geluid - DPB Brugge

sinusfuncties – geluid – muziek
Een wiskundige en muzikale zoektocht naar welluidendheid
door Chris Cambré
[email protected]
http://wiskunde-interactief.be
uitgewerkt voor wie over het muurtje van de eigen discipline durft kijken
Je kunt dit verhaal interactief lezen en beluisteren op mijn website:
http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/0fu_5gon_sinusgeluid.htm
Een zoektocht naar welluidendheid
1. Frequenties en hun verhoudingen
1.1 Geluid
Geluid is de waarneming van een verandering van druk in de lucht of een ander medium, b.v. water.
Deze verandering plant zich voort door dit medium als een golf. De drukgolf van deze trilling wordt
weergegeven door een sinusfunctie. Sinusfuncties van het type f(x) = a . sin( b . x ) zijn periodieke
functies:
In geluidsgolven bepaalt de amplitude de
geluidssterkte en de periode de toonhoogte. Een
trilling met een kortere periode trilt sneller en
nemen we waar als een 'hogere' toon. Het aantal
trillingen per seconde noemt men de frequentie,
met als eenheid Herz (Hz). Een frequentie van 440
Hz wil zeggen dat het juist 1/440 van een seconde
duurt om het patroon van de sinusfunctie een keer
te doorlopen. Wiskundig kunnen we ook zeggen:
“de sinusfunctie heeft als periode 1/440.”
- De functie f(x) = sin (x) heeft een periode van 2π.
- De functie f(x) = sin (b. x) heeft een periode van
2π/b.
- De functie f(x) = sin (440. 2π x) heeft dus als periode 2π/(440. 2π) = 1/440.
Een toon met een frequentie van 400 Hz wordt voorgesteld door de functie f(x) = sin (440. 2π x)
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 1
1.2 Een toonsysteem
Theoretisch kan je alle willekeurige frequenties combineren tot muziek. Toch zingt ieder van ons
zonder problemen do-re-mi-fa-sol-la-si-do mee met de Sound of Music. Om samen muziek te maken,
kunnen we niet zonder:
- een systeem van tonen die bij elkaar passen.
- een referentietoon voor muzikanten en instrumentenbouwers.
Toets je op een piano een la = 440 Hz in, dan neem je een luchtdrukgolf waar die 440 keer per
seconde trilt. Maar op een piano staan niet één maar meerdere la's:
De toonafstand tussen twee opeenvolgende la's noemt men een octaaf. Speel je een la een octaaf
hoger, dan klinkt een trilling met een frequentie die tweemaal zo hoog is. Speel je een la een octaaf
lager, dan is de frequentie van de trilling maar half zo groot.
De naam octaaf verwijst naar het cijfer 8. Ons toonsysteem is inderdaad opgebouwd uit toontrappen,
waarbij het octaaf de 8e trap is. De tonen tussen de la van 440 Hz en zijn octaaf van 880 Hz hebben
een frequentie daar tussenin. De toontrappen binnen een octaaf worden in stijgende volgorde
genummerd en vormen een toonladder.
1.3 Toonladders
"Zing of speel eens een toonladder".
De kans is groot dat je op deze vraag iets te horen krijgt als do – re – mi – fa – sol – la – si – do.
Deze opeenvolging komt op een piano overeen met de
naast elkaar liggende witte toetsen. De toonladder met
enkel deze stamtonen noemt men de 'diatonische
toonladder'. Merkwaardig is dat de afstand tussen de
verschillende tonen soms een hele toon is en soms een
halve.
Je hebt de neiging om te zeggen: “Voeg die twee halve tonen samen, dan heb je meer logische
toonladder, met enkel hele toonafstanden”. Maar misschien is alles toch niet zo toevallig. De sleutel
ligt in het onderzoek van samenklinkende tonen.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 2
1.4 Samenklinkende tonen
Klinken twee tonen samen, dan kan je ook dit resultaat voorstellen door een sinusfunctie.
Van twee samenvallende sinusfuncties zeggen we dat ze in fase zijn. De snijpunten met de
evenwichtslijn (de zogenaamde 'knopen') vallen samen. Tellen we beide functies op, dan versterken
ze elkaar. De maximale uitwijking (=amplitude) van de somfunctie is gelijk aan de som van de uitwijking
van de aparte functies.
Is de tweede sinusfunctie lichtjes verschoven t.o.v. de eerste, dan spreken we van een faseverschil.
Omdat de toppen niet samenvallen, is de amplitude kleiner dan wanneer ze in fase zijn.
1.5 Verhoudingen tussen samenklinkende tonen
Sommige samenklanken ervaren we als welluidend, andere dan weer niet. De sleutel ligt in de
frequenties van de verschillende tonen. De somgolf, gevormd door de samenklank van twee tonen van
een toonladder is ook periodiek. En wat blijkt? Hoe korter de periode van de samenklank, hoe
welluidender we hem ervaren. De noemer van de frequentieverhouding bepaalt de welluidendheid
van de samenklank. Hoe kleiner deze noemer, hoe welluidender.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 3
De periode van de samenklank grondtoon-octaaf is even groot als de periode van de grondtoon.
We ervaren een octaaftoon nauwelijks als een andere toon en de samenklank grondtoon - octaaf klinkt
heel welluidend.
De periode van de samenklank grondtoon-kwint is dubbel zo lang als de periode van de grondtoon.
Een kwint klinkt heel welluidend. Naast octaaf klinken ook kwint, kwart en terts (in dalende volgorde)
nog welluidend. Andere samenklanken hebben een veel langere periode.
De periode van de samenklank grondtoon- secunde of septime is acht maal zo lang als de periode van
de grondtoon. Deze samenklanken ervaren we spontaan niet als welluidend. In de muziek worden deze
samenklanken gebruikt om een gevoel van spanning op te roepen.
1.6 Klankkleur
Wanneer de pijpen van een orgel worden aangeblazen met lucht, ontstaat geluid van diverse
golflengtes. Alleen het geluid met een golflengte die past in de lengte van de pijp, kan blijven bestaan.
De meest eenvoudige golf bepaalt de basistoon die we waarnemen.
geluidssnelheid = frequentie . golflengte (v = f . l) Met een geluidssnelheid van ca. 343 m/sec kan je
de lengte van een fluit of orgelpijp berekenen voor een willekeurige geluidsfrequentie.
Ook golven waarbij de golflengte 'past' bij de lengte van de pijp kunnen een staande golf veroorzaken.
Bij instrumenten en de menselijke stem klinken zogenaamde harmonische tonen of boventonen mee.
Deze bepalen de kleur van de toon. Wat zijn nu de frequentieverhoudingen van deze boventonen? We
weten hierbij:
een verhouding 2/1 bepaalt een octaaf (do - do)
een verhouding 3/2 bepaalt een kwint (do - sol)
een verhouding 5/4 bepaalt een grote terts (do - mi)
delen
door
verhouding
toontrap
toon
do
2
2/1
octaaf
do
3
3/2
kwint van octaaf
sol
4
4/1
dubbel octaaf
do
5
5/4
grote terts
van dubbel octaaf
mi
6
6/4 = 3/2
kwint
van dubbel octaaf
sol
Bij een verdere verdeling treden ook tonen op die niet zuiver klinken. Zo kunnen verdelingen in 7, 11,
13 of 14 niet herleid worden tot een harmonisch klinkende frequentieverhouding. Bij het bouwen van
instrumenten komt het er op aan om al experimenterend het relatief aandeel van deze storende tonen
te verminderen en zo mogelijk uit te schakelen. Dit is niet altijd te vermijden. Zo produceren bronzen
klokken ook niet-harmonische boventonen die heel moeilijk te controleren zijn.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 4
2. Een toonsysteem met 7 stamtonen
2.1 Opstapelen van kwinten
In de natuurlijke boventonenreeks komen vooral de verhoudingen 2/1 en 3/2 voor. Pythagoras (6e
eeuw v.C.) is er van overtuigd dat alles in de natuur kan beschreven worden in verhoudingen van
natuurlijke getallen en bouwt zijn toonsysteem op vanuit deze verhoudingen.
De frequentieverhouding 2 vormt de basisverhouding is (= octaafverhouding). Pythagoras stelt ook
vast dat de verhouding 3/2 heel welluidend is (= kwintverhouding). Deze verhouding gebruikt hij om
het octaaf te verdelen. Net zoals 'de vriend van mijn vriend is mijn vriend' stapelt hij kwintverhouding
op kwintverhouding. De opbouw van het toonsysteem steunt dus op volgende bewerkingen:
- Een octaaf verhogen (ook octaveren genoemd) = . 2
- Een octaaf verlagen = : 2
- Een kwint verhogen = . 3/2
- Een kwint verlagen = : 3/2
De verdeling van een octaaf in hele en halve toontrappen is geen keuze van Pythagoras.
Ze is een gevolg de aanpak om het basisinterval te verdelen: het gebruiken van de 3/2 verhouding.
Stop je niet bij 7 tonen, dan kan je verder gaan tot het octaaf verdeeld is in enkel halve
toonafstanden. Maar dan begint het bouwsel van frequentieverhoudingen te wankelen.
Uit een pianoklavier zou je kunnen afleiden dat een interval van 12 kwinten gelijk is aan 7 octaven.
Want in kwintstappen belanden we na 12 kwinten op een si#. Tussen si en do is maar een halve toon,
dus de si# moet samenvallen met een do.
2.2 Oeps… een probleempje
2.2.1 Het komma van Pythagoras
(of waarom een stapeling van kwinten niet in een geheel aantal octaven past, ook al lijken 7 octaven
en 12 kwinten allebei op dezelfde toon uit te komen...)
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 5
Wanneer we spreken over ‘de kwint van de kwint van een grondtoon’, zeggen we dat we kwinten
optellen. Maar hiermee begeven we ons op glad ijs. Wiskundig zijn we immers helemaal niet aan het
optellen. We vermenigvuldigen een frequentie met een factor 3/2. Dit is geen taalpurisme maar
maakt een fundamenteel verschil. Bij optellen tel je lineair, bij vermenigvuldigen tel je exponentieel.
We plaatsen beide modellen naast elkaar.
lineair model:
In gelijke stapjes tellen we met elke toontrap telkens 1/12 bij en komen de sol tegen op 7/12.
Het octaaf komen we tegen op 12/12 = 1.
do
0
do#
1/12
re
2/12
re#
3/12
mi
4/12
fa
5/12
fa#
6/12
sol
7/12
sol#
8/12
la
9/12
la#
10/12
si
11/12
do
12/1
2=1
12 kwinten optellen komt overeen met 12 keer 7/12 = 7 octaven:
exponentieel model:
De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon. Bij elke toontrap van een
halve toon vermenigvuldigen we de frequentie met 2(1/12) .
do
do#
re
re#
mi
fa
fa#
sol
sol#
la
la#
si
1
21/12
22/12
23/12
24/12
25/12
26/12
27/12
28/12
29/12
210/12
211/12
do
212/12 =
2
We rekenen dus in een exponentieel verband met groeifactor 2(1/12). Rekenen we met stappen
van octaven, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 2. n octaven hebben verhouding
van 2n ten opzichte van de grondtoon.
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2.
n kwinten hebben een verhouding (3/2)n ten opzichte van de grondtoon. Elke wiskundige weet dat
een macht van 3 altijd oneven is, en dus nooit gelijk zal zijn aan een macht van 2. Een geheel
aantal kwinten (verhouding 3/2) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal octaven (verhouding
2/1).
De verhouding tussen 12 kwinten = (3/2)12 en 7 octaven (= 27)
noemt men het komma van Pythagoras.
(3/2) 12 = 531441
531441
:
128
=
=1,0136
27
4096
524288
Met andere woorden: 12 kwinten = 1,0136 keer 7 octaven
In ons toonsysteem is een do is een halve toon hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn aan
een do. Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven.
Is dat nu een probleem: één kommaatje na 7 octaven? Om gewone liedjes te zingen is dat geen enkel
probleem. Het wordt enkel een probleem wanneer je een toonsysteem, waarin de toonafstanden
afhankelijk zijn van de toontrap, wil combineren met de vrijheid om je toonladder niet alleen met do
te beginnen, maar even goed met b.v. een fa of la. Want, al kom je een si# nog niet zo snel tegen, een
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 6
si# die verschilt van een do doet heel het systeem wankelen. Een la b is dan ook niet gelijk aan een
sol#, een fa# niet aan een sol b enz. Speel je b.v muziek in de toonaarden Eb groot of c (do klein) dan
moet je eigenlijk een Ab spelen. Speel je in de toonaarden A of E dan moet je een G# spelen en dat
wordt moeilijk wanneer op een klavier voor de twee verschillende tonen slechts een toets voorzien
wordt. Je hebt dan 3 mogelijkheden:
- Ofwel maak je de keuze om slechts een van beide juist te stemmen.
- Ofwel kies je voor het midden van beide tonen en speel je ze allebei een beetje onzuiver.
- Ofwel bouw je een klavier met aparte toetsen voor de twee tonen.
2.2.2 Kwinten en tertsen – het syntonisch komma
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2.
n kwinten hebben een verhouding (3/2)n ten opzichte van de grondtoon.
Een reine terts heeft een verhouding 5/4 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 5/4.
n tertsen hebben dus een verhouding (5/4)n ten opzichte van de grondtoon.
Ook 5 en 3 zijn onderling ondeelbaar. Een macht van 3 zal nooit gelijk zal zijn aan een macht van 5.
Een geheel aantal tertsen (verhouding 5/4) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal kwinten
(verhouding 3/2). De 4 kwinten komen hoger uit dan de 7 tertsen. Een terts, berekend vanuit
gestapelde kwinten, heeft als verhouding (3/2)4 : 4 = 81/64 = 1,2656. Een reine terts heeft als
verhouding 5/4 = 1,25. De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma.
Met andere woorden: 4 kwinten = 1,0125 keer 7 tertsen
2.2.3 Een onoplosbaar probleem
Een toonsysteem maken waarin zowel octaven, kwinten als tertsen klinken in deze verhoudingen blijkt
onmogelijk. De getallen 2, 3 en 5 zijn onderling ondeelbaar. Machten van 3 en machten van 5 komen
nooit overeen met machten van 2. Een stapeling van kwinten of tertsen komt dus nooit overeen met
een geheel aantal octaven.
2.3 De reine stemming
Tertsen, berekend vanuit de stapeling van kwinten (= 81/64 = 1.266), komen niet overeen met de
frequentieverhouding 5/4 = 1.25 in de reeks natuurlijke boventonen. We zeggen dat ze niet rein zijn.
Niet-reine tertsen vormen een hoorbaar probleem in een Pythagorastoonladder.
Je kunt het probleem ontwijken en tertssamenklanken vermijden. Een alternatief is bij de terts de
afhankelijkheid van de kwint op te geven en de terts gewoon te definiëren met de reine verhouding
5/4. Verder kan je ook de sext en de septiem berekenen vanuit de terts. De sext is de kwart van de
terts en de septiem is de kwint van de terts. Het resultaat is de zogenaamde reine stemming. Terts,
sext en septiem krijgen een meer eenvoudige frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon dan bij
Pythagoras. De lagere terts is opvallend hoorbaar. Rekenen we vanuit een la (440 Hz) dan komt de
terts van Pythagoras uit op 557 Hz. De reine terts komt hoorbaar lager uit op 550 Hz.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 7
toontrap
berekening
verhouding
door kwinten en tertsen frequenties
prime (C)
C
1/1
440 Hz
1/1
secunde (D)
C-G-D
3/2 x 3/2 : 2 9/8
2x kwint : 1 octaaf terug
495 Hz
9/8
terts (E)
C-E
1xterts
5/4
550 Hz
81/64
kwart (F)
F-C
2 : 3/2
dalende kwint van octaaf
4/3
587 Hz
4/3
kwint (G)
C-G
3/2
3/2
660 Hz
3/2
sext (A)
C-E-A
1x terts en 1x kwart
5/4 x 4/3
5/3
733 Hz
27/16
septime (B)
C-E-B
1x terts en 1x kwint
5/4 x 3/2
15/8
825 Hz
243/128
octaaf (C)
C-C
2/1
2/1
880 Hz
2/1
1/1
5/4
frequentie
verhouding
vanuit la = 440 Hz Pyhtagoras
Met de reine stemming los je het tertsprobleem op, maar je creëert wel een gigantisch nieuw
probleem, want de hele toonafstanden binnen een octaaf zijn niet meer gelijk. Dit wordt duidelijk op
een klavier met enkel de zeven stamtonen.
Secunde, kwart en kwint zijn berekend vanuit (iets te grote) kwintverhoudingen. Terts, sext en
septiem (de gearceerde toetsen) zijn berekend vanuit de (iets kleinere) tertsverhouding. Het
resultaat is dat alle hele toonafstanden niet meer gelijk zijn. Sommige hebben als verhouding 9/8
andere 10/9. We spreken van grote hele tonen en kleine hele tonen.
De terts klinkt nu wel welluidend en rein, maar
dat alle hele tonen niet gelijk zijn, heeft
verstrekkende gevolgen. Want hoe groot zijn
bijvoorbeeld de toonafstanden sol-la en la-si?
in
C:
do re mi fa sol
1 2 3 4 5
la
6
klein
in
G:
sol
1
la
2
groot
si do
7 8
groot
sol - la (kwint-sext) is een kleine hele toon.
la - si (sext-septiem) is een grote hele toon.
si do re mi fa sol
3 4 4 6 7 8
klein
sol - la (prime-secunde) is een grote hele toon.
la - si (secunde-terts) is een kleine hele toon.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 8
In de reine toonladder is de afstand tussen twee tonen afhankelijk van de toonladder. Je kan dus maar
rein stemmen en spelen in een vooraf gekozen toonaard. Wil je in een andere toonaard spelen, dan
moet je het instrument herstemmen en de onderlinge verhoudingen aanpassen.
De droom is niet te realiseren: reine verhoudingen laten klinken in een toonsysteem waarbinnen de
toonverhoudingen enkel bepaald worden door het nummer van de toontrap in de toonladder. In elk
toonsysteem moet je leren omgaan met onzuiverheden en imperfectie. Doorheen de
muziekgeschiedenis hebben wetenschappers en muzikanten zich over het probleem van stemmingen
en frequentieverhoudingen gebogen. In verschillende stijlperiodes nam men andere keuzes.
Muziektheoretici, instrumentenbouwers en wetenschappers formuleerden nieuwe oplossingen in een
zoektocht naar welluidendheid.
Wij hebben in die mate leren omgaan met een onzuiver toonsysteem dat vele mensen niet eens weten,
laat staan horen, dat onze hedendaagse piano eigenlijk ‘vals’ wordt gestemd.
Om dat te kunnen, maken stemmers gebruik van een merkwaardig fysisch verschijnsel dat men
‘zwevingen’ noemt.
2.4 Zwevingen
Twee tonen die nauwelijks van elkaar verschillen ervaren we als storend of 'vals'. Maar hoe ziet de
grafiek van een zo een trilling er uit? Wanneer een la (220 Hz) samenklinkt met geluidstrilling van 216
hoor je een zweving. Met de regels voor het optellen van sinussen, kan je de som schrijven als een
functie met twee factoren:
- de sinusfactor is de snelle trilling met een frequentie van 218 Hz (het gemiddelde van de twee).
Het is deze factor die de toonhoogte bepaalt, net iets lager dan de la van 220 Hz.
- Deze sinusgrafiek lijkt te trillen tussen de twee cosinusfuncties g1 en g2 = - g1. De functie g1 vinden
we terug als de cosinusfactor van de somfunctie. Ze heeft een veel langere periode dan de
sinusfunctie die de toonhoogte bepaalt en speelt de rol van amplitude.
De absolute waarde van de cosinusfactor neemt 4 keer per seconde de maximale waarde 2 aan. Omdat
de amplitude van de toon die we horen verandert, horen we zwevingen in de toonsterkte. Het aantal
zwevingen per seconde is gelijk aan het frequentieverschil. Gitaarsnaren of orgelpijpen kan je
stemmen door deze zwevingen weg te werken. Wanneer twee tonen slechts lichtjes van elkaar
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 9
verschillen, zal de toon met de langste periode steeds meer achterlopen. De twee golven geraken uit
fase. Na verloop van tijd komen we aan een punt waar beide in tegenfase zijn. Omdat dit patroon zich
blijft herhalen, horen we een pulserend geluid. Visueel kunnen we dit ook duidelijk maken door een
strook met verticale streepjes. Wanneer het aantal streepjes in de tweede verdeling kleiner is dan in
de eerste, dan zal het binnen de strook meerdere keren gebeuren dat de streepjes van de tweede
verdeling net samenvallen met de witte gaatjes in de eerste. Je ziet een vlekachtige verdichting binnen
het streepjespatroon. Het aantal van deze verdichtingen binnen de strook is gelijk aan het verschil
tussen het aantal streepjes.
3. Een muzikale en rekenkundige zoektocht
3.1 Middeleeuwen – kerktoonladders en de eerste meerstemmigheid
De zogenaamde 'grote tertstoonladder in do groot' is een
opeenvolging van de 7 stamtonen do-re-mi-fa-sol-la-si.
Wanneer we een toonladder zingen, plaatsen we spontaan
dezelfde afstanden van hele en halve noten op dezelfde
plaatsen
in
de
toonladder,
met
welke
noot
we
ook
beginnen.
Zo zingen we even vlot een grote tertstoonladder vanuit een la zonder te moeten nadenken over
toonafstanden. Zonder nadenken zingen we eigenlijk: 'la - si - do# - re - mi - fa# - sol# - la'. In de
middeleeuwen kent men reeds deze opeenvolging, maar men gaat er ander mee om. In de
zogenaamde kerktoonladders hangt de afstand tussen de tonen niet af van de plaats binnen de
toonladder. Wanneer een toonladder begint met een andere toon dan do, worden tonen niet
verhoogd of verlaagd, maar behouden ze hun toonhoogte. De volgorde waarin hele en halve tonen
elkaar afwisselen hangt dus enkel af van de begintoon.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 10
Het gregoriaans is eenstemmige muziek, dus het componeren van samenklanken stelt zich al niet.
Maar ook wanneer de eerste meerstemmigheid zich ontwikkelt in middeleeuwen, blijft de muziek
melodisch gecomponeerd. Dat wil zeggen: De componist schrijft in de eerste plaats melodielijnen en
geen opeenvolging van samenklanken waarin elke toontrap een welbepaalde functioneel verband
heeft met de grondtoon.
In de 12e eeuwse meerstemmige muziek aan de kathedraalscholen steunen samenklanken op twee
verhoudingen: octaven en kwinten en niet op de als vals ervaren terts.
3.2 Renaissance – de terts verschijnt
In de 16e eeuw schrijft Orlandus Lassus heel vernieuwende muziek. Samenklanken zijn geen toevallige
momentopnames van afzonderlijke melodielijnen. Het 4-stemmige Mon coeur se recommande a vous
is duidelijk gecomponeerd als een opeenvolging van samenklanken. De steunpunten van de compositie
zijn samenklanken die niet alleen op kwinten en octaven gebaseerd zijn, maar op drieklanken,
gevormd door grondtoon – terts – kwint. De terts wordt niet langer vermeden als ‘vals klinkend’, maar
wordt juist een middel om een samenklank te kleuren. Tot op vandaag blijft de samenklank grondtoon
– terts – kwint de basis waarop gecomponeerd wordt, zowel in de klassieke muziek als in
basisgitaarakkoorden. Muziekwetenschappers en wiskundigen staan voor een grote uitdaging. Is er
een mogelijkheid om rein te spelen en toch muziek te kunnen maken in verschillende toonaarden? Ze
volgen hierbij twee sporen:
1. We zoeken een systeem waar zoveel mogelijk tonen rein klinken en laten tonen in verafgelegen
toonaarden vals. Deze stemmingen noemen we ‘ongelijkzwevend’, want de onzuiverheden zijn niet
voor alle tonen gelijk.
2. Om in alle mogelijke toonaarden te kunnen spelen verdelen we de onzuiverheden gelijk over alle
tonen. Deze stemmingen noemen we daarom gelijkzwevend. Een systeem waarin in elke toonaard
elke toonafstand gelijk is, werd al in die 16e eeuw uitgewerkt als theoretisch concept, maar men zal er
enkele eeuwen over doen eer het algemeen ingang vindt in onze ‘gelijkzwevende stemming’.
3.3 Middentoonstemming met reine tertsen
“Hoe krijg je binnen een werkbaar toonsysteem een terts rein” wordt de kernvraag. De
middentoonstemming lijkt het ei van Columbus voor het stemmingsprobleem. In plaats van (zoals in
de stemming van Pythagoras) vast te houden aan reine kwinten en de reine tertsverhouding op te
geven, draait men de rollen om. Men geeft de reine kwintverhouding op om reine tertsen te krijgen.
Dat kan enkel gerealiseerd worden door de kwint iets kleiner te maken. De kwintverhouding wordt
hierbij verkleind van 3/2 = 1,5 tot 4√5 = 1,49535…
De terts verhouding is gelijk aan 4 kwinten : 2 octaven = 4√5 x 4√5 x 4√5 x 4√5 :4 = (4√5)4 : 4 = 5 : 4.
Voor een wiskundige is deze oplossing logisch. Welke verhouding geeft, tot de vierde macht verheven
en gedeeld door vier 5/4? Uiteraard 4√5!
Er is nu geen verschil tussen grote en kleine hele tonen, want de secunde (D), ligt precies in het
midden van de terts C-E. Vandaar komt de naam “middentoonstemming”. Resultaat:
- De terts is perfect rein.
- De kwint is iets te klein maar 1,49535 wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding.
- Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 11
In volgende tabel lees je de frequentieverhoudingen af van de middentoonstemming. In de drie laatste
kolommen berekenen we de frequenties van de toonhoogtes, vanuit la A = 440 Hz en dit voor drie
stemmingen: de middentoonstemming, de reine stemming en onze hedendaagse stemming.
toontrap
berekening
door kwinten
verhouding
frequenties
middentoon rein
gelijkzwevend
prime (C)
C
1/1
440 Hz
440 Hz
440 Hz
secunde
(D)
C-G-D
2x kwint : 1 octaaf terug
4
492 Hz
495 Hz
494 Hz
terts (E)
C-G-D-A-E
4x kwint : 2 octaven terug
(4√5)4 : 4
5/4
550 Hz
550 Hz
554 Hz
kwart (F)
F-C
dalende kwint van octaaf
2 : 4√5
1,3375 588 Hz
587 Hz
587 Hz
kwint (G)
C-G
4√5
1,4954 658 Hz
660 Hz
659 Hz
sext (A)
C-G-D-A
3x kwint : 1 octaaf terug
(4√5)3 : 2
1,672
735 Hz
733 Hz
740 Hz
septime (B)
C-G-D-A-E-B
5x kwint : 2 octaven terug
(4√5)5 : 4
1,87
822 Hz
825 Hz
830 Hz
octaaf (C)
C-C
2/1
1/1
√5 x 4√5 : 2 1,118
2/1
880 Hz
880 Hz 880 Hz
Maar… Met een kwintverhouding 4√5 komen 12 kwinten uit op ( 4√5)12 = 125. Terwijl 12 reine kwinten
iets hoger uitkomen dan 7 octaven (129,7/1 t.o.v. 128/1), zijn 12 middentoonkwinten dramatisch veel
te klein (125/1 t.o.v. 128/1). De kwint die de kwintencirkel sluit wordt dus veel te groot. En weer blijkt
het probleem niet opgelost…
probleem
De kwintencirkel sluit zeer slecht. De sluitende kwint is veel te groot.
Ze wordt wolfskwint genoemd en moet vermeden worden.
muziek
Vermijden van wolfskwint beperkt nog de onafhankelijkheid van toonaarden.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 12
3.4 Barok - de middentoonstemming bijgestemd
Een slecht sluitende kwintencirkel beperkt het aantal bruikbare toonaarden. Deels experimenterend
op het terrein, deels theoretisch bestudeerd, gaat men op zoek naar stemmingen die een grotere
vrijheid bieden. Deze stemmingen hebben een uitgangspunt gemeen: ze zijn een compromis tussen
harmonische flexibiliteit en zo rein mogelijke tonen. De ene geeft een groter gewicht aan de
flexibiliteit, de ander streeft naar zo veel mogelijk zo rein mogelijke tonen.
Het compromis bestaat er in om het aantal verlaagde kwinten in de kwintencirkel te beperken.
In de 17e en 18e ontwikkelen diverse componisten uiteenlopende stemmingen. Omdat slechts een
beperkt aantal kwinten verkleind worden, zijn de kwinten in de kwintencirkel niet meer gelijk, en zijn
ook de onderlinge verhoudingen tussen de verschillende toontrappen in verschillende toonaarden niet
meer gelijk. Je kunt niet zeggen: "zo klikt deze stemming", maar wel "zo klinkt deze toonaard in deze
stemming." Het uitgangspunt van elke poging is wel steeds hetzelfde:
- zo rein mogelijke tertsen in de meest gebruikte toonaarden
- een zo goed mogelijk aansluitende kwintencirkel
Werckmeister
Een van de oplossingen is 4√5 aan te houden, maar ze niet op alle kwinten toe te passen. Eveneens
begin 18e eeuw past Werckmeister deze methode toe. Hij gebruikt in zijn kwintencirkel 4
middentoonkwinten en 8 reine kwinten. De middentoonkwinten sluiten niet op elkaar aan. Door de
schikking van de 4 middentoonkwinten neemt de nauwkeurigheid
van de tertsen af voor tertsen die
verder in de kwintencirkel liggen.
Omdat de afwijkingen ongelijk
verdeeld zijn over de verschillende
tonen van de toonladder, spreekt
men van een ongelijkzwevende
stemming.
Je kunt in deze stemming alle
toonaarden gebruiken en de
verschillen met de reine afstanden
blijven beperkt. Maar de verschillende combinaties van grotere en kleinere tertsen en/of kwinten
geven elke toonaard zijn eigen kleur. Barokcomponisten als J.S. Bach buiten dit verschil expressief uit.
In de Mattheuspassie, waarin Bach het lijdensverhaal van Christus verklankt in een 3 uur lange
compositie, wisselen objectief vertellen, kwaadheid, verdriet en reflectie elkaar af. Bach kiest in de 78
nummerdelen weloverwogen welke toonaard hij gebruikt. Als ‘het volk’ een tweede keer ‘Kruisig hem!’
roept, schrijft hij deze koorpassage een toon hoger dan de eerste keer om de spanning te verhogen.
En toonaarden met meer wijzigingstekens gebruikt hij steeds in de meest emotionele passages.
3.5 Gelijkzwevende stemmingen
Een veel radicalere keuze dan de vele compromisstemmingen is het kiezen voor een gelijkzwevende
stemming. Men probeert niet langer de tertsen en kwinten in een of meerdere toonaarden zo rein
mogelijk te doen klinken. Hoofdzaak wordt de harmonische vrijheid. Als de kwintencirkel sluit zonder
een storende kwint die ofwel veel te laag ofwel veel te hoog is, dan kan een muzikant wisselen van
toonaard onder zijn instrument te moeten herstemmen.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 13
Dergelijke systemen waren al lang bekend. Simon Stevin en de vader van Galileo Galilei werkten reeds
in de 16e eeuw dergelijk systemen uit. Maar het opgeven van rein klinkende tonen is eeuwenlang een
net iets te grote stap. De evolutie naar een gelijkzwevende stemming wordt maar echt ingezet op het
einde van de 18e eeuw. In het classicisme en vooral de romantiek begint het benutten van de
harmonische mogelijkheden zwaarder door te wegen dan het spelen van reine tonen.
Net zoals een romanschrijver naast een hoofdintrige secundaire vertellagen introduceert, beperken
componisten zich niet langer tot één toonaard, maar bouwen steeds ingewikkeldere harmonische
constructies op. Maar de harmonische ruimte die ze hiervoor nodig hebben, is alleen mogelijk wanneer
de kwintencirkel naadloos aansluit.
3.5.1 Gelijkzwevende stemming met 12 halve tonen
De verdeling in 12 trappen is de gelijkzwevende stemming van onze chromatische toonladder:
do(1) - do#(2) - re(3) - mi(4) - fa(5) - fa#(6) - sol(7) - sol#(8) - la(9) - la#(10) - si(11) - do(12).
Hoe verdelen we dan een octaaf in 12?
Een octaaf vind je door de frequentie van een toon te vermenigvuldigen met 2. We hebben dus te
maken met een exponentieel verband met groeifactor 2. Wiskundig is de oplossing simpel. We maken
de stapgrootte 12 keer kleiner. De groeifactor wordt dus 2(1/12).
In 12 stapjes ga je van do naar do en hierin vormt de kwint de 7e trap.
- de frequentie van do# vind je als de frequentie van do . 2(1/12).
- de frequentie van re vind je als de frequentie van do . 2(2/12).
- de frequentie van re# vind je als de frequentie van do . 2(3/12) enz.
De terts wordt hierin de 4e stap met als frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon 2(4/12).
De kwint wordt hierin de 7e stap met als frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon 2(7/12).
Vergelijken we deze gelijkzwevende stemming met de reine stemming en de middentoonstemming,
dan zien we dat de kwint tussen de verlaagde middentoonkwint en de reine kwint in zit. Terwijl de
middentoonterts wel rein is, ligt de gelijkzwevende terts duidelijk hoger. Ook de sext en septiem
liggen merkbaar hoger dan in beide andere stemmingen, maar we zijn inmiddels zo gewoon aan deze
stemming dat het niet eens in ons opkomt om deze intervallen als onzuiver te ervaren.
3.5.2 Het 31-tonensysteem van Huygens
Niemand zegt dat we een octaaf enkel in 12 halve tonen mogen onderverdelen. We kunnen
onbevooroordeeld de vraag stellen: "Kunnen we een octaaf zo onderverdelen dat alle toontrappen
gelijk zijn en tegelijk rein (of toch minstens zo rein mogelijk) klinken?"
Huygens zoekt een verdeling van het octaaf in p stapjes, zo dat de q-de stap overeenkomt met de
middentoonkwint 4√5. Wiskundig wordt het probleem nu: bestaat er een breuk q/p zo dat 2q/p = 4√5?
(Geheugensteuntje: 4√5 is de verlaagde kwintverhouding die tot een reine terts leidt) We kunnen deze
gelijkheid herleiden tot: q/p = 2log(51/4) = 0.58048…
Dit irrationaal getal gaat Huygens benaderen door een
kettingbreuk. Hij vind volgende breuken:
1/2 3/5 4/7 7/12 11/19 18/31 101/174 119/205.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 14
Volgens de laatste breuk kan je een octaaf onderverdelen in 205 stapjes, maar instrumenten maken
met deze verdeling is wat anders. Huygens stelt voor om een octaaf in 31 toontrappen te
verdelen, zodat je op elk instrument muziek kan spelen in om het even welke toonaard. Joan Albert
Ban, priester en bevriend met Descartes en Huygens, ontwikkelt het "Volmaekte Klaeuwier". Omdat
de afstand tussen de tonen en de omvang niet te groot zou worden, ontwerpt hij tussenliggende
toetsen die boven elkaar liggen in verschillende rijen.
Ban kan zo onzuiverheden opvangen zonder compromissen te doen, maar een succes wordt zijn
uitvinding niet. Het instrument blijkt toch niet zo praktisch…
Links
Muziekgeschiedenis
De link ‘In klank en beeld’ op mijn website in muziekfragmenten leid je
naar een GeoGebraboek met muziekfragmenten waar je de schets van
het omgaan met tonaarden en stemmingen doorheen de
muziekgeschiedenis kan bekijken en beluisteren.
Psychoakoestiek
Op de pagina ‘muzikale zoektocht’ van mijn website lees je onder
‘gelijzwevende stemming’ meer over psychoakoestiek. Deze wetenschap
onderzoekt hoe de mens geluid waarneemt. Deze waarneming hangt niet
enkel af van de geluidsgolf zelf. Ook ons oor en onze hersenen spelen
een rol. M.a.w. we horen niet gewoon wat er gespeeld wordt, maar wat ons oor en hersenen er van
maken.
Ook blijkt dat een zanger of instrumentist zich niet laat bepalen door wiskundige berekeningen van
toonsystemen. Hij streeft naar reine verhoudingen en laat zich geen piano-oren aannaaien.
Geluid en GeoGebra
Klik in de menubalk van het GeoGeobra scherm op ‘Help’ en selecteer ‘Handleiding’. Typ in de
zoekbalk ‘PlaySound’. In de wikipagina’s lees je hoe je geluid kunt gebruiken in GeoGebra bestanden.
Chris Cambré Sinusfuncties – geluid –muziek
pag. 15