Op zoek naar veelvouden

Op zoek naar
veelvouden
Een rekenles op de
Mickley First School
in Engeland
Hanneke Jones-Teuben
In hoeverre verschilt het Engelse
rekenonderwijs van het
Nederlandse? Hanneke Jones gunt
ons een blik in haar Engelse klas en
doet ons een lesidee aan de hand
waar ook Nederlandse kinderen van
groep 3/4 van zullen smullen.
In dit artikel wil ik een reken-wiskundeles beschrijven die ik onlangs gegeven heb aan mijn groep op de Mickley First School in Engeland. Ik ben
groepsleerkracht van 21 kinderen uit
year 1 en 2, in leeftijd variërend van 5
tot 7 jaar (de Nederlandse groepen 2
en 3).
Ik ben in Nederland geboren en getogen en ik bezocht een Nederlandse
PA (Pedagogische Academie), maar ik
ben sinds 10 jaar werkzaam als leerkracht in Engeland. In mijn loopbaan
ben ik altijd geboeid geweest door de
enorme veelzijdigheid en praktische
toepasbaarheid van het Engelse rekenonderwijs. Jonge kinderen leren niet
alleen rekenen, maar ook omgaan met
getalpatronen, meetkunde en meten,
onderzoeken en oplossen van vraagstukken, en omgaan met data. Het rekenen zelf wordt vooral praktisch, aan
de hand van veel telmaterialen en spelletjes, en in hoge mate gedifferentiëerd onderwezen. Het nadeel daarvan is, dat in sommige gevallen de
overgang van concreet handelen naar
inzichtelijk leren vaak pas laat plaatsvindt.
Grote wijzigingen in het Engelse reken-wiskundeonderwijs
Met de officiële invoering van de National Numeracy Strategy in 1999
heeft het Engelse reken- en wiskundeonderwijs grote veranderingen ondergaan. Hoewel de andere aspecten
van het wiskundeonderwijs nog steeds
een plaats hebben, is numeracy (rekenvaardigheid) nu veel belangrijker
geworden dan het voorheen was. De
nadruk ligt nu op het hoofdrekenen
(mental calculations) in de vorm van
klassikaal, direct en interactief onderwijs. Het Britse ministerie van onderwijs heeft het Framework for Teaching
Mathematics ingevoerd. Daarin wordt
het leerprogramma voor alle jaren van
het basisonderwijs beschreven. Ook is
vastgelegd dat de dagelijkse rekenles
zo’n 45 tot 60 minuten moet duren en
hoe zo’n les eruit zou
moeten zien:
1
1. De mental and oral
starter: mondeling
hoofdrekenen als
start (ongeveer 5 tot
10 minuten);
2. de main teaching
activity: het hoofdgedeelte van de les
(ongeveer 30 tot 40
minuten);
3. de plenary session:
klassikale nabespreking (ongeveer 10
tot 15 minuten).
Welke hoort er niet
bij?
Op mijn school zijn
wij al een aantal jaren
betrokken bij de ontwikkeling van onderwijs in zogeheten
Thinking Skills. Dat
houdt in dat we de verbale en metacognitieve ontwikkeling van de kinderen proberen te stimuleren door middel van speciale opdrachten. Dit jaar
concentreren wij ons op de Odd-OneOut-benadering. De kinderen krijgen
een combinatie van objecten of getallen aangeboden. Ze moeten aangeven
welk object of getal volgens hen niet
in het groepje thuishoort en hun keuze toelichten. Een belangrijk element
in deze activiteit is het luisteren naar
en nadenken over de inzichten van
andere kinderen.
Onlangs heb ik met mijn groep een
aantal Odd-One-Out-activiteiten met
getallen uitgevoerd. De leerlingen kregen bijvoorbeeld de getallen 3, 10 en
15 en moesten aangeven welk getal
niet in het groepje thuishoorde. Zie afbeelding 1.
Het bleek dat de kinderen in mijn klas
vooral Odd-One-Out-oplossingen bedachten op grond van visuele kenmerken van getallen: ‘De 10 past niet in
het groepje, want er zit een 0 in.’ of
‘De 3, want die bestaat uit één cijfer.’
Sommige kinderen baseerden hun
keuze op de grootte van de getallen:
Een voorbeeld van een odd-one-out-activiteit.
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 17
‘De 3 past er niet bij want dat is het
kleinste getal.’of ‘15, want dat is het
grootste getal.’ Deze redeneringen
kwamen voort uit een concreet niveau van denken over getallen.
Slechts twee kinderen baseerden hun
keuze op andere eigenschappen van
getallen: ‘De 10 want dat is een ‘dubbel’ getal en de 3 en de 15 zijn dat
niet.’ en ‘De 10 want dat is een even
getal.’ Deze benadering leek een
meer abstract niveau van wiskundig
denken aan te geven, en naar aanleiding hiervan besloot ik een les te geven over de veelvouden van getallen.
Een les over veelvouden
Wij hanteren op onze school een gepubliceerde rekenmethode, maar het
staat ons vrij hier naar eigen inzicht
van af te wijken. Op veel Engelse
scholen wordt zelfs helemaal geen
gepubliceerde methode gebruikt. De
leerkrachten op die scholen produceren hun eigen leermiddelen, wat heel
veel tijd kost.
Het Framework for Teaching Mathematics geeft aan dat het leren van
vermenigvuldigen en delen met de
getallen 2, 5 en 10 pas hoeft te begin-
18 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 5 ■ 2000/2001
nen in year 2 (een Nederlandse groep
3), maar dat kinderen van year 1 al
wel moeten leren verdubbelen en halveren. Uit mijn ervaring van voorgaande jaren, waarin ik deze beide
jaargroepen in één klas heb onderwezen, had ik gemerkt dat veel year 1kinderen het concept van veelvouden
concreet kunnen inzien aan de hand
van praktische activiteiten, en dat dit
ze kan helpen bij het meer formele leren van veelvouden een jaar later.
Hoewel het mengen van jaargroepen
organisatorisch moeilijkheden kan geven, is een van de voordelen van dit
systeem dat scaffolding veelvuldig
voorkomt. Dit ‘samen op de steigers
staan en elkaar ondersteunen’ is een
aanduiding voor het idee dat samenwerking tussen twee leerlingen van
verschillend niveau voor beiden een
leerzame ervaring kan zijn. De leerling op het hogere niveau geeft uitleg
en kan daardoor zijn eigen kennis verduidelijken en verdiepen. Voor de
leerling op het lagere niveau biedt deze samenwerking de kans om een ‘bereikbaar’ voorbeeld te volgen, individueel hulp te krijgen, en deel uit te
maken van bijvoorbeeld het succesvol
oplossen van een vraagstuk, wat zeer
motiverend kan werken.
De mental and oral starter
Ik begon de les met een clap-andcount-spelletje, waarbij de kinderen in
koor de veelvouden moesten opzeggen van 2, 5 of 10, van 0 tot respectievelijk 20, 50 en 100, en weer terug.
Het is als het ritmisch opzeggen van
een versje, waarbij ze om beurten in
Een
clap-and-count
spelletje om
reeksen te
onthouden
hun handen klappen en op hun
knieën slaan. Hierop zijn allerlei varianten te bedenken, die het opzeggen
van de getallen spannender maken
voor de kinderen. De meeste kinderen
vinden dit leuk om te doen, en zijn
door dit soort spelletjes veel behendiger geworden in het onthouden van
getallenreeksen.
Als tweede warm-up-spelletje nam ik
een getal onder de 100 in gedachten,
waar de rest van de klas achter moest
zien te komen door het stellen van
vragen waarop ik alleen met ja of nee
mocht antwoorden: ‘Is het even?’ ‘Ligt
het tussen de 50 en 60?’ ‘Is het de
helft van 100?’ enzovoort. Later
mochten enkele kinderen mijn rol
overnemen. Dit spelletje stimuleert de
kinderen om wiskundig te denken en
te redeneren.
De main teaching activity
Ik besprak eerst de doelstellingen van
de les met de kinderen: ‘We gaan leren wat het woord ‘veelvoud’ betekent. We zullen zien dat sommige getallen tot en met 20 de veelvouden
zijn van andere getallen, en dat dit inzicht ons kan helpen bij het vergelijken van getallen.’ Vervolgens vroeg ik
de kinderen om hun rekenpartner op
te zoeken. Elk kind heeft een partner
van een ander niveau uit de eigen of
de andere jaargroep. Door dit niveauverschil kan scaffolding plaatsvinden.
Ik deelde de klas in vier tafelgroepen
en elke groep kreeg de opdracht om
straks tijdens de activiteit de veelvouden van een van de volgende getallen
te gaan verzamelen: 3, 4, 5 en 10.
Voor de duidelijkheid zal ik deze getallen hierna ‘groepsgetallen’ noemen.
Als voorbeeld zou ik zelf de veelvouden van het groepsgetal 2 gaan verzamelen.
Aan iedere tafel hadden de kinderen
de beschikking over een hoeveelheid
multilink (plastic blokjes die aan elkaar gevoegd kunnen worden), schrijfmateriaal, en papier in de (overigens
willekeurige) vorm van een appel
waarop ik het betreffende groepsgetal
groot had genoteerd, en waarop de
kinderen de bijbehorende veelvouden
konden schrijven. We zouden klassikaal de getallen van 1 tot 20 één voor
één op een concreet niveau bekijken,
en van elk getal vaststellen bij welke
We sparen
veelvouden in
de vorm van
blokjes
groepsgetallen het behoorde.
Ik begon met het getal 1, en in elke
groep namen de partners één blokje.
Hierna kwam het getal 2, en nadat iedereen een tweede blokje had gepakt,
liet ik zien dat twee blokjes samengevoegd mijn groepsgetal vormden.
Hierna volgde het getal drie. Iedereen
voegde drie blokjes samen en in de
‘3’-groep ging een gejuich op, omdat
ze hun eerste set hadden. De andere
groepjes wachtten vol ongeduld op
het moment waarop ook zij hun eerste
set blokjes multilink konden noteren.
Ik liet zien dat ik mijn derde blokje
niet samenvoegde met mijn eerste set
van 2, maar ging sparen voor mijn
volgende set. Bij het getal 4 kon natuurlijk de ‘4’-groep zijn eerste set maken. Ik liet nu zien dat ik al mijn
tweede set kon maken, en dat ik daarom de 4 kon bijschrijven op mijn appel. Ik noemde nu het woord ‘veelvoud’ en zei dat 4 een veelvoud van 2
is.
Ik vroeg nu de kinderen met hun partner vast te bedenken wat de veelvouden zouden kunnen zijn van hun eigen groepsgetal. Dit bracht heel wat
denken en discussie teweeg, maar het
viel mij op dat op dit moment slechts
heel weinig kinderen veelvouden van
hun groepsgetal konden ‘voorspellen’.
De meeste kinderen konden alleen op
concreet niveau met dit begrip werken. In de ‘5’- en de ‘10’-groep waren
er wel enige (year 2-)kinderen die een
aantal getallen juist konden ‘voorspellen’ en mij konden vertellen dat het
de getallen waren die we aan het begin van de les in koor hadden geoefend. Deze kinderen hadden blijkbaar
al wel een hoger abstractieniveau bereikt in hun inzicht in de getallen 5 en
10. Ik vroeg deze kinderen mee te
denken met de ‘3’- en de ‘4’-groep, en
te voorspellen wat hiervan de veelvouden zouden kunnen zijn, maar dat
kostte hun aanmerkelijk meer moeite.
Op den duur brak het inzicht door
We keerden terug naar het concreet
tellen en in setjes samenvoegen. Al
gauw begon de ‘10’-groep nogal beteuterd te kijken en te spelen met de
blokjes. Ik vroeg wat er aan de hand
was en ze zeiden dat ze alleen een
setje van 10 en een van 20 zouden
kunnen vormen. Daarop liet ik deze
groep mijn ‘2’-groep erbij nemen.
Daar waren ze meteen voor te porren,
want ze hadden allang gezien, dat er
bij het groepsgetal 2 veel viel te doen.
In deze groep van vier kinderen was
het voornoemde scaffolding duidelijk
te zien. De twee kinderen die formeel
konden nadenken, hielden hele redeneringen tegen hun partners, die al
luisterend concreet de setjes vormden.
Het resultaat was dat deze groep het
begrip ‘veelvoud’ op formeel niveau
veel beter ging beheersen dan ik voor-
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 19
2
komen en gingen stoppen, riep een
meisje uit de ‘3’-groep in het vuur van
de strijd: ‘Ahhh, kunnen we niet tot
21 doorgaan? Wij hebben er bijna nog
één!’
Laat leerlingen
van
verschillende
niveaus
samenwerken
Groeperingsvormen van multilink gebruikt door de ‘4-groep’.
af voor mogelijk had gehouden.
Het volgende kwartier van de les verliep steeds volgens het patroon van het
noemen van het volgende getal, het
bijtellen van een nieuw blokje, het al
dan niet samenvoegen van de blokjes
om de nieuwe set van het groepsgetal
te vormen - wat met veel enthousiasme gepaard ging -, en vervolgens een
klassikaal rondje om vast te stellen bij
welke groepsgetallen dàt getal kon
worden bijgeschreven. Ik vroeg de kinderen hierbij niet alleen aan hun eigen
groepsgetal te denken, maar ook juist
te luisteren naar de andere groepen
om te horen in welke andere groepen
bepaalde getallen konden worden bijgeschreven. Sommige kinderen begonnen te ontdekken dat er tussen de ‘5’en de ‘10’-groep een verband leek te
bestaan. Twee kinderen in de ‘4’-groep
merkten na enige tijd op dat bij elk
veelvoud van 4 ook de ‘2’-groep dat
getal kon bijschrijven, terwijl de leden
van de ‘3’-groep juist zagen dat zij bij
heel andere getallen ‘scoorden’ dan de
andere groepen. Hierdoor begon het
accent te verschuiven van de concrete
handeling naar een meer formeel niveau.
Gaandeweg werd het de meeste kinde-
20 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 5 ■ 2000/2001
ren, ook de jongste, duidelijk welk getal vervolgens zou kunnen worden bijgeschreven. Het lukte steeds meer kinderen om hun veelvoudgetallen te
‘voorspellen’.
De kinderen mochten zelf weten hoe
ze de multilink-blokjes in groepjes van
hun groepsgetal neerlegden. Het was
interessant om te zien dat de meeste
kinderen met hun partner ervoor kozen om dit steeds op dezelfde manier
te doen, maar dat er binnen elk groep
zeer verschillende patronen waren (zie
afbeelding 2).
Toen we bij het getal 20 waren aange-
De plenary session
Vervolgens kwamen de kinderen on
the carpet (op het kleed) zitten en samen bekeken we de getallen die op
de appels waren geschreven. De
hoofdzakelijk concrete leersituatie
maakte nu dus plaats voor het meer
abstracte denken over de veelvouden
in de getallen tot 20, aanvankelijk aan
de hand van de getallenverzamelingen
op de verschillende appels. De kinderen waren nu duidelijk zeer geïnteresseerd in de veelvouden die de hele
klas gevonden had. Dat bleek uit hun
opmerkingen:
- ‘De veelvouden van 2 zijn allemaal
even getallen!’
- ‘Als je omhoog telt in tweeën (two’s)
kom je bij 4, en na twee keer meer
heb je nog een 4 en zo gaat het maar
door, dus een heleboel tweeën zijn
ook vieren.’
- ‘20 komt voor op de appel van 2,
van 4, van 5, en van 10. Dat is dus
een heel goed getal!’
- ‘Sommige getallen zoals 7, staan
nergens op!’ Deze opmerking leidde
tot het zoeken naar andere getallen
die blijkbaar ook geen veelvoud waren. En waren er ook getallen die
maar op één appel stonden?
- ‘De ‘2’-appel heeft veel meer getallen dan de ‘10’-appel. Waardoor komt
dat?’ De verklaringen varieerden van
‘de 10 is zelf al groot’ tot ‘de helft van
alle getallen zijn veelvouden van
twee’.
- ‘Het lijkt wel of een heleboel getallen in elkaar passen!’ Deze opmerking
werd gemaakt door een kind van 5
jaar, dat het voorbeeld kon geven van
de 5 die in de 10 zit, en de 10 die op
zijn beurt in de 20 zit.
Het was duidelijk dat sommige kinderen door na te denken over de getallen op de appels, een hoog formeel
niveau bereikten. Door de appels werden ze op nieuwe ideeën gebracht.
Een kijkje in de Mickley First School
Mickley is een dorp aan de rivier de Tyne in Northumberland, in het noordoosten van Engeland, ongeveer 15 km ten westen van Newcastle-upon-Tyne.
De leeftijd van de kinderen op een Engelse First school is 4-9 jaar.
Wij hebben momenteel 48 kinderen op school in 3 groepen:
Class 1: Reception: momenteel 8 kinderen van 4 en 5 jaar;
Class 2: (hier gaat het artikel over) year 1 en 2 met 21 kinderen van 5-7 jaar;
Class 3: year 3 en 4 met 19 kinderen van 7-9 jaar.
In Class 1 krijgen de kinderen 30 minuten rekenles per dag, wat later oploopt
tot 1 uur rekenles per dag in class 3.
Al onze leerlingen dragen een uniform: een grijze broek of een grijze rok met
maillot, een wit poloshirt, en een rood sweatshirt met het embleem van de
school.
Het gebruik van zakrekenmachines wordt voor kinderen tot 7 jaar nu niet
meer aangemoedigd, vóór 1999 was het wel een verplicht onderdeel van het
rekenonderwijs, ook in de laagste klassen. In iedere klas hebben we tenminste twee computers die ook voor rekenactiviteiten gebruikt worden.
De kinderen van class 2 en class 3 krijgen regelmatig huiswerk voor rekenen,
dat aansluit bij de lessen. In class 2 is dat eens per week ongeveer 20 minuten. In class 3, twee keer per week ongeveer 30 minuten.
Hoe het verder ging
Als besluit van de les gaf ik de kinderen op het bord dezelfde Odd-OneOut-activiteit die ze enige weken geleden als werkblad hadden gemaakt:
‘15, 10 en 3. Welk getal hoort er niet
bij?’ Met hun partner, en daarna met
de hele klas bediscussiëerden en beredeneerden de kinderen de mogelijke
uitkomsten, waarbij nu regelmatig
(maar niet uitsluitend) gebruik werd
gemaakt van onze veelvoud-appels.
Duidelijk bleek dat veel kinderen in
beide jaargroepen hun nieuw verworven inzicht ook daadwerkelijk begonnen toe te passen in vraagstukken: ‘3
is de Odd-One-Out omdat 15 en 10
veelvouden zijn van 5’.
Daarna bekeken we ook een OddOne-Out-vraag over 4, 2 en 5 waarbij
veel kinderen de 5 kozen, ‘omdat de
2 en 4 op de ‘2’-appel staan’, òf (meer
abstract) ‘omdat alle veelvouden van
4 ook veelvouden van 2 zijn.’ Een
kind merkte op dat 4 en 2 ook allebei
8 en 16 als veelvoud hebben.
Toen ik de kinderen herinnerde aan
mijn doelstelling van de les, en vroeg
wie het idee had dat hij of zij meer te
weten was gekomen over de veelvouden tot 20, gingen enthousiast de
meeste vingers omhoog.
Om de kinderen hun nieuwe inzicht
in veelvouden te laten behouden en
verdiepen, zullen we er natuurlijk geregeld op terug moeten komen. Uit
het verdere verloop van ons OddOne-Out-project zal moeten blijken of
de kinderen ook in minder gestructureerde situaties hun inzicht in veelvouden zullen gaan toepassen bij het
vergelijken van getallen. Voor mijzelf
vormde deze les in ieder geval een interessante en positieve ervaring, gestimuleerd door het enthousiasme en de
leergierigheid van mijn leerlingen.
De auteur van dit artikel is groepsleerkracht op de Mickley First School in
Mickley, Engeland.
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 5 ■ willem bartjens ■ 21