Relativiteitstheorie (4)
Tot nu toe…
• Hoe ‘vertaal’ je de snelheidsmetingen van waarnemer
S naar die van waarnemer S’?
x ( x'vt' )
y y'
z z'
t (t 'vx' / c 2 )
1
1 v2 / c2
Een snelheid van een langs de x-as bewegend voorwerp,
gemeten door S is u x dx / dt
S’ meet een snelheid u x ' dx' / dt '
NB. v = onderlinge snelheid van S en S’,
ux , ux’ = snelheid van het voorwerp.
Transformatie van snelheden
dx x2 x1
x2 ( x2 'vt2 ' )
x1 ( x1 'vt1 ' )
x2 x1 [( x2 ' x1 ' ) v(t2 't1 ' )]
dx'
dx [dx'vdt' ]
• Het verschil dx transformeert net zo als de
coördinaat x zelf.
• Dit geldt ook voor het verschil dt [Ga na!]:
t [t 'vx' / c 2 ]
dt [dt 'vdx' / c 2 ]
dt '
Transformatie van snelheden (2)
dx [dx'vdt' ]
dt [dt 'vdx' / c ]
2
u x 'v
dx
(dx'vdt' )
dx' / dt 'v
ux
2
2
2
dt (dt 'vdx' / c ) 1 (v / c )dx' / dt ' 1 vux ' / c
dx'
ux '
dt '
De snelheid langs de x-as transformeert dus als:
u x 'v
ux
1 vux ' / c 2
Transformatie van snelheden (3)
Stel dat het voorwerp ook een snelheid heeft langs de y- en
de z-as. Meten S en S’ dan ook een verschillende uy en uz?
Er geldt dat y y ' en z z ' , dus dy dy ' en dz dz '.
Maar t (t 'vx' / c 2 ) dus t t ' dt dt '.
uy '
dy
dy'
dy' / dt '
uy
2
2
dt (dt 'vdx' / c ) [1 (v / c )dx' / dt ' ] [1 vux ' / c 2 ]
S’
S
Dus: u
y
uy '
[1 vux ' / c 2 ]
uz '
uz
[1 vux ' / c 2 ]
a. Menging met ux’
b. De limiet v « c geeft weer
het klassieke gedrag.
Relativistische Impuls
• De ‘klassieke’ impuls van een deeltje met massa m en
snelheid u is p mu .
• In een ‘gesloten systeem’ (systeem waar geen uitwendige
krachten op worden uitgeoefend) is de
totale impuls van alle deeltjes behouden bij botsingen.
• In de SRT is de klassieke impuls niet behouden.
Zie het voorbeeld op p. 1288 van Tipler & Mosca:
- Totale impuls langs de y-as is eerst ongelijk nul voor
beide waarnemers: p Ay pBy 0. [ In beide stelsels.]
- De totale impuls langs de y-as keert om bij de
botsing -> deze component van de impuls is
niet behouden. Als er één component niet behouden
is, dan is de gehele vector p ook niet behouden.
Relativistische Impuls (2)
• Er is dus een nieuwe definitie van de impuls nodig.
We eisen a) dat dit wél [bij botsingen] een behouden
grootheid is, en
b) dat pRel pKlassiek in de limiet | u | c
• De definitie pSRT mu
met
1
N.B. in deze definitie gebruik je
snelheid u v.h. voorwerp, niet de
1 u 2 / c2
snelheid v v.d. waarnemer!
voldoet aan beide eisen [Ga na dat in het voorbeeld op
p. 1288 de totale y-component v.d. impuls nul is voor
beide waarnemers!]
Relativistische Impuls (3)
• Een mogelijke interpretatie van de definitie
mu
p
1 u 2 / c2
• is dat de massa toeneemt met de snelheid u
(immers wordt steeds groter).
Dit is in overeenstemming
met het experimentele gegeven dat
je een voorwerp niet tot c kunt
versnellen.
• Blijkbaar is de rustmassa m
en de bewegende massa m.
Relativistische Energie
De klassieke kinetische energie van een voorwerp, bereken
je als de totale ‘kracht maal weg’ die nodig is om het van een
beginsnelheid u = 0 tot een eindsnelheid u = uf te versnellen:
u u f
K
u 0
u u f
dp
ds
1
1
Fds ds m du mudu m u 2
mu 2f
dt
dt
2
2 u 0
dp
F
dt
u s
dp mdu
ds
u
dt
We kunnen precies hetzelfde doen met onze nieuwe
definitie van de impuls. Het resultaat is:
K
mc2
1 u / c
2
2
mc2
[ Ga dit na!]
Relativistische Energie (2)
K
mc2
1 u 2 / c2
mc2
De eerste term hangt van de snelheid u af, de 2de niet.
De term E0 mc 2 heet de rustenergie van het voorwerp:
blijkbaar is er ook sprake van energie t.g.v. het hebben
van massa. Deze energie is ook aanwezig als het deeltje
niet beweegt!
• Voor lage snelheden reduceert K tot het klassieke
resultaat. Omdat (1 ) 1/ 2 1 / 2, geldt dat
1
K mu 2 als v c 2 . [Ga na! ]
2
Relativistische Energie (3)
K
mc2
1 u 2 / c2
mc2
E0 mc 2
De kinetische energie is de totale relativistische energie
min de rustenergie De totale relativistische energie
definieer je dus als de som van K en E0:
ERel K E0
mc 2
1 u 2 / c2
Het is gebruikelijk om de rustmassa/c2 van een deeltje
uit te drukken als een energie. Bijv:
me 0,5 MeV
electron
m p 938,3 MeV
proton
m 0
foton
Relativitische Kinematica
• De klassieke impuls en energie zijn beiden behouden
bij botsingen. [Alhoewel energie bijv. in warmte kan
worden omgezet.]
• Maar de klassieke impuls is niet behouden in
relativistische situaties.
• We hebben daarom nu een nieuwe, relativistische,
definitie voorimpuls en voor energie.
mu
mc 2
p
ERel
2
2
1 u / c
1 u 2 / c2
• Verschillende waarnemers zullen verschillende
waardes meten voor pRel en ERel [waarom?]
Relativitische Kinematica (2)
p
mu
1 u / c
2
2
ERel
mc 2
1 u 2 / c2
• Gebruik deze twee relaties om u te elimineren:
p 2 [1 u 2 / c 2 ] m2u 2
E 2 [1 u 2 / c 2 ] m2c 4
u 2 / c 2 p 2c 2 / E 2 E 2 [1 p 2c 2 / E 2 ] m2c 4 dus :
E 2 p 2c 2 m2c 4
Rechts staan twee grootheden nl. de lichtsnelheid c en de
rustmassa m. Omdat alle waarnemers het erover eens zijn
wat de rustmassa is [ze volgen daarvoor nl. dezelfde
procedure.], en c absoluut is, is de gehele rechterkant
absoluut, d.w.z. voor alle waarnemers gelijk (ook al zijn ze
het niet eens over p2 en dus ook niet over E !)
Relativitische Kinematica (3)
p
mu
1 u / c
2
2
ERel
mc 2
1 u 2 / c2
E 2 p 2c 2 m2c 4
• Experimenteel blijkt dat pRel en ERel beide behouden zijn
bij botsingen.
• Maar de massa m (die klassiek wél is behouden) is dat
niet! Dit heeft vele gevolgen.
Compton verstrooiing
• Klassiek bestaan er geen deeltjes zonder massa. Maar
het foton blijkt een uitzondering te zijn:
E 2 p 2c 2
• Dat een foton toch een impuls heeft is aangetoond
door Comton (Nobel prijs 1927):
Doordat het foton een gedeelte
van zijn impulsmoment overdraagt
aan het elektron, verliest het ook
energie. Omdat E ,
is de frequentie van het
verstrooide licht lager dan dat van
het invallende licht.
Creatie/Annihilatie van deeltjes
• Fotonen met een hoge energie kunnen elektronpositron paren creëren:
De energie van het foton moet minstens gelijk zijn
aan de rustmassa van het elektron-positron paar:
E hf 2me c 2
Creatie/Annihilatie van deeltjes (2)
Maar ook deeltjes met massa kunnen bij botsingen een
heel scala aan deeltjes creëren:
Door de impuls en energie
van de deeltjes te meten
valt hun massa te bepalen
m.b.v.
E 2 p 2c 2 m2c 4
Zo zijn honderden deeltjes
gevonden.
