Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad met

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
- 249 -
Klas: ................
Hoofdstuk 13 : Stelsels van vergelijkingen van de eerste
graad met twee onbekenden.
Instap (boek pag 252)
Opgave:
Zoek de afmetingen van alle rechthoeken met een omtrek van 36 m en waarvan de lengte
gelijk is driemaal de breedte.
Oplossing:
Stel x : lengte van de rechthoek
y : breedte van de rechthoek
Dan wordt de formule van de rechthoek in functie van x en y :.....................................
x
y
0
..........
.............
.............
De lengte is gelijk aan driemaal de breedte : .................................................................
x
y
0
..........
.............
.............
De oplossingen van de vergelijking zijn de coördinaten van de punten van een rechte.
Teken deze rechten op het cartesisch assenstelsel.
Hoeveel punten hebben deze twee rechten gemeen? ...................................................
Zoek nu welk koppel (x,y) voldoet aan de twee voorwaarden : ..................................
We zeggen dat het koppel (.............,................) een gemeenschappelijke oplossing is van
de twee vergelijkingen.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Klas: ................
We zochten dus naar oplossingen van : 2 ( x + y ) = 36 ∧ x = 3 y
( ∧ : logische en)
We kunnen dit ook als volgt aanduiden en we spreken van een stelsel van twee
vergelijkingen met twee onbekenden van de eerste graad:
2 ( x + y ) = 36

x = 3 y
De oplossingenverzameling van zo een stelsel is de doorsnede van de
oplossingenverzamelingen van elke vergelijking afzonderlijk.
We hebben dit stelsel grafisch opgelost.
- 250 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Taak 1 ( zie ook opgave boek pag 254 nr 1 - a)
y = 3
Los het volgende stelsel grafisch op: 
x − 2 y + 3 = 0
x
.........
.............
y
..........
.............
y=3
x
...........
.............
x − 2y + 3 = 0
y
Opl = ( ............, ................)
..........
.............
Klas: ................
- 251 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Taak 2 ( zie ook opgave boek pag 254 nr 1 - g)
Klas: ................
2 x − 3 y + 1 = 0
Los het volgende stelsel grafisch op: 
x + 2 y + 4 = 0
x
.........
.............
y
..........
.............
2x − 3 y + 1 = 0
x
...........
.............
x + 2y + 4 = 0
y
Opl = ( ............, ................)
..........
.............
- 252 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Substitutiemethode
Klas: ................
Uitgewerkt voorbeeld (oef boek pag 256)
2 x + 3 y = 6

x + 3 = 0
2 x + 3 y = 6
⇔
x = − 3
2 ⋅ (−3) + 3 y = 6
⇔
x = − 3
− 6 + 3 y = 6
⇔
 x = −3
 3y = 6 + 6
⇔
 x = −3
12

 y=
⇔
3
 x = − 3
 y=4
⇔
 x = −3
Opl = { ( ........,...........) }
Los op in |R
y − 3 = 0

x + 2 y = 8
y = 3
⇔
x + 2 y = 8
y = 3
⇔
.............................................
y = 3
⇔
.............................................
y = 3
⇔
.............................................
Opl = { ( ........,...........) }
- 253 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
2 x − y + 4 = 0

4 x + 3 y + 1 = 0
Klas: ................
 + y = ....................................
⇔ 
.................................................
 + y = ....................................
⇔ 
.................................................
 + y = ...................................
⇔ 
................................................
 + y = ...................................
⇔ 
................................................
 + y = ...................................
⇔ 
................................................
Opl = { ( ........,...........) }
4 x − y − 8 = 0

8 x − 2 y − 4 = 0
 ................................................
⇔ 
.................................................
 ................................................
⇔ 
.................................................
 ................................................
⇔ 
.................................................
 ................................................
⇔ 
.................................................
Opl = { ................ }
- 254 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Een variant op de substitutiemethode
Klas: ................
We lossen bij deze methode beide vergelijkingen op naar eenzelfde onbekende.
Voorbeeld:
x + 5 y = 7

x + y = 3
x = 7 − 5 y
⇔
x = 3 − y
3 − y = 7 − 5 y
⇔
x = 3 − y
.................................................
⇔
x = 3 − y
.................................................
⇔
.................................................
.................................................
⇔
.................................................
Opl = { ( ........,...........) }
x − 3 y + 2 = 0

5 y = x + 1
x = 3 y − 2
⇔
x = 5 y − 1
.................................................
⇔
.................................................
.................................................
⇔
.................................................
.................................................
⇔
.................................................
.................................................
⇔
.................................................
Opl = { ( ........,...........) }
- 255 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Combinatiemethode:
Klas: ................
x+ y =4
x + y = 4

x − y = 7
+ (x − y = 7 )
2 x + 0 y = 11
2 x = 11
⇔ 
x − y = 7
 x = ...............

⇔ 
x − y = 7

 x = ...............

⇔ 
............. − y = 7

 x = ...............

⇔ 
 y = ..............

16 x + 15 y = 77

17 x − 45 y = − 101
Opl = { ( ........,...........) }
x3
48 x + 45 y = 231
48 x + 45 y = 231
⇔ 
17 x − 45 y = − 101
17 x − 45 y = − 101
.....................................
..............................................
⇔ 
17 x − 45 y = − 101
..............................................
⇔ 
............... − 45 y = − 101
 x = ...............

⇔ 
 y = ..............

Opl = { ( ........,...........) }
- 256 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
5
7 x + 3 y = 36

3
11x − 5 y = 8
Klas: ................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
Opl = { ( ........,...........) }
4 x − 3 y + 15 = 0

2 y − x − 10 = 0
4 x − 3 y + 15 = 0
⇔
.....................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
Opl = { ( ........,...........) }
- 257 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
- 258 -
Naam: ......................................................
Klas: ................
Een variant op de combinatiemethode: (zie boek pag 261)
Voorbeeld 1
50 x + 20 y = 15
5 x − 20 y = − 4
55 x + 0 y = 11
10 x + 4 y = 3

− 5 x + 20 y = 4
5 1
−1 2
10 x + 4 y = 3
− 10 x + 40 y = 8
0 + 44 y = 11
55 x = 11
⇔
44 y = 11
 x = .............
⇔
 y = ............
Opl = { ( ........,...........) }
Voorbeeld 2
3 x + 5 y = 18

2 y − x = 16
1
3
2
5
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
Opl = { ( ........,...........) }
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Los op met de combinatiemethode:
- 259 -
Klas: ................
6 x − 4 y − 5 = 0

2 y − x = 16
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
Opl = { ( ........,...........) }
− 5 x + 7 y = 7

3 x + y = 21
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
........................................................
⇔
........................................................
Opl = { ( ........,...........) }
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
- 260 -
Naam: ......................................................
Klas: ................
Vraagstukken die leiden tot een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad
met twee onbekenden.
Voorbeeld 1: (opgave zie boek pag 263 nr. 8)
Bepaal twee getallen met som 76 en verschil 38
Oplossingsmethode :
Lees de opgave aandachtig en onderlijn
Oplossing:
Gelijkheden:
het gegeven.
Noteer de gelijkheden.
Kies de twee onbekende en noteer dit in
Keuze van de twee onbekenden
de 2e kolom
Onderlijn het gevraagde en stel het stelsel
Opstellen stelsel
op.Noteer dit stelsel in de 2e kolom.
Los het stelsel op :
Oplossen van het stelsel
Formuleer het antwoord in de 2e kolom
Antwoord:
Maak de proef (controleer steeds jezelf)
Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Voorbeeld 2: (opgave zie boek pag 263 nr. 9)
Klas: ................
Verdeel 720 eurocent in 60 geldstukken van 20 eurocent en 5
eurocent.
Oplossingsmethode :
Lees de opgave aandachtig en onderlijn
Oplossing:
Gelijkheden:
het gegeven.
Noteer de gelijkheden.
Kies de twee onbekende en noteer dit in
Keuze van de twee onbekenden
de 2e kolom
Onderlijn het gevraagde en stel het stelsel
Opstellen stelsel
op.Noteer dit stelsel in de 2e kolom.
Los het stelsel op :
Oplossen van het stelsel
Formuleer het antwoord in de 2e kolom
Antwoord:
Maak de proef (controleer steeds jezelf)
Proef:
- 261 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Voorbeeld 3: (opgave zie boek pag 263 nr. 10)
- 262 -
Klas: ................
5 kg appels en 4 kg peren kosten samen 10,80 EUR; 4 kg appels en
5 kg peren kosten samen 10,35 EUR. Hoeveel kosten 1 kg appels
en 1 kg peren?
Oplossingsmethode :
Lees de opgave aandachtig en onderlijn
Oplossing:
Gelijkheden:
het gegeven.
Noteer de gelijkheden.
Kies de twee onbekende en noteer dit in
Keuze van de twee onbekenden
de 2e kolom
Onderlijn het gevraagde en stel het stelsel
Opstellen stelsel
op.Noteer dit stelsel in de 2e kolom.
Los het stelsel op :
Oplossen van het stelsel
Formuleer het antwoord in de 2e kolom
Antwoord:
Maak de proef (controleer steeds jezelf)
Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
- 263 -
Klas: ................
Opgave ( boek pag 254 nr. 1)
Oplossing
a.
y = 3

x − 2 y + 3 = 0
( 3, 3 )
b.
7 x + 6 y − 2 = 0

x = − 1
( − 1 ; 1,5 )
c.
x + y = 0

x − y + 4 = 0
(−2 , 2 )
d.
3 x − 4 y − 24 = 0

4 x + 5 y − 1 = 0
( 4,− 3 )
e.
2 x − 6 y = 30

 y = − 3x
(1,5 ; − 4,5 )
f.
3 x − 4 y = 0

− 6 x + 8 y − 1 = 0
Geen oplossingen
g.
2 x − 3 y + 1 = 0

x + 2 y + 4 = 0
( − 2, −1 )
h.
3 x − 4 y + 6 = 0

1,5 x = 2 y − 3
Oneindig veel oplossingen
i.
x − 4 y + 8 = 0

3 x − y − 9 = 0
( 4, 3 )
Opgave ( boek pag 254 nr. 2)
Oplossing
a.
2 x + 3 y = 6

x + 3 = 0
(− 3 , 4 )
b.
y − 3 = 0

x + 2 y = 8
(2 , 3)
c.
5 x − 3 y − 5 = 0

x − y + 1 = 0
( 4, 5 )
Evaluatie
Evaluatie
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
- 264 -
Klas: ................
d.
3 x − 2,5 y = 3,3

 x + 4 y = 6,9
( 2,1 ; 1,2 )
e.
3 x − 5 y = 1

2 y − 8 = 0
(7 , 4 )
f.
4 x − 3 y + 15 = 0

− x + 2 y − 10 = 0
( 0,5 )
g.
2 x − y + 4 = 0

4 x + 3 y + 1 = 0
(− 1,3 ; 1,4 )
h.
4 x − y − 8 = 0

8 x − 2 y − 4 = 0
Geen oplossingen. (Stelsel
vgl van twee evenwijdige
rechten.
Opgave ( boek pag 254 nr. 3)
Oplossing
a.
x + 5 y = 7

x + y = 3
(2 , 1 )
b.
x − 3 y + 2 = 0

5 y = x + 12
( 13 , 5 )
c.
2 x + y = − 8

5 x − 2 y − 7 = 0
( − 1, − 6 )
d.
x − 2 y = 6

0,5 x − 3 y = − 10
(19 ; 6,5 )
Opgave ( boek pag 259 nr. 4)
Oplossing
a.
x + y = 4

x − y = 7
(5,5 ; − 1,5 )
b.
16 x + 15 y = 7

17 x − 45 y = − 101
( 2 , 3)
c.
3 x + 3,75 y = − 3,75

0,75 x + 2 y = 6,5
( − 10 , 7 )
d.
7 x + 3 y = 6

11x − 5 y = 8
( 3, 5 )
Evaluatie
Evaluatie
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
- 265 -
Klas: ................
e.
10 x + 7 y + 46 = 0

6 x + 5 y + 30 = 0
( − 2,5 ; − 3 )
f.
 4 x − 3 y + 15 = 0

2 y − x − 10 = 0
( 0,5 )
g.
3 x − y + 38 = 0

8 x − 6 y + 71 = 0
( − 4 ; 6,5 )
h.
21x + 8 y + 6 = 0

28 x − 23 y − 13 = 0
(−2 , −3)
Opgave ( boek pag 261 nr. 5)
Oplossing
a.
10 x + 4 y = 3

− 5 x + 20 y = 4
(0,2 ; 0, 25 )
b.
3 x + 5 y = 18

2 y − x = 16
(−4 , 6)
c.
6 x − 4 y − 5 = 0

− 3 x − y + 1,75 = 0
2

 , − 0,25 
3

d.
− 5 x + 7 y = 17

3 x + y = 21
(5 , 6 )
e.
10 x + 7 y + 46 = 0

6 x + 5 y + 30 = 0
( − 2,5 ; − 3 )
f.
3 x − 4 y + 1 = 0

4 x + 5 y − 7 = 0
 23 25 
,


 31 31 
g.
21x − 20 y = 58

28 x − 15 y = 19
(−2 , −5)
h.
3 x + 4 y − 85 = 0

7 x − 6 y + 1 = 0
( 11 , 13 )
Evaluatie
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Klas: ................
Vraagstukjes die leiden tot een stelsel: boek pag 263
11. De Rijn en de Maas zijn samen 34 km
x : lengte vd Maas
korter dan de Dnjepr (2285 km). De
y : lengte van de Rijn
Theems (406 km) en de Maas zijn samen
5 km langer dan de Rijn. Hoe lang zijn de
 x + y = 2285 − 34

 x + 406 = y + 5
Maas en de Rijn?
De Maas : 925 km
De Rijn : 1326 km
12. Een boekhandelaar verkocht s’morgens
x : prijs vd “Stadswacht”
38 exemplaren van het weekblad “De
y : prijs vd “Hoera”
Stadswacht” en 20 exemplaren van het
38 x + 20 y = 77

57 x + 34 y = 121,02
tijdschrift “Hoera” en ontving daarvoor
77 EUR.’s Namiddags verkocht hij 57
exemplaren van “De Stadswacht” en 34
De Stadswacht : 1,30 EUR
Hoera : 1,38 EUR
exemplaren van “Hoera” en ontving
daarvoor 121,02 EUR. Hoeveel kost één
nummer van “De Stadswacht” en één
nummer van “Hoera”?
13. Het vijfvoud van de leeftijd van Koen is
x : leeftijd Koen
11 meer dan het drievoud van de leeftijd
y : leeftijd Bram
van Bram. Het drievoud van de leeftijd
5 x = 3 y + 11

3 x = 5 y − 19
van Koen is 19 minder dan het vijfvoud
van de leeftijd van Bram. Hoe oud is
ieder?
Koen : 7 jaar
Bram : 8 jaar
- 266 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk13: Stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden
Naam: ......................................................
Klas: ................
14. Een vader was 5 jaar geleden driemaal zo
x : leeftijd vader
oud als zijn zoon. Over vijf jaar is hij
y : leeftijd zoon
tweemaal zo oud als zijn zoon. Hoe oud
 x − 5 = 3 ( y − 5)

 x + 5 = 2 ( y + 5)
is elk van beiden nu?
- 267 -
Vader : 35 jaar
Zoon : 15 jaar
15. Wim zegt tot Marc: “Vorig jaar was ik
x : leeftijd Wim
dubbel zo oud als jij volgend jaar zult
y : leeftijd Marc
zijn”. “Akkoord,” zegt Marc,”maar over
x − 1 = 2 ( y + 1 )

2 ( x − 9 ) = y + 9
9 jaar zal ik dubbel zo oud zijn als jij
9 jaar geleden was”. Hoe oud is ieder nu?
Wim : 17 jaar
Marc : 7 jaar
Kijk ook eens op de website naar de extra oefeningen en oplossingen bij
vakinfo wiskunde : http://users.pandora.be/atheneum.wispelberg/
Of vraag extra oefeningen aan je leerkracht.......... en vergeet niet dat je
steeds welkom bent voor een inhaalles!
Nog een goed examen
toegewenst
en een prettige vakantie