Massa van het proton

De massa van het proton
Het proton is een samengesteld deeltje. Het bestaat uit drie quarks (uud) met een totale
massa van ongeveer 3+3+6 = 12 MeV/c2 = 0,013 u. De kracht tussen de quarks
onderling is op korte afstanden heel klein en wordt groter naarmate de afstand
toeneemt. Dit heeft tot gevolg dat losse quarks niet bestaan. Er zou namelijk oneindig
veel energie nodig zijn om de quarks uit elkaar te trekken.
Omdat op korte afstand de onderlinge krachten klein zijn, geeft het deeltje-in-eendoosmodel een redelijke benadering om de opsluiting van quarks in een proton te
beschrijven. Het doosje is een proton, met diameter in de orde van 10 –15 m. Als deeltje
bekijken we eerst één van de up-quarks (u). Door de formule voor de eendimensionale
doos te gebruiken kan een ruwe schatting worden gemaakt van de energie van dit
quark. Dit leidt tot een veel te hoog resultaat, in de orde van 10 –8 J ofwel 105 MeV.
3p 1  Toon dit aan met een berekening.
De oorzaak van dit verkeerde resultaat is dat de energie van de quarks zo groot is dat
de relativiteitstheorie moet worden toegepast. De gewone formule Ek = ½ mv2 voor de
kinetische energie is een benadering voor lage snelheden. Voor de quarks in een proton
kunnen we juist een extreem relativistische benadering gebruiken, namelijk:
Ek = pc
waarin p de impuls is en c de lichtsnelheid.
De formule p = h/λ blijft wel gewoon gelden. In het model van het quark in een
eendimensionale doos volgt hieruit dat
Ek 
nhc
waarin n het aantal buiken in de golffunctie is.
2L
4p 2  Leid deze formule af.
Binnen het quarkjes-in-een-doosmodel gaan we er van uit dat alle extra massa van het
proton boven de massa van de quarks het gevolg is van de kinetische energie van de
quarks. In het proton zitten alledrie de quarks in de grondtoestand, met n = 1. De
kinetische energie van de drie quarks samen is dus gelijk aan:
938 – 12 = 926 MeV = 1,5·10–10 J
4p 3 Bereken de diameter van het proton door gebruik te maken van het doosjesmodel
en de kinetische energie van de drie quarks samen.
Net als het waterstofatoom kent het proton ook aangeslagen toestanden. Dit zijn
deeltjes met massa’s vanaf ongeveer 1,2·103 MeV/c2. Binnen het deeltje-in-eendoosmodel wordt de grotere massa verklaard door aan te nemen dat een van de quarks
in een aangeslagen toestand zit, met n = 2.
3p 4 Toon met een berekening aan dat massa’s van deze grootte met het doosjesmodel
goed te verklaren zijn.
De massa van het proton
Maximumscore 3
5 
voorbeeld van een berekening: E0 
• gebruik van
E0 
h2
(6,63 1034 )2

 108 J
2
29
15 2
8mL 8  2,110  (10 )
h2
8mL2
1
• omrekenen van de quarkmassa naar kg
• completeren van de berekening
6 
1
1
Maximumscore 4
voorbeeld van een afleiding: Voor de golflengte van een deeltje in een doosje geldt dat
2L
h
waarin n het aantal buiken in de staande golf is. Combineren met p 
geeft
n

L  n  12  dus  
p
nh
en invullen in E = pc leidt tot het gevraagde resultaat.
2L
L  n  12 
2L
h
• gebruik van  
en p 
n

nh
• gebruik van p 
en E = pc
2L
• inzicht dat
1
1
1
• completeren van de berekening en conclusie
7 
1
Maximumscore 4
uitkomst: 2,0·10 –15 m
Voorbeeld van een berekening: Uit Ek 
0,5·10 –10 J, dus L 
• gebruik van L 
nhc
nhc
volgt dat L 
. De kinetische energie per quark is
2L
2 Ek
1 6,63 1034  3,0 108
 2,0 1015 m
2  0,5 1010
nhc
2 Ek
• berekenen van de kinetische energie per quark
• gebruik van n = 1 en opzoeken van h en c
• completeren van de berekening
1
1
1
1
Maximumscore 3
8 
Voorbeeld van een berekening: De kinetische energie van één quark in de grondtoestand is
926
 309 MeV
3
. Als er een quark in een n = 2 toestand terecht komt, wordt zijn kinetische energie 2 x zo groot, dus er komt
309 MeV bij, zodat de massa van het aangeslagen proton uitkomt op 938 + 309 = 1247 = 1,2·10 3 MeV. Dit is
dus van de goede grootte.
• inzicht dat er één quark naar een hogere energietoestand gaat
1
• inzicht dat de kinetische energie van dit quark verdubbeld wordt
• completeren van de berekening en conclusie
1
1