Reële getallen - Wiskunde en ICT in SIMA

Reële getallen
Inleiding:
N: verzameling van de natuurlijke getallen.
Z: verzameling van de gehele getallen
Q: verzameling van de rationale getallen
R: verzameling van de reële getallen
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …}
Q = { 0, 1, -1, ½ , - ½ , …}
R = { 0, 1, -1, ½ ,- ½ , , … }
NZQR
Om het aftrekken van elke twee natuurlijke getallen mogelijk te maken, hebben we N
uitgebreid tot Z.
Om het delen van elke twee gehele getallen mogelijk te maken, hebben we daarna Z
uitgebreid tot Q.
Om nu de worteltrekking in Q altijd mogelijk te maken, zullen we ook Q moeten uitbreiden.
1.
Bewerkingen met reële getallen.
1.1
Optellen en aftrekken van reële getallen
1.1.1 Rekenregels
1
Om twee reële getallen met hetzelfde teken op te tellen, telt men hun absolute waarden
op en behoudt men dat teken.
Voorbeeld:
(-2,5) + (-3,2) = -5,7 of - 2,5 - 3,2 = -5,7
2
Om twee reële getallen met een verschillend teken op te tellen, trekt men hun absolute
waarden van elkaar af en behoudt men het teken van het getal met de grootste absolute
waarde.
Voorbeeld:
( - 2,5) + ( + 3,2) = + 0,7 of - 2,5 + 3,2 = + 0,7
3
Bij een gedurige som telt men alle positieve reële getallen op, daarna alle negatieve en
past men vorige regel toe.
Voorbeeld: (-2,5) + ( - 1,2) + ( + 1,7) + (+ 0,2) + (-3, 1)
= (+ 1,9) + (- 6,8)
= - 4,9
4
Een reëel getal aftrekken betekent hetzelfde als zijn tegengestelde optellen.
Voorbeeld:
5
(- 2,5) - ( - 3,2) = ( - 2,5) + ( + 3,2) = + 0,7
(+ 3,2) - (+ 2,5) = (+ 3,2) + (- 2,5) = + 0,7
Regel van de haakjes:
-
Haakjes, voorafgegaan door een + teken, mag men zomaar weglaten.
Voorbeeld:
- 3 + (7 - 5) = - 3 + 7 - 5 = - 1
Haakjes, voorafgegaan door een - teken, mag men weglaten mits de tekens binnen de
haakjes te veranderen.
Voorbeeld:
- 3 - (7-5) = -3 -7 +5 = -5
1.1.2 Eigenschappen van de optelling in R
1.
De optelling in R is commutatief.
 a, b,  R : a + b = b + a
Voorbeeld: - 4,3 + 5,6 = 5,6 - 4,3
1,3 = 1,3
2.
De optelling in R is associatief
 a, b,  R: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Voorbeeld:
2 3

2 3
 1,2    
 1,2   

 5 10
5  10
8 3
7

 1,2 
5 10
10
19 19

10 10
3.
0 is het neutraal element voor de optelling in R
0  R en  a  R: a + 0 = a = 0 + a
Voorbeeld: 2 + 0 = 2 = 0 + 2
4
Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor de optelling in R, namelijk zijn
tegengestelde
 a  R:  -a  R en a + (-a) = 0 = (-a) + a
Voorbeeld: 3 + (-3) = 0 = (-3) + 3
1.2
Vermenigvuldigen en delen van reële getallen
1.2.1 Rekenregels
1
Om twee reële getallen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men hun absolute
waarden en past men volgende tekenregel toe:
+.+=+
2 gelijke tekens +
-.-=+
+.-=2 verschillende tekens -.+=Voorbeelden:
1
2
  2      




3
4 
  
5 
3
2
8

3
15
2
Om een reëel getal te delen door een ander van 0 verschillend reëel getal,
vermenigvuldigt men het eerste met het omgekeerde van het tweede.
 a  R en  b  R0:
a
= a . b -1
b
15
 4
 5
(-3) :    = (-3) .    = 
 5
 4
4
3
Bij een gedurig produkt vermenigvuldigt men de absolute waarden van de getallen en
telt men het aantal - tekens.
is het aantal - tekens even dan is het resultaat +
Is het aantal - tekens oneven dan is het resultaat - .
Voorbeeld
Voorbeeld:
1
3
2
3
3
  2                  

3 
4 
5 
2
1.2.2 Eigenschappen van de vermenigvuldiging in R
1.
De vermenigvuldiging in R is commutatief
 a, b  R : a .b = b . a
Voorbeeld: 0,2 . (-0,32) = - 0,32 . 0,2
-0,064 = -0,064
2.
De vermenigvuldiging in R is associatief
 a, b, c,  R: (a .b) . c = a . (b . c)= a . b . c
Voorbeeld: (0,3 . 0,2) . 0,4 = 0,3 . (0,2 . 0,4)
10
0,06 . 0,4 = 0,3 . 0,08
0,024 = 0,024
3
1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in R
1  R en  a  R: a . 1 = a = 1 . a
Voorbeeld:
3  1  3  1 3
4
0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in R
0  R en  a  R: a . 0 = 0 = 0 . a
Voorbeeld:
2  0  0  0 2
5.
Elk reëel getal, verschillend van 0, heeft een symmetrisch element voor de
vermenigvuldiging in R, namelijk zijn omgekeerde.
 a R: a -1  R0 en a . a -1 = 1 = a -1 . a
1
2  2
2 3
    1
Voorbeeld:
3  3
3 2
6
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling in R
 a, b, c  R: a . (b + c) = a .b + a . c
Voorbeeld: 0,2 . (2 + 1,5) = 0,2 . 2 + 0,2 . 1,5
0,2. (3,5)
= 0,4 + 0,3
0,7
= 0,7
1.3
Machtsverheffing bij reële getallen
1.3.1 Begrip
We weten reeds dat 24 = 2 . 2 . 2 . 2
2 is het grondtal
4 is de exponent
(4 factoren)
Algemeen:
 a  R en n  N0: a n = a . a . a … a (n factoren)
 a  R0 en n  N0: a -n =
Speciale gevallen:
 a  R: a 1 = a
 a  R: a 0 = 1
 a  R0: a -1 =
1
a
1.3.2 Tekenregel
 Elke macht van een positief getal is positief.
 Elke macht van een negatief getal is positief als de exponent even is
en negatief als de exponent oneven is.
Voorbeelden:
(+3)² = +9
(+3)³ = +27
(-3)² = +9
(-3)³ = -27
Kortweg:
Een macht is steeds positief uitgezonderd als het grondtal negatief en de
exponent oneven is.
1.3.3 Rekenregels
1
 a  R0 en  m, n  Z: a m . a n = a m + n
Voorbeeld:
2
 a  R0 en  m, n  Z: a m : a n = a m - n
Voorbeeld:
3
(-2) 3 . (-2) 2 = (-2) 3 + 2
= (-2) 5
= -32
(-3) 7 : (-3) 4 = (-3) 7 - 4
= (-3) 3
= -27
 a, b  R0 en  m  Z: (a . b) m = a m . b m
Voorbeeld:
(-2a) 3 = (-2) ³ . a ³ = -8a ³
m
4
am
 a
 a, b  R0 en  m  Z:    m
 b
b
4
Voorbeeld:
5
2 4 16
 2
   4 
 3
81
3
 a  R0 en  m, n  Z: (a m) n = a m .
3
Voorbeeld:
n
2 3
6
 1  2 
1
 1
 1
            
2
2
64
 2 
1.3.4 Toepassingen op de machtsverheffing
1.3.4.1 Macht van een breuk
Om een breuk tot een negatieve macht te verheffen, verheffen we de omgekeerde breuk tot de
tegengestelde macht.
 a
 a, b  R0 en  n  N:  
 b
3
n
n
n
 a  1 
 b
      
 a
 b  
3
27
 2
 3
Voorbeeld:
      
 3
 2
8
1.3.4.2 Wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
Zeer grote en zeer kleine getallen kunnen korter geschreven worden als een produkt van een
decimaal getal met 1 cijfer voor de komma en een (positieve of negatieve) macht van 10. Op
die manier worden verscheidene bewerkingen veel eenvoudiger.
Voorbeelden: 500000 = 5 x 100000
= 5 . 105
Opmerking:
Op het scherm van ons rekentoestel verschijnen soms getallen zoals
1,25 09
We lezen dan in werkelijkheid 1,25 . 109 of 1 250 000 000
Verschijnt er 3,6
-11
dan lezen we 3,6 . 10-11
1.4
of 0,000 000 000 036
Vierkantswortel van een reëel getal
1.4.1 Begrip
Als uit een opgave blijkt dat een vierkant een oppervlakte van 144 m² heeft, dan komen we tot
de vaststelling dat we maar 1 bewerking kennen waarmee we de zijde van dit vierkant kunnen
bepalen.
Met andere woorden: Bepaal z als je weet dat z² = 144 m²
De bewerking waarmee we z zoeken noemen we de vierkantsworteltrekking. Het is de
omgekeerde bewerking van de tweedemachtsverheffing.
We zeggen: een vierkantswortel van 144 is 12 want 12² = 144
We noteren: 144 = 12
1.4.2 Definitie
Een vierkantswortel van een getal a is een getal b, waarvan de tweedemacht gelijk is aan het
gegeven getal a.
b is een vierkantswortel van a enkel en alleen als b² = a.
Gevolgen:
1.
is.
Een negatief getal kan geen vierkantswortels hebben omdat elke tweedemacht positief
?² = - 25
2.
Elk positief getal heeft twee tegengestelde vierkantswortels.
-5 en 5 zijn de vierkantswortels van 25.
1.4.3 Afspraken
De positieve vierkantswortel van een positief getal a schrijven we steeds als a.
Voorbeeld: 25  5
De negatieve vierkantswortel van een positief getal a schrijven we voortaan als - a.
Voorbeeld: - 25  5
In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we enkel nog spreken over positieve vierkantswortels.
1.5.
Voorrangsregel
In vorige jaren is de volgende afspraak gemaakt over de volgorde waarin men bewerkingen
uitvoert.
In een vorm met haken voert men eerst de bewerkingen binnen de haken uit.
In een vorm zonder haken voert men achtereenvolgens uit:
1.
2.
3.
de machtsverheffingen en de worteltrekkingen,
de vermenigvuldigingen en de delingen (van links naar rechts),
de optellingen en de aftrekkingen (van links naar rechts).
Een wortelteken en een breukstreep kunnen haken bevatten.
2.
Benaderende waarde
Repeterende decimale vormen en irrationele getallen kan je in feite nooit in decimale vorm
uitdrukken, omdat het aantal decimalen onbegrensd is.
Telkens je zo'n vorm opschrijft, beperk je het aantal decimalen.
Je geeft het reëel getal slechts benaderend weer.
Voorbeeld:
Gegeven:
 = 3,141592654 ...
Gevraagd:
 met 2 decimalen
Oplossing:
3,14 <  < 3,15
benaderende
waarde te klein
benaderende
waarde te groot
De fout tussen n en de benaderende waarden is niet groter dan 0,0 1.
In dit geval ligt n dichter bij 3,14 dan bij 3,15 dus is 3,14 nauwkeuriger.
Daarom gebruiken we steeds de afrondingsregel:
·
is de volgende decimaal kleiner dan 5, neem dan de benaderende waarde te klein
·
is de volgende decimaal groter dan of gelijk aan 5, neem de benaderende waarde te
groot
3.
Getalwaarde van een lettervorm
Dit is het getal dat men bekomt door in de lettervorm de letters een bepaalde waarde te geven
en de bewerkingen uit te voeren
De getalwaarde van 3a²b + 2c voor a = -2; b = 5 en c = 1 is 62
(nl. 3.(-2)².5 + 2.1 = 3.4.5 + 2 = 60 + 2 = 62)
4.
Groep
4.1
Definitie:
Een niet-lege verzameling V, voorzien van een bewerking *, wordt een groep genoemd enkel
en alleen indien geldt:
1. de bewerking * is in V inwendig en overal gedefinieerd
2. de bewerking * is in V associaties
3. de bewerking * heeft in V een neutraal element n,
4. elk element a V heeft in V een symmetrisch element ã voor de bewerking
Notatie:
V, * is een groep
Definitie met symbolen:
V, * is een groep
1.  a, b  V : a * b V
2.  a, b, c  V: (a * b) * c = a * (b * c)
3. n  V en  a  V: a * n = n * a =a
4.  a  V: ã  V: a * ã = ã * a = n
Definitie commutatieve groep:
Een groep V, * wordt commutatief genoemd enkel en alleen indien de bewerking * in V
commutatief is.
Met symbolen:
V, * is een commutatieve groep
1. V, * is een groep
2.  a, b  V: a * b = b * a
Opmerkingen:
1. In plaats van commutatieve groep zegt men ook Abelse groep naar de Noorse wiskundige
Niels Abel (1802-1829).
2. De vier uitspraken van de definitie noemt men de groepsaxioma's.
3. Als V, * een groep is en als een deelverzameling W van V voor de bewerking * ook een
groep vormt dan noemen we W, * een deelgroep van V,
4. Men kan de vier groepsaxioma's onthouden door het woord IANS:
I
inwendig en overal gedefinieerd
A
associatief
N
neutraal element
S
symmetrische elementen.
4.2
Voorbeelden van commutatieve groepen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
De commutatieve groep Z, +
De commutatieve groep Q, +
De commutatieve groep R, +
De commutatieve groep Q0, .
De commutatieve groep R[x], +
De commutatieve groep R x R, +
De commutatieve groep Z x Z, +
De commutatieve groep Q x Q, +.
5.
Het veld R, + , .
5.1
Definitie
We weten dat:
R, + is een commutatieve groep met neutraal element 0.
R0, . is een commutatieve groep.
Bovendien weten we ook nog dat:
in R de vermenigvuldiging distributief is t.o.v. de optelling.
Met symbolen:
 a, b, c  R: a . (b + c) = a . b + a . c
 a, b, c  R: (b + c) . a = b . a + c . a
We vatten al deze inlichtingen over R samen door te zeggen:
R, +, . is een veld
Definitie:
R, +, . is een veld
1.
2.
3.
R,+ is een commutatieve groep met neutraal element 0.
R0, . is een commutatieve groep.
In R is de vermenigvuldiging distributief t.o.v. de optelling.
5.2
Eigenschappen van het veld R, +, .
1.
Eigenschappen van gelijkheden
Reflexiviteit:  a  R :
a=a
Symmetrie:  a, b  R : a = b  b = a
Transitiviteit:  a, b, c  R: a = b  b = c  a = c
Het symbool  staat voor "en".
De uitspraakvorm a = b  b = c is een voorbeeld van een conjunctie.
Een conjunctie geeft een ware uitspraak enkel en alleen indien de beide deeluitspraakvormen,
hier a = b en b = c, ware uitspraken geven.
2.
Verenigbaarheid van de gelijkheid met de hoofdbewerkingen
 a, b, m  R:
a=b a+m=b+m
Als men bij beide leden van een gelijkheid in R een zelfde getal optelt of van beide leden een
zelfde getal aftrekt, dan krijgt men een gelijkheid met dezelfde waarheidswaarde.
 a, b  R:  m  R0:
a=b a.m=b.m
Als men beide leden van een gelijkheid in IR met een zelfde van nul verschillend getal
vermenigvuldigt of door een zelfde van nul verschillend getal deelt, dan krijgt men een
gelijkheid met dezelfde waarheidswaarde.
Uit deze eigenschappen volgen de regels voor het overbrengen van een term, een factor of een
deler.
3.
Bewerkingen met twee gelijkheden
 a, b, c, d  R:
 a, b, c, d  R:
 a, b, c, d  R:
 a, b  R: c, d  R0:
a=bc=d
a=bc=d
a=bc=d
a=bc=d
=>
=>
=>
=>
a+c=b+d
a-c=b-d
a.c=b.d
a:c=b:d
Door in R twee ware gelijkheden lid aan lid op te tellen, af te trekken, vermenigvuldigen, of te
delen, krijgt men een ware gelijkheid.
Hierbij is natuurlijk delen door nul uitgesloten.
4.
Som maal getal
 a, b, m  R: (a + b) . m = a . m + b . m
Om in R een som met een getal te vermenigvuldigen mag men elke term van de som met dit
getal vermenigvuldigen. Vervolgens telt men de verkregen produkten op.
5.
Produkt maal getal
 a, b, c, m  R: (a . b . c) . m = a . (b . m) . c
Om in R een produkt met een getal te vermenigvuldigen mag men één factor (naar keuze) van
dit produkt met dit getal vermenigvuldigen. Vervolgens vermenigvuldigt men het verkregen
produkt met de andere factoren.
6.
Som maal som
 a, b, c, d  R : (a + b) . (c + d) = a . c + a . d + b . c + b . d
Om in R een som met een som te vermenigvuldigen mag men elke term van de ene som
vermenigvuldigen met elke term van de andere som en daarna de verkregen produkten
optellen.
7.
Som delen door getal
 a, b  R:  m R0: (a + b) . m = a . m + b . m
Om in R een som te delen door een getal mag men elke term van de som delen door dit getal.
Vervolgens telt men de verkregen quotiënten op.
8.
Produkt delen door getal
 a, b, c  R:  m  R0: (a . b . c) : m = a . (b : m) . c
Om in R een produkt te delen door een getal mag men één factor (naar keuze) delen door dit
getal. Vervolgens vermenigvuldigt men het verkregen quotiënt met de andere factoren.
9.
Getal delen door produkt
 m  R:  a, b  R0: m : (a . b) = (m : a) : b
Om in R een getal te delen door een produkt mag men eerst dit getal delen door één der
factoren en daarna het verkregen quotiënt door de andere factor.
10.
Merkwaardige produkten
a.
 a, b R : (a + b) . (a - b) = a² - b²
Van links naar rechts:
In R is het produkt van de som en het verschil van twee getallen gelijk aan het verschil van
hun kwadraten.
Van rechts naar links:
In R is het verschil van twee kwadraten gelijk aan het produkt van de som en het verschil van
hun grondtallen.
b.
 a, b  R: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Van links naar rechts:
In R is het kwadraat van een tweeterm gelijk aan de som van de volgende termen:
1.
2.
3.
het kwadraat van de eerste term,
het dubbel produkt van beide termen,
het kwadraat van de tweede term.
Van rechts naar links:
Een drieterm in R waarvan twee termen kwadraten zijn en de overige term het dubbel produkt
is van de grondtallen van die kwadraten, is gelijk aan het kwadraat van de som van die
grondtallen.
5.3
Produkt gelijk aan nul, produkt verschillend van nul
Wanneer is in het veld R, +, . een produkt gelijk aan nul is en wanneer niet ?
 a, b  R: a b = 0  a = 0  b = 0
 a, b  R: a b  0  a  0  b  0
Het symbool  staat voor "of'.
De uitspraakvorm a = 0  b = 0 is een voorbeeld van een disjunctie.
De disjunctie a = 0  b = 0 geeft een ware uitspraak enkel en alleen indien geldt:
a = 0 waar, of b = 0 waar, of beide waar.
Het symbool  staat voor "en". De uitspraakvorm a  0  b  0 is opnieuw een voorbeeld van
een conjunctie.
Met woorden:
In R is een produkt nul enkel en alleen indien ten minste één der factoren nul is.
In R is een produkt verschillend van nul enkel en alleen indien elke factor verschillend van
nul is.
5.4
Het kwadrateren van een gelijkheid in R en in R+
 a, b  R: a = b => a² = b²
in R
Met woorden:
Als men in R belde leden van een ware gelijkheid kwadrateert dan krijgt men opnieuw een
ware gelijkheid.
Let op: bij deze eigenschap heeft men enkel de implicatie
 a, b  R+: a = b  a² = b²
in R+
In R+ krijgen we echter wel de gelijkwaardigheid (de equivalentie):
Met woorden:
Als men in R+ beide leden van een gelijkheid kwadrateert dan krijgt men een gelijkheid met
dezelfde waarheidswaarde.
5.5
De vierkantsworteltrekking uit een gelijkheid in R+
 a, b  R+: a = b  a = b
Met woorden:
Als men in R+ uit beide leden van een gelijkheid de positieve vierkantswortel trekt dan krijgt
men een gelijkheid met dezelfde waarheidswaarde.
6
Intervallen in R
6.1
Gesloten intervallen
Gegeven: A = (x  R  2  x  4)
De verzameling A kan je op de getallenas voorstellen.
a
.
0
.
1
.
2
b
.
3
.
4
>
R
De grafiek van de verzameling A is het gesloten lijnstuk [ab].
Elk punt van het gesloten lijnstuk [ab] heeft als abscis juist één reëel getal dat behoort tot de
verzameling A en elk element van A is de abscis van juist één punt van [ab].
Overeenkomstig met de notatie van het gesloten lijnstuk [ab we de verzameling A nu ook
met de abscissen van de grenspunten a en b.
We bekomen: A = [2,4].
We noemen de verzameling A = [2,4] een gesloten interval.
2 en 4 zijn de grenzen van het gesloten interval [2,4].
Afspraken
- Bij de notatie van een interval schrijf je eerst de kleinste grens, gevolgd door de grootste.
- Wanneer de grenzen tot het interval behoren, duid je dit op de getallenas aan met .
6.2
Open intervallen
Gegeven: B = {x R  2 < x < 4}
De verzameling B kan je op de getallenas voorstellen.
a
.
0
.
1

2
b
.
3
.
4
>
R
We noemen de verzameling B een open interval en noteren B = ]2,4[.
Bij een open interval worden de grenzen net niet bereikt.
De grafiek van de verzameling B is het open lijnstuk ]ab[.
Afspraak
Wanneer de grenzen niet tot het interval behoren, duid je dit op de getallenas aan met o.
6.3
Halfopen intervallen
Gegeven: C = {x R  2  x < 4}
De verzameling C kan je op de getallenas voorstellen
We noemen de verzameling C een halfopen interval en noteren C = [2,4[.
Bij een halfopen interval wordt één van de grenzen bereikt, de andere grens wordt net niet
bereikt.
De grafiek van C is het halfopen lijnstuk [ab[.
a
.
0
.
1
.
2
b
.
3
>

4
R