Getal en Ruimte > Wiskunde Hoofdstuk 4 4.1 Cijfermateriaal Theorie

Getal en Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 4
4.1 Cijfermateriaal
Theorie A informatie halen uit een artikel
Kranten staan vol artikelen waarin getallen een rol te spelen. Door dit cijfermateriaal te
combineren kun je vaak heel wat informatie uit zo’n artikel halen. Een probleem hierbij is dat de
gegevens niet altijd netjes geordend zijn. Het kan verstandig zijn de gegevens eerst in een tabel
te zetten. Een tabel is overzichtelijker dan en stuk tekst.
In de volgende opgeven moet je naar aanleiding van een krantenartikel vragen beantwoorden.
De strategie daarbij is de volgend.
 Verdiep je in de situatie door het artikel aandachtig te lezen
 Verwerk de gegevens op een ordelijke manier, bijvoorbeeld door een tabel te maken
Theorie B rekenen met grote getallen
De getallen die in krantenartikelen voorkomen zijn vaak zo groot dat ze niet in het venster van je
rekenmachine passen. Je gaat dan over op de wetenschappelijke notatie. Zoals je weet, is
1 miljoen = 1 000 000 = 106 en 1 miljard = 1 000 000 000 = 109
Om 3,82 miljard in je rekenmachine in te voeren gebruik je 3,82 . 109.
Om 8,5 X 3,82 miljard te berekenen, doe je eerst 8,5 X 3,82 = 32,47.
Bij grote getallen is de opdracht vaak ‘rond af op duizendtallen’, ‘rond af op miljoenen’ of ‘rond
af op miljarden’’.
 83617 afronden op duizendtallen geeft 84 000
 Je mag ook schrijven 84 duizend
 5 321 786 afronden op miljoenen geeft 5 miljoen
4.2 Procentuele toe- en afname
Theorie A nieuw berekenen bij procentuele toe- en afname
Percentage van een hoeveelheid berekenen
Je weet 12% is 0,12, dus 12% van 720 is 0,12 X 720 = 86,4.
8,4% van 125 is 0.084 X 125 = 10,5
Procentuele toename
Neemt een hoeveelheid met 18% toe, dan krijg je
100% + 18% = 118%, dus x 1,18.
Dus NIEUW = 1,18 x OUD
Bij een toename van 5,3% krijg je
NIEUW = 1,053 x OUD.
Procentuele afname
Neemt een hoeveelheid met 12% af, dan krijg je
100% - 12% = 88%, dus x 0,88
Dus NIEUW = 0,88 x OUD
Bij een afname van 2,3% krijg je
NIEUW = 0,977 x OUD
Bij een toename van 8% is NIEUW = 1,08 x OUD
Bij een afname van 3% is NIEUW = 0,97 x OUD
Niet altijd is vermeld hoe nauwkeurig je het antwoord moet geven.
Houd je aan de volgende vuistregels.
Vuistregels bij procentberekeningen
1. Geef procenten in één decimaal nauwkeurig
Getal en Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 4
2. Geef NIEUW en OUD in hetzelfde aantal decimalen
Ga telkens na of de nauwkeurigheid past bij het gegeven probleem. Zo zeg je dat er in 2007 in
Nederland 92,9 miljoen kippen zijn en niet 92 781 304. Je zou niet kunnen zeggen dat er 93
miljoen kippen zijn.
Theorie B OUD berekenen bij procentuele toe- of afname
Een fiets wordt 12% duurder. De nieuwe prijs is 588 euro.
Om de oude prijs te berekenen, bedenk je
1,12 x OUD = NIEUW en NIEUW = 588
1,12 x OUD = 588
OUD = 588:1,12 = 525
De fiets kostte dus 525 euro.
Let goed op het verschil tussen de volgende berekeningen.
Een fototoestel wordt 8% goedkoper. De nieuwe prijs is 230 euro. Om de oude prijs te
berekenen, bedenk je
0,92 x OUD = NIEUW en NIEUW = 230
OUD = 230:0,92 = 250
Het fototoestel kostte dus 250 euro
4.3 Procenten berekenen
Theorie A Procentuele toename berekenen
Voor het berekenen van percentages heb je de volgende regels geleerd.
PERCENTAGE BEREKENEN
Hoeveel procent is 13 van 54?
13 van 54 is 13:54 x 100% ≈24,1%
PROCENTUELE TOENAME BEREKENEN
Procentuele toename = NIEUW – OUD : OUD x 100%
Theorie B van percentage naar TOTAAL
Op het Gauss College komen 307 leerlingen met het openbaar vervoer naar school. Dat is 24%
van alle leerlingen.
Om het totale aantal leerlingen te berekenen, gebruik je
24% van het TOTAAL is 307
0,24 x TOTAAL = 307
deel door 0,24
TOTAAL = 307 : 0,24 ≈ 1279
VAN PERCENTAGE NAAR TOTAAL
18% van het TOTAAL is 153
Het TOTAAL bereken je met 0,18 x TOTAAL = 153,
Dus TOTAAL = 153 : 0,18 = 850
4.4 Diagrammen en procenten
Theorie A grafische verwerking
Er zijn allerlei manieren om cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur weer te geven. De meest
gebruikte manieren van grafische verwerkingen zijn:
1. Beelddiagram
In een beelddiagram zijn de hoeveelheden aangegeven met figuurtjes
Getal en Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 4
2. Staafdiagram
Met een staafdiagram kun je onderzoeksresultaten onderling snel vergelijken. De staven staan
los van elkaar.
In een samengesteld staafdiagram zijn er als het ware twee of meer staafdiagrammen in één
figuur getekend. Daarbij kunnen de staven van de verschillende diagrammen zowel naast elkaar
als op elkaar getekend zijn.
3. Cirkeldiagram
Een cirkeldiagram geeft een goed beeld van een procentuele verdeling
4. Lijndiagram
Een lijndiagram laat zien hoe een verschijnsel zich in de tijd heeft ontwikkeld
5. Histogram
Een staafdiagram bij een frequentietabel met waarnemingsgetallen is een histogram. De staven
staan tegen elkaar aan.
6. Steel-bladdiagram
In een steel-bladdiagram zijn alle waarnemingsgetallen overzichtelijk verwerkt.
Theorie B misleidende diagrammen
Een diagram maakt vaak meer duidelijk dan ceel woorden en cijfers. Vandaar dat je in allerlei
artikelen en verslagen diagrammen aantreft. Maar het gebruik van diagrammen brengt ook
gevaren mee. Ze kunnen namelijk zo gemaakt zijn, dat er een misleidende indruk van uit gaat.
EISEN WAARAAN EEN DIAGRAM MOET VOLDOEN
1. Er moet een duidelijk opschrift bij het diagram staan, zodat snel te zien is waarover het
diagram gaat.
2. Langs de assen moet voldoende informatie staan, zodat snel te zien is welke resultaten zijn
uitgezet.
3. Let op de eenheden langs de assen. Is er een scheurlijn gebruikt?
4.5 Interpoleren en extrapoleren
Theorie A schatten met behulp van interpoleren en extrapoleren
In de tabel zie je hoeveel liter frisdrank de Nederlander drinkt.
Jaar
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2007
Aantal liters 50
58
68
86
96
98
95
Uitgaande van deze gegevens kun je een schatting geven van de hoeveelheid frisdrank die in
1978 door de Nederlander gemiddeld werd gedronken. In 1975 was dat 50 liter en in 1980 was
dat 58 liter. Dat is in vijf jaar 8 liter meer, dus in één jaar 8/5 liter meer; 1978 is drie jaar na 1975,
dus de schatting voor 1978 is 50 + 3 x 8/5 ≈55 liter.
Uitgaande van de gegevens van 1975 en 1980 heb je een schatting gegeven voor het
tussenliggende jaar 1978. Een schatting geven van zo’n tussenliggende waarde heet interpoleren
(inter = tussen).
Zou je bij de gegeven tabel een schatting geven van het frisdrankverbruik in 2012, dan ben je aan
het extrapoleren (extra = buiten). Bij extrapoleren geef je een schatting voor een jaar dat buiten
het onderzochte tijdvak ligt. De schatting voor 2012 krijg je als volgt. Bij 2000 hoort 98 liter en bij
2007 hoort 95 liter. Dat is in zeven jaar 3 liter minder, dus de schatting voor 2012 is 95 – 5 x 3/7
≈ 93 liter.
INTERPOLEREN
bij een serie waarnemingsgetallen een tussenliggende waarde schatten
EXTRAPOLEREN bij een serie waarnemingsgetallen een waarde schatten die buiten de serie
waarnemingen ligt
Getal en Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 4
Bedenk dat je bij extrapoleren voorzichtig moet zijn met je schatting. Je weet nooit hoe een
verschijnsel zich in de loop van de tijd ontwikkelt. Maar ook bij interpoleren kun je er flink naast
zitten, want tussen twee meetpunten kunnen behoorlijke schommelingen optreden.