Glazen, kokers en tennisballen

Glazen, kokers en
tennisballen
Door: Famke Michielsen, Frédérique Mulder, Maud de Ruiter en Mila Smit
Utrechts Stedelijk Gymnasium
1
Inhoud






Voorwoord
Instapopdracht 1
Instapopdracht 2
Verkenning van eindopdracht
Eindopdracht
o Mogelijke ontwerpen
o Uiteindelijk ontwerp
Nawoord
2
Voorwoord
De opdracht van vandaag gaat over glazen, kokers, en tennisballen. Voor ons was het tot
vanochtend een raadsel waar het over zou gaan en toen we het onderwerp net hoorden
eigenlijk nog steeds. Toen we het opdrachten boekje kregen en de opdracht ook
daadwerkelijk gelezen hadden, werd de opdracht duidelijk. We vonden het een leuke
opdracht en hadden er meteen veel zin in. Ook vinden we het interessant om op een andere
manier over iets heel normaals, zoals verpakkingen, anders na te gaan denken. Onze
ontdekkingen over deze verpakkingen leest u in dit verslag.
3
Instapopdracht 1: onderzoekje naar formaten van glazen
Tijdens instapopdracht 1 deden wij een onderzoekje naar formaten van glazen. We hadden 5
verschillende soorten glazen. (zie afbeelding 1)
Glas 1
Glas 2
Glas 3
Glas 4
Glas 5
(afbeelding 1)
Als eerste gingen we de inhoud van de glazen schatten en de glazen op volgorde van groot naar klein
zetten. We keken naar de grootte van glazen, waarvoor je de glazen gebruikt, en ook op basis van
onze intuïtie. Zo hebben wij geschat welk glas de grootse inhoud zou hebben en de glazen op
volgorde gezet (zie afbeelding 2)
(afbeelding 2)
Daarna hebben wij geschat wat groter is: de hoogte of de omtrek. We zijn op onze intuïtie afgegaan
en hebben de volgende resultaten behaald:
Is de hoogte of
omtrek groter?
Glas 1
Glas 2
Glas 3
Glas 4
Glas 5
Omtrek
Omtrek
Omtrek
Omtrek
omtrek
4
Toen hebben we de werkelijke hoogte en omtrek gemeten. De omtrek moesten we meten aan de
bovenkant van het glas. Ook hebben we de straal berekend, door de diameter op te meten en deze
te delen door twee. Met de straal en hoogte hebben we vervolgens de inhoud van het glas berekend,
dit leidde tot de volgende resultaten en berekeningen:
glas 1: omtrek: 23,7 cm; hoogte: 9,3 cm; inhoud: 3,82 x π x 9,3 = 421,9 cmᶟ
glas 2: omtrek: 24,1 cm; hoogte: 10,2 cm; inhoud: 4,52 x π x 10,2 = 648,9 cmᶟ
glas 3: omtrek: 22,9 cm; hoogte: 8,8 cm; inhoud: 3,62 x π x 8,8 = 358,3 cmᶟ
glas 4: omtrek: 23,4 cm; hoogte: 8,2; inhoud: 3,72 x π x 8,2 = 352,7 cmᶟ
glas 5: omtrek: 20,9 cm; hoogte: 6,7 cm; inhoud: 3,22 x π x 6,7 = 215,5 cmᶟ
Om deze resultaten overzichtelijk weer te geven, hebben wij ze in een tabel gezet:
Glas 1
Glas 2
Glas 3
Glas 4
Glas 5
Omtrek (cm)
23,7
24,1
22,9
23,4
20,9
Hoogte (cm)
9,3
10,2
8,8
8,2
6,7
Inhoud (cmᶟ)
421,9
648,9
358,3
352,7
215,5
Daarna zijn we opzoek gegaan naar verbanden tussen de omtrek, hoogte en inhoud. Hieronder staan
de verbanden die wij hebben gevonden en ontdekkingen die wij hebben gedaan.
- Hoe groter de hoogte, hoe groter de inhoud, want je vermenigvuldigt de straal in het kwadraat met
π en met de hoogte. π is een constante en blijft dus altijd gelijk. Dus wanneer de hoogte groot is, is
de inhoud ook groot (dit is alleen van toepassing als de omtrek gelijk blijft).
- Als je een grote omtrek hebt, is de diameter van de bovenkant van het glas ook groter en is de
straal dus ook groter. (Want de straal is de diameter gedeeld door twee.) De straal heeft invloed op
de inhoud, namelijk als de straal groot is (dit is alleen van toepassing als de hoogte gelijk blijft), is de
inhoud groter dan wanneer je een kleine straal hebt.
- Het is ons opgevallen dat glas 2 een grotere inhoud heeft dan glas 1, terwijl wij dit anders hadden
geschat. Dat komt waarschijnlijk doordat glas 2 onder smaller is dan boven (we hebben met de
bovenkant gerekend), en daardoor is de berekening minder nauwkeurig. Tijdens het schatten hebben
wij hier wel rekening mee gehouden, tijdens de berekening niet. Dit geld voor meerdere glazen, maar
er was niet bij alle glazen een groot verschil tussen de bovenkant en de onderkant van het glas.
Verder klopte onze schatting wel met de berekende inhoud.
- Bij alle glazen komt de hoogte hoger uit dan de daadwerkelijke hoogte van de inhoud, want onder
in het glas zit een bodem die niet meetelt voor de inhoud, maar die wel gemeten is.
- De schatting van vraag b klopt: wij dachten dat de omtrek van alle glazen groter was dan de hoogte,
en zoals je in tabel kunt zien, klopt dat.
5
Instapopdracht 2: onderzoekje naar formaten van papier
Bij instapopdracht 2 hebben we onderzocht wat de verhouding is tussen de kant waarmee je een
rechthoekig vlak oprolt (de breedte of de lengte) en de inhoud van de cilinder die is ontstaan.
We zijn begonnen met een A4 papiertje op te rollen, zowel in lengte als in de breedte. Er ontstonden
twee verschillende cilinders, dit kun je zien in (afbeelding 3).
Je ziet twee cilinders. Cilinder 1 is in de lengte opgerold
en cilinder 2 in de breedte.
(afbeelding 3)
Vervolgens hebben we berekend welk cilinder de grootste inhoud heeft. Naar aanleiding van onze
berekeningen zijn wij tot de conclusie gekomen dat wanneer je het papier oprolt over de breedte de
inhoud groter wordt, dan wanneer je het papier oprolt over de lengte. Hieronder staan onze
berekeningen.
r=de straal
h=de hoogte
Inhoud=h* 𝑟 2 *π
De cilinder die is opgerold over de lengte:
Gegevens: h = 29,7 cm (opgemeten en gegeven als “lengte van een A4 papier”)
omtrek = 21,0 cm (opgemeten en gegeven als “breedte van een A4 papier”)
r = diameter÷2
Berekeningen: omtrek = diameter* π
diameter = omtrek÷ π = 21,0÷ π = 6,6845…(het getal wordt volledig gehouden op de rekenmachine)
r = 6,6845…÷2
r = 3,3422…
29,7* 𝑟 2 * π ≈ 1042,3 cm3
De cilinder die is opgerold over de breedte:
Gegevens: h = 21,0 cm (opgemeten en gegeven als “breedte van een A4 papier”)
omtrek = 29,7 cm (opgemeten en gegeven als “lengte van een A4 papier”)
r = diameter÷2
6
Berekeningen: omtrek = diameter* π
diameter = omtrek÷ π=29,7÷ π = 9,4538…(het getal wordt volledig gehouden op de rekenmachine)
r = 9,4538…÷2
r = 4,7269…
29,7* 𝑟 2 * π ≈ 1474,1cm3
1474,1cm3 > 1042,3cm3 dus de cilinder die is opgerold over de breedte heeft een grotere inhoud dan
de cilinder die is opgerold over de lengte.
Wij hebben deze berekeningen ook toegepast bij rechthoeken met de afmetingen 10 cm bij 11 cm
(dus met een relatief klein verschil) en bij een rechthoek met de afmetingen van 10 cm bij 50 cm (dus
met een relatief groot verschil) de uitkomsten staan hier onder:
Een rechthoek van 10 cm bij 11 cm:
Over de lengte: inhoud ≈ 87,5 cm3
Over de breedte: inhoud ≈ 96,3 cm3
Een rechthoek van 10 cm bij 50 cm:
Over de lengte: inhoud ≈ 397,9 cm3
Over de breedte: inhoud ≈ 1989,4 cm3
Wederom heeft de cilinder die over de breedte is opgerold een grotere inhoud. Dit komt doordat de
omtrek groter is waardoor zowel de diameter als de straal groter is. De straal wordt gekwadrateerd
en heeft hierdoor een grotere invloed dan de hoogte op de inhoud.
Dus we kunnen concluderen dat als je een rechthoek, met een lange en korte zijde, oprolt over de
breedten de inhoud groter is dan wanneer je hem oprolt over de lengte.
7
Eindopdracht
Verkenning van de Eindopdracht:
Wij hebben de volgende 5 manieren bedacht om 4 tennisballen te verpakken. Wij denken dat van die
manieren deze het meest efficiënt (minste inhoud en minst papier) is.
Eindopdracht: mogelijke ontwerpen:
Wij hebben 5 manieren bedacht om 10 tennisballen te verpakken. De meesten zijn geïnspireerd op
de manieren die we hebben bedacht met 4 tennisballen. Wij hebben van die 5 manieren de
voordelen en nadelen op een rijtje gezet en hebben daar een conclusie uit getrokken over welk
ontwerp het best is.
Ontwerp 1:
gegevens: h = 66 cm (dit hebben we opgemeten)
diameter = 6,6 cm (dit hebben we gemeten en berekend door het geheel te delen door 10)
r = diameter : 2 = 6,6 ÷ 2 = 3,3
Oppervlakte nodige papier:
De verpakking bestaat uit 2 cirkeltjes papier en een rechthoekig vlak
De oppervlakte van de cirkeltjes: 2*r2*π = 2*(3,3)2* π
8
De oppervlakte van het vlak: lengte*breedte
lengte = 66 cm
breedte = omtrek + 1 cm (als plakrand) = (6,6* π) + 1
Totaal = 2*(3,3)2* π + (66*(6,6* π) + 1) ≈ 9101,4 cm2
Inhoud = h*r2* π ≈ 66*(3,3)2*π ≈ 2258,0 cm3
Voordelen: deze verpakking is efficiënt voor vervoer, omdat de vorm te stapelen valt.
Nadelen: deze verpakking is inefficiënt voor de koper omdat het niet compact is en de
verpakking kost veel papier/inhoud.
Ontwerp 2:
Oppervlakte bestaat uit:
2 kleine rechthoekige vlakken aan beide schuine zijdes, wij verwijzen hiernaar met “a”
2 grotere vlakken in de vorm van parallellogrammen, wij verwijzen hiernaar met “b”
2 lange rechthoekige vlakken, wij verwijzen hiernaar met “c”
(de onderstaande lengtes zijn gemeten)
Totale oppervlakte = 2*lengte(van a)*breedte(van a)+ 2*lengte(van b)*hoogte (van b)+ 2*lengte(van
c)*breedte(van c) = 2*(14*6,6 + 32,8*10,5 + 6,6*32,8)= 1306,56 cm2
Inhoud = h(van c)* lengte (van c)*diepte= 10,5*32,8*6,6 = 2273,04 cm3
Voordelen: de verpakking is compacter dan 1, vergt minder papier en is goed vervoerbaar.
Nadelen: de verpakking kost meer inhoud dan 1 en is nog altijd niet compact genoeg voor een
eventuele koper.
Ontwerp 3:
9
De verpakking bestaat uit een piramide met een driehoek als grondvlak.
Oppervlakte: 4 gelijke vlakken
1
Oppervlakte van een driehoekig vlak= 2 * h*breedte
h= 22,0 cm (gemeten)
breedte = 26,0 cm (gemeten)
1
Oppervlakte van een vlak= 2 *26,0*22 = 286 cm2
Oppervlakte van 3 plakranden (met de lengte van 1 cm) = 3*lengte*breedte = 3*1*26,0 = 78
Totale oppervlakte= 4* 286 + 78 = 1222 cm2
h(van de piramide, niet de vlakken)= 16,6
1
1
Inhoud= 3* h*oppervlakte grondvlak(zie “Oppervlakte van een vlak”) = 3*16,6*286 ≈ 1582,5 cm3
Voordelen: het kost minder papier en inhoud dan ontwerp 1 en 2, is makkelijk te vervoeren en
redelijk makkelijk en compact voor de koper
Nadelen: de punt kan onhandig zijn voor de koper (in verband met eventueel dragen) ook denken wij
dat het nog efficiënter en compacter kan.
Ontwerp 4:
Oppervlakte bestaat uit: 4 driehoeken van 20,0 cm hoog en 13,2 cm breed.
2 rechthoeken van 22,0 cm bij 13,2 cm.
1 zeshoek bestaande uit 2 driehoeken en 1 rechthoek.
1
De oppervlaktes van de driehoeken= 4* 2 *h*breedte
1
2
4* *20*13,2 = 528cm2
De oppervlaktes van de recht hoeken: 2* lengte*breedte = 2*22*13,2 = 580,8 cm2
528+580,8 = 1108,5 cm2, dit is sowieso al groter dan de oppervlakte papier bij ontwerp 3 , en om
deze rede gaan wij door naar het volgende ontwerp.
10
Ontwerp 5
Oppervlakte bestaat uit: 11 rechthoeken: 3 verschillende rechthoeken, 2 gelijke, 2 gelijke, 2 gelijke en
weer 2 gelijke.
10 driehoeken: 5 keer 2 gelijke
Opvolgorde van vlak hebben we de oppervlaktes berekend:
17,5*10=175 cm2
0,5*11,5+0,5*0,5*0,8*2= 11,9 cm2
3,5*7,5+4,0*1,5+0,5*4,0*5,9*2= 53,85 cm2
5*6,5*2 = 65 cm2
27,5*12,5=343,75 cm2
Etc.
Uiteindelijk: 1107,46 cm2
Inhoud:
19,5 cm
11,6 cm
26,0 cm
Uit eindelijke inhoud = 2590,42
cm3
11
Stappenplan
1. Uiteindelijk hebben we gekozen voor ontwerp 5. Teken deze foto na met de afmetingen die
erin staan. (alle afmetingen zijn in cm)
3,0
22,5
3,0
3,0
6,0
7,5
6,5
27,5
5,0
12,5
7,5
4,0
12,5
10,0
17,5
2. Knip dit figuur uit.
3. Vouw de vouwlijnen. (gele lijnen)
12
4. Plaats de ballen zoals de opstelling hieronder. (de vier ballen aan de kant van het grootste
rechthoek)
5. Vouw de opstelling eromheen.
6. Je verpakking komt er zo uit te zien.
13
Discussie
Het was fijn dat we op veel verschillende computers konden werken, want zo konden we de taken
goed verdelen en werkten we efficiënt. Er zat ook een nadeel aan, want we moesten de documenten
de hele tijd naar elkaar mailen, en dat was niet zo handig. De volgende keer zouden we dan een
gezamenlijk document maken (d.m.v. outlook). Dat zou veel tijd schelen.
Hoewel we op het begin heel snel gingen en al ruim voor onze afgesproken deadline met de
instapopdrachten klaar waren, hadden we aan het eind wel een beetje tijdnood. Daardoor hadden
we sommige dingen verkeerd berekend en moesten we het opnieuw doen. Gelukkig hebben we het
afgekregen en zijn we tevreden met het resultaat.
14
Nawoord
Dit was ons verslag. We hebben erg genoten van de opdracht, want het was uitdagend en je kon er
veel creativiteit in kwijt. We vonden het opvallend dat je zoveel verschillende verpakkingen kan
maken om 10 tennisballen te verpakken. Als we meer tijd hadden, hadden we ook van al die
ontwerpen de inhoud en de oppervlakte van het benodigde papier berekend, maar dat lukte helaas
niet. Uiteindelijk is ons ontwerp heel efficiënt, maar als je één of twee ballen meer of minder wil
verpakken, kan dat niet in onze verpakking. Als je er meer ballen in stopt past het niet, en als je er
minder in stopt, is de verpakking gelijk heel inefficiënt. Dat is wel jammer, maar we denken dat dat
niet heel erg is, omdat 10 een mooi getal is om tennisballen te verpakken. We vonden de
instapopdrachten ook leuk, want ze hadden duidelijk iets met de eindopdracht te maken, en
daardoor maakte je al een beetje kennis met het hoofdonderwerp. Kortom, een leuke opdracht.
15