Redactioneel

Redactioneel
Het begin van de maand september werd
ontsierd door een hevige aanval op het Vlaamse
wiskundeonderwijs, dat leerlingen niet langer
zou boeien en kwalitatief ondermaats zou zijn,
omdat de handboeken onduidelijk en chaotisch
zouden zijn. De abstracte vorming zou ook
tekort schieten.
Ongeveer vijfentwintig jaar geleden studeerde ik
uit de 6e Wetenschappelijke A af. Ik had dat jaar
9u wiskunde. Het klopt dat het abstractieniveau
in de les toen hoger lag dan nu. Maar het klopt
niet dat leerlingen toen nog gepassioneerd
waren, omdat de boeken en bijbehorende lessen
minder chaotisch en onduidelijk waren. Het
tegendeel is waar. Ik was wellicht een van de
weinigen die geboeid kon zijn door de abstracte
leerstof, wat me onbegrip bij mijn klasgenoten
opleverde. Velen waren helemaal niet geïnteresseerd en verschillenden wisten zelfs nauwelijks
waarover het ging, noch op een toets en al
helemaal niet in de les.
De moderne wiskunde aan het werk: een dolenthousiaste leerkracht en een meerderheid van
leerlingen die ondergaat wat slechts een handvol
van hun klasgenoten verstaat.
Dat was niet alleen zo in de Wetenschappelijke A
of Latijn-Wiskunde, die toen nog 8u wiskunde
had. Ook in de richtingen met minder uren
wiskunde werd gegaapt en gegeeuwd bij het
ondergaan van topologie, lineaire algebra of
verzamelingenleer. Elk jaar studeerden duizenden en duizenden leerlingen af die hun hele
leven zouden kunnen zeggen: “Ik heb nooit
begrepen waarover het ging en ik heb het ook
nooit nog ergens voor nodig gehad.”
Er waren er andere. Ik was een van hen. Die
leerlingen die voldoende wiskundig getalenteerd
waren om die abstracte wiskunde te kunnen
begrijpen en appreciëren, gingen voor licentiaat
wiskunde of burgerlijk ingenieur. Wij waren het
enthousiaste publiek waarmee de professoren
aan die faculteiten toen in contact kwamen. Ik
vrees dat verschillende onder hen tot op
vandaag verkeerdelijk denken dat iedereen toen
zo enthousiast over wiskunde was en zo degelijk
gevormd.
In werkelijkheid echter stelden leerkrachten
toen meer en meer vast dat het experiment van
de moderne wiskunde, ondanks enkele successen, niet de vruchten afwierp die men had
gehoopt. Een te grote groep leerlingen werd niet
bereikt. Zij waren in de les niet wiskundig aan
het redeneren. Ook thuis niet. Ze overleefden. De
type-opdrachten uit de les en de vanbuiten
geleerde bewijzen zorgden voor een tien op
twintig. Werden veel bewijzen gevraagd, dan
waren de punten beter, al wisten sommigen
amper wat ze aan het opschrijven waren. De
vraag die men zich ging stellen, was: weegt de
winst voor een sterke topgroep op tegen de
overkill voor de meerderheid van de leerlingen?
De leerplannen werden daarom aangepast, in de
hoop meer leerlingen mee te laten redeneren, zij
het dan misschien op een iets lager, maar meer
toegankelijk niveau van abstractie. De doelstellingen waren nobel en betekenden voor veel
leerlingen een grote vooruitgang. Die nieuwe
aanpak beïnvloedde helaas ook het niveau van
de sterkste leerlingen en sindsdien is geen jaar
voorbij gegaan zonder dat een of andere prof of
docent een jammerende brief naar de krant
stuurde om de algehele teloorgang van het
wiskundeonderwijs te betreuren. Altijd met een
snel gevonden schuldige, al verandert die van
seizoen tot seizoen. De ene keer was het de
leerkracht, dan weer waren het de leerplannen
en dit jaar waren de handboeken aan de beurt.
Benieuwd wat het wordt in september 2013. Het
enige wat deze klagers er telkens mee bereiken,
is het vervreemden van wat eigenlijk hun bondgenoten zouden moeten zijn: de leerkrachten,
leerplanmakers en handboekenschrijvers. Want
zij zijn het, wij zijn het dus, lezer, die het
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 1
Redactioneel
kwalitatief onderwijs
moeten realiseren.
vandaag
en
morgen
Ik ben ervan overtuigd dat ons huidig wiskundeonderwijs heel wat kwaliteiten heeft, al voldoet
het niet aan de rigoureuze standaard van veel
docenten uit het hoger onderwijs. Meer leerlingen dan vroeger komen aan wiskundig
redeneren toe tijdens de les of op een toets en
maken kennis met domeinen van de wiskunde
die wij, vijfentwintig jaar geleden, niet kenden.
Ze kunnen niet meer overleven door bewijzen
vanbuiten te leren, maar moeten zich oefenen in
het oplossen van heel diverse problemen, wat
ook voor de gemiddelde leerling meer inzicht
vereist dan in mijn tijd het geval was. De
wiskunde in het secundair is dan wel minder
formeel en abstract geworden, en persoonlijk
mis ik dat wel, maar meer leerlingen kunnen
vandaag de rol van wiskunde in onze maatschappij appreciëren en weten dat het geen
nutteloze discipline is. Met twee op drie leerlingen die, in het aso, graag wiskunde doen
(Klasse, 2010), is er van het vermeende
verdwijnen van de gepassioneerdheid bij de
leerlingen geen sprake.
Wat de aanvallende briefschrijvers wel moeten
beseffen, is dat ons onderwijs maar kwalitatief
kan blijven indien ook bij de leerkrachten de
gepassioneerdheid levendig gehouden wordt.
Dat bereik je niet door via opinierubrieken het
hele wiskundeonderwijs ondermaats te noemen
en leerkrachten een slecht gevoel over hun
beroep en hun praktijk te geven. Je bereikt het
door met alle betrokkenen een gesprek aan te
gaan, door naar antwoorden te zoeken voor
bepaalde problemen, door creatief in te spelen
op bestaande noden en potentiële oplossingen.
Na meer dan tien jaar contraproductieve kritiek
begint dit inzicht gelukkig te groeien binnen het
hoger onderwijs en worden daar stilaan inspanningen geleverd om extra materiaal aan te
bieden, op maat van sterke leerlingen uit het
secundair onderwijs.
We kunnen dergelijke positieve bijdragen alleen
maar toejuichen en hopen dat onze sterkste
leerlingen vaker met de schoonheid van de
abstractere wiskunde in contact kunnen komen,
zonder dat hun minder sterke leeftijdsgenoten
het plezier bij de huidige aanpak ontnomen
wordt.
Pedro, namens de redactie
Bron
http://www.klasse.be/leraren/15636/haten-leerlingen-het-vak-wiskunde/
2 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Spinnenweb
Tekeningen op de speelplaats
Hilde Eggermont
Het begon met een mail met een foto van een
Chinees leger met legomannetjes (zie
drawar.com/d/3d-chalk-terracotta-lego-army/).
Het zou toch mooi zijn als we ook zo iets konden
doen op de open deur. We zochten met de
wiskundecollega’s al een hele tijd naar ‘iets’ voor
op de open deur. Dat ‘iets’ moest de aandacht
trekken van leerlingen en bezoekers en te
maken hebben met ons vak. We begonnen te
dromen van grote kleurrijke street-arttekeningen op onze grijze speelplaats…
Een kleine proeftekening van een kubus
overtuigde mij van de haalbaarheid van het
project. Het resultaat zou niet zo spectaculair
worden als dat van het Chinese legomannetjesleger. Als we het ontwerp beperkt hielden en
rekening hielden met onze beperkte artistieke
kwaliteiten, dan moest het wel lukken.
Het was opvallend hoeveel ‘echter’ de tekening
werd als je er een ander element aan toevoegde.
In het geval van de proefkubus waren dit twee
(even grote) Playmobil-mannetjes: eentje op de
kubus en eentje ernaast. Hierdoor vergrootte de
3D-ervaring vanuit het juiste oogpunt aanzienlijk.
Met niet veel meer voorbereiding dan dit
trokken we naar de klas. De klas was in dit geval
de groep 8-uursleerlingen van het vijfde en het
zesde jaar.
Het principe is heel eenvoudig. Je maakt een
centrale projectie van een object. De positie van
het oog bepaalt hoe vervormd het object er in de
projectie uitziet. Bij een sterke vervorming
spreekt men van een anamorfose. Hoe sterker de
vervorming, hoe groter het ‘wauw’-gevoel als je
de tekening vanuit het juiste oogpunt bekijkt.
De analytische uitwerking van deze projectie is
een eenvoudige oefening op ruimtemeetkunde.
Omdat we de computer willen inschakelen
werken we analytisch. We zoeken een algemene
formule om zo veel mogelijk vrijheid te hebben
bij de praktische uitwerking. Het enige dat we
vastleggen is het projectievlak. Dit is immers het
horizontale vlak van de speelplaats. We nemen
hiervoor het vlak 𝑧 = 0. Stel dat het punt
𝑂(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) het oog is en 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) het punt
dat we projecteren.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 3
Spinnenweb
Figuur 1
De projectie 𝑃′ van 𝑃 is het snijpunt van de
rechte 𝑂𝑃 met het projectievlak 𝑧 = 0. De
parametervergelijkingen van de rechte 𝑂𝑃 zijn
𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 ∙ (𝑥1 − 𝑥0 )
�𝑦 = 𝑦0 + 𝑘 ∙ (𝑦1 − 𝑦0 )
𝑧 = 𝑧0 + 𝑘 ∙ (𝑧1 − 𝑧0 )
Om het snijpunt met 𝑧 = 0 te vinden stellen we
−𝑧0
0 = 𝑧0 + 𝑘 ∙ (𝑧1 − 𝑧0 ). Bijgevolg is 𝑘 =
.
Invullen en uitrekenen geeft
Figuur 2
4 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
𝑧1 −𝑧0
𝑥0 𝑧1 − 𝑥1 𝑧0
𝑧1 − 𝑧0
𝑦0 𝑧1 − 𝑦1 𝑧0
⎨𝑦 = 𝑧 − 𝑧
1
0
⎪
⎩
𝑧=0
⎧𝑥 =
⎪
Met deze formules is het mogelijk om de
projectie van de punten te berekenen. Deze
formules zijn eenvoudig in bv. GeoGebra in te
brengen. De berekende punten kunnen dan
meteen ook getekend worden.
Spinnenweb
Hier stootten we op een groot probleem. Hoe
verkrijgen we de coördinaten van de punten van
het object dat we willen projecteren? Bij de
proeftekening van de kubus was het nog goed te
doen om de 8 hoekpunten zelf te voorzien van
coördinaten, maar hoe moet dat bij grotere
objecten met veel meer hoekpunten? Dit
probleem was nog niet van de baan op het
moment dat de leerlingen aan het werk gingen
om hun ontwerp te maken.
Drie groepjes leerlingen gingen aan het werk. Ze
bekeken nog andere tekeningen op het internet.
Met de zoekterm ‘street art’ bij Google
Afbeeldingen vind je heel wat materiaal. De ene
groep besliste een zetel te maken, de tweede een
wenteltrap en de derde flatgebouwen die uit een
stoeptegel komen. Tijdens de eerste bijeenkomst
werd er vooral met potlood en papier gewerkt.
Maar onze leerlingen zijn kinderen van hun tijd
en tegen de volgende week, werkten ze met
Google SketchUp. Dat gaf mooie ontwerpen,
maar de vraag bleef hoe we aan de coördinaten
van de punten van het object konden geraken.
Eén van onze leerlingen nam deze uitdaging ter
harte en schreef een programma om de
coördinaten van de punten uit het Google
SketchUp-bestand te halen. Deze informatie
werd opgeslagen in een Excel-file. De punten
konden nu naar hartenlust getransformeerd
worden!
Het volgende probleem dook op: hoe weten we
welke punten verbonden moeten worden? Deze
informatie zat ook opgeslagen in Google
SketchUp, maar de open deur naderde met rasse
schreden en er was geen tijd meer om hiernaar
op zoek te gaan. Dit probleem hebben we met
gerichte ‘trial and error’ opgelost. In de week
van de open deur hadden twee van de drie
groepen een mini-versie van hun tekening op
papier. De ene groep heeft dan de avond voor de
open deur haar werk met stoepkrijt op de
speelplaats gezet en de tweede groep heeft dat
tijdens de open deur ‘live’ gedaan. De derde
groep is uiteindelijk maar geraakt tot aan een
mini-versie die ook op de open deur te
bewonderen was in een ‘kijkdoos’.
Figuur 3
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 5
Spinnenweb
Tijdnood tijdens de lessen wiskunde
Noortje Damen
Als beginnende leerkracht ervaarde ik vaak een
tijdsdruk tijdens de lessen wiskunde. Ik had
voortdurend schrik dat ik de voorziene leerstof
niet volledig kon behandelen. Hierdoor werd het
moeilijk om nog ten volle te genieten van het
lesgeven en hield ik een slecht gevoel over bij
het uitproberen van werkvormen die meer tijd
in beslag namen.
Timemanagement in de klas
Ik ben daarom op zoek gegaan naar een manier
om met een beter gebruik van tijd, een beter
‘timemanagement’, de ervaren stress te verlichten. Veel lectuur over het timemanagement in de
klassituatie is er echter niet beschikbaar.
Daarom besloot ik de inzichten en technieken uit
het bedrijfsleven te analyseren en indien mogelijk te vertalen naar het klasleven. Hieruit
kwamen enkele belangrijke tips voort.
(1) Plan de dag van morgen, liefst aan het eind
van de dag.
Deze tip wordt door mezelf, en ik veronderstel
ook door de meeste andere leerkrachten, al
langer toegepast. Elke avond maak ik de
lesvoorbereidingen voor de volgende dag. Ik
neem agenda en cursus bij de hand en maak een
planning. Dit creëert rust, maar kan tevens ook
de nodige onrust met zich meebrengen wanneer
de vooropgestelde doelen niet bereikt worden.
Het leek me daarom beter om ook te plannen op
langere termijn, waardoor er een richtlijn
ontstond waar lichtjes van mocht afgeweken
worden. Omdat ik slechts enkele maanden
vervanging deed, heb ik me beperkt tot een
planning per hoofdstuk. Toch viel al snel op dat
dit schema meer rust bood. Het was niet erg om
tijdens een les een achterstand op te bouwen,
daar die op een ander moment nog kon
weggewerkt worden. Wanneer daarentegen een
les vlotter verliep dan verwacht, ontstond er
meer ruimte om werkvormen in te zetten die
meer tijd vereisten. Hierdoor zag ik ook de
waarde in van een goede jaarplanning en het
belang om deze planning met aandacht op te
stellen en ze te gebruiken als werkinstrument.
Duidelijke maar flexibele doelen creëerden meer
zekerheid en rust tijdens het lesgeven en boden
me de kans om in te spelen op de noden van de
klas om zo tot fundamenteel leren te komen.
6 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
In enkele klassen stootte ik echter op een
obstakel dat deze persoonlijke planning in de
weg stond: klasoverschrijdende remediëringslessen, waar leerlingen van parallelklassen bijles
kregen over het onderwerp dat die week
behandeld werd. Men veronderstelde dat de
leerstof die de parallelleerkrachten behandelden
ongeveer gelijk liep, wat voor mij haast onmogelijk was en een druk op me legde. Daarom
besloot ik deze verwachtingen naast me neer te
leggen om zo de bijkomende tijdsdruk te
vermijden. Hierdoor werd meer differentiatie
verwacht van de remediëringsleerkracht, maar
kon ik zelf creatiever omspringen met mijn eigen
planning. De essentie van remediëring zit
immers in het afstemmen op de reële noden, niet
enkel in het herhalen van de leerstof.
(2) Plan essentiële, niet-urgente taken op de
rustige momenten.
Niet ieders bioritme is hetzelfde. Toch kunnen er
over het algemeen enkele conclusies worden
getrokken, die ook voor een leerkracht mogelijk
interessant zijn. Het einde van de ochtend is het
beste voor denkwerk, zoals opdrachten die een
sterk beroep doen op uw denkvermogen. Wie
rond 7 uur opstaat, heeft tussen 11 uur en 13
uur de meest productieve uren. Na dertien uur
belandt het lichaam in een soort dip. Ook op
school valt het op dat leerlingen ’s morgens
meestal beter geconcentreerd zijn dan tijdens
het laatste lesuur. Ik besloot daarom deze
eenvoudige tip toe te passen in de klas:
moeilijkere theoretische hoofdstukken werden
in de voormiddag gepland, inoefenen en
spelenderwijs werken werd voorbehouden voor
de minder productieve uren. Theorielessen
verliepen hierdoor wat vlotter, oefensessies
verliepen rustiger en zorgden minder dan
vroeger voor een tijdsdruk. Hoewel al snel
duidelijk werd dat het niet altijd mogelijk was de
lessen op deze manier te organiseren, heb ik de
voordelen van deze planning ervaren en heb ik
ook in de mate van het mogelijke rekening leren
houden met de beperkingen.
(3) Handel ‘papier’ in één keer af en doe
gelijksoortige taken na elkaar.
Deze tip lijkt vanzelfsprekend. Ik paste hem
langer toe. In het begin van elke les werd de
praktische schikking afgehandeld: agenda
Spinnenweb
invullen, afwezigheden opnemen, toetsen uitdelen, taken ophalen,… Toch nam deze werkwijze naar mijn mening nog te veel tijd in beslag.
Ik ging na of het niet vlotter kon. Zo viel me op
dat het inzamelen en uitdelen van toetsen of
taken elke les té lang duurde en bovendien
verwarring schepte. De leerlingen en ikzelf
vergaten regelmatig wanneer een toets moest
teruggegeven of opgehaald worden. Door deze
actie te vervangen door een vaste afspraak op
maandagmorgen en dit steeds in de agenda te
noteren, bezorgde ik zowel de leerlingen als
mezelf minder tijdverlies en kopzorgen.
Timemanagement is alomvattend en zit zowel in
de kleine details als in grote gehelen. Hoewel de
tips uit het bedrijfsleven niet zomaar konden
worden overgeplaatst naar de klas, zijn er voor
mij wel enkele interessante inzichten uit voortgekomen. Zo bleek flexibiliteit erg belangrijk:
flexibel zijn naar hoeveelheid oefeningen (afgestemd op de noden van de leerlingen), naar
lesinhouden (rekening houdend met het
moment van de dag) en naar planning (door te
werken met een goede jaarplanning) bood meer
rust voor mezelf als leerkracht.
Bovendien ben ik tot de conclusie gekomen dat
efficiënt werken zich niet beperkt tot het
toepassen van vooropgestelde regels. Tips
helpen, maar moeten steeds afgesteld worden op
maat van de klas. Het is daarom goed om kritisch
te zijn voor de tips die worden aangereikt.
Klasgroepgebonden strategieën
Dit kritisch denken deed me inzien dat de
methodes uit het handboek, en ook degene die
worden gestimuleerd vanuit de leerplannen, niet
altijd de beste zijn. Zo merkte ik tijdens een les
‘bewerkingen met veeltermen’ die werd aangebracht aan de hand van een voorbeeld uit het
dagelijkse leven, dat leerlingen het moeilijk
hadden om de realistische voorstelling om te
vormen naar een abstracte weergave. Wanneer
ik daarentegen bij het aanbrengen van deze
leerstof vertrok vanuit een concrete voorstelling
in letters en symbolen, bleek dit veel duidelijker
voor de leerlingen. Eenvoudigere getallenleer
aanbrengen aan de hand van realistische voorbeelden lukte daarentegen wel goed, terwijl de
meer complexe theorie beter begrepen werd
door de leerlingen wanneer aangebracht met
letters en symbolen.
Tot slot is er nog een laatste opvallende vraag
die me is bijgebleven in verband met het timemanagement: “Waarom doen we de dingen die
we doen op de manier waarop we ze doen?”. Het
is een vraag waar we vaak niet eens meer bij
stilstaan. Sommige gewoontes zijn zo ingeburgerd dat we niet weten hoe er van af te
stappen. Dit wil echter niet zeggen dat wat we
doen goed is en hetzelfde moet blijven. Zo kwam
ik in contact met de studiewijzer, een werkinstrument dat door collega’s in parallelklassen
reeds gebruikt werd bij de behandeling van
bepaalde hoofdstukken. Het doel van dit hulpmiddel was duidelijk: de leerlingen iets aanbieden dat helpt om gemakkelijker zelfstandig te
werken. In de studiewijzer staan de leerstofonderdelen duidelijk opgelijst met de bijbehorende te studeren theorie en opgegeven
oefeningen, inclusief pagina's in het leer- of
werkboek. De tips helpen de leerlingen om de
opdrachten tot een goed einde te brengen.
Hoewel het instrument op zich interessant was
en goed was opgesteld, leek het niet erg
innovatief. In vele cursussen wordt tegenwoordig al gebruik gemaakt van een studiewijzer om
zelfstandig werken te bevorderen. De manier
waarop de studiewijzer gehanteerd werd, was
daarentegen wél totaal nieuw voor mij. De
leerlingen werden verondersteld de theorie
thuis te leren zonder enige begeleiding van de
leerkracht. Hier stond ik oorspronkelijk nogal
kritisch tegenover en ik vroeg me af of dit niet te
moeilijk was voor de leerlingen. Het betreffende
hoofdstuk, de ruimtefiguren, sprak de leerlingen
erg aan. Bovendien werd de leerstof zeer
concreet voorgesteld in de leerboeken, wat de
Figuur 1
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 7
Spinnenweb
kans op slagen deed toenemen. Ik besloot de
studiewijzer te gebruiken en open te staan voor
het nieuwe. De resultaten bliezen me omver.
Leerlingen slaagden er goed in de theorie thuis
te leren en die naar voren te brengen in de klas.
Wanneer ik vroeg wie de leerstof wilde uitleggen
aan de hand van het beschikbare didactische
materiaal, vielen de leerlingen bijna letterlijk
van hun stoel van enthousiasme. Het aanbrengen van de theorie verliep op een uitdagende, creatieve manier en er ontstond meer
tijd voor persoonlijke begeleiding. Wie tijdens
het maken van de oefeningen nood had aan extra
uitleg, werd geholpen door zijn buur of de
leerkracht en kon gebruik maken van het
aanschouwelijk materiaal dat voorhanden was.
Leerlingen die daarentegen vlot de oefeningen
afhandelden, konden de meer uitdagende extra
toepassingen maken. Het leek een reddingsmiddel waar ik al zo lang op wachtte: een
instrument en werkwijze die me toeliet om alle
doelen te bereiken zonder in tijdsnood te
geraken. De meerwaarde van dit instrument lag
in de grote hoeveelheid zelfstandig werk. Ik
merkte dat zelfstandig werken rustgevend kon
zijn voor de leerkracht en leerlingen. Door in te
zetten op zelfstandig werk, ondervond ik hoe ik
tijd kon besparen zonder toe te geven aan de
vooropgestelde doelen.
Maar een instrument mag je niet zomaar overnemen in een andere klas. Afhankelijk van de
beginsituatie zet je in wat je denkt dat het beste
is. Omdat de beginsituatie van de klassen waar ik
vervanging deed erg varieerde, was het onmogelijk de studiewijzer overal op dezelfde manier
te gebruiken. Uit ervaring bleek dat zelfstandig
kunnen werken een eerste vereiste was om dit
instrument toe te passen. Toen ik de studiewijzer hanteerde in een klas waar deze competentie niet op punt stond, merkte ik dat het
instrument niet tot zijn recht kwam. Wat in de
ene klas een succes bleek, was tot mislukken
8 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
gedoemd in de andere. Hier was het beter
geweest een andere manier te zoeken om ‘het
zelfstandig werk’ te bevorderen.
In klas 1B koos ik daarom voor een PowerPointpresentatie die tijdens de les werd geprojecteerd
en de opgegeven opdrachten toonde. Deze leerlingen hadden minder ervaring met zelfstandig
werken, maar door de verschillende opdrachten
te beperken en de te volgen stappen te projecteren op het bord, konden ook zij gestructureerd
zelfstandig werken. Door op verschillende
niveaus het zelfstandig werken toe te passen heb
ik zowel het nut als de moeilijkheid ervan
ingezien. Omdat niet elke klas over deze
competentie beschikte en ook de beginsituatie
vaak erg verschilde, was ik genoodzaakt de
werkvorm steeds aan te passen. Toch werd ik
door de studiewijzer overtuigd van de positieve
invloed die vernieuwing kan hebben.
Tijd is relatief
Tijdens het lesgeven schrik hebben om
uitgebreide werkvormen te gebruiken, je
afvragen of de voorziene leerstof wel kan
behandeld worden binnen de beperkte tijd, je
onrust delen met collega’s… als ik hierop
terugkijk zie ik de triestheid ervan in. Door een
goede planning te maken, lesinhouden en
aanbreng af te stemmen op de klas en het
moment van de dag, kon ik flexibel zijn en beter
omgaan met de factor tijd. Zo leerde ik dat goed
omgaan met tijd is ‘tijd besparen zonder in te
leveren op kwaliteit’. We moeten afstappen van
de uitdrukking: ‘hier heb ik geen tijd voor’, maar
zoeken naar een manier om alle factoren van het
timemanagement te laten samenkomen tot één
geheel: rekening houdend met de beperkte tijd
de vooropgestelde doelen bereiken.
De tijd blijft hetzelfde, hoe we ermee omspringen is wat telt. Want besef wel: tijd is
relatief.
Spinnenweb
Ontmoeting van twee cilinders
Michel Roelens
De aanleiding
Onze ICT-coördinator sprak mij aan met een
praktisch probleem. Normaal gebeurt dit
andersom, maar het ging ook niet om een
computerprobleem.
Uit zijn kachel komt een verticale cilindervormige schouwpijp, die overgaat in een tweede
cilindervormige pijp, die een hoek van 135°
maakt met de eerste buis. Deze tweede cilinder
verdwijnt dan in het plafond. Ik begreep dat hij
een bekleding wou maken voor deze buizen en
dat hij wou weten wat de juiste vorm was die hij
moest uitsnijden. Ik vond het wel een beetje een
vreemde vraag; die bekleding moet wel erg goed
tegen de warmte kunnen... Ik zette mezelf
wiskundig aan het werk. De vlakke ontwikkeling
van een schuin afgesneden cilinder is begrensd
door één periode van een sinusgrafiek. Dat wist
ik. Het bewijs verscheen onlangs nog in de
werktekst ‘De kop van de mouw’ in het
Uitwiskeling-nummer over ‘wiskunde en breien’
(Eggermont, Hautekiet & Van den Broeck, 2012).
Ik beredeneerde wat de juiste voorschriften van
de sinusgrafieken voor zijn vlak ontwikkelde
kachelbuizen moesten zijn, ik drukte op schaal af
met GeoGebra en bracht hem de volgende
ochtend, voldaan over mijn oplossing, zijn
verkleinde buizen, zowel in vlakke versie als
opgerold tot cilinders.
Tot mijn ontgoocheling had ik zijn vraag niet
goed begrepen: niet de buizen wou hij bekleden,
maar het stuk plafond rond de schuine buis. Hij
moest dus enkel een ellips hebben. Op een foto,
die ik nadien van hem kreeg met het oog op dit
artikeltje, zag ik zelfs dat de schuine pijp in het
plafond opnieuw overgaat in een derde,
verticale, buis die grotendeels binnen het
plafond zit.
Figuur 1
De opgave
Dit misverstand levert inspiratie op voor een
originele en uitdagende oefening over goniometrische functies voor leerlingen van het vijfde
jaar met zes uur wiskunde per week.
We veronderstellen dat de leerlingen vooraf in
de klas hebben bewezen dat de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder
begrensd is door een periode van een sinusgrafiek, bv. met de reeds aangehaalde werktekst
uit ‘Wiskunde en breien’.
begin werktekst
Buizen met een hoek van 135°
Voor schouwpijpen, afvoerbuizen, waterleidingen... zijn soms cilindervormige buizen nodig die een
bepaalde hoek vormen.
Maak een papieren schaalmodel van twee buizen (stukken cilinder) die in elkaar overgaan. De onderste
buis staat verticaal. De hoek tussen deze cilinders is 135°. De bovenste buis is bovenaan horizontaal
afgesneden. De omtrek van de cilinders is 63 cm. De langste lengte van het schuine stuk is 40 cm.
Voor alle duidelijkheid zie je hieronder een tweeaanzicht (vooraanzicht, bovenaanzicht).
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 9
Spinnenweb
Je weet: de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder is begrensd door één periode van een
sinusgrafiek. Je kunt hier zelf een aantal keuzes maken: de schaal, waar komt de ‘naad’ van de cilinders
(anders gezegd: waar laat je één periode beginnen en eindigen), de plaats van de grafieken in het
assenstelsel.
Gebruik GeoGebra om de grafieken die de vlakke ontwikkeling van de buizen afbakenen te tekenen en af
te drukken. Geef twee versies af: de vlakke ontwikkelingen en de uitgeknipte en aaneengeplakte cilinders.
einde werktekst
Hieronder bespreek ik mijn oplossing. Uiteraard
verkrijgen leerlingen andere voorschriften als ze
andere keuzes maken voor de schaal, de periode,
de plaats in het assenstelsel... Als de opgave
hierboven voor je leerlingen te open (en te
moeilijk) is, kun je deelvraagjes toevoegen.
Het onderste stuk
Ik heb de ware afmetingen in GeoGebra
ingevoerd, en uitgezoomd zodat de schaal van de
afdruk 1:5 werd. De cilinder heb ik (in gedachten) opengesneden bij het laagste punt van de
bovenrand. De y-as heb ik in het midden
geplaatst, dus bij het hoogste punt. Dit betekent
dat ik een voorschrift van de vorm
van 22,5° met de grond. Om tegen elkaar te
passen, moeten beide cilinders immers ‘even
schuin’ afgesneden zijn, zodat hun vlakke doorsneden (ellipsen) kunnen samenvallen. Dit geeft
63
voor de amplitude: 𝑎 = 𝑟 tan 22,5°, met 𝑟 = de
2𝜋
straal van de cilinder (zie figuur 2). Goniometrische formulevirtuozen kunnen aantonen
dat tan 22,5° = √2 − 1, maar omdat weinig
(eufemisme voor ‘geen’?) leerlingen dit zullen
opmerken, werk ik hier verder met tan 22,5°.
𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑑
zoek. Uiteraard gaat het ook met een horizontaal
verschoven sinusgrafiek, wat de leerlingen
misschien eerder gaan doen naar analogie met
eerder gemaakte oefeningen. De waarde van 𝑑,
als we de onderrand van de ontwikkeling op de
𝑥-as plaatsen, is 40. De periode is gelijk aan de
2𝜋
omtrek van de cilinder, dus 63. Dit geeft 𝑏 = .
63
Nu nog de amplitude 𝑎. Het vlak waar beide
cilinderstukken samenkomen, vormt een hoek
10 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Figuur 2
Spinnenweb
Figuur 3
Hiermee is het voorschrift van de bovenrand van
de ontwikkeling van de onderste cilinder
gevonden:
63
𝑦=
2 𝜋𝑥
63
tan 22,5° cos
+ 40
63
2𝜋
63
met − ≤ 𝑥 ≤ . In GeoGebra kun je van deze
2
2
functie één periode tekenen door de volgende
instructie in te geven:
functie[
63
2𝜋
tan 22,5° cos
2 𝜋𝑥
63
+ 40 , −
63 63
2
63
𝑦=−
2 𝜋𝑥
63
tan 22°30′ cos
63
2𝜋
63
met − ≤ 𝑥 ≤ . Nu nog de bovenrand. De
2
2
periode, en dus ook de waarde van 𝑏, is dezelfde
als bij de twee vorige functies. De amplitude is
nu gelijk aan de straal van de cilinder (zie figuur
63
4), dus 𝑎 = .
2𝜋
, ].
2
Als afwerking heb ik ook de verticale randen
bijgetekend (zie figuur 3).
Een oplossing: het bovenste stuk
De naad nemen we in het verlengde van de naad
van het onderste stuk. We zoeken dus weer een
formule van de vorm 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑑. De
onderste rand plaatsen we zo dat de 𝑥-as de
evenwichtslijn vormt. Dit betekent: 𝑑 = 0. De
periode is dezelfde als bij de vorige functie. Ook
de amplitude is dezelfde, want beide cilinders
worden ‘even schuin’ afgesneden om op elkaar
te passen. In plaats van een maximum in het
midden, hebben we nu een minimum in het
midden nodig; we moeten dus een minteken
toevoegen bij de amplitude. Dit geeft:
Figuur 4
De verticale verschuiving d is de afstand,
gemeten in de richting van de as van deze cilinder, tussen beide evenwichtslijnen. Met figuur 4
vind je
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 11
Spinnenweb
Figuur 5
𝑑 = 40 −
63
2𝜋
+
63
2𝜋
tan 22,5°.
Hiermee hebben we het voorschrift van de
bovenste rand van de ontwikkeling van de
bovenste buis:
𝑦=−
met −
63
2
2 𝜋𝑥
63 63
63
cos
+ 40 −
+
tan 22,5°
63
2𝜋 2𝜋
2𝜋
≤𝑥≤
63
2
.
De vlakke ontwikkeling in GeoGebra zie je op
figuur 5.
In figuur 6 zie je de proef op de som: de uitgeknipte en geplakte cilindertjes.
Figuur 6
Bronnen
H. Eggermont, G. Hautekiet, L. Van den Broeck (2012), Wiskunde en breien, Uitwiskeling 28/1, p. 12-44. De
werktekst ‘De kop van de mouw’ staat op p. 29-31.
12 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Spinnenweb
Formules maken in Word 2007/2010
Gerd Hautekiet
De meeste wiskundeleerkrachten kunnen ondertussen goed overweg met de vergelijkingseditor
‘Microsoft Vergelijking 3.0’, al dan niet aangevuld
met Mathtype. Maar bij de laatste versies van
Microsoft Office zijn er belangrijke wijzigingen,
waaronder een nieuwe formule-editor, die
nauwer samenwerkt met de andere mogelijkheden van Word en PowerPoint. Bovendien kun
je op de website van Microsoft een gratis
invoegtoepassing vinden, Microsoft Wiskundehulp, waarmee symbolische berekeningen
binnen Word mogelijk zijn. Ik wil hieronder heel
kort ingaan op enkele praktisch bruikbare tips.
Ik geef geen volledig overzicht, eerder een
snelcursus voor beginners. Hieronder bij de
bronnen vind je verwijzingen naar meer uitgebreide online-handleidingen. Regelmatig gebruik
en proberen is de enige manier om het echt vlot
onder de knie te krijgen.
Ook in Uitwiskeling zullen we vanaf nu deze
nieuwe formule-editor gebruiken. Cambria Math
is het lettertype van de nieuwe formule-editor.
Dit lettertype kun je niet eenvoudigweg wijzigen.
Vandaar dat we ook voor de rest van ons tijdschrift zijn overgestapt op het bijbehorende
lettertype Cambria.
Invoegen van een vergelijking kan via het menu
Invoegen, π Vergelijking:
of sneller door de combinatie van de alt-toets
met =. Je verkrijgt dan een vak om je formule in
te typen:
Je krijgt meteen ook een nieuwe menubalk (zie
figuur 1), met drie of vier dialoogvensters, naar
gelang je Wiskundehulp al of niet gedownload
hebt.
Als je een bestaande formule wilt wijzigen, moet
je op het pijltje rechts onderaan klikken. Als je
buiten het veld klikt, verlaat je de formuleeditor.
Je kunt van een tekst achteraf snel een formule
maken door die tekst te markeren en dan <alt>=
te typen.
Ik geef een kort overzicht van de verschillende
dialoogvensters om snel aan de slag te kunnen.
Extra
Met de optie ‘abc Normale
tekst’ kun je gewone tekst
typen in de vergelijkingseditor. Dit is erg handig om
spaties en kleine bindteksten te typen.
Door ‘Vergelijking’ te kiezen, krijg je een lijstje
met een aantal veelgebruikte vergelijkingen. Als
je zelf een vergelijking invoert, kun je die ook
opslaan als nieuwe vergelijking.
Symbolen
In dit tabblad (zie figuur 2) vind je de relationele
en wiskundige symbolen. Met de schuifbalk
rechts kun je er meer zien, al of niet onderverdeeld in categorieën: elementaire wiskunde,
Griekse
letters,
letterachtige
symbolen,
operators, pijlen, ontkende relaties, schrifttypen
en geometrie.
Figuur 1
Figuur 2
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 13
Spinnenweb
Figuur 3
Structuren
Onder elk onderdeel van deze werkbalk (zie
figuur 3) zit weer een ander palet verborgen, dat
je verkrijgt door erop te klikken.
het afleiden van een goniometrische functie lukt
bijvoorbeeld niet.
Nuttig om weten: i.p.v. de knoppen te gebruiken
voor breuken, machtsverheffing… kun je deze
ook snel intypen in de formule-editor. Door
bijvoorbeeld in een vergelijking 1/x <spatie> te
typen krijg je automatisch een deftige breuk. Zo
ook voor a^2, haakjes die vanzelf de juiste
afmeting aannemen…
4(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3)
4 𝑥 2 − 4 𝑥 − 24
Ook handig: je kunt verschillende formules die
onder elkaar staan, uitlijnen op het gelijkheidsteken door die formules te selecteren en dan op
de rechtermuisknop te klikken. Er verschijnt dan
een menu waar je uitlijnen op = kunt kiezen.
Wiskunde
Het is mogelijk om tijdens
het schrijven in Word
bepaalde symbolische berekeningen aan dit programma over te laten.
Zoals hiervoor al vermeld,
moet je hiervoor de
invoegtoepassing
Microsoft
Wiskundehulp
gedownload hebben. Dit levert een extra
dialoogvenster Wiskunde in het Word-menu.
Voor het uitwerken, ontbinden, afleiden en
integreren van veeltermen en rationale vormen
werkt dit goed. Ook een grafiek kun je laten
tekenen en invoegen in je document. Voor
goniometrische functies voldoet het niet altijd,
Bronnen
http://www.microsoft.com/nl-be/download/details.aspx?id=17786
http://www.dpbbrugge.be/wiskunde/DVW%2023%202011/WW1_Het%20opmaken%20van%20wiskundeteksten.pdf
http://home.scarlet.be/~greetvrh/PDFdocumenten/Wiskunde_ICT_2010.pdf
http://perswww.lessius.eu/verheyen/Word2007/Word_2007_vgl-web/index.html
14 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Onder de loep
Algebra oefenen
met inzicht
Johan Deprez
Regi Op de Beeck
Inhoud
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Inleiding
Rekenregels moeten functioneel zijn
Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig
Van abstract terug naar concreet
Vergelijkingen interpreteren met grafieken
Loskomen van standaardoplossingsmethoden
Globaal kijken naar uitdrukkingen
Algebra inzetten om patronen te beschrijven
Variatie in de vraagstelling
Omkeervragen
Slimme rijtjes
Niet te snel en niet teveel verkorten
Spaarzaam zijn met formules
Niet alleen successen maar ook
mislukkingen
Tot slot
1. Inleiding
1.1.
De peiling wiskunde tweede
graad aso als aanleiding
De resultaten van de peiling
Sinds 2002 laat de Vlaamse overheid peilingsonderzoeken uitvoeren in het onderwijs. Dit zijn
grootschalige onderzoeken die nagaan in welke
mate de leerlingen de eindtermen behalen. In
mei 2012 werden de resultaten van de peiling
wiskunde in de tweede graad aso bekend
gemaakt.
In tabel 1 (van Nijlen, 2012) vind je het percentage leerlingen dat de eindtermen beheerst, per
onderwerp en volgens de studierichting.
Je merkt dat de prestaties van de leerlingen
sterk variëren volgens de studierichting: leerlingen uit Wetenschappen en Klassieke talen
scoren in het algemeen redelijk goed, maar de
resultaten van leerlingen uit Humane wetenschappen zijn alarmerend.
Er zijn ook grote verschillen naargelang het
onderwerp. Voor een aantal domeinen zijn de
resultaten goed of redelijk. Voor twee domeinen
zijn de resultaten echter duidelijk beneden de
verwachting. Slechts de helft van de leerlingen
heeft de eindtermen over getallenleer en algebra
onder de knie. De resultaten voor dit onderwerp
zijn weliswaar eerder goed voor de studierichting Klassieke talen en redelijk voor Wetenschappen, maar ze zijn ronduit dramatisch voor
Humane wetenschappen, waar er nauwelijks
leerlingen zijn die deze eindtermen halen. Voor
functies van de eerste en tweede graad haalt
minder dan de helft van de leerlingen de eindtermen. Ook hier is er een erg slecht resultaat
voor Humane wetenschappen. Bovendien stellen
nu ook de resultaten voor de studierichtingen
Klassieke talen en Wetenschappen enigszins
teleur.
Inzoomen op algebra en functies van de
eerste en tweede graad
Bij het onderwerp getallenleer en algebra gaat
het onder andere over de rekenregels voor
machten en vierkantswortels, ontbinden in
factoren, oplossen van vergelijkingen en
ongelijkheden van de eerste en tweede graad en
oplossen van 2×2-stelsels.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 15
Onder de loep
onderwerp
getallenleer en algebra
reële functies
functies van de 1ste en 2de graad
problemen oplossen met algebra en
functies
vlakke meetkunde
driehoeksmeting
ruimtemeetkunde
statistiek
Tabel 1
TOTAAL
economie
51%
75%
42%
27%
68%
25%
63%
58%
56%
76%
40%
40%
36%
70%
64%
52%
humane
klassieke
wetentalen
schappen
10%
78%
32%
91%
8%
66%
30%
34%
16%
23%
56%
81%
84%
81%
77%
87%
sport
wetenschappen
56%
88%
30%
72%
85%
69%
45%
58%
43%
69%
74%
71%
78%
80%
62%
73%
Het onderwerp functies van de eerste en tweede
graad sluit daar (met uitzondering van één
eindterm over differentiequotiënt) nauw bij aan,
maar dan bekeken door een ‘functionele bril’. Bij
veel toetsopgaven was wat extra inzicht nodig.
Het gaat dan bijvoorbeeld over het grafisch
interpreteren van de oplossingen van vergelijkingen en ongelijkheden en het opstellen van de
vergelijking van een eerstegraadsfunctie op
basis van een grafiek of tabel.
vend (zeker als je bedenkt dat je al 25% goede
antwoorden mag verwachten op basis van puur
gokken).
Enkele voorbeeldopgaven
Van de peiling naar deze loep
Hieronder vind je een voorbeeldopgave over de
rekenregels van machten (van Nijlen, 2012). Bij
elk antwoordalternatief is aangegeven hoeveel
leerlingen dat alternatief kozen.
We kunnen de slechte resultaten voor deze twee
onderwerpen niet toeschrijven aan een te hoge
moeilijkheidsgraad van de afgenomen toetsen.
Integendeel, de twee voorbeelden laten zien dat
de toetsopgaven juist gebaseerd zijn op een
eerder voorzichtige interpretatie van de eindtermen. Leerkrachten gaven in de bijgevoegde
vragenlijst aan dat ze deze twee onderwerpen
belangrijk vinden en dat ze er veel tijd aan
besteden in de lessen. Daar moeten we de
oorzaak dus ook niet zoeken.
Bij beide onderwerpen moet je in eerste instantie denken aan ‘kale’ opgaven. Het oplossen van
problemen is immers ondergebracht bij een
ander domein, namelijk problemen oplossen met
algebra en functies (dat overigens beter scoort).
We zien dat een kwart van de leerlingen niet kan
weerstaan aan de verleiding om de grondtallen
te vermenigvuldigen. Opgaven met letters worden iets beter opgelost omdat die verleiding
daar niet optreedt. Als de grondtallen ingewikkelder zijn (bijvoorbeeld met een wortel erin),
lossen minder leerlingen de opgave goed op.
In de volgende voorbeeldopgave gaat het over
het oplossen van een ongelijkheid van de tweede
graad. Hoewel het een erg braaf exemplaar is
(reeds in de standaardvorm, eenvoudige coëfficiënten en wortels), zijn de resultaten bedroe16 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Natuurlijk is het niet allemaal kommer en kwel.
Vergelijkingen geven betere resultaten dan
ongelijkheden en ongelijkheden van de eerste
graad worden beter opgelost dan die van de
tweede graad.
We denken zelf aan een geheel van diverse oorzaken. Om de grote problemen bij Humane
wetenschappen op te lossen, zal het nodig zijn
om actie te ondernemen op meerdere terreinen.
Zo vragen we ons af of een deel van de oplossing
niet gezocht moet worden in een betere (en
minder vrijblijvende?) oriëntering na de eerste
graad, in het teruggaan naar een groter onderscheid tussen sterke en minder sterke wiskunde
in de tweede graad aso met een dubbele set
eindtermen, in maatregelen die leerlingen aanzetten om harder te werken voor wiskunde…
Onder de loep
Dat zijn echter allemaal sleutels die we als leerkrachten niet zelf in handen hebben.
Waar we zelf wél werk van kunnen maken, is het
verder verbeteren van onze didactische aanpak
op het vlak van algebra. Het is daarover dat deze
loep gaat.
1.2.
Algebradidactiek
optimaliseren
Rekenvaardigheid én inzicht
We zijn niet de enige regio in de wereld die
problemen vaststelt op het vlak van algebra.
Integendeel, het lijkt wel alsof er geen landen
zonder algebraproblemen bestaan. Als je het in
internationaal perspectief bekijkt, zijn er eerder
aanwijzingen dat het bij ons al bij al nog redelijk
goed gaat. Klachten over gebrekkige algebraïsche vaardigheden van de leerlingen zijn
trouwens ook van alle tijden. De moeilijkheden
van leerlingen met algebra zijn al heel lang goed
gedocumenteerd in de wetenschappelijke literatuur over wiskundedidactiek. Het is dus allerminst een nieuw gegeven.
Dat is natuurlijk geen excuus om ons zomaar
hierbij neer te leggen. Per slot van rekening
merken we dat de doelen die we zelf gesteld
hebben niet bereikt worden. Wel leert het wijdverspreide en blijvende karakter van de
moeilijkheden dat we ons moeten hoeden voor
al te simpele oplossingen. Het wondermiddel om
ervoor te zorgen dat leerlingen perfect presteren
voor algebra lijkt vooralsnog niet uitgevonden te
zijn…
Als er iets duidelijk is uit wetenschappelijk
onderzoek i.v.m. algebradidactiek, dan is het wel
dat we niet uitsluitend mogen inzetten op het
inoefenen van een aantal basisvaardigheden.
Kieran (2007) schrijft in dat verband:
[S]tudies over several decades ha[ve] shown
that an exclusively skills-based approach to
the teaching of algebra did not lead to
skilled performance among algebra students
[…]. Nor, according to the ample number of
studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve]
such approaches led to students’ being able
to interpret adequately the various ways in
which letters are used in algebra […], or the
structural features of algebraic expressions
[…], or equivalence constraints on equations
and equation solving […]. (p. 707)
We kennen het zelf ook wel uit onze eigen
ervaring. Het leidt bijvoorbeeld tot leerlingen die
een vergelijking als (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 5(𝑥 − 2)
oplossen door eerst de haakjes uit te werken. Of
die bij het zien van een kwadratische uitdrukking in een pavloviaanse reactie meteen een
discriminant berekenen, ook als die helemaal
niet nodig is. Of nog: leerlingen die machteloos
staan als ze vaststellen dat ze een formule
vergeten zijn. We mogen daarom niet uitsluitend
inzetten op veelvuldig oefenen, maar moeten
integendeel aansturen op een goede combinatie
van rekenvaardigheid en inzicht in wat er moet
gebeuren.
Niet alleen leren met inzicht maar ook
oefenen met inzicht
In de loep van Uitwiskeling 24/1 (winter 2008)
over algebra met applets hebben we al uitgebreid met voorbeelden geïllustreerd hoe je bij
het aanbrengen van de leerstof inzicht in algebra
kunt ontwikkelen. Het ging in die loep bijvoorbeeld over het introduceren van letters om te
veralgemenen, meetkundig voorstellen van
bewerkingen en leren oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. Het is zeker de moeite
waard om deze loep terug ter hand te nemen.
Nu willen we ons vooral toespitsen op een ander
onderdeel van het leerproces, namelijk het
inoefenen van wat geleerd is. Natuurlijk moet je
na het aanbrengen van een techniek een zekere
tijd reserveren voor het leren gebruiken ervan in
directe toepassingen en het is ook belangrijk dat
leerlingen voelen dat ze de techniek onder de
knie hebben. Daarna moet je ‘verstandig
oefenen’ door ervoor te zorgen dat je bij het
oefenen een beroep blijft doen op inzicht. We
geven in deze loep heel wat voorbeelden van wat
dit ‘oefenen met inzicht’ zoal kan inhouden. We
hebben ons gebaseerd op onze eigen ervaringen,
maar vonden ook heel wat inspiratie in een
artikel over oefenen in algebra van de hand van
Martin Kindt (2006) en in het hoofdstuk over
algebra in een pas verschenen handboek
wiskundedidactiek (Drijvers & Kop, 2012).
Wat je in deze loep vindt
De peiling die de aanleiding was voor deze loep
ging over de tweede graad aso. De voorbeelden
en ideeën uit deze loep zijn echter ook van
toepassing in andere contexten: de eerste graad,
tweede graad kso en tso en algebra-achtige
onderwerpen in de derde graad (zoals het
berekenen van afgeleiden, het oplossen van
exponentiële vergelijkingen …).
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 17
Onder de loep
De loep is een menukaart geworden met veel
kleine gerechtjes. De paragrafen zijn kort, maar
het zijn er veel. Elke paragraaf werkt één
gedachte uit of laat één manier zien om op een
verstandige manier met algebra te oefenen.
Sommige daarvan ken je misschien al en enkele
andere spreken je misschien minder aan, maar
we zijn ervan overtuigd dat je op onze menukaart ook een aantal gerechtjes zult vinden die je
in je klaspraktijk zal verwerken!
2. Rekenregels moeten
functioneel zijn
Algebra bevat vele rekenregels en eigenschappen die leerlingen moeten kennen opdat ze
succesvol kunnen rekenen, vergelijkingen kunnen oplossen, uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen ... Maar zo’n rekenregel is niet in elke
situatie per se functioneel, bijvoorbeeld omdat je
de opgave soms eenvoudiger op een andere
manier kunt oplossen. We vermelden twee voorbeelden om dit te illustreren.
De distributieve eigenschap speelt een belangrijke rol in de algebra van de eerste graad. Zo
moet je bij een som of verschil met letters of met
wortels deze eigenschap wel gebruiken om tot
een resultaat te komen:
−4(2𝑥 + 3𝑦) = −4 ∙ 2𝑥 − 4 ∙ 3𝑦 = −8𝑥 − 12𝑦
3𝑎 − 2𝑎 + 7𝑎 = (3 − 2 + 7)𝑎 = 8𝑎
5√2 − 11√2 = (5 − 11)√2 = −6√2
Ook als de opgave louter uit ‘gewone’ getallen
bestaat, kan distributiviteit soms zinvol toegepast worden, zoals bijvoorbeeld in
8 ∙ 89 = 8 ∙ (90 − 1) = 8 ∙ 90 − 8 ∙ 1
= 720 − 8 = 712.
Vaak is het toepassen van distributiviteit echter
juist niet efficiënt:
10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 5 + 10 ∙ 4 = 50 + 40 = 90
versus 10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 9 = 90.
We moeten dus voorkomen dat leerlingen bij het
zien van haakjes automatisch die haakjes willen
‘wegwerken’ via distributiviteit. Hiervoor is het
belangrijk om zinvolle voorbeelden te kiezen
zowel bij het aanbrengen van de eigenschap als
bij het inoefenen ervan. Het laatste voorbeeld
kan wel zinvol zijn als leerlingen in een latere
fase twijfelen aan de rekenregel en die willen
18 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
testen door getallen in te vullen, maar dan werk
je best met kleinere getallen, zoals: 2 ∙ (3 + 4). In
paragraaf 4 komt dit aspect opnieuw aan bod.
In sommige handboeken vind je de rekenregel
𝑎
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
+ =
. Deze regel is natuurlijk niet
𝑏
𝑑
𝑏𝑑
foutief, maar in de praktijk ga je zo niet te werk.
Je past niet de formule toe, maar gebruikt een
algoritme: je vereenvoudigt eerst de afzonderlijke breuken en maakt ze dan gelijknamig door
het kleinste gemene veelvoud van de noemers te
nemen. In vele gevallen is die overigens zelfs
niet gelijk aan bd. Het heeft dan ook weinig zin
om deze regel te vermelden.
3. Algebra maakt moeilijke
zaken eenvoudig
We leiden dit aspect in met een mooi citaat van
Tall en Thomas (1991):
There is a stage in the curriculum when the
introduction of algebra may make simple
things hard, but not teaching algebra will
soon render it impossible to make hard
things simple. (p. 128)
Leerlingen kunnen in de basisschool al heel wat
problemen oplossen zonder gebruik te maken
van algebraïsche uitdrukkingen. In het secundair
onderwijs worden (eenvoudige) vraagstukken
aangepakt via het opstellen en oplossen van een
vergelijking. We zouden meer zorg moeten
besteden aan het maken van deze overgang,
waarbij we beide methoden met elkaar verbinden. De oplossingsmethoden uit de basisschool zijn niet minderwaardig aan die uit het
secundair. Eenvoudige problemen kun je vaak
op beide manieren oplossen en dan is de
algebraloze manier meestal efficiënter. Moeilijkere problemen kun je daarentegen beter met
algebra oplossen. Door dit expliciet te laten zien,
zet je het nut en de kracht van de algebraïsche
oplossingsmethode in de verf.
De volgende werktekst illustreert dit. We gaan
ervan uit dat het werken met een onbekende en
een vergelijking vooraf al aangebracht is. Omdat
er in de vraagstelling ook aandacht is voor
andere methoden, kunnen de leerlingen zelf
vergelijken en de meerwaarde ontdekken van de
formele aanpak.
Onder de loep
begin werktekst
Problemen oplossen via een onbekende en een vergelijking
De som van 9 en het dubbele van een getal is 87. Bereken dit getal.
1.
2.
Los dit probleem op door een onbekende te kiezen, hiermee een vergelijking op te stellen en deze op
te lossen.
Je kunt het probleem ook oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking. Hoe?
Antwoord: als je van 87 het getal 9 aftrekt en het resultaat deelt door 2, krijg je het gevraagde
resultaat.
Als je een getal deelt door 3 en daar dan 2 bij optelt, verkrijg je 1.
3.
Los ook dit probleem op zonder een vergelijking op te stellen.
Antwoord: als je van 1 het getal 2 aftrekt en het resultaat vermenigvuldigt met 3, krijg je het gevraagde
resultaat.
Lies en Hans krijgen een geschenkbon van € 400 voor een citytrip naar Barcelona. Het vervoer kost € 130
en voor de hotelkamer wordt € 90 per nacht aangerekend. Hoeveel nachten kunnen ze in het hotel
verblijven?
4.
Los dit nieuwe probleem op twee verschillende manieren op, een keer zonder vergelijking en een
keer met vergelijking.
5.
Kun je dit probleem oplossen zonder een vergelijking op te stellen? Zo ja, doe dit en vergelijk je
resultaat met het antwoord op vraag 6. Zo nee, ga dadelijk naar vraag 6.
Bij laagwaterstand steekt een paal voor een derde boven het water uit. Bij hoogwaterstand is het water
50 cm gestegen ten opzichte van de laagwaterstand en steekt de paal voor slechts een vijfde boven het
water uit. Bepaal de lengte van de paal.
6.
Bereken de lengte van de paal met behulp van een vergelijking.
2
4
1
1
Antwoord: 𝑥 + 50 = 𝑥 of 𝑥 − 50 = 𝑥 naargelang je verwijst naar het deel onder water of het
3
5
3
5
deel boven water, met 𝑥 = lengte van de paal.
Los de volgende problemen op. Kies zelf of je dat met of zonder vergelijking doet.
7.
8.
Wielrenner Bram volgt een strikt trainingsschema. De eerste dag fietst hij een opgelegde afstand en
vanaf dan moet hij elke dag 3 km meer fietsen. Na vijf dagen heeft hij in totaal al 150 km gefietst.
Welke afstand fietste Bram de eerste dag?
De som van drie opeenvolgende gehele getallen is 27. Geef het kleinste getal.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 19
Onder de loep
9.
Een motorrijder had in totaal twee uren nodig om 187,5 km af te leggen. Op de autosnelweg reed hij
met een gemiddelde snelheid van 110 km/h en in de bebouwde kom haalde hij gemiddeld 45 km/h.
Hoeveel tijd reed hij respectievelijk op de autosnelweg en in de bebouwde kom?
10. Maarten heeft vandaag 42 km meer gereden dan het dubbel van het aantal kilometer dat hij gisteren
aflegde. Gisteren en vandaag reed hij in totaal 222 km. Hoeveel km reed hij gisteren?
einde werktekst
De eenvoudige problemen uit de werktekst
kunnen zonder vergelijking opgelost worden via
de ‘omkeermethode’: vertrek vanuit het resultaat en voer de ‘omgekeerde’ bewerkingen in de
aangepaste volgorde uit. Via de vragen 1 en 2
kun je aantonen dat bij het oplossen van de
vergelijking net dezelfde stappen toegepast
worden als bij de omkeermethode. Bij de
moeilijkere voorbeelden uit de werktekst lijkt
het opstellen en oplossen van een eerstegraadsvergelijking echter de meest efficiënte methode.
Laat leerlingen dus zeker de meerwaarde ontdekken van deze formele aanpak, vooraleer je
reeksen eerstegraadsvergelijkingen laat oplossen. Ook nadat leerlingen ingewijd zijn in het
werken met onbekenden en vergelijkingen, is
het goed om hen te blijven herinneren aan het
nut van het algebraïsch werken. Een goede afwisseling tussen 'droge' vergelijkingen en vraagstukken oefent zowel de algebraïsche vaardigheid als het inzicht. Leerlingen mogen bij eenvoudige opgaven natuurlijk ook de omkeermethode gebruiken. Ze moeten reflexen ontwikkelen om de meest efficiënte strategie toe te
passen, ook al is dat niet de methode die net in
de les aan bod kwam. Het is echter mogelijk dat
leerlingen zelfs bij eenvoudige voorbeelden met
een vergelijking willen werken, omdat deze aanpak hen een houvast geeft. Overigens geldt
flexibiliteit ook binnen de algebraïsche oplossingsmethoden zelf. Het probleem in vraag 9 kun
je oplossen met één onbekende en één
vergelijking, waardoor het in de eerste graad al
aan bod kan komen. Zodra je hebt leren werken
met 2×2-stelsels kun je het ook met twee
onbekenden en twee vergelijkingen oplossen.
4. Van abstract terug naar
concreet
Niet iedereen onthoudt en redeneert op dezelfde
manier. De ene onthoudt een formule best in
symbolen, een andere heeft meer aan de
formulering in woorden. Nog anderen zijn eerder grafisch ingesteld: een beeld zegt voor hen
zoveel meer dan woorden. Sommige leerlingen
20 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
herinneren ‘sprekende’ voorbeelden, anderen
zullen bij twijfel een formule narekenen. Door
aandacht te hebben voor deze verschillende
voorstellingsvormen helpen we onze leerlingen
om inzicht op te bouwen. Je moet dat uiteraard
doen bij het aanbrengen van de leerstof, maar
het is even belangrijk om er later naar terug te
grijpen, bijvoorbeeld op momenten dat leerlingen nog fouten maken. Algebra mag dan wel
als wezenlijk kenmerk hebben dat het concrete
dingen abstract maakt, toch is het zo dat wie
problemen heeft met algebra, vaak een oplossing
vindt in de omgekeerde weg: maak het abstracte
opnieuw concreet. We illustreren dit met een
aantal voorbeelden.
Zien
Bij het oplossen van een eerstegraadsvergelijking moet je vaak de distributieve eigenschap
gebruiken (haakjes uitwerken), wat eenvoudig
meetkundig geïllustreerd wordt via de oppervlakte van rechthoeken.
3(𝑥 + 2) = 3𝑥 + 6
Dezelfde meetkundige voorstelling kan ook
gebruikt worden om de formule voor het
kwadraat van een éénterm, een tweeterm en
eventueel ook een drieterm te visualiseren (zie
figuur 1). Ook aan de derdemacht van een
tweeterm kun je een meetkundige interpretatie
geven (zie figuur 2).
Je kunt leerlingen van de bovenstaande voorbeelden een memofiche of poster laten maken.
Op die manier visualiseer je eigenschappen en
formules op twee verschillende manieren (meetkundige illustratie en formule in symbolen). Zo
vergroot je ook de kans dat minstens één aanpak
een plaats in het geheugen krijgt. Natuurlijk kun
je hiernaar ook verwijzen als leerlingen de
Onder de loep
formule foutief toepassen
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ).
(bijvoorbeeld:
Soms helpt een concrete interpretatie om leerlingen een fout te laten inzien. Als leerlingen bij1
1
1
= + , vraag hen dan
voorbeeld denken dat
𝑎+𝑏
𝑎
𝑏
welk stuk van een lekkere pizza ze liefst hebben:
1
1
1
of + ? Gegarandeerd dat ze in gedachten
2+3
2
3
de stukken pizza zien ...
Maar soms kennen leerlingen zo’n formule niet
meer of twijfelen ze aan de juistheid ervan.
Sommigen blijven dan staren naar hun blad
papier of halen moedeloos de schouders op. In
tegenstelling echter tot vele formules uit andere
wetenschappen die je gewoon uit het hoofd
moet kennen, hebben formules in de wiskunde
vaak het voordeel dat je niet machteloos bent als
je ze vergeten bent. Door op een gepaste manier
aan het rekenen te gaan, kun je ze vaak terugvinden. We illustreren dit met enkele voorbeelden:
•
Narekenen
Om efficiënt te kunnen werken, moet je sommige
formules memoriseren (uit het hoofd kennen).
voorbeeld 1: (𝑎 + 𝑏)2 =?
Hier vind je de oplossing via de betekenis
van een kwadraat: gewoon het grondtal met
zichzelf vermenigvuldigen:
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏)
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Figuur 1
Figuur 2
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 21
Onder de loep
•
•
voorbeeld 2: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ?
Narekenen met concrete getallen toont hier
al gauw dat de formule niet kan kloppen:
(2 + 3)2 = 52 = 25
terwijl
2 2 + 32 =
4 + 9 = 13. Leerlingen moeten wel de
beperking van deze werkwijze kennen: als
het voor een concreet voorbeeld wél klopt,
is dit nog geen bewijs dat het voor alle
getallen klopt.
voorbeeld 3: 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎? en (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎?
Hier laat een sprekend voorbeeld de kern
van het bewijs zien, althans voor het geval
dat de exponenten natuurlijke getallen zijn:
∙𝑎 ∙�
𝑎�
∙�
𝑎�∙�
𝑎
𝑎2 ∙ 𝑎3 = 𝑎�
2 factoren
3 factoren
��
=𝑎
∙�
𝑎���
∙ 𝑎 ∙�
𝑎��
∙𝑎
=𝑎
en
2+3 factoren
2+3
= 𝑎5
3
(𝑎3 )2 = 𝑎���
∙ 𝑎3
2 factoren
=�
𝑎�
∙�
𝑎�∙�
𝑎∙�
𝑎�
∙�
𝑎�∙�
𝑎
�����������
3 factoren 3 factoren
2 factoren
�����������
=𝑎
∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎
=𝑎
2∙3
2∙3 factoren
= 𝑎6
5. Vergelijkingen
interpreteren met grafieken
Vóór de tijd van de moderne wiskunde namen
functies een veel minder prominente plaats in
dan nu. Toen werden vergelijkingen en ongelijkheden los van functies bestudeerd. Toch is het
mogelijk om de band tussen functies en vergelijkingen nog meer uit te spelen. De onderstaande werktekst toont dit. Deze werktekst kan
in een vierde jaar gebruikt worden. De eerste zes
vragen kunnen afzonderlijk ook al in een derde
jaar aan bod komen.
begin werktekst
Oplossingen van een vergelijking zien
1.
2.
3.
Los op: 2𝑥 − 2 = −𝑥 + 4.
Je vond één oplossing. Verklaar dit vanuit de grafische interpretatie.
Antwoord: via de bovenstaande vergelijking bereken je de 𝑥-coördinaat van de snijpunten van twee
rechten. Een stijgende en een dalende rechte hebben één snijpunt
Wat gebeurt er grafisch als je de constante term in het rechterlid (+ 4) wijzigt?
22 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Onder de loep
Antwoord: de dalende rechte verschuift verticaal, waardoor het snijpunt ook verschuift, maar er blijft
één snijpunt bestaan.
4.
5.
Wat gebeurt er grafisch als je de richtingscoëfficiënt in het rechterlid wijzigt?
Antwoord: de rechte zal steiler of minder steil worden. Als de coëfficiënt van 𝑥 nul wordt, krijgen we een
horizontale rechte. Als deze coëfficiënt positief wordt, zal ook de tweede rechte stijgend zijn. We blijven
één snijpunt vinden, tenzij de coëfficiënt van 𝑥 gelijk wordt aan 2 wordt. In dat geval vinden we geen
snijpunt; zie ook vragen 5 en 6.
Los op: 2𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1.
6.
Antwoord: twee evenwijdige rechten die niet samenvallen, hebben geen snijpunt.
7.
Los op: (𝑥 − 1)2 + 4 = 2.
8.
9.
Verklaar het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.
Verklaar ook nu het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.
Antwoord: een dalparabool met minimum (1, 4) en een horizontale rechte op hoogte 2 snijden elkaar
niet.
Wat gebeurt er als de term ‘+ 4’ in het linkerlid groter wordt? Geef een concrete interpretatie.
Antwoord: als de constante term groter wordt, blijft de vergelijking vals. De dalparabool komt immers
nog hoger te liggen, dus zal de horizontale rechte zeker niet gesneden worden.
10. Vermeld voor welke waarden van c de vergelijking (𝑥 − 1)2 + 𝑐 = 2 niet meer vals is. Geef opnieuw
een concrete interpretatie.
Antwoord: als c ≤ 2, dan is de vergelijking niet meer vals. De dalparabool is gezakt, waardoor de
horizontale rechte een raaklijn (c = 2) of een snijlijn (c < 2) wordt.
Als je de vergelijking 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = 2𝑥 + 5 oplost, vind je twee oplossingen. De stijgende rechte in het
rechterlid snijdt de dalparabool in het linkerlid in twee punten.
11. Verplaats de rechte nu evenwijdig totdat ze raakt aan de parabool. Hoe vertaal je dit algebraïsch?
Antwoord: de discriminant van de vierkantsvergelijking is gelijk aan nul.
12. Verplaats de rechte evenwijdig totdat ze de parabool helemaal niet meer snijdt of raakt. Hoe vertaal
je dit algebraïsch?
6. Loskomen van standaardoplossingsmethoden
Voor een aantal standaardproblemen leren we in
de wiskundeles standaardoplossingsmethoden.
Zo kun je een tweedegraadsvergelijking altijd
oplossen met de discriminant. Vaak is het dan
verleidelijk om die standaardoplossingsmethode
begin werktekst
einde werktekst
altijd toe te passen. Toch is dat lang niet altijd de
handigste manier. Vóór het aanbrengen van de
discriminantmethode wordt daar vaak al op ingegaan (welke tweedegraadsvergelijkingen kunnen we al oplossen?). De onderstaande werktekst is bedoeld voor nadien. We laten de leerlingen terug loskomen van de standaardmethode
die ze ondertussen geleerd en ingeoefend
hebben.
Tweedegraadsvergelijkingen oplossen kan soms ook (beter?) zonder
discriminant
1.
Bij de volgende vergelijkingen zou je de haakjes kunnen uitwerken en daarna de vergelijking met de
discriminant oplossen. Laat zien dat je ze op een veel efficiëntere manier kunt oplossen.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 23
Onder de loep
2.
3.
a.
b.
c.
(𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 0
(𝑥 − 3)(6𝑥 − 3) + (2 − 5𝑥)(2𝑥 − 1)
(𝑥 − 3)(6𝑥 + 3) = (2 − 4𝑥)(2𝑥 + 1)
Kun je de vergelijking (𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 12 ook oplossen zoals in oefening 1.a?
Antwoord: uit A·B = 0 volgt dat A = 0 of B = 0 maar voor rechterleden die verschillend zijn van 0 geldt
een soortgelijke eigenschap niet.
Arne loste de vergelijking uit oefening 1.c op door links en rechts te delen door 2𝑥 + 1. Probeer dat
ook eens en geef commentaar.
4.
Los de volgende vergelijkingen op door vierkantswortels te trekken:
5.
Los de volgende tweedegraadsvergelijkingen op door het linkerlid (indien mogelijk!) te herschrijven
met behulp van een merkwaardig product of door een gemeenschappelijke factor af te zonderen:
6.
Bereken de discriminant van de vergelijkingen c, d en e uit de vorige oefening. Zijn je oplossingen
van deze vergelijkingen in overeenstemming met de waarde van de discriminant?
7.
8.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
𝑥2 = 9
4𝑥 2 = 9
4(𝑥 − 1)2 = 9
4(𝑥 − 1)2 + 5 = 9
4(𝑥 − 1)2 + 7 = 9
4(𝑥 − 1)2 + 9 = 9
4(𝑥 − 1)2 + 11 = 9
a.
b.
c.
d.
e.
4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0
4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0
4𝑥 2 − 12𝑥 = 0
4𝑥 2 − 9 = 0
4𝑥 2 + 9 = 0
Antwoord: bij dergelijke onvolledige vergelijkingen maken veel leerlingen een fout bij het berekenen
van de discriminant: voor de ontbrekende termen nemen ze de coëfficiënt gelijk aan 1 i.p.v. 0.
De vergelijkingen 4.b en 5.d zijn eigenlijk dezelfde. Welke methode verkies je?
Vervang de rechterleden van de vergelijkingen uit oefening 5 door 16 en los deze nieuwe
vergelijkingen op. Vier van deze vergelijkingen kun je beter zonder discriminant oplossen. Voor één
vergelijking kun je beter de discriminant gebruiken.
Het komt wel vaker voor dat er verschillende
methodes bestaan om eenzelfde soort problemen op te lossen en dat elke methode zijn
voordelen heeft, afhankelijk van de precieze
vorm van het probleem. Een mooie manier om
hier op te oefenen, is dat je je leerlingen een
aantal oefeningen opgeeft en hen vraagt om deze
oefeningen op te lossen waarbij ze elke methode
maar één keer mogen gebruiken.
Soms zit de flexibiliteit in heel kleine zaken. We
geven een voorbeeld over het oplossen van
ongelijkheden van de eerste graad. Als je bij de
ongelijkheid 5 − 2𝑥 < 3 + 𝑥 vasthoudt aan de
regel dat je alle termen met 𝑥 naar het linkerlid
moet brengen en alle termen zonder 𝑥 naar het
rechterlid, dan krijg je −3𝑥 < −2. Hier is het
24 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
einde werktekst
juist eenvoudiger om de termen met 𝑥 naar het
rechterlid te brengen, zodat je geen mintekens
krijgt.
Correct leren toepassen van één standaardmethode of flexibel gebruik maken van verschillende methoden zal altijd wel een zaak blijven
van het afwegen van voor- en nadelen van beide
opties. Voor sommige leerlingen is het belangrijker dat ze er gerust in kunnen zijn dat ze de
oplossing wel zullen vinden en dan is het
misschien beter hen de standaardmethode te
laten toepassen, ook in gevallen waarin dat niet
de meest efficiënte methode is. Anderzijds: voor
de standaardmethode moet je soms veel meer
rekenwerk uitvoeren en dat geeft dan weer een
grotere kans op rekenfouten (zoals we bijvoor-
Onder de loep
beeld verwachten in de zesde opgave uit de
werktekst).
Drijvers en Kop (2012) maken een onderscheid
tussen algebraïsche basisvaardigheden en symbol
sense. Het foutloos kunnen uitvoeren van
standaardprocedures valt onder de algebraïsche
basisvaardigheden. Dat is uiteraard een nodige
voorwaarde om goed met algebra overweg te
kunnen, maar uit de praktijk en uit onderzoek
blijkt dat er meer nodig is dan dat. Een overzicht
hebben van verschillende oplossingstechnieken
en daar flexibel uit kunnen kiezen is een van de
facetten van symbol sense, de ‘algebraïsche
expertise […] die, veelal op de achtergrond
zonder dat we ons daarvan bewust zijn, de
uitvoering van de basisroutines stuurt en het
inzicht in de onderliggende concepten omvat.’
(Drijvers & Kop, 2012, p. 65-66). Andere
aspecten van symbol sense zijn bijvoorbeeld:
inzicht hebben in de structuur van algebraïsche
uitdrukkingen (zie volgende paragraaf) en kunnen weerstaan aan verleidelijke ‘foutieve rekenregels’. Als we pleiten voor ‘oefenen met inzicht’
bedoelen we dat in de oefeningen algebraïsche
vaardigheden en symbol sense samen moeten
gaan.
7. Globaal kijken naar
uitdrukkingen
Nog zo’n kwadratische vergelijking waarbij je
best even goed kijkt vóór je in actie schiet, is
(3𝑥 − 2)2 − 5(3𝑥 − 2) + 6 = 0. Hier komt het
erop aan de uitdrukking 3𝑥 − 2 tijdelijk als één
object te zien en deze uitdrukking dan bijvoorbeeld te vervangen door een hulponbekende u.
Hierdoor wordt de globale structuur van het
linkerlid (een veelterm van de tweede graad in
u) zichtbaar. Algebraïsche vaardigheid hangt
heel dikwijls af van het inzicht in de structuur
van uitdrukkingen. We geven nog enkele voorbeelden:
•
•
Om het domein van de functie 𝑓: 𝑦 = √2 − 𝑥
te bepalen, moet je beseffen dat de
vierkantswortel getrokken wordt uit 2 − 𝑥
en dat de voorwaarde dus is dat 2 − 𝑥 ≥ 0,
en dus niet dat 𝑥 ≥ 0. Ook hier kan het
helpen om de 2 − 𝑥 te vervangen door een
hulpveranderlijke 𝑢.
4𝑥 2 + 3𝑥 is een som. Als je de gemeenschappelijke factor vooropzet, krijg je
𝑥(4𝑥 + 3), wat een product is. Bij het
•
•
ontbinden in factoren zet je sommen om in
producten.
De uitdrukking (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 is in
eerste instantie een verschil en de twee
termen van dat verschil zijn kwadraten. De
uitdrukking is dus een verschil van twee
kwadraten. Dit inzicht is nodig om in te zien
dat je hier kunt ontbinden in factoren met
de regel 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). Hier
hebben we de uitdrukking in twee stappen
‘van buiten naar binnen’ geanalyseerd: eerst
zagen we een verschil en daarna zagen we
dat beide termen een kwadraat waren.
Als je de grafiek van 𝑓: 𝑦 = 𝑥 3 transformeert
tot die van 𝑔: 𝑦 = 2𝑥 3 − 1, zet je dezelfde
stappen als wanneer je de grafiek van f
transformeert tot die van ℎ: 𝑦 = 2(𝑥 3 − 1),
maar de volgorde is verschillend. Ook hier
analyseren we de uitdrukkingen van buiten
naar binnen.
In de uitdrukking ln(100 ∙ 1.05𝑡 ) gaat de
aandacht van de leerlingen (van de derde
graad) vaak in eerste instantie naar de
macht. Ze passen dan de regel toe voor de
logaritme van een macht en doen tegelijk
iets onduidelijks met de factor 100. Voor het
correct herschrijven van de uitdrukking is
het echter juist belangrijk dat de leerlingen
zich realiseren dat het argument van de
logaritme in eerste instantie een product is.
Je moet dus eerst de rekenregel voor de
logaritme van een product toepassen en pas
nadien (in de logaritme van de tweede
factor) de rekenregel voor de logaritme van
een macht.
Er zijn nog veel meer voorbeelden te geven van
plaatsen waar inzicht in de structuur van uitdrukkingen nodig is: bij het berekenen van
afgeleiden en integralen, bij het bewijzen van
goniometrische identiteiten, bij het oplossen van
vergelijkingen …
•
Kleine didactische hulpmiddeltjes, het gebruiken
van kadertjes op het bord op strategische
momenten zoals in
(3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 en (3𝑥 + 2) 2
kunnen leerlingen op weg helpen om deze
structuur te zien. Ook kun je leerlingen deze
structuur nu en dan laten verwoorden. Op
www.wisweb.nl vind je twee mooie applets,
namelijk ‘Algebra Expressies’ en ‘Algebra Pijlen’
waarmee je leerlingen kunt laten oefenen. In de
schermafdruk hieronder (zie figuur 3) zie je aan
de linkerkant hoe de uitdrukking
(3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 25
Onder de loep
Figuur 3
opgebouwd werd. Rechts bovenaan zie je (wat
efficiënter uitgewerkt, zonder zichtbare tussenresultaten) de uitdrukking die je na het ontbinden in factoren en vereenvoudigen vindt.
Rechts onderaan lieten we ter controle een tabel
maken met waarden voor het verschil tussen
beide uitdrukkingen.
8. Algebra inzetten om
patronen te beschrijven
Algebraïsche uitdrukkingen lenen zich uitstekend om patronen te beschrijven. Patroonbegin werktekst
Verrassende resultaten
1.
Controleer de resultaten in de regels hieronder:
2.
Geef de volgende drie regels.
3.
1 + 9 + 1 ∙ 9 = 19
2 + 9 + 2 ∙ 9 = 29
3 + 9 + 3 ∙ 9 = 39
Hoe kun je dit patroon verklaren?
26 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
herkenning komt in het secundair onderwijs
expliciet aan bod in het hoofdstuk over rijen.
Deze vaardigheid is prima om ‘inzichtelijk
kijken’ te bevorderen. In de werktekst op de
volgende bladzijde nemen we een aantal
opgaven uit Kindt (2006) over die tonen hoe je
dit ook in andere hoofdstukken kunt inlassen. Bij
deze opgaven moeten leerlingen niet enkel het
patroon herkennen en nadien zelf in staat zijn
om het schema verder te zetten. Vaak wordt
naar een verklaring gevraagd. Bij de veralgemening en verklaring kan algebra een goed
hulpmiddel zijn. We verwerken alle opgaven in
één werktekst, maar je kunt de deelopgaven ook
apart aanbieden.
Onder de loep
4.
5.
6.
Antwoord: als je het bovenstaand patroon veralgemeent en de formule uitrekent, dan heb je een
verklaring: 𝑥 + 9 + 𝑥 ∙ 9 = 10𝑥 + 9 .
1
1
Reken na dat �1 − � ∙ �1 + � = 1.
3
2
Vul nu zelf de resultaten in van de volgende drie opgaven en vervolledig het schema met twee
dergelijke opgaven.
1
1
�1 − � ∙ �1 + � =
4
3
1
1
�1 − � ∙ �1 + � =
5
4
1
1
�1 − � ∙ �1 + � =
6
5
Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.
Antwoord: het resultaat is telkens 1. Ook hier zul je via de veralgemening van het schema de verklaring
1
1
𝑛−1
𝑛
�=
∙
= 1.
vinden: �1 − � ∙ �1 +
𝑛
𝑛−1
𝑛
𝑛−1
7.
Controleer de gegeven berekeningen en voeg twee regels toe.
8.
Geef een soortgelijke berekening die veel verder in de rij zou staan als je deze zou verderzetten.
9.
1∙2−0∙3 =2
2∙3−1∙4 =2
3∙4−2∙5 =2
4∙5−3∙6 =2
5∙6−4∙7 =2
Waarom kom je telkens 2 uit? Geef een verklaring.
Antwoord: Er zijn meerdere mogelijkheden om het linkerlid te veralgemenen:
𝑛 ∙ (𝑛 + 1) − (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 + 2) of (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) − 𝑛 ∙ (𝑛 + 3) of …
Uitwerking van deze uitdrukkingen geeft telkens als resultaat 2.
10. Bereken achtereenvolgens:
152 − 10 ∙ 20
252 − 20 ∙ 30
352 − 30 ∙ 40
11. Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.
Antwoord: het resultaat is telkens 25. De onderstaande veralgemening van het schema geeft de
verklaring en toont zelfs dat de getallen van de tweede term enkel 10 moeten verschillen, maar zelf
geen veelvouden van 10 hoeven te zijn: (𝑛 + 5)2 − 𝑛 ∙ (𝑛 + 10) = 𝑛2 + 10𝑛 + 25 − 𝑛2 − 10𝑛 = 25.
einde werktekst
Vaak gebruiken we concrete getallen om een
formule uit algebra te begrijpen. Bij de opgaven
uit de werktekst redeneren we omgekeerd: we
stellen iets vast bij getallen en gebruiken de
algebra om het te begrijpen.
In de bovenstaande werktekst merkte je dat
algebra gebruikt wordt om patronen te
beschrijven en te verklaren. Dit lukt echter niet
bij alle patronen. Een gekend voorbeeld waarbij
het juist een meetkundige voorstelling is die een
verklaring biedt, vind je hieronder.
n ⋅ ( n + 1)
1 + 2 + ... + n =
2
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 27
Onder de loep
9. Variatie in de vraagstelling
In deze paragraaf en de volgende twee inspireerden we ons op een artikel van Kindt (2006). Het
doel van het artikel loopt gelijk met dat van ons:
tonen hoe je het oefenen in algebra kunt combineren met het verdiepen van inzicht.
Kindt pleit voor variatie in de vraagvorm, onder
andere met het argument dat het leerlingen alert
houdt en hen uiteindelijk meer bijleert (ook al
vinden leerlingen het zelf vaak wel leuk als ze
een rijtje oefeningen kunnen afwerken zonder
teveel te moeten nadenken). We laten hieronder
een voorbeeld zien van een dergelijke variatie
aan oefeningen in verband met het vermenigvuldigen van twee uitdrukkingen van de eerste
graad. De oefeningen zijn gebaseerd op wat we
bij Kindt lazen.
In de eerste oefening wordt het rechthoeksmodel voor het vermenigvuldigen gebruikt:
vermenigvuldigen wordt verbonden met oppervlakte van rechthoeken. We delen de grote
rechthoek met zijden 𝑥 + 3 en 𝑥 + 5 (links in de
figuur) op in deelrechthoeken die overeenkomen
met producten die je tegenkomt wanneer je
distributiviteit toepast. Aan de leerlingen vragen
we om in elke rechthoek de oppervlakte te
schrijven in de vorm van het product van de
lengte en breedte van de rechthoek).
Onterecht, want het geeft een mooie alternatieve
manier om het product te berekenen:
𝑥
2
𝑥2
𝑥
𝑥
3𝑥
+ 5𝑥
+ 8𝑥
+
+
5
3
+ 15
+ 15
Hieronder zie je nog een andere vorm waarin je
bewerkingen met veeltermen kunt aanbieden.
Hierbij wordt de structuur van de te berekenen
uitdrukking gevisualiseerd op een manier die
nauw aansluit bij paragraaf 7.
In de laatste oefening die we tonen, moeten de
leerlingen in het linkerlid haakjes plaatsen,
indien nodig, zo dat de gelijkheid opgaat:
𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 3
𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 15
𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 3
𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 15
10. Omkeervragen
In de vermenigvuldigingstabel hieronder is de
verwijzing naar de oppervlakte van rechthoeken
verdwenen. De ‘dubbele distributiviteit’ wordt
nog steeds mooi verbeeld, maar nu zonder de
tussenstap(pen). We laten leerlingen een ander
product van twee eerstegraadsveeltermen hiermee uitwerken. Dit kun je natuurlijk uitbreiden
tot veeltermen met een hogere graad.
×
𝑥
3
𝑥
𝑥2
3𝑥
5
5𝑥
15
Voor de deling van veeltermen gebruiken we in
de secundaire school hetzelfde algoritme als in
de lagere school voor getallen. Voor de
vermenigvuldiging is dat niet gebruikelijk.
28 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
In deze paragraaf gaat het niet om de
‘omkeermethode’ uit de derde paragraaf, waarbij een oplossing van een vergelijking gevonden
wordt via het terugwaarts berekenen, maar om
een manier om de vraagstelling te variëren.
Omkeervragen zijn vragen waarbij het resultaat
gegeven is en de leerlingen de (een) oorspronkelijke opgave moeten zoeken. We geven enkele
voorbeelden uit Kindt (2006):
1.
2.
Bedenk twee breuken met ongelijke
14
noemers waarvan de som gelijk is aan .
15
Bedenk twee breuken met ongelijke
noemers waarvan het product gelijk is aan
14
.
15
Onder de loep
3.
4.
5.
Vul passende veelvouden van 𝑥 of 𝑦 in:
(⋯ + ⋯ ) + (⋯ + ⋯ ) = 12𝑥 + 5𝑦
Vul passende getallen in:
(𝑥 + 8) ∙ (𝑥 + ⋯ ) = 𝑥 2 + 19𝑥 + ⋯.
Bedenk een vergelijking waarvan 9 en –10
de enige oplossingen zijn.
Vaak zijn er meerdere antwoorden mogelijk, wat
het interessant maakt voor leerlingen die trager
zijn. Het feit dat de oplossing niet eenduidig
bepaald is, nodigt ook uit tot een klasgesprek of
verder onderzoek.
11. Slimme rijtjes
Als je oplossingstechnieken indrillt, maak je
rijtjes opgaven waarin je telkens dezelfde
standaardtechniek toepast. Bij het ‘oefenen met
inzicht’ zorgt de leraar voor slimme rijtjes.
Daarbij staan de opeenvolgende oefeningen met
elkaar in verband. Het verband of contrast met
de vorige opgave(n) heeft als bedoeling om bij te
dragen aan het verder ontwikkelen van inzicht.
We illustreren dit aan de hand van twee
voorbeelden.
In een eerste rijtje wordt aan de leerlingen
gevraagd om kwadraten en producten uit te
werken m.b.v. de merkwaardige producten. We
hebben goede ervaringen met dit rijtje: leerlingen denken inderdaad na over het verband
tussen de verschillende opgaven, ze komen
spontaan met verschillende varianten voor de
oplossing van bepaalde oefeningen … Omdat de
opgaven met elkaar in verband staan, is het geen
goed idee om er enkele oefeningen uit te pikken
en de andere over te slaan. Je hoeft de oefeningen daarom niet allemaal volledig uit te
werken. Je kunt leerlingen bijvoorbeeld vragen
om alleen de eerste stap in de uitwerking te
zetten. Hier kun je bijvoorbeeld ook vragen
welke oefeningen dezelfde uitkomst hebben,
welke een tegengestelde oplossing hebben …
1.
(𝑥 + 2)2
3.
(−𝑥 + 2)2
2.
(𝑥 − 2)2
4.
(−𝑥 − 2)2
6.
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
5.
7.
8.
−(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)
9.
(−𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)
10. (𝑥 + 2)(−𝑥 − 2)
Het tweede rijtje is volgens hetzelfde principe
opgebouwd. Hierin moeten de leerlingen de
uitdrukkingen ontbinden in factoren. De uitdrukkingen lijken nogal op elkaar (bijvoorbeeld
omdat dezelfde getallen gebruikt worden), maar
de toe te passen methoden zijn telkens verschillend.
1.
16𝑥 2 + 24𝑥
2.
16𝑥 2 + 24𝑥 + 9
4.
16𝑥 4 + 24𝑥 2 + 9
6.
16𝑥 2 − 9
8.
16𝑥 4 − 9𝑥 2
3.
5.
7.
9.
16𝑥 4 + 24𝑥 3 + 9𝑥 2
16𝑥 2 + 9
16𝑥 4 − 9
16𝑥 4 − 9𝑥 3
10. 16𝑥 4 − 9𝑥 4
12. Niet te snel en niet teveel
verkorten
Vaak maken leerlingen fouten omdat ze algoritmen domweg van buiten leren zonder er nog een
betekenis aan te koppelen. Natuurlijk is het de
bedoeling van een algoritme om een recept te
geven dat, mits correcte toepassing, snel een
resultaat oplevert, zonder dat over elke stap
moet nagedacht worden. Maar overdaad
schaadt! We vermelden hieronder enkele voorbeelden waarbij teveel nadruk op een algoritme
(in de brede betekenis van het woord) ons
eerder schadelijk lijkt.
Voor het oplossen van vergelijkingen bestaan de
zogenaamde ‘overbrengingsregels’: optellen
wordt aftrekken, vermenigvuldigen wordt
delen ... Deze regels zijn een verkorting van het
basisprincipe dat je bij een gelijkheid op beide
leden dezelfde operatie mag toepassen, waarbij
de gekende idee van een weegschaal of balans
wordt gebruikt. Je mag bijvoorbeeld bij beide
leden van een vergelijking eenzelfde getal
optellen. Het is beter om leerlingen te leren om
hun stappen consequent te verantwoorden met
behulp van deze basisprincipes in plaats van ze
te leren steunen op de overbrengingsregels.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 29
Onder de loep
–7
3 x + 7= 11x − 8
3=
x 11x − 15
–11x
: –8
−8 x =
−15
=
x
−15 15
=
8
−8
–7
–11x
: –8
Dezelfde idee vind je terug bij het vereenvoudigen van breuken. Leerlingen onthouden dat je
gemeenschappelijke zaken in teller en noemer
mag schrappen en schrappen dan ook niet alleen
gelijke factoren maar ook gelijke termen. Het
basisprincipe is hier dat je in teller en noemer
mag vermenigvuldigen met (of delen door) eenzelfde uitdrukking.
We pleiten er dus voor om de verkortingsregels
niet te snel in te voeren. Wanneer leerlingen
later fouten maken bij deze regels, is het goed
om terug te keren naar de basis.
De regel van Horner krijgt in Vlaanderen (ten
onrechte) meer aandacht dan in de rest van de
wereld. Hoewel de meeste leerlingen dit rekentrucje wel leuk vinden en kunnen onthouden, is
gericht kijken naar de opgave vaak voldoende
om het quotiënt en de rest te vinden. Het zorgt
er ook voor dat het inzicht behouden blijft. Het
volgende voorbeeld illustreert dit (waarbij de
verklaring in woorden lastiger is dan het eigenlijke denkwerk):
•
Bereken het quotiënt en de rest bij deling
van 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11 door 𝑥 + 3.
We willen het deeltal dus in de volgende
vorm schrijven:
4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11
•
= (𝑥 + 3) ∙ (⋯ 𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.
Omdat de hoogstegraadsterm van het deeltal 4𝑥 4 is, moet de eerste term van het
quotiënt 4𝑥 3 zijn, zodat
4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11
•
= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.
Als je dit rechterlid zou uitrekenen, verkrijg
je als term in 𝑥 3 voorlopig 12𝑥 3 . Om 15𝑥 3 te
krijgen, heb je nog 3𝑥 3 nodig, zodat de
tweede term van het quotiënt 3𝑥 2 wordt (𝑥 2
omdat deze term nog vermenigvuldigd
wordt met 𝑥 uit de eerste factor).
4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11
= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 + ⋯ ) + ⋯.
30 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
•
Een analoge redenering leert dat de derde
term – 2𝑥 moet zijn en de laatste term 5. Om
de gelijkheid te laten gelden, zul je voor de
rest –4 moeten nemen.
4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11
= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5) − 4.
Natuurlijk zitten achter de bovenstaande
redenering dezelfde principes als diegene die tot
de regel van Horner leiden. Alleen blijft de
betekenis van wat je doet nu de hele tijd op de
voorgrond staan. Je hoeft ook helemaal niet van
buiten te onthouden dat het getal dat je bij het
schema links zet –3 moet zijn (en niet 3) en dat
je de getallen die in het schema onder elkaar
staan moet optellen.
13. Spaarzaam zijn met
formules
We hebben nogal eens de neiging om voor het
even wat een formule op te stellen en onze
leerlingen ook te leren om die formules te
gebruiken. Soms zijn formules echter niet zinvol,
omdat er betere alternatieven zijn. Zo is de
formule voor de 𝑥-coördinaat van de top van een
𝑏
parabool (− ) wél de moeite waard (want erg
2𝑎
vaak bruikbaar, eenvoudig te onthouden …)
maar is het geen goed idee de formule voor de y4𝑎𝑐−𝑏 2
) uit het hoofd te
coördinaat van de top (
4𝑎
laten leren. Leerlingen die geleerd hebben om te
steunen op een formule zijn machteloos als ze de
formule vergeten zijn. Je kunt veel beter gebruik
maken van het algemeen toepasbare principe
dat je de 𝑦-coördinaat van een punt van de
grafiek vindt door de 𝑥-waarde in de vergelijking
in te vullen.
Bij belangrijke formules loont het vaak ook de
moeite om ze eens goed te bekijken. De formule
voor de nulpunten van een tweedegraadsfunctie
kun je bijvoorbeeld in verband brengen met de
formule voor de 𝑥-coördinaat van de top door ze
−𝑏±√𝑑
𝑏
√𝑑
= − ± . Je ziet
eens te herschrijven:
2𝑎
2𝑎
2𝑎
dan onmiddellijk dat de top midden tussen de
nulpunten in ligt.
Ook de formule voor het nulpunt van een eerste𝑏
graadsfunctie (− ) is overbodig. Het is veel
𝑎
beter om dit snel te berekenen, dan het risico te
lopen dat de formule foutief onthouden wordt.
Een ander voorbeeld uit het derde jaar: het is
voldoende om te weten dat de richtingscoëffi-
Onder de loep
ciënt van een rechte de coëfficiënt is van x in de
vergelijking 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Als de rechte 𝑟 via een
algemene
vergelijking
(𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 = 0)
gegeven is kunnen de leerlingen wel zelf de
richtingscoëfficiënt berekenen. De formule
𝑢
rico 𝑟 = − is dus echt niet nodig.
𝑣
In het vierde jaar vind je bij de algemene
vergelijking 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 van een
cirkel in sommige handboeken de formules
𝑟=
�𝑎2 +𝑏 2 −4𝑐
2
𝑎
𝑏
voor de straal en �− , − � voor
2
2
het middelpunt. Het lijkt ons echter zinvoller om
met een voorbeeld de methode aan te leren om
de algemene vergelijking te herschrijven in de
vorm (𝑥 − 𝑥1 )2 + (𝑦 − 𝑦1 )2 = 𝑟 2 . Deze methode
is namelijk eenvoudiger om te memoriseren dan
de formules die ervoor vermeld zijn.
14. Niet alleen successen maar
ook mislukkingen
Leerlingen zijn heel creatief in het uitvinden van
allerlei rekenregels die er in feite niet zijn, zoals
‘de vierkantswortel van een som is de som van
de vierkantswortels’. Daar zijn allerlei redenen
voor te bedenken, maar één ervan is misschien
wel dat ze het heel vaak evident vinden dat de
uitdrukking ‘nog verder uitgewerkt’ moet
worden. In de basisschool moeten leerlingen
uitdrukkingen als 67 + 15 uitwerken tot ze één
getal vinden. Uitdrukkingen krijgen daardoor
een proceskarakter: ze geven aan dat er actie
ondernomen moet worden. In de algebra moeten
leerlingen gaandeweg leren dat er soms niet veel
uit te rekenen is. Je kunt niet altijd verder gaan
tot je een ‘uitkomst’ hebt. Je moet dus soms
tevreden zijn met de uitdrukking zoals ze is.
Leerlingen moeten ‘onuitgewerkte’ algebraïsche
uitdrukkingen gaandeweg leren accepteren als
een uitkomst. Algebraïsche uitdrukkingen
krijgen hierdoor het karakter van een object op
zich, net zoals een getal zoals 82 dat is.
Het is dus belangrijk dat leerlingen er attent op
gemaakt worden dat je niet alles verder kunt
uitwerken. Bij het aanbrengen van rekenregels
krijgen de ‘goede’ rekenregels (zoals ‘de
vierkantswortel uit een product is gelijk aan het
product van de vierkantswortels als de factoren
positief zijn’) uiteraard de meeste aandacht. Dat
zijn de middelen die ons in staat stellen om een
uitdrukking wél verder uit te werken. Misschien
moeten we op dat ogenblik echter niet alleen
aandacht besteden aan de succesverhalen (de
rekenregels die geldig zijn), maar ook al meteen
een aantal populaire mislukkingen (‘rekenregels
die er geen zijn’) onder de aandacht brengen. Zo
zou je de leerlingen bijvoorbeeld eerst aan de
hand van getallenvoorbeelden kunnen laten
onderzoeken welke van de potentiële rekenregels voor vierkantswortels geldig zouden
kunnen zijn:
√𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 ?
√𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − √𝑏 ?
√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 ?
𝑎
√𝑎
�𝑏 = √𝑏 ?
Je vindt al snel tegenvoorbeelden voor de eerste
twee en kunt dus al gauw besluiten dat
√𝑎 ± 𝑏 ≠ √𝑎 ± √𝑏. Deze negatieve conclusie is
even belangrijk als die i.v.m. de andere twee, die
(na een bewijs, voor positieve getallen) wel
degelijk geldige rekenregels blijken te zijn.
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 31
Onder de loep
Ook bij het oefenen kunnen leerlingen leren op
hun hoede te zijn voor de verlokkingen van de
‘foutieve rekenregels’. Bij het inoefenen van
rekenregels hebben we immers de neiging om
alleen oefeningen te laten maken waarin de
‘goede rekenregels’ inderdaad toegepast kunnen
worden. We zouden leerlingen bijvoorbeeld ook
oefeningen kunnen aanbieden waarin ze uitdrukkingen moeten vereenvoudigen indien
mogelijk, zoals hieronder (uit een andere context
dan vierkantswortels):
1.
2.
3.
4.
5.
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
𝑥 2 −1
𝑥−1
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 +1
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 −1
𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 −1
15. Tot slot
We zijn aan het einde gekomen van onze reeks
voorbeelden. We hopen dat je ideeën opgedaan
hebt om je algebralessen verder te verrijken en
dat je leerlingen zowel hun rekenvaardigheid als
hun inzicht kunnen verhogen.
We hebben in de inleiding aangegeven dat er
werk op de algebra-plank ligt. Bij het einde van
de loep past een relativerende opmerking. Uit de
peiling van de tweede graad aso blijkt dat we in
Vlaanderen reeds heel wat tijd aan algebra
besteden. De ideeën uit deze loep zijn erop
gericht om de tijd die we er voor uit trekken nog
beter in te vullen, eerder dan dat we ervoor
pleiten om er meer tijd voor uit te trekken. Er
zijn immers ook heel wat andere onderwerpen
die voldoende aandacht moeten krijgen. We
mogen zeker ook niet de fout maken om
wiskundeonderwijs te verengen tot het
ontwikkelen van algebraïsche vaardigheid.
Bronnen
Drijvers, P. (2012). Wat bedoelen ze toch met ... symbol sense? Nieuwe Wiskrant, 31(3), 39–42.
Drijvers, P., Kop, P. (2012). Variabelen en vergelijkingen. De veelzijdigheid van algebraïsche vaardigheden.
In P. Drijvers, A. Van Streun, B. Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek (pp. 53–81). Utrecht, The
Netherlands: Epsilon Uitgaven.
Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building
meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on
mathematics teaching and learning (Vol. 2, pp. 707–762). Charlotte, U.S.A.: Information Age
Publishing.
Kindt, M. (2006). Oefening baart kunst. In P. Drijvers (Ed.), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor
betekenisvolle algebra op school (pp. 105–136). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute.
Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational
Studies in Mathematics 22, 125–147.
van Nijlen, D., et al (2012). Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs. Leuven:
Centrum voor Onderwijseffectiviteit en –evaluatie (KU Leuven) en Brussel: Agentschap voor
Kwaliteitszorg in Onderwijs en Vorming, Afdeling Projecten: EVC-Curriculum-Kwalificaties.
32 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Bibwijzer
Animated Geometry by J.L.Nicolet
dvd gepubliceerd door Educational Explorers Film Company
G. Noël, R. Midavaine, Revoir les films de J.-L. Nicolet
Losanges 13 (2011), p. 41-48
Pure nostalgie: dynamische meetkundefilmpjes
die dateren van... de jaren 1940 en 1950, lang
vóór Cabri en GeoGebra. Deze zwart-witfilms
duren twee à vijf minuten, en zijn geproduceerd
zoals de tekenfilms uit die tijd: door de opeenvolgende beelden te tekenen en na elkaar op te
nemen. Als kijker ben je geïntrigeerd door de
mooie meetkundige eigenschappen die zonder
woorden getoond worden. Je kunt dit proberen
na te doen met GeoGebra of andere hedendaagse
middelen. Je kunt op zoek gaan naar een
verklaring, een bewijs...
Ik leerde deze oude filmpjes kennen op een
lezing op een congres van de SBPMef (Société
belge des Professeurs de Mathématiques
d’expression française), door Guy Noël en Rita
Midavaine. Nadien verscheen hun artikel in het
tijdschrift Losange (zie titel hierboven). Deze
collega’s hadden twee filmpjes uitgekozen. Ik
wou er meer zien en bestelde de ‘digital versatile
disk’ (dvd) bij ‘une éducation pour demain’
(uepd). (Je vindt het op p. 14 in de online
cataloog
www.uneeducationpourdemain.org/
web_books/catalogue_flip_a5/book.swf). Op de
dvd staan 22 dergelijke filmpjes. Nadien
ontdekte ik dat enkele van die filmpjes ook op
het internet staan. Dit is onder andere het geval
voor het filmpje ‘Triangles in polygons’ (nummer
11 op de dvd) dat we hieronder als voorbeeld
bespreken:
www.youtube.com/watch?v=4D3ttrC2Wdk.
Zoveel te beter, dan kun je nu het filmpje
bekijken vooraleer je verder leest.
Triangles in polygons
In figuur 1 zie je twaalf momentopnamen van
het filmpje ‘triangles in polygons’. De personages
worden voorgesteld: een cirkel met daarin ingeschreven een regelmatige vijfhoek, een regelmatige zeshoek en een regelmatige (even
tellen...) tienhoek. Van elk van deze regelmatige
veelhoeken wordt één zijde genomen. Ze worden
verplaatst tot ze samen een driehoek vormen. De
vaststelling is dat deze driehoek rechthoekig is.
Het filmpje bewijst dit niet; dat moet de kijker
nadien zelf doen.
Laten we dit even proberen. Neem als lengteeenheid de straal van de cirkel. Noem de zijden
van de ingeschreven regelmatige vijf-, zes- en
tienhoek respectievelijk 𝑧5 , 𝑧6 en 𝑧10 . Te
bewijzen: 𝑧62 + 𝑧102 = 𝑧52 .
De zijde van de regelmatige zeshoek is gelijk aan
de straal, dus 𝑧6 = 1. (de tophoek van één
driehoekje van de regelmatige zeshoek is
360°
= 60°, zodat dit driehoekje gelijkimmers
6
zijdig is).
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 33
Bibwijzer
Figuur 1
Neem de regelmatige tienhoek. De tophoek van
360°
= 36° en de basishoeken
één driehoekje is
180°−36°
10
= 72°. Hé, juist het dubbel! De
zijn elk
2
bissectrice van één van die basishoeken zorgt
voor meer hoeken van 36° (figuur 2).
De driehoek 𝐴𝐵𝐶 is gelijkvormig met de
driehoek 𝐴𝑂𝐵 (hh).
Dus:
1
𝑧10 1 − 𝑧10
=
1
𝑧10
𝑧102 + 𝑧10 − 1 = 0
−1 + √5
𝑧10 =
2
Dit is , met 𝜙 de gulden verhouding
𝜙
1+√5
2
.
Hiermee hebben we dus niet alleen 𝑧10
berekend; we hebben ook aangetoond dat de
gelijkbenige driehoeken 𝐴𝐵𝐶 en 𝐴𝑂𝐵, en dus alle
gelijkbenige driehoeken met tophoek 36°, gulden
driehoeken zijn (driehoeken waarvan de
verhouding van de zijden 𝜙 is).
Nu moeten we enkel nog de zijde van de
regelmatige vijfhoek berekenen. De zijden van
de regelmatige vijfhoek verbinden hoekpunten
van de regelmatige tienhoek, waarbij telkens één
hoekpunt overgeslagen wordt (figuur 3).
Figuur 2
34 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Bibwijzer
𝑧5 =
𝑧5 =
6 − 2√5
−1 + √5
�4 −
2
4
−1 + √5 √5 + 5
�
2
2
�6 − 2√5��√5 + 5�
𝑧5 = �
8
5 − √5
𝑧5 = �
.
2
Nu kunnen we narekenen dat de eigenschap
klopt.
𝑧62 + 𝑧102 = 1 + �
Figuur3
De driehoek 𝐴𝐷𝐸 is rechthoekig in 𝐷
(omtrekshoek op een halve cirkel). In een
rechthoekige driehoek is het kwadraat van een
rechthoekszijde gelijk aan het product van de
schuine zijde en de loodrechte projectie van
deze rechthoekszijde op de schuine zijde. Dit
geeft hier:
𝑧102 = 2|𝐴𝐹|
|𝐴𝐹| =
𝑧102
.
2
We passen de stelling van Pythagoras toe in de
rechthoekige driehoek 𝐴𝐷𝐹:
𝑧104
𝑧52
= 𝑧102 −
4
4
We vullen 𝑧10 =
𝑧5 =
𝑧5 = 𝑧10 �4 −
−1+√5
2
in.
𝑧102
−1 + √5
−1 + √5
�4 − �
�
2
2
2
=1+
=
−1 + √5
�
2
2
6 − 2√5
4
5 − √5
2
= 𝑧52 .
Ik vraag me af: kan het korter, met minder
berekening? Komt die rechthoekige driehoek
ergens op een natuurlijke manier voor?
Andere filmpjes
Noël en Midavaine bespreken naast ‘Triangles in
polygons’ ook nog een filmpje over de ellips. De
eigenschap die in dit filmpje getoond wordt,
komt neer op het vouwen van een ellips (zie bv.
UW 20/4, p. 32-34).
Er zijn ook eenvoudige filmpjes bij, bv. het eerste
op de dvd ‘Three points determine a circle’. Je
ziet drie vaste punten (figuur 4). Een
beweeglijke cirkel komt eraan en hecht zich vast
aan één van de punten, dan ook nog aan een
tweede en dan ook aan het derde punt. Pas dan
kan het niet meer bewegen. Dan zie je tweede
cirkel hetzelfde doen. Als die ook door de drie
vaste punten gaat, zie je dat hij samenvalt met de
Figuur 4
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 35
Bibwijzer
eerste cirkel.
De meeste filmpjes zorgen voor wat meer
bewijswerk, zoals het filmpje dat we hierboven
bespraken. Er zitten verschillende ‘meetkundige
plaatsen’ bij. Hieronder tot slot enkele beelden
van het filmpje ‘Two given cirkels under given
Figuur 5
36 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
angles’, over de meetkundige plaats van de
punten van waaruit je twee gegeven cirkels
onder gelijke hoeken ziet (figuur 5). We laten de
lezer zelf uitzoeken wat de eigenschap is en hoe
die verklaard kan worden.
Michel Roelens
Bibwijzer
Vincent van der Noort, Getallen zijn je beste
vrienden. Ontboezemingen van een nerd.
Uitgeverij Athenaeum-Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011, 309
pp., ISBN 9789025367770
In een interview in de krant Trouw zegt Vincent
van der Noort, een jonge Nederlandse wiskundige die pas zijn doctoraat afgerond heeft en
ondertussen wiskundeleraar is, dat een uitgever
hem vroeg een vrolijk boek over wiskunde te
schrijven (van der Kaaij, 2011). Zelf wilde hij
laten zien dat wiskunde ‘boeiend en geheimzinnig is zoals het leven zelf’ omdat hij het
jammer vindt dat zoveel mensen door wiskunde
getraumatiseerd zijn als zij van school komen.
Een vrolijk boek is het inderdaad geworden. In
een bijzondere stijl en met een apart gevoel voor
humor (toch wel een beetje een nerd!) vertelt
van der Noort enthousiast over de wiskunde en
over wiskundigen. Natuurlijk: ‘de wiskunde’, dat
is veel te ruim en de auteur zegt dat ook zelf. Je
krijgt een sfeerbeeld van een stuk zuivere
wiskunde: bolstapelingen, Platonische lichamen
en hun symmetrieën, regelmatige roosters … in
hogere dimensies en heel even zelfs Liegroepen.
Het gaat dus niet in de eerste plaats over getallen, al spelen die wel een belangrijke rol: natuurlijke getallen, rationale en irrationale getallen,
het gulden getal ϕ, de complexe getallen en
vooral de quaternionen.
Een doorlopend verhaal…
Het ‘eigenlijke verhaal’ van het boek wordt
gevormd door acht van de twintig hoofdstukken,
genummerd van E1 tot E8. Hierin krijg je een
samenhangend verhaal, dat heel zorgvuldig
opgebouwd wordt. In de eerste zeven hoofdstukken krijg je puzzelstukjes van heel divers
pluimage aangereikt die in het laatste hoofdstuk
allemaal ineen blijken te passen. De auteur heeft
de ambitie om het basismateriaal aan te brengen
op een manier die toegankelijk is voor nietwiskundigen. Zeker in het begin lukt dat ook. Het
gaat dan over het getal ϕ, hogere dimensies, de
hogerdimensionale figuren die veralgemeningen
zijn van de kubus, tetraëder en octaëder, andere
afstanden dan onze gewone Euclidische afstand,
complexe getallen, de Platonische lichamen,
symmetrie, velduitbreidingen … Er is ook een
heel mooi hoofdstuk over de quaternionen en de
beschrijving van symmetrieën in de ruimte met
behulp van quaternionen
(iets wat gebruikt wordt
in computer graphics).
Naarmate je vordert in
het boek, wordt de geserveerde wiskunde steviger
en steviger. We leren veralgemeningen van de
Platonische lichamen in
de
vierdimensionale
ruimte kennen (alleen in
dimensie 4 bestaan er
nog!): de 24-cel, de 120-cel en de 600-cel. Via het
(ondertussen bewezen) vermoeden van Kepler
over het zo dicht mogelijk op elkaar stapelen van
bollen in de driedimensionale ruimte, gaan we
naar een intrigerend resultaat over het ‘kusgetal’
van (hyper)bolstapelingen in hogere dimensies.
Het kusgetal geeft aan hoeveel bollen door een
gegeven bol in de stapeling geraakt (‘gekust’)
worden. Er is bewezen welke bolstapeling in een
achtdimensionale ruimte het hoogste kusgetal
heeft, terwijl dat niet bekend is voor dimensies 4
t.e.m. 7. Het gaat over een regelmatige bolstapeling waarvan de middelpunten gelegen zijn
op een regelmatig rooster van punten dat 𝐸8
genoemd wordt. In het laatste hoofdstuk (dat
natuurlijk niet toevallig E8 heet…) wordt dat
rooster dan geconstrueerd. Het vertrekpunt is
een rooster van quaternionen, gebaseerd op de
120 hoekpunten van de 600-cel in de vierdimensionele ruimte. Op basis daarvan en met
behulp van een niet-Euclidische afstand wordt
dan het echte rooster 𝐸8 in de achtdimensionale
ruimte gevormd. Heel even wordt ook nog iets
gezegd over het verband tussen dit rooster en de
exceptionele Liegroep met dezelfde naam 𝐸8 ,
maar dat is (begrijpelijkerwijze) erg beperkt.
Je merkt dat de auteur ons meevoert naar grote
hoogte. Alles wordt voorbeeldig uitgelegd en de
schrijfstijl blijft ook de hele tijd aantrekkelijk.
Daarom heb ik (een wiskundige met kennis van
het besproken basismateriaal maar zonder
voorkennis over bolstapelingen en zo) de auteur
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 37
Bibwijzer
aantal onderwerpen waar je nog niet van
gehoord hebt. Soms is er ook een originele
invalshoek voor een bekend onderwerp. Ik noem
lukraak een aantal thema’s: driehoeksgetallen,
priemgetaltweelingen, de stelling van Green-Tao,
het prooi-roofdiermodel (dus toch een vleugje
toegepaste wiskunde …), winnende strategieën
bij spelen, spellen met drie spelers, constructies
met passer en liniaal, constructivistische wiskunde, de dobbelstenen van de Méré, random
walk, het Hilton-hotel, de onredelijke toepasbaarheid van de wiskunde in de natuurwetenschappen, het Van der Blij-effect, het wikkelgetal
en de Prentententoonstelling van Escher.
Voor wie?
de hele weg naar boven kunnen volgen. Het
tweede deel van de E-hoofstukken vergt echter
een serieuze inspanning. Ik kan me voorstellen
dat iemand voor wie alle aangereikte basiskennis (hogere dimensies, complexe getallen …)
nieuw is, na enige tijd toch de rol moet lossen.
Het is echter niet zo erg als je de top niet haalt.
Er is in de eerste E-hoofdstukken voldoende
materiaal dat vlot toegankelijk is om er geen
spijt van te hebben dat je geprobeerd hebt. En er
zijn ook de andere twaalf hoofdstukken…
… gekruid met luchtige, losse tussendoortjes
Het verhaal dat we hierboven schetsten, wordt
geregeld onderbroken voor de A-, B-, C- en Dhoofdstukken: andere leuke wiskunde, bespiegelingen, creatieve wiskunde en interactie tussen
wiskunde en dieren (!). In de inleiding vertelt de
auteur dat het gaat over de verhalen die hij aan
mensen op feestjes en op de trein verteld heeft
om zijn fascinatie voor wiskunde over te
brengen. Je komt hier heel wat klassiekers tegen
die je misschien al van elders kent, maar ook een
Al bij al heb ik erg genoten van het boek. Om te
oordelen of het mensen met een trauma voor
wiskunde werkelijk kan laten zien dat wiskunde
boeiend is, ben ik niet goed geplaatst. In elk
geval denk ik dat het boek diensten kan bewijzen
in het onderwijs. Ik verwacht dat wiskundeleraren die zelf wiskunde geleerd hebben het
boek met evenveel plezier zullen lezen als ikzelf.
Voor wiskundeleraren met een andere opleiding
is het een gelegenheid om te proeven van een
kamer in het gebouw van de wiskunde die ze
tijdens hun opleiding niet hebben leren kennen.
Ook voor bepaalde leerlingen is dit een goed
boek, met dezelfde reden: de sfeer opsnuiven
van (en enthousiast raken over?) die kamer
waar ze in het secundair onderwijs nog niet zo
dikwijls geweest zijn. Ik zou het zeker in de
handen stoppen van leerlingen die overwegen
om wiskunde te gaan studeren. Misschien kan
het ook dienen als basis voor een lessenreeks in
de vrije ruimte of (bepaalde hoofdstukken dan)
voor een opdracht voor leerlingen uit de
studierichtingen met pool wiskunde.
Johan Deprez
Bronnen
van der Kaaij, M. (2011, 29 juni). Een boek over je gevoelens bij getallen. Trouw. Van het internet gehaald
op 4 november 2012, van http://www.trouw.nl/tr/nl/4468/Schrijf/article/detail/2459772/2011/
06/29/Een-boek-over-je-gevoelens-bij-getallen.dhtml
38 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013
Bibwijzer
Mario Livio, Is God een wiskundige?
Uitgeverij Veen Magazines, 2010, ISBN 9789085713166
In dit boek behandelt de auteur, die astronoom
en wetenschapsvoorlichter is aan het Hubble
Space Telescope Science Institute in Baltimore,
twee eerder filosofische vragen.
Ten eerste: hoe is het mogelijk dat de wiskunde,
een product van de menselijke geest, zo prachtig
past bij concrete objecten in de werkelijke wereld?
Albert Einstein stelde zich deze vraag in een
lezing aan de Pruisische Academie van
Wetenschappen in 1921. Treffender nog dan dit
citaat is de uitspraak van de Hongaarse Nobelprijswinnaar voor natuurkunde Eugene Wigner
(1902-1995): hij sprak in dit opzicht over de
‘onredelijke effectiviteit van de wiskunde’.
Concepten die door wiskundigen werden uitgedacht zonder enige toepassing in het achterhoofd, blijken decennia later de onverwachte
oplossing te leveren voor concrete problemen.
Mario Livio bespreekt in zijn boek uitgebreid het
intrigerende voorbeeld van de knopentheorie.
Ontstaan in de negentiende eeuw om een
atoommodel te verklaren dat twintig jaar later
werd verworpen, bleef deze theorie zich verder
ontwikkelen als een soort wiskundige spielerei.
Verbazingwekkend genoeg leverde dit decennia
later een doorbraak in het begrip en de ontwikkeling van de snaartheorie en fundamentele
processen in de moderne moleculaire biologie.
Ten tweede komt in het boek nog een andere
vraag voortdurend terug: is wiskunde een uitvinding of is het een ontdekking? Mario Livio laat
zien dat wiskundigen en filosofen het niet eens
worden over het antwoord op deze vraag. Als
wiskunde louter een menselijke uitvinding is,
hoe komt het dan dat de uitvinding van zo veel
wiskundige concepten bijna miraculeus vooruitliep op vragen over mens en kosmos die pas
eeuwen later zouden worden gesteld? En als
wiskunde alleen maar een ontdekking is van een
soort onveranderlijke wereld buiten ons, wat is
dan de relatie tussen die wereld en de fysieke
realiteit? Hoe krijgen we met ons brein toegang
tot die onveranderlijke wereld? Ook in de klas
wekken deze vragen boeiende discussies op.
Mijn zesdejaars waren er snel uit: wiskunde is
een ontdekking. De fysieke eigenschap van
rechthoekige driehoeken die door de stelling van
Pythagoras wordt uitgedrukt, was er toch al vóór
de ontdekking van die stelling? Hun overtuiging
sloeg om in twijfel toen ik informeerde naar de
complexe getallen of de verschillende soorten
niet-Euclische meetkunde. Zijn dat dan geen
voorbeelden van uitvindingen van de menselijke
geest?
Ik gebruikte deze klasdiscussie als inleiding voor
een beknopt overzicht van de geschiedenis van
de wiskunde en een bespreking van de grondslagencrisis. Ook hiervoor vind je veel inspiratie
in het boek van Mario Livio. Zonder een alomvattende geschiedenis van de wiskunde te geven,
volgt de auteur chronologisch de evolutie van
het menselijk denken en de rol van wiskunde in
ons begrip van de kosmos. Hij geeft geen eindconclusie, maar hij beschrijft de visie van
mensen als Archimedes, Galileï, Descartes,
Newton, Bernoulli, Laplace, Russel, Gödel en vele
anderen. Hij koppelt daarbij steeds terug naar de
twee hierboven gestelde vragen. Aan het einde
van het boek bespreekt hij een aantal recente
ontwikkelingen en ideeën m.b.t. cognitieve
wetenschappen en schetst hij de relatie tussen
wiskunde en taal.
Boeiende lectuur!
Els Vanlommel
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 39
Jaaroverzicht
Jaargang 28
Het spinnenweb
28/1
28/1
28/2
28/2
28/2
28/3
28/3
28/3
28/4
28/4
A. Schatteman, ‘String-art’ probleem
L. Van den Broeck, Algebraïsche handigheid loont
P. Levrie en H. Missinne, Somformules voor sinus en cosinus, met en zonder driehoeken
E. Van Emelen, Een leervoorsprong: een probleem… of net een uitdaging?
E. Vanlommel, Snelheid met wrijving
J. Deprez, Wiskundige onderzoekers voor één dag
L. Van de Broeck, Wat is willekeurig?
L. Van de Broeck, Ruimtelijk modelleren met breinaalden en een bolletje wol
L. Lenders, De oplopende dubbele kegel
M. Roelens, Weerkaatsing in een kop koffie
3
8
2
4
16
2
8
13
2
6
Onder de loep
28/1
28/2
28/3
28/4
Wiskunde en breien
Goochelen in de wiskundeles
Priemgetallen
Symmetrie
12
25
18
10
De bibwijzer
28/1
28/1
28/1
28/2
28/2
28/2
28/3
28/3
28/3
28/4
28/4
R. Kaenders, Funktionen kann man nicht sehen
G. Pinkernell, Warum ist das so? Aufgabenideen zum mathematischen Begründen
Gapminder – for a fact-based world view
Théorème de Thalès, énoncé et démonstration
T. Gowers, Why isn’t the fundamental theorem of arithmic obvious?
T. Gowers, Proving the fundamental theorem of arithmic
Zestig seconden als startpunt
C. Villers, A la rencontre de l’inversion
GEM, De la géométrie synthetique à la géométrie analytique dans l’espace
J. Daems en I. Smeets, Ik was altijd heel slecht in wiskunde
Educatieve website en een groeiend vademecum voor de wiskunde
45
51
52
59
61
61
48
49
56
59
68
Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 40