Praktische toepassingen wiskunde uit fysica, chemie

Praktische toepassingen wiskunde uit fysica, chemie en andere technische
vakken.
1 Omvormen van formules
Voorbeeld:
1 Volgens de wet van behoud van energie geldt
1 2
1
mv1  mgh1  mv22  mgh2 .
2
2
Bepaal het hoogteverschil h2  h1 .
2 De grootte aantrekkingskracht tussen twee massa’s m1 en m2 op een afstand r van
elkaar wordt gegeven door de formule: F  G
m1  m2
met G de universele
r2
gravitatieconstante. Los op naar r.
3 De druk in een vloeistof op een diepte h wordt gegeven door p  p0   gh . Wat is
de betekenis van p0? Los de formule op naar h. Op welke diepte is de druk in de
vloeistof gelijk aan 2p0.
4 De vergelijking van van der Waals bepaalt de toestand van een reëel gas:

n2 a 
p

V  nb   nRT met n het aantal mol gas, p de druk, V het volume, b

2 
V


het covolume van 1 mol gas, R de ideale gasconstante, T de temperatuur(K) en
a
V2
de cohesiedruk van 1 mol gas. Bepaal een uitdrukking voor de druk p en het
covolume b.
2 Functies en grafieken van functies
Voorbeeld:
1 De omvormingsformules opstellen om een temperatuur van °C naar °F om te
zetten en omgekeerd (zie experiment)
2 De wet van Boyle-Mariotte: deze geeft het verband tussen de druk p (Pa) en het
volume V (m3) weer als de temperatuur T (K) constant blijft. (zie experiment)
3 Het opladen en ontladen van een condensator in een stroomkring. Dit levert in
beide gevallen aanleiding tot functies waarin exponentiële functies verweven
zitten:
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
1
t



opladen: Q  C  U   1  e


ontladen: Q  C  U  e


 met   R  C de tijdconstante genoemd


t

t
U 
Voor de stroom geldt in beide gevallen dezelfde uitdrukking: I   e  . Dit kan
R
gemakkelijk uit bovenstaande uitdrukkingen gehaald worden als je weet dat
dQ
I
. Dit kan dan ook een opgave zijn als toepassing van afgeleiden.
dt
4 Een veer heeft in ontspannen toestand een lengte l0. Een kracht met grootte F = kx
rekt de veer over x lengte-eenheden uit. k is de veerconstante. x = l – l0 waarbij l de
lengte van de veer is na uitrekking.
a) Schrijf het verband op tussen de grootte van de kracht F en de andere
grootheden k, l en l0.
b) Stel k  4,5
N
en l0  0,6 m . Schrijf het verband uit (a) met F en l. Maak de
m
grafiek. Welk soort functie is dit?
5 Bij polarisatie van het licht wordt de
intensiteit van het gepolariseerd licht
gegeven door I  I m cos 2  (wet van
Malus). Im is de maximale intensiteit en 
de hoek waarover de polarisatiefilter t.o.v. de voorkeursrichting is gedraaid (zie
figuur). Een polarisatiefilter kan worden gedraaid over een hoek van 0 tot 180 in
wijzer- of tegenwijzerzin.
a) Maak een schets van de functie.
b) Bepaal het domein en bereik van deze functie vanuit natuurkundig standpunt.
c) Is deze functie nog periodiek?
d) Over welke hoek moet men de polarisatiefilter draaien om de intensiteit te
halveren?
e) Over welke hoek moet de polarisatiefilter worden gedraaid om nog drie vierden
van de maximale intensiteit te behouden?
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
2
6 De snelheidsconstante k van de reactie 2 N2O5  2 N 2O4  O2 varieert met de
temperatuur t(in C) gegeven in de volgende tabel:
t (in C)
0
25
45
65
k (min-1)
0,0000472
0,00203
0,0269
0,262
Toon aan dat de gegevens voldoen aan de volgende formule:
k  Ae

Q
RT
met A, Q en R constanten en T = 273 + t.
Bepaal een formule die T uitdrukt als functie van k en bepaal de waarde van T
wanneer k = 0,012. De ideale gasconstante R = 8,314 JK-1mol-1.
3 Parametervergelijkingen
Voorbeeld:
1 Lissajousfiguren die ontstaan door de samenstelling van twee loodrechte trillingen.



 x  2  sin    t  
2
1 

 y  2  sin   t 




 x  3  sin    t  
2
 2 

 y  2  sin   t 

 x  2  sin   t 
 x  2  sin   t 
 3 
 4 


 y  3  sin   t 
 y  4  sin  2  t  2 



Hierbij stelt (1) een cirkel, (2) een ellips, (3) een parabool en (4) een rechte door de
oorsprong voor.
2 De beweging van een steengruisdeeltje dat het achterwiel verlaat onder hoek 
tegen een snelheid v (in m/s), kan worden beschreven door het volgende stel
parametervergelijkingen:
 x  v cos   t


1 2
m
 y  v sin   t  gt met g  9,81 2
2
s

a) Stel dat de auto tegen 144 km/h rijdt en er verlaten (op hetzelfde ogenblik) drie
steengruispartikeltjes het achterwiel van de auto bij hoeken  = 45,  = 50 en  =
30.
Construeer het pad van de drie steengruisdeeltjes op dezelfde grafiek.
b) Herschrijf het verband in parametervorm in de analytische vorm (in x en y).
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
3
c) Gebruik de formule uit (b) om te bepalen hoe ver ieder deeltje vliegt vooraleer
de grond te raken.
4 Vergelijkingen, stelsels van vergelijkingen en matrices
Voorbeeld:
1 De lengte van een staaf is 3,567 m. Als de staaf met 17 % uitzet bij opwarming,
wat is dan de nieuwe lengte van de staaf?
2 Een dokter vraagt 20 g van een 52 % oplossing van een bepaald medicijn. De
apotheker heeft enkel flessen van 40 % en 70 % oplossingen van dit medicijn.
Hoeveel g van iedere oplossing moet de apotheker nemen om uiteindelijk 20 g van
52 % oplossing te bekomen?
3 Op het uiteinde van een 6,5 m staaf met verwaarloosbare massa wordt een kracht
van 36 N uitgeoefend. Het steunpunt bevindt zich op 2 m van het andere uiteinde
waaraan een ongekende massa opgehangen wordt. Welke kracht moet deze massa
uitoefenen opdat er een evenwicht optreedt.
(zwaartekrachtversnelling = 9,81 m/s2)
4 In de figuur is de vlakke doorsnede van een
stalen profiel te zien. De totale oppervlakte
van de doornsnede (A) bedraagt 42,78 cm2.
Bepaal de dikte (t) van het staal. Bepaal het
resultaat tot 2 decimalen nauwkeurig.
( a  5,12 cm en b  15,15 cm )
Chemische reactiestoechiometrie of reactiestoichiometrie: het balanceren van
chemische reacties
Voorbeeld:
Beschouw de ongebalanceerde reactievergelijking C3 H 8  O2  CO2  H 2O
Vermenigvuldig elk reagens met een variabele:
a C3 H 8  b O2  c CO2  d H 2O
De reactievergelijking balanceren betekent het bepalen van de eenvoudigste
natuurlijke getallen a, b, c, d (d.w.z. zo klein mogelijk) zodat het totaal aantal atomen
van elk optredend element aan elke kant van de reactievergelijking gelijk blijft.
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
4
Dit leidt tot de volgende vergelijkingen:
voor C :
3a  c
voor H :
8a  2d
voor O :
2b  2c  d
a b
3

8

0

De uitgebreide matrix van het stelsel is
0
0
2
c
d
1
0
2
0
2
1
RL
0

0

0 
Herleiden tot de gereduceerde echelonmatrix levert:
3

8

0

0
1
0
0
2
0
2
2
1
0  1 0 0 
 
0   0 1 0 
 
0   0 0 1 
1
4
5
4
3
4
a  14 d
0

5

b  4 d

0 waaruit 

c  34 d

0

d is vrij
Zoek nu de eenvoudigste natuurlijke waarden voor a, b, c, d .
Kies hiertoe d  4 zodat a  1, b  5, c  3, d  4 .
De gebalanceerde reactievergelijking is C3 H 8  5 O2  3 CO2  4 H 2O
Matrices in de optica
Men beschouwt enkel paraxiale stralen (stralen die bij de optische as) en kleine
hoeken. Daardoor geldt dat: sin     en tan     . Men spreekt in dit geval van
eerste orde benadering.
Keuze van de variabelen

Translatiematrix of verschuivingsmatrix
Met
yi: de invalshoogte
yo: de uittredingshoogte
i : de invalshoek
 o : de uittredingshoek
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
5
o
i
Uit de figuur haalt men
 yo  1  yi  d  sin i   1  yi  d  i
 y   1 d   yi 
of  o   

   

0
1


0

y

1


 o
 o    i 
i
i
Mv
Refractiematrix
o
i
o

i
i

O is het optisch middelpunt
r is de kromtestraal (>0 als OC dezelfde zin heeft als de optische as)
C is het krommingsmiddelpunt
ni, no: brekingsindex van het medium van de invallende straal, brekingsindex van het
medium van de uittredende straal
De wet van Snellius-Descartes geschreven is eerste orde benadering: ni   i  no   o
met  i de invalshoek en  o de brekingshoek
Uit de figuur en na enige berekeningen vindt men:
0
 yo  1  yi  0  i
 1
 yo  
y 

of    ni  n0 ni    i 
ni  no
ni

 i 
 o   n  r
 o  n  r  yi  n  i
n

o
o


o
o
Mr
Wat wordt de matrix Mr als r   ? Wat gebeurt er dan met het grensoppervlak?
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
6
Reflectiematrix of terugkaatsingsmatrix
o
o


i
i
De wet van terugkaatsing in eerste orde benadering is gelijk aan:  i   o met  i de
invalshoek en  o de terugkaatsingshoek
De kromtestraal r is negatief voor een concaaf (hol) oppervlak en positief voor een
convex (bol) oppervlak.
Na enig rekenwerk verkrijgt men de volgende formules:
 1 0 y
 yo  1  yi  0   i
 yo  

 i
of    2

2
 
1  i 
 o  
o  r  yi  1  i

r

Mt
Merk op dat alle bijzondere matrices omkeerbaar zijn. Waarom is dit noodzakelijk?
Voorbeeld: een lens
1
o
i
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
7
Een lens wordt begrensd door twee sferische oppervlakken. De middenstoffen langs
beide kanten van de lens hoeven niet dezelfde te zijn (denk aan een peilglas). In het
algemeenste geval zijn er dus drie middenstoffen in het spel elk met een andere
brekingsindex.
Uit de figuur volgt dat een lichtstraal die door een lens gaat, twee refracties
(brekingen) en een translatie ondergaat. Dit levert de volgende formules:
0
0
 1
 1
1
t
 yo  




  yi 
    nL  n ' nL  0 1  n  nL n    
 o   n ' r
n '    nL  r1 nL   i 

2

Mv
Mr2
M r1


M dikke lens
Voor een dunne lens ( t  0 ) ondergedompeld in één middenstof met brekingsindex n,
geldt:
1
0



M dunne lens   nL  n  1 1  

1
 n  r2 r1  


Met de lenzenmakersformule:
1 nL  n  1 1 

   kan de matrix vereenvoudigd
f
n  r1 r2 
worden tot:
 1
M  1

 f
0

1

Men kan nagaan dat de volgende eigenschap geldig is det  M  
ni
met ni de
n0
brekingsindex van de middenstof van de invallende straal en no de brekingsindex van
de middenstof van de uittredende straal.
5 Goniometrie en meetkunde
Voorbeeld:
1 Gegeven een vooraanzicht van een
x
cilindervormig meetrolletje in een V-vormige
de doorsnede van het meetrolletje ligt precies
boven het hoekpunt B van de V-groef. Bepaal de
A
2,865"
0,920"
groef in een blok materiaal. Het middelpunt van
O
1,500"
B
afstand x op 3 decimalen nauwkeurig als de straal
van het meetrolletje 0,800 inch is.
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
8
2 Gegeven een stomphoekige driehoek ABC.
B
Toon aan: a 2  b 2  c 2  2bn
a
h
Gebruik deze formule om de hoogte van de katrol en
c
de afstand tot de muur te bepalen bij een wandkraan.
b
C
27
00
De afmetingen zijn in mm.
n
A
m
3 Een inspecteur controleert een groef onder een hoek
van 60, die werd uitgefreesd (zie figuur). Deze
W
H
controle gebeurt door een gepast meetrolletje met
gekende diameter D in de groef te plaatsen en de
60°
afstand H te meten, tussen de top van het meetrolletje
en de bovenrand van het werkstuk. Met een schuifmaat
wordt de openingsbreedte W van de groef opgemeten. De controle bestaat er dan in
om de gemeten waarde van H te vergelijken met de theoretische waarde van H
indien de groef zou voldoen aan de gestelde eisen. De theoretische waarde van H
voor het gestelde probleem is H 
3
3
D
W.
2
2
(Hint: trek de schuine kanten van de groef door tot ze elkaar snijden.)
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
9
4 Hoe kan men met een schuifmaat, waarvan de
maximale opening kleiner is dan de diameter van
een cilindervormige as, toch de diameter bepalen?
Plaats de twee bekken van de schuifmaat op de as
zodanig dat de meetlat van de schuifmaat de as
M
B
A
C
raakt, terwijl de schuifmaat loodrecht is op de as (zie
D
figuur).
2
BD
Bewijs dat AB  CD 
.
CD
5 Het bepalen van de uitsnijding van een binnenzwaluwstaart aan de hand van
meetrolletjes. Analoog voor buitenzwaluwstaarten.
6 Twee identieke negatieve puntladingen liggen op de x-as en symmetrisch t.o.v. de
y-as. De resulterende veldsterkte in een punt A van y-as, is op de figuur
voorgesteld.

E

ey

ex
Toon aan dat de grootte van de resulterende veldsterkte gelijk is aan E 
kQ 3
x2  y 2
(geen rekening houdend met het teken van de lading)

Geef de vectoriële uitdrukking voor E , gebruik makend van de eenheidsvectoren


ex en e y .

De elektrische veldvector E is de resultante van de elektrische veldvectoren vanuit
de beide ladingen. Algemeen geldt voor de elektrische veldvector van het veld

Q 
E

k
er , Q is de lading die het veld opwekt
opgewekt door een lading Q: r
r2
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
10
(positief of negatief), r is de afstand tussen de lading die in het veld wordt gebracht
N  m2
en de lading die het veld opwekt, k is een constante ( k  8,99 10
) en de
C2

eenheidvector er gelegen op de verbindsrechte van beide ladingen en naar de
9
ingebrachte lading gezind. (zie figuur)

Er

er
(uit Fysica Vandaag 5.2 uitgeverij Pelckmans)
Samenstellen van twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie.
Twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie f hebben als
bewegingsvergelijkingen:
  2 f
y1  A1 sin   t  1 
y2  A2 sin   t  2 

6

A2  4 en 2 
3
met A1  3 en 1 
Deze trillingen kunnen grafisch worden voorgesteld door fasoren (draaiende
vectoren). Beide fasoren draaien rond met een hoeksnelheid van 
rad
. De
s
norm van een fasor is de amplitude van de trilling. De toestand bij t = 0 met de
bijbehorende beginfase 1 en  2 wordt weergegeven in onderstaande figuur.

A2

A1
Gevraagd:
a) Construeer de samengestelde trilling y  y1  y2 met. fasoren.
b) Bepaal de amplitude en de beginfase van de samengestelde trilling.
Oplossing
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
11
a)
R
2  1

A2
2

A

 A1
2
Q
P
1
O
S
T
b) Berekening van de amplitude en de beginfase van de samengestelde trilling.
- met de cosinusregel van willekeurige driehoeken vinden we:
A2  A12  A2 2  2 A1 A2 cos   2  1  
 A12  A2 2  2 A1 A2 cos 2  1 
of
A  A12  A2 2  2 A1 A2 cos 2  1 
  
 9  16  2  3  4  cos   
3 6
 
 25  24cos  
6
 6,77
- uit de rechthoekige driehoek ORT halen we dat
tan  

RT
OT
RQ  QT
OS  ST
uit de rechthoekige driehoek OPS vinden we dat
QT  PS  A1 sin 1
OS  A1 cos1
uit de rechthoekige driehoek PQR vinden we dat:
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
12
RQ  A2 sin  2
ST  PQ  A2 cos  2
Vandaar dat
tan  
A1 sin 1  A2 sin 2
A1 cos 1  A2 cos  2
of
 A sin 1  A2 sin 2 
  arctan  1

 A1 cos 1  A2 cos 2 

 

 3sin 6  4sin 3 
 arctan 


 3cos  4cos 
6
3

 0,8237 rad of 47,19
Bepalen van de resultante van twee of meerdere krachten


Gegeven twee krachten F1 en F2 . De hoek tussen beide krachten is 60°. De grootte
van de krachten is respectievelijk 100 N en 50 N.


Bepaal de grootte van de resultante R en de hoek die de resultante maakt met F1 .
Oplossing:

F1

F2
  
R  F1  F2
Fx
Fy
100
0
50  cos  60   25
50  sin  60   43,3
125

De grootte R  1252  43,32  132,3 N .


De hoek tussen F1 en de resultante R wordt gegeven door:
tan   
43,3
43,3
 43,3 
   arctan 
  0,334 rad of 19,10
125
 125 
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
13
6 Complexe getallen
Voorbeeld
Een wisselspanning u wordt aangelegd over een RLC-seriekring.
R
L
C
i
u
De totale impedantie van de kring wordt gegeven door:
Zt  R  i   L 
1
i  C
Voor welke waarde van  is Zt reëel? Toon aan dat de modulus van Zt (als functie van
) minimaal wordt voor deze waarde.
Wisselsignalen
De optelling van complexe getallen en de vermenigvuldiging van een complex getal
met een reëel getal correspondeert meetkundig met vectoriële bewerkingen.
Uitgaande van de cartesiaanse vorm z  x  yi en overgang naar poolcoördinaten
x  r  cos   , y  r  sin   volgt dat z kan worden uitgedrukt in elk van de volgende
poolcoördinatenvormen :

z  r cos   i sin   (goniometrische vorm)

z  r (Amerikaanse vorm, vaak gebruikt in technische toepassingen)

z  r  ei (exponentiële vorm)
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
14
Een wisselsignaal is een functie van de vorm y (t )  A  sin   t    met t de tijd.
Hierin noemen we A de amplitude  A  0 ,  de pulsatie of hoekfrequentie en
  t   de fase(hoek). Merk op dat  de fase is bij tijdstip t = 0 (beginfase).
De functie is periodiek met periode T 
2

en de frequentie is f  T1 

2
.
In het vlak van Gauss is het wisselsignaal een ronddraaiend complex getal of vector
z (t )  A    t    met Im z (t )  y (t ) . Deze vector wordt fasor genoemd. Het
complex getal z (t ) draait rond op een cirkel met straal A .
De vector start op tijdstip t  0 in z (0)  A en draait rond met een hoeksnelheid
van  rad/s in tegenwijzerzin (als   0 ):

rad
s
 t

De som van twee wisselsignalen met dezelfde pulsatie is een nieuw wisselsignaal met
deze pulsatie of:
A1  sin   t  1   A2  sin   t   2   A  sin   t   
Het vergt veel rekenwerk om dit aan te tonen met goniometrische formules.
Men kan echter ook grafisch redeneren.
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
15
y
bij t = 0
y = y1+y2
y2

z = z1+z2
rad
s
z2
A
A2
2 
y1
A1
1
z1
x
Bij t = 0 geldt: A1  sin 1   A2  sin 2   A  sin   . Dit is het imaginair deel van:
A1 1  A2 2  A  (zie figuur).
Laat de drie vectoren ronddraaien met dezelfde hoeksnelheid  rad/s gedurende
t seconden. De argumenten nemen toe met   t , de modulussen veranderen niet:
A1    t  1   A2    t  2   A    t   
Het imaginair deel levert de oorspronkelijke vergelijking:
A1  sin   t  1   A2  sin   t   2   A  sin   t   
y
rad
s

z
z1
A
  t   A1
z2
  t  2
  t  1
x
A2
Het volstaat dus A en  te bepalen uit A1 1  A2 2  A  .
Voorbeeld:
Bepaal A en  uit 8  sin  20t  6   3  sin  20t  2   A  sin  20t   
Oplossing:
8    6   3  2   A
8

3
2

 21 i  3  0  i   A
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
16
4 3  7i  A
Hieruit volgt: A 
4 3
2
 7 
 49  9.85 en   arctan 
  0.79 . Voert men de
4 3
berekeningen uit met een grafische rekenmachine dan hoeft men zelfs de omzettingen
naar cartesiaanse vorm niet uit te voeren.
Bepalen van de resultante van twee of meerdere krachten (in het vlak)


Gegeven twee krachten F1 en F2 . De hoek tussen beide krachten is 60°. De grootte
van de krachten is respectievelijk 100 N en 50 N.


Bepaal de grootte van de resultante R en de hoek die de resultante maakt met F1 .
Oplossing:
Stel de krachten (vectoriële grootheden) voor als een complex getal in exponentiële
gedaante. Dan is de modulus gelijk aan de grootte van de vector en het argument de
hoek die de vector maakt met de positieve x-as. Bij de exponentiële notatie moet er
voor gezorgd worden dat het argument in radialen wordt uitgedrukt. Zo wordt dit

F1  z1  100  ei0  

i0,3334

  R  z  z1  z2  132, 287 e

i
F2  z2  100  e 3 
Hieruit volgt dus dat:

de grootte R  132,3 N .


de hoek tussen F1 en de resultante R wordt gegeven door:
  0,334rad of 19,10
7 Logaritmen
Voorbeeld:
1 Beschouw een versterker met de volgende grootheden:
ingangsgrootheden
uitgangsgrootheden
ingangsspanning Ei
uitgangsspanning Eo
ingangsweerstand Ri
uitgangsweerstand Ro
ingangsvermogen Pi
uitgangsvermogen Po
Het verband tussen vermogen P, spanning E en weerstand R volgt uit: P  E  I
(voor een zuiver resistieve versterker) en E  R  I . De vermogensversterking is
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
17
P 
E 
per definitie gelijk aan 10log  o  en de spanningsversterking is 20log  o  .
 Pi 
 Ei 
Deze worden beide uitgedrukt in dB (decibel). Toon aan dat de
vermogensversterking gelijk is aan de spanningsversterking als de
ingangsweerstand gelijk is aan de uitgangsweerstand.
2 Zuurtegraad of pH.
Als een zuur wordt opgelost in water, staat het H+-ionen af die worden opgenomen
door de watermoleculen. Bv.: HCl  H 2O  Cl   H 3O  . Hoe zuur een oplossing
is hangt af van de concentratie van de H 3O  -ionen. Omdat de concentratie meestal
klein is, definieert men de zuurtegraad of pH van een oplossing als:
pH   log  H 3O   . Bijvoorbeeld:  H 3O    10  a met ( a  0) dan is de pH = a.
Voorbeeld:
0,1 mol HCl wordt opgelost in 1l water. Omdat HCl volledig wordt opgesplitst,
ontstaan er ook 0,1 mol H 3O  -ionen. Vandaar  H 3O    101 waardoor de pHwaarde gelijk is aan 1.
Oefeningen:
1 Als in het voorbeeld de oplossing 1000 keer wordt verdund. Wat is dan de
pH-waarde?
2 Hoe groot is de pH als men 1 g HNO3 in 1l zuiver water oplost? De
reactievergelijking is HNO3  H 2O  NO3  H 3O  .
3 Schijnbare en absolute helderheid en magnitudes van sterren (zie nascholing F.
Tamsin van een paar jaar geleden)
4 Geluid, geluidsniveau en luidheid
Muziekintervallen
De toonhoogte van een muzieknoot is bepaald door de frequentie van de
geluidsgolf die de klank voortbrengt.
Bij een snaarinstrument is de lengte van de snaar naast de lineaire dichtheid van de
snaar en de spanning op de snaar bepalend voor de voortgebrachte frequentie. Laat
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
18
men de spanning onveranderd en neemt men dezelfde snaar (dezelfde lineaire
dichtheid) dan zal de frequentie van de toon verdubbelen als de lengte van de snaar
gehalveerd wordt.
Er zijn verschillende stemmingen van muziekinstrumenten bekend. Zo klinkt een
piano uit Mozarts tijd anders dan een hedendaagse piano. De verdeling van de
verschillende noten over een octaaf is daarvan de oorzaak. Een octaaf is het
interval dat bepaald is door twee opeenvolgende tonen met dezelfde naam.
Bijvoorbeeld:
De frequentie van de eerste noot van een octaaf is de helft van de frequentie van de
laatste noot van het octaaf.
Bijvoorbeeld:
Een la heeft een frequentie van 440 Hz, dan heeft een la een octaaf hoger een
frequentie van 880 Hz en een la een octaaf lager 220 Hz.
Volgens de evenredige twaalftoonstemming wordt een octaaf verdeeld in twaalf
gelijke intervallen. Het getal waarmee de frequentie van een noot moet worden
vermenigvuldigd om de volgende noot te krijgen is altijd hetzelfde. Dit levert de
volgende relatie op:
f n  a n  f 0 met f0 de frequentie van de eerste noot van het octaaf
Voor een octaaf wordt dit:
2  f 0  a12  f 0
waaruit dan volgt dat: a  12 2 .
Oefening: Bepaal de plaats van de frets bij een gitaar.
Geluid is een drukgolf. De storing is een plaatselijke drukverandering die zich
voorplant doorheen het medium dat vast, vloeibaar of gasvormig kan zijn. De
richting van de samendrukking is dezelfde als de richting van de voorplanting.
Men spreekt van een longitudinale golf.
Geluidsgolven zijn dragers van energie en kunnen dus arbeid verrichten zoals het
bewegen van het trommelvlies. De hoeveelheid energie die een geluidsgolf per
seconde transporteert, wordt het vermogen P(W) genoemd. Deze energie
verspreidt zich over de ruimte. Hoe verder men zich van de bron bevindt, hoe
groter het boloppervlak is waarover de energie moet verdeeld worden, waardoor de
sterkte van het geluid afneemt.
De geluidsintensiteit is nu juist de hoeveelheid vermogen die loodrecht door het
P
oppervlak gaat: I  met A  4 r 2 en r de afstand tot de bron .
A
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
19
Wat gebeurt er met de intensiteit als de afstand verdubbelt?
Hoeveel keer verder moet men staan om de intensiteit met een factor q te
verminderen?
P
Geluidsniveau wordt gedefinieerd als N P  10  log   met P0 een
 P0 
referentievermogen van 10-12 W (dit is het vermogen nodig om een trommelvlies is
bewegen te brengen = gehoordrempel)
De eenheid is Bel (B) maar omdat die zo groot is, wordt altijd gemeten in decibel
(dB). Vandaar de factor 10 voor de logaritme.
Schrijf de uitdrukking voor geluidsniveau als functie van de intensiteiten.
Geluidsdrukniveau
Het geluidsniveau kan ook uitgedrukt worden aan de hand van de voortgebrachte
geluidsdrukken. Men spreekt dan van geluidsdrukniveau en heeft ook dB als
eenheid. De referentiedruk is p0  20 µPa . Men kan aantonen dat P  p 2 .
 p 
Toon aan dat N p  20  log  
 p0 
Luidheid (loudness)
Indien de mens als waarnemer wordt gebruikt, merkt men dat de mens zuivere
geluiden met eenzelfde geluidsniveau en verschillende frequenties niet als even
luid ervaart. Dit heeft te maken met de menselijke perceptie. Aan de hand van
verschillende experimenten is geprobeerd die luidheid in kaart te brengen (zie
figuur).
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
20
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
21
Waarom stelt men de frequenties slechts vanaf 10 Hz voor op de x-as? Hoe groot is
de grootste voorgestelde waarde van de frequentie ongeveer? Waarom gebruikt
men een logaritmische schaal om de frequenties weer te geven? Wat is het
gehoorbereik in frequenties uitgedrukt van een mens (gemiddeld)?
Voor de grafiek werd 1000 Hz als referentiewaarde genomen. Dit betekent dat bij
deze test het geluidsniveau van een klank van 1000 Hz zo werd aangepast dat de
luidheid van die klank overeenkwam met de luidheid van de waargenomen klank.
De lijnen van gelijke luidheid worden isofonen genoemd. De eenheid van luidheid
is foon.
Zo geldt dat een toon van 1000 Hz met een geluidsniveau van 50 dB een
luidheidsniveau heeft van 50 foon. Dit is ook zo voor een klank met frequentie van
40 Hz met een geluidsniveau van 70 dB en voor een klank met frequentie van
4 kHz en een geluidsniveau van 43 dB.
Het menselijk gehoor is het gevoeligst voor geluiden met een frequentie in de buurt
van 4 kHz.
Hoe is dit de te zien in de grafiek?
Het verband tussen de luidheid S en het luidheidsniveau P wordt gegeven door:
P  40
2 10
met S de luidheid in soon en P het luidheidsniveau is foon.
S
Schrijf het luidheidsniveau P uit als functie van het luidheid S.
Welk verband bestaat er tussen log(S) en P?
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
22
8 Calculus: differentiaal- en integraalrekenen
Voorbeeld:
1 Zie bij functies het voorbeeld over het opladen en ontladen van een kromme.
2 De positie s(km) van een sportwagen in functie van de tijd t(min) wordt gegeven
door:
t 2 , 0  t  2

s (t )  4t  4, 2  t  5
en dit over een tijdsinterval [0 min, 10 min].

2
0,4t  8t  14, 5  t  10
Gevraagd:
a) Bepaal de functie die de ogenblikkelijke snelheid van de sportwagen weergeeft
over het gegeven tijdsinterval.
b) Wat is de gemiddelde snelheid van de sportwagen over dit tijdsinterval?
c) Bewijs dat deze gemiddelde snelheid ook effectief gehaald wordt door de
sportwagen. Bepaal de tijdstippen (1 of meer) waarbij dit gebeurt.
Oplossing:
a) De afgeleide functie berekenen van de stuksgewijs gedefinieerde functie.
2t , 0  t  2

v(t )  4, 2  t  5
0,8t  8, 5  t  10

b) Er bestaan verschillende manieren om dit te berekenen.
eerste manier: vanuit het (s,t)-diagram: de helling (richtingscoëfficiënt) van de
rechte door het begin- en eindpunt van de beweging is de gemiddelde snelheid over
het tijdsinterval.
tweede manier: vanuit het (v,t)-diagram: de integraal berekenen van de
snelheidsfunctie over het tijdsinterval (totale afgelegde weg) en de bekomen
waarde te delen door de tijdsduur van de beweging (10 min).
c) Door toepassing van de stelling van Lagrange op de functie s(t) (controleer de
nodige voorwaarden), kan men vaststellen dat er twee tijdstippen zijn waarop de
gemiddelde snelheid gehaald wordt. De tijdstippen waarop dit gebeurt, kunnen
worden afgelezen uit de grafiek of worden berekend met behulp van de solvefunctie van het rekentoestel.
Arbeid verricht door een thermodynamisch proces
De Otto-cyclus is een geïdealiseerd model voor de thermodynamische processen die
optreden bij een cyclus van een viertact verbrandingsmotor (benzine). Deze cyclus
bestaat twee adiabatische processen ( A  B en C  D ) en twee isochore processen (
B  C en D  A ). Bij adiabatisch proces is geen warmte-uitwisseling met de
omgeving, bij isochore processen blijven de volumes gelijk.
Voorbeeld:
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
23
De adiabatische processen worden gegeven door de volgende functies:
2,39
p AB V  
1,4
103  106  V
de druk p in kPa en het volume V in
3,63
pCD V  
1,4
103  106  V




cm3
De isochore processen worden gegeven door:
V AD  500 en VBC  62,5
De arbeid die door het systeem op de omgeving wordt geleverd is gelijk aan de
oppervlakte van het gebied dat wordt begrensd door de twee adiabaten en de
twee isochoren.
Arbeid verricht door de veldkracht in een radiaal veld (veld gecreëerd door een
puntlading)

er

FA

FB
De veldkracht werkend op de lading Q’ gelegen op een afstand r van de lading Q (die

Q  Q ' 
het veld opwekt) wordt bepaald door de volgende uitdrukking: F  k 2 er . De
r
arbeid geleverd door die kracht, om de puntlading Q’ van A naar B te verplaatsen, is
rB
dan: W   k 
rA
1 1
Q Q'
dr

k

Q

Q
'

  
r2
 rA rB 
De arbeid kan dus berekend worden door de volgende integraal:
500
W
  pCD V   pAB V   dV
in J
62,5
Referenties
Herweyers, G. en Ramboer D., Toegepaste wiskunde 1: Fundamentele wiskundige
begrippen en technieken, Acco
Herweyers, G. en Ramboer D., Toegepaste wiskunde 2: Calculus, Acco (verschijnt
binnenkort)
Dag van de wiskunde 2012
D. Ramboer
24