Uitwerking hertentamen Materiaalkunde voor BMT, 7-7-03

Uitwerking Materiaalkunde voor BMT, 21-1-15
1.a.
b.
c.
2.a.
b.
c.
3.a.
b.
c.
4.
Chroom heeft een BCC-rooster (1 atoom/punt), met een ribbe a = 0,2885 nm. Voor de straal van de
atomen in een BCC-rooster met 1 atoom per punt geldt: a√3 = 4r. Dan: r = 0,125 nm. Dit klopt met de
atoomstraal in de tabel, en niet met de ionstraal. Aangezien voor het metaal chroom een metallische
binding (covalent, elektronenzee) wordt verwacht, en geen ionische binding, klopt dit.
De dichtheid van chroom is ρ = 7,19 Mg/m3. Het volume van de kubische eenheidscel is Vcel = a3 =
2,4x10–29 m3, en de massa van een eenheidscel is dus: mcel = ρVcel = 1,73x10–25 kg. Chroom heeft een
molmassa M = 52 g/mol, dus 1 chroom-atoom weegt M/NAv = 8,67x10–26 kg. Aan de massa’s is te zien
dat er dus 1,73x10–25/8,67x10–26 = 2 atomen per cel zijn. Dit klopt met een BCC-rooster (2
roosterpunten per cel netto) met 1 atoom per punt.
Een BCC-kristal heeft als slip system: vlak (110), met normaal [110], en richting [1 1 1]. De externe
spanning (σ) die inwendig leidt tot afschuiven is: σ = τC/cosαscosβs, waarbij τC een materiaalconstante
is, en αs en βs de hoeken zijn tussen de kracht en de normaal van het vlak, resp. de kracht en de
afschuifrichting. Voor een spanning langs [120]: cosαscosβs = –3/(5√6) = –0,245. Voor een spanning
langs [0 1 1]: cosαscosβs = –1/√6 = –0,408. De hoogste σ wordt gevonden voor de kleinste waarde van
cosαscosβs, dus voor de [120]-belasting.
Alumina is een keramiek, dus er is alleen maar elastisch gedrag. Daarom kunnen we wet van Hooke
toepassen: σ = Eε. Voor de spanning geldt: σ = F/A0 = F/(πd02/4) = 9,55 MPa. Voor alumina geldt E =
390 GPa (Appendix), dus ε = σ/E = 2,45x10–5. De lengteverandering is dan: ∆L = εL0 = 4,9x10–5 m.
Het beginvolume is: V0 = A0L0 = 6,28x10–4 m3. Voor het nieuwe volume geldt: V = V0(1–νε)2(1+ε). Voor
alumina is de Poisson ratio: ν = 0,26. Dan volgt, met aanname isotroop: ∆V = V–V0 = 7,35x10–9 m3 (of:
0,0012%).
Alumina is een keramiek met covalente of ionische bindingen die sterk afhankelijk zijn van de richting.
Daarom zijn dislocaties weinig beweeglijk, wat leidt tot een zeer hoge vloeispanning. Voordat die
bereikt wordt zal het materiaal breken, zodat geen plastisch gedrag op kan treden.
Taaie breuk vindt plaats bij insnoeren: εt = N, en in het plastische gebied geldt: σt = KplεtN. Voor Mo
staat in de Appendix: Kpl = 725 MPa en N = 0,13, dus σt = 556 MPa bij insnoeren. De engineering rek
is dan: ε = exp(εt)–1 = 0,139. Onder de aanname volume is constant geldt dan: σ = σt/(1+ε) = 488 MPa.
Voor de vloeispanning geldt: σY = σY,sc + Cg/√d. σY,sc = 400 MPa, dus als σY = 552 MPa bij d = 2 µm,
dan: Cg = 0,215 MPa√m, en voor d = 4 µm volgt dan: σY = 507,5 MPa. Het was te verwachten dat de
yieldspanning zou dalen, want grotere korrels betekent minder korrelgrenzen, en dus minder barrieres
voor dislocaties. Als de dislocaties sneller bewegen, dan is de yieldspanning lager.
Bij metalen is de binding richtingsonafhankelijk (elektronenzee), waardoor dislocaties een hoge
beweeglijkheid hebben, en de yieldspanning laag is. Daarom is er veel plastische vervorming rond
groeiende breuken, en is de work of fracture hoog. Taaiheid is een maat voor de hoeveelheid energie
die een materiaal kan opnemen voor breuk. Groeiende breukjes in dit polykristallijne metaal zullen
langs de korrelgrenzen lopen, en bij kleinere korrels daardoor vaker van richting moeten veranderen.
Daardoor kost het extra veel energie voor het materiaal breekt: de work of fracture is hoog, en
daardoor de fracture toughness.
Voor het aantal vrijheidsgraden geldt: F = C–P+2. We hebben 2 componenten (Ti en Ni), en de druk is
al gekozen (1 bar), dus blijft over: F = 3–P.
Op 1100 °C hebben we 1 fase (L) met 30 at% Ni, dus F = 2 (x en T vrij).
Bij afkoelen ontstaat bij ca. 970 °C een andere fase: NiTi2. Het aantal vrijheidsgraden neemt af tot 1
(bijv. T). Er ontstaan nu korrels NiTi2 in de vloeistof.
Op bijv. 960 °C hebben de 2 fasen als chemische samenstelling: x(NiTi2) = (exact!) 33⅓ at% Ni, x(L) =
27 at% Ni. Met de hefboomregel volgt dan voor de hoeveelheden van de fasen: f(L) = 54 at%, f(NiTi2) =
46 at%. De korrels groeien dus.
Bij 942 °C bereiken we een eutecticum: bcc ontstaat als derde fase. Het aantal vrijheidsgraden neemt
af tot 0, dus alles ligt vast: T stagneert todat alle L gestold is. De chemische samenstellingen liggen
vast op x(NiTi2) = 33⅓ at% Ni, x(L) = 26 at% Ni, x(bcc) = 11 at% Ni. Vlak boven het eutecticum hadden
we: x(NiTi2) = 33⅓ at% Ni, x(L) = 26 at% Ni, dus f(NiTi2) = 57 at% en f(L) = 43 at%. De korrels zijn dus
gegroeid. Bij het eutecticum verdwijnt L, en vormt tegelijkertijd NiTi2 en bcc in een lagenstructuur. Er
ontstaat dus een gelaagde structuur van NiTi2 en bcc met korrels NiTi2 erin. Net onder het eutecticum
geldt: x(NiTi2) = 33⅓ at% Ni, x(bcc) = 11 at% Ni, dus f(NiTi2) = 85 at% en f(bcc) = 15 at%. De NiTi2 zit
dus voor 57/85 in korrels en 28/85 in lagen.
Bij ca. 860 °C hebben we NiTi2 en bcc met x(NiTi2) = 33⅓ at% Ni en x(bcc) = 8 at% Ni, wat levert:
f(NiTi2) = 87 at% en f(bcc) = 13 at%, dus bcc neemt af. Er is 1 vrijheidsgraad.
Bij 767 °C bereiken we weer een eutecticum: er ontstaat hcp als derde fase. Het aantal vrijheidsgraden
wordt weer 0, dus T ligt vast tot alle bcc verdwenen is. De chemische samenstellingen liggen vast op
x(bcc) = 5 at% Ni, x(NiTi2) = 33⅓ at% Ni, x(hcp) = 0 at% Ni. Bij het eutecticum verdwijnt bcc, en wordt
omgezet in lagen van hcp en NiTi2. Overal waar bcc zat in de vorige structuur (in lagen) komen dus nu
extra lagen te zitten. We krijgen dus korrels NiTi2 met daarom heen lagen NiTi2, afgewisseld met lagen
waarin lagen hcp en NiTi2 zitten. Net boven het eutecticum geldt: x(bcc) = 5 at% Ni, x(NiTi2) = 33⅓ at%
Ni, dus f(NiTi2) = 88 at% en f(bcc) = 12 at%. Net onder het eutecticum geldt: x(hcp) = 0 at% Ni, x(NiTi2)
= 33⅓ at% Ni, dus f(hcp) = 10 at% en f(NiTi2) = 90 at%. Verder afkoelen tot 700 °C verandert niets
meer. Er is dan 1 vrijheidsgraad.
5.a.
b.
c.
6.a.
b.
c.
Voor een elastomeer met deze grote rekken moeten we boven de Tg zitten en is er rubber-elastisch
gedrag. Tussen verlengingen van 0,4 en 1,3 en bij constant volume geldt dan: σ = G(λ–1/λ2). 20%
langer is λ = 1,2: dan σ = 1,0 MPa. 20% korter is λ = 0,8: dan σ = –1,53 MPa.
Een elastomeer bestaat uit macromoleculen die naast vele zwakke interacties (van der Waals, dipolair,
H-bruggen) ook een redelijk aantal covalente crosslinks hebben. Boven de Tg zijn de ketens vrij
beweegbaar, omdat de zwakke interacties dan verbroken zijn, zolang de crosslinks niet belast worden
bij hoge rekken. De entropie van de ketens is het hoogste bij de meest waarschijnlijke random coil
conformatie, dus dit heeft de voorkeur, omdat de enthalpie een verwaarloosbare rol speelt. Bij
uitrekken of samenpersen komen de ketens in een minder waarschijnlijke conformatie, dus de entropie
daalt dan. Dit is ongunstig, en daarom is er kracht nodig voor deze vervorming. Onder de Tg gedraagt
het elastomeer zich als een glas, en is er elastische vervorming volgens Hooke.
Voor de molfracties geldt: x = 1/6, 1/3, 1/3, 1/6. Dan is de aantalgemiddelde molmassa: Mn = Σ(xjMj) =
103,3 kg/mol, en de massagemiddelde molmassa: Mw = Σ(xjMj2)/Mn = 110 kg/mol.
Dit is afhankelijk van de orientatie van de vezels t.o.v. de kracht. Voor de fibers geldt: Ef = 125 GPa, en
voor de matrix: Em = 1,3 GPa (Appendices). Volgens het isostrain model: Ec = VfEf + (1–Vf)Em. Dit
levert: Vf = 0,394. Volgens het isostress model: 1/Ec = Vf/Ef + (1–Vf)/Em. Dit levert: Vf = 0,984. Dus er
moet tussen 40% en 98% vezel zijn.
Voor de fibers geldt: σT,f = 3,2 GPa, en voor de matrix geldt: σY,m = 35 MPa (Appendices). Neem Vf =
0,394. Voor continue vezels geldt: σT,c = VfσT,f + (1–Vf)σY,m = 1,28 GPa. Voor korte vezels van optimale
lengte geldt: σT,c = VfσT,f/2 + (1–Vf)σY,m = 0,65 GPa.
De PP matrix zit bij kamer- en lichaamstemperatuur boven zijn Tg (0 °C, Appendix), dus het is een
visco-elastisch materiaal. Door de aanwezigheid van de fibers kunnen breukjes moeilijk groeien: ze
ontmoeten de vezel, en moeten dan van richting veranderen, wat veel energie kost. Daardoor heeft het
materiaal een hogere taaiheid dan het PP, hoewel de taaiheid daarvan ook al hoog is (visco-elastisch).
Dit is van belang voor BMT-toepassingen, omdat de materialen in het lichaam die je zou willen
vervangen ook composieten zijn met een veel hogere taaiheid dan een polymeer. In het lichaam zijn er
vele polymeer-polymeer composieten: de zachte weefsels. Bij deze hoeveelheid vezels lijkt dit
composiet het meest toepasbaar als vervanger voor de dermis in huid.