Uitwerking hertentamen Materiaalkunde voor BMT, 17-8-01

Uitwerking eindtoets Materiaalkunde, 29-10-14
1.a.
b.
c.
2.a.
b.
c.
3.a.
b.
c.
4.
Voor Ni geldt (Appendices): M = 58,69 g/mol, a = 0,3524 nm, FCC structuur. Voor de eenheidscel is
dan het volume: Vcel = a3 = 4,38x10–29 m3. Deze cel bevat 4 roosterpunten, en Ni bevat 1 atoom per
punt, dus 4 atomen per cel. Een atoom Ni weegt M/NAv = 9,75x10–26 kg, dus een cel weegt: mcel =
3,9x10–25 kg. Dan is de dichtheid in een cel (en dus in het hele materiaal): ρ = mcel/Vcel = 8,9x103 kg/m3.
Dit klopt met de tabel (8,9 Mg/m3).
De yieldspanning σY voor een eenkristal is gerelateerd aan de kritische afschuifspanning τC (5,7 MPa):
τC = σYcos(αs)cos(βs), waarbij αs en βs de hoeken zijn tussen spanning en slipvlak normaal [111] resp.
sliprichting [1 1 0]. De cosinussen zijn te berekenen via het inproduct: cos(αs) = 3/√33 en cos(βs) =
4/√22. Dan: σY = 12,8 MPa.
Metalen hebben richtingsonafhankelijke bindingen (elektronenzee), waardoor dislocaties erg
beweeglijk zijn, wat leidt tot een lage vloeispanning. Hierdoor treedt er makkelijk plastische vervorming
op.
Silica is een keramiek, dus er is alleen maar elastisch gedrag. Daarom kunnen we wet van Hooke
toepassen: σ = Eε. Voor de spanning geldt: σ = F/A0 = F/(πd02/4) = 1,13 GPa. Voor silica geldt E = 94
GPa (Appendix), dus ε = σ/E = 0,012. Omdat ν = 0,25 (Appendix), mag niet aangenomen worden dat
∆V = 0. De verandering in de diameter is dan (aanname isotroop materiaal): ∆d = –νεd0 = –4,5x10–5 m,
dus d is nu 1,4955 cm, en dan is de ware spanning: σt = F/A = 1,14 GPa.
Voor dit keramiek is er alleen brosse breuk, dus geldt het model van Griffith met (voor een keramiek):
K1C = √(2Eγ). Met K1C = 1 MPa√m en E = 94 GPa volgt dan: γ = 5,3 J/m2. Aangezien γ meestal tussen 1
en 10 J/m2 is, is deze waarde realistisch.
Silica is een keramiek met covalente of ionische bindingen die sterk afhankelijk zijn van de richting.
Daarom zijn dislocaties in het kristalrooster weinig beweeglijk, wat leidt tot een zeer hoge
vloeispanning. Voordat die bereikt wordt zal het materiaal breken, zodat geen plastisch gedrag op kan
treden. Voor taaie breuk is insnoeren nodig, en dus plastische vervorming. Daarom kan alleen brosse
breuk optreden.
Taaie breuk vindt plaats direct na insnoeren. Insnoering vindt plaats als voor de true strain geldt: εt = N.
In de Appendices is te vinden: N = 0,45 voor dit staal. De engineering rek volgt uit de definitie van true
strain: ε = exp(εt) – 1. Dus: ε = 0,568 bij insnoering. In het plastische gebied geldt voor de true stress:
σt = KplεtN, dus bij insnoeren: σt = KplNN. Uit de Appendices: Kpl = 1275 MPa. Dus: insnoeren bij σt = 890
MPa. Als we aannemen dat het volume constant blijft, dan geldt voor de engineering stress: σ =
σt/(1+ε). Dan: σT = 568 MPa. Dat klopt heel aardig met de waarde in de tabel voor stainless steel 304:
σT = 579 MPa.
Ductitiliteit (verlenging na breuk) is een maat voor taaiheid. Metalen hebben richtingsonafhankelijke
bindingen (elektronenzee), waardoor dislocaties erg beweeglijk zijn, wat leidt tot een lage
vloeispanning. Hierdoor treedt er ook rond groeiende breukjes veel plastische vervorming op, wat veel
energie absorbeert. Hierdoor zijn metalen taai (hoge work of fracture en fracture toughness), waardoor
ze ver uitgerekt kunnen worden voor er brosse breuk optreedt. Bij taaie breuk kan het materiaal door
de lage yieldspanning makkelijk plastisch vervormen, en dus ver uitgerekt worden voordat insnoering
optreedt.
Voor brosse breuk zou het model van Griffith gelden: c = K1C2/{π(σ*)2}, dus voor σ* = 568 MPa volgt: c
= 9,9 mm. Dit is 3 grootte-ordes te hoog voor een microcrack, en dus niet realistisch. Er zal hier eerder
taaie breuk optreden.
Bij 1200 °C beginnen we met 1 fase: een homogene vloeistof met samenstelling x(L) = 20 at% Ni, dus
f(L) = 1. Voor het aantal vrijheidsgraden geldt: F = C–P+2. Omdat we 2 componenten hebben (Ti en
Ni), en omdat de druk al gekozen is (1 bar), geldt: F = 3–P. Hier is P = 1, dus F = 2: temperatuur en
chemische samenstelling.
Als we gaan afkoelen, bereiken we bij ca. 1130 °C een 2-fasengebied: er worden korrels bcc gevormd
in de vloeistof. Bij 1000 °C geldt dan: x(bcc) = 10 at% Ni, x(L) = 24 at% Ni. Met de hefboomregel volgt
dan voor de hoeveelheden: f(bcc) = 29 at%, f(L) = 71 at%. Omdat hier P = 2, hebben we F = 1: alleen
T of x is vrij te kiezen. Gedurende het afkoelen in dit gebied neemt de hoeveelheid bcc toe, tot we net
boven 942 °C zitten op x(bcc) = 10 at% Ni, x(L) = 25 at% Ni, en dus: f(bcc) = 33 at%, f(L) = 67 at%.
Bij 942 °C bereiken we een eutecticum: er zijn 3 fasen met elkaar in evenwicht (bcc, L en NiTi2).
Hierdoor wordt F = 0, en er kan niets meer variëren totdat door verder afkoelen de vloeistof geheel
gestold is. Dit stollen gebeurt in een karakteristieke lagenstructuur (lagen bcc en NiTi2). De korrels bcc
die er al waren blijven bestaan. Op het eutecticum geldt: x(bcc) = 10 at% Ni, x(L) = 25 at% Ni, x(NiTi2)
= 33 1/3 at% Ni (exact). Net eronder (als L gestold is), komen we in het 2-fasengebied van bcc en
NiTi2, waar geldt: x(bcc) = 10 at% Ni, x(NiTi2) = 33 1/3 at% Ni, en dus: f(bcc) = 56 at%, f(NiTi2) = 44
at%. Hierbij hebben we korrels bcc in een gelaagde matrix van bcc en NiTi2. Omdat P = 2, is F = 1.
Verder afkoelen leidt tot verandering van de samenstellingen en hoeveelheden van de bcc en NiTi2
fasen: bij 800 °C: x(bcc) = 6 at% Ni, x(NiTi2) = 33 1/3 at% Ni, dus f(bcc) = 48 at%, f(NiTi2) = 52 at%.
Net boven het volgende eutecticum bij 767 °C: x(bcc) = 5 at% Ni, x(NiTi2) = 33 1/3 at% Ni, dus f(bcc) =
46 at%, f(NiTi2) = 54 at%. De bcc-fase bevat dus steeds minder Ni, en neemt daarom af in
hoeveelheid.
Bij 767 °C ontstaat er weer een derde fase: hcp. Ook nu geldt weer dat F = 0, en dus de temperatuur
stagneert tot nu alle bcc verdwenen is, en omgezet in hcp en NiTi2. Ook hier worden deze fasen in een
lagenstructuur gevormd: overal waar bcc zat worden nu lagen hcp en NiTi2 gevormd. De bcc korrels
worden dus omgezet in korrels met lagen hcp en NiTi2 erin, en de lagen bcc tussen de lagen NiTi2
worden zelf nog verder gelaagd. Op het eutecticum geldt: x(hcp) = 0 at% Ni, x(bcc) = 5 at% Ni, x(NiTi2)
= 33 1/3 at% Ni. Als alle bcc verdwenen is, komen we in het 2-fasengebied van hcp en NiTi2, waar bij
elke T geldt: x(hcp) = 0 at% Ni, x(NiTi2) = 33 1/3 at% Ni, en dus f(hcp) = 39 at%, f(NiTi2) = 61 at%. Ook
hier is P = 2, dus F = 1. Verder afkoelen verandert dus niets meer.
5.a.
b.
c.
6.a.
b.
c.
Dit is een thermoplast boven zijn Tg (er is kruip, en dat is visco-elastisch gedrag). Er zijn 2 modellen
voor kruip: Voigt, en linear elastic solid. Voigt heeft ε = 0 op t = 0, dus geen instantane rek: dit model
kan niet. Linear elastic solid geeft voor kruip: ε = (σc /E3){1–(1–τR/τK)exp(–t/τK)}. Voor t = 0 (instantaan):
ε = σcτR/(E3τK). Voor zeer hoge t: ε = σc /E3. Dus: τR/τK = 1/3. Spanningsrelaxatie gaat bij een linear
elastic solid als: σ = E3εc{1–(1–τK/τR)exp(–t/τR)}. Op t = 0 (instantaan): σ = E3εcτK/τR = 3E3εc. Na zeer
lange tijd: σ = E3εc. Dus de spanning neemt een factor 3 af.
Hier geldt: Tg = Tg,∞ – CT/Mn. Invullen van beide combinaties van Tg en Mn, en oplossen van deze 2
vergelijkingen levert: CT = 400 °C·kg/mol en Tg,∞ = 100 °C.
Er is visco-elastisch gedrag, dit is een thermoplast boven zijn Tg: de macromoleculen zijn hun zwakke
interacties (van der Waals, dipolair, H-bruggen) verloren, en er zijn alleen nog een paar covalente
crosslinks. Bij spanning op het materiaal beginnen de ketens dus langs elkaar te bewegen, wat kruip
veroorzaakt. Dit houdt pas op als de crosslinks uiteindelijk belast worden, en de kruip stoppen.
Bij vezels in de trekrichting is er parallelle belasting, dus mogen we het Voigt model gebruiken: Ec =
VfEf + VmEm. Met Vf = 0,1 (en dus Vm = 0,9), Ef = 380 GPa, en Em = 1,3 GPa wordt dan: Ec = 39,2 GPa.
Voor korte vezels zijn er 3 situaties met elk een andere formule: optimale lengte, langer dan optimaal,
en korter dan optimaal. Met Vf = 0,1, σY,m = 35 MPa en σT,f = 2 GPa volgt voor de aanname optimale
lengte niet de gewenste σT,c. Voor de aanname langer dan optimaal vinden we: L = 1,14 mm, en dit is
korter dan optimaal, dus de aanname is fout. Alleen voor de aanname korter dan optimaal vinden we
een correct antwoord: L = 0,5 mm.
Het voordeel van composieten is de hogere taaiheid: een groeiende breuk komt het andere materiaal
tegen, en moet dan in een andere richting gaan groeien, wat veel energie kost. Hierdoor gaat de work
of fracture omhoog, en daardoor de fracture toughness. Dit betekent een veel hogere taaiheid dan bij
de materialen apart. De matrix is hier een polymeer bij kamer/lichaamstemperatuur boven zijn Tg (0
°C), dus er is eerder visco-elastisch gedrag dan brosse breuk, maar het principe blijft hetzelfde. De
hoge taaiheid is beter, omdat veel biologische materialen die we willen vervangen ook taaie
composieten zijn. Een visco-elastische matrix met vezelversterking zien bij veel zachte weefsels, bijv.
huid.