Antwoorden hoofdstuk 2 - natuurkunde

2 Sport en verkeer
Bewegingen | VWO
Uitwerkingen basisboek
2.1 INTRODUCTIE
1
[W] Introductie op kracht en beweging
2
[W] Spelen met krachten
3
[W] Experiment: Autootje op een helling
4
Waar of niet waar?
a Niet waar: De gemiddelde snelheid is altijd gelijk aan de afstand gedeeld door de tijd.
b Niet waar: 100 km/h = 27,8 m/s.
c Waar
d Waar
5
a
b
c
Traject 1: 101 km in 8 uur is 12,6 km/h
Traject 2: 90 km in 8 uur is 11,3 km/h
Traject 3: 33 km in 3 uur is 11 km/h
De gemiddelde snelheid is het grootst op het eerste traject.
Traject 1: 12,6/3,6 = 3,5 m/s
Traject 2: 11,3/3,6 = 3,1 m/s
Traject 3: 11/3,6 = 3,1 m/s
Een hardloper loopt ongeveer 10 km/h, een fietser rijdt ongeveer 20 km/h. Een
hardloper zal dit niet zo lang vol kunnen houden, een fietser wel.
6
𝑠
15
𝑠
15
a
𝑡 = 𝑣 = 24 = 0,625 h = 37,5 min
b
𝑡 = 𝑣 = 28 = 0,83 h = 50 min
c
𝑣𝑔𝑒𝑚 = =
d
Over de terugweg doet hij langer. Dat weegt daardoor zwaarder mee waardoor de
gemiddelde snelheid iets lager uitkomt dan het gemiddelde van 18 en 24 (21 km/h).
𝑠
2∙15
𝑡
0,625+0,83
7
[W] Voorkennistest
8
[W] Extra opgaven
= 20,6 km/h
2.2 KRACHT VERANDERT SNELHEID
9
[W] Tijdrit op de maan
10
[W] Experiment: Luchtkussenbaan
11
Waar of niet waar?
a Waar
b Niet waar: Bij een vertraagde beweging is de voorwaartse kracht kleiner dan de
tegenwerkende kracht.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 1 van 27
c
d
e
Niet waar: Is de nettokracht nul, dan staat het voorwerp stil, of heeft het een constante
snelheid.
Niet waar: Is de nettokracht klein, dan wordt de snelheid langzaam steeds groter
Niet waar: Er hoeft geen grote kracht op je te werken om met grote snelheid te reizen.
12
a
b
c
Bij een constante nettokracht in de bewegingsrichting wordt de snelheid steeds groter.
Dit noemen we een versnelde beweging.
Bij een constante nettokracht tegen de bewegingsrichting in wordt de snelheid steeds
kleiner. Dit noemen we een vertraagde beweging.
Ja, behalve als de tegenwerkende kracht niet constant is, zoals bijvoorbeeld als je van
het asfalt het zand in rijdt of bij een windvlaag.
13
a
54,8 km⁄h =
𝑠
𝑣
𝑡= =
400
15,2
54,8
3,6
= 15,2 m⁄s De tijd van de laatste ronde is:
= 26,3 s. De eindtijd is dus 10,1 + 26,3 = 36,4 s
b
c
Direct na de start versnelt de schaatser het meest. Dan is de nettokracht het grootst.
De kracht is het grootst als de snelheid het grootst is. Dat is niet vlak voor de finish
maar na ongeveer 20 s.
a
Bij foto B zijn de afstanden tussen de voorwerpen overal gelijk. Daar is de snelheid
constant.
Om de snelheid te bepalen meet je de afstand tussen de eerste en de laatste
afbeelding van het voorwerp, en deel je deze afstand door de tijd die verstreken is
tussen het maken van de eerste en de laatste flits.
In deze situatie is de nettokracht nul. De wrijvingskracht is alleen nul als er ook geen
voorwaartse kracht op het voorwerp wordt uitgeoefend.
De nettokracht werkt hier naar rechts, want naar rechts neemt de snelheid steeds
meer toe. Dat zie je aan de afstand tussen de voorwerpen, die steeds groter wordt.
Het voorwerp beweegt naar rechts, dus de beweging is versneld.
Als de snelheid gelijkmatig toeneemt dan moet de afstand tussen twee flitsen
gelijkmatig groter worden.
14
b
c
d
e
f
15
a
b
c
d
A: De snelheid neemt gelijkmatig toe, dus een versnelde beweging.
B: De snelheid is constant, dus een eenparige beweging.
C: De beweging begint versneld, en wordt daarna eenparig.
D: Deze beweging begint al met een bepaalde snelheid, waarna het voorwerp
gelijkmatig versnelt.
In grafiek B blijft de snelheid constant, en is dus de nettokracht steeds nul.
In grafiek A en D neemt de snelheid gelijkmatig toe, dat zie je aan de rechte lijn die
schuin omhoog gaat. Hier is de nettokracht constant, maar niet nul.
Bij diagram A hoort beweging B: de fiets begint met een snelheid nul (de plaatjes
zitten dicht op elkaar) en de snelheid neemt gelijkmatig toe (de plaatjes gaan steeds
verder uit elkaar).
Bij diagram B hoort beweging A: de afstanden tussen de plaatjes blijven gelijk, dit
duidt op een eenparige beweging.
Bij diagram C hoort beweging D: de fiets begint met snelheid nul (de plaatjes zitten
dicht op elkaar) en heeft op het eind een constante snelheid (de afstanden tussen de
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 2 van 27
e
16
plaatjes zijn daar gelijk)
Bij diagram D hoort beweging C: de fiets heeft in het begin al een snelheid (de
plaatjes zitten verder uit elkaar dan bij 2) en die snelheid neemt steeds meer toe (de
plaatjes gaan steeds verder uit elkaar.
Bij beweging B en C.
Eigen antwoord.
17
a
b
c
d
e
18
Als de nettokracht nul is, dan loopt de lijn in het v,t-diagram horizontaal.
Als de snelheid gelijkmatig verandert, dan is de lijn een rechte lijn die schuin omhoog
of omlaag loopt.
Als er een versnelling is, dan gaat loopt lijn in het v,t-diagram schuin omhoog. Als er
een vertraging is, dan loopt de lijn schuin naar beneden.
Als de snelheid gelijkmatig verandert, is de gemiddelde snelheid gelijk aan het
gemiddelde van het begin- en de eindsnelheid.
Bij een v,t-diagram is de oppervlakte onder de grafiek gelijk aan de verplaatsing.
[W] Experiment: Sjoelcurling
19
a
b
c
Als de auto optrekt wordt de tegenwerkende luchtweerstand steeds groter. Hierdoor
wordt de nettokracht steeds kleiner, waardoor de helling van de lijn steeds minder steil
wordt.
Aan het einde van de beweging is de snelheid constant geworden. De
tegenwerkende krach is dan net zo groot als de voorwaartse kracht.
Als je een rechte lijn trekt van begin naar eindpunt, dan loopt die lijn onder de
kromme. De gemiddelde snelheid is dus hoger dan het gemiddelde van de begin- en
de eindsnelheid.
20
a
b
c
Tussen de twee lijnen zie je twee driehoeken die gelijkvormig zijn, en dus een even
grote oppervlakte hebben.
De oppervlakte van het gebied boven de horizontale lijn (onder de kromme lijn) is
ongeveer even groot als het deel onder de horizontale lijn (boven de kromme lijn).
De oppervlakte is gelijk aan de afstand (eenheden: breedte×hoogte = s×m/s = m) . De
gemiddelde snelheid bereken je met afstand gedeeld door tijd.
21
a
b
Bij auto B neemt de snelheid de hele tijd gelijkmatig toe, daar is de gemiddelde
snelheid gelijk aan het gemiddelde van begin- en eindsnelheid.
Tussen t = 0 s en t = 3,0 s neemt bij auto A de snelheid gelijkmatig toe.
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
c
d
𝑣𝑏 + 𝑣𝑒 0 + 15
=
= 7,5 m/s
2
2
Met de oppervlaktemethode bepaal je de verplaatsing. Bij auto A is de oppervlakte
groter.
Auto A: 𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 3,0 + 𝑣𝑒 ∙ 3,0 = 7,5 ∙ 3,0 + 15 ∙ 3,0 = 68 m
Auto B: 𝑠
e
= 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 6,0 =
18
∙
2
6,0 = 54 m
Bij auto A is de gemiddelde snelheid tussen t = 0 en t = 6,0 s het grootst, want die
auto legt meer meters af in dezelfde tijd.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 3 van 27
22
a
Zie figuur.
b
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
c
𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 14 ∙ 6,0 = 84 m
a
De takelwagen legt 11 hokjes af, dat is 11 ∙ 100 cm = 11 m in één seconde.
b
Tussen t = 1 s en t = 2 s: 𝑣𝑔𝑒𝑚
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
8+20
2
= 14 m/s
23
c
𝑠
=𝑡=
𝑠
𝑡
𝑠
𝑡
Tussen t = 2 s en t = 3 s: 𝑣𝑔𝑒𝑚
= =
Tussen t = 2 s en t = 3 s: 𝑣𝑔𝑒𝑚
= =
9,0
1
7,0
1
5,0
1
= 9 m/s
= 7 m/s
= 5 m/s
d
e
De snelheid daalt elke seconde met 2 m/s.
Tussen t = 3 s en t = 4 s zal de snelheid weer met 2 m/s zijn afgenomen, dus :
𝑣𝑔𝑒𝑚 = 5 − 2 = 3 m/s .
a
De nettokracht is constant dus de snelheid neemt
gelijkmatig toe:
24
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
5,0+30
=
=
2
2
𝑠
1,75
= 17,5 = 0,10 s
𝑣𝑔𝑒𝑚
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
18 m/s
b
𝑡=
c
Zie figuur.
d
De lijn zal in het begin steiler lopen, en aan
het eind vlakker. De lijn zal dus boven de
rechte lijn uitkomen. De oppervlakte onder de
lijn moet gelijk blijven omdat de afstand gelijk
blijft. Dan moet de tijd korter worden.
Zie figuur.
De lijn ligt hoger, dus de gemiddelde snelheid
is ook hoger dan bij vraag a berekend.
e
f
25
a
b
Bij voertuig B is de oppervlakte onder de grafiek het grootst, die heeft dus de grootste
remweg.
Voertuig A: 𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 3,0 = 10 ∙ 3,0 = 30 m
Voertuig B: 𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 3,0 = 7,5 ∙ 6,0 = 45 m
c
d
e
Het verschil in remweg is 15 m.
De snelheid wordt steeds kleiner, het gaat dus om vertragingen.
Bij voertuig A daalt de snelheid het snelst.
Bij voertuig B neemt de snelheid af met 15 m/s in 6 s. Per seconde neemt de snelheid
dus af met 15⁄6 = 2,5 m/s.
a
De oppervlakte onder de kromme lijn is groter dan de oppervlakte onder de driehoek
26
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 4 van 27
b
c
tussen het beginpunt en het eindpunt van de grafiek. De afstand is groter is dezelfde
tijd, dus de gemiddelde snelheid groter dan het gemiddelde van begin- en
eindsnelheid.
Het stuk (oppervlakte) wat de gearceerde figuur aan de linkerkant tekort komt ten
opzichte van de kromme, heeft de gearceerde figuur aan de rechterkant te veel.
Bepaal de oppervlakte van de gearceerde figuur:
1
𝑠 = · 15 · 8,5 + 10 · 8,5 = 1,5 · 102 m
2
d
27
𝑠
𝑡
𝑣gem = =
De afstand is: 𝑠
1,5·102
25
= 20 ·
= 6,0 m/s.
36
60
+ 80 ·
9
60
dus de gemiddelde snelheid is 𝑣gem
= 24 km
𝑠
𝑡
= =
24
0,75
= 32 km/h.
28
a
b
c
De gemiddelde snelheid zal kleiner zijn dan 20 km/h. Over de heenweg zal je langer
doen dan over de terugweg, dus ‘weegt’ de snelheid op de heenweg zwaarder mee in
het gemiddelde.
Als de afstand bijvoorbeeld twee keer zo groot wordt, dan is de tijd voor de heenreis
én de terugreis ook twee keer zo groot. De gemiddelde snelheid is dan hetzelfde.
Neem voor de afstand bv 5 km. De heenreis duurt dan 20 minuten (5/15 = 1/3e uur),
de terugreis 12 minuten (5/25 = 1/5e uur). Totaal 10 km in 32 minuten, dat is
10
32⁄60
=
19 km/h.
d
Neem voor
de afstand weer 5
km (10 km heen en terug). De totale reis duurt dan 30 minuten (10/20 = ½ uur). De
heenreis duurt weer 20 minuten, dus voor de terugreis is dan 10 minuten beschikbaar.
Je snelheid moet dan 30 km/h zijn (5 km in 1/6e uur).
a
Als de metro op topsnelheid rijdt is de snelheid constant. Er wordt dan geen
resulterende kracht op je uitgeoefend. Bij een lage snelheid wordt er vaak geremd en
opgetrokken, waardoor de resulterende kracht niet nul is.
Als de metro optrekt, lijkt het alsof je naar achteren geduwd wordt.
De beugel oefent op jou een kracht naar voren uit.
De trein trekt minder snel op en remt minder snel. Bovendien rijdt de trein het grootste
deel van de tijd op hoge (constante) snelheid, dus stopt minder vaak dan een metro.
29
b
c
d
30
a
b
c
De mascotte hangt bij afremmen naar voren.
Bij een bocht naar rechts hangt de mascotte naar links. De nettokracht op de
mascotte is dan naar rechts.
Als de auto een bocht naar rechts neemt blijft het water links (net als de mascotte van
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 5 van 27
vraag b). De luchtbel schuift daardoor naar rechts.
31
a
b
c
Voor de passagier lijkt er een kracht naar buiten te werken (hij voelt zich naar buiten
geslingerd).
Als de nettokracht naar buiten gericht zou zijn, zou de passagier van de zweefmolen
weg moeten bewegen.
De nettokracht werkt naar binnen, waardoor de passagier ‘de bocht om’ wordt
getrokken.
2.3 VERSNELLEN EN VERTRAGEN
32
[W] Wedstrijdje versnellen
33
Waar of niet waar?
a Waar
b Niet waar: Bij een constante vertraging is de voorwaartse kracht kleiner dan de
tegenwerkende krachten.
c Waar
d Niet waar: Een schildpad heeft een grotere massa, dus ook een grotere traagheid dan
een slak.
34
a
b
c
d
e
Het gaat om de verhouding tussen de motorkracht en de massa. Die is bij de
bovenste auto: 2400/800=3, bij de middelste auto: 5400/1600=3,4 en bij de onderste
auto: 3000/1200=2,5. De middelste auto trekt het snelst op en de onderste het
langzaamst.
Als de auto de topsnelheid heeft behaald, is de snelheid constant en dus is de
nettokracht dan nul. Je kunt dus niet zeggen welke auto de grootste topsnelheid heeft,
dit hangt namelijk ook af van de tegenwerkende krachten op de auto’s en die zijn niet
gelijk.
De remkracht van de verschillende auto’s is niet bekend en zal ook niet gelijk zijn, dus
kan er niets gezegd worden over de remvertraging van de auto’s.
De auto met de grootste massa heeft de grootste traagheid. Dat is de middelste auto.
Traagheid geeft aan hoeveel moeite (dus kracht) het kost om een voorwerp op gang
te brengen of af te remmen.
35
a
b
Bij een versnelling van 2,0 m/s2 neemt de snelheid elke seconde toe met 2,0 m/s.
Na 3 seconden is de snelheid: 3,0 ∙ 2,0 = 6,0 m/s
c
36 km⁄h = 3,6 = 10 m⁄s . Het duurt dan 2,0 = 5,0 s .
d
De eindsnelheid van de scooter wordt constant.
a
De snelheid neemt iedere 2 seconde toe met 18 km/h dus
ja, de snelheid neemt regelmatig toe.
Zie figuur.
De versnelling is hoeveel de snelheid in één seconde
toeneemt. Iedere twee seconde neemt de snelheid met 18
36
10
36
b
c
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 6 van 27
km/h = 5 m/s toe, dus de versnelling is 2,5 m/s per seconde.
37
a
b
c
d
Iedere seconde neemt de snelheid af met 5,2 m/s.
Eerst de 72 km/h omrekenen naar m/s en dan het antwoord delen door 5,2.
Als de remvertraging groter is, dan neemt de snelheid iedere seconde meer dan 5,2
m/s af. De auto staat dan sneller stil.
Brommers hebben een kleinere remvertraging en komen dus minder snel tot stilstand.
Als een brommer dicht achter een auto rijdt, dan kan die auto eerder tot stilstand
komen dan de brommer. De brommer kan dan tegen de auto opbotsen.
38
a
b
c
d
e
f
Door de massa te veranderen.
De trein rijdt met constante snelheid. Je merkt pas iets van de traagheid als de
snelheid verandert.
Het opvangen van een zware bowlingbal kost meer moeite dan het opvangen van een
tennisbal. Als je langzaam aan het papier van de wc-rol trekt rolt de wc-rol verder af,
maar als je met een ruk aan het papier trekt scheurt het papier af.
Bij het sjoelen kun je de onderste schijf onder een stapeltje sjoelstenen uit sjoelen
door er met grote snelheid een sjoelschijf tegenaan te laten botsen. Als de snelheid
niet groot genoeg is valt de stapel om.
Het gewicht van een voorwerp is de kracht die het voorwerp op zijn ondergrond
uitoefent. Deze wordt veroorzaakt door de zwaartekracht.
Met een weegschaal meet je gewicht.
39
a
b
c
d
Als je met de steel van de hamer een tik op de ondergrond geeft komt de kop van de
hamer steviger op de steel te zitten. De kop heeft een grote massa en dus een grote
traagheid. De steel wordt afgeremd zodat de kop met kracht op de steel wordt
geduwd.
Bij een zachte ondergrond verandert de snelheid van de steel van de hamer minder
snel, waardoor het verschil in traagheid tussen steel en kop minder groot is.
Als je een korte ruk geeft zal de kracht door de trage massa van de kogel niet worden
doorgegeven naar het bovenste touwtje. De grootste kracht komt op het onderste
touwtje, dat zal breken.
Als je langzaam op het touwtje trekt is de kracht op het bovenste touwtje groter,
omdat je voor het bovenste touwtje bij de trekkracht het gewicht van de kogel moet
optellen.
40
a
b
c
d
e
41
Snelheidsverandering en tijd waarin die snelheidsverandering plaats vindt.
De versnelling is evenredig met de snelheidsverandering en omgekeerd evenredig
met de tijd.
De massa.
De versnelling is omgekeerd evenredig met de massa.
𝑎 = 𝐹/𝑚
Eigen antwoord.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 7 van 27
42
a
b
De voorwaartse kracht en de tegenwerkende kracht leveren samen de nettokracht.
Omdat ze tegengesteld zijn moeten ze van elkaar af worden getrokken.
Bereken eerst de nettokracht met 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝐹𝑣𝑤 − 𝐹𝑤 en daarna de versnelling met 𝑎
=
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝑚
c
d
De massa staat onder de breukstreep, als de massa twee keer zo groot wordt (en Fres
gelijk blijft), wordt de versnelling twee keer zo klein.
De nettokracht Fres staat boven de breukstreep, als Fres twee keer zo groot wordt (en
de massa gelijk blijft), wordt de versnelling ook twee keer zo groot.
43
a
e
Als het voorwerp versnelt neemt de snelheid toe, als het voorwerp vertraagt wordt de
snelheid steeds kleiner.
Als de beweging eenparig versneld is, is de versnelling gelijk aan het hellingsgetal van
de lijn in het v,t-diagram.
Als de beweging niet eenparig versneld is bereken je de gemiddelde versnelling door
de snelheidstoename tussen begin- en eindpunt te delen door de tijd waarin die
snelheidstoename plaatsvond.
Als de beweging niet eenparig versneld is de versnelling op een bepaald moment het
hellingsgetal van de raaklijn aan het v,t-diagram.
Als de snelheid constant is, dan loopt de lijn horizontaal en is het hellingsgetal nul.
a
b
Als de eerste wet van Newton geldt, is 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0. Dan is 𝐹𝑣𝑤 = 𝐹𝑤 .
Als de snelheid constant is, dan is de versnelling nul en dus 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 0.
a
Omdat de remtijd heel kort is, is de vertraging heel groot. Daardoor is de kracht ook
heel groot.
b
𝑎=
b
c
d
44
45
∆𝑣
en als ∆t heel klein is, wordt
∆𝑡
𝑎 heel groot. Met 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 zie je dan dat de F
d
heel groot wordt.
Als de botstijd 2,5 keer zo groot wordt, wordt de vertraging 2,5 keer zo klein en dat
geldt ook voor de kracht.
Door de airbag wordt je lichaam langzamer afgeremd dan wanneer je tegen het
dashboard aan klapt. De botstijd wordt hiermee vergroot.
De rolgordel zit strak tegen je lichaam zodat het lichaam meteen tegengehouden
wordt. Doordat de rolgordel een beetje meeveert, wordt de botstijd groter.
a
𝑎=
b
∆𝑣 = 65 − 90 = −25 km⁄h = −6,9 m/s 𝑎 =
c
∆𝑣 =
d
∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 1,8 ∙ 3,0 = 5,4 m/s
e
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
f
∆𝑣 = 108 km⁄h = 30 m/s  𝑎 =
c
46
∆𝑣
∆𝑡
5,0
= 4,0 = 1,3 m/s 2
40
3,6
= 11 m/s  𝑎 =
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
90+54
2
∆𝑣

∆𝑡
∆𝑡 =
∆𝑣
𝑎
11
∆𝑣
∆𝑡
=
−6,9
2,5
= −2,8 m/s 2
= 2,5 = 4,4 s
= 72 km/h
∆𝑣
∆𝑡
30
= 4,0 = 7,5 m/s2 
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 1200 ∙ 7,5 = 9,0 ∙ 103 N
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 8 van 27
47
80
∆𝑣
∆𝑡
22
= 0,10 = 2,2 ∙ 102 m/s 2
a
∆𝑣 = 3,6 = 22 m/s  𝑎 =
b
c
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 0,450 ∙ 2,2 ∙ 102 = 99 N
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 0,450 ∙ 3,0 = 1,4 N
d
𝑎=
e
∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 3,0 ∙ 1,4 = 4,2 m/s . De snelheid begint met 13 m/s en neemt in 1,4 s
af met 4,2 m/s  𝑣𝑒 = 13 − 4,2 = 8,8 m/s
a
∆𝑣 = 3,6 = 25 m/s , ∆𝑡 = 0,080 𝑠  𝑎 =
b
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 1450 ∙ 3,1 ∙ 102 = 4,5 ∙ 105 N
c
𝑎=
a
b
In figuur A is de snelheid constant, daar is dus de snelheid op elk tijdstip hetzelfde.
In figuur B wordt op t=0 s gestart met een snelheid van 0 m/s, dus vanuit stilstand. Het
is een rechte lijn die schuin omhoog loopt, dus de versnelling is constant.
c
∆𝑣 = 17,5 − 5,0 = 12,5 m/s en ∆𝑡 = 25 s  𝑎 =
d
De versnelling is het hellingsgetal: 𝑎
∆𝑣

∆𝑡
∆𝑡 =
∆𝑣
𝑎
=
13
3,0
= 4,3 s
48
90
∆𝑣
∆𝑡
∆𝑣
∆𝑡
25
= 0,080 = 3,1 ∙ 102 m/s2
25
= 0,25 = 1,0 ∙ 102 m/s2  𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 75 ∙ 1,0 ∙ 102 = 7,5 ∙ 103 N
49
=
∆𝑣
∆𝑡
=
8,0
24
∆𝑣
∆𝑡
=
12,5
=
25
2
0,50 m/s2
= 0,33 m/s
Op t = 12 s: 𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 0,33 ∙ 12 = 4,0 m/s
Op t = 30 s: 𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 0,33 ∙ 30 = 10 m/s
50
a
b
Vermenigvuldig hiervoor jouw massa met 8,0: 𝐹 = 𝑚 · 8,0
Waarschijnlijk wel.
c
18 km/h is 5,0 m/s  𝑎
d
Nee.
a
𝑎=
b
c
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 5,0 ∙ 2,8 ∙ 103 = 1,4 ∙ 104 N
=
∆𝑣
∆𝑡
5,0
= 0,1 = 50 m/s2  𝐹 = 𝑚 · 50
51
d
∆𝑣
∆𝑡
=
11
0,0040
= 2,8 ∙ 103 m/s 2
∆t is 5 keer zo lang, dus de versnelling is 5 keer zo klein. Dan is de nettokracht ook 5
keer zo klein.
De valhelm verspreidt de kracht over een groter oppervlak.
52
a
b
c
De atleet is niet meteen op het startschot vertrokken. Er zit enige tijd tussen het horen
van het startschot en het beginnen met rennen.
In het begin is de helling van de snelheidsgrafiek verticaal. Dat betekent een oneindig
grote versnelling en dus ook een oneindig grote kracht.
Raaklijn tekenen en helling bepalen:
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
=
16−3,2
4,0
= 3,2 m/s2
d
Op t = 4,5 s is de snelheid 11 m/s  𝑎𝑔𝑒𝑚
e
Raaklijn tekenen en helling bepalen:
© ThiemeMeulenhoff bv
=
∆𝑣
∆𝑡
11
= 4,5 = 2,4 m/s2
Pagina 9 van 27
𝑎=
f
g
∆𝑣
∆𝑡
=
16−6,4
7,6
= 1,26 m/s2  𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 70 ∙ 1,26 = 88 N
De nettokracht is het verschil tussen de voorwaartse kracht en de
luchtweerstandskracht: 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝐹𝑣𝑤 − 𝐹𝑤 . De nettokracht is groter dan nul en de
luchtweerstandskracht is ook groter dan nul, dus dan moet de voorwaartse kracht
groter dan de nettokracht zijn.
Als de snelheid niet meer toeneemt, is de versnelling nul. Dan is de nettokracht ook
nul. Als de nettokracht nul is, dan is de voorwaartse kracht even groot als de
luchtweerstand.
53
∆𝑣
∆𝑡
= 35 m/s2  𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 600 ∙ 35 = 21 kN
𝑎=
b
De totale afstand die wordt afgelegd is gelijk aan de oppervlakte onder het v,t-diagram
vanaf het moment dat hij gaat remmen totdat hij weer op 90 m/s zit:
55 · 2,0 + 20 · 2,0 + 20 · 6,0 + 55 · 5,0 = 545 m = 5,5 · 102 m.
Afgelegde weg Alonso is 90 · 22 = 1980 m dus hij ligt 1,98 – 0,555 = 1,4 kilometer
voor.
c
=
90−20
2,0
a
54
a
De helling van de grafiek is na het schakelen kleiner dan daarvoor.
b
𝑎=
a
𝐹 = 𝑚 ∙ ∆𝑡 = 0,046 ∙ 0,50∙10−3 = 6,4 ∙ 103 N
b
c
Zolang de bal meer indeukt, is daar een steeds grotere kracht voor nodig. Als de bal
maximaal is ingedeukt, is de kracht maximaal.
Aan het begin van het balcontact is de bal nog niet vervormd en aan het eind van het
balcontact is de bal alweer uitgedeukt. Daartussen in zit de maximale vervorming en
dus ook de maximale kracht en maximale versnelling.
d
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
a
Op de bal en het racket werkt een kracht. De bal versnelt door de kracht van het
racket op de bal. Het racket vertraagd door de kracht van de bal op het racket.
De tijdsduur Δt is de contacttijd tussen bal en racket. Deze is dus gelijk voor beide
voorwerpen.
∆𝑣
∆𝑡
0,20
= 0,70 = 0,28 m/s2  𝐹 = 𝑚 · 𝑎 = 1,2 · 103 · 0,28 = 3,4 · 102 N.
55
∆𝑣
70
2
70
= 35 m/s  𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 35 ∙ 0,50 ∙ 10−3 = 17,5 mm
56
b
c
De kracht en de contacttijd is voor bal en racket gelijk, en 𝐹 = 𝑚 ∙
∆𝑣
∆𝑡
dus als de
massa van de golfclub veel groter is, dan is de snelheidsverandering veel kleiner.
∆𝑣1
∆𝑡
. Omdat 𝐹1 = 𝐹2 geldt: 𝑚1 ∙
∆𝑣1
∆𝑡
= 𝑚2 ∙
∆𝑣2

∆𝑡
𝐹1 = 𝑚1 ∙
e
𝑚1 ∙ ∆𝑣1 = 𝑚2 ∙ ∆𝑣2 . Het racket is 5 keer zo zwaar als de bal, dus
∆𝑣bal = 5 · ∆𝑣racket = 5 · 30 = 1,5 · 102 km/h.
𝑣bal = 60 − 150 = −90 km/h. De bal beweegt na de slag met een snelheid van 90
f
en 𝐹2 = 𝑚2 ∙
∆𝑣2
∆𝑡
d
km/h van de speler af.
Als de speler het racket stevig vasthoudt is de snelheidsverandering groter voor het
racket en dus ook voor de bal.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 10 van 27
57
110
= 30,6 m/s  𝐹 = 𝑚 ∙
a
110 km⁄h =
b
𝑎=
c
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 0,0020 ∙ 80 = 0,16 N
∆𝑣

∆𝑡
3,6
∆𝑡 =
∆𝑣
𝑎
=
3,2
80
∆𝑣
∆𝑡
= 55 ∙
30,6
4,0
= 4,2 ∙ 102 N
= 0,040 s
58
[W] Experiment
59
[W] Experiment: Versnellend karretje
60
[W] Experiment: Knikkerbaan
61
[W] Dragracer
62
[W] Experiment: Een eigen beweging
63
[W] Wisselen op de estafette
64
Waar of niet waar?
a Niet waar: het v,t-diagram van een eenparig versnelde beweging is een rechte lijn.
b Waar
c Waar
d Niet waar: Bij een eenparig versnelde beweging is de snelheid evenredig met de tijd.
e Waar
65
a
20 km⁄h =
20
3,6
= 5,6 m/s  op t = 4,0 s is de plaats: 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 5,6 ∙ 4,0 = 22 m
en op t = 4,0 h is de plaats: 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 20 ∙ 4,0 = 80 km
b
66
a
b
c
d
e
Tussen 6,0 en 7,0 s is de plaats constant, de lijn loopt hier horizontaal.
Tussen 2,0 en 4,0 s is de snelheid constant, de lijn loopt hier schuin omhoog, de
helling is constant.
Tussen 0 en 2,0 s en tussen 4,0 en 6,0 s is de versnelling constant, de lijn is een deel
van een parabool.
Als de lijn steeds steiler gaat lopen versnelt het voorwerp, als de lijn steeds minder
steil gaat lopen vertraagt het voorwerp.
In het tweede gedeelte is de snelheid constant, de snelheid is de helling van de lijn:
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 11 van 27
∆𝑠
60−20
𝑣 = ∆𝑡 = 4,0−2,0 = 20 m/s
f
Er wordt 80 m afgelegd in 7,0 s, dus 𝑣𝑔𝑒𝑚
=
∆𝑠
∆𝑡
=
80
7,0
= 11 m/s
g
67
a
b
De lijn gaat steeds steiler lopen.
De lijn lijkt op een (halve) parabool
c
Er wordt 25 m afgelegd in 25 s, dus 𝑣𝑔𝑒𝑚
d
De snelheid neemt steeds toe. Aan het einde zal de snelheid dus groter zijn dan de
gemiddelde snelheid.
a
t = 4,0 s  s = 32 m
t = 5,0 s  s = 34 m
t = 6,0 s  s = 35 m
∆𝑠
25
= ∆𝑡 = 25 = 1,0 m/s
68
b
c
tijd t (in s)
plaats s (in m)
0
0
1
11
2
20
3
27
4
32
5
34
6
35
d
De lijn heeft de vorm van een (halve) parabool.
e
𝑣𝑔𝑒𝑚 = ∆𝑡 = 6,0 = 5,8 m/s
f
De helling van de s,t-diagram is in het begin 12 m/s en aan het eind nul en de
snelheid neemt gelijkmatig af:
∆𝑠
© ThiemeMeulenhoff bv
35
Pagina 12 van 27
∆𝑣
∆𝑡
=
−12
6,0
= −2,0 m/s2
g
𝑎=
h
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
a
Haar snelheidstoename is: ∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 2,1 ∙ 5,0 = 10,5 m/s , dus zij bereikt een
snelheid van 11 m/s.
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
12+0
2
= 6,0 m/s en 𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 6,0 ∙ 6,0 = 36 m
69
b 𝑣𝑔𝑒𝑚 =
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
0+10,5
2
= 5,3 m/s
c
∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 5,25 ∙ 5,0 = 26 m
a
a=
b
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
c
De snelheid wordt steeds groter dus het is een versnelde beweging. Het s,t-diagram is
een (halve) parabool die steeds steiler gaat lopen, en waarvan de raaklijn op t = 0 een
helling van 8 m/s heeft (dus niet horizontaal)  diagram 1 hoort bij figuur 50.
a
Bij een beweging met constante snelheid is de gemiddelde snelheid gelijk aan het
hellingsgetal van de lijn in het s,t-diagram.
Bij een willekeurige beweging is de gemiddelde snelheid gelijk aan de helling tussen
begin- en eindpunt.
Als de snelheid niet constant is, is de snelheid op een bepaald tijdstip gelijk aan de
helling van de raaklijn op dat punt.
70
∆v
∆t
26−8
= 3,0 m/s2
6,0
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
8+26
= 2 = 17 m/s  ∆𝑠
2
=
= 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 17 ∙ 6,0 = 1,0 ∙ 102 m
71
b
c
72
Eigen antwoord.
73
a
b
c
d
e
f
Als de versnelling constant is, neemt de snelheid gelijkmatig toe. Het v,t-diagram is
een rechte lijn door de oorsprong.
De helling van de lijn in het v,t-diagram is de versnelling.
De oppervlakte onder de lijn in het v,t-diagram is de afstand.
Het s,t-diagram is een halve parabool: de helling begint bij 0 en wordt steeds steiler.
De gemiddelde snelheid is de totale afstand gedeeld door de totale tijd in het s,tdiagram.
De snelheid op een bepaald tijdstip in een s,t-diagram is de helling van de raaklijn aan
de grafiek op dat tijdstip.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 13 van 27
74
a
b
c
d
e
Tijdens de eerste seconde neemt de snelheid nog niet af, dus wordt er nog niet
geremd. De eerste seconde is dus de reactietijd. De reactieafstand de reactietijd maal
de snelheid, dat is de oppervlakte van de gearceerde rechthoek.
De remweg is de oppervlakte onder de grafiek vanaf t = 1,0 s tot de auto stilstaat.
De grafiek begint twee keer zo hoog, bij 40 m/s. De remvertraging blijft gelijk, dus
vanaf t = 1,0 s loopt de lijn met dezelfde helling naar beneden. De remtijd is dan twee
keer zo lang, dus de auto staat stil op t = 9 s.
De beginsnelheid is twee keer zo groot en de reactietijd blijft gelijk. De rechthoek
wordt dan twee keer zo groot.
De beginsnelheid is twee keer zo groot, dus de gemiddelde snelheid wordt ook twee
keer zo groot. De remtijd wordt twee keer zolang. Dan is de oppervlakte onder de
driehoek 4 keer zo groot.
75
a
b
c
d
e
De beginsnelheid is nul als de raaklijn horizontaal loopt, dat is zo bij diagram 3.
De snelheid is constant als de lijn een rechte lijn is, dat is zo bij diagram 2.
Als de nettokracht tegengesteld is aan de richting van de snelheid, dan remt het
voorwerp af. De snelheid wordt steeds kleiner, dus de helling van de grafiek wordt
steeds minder steil. Dat is zo bij diagram 4.
De versnelling is het grootst als de helling het snelst steeds steiler wordt, dat is zo bij
diagram 3.
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
∆𝑠
en ∆s is bij alle 4 de diagrammen hetzelfde (tussen t = 0 en t = 6 s), dus
∆𝑡
de gemiddelde snelheid is bij alle 4 de diagrammen ook gelijk.
76
b
De tijdstappen zijn telkens even groot (5 s), maar ∆s neemt steeds meer toe, dat
betekent dat de snelheid ook steeds meer toeneemt, en niet constant is.
∆s neemt iedere tijdstap met 30 m meer toe, dat is een gelijkmatige toename.
c
Er wordt 240 m afgelegd in 20 s, dus 𝑣𝑔𝑒𝑚
d
De eindsnelheid is dan het dubbele van de gemiddelde snelheid, dus 24 m/s. De
versnelling is dan 24/20 = 1,2 m/s².
a
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
a
∆𝑠
= ∆𝑡 =
240
20
= 12 m/s
77
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
90+65
2
= 77,5 km⁄h = 21,5 m/s
∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 21,5 ∙ 2,5 = 54 m
∆𝑠
50
b
𝑣𝑔𝑒𝑚 = ∆𝑡 = 5,0 = 10 m/s. De eindsnelheid is twee keer zo groot, dus 20 m/s.
c
𝑎=𝑚=
d
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
𝐹
150
= 6,0 m/s2  𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡 = 6,0 ∙ 2,4
25
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
54+90
= 2 = 72 km⁄h = 20 m/s
2
= 14 m/s
∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 20 ∙ 5,0 = 1,0 ∙ 102 m
e
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
=
108+0
2
= 54 km⁄h = 15 m/s
∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 15 ∙ 4,0 = 60 m
78
[W]
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 14 van 27
79
a
b
Zie figuur.
Tussen 0 en 1 s is:
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
𝑣𝑏 + 𝑣𝑒 30 + 24
=
= 27 m/s
2
2
Tussen 0 en 3 s is:
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
𝑣𝑏 + 𝑣𝑒 30 + 12
=
= 21 m/s
2
2
Tussen 0 en 5 s is:
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
80
c
Na 1 s is ∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 27 ∙ 1,0 = 27 m
Na 3 s is ∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 21 ∙ 3,0 = 63 m
Na 5 s is ∆𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ ∆𝑡 = 15 ∙ 5,0 = 75 m
d
Zie figuur.
n.b. het zijn s,t-diagrammen
a
𝑣=
𝑣=
b
c
81
𝑣𝑏 + 𝑣𝑒 30 + 0
=
= 15 m/s
2
2
∆𝑠
∆𝑡
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑣
2 𝑒
= 1,0 m/s
25
= 2,0 m/s
25−12,5
s
25
= 25 = 1,0 m/s en op t = 12,5 s is de snelheid 1,0 m/s. Dat klopt dus.
𝑡
=
vgem =
1
18,7
25−6,5
= 1,0 m/s dus de gemiddelde snelheid is gelijk aan de helft van de eindsnelheid.
Oriëntatie:
stopafstand = reactieafstand + remweg; reactieafstand = beginsnelheid x reactietijd;
remweg = gemiddelde snelheid x remtijd; remtijd = beginsnelheid / remvertraging.
Uitwerking:
a 30 km⁄h = 8,3 m/s. De reactieafstand is: 8,3 · 1,0 = 8,3 m en de remweg is
(stopafstand – reactieafstand) = 13 − 8,3 = 4,7 m.
b
𝑣gem =
c
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
8,3
2
= 4,2 m/s dus de remtijd is: 𝑡 =
𝑠
𝑣
4,7
= 4,2 = 1,1 s
8,3
= 1,1 = 7,4 m/s 2.
d
60 km⁄h = 16,7 m/s. De reactieafstand is: 16,7 · 1,0 = 16,7 m.
De remtijd is: 𝑡
=
∆𝑣
𝑎
=
16,7
7,4
= 2,3 s en 𝑣gem =
16,7
2
= 8,3 m/s dus de remweg is:
𝑣gem · 𝑡 = 8,3 · 2,3 = 18,8 m. De stopafstand is 16,7 + 18,8 = 36 m.
82
83
𝑠rem
𝑡rem
32
a
𝑠rem = 32 m en 𝑣gem =
= 4,0 = 8,0 m/s.
b
𝑣begin = 2 · 𝑣gem = 2 · 8,0 = 16 m/s en 𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
16
= 4,0 = 4,0 m/s2.
𝑣gem = 40 km⁄ℎ = 11 m/s. Met caravan: 𝑠rem = 𝑣gem · 𝑡 = 11 · 8,0 = 88 m
Zonder caravan: 𝑠rem = 𝑣gem · 𝑡 = 11 · 5,0 = 55 m. Het verschil in remweg is 33 m.
84
a
∆𝑡 =
b
∆𝑡 =
∆𝑣
𝑎
∆𝑣
𝑎
=
=
20
5,0
40
5,0
© ThiemeMeulenhoff bv
1
= 4,0 s  𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 2 ∙ 20 ∙ 4,0 = 40 m
1
= 8,0 s  𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 2 ∙ 40 ∙ 8,0 = 1,6 ∙ 102 m
Pagina 15 van 27
c
Als de beginsnelheid twee keer zo groot wordt (van 20 naar 40 m/s), dan wordt de
remweg niet twee keer zo groot, maar vier keer zo groot (van 40 naar 160 m).
a
𝑣𝑏 =
b
𝑡=
c
Bij de handrem staat dat de beginsnelheid maar 40 km/h is, terwijl de beginsnelheid
bij de voetrem 100 km/h is. Je kunt dus niet zeggen dat de handrem voor een grotere
vertraging zorgt.
De remweg is evenredig met het kwadraat van de beginsnelheid. Als bij de voetrem
de beginsnelheid 2 keer zo klein wordt, wordt de remweg 4 keer zo klein. Dus bij 50
km/h wordt de remweg 50/4 = 12,5 m. Dat is al minder dan de remweg van de
handrem bij 40 km/h. De remvertraging van de voetrem is dus groter dan die van de
handrem.
85
d
100
3,6
𝑠
𝑣𝑔𝑒𝑚
27,8
= 13,9 m/s
2
∆𝑣
27,8
=
= 7,7 m/s2
∆𝑡
3,6
= 27,8 m/s  vgem =
=
50
13,9
= 3,6 s  𝑎 =
86
a
Zie grafiek.
b
𝑣begin = 34,7 m/s en 𝑣gem = 17,4 m/s
voorste auto: 𝑡rem
=
𝑣begin
𝑎
=
34,7
8,0
= 4,3 s en
𝑠rem = 𝑣gem · 𝑡rem = 17,4 · 4,3 = 75 m
achterste auto: 𝑡rem =
34,7
6,0
= 5,8 s en 𝑠rem = 17,4 · 5,8 = 1,0 · 102 m
c
In 0,8 s legt de achterste bestuurder nog 34,7 · 0,8 = 28 m af. Samen met het
verschil in remweg is een veilige afstand dus (100 – 75) + 28 = 53 m.
a
Op t = 1,15 s is de snelheid nul, dus dat is het punt waarop bewegingsrichting van de
stuiterbal omkeert. Daarna is de snelheid negatief en dan beweegt de bal naar
beneden.
De hoogte van de bal na de eerste stuit is te bepalen uit de oppervlakte onder de
grafiek tussen t = 0,65 s en t = 1,15 s.
De snelheid waarmee de bal bij de tweede stuit de grond raakt is te bepalen uit de
helling van de lijn aan het s,t-diagram vòòr de stuit, van t = 0,65 tot 1,65 s.
De v,t-lijn loopt in een schuine lijn naar beneden, en alle lijnen lopen evenwijdig. Dat
betekent dat de versnelling constant is en niet verandert met de snelheid. Als er
luchtweerstand zou zijn, zou de versnelling niet constant zijn.
87
b
c
d
e
∆𝑣
11
𝐹 = 𝑚 · ∆𝑡 = 0,430 · 6,9·10−3 = 6,9 · 102 N
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 16 van 27
88
[W] Experiment: Videometen
89
𝐹
𝑚
=
1500
750
1
1
= 2,00 m/s2  𝑠 = 2 · 𝑎 · 𝑡 2 = 2 · 2,00 · 3,02 = 9,0 m
a
𝑎=
b
200 = · 2,00 · 𝑡 2  𝑡 = √
a
b
c
d
Raaklijnmethode, oppervlaktemethode en functiefit.
Een functiefit.
De raaklijnmethode.
De afgelegde afstand.
a
Zie figuur. Omdat nu de eindsnelheid nul is, is de gemiddelde
1
2·200
2
2,00
= 14 s.
90
91
1
snelheid de helft van de snelheid op tijdstip 0. Dus 𝑣gem = · 𝑎 · 𝑡
1
1
2
2
en 𝑠(𝑡) = 𝑣gem · 𝑡 = · 𝑎 · 𝑡 · 𝑡 =
b
2
· 𝑎 · 𝑡2
Oriëntatie:
Stopafstand = reactieafstand + remafstand
𝑠rem = 𝑣gem · 𝑡rem , 𝑎 =
𝑣
𝑡rem
en 𝐹rem = 𝑚 · 𝑎
Uitwerking:
40 km⁄h = 11 m/s. Reactieafstand: 11 · 0,40 = 4,4 m. De stopafstand is 30 meter
dus de remafstand is 30 – 4,4 = 25,6 m  𝑡rem
𝑎=
11
4,6
=
𝑠rem
𝑣gem
=
25,6
5,5
= 4,6 s 
= 2,4 m/s2  𝐹rem = 90 · 2,4 = 2,2 · 102 N
92
a
b
Bij een eenparig versnelde beweging neemt de snelheid gelijkmatig toe, dat is een
rechte lijn in het v,t-diagram. Het s,t-diagram van een eenparig versnelde beweging is
een halve parabool.
t = 1,5 s geeft s = 0,40 m, invullen in 𝑠(𝑡) =. . .· 𝑡 2  0,40 =. . .· 1,52 
𝑠(𝑡) = 0,18 · 𝑡 2
t = 2,0 s geeft v = 0,72 m/s, invullen in 𝑣(𝑡) =. . .· 𝑡  0,72 =. . .· 2,0 
c
d
e
𝑠(𝑡) = 0,36 · 𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑎 · 𝑡 dus dat wat op de puntjes staat is 𝑎.
1
1
𝑠(𝑡) = · 𝑎 · 𝑡 2 dus dat wat op de puntjes staat is · 𝑎 .
1
2
2
2
· 𝑎 = 0,18 dus 𝑎 = 0,36 m/s 2 .
2.5 VALLEN
93
[W] Hoe valt een kogeltje
94
[W] Experiment: Horen vallen
95
[W] Vallen in gedachten
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 17 van 27
96
Waar of niet waar?
a Niet waar: Alle voorwerpen op aarde vallen met dezelfde versnelling: de
valversnelling.
b Waar.
c Niet waar: Op de maan is de valversnelling kleiner dan op aarde.
d Niet waar: De zwaartekracht op een voorwerp is niet overal op aarde precies even
groot.
e Niet waar: Bij een vrije val is de versnelling constant.
f
Waar.
97
a
b
c
d
Bij een vrije val neemt de snelheid gelijkmatig toe.
Bij een vrije val is de versnelling constant. Daardoor is ook de nettokracht constant.
Als er wel luchtweerstand is neemt de luchtweerstand toe als de snelheid van het
vallende voorwerp toeneemt. Door de toename van de luchtweerstand, zal de
snelheidstoename van het voorwerp kleiner worden, totdat de luchtweerstand gelijk is
aan de zwaartekracht op het voorwerp. Vanaf dat moment zal het voorwerp met
constante snelheid verder vallen.
De versnelling en de nettokracht worden steeds kleiner en de snelheid neemt steeds
minder snel toe.
98
a
b
c
d
Direct na het loslaten is de snelheid nog bijna nul. De luchtweerstand is dan ook nul.
De versnelling van beide kogels is dan gelijk.
Tijdens het vallen neemt de snelheid toe. Daardoor neemt de luchtweerstand toe. De
nettokracht neemt dan af, dus de versnelling wordt kleiner.
Doordat de luchtweerstand steeds meer toeneemt, wordt de nettokracht steeds
kleiner. Maar de nettokracht wordt nooit negatief, dus de versnelling wordt nooit
tegengesteld aan de bewegingsrichting van de kogel. De snelheid blijft dus toenemen
totdat de nettokracht nul is. Daarna is de snelheid constant.
Bij de zware kogel is de nettokracht groter dan bij de lichte kogel. De zware kogel zal
daardoor meer versnellen en een hogere snelheid bereiken. De zware kogel is dus
eerder beneden.
99
a
b
Direct na het loslaten hebben de kastanje en het kastanjeblad dezelfde versnelling.
Tijdens het vallen is de luchtweerstand op het kastanjeblad in verhouding tot de
zwaartekracht groter, dus wordt de versnelling van het kastanjeblad kleiner dan van
de kastanje.
Zonder luchtweerstand vallen alle voorwerpen met dezelfde versnelling. Ze zijn dus
even snel beneden en hebben dan dezelfde snelheid bereikt.
100
a
b
Zodra je het voorwerp hebt losgelaten, werkt alleen de zwaartekracht nog maar op het
voorwerp. De versnelling is dan 9,8 m/s2.
Ook als je het voorwerp omhoog gooit, werkt na het loslaten alleen nog maar de
zwaartekracht op het voorwerp. De versnelling is dan ook 9,8 m/s 2 en zorgt er nu voor
dat het voorwerp steeds langzamer omhoog gaat, omkeert en weer naar beneden
versnelt.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 18 van 27
101
a
b
c
Een vrije val volgens de natuurkunde is een val zonder luchtweerstand. De
parachutist heeft wel luchtweerstand.
Je voelt je lichter: je valt met vrijwel de valversnelling.
Na enige tijd voel je je normaal: je valt met een constante snelheid.
102
a
b
c
Direct na het loslaten speelt de luchtweerstand nog geen rol en is de versnelling van
de drie bollen gelijk.
De grootste bol heeft de grootste massa, maar ook de grootste luchtweerstand. Voor
de massa speelt volume een rol (evenredig met r3), voor de luchtweerstand het
oppervlak (evenredig met r2). De grootste bol zal de grootste snelheid krijgen.
Als de massa’s gelijk zijn is de zwaartekracht bij alle drie gelijk, maar heeft de kleinste
bol de kleinste luchtweerstand. De kleinste bol wordt het minst afgeremd en bereikt
daardoor de grootste snelheid.
103
a
In 3,0 s neemt de snelheid toe met 54 m/s. De versnelling is dan
c
54
= 18 m/s2.
3,0
𝑣 +𝑣
0+54
𝑣𝑔𝑒𝑚 = 𝑏 2 𝑒 = 2 = 27 m/s
𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 27 ∙ 3,0 = 81 m
a
Zie grafieken.
b
c
d
De helling van de lijn in het v,t-diagram is de versnelling.
Met de raaklijnmethode kun je op elk tijdstip uit het s,t-diagram de snelheid bepalen.
Zie grafieken.
𝑎=
b
∆𝑣
∆𝑡
=
104
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 19 van 27
105 Eigen antwoord.
106 [W] Experiment
107
a
b
c
d
e
f
g
Als de helling van de lijn in een s,t-diagram voortdurend toeneemt, neemt de snelheid
voortdurend toe.
In een s,t-diagram lees je de tijd die een vrije val van 2 meter hoogte duurt af bij s = 2
m.
In een v,t-diagram lees je de snelheid af op het tijdstip dat hoort bij s = 2 m (het
antwoord van vraag b).
In een v,t-diagram is het hellingsgetal gelijk aan de valversnelling.
In een s,t-diagram is de snelheid op een bepaald tijdstip gelijk aan het hellingsgetal
van de raaklijn in dat punt.
In een s,t-diagram is de gemiddelde snelheid in een bepaalde periode gelijk aan de
afstand die is afgelegd in die periode gedeeld door het tijdsverschil van de periode.
In een v,t-diagram van een vrije val is de gemiddelde snelheid in een bepaalde
periode gelijk aan de helft van som van de beginsnelheid en de eindsnelheid van die
periode.
108
a
𝑣𝑒 = 𝑔 ∙ 𝑡 Bij voorwerp A is de tijd t twee keer zo groot, dus zal de snelheid van
voorwerp A ook twee keer zo groot zijn.
b
c
1
𝑣𝑔𝑒𝑚 = ∙ 𝑣𝑒 en ℎ = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 Als de tijd twee keer zo groot is, is de gemiddelde
2
snelheid twee keer zo groot. In de formule voor de afgelegde afstand h worden dus
de gemiddelde snelheid èn de tijd allebei twee keer zo groot, de hoogte is dan 4 keer
zo groot.
Als er wel luchtweerstand is, bereiken de voorwerpen op een bepaald moment een
constante snelheid. Vanaf dat tijdstip stijgt de snelheid voor beide voorwerpen dus
niet meer. Voorwerp A, dat van vier keer zo grote hoogte is gevallen, zal dus langer
moeten doorvallen met de kleinere eindsnelheid om dezelfde afstand af te leggen als
zonder luchtweerstand. Voorwerp A heeft nu dus meer dan een twee keer zo grote
valtijd nodig.
109
a
b
c
d
e
Zie figuur. Op aarde is de valversnelling
9,8 m/s2 en op de maan is de
valversnelling 1,6 m/s2.
Op de maan is geen atmosfeer, dus ook
geen luchtweerstand.
aarde
De voorwerpen vallen vanaf dezelfde
hoogte, dus leggen dezelfde afstand af.
De oppervlakte onder de diagrammen is
de afgelegde afstand.
Als de valtijd zes keer zo groot zou zijn
dan zou de eindsnelheid even groot zijn,
en de afstand zes keer zo groot. De
valtijd is dus (veel) minder dan zes keer
zo groot.
De tijd is langer, de afstand gelijk. De gemiddelde snelheid en de eindsnelheid zijn
© ThiemeMeulenhoff bv
maan
Pagina 20 van 27
dus kleiner.
110
a
b
c
Direct na de sprong is de snelheid van de skydiver nog bijna nul. De luchtweerstand is
dan nog vrijwel verwaarloosbaar. Dan werkt alleen de zwaartekracht op de skydiver
en de versnelling is dus gelijk aan de valversnelling.
Naarmate de snelheid toeneemt wordt ook de luchtweerstand groter. De nettokracht
wordt dan kleiner en de snelheid neemt steeds minder snel toe. Op een bepaald
moment ontstaat er evenwicht: de luchtweerstand is even groot als de zwaartekracht.
De nettokracht wordt nul en de snelheid blijft daarna constant.
De maximale (en constante) eindsnelheid wordt bereikt als Fz = Fw,l. Fz is in beide
situaties gelijk, zodat voor beide situaties ook Fw,l gelijk moet zijn. Voor de
luchtweerstand geldt: Fw,l = k·v2. De evenredigheidsconstante k is onder andere
afhankelijk van de frontale oppervlakte van de skydiver en die is bij een geopende
parachute veel groter dan bij een ongeopende parachute. Dat betekent dat de
snelheid v bij geopende parachute kleiner moet zijn.
111
∆𝑠
∆𝑡
=
22
4,0−1,0
a
𝑣=
= 7,3 m/s
b
Na 2,0 s is de snelheid 7,3 m/s. Dan is de versnelling 𝑔
c
Binas tabel 31: dat is Mars
a
𝑡1 =
=
∆𝑣
∆𝑡
=
7,3
2,0
= 3,7 m/s2
112
b
c
𝑣1
𝑔
12,8
𝑣
29,1
= 1,3 s en 𝑡2 = 2 =
9,8
𝑔
9,8
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
12,8+29,1
𝑣𝑔𝑒𝑚 = 2 =
= 21,0 m/s
2
𝑠 = 𝑣𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑡 = 21,0 ∙ 1,7 = 36 m
=
= 3,0 s  ∆𝑡 = 3,0 − 1,3 = 1,7 s
113
a
Na 1,1 s is de snelheid 1,1·9,8 = 10,8 m/s. De gemiddelde snelheid is dan 5,4 m/s en
de afstand 5,4·1,1=5,9 m.
b
c
𝑣eind = 𝑔 · 𝑡 = 9,8 · 1,1 = 11 m⁄s = 39 km/h
Als de eindsnelheid twee keer zo groot wordt, wordt de valtijd twee keer zo groot
1
(𝑣eind = 𝑔 · 𝑡) en dan wordt de remweg vier keer zo groot (𝑠 = · 𝑔 · 𝑡 2 ).
2
114
a
Bij de constante eindsnelheid is er evenwicht tussen de zwaartekracht en de
luchtweerstand. 𝐹𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 0,210 ∙ 9,8 = 2,06 N en 𝐹𝑤,𝑙 = 𝑘 ∙ 𝑣 2 
2,06 = 0,0010 ∙ 𝑣 2  𝑣 = 45 m/s
b
c
Als de diameter van de tweede bal 2 keer zo klein is, dan is de straal ook 2 keer zo
klein en het volume 23 = 8 keer zo klein. Dan is de massa ook 8 keer zo klein (als ze
massief en van hetzelfde materiaal zijn).
Als de diameter van de tweede bal 2 keer zo klein is, dan is het frontale oppervlak van
de bal 4 keer zo klein. Dan neemt de luchtweerstand ook af met een factor 4, dus is k
4 keer zo klein.
0,210
∙ 9,8 = 0,257 N  0,257 =
0,0010
∙ 𝑣 2  𝑣 = 32 m/s
d
𝐹𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑔 =
e
De massa van de grote bal is 8 keer zo groot, dus is Fz 8 keer zo groot. Factor k is 4
4
4
keer zo groot, dus de eindsnelheid is √2 = 1,4 keer zo groot :
© ThiemeMeulenhoff bv
𝑣𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡
𝑣𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛
45
= 32 = 1,4
Pagina 21 van 27
115
a
Dat er geen luchtweerstand is op de maan (en dus geen dampkring).
b
𝑣gem =
𝑔=
1,5
1,36
𝑣eind
𝑡
= 1,1 m/s , 𝑣eind = 2 · 1,1 = 2,2 m/s en
2,2
= 1,36 = 1,6 m/s 2.
c
Binas: de valversnelling op de maan is 1,63 m/s2.
a
Als de tijd 30 s is, dan is 𝑣𝑔𝑒𝑚
116
𝑠
=𝑡=
5000−700
30
 𝑣𝑒 = 2 ∙ 𝑣𝑔𝑒𝑚 = 2 ∙ 143 = 287 m/s 
𝑎=
= 143 m/s .
𝑣𝑒
𝑡
=
287
30
= 9,6 m/s2
b
Bij een tijd van 30 s is de versnelling kleiner dan de valversnelling, dus een echte vrije
val duurt korter dan 30 s.
In de grafiek hebben de lijnen na het openen van de parachute dezelfde helling.
c
Bepaal de helling van het tweede gedeelte: 𝑣
d
Bepaal de helling van het eerste gedeelte: 𝑣
a
Bepaal de helling van de raaklijn: 𝑎
b
c
𝐹net = 𝑚 ∙ 𝑎 = 85 ∙ 4,4 = 3,7 ∙ 102 N en 𝐹z = 𝑚 ∙ 𝑔 = 85 ∙ 9,8 = 8,3 ∙ 102 N
𝐹net = 𝐹𝑧 − 𝐹𝑤,𝑙  3,7 ∙ 102 = 8,3 ∙ 102 − 𝐹w,l  𝐹w,l = 4,6 ∙ 102 N
𝐹w,l = 𝑘 ∙ 𝑣 2  4,6 ∙ 102 = 𝑘 ∙ 342  𝑘 = 0,40
Bij een constante snelheid is 𝐹net = 0 en 𝐹z = 𝐹w,l  8,3 ∙ 102 = 0,40 ∙ 𝑣 2  𝑣 =
46 m/s
∆𝑠
−600
= ∆𝑡 = 232−72 = −3,75 m/s
∆𝑠
= ∆𝑡 =
1000−4000
56−16
= −75 m/s
117
d
=
∆𝑣
∆𝑡
=
50−17
7,5
= 4,4 m/s2
118 [W] Experiment
119
a
b
De zwaartekracht verandert niet op het hoogste punt, dus de valversnelling ook niet.
De snelheid is op één tijdstip nul, maar de snelheid blijft voortdurend veranderen.
Bij de beweging omhoog vertraagt het voorwerp. Omdat vertragen een negatieve
versnelling is, is de versnelling dan omlaag gericht. Tijdens het vallen is de versnelling
ook omlaag gericht.
a
-9,8 m/s2
b
Het hoogste punt is bereikt als de snelheid nul is: 𝑔
120
∆𝑡 =
c
d
∆𝑣
𝑔
=
0−29,4
−9,8
=
∆𝑣

∆𝑡
= 3,0 s
De val naar beneden verloopt precies omgekeerd: de snelheid begint bij 0 en neemt
toe tot 29,4 m/s na 3,0 s, als de bal terug bij het beginpunt is.
In 3,0 seconden daalt de snelheid van 29,4 m/s naar nul. In de volgende 3,0
seconden stijgt deze snelheid weer naar 29,4 m/s (9,8·3,0 = 29,4 m/s). De snelheid
waarmee de bal op de grond valt is dus even groot als de snelheid waarmee de bal
omhoog is geschoten.
121
a
50 km/h = 14 m/s en 100 km/h = 28 m/s
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 22 van 27
b
Na 1,4 s is de steen op het hoogste punt, na 2,8 s komt de steen weer bij Jaap langs.
Na 4,2 s is de snelheid -28 m/s. De oppervlakte onder de grafiek tussen 2,8 en 4,2 s
is de hoogte van de rots: De gemiddelde snelheid is daar 21 m/s, de hoogte is
21·1,4 = 29 m
a
𝑣begin = 9,8 · 2,5 = 24,5 m/s.
b
De hoogte is de oppervlakte onder de lijn in
het v,t-diagram tot t = 2,5 s:
122
ℎ=
c
d
e
1
· 2,5 · 24,5 = 61 m
2
Door de luchtweerstand zal de snelheid veel
sneller dalen bij het omhoog gaan. De tijd dat
de shuttle in de lucht is tot hij het hoogste punt
heeft bereikt is korter. Ook is de oppervlakte
onder de lijn kleiner, dus shuttle komt dus veel
minder hoog dan de golfbal.
Als de snelheid ongeveer 0 m/s is, is de
luchtweerstand verwaarloosbaar en is de
helling van de raaklijn aan de grafiek gelijk aan
de valversnelling.
Naarmate de snelheid stijgt neemt de
luchtweerstand toe waardoor de snelheid
steeds minder snel stijgt. De oppervlakte onder
de lijn totdat v = 0 m/s moet gelijk zijn aan de
oppervlakte boven de lijn na v = 0 m/s, omdat
de weg omhoog even lang is als de weg terug.
Hierdoor wordt de totale tijd dat de bal in de
lucht is korter.
123
a
b
c
d
e
f
De grafiek is symmetrisch en heeft de vorm van een parabool.
𝑠(4,0) = −4,9 · 4,02 + 19,6 · 4,0 = 0 m dus de bal is weer terug op de grond.
𝑣(𝑡) = 𝑠 ′ (𝑡) = −2 · 4,9 · 𝑡 + 19,6 = −9,8 · 𝑡 + 19,6
𝑣(0) = −9,8 · 0 + 19,6 = 19,6 m/s
Vergelijk de vergelijking voor de snelheid met de formule voor de valbeweging:
𝑣(𝑡) = 𝑔 · 𝑡  𝑔 = −9,8 m/𝑠 2 .
Vergelijk de vergelijking voor de plaats met de formule voor de valbeweging:
1
1
2
2
𝑠(𝑡) = · 𝑔 · 𝑡 2  · 𝑔 = −4,9  𝑔 = −9,8 m/𝑠 2 .
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 23 van 27
2.5 AFSLUITING
124 Eigen antwoord.
125
a
b
c
d
e
Als er een constante kracht in bewegingsrichting werkt (die niet nul is), zal de snelheid
van het voorwerp gelijkmatig toenemen. We noemen dit een eenparig versnelde
beweging.
Bij een eenparig vertraagde beweging neemt de snelheid elke seconde even veel af.
Als de snelheid constant is, is de nettokracht nul.
Bij een eenparige rechtlijnige beweging verandert de snelheid niet van richting en
grootte en is de nettokracht nul.
De gemiddelde snelheid is het gemiddelde van de beginsnelheid en de eindsnelheid:
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
f
g
h
i
𝑣𝑏 +𝑣𝑒
2
De versnelling is de toename van de snelheid per seconde.
Een eenparig versnelde of vertraagde beweging is een beweging met een constante
versnelling of vertraging.
Bij een eenparig versnelde is de totale voorwaartse kracht groter dan de
tegenwerkende kracht(en), bij een eenparig vertraagde beweging is de is de totale
tegenwerkende kracht groter dan de voorwaartse kracht(en), en bij een eenparige
beweging is de totale voorwaartse kracht even groot als de tegenwerkende
kracht(en).
Eenparig versnelde beweging:
Eenparig vertraagde beweging:
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 24 van 27
Eenparige beweging:
j
k
l
m
𝑎=
∆𝑣
en
∆𝑡
𝑎=
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝑚
a is de versnelling, ∆v is de snelheidstoename, ∆t de tijd waarin de snelheid toeneemt,
Fres is de nettokracht en m is de massa.
Eerste wet van Newton: Een voorwerp waarop de nettokracht nul is, beweegt met
constante snelheid in een rechte lijn of blijft stilstaan.
Tweede wet van Newton: Een nettokracht die niet nul is geeft een voorwerp een
versnelling of een vertraging: F = m·a.
Een voorwerp met een grote massa heeft een grote traagheid. De snelheid van dat
voorwerp is dan te veranderen. Dat is goed te zien aan de formule bij de tweede wet
van Newton: 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 . Als de massa groot is, is ook een grote kracht nodig om
dezelfde versnelling te krijgen.
Bij botsingen is sprake van een hele korte remweg en remtijd. Met behulp van de
tweede wet van Newton: 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 en 𝑎
n
o
p
q
r
s
t
u
v
=
∆𝑣
is de kracht te berekenen. Een kleine
∆𝑡
botstijd Δt geeft een grote vertraging 𝑎 en dus ook een grote kracht.
Het gewicht van een voorwerp is de kracht die het voorwerp op zijn ondergrond
uitoefent. Deze wordt veroorzaakt door de zwaartekracht, die te berekenen is met de
tweede wet van Newton: 𝐹 = 𝑚 · 𝑔 met 𝑔 = 9,8 m/s 2 .
Als de nettokracht twee keer zo groot wordt bij gelijkblijvende massa, wordt de
versnelling ook twee keer zo groot.
Als de massa twee keer zo groot wordt en de nettokracht blijft gelijk, wordt de
versnelling twee keer zo klein.
Als twee verschillende massa’s in vacuüm vallen, is de toename van de snelheid per
seconde bij beide massa’s hetzelfde.
In een v,t-diagram is de gemiddelde versnelling de toename van de snelheid gedeeld
door de tijd waarin de snelheid is toegenomen. De versnelling op één bepaald tijdstip
is de helling van de raaklijn in dat punt.
De afgelegde afstand is gelijk aan de oppervlakte onder de lijn in het v,t-diagram.
De gemiddelde snelheid is te berekenen door de afgelegde afstand uit het v,t-diagram
(de oppervlakte onder de grafiek) te delen door de tijd waarin die afstand is afgelegd.
In een s,t-diagram is de gemiddelde snelheid de toename van de afstand gedeeld
door de tijd waarin de afstand is toegenomen. De snelheid op één bepaald tijdstip is
de helling van de raaklijn in dat punt.
Bij een vrije val is er geen luchtweerstand. Het snelheid van het voorwerp zal steeds
blijven toenemen volgens de formule 𝑣 = 𝑔 · 𝑡 waarbij g de valversnelling is. Bij een
valbeweging met wrijving is de luchtweerstand evenredig met het kwadraat van de
snelheid. De luchtweerstand neemt toe als de snelheid toeneemt. Hierdoor wordt de
nettokracht op het voorwerp kleiner en neemt de snelheid steeds minder snel toe. Er
ontstaat evenwicht als de luchtweerstand even groot is als de zwaartekracht op het
voorwerp.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 25 van 27
126
a
b
c
d
e
f
Op t = 0 s is haar snelheid 0 m/s.
In deel A is de grafiek een rechte lijn die schuin omhoog loopt.
In deel A is de versnelling constant, dus is ook de nettokracht constant.
Op deel C de snelheid constant, dus de versnelling is nul. Dan is de nettokracht nul en
de trapkracht en tegenwerkende kracht constant en aan elkaar gelijk.
Tijdens het uitrollen is de trapkracht nul. De tegenwerkende kracht wordt steeds
kleiner omdat de snelheid steeds kleiner wordt. De vertraging is dus niet constant en
daardoor neemt de snelheid niet gelijkmatig af.
Je kunt de afgelegde weg alleen berekenen met het gemiddelde van de begin- en
eindsnelheid als de snelheid gelijkmatig afneemt en de grafiek een rechte lijn is. Dat is
hier niet zo.
127
a
b
c
d
e
De massa is niet constant omdat er bij het afschieten van de waterraket water uit de
raket verdwijnt. De stuwkracht is niet constant omdat de druk in de raket afneemt als
er water uit de waterraket verdwijnt.
De stuwkracht blijft constant, maar de massa neemt af. Uit 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 blijkt dan dat de
versnelling toeneemt.
De stuwkracht daalt sneller dan dat de massa afneemt, dus 𝐹/𝑚 neemt af  de
versnelling daalt.
Bij heel veel water in de fles neemt de versnelling bij de lancering snel af. Daarnaast
is de waterraket bij de start zwaarder, waardoor de versnelling bij de start kleiner is.
De waterraket begint al met een lagere versnelling die ook nog eens snel afneemt,
waardoor de raket niet heel hoog zal komen.
Als er heel weinig water in de fles zit, zal er ook maar weinig water naar buiten
worden gespoten, waardoor de stuwkracht heel klein is.
128
a
b
2,0
= 10 m/s2
0,6−0,4
1,35−2,0
𝑎II = 1,1−0,6 = −1,3 m/s 2
𝑎I =
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 76 × 1,3 = 1,1 ∙ 10² N
c
De weerstandskracht tijdens periode III is groter dan de weerstandskracht tijdens het
uitdrijven omdat de zwemmer zijn benen en armen tegen de bewegingsrichting in naar
voren brengt. De lijn in de grafiek daalt daardoor sneller.
d
Eén zwembeweging duurt 1,30 − 0,40 = 0,90 s. Hij moet
100
1,2
= 83,3
zwembewegingen maken. Daar doet hij 83,3 ∙ 0,90 = 75 s over.
129
=
∆v
∆t
20
= 2,65 = 7,5 m/s 2
a
De reactietijd is 1,0 s. De remvertraging is a
b
De reactieafstand is 1,0 ∙ 20 = 20 m. De remweg is ∙ 20 ∙ 2,65 = 27 m. De
1
2
stopafstand is 20 + 27 = 47 m.
c
d
Fmax = m ∙ a = 800 ∙ 7,5 = 6,0 ∙ 103 N
Oriëntatie:
De beginsnelheid blijft gelijk, dus de reactieafstand blijft ook gelijk.
De massa wordt 800 + 400 = 1200 N. De vertraging is te berekenen met
a=
Fmax
.
m
Uit de vertraging is de remtijd te berekenen en vervolgens de remweg. Tenslotte
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 26 van 27
reactieafstand en remweg optellen.
Uitwerking:
6,0∙103
= 5,0 m/s2.
1200
1
4,0 s en remafstand s = 2 ∙ 20 ∙ 4,0 = 40 m.
De reactieafstand is 20 m. De vertraging a
Remtijd t
v
20
= a = 5,0 =
=
De stopafstand is 20 + 40 = 60 m. Dat is 60 – 47 = 13 m langer.
130
a
De grafiek loopt in een rechte lijn, dat hoort bij een eenparig versnelde beweging.
b
𝑎=
c
De hoogte is de oppervlakte onder de grafiek: ℎ =
d
e
f
Als de snelheid negatief is, beweegt ze de andere kant op, ze gaat weer naar boven.
De snelheid is daar nul, ze draait om dus is op het diepste punt.
De gemiddelde snelheid is (ongeveer) 1,0 m/s. De afstand is dan
𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 1,0 ∙ (6,0 − 2,2) = 3,8 m.
Tussen t = 1,4 en t = 2,2 gaat het meisje dieper onder water. De afstand die ze dan
aflegt is kleiner dan de afstand tussen t = 2,2 en t = 6,0 s. Op t = 6,0 s is ze dus
(deels) boven water.
g
∆𝑣
∆𝑡
14
= 1,4 = 10 m/s2
1
2
∙ 1,4 ∙ 14 = 9,8 m.
131
a
b
𝐹w,rol = 3,5 N
𝐹w,lucht = 0,19 · 102 = 19 N
𝐹𝑣𝑤 = 0,095 · 9,8 · 81 = 75 𝑁
𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝐹𝑣𝑤 − 𝐹𝑤,𝑙𝑢𝑐ℎ𝑡 − 𝐹𝑤,𝑟𝑜𝑙 = 75 − 19 − 3,5 = 52,5 𝑁 
𝑎=
𝐹res 52,5
=
= 0,65 m/s2
𝑚
81
c
De maximale snelheid wordt bereikt als 𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0  𝐹𝑣𝑤 = 𝐹𝑤,𝑙𝑢𝑐ℎ𝑡 + 𝐹𝑤,𝑟𝑜𝑙  75 =
d
0,19 · 𝑣 2 + 3,5  𝑣 = 19,4 𝑚⁄𝑠 = 70 𝑘𝑚/ℎ
90 𝑘𝑚⁄ℎ = 25 𝑚⁄𝑠 invullen in 𝐹vw = 𝐹w,lucht + 𝐹w,rol geeft:
𝑝 · 9,8 · 81 = 0,19 · 252 + 3,5 = 122 N 
het hellingspercentage 𝑝 is
© ThiemeMeulenhoff bv
122
·
9,8·81
100% = 15%
Pagina 27 van 27