Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie
De drie vragen van Einstein
Wat is licht?
Wat is
massa?
In 1905, Einstein was toen 26 jaar!
Klassiek: wat is licht?
• Licht is een golf, die naar alle kanten
door een bron (bv. lamp) wordt
uitgezonden. De afstand tussen de
golftoppen bepaalt de kleur.
• Uit de theorie van Maxwell en uit
alle experimenten in de 19e eeuw
volgde dat de snelheid van het licht
niet afhangt van de snelheid van de
bron.
• Dus: licht dat vanuit een snelle trein
wordt uitgezonden heeft dezelfde
snelheid als wanneer uitgezonden
door een stilstaande bron!
Klassiek: wat is tijd?
• Tijd is wat een klok aangeeft
• Tijd verloopt regelmatig
• Tijd verloopt voor iedereen even snel
Klassiek: wat is massa?
• Massa is de hoeveelheid
materie in een voorwerp
• Massa is niet hetzelfde als
gewicht
• Massa blijft behouden
(kan niet in iets anders
worden omgezet)
Het klassieke wereldbeeld
• Isaac Newton 1687
We leven in een 3-dimensionale ruimte
waarin de tijd uniform verloopt.
Ruimte en tijd zijn onafhankelijk van ons.
Galileo Galilei, Discorsi, 1638
“Sluit jezelf met een vriend op in een grote hut onder het dek op een groot
schip en neem wat vliegen, vlinders en andere kleine vliegende diertjes
mee. Neem ook een grote kom water met wat vissen mee; hang een fles
water op die langzaam leegdruppelt in een vat daaronder. Als het schip
stilstaat, bestudeer dan precies hoe de kleine diertjes met dezelfde snelheid
naar alle kanten van de hut vliegen. Spring in verschillende richtingen en let
op waar je weer neerkomt…
Nadat je dit alles zorgvuldig bestudeerd hebt, laat je het schip in een
willekeurige richting bewegen. Zolang de beweging van het schip uniform is
en niet op de een of andere manier fluctueert zul je niet het geringste
verschil merken in al die genoemde effecten en bovendien kun je niet
uitmaken of het schip beweegt of stil ligt. De druppels blijven in het vat
vallen en bewegen niet in de richting van de achterkant van het schip; de
vissen in hun kom zullen met evenveel kracht in de richting van de boeg
zwemmen als andersom en zullen met evenveel gemak hun voer bereiken,
waar het ook in de kom wordt geplaatst. Ook de vliegen en vlinders zullen
zich niet concentreren in de achterzijde van de hut …..”
Inertiaalsystemen
in de klassieke mechanica
• Als twee treinen elkaar passeren (en je zit in een van de
twee), is het in principe niet mogelijk uit te maken welke
van de twee beweegt.
M.a.w.: snelheid kun je niet voelen*
• Systemen die met constante snelheid bewegen noemen
we inertiaalsystemen
• Als ik in een trein die een vaste snelheid van 100 km/h
heeft, een bal met een snelheid van 5 km/h
(naar voren) gooi, heeft deze t.o.v. de grond een
snelheid van 105 km/h.
M.a.w. snelheden in inertiaalsystemen tellen op.
* let op, versnelling, bv. de bocht om gaan of remmen, voel je wel degelijk!
Relativiteitsprincipe van Galilei
•
Galileo Galilei 1632
De wetten van de mechanica zijn gelijk in alle inertiaalsystemen
vbal
vtotaal
vauto
In bewegend systeem
Vanuit stilstaande waarnemer gezien
vtotaal  vbal
Revolutie (1) in de natuurkunde
• Albert Einstein 1905
Lengtematen en tijdseenheden zijn niet gelijk
voor waarnemers die
ten opzichte van elkaar bewegen
De postulaten van Einstein 1905
1. Het relativiteitsprincipe: in alle
inertiaalsytemen gelden gelijke wetten
voor de natuurkunde (dus zowel voor de
mechanica als de electrodynamica)
2. De lichtsnelheid c is voor alle
waarnemers gelijk, onafhankelijk van de
beweging van waarnemer of lichtbron
Tijd in stilstaand en bewegend systeem
in de klassieke mechanica
B
In bewegend systeem
gaat bal van A naar B en
weer terug naar A in tijd t
tijd = afstand / snelheid
h
vbal
2h
t
vbal
A
Door stilstaande waarnemer gezien: bal gaat van A naar B naar C
B
l
A
De bal doet hier een tijd t´ over
die gelijk is (moet zijn) aan t
h
vauto x t
C
Weliswaar is de weg l groter dan h, maar de bal
heeft ook snelheid van de auto meegekregen!
Gedankenexperiment 1
Licht in stilstaande en bewegende systemen
Lichtflitsje in bewegend
systeem van spiegels
gaat van A via B naar A
in de totale tijd to
B
tijd = afstand / snelheid
h
c
(spiegels staan stil in systeem!)
2h
t0 
c
A
Door stilstaande waarnemer gezien bewegen de spiegels met snelheid
v en gaat het lichtflitsje van A naar B naar C in tijd t
B
l
A
Aangezien de weg l langer dan h is, terwijl
de lichtsnelheid c constant is, doet het licht
er nu langer over: t is groter dan t0
h
C
vt
(het licht krijgt geen snelheid mee van de auto!)
Tijddilatatie
Tijd t0 wordt gemeten in meebewegend systeem (dit is de eigentijd τ)
In stelsel van stilstaande waarnemer wordt tijd t gemeten
t   t0 
t0
1 v / c
2
2
of:
v2
t0  t /   t 1  2  t
c
De tijd verloopt in een bewegend systeem
langzamer dan voor een stilstaande waarnemer
(‘bewegende klokken lopen achter’)
Merk op dat
γ
altijd groter dan 1 is !
De tweelingparadox
• Beschouw tweelingzussen Thea
(thuisblijver) en Rosa (ruimtevaarder),
beiden 25 jaar oud
• Rosa vertrekt in een raket en maakt met
zeer grote snelheid een ruimtereis en komt
na 4 jaar (op haar klok) terug op aarde
• Ze ziet Thea weer terug en die blijkt
inmiddels grootmoeder geworden!
De tweelingparadox
Vóór de reis
Thea 25 jaar
De reis van Rosa
Rosa 25 jaar
Thea wacht 30 jaar
t van Thea (vanaf start reis) is
Weerzien
30 jaar. Door de hoge snelheid
(van Rosa) is t0=t/ γ maar 4
jaar!
Thea 55 jaar
Rosa 29 jaar
Is er een tweelingparadox?
• Vanuit Rosa bekeken heeft Thea (inclusief de
aarde) zich juist met grote snelheid van haar af
bewogen en zou Thea dus jonger moeten blijven
• Antwoord: situatie is niet symmetrisch, Rosa
heeft zich niet steeds in een inertiaalsysteem
bevonden omdat ze ergens vertraagd,
omgekeerd, en weer versneld is om op aarde
terug te kunnen komen
• Maar: het jong-blijf-effect is wel degelijk
realistisch en gemeten met klokken in
vliegtuigen
Afstanden meten met licht
• Je kunt afstanden meten door te meten hoe lang licht er
over doet om die afstand af te leggen. We hebben
gezien dat waarnemers in verschillende
inertiaalsystemen niet dezelfde tijdsintervallen meten.
Het noodzakelijke gevolg is ook dat ze verschillende
lengtes moeten meten.
• M.a.w.: als je ziet dat de klok van een bewegend
systeem een factor γ langzamer loopt, moeten daar ook
de linealen een factor γ korter zijn. Dat is de enige
manier om te garanderen dat beide waarnemers
dezelfde snelheid van het licht meten.
• Conclusie: in bewegende systemen zijn de lengtematen
gekrompen!
Gedankenexperiment 2
Lengtematen in stilstaande en bewegende systemen
Thea (T) meet lengte
van raam in
stilstaande trein met
meetlat: L0
L0
t
T
t0
v
R
Rosa (R) zit
in de trein
Thea in stilstaande trein kan die
Rosa (R) in bewegende trein meet via
lengte ook bepalen door de tijd t
van de passage van de merkstreep
op bewegende trein met snelheid v
merkstreep de tijd to die het duurt om
langs het raam van de stilstaande trein
te rijden en concludeert voor de lengte
te meten:
van het raam:
L0  vt
L  vt0
Lorentzcontractie
1. De lengte van een voorwerp, gemeten in een meebewegend systeem is
L0=vt .
2. De lengte die een stilstaande waarnemer meet, als dit voorwerp met
snelheid v voorbijkomt, is L=vt0.
3. Conclusie: aangezien de tijd in bewegend systeem langzamer verloopt,
t0=t/γ, moet L kleiner dan L0 zijn
L
L0

 L0 1  v / c
2
2
Lengtematen in bewegende systemen
worden korter
Speciale Relativiteitstheorie
v / c  07 / 8
Gedankenexperiment 3
Over het begrip gelijktijdigheid
O
C
M
We bekijken een lange trein, waarin precies vanuit het midden (O) een
korte lichtflits wordt uitgezonden naar alle kanten.
Omdat dit licht precies vanuit het midden komt zullen de machinist M en
de conducteur C de lichtflits op precies het zelfde moment zien
M en C, meebewegend in de trein,
nemen de gebeurtenis gelijktijdig waar
Vanaf de spoordijk gezien
Vanaf de spoordijk gezien
O
v
M
C
O
v
M
C
O
C
M
v
P
De stilstaande persoon P neemt waar dat de lichtflits
eerder conducteur C bereikt dan de machinist M
Dezelfde proef, maar nu met ballen
O
v
M
C
O
v
M
C
O
C
M
v
P
De stilstaande persoon P ziet ook dat de ballen
de conducteur C en de machinist M gelijktijdig bereiken.
Verklaring: de ballen krijgen de snelheid van de trein mee (of tegen).
Relativistisch optellen van snelheden
• Waarom is de uitkomst van de proef in de
trein anders met licht dan met ballen?
• Je mag dus snelheden niet zo maar bij
elkaar optellen!
• Alleen voor lage snelheden kan dat wel in
goede benadering
• Bij snelheden in de buurt van de
lichtsnelheid mag dat niet !
• Voorbeeld: 0,7 c + 0,9 c
0,982 c
Relativistische optelling van snelheden
Een persoon beweegt met snelheid v en gooit iets met snelheid u
naar voren. De totale snelheid van het voorwerp is dan s, gelijk aan:
uv
s
u v
1   
c c
Voorbeeld:
Een persoon in een trein die met snelheid v rijdt, zendt een lichtsignaal uit.
Wat is de totale snelheid s van het licht vanaf de grond gezien?
Antwoord:
In dit geval is u=c en de formule geeft dan s=c (onafhankelijk van v)!
Voor lage snelheden (t.o.v. c) geeft de formule s=u+v, het klassieke resultaat.
Relativiteit van gelijktijdigheid
Gebeurtenissen die gelijktijdig zijn in één
inertiaalsysteem zijn niet gelijktijdig in een ander
inertiaalsysteem.
Het begrip absolute gelijktijdigheid
bestaat niet!
Conclusies van Einstein
• De tijd in een bewegend systeem
gaat langzamer
• De lengtematen in een bewegend
systeem worden kleiner
• Absolute gelijktijdigheid bestaat niet
Dit is de speciale relativiteitstheorie, die handelt over eenparige bewegingen,
versnelde bewegingen worden in de algemene relativiteitstheorie behandeld
Les demoiselles d’Avignon
Picasso 1907
Relativiteit van
ruimte en tijd in de
kunst?
Lorentzcontractie en tijddilatatie
1
0,9
0,8
0,7
1/γ
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
v/c
De lichtsnelheid is 3 x 108 m/s (ongeveer 1 miljard km/uur)
Experiment om muonen te tellen
5 km
Muonen zijn deeltjes die hoog
(enkele kilometers) in de atmosfeer
gevormd worden. Ze zijn niet
stabiel en hebben een levensduur
van 2 miljoenste s. Hun snelheid is
99,78 % van de lichtsnelheid.
Gedurende hun leven kunnen ze
dus maar ongeveer 600 m
afleggen.
We zouden ze dus niet op aarde in
een detector kunnen waarnemen!
Aarde
Is dit experiment zinloos?
Toch maar proberen ….
Tijddilatatie: muonverval
Als je het experiment doet, meet je
wél muonen in de detector
Verklaring:
5 km
Aarde
Als gevolg van hun grote snelheid
treedt er voor de muonen
relativistische tijddilatatie op.
De levensduur wordt een factor γ
groter. Bij deze snelheid is die
factor ongeveer gelijk aan 15.
Ze kunnen dus 15 x 600 m = 9 km
afleggen en wel degelijk op aarde
gemeten worden!
(door hun hoge snelheid worden ze
niet zo snel oud en gaan later dood)
E  mc
2
“Het is niet uitgesloten dat
deze theorie experimenteel
te bevestigen is”
Massa en energie kunnen in elkaar overgaan
Omdat de lichtsnelheid c zo groot is, vertegenwoordigt een relatief kleine
massa al een enorme hoeveelheid energie.
Zowel de atoombom als kernenergie berusten op een (kern-)reactie
waarbij een kleine hoeveelheid massa in energie wordt omgezet
Hoeveel energie vertegenwoordigt 1 gram massa?
E  mc  m  c  c
2
m = 1 gram
c= 300 miljoen meter per seconde
Resultaat: E = 1 miljoen Kilowattuur of 1000 ton TNT !!
In een kernreactie wordt een deeltje gesplitst.
De brokstukken hebben samen iets minder massa
dan het oorspronkelijke deeltje. Het kleine stukje
massaverschil wordt in energie omgezet
Relativiteitstheorie in de praktijk
• Kernenergie
Splijting van zware kernen en fusie van lichte kernen
• Atoombom
• GPS systemen
Navigatiesystemen hebben contact met diverse satellieten om de plaats op
aarde te bepalen. Door de grote afstanden en de snelle relatieve
bewegingen zijn relativistische correcties noodzakelijk om precieze
plaatsbepaling mogelijk te maken.
Maar: hier speelt gravitatie (zwaartekracht) ook een grote rol
en dan is algemene relativiteitstheorie (Einstein 1915) vereist.
Het zal daarin blijken dat het verloop van de tijd niet alleen afhangt van de
beweging van de waarnemer, maar ook van het zwaartekrachtsveld waarin
deze zich bevindt.
In een sterk zwaartekrachtsveld
loopt de tijd langzamer;
in een zwart gat staat de tijd stil!
De vier vragen van Einstein
Wat is licht?
Wat is
massa?
De laatste vraag werd in 1915 door Einstein beantwoord
In de Algemene Relativiteitstheorie
Samenstellen van snelheden
Nu gooi ik een bal niet in de rijrichting, maar loodrecht daarop.
Wat wordt dan de totale snelheid van de bal t.o.v. de grond?
Oplossing:
Snelheid trein (horizontaal) is v1 , snelheid bal (verticaal) is v2 meter/s
Na 1 seconde is de horizontaal afgelegde afstand dus v1 meter,
terwijl verticaal v2 meter is afgelegd.
De totale afgelegde afstand volgt uit de wet van Pythagoras:
2
vtot
 v12  v22
Aangezien deze afstand ook in 1 seconde is doorlopen, is vtot ook de totale snelheid
vtot
v2
vtot  v  v2
2
1
v1
2
Tijd in stilstaand en bewegend systeem
in de klassieke mechanica
B
tijd = afstand / snelheid
In bewegend systeem:
h
vbal
2h
t
vbal
A
Door stilstaande waarnemer gezien:
2
2
2l 2 ( vautot / 2)  h
t 


vtot
vtot
B
vauto
vbal
l
vtot
2 ( vautot / 2) 2  ( vbal t / 2) 2
h
v
C
A
vauto x t
2
auto
v
2
bal
t
Licht in stilstaande en bewegende systemen
B
tijd = afstand / snelheid
In meebewegend
systeem:
h
c
2h
t0 
c
A
Door stilstaande waarnemer gezien:
B
l
A
2l 2 h 2  ( vt / 2) 2
t 
c
c
2h
ct0
t0
t


 t0
2
2
2
2
2
2
c v
c v
1 v / c
h
C
vt