 +2x−3
(x2 −3)2 ,
x
y0
y 00
y
y 00 =
−
−
−
&
T
2(x3 −3x2 +9x−3)
,
(x2 −3)3
√
− 3
−∞| − ∞
|
−∞| + ∞
−
+
+
&
S
0
−1/3
1/3
−
+
+
&
S
0, 375
−0, 29
0
0, 22
−
−
+
&
T
1
−1/2
0
√
3
− −∞| − ∞ −
−
|
+
− −∞| + ∞ +
&
&
T
S
238
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
2. y =
x2 −8x+12
x2
: Domf = R0 , asymptoten: V.A.: x = 0; H.A.: y = 1; y 0 =
x
y0
y 00
y
+
+
+
%
S
0
+∞| − ∞
|
+∞| + ∞
−
+
+
&
S
2
−1
0
−
+
−
&
S
3
0
−1/3
9/2
+ 32/243
+
0
− −5/27
%
S
8(x−3)
x3 ,
6
+ 1/9
−
−
0
%
T
y 00 =
8(9−2x)
x4
+
−
+
%
T
3. x2 y − 4y = 8 Domf = R \ {−2, 2}, asymptoten: V.A.: x = −2 en x = 2; H.A.: y = 0; y 0 =
y 00 =
16(3x +4)
(x2 −4)3
−2
+ +∞| + ∞
+
|
+ +∞| − ∞
%
S
x
y0
y 00
y
4. y =
x3
1+x2
(x+1)3
x2
6(x+1)
x4 ,
5. y =
0
+ 0
−
− −2
%
T
2
− −∞| − ∞
−
|
− −∞| + ∞
&
T
−
+
+
&
S
: Domf = R, de functie is oneven, asymptoten: S.A.: y = x, y 0 =
x
y0
y 00
y
y 00 =
−16x
(x2 −4)2 ,
2
+
+
−
%
S
√
− 3
9/8
0
√
−3 3/4
+
−
−
%
T
0
0
0
0
x2 (x2 +3)
(1+x2 )2 ,
y 00 =
√
3
+
9/8
+
√0
+ 3 3/4
%
S
+
−
+
%
T
: Domf = R0 , V.A.: x = 0, S.A.: y = x + 3, snijpunt met S.A.: (− 13 , 83 ), y 0 =
x
y0
y 00
y
+
−
−
%
T
−1
0
0
0
+
+
+
%
S
−1/3
28
8/3
Extremum: min.(2, 27
4 );
Buigpunt: (−1, 0) met de x-as als buigraaklijn.
+
+
+
%
S
2x(3−x2 )
(1+x2 )3 ,
0
+∞| − ∞
|
+∞| + ∞
−
+
+
&
S
2
0
27/4
+
+
+
%
S
(x+1)2 (x−2)
,
x3
6.2. RATIONALE FUNCTIES
6.
y=
y 00 =
x2 +6x+8
x2 +6x+5
239
: Domf = R \ {−1, −5}, V.A.: x = −1 en x = −5; H.A.: y = 1; y 0 =
−6(x+3)
(x2 +6x+5)2 ,
6(3x2 +18x+31)
(x2 +6x+5)3
x
y0
y 00
y
−5
+ +∞| + ∞
+
|
+ +∞| − ∞
%
S
−4
+ 2/3
−
−
0
%
T
−3
+
0
−
|
+ 1/4
%
T
−2
− −2/3
−
+
0
&
T
−1
0
− −∞| − ∞ − −18/25 −
−
+
+
− −∞| + ∞ +
8/5
+
&
&
&
T
S
S
Extremum: (−3, 14 ).
Buigpunten: Geen
6.2.8.3
Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen
OPGAVEN — 86 Voor welke waarden van p en p0 heeft
y=
4x2 + px − 3
x2 + p0 x + 3
twee relatieve extreme waarden, de ene voor x = 0 en de andere voor x =
verloop van de functie.
3
2?
Onderzoek daarna het
87 Voor welke waarde van p en q is 0 de relatieve maximale waarde en 4 de relatieve minimale waarde
van de functie
x2 + px + q 2
?
y=
x
Onderzoek het verloop van de functie, na aan p en q die waarden toegekend te hebben.
88 Bepaal a zo, dat
y=
ax2 + 20x
x2 + 2x − 3
een relatief maximum bereikt voor x = −2. Onderzoek het verloop van de functie na a door de gevonden
waarde te hebben vervangen.
89 Hoeveel extreme waarden heeft de functie
y=
x2 − x − c
?
x2 + x − c
90 Hoe verandert de vorm van de krommen, die de volgende functies voorstellen, als de parameter a
alle waarden aanneemt:
1
x
3. y = x2 −2ax+4
1. y = x2 −2x+a
2
x
2. y = x2 −2x+a
4. y = x2 + x2a−1
2
240
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
91 Gegeven de functie
fm : y =
x2 − (m − 1)x − 12
x2 + 2x − 3
Gevraagd:
(i) Bepaal m zodat de functie fm stijgend is;
(ii) Bepaal m zodat de functie fm een relatief maximum en een relatief minimum heeft;
(iii) Bepaal de coördinaat van het vaste punt P waar elke functie fm doorgaat;
(iv) Bepaal m zodat de raaklijn in P aan de grafiek van fm parallel is met de rechte y = 3x;
(v) Maak een volledig functieverloop voor m = 2.
92 Onderzoek het verloop van y =
de vierkantsvergelijking
4x2 +4x−3
x2 −4x+3 .
Leid hieruit het aantal en het teken van de wortels af van
(m − 4)x2 − 4(m + 1)x + 3(m + 1)
Oplossingen:
86 p = 4 en p0 = −4.
87 p = 2 en q = ±1;
88 a = 7;
89 c ≥ 0: geen extr.; c < 0: 2 extr.;
2
+18x+3m+21
91 y 0 = (m+1)x
, (i) m ≥ 2, (ii) −10 < m < 2, (iii) (0, 4), (iv) verloop van de homografische
(x2 +2x−3)2
x−4
functie y = x−1 .
6.2. RATIONALE FUNCTIES
AN I HUISTAAK 9
241
1. Gegeven is f : y =
x
.
ax2 +bx+c
(a) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat de grafiek van f als asymptoten
x = 2 en y = 0 zou hebben. Bepaal nu de waarden van a, b en c als f bovendien
een relatieve minimale waarde −1/8 bereikt voor x = −2.
(b) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f geen rel. extrema zou hebben;
(c) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f slechts één relatief extreme waarde zou hebben. Wat is daarvan het gevolg voor het aantal verticale asymptoten? Voldoen a, b en c uit 1a aan deze voorwaarden.
2. Gegeven is de functies f : y =
3x2 +2
.
x(x+4)
(a) Teken de grafiek van f met de computer;
(b) Gebruik de grafiek van f om het beeld f (R) te bepalen. Maak daartoe de
nodige berekeningen voor de exacte waarden;
(c) Leid uit de grafiek van f af voor welke waarde(n) van a de vergelijking
3x2 + 2 = ax(x + 4) een oplossing heeft met multipliciteit 2?
(d) Beantwoord dezelfde vraag als in 2c maar nu zonder dat je gebruik maakt van
de grafiek van f (rechtstreeks berekenen uit de vergelijking).
3. Een poster 18 dm2 heeft bovenaan en onderaan een marge van 9 cm en links en
rechts een marge van 6 cm. Welke zijn de afmetingen van de poster opdat het
bedrukte gedeelte een maximale oppervlakte zou hebben.
PROEFHERHALINGSTOETS
1. Onder welke voorwaarden is de relatieve maximale waarde van de functie
2
het tegengestelde van de relatieve minimale waarde?
y = xx2+2ax+1
+2bx+1
2
+3x
2. Toon aan dat de buigpunten van de grafiek van de functie f : y = xx2 +x+3
collineair
zijn. Teken de grafiek van f en duid de buigpunten aan en hun verbindingslijn.
3. Een muur van een gebouw moet ondersteund worden door een balk. Een parallelle
muur van vijf meter hoogte staat op vier meter afstand van de muur van het gebouw.
Welke is de lengte van de kleinste balk die de tweede muur moet overbruggen?
(Oplossing: 12,7 m.)
242
HOOFDSTUK 6. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Hoofdstuk 7
Algebraı̈sche functies
7.1
7.1.1
Irrationale functies
Standaardirrationale functies
Standaardirrationale functies zijn van de gedaante:
√
√
√
√
y= x
y= 3x
y= 4x
y = |x| = x2
243
enz · · ·
244
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Het domein van de standaardirrationale functies
√
√
√
dom x = dom 4 x = R+
dom 3 x = dom|x| = R
7.1.2
Samenstelling met standaardirrationale functies
Domein van een irrationale functie
√
Voorbeeld: Gegeven de functies f : y = (x − 1)2 en g : y = 1 + x. De samenstelling van
de twee functies in de twee volgorden:
p
f : y = (x − 1)2
√
−→ g ◦ f : z = 1 + (x − 1)2 = 1 + |x − 1|
g :z =1+ y
Het domein van g ◦ f : y = 1 + |1 − x| is R omdat domf = R en g inwerkt op alle beelden
y van f vermits f (R) = R+ .
√
√
√
g :y =1+ x
x − 1)2 = ( x)2 = x.
2 −→ f ◦ g : z = (1 +
f : z = (y − 1)
Het domein van f ◦ g : y = x is R+ omdat domg = R+ en verder f inwerkt op alle beelden
y van g.
OPGAVEN — 93 Gegeven f : y =
√
1 − x en g : y =
√
x − 1. Bepaal f ◦ g en het domein van f ◦ g.
94 Schrijf de volgende functies als de√samenstelling van twee
√ of meerdere functies en bepaal het domein:
(iii) y = 1 − x2 (v) y = x + 1
(i) y = √ 1 2
(x+1)
q
√
x−1
2
(ii) y = x |x − 1| + 1 (iv) y = x−1
(vi) y = √
x+4
x
TAAK ♣ 95 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies en bepaal
het domein:
p√
√
y = (1 − 2x − 1)2 en y = 3 x − 1.
Oplossingen:
94
f : y = (x + 1)2
f : y = |x + 1|
(i)
of g : z = √1
1
g:z= y
y
f : y = x2 (x − 1)
(ii)
g : z = |y| + 1
(iii)
(iv)
f
g
f
g
: y = 1 − x2
√
:z= y
: y = x−1
x+1
√
:z= y
(v)
(vi)
√
f :y= x
g :z =y+1
geen
Grafieken van enkele eenvoudige samengestelde functies
Om de grafiek te tekenen van een samengestelde functie met een standaardirrationale
functie, bepalen we eerst enkele speciale punten en vervolgens maken we een tabel.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
245
Voorbeelden:
√
• De irrationale functie y = 4 − x2 is de samenstelling
√ van de tweedegraadsfunctie
2
y = 4 − x en de standaardirrationale functie
√ y = x.
Enkele bijzondere x-waarden voor y = x zijn 1, 4, 9, 16 enz. We schetsen de
parabool y = 4 − x2 en kijken naar het beeld.
Het beeld is ] − ∞, 4]. Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1 en 4.
√
4 − x2 = 1 ⇐⇒ x = ± 3 en 4 − x2 = 4 ⇐⇒ x = 0.
√
√
−2
− 3
0
3
2
x
2
y=√
4−x
− 0 +
1
+ 4 + 1 + 0 −
2
y = 4 − x ||| 0 +
1
+ 2 + 1 + 0 |||
√
We zien dat het domein
van
de
functie
y
=
4 − x2 het gesloten interval [−2, 2] is.
√
De grafiek van y = 4 − x2 is eigenlijk de bovenste helft van een cirkel.
y=
√
y≥0
4 − x2 =⇒ y 2 = 4 − x2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 4.
Dit is inderdaad de vergelijking van een cirkel met straal 2 en met middelpunt O.
Figuur 7.1: y = 4 − x2 en y =
√
4 − x2
246
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
√
• De irrationale functie y = 9 − 4x2 .
We schetsen de parabool y = 9 − 4x2 en kijken naar het beeld. Het beeld is ] − ∞, 9].
Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1, 4 en 9.
p
√
9 − 4x2 = 1 ⇐⇒ x = ± 2
9 − 4x2 = 4 ⇐⇒ x = ± 5/4
9 − 4x2 = 9 ⇐⇒ x = 0
p
p
√
√
−3/2
− 2
− 5/4
0
5/4
2
3/2
x
2
y=√
9 − 4x
−
0
+
1
+
4
+ 9 +
4
+ 1 + 0 −
y = 9 − 4x2 |||
0
+
1
+
2
+ 3 +
2
+ 1 + 0 |||
We zien dat het domein
√ van de functie het gesloten interval [−3/2, 3/2] is.
De grafiek van y = 9 − 4x2 is de bovenste helft van een ellips.
y=
√
4x2 y 2
y≥0
+
= 1.
9 − 4x2 =⇒ y 2 = 9 − 4x2 ⇐⇒
9
9
We verkrijgen inderdaad de vergelijking van een ellips met halve grote as 3 (langs
de y-as) en halve kleine as 3/2 (langs de x-as).
Figuur 7.2: y = 9 − 4x2 en y =
√
9 − 4x2
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
247
√
• De irrationale functie y = x2 + 16.
We schetsen de parabool y = x2 +16 en kijken naar het beeld. Het beeld is [16, +∞[.
Enkele speciale waarden zijn 16, 25 en 36.
√
x2 + 16 = 25 ⇐⇒ x = ±3
x2 + 16 = 36 ⇐⇒ x = ±2 5
x2 + 16 = 16 ⇔ x = 0
√
√
−2 5
−3
0
3
2 5
x
2
y=x
+
36
+ 25 + 16 + 25 + 36 +
√ + 16
2
y = 9 − 4x +
6
+ 5 + 4 + 5 + 6 +
We zien dat het domein
√ van de functie R is.
De grafiek van y = x2 + 16 is één van de twee takken van een hyperbool.
y=
√
y≥0
x2 + 16 =⇒ y 2 − x2 = 16
We verkrijgen de vergelijking van een zogenaamde hyperbool met hoofdas de y-as
en nevenas de x-as (hoofdas is de as die snijpunten heeft met de hyperbool).
Figuur 7.3: y = x2 + 16 en y =
√
x2 + 16
248
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
√
• De irrationale functie y = x2 − 16.
We schetsen de parabool y = x2 − 16 en kijken naar het beeld. Het beeld is
[−16, +∞[. We kiezen de speciale waarden 0, 4, 9, 16.
√
x2 − 16 = 9 ⇐⇒ x = ±5
x2 − 16 = 16 ⇐⇒ x √
= ±4 2
x2 − 16 = 4 ⇐⇒ ±2 5
x2 − 16 = 0 ⇔ x = ±4
√
√
√
√
x
−4 2
−5
−2 5
−4
4
2 5
5
4 2
2
y=x
+
16
+ 9 +
4
+ 0 − 0 + 4 + 9 + 16 +
√ − 16
y = x2 − 16 +
4
+ 3 +
2
+ 0 || 0 + 2 + 3 + 4 +
We zien dat het domein van de functie de unie is van twee intervallen ] − ∞, −4] ∪
[4, +∞[.
√
De grafiek van y = x2 − 16 is de unie van de helften van twee takken van een
hyperbool.
√
y≥0
y = x2 − 16 =⇒ x2 − y 2 = 16
We verkrijgen de vergelijking van een hyperbool met hoofdas de x-as en nevenas de
y-as.
Figuur 7.4: y = x2 − 16 en y =
√
x2 − 16
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
249
Deze functies zijn voorbeelden van veelvoorkomende eenvoudige algemene irrationale functies, nl.
y=
√
b 2 − a2 x 2
y=
√
dom b2 − a2 x2 = [− ab , ab ]
√
y=
√
a2 x 2 − b 2
a2 x 2 + b 2
√
dom a2 x2 + b2 = R
√
dom a2 x2 − b2 =] − ∞, − ab ] ∪ [ ab , +∞[
OPGAVEN — 96 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies:
√
x
1. y = 1 − x2
6. y = 1+|x|
q
√
x
x−1
√
2. y = 7x+3
7.
y
=
x+1
x+2x
√
√
2 −9
3. y = x2 + 2x − 3
8. y = √xx−1
√
p
4. y = √x−1
9. y = x2 + 2|x| − 3
x+1
5.
y=
x2 +|x−1|
|x2 +x|−1
10.
y=
√
2x + 1 −
√
8−x
97 Bepaal het domein en het tekenverloop van de volgende functies:
√
√
1. y = 1 − −x2 − 4x − 3
5. y = 3 x3√− 3x + 2
2. y = 2x + |x2 − 3|
6. y = x + x2 − 1
√
√
x(−x2 +x−5) 3 x2 −9)
√
7. y =
3. y = x + 1 − x2
3+8x−3x2
√
4.
y=
2x−1+x−8
√
9−x−2
8.
98 * Splits de volgende wortelvormen
p
1. 4(1 − x) 2x(1 − x)
q
−2
2.
(x2 +1)(2x−1)
3.
q √
5a2 3b(2x − a)(x − b)
met
y=
q
3x3 +12x2 +12x
x2 −4
√
4.
5.
(x−4)(x−2)
√
−x2 +2x+3
p
−x(x − a)
a > 2b
TAAK ♣ 99 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies:
√
x−1
1. y = x2 + x + 1
6. y = √x3 −x
2 −x+1
q
x+1
1
2. y = x2 −3x+2
7. y = √1−x
2 −x
q
√
2
3. y = 1−x
8. y = √3−x
2−x
3+x
q
x
4. y = 3−x
9. y = √
3 2
3+x
x −4
√
√
5. y = 4 x2 − 5x + 6
10. y = 6 x4 − 13x2 + 36
250
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Oplossingen:
√
1+ 5
96 1. [−1, 1]; 2. R+
0 ; 3. ] − ∞, −3] ∪ [1, +∞[; 4. [1, +∞[; 5. R \ {−φ, 1/φ} met φ =
2 , het gulden
getal;
6. R; 7. [−1, 1[∪]2, +∞[; 8. [−1, 1]∪]2, +∞[; 9. ] − 3, 3]; 10. ] − ∞, 2] ∪ [3, +∞[; 11. R;
13. [3, +∞[; 14. ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[; 15. [− 21 , 8]; 16. ] − 1, +∞[\{1}; 17. ] − φ, φ1 [; 18. ] − 3, −3]; 19.
R \ {−2, 2}; 20. ] − ∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, +∞[.
x
−3
−2
y ||| 1 + 0
x
−3
−1
R en
;
y + 0 − 0 +
√
x
−1
− 2/2
[−1, 1] en
y ||| −1 −
0
x
1/2
5
[1/2, 9] \ {5} en
y ||||
|
− |
−2
1
x
;
R en
y − 0 + 0 +
−1
x
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[ en
y − −1
−2
x
] − 2, 0[∪]2, +∞[ en
y ||||
| +
97 1. [−3, −1] en
2.
3.
4.
5.
6.
8.
+
−1
1
|||
;
1
;
1 |||
9
;
− ||||
+
1
x
. 7. ] − 1/3, 3[ en
||| 1 +
y
0
2
;
0 |||| +
√
√ √ √
2
98 1. 4(1 − x) 2 x 1 − x; 2. √x2 +1√
;
√ √
√ √
√ 1−2x
4
3. b > 0, x < b ⇒
√ 5a
√ √3 √b a − 2x
√ b − x,
b > 0, x > a2 ⇒ 5a 4 3 b 2x − a x − b
√
√ √ √
√
en b√ < 0√⇒ 5|a| 4 3 −b a − 2x x − b
√ √
√ √
√2−x ; 5. a > 0 ⇒
4. √4−x
x a − x en a < 0 ⇒ −x x − a.
x+1 3−x
99
1. R
6. ] − 1, +∞ \ {1}
√
2.
3.
4.
5.
[−1, 1]∪]2, +∞[
[−1, 1]∪]2, +∞[
] − 3, 3]
] − ∞, 2] ∪ [3, +∞[
7.1.3
7.
8.
9.
10.
||||
−1/3
|
0
3
− 0 + ||||
;
√ x
x2 +1
en
√
] − 21 − 25 , − 21 + 25 [
] − 3, 3]
R \ {2, −2}
] − ∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, +∞[
Even en oneven functies
Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y = x3 , y = x|x|, y =
y = |x − 1| + |x + 1|.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
251
Figuur 7.5: y = x|x| en y = |x − 1| + |x + 1|
7.1.4
Inverse functie van een irrationale functie
• De restrictie van y =
√
x tot zijn domein R+ en het beeld R+ is een bijectie.
R+ −→ R+ , x 7→
√
x
De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie:
R+ −→ R+ , x 7→ x2 .
De grafiek is de rechterhelft van de parabool y = x2 .
√
• De restrictie van y = − x tot zijn domein R+ en het beeld R− is een bijectie.
√
R+ −→ R− , x 7→ − x
De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie:
R− −→ R+ , x 7→ x2 .
De grafiek is de linkerhelft van de parabool y = x2 .
252
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
√
Figuur 7.6: y = x2 en y = ± x
Opmerking: We moeten even opletten als we in een vergelijking beide leden kwadrateren.
√
y = x =⇒ y 2 = x
Anderzijds geldt
√
y 2 = x ⇐⇒ y = ± x
Bij de eerste uitspraak is het duidelijk dat de pijl niet terugkeert.
Willen we een gelijkwaardigheid dan moeten we de bestaansvoorwaarden bijschrijven.
√
y≥0
x ⇐⇒ y 2 = x
√ y≤0
y = − x ⇐⇒ y 2 = x
y=
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
7.1.5
253
De afgeleide functie van een irrationale functie
In tegenstelling met de rationale functies die afleidbaar zijn in alle punten van hun domein
kan het bij een irrationale functie voorkomen dat ze in sommige punten van het domein
niet afleidbaar is. We illustreren met twee voorbeelden.
Voorbeelden:
• De functie y = |x| bestaat in 0 maar is niet afleidbaar in 0.
De linkerafgeleide in 0:
lim
−
0
−x
|x| − |0|
= lim
= −1
0− x
x−0
|x| − |0|
x
= lim
=1
0
0+ x
x−0
Linker- en rechterafgeleide bestaan maar zijn verschillend van elkaar. De functie
y = |x| is dus niet afleidbaar in 0 (zie hoofdstuk 5 op p. 154.
√
• De functie y = x is niet afleidbaar in 0.
Het punt 0 is een rechterophopingspunt van het domein van de functie maar geen
linkerophopingspunt. De afgeleide in 0 is de rechterafgeleide in 0, de linkerafgeleide
is zinledig.
√
√
√
√
√
x− 0
x− 0
x
= lim
=
lim
= ∞.
lim
0
0+
0+ x
x−0
x−0
lim
+
7.1.5.1
Afgeleide functie van y =
√
n
x
√
De afgeleide functie van y = n x kunnen we bepalen uit de afgeleide van de inverse functie
y = xn . We steunen op stelling 5.16 op p. 182) en de regel voor de afgeleide van de inverse
functie (zie stelling
5.17 op p. 184.
√
n
De functie y = x is de inverse functie van de restrictie tot R+ van de functie
x=
√
n
y ⇐⇒ y = xn met x ≥ 0.
√
dnx
1
= n
dy
dx
dy
√
1
1
Dnx=
=
Dy n
ny n−1
√
waarin we y moeten vervangen door n x.
254
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
√
Dnx=
1 1 −1
1
1
1 1−n
n
√
x
=
xn
=
=
n−1
n
n
n
n( x)n−1
nx n
Besluit: We kunnen de regel voor het afleiden van een n-de machtswortel als volgt schrijven
1
∀n ∈ N0 : Dx n =
1 1 −1
xn .
n
Bijzonder geval:
√
1
D x= √ .
2 x
7.1.5.2
De afgeleide van een rationale macht
STELLING 7.1 ∀q ∈ Q : Dxq = qxq−1 en ∀q ∈ Q : D(f (x))q = q(f (x))q−1 Df (x)
Bewijs: vermits q een rationaal getal is, kunnen we q schrijven als het quotiënt van een
geheel getal en een natuurlijk getal.
z
q= .
n
1
z
1
1
Dx n = D(x n )z = z(x n )z−1 .Dx n
= zx
z−1
n
1
1 n
x −1
n
=
1
1
z
z n
x − n + n −1
n
=
z
z n
x −1 .
n
afg. vd. samenst. en afg. ve. geh. macht
afg. vd. macht
∀q ∈ Q : Dxq =
1
n
dxq
= qxq−1 .
dx
Volgens de regel van de afgeleide van de samenstelling van twee functies geldt:
∀q ∈ Q : D(f (x))q = q(f (x))q−1 Df (x)
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
255
OPGAVEN — 100 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies:
√
√
9. y = 3x2 √
− 5x + 7
1. y = √2 − x
3
2. y = √
5x2 − 4x √
+1
10. y = 3x − 3 x2√− 9
3. y = √
1 + x2 + 1 − x2
11. y = 2x − 1 −√ x2 + x + 1
2
4. y = x 2x + 1 √
12. y = (2x − 3)√ 1 − x2
2
2
5. y = (x + x +
1) 1 − x
13. y = (x − 1)2 x2 +p
2x − 1
p
3
2
14. y = p
(5x2 − 6x + 9) 3 (x2 + 1)2
6. y = (2x − 3) p(x + 1)
7. y = (3x − 4) 4 (2x2 + 1)3
15. y = |x|
8. y = |x3 − 3x + 2|
16. y = |x − 1| + |x2 − 1|
101 Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:
√
x+7
x
1.
y=
2.
3.
y=√ x 23
(1+x )
q
y = 1−x
1+x
4.
y=
3+2x
√
3
1+x
y=
√
(x3 +4) 2−x2
3
5*.
6.
y=
√ x
4−x2
7*.
y=
√
(1+2x2 ) x2 −1
3x2
8.
9*.
10*.
Oplossingen:
100
1. y 0 = 2√−1
2−x
y=x
q
x
3−x
2
)
√
y = x(3+2x
2 3
3
y=
(1+x )
√
(3−4x) 3+2x
√
x x
9.
y0 =
√ 6x−5
2 3x2 −5x+7
9
√
3
(x2 −9)2 −2x
√
3
2
2
2.
2(5x−2)
y0 = √
3
2
10.
y0 =
3.
y0 =
11.
y0 =
4.
y0 =
2
√4x +1
2x2 +1
12.
y0 =
2
−4x
√ +3x+2
1−x2
5.
y0 =
−3x3√
−2x2 +x+1
1−x2
13.
y0 =
(x−1)(3x2 +4x−3)
√
x2 +2x−1
6.
10x
y0 = √
3
14.
y0 =
2
50x3 −42x
√ +66x−18
3 3 (x2 +1)
7.
√
y 0 = 3(5x
4
15.
y0 =
x
√
2|x| |x|
8.
y 0 = 3 (x
16.
y0 =
x−1
|x−1|
(5x −4x+1)2
√
√
x( 1−x2 − 1+x2 )
√
1−x4
3
3
(x+1)
2
−4x+1)
(2x2 +1)
3
−3x+2)(x2 −1)
|x3 −3x+2|
3 (x −9)
√
4 x2 +x+1−(2x+1)
√
2 x2 +x+1
+
2x(x2 −1)
|x2 −1|
101
1.
y0 =
2.
−(x+14)
√
2x2 x+7
6.
y0 = √
y 0 = √1−2x2
7.
y0 =
2x4 √
−x2 +2
3x3 x2 −1
3.
y0 =
8.
y0 =
(9−2x) x(3−x)
2(3−x)2
4.
3+4x
y0 = √
3
9.
y0 = √
5.
y0 =
2
(1+x )5
√
1−x2
(1+x)2 (x−1)
3
(1+x)4
−4x4√+6x2 −4x
3 2−x2
4
(4−x2 )3
√
10.
y0 =
1
(1+x2 )5
2x2
√−27
x(3+2x)
256
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
TAAK ♣ 102 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies:
p
p
3. y = (3x − 2)
(1 + 2x)3
1. y = 3 (2 + x)2
√
3 3 3
3
x +1
2. y = √ x 2 3
4*. y = (x−1)
(x+1)2
(1−x )
2
2
Oplossingen: 102 1. y 0 = √
2. y 0 = √ 3x 2 5
3 3 (2+x)
(1−x )
p
(x−1)2 (2x3 +3x2 −4x+5)
0
0
√
3. y = 3(5x − 1) (1 + 2x) 4. y =
2 3
3
2
(x+1)
7.1.6
(x +1)
Limieten en continuı̈teit van irrationale functies
Het domein van een rationale functie is R waarvan we eventueel een eindig aantal punten
moeten uitsluiten. Deze punten zijn rechter- en linkerophopingspunten en −∞ is rechterophopingspunt en +∞ is linkerophopingspunt van het domein. In alle punten van het
domein van een rationale functie is de limiet zinvol.
We zullen zien dat het domein van een irrationale functie veelal een unie is van intervallen, zodat er in het domein ophopingspunten kunnen voorkomen die enkel rechterophopingspunt of linkerophopingspunt zijn. De elementen +∞ en −∞ zijn niet noodzaklijk
ophopingspunten van het domein. Het domein kan ook geı̈soleerde punten bevatten. Er
zullen dus punten zijn waarvoor de limiet van een irrationale functie zinledig is.
7.1.6.1
Limiet en continuı̈teit in een punt van het domein
In het voorschrift van een irrationale functie komen wortels uit rationale functies voor.
Volgens stelling 4.17 op p. 144 is elke rationale macht van een coninue functie weer een
continue functie op voorwaarde dat het punt tot het domein van de functie behoort.
Besluit: Een irrationale functie is continu in elk punt van haar domein
Bijgevolg is de limiet in een punt van het domein gelijk aan de functiewaarde in dat punt.
Voor het bepalen van limieten van irrationale functies in plakpunten van het domein,
gaan we gebruik maken van de rekenregels met rationale exponenten (zie stelling 4.16 op
p. 143).
7.1.6.2
Limiet in een reëel plakpunt van het domein
Is het reëel punt a een plakpunt van het domein van de functie en is a een nulpunt van de
teller en van de noemer dan verkrijgen we na toepassen van de eigenschap van de limiet
van een quotiënt van twee functies de onbepaaldheid 00 . Om zo een limiet te berekenen
gebruiken we de regel van de l’Hôpital.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
257
Enkele voorbeelden:
√
1. y =
x+2−x
.
2−x
Het domein van de functie is [−2, +∞[\{2}.
√
lim
2
x+2−x
0
= = lim
2
2−x
0
√1
2 x+2
−1
−1
3
= .
4
Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in
(2, 43 ).
2. y =
x−1
√
.
3
2x+6−2
Het domein van de functie is R \ {1}.
lim √
3
1
x−1
1
0
= = lim
2
1
√
0
2x + 6 − 2
3
3
= 6.
(2x+6)2
Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in
(1, 6).
3. * y =
√x−1 .
x3 −x
Het domein van de functie is ] − 1, 0[∪]1, +∞[.
0
x−1
√
=
lim
= lim
1
1+
0
x3 − x
1
2
3x
√ −1
2 x3 −x
√
2 x3 − x
0
= lim
=
= 0.
1
3x2 − 1
2
De grafiek bestaat uit twee takken die niet samenhangend zijn. Omdat 1 geen
linkerophopingspunt is van het domein en bijgevolg de linkerlimiet zinledig is, heeft
de grafiek geen gaatje in (1, 0).
x−1
x−1
√
= 00
4. * y = √x3 −x
2 −x+1 . Het domein van de functie is ] − 1, +∞[. lim1
x3 −x2 −x+1
Hier krijgen we de onbepaaldheid niet weg door herhaaldelijk de regel van de
l’Hospital toe te passen. We proberen de factor x − 1 die de onbepaaldheid veroorzaakt weg te delen. We ontbinden de noemer in factoren.
lim √
1
x−1
x−1
= lim p
1
x3 − x2 − x + 1
(x − 1)2 (x + 1)
x−1
√
= lim
1 | x−1 |
x+1
Nu moeten we onderscheid maken tussen de linker- en de rechterlimiet in x.
lim
+
1
x−1
1
1
√
√
√
= lim
=
1+
|x−1| x+1
x+1
2
258
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
en
lim
−
1
x−1
−1
1
√
√
√
= lim
=
−
1−
|x−1| x+1
x+1
2
De limiet in 1 van de functie bestaat niet vermits de linkerlimiet in 1 verschillend
is van de rechterlimiet in 1 (zie hoofdstuk 4 op p. 138). De grafiek van de functie
vertoont een verticale sprong in 1.
√
√
√
2
2
√
x−1
x−1
√
√
. Het domein van de functie is ]1, +∞[. lim1+ √xx3 −1−
= 00
5. * y = √xx3 −1−
−1− x−1
−1− x−1
Deze limiet is weer een voorbeeld waar de regel van de l’Hospital faalt. We moeten
de factor die de onbepaaldheid veroorzaakt wegdelen.
p
√
√
√
(x − 1)(x + 1) − x − 1
x2 − 1 − x − 1
√
p
= lim
lim
√
√
1+
1+
x3 − 1 − x − 1
(x − 1)(x2 + x + 1) − x − 1
p
p
√
(x − 1) (x + 1) − x − 1
p
p
= lim
√
1+
(x − 1) (x2 + x + 1) − x − 1
√
x+1−1
√
= lim
1+
x2 + x + 1 − 1
√
2−1
= √
3−1
Vermits
de linkerlimiet van de functie zinledig is, heeft de grafiek geen gaatje in
√
2−1
√
(1, 3−1 ).
OPGAVEN — 103 Ga de volgende limieten na door berekening zonder computer, controleer achteraf
grafisch:
1.
lim1
2.
lim1
√
3
√
x+7−2
x−1
=
1
12
3.
x+3−2
x−1
=
1
4
4.
√ x+1
=6
x+10−3
√
√
√
2−x
lim0 2+x−
= 22
x
lim−1
TAAK ♣ 104 Ga de volgende limieten na:
√
√
√
x− 2
4
√
1. lim2 √
2
3.
4 x− 4 2 = 2
√
2.
lim2
√
x+2−
2x
√
x−2
=0
lima
x
√
3
x−a
x−a
√
3
a
=
4√
3
3 a
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
7.1.6.3
259
Limiet in oneindig
Voor de limieten in oneindig onderscheiden we de gevallen waarin we steunen op de rekenregel van limiet van een samenstelling (zie stelling 4.18 op p. 144) en de limieten waarbij
we de onbepaaldheid +∞ − ∞ verkrijgen.
De limiet in +∞ of −∞ is enkel zinvol als deze elementen plakpunten zijn van het domein.
Bij een functie waar in het voorschrift een evenmachtswortels optreedt, moeten we van
de functies onder het wortelteken enkel het teken kennen in +∞ en −∞. Is dit teken
positief dan is de limiet zinvol, is het negatief dan is de limiet zinledig.
1. Het voorschrift is een wortel uit een rationale functie of kan ertoe
herleid worden
p
p
√
√
• lim+∞ −6x3 + 5x − 3 = plim+∞ (−6x3 + 5x − 3) = plim+∞ (−6x3 = −∞ dit is zinledig
√
√
lim−∞ −6x3 + 5x − 3 = lim−∞ (−6x3 + 5x − 3) = lim−∞ (−6x3 ) = +∞ =
+∞.
q
q
q
p
√
3
2x3
2x3
=
lim+∞ (2x) = +∞ = +∞.
• lim+∞ x2 +1 = lim+∞ x2 +1 = lim+∞ 2x
2
x
q
q
q
p
√
3
2x3
2x3
lim−∞ x2 +1 = lim−∞ x2 +1 = lim−∞ 2x
=
lim−∞ (2x) = −∞ dit is zinledig.
2
x
q
q
q
x3
x3
x
3
3
3 −1
=
lim
lim
• lim∞ √
=
=
= − 12 .
3
∞
∞ 1−8x3
1−8x3
8
1−8x3
De grafiek van de functie heeft een horizontale asympytoot y = − 12 .
q
q
q
√
p
x2 −1
x2 −1
x2 −1
x2
lim
lim
lim+∞ 1 =
=
=
=
• (i) lim+∞ x = lim+∞
+∞
+∞
2
2
2
x
x
x
1
q
q
√
2
x2 −1
x2 −1
(ii) lim−∞ x = lim−∞ −
lim−∞ x x−1
= −1
=
−
2
x2
De grafiek van de functie heeft twee horizontale asymptoten nl. y = 1 aan de
rechterkant en y = −1 aan de linkerkant.
• (i)
√
√
2x2 + 1 + x2 − x
lim
+∞
x−1
√
=
x>1
=
=
!
√
2x2 + 1
x2 − x
lim
+
+∞
x−1
x−1
s
s
2x2 + 1
x2 − x
lim
+
lim
+∞
(x − 1)2 +∞ (x − 1)2
√
2+1
260
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
(ii)
√
√
2x2 + 1 + x2 − x
lim
−∞
x−1
=
x<1
=
=
!
√
√
2x2 + 1
x2 − x
lim
+
−∞
x−1
x−1
s
s
!
!
2
2x + 1
x2 − x
lim −
+ lim −
−∞
−∞
(x − 1)2
(x − 1)2
√
− 2−1
De grafiek van de functie heeft
√ twee horizontale asymptoten nl. y =
aan de rechterkant en y = − 2 − 1 aan de linkerkant.
√
2+1
OPGAVEN — 105 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundige
betekenis voor de grafiek van de functie:
√
1. lim−∞ √3 − x = +∞ ; (de limiet in +∞ is zinledig)
2. lim+∞ √5x − 67 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig)
3. lim±∞ √x2 − 5x + 6 = +∞
4. lim±∞ √−6x2 + 7x + 5 is zinledig
5. lim−∞ (√ x2 − 1 − x) = +∞
√
6. lim+∞ 3 x3 − 3x + 2 = +∞ en lim−∞ 3 x3 − 3x + 2 = −∞
106 Ga de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis voor de grafiek van de functie:
q
2
1. lim+∞ (x−1)
x+3 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig)
4.
5.
lim−∞
3.
∗
3
lim±∞ | x2x+1 | = +∞
q
2
lim−3 (x−1)
x+3 = +∞
q
lim−∞ x22x
+1 is zinledig
2.
√
3
√ −x
1−x
=0
TAAK ♣ 107 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis
voor de grafiek van de functie:
√
1.
lim+∞
4x2 −2x+1
x+3
√
=2
4.
lim−∞
=1
5.
lim−∞
=0
6.
√
2.
3.
x2 +1
x
√
2 +3
lim−∞ 2xx2 −1
lim+∞
4x2 −2x+1
x+3
x
√
3
1−8x3
√
lim+∞ xx = 0
= −2
= − 12
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
261
2. De onbepaaldheid +∞ − ∞
Bij de onbepaaldheid +∞ − ∞ voor irrationale functies vermenigvuldigen over het
algemeen teller en noemer met de toegevoegde term om zodoende de onbepaldheid
weg te werken. Voorbeelden:
(a)
lim(x −
+∞
√
x2 − 1) = +∞ − ∞
x2 − (x2 − 1)
√
+∞ x +
x2 − 1
1
√
= lim
+∞ x +
x2 − 1
1
=
+∞
= 0
= lim
De grafiek van de functie heeft de x-as als horizontale asymptoot aan de kant
van +∞.
√
lim(x − x2 − 1) = −∞ − ∞ = −∞
−∞
De grafiek heeft geen horizontale asymptoot aan de kant van −∞.
√
(b) * lim+∞ ( 9x2 − 5x + 7 − 5x) berekenen we als volgt. We vervangen het voorschrift van de functie door een product. Daartoe zetten we in beide termen de
hoogstegraadsterm voorop.
√
lim( 9x2 − 5x + 7 − 5x)
+∞
x>0
=
=
=
r
5
7
lim(3x 1 −
+ 2 − 5x)
+∞
9x 9x
!
r
5
7
lim x 3 1 −
+
−5
+∞
9x 9x2
+∞(3 − 5) = −∞
√
lim( 9x2 − 5x + 7 − 5x) = +∞ + ∞ = +∞.
−∞
De grafiek van de functie heeft geen horizontale asymptoten.
262
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
(c) *
√
lim(x + 2 − x2 + x − 5) = +∞ − ∞
+∞
2
x − (x2 + x − 5)
√
= lim
+2
+∞
x + x2 + x − 5
−x + 5
√
= lim(
+ 2)
+∞ x +
x2 + x − 5
!
1
√
+2
= lim
x
x2 +x−5
+∞
+
5−x
5−x


1
x>5
q
= lim 
+ 2
+∞
x
x2 +x−5
−
5−x
(5−x)2
=
(d) *
1
3
1
+2=− +2=
−1 − 1
2
2
√
3
lim( x3 + x2 − x) = +∞ − ∞
±∞
(x3 + x2 ) − x3
√
= lim p
±∞ 3 (x3 + x2 )2 + x 3 x3 + x2 + x2
x2
p
√
= lim 3
±∞
(x3 + x2 )2 + x 3 x3 + x2 + x2
1
1
1
= lim q
=
=
q
3
2
2
±∞ 3 (x +x )
3
2
1+1+1
3
+ 3 x x+x
+1
3
x6
Belangrijke opmerking: Bij het jongleren met functies om de limiet te berekenen in +∞ of −∞, moet je steeds nauwgezet de rekenregels toepassen. Vervang
NOOIT zomaar een veelterm door zijn hoogste graadsterm in een algebraı̈sche functie.
√
√
Bijvoorbeeld: lim+∞ ( x2 − x − x) 6= lim+∞ ( x2 − x) = 0. DIT IS FOUT. Deze
limiet moet zoals we geleerd hebben als volgt berekend worden:
√
lim( x2 − x − x) = +∞ − ∞
+∞
=
x>0
=
=
−x
+∞
x2 − x + x
−1
lim q
+∞
1 − x1 + 1
lim √
1
− .
2
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
263
OPGAVEN —
√ 108 Ga door√een berekening de volgende limieten na en controleer grafisch:
1*. lim−∞ ( 3 1 +√2x − x2 + 3 1 − x) = −∞
2*. lim+∞ (3x − x2 − x + 1) = +∞
109 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van de eventuele
horizontale asymptoten:
√
1. lim−∞ (x − 1 − x2 ) bestaat niet
√
2*. lim+∞ ( 18x2 + 5x − 1 − x2 ) = −∞
√
3*. lim+∞ ( x4 − 4x3 + 6x2 − 1 − x2 ) = −∞
√
√
4∗. lim+∞ ( x2 + 1 − 3 x3 − 1) = 0
√
√
√
5∗. lim+∞ (2 x2 + 2x − 3 x3 + 3x2 − 4 x4 + 4x3 ) = 0
√
√
√
6∗. lim−∞ (2 x2 + 2x − 3 x3 + 3x2 − 4 x4 + 4x3 ) = +∞
110 *Bereken en bespreek
p
lim( x2 + x + 1 − ax),
+∞
a ∈ R.
Oplossing: a > 0 ∨ a 6= 1 ⇒ ∞, a = 1 ⇒ 21 , a ≤ 0 ⇒ +∞.
TAAK ♣ 111 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van de
eventuele horizontale asymptoten:
√
√
1*. lim−∞ ( x2 + 3x + 2 − x2 − 3x + 2) = −3
√
2*. lim+∞ ( x2 + 7x − 8 − 2x) = −∞
7.1.7
Verloop van een irrationale functie
7.1.7.1
Extremumvraagstukken
Voorbeelden:
• Gegeven is een cirkel met straal R en een punt A gelegen op de cirkel. We beschouwen koorden BC parallel met de raaklijn in A. Construeer de koorde die de
oppervlakte van de driehoek ABC maximaal maakt.
Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de afstand van A tot de
koorde BC. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R .
2
Als 0 < x < R geldt |BC|
= R2 − (R − x)2 .
2
264
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
2
Als R < x < 2R geldt |BC|
= R2 − (x − R)2 .
2
De koorde |BC| is afhankelijk van x volgens de betrekking:
√
|BC| p 2
= R − (x2 − 2Rx + R2 ) = 2Rx − x2
2
De functie is de oppervlakte S van driehoek ABC.
√
1
S = |BC|x = x 2Rx − x2
2
3Rx − 2x2
S0 = √
2Rx − x2
De tabel met S en S 0 :
x
S0
S
0
3
R
2
+ 0 −
0 % 32 &
2R
0
De driehoek waarvoor de afstand van A tot de√koorde gelijk is aan 1,5 keer de straal
R, de maximale oppervlakte is gelijk aan = 3 4 3 R2 . De driehoek is gelijkzijdig.
√
Figuur 7.7: y = x 2x − x2 en haar afgeleide functie
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
265
• Hoe verloopt de inhoud van een omwentelingskegel, waarvan de manteloppervlakte
gelijk is aan de constante 9π(≈ 28, 3)?
Oplossing: We kiezen de straal van de kegel als onafhankelijk veranderlijke x .
De hoogte van de kegel is afhankelijk van x en het apothema a van de kegel.
h2 = a2 − x2
(7.1)
We moeten ook uitdrukken dat de manteloppervlakte van de kegel gelijk is aan 9π.
9π = πxa
waaruit volgt dat
a=
9
x
(7.2)
Uit 7.1 en 7.2 volgt dat
81 − x4
81
2
−
x
=
x2
x2
We zien hier dat de waarde van x slechts kan variëren tussen 0 en 3.
De functie is de inhoud I van de kegel.
r
1 2
1 2 81 − x4
1 √
I = πx h = πx
=
πx 81 − x4
3
3
x2
3
h2 =
−4x3
1 81 − 3x4
1 √
= π√
I 0 = π( 81 − x4 + x √
3
3
2 81 − x4
81 − x4
De tabel met I en I 0 :
x
I0
I
√
4
27 ≈ 2.3
3
+
0
−
√ √
0 % π 6 4 27 ≈ 17, 5 & 0
0
De inhoud is maximaal voor de straal van de kegel gelijk aan 2,3.
• Een man in een roeiboot bevindt zich op vier kilometer van het meest nabije punt
A van de kust. Hij wil een punt B bereiken dat zes kilometer van A verwijdert
is langs de kust, in de zo kort mogelijke tijd. Waar moet hij aanleggen als hij zes
kilometer per uur kan roeien en tien kilometer per uur kan wandelen.
Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke x kiezen we de afstand van plaats c
waar de man aan wal komt en het punt A. De waarde van x varieert tussen 0 en 6 .
√
De functie is de tijd t = t1 + t2 , waarin t1 de tijd is om de afstand |ac| = 16 + x2
266
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
√
Figuur 7.8: y = 13 πx 81 − x4 en haar afgeleide functie
af te leggen en t2 de tijd om de afstand |cb| = 6 − x af te leggen. Omdat de beweging
eenparig is geldt dat v = st =⇒ t = vs met v de snelheid en s de afgelegde weg.
√
16 + x2 6 − x
t=
+
6
10
√
5x − 3 16 + x2
√
t0 =
30 16 + x2
De tabel met t en t0 :
0
3
6
x
0
t
− 0 +
√
13
19
17
t
&
%
0
15
15
3
De man moet aan wal komen op een afstand van 3 m van A. De tijd is dan minimaal
en gelijk aan 1,13 u of 1 u 8 min. Indien de man recht naar A roeit dan duurt het
1 u 16 min en als hij rechtstreeks naar B roeit dan duurt het 1u 12 min.
• Het vraagstuk van de lichtbreking.
De punten A en B liggen in twee verschillende doorzichtige middenstoffen, waarvan
de scheiding een vlak Π is. Het licht plant zich in iedere middenstof volgens een
zekere lijn voort, en wel met een snelheid u in de eerste en v in de tweede; bij het
grensvlak ondergaat het echter een breking. Volgens welke wet moet deze breking
geschieden, als men, met Pierre Fermat (1601-1665), aanneemt dat het licht zich in
een minimale tijd van A naar B voortplant?
Oplossing: De baan door het licht beschreven zal zeker in het vlak α liggen,
loodrecht op Π door AB; want lag ze daarbuiten, dan zou haar projectie op α in
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
√
Figuur 7.9: y =
267
16+x2
6
+
6−x
10
en haar afgeleide functie
minder tijd doorlopen worden. We nemen daarom α als vlak van de tekening aan.
Men begrijpt ook dat, als AoB de baan is waarvoor de tijd minimaal is, O tussen
de projecties A0 en B 0 van A en B op Π moet liggen. We stellen: |AA0 | = m,
|bB 0 | = n, |A0 B 0 | = d en
|A0 o| = x de onbekende
p van het vraagstuk. Verder geldt:
√
0
2
2
|OB | = d − x, |AO| = x + m en |OB| = (d − x)2 + n2 .
De tijd t die het licht nodig heeft om de baan AoB af te leggen is:
p
√
(d − x)2 + n2
x2 + m2
+
.
t=
u
v
Het minimum van deze continue functie ligt in het interval [0, d]:
d−x
x
− p
t0 = √
.
2
2
u x +m
v (d − x)2 + n2
Voor x = 0 is t0 = − v√dd2 +n2 positief.
Voor x = d is t0 =
√ d
u d2 +m2
negatief.
Daar t0 een continue functie van x is, zal ze nul worden voor een waarde x0 van x,
gelegen tussen 0 en d (stelling van Bolzano). Voor x = x0 gaat t0 over van negatief
naar positief, zodat t een minimum bereikt in x0 .
Er geldt:
x
d − x0
√ 0
− p
=0
2
2
u x +m
v (d − x)2 + n2
268
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
m
x
d − x0
√ 0
= p
.
2
2
u x +m
v (d − x)2 + n2
Opdat het licht in de korst mogelijke tijd de afstand van A naar B zou afleggen
moet de lichtstraal invallen op het vlak Π op een afstand x0 van A0 . Noemen
we i de invalshoek en r de brekingshoek van de lichtstraal, dan kunnen we door
toepassen van de sinusregel in de rechthoekige driehoeken AAA0 o en ObB 0 de vorige
uitdrukking in de volgende gedaante brengen:
sin i
sin r
sin i
u
=
⇐⇒
= .
u
v
sin r
v
Dit is de wet van Snellius, 1581-1626.
De sinussen van invals- en brekingshoek staan in constante verhouding, de zogenaamde brekingsindex. De brekingsindex is ook de verhouding van de lichtsnelheden
in beide middenstoffen.
Opmerking: Dat t0 in het interval [o, d] slechts één nulpunt heeft, wordt duidelijk,
als we t0 in de vorm
sin i sin r
−
u
v
brengen. Als x varieert van 0 tot d, stijgt i, terwijl r daalt, zodat t0 steeds toeneemt
en dus maar één nulpunt kan hebben.
OPGAVEN — 112 In een cirkel trekkken we een koorde loodrecht op een middellijn. We verbinden de
eindpunten van de koorde met de eindpunten van de middellijn. Onderzoek het verloop van het verschil
van de oppervlakten van de verkregen gelijkbenige driehoeken.
TAAK ♣ 113 Hoe verloopt de omtrek van een rechthoek beschreven in een gegeven cirkel?
Oplossingen:
√
112 max. opp. vr. de koorde op afstand 22 R van het middelpunt van de cirkel;
113 max. omtr. vr. ingeschreven vierkant;
7.1.7.2
Tekenen van de grafiek van een irrationale functie
1. De absolute waarden van een rationale functie
Bij irrationale functies die de absolute waarde zijn van een rationale functie kunnen
we heel wat berekeningen uitsparen. We maken de berekeningen voor het verloop
van de rationale functie en tekenen haar grafiek. We verkrijgen de grafiek van de
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
269
irrationale functie door het gedeelte van de grafiek gelegen onder de x-as te spiegelen
om de x-as en de gedeelten boven de x-as te behouden.
Voorbeeld: y = |x3 + 3x2 − 4|
We onderzoeken de corresponderende rationale functie y = x3 + 3x2 − 4.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Domf = R;
Asymptoten: geen
Afgeleide functie: y 0 = 3x2 + 6x;
Tweede afgeleide functie; y 00 = 6(x + 1);
Tabel van het verloop van de rationale functie y = x3 + 3x2 − 4:
−2
−1
0
1
x
0
y + 0 − −3 − 0 + 9 +
y 00 −
− 0 +
+
+
y − 0 − −2 − −4 − 0 +
(f) Tabel van het verloop van de irrationale functie y = |x3 + 3x2 − 4|:
x
−2
−1
0
1
y 0 − 0 + 3 + 0 − −9|9 +
y 00 +
+ 0 −
−
|
+
y + 0 + 2 + 4 +
0
+
&
%
%
&
%
S
S
T
T
S
Extrema: minima: (−2, 0) en (1, 0); maximum: (0, 4).
De functie is niet afleidbaar in 1, de linkerafgeleide is −9 en de rechterafgeleide is 9.
Buigpunt: (−1, 2), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt 3.
2. Functies waar een absolute waarde in voorkomt
Bij irrationale functies waar in het voorschrift absolute waarden voorkomen kunnen we de berekeningen vereenvoudigen door het domein van de functie te splitsen
in deelintervallen. In elk deelinterval onderzoeken we dan een functie waar geen
absolute waarden meer in voorkomen. We geven een eenvoudig voorbeeld waarbij
de functie een lineaire combinaties is van absolute waarden van een eerste- en/of
tweedegraadsfuncties.
Voorbeeld: y = 2|x| − 3|x − 1|
We onderzoeken het teken van de functies y = x en y = x − 1:
0
1
x
x
− 0 +
+
x−1 −
− 0 +
270
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Figuur 7.10: de grafiek van y = |x3 + 3x2 − 4|
∀x ∈] − ∞, 0] : y = −x − 2
∀x ∈ [0, 1] : y = 5x − 3
∀x ∈ [1, +∞[: y = −x + 3
De grafiek van de functie is een aaneenschakeling van een halfrechte, een lijnstuk en
een halfrechte.
Voorbeeld: * y = x3 + |3x2 − 4|
We onderzoeken het teken van de functie y = 3x2 − 4:
√
√
x
−2 3/3
2 3/3
y0 +
0
−
0
+
√
√
2 3 2 3
∀x ∈] − ∞, −
[∪]
, +∞[: y = x3 + 3x2 − 4.
3
3
√
√
2 3 2 3
,
[: y = x3 − 3x2 + 4.
∀x ∈] −
3
3
Verloop van de functie y = x3 + 3x2 − 4: y 0 = 3x2 + 6x; nulpunten: 0 en -2;
y 00 = 6x + 6; nulpunt: -1
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
271
Figuur 7.11: de grafiek van y = 2|x| − 3|x − 1|
Tabel:
√
x
−2
−2 3/3
−1
0
√
0
y + 0 − 4(1 − 3) ||| | ||| | |||
y 00 −
−
||| | ||| | |||
√|
y − 0 − −8 3/9 ||| | ||| | |||
√
1
2 3/3
√
| ||| 4(1 + 3) +
| |||
+
√
| |||
8 3/9
+
Verloop van de functie y = x3 −3x2 +4: y 0 = 3x2 −6x; nulpunten: 0 en 2; y 00 = 6x−6;
nulpunt: 1
Tabel:
√
√
−2 3/3
−1
0
1
2
3/3
2
x
√
√
0
y ||| 4(1 + 3) + 9 + 0 − −3 − 4(1 − 3) ||| | |||
y 00 |||
−
−
− 0 +
||| | |||
√
√
y ||| −8 3/9 − 0 + 4 + 2 +
8 3/9
||| | |||
Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar.
272
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Het verloop van de functie y = x3 + |3x2 − 4|:
√
√
x
−2
−2 3/3
−1
0
1
2 3/3
y 0 + 0 − −2, 9|10, 9 + 9 + 0 − −3 − −2, 9|10, 9
y 00 −
−
−
−
− 0 +
√|
√|
y − 0 − −8 3/9 − 0 + 4 + 2 +
8 3/9
%
&
%
%
&
&
T
T
T
T
T
S
√
√
√
√
+
+
+
%
S
2 3
Extrema: minima: (−
, −√8 9 3 ), ( 2 3 3 , 8 3 3 ); maxima: (0, 4), (−2, 0). De functie is
√ 3
√
niet afleidbaar in − 2 3 3 en 2 3 3 , in beide punten is de linkerafgeleide 4(1 − 3) en
√
rechterafgeleide 4(1 + 3).
Buigpunt: (1, 2). De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt -3.
Figuur 7.12: de grafiek van y = x3 + |3x2 − 4|
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
273
3. Enkele speciale irrationale functies
2
2
(a) De niet-ontaarde hyperbool: xa2 − yb2 = 1
In de vergelijking komen x en y alleen in het kwadraat voor. De kromme ligt
dus symmetrisch t.o.v. de x-as, de y-as en de oorsprong. De kromme is de
unie van de grafieken van twee functies. Deze functies bepalen we door de
vergelijking van de kromme op te lossen naar y.
b√ 2
x − a2
y=±
a
We onderzoeken het verloop van
b√ 2
f :y=
x − a2 .
(7.3)
a
De volledige kromme bekomen we door de grafiek van 7.13 te spiegelen t.o.v.
de x-as.
i. domf =] − ∞, −a] ∪ [a, +∞[
ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn
x
b
y0 = √
2
a x − a2
ab
√
y 00 = −
2
2
(x − a ) x2 − a2
iii. De grafiek van f heeft geen verticale of horizontale asymptoten. Om de
schuine asymptoten op te sporen, maken we gebruik van de formules van
hoofdstuk 5 op p. 159.
x
b
∞
ω = lim y 0 = lim √
=
2
2
∞
∞ a
∞
x −a
We moeten onderscheid maken tussen +∞ en −∞ vermits we x onder het
wortelteken moeten brengen.
r
b
x2
b
0 x<0
ω = lim y = lim −
=−
2
2
−∞
−∞
a x −a
a
b√ 2
b
x − a2 + x) = +∞ − ∞
−∞ a
a
b √ 2
= lim ( x − a2 + x)
−∞ a
b x 2 − a2 − x 2
= lim √
−∞ a
x 2 − a2 − x
b
−a2
−ab
= lim √
=
=0
−∞ a
+∞
x 2 − a2 − x
q = lim(
274
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
De schuine asymptoot voor −∞ is de rechte met vergelijking y = − ab x.
b
ω = lim y = lim
+∞
+∞ a
0 x>0
r
x2
b
=
x 2 − a2
a
b
b√ 2
x − a2 − x) = +∞ − ∞
+∞ a
a
b √ 2
= lim ( x − a2 − x)
+∞ a
b x 2 − a2 − x 2
= lim √
+∞ a
x 2 − a2 + x
−a2
−ab
b
=
=0
= lim √
+∞ a
+∞
x 2 − a2 + x
q = lim(
De schuine asymptoot voor +∞ is de rechte met vergelijking y = ab x.
iv. De tabel met de tekenverlopen van y 0 , y 00 en y:
x
−a
0
a
0
y − −∞| ||| | ||| | + ∞
y 00 −
|
||| | |||
|
y +
0
||| | |||
0
&
|||
|
|||
T
||| | |||
+
−
+
%
T
De functie bereikt minima voor x = −a en x = a, er zijn geen buigpunten,
de functie is concaaf naar onder. Snijpunten met de x-as zijn (−a, 0) en
(a, 0).
De kromme met vergelijking
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
stelt een hyperbool voor.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
275
Figuur 7.13: hyperbool
teken hier zelf de ellips
2
2
(b) De reële niet-ontaarde ellips: xa2 + yb2 = 1 In de vergelijking x en y
alleen in het kwadraat voor. De kromme ligt dus symmetrisch t.o.v. de x-as,
de y-as en de oorsprong. De kromme is de unie van de grafieken van twee
functies. Deze functies bepalen we door de vergelijking van de kromme op te
lossen naar y.
b√ 2
a − x2
y=±
a
We zullen de grafiek tekenen van de functie f met voorschrift
y=
b√ 2
a − x2
a
De grafiek van de functie −f
y=−
b√ 2
a − x2
a
is dan het spiegelbeeld van f t.o.v. de x-as. Het domein van f is [−a, a]. De
grafiek van de functie heeft geen asymptoten, hierbij zijn de limieten in −∞
en +∞ zinledig. We berekenen eerste en tweede afgeleide functie van f :
b
x
y0 = − √
a a2 − x 2
276
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
y 00 =
ab
√
.
(x2 − a2 ) a2 − x2
We maken het tekenverloop van y, y 0 , y 00 , de besluiten voor stijgen en dalen en
de concaviteit van de grafiek van de functie
−a
0
x
0
y ||| | + ∞ + 0
y 00 |||
|
−
y |||
0
+ b
%
T
a
− −∞| |||
−
|
|||
+
0
|||
&
T
De functie bereikt een maximum voor x = 0, er zijn geen buigpunten, de functie
is concaaf naar onder. Het snijpunt met de y-as is (0, b) en de snijpunten met
de x-as zijn (−a, 0) en (a, 0).
De kromme met vergelijking
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
stelt een ellips voor.
Teken en ellips in figuur 7.13 op pagina 275.
(c) De niet-ontaarde parabool
Teken de kromme met vergelijking
y 2 = 2px met p ∈ R0
Bepaal zelf het domein en de eventuelen asymptoten van de functie f met
voorschrift
p
y = 2px
alsook de tabel voor stijgen, dalen en concaviteit. De kromme met vergelijking
y 2 = 2px stelt een parabool voor.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
277
Figuur 7.14: parabool p < 0
parabool p > 0
(d) De kromme y 3 = x2 (6 − x)
We schetsen de grafiek van de functie f : y = x2/3 (6 − x)1/3 .
i. domf = R;
ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn:
4−x
−8
y0 = p
en y 00 = p
3
3
2
4
x(6 − x)
x (6 − x)5
iii. De grafiek van de functie heeft geen verticale of horizontale asymptoten.
We onderzoeken of er schuine asymptoten zijn.
∞
4−x
=
ω = lim p
∞ 3 x(6 − x)2
∞
s
(4 − x)3
= lim 3
= −1
∞
x(6 − x)2
p
q = lim( 3 x2 (6 − x) + x) = +∞ − ∞
∞
x2 (6 − x) + x3
p
= lim p
∞ 3 x4 (6 − x)2 − x 3 x2 (6 − x) + x2
6x2
p
= lim p
∞ 3 x4 (6 − x)2 − x 3 x2 (6 − x) + x2
6
q
= lim q
2
∞ 3 x4 (6−x)2
− 3 x (6−x)
+1
x6
x3
=
6
=2
1 − (−1) + 1
278
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
De grafiek van de functie heeft een schuine asymptoot, nl. y = −x + 2.
iv. We bepalen het tekenverloop van y 0 , y 00 en y.
x
0
y 0 − −∞| + ∞
y 00 − −∞| − ∞
y +
0
&
T
4
+
0
− −0,
4
√
3
+ 2 4
%
T
6
− −∞| − ∞
− −∞| + ∞
+
0
&
T
−
+
−
&
S
De functie f bereikt een relatief maximum in 4 vermits f 0 (4) = 0 is en
f 00 (4) = −0, 4 < 0.
De tweede afgeleide test kan niet gebruikt worden in 0, omdat f 00 daar niet
bestaat. De functie bereikt echter een relatief minimum in 0 vermits f 0 in
0 verandert van teken. Het punt (0, 0) is een keerpunt met keerraaklijn de
rechte x = 0, dit is de y-as omdat lim0 f 0 = ∞..
Het punt (6, 0) is een buigpunt. De buigraaklijn is x = 6 dit is een rechte
parallel met de y-as omdat lim6 f 0 = ∞..
Figuur 7.15: vervolledig de grafiek van y = x2/3 (6 − x)1/3
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
279
(e) De kromme y 5 = x5 (1 − x)2 .
We bepalen de relatieve extrema van de functie y = x(1 − x)2/5 en we schetsen
de grafiek.
5 − 7x
14x − 20
y0 =
en y 00 =
3/5
5(1 − x)
25(1 − x)8/5
De kritische punten zijn 5/7 en 1. We maken het tekenverloop van y 0 :
0
5/7
x
y0 + 1 +
0
00
y − − −
−
y − 0 + 0, 43
%
%
T
T
1
− −∞| + ∞
− −∞| + ∞
+
0
&
T
10/7
+ 1, 66 +
−
0
+
+ 1, 14 +
%
%
T
S
De functie bereikt een relatief maximum in 5/7 en een relatief minimum in 1.
Het punt (1, 0) is een keerpunt en de keerraaklijn in (1, 0) is de rechte x = 1,
omdat lim1 f 0 = ∞. Het punt ( 10
; 1, 14) is een buigpunt.
7
Figuur 7.16: vervolledig de grafiek van y = x(1 − x)2/5
280
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 114 Los de volgende vergelijking op in R: |2x − 3| + |x − 3| = |4x − 1| (VWO.86-87).
115 Teken de grafieken van de volgende functies:
2
1.
2.
−3x+2)|
y = |(x−3)(x
x−1
y = |x2 − 3x|
3.
y = |x2 − 3|
10.
y = x|x − 2|
4.
y = (x − 3)|x| + 4
11.
y = |bxc|
5.
y = b|x|c
12.
y = x2 − 3|x| + 2
6.
y = x2 + |3x2 − 4|
13.
y = 21 (|x| + x + |x − 1| + x − 1)
8.
9.
y = |x2 + 2x| − x2 + 3
y = x2 + 2|x|
116 Los de volgende ongelijkheden grafisch op
√
2
4.
1. x
p+ x > 0
2
2
2.
5.
(3 − x) + 1 < 4 − 5 x
√
p
6.
3. 2 x2 − 3 (x − 1)2 > 0
p
2
x
p (x − 2) <p1
2
(x + 1) + (x − 1)2 ≤ −(x + 1)(x − 5)
√
(x − 3) x2 + 4 > 2x
117 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies:
1. y = |x2 + 4x − 16|
5. y = |x + 1| − 2x + 3 − | x1 |
3
2. y = |x − x|
6. y = |x2 − 16| + 4x
√
3. y = | x1 |
7. y = x2 − 3x + 2
√
4. y = x2/3 (x − 2)2
8. y = x2 3 6x − 7
118 Bepaal
√ het beeld van het interval voor de volgende
√ functies:
1. y = x3 − 3x2 + 2 in [−4, 0]
2. y = x − 1 − x in [−2, 1]
119 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteit en buigpunten
van de volgende functies.
√
√
√
1. y = x x + 1
2. y = 3 x − 5 x
3. y = x1/3 (x + 3)2/3
120 Bepaal het verloop en teken de grafiek van de volgende functies:
4. y = | 41 (−x3 − x − 10)|
1. y = | 41 x3 − 32 x2 + 94 x + 4|
2.
y = | 2x−4
x+3 |
3.
y=
121
1.
2.
3.
Bepaal het verloop en de grafiek van
y = |x + 2|(x2 − 1)
4.
5.
y = (x + |x|)2 + x2 |x| + |x|
2
2
3ay = x(x − a)
6*.
|x3 |
x2 +1
|x|
(x+3)2
5.
y=
6.
y2 =
(x+1)2
x2
de volgende functies:
y = |x + 2|.|x + 1|.(x − 1)
y = |x − 2|3 − |2 − x|
x2 +|x−1|
y = |x
2 +x|−1
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
122
1.
2.
3.
Teken de volgende krommen:
x2 y 2 − 4y 2 − x2 = 0
4.
y 2 = (3 − x)(x + 2)2
5.
(x − 4)2 y 2 + x2 − 9 = 0
6.
281
y 2 = x(x − 1)(x + 1)2
x4 y 2 − (x − 2)2 (x − 3) = 0
xy 2 − 5y 2 − (2x + 1)2 (2x − 5) = 0
123 Teken de volgende krommen:
a*. (x − y)2 = |x2 − 1|;
b. x(x2 + y 2 ) = 2ay 2 (cissoı̈de);
c. x4 = a2 (x2 − y 2 ) (lemniscaat van Gerono);
d. 4a2 y 2 = x3 (2a − x) (topkromme);
e. y(a + x2 ) = abx.
124 Bepaal het verloop en de grafiek van de
2
1. y = √xx2 −4
5.
√
2*. y = 3 x3 − 3x + 2
6.
q
1
7.
3. y = 1+x
2
4.
y=
p
x(x2 − 4)
125 Teken de volgende krommen:
1*. xy 2 + 3y 3 = 4
3.
2. xy 2 − x2 − y 2 + 2x = 0
4.
volgende functies:
√
y = x+9
q
y = x2x−4
q
y = x(x−2)
x2 −1
q
8. y = x(x−3)
x−1
x2 y 2 − x2 − 9y 2 + 16 = 0
x2 y 2 − x3 − 4y 2 + x = 0
126 Hoe verandert de vorm van de grafiek van de functie y =
a?
√
x2 + ax al naargelang de waarden van
282
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Oplossingen:
3
116 1. x > 0; 2. ]0, 30
7 [; 3. 5 , 3[;
√
√
√
√
4. ] − ∞, 1 + 2[\{1}; 5. [2 − 7, 1 + 6]; 6. ] 1−2 17 , 1[∪]4, +∞[ 120
1. y = | 41 x3 − 32 x2 + 94 x + 4|: Domf = R; geen asymptoten; y 0 = 43 (x2 − 4x + 3); y 00 = 32 (x − 2); Tabel
van de rationale functie y = 14 x3 − 32 x2 + 94 x + 4:
x
y0
y 00
y
+
−
−
−1
6
0
+
−
+
0
9/4
4
+
−
+
1
0
2
− −3/4
−
0
+ 9/2
5
3
− 0
+
+ 4
+
+
+
Tabel van de irrationale functie y = | 14 x3 − 23 x2 + 94 x + 4|:
x
y0
y 00
y
−1
− −6|6
+
|
+
0
&
S
0
+ 9/4
−
+
4
%
T
1
+ 0
−
+ 5
%
T
2
− −3/4
−
0
+
9/2
&
T
3
− 0
+
+ 4
&
S
+
+
+
%
S
Extrema: minima: (−1, 0) en (3, 4); maximum: (1, 5).
De functie is niet afleidbaar in −1, de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6.
Buigpunt: (2, 29 ), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt − 34 .
0
2. y = | 2x−4
x+3 |: Domf = R \ {−3}; V.A.: x = −3; H.A.: y = 2; y =
2x−4
de rationale functie y = x+3 :
x
y0
y 00
y
+
+
+
−3
+∞| + ∞ +
|
−
+∞| − ∞ −
0
10/9
−4/3
+
−
−
2
0, 4
0
10
(x+3)2 ;
y 00 =
−20
(x+3)3 ;
Tabel van
+
−
+
Tabel van de irrationale functie y = | 2x−4
x+3 |:
x
y0
y 00
y
−3
+ +∞| − ∞
+
|
+ +∞| + ∞
%
S
0
− −10/9
+
+
4/3
&
S
2
− −0, 4|0, 4
+
+
0
&
S
+
−
+
%
T
Extrema: minimum (2, 0). De functie is niet afleidbaar in 2, de linkerafgeleide is −0, 4 en de
rechterafgeleide is 0, 4.
Buigpunten: geen.
3. y =
|x3 |
x2 +1 :
Domf = R; De functie is oneven; S.A.: y = x; y 0 =
x2 (x2 +3)
(x2 +1)2 ;
y 00 =
2x(3−x2 )
(x2 +1)3
Tabel van
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
de rationale functie y =
283
x3
x2 +1 :
x
y0
y 00
y
+
+
−
√
− 3
9/8
0
√
−3 3/4
√
0
+ 0
− 0
− 0
3
+
9/8
+
√0
+ 3 3/4
+
−
+
3
Tabel van de irrationale functie y = | x2x+1 |:
x
y0
y 00
y
−
−
+
&
T
√
− 3
−9/8
√0
3 3/4
−
+
+
&
S
0
0
0
0
√
3
+
9/8
+
√0
+ 3 3/4
%
S
+
−
+
%
T
Extremum: minimum:√ (0, 0). De functie
is afleidbaar in 0, de linker- en rechterafgeleide zijn 0.
√ 3 3
√ 3√3
Buigpunten; (− 3, 4 ) en ( 3, 4 ), de buigraaklijnen hebben resp. richtingscoëfficiënten − 98
en 98 .
4. y = | 14 (−x3 − x − 10)|: Domf = R; geen asymptoten; y 0 =
rationale functie y = 14 (x3 + x + 10):
x
y0
y 00
y
−2
+ 13/4
−
−
0
0
+ 1/4
−
0
+ 5/2
1
+ 1
+
+ 3
1
2
4 (3x
+ 1); y 00 =
3
2x
Tabel van de
+
+
+
Tabel van de irrationale functie y = | 14 (−x3 − x2 − 10)|:
x
y0
y 00
y
−2
− −13/4|13/4
+
|
+
0
&
S
0
+ 1/4
−
0
+ 5/2
%
T
1
+ 1
+
+ 3
%
S
+
+
+
%
S
Extremum: minimum: −2, 0). De functie is niet afleidbaar in −2, de linkerafgeleide is − 13
4 en de
rechterafgeleide is 13
.
4
Buigpunt: (0, 52 ), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt 14 .
|x|
0
5. y = (x+3)
2 : Domf = R \ {−3}, V.A.: x = −3; H.A.: y = 0; y =
x
de rationale functie y = (x+3)2 :
x
y0
y 00
y
−3
− −∞| + ∞
−
|
− −∞| − ∞
0
+ 1/9
−
− 0
3−x
(x+3)2 ;
y 00 =
3
6
+
0
− −1/243 −
−
−
0
+
+ 1/12 +
2/27
+
2(x−6)
(x+3)3 ;
Tabel van
284
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Tabel van de irrationale functie y =
|x|
(x+3)2 :
−3
+ +∞| − ∞
+
|
+ +∞| + ∞
%
S
x
y0
y 00
y
0
− −1/9|1/9
+
|
+
0
&
S
3
6
+
0
− −1/243 −
−
−
0
+
+ 1/12 +
2/27
+
%
&
&
T
T
S
1
Extrema: minimum: (0, 0); maximum: (3, 12
). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleide
1
1
is − 9 en de rechterafgeleide is 9 .
2
1
Buigpunt: (6, 27
), de buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt − 243
.
6. y 2 =
(x+1)2
x2 :
121
1. y = |x + 2|(x2 − 1):
∀x ∈] − ∞, −2[: y1 = −(x + 2)(x2 − 1)
∀x ∈] − 2, +∞[: y2 = (x + 2)(x2 − 1), y20 = 3x2 + 4x − 1, y200 = 6x + 4
Tabel:
x
y0
y 00
y
−2
− −3|3
+
|
+
0
&
S
+
−
+
%
T
−1, 55
0
0, 63
−
−
+
&
T
−1
−2
0
−
−
−
&
T
−2/3
−7/3
0
−20/27
0
− −1
+
− −2
&
S
0, 22
1
−
0
+ 6
+
+
− −2, 11 − 0
&
%
S
S
+
+
+
%
S
De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x + 2)(x2 − 1) maar
het gedeelte van de grafiek voor x-waarden kleiner dan −2 moet gespiegeld worden t.o.v. de x-as.
Extrema: minima: (−2, 0) en (0, 22; −2, 11); maximum: (−1, 55; 0, 63). De functie is niet afleidbaar
in −2, de linkerafgeleide is −3 en de rechterafgeleide is 3.
7
Buigpunt: (− 23 , − 20
27 ). De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt − 3 .
2. y = (x + |x|)2 + x2 |x| + |x|:
∀x ∈ R− : y1 = −x(x2 + 1); y10 = −3x2 − 1; y100 = −6x
∀x ∈ R+ : y2 = 4x2 + x3 + x; y20 = 3x2 + 8x + 1, y200 = 6x + 8
Tabel:
x
y0
y 00
y
0
− −1|1
+
|
+
0
&
S
+
+
+
%
S
Merk op dat de functie niet even is en dus niet symmetrisch ligt t.o.v. de y-as.
Extremum: minimum: (0, 0). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleide is −1 en de
rechterafgeleide is 1.
Buigpunten: geen.
7.1. IRRATIONALE FUNCTIES
285
3. 3ay 2 = x(x − a)2 :
√
1
∀x ∈ R− : y1 = √ (a − x) x(a > 0)
3a
√
1
∀x ∈ R+ : y2 = √ (x − a) x
3a
1 3x − a
y20 = √ . √
x
2 3a
1 3x + a
y200 = √ . √
4 3a x x
Tabel:
x
y0
y 00
y
0
||| | + ∞
|||
|
|||
0
a/3
+
0
−
+ 2a/9
%
T
√ a√
− − 3/3| 3/3
−
|
+
0
&
T
+
+
+
%
S
Extrema: maximum: ( a3 , 2a
(a, 0). De functie is niet afleidbaar in a, de linkerafgeleide
9 ); minimum:
√
√
3
3
is − 3 en de rechterafgeleide is 3 .
Buigpunten: geen.
4. y = |x + 2|.|x + 1|.(x − 1):
∀x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, +∞[: y1 = (x + 2)(x2 − 1); y10 = 3x2 + 4x − 1; y200 = 6x + 4
∀x ∈] − 2, −1[: y2 = −(x + 2)(x2 − 1)
Tabel:
x
y0
y 00
y
−2
+ 3| − 3
−
|
−
0
%
T
−
+
−
&
S
−1, 55
0
−0, 63
−1
+ 2| − 2
+
−
0
%
S
−
−
−
&
T
−2/3
−7/3
0
−20/27
0
− −1
+
− −2
&
S
0, 22
1
−
0
+ 6
+
+
− −2, 11 − 0
&
%
S
S
+
+
+
%
S
De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x + 2)(x2 − 1) maar
het gedeelte van de grafiek voor x-waarden gelegen tussen −2 en −1 moet gespiegeld worden t.o.v.
de x-as.
Extrema: maxima: (−2, 0) en (0, 22; 0); minima: (−1, 55; 0) en (1, 0). De functie is niet afleidbaar
in −2, de linkerafgeleide is 3 en de rechterafgeleide is −3. De functie is ook niet afleidbaar in 1,
de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6.
7
Buigpunt: (− 23 , 20
27 ). De buigraaklijn heeft richtingscoëfficiënt 3 .
5. y = |x − 2|3 − |2 − x|:
∀x ∈] − ∞, 2[: y1 = (x − 2)(−x2 + 4x − 3)
∀x ∈]2, +∞[: y2 = (x − 2)(x2 − 4x + 3); y20 = 3x2 − 12x + 11; y200 = 6(x − 2)
286
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
Tabel:
x
y0
y 00
y
0
1
− −11 − −2
+
+
+
6
+
0
&
&
S
S
1, 42
−
0
+
− −0, 38
&
S
2
+ 1| − 1
+
0|0
−
0
%
S
2, 58
−
0
+
− −0, 38
&
S
3
+ 2
+
− 0
%
S
4
+ 11
+
+ 6
%
S
+
+
+
%
S
De grafiek van de gevraagde functie is de grafiek van de functie y = (x − 2)(x2 − 2x + 3), maar
waarbij we het deel van de grafiek kleiner dan 2 spiegelen t.o.v. de x-as.
Extrema: minima: (1, 42; −0, 38) en (2, 58; −0, 38); maximum: (2, 0). De functie is niet afleidbaar
in 2, de linkerafgeleide is 1 en de rechterafgeleide −1.
Buigpunt: geen
6. y =
x2 +|x−1|
|x2 +x|−1 :
∀x ∈] − ∞, −1[∪]0, 1[: y1 =
∀x ∈] − 1, 0[: y2 =
x2 − x + 1
x2 + x − 1
x2 − x + 1
−x2 − x − 1
∀x ∈]1, +∞[: y3 = 1
We moeten hier twee functies onderzoeken
a.
∀x ∈] − ∞, −1[∪]0, 1[: y1 =
√
V.A.: x =
5−1
2
en x =
x2 − x + 1
x2 + x − 1
√
− 5−1
2
y0 =
2(x2 − 2x)
(x2 + x − 1)2
y 00 =
−x3 + 3x2 + 1
(x2 + x − 1)3
Tabel:
x
y0
y 00
y
−1, 6
+ +∞| + ∞
+ +∞| − ∞
+ +∞| − ∞
−1
+ 6
−
− −3
0
||| 0
|||
||| −1
−
−
−
b.
∀x ∈] − 1, 0[: y2 =
y0 =
y 00 =
0, 6
−∞| − ∞ −
−∞| + ∞ +
−∞| + ∞ +
x2 − x + 1
−x2 − x − 1
2(1 − x2 )
(x2 + x + 1)2
4(x3 − 3x2 − 1)
(x2 + x + 1)3
1
−2
1
|||
|||
|||
2
|
|
|
|||
|||
|||
7.2. HERHALINGSOEFENINGEN OP EXTREMUMVRAAGSTUKKEN
Tabel:
x
y0
y 00
y
−1
||| 0
|||
||| −3
−0, 35
+ 2, 94 +
+
0
−
− −1, 90 −
0
2
−1
1
||| |
||| |
||| |
287
|||
|||
|||
Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar.
Tabel:
x
y0
y 00
y
7.2
+
+
+
%
S
−1, 6
+∞| + ∞
+∞| − ∞
+∞| − ∞
+
−
−
%
T
−1
6|0
|
−3
+
+
−
%
S
−0, 35
2, 94
0
−1, 90
+
−
−
%
T
0
2|0
|
−1
−
−
−
&
T
0, 6
−∞| − ∞
−∞| + ∞
−∞| + ∞
−
+
+
&
S
1
−2|0
|
1
0
0
1
Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken
OPGAVEN — 127 Wat is de extremale waarde van de omtrek van een rechthoekige driehoek beschreven om een gegeven cirkel?
128 De punten (0, a) en (0, b) bepalen een segment op de y-as (0 < a < b). Bepaal het punt op de x-as
waar de hoek waaronder men het segment ziet, extremaal wordt.
129 Hoe verloopt de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel in een sfeer beschreven en die een
grote cirkel tot grondvlak heeft.
130 * Bepaal de tophoek van een gelijkbenige driehoek met een gegeven oppervlakte K 2 waarvan de
straal van de ingeschreven cirkel extremaal is.
131 * Een kegel wordt beschreven om een gegeven halve bol met straal R. Het middelpunt van de basis
van de kegel valt samen met het middelpunt van de bol. Voor welke hoogte van de kegel is de inhoud
maximaal of minimaal? Dezelfde vraag voor de zijdelingse oppervlakte van de kegel.
132 * Een bol met straal R raakt aan een vlak α. Een omwentelingskegel met grondvlak in α wordt
omgeschreven aan de bol. Druk het volume van de kegel uit in functie van de halve tophoek. Voor welke
waarde van de halve tophoek bereikt het volume een extremale waarde. Bewijs dat het volume van de
kegel dan het dubbele is van het volume van de bol.
√
Oplossingen: 127: Driehoek is gelijkbenig, O = 6R + 4 2R;
√
128: abs.= ab;
√
129: max. voor straal van bovenvlak gelijk aan 1/3 van de straal van het grondvlak. 130: 60o , H = 43K;
√
131: H = 3R;
132: sin α = 1/3;
288
HOOFDSTUK 7. ALGEBRAÏSCHE FUNCTIES
AN I HUISTAAK 10
1. Bepaal de grafiek en het beeld van het interval voor de
volgende functies:
√
2. y = | x2x+1 | in [−5, 5]
1. y = 1 − x2 − x in [−1, 1]
2. Gegeven zijn de functies f : y =
x3 +9
x2 −1
en g =
√
f . Gevraagd:
(a) Onderzoek het verloop van f en teken haar grafiek;
(b) Leid uit 2a het domein af van g;
(c) Geef de afgeleide van g door gebruik te maken van de afgeleide functie van
f die je reeds berekend hebt. Wat kan je hieruit besluiten voor de extreme
waarde van g?
(d) Voor welke waarden van a heeft de volgende vergelijking maar één oplossing:
r
x3 + 9
=a
x2 − 1
3. Een rechthoek met basis op de x-as ligt in het gebied begrensd door de kromme met
vergelijking y = x2x+1 en de x-as. Twee hoekpunten zijn op de kromme gelegen. Zoek
de extremale inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling van de rechthoek
om zijn basis (x-as).
Inhoudsopgave
1 Reële getallen
3
1.1
Het geordend veld van de reële getallen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Absolute waarde in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Eigenschappen van de absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Afstand in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
Basisomgeving van een reëel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Machten in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1
Gehele machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2
Rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2.2
Rekenregels met evenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.2.3
Rekenregels met onevenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.2.4
Rekenregels met rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.2
Rekenregels met logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.3
Verband tussen de twee verschillende logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.4
Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en binaire schrijfwijze . . . .
14
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5.1
Over getallen en Oneindigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5.2
Het onbenoembare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
1.4
1.5
289
290
INHOUDSOPGAVE
2 Functies
2.1
2.2
2.3
2.4
17
Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2
Triviale relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3
Analytisch voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.4
Voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.5
Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Functies - reële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.1
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.2
Praktische voorbeelden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.3
Verdere begrippen en zegswijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.4
Bijzondere functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.5
Restrictie en uitbreiding van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.5.1
Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Bewerkingen met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.1
Samenstelling van twee relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.2
Samenstelling van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.3
Inverse relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.4
Inverse functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3.5
Som van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.6
Het verschil van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.7
De scalaire vermenigvuldiging van functies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.8
Het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3.9
Quotiënt van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Transformaties van krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.4.1
Verschuivingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.4.1.1
Het beeld van een punt onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.4.1.2
Het beeld van een kromme onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . .
45
2.4.1.3
Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Spiegelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.4.2.1
Het beeld van een punt onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.4.2.2
Het beeld van een kromme onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . .
51
2.4.2.3
Assen en punten van symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.4.2.4
Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Uitrekkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4.3.1
Het beeld van een punt onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4.3.2
Het beeld van een kromme onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4.2
2.4.3
INHOUDSOPGAVE
291
3 Rijen: Convergentie en Divergentie
3.1
69
Rekenkundige en meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.1.1
Even herhalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2
Notaties en terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.3
Enkele bijzondere rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3.1
De harmonische rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3.2
De rij van Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3.3
Een rij van faculteiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.3.4
Alternerende rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.4
Begrensde en monotone rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.5
Convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.5.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.5.2
Definitie van eindige limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.6.1
+∞ en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.6.2
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.7
Onbesliste rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.8
Besluit voor de convergentie en divergentie van rekenkundige en meetkundige rijen . . . .
95
3.9
Speciale bovengrenzen en ondergrenzen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Eigenschappen van begrensde verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.10 Eigenschappen van convergente/divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.11 Criteria voor convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.6
3.9.1
3.12 Twee merkwaardige limieten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.13 Ophopingspunten, geı̈soleerde punten en plakpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.14 Bewerkingen met rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.15 Rekenregels voor limieten van rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.15.1 Stellingen – de rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.15.2 Rekenregels in R ∪ {−∞, +∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.15.3 Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.16 Meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.16.1 Inleidend praktisch voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.16.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.16.3 De algemene term van een meetkundige reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.16.4 Convergentie van meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.17 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
292
INHOUDSOPGAVE
4 Limieten en continuı̈teit van reële functies
127
4.1
Woorden wekken. . .
4.2
Definitie van limiet en continuı̈teit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3
Eigenschappen van limieten en continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4
De rekenregels alweer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Afgeleiden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
147
5.1
Snelheden en raaklijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2
Differentiaalquotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3
5.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.2
Betekenis van het differentiequotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.3
Meetkundige betekenis van differentiequotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Afgeleide in een punt van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.1
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.2
De meetkundige betekenis van afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4
Afleidbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5
De afgeleide functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.5.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6
Raaklijnen aan de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7
Asymptoten voor de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7.1
Verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7.2
Schuine - en horizontale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8
Methode van Newton voor het benaderen van nulpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9
Maximale en minimale functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.9.1
Absoluut maximum en absoluut minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.9.2
Relatief maximum en relatief minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.9.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.9.2.2
Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.9.2.3
Soorten relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.10 Stellingen van de differentiaalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.10.1 De stelling van Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.10.2 Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van de differentiaalrekening . . . 168
5.11 De regel van de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
INHOUDSOPGAVE
293
5.12 Stijgen en dalen van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.12.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.12.2 Test voor stijgen en dalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.12.3 De eerste afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.13 Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.13.1 Concaaf naar boven en concaaf naar beneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.13.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.13.1.2 Test voor concaviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.13.2 Buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.13.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.13.2.2 De tweede afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.13.2.3 Soorten buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.14 Wederom rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.14.1 De afgeleide functie van een lineaire combinatie van twee functies . . . . . . . . . . 178
5.14.2 De afgeleide functie van het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.14.3 De afgeleide functie van het quotiënt van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.14.4 De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies—De kettingregel
. . . 182
5.14.5 Afgeleide functie van de inverse functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.15 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Algebraı̈sche functies
6.1
187
Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.1.1
Standaardveeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.1.2
Voorschrift van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.1.2.1
Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveeltermfuncties 188
6.1.2.2
Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties . . . 189
6.1.2.3
Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties . . . . . . . . 191
6.1.3
Het domein van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.1.4
Limieten en continuı̈teit van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.1.4.1
Limiet in een reële waarde en continuı̈teit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.1.4.2
Limiet in ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.5
Tekenverloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.6
Afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.6.1
De afgeleide functie van een constante functie
. . . . . . . . . . . . . . . 197
294
INHOUDSOPGAVE
6.1.7
6.2
6.1.6.2
De afgeleide functie van de identieke functie . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.1.6.3
Afgeleide van een natuurlijke macht van x . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.1.6.4
De afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Verloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.1.7.1
Stijgen, dalen en relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.1.7.2
Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Rationale functies
6.2.1
Standaardrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2.2
Voorschrift van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.2.2.1
Een rationale functie als quotiënt van twee veeltermfuncties . . . . . . . . 218
6.2.2.2
Een rationale functie als samenstelling van rationale functies . . . . . . . 219
6.2.3
Het domein van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2.4
Tekenverloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.2.5
Transformaties van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.2.6
6.2.7
6.2.5.1
Transformatie van een rationale functie in een standaardrationale functie 221
6.2.5.2
De inverse relatie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Limieten en continuı̈teit van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.6.1
Limiet en continuı̈teit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.6.2
Limiet in en reëel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.6.3
Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Afgeleide functie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2.7.1
6.2.8
Afgeleide van een gehele macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Verloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2.8.1
Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2.8.2
Tekenen van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.8.3
Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen . . . . . . . . . 239
7 Algebraı̈sche functies
7.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
243
Irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.1.1
Standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.1.2
Samenstelling met standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.1.3
Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.4
Inverse functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.1.5
De afgeleide functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
INHOUDSOPGAVE
7.1.6
7.1.7
7.2
295
√
n
7.1.5.1
Afgeleide functie van y =
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.1.5.2
De afgeleide van een rationale macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Limieten en continuı̈teit van irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.1.6.1
Limiet en continuı̈teit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 256
7.1.6.2
Limiet in een reëel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.1.6.3
Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Verloop van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.1.7.1
Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.1.7.2
Tekenen van de grafiek van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . 268
Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Analyse deel I

Related documents

Products

Support

Analyse deel I

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib