Het andere binomium van Newton 1 Inleiding 2 Het

Het andere binomium van Newton
Edward Omey
1
Inleiding
Bijna iedereen heeft tijdens zijn studies kennis gemaakt met de binomiale coëf…ciënten of getallen. Deze worden dikwijls voorgesteld onder de vorm die door
Blaise Pascal (1623 - 1662) werd bedacht:
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
4
6
5
10
6
1
3
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
De rijen worden genummerd met n = 0; 1; 2; :::De getallen worden soms
voorgesteld door middel van het symbool nCk waarbij n = 0; 1; 2; ::: en k =
0; 1; :::; n. Elke volgende rij in deze tabel is opgebouwd door de som te nemen
van 2 buren uit de vorige rij en dan aan te vullen met een eerste en een laatste
getal "1". Met nCk tellen we hoeveel deelverzamelingen van grootte k kunnen
gevonden worden in een verzameling met n elementen. Het is bekend dat de
getallen in deze driehoek steeds van de volgende vorm zijn:
nCk =
n
k
=
n!
,0
k!(n k)!
k
n, n
0,
waarbij 0! = 1 en n! = n (n 1) ::: 2 1 als n 1.
Deze getallen komen te pas en te onpas voor in vele takken van de wiskunde,
kanstheorie en statistiek. In deze bijdrage geven we enkele gebruikelijke toepassingen van deze binomiaal coë¢ ciënten. Tevens presenteren we een veralgemening
van het binomium van Newton en een toepassing.
2
2.1
Het binomium van Newton
Een merkwaardig product
Bij de studie van merkwaardige producten vinden we ondermeer:
(x + y)0
(x + y)1
(x + y)2
(x + y)3
= 1
= x+y
= x2 + 2xy + y 2
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
enzovoort
1
We merken dat de coë¢ ciënten de getallen zijn die we ook terugzien in de
driehoek van Pascal. Deze formules illustreren het beroemde binomium van
Isaac Newton (1643 - 1727):
(x + y)n =
n
X
n k n
x y
k
k
,n
0.
(1)
k=0
Deze formule komt geregeld voor bij puzzels en competities! Tevens vormt
deze formule de basis van vele andere technieken en toepassingen.
2.2
Voorbeelden en oefeningen
Bepaal de coë¢ ciënt van x6 in (2 + 3x)10 .
Bepaal de coë¢ ciënt van x6 in (2x + 3=x)10 .
(Noot 6, Wiskunde en Onderwijs N 167, pp. 280 - 282, 2016) "Vier
opeenvolgende termen in de binomiaalontwikkeling van (x + y)n zijn:
2916; 4860; 4320 en 2160. Vind x; y en n."
Bepaal (1 + i)6
(1
i)6 (in de complexe getallen).
Als A en B vierkante matrices zijn waarvoor AB = BA, dan is
(A + B)n =
n
X
n k n
A B
k
k
.
k=0
Als f en g a‡eidbare functies zijn, dan geldt
(f g)0
(f g)00
(f g)(n)
= f 0 g + f g0
= f 00 g + 2f 0 g 0 + f g 00
n
X
n (k) (n k)
f g
.
=
k
k=0
Dit is de beroemde formule van Leibniz (1646 - 1716).
2.3
Enkele speciale gevallen
a) In de formule van Newton kiezen we x = y = 1 en dan vinden we:
n
X
n
k
= 2n n
0.
k=0
Dit betekent dat de rijsommen in de driehoek van Pascal gelijk zijn aan de
opeenvolgende machten van 2.
2
b) Kiezen we x =
1 en y = 1, dan vinden we:
n
X
n
( 1)k = 0, n
k
0.
k=0
Wanneer we de getallen in een rij van de driehoek van Pascal afwisselend
voorzien van een positief en negatief teken, dan is de resulterende som gelijk
aan 0.
c) Kiezen we x = 2 en y = 1, dan vinden we:
n
X
n k
2 = 3n , n
k
0.
k=0
Wanneer we in een rij van de driehoek van Pascal de getallen vermenigvuldigen
met een macht van 2,dan is de resulterende som gelijk aan 3n .
d) Op dezelfde wijze stellen we met x = 2 en y = 1 vast dat
n
X
n k
2 ( 1)n
k
k
= 1, n
0.
k=0
3
3.1
Een veralgemening
De veeltermen van Newton.
We vertrekken van de formule
n
k
=
n
0
= 1 en
n!
n
=
k!(n k)!
(n
1)
:::
k!
(n
k + 1)
.
In deze formule gaat men er gewoonlijk van uit dat de getallen n 0 en k 0
natuurlijke getallen zijn. Newton veralgemeende deze formule en de…nieerde
voor een natuurlijk getal k
0 en voor reële getallen z (zowel positieve als
negatieve reële getallen) de veralgemeende binomiaal coë¢ ciënten:
z
k
z
0
=
=
z
(z
1)
:::
k!
(z
k + 1)
,k
1,
(2)
1.
Wanneer z = n een natuurlijk getal is, dan vinden we de gewone binomiaalcoëf…ciënten terug.
Voorbeelden
a) Voor z = 1 vinden we via (2) dat: 01 = 1, 11 = 1 en
1
2
1
3
=
=
( 1)
( 2)
2!
( 1)
( 2)
3!
3
=1
( 3)
=
1
We vinden dus dat k1 = ( 1)k , k 0.
b) Voor z = 2 vinden we via (2) dat:
2
2
1
3
( 2)
=
( 3)
2!
( 2)
=
=
=
=
=
2
1
= 1,
=
2 en
=3
( 3)
3!
We vinden dat k2 = ( 1)k (k + 1), k
c) Voor z = 1=2 vinden we
1=2
0
1=2
1
1=2
2
1=2
3
2
0
( 4)
=
4
0.
1
( 1=2)
1
=
1!
2
3
4 1
( 1=2)( 3=2)
=
=
2!
2! 4
2 42
( 1=2)( 3=2)( 5=2)
5 3 1
=
=
3!
3! 8
6 1
3 43
We vinden in het algemeen dat
1=2
k
=
( 1)k 2k
,k
4k
k
0.
(3)
d) Toon aan dat
z+1
k
3.2
=
z
k
1
+
z
.
k
Veralgemeende formule van Newton
Ook met deze veralgemeende coë¢ ciënten blijft het binomium van Newton
geldig: voor jxj < 1 geldt dat
1
X
z k
(1 + x) =
x , z 2 <.
k
z
(4)
k=0
In deze formule kan z zowel een natuurlijk getal zijn als een reëel (positief of
negatief) getal. Soms noemt men deze formule de negatief binomiale formule.
Voorbeelden
a) Voor z = 1 en z = 2 vinden we respectievelijk:
(1 + x)
1
=
1
X
k=0
1 k
x =1
k
4
x + x2
x3 + :::
en
(1 + x)
2
=
1
X
2 k
x =1
k
k=0
Wanneer we x vervangen door
terug:
(1 x)
2x + 3x2
4x3 + :::
x vinden we de volgende welbekende formules
1
= 1 + x + x2 + x3 + :::
en
(1
b) Voor z =
x)
2
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + :::
1=2 vinden we
(1 + x)
1=2
=
1
X
k=0
4
4.1
1
1=2 k X ( 1)k 2k k
x =
x
k
4k
k
(5)
k=0
Toepassing
Haakjes?
Bij het berekenen van a+b+c is er geen verwarring mogelijk. We vinden immers
dat a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
Bij het berekenen van a b + c is het aangewezen om haakjes te gebruiken en
hier zijn 2 mogelijkheden om de berekening te maken: a (b + c) of (a b) + c.
Bij het berekenen van a b c (waarbij een bewerking is zoals +; ; ; :)
zijn er precies C3 = 2 verschillende manieren om haakjes rond twee getallen te
plaatsen: (a b) c en a (b c).
Bij het berekenen van a b c d zijn er C4 = 5 mogelijkheden:
a (b (c d))
a ((b c) d)
(a b) (b + c)
(a (b c)) d
((a b) c) d
Bij het berekenen van a b kunnen we maar op C2 = 1 manier de berekening
maken.
We kiezen nu ook C1 = 1 en vinden voorlopig de rij (1; 1; 2; 5; :::).
4.2
Algemene formule
We zoeken nu een algemene formule voor Cn . Ter illustratie bekijken we eerst
het geval waarbij n = 5 en we bekijken a b c d e. Er zijn verschillende
mogelijkheden:
- we plaatsen a alleen en plaatsen haakjes rond de rest: a (b c d e).
Voor deze laatste haakjes zijn er C4 mogelijkheden om verder haakjes te
plaatsen. Er zijn in totaal C1 C4 mogelijkheden om haakjes te plaatsen.
5
- we kiezen (a b) en plaatsen haakjes rond de rest: (a b) (c d e).
In de eerste term kunnen we haakjes plaatsen op C2 = 1 manier en voor de
tweede term kunnen we haakjes plaatsen op C3 = 2 manieren. Er zijn in totaal
C2 C3 mogelijkheden om haakjes te plaatsen.
- we kiezen voor (a b c) (d e) en kunnen haakjes plaatsen op C3 C2
manieren
- we kiezen voor (a b c d) e en kunnen haakjes plaatsen op C4 C1
manieren.
We vinden dus
C5
= C1 C4 + C2 C3 + C3
= 1 5+1 2+2 1+5
C2 + C4
1 = 14.
C1
In het algemeen vinden we
Cn = C1
Cn
1
+ C2
Cn
2
+ ::: + Cn
1
C1 .
In een meer compacte notatie vinden we
Cn =
n
X1
Ci Cn i , n
2.
(6)
i=1
Met deze formule vinden we de opeenvolgende term van de rij (Cn ):
1
1
2
5
14
42
Bemerk dat
C4 = 5 =
132
429
1430
4862
:::
1
1 6
20 =
.
4
4 3
We herbekijken eveneens C5 = 14 en vinden:
C5 = 14 =
1
1 8
70 =
.
5
5 4
De voorbeelden hierboven suggereren dat de volgende formule geldt:
Cn+1 =
1
2n
.
n+1 n
We bewijzen deze formule in de volgende paragraaf.
4.3
Bewijs van de algemene formule
In deze paragraaf bewijzen we de bovenstaande formule. We gaan te werk in
verschillende stappen
6
4.3.1
Stap 1: de genererende functie
De genererende functie van de rij (Cn ) is per de…nitie gelijk aan
C(z) =
1
X
Cn z n = C1 z + C2 z 2 + ::: + Cn z n + :::
(7)
n=1
Bij een gegeven rij kunnen we in principe de genererende functie bepalen via deze
de…nitie. Omgekeerd, wanneer we de genererende functie kennen, dan kunnen
we de rij (Cn ) als volgt reconstrueren:
C(0) = 0,
C 0 (0) = C1 ,
C 00 (0) = 2!C2 ,
:::
(n)
C (0) = n!Cn .
We zien dus dat (7) de reeks van Taylor is van de functie C(z).
Door in (7) de relatie (6) te gebruiken vinden we:
C(z) = C1 z +
1
X
(6)
Cn z n = z +
n=2
1 n
X
X1
Ci Cn i z n .
n=2 i=1
In de laatste som geldt dat 2 n < 1 en 1 i n 1. Deze ongelijkheden
zijn equivalent met de ongelijkheden1 i < 1 en i + 1 n < 1. We vinden
dus dat
1
1 X
X
Cn i z n i Ci z i .
C(z) = z +
i=1 n=i+1
In de tweede som vervangen we n door m = n
C(z)
= z+
1 X
1
X
i en we vinden
Cm z m Ci z i
i=1 m=1
= z+
1
X
Ci z i
Cm z m
m=1
i=1
2
= z + C (z).
Er volgt dus dat C 2 (z)
1
X
C(z) + z = 0 en dus dat
C(z) =
p
1
1
2
4z
.
Omdat C(z) een stijgende functie is besluiten we dat
p
1
1 4z
C(z) =
.
2
7
Bemerk dat C(0) = 0 en dat
C 0 (z) = p
4.3.2
1
1
4z
, C(z) =
Z
z
C 0 (z)dz.
0
Stap 2
We bepalen nu de reeks van Taylor van de functie f (z) = (1
vorige paragraaf (formule (5)) vonden we dat:
(1 + x)
1=2
=
1
X
(1
4z)
1=2
=
1=2
1
1=2 k X ( 1)k 2k k
x =
x
k
4k
k
k=0
We vervangen in (8) nu x door
4z)
. In de
(8)
k=0
4z en we vinden
1
1
X
X
2k k
( 1)k 2k
k
(
4z)
=
z
4k
k
k
(9)
k=0
k=0
Formule (9) toont ons dat
C 0 (z) = f (z) = 1 +
Voor de integraal (
Rz
0
C(z) = z +
2
4 2
2n n
z+
z + ::: +
z + :::
1
2
n
C 0 (t)dt) vinden we
1
2n n+1
1 2 2 1 4 3
z +
z + ::: +
z
+ :::
2 1
3 2
n+1 n
We besluiten dat
Cn+1 =
4.4
1
2n
.
n+1 n
Opmerkingen
Als functie van z worden de veeltermen
genoemd:
k
=
0:
k
= 1:
k
= 2:
k
=
3:
z
0
z
1
z
2
z
3
z
k
de veeltermen van Newton
= 1,
= z,
=
=
8
z(z
1)
2
z3
=
z2
z
2
,
3z 2 + 2z
, enz.
6
2n
n
Soms worden de getallen
noemd.
de ’centrale’ binomiale coë¢ ciënten ge-
De getallen Cn worden dikwijls de Catalan getallen genoemd naar de
beroemde wiskundige Eugène Charles Catalan (1814 - 1898). Deze getallen
hebben meerdere meetkundige en combinatorische betekenissen!
Hier volgt een korte lijst met eigenschappen van de getallen van Catalan:
a) Er geldt
Cn+1 =
2n
n
2n
n+1
b) Er geldt
Cn+1 =
2(2n + 1)
Cn
n+2
c) Er geldt
n
Cn+1 =
1 X n
n + 1 i=0 i
d) Wanneer n ! 1 geldt dat
Cn s
5
n
i
4n
p
n3=2
Referenties
1. Hilton, P. and Pederson, J. "The ballot problem and Catalan numbers".
Nieuw Archief voor wiskunde 8, 209-2016, 1990.
2. Hilton, P. and Pederson, J. "Catalan numbers, their generalisation and
their uses". Math. Intel. 13, 64-65, 1991.
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function
5. https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
6. Stanley, Richard and Weisstein, Eric W. "Catalan Number." From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html
7. Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem." From MathWorld - A Wolfram
Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html
Edward Omey <[email protected]>
KULeuven @ Campus Brussel
Warmoesberg 26 (6A)
1000 Brussel
9