Bekijk het bijbehorende lesmateriaal

Molecuulvorming
volgens Dalton
Bohr
Atoommodellen, Quantummodellen en Leerlingmodellen
4dxy orbitaal
Molecuulvorming
met Fuzzy ball
atomen
d.j. hoekzema
e. van den berg
g.j. schooten
Woudschoten 2003
versie 7-01-04
project
Moderne Natuurkunde
op het
VWO
www.phys.uu.nl/~wwwpmn
Visualisaties van Atomen
Het beeld dat leerlingen hebben van atomen komt zelden verder dan het atoommodel van Bohr:
Elektronen draaien rond de kern als planeten rond de zon, maar op miraculeuze wijze zijn hun banen
gequantiseerd, zodat alleen bepaalde afstanden zijn toegestaan.
Voor wie verder wil gaan, verwijzen we in de eerste plaats naar het Project Moderne Natuurkunde.
Vindt u dat een stap te ver, maar zoekt u toch een mogelijkheid om in een les of drie enige verdieping
aan te brengen? Lees dan de volgende poging om u hierbij te helpen.
Uitgangssituatie
We gaan ervan uit dat de standaard leerstof van de subdomeinen licht en atoomfysica
inmiddels zo goed als geheel is behandeld, en in voldoende mate geactiveerd. In het bijzonder
geldt dit voor onderwerpen als: golven, kinetische gastheorie, het fotoelektrisch effect,
energieschema’s en spectraallijnen, elektrondiffractie en de Broglie-golflengte.
Lessen
1. In een klassikale inleiding geven we een min of meer historisch overzicht van een reeks
atoommodellen. Hierbij wordt aangegeven dat elk model is ontworpen met als doel bepaalde
problemen op te lossen en dat ieder model ook bepaalde beperkingen kent.
Daarna worden de opgaven van het werkblad atoommodellen gemaakt. Centraal staan hierbij
enerzijds de relatie tussen de modellen op microscopisch niveau en de macroscopische
verschijnselen waarvoor ze een verklaring beogen te geven en anderzijds de beperkingen van
de modellen en het domein waar ze bruikbaar zijn. Als huiswerk bestuderen de leerlingen de
pagina's uit het PMN-materiaal die als appendix A aan dit stuk zijn toegevoegd.
2. Waarschijnlijkheid speelt een belangrijke rol bij het verbinden van de theorie van
quantumdeeltjes/quantumgolven met de waargenomen werkelijkheid. Motto:
Als de positie van een deeltje gemeten wordt, dan wordt de waarschijnlijkheid om het
deeltje ergens te vinden gegeven door het kwadraat van de amplitudo ter plekke.
Dit kan worden toegelicht met twee applets:
de foto-applet (www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/foto.htm)
en de psi-applet (www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/psi.htm)
Vervolgens wordt afgesloten met de oefening over waarschijnlijkheid in het werkblad
Visualisering van Waarschijnlijkheid met snelle feedback. Als huiswerk kunnen de leerlingen
thuis oefenen met de psi-applet. Ze kunnen daarbij ook de beide werkbladen gebruiken die op
internet worden aangeboden.
3. Na de oefening met klassieke waarschijnlijkheid keren we terug naar de quantum fysica, en de
specifieke eigenaardigheden die dit met zich meebrengt. Er wordt begonnen met een
onderwijs-leergesprek over twee aspecten:
De minima in een interferentiepatroon ontstaan doordat quantumgolven
destructief interfereren; d.w.z. het deeltje kan op een bepaalde plaats niet
komen doordat het er op verschillende manieren kan komen en er wegens
faseverschillen uitdoving plaatsvindt.
De reductie van het golfpakket geeft op een sterke manier aan dat
quantumdeeltjes naast het golfkarakter ook een deeltjeskarakter vertonen: Bij
1
meting zal het deeltje altijd maar op één plek gevonden worden, en zich vandaar
uit verder “voortplanten”.
Daarna volgen weer oefeningen met snelle feedback, m.b.v. het Golven en Deeltjes Werkblad.
Er wordt afgesloten met een klassikale bespreking over wat er geleerd is.
De snelle feedback methode
Snelle feedback is een klassikale methode waarin de docent een serie opdrachten geeft die meestal een
individuele schets, tekening, of grafiek als antwoord vereisen (Berg, 2001). De opdrachten worden één
voor één gegeven. Bij elke opdracht loopt de docent rond, inspecteert wat leerlingen er van maken. De
docent stelt een snelle vraag hier en daar. Als leerlingen eerder klaar zijn, dan kunnen ze hun oplossing
vergelijken met die van anderen. Dan keert de docent terug naar het bord, bespreekt zeer kort één of
twee veel gemaakte fouten, en geeft een nieuwe opdracht. Het is belangrijk de vaart erin te houden.
De opdracht voor leerlingen en het rondlopen van de docent kan 2 of 3 minuten duren. Nabespreking
duurt 1 of 2 minuten en het is tijd voor de volgende opdracht. Over een serie van 6 – 8 opdrachten kan
een vaardigheid zeer effectief worden “ingeslepen”. Bovendien heeft de docent op elk moment een
redelijk goed beeld van wat leerlingen wel en niet begrijpen, hoever ze zijn. Daarvoor is het
noodzakelijk dat de docent voortdurend over de schouders van de leerlingen meekijkt en indrukken
baseert op echt leerlingenwerk, dus niet gokken op ervaring zonder te kijken naar leerlingen werk.
In deze drie lessen hebben we drie werkbladen opgenomen die voor snelle feedback lessen gebruikt
kunnen worden, vooral het werkblad over golffuncties en waarschijnlijkheid is zeer geschikt vanwege
de progressie in kleine stappen en de visuele antwoorden die in 1 seconde duidelijk zijn voor de
docent. Het eerste werkblad over atoommodellen kan met snelle feedback worden gedaan, maar ook
als discussie taak voor kleine groepjes. Hetzelfde geldt voor het laatste werkblad over de dubbele
spleet. Toch, probeer eens, die snelle feedback. Je leert dan als docent veel meer over leerlingideeën.
Met snelle feedback is het leren vaak intensiever en beter gefocuseerd.
Leerlingmodellen
Voorstellingen van atomen: Heisenberg schijnt gezegd te hebben (Beiser, 1995, p110): Any picture of
the atom that our imagination is able to invent is for that very reason defective. Dean Zollman, de
Amerikaanse leider van het visual quantum mechanics project heeft gezegd dat hij bij al zijn
visualisatiewerk juist visualisatie van het atoom zelf vermijdt. Hij visualiseert golffuncties,
energiediagrammen en spectra, niet atomen. Toch kun je er met leerlingen niet omheen. Op de een of
andere manier moeten we een voorstelling van atomen geven. Wat kunnen we doen?
Wright schreef een aardig artikel over voorstellingen van atomen in het natuur- en scheikunde
onderwijs op de middelbare school. De volgende plaatjes (uit Wright, 2003) bevatten enkele populaire
voorstellingen van atomen
2
De visualisatie bij elk van deze plaatjes wordt gebruikt om iets uit te leggen. Figuur 1 kan gebruikt
worden om de resultaten van het Rutherford experiment uit te leggen: het lege atoom met de
minuscule kern. De plaatjes in figuur 2 zijn scheikunde plaatjes die gebruikt worden om
elektronenverdelingen aan te geven. Figuur 3 laat fuzzy ball atomen zien die reageren en een molecuul
vormen. Van figuur 3 zou je door kunnen stappen naar meer quantum mechanische atomen zoals in
figuur 4 dat een waarschijnlijkheidsverdeling voor elektronen in een 2p-orbital laat zien.
Figuur 4
Het probleem is nu dat sommige plaatjes leiden tot nogal
hardnekkige misverstanden en aldus de vorming van
misconcepties ondersteunen. Het beroemde Bohr plaatje in
figuur 1 suggereert toch wel zeer sterk een deeltjes model met
scherp gedefinieerde elektronenbanen. Maar die zijn er niet. Het
quantummechanisch model geeft kansdichtheidsverdelingen
voor het elektron in de diverse toestanden zoals de 2p toestand in
figuur 4.
Wright (2003) pleit fel tegen representaties als die in figuur 2 en
voor de representatie van figuur 3. Figuren 1 en 2 zijn gewoon
te klassiek, te deeltjesachtig en ze vormen niet een mooie eerste
stap op weg naar een quantum mechanisch model maar zetten de
leerlingen juist op het verkeerde been. Wright gebruikt al 20 jaar
het fuzzy ball model in zijn scheikunde lessen.
De visualisering van het atoom via de golffuctie wordt hier gebruikt als didactisch model, dat een
zeker tegenwicht beoogt te geven tegen de misconcepties die een gevolg kunnen zijn van de meer
gebruikelijke deeltjesbeelden. Dit staat verder los van de vraag welke natuurkundige betekenis aan de
golffuctie kan worden toegekend. Dit is een vraag waar de meningen nog steeds sterk over verdeeld
zijn. Voor sommigen heeft ψ*ψ slechts betekenis als kansdichtheid. Voor anderen is ψ zelf wel
degelijk zelf ook een natuurkundig object. In Budde, Niedderer, Scott en Leach (2002) b.v. geeft ψ*ψ
de dichtheid van een soort vloeistof die ze elektronium noemen. Deze bepaalt tevens de fysische
ladings- en massadichtheid, een visie die aansluit bij de oorspronkelijke interpretatie van Schrödinger.
Er kan over deze kwesties desgewenst uitgebreid gediscussieerd worden, maar dit staat verder los van
de visualisering van ψ als didactisch instrument.
3
Beelden van Atomen: Modellen en Uitleg
If you think
Atoms can stop their course, refrain from movement,
And by cessation cause new kinds of motion,
You are far astray indeed. Since there is void
Through which they move, all fundamental motes
Must be impelled, either by their own weight
Or by some force outside them. When they strike
Each other, they bounce off; no wonder, either,
Since they are absolute solid, all compact,
With nothing back of them to block their path.
no atom ever rests
Coming through void, but always drives, is driven
In various ways, and their collisions cause,
As the case may be, greater or less rebound.
When they are held in thickest combination,
At closer intervals, with the space between
More hindered by their interlock of figure,
These give us rock, or adamant, or iron,
Things of that nature. (Not very many kinds
Go wandering little and lonely through the void.)
There are some whose alternate meetings, partings, are
At greater intervals; from these we are given
Thin air, the shining sunlight
It’s no wonder
That while the atoms are in constant motion,
Their total seems to be at total rest,
Save here and there some individual stir.
Their nature lies beyond our range of sense,
Far, far beyond. Since you can’t get to see
The things themselves, they’re bound to hide their moves,
Especially since things we can see, often
Conceal their movements, too, when at a distance.
Take grazing sheep on a hill, you know they move,
The woolly creatures, to crop the lovely grass
Wherever it may call each one, with dew
Still sparkling it with jewels, and the lambs,
Fed full, play little games, flash in the sunlight,
Yet all this, far away, is just a blue,
A whiteness resting on a hill of green.
Or when great armies sweep across great plains
In mimic warfare, and their shining goes
Up to the sky, and all the world around
Is brilliant with their bronze, and trampled earth
Trembles under the cadence of their tread,
White mountains echo the uproar to the stars,
The horsemen gallop and shake the very ground,
And yet high in the hills there is a place
From which the watcher sees a host at rest,
And only a brightness resting on the plain.
[translated from the Latin by Rolfe Humphries]
.
Het idee dat materie bestaat uit
atomen en dat de eigenschappen van
die atomen de macroscopische
eigenschappen van materie bepalen
gaat terug tot the Griekse filosofen
Leucippus en Demokrites (rond
450 BC). Veel later (rond 70 BC)
schreef de Romeinse dichter
Lucretius het gedicht dat hiernaast
staat afgedrukt.
(Project Physics, 1970, Vol 5, p3).
Vraag
1. Ga na wat de eigenschappen van deze
Griekse
atomen
zijn
en
wat
overeenkomsten en verschillen zijn met
onze 21ste eeuwse atomen.
4
Beeld
Zie gedicht
Onderwerp
Model
Natuurfilosofie
Leucippus, Demokritus, Lucretius
Atomen als ondeelbare eenheden van materie.
Gassen
Kinetische
gastheorie
Halliday-Resnick, 4de editie, p512:
Een gas bestaat uit deeltjes die we moleculen
noemen.
1. De moleculen bewegen op een random
manier en gehoorzamen aan Newton’s
wetten.
2. Het aantal moleculen is groot.
3. Het volume van de moleculen is
verwaarloosbaar vergeleken met het volume
van het gas.
4. Krachten tussen de moleculen zijn
verwaarloosbaar behalve gedurende een
botsing.
5. Botsingen zijn elastisch en het tijdsinterval
van een botsing is verwaarloosbaar.
Kortom, moleculen zijn balletjes die met grote
snelheid bewegen, botsen en zo impuls
overdragen, geen (nauwelijks) onderlinge
aantrekkingskracht vertonen en waarvan
volume en botsingstijden verwaarloosbaar zijn.
Vaste stof
Smelten
Vloeistof
Verdampen
Koken
Vergeleken met de kinetische gastheorie:
1. Beweging wordt nu beperkt door
onderlinge aantrekking. In vaste stoffen
willekeurige beweging rond een vast punt,
in een vloeistof willekeurige beweging door
vloeistof alleen.
2. Het aantal moleculen is groot.
3. Volume is niet meer verwaarloosbaar maar
is essentieel.
4. Onderlinge aantrekking/afstoting is
essentieel.
5. Botsingen zijn inelastisch.
Smelten: De bewegingsenergie wordt zo groot
dat molecuulbindingen verbroken worden.
Verdamping: Een fractie van de moleculen
aan het vloeistof oppervlak kan zoveel
bewegingsenergie opdoen uit botsingen dat
moleculen kunnen ontsnappen.
Koken: De kinetische energie van moleculen
in de vloeistof wordt groter dan bindingsenergie van onderlinge aantrekking.
5
Scheikunde
Elementen
Dalton (A new system of chemical
philosophy, 1808, 1810)
1. Materie bestaat uit ondeelbare atomen.
2. Elk element bestaat uit een karakteristiek
soort van identieke atomen. Er zijn dus
net zoveel soorten atomen als elementen.
De atomen van een element “zijn perfect
hetzelfde in gewicht en vorm, etc.”
3. Atomen zijn onveranderlijk.
4. Wanneer verschillende elementen
combineren om een stof te vormen, dan
bestaat het kleinste deel van die stof uit
een groep met een vast aantal atomen
van elk element.
5. In chemische reacties worden atomen
niet gecreëerd en niet geëlimineerd, maar
worden ze slechts opnieuw gearrangeerd.
De figuur komt uit Dalton’s schrift met 2
atomen (boven) die vervolgens een molecuul
vormen (onder).
The Harvard Project Physics Course,
deel 5, p13
Atomen 1897
Thomson: vaste e/m ratio, dus elektron is
deeltje en niet X-ray of andere EM straling.
Hieruit kwam het “plumpudding” model met
elektronen als krenten in de krentenbol van
het atoom, een gevuld atoom dus.
Rutherford
(GeigerMarsden)
Rutherford kwam tot de conclusie dat de
massa was geconcentreerd in de kern van het
atoom.
Rutherford bewees dat elektronen met hun
kleine massa niet verantwoordelijk konden
zijn voor de afbuiging van de alfa deeltjes. Of
elektronen bewogen en hoe die bewogen, liet
hij in het midden.
Bohr
Elektronenbanen als planeten stelsel maar
wel met quantisatie: alleen heel bepaalde
banen zijn mogelijk.
Cutnell/Johnson
Figuur uit verzameld werk van Rutherford
Internet
6
Beeld
Onderwerp
Hedendaagse
QM
En
Scheikunde
Model
“Fuzzy ball” atomen In de figuur is de
amplitudo van de elektrongolf in een
waterstofatoom afgebeeld.
De elektrongolf is uitgesmeerd in de ruimte.
De positie van het elektron is onbepaald,
zodat we niet echt van een deeltje kunnen
spreken.
screenshot
uit de applet psi
www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/psi.htm
Scheikunde
Een elektron in een aangeslagen toestand van
het waterstofatoom. Deze ladings”wolken”
horen bij zogenaamde p-orbitals.
Uit Brown, LeMay, Chemistry (8ste editie)
Scheikunde
'Fuzzy ball' atomen in een scheikundige
reactie. Twee waterstofatomen delen hun
elektronen om een waterstofmolecuul te
vormen.
Wright, 2003
Literatuur
Brown, T.L., LeMay, H.E., Bursten, B.E. (2000). Chemistry (8ste editie). Prentice Hall.
Cutnell, J.D., Johnson, K.W. (1995). Physics (3 rd edition). Wiley.
Holton, G., Rutherford, F.J., Watson, F.G. (1970). The Project Physics Course. Text and Handbook (deel 5).
Rutherford, E., Chadwick, J. (1962-1965). The collected papers of Lord Rutherford of Nelson. Allen and Unwin.
Wright, T. (2003). Images of Atoms. The Australian Science Teacher Journal, January 2003.
7
Werkblad Atoommodellen (docentenversie )
1
1. Met een pomp wordt de helft van de lucht uit
een erlenmeyer te gehaald. Stel dat we met een
magische bril de luchtmoleculen konden zien.
Teken de lucht in de fles
a) voordat de helft eruit gezogen is
b) nadat de helft eruit gezogen is.
voor wegzuigen
na wegzuigen
Gewenste oplossing: stippen door de hele
fles heen. Voor het zuigen een grotere
dichtheid van stippen dan na het zuigen,
maar in beide gevallen door de hele fles
heen. Vanwege de zeer grote snelheid van
deeltjes en de grote aantallen is er nooit een
“vacuum gat” in de fles. Leerlingen tekenen
dat vaak wel.
2. Geef een deeltjesverklaring voor het
volgende: wanneer het water in de reageerbuis
aan de kook wordt gebracht, dan gaat de ballon
bol staan. Teken in de bolle ballon de deeltjes
in de balloon. Wat voor deeltjes zijn het?
Geef aan hoe de deeltjes in de ballon zitten en
welke deeltjes het voornamelijk zijn.
Gewenste oplossing: stippen gelijkmatig
verdeeld over ballon en boven het water in
de buis. De meeste deeltjes zijn
watermoleculen.
1
De leerlingversie komt als Word-document beschikbaar via www.phys.uu.nl/~wwwpmn/werkbladen.html
8
3. Vergelijk het deeltjesmodel dat we
gebruiken om gaswetten te verklaren en het
model dat we gebruiken om verdamping te
verklaren. Een deeltje aan het oppervlak van de
vloeistof is onderweg om los te komen van het
oppervlak. Het voelt nog de invloed van de
andere deeltjes.
a) Teken in het linkerplaatje de krachten
op het deeltje en teken in het
rechterplaatje de snelheid
b) Wat zijn de verschillen met het
kinetisch gasmodel?
Antwoord:
a) zie plaatjes
b) onderlinge aantrekking en volume van
deeltjes zijn niet langer verwaarloosbaar
krachtenplaatje: Een deeltje dat uit de
vloeistof dreigt te ontsnappen ondervindt
krachten van buren die resulteren in een
nettokracht naar beneden.
snelheidsplaatje: Als gevolg van botsingen
met deeltjes in de vloeistof, kan een deeltje
een grote kinetische energie opdoen die
ontsnapping mogelijk maakt
4. Als we scheikundige reacties willen
verklaren, wat moeten we dan toevoegen aan
het simpele deeltjes model van de kinetische
gas theorie?
Antwoord: Kinetisch gasdeeltjes zijn
gewoon balletjes. In de scheikunde ontleden
we die balletjes en we onderscheiden
moleculen en atomen, en atomen worden
weer onderscheiden in de elementen.
Verder moeten we het atoom opsplitsen in
de buitenste elektronen en de rest.
5. Als we radioactiviteit willen verklaren, wat
moeten we dan nog verder specificeren in ons
deeltjes model van vraag 4? Antwoord weer
met een ruwe schets van een atoom model.
Antwoord: Bij radioactiviteit moeten we in
meer detail naar de kern kijken en daar
deeltjes gaan onderscheiden (neutronen,
protonen en eventueel alfa’s)
9
6.
Een natte schotel ligt te drogen op het aanrecht
en na een tijdje is de schotel droog. Wat
gebeurt er met het water?
Verschillende leerlingen gaven de
volgende antwoorden, welke is het beste?
A. Het water gaat in het schotel.
B. Het water droogt op en bestaat niet
meer.
C. Het water verandert in waterstof en
zuurstof in de lucht.
D. Het water gaat de lucht in als kleine
stukjes water.
Licht je antwoord toe:
Antwoord: D is het beste antwoord ook al
staat het in een soort onderbouwtaal. Ook
gevorderde leerlingen antwoorden vaak A of
C. Vooral C is populair bij gevorderden.
Het argument tegen C is dat het elektron
volts kost terwijl thermisch rond 0.03 eV
beschikbaar is. Uiteraard zijn er nog veel
andere argumenten.
10
Werkblad Visualisering van Waarschijnlijkheid met Snelle
Feedback2
Leerlingen, en zij niet alleen, hebben problemen met het kanskarakter van de quantum fysica. Eigenlijk zijn er
twee soorten problemen:
 het werken met kansen en wennen aan het idee dat het kansbegrip een fundamentele rol speelt in de
natuurkunde;
 het werken met golffuncties, en alle problemen die dat met zich meebrengt, zoals
interferentieverschijnselen.
Voor leerlingen kunnen deze problemen flink door elkaar heen gaan lopen. Een manier om hier iets aan te doen
is de problemen duidelijk te scheiden, en met elk ervan specifieke oefeningen te doen. Door de leerlingen wat
met de stof te laten spelen kunnen ze ervaring opdoen. Als docent kunnen we hier nog een element aan
toevoegen: feedback. We kunnen leerlingen met grafische voorstellingen van waarschijnlijkheid laten spelen en
direct individueel observeren of ze het wel of niet begrijpen. Hoe? Lees verder!
Golffuncties zijn functies waaraan je eigenschappen van deeltjes kunt ontfutselen zoals impuls, energie, en
andere grootheden. De functie zelf is meestal complex. Zoals bij alle complexe functies is het product *.
reëel3. Dit product *(x).(x) geeft de kans per volume-eenheid, d.w.z. de kansdichtheid f(x) om een elektron,
of proton, of ander deeltje op een bepaalde plaats aan te treffen. We gaan nu eerst wat spelen met illustraties van
het klassieke waarschijnlijkheidsbegrip.
De docent schetst figuur 1 op het bord en zegt dan:
figuur 1
Docent: Ik heb een x-as (wijst x-as aan voor de klas) en op die x-as zet ik een stoel. Ik leg een balpen onder een
doekje “ergens” op de stoel. Ik schets de x-as op het bord en het grijze gebiedje tussen de streepjes is de stoel.
De waarschijnlijkheid per cm3 om de balpen te vinden noemen we f(x). (In dit geva lis het dus de
waarschijnlijkheid per cm, omdat het een eendimensionale stoel is.)
Vraag 1: Schets de waarschijnlijkheid f (x) als functie van x. (Er zijn meerdere correcte oplossingen, vergelijk
straks met de buurman/buurvrouw!).
Terwijl de leerlingen hun schetsen maken, gaat de docent de klas rond , kijkt naar oplossingen, en stelt hier en
daar een interpretatievraag….Wat betekent je grafiek? Waar is de grootste kans om de balpen te vinden? Hoe
laat je dat zien in je grafiek?
2
Voor een algemene beschrijving van snelle feedback methoden zie een artikel in NVOX, oktober 2001.
Ter opfrissing: als a = x + iy waarbij x en y reële coëfficiënten zijn, dan is a* = x – iy en wordt complex
geconjugeerde van a genoemd. Het product is: (x+iy)(x-iy)=x2 –(iy)2 = x2 + y2 en dat is dus reëel. Als je nu een
complexe functie  neemt, en in elk punt vermenigvuldigt met *, dan krijg je een functie * die alleen reële
waarden heeft.
3
11
Enkele oplossingen zijn als volgt (figuur 2a,b):
figuur 2a
De kans is overal op stoel even groot.
figuur 2b
De kans is in midden van de stoel groter.
In figuur 2a is de kans de balpen aan te treffen overal op de stoel even groot. In figuur 2b is het waarschijnlijker
dat de balpen in het midden ligt. Dit antwoord zou je bijvoorbeeld kunnen verwachten bij een stoel die in het
midden iets dieper is dan aan de kant. Verder is het duidelijk dat je eigenlijk ook een y-as zou moeten hebben en
dus een kansdichtheid die een functie is van x en y, een driedimensionale grafiek dus. Bij drie ruimte-dimensies
wordt het wat moeilijk te tekenen.
Docent: Nu heb ik vier stoelen op enige afstand van elkaar. De balpen kan op elk van die stoelen liggen en
overal op het stoeloppervlak.
Vraag 2: Teken opnieuw de kansdichtheid.
figuur 3
Een antwoord staat in figuur 4. De som van de oppervlakken is 1, namelijk de kans om de balpen ergens aan te
treffen. Ook hier is het mogelijk andere antwoorden te verzinnen. Bijvoorbeeld een driehoekige vorm zoals in
figuur 2b of een figuur waarbij juist de waarschijnlijkheid om de balpen aan de rand van de stoel aan te treffen
groter is.
figuur 4
Docent: Stel dat ik op stoel 4 gezeten heb en dat de kans dat ik de balpen daar heb laten liggen groter is dan op
stoelen 1 t/m 3.
12
Vraag 3: Hoe ziet de grafiek er dan uit? Schets hieronder.
figuur 5
De oppervlakte onder grafiek van stoel 4 is nu groter
Docent: De oppervlakte onder de grafiek geeft de kans weer om een deeltje ergens aan te treffen. De totale kans
om het deeltje waar dan ook aan te treffen moet 1 zijn.
Vraag 4: Moet er nog iets aangepast worden aan de grafieken in figuur 5?
Schets nu op het bord de klas als rechthoek (substitueer figuur 6 door uw actuele klas plattegrond).
Docent: Er zijn plaatsen in de klas waar ik veel kom en plaatsen waar ik weinig kom.
Vraag 5: Geef aan door middel van arceren waar er een grote kans is de docent aan te treffen. De dikke zwarte
streep is het bord, dus de voorkant van het lokaal. Gebiedjes waar de kans nul is, blijven wit.
figuur 6
Een lokaal waar leerlingen de meest waarschijnlijke locaties van de docent kunnen aangeven.
Waarschijnlijk zullen alle banken wit blijven, omdat het onwaarschijnlijk is dat u
op een leerlingtafel staat de dansen. (hoewel, misschien gaat u wel eens op een
lege tafel zitten?) Voor in het lokaal zal het zwartste gebied zijn. Wie weet staat u
er nog versteld van waar u volgens de leerlingen veel bent.
Van hier is de sprong naar het waarschijnlijkheidsplaatje van een orbital niet meer zo groot.
Het proces nu worden omgekeerd: geef een aantal verschillende grafieken en laat die interpreteren.
figuur 7a
figuur 7b
Docent: In figuur 7a staat de waarschijnlijkheid uitgezet om de balpen op de stoel te vinden.
Vraag 6: Betekent dit dat de balpen niet op de rand van de stoel kan liggen? Leg uit.
Vraag 7: Waar op de stoel is de kans het grootst dat we de balpen vinden in figuur 7b?
13
In figuur 8 is een afslag te zien en een rondje met een vlag waar de bal in moet. Er is een heuveltje, een meertje
en er zijn struiken. De zandbak is nog even vergeten. We doen een experiment waarin 10.000 amateur golfers
een bal slaan. We brengen dan met een potloodstip in kaart waar die eerste bal terecht komt en krijgen zo een
plaatje met 10.000 stippen die donkere en lichte plekken vormen. De donkere plekken geven een hoge
waarschijnlijkheid aan om een bal te vinden: Het resulterende plaatje doet al snel denken aan een soort
orbitalplaatje! De volgende stap is dan dat we ons gaan afvragen wat het verschil is tussen deze klassieke
waarschijnlijkheden en de waarschijnlijkheden in de quantum fysica.
figuur 8
Waarschijnlijkheid in de quantum fysica
Als het werken met waarschijnlijkheid er min of meer in zit, wordt het tijd om aandacht te besteden
aan de eigenaardigheden die de quantum fysica er aan toevoegt. De gewone, klassieke
waarschijnlijkheden worden in het algemeen geïnterpreteerd in termen van onwetendheid. Van de pen
op de stoel weten we niet waar hij precies ligt, maar hij ligt wel degelijk op een bepaalde plek, en
iemand anders, de docent bijvoorbeeld weet misschien wel welke plek dat is. Bij waarschijnlijkheid in
de quantum fysica is/wordt uitgebreid gediscussieerd over de vraag in hoeverre dit beeld is vol te
houden, en de conclusie die het meest algemeen getrokken wordt is dat het niet kan.
Een belangrijk verschil tussen de waarschijnlijkheden van golfballen om ergens in een veld terecht te
komen en de waarschijnlijkheid van elektronen om een scherm te treffen op een bepaalde plaats is dat
bij de elektronen de waarschijnlijkheden te maken hebben met de golffunctie. Het gedrag van golven
leidt tot vreemde verschijnselen, die we van golfballen niet kennen. Golven kunnen elkaar uitdoven
bijvoorbeeld. Op het scherm kan een interferentiepatroon ontstaan met donkere lijnen. Dit zijn
plaatsen waar de elektronen niet kunnen komen omdat ze er op verschillende manieren kunnen
komen! Dit patroon ontstaat ook al als de deeltjes een voor een en met ruime tussenpozen worden
afgeschoten. Op grond hiervan moet de conclusie zijn dat ieder deeltje afzonderlijk golfgedrag
vertoont, en dat het niet iets is dat tot stand komt door de interacties in een bundel deeltjes. Een
mogelijk standpunt is om enige afstand te nemen van het idee dat de quantum fysica individuele
systemen beschrijft, maar dat de theorie alleen betrekking heeft op ensembles van gelijkgeprepareerde
systemen:
“As we have mentioned, a basic observation in an interference experiment with single photons is
that the pattern on the screen builds up from the “hits” of single photons. It is legitimate to ask
whether these positions are predetermined as in classical physics and can be predicted from the
initial conditions. In this stage of the course, the students learn that one cannot predict the position
14
of a single hit, but that it is nevertheless possible to make accurate predictions for the statistical
distribution of many hits. This observation is generalized to the following important statement:
Quantum mechanics makes statistical predictions about the results of repeated measurements on
an ensemble of identically prepared quantum objects. This preliminary version of the probability
interpretation is later, in the context of electrons, formulated more precisely in terms of the wave
function.” (Muller & Wiesner, 2002).
De vraag of en hoe individuele systemen wel te beschrijven zijn verdwijnt hiermee enigszins naar de
achtergrond. Dat is aan de ene kant jammer, maar aan de andere kant wel goed, want het is een
discussie waar we in de klas echt niet uit zullen komen.
Wat wel kan is het doen van enkele oefeningen rond het verschil tussen klassieke waarschijnlijkheden
en quantumwaarschijnlijkheden, en in het bijzonder het optreden van interferentie.
Literatuur
Berg, E. van den (2001). Onmiddellijke Diagnose en Feedback in Natuur- en Scheikundelessen. NVOX,
26(8), 407-410.
R. Muller, H. Wiesner (2002). Teaching quantum mechanics on an introductory level. American Journal
of Physics, 70(3), 200-209.
15
Golven en Deeltjes Werkblad4 (docentversie5)
In de opstelling in figuur 1a worden deeltjes of golven door een dubbele spleet geschoten. Figuur 1d
toont een mogelijk resultaat: een scherm dat getroffen is door 70 000 elektronen.
figuur 1
Een opstelling met de dubbele spleet.
Wat er op het scherm te zien is hangt onder andere af van de afstand tussen de spleten en van de
objecten waarmee geschoten wordt. In figuur 2A is een patroon te zien dat gemaakt is door kogeltjes
die werden geschoten door twee spleten die een eindje uit elkaar staan. Het resultaat is een afbeelding
van de spleten op het scherm. In figuur 2B is een patroon afgebeeld dat ontstaat bij de proef van
Young: licht dat valt door twee smalle spleten die vlak bij elkaar staan.
figuur 2
Deeltjes en golven
A: kogeltjes
B: licht
4
Dit werkblad wordt gedaan na een inleiding over het golf-deeltje karakter van materie en straling en mogelijk
na een demonstratie van interferentie verschijnselen met licht en met elektronen (elektronen diffractie). Als men
geen elektronendiffractie opstelling heeft, dan maar uitleggen wat er kan gebeuren. Contrasteer deze
golfverschijnselen met wat je verwacht als je echte deeltjes zoals kogeltjes gebruikt.
5
De leerlingversie komt als Word-document beschikbaar via www.phys.uu.nl/~wwwpmn/werkbladen.html
16
Vragen
Lijkt plaatje 1d meer op 2A of op 2B? Leg uit
waarom.
1. Welk van de twee plaatjes 2A of 2B
laat/laten interferentie zien? Omcirkel een
van de antwoorden a)...d) en leg uit.
Antwoorden
Op 2B, er zijn meerdere donkere lijnen,
het is dus geen afbeelding van 2 spleten
maar een interferentiepatroon.
a) A
b) B
c) A en B
d) Geen van
beide
Antwoord : B
In de volgende vragen wordt telkens op verschillende manieren of met verschillende objecten
op spleten geschoten. De afstand d tussen de spleten noemen we groot als hij groot is ten
opzicht van de De Broglie-golflengte en klein als hij van dezelfde orde van grootte is.
Leg in alle gevallen uit of het beeld op het scherm meer lijkt op 2A of op 2B.
2. Een bundel rood licht valt op twee spleten
met kleine d.
2. 2B, de kleine d en smalle spleten maken
interferentie mogelijk. Bij rood licht is
dat bovendien het gemakkelijkst waar te
nemen vanwege een relatief grote
golflengte.
3. De lichtsterkte wordt in deze opstelling
zodanig verminderd dat de fotonen één
voor één door de spleten gaan. Er wordt
toch een patroon opgenomen, door een film
op het scherm te plakken en de opstelling
enkele dagen te laten staan.
3. 2B, op de een of andere manier maakt
het voor de quantum wereld niet uit of
fotonen (of elektronen) een voor een of
gezamenlijk door spleten gaan.
4. Een bundel elektronen valt op twee spleten
met kleine d.
4. Als d klein is, in de orde van , dan 2B
5. De intensiteit van de bundel wordt zodanig
verminderd dat de elektronen één voor één
worden afgeschoten.
5. Ook hier 2B, het golfkarakter van
elektronen verandert niet door ze een
voor een te laten gaan.
6. Een bundel elektronen valt op twee spleten
met grote d.
6. Bij een grote d t.o.v.  krijgen we
hetzelfde effect als bij licht dat door twee
ramen gaat en die afbeeld op de muur,
2A dus
7. Een bundel rood licht valt op twee spleten
met grote d.
7. 2A
8. Vat de resultaten samen
Zowel fotonen als elektronen laten een
interferentiepatroon zien wanneer de
afstand tussen de spleten niet te groot is.
17
figuur 4
Een lichtbundel wordt opgesloten tussen twee
perfecte spiegels. De golffunctie van een foton
in deze bundel is in figuur 4 afgebeeld, op een
aantal verschillende tijdstippen.
De plaats van het foton wordt gemeten door in
de bundel korte tijd een stukje fotogevoelig
materiaal te plaatsen.
9. Geef in de figuur aan waar de kans om het
foton aan te treffen het grootst is.
10. Geef ook aan waar de kans het kleinst is.
11. Teken in figuur 5 enkele mogelijke
golffuncties met andere golflengten dan het
foton in figuur 5.
Waar de amplitudo groot is. Er zullen
leerlingen zijn die denken dat er juist bij
de knoop een grote kans is want daar
komt het foton steeds langs! Dat is een
foute interpretatie.
Waar de amplitudo nul is (knoop).
figuur 5
Antwoord: bv. Teken toestanden voor
n = 1 (een halve sinus), n = 3 (3x halve sinus)
etc.
Het antwoord getekend in de opgave is voor
n = 2.
18
Appendix A: Tekst over golf en deeltje uit PMN
Waarschijnlijkheid
Een golf verspreidt zich door de hele ruimte, maar
een deeltje vind je altijd maar op één plaats tegelijk.
Die uitgebreidheid van de golf is essentieel als je
bijvoorbeeld de buiging van de lichtgolven bij een
tralie wilt verklaren. Aan de andere kant is juist de
lokalisatie van het foton belangrijk als je het op een
fotografische plaat laat vallen. Hoe uitgebreid de
golf ook is, één foton op een fotografische plaat
zorgt altijd maar voor één zwart vlekje op het
negatief. Hoe kunnen we deze tegenstrijdige
modellen met elkaar rijmen?
figuur 1
bron: A. Rose, Adv. in biol. and med. phys., 5, 211, 1957.
Als fotonen golfkarakter en deeltjeskarakter in zich
verenigen, dan zullen deze twee
verschijningsvormen op een of andere manier aan
elkaar gekoppeld moeten worden. Dit gaan we
preciezer bekijken aan de hand van een reeks foto's,
en daarbij maken we gebruik van het feit dat we
fotonen in feite één voor één kunnen waarnemen.
De in figuur 4 gegeven foto's laten het volgende
zien: Bij heel lage belichting verschijnen er eerst op
min of meer willekeurige plaatsen op de foto her en
der lichtpuntjes. Naarmate de belichtingstijd
voortduurt blijken deze steeds meer in een patroon
te vallen, tot er op den duur een goed herkenbaar
beeld geproduceerd wordt.
Wat we zien gebeuren bij de vorming van beelden
zoals de bovenstaande foto's is dat de fotonen
arriveren volgens een patroon dat er eerst nogal
willekeurig uitziet maar waaruit op den duur wel
degelijk een goede afbeelding ontstaat. Zo
willekeurig is het dus ook weer niet. Waar de
intensiteit van het licht groot is vinden we op den
duur meer punten op het fotonegatief maar waar het
volgende foton terecht zal komen is
onvoorspelbaar.
Dit doet denken aan het kansbegrip: De uitslag van
één worp met een dobbelsteen is niet te voorspellen
maar bij een groot aantal worpen zal het aantal
zessen (vrijwel altijd) in goede benadering
éénzesde van het totaal aantal worpen zijn.
In de deeltjestheorie is de intensiteit gelijk aan het
aantal deeltjes dat op een bepaalde plek arriveert.
Net als bij dobbelsteenworpen is het voor de
afzonderlijke fotonen onvoorspelbaar waar het
foton terecht komt. Wat we wel kunnen zeggen is
dat de kans om op een bepaalde plek te arriveren
evenredig is met de intensiteit. In figuur 4 kun je
dus zeggen dat de kans dat een foton op de wang
komt groter is dan de kans dat het op het voorhoofd
komt, en die kans is weer groter dan de kans dat het
foton op het oog terecht komt.
Volgens de golftheorie van licht is de intensiteit
gelijk aan de hoeveelheid lichtenergie die per
seconde een oppervlak passeert. Bij een gegeven
frequentie is deze energie evenredig met het
kwadraat van de amplitudo. De intensiteit moet dus
19
evenredig zijn met het kwadraat van de amplitudo
van de lichtgolf.
Conclusie:
Voor afzonderlijke fotonen is onvoorspelbaar waar ze terecht komen maar de kans dat
een foton op een bepaalde plek arriveert moet evenredig zijn met het kwadraat van de
amplitudo van de lichtgolf op die plek.
Het golfbeeld werkt goed zolang een foton met rust
gelaten wordt en ongestoord voortbeweegt. Op het
moment dat het licht aankomt bij de fotografische
plaat wordt het door de omstandigheden echter
gedwongen zich als deeltje te manifesteren. Het
wordt namelijk door één enkele korrel gevoelig
materiaal helemaal geteld en niet door honderd
korrels een klein beetje. Bij zo'n overgang tussen
golfmodel en deeltjesmodel blijkt het begrip
waarschijnlijkheid van essentieel belang om van de
twee tegenstrijdige modellen toch weer een
kloppend geheel te maken.
Dit gebruik van het kansbegrip riep aanvankelijk
veel weerstand op en ook nu nog zijn er
natuurkundigen die het weinig fraai vinden en die
van mening zijn dat er gezocht moet worden naar
een diepere theorie. Waar iedereen het echter over
eens is, is dat deze aanpak erg goed werkt bij het
beschrijven van wat we kunnen waarnemen. Rond
het eind van de twintiger jaren van de vorige eeuw
is dit het uitgangspunt geworden waarop een groot
deel van de natuurkunde van tegenwoordig
gebaseerd is.
Materie
Tegen het eind van de negentiende eeuw werd het
elektron ontdekt en al snel was duidelijk dat het
deeltjes moeten zijn en meer in het bijzonder
geladen deeltjes. Het duurde tot 1913 voor de
lading kon worden vastgesteld, maar de verhouding
figuur 2
opname van diffractiepatroon van elektronen
tussen de lading en massa kon eenvoudig gemeten
worden door te kijken naar de afbuiging van
elektronenbundels in elektrische en magnetische
velden. Aan het deeltjeskarakter van elektronen
werd dus niet getwijfeld.
De Franse natuurkundige De Broglie behoorde rond 1920 tot
de langzaam groeiende groep mensen die het fotonidee serieus
namen. Hij ging zelfs nog een stuk verder. Op grond van
symmetrie suggereerde hij dat als licht een dubbel karakter had,
golf en deeltje, waarom materie dan niet ook? Hij stelde voor
de analogie met lichtgolven door te trekken naar materie en
kwam zodoende tot de veronderstelling dat materiedeeltjes een
golflengte moeten hebben, die net als bij fotonen gelijk zou
moeten zijn aan
λ= h / p
waar p = mv de impuls is van het deeltje, en h de constante van
Planck.
Met deze veronderstelling was hij tevens in staat een verklaring
te geven voor het bestaan van discrete energieniveaus in
atomen. Volgens de Broglie kwamen deze niveaus overeen met
staande golven van de elektronen.
In figuur 2 worden vier beelden getoond, gemaakt met een
bundel elektronen van zeer lage intensiteit. Ze staan in
volgorde van steeds langere 'belichtingstijd' en iedere stip is
een beeld gevormd door één elektron.
Op grond van deze beelden kunnen we concluderen
dat fotonen en elektronen beide een dubbel karakter
hebben, beide zowel golf als deeltje. Ze gedragen
zich weliswaar vreemd maar tenminste wel op
dezelfde manier. De overeenkomst tussen fotonen
en elektronen strekt zich ook uit tot het
waarschijnlijkheidsbegrip. Net als voor fotonen
geldt dat het golfmodel goed werkt voor elektronen
die niet gestoord worden. Er zijn echter
omstandigheden waarin het elektron blijkbaar
gedwongen kan worden zich als deeltje te
gedragen, bijvoorbeeld als de positie gemeten
wordt. In zo'n geval geldt dezelfde regel als voor
fotonen:
20
Voor afzonderlijke elektronen is onvoorspelbaar waar het elektron wordt aangetroffen,
maar de kans om het op een bepaalde plek aan te treffen is evenredig met het kwadraat
van de amplitudo van de elektrongolf op die plek.
Historisch is het accepteren van het golfkarakter
van elektronen nog wel met enige omwegen
gegaan. Behalve Einstein vond aanvankelijk
eigenlijk vrijwel niemand het een interessant idee
of voelde behoefte om het experimenteel te testen.
Het trok weinig aandacht tot er bij een experiment
met de verstrooiïng van elektronen interferentiemaxima en -minima werden gevonden. Deze
werden veroorzaakt doordat in een kristal de
atomen in regelmatige rijen gerangschikt zijn. Bij
golven met een voldoende kleine golflengte geeft
dit effecten die vergelijkbaar zijn met de buiging
van licht aan een tralie. Bij toeval was de stof die in
dit experiment werd onderzocht per ongeluk
uitgekristalliseerd en had de elektronbundel een
geschikte golflengte. De Broglie probeerde via
staande golven het bestaan van discrete
energieniveaus te verklaren. De Oostenrijkse
natuurkundige Schrödinger heeft dit verder
uitgewerkt, vanuit het idee dat de discrete
frequenties van de spectraallijnen vergelijkbaar
zouden zijn met de resonanties die optreden
bijvoorbeeld bij het trillen van een pianosnaar.
figuur 3
Schrödinger slaagde erin om een algemene golfvergelijking op
te stellen waarmee het gedrag van elektronen en andere deeltjes
kan worden beschreven. Met behulp van de
Schrödingervergelijking kunnen allerlei kenmerken van
bijvoorbeeld het waterstofatoom in detail worden uitgerekend:
de energieniveaus, de grootte van het atoom, de
bindingsenergie van het waterstofmolecuul, de amplitudo van
de elektrongolf afhankelijk van de plaats, en de kans om het
elektron ergens aan te treffen als je zijn positie zou meten.
Figuur 3 geeft bijvoorbeeld een beeld van de kans om bij
meting een elektron aan te treffen dat zich in een 2py-orbitaal
bevindt. Zolang er niet gemeten wordt, gedraagt het elektron
zich als golf, en is zijn plaats onbepaald.
Golf-deeltje dualisme
Licht en materie bestaan uit quantumdeeltjes en dit
brengt een afwisseling met zich mee van golfachtig
en deeltjesachtig gedrag. Het blijkt mogelijk hier op
een zeer succesvolle manier mee te werken maar
het is wel wennen. Eén van de ongebruikelijke
kanten van het golf-deeltje dualisme, de reductie
van het golfpakket, wordt toegelicht met het
volgende gedachtenexperiment.
Meetreeksen
figuur 4
Sommige typen fotonegatieven zijn niet alleen
gevoelig voor fotonen maar ook voor andere
soorten deeltjes. Een elektron wordt op een rij
achter elkaar opgestelde fotonegatieven geschoten.
Het elektron maakt een zwarte vlek op het eerste
negatief en schiet dan door naar het volgende
negatief in de rij.
Voordat het elektron een negatief treft, breidt het
zich in de ruimte uit volgens het golfmodel. Bij het
negatief veroorzaakt het een zwarte vlek op één
bepaalde plaats op het negatief. Daarna breidt het
21
zich, vanuit dat ene punt op het negatief, weer uit
als golf, tot het het volgende negatief treft. Daar
wordt het weer, heel even, gedwongen tot
deeltjesgedrag en vervolgens breidt het zich, vanuit
dat nieuwe punt wederom uit als golf. Enzovoort,
net zolang tot het in een van de fotonegatieven
wordt geabsorbeerd.
De reductie van het golfpakket
Licht plant zich in de ruimte voort als een golf. Dit
geldt ook al bij heel lage intensiteit, voor
afzonderlijke fotonen. Ieder foton gedraagt zich als
golf. Als het nu zou gaan om korte golfpulsen, die
als puls gelokaliseerd blijven en als klein pakketje
door de ruimte zouden bewegen, dan zou het
verschil met deeltjes niet zo opvallen. Maar nee,
golven kunnen zich over grote ruimten uitbreiden.
Het is ook precies deze uitgebreidheid, waarmee we
interferentieverschijnselen kunnen verklaren. Een
golf kan door alle spleten van een tralie tegelijk
gaan en zodoende interferentie veroorzaken.
Een foton dat wordt uitgezonden door de zon
verspreidt zich met de lichtsnelheid als golf door
het zonnestelsel en strekt zich al na een paar
minuten uit over een gebied van miljoenen
kilometers. Het foton kan met zekere
waarschijnlijkheid mijn oog treffen en in mijn
netvlies een chemische reactie veroorzaken. Deze
reactie vindt plaats binnen een molecuul in een cel
in mijn netvlies. De energie van het foton wordt
geabsorbeerd binnen een gebied ter grootte van een
paar atomen, en de rest van die hele uitgebreide
golf is opeens verdwenen.
Dit proces wordt de reductie van het golfpakket
genoemd. Het is typerend voor het golf-deeltje
dualisme.
Wanneer vindt deze reductie van het golfpakket nu
precies plaats? Deze vraag is in zijn algemeenheid
niet gemakkelijk te beantwoorden, omdat hij raakt
aan een aantal punten waar natuurkundigen
onderling het ook niet altijd over eens zijn. Het
beste dat er op dit moment van te zeggen valt is
misschien nog dat een geïsoleerd systeem zich
volgens het golfmodel gedraagt. Deeltjesachtige
verschijnselen, met een reductie van het golfpakket,
kunnen optreden als een systeem in contact komt
met de buitenwereld.
Onbepaaldheid
Een elektron zwerft door het heelal. Laat het
afkomstig zijn van ergens ver weg: van de zon, of
een andere ster, of misschien losgeslagen uit een
waterstofatoom in een interstellaire wolk. Zolang
het elektron niets tegenkomt gedraagt het zich
gedurende de reis door het wereldruim volgens het
golfmodel. Als deze golf iets tegenkomt, de aarde
bijvoorbeeld, kunnen er verschillende dingen
gebeuren. De kans is groot dat er niets gebeurt. De
amplitudo is overal klein, omdat de golf verdeeld is
over een enorme ruimte, en het grootste deel van de
golf gaat ruimschoots langs de aarde. Achter de
aarde is een schaduw, waar de golf niet kan komen,
en aan de rand van de schaduw verandert de vorm
van de golf een beetje, omdat er buiging
plaatsvindt, net als bij oceaangolven die een
eilandje tegenkomen en er omheen buigen. Maar
voor de rest heeft de aarde weinig invloed.
Er is echter ook een kans dat het elektron een
reactie aangaat met een object op de aarde,
bijvoorbeeld een atoom in de atmosfeer. De kans op
een dergelijke gebeurtenis is evenredig met het
kwadraat van de amplitudo die de golf in de buurt
van de aarde heeft en met het oppervlak van de
aarde. Indien er een reactie plaatsvindt, vindt er een
reductie van het golfpakket plaats. De uitgebreide
elektrongolf, die zich over een enorm gebied
uitstrekte, is nu weg en in plaats daarvan is het
elektron gelokaliseerd in het atoom. Het heeft dus
opeens een welbepaalde plaats. De reductie van het
golfpakket is een zeer 'ongolfachtige' gebeurtenis
en dat het elektron nu een welbepaalde plaats heeft,
is voor ons een teken van deeltjesgedrag.
Dit wil niet zeggen dat het elektron nu inderdaad
echt als deeltje beschouwd kan worden. In feite
wordt het elektron, direct nadat het is ingevangen,
wederom beschreven als golf, maar nu als een
staande golf die heel sterk gelokaliseerd is binnen
het gebiedje rond de atoomkern. In vergelijking met
de oorspronkelijke schaal van miljarden kilometers
heeft het elektron dus een zeer welbepaalde plaats,
maar als je kijkt op een schaal van tienden van
nanometers dan is de plaats van het elektron binnen
het atoom nog steeds onbepaald. Je zou dus kunnen
zeggen dat het elektron zich nu wel veel meer
gedraagt als deeltje, maar nooit echt helemaal
precies.
Uit dit voorbeeld kun je de conclusie trekken dat
het afhangt van de schaalgrootte waarop je kijkt of
je een elektron als golf of als deeltje moet
beschrijven. De uitgebreidheid van de golf geeft
aan in hoeverre het elektron een welbepaalde plaats
heeft. Als je kijkt op een schaal die groot is in
vergelijking met de uitgebreidheid van de golf, dan
kun je spreken van een deeltje met een welbepaalde
plaats. Ga je op een kleinere schaal kijken, dan kan
geen positie aan het elektron worden toegekend en
we zeggen dat de plaats onbepaald is.
22
Een tweede conclusie is dat de schaal waarop je het
deeltje als golf moet beschrijven opeens heel erg
kan veranderen door de reductie van het golfpakket.
Nog iets meer onbepaaldheid
Een interessant resultaat binnen de quantum fysica
is dat verschillende grootheden vaak niet
tegelijkertijd een scherp bepaalde waarde kunnen
hebben. Naarmate de ene grootheid scherper
bepaald wordt, wordt de andere meer onbepaald en
andersom. Plaats en impuls zijn hiervan een
voorbeeld. De plaats van een deeltje is scherp
bepaald als het golfpakketje heel klein is. Uit de
wiskundige theorie van trillingen en golven volgt
dan dat het golfpakket moet zijn opgebouwd uit een
groot aantal verschillende golflengten. (Om deze
reden kan aan een scherpe knal ook geen
toonhoogte worden toegekend. Een knal is
opgebouwd uit geluid van veel verschillende
frequenties) Veel verschillende golflengten
betekent in de quantumtheorie, wegens p = h/λ, dat
de impuls niet scherp bepaald is.
Omgekeerd is de impuls van een quantumdeeltje
scherp bepaald als de golflengte een scherp
bepaalde waarde heeft maar dat kan dus alleen als
het golfpakket heel uitgestrekt is.
Grootheden waartussen een dergelijke relatie
bestaat, dus die niet gelijktijdig een scherp bepaalde
waarde kunnen hebben, heten ook wel
complementaire grootheden. Plaats en impuls
vormen dus een paar complementaire grootheden,
maar er bestaan veel meer voorbeelden van.
De relatie tussen de onbepaaldheden van plaats en
impuls kan ook wiskundig worden geformuleerd,
met behulp van de onbepaaldheidsrelaties van
Heisenberg (ook vaak aangeduid als de
onzekerheidsrelaties):
Δx.Δp > h / 4π
Hierin is Δx de onbepaaldheid in de plaats en Δp de
onbepaaldheid in de impuls. Deze relatie is in
allerlei situaties bruikbaar om op een snelle manier
nuttige conclusies af te leiden. Het is echter niet
altijd eenvoudig te zien hoe de onbepaaldheid het
best kan worden gedefinieerd.
Soms is erg duidelijk op wat voor schaal je een
elektron moet beschouwen als golf of als deeltje.
Als de golf in zijn geheel, of voor een groot deel,
binnen een bepaalde ruimte gelokaliseerd is, zoals
in figuur 5, dan geeft het volume van deze ruimte
een directe maat voor de onbepaaldheid van de
plaats.
figuur 5
Er zijn echter makkelijk situaties te vinden die wat
lastiger zijn. Hoe groot is bijvoorbeeld de
onbepaaldheid bij een golf die scherp gepiekt is,
maar met een eind verderop nog een klein staartje,
zoals in figuur 6? Een golf zoals deze kan
bijvoorbeeld ontstaan als een foton een glazen ruit
treft, waarbij het grootste deel van de golf wordt
doorgelaten, en een klein deel teruggekaatst.
23
figuur 6
Van dit voorbeeld kunnen we leren dat het woord
`onbepaald' zelf eigenlijk niet zo'n scherp
gedefinieerd begrip is, ook al is het in allerlei
situaties wel heel handig. In feite geldt hetzelfde
voor de begrippen `golf' en `deeltje', die geen van
beide het precieze gedrag van een quantumdeeltje
kunnen beschrijven maar die toch handig zijn om
allerlei aspecten van `quantum-gedrag' te kunnen
weergeven.
24