HOOFDSTUK 6. GRAAFPROBLEMEN Opgaven 1. Bewijs dat (in een willekeurige graaf) het aantal knopen met oneven graad steeds even is. 2. Welke van de volgende grafen zijn isomorf : a) v1 v1 v2 v4 v2 v4 v3 v3 b) v1 v1 v5 v2 v5 v2 v4 v3 v4 v3 3. Hoeveel niet-isomorfe subgrafen heeft K3 ? 4. Teken alle bomen met p = 5 (enkel niet-isomorfe bomen). Doe hetzelfde voor p = 6. 5. De basismoleculen in organische chemie zijn de acyclische alkanen. Dit zijn moleculen die bestaan uit een koolstof‘boom’ (een aantal C-atomen zijn verbonden via enkelvoudige bindingen), de overblijvende plaatsen (elk C-atoom is steeds verbonden met 4 andere atomen) worden aangevuld met H-atomen. Enkele voorbeelden van alkanen zijn : HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.1 H H H H H C C C C H H H H H H H H H C C C H C H H H H H Beide bovenstaande moleculen bezitten dezelfde molecuulformule, nl. C4H10. Maar ze vertonen verschillende chemische eigenschappen, want de structuurformules (hierboven afgebeeld) zijn verschillend. Dergelijke molecules (verschillende structuurformules, zelfde molecuulformule) worden isomeren genoemd. a) Toon aan dat bij acyclische alkanen steeds geldt : #H-atomen = 2 × #C-atomen +2. b) De vraag die ons vooral interesseert, is : “Hoeveel verschillende acyclische alkanen met n C-atomen (en dus molecuulformule CnH2n+2) bestaan er ?” In hoeverre is dit probleem equivalent met het zoeken van niet-isomorfe bomen van orde p ? (Een acyclisch alkaan kan vrij roteren rond elke verbindingsas, moleculen die gelijk zijn op zo’n rotatie na zijn dus identiek.) c) Bepaal het aantal isomeren van C4H10, C5H12, C6H14, C7H16, C8H18. d) Welke trend van het aantal isomeren i.f.v. het aantal C-atomen denk je hierin te herkennen (bv. lineair stijgend, exponentieel stijgend, …) ? e) Wat kan je daaruit besluiten voor het aantal niet-isomorfe bomen van stijgende orde ? 6. Alle straten in een stad zijn tweerichtingsverkeer. Gezien de toenemende verkeersdrukte, wordt beslist om in een nieuw mobiliteitsplan in alle straten éénrichtingsverkeer in te voeren. Aan welke minimale voorwaarden moet zo’n éénrichtingsmobiliteitsplan redelijkerwijze voldoen ? Druk deze voorwaarden uit op graaftheoretische wijze. 7. Gegeven een boom B met p knopen. Hoeveel dibomen hebben deze boom B als onderliggende graaf ? 8. Gegeven een boom B met p knopen. Hoeveel gewortelde opspannende dibomen heeft deze boom B? 9. Construeer voor onderstaande grafen een BFS-boom vanuit v1. a) v1 v5 v2 v4 v3 b) HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.2 v4 v1 v6 v2 v7 v3 v8 v5 10. Zelfde opgave, maar voor DFS. 11. Indien je in opgave 9 steeds vertrekt vanuit v1, hoeveel verschillende BFS-knoopvolgorden kan je dan bekomen ? En DFS-knoopvolgorden ? Kan je daaruit iets besluiten omtrent het aantal mogelijkheden bij BFS versus DFS ? 12. Een netwerk van autowegen verbindt een aantal grote steden (zie onderstaande figuur). Men wenst deze autowegen te voorzien van een betalingssysteem, waarbij de weggebruiker voor elke verbinding tussen twee steden eenzelfde prijs (10 Euro) aangerekend wordt. Wat is de minimale kost om van knoop v1 naar knoop v10 te rijden ? v1 v2 v6 v7 v3 v8 v4 v5 v10 v9 v12 v11 v13 13. v14 Een petroleumbedrijf wil 5 booreilanden (b1, b2, b3, b4, b5) voor de Noorse kust verbinden met een havenstad h d.m.v. een netwerk van pijpleidingen op de oceaanbodem. De kost voor het aanleggen van een dergelijke pijpleiding mag evenredig met de overbrugde lengte ondersteld worden (300.000 Euro per km). Het vertakken van een pijpleiding kan enkel op de booreilanden, niet op de oceaanbodem. De coördinaten (in km) van deze booreilanden zijn : b1 (-8,6) / b2 (1,7) / b3 (-8,3) / b4 (-3,3) / b5 (4,3). De coördinaten van de haven zijn : h (0,0). b2 b1 b4 b3 b5 h = b6 a) HOOFDSTUK 6 Bespreek een strategie om het algemene probleem op te lossen. Tot welk graafprobleem kan men dit probleem herleiden ? GRAAFPROBLEMEN 6.3 b) Bepaal voor bovenstaande probleeminstantie het pijpleidingennet. Hoeveel bedraagt de totale kost ? optimale ontwerp van het c) Indien ook vertakkingen op de oceaanbodem (zonder meerkost) zouden mogelijk zijn, kan men dan nog gebruik maken van hetzelfde algoritme (voor het algemene probleem) ? 14. Gevraagd wordt om voor een gegeven graaf met positieve takgewichten de maximale opspannende boom te bepalen. Bedenk een algemene methode om dit te doen. 15. Hoe zou je het algoritme van Kruskal aanpassen om het minimale opspannende bos te vinden in een niet-geconnecteerde graaf ? 16. Hieronder ziet u een onderdeel van het stratenplan van Gent, waarop het Plateaugebouw en de aula van de Universiteit Gent werden aangeduid (schaal 1:25000). Bepaal de kortste route van de ingang van het Plateaugebouw naar de aula (te voet). Hoeveel bedraagt de afstand ? 17. Stel dat men opnieuw op zoek gaat naar de optimale route van het Plateaugebouw naar de aula. Onder ‘optimaal’ verstaat men nu niet de kortste route qua afstand, maar de route waarlangs zoveel mogelijk cafeetjes te vinden zijn (zonder 2 maal door dezelfde straat te passeren). Kan men dit probleem modelleren als een kortste-pad probleem ? 18. Een auto is uitgerust met een GPS-navigatiesysteem, die de kortste/snelste/zuinigste routes berekent. Onderstaande kaart geeft een wegennetwerk weer tussen een aantal steden. De takgewichten geven aan hoeveel minuten men er met de wagen over doet om de afstand tussen twee steden af te leggen. De knoopgewichten geven de extra vertraging ten gevolge van files bij het doorkruisen van een stad (onafhankelijk ondersteld van invals- en uitvalshoek). Vraag is : “Welke route zal het navigatiesysteem opgeven als de snelste route van stad v6 naar stad v10 ?” v1 (4) 1 3 v2 (2) 2 2 v3 (1) 2 4 3 4 v8 (14) v7 (3) 1 v6 (0) 3 2 3 v4 (3) 2 5 4 7 v11 (1) 2 v9 (5) 2 8 3 3 v5 (2) 4 v10 (1) 4 v12 (0) a) HOOFDSTUK 6 Vorm dit probleem om tot een gekend grafenprobleem. GRAAFPROBLEMEN 6.4 b) 19. Bepaal de snelste route van v1 naar v2. In een computernetwerk (zie onderstaande figuur) wenst men een videoverbinding op te zetten tussen een server (s) en een gebruiker (g). Om de kwaliteit van het videobeeld te optimaliseren, gaat men op zoek naar de route van s naar g waarop zoveel mogelijk bandbreedte (in 100 Kb/s) beschikbaar is. De beschikbare bandbreedte op elke link is weergegeven in onderstaande figuur. v1 v2 3 1 v3 2 3 2 4 3 1 g 3 2 3 v4 4 v8 v7 3 2 4 4 v9 2 3 v5 2 2 s 3 2 4 v10 4 v6 20. a) Tot welk gekend grafenprobleem kan men dit probleem herleiden ? b) Bepaal de optimale route in het hierboven afgebeelde netwerk. Beschouw een klein netwerk van IP-routers. De routers worden verbonden met een aantal gerichte verbindingen zoals weergegeven in de figuur. De afstanden van deze verbindingen tussen routers zijn weergegeven in de figuur (naast de pijlen, in km). In de routers zullen de pakketten een vertraging oplopen (de gemiddelde vertraging is opgegeven in de routers, in ms). De vertraging op de takken zelf is te verwaarlozen. 3 1 5 1 4 A 2 5 4 2 B 2 1 5 2 a) Welke route zal men volgen om de pakketten van A naar B te versturen, indien men zo weinig mogelijk afstand wil afleggen ? Bespreek de algemene oplossingsmethode en geef de oplossing. b) Welke route zal men volgen om de pakketten van A naar B te versturen, indien men zo weinig mogelijk vertraging wenst te hebben ? Bespreek de algemene oplossingsmethode en geef de oplossing. Bij deze opgave is het gebruik van Maple niet toegestaan. Maak stap voor stap gebruik van de algoritmen uit de cursus (oplossing dus ook niet ‘op zicht’ aflezen). 21. *Zeven steden in Peru zijn enkel via aardewegen met elkaar verbonden (zie figuur hieronder : knopen = steden, takken = aardewegen). Men wenst een asfaltwegennetwerk uit te bouwen tussen deze steden, zodat elke stad bereikbaar is vanuit elke andere stad via asfaltwegen. Om de kosten van graafwerken te beperken, komen enkel de routes van de aardewegen in aanmerking voor asfaltering. Doel is om een zo goedkoop mogelijk asfaltwegennetwerk uit te bouwen (de kosten voor het asfalteren van een aardeweg zijn evenredig met de lengte van de wegen, afgebeeld in de figuur hieronder, uitgedrukt in honderden km). HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.5 v2 3 v1 1 2 2 2 v3 3 4 v5 v4 1 2 3 v6 3 4 v7 a) Tot welk type grafenprobleem kan dit probleem herleid worden ? b) Ontwerp het asfaltwegennetwerk. In bovenstaand probleem werd de kost van wegenwerken geminimaliseerd, zonder rekening te houden met hoog oplopende transportkosten bij vervoer langs deze wegen (vanwege grote omwegen die men voor sommige verbindingen dient te maken). Stel dat men daarentegen de transportkosten wil minimaliseren (de kosten van wegennetwerk zijn slechts van secundair belang). Hierbij is er enkel verkeer vanuit de havenstad v1 naar de andere steden (naar elke stad evenveel), niet tussen de andere steden onderling. Enkel de asfaltwegen laten transport toe, de aardewegen niet. c) Tot welk type grafenprobleem kan dit probleem herleid worden ? Motiveer. d) Ontwerp het asfaltwegennetwerk. e) Vergelijk de ontwerpen uit b) en d) qua kosten voor wegennetwerken en transportkosten. Verklaring ? Stel nu dat men bij het ontwerpen van het asfaltwegennetwerk wenst rekening te houden met beide types kosten (kosten voor wegennetwerken en transportkosten). f) Welk type grafenprobleem ontmoeten we hier ? Motiveer. 22. De formule van Euler g = q – p + 2 geldt enkel voor geconnecteerde grafen. Wat wordt deze formule in het algemene geval waarbij ook niet-geconnecteerde grafen voorkomen ? 23. Welke van de volgende grafen zijn vlakke grafen ? (Indien het een vlakke graaf betreft, geef dan een vlakke voorstelling.) a) v1 v5 v2 v4 v3 b) HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.6 v4 v1 v6 v2 v7 v3 v8 v5 c) v1 v5 v2 v4 v3 d) v1 v5 v2 v4 v3 v1 v2 v3 v4 v7 v5 e) v v8 v6 f) K3, K4, K5, K6, … 24. Bereken voor onderstaande grafen telkens de boven- en ondergrenzen voor het chromatisch getal χ(G) : 1+ δmax en ω(G). a) HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.7 v1 v6 v2 v5 v4 v3 b) v4 v1 v5 v8 v3 v2 v6 v7 c) v7 v4 v1 v5 v2 v6 v3 d) v4 v1 v6 v2 v7 v3 v8 v5 25. Bepaal een zo goed mogelijke knoopkleuring voor bovenstaande grafen. Vergelijk dit met de hierboven bekomen boven- en ondergrenzen. 26. Bepaal alle niet-isomorfe grafen met χ(G) = 1. Bepaal alle niet-isomorfe grafen met χ(G) = 2. 27. **Bestaat er een graaf met χ(G) = 4 en ω(G) = 2 ? 28. Bepaal een zo goed mogelijke inkleuring van onderstaande kaart van Europa (d.w.z. gebruik zo weinig mogelijk kleuren). HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.8 29. Een GSM-operator heeft gans België verdeeld in een groot aantal cellen van gelijke grootte, waarbij elke cel een regelmatige zeshoek vormt (honingraatpatroon). In het centrum van elke cel bevindt zich een zend- en ontvangstmast. De bandbreedte waarover de operator beschikt, laat hem toe om 63 frekwenties te gebruiken voor zendsignalen (voor de eenvoud laten we ontvangstsignalen buiten beschouwing). Bijkomende restrictie is echter dat aangrenzende cellen niet dezelfde zendfrekwenties mogen gebruiken, dit om te vermijden dat personen die zich op het grensgebied tussen twee cellen bevinden een mengeling van twee signalen zouden ontvangen. Bedoeling is nu om de zendfrekwenties op een zo efficiënt mogelijke manier gelijkmatig te verdelen over de verschillende cellen. a) Modelleer dit probleem als een grafenprobleem. Welk type probleem betreft het hier ? b) Bereken het aantal zendfrekwenties dat per cel kan gebruikt worden. c) **Wat als ook cellen die aan eenzelfde cel grenzen (m.a.w. buren van buren) niet van eenzelfde frekwentie mogen gebruik maken, hoeveel zendfrekwenties per cel blijven er dan nog over ? 30. 31. *Het 8-koninginnenprobleem is een beroemd schaakprobleem. Bedoeling is om op een schaakbord (8×8) 8 koninginnen te plaatsen, zonder dat een koningin door een andere kan geslaan worden. Om de complexiteit van het probleem te beperken, beschouwen we hier kleinere schaakborden met n×n velden (n = 3, 4). Bedoeling is om zoveel mogelijk koninginnen op één zo’n schaakbord te plaatsen. a) Herleid dit probleem tot een grafenprobleem, voor de gevallen n=3 en n=4. b) Is dit probleem in essentie een knoopkleuringsprobleem ? Motiveer waarom (niet) ? c) Los het probleem op voor n =3 en n=4. Hoeveel verschillende kanalen zijn nodig voor 6 radiostations, waarvan de onderlinge afstanden in onderstaande tabel zijn weergegeven, als twee stations niet hetzelfde kanaal kunnen gebruiken indien ze binnen een afstand van 150 km van elkaar gelegen zijn. 1 2 3 4 5 6 HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 1 2 3 4 5 6 85 175 200 50 100 85 125 175 100 160 175 125 100 200 250 200 175 100 210 220 50 100 200 210 100 100 160 250 220 100 - 6.9 32. a) Tot welk type grafenprobleem kan dit concreet probleem herleid worden ? Motiveer. b) Hoeveel kanalen zijn minstens nodig ? Vind een examenregeling voor de vakken Analyse, Meetkunde, Algebra, Discrete Wiskunde, Scheikunde, Informatica, Economie en Natuurkunde die zo weinig mogelijk halve dagen vereist, indien aan de volgende (fictieve) vereisten moet voldaan worden : Voor elk vak duurt het examen een halve dag (voormiddag of namiddag), voor een bepaald vak leggen alle studenten op dezelfde halve dag examen af. Er zijn geen studenten die zowel Analyse als Natuurkunde volgen, die zowel Meetkunde als Natuurkunde volgen, die zowel Discrete Wiskunde als Scheikunde volgen, die zowel Discrete Wiskunde als Informatica volgen, die zowel Analyse als Meetkunde volgen, die zowel Analyse als Algebra volgen, die zowel Algebra als Discrete Wiskunde volgen. Er zijn wel studenten in alle overblijvende combinaties. 33. Beschouw alle grafen met p knopen. Vind een bovengrens voor het aantal elementen dat een koppeling K in een dergelijke graaf kan bevatten. 34. Beschouw alle grafen met q takken. Vind een bovengrens voor het aantal elementen dat een koppeling K in een dergelijke graaf kan bevatten. 35. Bepaal een maximumkoppeling voor volgende grafen (het bepalen van een vergrotend Kalternerend pad mag op zicht gebeuren) : a) v1 v5 v2 v4 v3 b) v1 v5 v4 v6 v2 v10 v7 v3 v9 v8 c) HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.10 v7 v4 v5 v1 36. v6 v2 v3 Welke van de volgende grafen is tweedelig ? a) v1 v5 v2 v4 v3 b) v1 v5 v2 v4 v3 c) v1 v6 v2 v7 v3 v8 v4 v9 v11 v13 v5 v10 v12 v14 d) HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.11 v1 v5 v2 v6 v3 v7 v4 v8 v9 Kan je uit bovenstaand oplossingen een verband leggen tussen het tweeledig karakter van een graaf enerzijds en het type cycli die voorkomen in de graaf ? 37. Beschouw alle tweedelige grafen met p1 knopen in V1 en p2 knopen in V2. Vind een bovengrens voor het aantal elementen dat een toewijzing in een dergelijke graaf kan bevatten. Is deze bovengrens strikter of minder strikt dan de bovengrens uit opgave 33 ? 38. Bepaal een maximumtoewijzing voor de grafen uit opgave 36 die tweedelig zijn (het bepalen van een vergrotend K-alternerend pad dient volgens het in de cursus beschreven algoritme te gebeuren). 39. Herhaal bovenstaande oefening, waarbij je steeds de systematische werking van een computeralgoritme nabootst (dus zonder gebruik te maken van ‘grafisch inzicht’). 40. Bestaat er een tweedelige graaf met p1 = 5, p2 = 6 met een maximumtoewijzing met 3 elementen ? Zo ja, construeer zo’n graaf. Zo neen, waarom niet ? 41. *Zelfde vraag, maar nu met de bijkomende voorwaarde dat de grootte van de graaf 8 dient te zijn. 42. In een primitieve stam bevinden zich een aantal jongens en meisjes van huwbare leeftijd. Elk meisje kent sommige van deze jongens, maar lang niet allemaal. Vraag is : “Is het mogelijk om alle meisjes uit te huwelijken, zodat elk meisje trouwt met een jongen die ze kent ?” Bepaal een strategie om dit (algemene) probleem op te lossen. Tot welk graafprobleem kan dit herleid worden ? 43. **(IMO) G is een geconnecteerde graaf met grootte q. Bewijs dat het mogelijk is om alle takken van G te nummeren van 1 t.e.m. q zodat in elke knoop v van G (met δ(v) ≥ 2) de grootste gemene deler van de nummers van de takken uit I(v) gelijk is aan 1. HOOFDSTUK 6 GRAAFPROBLEMEN 6.12
