Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices

Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Ingevulde versie
Toepassing 1. Codeertheorie
We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.
We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van de
boodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijn
plaats in het alfabet
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
F
6
G
7
H
8
I
9
J
10
K
11
L
12
M
13
N O
14 15
Coderen P
16
Q
17
R
18
S
19
T
20
U
21
V
22
W
23
X
24
Y
25
Z
26
Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.
Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.
In ons voorbeeld geeft dit
N
14
U
21
G
7
E
5
L
12
A
1
N
14
D
4
Stap 2. Kies een geheime 2 × 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =
1 2
.
2 3
Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.
1 2
14
56
In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als
·
=
2 3
21
91
Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap
Verzenden
We verzenden de code
Decoderen
N
56
U
91
G
17
E
29
L
14
A
27
N
22
D
40
56
91
17
29
14
27
22
40
Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 te
decoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel
1 2
x
56
· 1 =
2 3
x2
91
| {z }
A
Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?
Het 2 × 2 stelsel heeft een unieke oplossing omdat A inverteerbaar is (zie Gevolg pagina ??). Die oplossing
kunnen we vinden door links te vermenigvuldigen met de inverse A−1
x1
56
−3 2
56
14
N
= A−1 ·
=
·
=
x2
91
2 −1
91
21
U
Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.
41
67
41
68
19
33
70
115
Oplossing. We gaan te werk zoals hierboven:
A
−1
41
11
·
=
67
15
K
O
A
−1
41
13
·
=
68
14
M
N
Het vliegtuig ontvangt de instructie “KOM NIET”.
A-118
A
−1
19
9
·
=
33
5
I
E
A
−1
70
20
·
=
115
25
T
Y
Toepassing 2. Vraagstukken
3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensen
hebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van jullie
spaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk het
derde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:
“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan
3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?
Oplossing.


 x1 = spaargeld eerste
Noemen we x2 = spaargeld tweede


x3 = spaargeld derde
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

1
1


x1 + x2 + x3 = 3400


2
2


1
1
x1 + x2 + x3 = 3400

3
3


1

 x1 + 1 x2 + x3 = 3400
4
4
NiccolòFontanaTartaglia
(1499 - 1557)
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.




1 21 12 | 3400
1 0 0 | 1000
[A | b] =  31 1 13 | 3400 ∼ T = 0 1 0 | 2200
1
1
0 0 1 | 2600
1 | 3400
4
4
Antwoord. De eerste bezit 1000 euro, de tweede 2200 euro en de derde 2600 euro.
3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoteren
vertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoord
je fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niks
aangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeem
vertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.
Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordt
gevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93
punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?
Oplossing.


 g = aantal goede antwoorden
Noemen we f = aantal foute antwoorden


b = aantal blanco
dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel


 4g − f + 30 = 84
5g + 2b = 93


g + f + b = 30
⇔





4g − f = 54
5g + 2b = 93
g + f + b = 30
We schrijven de geassocieerde matrix op, en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.

4
[A | b] = 5
1
−1
0
1


0 | 54
1 0
2 | 93 ∼ T = 0 1
1 | 30
0 0
0
0
1

| 15
| 6
| 9
Antwoord. Jan liet 9 vragen blanco.
1 Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuzemogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord
0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.Voor een wiskundige onderbouw van rechtvaardige giscorrectie, alsook
het optimaliseren van slaagkansen, verwijzen we naar [9]
A-119