Elektromagnetisme en Licht

Elektrostatica
Magnetostatica
Elektromagnetisme  Licht
1
Elektrostatica
Magnetostatica
Inhoud
 
 
 Edl  0 &   E   /  0
 
 
 Bdl   0 I &   B  0
Elektromagnetisme  Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday
II. Zelfinductie & energie
III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven
Griffiths Chapter 7:
 Electromotive Force: §7.1
 Electromagnetic Induction: §7.2 t/m §7.2.2
2
Wet van Ohm
Wet van Ohm
Voorbeelden
3
Waarom stroomt lading?
J
Jf met f kracht/lading
 Jf  heet de “geleiding”
d.w.z. geleiders: 
isolatoren: 0
kracht/lading f
* batterij
* van de Graaff
* dynamo
* etc.
Materiaal
[]=(m)-1
___________________________
geleider
koper
610+7
goud
410+7
half-geleider silicium
30
germanium
2
isolator
rubber
10-14
glas
10-12
water
410-6
waarom J slechts  f ?
(empirisch
verband)
|v|  tijd
|v|  constant
tijd (t)
4
V=IR
Wet van Ohm
V.b. draadstuk
V=V
V=0


J E
I
A
l

R=1/(610+70.7510-6)
0.02 
 J  I  E  V 

A
l
 
V  I l  IR dus R  l

A
A
l
R ;
A
" weerstand [R]  "
Let op: =  E=0, R=0, V=constant
(ideale geleider; nu echte geleider!)
V.b. koperdraad:
1 meter lang
 1 mm  Opp=0.75 mm2
=610+7 (m)-1
 E V
 l
 I
 J  A
R0
2R0
R0 /4
 l 
" logisch":
A
 2l 
A
A
AA
Rl
R1/A
5
Vragen
I. Hoe snel “driften” de elektronen in een stroomdraad?
I=1A
 1 mm  Opp0.75mm2
NA=610+23/Mol
I
63.5g/Mol
ZCu=29; 2e-/Cu
Cu9g/cm3  #e-/m3 1.710+29
I  1A 

 v
1C


3

 v  Opp  C / e  e / m
1s
1C / s
OppC / ee / m3

1
0.751061.610191.710 29
5.1105m / s 51m / s 15cm / uur
II. Waarom is de stroom “direct” aan?
ophoping
van e-
I
Tenslotte: de stroom is een
collectief effect d.w.z. de
elektronen zijn net een rij
dominostenen: beginnen allemaal
tegelijk te bewegen!


I
 v 

Oppene 

e
lokale ophoping
 vertraagt inkomende e versnelt uitgaande edus: automatisch “compensatie”
mechanisme & instantaan! 6
Elektromotorische kracht
(EMK)
Definitie EMK
Inductie
Voorbeelden
7
Definitie EMK

 


J  f met f  f b  E
 
EMK   f dl  
E
kring
fb
E
kring
  
 f b  E dl
 
 
 
  f bdl   E dl   f bdl
kring
v.b.: voor een kring met:
- batterij met V0
- constante stroomdichtheid |J|=I/A
kring
kring
statisch0
 
 
EMK   f dl   f bdl
kring
kring
 
 E dl 

binnen batterij !
Voor alle duidelijkheid (hoop ik):
- dit is dus een statische opstelling
EMK
 kringintegraal van E is nul
- klein E-veld in de draad
- groot (tegengesteld) E-veld in de “batterij”
- chemie in batterij pompt elektronen
tegen het veld in van de + pool naar de – pool  fb
 
 E dl V 0
buiten batterij !

J 
dl
  dl  I 
 IR
kring 
kring A
dl
l
zie

A hiervoor
kring A
 R 
8
Inductie
Empirisch
d.w.z. gevolg experiment!
In geel: Lorentz kracht op e
B0
n̂
h
FL
|v|=ds/dt
s
B=0
R
(lampje)
beweeg stroomlus heen en weer
 gaat stroom lopen door weerstand R
  
EMK berekening: kracht/lad ing: f  v  B  vB
 
  
 EMK   f dl   v  Bdl  vBh
kring
Wat blijkt?
kring
magnetisch e flux : B 
 
 Bdo  Bhs
opp. kring
d B d  Bhs 
d B
ds

 Bh
  Bhv  EMK
EMK  
 V Ind 
dt
dt
dt
dt
9
Voor
liefhebbers
Een detail:
ten koste van wat loopt de stroom?
1. Niet ten koste van het externe B-veld!
Arbeid verricht door dit B-veld per ladingsdrager:
 


  

 
W 
 f dl 
 v B dl  0 want v // dl dus v  B  dl
verplaatsi ng
verplaatsi ng
Hiermee loopt er dus geen stroom door de weerstand!
2. Wel ten koste van persoon die aan stroomlus trekt!
Arbeid verricht door dit individu per ladingsdrager:
u: snelheid waarmee elektronen in draadlus bewegen
v: snelheid waarmee draadlus beweegt
W 
u
B
v h
-Ftrek


 F trek dl 
verplaatsi ng
  
 u  B dl
verplaatsi ng
h
 uB
 vBh
u/v
10
Wet van Faraday
Wet van Faraday
De “+” en de “–” tekens!
Voorbeelden
11
Beweeg magneet i.p.v. stroomlus!
B0
beweeg magneet heen en weer
 gaat stroom lopen door
weerstand R
|v|=ds/dt
Stroom identiek aan vorige voorbeeld:
(a) gebruik relativiteit principe
(b) doe gewoon de proef!
B=0
n̂
h
R
(lampje)
s
Wat is de EMK voor deze stroom?
- niet magnetisch want vlading=0
- dus elektrisch (niet statisch!)



d B


Wat volgt er uit EMK  
?

B  


dt
   E  do 0


 
 
  
t 
opp . kring 
EMK   f dl   E dl    E do   

kring
kring
opp . kring

   B
 E  
(Faraday)
Stokes 


 

t
d B d
B 


do
 Bdo  

dt dt opp . kring
12
opp . kring t

I.p.v. bewegend B-veld neemt B lineair af!
Laat B lineair afvallen in de tijd
 gaat stroom lopen door
weerstand R
B0
B=0
n̂
h
R
(lampje)
s
d B
EMK  
 V Ind
dt
B0
In dit alles kan de stroomkring
ook gewoon open staan!
In dat geval komt er gewoon
een induktie (Hall) spanning op
de uiteinden!
B=0
n̂
Vind
h
s
13
Let wel!
 
 E dl  0
Elektrostatisch (tijdsonafhankelijk):
 stationaire stromen
 stationaire verdeling van de lading
kring
Elektrodynamisch (tijdsafhankelijk):
 stroom die varieert
 verdeling van de lading die varieert

 
B
E  
t
  
 E  0
Wet van Faraday
14
Je klapt een paraplu uit in een magnetisch veld van 0,2 T. De
uiteinden van de baleinen zijn met een metaaldraad met R=0,1
Ohm (totale weerstand) verbonden. Het uitklappen duurt 0,3
seconde. De straal van de paraplu is 1 m.
Hoe groot is stroomsterkte in draad direct na uitklappen?
A
B
C
D
B
 20 A
7A
 0.2 A
0A
I=?
Voor uitklappen
Na uitklappen
van onderaf bekeken
(stroomdraad rondom in rood)
15
De “+” en de “-” tekens!
B0
B=0
n̂
h
FL
|v|=ds/dt
R
(lampje)
trek deze
kant op
Iind
s
Handig trucje (“wet van Lenz”):
richting v/d inductie stroom zodanig dat
de flux verandering gecompenseerd wordt
Bovenstaande situatie:
trek stroomlus naar rechts  B wordt kleiner
 inductiestroom Iind (zie figuur)
B-veld t.g.v. Iind parallel externe B-veld
16
Proef: opspringende ring
B-veld
B  0
I=0
metalen
ring
B  0
Geinduceerd
B-veld
I0
Iind 
afstoting

springt omhoog
17
Zwevende ring
18
Opspringende ring
19
Iin
B neemt af
Iind
trekt magneet aan
Iin
B neemt toe
Iind
duwt magneet terug
d
L1 meter
blokje
Proef: vallende magneetjes
d
Blokje materiaal valt
naar beneden
t0 
2 / g  0.45s
Magneetje valt
langzamer naar beneden
tt0  0.45s
20
Vallende “magneetjes”
21
“Lenz” in de huiskamer?
Als je een stekker in een
Stopcontact steekt is er
zelden een vonk. Waarom?
Begint met B=0; dus
stroom loopt langzaam op
om B/t klein te houden!
Als je een stekker (snel)
uit een stopcontact trekt
zie je vaak een vonk. Waarom?
Begint met B0; dus stroom wil
blijven lopen om B/t klein te houden
Stroom kan alleen lopen via een vonk
tussen de stekker en de contactdoos!
22
I Wat heb ik geleerd?


J  f  V  IR
Wet van Ohm
EMK: batterij V0
spoel –LdI/dt
Wet van Faraday
 
 f dl
EMK 
stroomkring
d B
EMK  
dt

 
B
 E  
t
23
Elektrostatica
Magnetostatica
Inhoud
 
 
 Edl  0 &   E   /  0
 
 
 Bdl   0 I &   B  0
Elektromagnetisme  Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday
II. Zelfinductie & energie
III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven
Griffiths Chapter 7:
Electromagnetic Induction: §7.2.3 t/m §7.2.4
24
Zelfinductie
Definitie
Voorbeelden
Toroïde
Solenoïde
Coaxiale kabel
25
Zelfinductie “L”
B
I
Eenheid van inductie:
Henry:
[H] = [Vs]/[A]
stroomlus :

B  I  B 
 
 Bdo  I
opp . stroomlus
 B  L I
L heet " zelfinduct ie"
Analoog aan de capaciteit C van een condensator
hangt ook de inductie L slechts af van de geometrie
Q
1
V  Q
V
C
dV
1 dQ 1


 I
dt
C dt
C
Capaciteit : C 
B
Inductie : L 
 B  L I
I
d B
dI

L
  EMK stroomlus
dt
dt
26
Gedrag C en L in schakelingen
C
V0
oplossing voor:
los eerst op:
VC
df
 af  f (t )  Aeat
dt
neem dan als "ansatz": f (t )  A(t )eat
R
 eat
L
df
 af  b; hoe vind ik f(t)?
dt
V0
IL
 at
dA
b
b
b  A(t )   e  A0  f (t )  A0eat 
dt
a
a
R
Beginsituatie QC ( 0)  V C ( 0)  0
Beginsituatie I L (t  0)  0
Gevraagd V C (t )
Gevraagd I L (t )  I (t ) in kring
Uitwerking (Ohm EMK  IR) :
Uitwerking (Ohm EMK  IR) :
dV C
 V C (t ) V 0 1et / RC
V 0 V C  IR  RC
dt


V(t)
I(t)
VV0
1/RC
2/RC
tijd

dIL
V0
 IR  I L (t ) 1etR / L
V 0 L
dt
R

IV0/R
L/R
2L/R
tijd
27
Zelfinductie toroide
zij aanzicht
n windingen
stroom I
b
B-veld:
a
a
h
b
r
 0nI
` : a  r  b : 2rB   0 nI  B 
Ampere
2r
Flux per winding:
1
B
Totale flux B:  B 
Zelfinductie L:
b
 
 0nIh
 0nI

dr 
ln  b / a 
 Bdo  h 
2
rechthoek
a 2r
1
n B
Indien b  a d.w.z. b  a  
 0 n Ih
 nh
 n h

ln  b / a  L  2 ln1 / a   2a
2

2
2
0
 B  0n h
L

ln  b / a 
I
2
2
2a: omtrek
2
0


2
h : oppervlak A
 L   0 N A2a

n
N
: windingen/ m 
28

2a
Zelfinductie solenoïde
N windingen/meter
stroom I
R
B-veld:
` :
Ampere
Flux per winding:
r
r  R : lB   0 NlI  B   0 NI
1
B
  2 R
  Bdo     0 NIrdrd   0 NI R2
schijf
0 0
Flux B (lengte l):  B  N  B  l   0 N I R  l
1
Zelfinductie L (lengte l):
2
2
B
2
2
L
  0 N R  l
I
29
Zelfinductie coaxiale kabel
r
I
a
b
I
0I
` : a  r  b : 2rB   0 I  B 
B-veld:
Ampere
2r
b
 0I
 0I
dr l 
ln  b / a 
Flux B (lengte l):  B  l  
2
a 2r
B
0
Zelfinductie L (lengte l): L 
l
ln  b / a 
I
2
30
Energie
Dissipatie in een weerstand R
Energie in een capaciteit C
Energie in een zelfinductor L
Energie van een elektrische veld configuratie
Energie van een magnetische veld configuratie
31
Dissipatie in weerstand R
I
V0
R
Opmerking:
de gedissipeerde energie is
“weg” d.w.z. verdwijnt als warmte
De EMK (V0) pompt iedere seconde I Coulombs rond.
Dat kost werk=energie (batterij raakt leeg!)
Die energie wordt gedissipeerd in de weerstand R
Wat is numeriek de energie dissipatie?
energie
P  vermogen 
seconde
Joule’s
dissipatie wet
2
# rondgepompte Coulombs
V
2
V 0 
V 0I  I R 
seconde
R
[P]=[VI]
=VoltAmpère
Watt
32
Energie in een: capaciteit C
zelfinductor L
C
V0
VC
R
De capaciteit wordt opgeladen:
- warmte ontwikkeling in R “weg”
- opgeladen capaciteit is opgeslagen “energie”
Hoeveel energie is dat?
QC d QC
dW
P
 V C (t )  I (t ) 

dt
C
dt
 dW
Q
2
QQ
d
Q
1
1
Q
 U C 
dt   C C dt   C d QC 
 CV 2
2C 2
0 dt
0 C dt
0 C
L
V0
IL
R
De stroom gaat door de spoel lopen:
- warmte ontwikkeling in R “weg”
- stroom in inductor is opgeslagen “energie”
Hoeveel energie is dat?
dIL
dW
P
 I L (t )  V Ind (t )  I L  L
dt
dt
 dW

I
dIL
1
 U L 
dt   I L L
dt   I L Ld I L  L I 2
dt
2
0 dt
0
0
33
Energie in: E-veld
U Elektrisch 


zelfde?

0
2
Anderzijds: U C 
E
 dv 
2 volume 
1 2
Enerzijds: U C  CV
2
0
2
2
 E dv
volume
A: oppervlak
d: plaatafstand
C
 E V
2
 d
0

1
V
2
2
0

CV
 E dv 

2 d A 
2 volume
2 d
2
C   0 A

d
E0 in het
volume=dA
34
Energie in: B-veld
U Magnetisch
1 2

Enerzijds: U L  L I

2
 zelfde?
1
2
Probeer: U L 
B
 dv 
2  0 volume 
1
2

 B dv
2 0 volume
L
  0 n2 h
 0 n2 h I 2
ln b / a U L 
ln b / a 
 L
2
4

Toroide : 
2
2
2
2 b  nI 2
nI
nI
h
n
I



1
h




 B  0 U 
0
0
dv 
rdrd  0
ln b / a 







L

2r
2  0 toroide  2r 
2  0 0 a  2r 
4

 0 N 2 R2 I 2
2
2
 L   0 N  R U L 
2

Solenoide/meter : 
2
2 2
1
2
2
2 0N  R I
 B   NI U  1
 NI   R 
  NI  dv 
0
L

2  0 solenoide 0
2 0 0
2
 0
 0 ln( b / a ) I 2
 L  ln( b / a )U L 
4
 2
Coaxkabel/ meter : 
2
2
 0 ln( b / a ) I 2
1 2 b   0 I 
  0I 
 B   0 I U  1
dv

rd
rd




 
 
L
 2r
2  0 coaxkabel  2r 
2  0 0 a  2r 
4
Dus:
 hetzelfde!
 handige manier
om L te bepalen:
L2UL/I2
35
Opgaven voor jullie
C
Na opladen condensator haal je batterij weg.
De lading op condensator neemt exponentieel af.
Bereken gedissipeerde energie in weerstand R.
Moet 0.5 CV2 geven! Op t=0 geldt: VC=V0.
V
R
Antwoord : V (t )  V 0 e t / RC  stroom door R : I (t ) 
V 0 t / RC
e
R
2
L

 2
V 0  2t / RC
dW
1
V
dW
2

 P  VI 
W  
dt   0 e 2 t / RC dt  C V 0
e
dt
R
2
0 dt
0 R
Zodra stroom constant is haal je batterij weg.
De stroom in spoel neemt exponentieel af.
Bereken gedissipeerde energie in weerstand R.
Moet 0.5 LI2 geven! Op t=0 geldt: IL=I0=V0/R.
I
R
V 0 tR / L
Antwoord : I (t ) 
 spanning over R : V (t )  V 0 etR / L
e
R
2
2

 2
V 0  2tR / L
dW
1 V 
1
V
dW
2

 P  VI 
W  
dt   0 e2 tR / L dt  L  0   L I 0
e
dt
R
2 R
2
0 dt
0 R
36
II Wat heb ik geleerd?
 B  LI
Zelfinductie
toroide :
 0 n2 h ln( b / a )
2

N
L
 0
A  2a
2
solenoide :
coaxkabel :
Energie C & L
Energie E & B velden
UL 
L  0 N  R  l
0
L
ln( b / a )  l
2
2
2
0
1 2
1
1
2
2
2
U
V
LI 
dv
&

C

B

 E dv
C
2
2 0 volume
2
2 volume
37
Elektrostatica
Magnetostatica
Inhoud
 
 
 Edl  0 &   E   /  0
 
 
 Bdl   0 I &   B  0
Elektromagnetisme  Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday
II. Zelfinductie & energie
III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven
Griffiths Chapter 7:
Maxwell Equations: §7.3.1 t/m §7.3.3
Maxwell Equations: §7.3.4 t/m §7.3.6 Doorlezen en ‘passief’ begrijpen
Griffiths Chapter 9:
Electromagnetic Waves in Vacuum: §9.2.1 t/m §9.2.2
38
Maxwell vergelijkingen
Maxwell’s term via “experimenten”
Maxwell’s term via behoud van lading
Maxwell vergelijkingen
39
Waar staan wij nu?
"Gauss" :
"geen monopolen" :
"Faraday" :
`
"Ampere"
:
  
E 
0
 
B 0

  B
 E  
t
 

 B   0 J
  Qomsloten
 Edo 
oppervlak
0
 
 Bdo 0
oppervlak
  d B
 E dl  
dt
kring
 
 Bdl   0 I omsloten
kring
Het lijkt mij evident dat er een term E/t ontbreekt!
Hoe vind je die? Door:
(1) (gedachten) experimenten te doen
(2) ladingsbehoud te eisen
(2 voorbeelden)
40
Maxwell’s term:
opladende condensator
 
Terwijl condensator oplaadt:
  0 I omsloten
kring
C:
Oppervlak: A
Separatie: d
V0
 B  dl
(A):  μ0 I
Rechterlid? 
 (B):  0
(B) ballon oppervlak
(A)
Dus er mist iets! Gebruik feit dat:

 
Q
1 dQ
I
E
E 




A 0 dt
A 0
 0 A 0
t
 
 B  dl   0 I omsloten
kring

E 
  0 I omsloten   0  0 
do
oppervlak t
(A):  μ0 I


Rechterlid? 
E 
IA
(B)
:


d
o

 μ0 I
μ

μ

 t
0 0
0 0

A 0
oppervlak

Magie? Ja, een beetje maar ok zolang resultaat klopt met experiment!
41
Maxwell’s term: Q
“spuitende puntlading”
J(t)
(t)
Qweggestroomd
Qoorsprong
t
Lading wordt radieel naar buiten gespoten
(b.v. een radioactieve bron in oorsprong)
 Q et /  rˆ
J 
 4 r 2
Symmetrie:
 
geen component B 
B  dl
tangentieel boloppervlak kring op bol oppervlak

0
maar :  0 I omsloten  0

Samen met : E  et / 

B

d
l
  0 I omsloten

Qrˆ
4  0 r 2
kring


 
E 

E

 B  dl   0 I omsloten   0  0  t do 
  0 I omsloten   0  0 
do
kring
oppervlak
oppervlak t

t / 

 Q et /  rˆ
 
  0E  
Q
r
e
ˆ
Klopt weer!

 0   J 
do   0  


d
o

0

  4 r 2 0  4  r 2 

t
oppervlak
42
oppervlak 


0 
Behoud van lading
(Continuïteit vergelijking)
 
 geen behoud
  B   0 J van lading!

 

E
  B  0 J  0  0
t
Lading is een absoluut behouden grootheid d.w.z.
Q =constant {
 
d
Dus : 0   dv   J do
dt V
V
(t)
V
=
ladingsverandering binnen volume d
i
i
ladingsstroom door oppervlak
 
 J do
V
volume
V
omsluitend
oppervlak
n̂

J(t)
dv

dt
V
 
d
0   dv    Jdv
dt V
V
 
  

 0   dv   Jdv  0     J
t
V t
V

  
 
 E
   

    B  0  0   J  0  0  
  0   J  
t

t  43
Maxwell vergelijkingen
"Gauss" :
  
E 
0
 
"geen monopolen" : B 0
"Faraday" :

  B
 E  
t
` :
"Ampere"

 

E
 B   0 J   0 0
t
  Qomsloten
 Edo 
oppervlak
 
 Bdo 0
oppervlak
0

d B
dt
  d
 
 Edl  dt  Bdo
kring
oppervlak
 0  0
d E
dt
 
 
d
 Bdl   0 I omsloten   0 0 dt  Edo
kring
oppervlak
Dit is het dus!
Dit=elektrostatica
magnetostatica
elektrodynamica
licht (elektromagnetische golven)
…………
Ook nog eens:
relativistisch invariant!
44
Elektromagnetische golven
Golfvergelijkingen voor E & B
Eigenschappen
45
Golfvergelijkingen voor E & B
iˆ
ˆj
   
    E    x
y
Ex
Ey
kˆ
  E y E   E E 
 x  z  x  z    ˆj ...  kˆ...
 z  iˆ  y 
x y   z x  


Ez
  

  Ex E y Ez  2 2 2 
2
ˆ
  x   y   z E  ˆj ... k ...   E  E
iˆ  x


x
  x y z 



 
Gebruik Maxwell vergelijkingen in vacuüm d.w.z.   0 en J  0

B  

  E
t
  
 E
0
0
 0

“vlakke golven”
 B
     
   2 
2
2 



 E   E  E    E   E 
2
t


 E

 0
2

0




E



 

0 0
2
2
2

 B
t
 B 
J
 E
 E


 
   0   0 0 2    0 0 2

t
t
t
t
t

2



 

E
E Idem voor B  veld: 2 B     B
0 0
  B  0 J  0  0
 0 0
t 2
t
t
46
Wat impliceren deze vergelijkingen?
Trillingen & golven:

2 
v
2 
 z2
t
2
2
represente ert golfbeweging met snelheid v  v
Typische oplossing:  ( z , t )  A cos( kz  t )
waarbij geldt :   k v
2

 2 B 1 2  2 2 
 B c  B
 2


 t
0 0
Dus :  2 
represente ert golfbeweging, snelheid v 
  E  1 2 E c 22 E
 t 2  

0 0
Hoe zien de oplossingen eruit?
Om het “simpel” te houden neem ik aan:
(1) E & B hangen slechts af van t en z
(2) medium is vacuüm
(3) ruimte is oneindig
2 2
1
c
μ0 ε 0

2
 B 2  B
 2 c
2


t
z

 2 
2
  E c 2  E
2
 t 2

z

2
47
Eigenschappen
iˆ
1 ˆ 0 1
kE  0
c
c 0
Ex
 
E  0
ˆj
0
0
Ey
  E 0y   B0 
  x  0
1
1    E 0x    B0y   B
c
 0   0 
0

  
kˆ
Probeer ω2  k c  ω  kc :


 B ( z ,t ) B0 cos( kz t )

0
 E ( z ,t ) E cos( kz t )
2 2
 
 0
0
0
 0    E ( z , t )    E cos( kz  t )   E z k sin( kz  t )  E z  0
 
 0
0
0
 0    B ( z , t )    B cos( kz  t )   B z k sin( kz  t )  B z  0

0
  1 E
 0
1  E cos( kz t )
B  2
   B cos( kz  t )  2
t
c t
c
 
B  0
  k B0y 
  E 0x 



1
0
0
   k B x  sin( kz  t )  2   E y  sin( kz  t ) 
c 



0
0


  
0

 

 B cos( kz t )
B
0
E  
   E cos( kz  t )  
t
t
  c B0y  E 0x
0 1
0

ˆ
 B  kE

0
0
c
 c B x  E y
Zelfde!
(niet verwonderlijk)
  k E 0y 
  B0x 
  E 0y c B0x




0 1
0

0
0
ˆ
   k E x  sin( kz  t )    B y  sin( kz  t )   0
 B  kE
0
c


 E x c B y




48
 0 
 0 
Eigenschappen als plaatjes
In het vacuüm bestaan oplossingen van de Maxwell vergelijkingen
(“elektromagnetische, EM, golven”) die zich met de lichtsnelheid voortplanten!
E
B
x
=c
E  v
B  v
B & E
in fase
x
y
y
E  B
Energie
2
dichtheid
uE
 0 0 2
E
2
2
c
 0 0  1


2
2

1
0
uB
B
2 0
EM golf in de tijd
http://webphysics.davidson.edu/Applets
/EMWave/EMWave.html
Breking van licht
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java
/propagation/propagation.html
Toepassingen:
- “gewoon” licht
- radio & TV golven
- mobiele telefonie
z
- Röntgen
|v|=c
- etc.
oscillerend E-veld
 elektrische stroom
49
III Wat heb ik geleerd?
 

E 
"Gauss" :
0
 
"geen monopolen" : B 0
"Faraday" :

 
B
 E  
t
`
"Ampere"
:

 

E
 B   0 J   0 0
t
  Qomsloten
E
 do 
oppervlak
 
 Bdo 0
0
d B

dt
oppervlak
 
 
d
 Edl  dt  Bdo
kring
oppervlak
 0  0
d E
dt
 
 
d
B

d
l


E
do

I




0 omsloten
0 0
dt oppervlak
kring

k   0 0 k   kkˆ

0 
2

 B 2  B
 B k

0
 kc,   
 2 c
2

0
B
(
z
,
t
)

cos(
kz


t
)


t
z
B




E
 k
EM golf vgl.:  2 
oplossing
:
met
:





2
0
 E ( z ,t ) E cos( kz t )
  E c 2  E
 0 1 0
ˆE

k
2
B
 t 2

z


c
50
2