Uitwerkingen Hoofdstuk 17
advertisement
Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Wiskunde 2 17.1 a. Je weet: 2π = 360° → maak gebruik van deze verhouding! 1 1 Gevraagd: hoeveel rad = 30° → 30° = 12 ∗ 360° → πππ ππ πππππβππππππ ππππ‘. πππ: 12 ∗ 2π 1 → 12 ∗ 2π = → 360° 2π = 30° ? π 6 → Oftewel, als kruistabel: 360 2π 30 360 Vereenvoudigen geeft: b. c. 1 = 2π∗30 = ? πππ → 2π∗15 180 = 2π∗5 60 ππ ∗ππ πππ 2π 12 = =? πππ 360° 30° 2π rad gevraagde hoek in rad ? rad π 6 = Maak steeds gebruik van dezelfde methode, maar dan alleen de dikgedrukte vergelijking uit a 2π∗45° 360 =? πππ = 2π∗15 120 2π∗60° 360 =? πππ = 2π∗6 36 = = 2π∗5 40 2π 6 = 2π 8 = = π 4 π 3 dit is 2x 30° (uit a.) en dus ook 2x zoveel radialen (evenredige verhouding (lineair)) d. 2π∗70° 360° =? πππ = π∗70° 180° ππ ππππππ ππππππ: ππππππ ππππ π‘ 10° → e. 2π∗15° 360 =? πππ = π∗70° 10 180° 10 = πππππ ππππ 10 = 2π∗5° 120 10π 120 = 2π∗10 360 = π∗7 18 π = 18 → dan x7 = 7π 18 = zelfde π = 12 Ik raad je aan om het aantal radialen van 30°, 45° en 90° uit je hoofd te leren. 17.2 a. 2π∗20° 360 =? πππ = 40π 360 b. 2π∗50° 360 =? πππ = 100π 360 = 10π 36 = 5π 18 c. 2π∗80° 360 =? πππ = 160π 360 = 80π 180 = 40π 90 d. 2π∗100° 360 =? πππ = 200π 360 = 20π 36 e. 2π∗150° 360 =? πππ = 300π 360 = 100π 120 = 20π 180 20π 180 = = = 10π 18 = 10π 90 = 20π 45 = 10π 12 = = 5π 9 = π 9 5π 6 4π 9 17.3 a. 2π∗130° 360 =? πππ = 260π 360 = 26π 36 = 13π 18 b. 2π∗135° 360 =? πππ = 270π 360 = 27π 36 = 3π 4 c. 2π∗200° 360 =? πππ = 400π 360 = 40π 36 = 10π 9 d. 2π∗240° 360 =? πππ = 480π 360 = 48π 36 = 24π 18 = 12π 9 e. 2π∗330° 360 =? πππ = 660π 360 = 66π 36 = 22π 12 = 11π 6 = 4π 3 17.4 a. 360° ?° 1/6 π 2π rad 360° 2π = 360° 2π =7 → 360° 2π =1 → 360° 2π =2 → 360° 2π =1 → 360° 2π =5 → b. 360° 2π = c. 360° 2π = 11 → 360° 2π = 15 → b. c. d. e. ? gevraagde hoek in rad → π 6 ? π 6 ? π 3 ? π 3 ? π 4 360 π ∗6 2π =? = 360π 12π = 180 6 360 7π ∗ 2π 6 =? = 7∗360π 12π 360 1π ∗ 3 2π =? = 360π 6π 360 2π ∗ 3 2π =? = 2∗360π 6π 360 1π ∗ 4 2π =? = 360π 8π 360 5π ∗ 2π 4 =? = 5∗360π 8π = = 30° 7∗180 6 360 6 = = = 60° 360 3 360 8 = = 7 ∗ 30 = 210° = = 120° 180 4 = 90 2 = 45° 17.5 a. d. ? π 4 ? 5 π 12 → ? 24 π ? 8 π 360 5π ∗ 12 2π =? = = 5∗360π 24π 5∗180 4 = 360 11π ∗ 24 2π =? = 11∗180 24 360 15π ∗ 8 2π =? = 15∗360π 16π = 5 ∗ 45 = 225° 5∗180 12 = = 11∗90 12 = 5∗90 6 = 15∗180 8 = 5 ∗ 15 = 75° 11∗45 6 = = 15∗90 4 11∗15 2 = = 15∗45 2 165 2 = = 82,5° 675 2 = 337,5° e. 360° 2π = 23 → ? 360° 2π = 71 → 360° 2π = 41 → 360° 2π = 25 → 360° 2π = 13 → 360° 2π = 31 → 12 π 360 23π ∗ 2π 12 =? = 23∗360π 24π = 23∗180 12 = 23∗90 6 = 23∗45 3 360 71π ∗ 2π 72 =? = 71∗360π 144π = 71∗180 72 = 71∗30 12 = 71∗5 2 360 41π ∗ 24 2π =? = 41∗180 24 = 41∗90 12 = 360 25π ∗ 18 2π =? = 25∗180 18 = 25∗10 1 = 250° 360 13π ∗ 24 2π =? = 13∗180 24 = 13∗90 12 = 360 31π ∗ 36 2π =? = 31∗180 36 = 31∗30 6 = 31 ∗ 5 = 155° = 23 ∗ 15 = 345° 17.6 a. b. c. d. e. ? 72 π ? 24 π ? 18 π ? 24 π ? 36 π 41∗30 4 13∗30 4 = 355 2 = 177,5° = 41∗15 2 = 615 2 = 307,5° = 13∗15 2 = 195 2 = 97,5° 17.7 CW = clockwise CCW = counter clockwise a. −30° ππππ‘ ππ£πππππ πππ‘ πππ ππππππππ πππβπ‘π ππ (πππ‘ ππ ππππ πππ, π£ππππ ππ’ πΆπ (ππππππ€ππ π)) π·ππ‘ ππππ‘ π€πππ ππ£πππππ πππ‘ πππ ππππππππ π£ππ 360° − 30° (π‘ππππ πππ‘ ππ ππ ππππππ) 360 − 30 = 330° CCW (counter clockwise) b. 445° ππππ‘ ππππ ππ ππππ πππ ééπ ππππππ ππ ππ πππβππππ ππππππ: 360° π»πππ βππ‘ ππππ π‘π ππππππ πππ£ππ ππ: 445 − 360 = 85° ππ πππ π€ππ‘ ππ ππ£ππππππππ‘ π·ππ‘ ππππ‘ ππππ ππ πππππππ πππ§πππππ βπππ, π€πππ‘ ππ ππ ππππ π‘π 360° ππππππ‘ ππ ππππππππ ππππππ’π€ c. −160° π€ππππ‘ ππ πππ§πππππ ππππππ πππππππ πππ πππ π. 360 − 160 = 200° πππππ πππ πππ‘ ππ ππ πππβππππ ππππππ ππ πππ πππππ π‘π π£πππππ. d. 700° ππ πππ π€πππ ππππ πππ ééπ ππππππ: βπππ ππππππ βππ‘ ππππ π‘π ππππππ ππππ. 700 − 360 = 340° e. 515° − 360° = 155° 17.8 a. πππππππ πππ ππππππππ πΆπ: − 220° π·ππ‘ ππ πππ πππ ππππππππ πΆπΆπ, π€ππππππ ππ 360° − 220° = 140°. π½π ππππ‘ πππ ππ βππ‘π§πππππ ππ’ππ‘ π’ππ‘. b. −650° ππ ππππ π‘πππ ééπ ππππ ππ ππππππ ππππ, ππππ πππ πΆπ. π·ππ‘ ππ’π ππ ππ’π π£ππππππππππ: − 650 − (−360) = −290° π·π ππ£ππππππππ£ππ βπππ ππ πππ 360° − 290° = 70° c. 830° ππ ππππ π‘πππ ééπ ππππ ππ ππππππ ππππ, πΆπΆπ: π£ππππππππ πππ‘. 830 − 360 = 470° → π‘π€ππππ ππππππ → 470 − 360 = 110° d. πΈπππ π‘π ππππππ: 1000° − 360° = 640° → π‘π€ππππ ππππππ: 640 − 360 = 280° π€ππ‘ ππππ π‘ππππ ππ βππ‘π§πππππ ππ’ππ‘ π’ππ‘ ππππ‘. e. 1550°: βπππ ππππ π§ππ£πππ ππππππππ βππβπππππππ (πππππππ )π£ππππ → → 1550 − 360 = 1190 → 1190 − 360 = 830 → 830 − 360 = 470 → 470 − 360 = 110° 17.9 a. −430° → −430 − (−360) = −70° → π€ππ‘ ππ βππ‘π§πππππ ππππππππ‘ πππ πππ ππππππ πΆπ, ππππ πππ π£πππππππππ πππ‘ πππ βπππ: 360 − 70 = 290° b. 935° → 935 − 360 = 565° → 565 − 360 = 205° c. 1200° → 1200 − 360 = 840° → 840 − 360 = 480° → 480 − 360 = 120° d. −240° π π‘πππ‘ ππππππ πππ 360 − 240 = 120° (π§πππππ ππ’ππ‘ ππ ππ πππβππππ ππππππ) e. 730 − 360 = 370 → 370 − 360 = 10° 17.10 a. Formule voor oppervlakte cirkelsegment: πΌ ∗ 2ο° ο°π 2 = π΄ πΌ Voor een volledige cirkel (α = 2ο°) wordt 2ο° = 1 en blijft er dus ο°π 2 = π΄ over. Als de straal (r) = 3 en middelpuntshoek (α) = 1 rad, dan: 1 ο° 1 π΄ = 2ο° ∗ ο° ∗ 32 = 2 ∗ ο° ∗ 9 = 4,5 b. 1 2 Een halve cirkel heeft een middelpuntshoek van ο° radialen: πΌ = ( ∗ 2ο°) = ο° Een diameter is twee keer de straal: 2 ∗ π = π + π = π· → π = πΌ 2ο° c. ο° ∗ ο°π 2 = π΄ → 1 2 1 1 π· 2 = 1 2 1 π΄ = 2ο° ∗ ο° ∗ (2) = 2 ∗ ο° ∗ 4 = 8 ο° Formule voor omtrek cirkel: 2 ∗ ο° ∗ π = πΆ Formule voor oppervlakte cirkel: ο°π 2 = π΄ (volledige cirkel) 1 1 ο° ο° Waarbij gegeven is dat π΄ = 1 → ο°π 2 = 1 → π 2 = → π = ±√ Negatieve waarde voor een oppervlak is fysiek niet mogelijk; neem de positieve waarde aan. 1 1 ο° 1 ο°2 Dan is de omtrek: πΆ = 2ο°√ = 2ο° ∗ 1 1 = 2ο° ∗ ο°−2 = 2ο°2 = 2√ο° 17.12 a. 2 3 sin ( ο°) wil zeggen: wat is de waarde van de sinus (de verticale as op de eenheidscirkel) bij 2 een verdraaiing/hoek van 3 ο° CCW. 1 2 Bij 0 radialen is de sinus ook nul en de cosinus (de horizontale as) 1. Bij een kwart cirkel ( ο°) , of 90 graden, is de sinus 1 en de cosinus 0. 1 3 De waarde van sin ( ο°) is in de tabel op de bijbehorende theoriepagina te vinden → 1 1 √3 2 2 Dit kun je ook aflezen op de y-as (sinus-as) in de eenheidscirkel, bij een hoek van 3 ο° of 3 ο° 2 1 1 M.b.v. symmetrie in y-as is te bepalen dat: sin ( ο°) = sin ( ο°) = √3 3 3 2 Dit is af te lezen van de eenheidscirkel en de beide punten moeten wel gelijk zijn aangezien de hoekverdraaiing van ο° evenredig in drie stukken op te delen is en daarom op dezelfde hoogte moeten zitten (symmetrisch in de y-as). b. 3 1 1 cos (4 ο°) → ππππ cos (4 ο°) ππ ππππππ: 2 √2 (leid dit af uit de positie op de eenheidscirkel) 2 → cos (4 ο°) = 0 en is weer een achtste rondje verder → 3 4 1 4 cos ( ο°) βππππ‘ πππ§πππππ πππππ‘π πππ cos ( ο°) 1 ππππ πππ ππππππ ππππ‘ ππ (πππππππ‘ππ ππ πππππ‘πππ£π ππ ) → − √2 2 c. Een verdraaiing van 11 π 6 1 is bijna de cirkel rond, op 6 π na. Het staat dus gelijk aan een 1 verdraaiing van − 6 π. De cosinus is symmetrisch (gespiegeld) over de horizontale as, en heeft 1 1 dus dezelfde waarde πΌ = π. Dit is dus √3 6 2 d. 5 tan 4 π = 1 tan (1 4 π) 5 = 5 4 5 cos( π) 4 sin( π) =β― 1 spiegelen t.o.v. de x-as spiegelen t.o.v. de y-as 1 1 → sin ( π) = sin (− π) = −1 ∗ sin ( π) = −1 ∗ √2 4 4 4 2 5 3 1 1 → cos ( π) = π ππππππππ ππ π₯ − ππ = cos ( π) = −1 ∗ cos ( π) = −1 ∗ √2 4 4 4 2 5 → tan (4 π) = e. 5 1 − √2 2 1 − √2 2 =1 1 1 1 sin (6 π) = sin (6 π) π£πππ€πππ π π¦ππππ‘πππ π¦ − ππ → sin (6 π) = 2 17.13 a. sin(3π) = sin(π) π€πππ‘ ππ 2π π£ππππππππππ ππππππ‘ βππ‘ πππππππ£ππππππ π€πππ ππ£ππππππ’π€ → sin(π) = 0 π§ππππ ππ π‘π πππ§ππ π£ππ ππ πππβππππ ππππππ sin(π) 0 b. tan(7π) = tan(7π − 2π − 2π − 2π) = tan(π) = cos(π) = −1 = 0 c. cos(−5π) = cos(−π) = cos(π) = −1 d. tan(12π) = tan(2π) = tan(0) = e. sin(−5π) = sin(−π) = sin(π) = 0 sin(0) cos(0) 0 1 = =0 17.14 2 2 2 1 1 1 a. π ππ (− π) = −1 ∗ sin ( π) → sin ( π) = sin ( π) → −1 ∗ sin ( π) = −1 ∗ √3 3 3 3 3 3 2 b. tan (4 π) = tan (− 4 π) = c. 7 1 7 1 4 1 cos(− π) 4 sin(− π) = 1 4 −1∗sin( π) 1 cos( π) 4 7 1 = −1∗ √2 2 1 √2 2 1 √2 = − 21 √2 = −1 2 1 cos (− 6 π) = cos (6 π) π€ππ‘ ππβππ’ππ‘ 6 π ππ π. 7 πππ π = −1 → π·πππππ πππππ‘ ππ πππ πππ’π π€πππ π‘πππ’π ππππ 0 → ππ’π cos (6 π) ππ πππ. 1 1 7 1 → cos (6 π) = 2 √3 → ππ’π : cos (6 π) = − 2 √3 5 3 5 cos(− π) 3 sin(− π) 5 3 −1∗sin( π) 1 3 −1∗sin(− π) 1 3 −1∗−1∗sin( π) d. 5 tan (− 3 π) e. π ππ ( 4 π) = sin (4 π) π€πππ‘ ππ ππ 2π = 4 π π’ππ‘ π‘π βππππ = 13 = 5 3 cos( π) = 1 3 cos(− π) 5 5 = 1 3 cos( π) = 1 √3 2 1 2 = √3 8 1 → sin (4 π) = sin (− 4 π) i.v.m. symmetrie t.o.v. y-as 1 1 1 → sin (− π) = −1 ∗ sin ( π) = − √2 4 4 2 17.15 4 3 4 cos( π) 3 sin( π) 2 3 2 cos(− π) 3 sin(− π) 2 3 −1∗sin( π) 1 3 1 −1∗cos( π) 3 −1∗sin( π) 1 √3 2 1 2 a. 4 tan ( π) 3 b. sin (− 4 π) = −1 ∗ sin (4 π) = −1 ∗ sin (4 π) → π π¦ππππ‘πππ π‘. π. π£. ππ π¦ − ππ → − 2 √2 c. cos ( 3 π) → 3 π = 2π → cos (3 π) = cos (− 3 π) = cos (3 π) = 2 d. tan (− = = 3 = 2 3 cos( π) 3 11 6 15 π) 4 3 4 = = = √3 1 5 3 1 1 1 1 3 = tan (−3 4 ο°) → tan (− 4 ο°) → (βππβππππ‘ π§ππβπ§πππ π€πππ ππ ο°) 1 4 → tan (− ο°) → tan ( ο°) = 1 e. cos (− 23 ο°) 6 5 5 5 = cos (−3 6 ο°) = cos (−1 6 ο°) → ππ’π πππππ πππ ππππππ πΆπ (2ο°) → 1 → cos (−1 6 ο°) = cos (6 ο°) = √3 2 met de klok mee 17.16 De beweging over de eenheidscirkel begint na 2ο° (een heel rondje) weer opnieuw; dit kun je dus uit de verdraaiing halen. a. cos(13ο°) = cos(6 ∗ 2ο° + ο°) = cos(ο°) = −1 b. tan(17ο°) = tan(8 ∗ 2ο° + ο°) = tan(ο°) = 0 c. sin(−7ο°) = sin(−3 ∗ 2ο° − ο°) = sin(−ο°) = 0 d. tan(11ο°) = tan(5 ∗ 2ο° + ο°) = tan(ο°) e. cos(−8ο°) = cos(−4 ∗ 2ο°) = cos(0) = 1 17.17 Vanwege symmetrie: sin(−π₯) = − sin(π₯) ππ cos(−π₯) = cos(π₯) 23 5 5 1 1 1 a. sin ( 6 ο°) = sin (3 6 ο°) = sin (1 6 ο°) = sin (− 6 ο°) = −1 ∗ sin (6 π) = − 2 b. 17 tan (− 4 ο°) c. sin (− 3 ο°) = sin (−2 3 ο°) = sin (− 3 ο°) = − sin (3 ο°) = − 2 √3 d. tan (− e. sin ( = 1 tan (−4 4 ο°) 7 1 25 ο°) 6 23 ο°) 4 = 1 tan (− 4 ο°) = 1 1 = 1 4 1 cos( π) 4 − sin( π) 1 1 = tan (−4 6 ο°) = tan (− 6 ο°) = 3 1 4 1 cos(− ο°) 4 sin(− ο°) 3 1 6 1 cos( ο°) 6 − sin( ο°) 1 = − √2 2 1 √2 2 =− 1 √2 2 1 √2 2 = −1 1 = 1 2 √3 2 − = 1 −1 √3 = 1 −1√3 √3√3 1 = − 3 √3 1 = sin (5 ο°) = sin (1 ο°) = sin (− ο°) = − sin ( ο°) = − √2 4 4 4 4 2 17.18 Zie bladzijde 143 van het boek, en zie de volgende vergelijking (definitie van de tangens): tan(πΌ) = sin(πΌ) cos(πΌ) sin(0) 0 Tussen 0 en ½ π radialen loopt de verhouding van cos(0) = 1 = 0 tot Van α > ½ π t/m α = π radialen loopt de verhouding van 1 2 1 cos( π) 2 sin( π) 1 1 2 1 cos( π) 2 sin( π) 1 = 0+ = ∞ sin(π) 0 = 0− = −∞ tot cos(π) = −1 = 0 Met 0- bedoel ik dat de waarde net voor de 0 zit. Het getal is oneindig klein, maar wel negatief. Van α > π tot 3/2 π radialen loopt de verhouding van sin(π) cos(π) En van 3/2 π tot 2 π loopt de waarde van de tangens van = 0 tot → 3 2 3 cos( π) 2 sin( π) sin(0) = −1 0 3 2 3 cos( π) 2 sin( π) = −1 0− −1 1 = −1 ∗ 0 = ∞ sin(2π) 0 = −∞ naar cos(2π) = 1 = 0 0 Daarna eindigt het verloop daar waar het begonnen was: cos(0) = 1 = 0 Daarmee zijn de grenzen van de tangens: −∞ ≤ tan(πΌ) ≤ ∞ Plaatje: Hier valt te zien dat de tangens verticale asymptoten heeft op x = -π/2 en x = π/2: de tangens zal deze punten nooit bereiken, maar de waarden vlak hiervoor zijn wel oneindig groot. Op ο°/4 radialen zijn de sinus en de cosinus gelijk aan elkaar en geeft dit dus de waarde 1 voor de tangens. 17.22 Gebruik de SOS-CAS-TOA-regel a. 1 sin(πΌ) = 5 → sin(πΌ) = ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ → ππ¦π‘βππππππ → πππππππππππ = √52 − 12 = √24 = √2 ∗ 2 ∗ 6 = 2√6 Dan, Cos(πΌ) = πππππππππππ π πβπ’ππ 2 = √6 5 ππ£πππ π‘πππππ tan(πΌ) = πππππππππππ = 2 b. 1 √6 =2 2 cos(πΌ) = 7 → πππ → cos(πΌ) = → sin(πΌ) = ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ = 7 √5 3 ππ£πππ π‘πππππ 3 → tan(πΌ) = πππππππππππ = 2 √5 √6 √6√6 1 √6 6 =2 ππππππππππ π πβπ’ππ 1 = 12 √6 De overstaande: √72 − 22 = √45 = 3√5 → c. 3 8 sin(πΌ) = → π ππ → sin(πΌ) = → cos(πΌ) = πππππππππππ π πβπ’ππ 1 ππ£πππ π‘πππππ 3 = √55 2 cos(πΌ) = 5 → πππ → cos(πΌ) = → sin(πΌ) = ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ → πππππππππππ = √82 − 32 = √55 → = 8 √55 → tan(πΌ) = πππππππππππ = d. ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ 3 √55 ∗ 3 √55 √55 = 55 √55 πππππππππππ π πβπ’ππ → ππ¦π‘β → ππ£πππ π‘πππππ = √52 − 22 = √21 1 = 5 √21 ππ£πππ π‘πππππ 1 → tan(πΌ) = πππππππππππ = 2 √21 e. 5 cos(πΌ) = 7 → cos(πΌ) = πππππππππππ π πβπ’ππ → ππ¦π‘βππππππ ππ£πππ π‘πππππ = √72 − 52 = √24 = √2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 = 2√6 → → sin(πΌ) = ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ = 7 √6 2 ππ£πππ π‘πππππ 2 → tan(πΌ) = πππππππππππ = 5 √6 17.23 a. 3 sin(πΌ) = 4 → sin(πΌ) = → cos(πΌ) = πππππππππππ π πβπ’ππ ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ 1 = 4 √7 ππ£πππ π‘πππππ 3 √7 → tan(πΌ) = πππππππππππ = b. c. → ππ¦π‘β. → πππππππππππ = √42 − 32 = √7 = 3 √7 ∗ √7 √7 3 = 7 √7 1 cos(πΌ) = 6 → overstaande = √62 − 12 = √35 → sin(πΌ) = ππ£πππ π‘πππππ π πβπ’ππ → tan(πΌ) = √35 1 1 = √35 6 = √35 1 sin(πΌ) = 8 → aanliggende = √82 − 12 = √63 = √3 ∗ 3 ∗ 7 = 3√7 3 → cos(πΌ) = 8 √7 → tan(πΌ) = 3 1 √7 =3 1 √7 ∗ √7 √7 1 = 21 √7 d. 5 8 cos(πΌ) = → πverstaande = √82 − 52 = √39 1 → sin(πΌ) = 8 √39 1 → tan(πΌ) = 5 √39 e. 5 cos(πΌ) = 13 → overstaande = √132 − 52 = √144 = 12 → sin(πΌ) = 12 13 → tan(πΌ) = 12 5 17.24 a. sin(πΌ) = 6 31 → πππππππππππ = √312 − 62 = √961 − 36 = √925 = √5 ∗ 5 ∗ 37 = 5√37 5 → cos(πΌ) = 31 √37 → tan(πΌ) = 5 b. c. 6 √37 = 30√37 25∗37 = 30√37 925 6 = 185 √37 4 cos(πΌ) = 23 → overstaande = √232 − 42 = √529 − 16 = √513 = √3 ∗ 3 ∗ 57 = 3√57 → sin(πΌ) = √513 23 = → tan(πΌ) = √513 4 = 4 √57 sin(πΌ) = √5 3 √3∗3∗57 23 3 = 23 √57 3 2 → aanliggende = √32 − √5 = √9 − 5 = 2 2 → cos(πΌ) = 3 1 → tan(πΌ) = 2 √5 d. cos(πΌ) = √7 3 → overstaande = √32 − √7 = √2 1 → sin(πΌ) = √2 3 → tan(πΌ) = e. cos(πΌ) = √2 √7 √10 4 = √2 √7 √7 √7 = √2∗7 7 1 = 7 √14 2 → overstaande = √42 − √10 = √16 − 10 = √6 1 → sin(πΌ) = 4 √6 → tan(πΌ) = √6 √10 = √6 √10 √10 √10 = √60 10 = √2∗2∗3∗5 10 = 2√15 10 1 = 5 √15 17.31 a. 1 sin(π₯) = − 2 1 Deze waarde van sinus komt voor op dezelfde plek als sin(π₯) = 2 maar dan gespiegeld in de x-as (dus nu op de negatieve y-as): 1 1 1 1 sin ( π) = → πππππ’ππ sin(−π₯) = − sin(π₯) → sin (− π) = − 6 2 6 2 1 Maar dit is hetzelfde als: 2π − 6 π = 12 π 6 1 1 De sinus heeft de waarde ½ op zowel 6 π als 5 π 6 1 Dus alle oplossingen: sin(π₯) = − 2 wanneer π₯ = b. cos(π₯) = 11 π 6 − 6π = 11 7 1 en dus is ook sin ( 6 π) = sin (6 π) = − 2 11 π 6 7 + 2ππ of π₯ = 6 π + 2ππ 1 2 1 1 1 Volgens het tabel op blz. 141: cos(π₯) = 2 op π₯ = 3 π, maar ook op π₯ = − 3 π Dit want cos(−π₯) = cos(π₯) wat weer te maken heeft met de symmetrie van de cosinus. 1 5 π₯ = −3π = 3π 1 1 5 Dus, cos(π₯) = 2 wanneer π₯ = 3 π + 2ππ en π₯ = 3 π + 2ππ c. tan(π₯) = −1 tan(π₯) = sin(π₯) cos(π₯) en dus moeten de sinus en de cosinus dus gelijk aan elkaar zijn, op het teken 1 1 na. Dit gebeurt alleen op sin(π₯) = cos(π₯) = 2 √2 ππ sin(π₯) = cos(π₯) = (− 2 √2) Dit kan in het tweede kwadrant van de eenheidscirkel: sinus = + en cosinus = -. Of in het vierde kwadrant: sinus = - en cosinus = +. Dus, 3 7 tan(π₯) = −1 wanneer π₯ = 4 π + 2ππ of π₯ = 4 π + 2ππ 17.32 a. 1 sin(π₯) = 2 √2 1 3 De sinus neemt deze waarde aan op 4 π volgens de tabel. Dan geldt dit ook op 4 π. (Zie de eenheidscirkel). Daarom: sin(π₯) = √2 2 1 3 wanneer π₯ = 4 π + 2ππ of π₯ = 4 π + 2ππ b. 1 cos(π₯) = − 2 √3 1 1 1 De cosinus neemt de waarde √3 aan op π radialen. De waarde − √3 ligt op dezelfde 2 6 2 hoogte, maar in het tweede kwadrant: andere kant van de verticale as. Omdat het op 5 dezelfde hoogte ligt is de hoek dan 6 π radialen. Deze waarde wordt ook aangenomen in het 2 7 derde kwadrant, hetzelfde punt, maar dan gespiegeld met de x-as. Dit is dus 6 π verder: 6 π 1 5 7 Daarom: cos(π₯) = − 2 √3 wanneer π₯ = 6 π + 2ππ of π₯ = 6 π + 2ππ c. tan(π₯) = −√3 sin(π₯) 1 1 tan(π₯) = cos(π₯) → −√3 π€ππππππ sin(π₯) = 2 √3 ππ cos(π₯) = − 2 ππ: π€ππππππ sin(π₯) = − √3 2 ππ cos(π₯) = 1 2 2 Dit is in het tweede kwadrant: sinus positief en cosinus negatief op 3 π 5 En dit is in het vierde kwadrant: sinus negatief en cosinus positief op 6 π 2 5 Daarom: tan(π₯) = −√3 als π₯ = 3 π + 2ππ of π₯ = 6 π + 2ππ 17.33 a. 1 tan(π₯) = 3 √3 1 6 Dit is volgens de tabel op π radialen. Dit zit in het eerste kwadrant. In het derde kwadrant nemen de sinus en de cosinus dezelfde waarden aan, maar dan beide negatief. Omdat je dan (volgens de definitie van de tangens) een negatieve waarde op een negatieve waarde deelt, wordt dit weer positief en kom je op exact dezelfde waarde uit. Hetzelfde punt, maar dan in 7 het derde kwadrant zit op 6 π. Dit omdat het punt dan even ver van de horizontale as 1 vandaan zit (de cosinus) op de eenheidscirkel, namelijk 6 π. Maar dan aan de andere kant. 1 1 7 Daarom: tan(π₯) = 3 √3 als π₯ = 6 π + 2ππ of π₯ = 6 π + 2ππ b. 1 cos(π₯) = − √2 2 De negatieve waarden van de cosinus zitten aan de linker kant van de eenheidscirkel, en dus in het tweede en derde kwadrant. De cosinus neemt deze waarde aan op dezelfde hoogte als 1 3 op + 2 √2. Dit zit dus op 4 π. Het andere punt voor deze waarde zit een half pi draaiing 5 1 1 5 verder, namelijk op 4 π. Daarom: cos(π₯) = 2 wanneer π₯ = 3 π + 2ππ en π₯ = 3 π + 2ππ c. cos(π₯) = 0 Op nul radialen is de sinus nul en de cosinus 1. 1 Op 2 π radialen is de sinus 1 en de cosinus 0 Op een halve cirkel afstand hiervan (π rad) is de cosinus weer nul, maar nu met sinus = -1. 1 3 1 Dus, cos(π₯) = 0 wanneer π₯ = 2 π + 2ππ en π₯ = 2 π + 2ππ Samengevoegd: π₯ = 2 π + ππ 17.58 N.B. Deze vraagstukken moeten worden gemaakt met behulp van een rekenmachine/calculator, dus ze komen niet op deze manier terug op het tentamen. Op het tentamen zal bij dit soort opgaven gebruik gemaakt worden van hoeken waarvan we de sinus en de cosinus kunnen bepalen zonder rekenmachine. Hierbij toch de uitwerking van deze vraagstukken om een idee te geven hoe je het e.e.a. aanpakt, omdat de uitwerking van deze vraagstukken namelijk verder hetzelfde is. Pas goed op met de instellingen van je calculator: er wordt vaak geswitcht tussen hoeken uitgedrukt in radialen en in graden! a. Gevraagd: lengte van b en oppervlakte O: Noem de gestreepte lijn D: deel de driehoek op in twee rechte driehoeken: CBB’ (X) en ABB’ (Y) waarbij B’ het punt tegenover B is. OX = (CB’ × BB’)/2 OY = (BB’ × AB’)/2 Of met oppervlakteformule... Sinusregel: π π 3 π Lijnstuk π = sin(πΌ) = sin(π½) → sin(43) = sin(82) → π = Lijnlengte BB’: sin(πΎ) = π΅π΅′ 3 3∗sin(82) sin(43) ≈ 4,3560 → π΅π΅′ = 3 ∗ sin(55) ≈ 2,4575 2 Lijnlengte CB’: π2 − π΅π΅′2 = πΆπ΅′ → 32 − 2,462 ≈ 2,9607 → πΆπ΅′ = √2,95 ≈ 1, 7207 ππ = ππ = 1,72 ∗ 2,46 = 2,1143 2 (4,36 − 1,72) ∗ 2,46 ≈ 3,2381 2 π = 2,1143 + 3,2381 = 5,3524 b. Gevraagd: lengte van a en oppervlakte O: Lijnstuk a: π sin(π½) = π sin(πΌ) → 2 sin(43) = π sin(113) →π= 2∗sin(113) sin(43) ≈ 2,6994 Lijnstuk c: π sin(23) 2 = sin(43) → π = 2∗sin(23) sin(43) ≈ 1,1458 Lijnstuk AA’: sin(43) = π΄π΄′ π → π΄π΄′ = 1,1458 ∗ sin(43) ≈ 0,7815 Lijnstuk A’B: √π 2 − π΄π΄′ = √0,71 ≈ 0,8379 Dan, oppervlakte van driehoek ABA’ = 0,8379∗0,7815 2 Enzo, oppervlakte van driehoek AA’C = = 0,3274 (2,6994−0,8379)∗0,7815 2 = 0,7156 Gezamelijke oppervlakte (driehoek ABC) = 0,3274 + 0,7156 = 1,043 c. Gevraagd: lengte van c en oppervlakte O: Lijnstuk c: π sin(61) 4 = sin(26) → π = 4∗sin(61) sin(26) = 7,9806 4∗sin(93) sin(26) = 9,1122 Lijnstuk b: π sin(93) = 4 sin(26) →π= Lijnstuk CB’: cos(πΎ) = πππππππππππ π πβπ’ππ → cos(61) = πΆπ΅′ 4 → 4 ∗ cos(61) = πΆπ΅′ = 1,9392 Lijnstuk AB’: π΄π΅′ = π΄πΆ − πΆπ΅′ = π − πΆπ΅′ = 9,1122 − 1,9382 = 7,174 Lijnstuk BB’: sin(61) = π΅π΅′ 4 → π΅π΅′ = 4 ∗ sin(61) = 3,4985 Oppervlakte driehoek ABB’: π΄π΅′ ∗ π΅π΅′ 7,27 ∗ 3,50 = = 12,7225 2 2 Oppervlakte driehoek BB’C: π΅′ πΆ ∗ π΅π΅′ 1,94 ∗ 3,50 = = 3,395 2 2 Oppervlakte van gehele driehoek ABC: 12,7225 + 3,395 = 16,1175 1 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΌ) = ∗ 9,1122 ∗ 7,9806 ∗ sin(26) = 15,9394 2 2 d. Gevraagd: hoek γ en oppervlakte O: Hoek γ: π sin(πΌ) π 5 3 = sin(πΎ) → sin(76) = sin(πΎ) → sin(πΎ) = 3∗sin(76) 5 = 0,5822 → → πΎ = arcsin(0,5822) = 35,6038 ππππππ Hoek β: 180 − 35,6038 − 76 = 68,3962 ππππππ Oppervlakte: 1 2 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(π½) = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ sin(68,3962) = 6,9731 e. Gevraagd: hoek α en oppervlakte O: Hoek α: π π 4 2 2 ∗ sin(36) = → = → sin(πΌ) = = 0,2939 → sin(π½) sin(πΌ) sin(36) sin(πΌ) 4 → πΌ = arcsin(0,2939) = 17,0911 ππππππ f. Gevraagd: hoek γ en oppervlakte O: Stel hier je rekenmachine in op rekenen met radialen. Hoek α: π sin(π½) π 4 3 = sin(πΌ) → sin(1,7) = sin(πΌ) → sin(πΌ) = 3∗sin(1,7) 4 = 0,7437 → πΌ = arcsin(0,7437) ≈ 0,84 πππ Hoek γ: Som van hoeken is altijd 180ο° = π radialen, dan: π – 0,8387 – 1,7 ≈ 0,6029 rad Oppervlakte: 1 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΎ) = ∗ 3 ∗ 4 ∗ sin(0,6029) = 3,40 2 2 g. Gevraagd: hoek γ en oppervlakte O: De cosinusregel vraagt enkel één hoek op bij bepaalde zijden, deze kan dan uitgerekend worden: π2 = π 2 + π 2 − 2ππ ∗ cos(πΌ) ofwel, π 2 = π2 + π 2 − 2ππ ∗ cos(πΎ) → πΎ = arccos ( Oppervlakte: 1 2 (62 − 52 − 42 ) ) = 85,22 ππππππ −2 ∗ 5 ∗ 6 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΎ) = 2 ∗ 4 ∗ 5 ∗ sin(85,22) ≈ 9,9652 h. Gevraagd: hoek α en oppervlakte O hoek α: (52 −52 −62 ) cosinusregel: π2 = π 2 + π 2 − 2ππ ∗ cos(πΌ) → πΌ = arccos ( −2∗5∗6 ) = 53,1301 ππππππ πΌ = 0,9273 ππππππππ Of: Dan oppervlakte: 1 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΌ) = ∗ 5 ∗ 6 ∗ sin(53,1301) = 12 2 2 i. Gevraagd: lengte a en oppervlakte O Stel hier wederom je calculator in op rekenen met radialen. Om lengte a te bepalen moeten eerst wat voorbereidingen getroffen worden: Hoek gamma: (5 ∗ π ππ(0,75)) π π 6 5 = → = → πΎ = arcsin ( ) = 0,6041 πππ sin(π½) sin(πΎ) sin(0,75) sin(πΎ) 6 Hoek α: π − 0,75 − 0,6041 = 1,7875 πππ Lengte a: 6 π 6 ∗ sin(1,7875) = →π= = 8,5965 sin(0,75) sin(1,7875) sin(0,75) Oppervlakte: j. 1 2 ∗ 6 ∗ 5 ∗ sin(1,7875) = 14,6492 Gevraagd: lengte a en oppervlakte O Graden... cosinusregel voor lengte a: π = √π 2 + π 2 − 2ππ ∗ cos(πΌ) = √22 + 32 − 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ cos(71) = 3,0155 Oppervlakte: 1 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΌ) = ∗ 2 ∗ 3 ∗ sin(71) = 2,8366 2 2 k. Gevraagd: lengte c en oppervlakte O Hoek β: 6 5 5 ∗ π ππ(58) = → π½ = arcsin ( ) = 44,9676 ππππππ sin(58) sin(π½) 6 Hoek γ: πΎ = 180 − 44,9676 − 58 = 77,0324 ππππππ Lengte c: 5 π 5 ∗ sin(77,0324) = →π= = 6,8946 sin(44,9676) sin(77,0324) sin(44,9676) Oppervlakte: 1 1 ∗ π ∗ π ∗ sin(πΎ) = ∗ 5 ∗ 6 ∗ sin(77,0324) = 14,6175 2 2
