Relativiteitstheorie Taco Visser

Relativiteitstheorie (4)
Tot nu toe…
• Hoe ‘vertaal’ je de snelheidsmetingen van waarnemer
S naar die van waarnemer S’?
x   ( x'vt' )
y  y'
z  z'
t   (t 'vx' / c 2 )

1
1 v2 / c2
Een snelheid van een langs de x-as bewegend voorwerp,
gemeten door S is u x  dx / dt
S’ meet een snelheid u x '  dx' / dt '
NB. v = onderlinge snelheid van S en S’,
ux , ux’ = snelheid van het voorwerp.
Transformatie van snelheden
dx  x2  x1
x2   ( x2 'vt2 ' )
x1   ( x1 'vt1 ' )
x2  x1   [( x2 ' x1 ' )  v(t2 't1 ' )]
dx'
dx   [dx'vdt' ]
• Het verschil dx transformeert net zo als de
coördinaat x zelf.
• Dit geldt ook voor het verschil dt [Ga na!]:
t   [t 'vx' / c 2 ]
dt   [dt 'vdx' / c 2 ]
dt '
Transformatie van snelheden (2)
dx   [dx'vdt' ]
dt   [dt 'vdx' / c ]
2
u x 'v
dx
(dx'vdt' )
dx' / dt 'v
ux 



2
2
2
dt (dt 'vdx' / c ) 1  (v / c )dx' / dt ' 1  vux ' / c
dx'
ux ' 
dt '
De snelheid langs de x-as transformeert dus als:
u x 'v
ux 
1  vux ' / c 2
Transformatie van snelheden (3)
Stel dat het voorwerp ook een snelheid heeft langs de y- en
de z-as. Meten S en S’ dan ook een verschillende uy en uz?
Er geldt dat y  y ' en z  z ' , dus dy  dy ' en dz  dz '.
Maar t   (t 'vx' / c 2 ) dus t  t '  dt  dt '.
uy '
dy
dy'
dy' / dt '
uy 



2
2
dt  (dt 'vdx' / c )  [1  (v / c )dx' / dt ' ]  [1  vux ' / c 2 ]
S’
S
Dus: u 
y
uy '
 [1  vux ' / c 2 ]
uz '
uz 
 [1  vux ' / c 2 ]
a. Menging met ux’
b. De limiet v « c geeft weer
het klassieke gedrag.
Relativistische Impuls
• De ‘klassieke’ impuls van een deeltje met massa m en

 
snelheid u is p  mu .
• In een ‘gesloten systeem’ (systeem waar geen uitwendige
krachten op worden uitgeoefend) is de
totale impuls van alle deeltjes behouden bij botsingen.
• In de SRT is de klassieke impuls niet behouden.
Zie het voorbeeld op p. 1288 van Tipler & Mosca:
- Totale impuls langs de y-as is eerst ongelijk nul voor
beide waarnemers: p Ay  pBy  0. [ In beide stelsels.]
- De totale impuls langs de y-as keert om bij de
botsing -> deze component van de impuls is
niet behouden. Als er één component niet behouden

is, dan is de gehele vector p ook niet behouden.
Relativistische Impuls (2)
• Er is dus een nieuwe definitie van de impuls nodig.
We eisen a) dat dit wél [bij botsingen] een behouden
grootheid is, en



b) dat pRel  pKlassiek in de limiet | u |  c


• De definitie pSRT   mu
met
1
N.B. in deze definitie gebruik je

snelheid u v.h. voorwerp, niet de
1 u 2 / c2
snelheid v v.d. waarnemer!
voldoet aan beide eisen [Ga na dat in het voorbeeld op
p. 1288 de totale y-component v.d. impuls nul is voor
beide waarnemers!]
Relativistische Impuls (3)
• Een mogelijke interpretatie van de definitie


mu
p
1 u 2 / c2

• is dat de massa toeneemt met de snelheid u
(immers  wordt steeds groter).
Dit is in overeenstemming
met het experimentele gegeven dat
je een voorwerp niet tot c kunt
versnellen.
• Blijkbaar is de rustmassa  m
en de bewegende massa   m.
Relativistische Energie
De klassieke kinetische energie van een voorwerp, bereken
je als de totale ‘kracht maal weg’ die nodig is om het van een
beginsnelheid u = 0 tot een eindsnelheid u = uf te versnellen:
u u f
K

u 0

u u f
 

dp
ds
1
1 
Fds   ds   m du   mudu  m u 2 
 mu 2f
dt
dt
2
 2  u 0
 dp
F
dt
 
u s
dp  mdu
ds
u
dt
We kunnen precies hetzelfde doen met onze nieuwe
definitie van de impuls. Het resultaat is:
K
mc2
1 u / c
2
2
 mc2
[ Ga dit na!]
Relativistische Energie (2)
K
mc2
1 u 2 / c2
 mc2
De eerste term hangt van de snelheid u af, de 2de niet.
De term E0  mc 2 heet de rustenergie van het voorwerp:
blijkbaar is er ook sprake van energie t.g.v. het hebben
van massa. Deze energie is ook aanwezig als het deeltje
niet beweegt!
• Voor lage snelheden reduceert K tot het klassieke
resultaat. Omdat (1   ) 1/ 2  1   / 2, geldt dat
1
K  mu 2 als v  c 2 . [Ga na! ]
2
Relativistische Energie (3)
K
mc2
1 u 2 / c2
 mc2
E0  mc 2
De kinetische energie is de totale relativistische energie
min de rustenergie De totale relativistische energie
definieer je dus als de som van K en E0:
ERel  K  E0 
mc 2
1 u 2 / c2
Het is gebruikelijk om de rustmassa/c2 van een deeltje
uit te drukken als een energie. Bijv:
me  0,5 MeV
electron
m p  938,3 MeV
proton
m  0
foton
Relativitische Kinematica
• De klassieke impuls en energie zijn beiden behouden
bij botsingen. [Alhoewel energie bijv. in warmte kan
worden omgezet.]
• Maar de klassieke impuls is niet behouden in
relativistische situaties.
• We hebben daarom nu een nieuwe, relativistische,
definitie voorimpuls en voor energie.

mu
mc 2
p
ERel 
2
2
1 u / c
1 u 2 / c2
• Verschillende waarnemers zullen verschillende
waardes meten voor pRel en ERel [waarom?]
Relativitische Kinematica (2)

p

mu
1 u / c
2
2
ERel 
mc 2
1 u 2 / c2
• Gebruik deze twee relaties om u te elimineren:
p 2 [1  u 2 / c 2 ]  m2u 2
E 2 [1  u 2 / c 2 ]  m2c 4
u 2 / c 2  p 2c 2 / E 2  E 2 [1  p 2c 2 / E 2 ]  m2c 4 dus :
E 2  p 2c 2  m2c 4
Rechts staan twee grootheden nl. de lichtsnelheid c en de
rustmassa m. Omdat alle waarnemers het erover eens zijn
wat de rustmassa is [ze volgen daarvoor nl. dezelfde
procedure.], en c absoluut is, is de gehele rechterkant
absoluut, d.w.z. voor alle waarnemers gelijk (ook al zijn ze
het niet eens over p2 en dus ook niet over E !)
Relativitische Kinematica (3)

p

mu
1 u / c
2
2
ERel 
mc 2
1 u 2 / c2
E 2  p 2c 2  m2c 4
• Experimenteel blijkt dat pRel en ERel beide behouden zijn
bij botsingen.
• Maar de massa m (die klassiek wél is behouden) is dat
niet! Dit heeft vele gevolgen.
Compton verstrooiing
• Klassiek bestaan er geen deeltjes zonder massa. Maar
het foton blijkt een uitzondering te zijn:
E 2  p 2c 2
• Dat een foton toch een impuls heeft is aangetoond
door Comton (Nobel prijs 1927):
Doordat het foton een gedeelte
van zijn impulsmoment overdraagt
aan het elektron, verliest het ook
energie. Omdat E   ,
is de frequentie van het
verstrooide licht lager dan dat van
het invallende licht.
Creatie/Annihilatie van deeltjes
• Fotonen met een hoge energie kunnen elektronpositron paren creëren:
De energie van het foton moet minstens gelijk zijn
aan de rustmassa van het elektron-positron paar:
E  hf  2me c 2
Creatie/Annihilatie van deeltjes (2)
Maar ook deeltjes met massa kunnen bij botsingen een
heel scala aan deeltjes creëren:
Door de impuls en energie
van de deeltjes te meten
valt hun massa te bepalen
m.b.v.
E 2  p 2c 2  m2c 4
Zo zijn honderden deeltjes
gevonden.