limiet - Educatief

Mark De Feyter
Filip Geeurickx
Jan Thoelen
Roger Van Nieuwenhuyze
bewerkt voor het
door
Wendy Luyckx
Bob Roefs
Cartoons
Dave Vanroye
van
b asis
tot
limiet
werkboek
Getallenleer
1
2
voorw oord
2
179 7
9
ISBN: 978 90 8661 876
0147/2006/118
Kon. Bib.: 0147/2007/169
0000
Bestelnr.: 94 303 0002
NUR: 126
Copyright by die Keure Brugge
Dit boek bestaat uit
3 grote delen. Elk deel is
onderverdeeld in kleinere
paragrafen.
De
moeilijkste oefeningen
De volgende
zijn
in het blauw
handige
gedrukt.
pictogrammen gebruiken we in
het leerboek:
Elk hoofdstuk eindigt met
een samenvatting waarin
duidelijk wordt gemaakt wat
je moet kennen en kunnen,
zodat je de oefeningen en
de volgende hoofdstukken
probleemloos kunt
aanpakken.
1
3
Dit is leerstof die je én goed
in je hoofd moet prenten
én moet onthouden. Alle
definities vind je op een rode
achtergrond, eigenschappen
en stellingen op een groene.
Bij het lampje vind je de
herkomst van wiskundige
woorden of symbolen.
N.V.Keure,
die Keure,
Verantwoordelijke uitgever: die
Oude Gentweg
108 - 8000
Brugge
- België
- Kleine
Pathoekeweg
3 - 8000
Brugge
- België
H.R. Brugge 12.225
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of
openbaar gemaakt worden door middel van druk,
fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de
uitgever.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
without written permission from the publisher.
3
van
basis
tot
limiet
4
6
De schrijvers
wiskunde die
vanwe
ditvandaag
boek
kennen is
wensen
je het
veelresultaat
plezier met
van
een vak
het
eeuwenlang
wiskunde.groeiproces. Onder de wereldbol vind
je meer informatie over belangrijke historische figuren
en staan ook leuke anekdotes vermeld.
Geen wiskunde zonder
computer. Als computerprogramma’s kunnen
helpen,
Na ieder leerstofonderdeel
vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in
het blauw gedrukt.
zie je dit pictogram. Veel
meer over het gebruik
van ICT vind je in het ‘ICT
practicumboek 5 Computer’ .
Om iets gemakkelijk terug
te vinden kun je terecht in
het trefwoordenregister
achteraan in het boek. Deze
woorden staan ook voor de
kantlijn afgedrukt, op de
plaats waar ze het eerst
gebruikt worden.
5
Het grafische rekentoestel is
een onmisbaar hulpmiddel
geworden. Telkens dit
toestel hulp kan bieden, vind
je dit icoontje in de kantlijn.
Veel meer over het gebruik
van het grafische rekentoestel vind je in het speciale
‘ICT practicumboek 5
TI-83(Plus)’.
Achteraan in het boek staat
een trefwoordenlijst. Om
het gemakkelijker te maken
zijn deze woorden cursief in
de kantlijn gedrukt, telkens
zij voor het eerst gebruikt
worden.
De schrijvers van dit boek
wensen je veel plezier met
het vak wiskunde op je
nieuwe school.
4
Welkom in de wondere wereld van de
wiskunde.
We hebben ons best gedaan om dit
leerboek aantrekkelijk en prettig te
maken, met veel tekeningen en foto’s.
Ook jij zal creatief moeten zijn: een
passer, geodriehoek en rekentoestel hou
je dus best in de buurt.
We hopen dat je er klaar voor bent en dat
je er veel plezier aan beleeft.
Het is net als een vliegtuig: ready for
take-off!!
© Carlos F.
5
van
inhoud
De
wondere wereld
der getallen > 8
1
Natuurlijke getallen > 15
Gehele getallen > 23
2
Rationale getallen > 103
3
basis
tot
limiet
6
Uitslagen
Standard – Moes
koren
Westerlo – St.-tr
uiden
Beveren – Zulte
Waregem
Lierse – Lokeren
RC Genk – SC Ch
arleroi
AA Gent – Club Br
ugge
G. Beerschot – FC
Brussels
Roeselare – Berg
en
Cercle Brugge –
Anderlecht
1-1
4-1
0-0
3-0
4-0
1-0
3-1
1-1
1-1
STAND
1.Anderlecht
2.Standard
3. Club Brugge
4.AA Gent
6 17
6 17
6 15
5. Racing Genk
6. Zult-Warege
m
7. G. Beerscho
t
8. Lokeren
9.Westerlo
10. FC Brussels
11. Charleroi
12. Roeselare
13. Cercle Brug
ge
14. Moeskroen
15.St.-Truiden
16.Beveren
17. Lierse
18.Bergen
6 14
6 13
6 12
6 11
6 11
6 10
6 10
6
9
6
9
6
8
6
7
6
5
6
4
6
2
6
0
7
De wondere wereld
der getallen
Intro
8
1 ) Getallen kom je overal tegen
Lb
Wb
Lwb
8
8
8
Lb
Wb
Lwb
8
8
8
1Maak zelf een collage van krantenartikels, publiciteitsfolders … waarin heel wat getallen
voorkomen.
2Sommige getallen zijn een beetje “anders” dan de andere. Kun je ontdekken welke drie soorten ­getallen je tegenkomt op bladzijde 6?
__________________________________________________________________________________________________________
• natuurlijke getallen
________________________________________________________________________________________________________________
• negatieve getallen
________________________________________________________________________________________________________________
• decimale getallen (of kommagetallen)
2 ) Wiskundige tweelingen
Lb
Wb
Lwb
8
8
9
3 Spoor alle tweelingen tot 100 op.
3 ) Heel wat vieren
Lb
Wb
Lwb
9
8
9
4 Schrijf nu ook de getallen 0, 12, 15 en 17 volgens dezelfde methode.
4−4
4
4
4
________________________________________________________________________________________________________________
0=
·4
15 = 4 · 4 −
________________________________________________________________________________________________________________


4
4
4
4
________________________________________________________________________________________________________________
12 = 4 ·  4 − 
17 = 4 · 4 +
________________________________________________________________________________________________________________
4 ) Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen
Lb
Wb
Lwb
10
8
10
5 Teken het eerstvolgende driehoeksgetal, vierkantsgetal en vijfhoekig getal.
1
3
15
10
6
n ·5( n + 1) : 2
1
1
4
9
Lb
Wb
Lwb
10
8
10
16
12
25
22
35
n · ( n − 1) + n · ( n + 1) : 2
n2
6Schrijf nu de volgende vijf driehoeksgetallen op. Doe dit niet door te tekenen, maar wel door te
­redeneren.
15, 21, 28, 36, 45
________________________________________________________________________________________________________________
De wondere wereld der getallen
9
Zoek dan ook de vijf volgende vierkantsgetallen en vijfhoekige getallen.
25, 36, 49, 64, 81
(= vierkantsgetallen)
________________________________________________________________________________________________________________
35, 51, 70, 92, 117
(= vijfhoekige getallen)
________________________________________________________________________________________________________________
6 ) Ons talstelsel
Lb
Wb
Lwb
16
9
17
7 Bepaal in het tiendelig stelsel:
a het kleinste getal dat uit 1 cijfer bestaat;
0
___________________________________________________________________________________________________________
b het kleinste getal dat uit 3 verschillende cijfers bestaat;
102
___________________________________________________________________________________________________________
c het grootste oneven getal dat uit 3 verschillende cijfers bestaat;
987
___________________________________________________________________________________________________________
d het grootste even getal dat uit 5 cijfers bestaat;
99998
___________________________________________________________________________________________________________
e het grootste even getal dat uit 5 verschillende cijfers bestaat;
98764
___________________________________________________________________________________________________________
f het kleinste en grootste even getal dat uit de cijfers 7, 8 en 9 bestaat.
kleinste = 798
grootste = 978
___________________________________________________________________________________________________________
Lb
Wb
Lwb
16
9
17
8 Noteer het grootste en het kleinste getal dat je kunt vormen met 3 cijfers.
Hoeveel getallen van 3 cijfers zijn er?
________________________________________________________________________________________________________________
Grootste getal = 999
Kleinste getal = 100
________________________________________________________________________________________________________________
Er zijn 900 getallen van 3 cijfers.
________________________________________________________________________________________________________________
Lb
Wb
Lwb
16
9
17
Lb
Wb
Lwb
16
9
17
9 Nemen we het getal 20 846 531.
0 miljoengetallen
a Wat stelt het cijfer 0 voor? ___________________________________________________
5 honderdtallen
b Wat stelt het cijfer 5 voor? ___________________________________________________
6 duizendtallen
c Wat stelt het cijfer 6 voor?_ __________________________________________________
1 eenheid
d Wat stelt het cijfer 1 voor?_ __________________________________________________
10 Beschouw het getal 23 485.
a Vul aan: 2
3 485 = 2 TD + 3 D + 4 H + 8 T + 5 E
23 485 = 2 . 10 000 + 3 . 1000 + 4 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1
10
4 honderdtallen
b Wat stelt het cijfer 4 voor? ___________________________________________________________________________
2 tienduizendtallen
c Wat stelt het cijfer 2 voor?____________________________________________________________________________
Lb
Wb
Lwb
16
10
18
Lb
Wb
Lwb
16
10
18
Lb
Wb
Lwb
16
10
18
11 Vul de tabel aan:
aantal E
aantal H
aantal D
2375
5
3
2
47
7
0
0
845
5
8
0
12 Bereken:
a 3H+7H=1D
b 5 T + 8 T = 130 E
c 14 H + 9 H = 230 T
13 Schrijf het getal dat hieronder in woorden gegeven is.
a vierduizend achthonderd en twee 4802
b zevenhonderd éénentachtig duizend vierhonderd tweeënveertig 781 442
c drie miljard achthonderd en twee duizend zevenhonderd en vier 3 000 802 704
d dertien triljoen zevenhonderd achtien biljard driehonderd en twaalf miljoen zestigduizend
­achthonderd zestien Lb
Wb
Lwb
16
10
18
Lb
Wb
Lwb
16
10
18
Lb
Wb
Lwb
16
10
18
Lb
Wb
Lwb
17
10
18
13 718 000 000 312 060 816
14Schrijf het getal in cijfers, dat bestaat uit 4 duizendtallen, 8 eenheden, 2 tientallen en 5 honderd
tallen. 4528
15 In het getal 8425 plaatst men een 6 tussen de 4 en de 2. Met hoeveel verhoogt de waarde?
met 76 200
16We zoeken een getal dat kleiner is dan 1000. Het cijfer van de honderdtallen is het dubbel van het
cijfer van de tientallen. Het cijfer van de eenheden is 5. Als je alle cijfers optelt, heb je 17. Welk
getal is dit?
845
17Het nummeren van de pagina’s van een woordenboek vergt 426 cijfers. Hoeveel bladzijden
telt het?
178 bladzijden
De wondere wereld der getallen
11
•
•
•
Lb
Wb
Lwb
17
11
19
18Hoelang zal het duren om tot 1 miljoen te tellen, in de veronderstelling dat men gedurende 12
uren per dag elke seconde één getal telt?
12 uur is 60 · 60 · 12 of 43 200 
1 000 000
geeft als quotiënt
4 3 200
23 en rest 6400
640
0 0  = 3600 + 27760 + 40
= 1 uur + 46 min + 40 sec
Lb
Wb
Lwb
17
11
19
Men heeft dan 23 dagen, 1 uur, 46 minuten en 40 seconden nodig.
19 Het Romeinse talstelsel.
a Zet om in ons tiendelig talstelsel:
MDCLIII 1653
XXLI Gaat niet
MM 2000
CLIX 159
b Zet om in het Romeinse talstelsel:
34 X X XI V 159 CLIX
2001 M MI
555 D L V
c In een oud boek staat het volgende genoteerd: MDCCCXXII
In welk jaar werd dit boek uitgegeven? Lb
Wb
Lwb
17
11
19
1822
20 Het binair stelsel:
a Zet de eerste twintig getallen om in het binair talstelsel.
:2
:2
___________________________________________________________________________________________________________
0
1
1
2
O
1
I
O
010 = O2
110 = I2
210 = IO2
___________________________________________________________________________________________________________
rest
rest
___________________________________________________________________________________________________________
:2
:2
:2
___________________________________________________________________________________________________________
1
3
1
2
4
1
2
5
I
I
I
O
O
I
O
I
310 = II2
410 = IOO2
510 = IOI2
___________________________________________________________________________________________________________
rest
rest
rest
___________________________________________________________________________________________________________
:2
:2
___________________________________________________________________________________________________________
1
3
6
6 = IIO
1
3
7
1
7 = III
2
4
8
8 = IOOO2
10
2
10
2
10
rest
rest
rest
___________________________________________________________________________________________________________
I
I
I
O
I
I
I
O
O
O
___________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________
1
2
4
9
9 = IOOI
1
2
5
10
10 = IOIO
10
2
10
2
rest
rest
___________________________________________________________________________________________________________
I
O
O
I
I
O
I
O
___________________________________________________________________________________________________________
12
1
2
5
I
O
I
1
3
7
I
I
I
11
rest
I
14
rest
0
1
1110 = IOII2
1410 = IIIO2
3
6
I
I
O
1
3
7
I
I
I
1
2
4
12
rest
0
15
rest
I
1
1210 = IIOO2
1510 = IIII2
3
6
I
I
O
1
2
4
13
rest
I
8
I
O
O
O
1
2
4
9
1310 = IIOI2
16
rest
0
1610 = IOOOO2
1
2
4
8
I
O
O
O
1
2
5
10
I
O
I
O
17
1710 = IOOOI2
rest
I
I
20
O
9
O
I
0
2, 4, 8, 16
2 = 21
20
I
I
4 = 22
8 = 23
16 = 24
c Zet om van het tientallig naar het binair stelsel:
32 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
32
O
3210 = IOOOOO2
33 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
33
I
3310 = IOOOOI2
64 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
32
O
64
O
6410 = IOOOOOO2
66 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
33
I
66
O
6610 = IOOOOIO2
128 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
32
O
64
O
128
O
12810 = IOOOOOOO2
131 1
I
2
O
4
O
8
O
16
O
32
O
65
I
131
I
103110 = IOOOOOII2
1
2
4
8
16
32
O
64
O
129
I
IOOIOI 12
O
Telkens een macht van twee.
O
O
O
O
1 032 I
d Zet om naar ons tiendelig stelsel
17
O
b Omcirkel de getallen, telkens er in het binair stelsel een cijfer bijkomt. Wat merk je?
Lwb
I
19
rest
Wb
0
1810 = IOOIO2
2010 = IOIOO2
rest
Lb
18
rest
37
(32 + 4 + 1)
258
O
516
O
1032
O
IIIOOOI 113
(64 + 32 + 16 + 1)
IOOOI 17
(16 + 1)
IIIIIOII 251
(128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1)
IIOOOOIOII 779
(512 + 256 + 8 + 2 + 1)
103210 = IOOOOOOIOOO2
21 Schrijf telkens in het tientallig stelsel het getal dat volgt op het gegeven getal.
a 19 20
e 999 1000
b 3939 3940
f 10 11
c 99 100
g
1000 1001
d 199 200
h
1011 1012
1910 = IOOII2
De wondere wereld der getallen
13
Lb
Wb
Lwb
17
13
21
Lb
Wb
Lwb
17
13
21
Lb
Wb
Lwb
17
13
21
Lb
Wb
Lwb
17
13
21
Lb
Wb
Lwb
17
13
21
22 Schrijf telkens de opvolger van de volgende getallen in het binair stelsel.
a IOIO IOII
d III IOOO
b IIOI IIIO
e IOIOII IOIIOO
c IOII IIOO
f IIOOIII IIOIOOO
23 Schrijf telkens in het tientallig stelsel het voorafgaande getal van het gegeven getal.
a 20 19
e 10 000 9999
b 200 199
f 12 000 11 999
c 2900 2899
g
1010 1009
d 10 300 10299
h
1100 1099
24 Schrijf telkens het voorafgaande getal in het binair stelsel.
a IIII III0
dIIOOIOOI IIOOIOOO
b IOIO IOOI
eIOOO III
c IOOO III
fIO I
25 Je zou nu zelf willen werken in een vijfdelig talstelsel.
a Welke symbolen gebruik je? 0    1    2    3    4
b Waarom zou je het symbool 7 niet gebruiken? c Wat is het grootste getal met 3 cijfers in het vijfdelig talstelsel? d Herlees de vraag en je antwoord bij 20b. Wanneer zal er in het vijfdelig stelsel een cijfer bij
Niet logisch.
het getal bijkomen? Bij elke volgende macht van 5.
444
26Op reis doorheen Mexico kom je een machtig mooie Mayatempel
tegen. Je ziet volgende ­symbolen in de muren gekrast.
Kan je ze ontcijferen?
6 ⋅ 20
= 121
1
2 ⋅ 20
= 42
2⋅1
11 ⋅ 360
7 ⋅ 20
16
= 4116
14
15
Natuurlijke getallen
1.1
Even kennismaken > 16
1.2
Coördinaten > 18
1
16
Even kennismaken
1.1
Lb
Wb
Lwb
24
16
28
1Op de getallenassen hebben we reeds enkele getallen geplaatst. Bepaal telkens de waarde van a, b en c.
0 1
b a
c
a
a
0 1
13
↓
Wb
Lwb
24
16
28
↓
c
c10
52
↓
26
4c
52
c
a
13
b
c
0
Lb
↓ ↓
b5 a6
b
↓
65
4
b
c
d
b 28 a
122
122
183
c
↓ ↓ b
b
2428 a32
183
b
↓
↓a
c44
a
↓ 366
↓
61
305
2 Plaats de getallen op de getallenas. Zorg zelf eerst voor een goede verdeling en plaats de pijlpunt op
de as.
a Plaats 81 op de volgende getallenas:
79
81
89
b Plaats de getallen 14 en 17 op de volgende getallenas:
22
17
15
14
Lb
Wb
Lwb
24
16
28
3Hieronder vind je enkele uitspraken. Als de uitspraak waar is, omcirkel dan de letter die erachter staat.
Met alle juiste letters kun je een wiskundig woord vormen.
a 6 Õ 14
(T)
f 4687 Õ 6478
(O)
b 14 = 6
(V)
g 56 æ 65
(A)
c 2002 Π1001
(J)
h 66 Æ 66
(R)
d 3444 Æ 4333
(N)
i 2134 Õ 4312
(L)
(E)
j 12 111 Õ 12 211 (I)
e 10 001 Π1111
Lb
Wb
Lwb
24
16
28
4 Rangschik volgende getallen van groot naar klein:
a 3939; 9339; 3993; 9393; 3399; 9933
b 10 011; 10 101; 11 001; 11 011; 10 111; 11 100
9933  9393  9339  3993  3939  3399
11 100  11 011  11 001  10 111  10 101  10 011
c 12 479; 12 749; 12 947; 12 974; 12 497
12 974  12947  12 749  12 497  12 479
TRILJOEN
Deel 1
Natuurlijke getallen
17
Lb
Wb
Lwb
24
17
29
5 Rangschik volgende getallen van klein naar groot:
a 831; 838; 883; 813; 888
b 60 491; 96 410; 90 146; 40 916; 94 610; 61 904
Wb
Lwb
24
17
19
Lb
Wb
Lwb
24
17
29
Lb
Wb
Lwb
24
17
29
Lb
Wb
Lwb
24
17
29
40 916  60 491  61 904  90 146  94 610  96 410
c 82 822; 82 282; 88 222; 82 228; 28 822; 22 882
Lb
813  831  838  883  888
22 882  28 822  82 228  82 282  82 822  88 222
6Welke natuurlijke getallen x voldoen aan de volgende uitspraken?
a x Œ 15 16, 17, 18, …
b xÆ9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
c 3 Õ x Õ 10 4, 5, 6, 7, 8, 9
d 3 Æ x Æ 10 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
e 2ÆxÆ6
2, 3, 4, 5, 6
f
g x–1Œ5
7, 8, 9, 10, …
h 7–xŒ2
0, 1, 2, 3 en 4
x + 2 Æ 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8
7Orde heerst niet alleen in de wiskunde, maar ook in kranten en in tijdschriften kan je deze
­rekenkundige orde terugvinden. Maak een collage van voorbeelden uit het dagelijkse leven waar
het wiskundige begrip orde niet weg te denken is.
8 Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming.
a {x C N | x Õ 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6}
b {x C 2N | x æ 21} = {22, 24, 26, 28, 30, … }
c {x C 2N + 1 | 20 Õ x Õ 40} = {21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39}
d {x C 7N | x æ 700} = {700, 707, 714, 721, … }
e {x C 2N | x C del 24} = {2, 4, 6, 8, 12, 24 }
9 Bepaal de volgende verzamelingen door omschrijving.
a {1, 3, 5, 7, 9, 11} = {x C 2N + 1| x  11}
b {36, 39, 42, 45, 48} = {x C 3N | 33 < x  48}
c {99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, …} = {x C 9N + 1| x  95}
d {1, 2, 3, 6, 9, 18} = {x C N + 1| x C del 18}
e {11, 12, 13, 14, …} = {x C N + 1| x  10}
18
Coördinaten
1.2
Lb
Wb
29
18
Lwb 1 Noteer de coördinaten van de punten in het volgende assenstelsel.
N
34
F (3, 8)
8
7
6 G (0, 6)
E (7, 6)
B (10, 5)
5
A (4, 4)
4
3
2
Lb
Wb
Lwb
29
18
34
L (14, 2)
H (1, 2)
I (2, 1)
1
K (13, 6)
0 J (0, 0)
0 1 2
3
C (16, 1)
4
5
6
7
D (8, 0)
M (12, 0)
8 9 10 11 12 13 14 15 16
N
2 Stel de volgende punten voor in een (x, y) assenstelsel.
A (4, 0)B (5, 2)
C (3, 3)
D (1, 5)E (7, 0)
F (0, 4)
N
7
6
5
D
4 F
C
3
B
2
1
0
0 1
Lb
Wb
Lwb
29
18
34
2
3
A
4 5
6
E
7 8
9 10
N
3De punten van volgende oefeningen liggen telkens speciaal. Stel ze voor in een (x, y)
­assenstelsel en verklaar.
a A(4,0)B (2,0)
C (0,0)
D (11,0)
2
Alle punten liggen op de (horizontale) x-as.
1
0 C
0
1
B
2
3
A
4
5
6
7
8
9
10
D
11
Deel 1
Natuurlijke getallen
19
b P(0,5)
Q (0,11)
R (0,2)S (0,8)
11 Q
10
9
8 S
7
Alle punten liggen
op de (verticale) y-as.
6
5 P
4
3
2 R
1
0
0
1
2
3
c K(2,2)
L (3,3)
M (5,5)
N (7,7)
N
7
6
M
5
Alle punten liggen op een symmetrieas
van de x-as en de y-as.
4
L
3
K
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
20
d F(2,1)
G (5,2)H (4,5)I (1,4)
H
5
De punten vormen de
hoekpunten van een
vierkant.
I
4
3
G
2
F
1
0
0
Lb
Wb
Lwb
29
20
36
1
2
3
4
5
4Dorien heeft een fietscomputertje gekocht. Ze is er zo blij mee, dat ze onmiddellijk gaat fietsen. Na
elke tien minuten noteert ze de stand van haar kilometerteller.
Tijd in minuten
Afstand in km
10
20
30
40
50
60
70
3
6
9
12
12
15
18
aTeken een assenstelsel en vermeld horizontaal de tijd en verticaal de afstand. Teken de
grafiek (Mag je de punten verbinden?). Je mag de punten verbinden.
afstand
(km)
18
15
12
9
6
3
tijd
(min)
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Deel 1
Natuurlijke getallen
21
b Mag je ook het punt (0, 0) aanduiden? Verklaar.
Ja want na 0 min. heeft ze 0 km afgelegd.
cWat is er na 40 minuten met Dorien gebeurd?
Ze heeft 10 min gerust / stilgestaan.
y
5Een kangoeroe maakt sprongen van grootte 1 in het eerste
kwadrant. Hij begint in de oorsprong (0, 0) en springt naar het
3
punt (1, 0); daarna naar (1, 1); (0, 1); (0, 2); (1, 2); enzovoort.
2
Naar welk punt springt de kangoeroe in zijn 120e sprong?
1
0
Lb
Wb
Lwb
A (1, 11)B (2, 10)
29
21
37
na   2
(1, 1)
   6
(2, 2)
  12
(3, 3)
  20
(4, 4)
  30
(5, 5)
  42
(6, 6)
  56
(7, 7)
  72
(8, 8)
  90
(9,9)
110
(10, 10)
120
(10, 0)
C (10, 0)
1 2
3
D (10, 11)E (11, 11)
x
22
23
Gehele Getallen
Even kennismaken > 24
2.1
2.2
2
Hoofdbewerkingen > 30
Eigenschappen van
hoofdbewerkingen > 43
2.3
Machten en
vierkantswortels > 52
2.4 2.5
Volgorde van bewerkingen > 57
2.6
Rekenen met lettervormen > 62
Vergelijkingen en
vraagstukken > 72
2.7 2.8
Coördinaten > 75
2.9
Opgaande en nietopgaande deling > 78
2.10
Deelbaarheid in N > 85
2.11
GGD en KGV > 92
24
Even kennismaken
2.1
Lb
Wb
Lwb
35
24
43
1 Wat betekenen de woorden positief en negatief in de volgende zinnen?
a De voetbalclub AA GENT eindigde de competitie met een negatief doelsaldo.
Ze hebben meer doelpunten binnengelaten, dan zelf gemaakt.
bBokser Mohammed Ali kwam na zijn nederlaag vrij vlug bij zijn positieven.
Hij kwam snel bij bewustzijn.
c Dat is een leerlinge met een negatieve ingesteldheid.
Ze heeft een houding waar niets uit voortkomt …
dHet voorstel van de leerlingen om een snoepwinkel te starten op school werd positief onthaald bij de directie.
De directie vond het een goed idee, het voorstel is aangenomen.
e De heer Vandersmissen heeft een negatief saldo op zijn bankrekening.
Hij staat in het rood. Hij heeft een schuld.
fHarry hield het negatief van zijn filmrolletje bij.
Lb
Wb
Lwb
36
24
44
De originele film bijhouden.
2 Op een frisse winterdag noteren we in enkele wereldsteden de volgende temperaturen:
TEMPERATUREN OP 6 JANUARI (in°C)
Amsterdam:
6
Brussel:
8
Boedapest:
–7
Helsinki:
–13
Kopenhagen:
–11
Moskou:
–15
Praag:
–4
Tenerife:
19
aSchrijf de steden op, gerangschikt van koud naar warm.
Moskou, Helsinki, Kopenhagen, Boedapest, Praag, Amsterdam,
Brussel, Tenerife
bIn welke steden is het kouder dan –5 °C?
Boedapest, Helsinki, Kopenhagen, Moskou
Deel 2
Gehele getallen
25
Lb
Wb
36
25
Lwb 44
3 Rangschik de volgende getallen van groot naar klein.
a 396, 693, –396, –936, –639, –369
b 1212, –1221, –1122, 1221, –1212, –2121, –2112
Lb
Wb
Lwb
36
25
44
693  396  – 369  – 396  –639  –936
1221  1212  –1122  –1212  –1221  –2112  –2121
4 Vul aan met de woorden positief, negatief of nul.
positief
aAls het niet vriest, dan is de temperatuur
bVan plaatsen die boven het zeeniveau liggen, wordt de hoogte aangegeven met een
positief
.
getal.
positief
cBart had 500 euro op zijn bankrekening. Dat is een
dBart geeft meer uit dan het geld dat hij op de bank staan heeft. Zijn saldo is na de verrichting
saldo.
negatief
eHet is 5 graad Celsius onder nul. De thermometer geeft een
fDe verdiepingen onder de begane grond worden in een appartement aangeduid met een
negatief
Lb
Wb
Lwb
36
25
45
Lb
Wb
Lwb
36
25
45
negatief
getal.
gEr bestaat een getal dat positief en negatief is, namelijk
5 Vul aan met Õ of Œ.
a –6      7
f 14      41
b 6      –7
g 16      –16
c 1      –14
h –12      0
d 0      7
i –481      –184
e –15      –51
j –841      –481
6 Vul in met C of Ç.
a 5   C   Z
f –3   Ç   Z+
b 5   C   Z+
c –3   C   Z
g 12   Ç   Z–0
d –3   C   Z–
e 5   Ç   Z–
h –12   C   Z–0
i –1   Ç   Z+0
j –1   C   Z–0
nul.
getal aan.
26
Lb
Wb
Lwb
36
26
45
7 Vul in met ⊂, ⊄ of = .
b Z+   ⊂   Z
g Z–   ⊄   N
c Z0   ⊂   Z
h Z–0   ⊂   Z
e Z   ⊄   Z0
j Z–   ⊂   Z
Wb
Lwb
37
26
45
Lb
Wb
Lwb
37
26
45
Lb
Wb
Lwb
37
26
46
Lb
Wb
Lwb
37
26
46
N0   ⊄   Z–
a
Lb
N   ⊂   Z
f
d Z+0   ⊂   Z
i Z0   ⊄   N0
8 Geef van elk van de volgende gehele getallen het tegengestelde:
a 7
–7
b –4
  4
c 6
–6
d –3
  3
e 17
–17
288
f –288
g 0
0 
h –1
1 
13 
i –13
j 33
–33
9 Schrijf de volgende getallen eenvoudiger:
a –(+7)
–7
f
–(–18)
  18
b +(+3)
  3
g –(+16)
–16
c –(–9)
  9
h +(+32)
  32
d +(–8)
–8
i
–(–5)
 5 
e –(+8)
–8
j
+(–18)
  –18
10 Vul de volgende waarden aan.
5 
aI–5I =
bI165I =
165
cI–21I =
21
dI1I =
1
eI0I =
f
–I–8I =
0
–8
g –I13I =
–13
h –|4–3I =
–1
11Duid de volgende gehele getallen (en alleen deze) aan op een getallenas. Gebruik als afstand
tussen 0 en 1 een halve centimeter.
–12
–12, 13, –2, –6, 1, 0, –1, –5, 7, 5, –8, 9
–8
–6 –5
–2 –1 0
1
5
7
9
13
Ž
Deel 2
Gehele getallen
27
Lb
Wb
37
27
Lwb 46
12 Vul op volgende getallenassen de juiste getallen aan op de stippen.
a –414
Lb
Wb
Lwb
37
27
46
–407
–398
-412
–392
-397
b
–4
16
–10
–18
–24
8
13In de studio’s van een televisiestation treffen we de volgende drie klokken aan. Ze vertellen ons hoe
laat het is op sommige plaatsen in de wereld.
Brussel
New York
Tokyo
aHoe groot is het tijdsverschil tussen New York en Brussel? 6 uren
bHoe groot is het tijdsverschil tussen New York en Tokyo? 14 uren
cOmdat het in New York zes uur vroeger is dan in Brussel, is het tijdsverschil van New York met
Brussel –6 uren.
Hoe groot is het tijdsverschil van Tokyo met Brussel? Lb
Wb
Lwb
38
27
47
+ 8 uur
14 Zoals je kon merken in oefening 13 is de tijd niet overal dezelfde. Dankzij deze kaart kun je de
wereldtijden berekenen.
aBovenaan staat bij Chicago –6 en bij Tokyo +9. Wat betekenen deze getallen?
T.o.v. Greenwich (Londen) is het in Chicago 6 uur vroeger, in Tokyo 9 uur later.
28
bAls het in Brussel 15 uur is, hoe laat is het dan in Los Angeles en in Kaapstad?
Los Angles: 6 uur.Kaapstad: 16 uur.
cOm 8 uur ‘s ochtends telefoneert een zakenman in Brussel naar zijn partner
in New York. Doet hij hier goed aan?
Neen, het is daar 2 uur ‘s nachts!
d In 2008 hebben de Olympische Spelen plaats in Peking. De openingsceremonie begint om 13 uur plaatselijke tijd en wordt rechtstreeks via de televisie uitgezonden. Hoe laat is het op dat moment bij ons?
6 uur.
Z
N
Lb
Wb
Lwb
38
28
47
15 Hiernaast zie je twee verzamelingen. Vermits alle
­natuurlijke getallen ook gehele getallen zijn,
vormen zij een deelverzameling van Z.
Plaats in elk gebied 5 getallen en plaats drie puntjes als er
•0
•2
•1
•3
•4
…
oneindig veel elementen zitten in dat gebied.
Lb
Wb
Lwb
38
28
47
Lb
Wb
Lwb
38
28
48
Lb
Wb
Lwb
38
28
48
…
• –1
• –3
• –5
• –2
• –4
…
16 Vul aan met de meest passende deelverzameling van Z.
N U Z =          Z         
f Z– D Z+ =          {0}         
a
b Z U Z+0 =          Z         
g Z \ Z+0 =          Z–         
c Z–0 U Z+ =          Z         
h Z+0 \ N =                   
d Z D Z+0 =          Z+0         
i Z– \ Z+ =          Z–0         
e
N D Z+ =          N         
j
N \ Z =          Ø         
17 Vul de volgende uitspraken aan zodat je een ware uitspraak krijgt.
aKies uit Z–, Z+, Z–0 en Z+0.
bKies uit Œ, Õ en =.
∀ a C Z–: –a C    Z+     
∀ a, b C Z: a Õ b ⇒ –a            –b
∀ a C Z+0: IaI C    Z+0     
∀ a, b C Z+: a Õ b ⇒ IaI            IbI
∀ a C Z–0: IaI C    Z+0     
∀ a, b C Z–: a Õ b ⇒ IaI            IbI
∀ a C Z: –IaI C    Z–     
∀ a, b C Z–: a Õ b ⇒ –a            –b
∀ a C Z: I–aI C    Z+     
18 a Vul aan met het meest bBepaal de volgende verzamelingen
passende symbool.
door opsomming.
{x C Z | x Õ 0} =    Z0–     
{x C 2Z | x Õ 4} = {…, –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2}
{x C Z | x æ 0} =    Z+     
­ 1, 1, 2, 4, 5, 7, …}
{x C Z | x Ç 3Z} = {…, –8, –7, –5, –4, –2, –
{x C Z | x ≠ 0} =    Z0     
­ 1, 0, 1, 2, 3}
{x C Z | –9 Õ x Æ 3} = …{–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –
Deel 2
Gehele getallen
29
cBepaal volgende verzamelingen door omschrijving.
{x C 2 Z l x  –
­ 8}
{–8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …} = ­ }
{–4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5} = {x C Z l –4  x  5
{–1, –3, –5, –7, –9, –11, …} = {x C 2 Z– ­–1}
30
Hoofdbewerkingen
2.2
Lb
Wb
Lwb
45
30
55
1 Bereken de volgende sommen uit het hoofd.
a 17 + 34 = 51
d 24 + 58 = 82
b 62 + 45 = 107
e 16 + 34 + 56 = c 21 + 17 + 30 = 68
f
33 + 18 + 24 + 15 = 106
90
Lb
Wb
Lwb
45
30
55
Lb
Wb
Lwb
45
30
55
Lb
Wb
Lwb
45
30
55
2Schat het resultaat van de volgende oefeningen.
Bereken daarna de som door te cijferen en controleer nadien met je rekenmachine.
a 139 + 769 = b 16 281 + 1 438 = c 818 + 277 + 117 + 294 = 45
30
55
187 684
17 719
e 26 598 + 12 391 + 16 941 = 55 930
1506
a 195 + (–13) = 182
i
69 + (–69) = b 72 + (–13) = 59
j
–100 + (–16) = –116
c –19 + 6 = –13
k –121 + (–45) = –166
d –195 + (–13) = –208
l
(–58) + (–13) = –71
e 71 + 36 = 107
m 39 + 436 = 475
f 38 + (–79) = –41
n 196 + (–15) = 181
g 0 + (–199) = –199
o –525 + (–125) = h –199 + 0 = –199
0
–650
4In België liggen alle steden en dorpen boven de zeespiegel, maar in Nederland is dat anders. De ­gemeente Emmeloord in de Noordoostpolder ligt 5 meter onder de zeespiegel. Even verder ligt Apeldoorn, 67 meter boven de zeespiegel.
aHoe groot is het hoogteverschil tussen beide gemeenten? bDe kerk van Emmeloord is 45 meter hoog. Hoeveel meter ligt de top van de kerk boven de
­zeespiegel? 72 meter
40 meter
cHoe diep zouden we in Apeldoorn in de grond moeten boren om op dezelfde hoogte te gera-
Lwb
d 173 681 + 14 003 = Wb
3Bereken.
Lb
908
ken als de top van de kerk in Emmeloord? 27 meter
5Bereken de volgende verschillen uit het hoofd.
a 57 – 18 = 39
d 105 – 79 = 26
b 43 – 17 = 26
e 38 – 17 = 21
c 78 – 54 = 24
f
382 – 183 = 199
Deel 2
Gehele getallen
31
Lb
Wb
Lwb
45
31
56
Lb
Wb
Lwb
45
31
56
6 Schat het resultaat van de volgende oefeningen.
Bereken daarna het verschil door te cijferen en controleer met je rekenmachine.
a 1260 – 351 = b 2370 – 1 069 = c 28 200 – 11 193 = 909
d 17 903 – 15 295 = 1301
e 18 000 – 1593 = 17 007
f
16 798 – 13 899 = 2608
16 407
2899
7Bereken de volgende verschillen.
a 5 – 7 = –2
i
–16 – (–33) = 17
b –5 – 7 = –12
j
–81 – (–81) = 0
c 5 – (–7) =
12
k –18 – 0 = d –5 – (–7) =
2
l
102 – 178 = –76
e –13 – (–6) =
–7
m –214 – (–324) = 110
f 8 – (–8) =
16
n –89 – 98 = g 0 – 13 = –13
o 372 – (–372) = h –12 – 21 = –33
Lb
Wb
Lwb
46
31
56
a
+
6
–8
13
0
–34
78
3
9
–5
16
3
–31
–5
1
–13
8
–5
–61
–55
–69
–48
14
20
6
27
–18
–187
744
8 Vul de volgende bewerkingstabellen aan:
b
–
16
–5
– 15
21
–9
1
81
18
2
23
33
–3
27
17
–39
73
– 51
–67
–46
–36
–72
–42
–52
–61
–95
17
24
8
29
39
3
33
23
14
–20
92
– 60
–76
–55
–45
–81
–51
–61
Lb
Wb
Lwb
46
31
56
Lb
Wb
Lwb
46
31
56
9 Vul het ontbrekende getal in.
a 47 + (–20) = –12
f
–125 + 125 = 0
b –47 + 30 = –12
g 45 – 19 = 26
c 170 + (–185) = –15
h 36 – (–34) = 70
d –105 – 100 = –205
i
–3024 + 1000 = –2024
e –66 + 167 = 101
j
–2078 + 210 –146 = –2014
10 aKeizer Augustus (naar wie de maand “augustus”
werd genoemd) werd in het jaar 63 voor Christus
geboren en stierf in het jaar 14 na Christus.
Hoe oud werd hij?
___________________________________________________
77 jaar
bKoning Herodes stierf in het jaar 4 op 79-jarige leeftijd. In welk jaar werd hij geboren?
75 voor Christus
32
Lb
Wb
Lwb
46
32
57
Lb
Wb
Lwb
46
32
57
11 Waar of niet waar?
aAls je van 10 een getal aftrekt, dan is de uitkomst altijd groter dan 10. Niet waar.
bAls je van –10 een getal aftrekt, dan is de uitkomst altijd groter dan –10. Niet waar.
cAls je van een getal –10 aftrekt, dan wordt dit getal steeds groter. Waar.
dAls je van een getal 10 aftrekt, dan wordt dit getal soms groter dan 10. Waar.
12Bereken het hoogteverschil tussen het hoogste punt en het laagste punt in elk land.
Meetpunten
Land
hoogste punt
laagste punt
België
694 m (Botrange)
Nederland
321 m (Vaalserberg)
– 6 m (Prins Alexanderpolder)
Verenigde Staten
6194 m (Mount Mc Kinley)
– 86 m (Death Valley)
Israël
1208 m (Hare Meron)
– 396 m (Dode Zee)
Groot-Brittannië
1343 m (Ben Nevis)
Marokko
4165 m (Ibel Toubkal)
– 55 m (Sebkha Tab)
Oostenrijk
3797 m (Grossglocker)
115 m (Neusiedler See)
8848 m (Mount Everest)
– 154 m (Tulufandepressie)
China
0 m (zeeniveau)
4 m (The Fens)
België: hoogteverschil is 694 m.
Nederland: hoogteverschil is 327 m.
Verenigde Staten: hoogteverschil is 6280 m.
Israël: hoogteverschil is 1604 m.
Groot-Brittannië: hoogteverschil is 1339 m.
Marokko: hoogteverschil is 4220 m.
Oostenrijk: hoogteverschil is 3682 m.
Lb
Wb
Lwb
47
32
57
China: hoogteverschil is 9002 m.
13In het diepe water van de Tongatrog (9055 m onder
de zeespiegel en te vinden naast Nieuw-Zeeland)
bevindt zich de hoogste “berg in zee”. Hij is 8690 m
hoog. Hoeveel meter moeten we duiken alvorens we
de top van deze berg kunnen aanraken?
Lb
Wb
Lwb
47
32
57
We moeten 365 meter duiken.
14Op mijn bankrekening staat een saldo van –129 euro.
Ik ontvang op mijn r­ ekening een som van 470 euro.
Ik betaal in een winkel met een cheque een som van
279 euro en ik haal ook nog 100 euro van mijn rekening aan een bancontactapparaat. Wat is het nieuwe
saldo van mijn rekening?
Mijn nieuwe saldo is e –38.
Deel 2
Gehele getallen
33
Lb
Wb
Lwb
47
33
58
Lb
Wb
Lwb
47
33
58
Lb
Wb
Lwb
47
33
58
a
Lb
Wb
Lwb
47
33
58
15Schat het resultaat van de volgende producten, bereken daarna en c­ontroleer met de rekenmachine.
a 584 . 596 = 348 064
d 1023 . 406 = b 98 . 85 = 8330
e 14 073 . 5032 = c 13 . 111 = 1443
f
415 338
70 815 336
26 003 . 135 = 3 510 405
16Schat het resultaat van de volgende producten, bereken daarna en c­ontroleer met de rekenmachine.
a 4 . (–4) = –16
j
15 . (–11) = –165
b (–5) . 3 = –15
k (–4) . (–23) = c (–18) . 0 = 0
l
d 5 . (–15) = –75
m 35 . (–3) = –105
e (–13) . (–6) = 78
n 132 . (–3) = –396
f 7 . (–9) = –63
o (–17) . 6 = –102
g 25 . (–6) = –150
p 88 . (–4) = –352
h (–12) . (–12) = 144
q (–130) . (–12) = 1560
i (–50) . 20 = –1000
r (–1008) . (–25) = 92
125 . (–8) = –1000
25 200
17 Vul de onderstaande bewerkingstabellen aan.
.
3
–5
6
–11
10
30
–50
60
– 17
–51
85
25
75
390
1170
b
.
13
– 21
25
– 50
– 12
30
–110
19
247
–399
475
–950
–228
570
–102
187
– 24
–312
504
–600
1200
288
–720
–125
150
–275
– 308
–4004
6468
–7700
15 400
3696
–9240
–1950
2340
–4290
497
6461
–10 437 12 425 –24 850 –5964
14 910
18 Vul het ontbrekende getal in.
a 5 . (–5) = –25
g 17 . (–3) = –51
b (–13) . (–13) = 169
h 75 . 10 = 750
c 0 . 36 = 0
i
(–1) . (–165) = 165
d –8 . (–125) = 1000
j
–3 . (–32) = 96
e 50 . (–1) = –50
k (–12] . (–12) = 144
f
(–10) . 10 = –100
l
1000 . 1000 = 1 000 000
34
Lb
Wb
Lwb
48
34
59
19Bij een toets beslist de leerkracht om de tien meerkeuzevragen als volgt te beoordelen: per juist
antwoord +2, per fout antwoord –1 en een niet beantwoorde vraag geeft een 0. Je vindt de resulta
ten in de bijbehorende tekening.
aBereken de resultaten van deze 6 leerlingen.
Evy:
4 . (+2) + 4 . (–1) = 4
Sofie:
8 . (+2) + 2 . (–1) = 14
Bjorn:
4 . (+2) + 5 . (–1) = 3
Sara:
9 . (+2) = 18
Tim:
7 . (+2) + 3 . (–1) = 11
Jan:
2 . (+2) + 6 . (–1) = –2
b Hoeveel punten heeft iemand die alles juist heeft? Hoeveel punten heb je als je alles fout hebt?
Lb
Wb
Lwb
48
34
59
Lb
Wb
Lwb
48
34
59
Alles juist: 10 . (+2) = 20
Alles fout: 10 . (–1) = –10
cHoe kun je aan een 8 komen? Zijn er meerdere combinaties m
­ ogelijk?
• 4 vragen juist en 6 niet ingevuld
• 5 juist, 1 fout, 4 blanco
• 6 juist en 4 fout
• 5 juist en 2 fout, 3 blanco
20Schat het resultaat van de volgende oefeningen.
Bereken telkens het quotiënt en controleer met je rekenmachine.
a 6744 : 24 = 281
d 308 070 : 54 = 5705
b 85 136 : 34 = 2504
e 141 064 : 308 = 458
c 1 077 496 : 1897 = 568
f
1 000 065 : 33 = 30 305
21Werk uit.
a 105 : (–5) = –21
i
416 : (–2) = –208
b (–20) : 4 = –5
j
(–613) : (–613) = c (–20) : (–4) = 5
k (–240) : 3 = –80
d 100 : (–25) = –4
l
121 : (–11) = –11
e 280 : 14 = 20
m (–56) : (–7) = 8
f (–1250) : 50 = –25
n 1000 : (–8) = –125
g 0 : (–450) = 0
o (–480) : 24 = –20
h (–360) : (–9) = 40
p 350 : (–7) = –50
1
Deel 2
Gehele getallen
35
Lb
Wb
Lwb
48
35
60
a Lb
Wb
Lwb
48
35
60
Lb
Wb
Lwb
49
35
60
22 Vul de volgende bewerkingstabellen aan.
.
3
–5
6
–11
10
30
–50
60
– 17
–51
85
25
75
390
1170
Lwb
49
35
60
13
– 21
25
– 50
– 12
–110
19
247
–399
475
–950
–228
–102
187
– 24
–312
504
–600
1200
288
–125
150
–275
– 308
–4004
6468
–7700
15 400
3696
–1950
2340
–4290
497
6461
–10 437 12 425 –24 850
–5964
a 120 : (–60) = –2
f –1000 : (–8) = 125
b 560 : 8 = 70
g –2250 : (–3) = 750
c (–1000) : (–200) = 5
h 156 : 12 = 13
d 169 : 13 = 13
i
810 : (–135) = –6
e –24 : (–8) = 3
j
–3140 : 628 = –5
24 Nu je al verschillende keren gewerkt hebt met bewerkingstabellen, kun je een
bewerkingstabel ook omgekeerd aanvullen.
c
Wb
.
23 Vul het ontbrekende getal in.
a
Lb
b
+
8
–2
14
–
8
–6
– 70
13
0
8
–2
14
36
28
42
106
23
3
11
1
17
– 19
–27
–13
51
–32
–6
2
–8
8
89
81
95
159
76
.
–5
–3
7
:
–1
3
–4
6
2
–10
–6
14
–108
108
–36
27
–18
1
–5
–3
7
12
–12
4
–3
2
6
–30
–18
42
– 72
72
–24
18
–12
–11
55
33
–77
0
0
0
0
0
b
d
25Bepaal de ontbrekende term, deler of factor.
1032
a
–
b 387
645
d 372 . 56 = 20 832
–
3487
c
3198 +
289
e 1107 : 9 = 123
789
636
1425
36
Lb
Wb
Lwb
49
36
61
26 Ziehier de publiciteit voor een Ford auto.
Een autoverzekering B.A. voor deze auto kost 248 euro per jaar.
a Hoeveel kost deze auto voor ik ook maar 1 kilometer gereden heb?
e 8600 + e 128 + e 62 + e 248 = e 9038
b Ik rij per jaar 25 000 km. Een liter benzine kost nu 1 euro. Hoe groot is het bedrag dat ik jaarlijks aan benzine moet uitgeven?
100 km = 6 l = e 6Ik moet jaarlijks 1500 euro
1 km = 0,06 l = e 0,06 > 2500 km = 1500 l = e 1500.
Lb
Wb
Lwb
49
36
61
betalen aan benzine.
KORT
• motor: 1.3 viercilinder, 1299 cm3,
elektronische injectie, 44 kW (6000
opm), 105 Nm (2550 opm), 6 l gemiddeld ECE-verbruik per 100 km
• maten en gewichten: 3620 mm lang
x 1631 mm breed x 1368 mm hoog,
rijklaar 871 kg
• rekening: catalogusprijs: E 8600 ,
E 128 verkeersbelasting, E 62 BIV
27 aHoeveel maanden zal ik moeten
afbetalen tegen € 64/maand om
deze laptop te kunnen kopen?
1728 : 64 = 27Ik zal 27 maanden moeten afbetalen.
bIn het contract staat ook dat voor
een afbetalingstermijn van 30 maanden
de afbetalingssom 60 euro per maand is.
€ 1728
incl. btw
(1428 Excl.)
Is dit voordeliger dan cash te betalen?
Wat is het verschil?
Lb
Wb
Lwb
50
36
61
30 . 60 = 1800
1800 – 1728 = 72
Cash betalen is 72 euro voordeliger.
28Elektriciteitsverbruik van huishoudtoestellen.
a Bereken het jaarverbruik in kWh van een gezin met 4 personen.
30 + 250 + 110 + 198 + 350 + 120 + 330 + 395 + 470 + 252 + 530 + 547 + 638 + 1227 = 5497
Het gemiddeld jaarverbruik voor een gezin met 4 personen is 5497 kWh.
Gehele getallen
Deel 2
37
b Bereken het jaarverbruik in kWh van een gezin met 5 personen.
30 + 18 + 250 + 20 + 110 + 10 + 198 + 10 + 350 + 40 + 120 + 20 + 330 + 51 + 395 + 100 + 470 + 113 + 252 + 33 + 530 + 80 + 547 + 55 + 638 + 40 + 1227 + 83 = 6170
Het gemiddeld jaarverbruik voor een gezin met 5 personen is 6170 kWh.
Gemiddeld verbruik in KWh/jaar. De opgegeven cijfers zijn
een gemiddeld verbruik voor een gezin van 4 personen
Toestellen
Gebruikstijd
kWh
(*)
Computer
1/2 uur per dag
30
18
Strijkijzer
4 uur per week
250
20
Stereoketen
3 uur per dag
110
10
Televisie
3 uur per dag
198
10
350
40
Kleine toestellen
Lb
Wb
Lwb
50
37
62
Microgolfoven
15 min per dag
120
20
Verlichting
5 lampen van 60 W à 3 uur per dag
330
51
Wasmachine
4 wasbeurten per week
395
100
Droogkast
3 keer per week
470
113
CV-pomp
doorlopend gedurende 7 maand per jaar
252
33
Vaatwasmachine
6 wasbeurten per week
530
80
Koelkast
doorlopend
547
55
Diepvriezer
doorlopend
638
40
Elektrisch fornuis
2 platen gedurende 1 uur per dag
1277
83
(*) Aantal kWh dat je per persoon kunt aftrekken of optellen naargelang je familiegrootte
groter of kleiner dan 4 is.
29 Vul in de vierkanten gehele getallen in, zodat er tovervierkanten ontstaan. Een tovervierkant is een vierkant waarin de som van de getallen van elke horizontale rij, van elke verticale rij en van elke diagonaal dezelfde is.
2
7
6
2
7
9
16
9
5
1
13
12
6
3
4
3
8
8
1
15
10
11
14
4
5
38
Lb
Wb
Lwb
51
38
63
30De Duitse wiskundige Gauss (1777-1855) kreeg van zijn onderwijzer ooit de opdracht om de som van de eerste 100 getallen te berekenen. De onderwijzer dacht dat hij daarmee zijn leerling wel enige tijd rustig zou kunnen houden. Na enige seconden had Gauss reeds het antwoord gevonden. Hij dacht als volgt:
1+2+3+…
100 + 99 + 98 + … 101 + 101 + 101 + … + 101 = 100.101
De gevraagde som is hiervan de helft, dus 50.101 = 5050
aBereken nu zelf de som van de eerste 74 getallen.
1 + 2 + 3 … + 74
74 + 73 + 72 … + 1
75 75 75
75
74 . 75 = 5550
5550 : 2 = 2775
bWat zou de som zijn van de eerste n getallen?
Lb
Wb
Lwb
51
38
63
+ 100
+1
( n + 1) · n
2
31Opname van de meterstanden.
Bereken de verschillen. Elektriciteit wordt uitgedrukt in kWh, gas en water in m3.
LAATSTE OPNAME
VORIGE OPNAME
VERSCHIL
datum
meterstand
datum
meterstand
elektriciteit
15-11-05
77 752
15-11-04
71 219
6533
gas
15-11-05
97 487
15-11-04
93 391
4096
water
15-11-05
1843
15-11-04
1640
203
Lb
Wb
Lwb
51
38
63
32 Vermenigvuldig 142 857 achtereenvolgens met 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
aBekijk grondig deze resultaten. Wat merk je op ?
142 857 . 1 = 142 857 142 857 . 2 = 285 714
142 857 . 3 = 428 571
142 857 . 4 = 571 428
142 857 . 5 = 714 285
142 857 . 6 = 857 142
Er komt telkens 142 857 bij. De cijfers blijven dezelfde maar in een andere volgorde.
+ 142 857
+ 142 857
+ 142 857
+ 142 857
+ 142 857
bWat gebeurt er als je 142 857 met 7 vermenigvuldigt ?
Het product is 999 999.
Deel 2
Gehele getallen
39
Lb
Wb
Lwb
51
39
64
33 Werk uit.
a 52 . 8547 = 444 444
b 65 . 8547 = 555 555
c 650 . 281 = 182 650
814 . 546 = 444 444
77 . 7215 = 555 555
831 . 465 = 386 415
42 . 10 582 = 444 444
91 . 6105 = 555 555
851 . 296 = 251 896
91 . 4884 = 444 444
715 . 777 = 555 555
435 . 870 = 378 450
Wat merk je op ?
Lb
Wb
Lwb
51
39
64
Het resultaat isHet resultaat isIn elk product zitten de
steeds 444 444.
steeds 555 555.
cijfers van de 2 factoren.
34Een draaitol. Noteer op de stippellijnen steeds de verschillen van de bovenstaande getallen, totdat je bij 0 uitkomt.
a 879 662 524 451 429
217 138 73 22
79 65 51
14 14
0
b 1011 686 459 313 231
325 227 146 82
98 81 64
17 17
0
Lb
Wb
Lwb
51
39
64
35Bedenk zelf zo’n draaitol. Start met 0 onderaan en werk zo naar boven toe.
Eigen werk van de leerlingen.
40
Lb
Wb
Lwb
52
40
65
( oef. 36, 37, 38 en 39)
36Een gezin (vader, moeder en 3 kinderen) gaat voor twee weken naar Center Parcs.
Ze vertrekken op 15 augustus. Hoeveel zullen ze moeten betalen voor het huren van hun bungalow?
839 + 457 = 1296 euro
37 De gemiddelde afstand aarde-zon bedraagt 150
Codenummer : 08.00.20
Logies alleen
prijs per woning per week, weekend, midweek, of speciaal arrangement
type 01type 02type 03type 04
miljoen kilometer. Hoeveel tijd heeft een raket
nodig om die afstand af te leggen als haar snelheid 20 000 km per uur is?
150 000 000 km
= 7500 uur
20000 km/uur
( = 312,5 dagen)
periodesWoning 4 p.Woning 5 p.Woning 6 p.Woning 7 p.
38Heel wat vijven! Je kan de natuurlijke getallen 0,
weekverblijf 7 nachten
28/3-4/4
472
516
566
690
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 en 10 schrijven met behulp van 4
4/4-2/5
427
477
516
636
keer het getal 5. Je mag optellen, aftrekken, verme-
2/5-9/5
472
516
566
690
9/5-16/5
452
497
546
660
16/5-23/5
472
516
566
690
23/5-4/7
452
497
546
660
4/7-22/8
789
839
923
1210
22/8-10/10
417
457
502
606
10/10-24/10
596
626
675
774
24/10-31/10
358
393
427
522
4/4-28/4
280
315
340
414
9/5-12/5
295
340
359
429
23/5-30/6
295
340
359
429
naast het feit dat alle symbolen van 0 tot 9 erin
4/7-18/8
404
429
469
568
voorkomen?
22/8-6/10
270
300
335
394
WEEKEND 3 NACHTEN
Lb
Wb
Lwb
52
40
65
nigvuldigen en delen.
_____________________________________________________________
1 = 5: 5+ 5 −5
6 = 5 .5 + 5 : 5
_____________________________________________________________
2 = 5: 5 +5: 5
7 = (5 + 5 : 5 + 5
_____________________________________________________________
3 = (5 + 5 + 5 : 5
9 = ( 5 + 5) − ( 5 : 5
_____________________________________________________________
4 = ( 5 .5 − 5 : 5
10 = 5 : 5 .5 + 5
_____________________________________________________________
5 = ( 5 − 5) : 5 + 5
0 = 5 .5 − 5 .5
)
(
)
)
)
)
39Wat is er zo bijzonder aan het getal 8 319 024 567,
Het bevat de cijfers 0 t.e.m. 9 in alfabetische
volgorde.
40Schik de cijfers 1 tot 9 in een vierkant, zodat je een tovervierkant krijgt. Zijn er meerdere oplossingen?
We hernemen het vierkant van blz. 34.
Kantel het en je hebt al een ander, nog eens is nog een ander, spiegelen is nog een ander, …
Uiteraard zijn er nog andere (door getallen op een andere plaats te zetten, en dan weer heel
veel mogelijkheden) tovervierkanten.
Gehele getallen
Deel 2
41
Lb
Wb
Lwb
52
41
66
41 Zoek de ontbrekende cijfers als je weet dat het verschil uit vier dezelfde cijfers bestaat.
9 79 7
75 75
–
2 2 2 2
STOPAFSTAND IN METER
kilometer per u / afstand
30 km/h
13,5
16
DROOG
NAT
50 km/h
27,5
34
DROOG
NAT
70 km/h
45,5
DROOG
NAT
58
90 km/h
67,5
DROOG
NAT
83
120 km/h
106
DROOG
NAT
144
140 km/h
140
DROOG
NAT
188
0
20
40
60
Lb
Wb
Lwb
53
41
66
80
100
120
140
160
180
200
Afstand houden bij mist
GENT — Rij niet te snel bij beperkte
zichtbaarheid en hou afstand. Zo
vermijdt u aanrijdingen bij dichte
mist. Maar hoe snel is een aangepaste snelheid bij een beperkte
zichtbaarheid? De politie heeft
daarvoor enkele tips:
— op de autoweg is er een afstand
van ongeveer veertig meter tussen
twee verlichtingspalen;
— ziet u slechts één verlichtingspaal, dan mag u maximum 50 km
per uur rijden;
— ziet u twee verlichtingspalen, dan
mag u 80 km per uur rijden;
— ziet u vijf verlichtingspalen dan
mag u 100 km per uur rijden.
Wb
Lwb
53
41
66
— J.M.B
42 Wat is het verschil in stopafstand als je bij droog en bij nat wegdek rijdt met een snelheid van …
a 120 km/uur 144 – 106 = 38
Het verschil is 38 meter.
b 140 km/uur 188 – 140 = 48
Het verschil is 48 meter.
Wordt het verschil groter als de snelheid groter wordt?
Lb
Vergeet niet het mistlicht achteraan
aan te steken. Het mistlicht brandt
uitsluitend als de koplampen zijn
aangestoken. Blijf met
de kruislichten aan rijden, ook als
de mist minder dicht is. Enkele kilometer verder kan er opnieuw een
dicht mistgordijn hangen.
’s Winters kan de mist vastvriezen
en wordt het wegdek plots spekglad. Wees daarom bijzonder voorzichtig op ijzelgevoelige plaatsen zoals bruggen en opritten.
Ja.
43In de volgende zinnen staan telkens twee fouten.
Schrijf deze zinnen over en verbeter de fouten.
Het onderlijnde deel mag je NIET veranderen.
aHet product van de termen 15 en 20 is 3000.
Het product van de factoren 15 en 20 is 300.
b De optelling van de factoren 7 en 80 is 87.
De som van de termen 7 en 80 is 87.
Lb
Wb
Lwb
53
41
66
44 Vul op de stippen het juiste getal in.
aSom = 8907
e Deeltal = 288
1e term = 3111
Deler = 12
2e term = 5796
Quotient = 24
42
b 1e term is het product van 24 en 6 144
f Product = 1e factor
2e term is de helft van de 1e term 72
som 216
1e factor is de som van 12 en 21 33
c
g Deler = quotiënt = 12
Product is het verschil van 1005 en 675 330
2e factor = 10
d De som van 3906 en 142 is 4048
2e factor = 1
Deeltal = 144
h 1e term = 2e term
deel deze som door 4, je krijgt 1012
Maak het verschil van de twee gevonden getallen;
je krijgt 3036
Verschil = 0
45Een kist appels kost 2 euro, een kist peren 3 euro een kist pruimen 4 euro. Jaap koopt 8 kisten
Lb
Wb
Lwb
53
42
67
fruit en betaalt daarvoor 23 euro. Wat is het grootste aantal kisten pruimen dat hij gekocht kan
hebben?
A. 1B. 2
C. 3
D. 4E. 5
46 Vijf kinderen hebben ieder een getal gekozen. Ze hadden elk de keuze uit 1, 2 of 4. Als de gekoLb
Wb
Lwb
53
42
67
zen getallen met elkaar worden vermenigvuldigd, is de uitkomst een van de volgende getallen.
Welk getal is dat?
A. 100B. 120
C. 256
D. 768E. 2 048
47 Merel schrijft een getal van drie cijfers op. Ze schrijft ook een getal van twee cijfers op. Ze
Lb
Wb
Lwb
53
42
67
trekt de getallen van elkaar af en vindt als uitkomst 989.
Wat krijgt ze als uitkomst als ze de getallen optelt?
A. 1000B. 1001
C. 1009
D. 1010E. 22 005
48Harry telt de getallen 2, 4, 6 enzovoort, t/m 2000 op. Hermelien telt de getallen 1, 3, 5, enzoLb
Wb
Lwb
53
42
67
voort, t/m 1999 op.
Hoeveel is het verschil tussen hun antwoorden?
A. 1B. 200
C. 500
D. 1000E. 2000
Deel 1
Algebraïsch rekenen
43
Eigenschappen van de
hoofdbewerkingen
2.3
Lb
Wb
Lwb
62
43
76
1 Formuleer de eigenschappen die je herkent in de volgende oefeningen.
a 15 + (–15) = 0 Bij het optellen heeft elk element zijn tegengestelde als symmetrisch element in Z.
b –36 + (1 + 8) = (–36 + 1) + 8 Het opstellen in Z is associatief.
c 0 + (–39) = –39 0 is het nutraal element voor het opstellen in Z.
d 9 – 8 = 1 Het aftrekken is intern in Z.
e –89 + (–1 + (–7)) = –89 + (–7 + (–1)) Het optellen in Z is commutatief.
f
(6 + (–6)) + (–8) = 0 + (–8) De som van een getal en zijn tegengestelde is nul.
g 36 + (–8) + 9 + (–3) + (–25) + (–9)= 36 + (–8) + 9 + (–9) + (–3) + (–25)
¿
Lb
Wb
Lwb
62
43
76
Het optellen in Z is commutatief.
¡
= 36 + (–8) + (–3) + (–25)
Bij het optellen heeft elk element zijn tegengestelde als
symmetrisch element in Z.
¬
= 36 + ((–8) + (–3) + (–25))
Het optellen in Z is associatief.
= 36 – 36
Het optellen in Z is intern.
=0
Bij het optellen heeft elk element zijn tegengestelde als
symmetrisch element in Z.
Ø
ƒ
2 Noteer volgende eigenschappen in symbolen.
aHet optellen in Z is commutatief. a, b C Z: a + b = b + a
bHet optellen in Z is overal gedefinieerd. a, b C Z: a + b C Z
cHet optellen in Z heeft 0 als neutraal element. 0 C Z en a C Z: a + 0 = a = 0 + a
dHet optellen in Z is associatief. a, b, c C Z: (a + b) + c = a + (b + c)
Lb
Wb
Lwb
62
43
76
3Welke eigenschap werd toegepast?
¿
(–a + b) + a = –a + (b + a)
Het optellen in Z is associatief.
= –a + (a + b)
Het optellen in Z is commutatief.
= (–a + a) + b
Het optellen in Z is associatief.
=0 + b
¡
¬
ƒ
Bij het optellen heeft elk element zijn tegengestelde als symmetrisch element in Z.
ƒ
=b
0 is het neutraal element voor het optellen in Z.
44
Lb
Wb
Lwb
62
44
77
4 Toon met een voorbeeld aan dat
a het aftrekken in Z niet associatief is.
Met: − 2, 3, − 5 ∈ Z
(( −2) − 3) − ( −5) =? ( −2) − ( 3 − ( −5)) ⇔ −5 − ( −5) =? ( −2) − 8 ⇔ 0 ≠! − 10
b het aftrekken in Z niet commutatief is.
Met: 4, − 6 ∈ Z
4- ( − 6 ) = ( − 6 ) − 4 ⇔ 4 + 6 = − 6 − 4 ⇔ 10 ≠ − 1 0
5 Ga na of de vijf eigenschappen van de optelling in Z ook gelden voor de optelling in 2Z.
?
Lb
Wb
Lwb
62
44
77
overal gedefiniëerd: ∀ a, b ∈ 2 Z : a + b ∈ 2 Z
ok!
commutatief: ∀ a, b ∈ 2Z : a + b = b + a
ok!
associatief:∀ a, b, c ∈ 2Z : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
ok!
0 is N.E.: 0 ∈ Z en
n∀a ∈ 2Z : a + 0 = a = 0 + a
ok!
tegengesteld: ∀ a ∈ 2 Z, ∃ − a ∈ 2 Z : a + ( − a) = 0 = − a + a
ok!
Lb
Wb
Lwb
62
44
77
?
6Als je een aandeel koopt, koop je eigenlijk een stukje van een bedrijf. Na enkele dagen kan je
aandeel in waarde gestegen zijn (dan win je) of gedaald zijn (dan verlies je geld).
Frank heeft vorige maand enkele aandelen gekocht. Je vindt de aandelen in het kader hieronder.
Elke week kijkt Frank in de krant en noteert hoeveel het aandeel steeg of daalde.
a Vermeld voor elk aandeel de eindwaarde.
Ford: 26
Neuheus: 41
Danone: 164
Nestlé: 2435
bHeeft Frank na één maand geld gewonnen of verloren? Hoeveel?
Frank heeft 10 waarden verloren.
cStel dat Frank van het Ford aandeel 8 exemplaren had, van Neuhaus 26, van Danone 16 en
van Nestlé 50. Hoeveel had Frank dan gewonnen?
–3 . 8 + 3 . 26 + (–6) . 16 + (–4) . 50 = –242
Frank heeft 242 waarden verloren.
aandeel
waarde
Na
Na
Na
Na
1 week
2 weken
3 weken
4 weken
Ford
29
+3
-5
+1
-2
–3
Neuhaus
38
+2
+1
-3
+3
+3
Danone
170
-12
+9
+2
-5
–6
Nestle
2439
-13
-5
+6
+8
–4
Deel 2
Gehele getallen
45
Lb
Wb
Lwb
63
45
78
7 Ga de volgende eigenschappen na en verklaar waarom de eigenschap (niet) geldt.
aIs het optellen in Z– overal gedefinieerd?
Ja
bv.:
–5 + (–3) = –8
bIs het optellen in Z0 overal gedefinieerd?
Neen
bv.:
–5 + 5 Ç Z0
cIs het optellen in Z– associatief?
Ja
want + in Z is associatief.
dHeeft in Z+ elk element een symmetrisch element voor het optellen?
Neen
bv.:
5 + ? = 0
eHeeft het optellen in Z– een neutraal element?
Lb
Wb
Lwb
63
45
79
Ja
0
8Werk zo nodig de haakjes weg en bereken.
a 35 + (–15) + 16 + 3 – (–5) = 35 –15 + 16 + 3 + 5 = 44
b –18 – (–65) + (–23) – 15 – 18 + 7 = –18 + 68 –23 –15 –18 + 7 = 75 – 74 = 1
c 100 + (–67) + 8 – (–8) – 45 + 67 = 100 – 67 + 8 + 8 – 45 + 67 = 183 –112 = 71
d (–33) + (–16) + 45 – (–14) – 9 + (+ 83) = –33 -16 + 45 + 14 – 9 + 83 = 142 – 58 = 84
e (–1) + 2 + (–3) + 4 + (–5) + 6 + (–7) + 8 = –1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 + 20 –16 = 8
f
(–54) + 18 + (–3) – 6 + 46 – (–7) = –54 + 18 – 3 – 6 + 46 + 7 = 71 – 63 = 8
g 10 – 20 – 30 – 40 – 50 = –130
h 24 – (–5) + (–28) – (+69) – 5 = 24 + 5 – 28 – 69 – 5 = 29 – 102 = –73
i
168 – 78 + (–28) – 167 + 850 = 168 – 78 –
­ 28 – 167 + 850 = 1018 – 273 = 745
j
888 – 777 + 666 – 555 + 444 – 333 = (888 + 666 + 444) – (777 + 555 + 333) = 1998 – 1665 = 333
k (–82) + (–18) – 83 – (–54) + 40 l
16 – 9 + (–5) + (+5) – 0 + (–16) – (–11) = –82 – 18 – 83 + 54 + 40 = 94 – 183 = –89
=16 – 9 – 5 + 5 –16 + 11 = 32 – 30 = 2
m 846 – 940 + (–120) + 640 – 146 – (–840) = 846 – 940 – 120 + 640 – 146 + 840 = 1120
n (–964) + 694 – 946 + (–469) – (–496) = –964 + 694 – 946 – 469 + 496 = –1189
46
Lb
Wb
Lwb
63
46
79
Lb
Wb
Lwb
63
46
79
9 Formuleer in woorden de eigenschap in Z die je hier toegepast ziet.
a 396 . 1 . (12 . 4)
= 396 . (12 . 4) Het neutraal element van de vermenigvuldiging is 1.
b 396 . 1 . (12 . 4)
= 396 . 1 . 12 . 4 Associativiteit bij vermenigvuldiging.
c 396 . 1 . (12 . 4)
= 12 . 4 . 1 . 396 Associativiteit en commutativiteit bij vermenigvuldiging.
d 396 . 1 . (12 . 4)
= 396 . 1 . 48
e 396 . (12 + 4)
= 396 . 12 + 396 . 4
f
396 . (12 + 4)
= 396 . (4 + 12)
Commutativiteit bij optelling.
g 396 . (12 + 4)
= (12 + 4) . 396
Commutativiteit bij vermenigvuldiging.
h 396 . (12 + 4)
= 396 . 16
i
396 . (12 + 4)
= 396 . 1 . (12 + 4) Het neutraal element van de vermenigvuldiging is 1.
j
(300 + 96) . (12 + 4) = 300 . (12 + 4) + 96 . (12 + 4)
Wb
Lwb
63
46
79
Distributiviteit van vermenigvuldiging in Z.
Optelling is overal gedefinieerd.
Distributiviteit van · t.o.v. + in Z..
10 Pas in volgende oefeningen de distributiviteit toe van het vermenigvuldigen t.o.v. het optellen in Z.
a 3 . (a + b) = 3a + 3b
g –(3 + a – b) = –3 –a + b
b –8 . (4 – b) = –8 . 4 – 8 . (–b) = –32 + 8b h x . (3 – b) = 3x – bx
c 10 . (x – 25) = 10 x – 250
i
(a + 7) . (–3) = –3a – 21
d –a . (3 + b) = –3a – ab
j
(3 – a – b) . 5 = 15 – 5a – 5b
e 9 . (a – b + 3) = 9a – 9b + 27
k –a . (a + 3b) = –a . a – 3ab = –a2 – 3ab
l
f
Lb
Vermenigvuldiging overal gedefinieerd.
(8 – b) . 2 = 16 – 2b
31 . (–a – b + 2c) = –31a – 31b + 62c
11 Noteer de volgende eigenschappen in symbolen.
aHet vermenigvuldigen in Z– is commutatief.
∀ a, b ∈ Z − : a · b = b · a
bHet vermenigvuldigen in Z0+ is overal gedefinieerd.
∀ a, b ∈ Z +0 : a · b ∈ Z +0
cHet vermenigvuldigen van strikt negatieve gehele getallen is associatief.
∀ a, b, c ∈ Z −0 : a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
d 0 is opslorpend element voor het vermenigvuldigen van positieve gehele getallen.
0 ∈ Z en ∀ a ∈ Z + : a · 0 = 0 = 0 · a
eHet vermenigvuldigen in Z0+ heeft 1 als neutraal element.
1 ∈ Z en ∀ a ∈ Z +0 : a · 1 = a = 1· a
Deel 2
Gehele getallen
47
Lb
Wb
Lwb
63
47
80
12 Illustreer met de getallen 100, –10 en 5 dat het delen van gehele getallen niet associatief is.
(100 : ( − 10 ) ) : 5 = 100 : ( ( − 10 ) : 5 )
?
− 10 : 5 = 100 : ( − 2 )
?
!
− 2 ≠ − 50
Lb
Wb
Lwb
64
47
80
13 Ga volgende eigenschappen na en verklaar waarom de eigenschap (niet) geldt.
aHet vermenigvuldigen in Z– is overal gedefinieerd.
Neen
bv.:
–3 . (–5) = + 15
Ç Z– bHet vermenigvuldigen in Z– is associatief.
Ja want vermenigvuldigen is associatief in Z cHet vermenigvuldigen in Z– is commutatief.
Ja
bv.:
(–3) . (–7) = (–7) . (–3) dHet vermenigvuldigen in 2Z is overal gedefinieerd.
Ja
eHet delen in Z is distributief t.o.v. het optellen in Z.
Neen
5 : (2 + 3) ≠ 5 : 2 + 5 : 3 (wel rechtsdistributief!)
fHet delen in Z is distributief t.o.v. het aftrekken in Z.
Lb
Wb
Lwb
64
47
80
Neen
5 : (2 – 3) ≠ 5 : 2 – 5 : 3 (wel rechtsdistributief!)
14Werk eerst de haakjes weg en werk uit.
a –5 + (–5 – 7) – (8 – 13) + 15 = –5 – 5 – 7 – 8 + 13 +15 = 3
b 69 – (16 – 7) + 25 + (–14 + 3) = 69 – 16 + 7 + 25 – 14 + 3 = 74
c 100 – (27 + 5) – (19 + 24) + 68 = 100 – 27 –5 – 19 – 24 + 68 = 93
d 1 – (–2 – 3) + 4 + (5 – (–6)) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
e 409 + (–376 – 35) – (14 + 6) = 409 + (–411) – 20 = 409 –411 – 20 = –22
f
196 – [(12 – 7) – (18 + 35)] + 4 = 196 – [12– 7 – 18 – 35] + 4 = 196 – 12 + 7 + 18 + 35 + 4 = 248
g 300 + [–15 – (46 – 6) + 35] + 15 = 300 + [–15 – 46 + 6 + 35] + 15 = 300 – 15 – 46 + 6 + 35 + 15 = 295
h (–5 + 326) – [37 – (94 + 5) + 5] = 321 – [37 – 99 + 5] = 321 – (–57) = 321 + 57 = 378
48
Lb
Wb
Lwb
64
48
81
15 Welke eigenschappen van de hoofdbewerkingen in Z werden hier toegepast? (x, y, z, u C Z)
a x + y = y + x Het optellen is commutatief in Z.
b x . (y . z) = (x . y) . z Het vermenigvuldigen is associatief in Z.
c y . 0 . x = 0 0 is het opslorpend element voor het vermenigvuldigen in Z.
d (x + y) . (u + z) = x . u + xz + y . u + y . z Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in Z.
e x . y + z . y = (x + z) . y Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in Z.
f
1 . x = x 1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen in Z.
g x + (y + z) + u = (x + y) + (z +u) Het optellen is associatief in Z.
h u . z = z . u Het vermenigvuldigen is commutatief in Z.
Lb
Wb
Lwb
64
48
81
16Schat het resultaat van volgende gedurige producten. Bereken daarna en controleer met je
rekenmachine.
a (–3) . (–2) . (+5) . (–2) = –6 . 10 = –60
b (+ 8) . (–3) . (–5) . (–1) = –40 . 3 = –120
c (–4) . (–1) . (+2) . (–3) . (–5) = 10 . 12 = 120
d (+8) . (–6) . 0 . (–1) . (–5) = 0
e (+8) . (+5) . (–2) . (–15) = 10 . 120 = 1200
f
–3 . (–50) . 125 . (–2) . 8 = –3 . 100 . 1000 = –300 000
g 1000 . (–8) . (–125) . 4 . 25 = 1000 . 100 . 1000 = 100 000 000
h 1. (–2) . 3 . (–4) . 5 . (–6) . 7 = –120 . 42 = –5040
i
13 . (–20) . 6 . 2 . (–1) . 5 = 120 . 130 = 15 600
j
25 . (–14) . (–7) . 5 . 4 = 100 . 70 . 7 = 49 000
k 10 . (–10) . 25 . (–4) . 5 . (–20) = –100 . 100 . 100 = –1 000 000
l
1 . (–1) . 1 . (–1) . 1 . (–1) . 1 = –1
m (–11) . 12 . (–6) . (–1) . 11 = –121 . 72 = –8712
n 19 . 2 . (–13) . 5 . 100 = –247 . 10 . 100 = –247 000
o (–1427) . (–67) . 0 . 68 = 0
p 8 . (–9) . 20 . (–5) . 10 = 72 . 10 . 100 = 72 000
q 2 . (–7) . 13 . (–5) = 10 . 91 = 910
r (–40) . 6 . (–25) . 2 . (–1) = –300 . 40 = –12 000
Deel 2
Gehele getallen
49
Lb
Wb
Lwb
64
49
82
17 De Belgische leerling van 12 brengt per jaar
UREN OP SCHOOL PER JAAR
987 uren door op school. Stel dat dit zo 6
schooljaren hetzelfde zou blijven.
In België brengen scholieren van
12 jaar gemiddeld 987 uren per jaar
door op school. Ze zijn 8,9 procent van
de tijd op school.
Een vergelijking met een stel andere
landen van de Organisatie voor Economische
Samenwerking en Ontwikkeling (Oeso)
OOSTENRIJK
NEDERLAND
ITALIE
BELGIE
NIEUW-ZEELAND
PORTUGAL
IERLAND
DUITSLAND
GRIEKENLAND
SPANJE
DENEMARKEN
ZWEDEN
NOORWEGEN
FINLAND
TURKIJE
aHoeveel uren heb je dan op school doorgebracht?
6 . 987 = 5922 Na 6 jaren is dit 5922 uur.
bHoeveel uren zou je meer vrije tijd gehad
hebben als je die 6 jaar in Turkije had doorgebracht?
1105
1067
1020
Hoeveel vrije dagen zouden dit extra zijn
(reken 7 uren per dag)?
987
979
(987 – 720) . 6 = 1602 1602 : 7  229
935
Bijna 229 extra vrije dagen!
930
cHoeveel vrije dagen zouden dit zijn, als een
949
918
leerling in Turkije deze vergelijking maakt
900
met zijn lotgenoot in Oostenrijk?
840
828
(1105 – 720) . 6 = 2310 2310 : 7  330
Vergeleken met Oostenrijk 330 vrije
dagen.
805
730
720
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
Lb
Wb
Lwb
65
49
82
18 De opgave 61.31 kun je ook als volgt berekenen:
61 . 31 = (60 + 1) . (30 + 1)
= 60 . 30 + 60 . 1 + 1 . 30 + 1 . 1
= 1800 + 60 + 30 + 1
= 1891
Bereken nu op deze manier:
a 71 . 91 = (70 + 1) . (90 + 1) = 70 . 90 + 70 . 1 + 1 . 90 + 1 . 1
= 6300 + 70 + 90 + 1
= 6461
b 51 . 21 = (50 + 1) . (20 + 1) = 50 . 20 + 50 . 1 + 1 . 20 + 1 . 1
= 1000 + 50 + 20 + 1
= 1071
c 81 . 41 = (80 + 1) . (40 + 1) = 80 . 40 + 80 . 1 + 1 . 40 + 1 . 1
= 3200 + 80 + 40 + 1
= 3321
50
d 32 . 51 = (30 + 2) . (50 + 1) = 30 . 50 + 30 . 1 + 2 . 50 + 2 . 1
= 1500 + 30 + 100 + 2
= 1632
e 72 . 92 = (70 + 2) . (90 + 2) = 70 . 90 + 70 . 2 + 2 . 90 + 2 . 2
Lb
Wb
Lwb
65
50
83
= 6300 + 140 + 180 + 4
= 6624
f
21 . 53 = (20 + 1) . (50 + 3) = 20 . 50 + 20 . 3 + 1 . 50 + 1 . 3
= 1000 + 60 + 50 + 3
= 1113
19Werk uit. De letters stellen gehele getallen voor.
a (a + c) . (x + y) = a . x + a . y + c . x + c . y
= ax + ay + cx + cy
b (a + 3) . (b + 4) = a . b + a . 4 + 3 . b + 3 . 4
= ab + 4a + 3b + 12
c (2 + y) . (6 + z) = 2 . 6 + 2 . z + y . 6 + y . z
= 12 + 2z + 6y + yz
d (a + b) . (y + 3) = a . y + a . 3 + b . y + b . 3
= ay + 3a + by + 3b
e (4 + y) . (z + 5) = 4 . z + 4 . 5 + y . z + y . 5
= 4z + 20 + yz + 5y
f
(y – 9) . (7 + x) = y . 7 + y . x + (–9) . 7 + (–9) . x
= 7y + xy – 63 – 9x
g (–4 – p) . (q –5) = (–4) . q + (–4) . (–5) + (–p) . q + (–p) . (–5)
= –4q + 20 – pq + 5p
h (3d – 4) . (5e –6) = 3d . 5e + 3d . (–6) + (–4) . 5e + (–4) . (–6)
= 15de – 18d – 20e + 24
i
(–a – b) . (–c –d) = (–a) . (–c) + (–a) . (–d) + (–b) . (–c) + (–b) . (–d)
j
(–6t + 4v) . (8x – 2c + 9a) = (–6t) . 8x + (–6t) . (–2c) + (–6t) . (9a) + 4v . 8x + 4v . (–2c) + 4v . 9a
= ac + ad + bc + bd
= –48xt + 12ct – 54at + 32vx – 8cv + 36av
Deel 2
Gehele getallen
51
Lb
Wb
Lwb
65
51
84
20 Pas de gegeven eigenschap toe (a, b, c, d C Z)
a a . (b + c)
b a . (b + c)
||Het optellen in Z is commutatief
a . (c + b)
||Het vermenigvuldigen in Z is commutatief
(b + c) . a
||Het vermenigvuldigen is distributief ||Het vermenigvuldigen is distributief
t.o.v. het optellen in Z t.o.v. het optellen in Z
a . c + a . b
b.a+c.a
a.b+a.c
Wb
Lwb
65
51
84
||Het optellen in Z is commutatief
a.c+a.b
Lb
||Het vermenigvuldigen in Z is commutatief
21 Verantwoord elke overgang.
a–11 + 18 + 29
b
|| Het optellen is associatief in Z.
(a + b) . (c + d)
|| Het optellen is commutatief in N.
–11 + (18 + 29)
(b + a) . (c + d)
Het vermenigvuldigen is
|| Het optellen is commutatief in Z.
||
distributief t.o.v. het optellen in N.
–11 + (29 + 18) b . c + b . d + a . c + a . d
|| Het optellen is associatief in Z.
|| Het optellen is commutatief in N.
–11 + 29 + 18
bd + bc + ad + ac
Het vermenigvuldigen is
|| Het optellen is associatief in Z.
||
distributief t.o.v. het optellen in N.
(–11 + 29) + 18 (c + d) . b + (c + d) . a
Het vermenigvuldigen is
||
distributief t.o.v. het optellen in N.
c 5 . (9 + 4)
(c + d) . (b + a)
d
a+b.0+c.1
0 is het opslorpend element voor
|| Het optellen is commutatief in N.
||
het vermenigvuldigen in N.
5 . (4 + 9)
a+0+c.1
Het vermenigvuldigen is 1 is het neutraal element voor het
|| ||
distributief t.o.v. het optellen in N. vermenigvuldigen in N.
5 . 4 + 5 . 9
a+0+c
0 is het neutraal element voor het
|| De vermenigvuldiging is commutatief in N. ||
ptellen in N.
4 . 5 + 9 . 5
a+c
Het vermenigvuldigen is
|| || Het optellen is commutatief in N.
distributief t.o.v. het optellen in N.
(4 + 9) . 5
c+a
52
Machten en
vierkantswortels
2.4
Lb
Wb
Lwb
70
52
88
1Schrijf de volgende producten korter met behulp van exponenten.
a 6 . 6 .6 = 63
f
b (–1) . (–1) . (–1) . (–1) = (–1)4
g 6 . 6 . 6 . 6 . (–b) . (–b) . (–b) = 64 . (–b)3
a . a . a . (-8) . (–8) = (-8)2 · a3
h (a + b) . (a + b) = (a + b)2
d 2 . 2 . 2 . (–7) . (–7) = 23 . (–7)2
i
(–3) . (–3) . b . (–b) . a . a .a = (–3)2a3 . (–b2)
e (4a) . (4a) . (4a) = (4a)3
j
(–9) . (–9) . (a + b) . (a + b) = (–9)2 . (a + b)2
c
Lb
Wb
Lwb
70
52
88
2Bereken.
a 22 = 4
i
73 = 343
q (–4)0 = 1
b (–5)3 = –125
j
(–8)4 = 4096
r 1100 = 1
c (–8)2 = 64
k 15 = 1
s 512 = 2601
d (–9)3 = –729
l
t (–19)3 = –6859
e (–3)4 = 81
m 51 = 5
u 5000 = 1
25 = –32
n (–10)3 = –1000
v (–7)1 = –7
g (–3)3 = –27
o (–5)4 = 625
w (–12)2 = 144
h (–6)2 = 36
p (–11)3 = –1331
x 1721 = 172
f
Lb
Wb
Lwb
70
52
89
(–3) . (–3) . (–3) . a . a = (–3)3a2
(–2)6 = 64
3Werk uit.
a –(–3)2 = -9
e –73 = –343
b –32 = –9
f –120 = –1
c –(–2)4 = –16
g –(–1)0 = –1
d –(–2)3 =
8
h –(–92) = 81
Lb
Wb
Lwb
71
52
89
4 Vul in met < of > of =.
d (–6)3  (–15)2 a 25  52
32
25
b (–47)1 Õ (–1)47
–47
1
f
1
0
–8000
–8100
h 55  74
1
(–4) = 24
2
16
g (–20)3  –902
225
e 06 Õ (–6)0 –1
c 7 = 90 0
–216
i
16
3125 2401
23 Õ (–3)2
8
9
Deel 2
Gehele getallen
53
Lb
Wb
Lwb
71
53
89
Lb
Wb
Lwb
71
53
89
Lb
Wb
Lwb
71
53
89
Lb
Wb
Lwb
71
53
90
5Ga na (zonder rekenmachine en zonder uit te rekenen) of de volgende resultaten positief of negatief zijn.
a –(–593)3 positief
f
–79322 negatief
b –(+50 185)21 negatief
g (–50 218)3 negatief
c –100 6375 negatief
h –(–75312) positief
d –(–222 222)70 negatief
i
–88 88822 negatief
e –(9750) negatief
j
2961 positief
6Bereken.
0
i
121 =
11
m
82 =
8
− 100 =
− 10
j
− 16 =
−4
n
1=
1
g
144 =
12
k
36 =
h
400 =
20
l
a
4=
2
e
− 0=
b
9=
3
f
c
− 25 =
−5
d
256 =
16
6
− 490 000 = − 700
o − 81 = −9
p
625 = 25
7Schat eerst de resultaten van de volgende oefening. Werk daarna uit met behulp van je rekenmachine.
a
− 361 =
− 19
b
− 361 =
gaat nie
et
c
3600 =
60
d
10 201 =
101
i
− 1296 =
e
4 937 284 =
2222
j
− 39 601 =
−199
− 15 625
f
− 213 444 =
− 462
f
1 000 000 =
g − 48 841 =
h − 900 =
1000
− 221
− 30
− 36
8Werk uit met je rekentoestel
a
25 3 =
b
− 2025 =
c
− 16 4 =
− 65 536
d
529 =
23
i
1157 625
j
e 105 3 =
− 45
g 256 3 =
h
7921 =
(− 4)12 =
12 321 =
16 777 216
89
16 777 216
111
54
Lb
Wb
71
54
9 aWelke macht van 4 is gelijk aan 256? De vierde macht.
Lwb 90
bWelke macht van 2 is gelijk aan 128? De zevende macht.
cWelke macht van 3 is gelijk aan 243?
De vijfde macht.
dWelke macht van 5 is gelijk aan 1? De nulde macht.
Lb
Wb
Lwb
71
54
90
10 Commandorekenen.
a
–36
b
110
: 9
–4
121
: 3
–17
+ 13
202
. (–1)
4
–
–11
– 3
–20
: 101
2
2
– 9
–20
. (–3)
60
. 8
16
+ 11
c
–51
d
189
–8
–6
: (–5)
4
: 10
6
( )2
256
( )2
36
( )3
64
+ 10
16
– 31
225
+ 14
50
8
4
–
–15
Lb
Wb
Lwb
72
54
90
11Als je één groot blad van een krant zou plooien, dan heb je 2 bladen die op elkaar liggen.
Altijd over …
We plooien nu nog enkele keren …
a Hoeveel bladen liggen op elkaar na 3 keer plooien?
23 = 8
b Hoeveel bladen liggen op elkaar na 5 keer plooien?
25 = 32
c Hoeveel bladen liggen op elkaar na 64 keer plooien? Kun je dit getal berekenen?
264 = 1,845 . 1019
d Neem nu als dikte voor één blad 0,1 mm. We hebben 64 keer geplooid en we hebben dus
een berg papier voor ons liggen. Hoe hoog is deze berg? Druk deze hoogte uit in kilometer.
 1,845 . 1012 km
 1,845 biljoen km
e Hoe hoog is dit eigenlijk? Als je weet dat de afstand aarde-zon ongeveer 150 miljoen kilometer bedraagt, hoeveel keer kan deze afstand dan in jouw hoopje krantenpapier?
 12 297 maal
Deel 2
Gehele getallen
55
f Als je bij de laatste plooi 1 cm2 wil overhebben, hoe groot moet je eerste stuk krantenpapier zijn? Druk dit getal uit in km2.
1844 674 407 km2
Lb
Wb
Lwb
72
55
91
12Wil je werken voor een hongerloon of ben je liever vlug miljonair?
Stel dat je komende zomer een vakantiejobje
zoekt. Een boer uit de omgeving wil je wel wat
laten bijverdienen. Hij stelt je voor om gedurende 4 weken van 5 werkdagen op zijn boerderij
te komen helpen: stallen uitmesten, op het land
werken … hard labeur dus.
Hij stelt je ook een loon voor: de eerste dag zou
je 1 cent verdienen, de tweede dag het dubbele
(2 cent zowaar!), en dan steeds de volgende dag
het dubbele van wat je daags voordien verdiende.
Zou je het aanbod aannemen? Reken misschien
eerst uit hoeveel je in het totaal zou verdienen
Altijd over …
voor je antwoord geeft aan die boer.
aHoeveel zou je verdienen op de 5e werkdag?
24 = 16
Je zou 16 cent verdienen.
bHoeveel zou je de laatste (20e) werkdag verdienen?
219 = 524 288
Je zou 524 288 cent of 5242,88 euro verdienen.
cHoeveel heb je verdiend als je het loon van alle dagen zou samentellen?
220 – 1 = 1 048 575
Je zou 10 485,75 euro verdienen.
56
Lb
Wb
Lwb
72
56
92
13Weet je wat een stamboom is? Stel dat we je helemaal onderaan plaatsen en boven jou maken
we plaats voor je ouders. Zo heb je er twee. Vermits zij ook elk twee ouders hebben, heb je dus 4
grootouders. En ga zo maar door …
Om het een beetje eenvoudiger te maken, starten we wanneer jij geboren werd en veronderstellen we dat je ouders allebei 25 waren. Je moeder en je vader werden allebei geboren toen
hun ouders ook net 25 werden. En ook de grootouders zagen het levenslicht toen de overgrootouders 25 werden. Wat een ongelooflijk toeval!
- 50 jaar
- 25 jaar
jij
a Als we iedere keer 25 jaar teruggaan, hoeveel voorouders van jou werden dan 100 jaar voor
jouw geboorte geboren? Schrijf dit getal ook als een macht.
24 = 16
b Hoeveel grootouders werden er 200 jaar geleden geboren? Schrijf ook dit getal als een
macht.
28 = 256
c Kun je nu berekenen hoeveel voorouders er van jou leefden in het jaar 0?
280 (Zoveel namen waren er toen nog niet.)
Deel 1
Algebraïsch rekenen
57
Volgorde van bewerkingen
2.5
Lb
Wb
Lwb
75
57
95
1 Werk uit. Denk aan de volgorde!
a 29 – (12 + 7) – 4 = 29 – 19 – 4 = 6
b 48 – (39 – 15 + 8) – (65 – 62 + 4) = 48 – 32 – 7 = 9
c (17 – 14 + 7) – 7 + 8 – (12 – 9) = 10 – 7 + 8 – 3 = 8
d (80 – 18 – 8) + 17 – 15 – 12 + (8 – 5) = 54 + 17 – 15 – 12 + 3 = 47
e 80 – (18 – 10) + 17 – (15 – 12) + (8 – 5) = 80 – 8 + 17 – 3 + 3 = 89
Lb
Wb
Lwb
75
57
95
2Werk uit. Let op de volgorde van bewerkingen.
a 85 – 3.5 + 3.4 = 85 – 15 + 12 = 82
b (85 – 3) . 5 + 3.4 = 82 . 5 + 3 . 4 = 410 + 12 = 422
c (85 – 3.5 + 3).4 = (85 – 15 + 3) . 4 = 73 . 4 = 292
d 3.(15 – 4.2) + 7.(12 – 2.3) = 3 . (15 – 8) + 7 • (12 – 6) = 3 . 7 + 7 . 6 = 21 + 42 = 63
e 3.15 – 3.(4 + 2) + 10.(5 + 3.6 – 2.7) = 3 . 15 – 3 . 6 + 10 . (5 + 18 – 14) = 3 . 15 – 3 . 6 + 10 . 9 = 45 – 18 + 90 = 117
(45
–
12)
+
2
+
10
.
5
+
3
.
4
=
33
+
2 + 10 . 5 + 3 . 4 f (3.15 – 3.4) + 2 + 10.5 + 3.(6 – 2) =
= 33 + 2 + 50 +12 = 97
g 8.(15 – 8).4 – 66.(72 – 69) + 4.3 = 8 . 7 . 4 – 66 . 3 + 4 . 3 = 224 –198 + 12 = 38
Lb
Wb
Lwb
75
57
95
3Werk uit.
a 16 : 2 – 5 + (15 : 3).2 = 16 : 2 –5 + 5 . 2 = 8 – 5 + 10 = 13
b 35.7 + 12.6 : 36 = 245 + 2 = 247
c (7 + 24 + 104) : 5 = 135 : 5 = 27
d 12.3 + 3.39 : 13 = 36 + 9 = 45
e (16 : 4) + 5.3 – (2 + 3.1) = 4 + 5 . 3 – (2 + 3) = 4 + 5 . 3 – 5 = 4 + 15 – 5 = 14
f
14: 2 + 3.2 – 3 = 7 + 6 – 3 = 10
g 6.(2 + 7).3 : (3.3) = 6 . 9 . 3 : 9 = 162 : 9 = 18
h 2 + 5.2 – 14:2 + 3.4 = 2 + 10 – 7 + 12 = 17
i
4.5 : 5 – 2.1 + 7.3 = 20 : 5 – 2 + 21 = 4 – 2 + 21 = 23
j
16 : 8 + 9.2 – 4.3 = 2 + 18 – 12 = 8
58
Lb
Wb
Lwb
75
58
96
4 Werk uit.
a (–7) . (–6) : 2 = 42 : 2 = 21
b (16 –4) : (–7 + 10) = 12 : 3 = 4
c (–6 – 10) : 2 + 5 = –16 : 2 + 5 = –8 + 5 = –3
d 19 – 5 . 2 + 15 : (–3) = 19 – 10 – 5 = 4
e 18 : (–3) + 5 : (–5) + 2 . (–7) = –6 – 1 – 14 = –21
f
10 : (–5) – (–4) : (–1) = –2 – 4 = –6
g (–2) + 4 : 2 + (–14) : 7 .(–2) = –2 + 2 + 4 = 4
h 8 – [(–4 + 5) – (6 – 11)] = 8 – [1 – (–5)] = 8 – [1 + 5] = 8 – 6 = 2
i
(36 – 9) + [3 – (2 + 16)] = 27 + [3 –18] = 27 + (–15) = 12
j
(–2 + 4) : 2 – 14 : 7 . (–2) = 2 : 2 – 14 : 7 . (–2) = 1 + 4 = 5
k (18 – 5) : (7 – 20) = 13 : (–13) = –1
l
[15 : (–3) – (–7)] : (–1) = (–5 + 7) : (–1) = 2 : (–1) = –2
m (–2 + 4) : 2 + (–14 : 7) . (–2) = 2 : 2 + (–2) . (–2) = 1 + 4 = 5
n (–21 : 3) . 4 – 18 : [3 . (-2)] = (–7) . 4 –18 . (–6) = –28 – (–3) = –28 + 3 = –25
o (–13 +4) : 3 . 2 –1 = (–9) : 3 . 2 –1 = –6 – 1 = –7
p (–8 + 3 –2) . (–7 – 9 – 2) = (–7) . (–18) = 126
q 121 – [(-8 + 12) – (5 + 12)] = 121 – (4 – 17) = 121 – (–13) = 121 + 13 = 134
r –(3 –8) + [2 – (61 – 7)] = –(–5) + (2 – 54) = 5 – 52 = –47
Lb
Wb
Lwb
75
58
96
5Waar ging het fout? Duid in de onderstaande oefeningen aan waar een fout is ingeslopen, en
bereken op de correcte manier.
foutieve volgorde c
a 2 + 3 . 5
= 2 + 15
= 5 . 5
= 25
= 17
b 8 . 5 – 3 . 2 + 5 foutieve volgorde d
Wb
Lwb
76
58
96
foutieve volgorde
= 5 + (3 + 4)
= 5 + 52
= 5 + 7
= 5 + 25
= 12
= 30
8 + 7 . 2 + 6
foutieve macht
2
= 40 – 6 + 5
= 34 + 5
= 40 – 11
= 39
= 8 + 28 + 6
= 8 + 98 + 6
= 29
= 42
= 112
Lb
5 + (3 + 2)2
= 8 + 14 . 2 + 6
= 8 + 49 . 2 + 6
6Werk uit.
a 42 : 2 . 4 = 16 : 2 . 4 = 32
b 36 – 36 : 9 + 32 . 23 = 36 – 36 : 9 + 9 . 16 = 36 – 4 + 144 = 176
c 27 + 40 . 51 – 2.3 = 27 + 1 . 5 – 2 . 3 = 27 + 5 – 6 = 26
d 107 – 32 + 5.3. 22 + 2.(32 + 22)2 = 107 – 32 + 5 . 3 . 22 + 2 . (9 + 4)2 = 107 – 32 + 5 . 3 . 22 + 2 .132
= 107 – 9 + 5 . 3 . 4 + 2 . 169 = 107 – 9 + 60 + 338 = 496 e 2 + 33 + 3. 72 + (3.7)2 = 2 + 33 + 3 . 72 + 212 = 2 + 27 + 3 . 49 + 441 = 2 + 27 +147 + 441 = 617
Deel 2
Gehele getallen
59
Lb
Wb
Lwb
76
59
97
7 Werk uit.
a 2 3. 25 + 3 . (2 + 5) =
2 3 . 25 + 3. 7 = 8. 5 + 3. 7 = 40 + 21 = 61
b
4 2 : 8 + 49 − 2 3 =
16 : 8 + 7 − 8 = 2 + 7 − 8 = 1
c
4 . 32 + 32 . 13 : 9 =
4. 9 + 9.13 : 3 = 36 + 39 = 75
d (2 . 3 3 − 4 . 22 ) . 3 + 36 . 2 =
=
e (4 2 : 8 + 8) . 3 − 25 . 12 : 22 =
=
Lb
Wb
Lwb
76
59
97
(2. 27 − 4. 4). 3 + 36. 2
(54 − 16).3 + 36. 2 = 38. 3 + 36. 2 = 38. 3 + 6. 2 = 114 + 12 = 126
(16 : 8 + 8). 3 − 25. 12 : 22
(2 + 8). 3 − 25. 12 : 22 = 10.3 − 25. 12 : 22 = 10. 3 − 5. 12 : 4 = 30 − 15 = 15
8Een tussendoortje… Gebruik je rekenmachine.
1
8
11
2
3
3
6
1
0
9
3
19
23
27
30
2
20
2
24
4
7
1
2
3
6
6
9
7
25
2
8
5
28
1
3
7
10
13
2
14
16
0
5
5
2
3
4
29
31
2
Horizontaal
1
(2 . 27 + 6)2 + 10 . 22
4
10 3 . 64 + 102 . 4 + 82
8
7
4
2
0
8
1
6
1
22
26
0
6
4
1
2
6
2
9
8
18
21
5
8
1
5
6
6
9
12
15
4
0
5
9
17
4
3
3
1
4
4
4
0
3
2
Verticaal
1
3 . 10 3 + 2 . 102 − 1
2
81 . (102 − 3 . 11)
3 . (7 2 + 3 . 7) : 2
3
1600 + 25
10
(10 − 8)8 − 62
5
2 . 121
11
3 + 9 100
6
(− 15 + 21) . ( − 10)2 + (− 4) . (− 5) + (3 − 5) . (-4)
12
(50 + 8) (5 − 3) . 10 : 2 − 1
7
22 . 10 3 + 2 4
400 . 32 − 7
99 999 − 47 328
14
3
4
15
− 2 . 3 . (− 43)
9
12
17
(−5)3 . (− 2) + (− 4)2
13
5453 . 18
18
112 + 2 . (2 − 12)
15
(− 13)2
20
105 − 4 2 . 32 . (10 + 7)
23
(−5)(−9) + 1
16
19
(− 20) . (− 20) − (− 1) − (− 1)
1 234 . 2
25
(60 − 80)(−3 . 2) − 2(− 7)
21
2(162 + 81)
26
155 : 25
22
50 . 60 + (− 10) . (− 10) + 5 . 8 + 16 : 2
24
(− 25 )4
26
73
27
29
5
2
2
10 . 36 + 3 . 8 − 1
160 000 + 1600 + 16
30
(− 40) . 20 . ( − 10) + 1 000 : 2 + 72
28
3 . (2 + 22 ) + 19
31
211 − 2 4
29
(− 5) . (− 8)
60
Lb
Wb
Lwb
77
60
98
9 Werk uit.
a
2 3 . 25 − 3 . (2 + 5) − 14 : 7 =
17
b
(−4)2 : 8 − 49 − (− 2)3 =
3
c
− 4 . 32 − 32 . 13 : 9 =
−75
d
[ − 2 . 32 − 4 . (− 2)3 ]: 7 + 36 . 2 = 14
e
[(-4)2 8 + 8] . 3 − 25 . 12 : (− 2)2 = 393
f
(− 4)2 : (1− 9 ) =
−8
g
5 . (−3) − 2 . 12 + 1 =
−20
h
4 2 : (− 1− 9 ) + 5.(−3) =
− 19
i
( − 4)2 : (− 1− 9 ) + 5 . (− 3) =
−19
j
6 . ( − 2)3 : 9 − 81 : 3 − 2 =
−21
k
4 2 + 25 . 2 − 8 : (−2)2 =
24
l
(−4)3 + 25 . (−2) − 8(−2)3 =
− 10
m
− 4 2 + (− 3)3 : 9 − 18 : 9 . 2 =
− 31
n
4 + (−3)3 : (−9) − 18 : 9 . 2 =
−5
o
52 − (− 2)4 : (− 4) + 15 : 3 . 4 =
28
p
Lb
Wb
Lwb
77
60
98
144 − 2 . ( 169 − 100 ): 6 =
11
q
(3 3 . 22 − 400 ) . 2 − 125 : 625 = 191
r
(18 − 22 ): ( 25 − 9 ) =
7
s
(−1)5 + 51 − (132 − 14 3 )0 =
3
t
10 3 − [3 . ( 4 . 4 − 9 ) + 22 ] =
993
10Werk uit.
a
[(7 + 5 . 3 − 8): 7] . 5 =
10 b
[(12 + 1) . 2 − 8 : 8]: 5 + 3 . (− 2): (− 3) =
7
c
[10 − (8 − 5) . 22 ]3 . 22 . 7-3 =
−40
d
[(28 − 5 . 4):8 . 6] + 44 =
50
e
[(111: 3 − 5): 8] − 18 : 6 =
1
f
100 − [(724 : 4 + 9): 2] + 10 =
15
g
[25 . 10 : (− 2) + (13 + 2) . (−10) . (−1)]: 25 = 1
h
(−2)2 . 6 + 1 : 26 − 1 =
1
Deel 2
Gehele getallen
61
Lb
Wb
Lwb
77
61
99
11Bij het oplossen van volgende oefeningen werden per oefening een aantal fouten gemaakt. Noteer
het nummer van de stap en vermeld wat er fout is.
a
6 − 2 . [(18-3) . 6] + 25 − 9 II ➀
b
2 . (8 − 4) − 16 . 8 − 16 . 2
II ➁
2 . 4 − 16 . 8 − 16 . 2
II ➂
8 − 106 − 32
II ➃
66
4 . [(18 − 3) . 6) + 25 − 9
II ➁
4 . 15 . 6 + 5 − 3
II ➂
4 . 15 . 8
II ➃
480
Lb
Wb
Lwb
77
61
99
2 . (8 − 16 ) − 16 . (8 − 2)
II ➀
6 − 2 = 4 moet wachten:
……………………………………………………………………………………
− 16 · (8 − 2) = − 16 · 8 + 16 · 2
……………………………………………………………………………………
s!
(volgorde) eerst haakjes
……………………………………………………………………………………
of: eerst haakjes uitrekenen
……………………………………………………………………………………
25 − 9 ≠ 25 − 9
……………………………………………………………………………………
telfout: 16 · 8 = 128
……………………………………………………………………………………
Volgorde: eerst · dan pas + −
……………………………………………………………………………………
Volgorde: van links naar rechts
……………………………………………………………………………………
12Werk uit.
a
b
c
d
e
15 + 1 + 1 =
[(10 − 5 . 2 + 3)2 ]3 =
102 + 15 . 22 + 81 =
(5 + 2)2 − 50 − 12 =
(28 : 4 . 52 + 625 ): 2 =
3
729
79
42
10
f
[36 : (6 − 3) . 2 : 1+ 8] . 2 + 4 . 2 =
72
g
3 + 7 . 2 − 4 : 2 + 9 : 3 . [3 + (18 : 2)] =
51
h
(2 . 2 3 − 10)2 . 26 − 1 =
180
i
22 . 6 + 1 : 3 . 9 : 9 =
5
j
10(25 : 8) + 8 . 3 =
8
62
Rekenen met lettervormen
2.6
Lb
Wb
Lwb
80
62
102
Lb
Wb
Lwb
81
62
103
1 Vul de volgende tabel verder aan.
LETTERVORM
CIJFERGEDEELTE OF
COEFFICIENT
LETTERGEDEELTE
-5xy
–5
xy
6a2b3c
6
a2b3c
81ab2c2
81
ab2c2
x3y4
1
x3y4
5(a + b)
5
(a + b)
2Bereken de getalwaarde van de volgende lettervormen voor a = –2, b = 5, c = –8 en d = 4.
a ab + cd = –2 . 5 – 8 . 4 = – 10 – 32 = –42
b (c–a) . b = (–8 + 2) . 5 = –30
c (a + cb) . d = (–2 + (–8) . 5) . 4 = –168
d (a + b) . (c + d) = (–2 + 5) . (–8 + 4) = 3 . (–4) = –12
e a + b . (c + d) = –2 + 5 . (–8 + 4) = –2 + 5 . (–4) = –22
f
4a + 2b + cd = 4 . (–2) + 2 . 5 + (–8) . 4 = –8 + 10 – 32 = –30
g a + b + c + d = –2 + 5 – 8 + 4 = –1
h 3abc + d = Lb
Wb
Lwb
81
62
103
3 . (–2) . 5 (–8) + 4 = 244
3Bereken de getalwaarde van 3a + b . (2c + d) waarbij:
a a = 6; b = 5; c = –3; d = 9
3 . 6 + 5 . (2 . (–3) + 9) = 3 . 6 + 5 . (–6 + 9) = 3 . 6 + 5 . 3 = 18 + 15 = 43
b a = 0; b = 15; c = 1; d = –21
3 . 0 + 15 . (2 . 1 – 21) = 3 . 0 + 15 . (2 – 21) = 3 . 0 + 15 . (–19) = 0 – 285 = –285
c a = –19; b = –25; c = 56; d = 72
3(–19) – 25(2 . 56 + 72) = 3 . (–19) – 25(112 + 72) = 3(–19) – 25 . 184 = –57 – 4600 = –4657
d a = 105; b = 184; c = 68; d = 243
3 . 105 + 184 . (2 . 68 + 243) = 3 . 105 + 184 . (136 + 243) = 3 . 105 + 184 . 379 = 315 + 69736 = 70051
Deel 2
Gehele getallen
63
Lb
Wb
Lwb
81
63
103
4 Bereken de volgende getalwaarden.
a 3xy + z2
voor x = –3;
y = –5;
z = –4
wordt: 3 . (–3) . (–5) + (–4) 2 = 3 . (–3) . (–5) + 16 = 3 . 15 + 16 = 45 + 16 = 61
b (x + y)2 – 2x
voor x = 8;
y = 9
wordt: (8 + 9)2 – 2 . 8 = 172 –2 . 8 = 289 – 2 . 8 = 289 – 16 = 273
c (y + z) . (2y –x2)
voor x = –11; y = 68;
wordt: (68 + 91) . (2 . 68 – (–11)2) = (68 + 91) . (2 . 68 –121) = (68 + 91) . ( 136 – 121)
= 159 . 15 = 2385
d y2 . z + 3x – y + 2z
voor x = 10;
y = 5;
z = –13
wordt: 52 . (–13) + 3 . 10 – 5 + 2 . (–13) = 25 . (–13) + 3 . 10 – 5 + 2 (–13)
= –325 + 30 – 5 – 26 = –326
e –x3y2 + 5z2
z = 91
voor x = 7; y = 14;
z = –19
wordt: –73 . 142 + 5 . (–19) 2 = –343 . 196 + 5 . 361 = –67 228 + 1805 = –65 423
Lb
Wb
Lwb
81
63
104
5Bereken de getalwaarde voor de opgegeven getallen.
a a2 + b . c
voor a = –5, voor a = 4, Lb
Wb
Lwb
81
63
104
c = –5
voor a = 20, b = 14 c = –9
voor a = –6, b=8
c = –16
wordt: 20 – (14 + (–9)) = 20 – 5 = 15
d a2 . (b – c)2
b = –8 wordt: (4 + (–8) – (–5))3 = (4 – 8 + 5)3 = 13 = 1
c a – (b + c)
c = –3
wordt: (–5)2 + 12 . (–3) = 25 + 12 . (–3) = 25 – 36 = –11
b (a + b – c)3
b = 12 wordt: (–6)2 . (8 – (–16))2 = (–6)2 . (8 + 16)2 = (–6)2 . 242 = 36 . 576 = 20 736
6Bereken de getalwaarde van volgende uitdrukkingen als a = 5, b = 6 en c = 10.
a (a + b – 1) . c = wordt: (5 + 6 –1) . 10 = 10 . 10 = 100
b 2a – 3b + c = wordt: 2 . 5 – 3 . 6 + 10 = 10 – 18 + 10 = 2
64
c a + c – b : 2 = wordt: 5 + 10 – 6 : 2 = 5 + 10 – 3 = 12
d 2a . (–b) + c = wordt: 2 . 5 . (–6) + 10 = –60 + 10 = –50
wordt: 6 . 6 – 5 = 36 – 5 = 31
e b . b – a = 2
f
(a . c) : 2 + b2 = wordt: (5 .10) : 2 + 6 = 50 : 2 + 36 = 25 + 36 = 5 + 36 = 41
Lb
Wb
Lwb
81
64
104
7 Vul volgende tabel aan.
Lb
Wb
Lwb
81
64
105
a
b
c
a+b
a . (b – c)
–a . b
a.c
(b2 – c) . (–a + b)
9
–13
–6
–4
–63
117
–54
–3850
–21
19
30
–2
231
399
–630
13 240
–16
–17
3
–33
320
–272
–48
–286
7
–10
12
–3
–154
70
84
–1496
–4
3
–7
–1
–40
12
28
112
8In de tabel van oefening 7 bekijken we de resultaten van de zesde en de zevende kolom.
a Maak voor elke oefening de som van de resultaten van de zesde en de zevende kolom.
117 + (–54) = 63
399 + (–630) = –231
–272 + (–48) = –320
70 + 84 = 154
12 + 28 = 40
b Vergelijk deze resultaten met het resultaat dat je had in de vijfde kolom.
Telkens het tegengestelde.
c Zoek een verklaring en geef de eigenschap die je hiervoor nodig hebt.
–a . b + a . c = a . (–b + c) is tegengestelde van a . (b –c) (Distributieve eigenschap).
Lb
Wb
Lwb
82
64
105
9Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
a 12xy + 25 xy – 37 xy + 35 xy = 35xy
b 27a + 24a +21a – 25a = 47a
c 18a2b + a2b + 89a2b = 108a2b
d 9x2y2 + 16x2y2 – 6x2y2 = 19x2y2
e –15a – a = –16a
f
2a + 5a + 6b + 9a – 6b + 8a = g 2ab – 9ac + 8 + 6ab – 14 = 24a + 12b
8ab – 9ac – 6
Deel 2
Gehele getallen
65
h 18ab2 – 57a2b + 64a2b – 8ab2 = Lb
Wb
Lwb
82
65
105
i
4x + 3xy –x – 2xy – 5xy + 2x + y = 5x – 4xy + y
j
–18x2 + 58x – 19x2 + 84x2 + 49 = Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a 13 + b – 7 = 6+b
b 3x – 8y + 14x – 4y = 17x – 12y
c a – b + b = a
d 3x + (y – x) + 2y = 3x +y – x + 2y = 2x + 3y
e a + b + 4 + (–5) – b = a –1
5x – (3y + 4) = Lwb
82
65
106
5x – 3y – 4
g a + a + a + a – a + a = 4a
h 3x + (x – 3) – (4x + 8) = 3x + x – 3 – 4x – 8 = –11
i
a + (–3b – 7) – (b + a) = j
–15xy2 – 8xy + 4xy2 – 6xy2 = –17xy2 – 8xy
k 3a – a + 3b – b = l 3xy – 2x2y2 + 5x2y2 – 6xy = Wb
47x2 + 58x + 49
10In de volgende oefeningen stellen de letters willekeurige gehele getallen voor.
f
Lb
10ab2 + 7a2b
a – 3b – 7 – b – a = – 4b – 7
2a + 2b
–3xy + 3x2y2
11Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
a –4b . 20 a = –80ab
b 5a . 3a . 7a = 105a3
c 2ab . 5c . 2ac = 20a2bc2
d –14d . a . 3a = –42a2d
e 10 xy2z . 4z = 40xy2z2
f
2 abc2 . 3a = 6a2bc2
g –15xy . (–10xy) . 2 . 3xy = 900x3 y3
h 6ab . 4bc . ac . (–5) = i
8a . 5a . (–2a) . 3a . 4 = j
a . 4 . abb . 3 . ba . 6 . ab = 72a4b4
–120a2b2c2
–960a4
66
Lb
Wb
Lwb
82
66
106
Lb
Wb
Lwb
82
66
106
12 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a –2 . a . b = –2ab
d 3x . (2x) . (–4x) = –24x3
b 2a . (–3b) = –6ab
e [x . (5x) . 4] . (–2) = –40x2
c –4a . (–6b) = 24ab
f
7xy . (–3xy) . (–2xy) = 42x3y3
13Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
a 2 . (a + b) = 2a + 2b
b (m + 1) . (–6) = –6m – 6
c 2x . (5 – 4a) = 10x – 8a
d 4x . (3y + 4z + 5a) = 12xy + 16 xz + 20 ax
e (2a + b – 3c) . 7 = 14a + 7b – 21c
f
15a2 + 45a
5a . (3a + 9) = g (6x + 3y) . 6x = 36x2 + 18xy
h –7a . (5b + c) = –35ab – 7ac
i
a . (ac + ab) = a2c + a2b
j
(18a – 24b + 34) . 17ab = 306 a2b – 408ab2 + 578ab
Lb
Wb
Lwb
14Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
82
66
107
a (a + 5) . (b + 6) = a . b + a . 6 + 5 . b + 5 . 6 = ab + 6a + 5b +30
b (a + bc) . (x – y) = a . x + bc . x + a . (–y) + bc . (–y) = ax + bcx – ay – bcy
c (x – a) . (b – y) = x . b + x . (–y) + (–a) . b + (–a) . (–y) = bx –xy –ab + ay
d (a + 5) . (a + 4) = a . a + a . 4 +5 . a + 5 . 4 = a2 + 4a + 5a + 20 = a2 + 9a + 20
(–2a) . 3b + (–2a) . 2a + b . 3b + b . 2a = –6ab – 4a2 + 3b2 + 2ab
e (–2a + b) . (3b + 2a) = = –4ab – 4a2 + 3b2
2
2
2
–x y + 2x – y + 2
f (x + 1) . (–y + 2) = Lb
Wb
Lwb
82
67
107
g (–11a – 7) . (–20a – 9) = 220a2 + 99a + 140a + 63 = 220a2 + 239a + 63
h (2a + 1) . (3a + 4) = 6a2 + 8a + 3a + 4 = 6a2 + 11a + 4
i
(x + 6) . (x + 6) = x2 + 6x + 6x + 36 = x2 + 12 x + 36
j
(–12x + 19y) . (19x – 12y) = –228x2 + 144xy + 361xy – 288y2 = –228x2 + 505xy – 228xy2
15 Werk de haakjes weg en formuleer welke eigenschap je hebt toegepast.
a a + (b – c) = a + b – c
b a . (b + c) = ab + acHet vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in Z.
Deel 2
Gehele getallen
67
c a . (b . c) = abcHet vermenigvuldigen in Z is associatief.
d a + (b + c) = a + b + cHet optellen in Z is associatief.
e a . (b – c) = ab – acHet vermenigvuldigen is distributief t.o.v het aftrekken in Z.
a – (b – c) = a – b + c Het aftrekken in Z is associatief.
g a – (b + c) = a – b – cHet aftrekken in Z is associatief.
h (a + b) – c = a + b – cHet aftrekken in Z is associatief.
f
i
(a + b) . c = ac + bcHet vermenigvuldigen is distributief t.o.v het optellen in Z.
j
(a . b) . c = abcHet vermenigvuldigen in Z is associatief.
k (a + b) + c = l
(a – b) . c = a + b + cHet optellen in Z is associatief.
ac – bcHet vermenigvuldigen is distributief t.o.v het aftrekken in Z.
m a + (–b + c) = a – b + cHet optellen in Z is associatief.
n a . (–b + c) = Lb
Wb
Lwb
83
67
108
16Werk de haakjes weg en werk uit (indien mogelijk).
a 9 – (a + 7) = 9 – a –7
= 2 – a
b 5 + (a – 1) = 5 + a – 1
= 4 + a
c 12 – (a – 8) = 12 – a + 8
= 20 – a
d 15 + (a + 4) = 15 + a + 4
= 19 + a
e 15 – (15 – a) = 15 – 15 + a = a
15 + (a – 15) = 15 + a – 15 = a
f
Lb
Wb
Lwb
83
68
108
–ab + acHet vermenigvuldigen is distributief t.o.v het optellen in Z.
g 8 – (8 – a) = 8 – 8 + a
= a
h a + (b – a) = a + b – a
= b
i
m – (m – b) = m – m + b = b
j
28 – (a + 14) = 28 – a – 14 = 14 – a
17Werk de haakjes weg en werk uit (indien mogelijk).
a (a + b + c) – (d + e) = a + b + c – d – e
b a + (b – c) – (d + e) = a + b – c – d – e
c –(a + b) – (c – d) + (e – 8) = –a – b – c + d + e – 8
a/ – b – d – e –a/ = –b – d – e
d a + (–b – d) – (e + a) = –a – b + c – 3 + c + 5 = –a – b + 2c + 2
e [–(a + b) + (c – 3)] + (c + 5) = 68
f –[a + (b – c) – (3 + a)] = –[a + b – c – 3 – a] = –b + c + 3
g a – [–(b + c) – (d + e)] = a – [–b – c – d – e] = a + b + c + d + e
h a + b – [(c + d) – (a – b)] = a + b – [c + d – a + b] = a + b – c – d + a – b = 2a – c – d
Lb
Wb
Lwb
83
68
108
18Werk de haakjes weg en werk uit (indien mogelijk).
a 2 + (5 – b) = 2 + 5 – b = 7 – b
b 3 – (–4 + a) = 3 + 4 – a = 7 – a
c 6 . (–3 . a) = –18a
d –4 – (3 + c) = –4 – 3 – c = –7 – c
e (a – 3) + 2 = a – 3 + 2 = a –1
(b + 5) – 6 = b + 5 – 6 = b – 1
f
Lb
Wb
Lwb
83
68
109
g –3 . (–4 . b) = 12b
h 4 . (3 + a) = 12 + 4a
i
– 4 . (2 + c) = –8 – 4c
j
–4 . (–2 + c) = 8 – 4c
19Werk de haakjes weg en werk uit (indien mogelijk).
a 5 . (a . 2) = 10a
b 5 . (a + 2) = 5a + 10
c 5 + (a + 2) = 5 + a + 2 = 7 + a
d –6 – (a + 4) = –6 – a – 4 = –10 – a
e 3 . (a – b) = 3a – 3b
f
(3a – 2) . 4 = 12a – 8
g (8a + 5) . (–2) = –16a – 10
h [a . (5b)] . 4 = 4a . 5b = 20 ab
i (a + b – c) . 2 = 2a + 2b – 2c
j (12 – 7) . 6a = 72a – 42
Deel 2
Gehele getallen
69
Lb
Wb
Lwb
83
69
109
20 Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
a 2 + a + 7 = 9+a
b 12 + a + 5 – 7 + b = 10 + a + b
c (3 + a + b) + (2 + b) = 3 + a + b + 2 + b = 5 + a + 2b
d 7 . x . (–4) . y . 2 . z = –56xyz
e 3 . (2a – 7) = 6a – 21
f
g (2a + 3b) . (4c – 8d) = 8ac – 16ad + 12 bc – 24bd
h a–5+a:a = a–5+1=a–4
5 . (2a + 3b) + ­–6 . (3a + 4b) = 10a + 15b – 18a – 24b = –8a – 9b
i 6 . (a – 2b) + 3 . (2a – 4b) = j 2a . 52 . b . 8 c = 6a – 12b + 6a – 12b = 12a – 24b
16abc . 25 = 400abc
Lb
Wb
Lwb
21Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
83
69
109
a 46x – 12x + 9x – 59x – 8x = –24 x
b d . 17a . (–12c) . 4b . 3d = –2448abcd2
c 27x . 52y . 3x . 0z . 17 = 0
d (2a + 6) . (2a + 4) = 4a2 + 8a + 12a + 24 = 4a2 + 20a + 24
e 4x . (8x + 3) = 32x2 + 12x
f
g (9a + 12b) . (16x + 14) = 144ax + 126a + 192bx + 168b
h 8ab – 5a + 6b – 7ab + 4b – ab = 5b
i
3a + 5 . (a + 2) = 3a + 5a + 10 = 8a + 10
j
(3a – 5) . (a + 2) = 3a2 + 6a – 5a – 10 = 3a2 + a – 10
Lb
Wb
Lwb
83
69
110
–1680a4
5a . 7a . 8a . (–6a) = 22 Vul in zodat er een ware uitspraak staat.
a x + 0 = x
e –x . (–x) = x2
i
x–0=x
b x – x = 0
f
j
x:1=x
c x + x = 2x
g x . 1 = x
d x . 0 = 0
h x : (–x) = –1
x . 2 = 2x
70
Lb
Wb
Lwb
83
70
110
Lb
Wb
Lwb
84
70
110
23 Werk uit en noteer zo eenvoudig mogelijk.
x2 + 8x + 16
=
a (x + 4)2
b (2a – 6)2 = 4a2 – 24a + 36
c (3a + 2a) . a = 5a2
d (2ab + 3ab – ab) . 4ab = 16a2b2
e –x . (x + 1) = –x2 – x
f
g –8x . 5x + 20x2 = –20 x2
h 9xy . (9xy + xy) = 90x2y2
i
5 . a + b + 5 . (a + b) = 10a + 6b
j
x + 5 . (x – 5) + (x – 5) . (5 + x) =
x2 + 6x – 50
tip: dit is (x + 4) . (x + 4)
2x2
(x + x) . x = 24Karsten en Evelien hebben een zeer gekke papa, die goed met zijn geld kan omgaan. Hij probeert dit ook zijn kinderen bij te brengen en geeft hun zakgeld. Het bedrag dat hij geeft is
afhankelijk van hun leeftijd. Met de volgende formule kun je berekenen hoeveel ze per week
krijgen:
a–4
(a = leeftijd)
Maar de mama wil de kinderen ook wat bijbrengen. Kleding kost geld, en daarom geeft ze een
bedrag aan de kinderen dat aan kleding moet worden gespendeerd.
2 . (a – 5)
(a = leeftijd)
aAls Evelien 12 jaar is, hoeveel “kleedgeld” heeft zij dan tegoed per week?
2 . (12 – 5) = 14
Ze krijgt 14 euro kleedgeld.
bKarsten en Evelien kunnen echter goed rekenen en tellen alles op.
Wat wordt nu de nieuwe formule? Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a – 4 + 2(a – 5)
3a – 14
cHoeveel geld krijgt Karsten (14 jaar) in totaal (zakgeld + kledinggeld) per week?
3 . 14 – 14 = 28
Hij krijgt 28 euro per week.
dKarsten wordt volgende week 15. Reken uit hoeveel geld hij nu meer zal krijgen.
}
3 . 14 – 14 = 28
31 – 28 = 3 3 . 15 – 14 = 31 Hij zal 3 euro per week extra krijgen.
eHoe oud zal Evelien zijn als ze in totaal 130 euro per week zal krijgen?
3a – 14 = 130
a = 48
Evelien zal 48 jaar zijn.
Deel 2
Gehele getallen
71
Lb
Wb
Lwb
84
71
111
25Een geheim getal raden!
Iemand kiest een willekeurig getal. Hoe kunnen we achterhalen welk getal dit was?
1 Vraag om het getal met vijf te vermenigvuldigen.
2 Vraag om nadien 6 op te tellen.
3 Laat nu dit resultaat met 4 vermenigvuldigen.
4 Tel er 9 bij op.
5 Het resultaat met 5 vermenigvuldigen.
6 En nu vraag je het resultaat.
Als je dit getal nu met 165 vermindert en nadien de nullen weglaat, dan heb je het gevraagde
getal!!!
Probeer dit gerust nog enkele keren.
Probeer dit nu te verklaren (gebruik als gekozen getal n, het volgende getal wordt 5n, daarna
5n + 6, …)
((5n + 6) . 4 + 9) . 5 – 165 = 100n
72
ergelijkingen
V
en vraagstukken
2.7
Lb
Wb
Lwb
88
72
115
1 Los volgende vergelijkingen op in Z.
x + 17 = 8 F x = 8 – 17 F x = –9
k 3 . x = –222 F x = – 222 : 3 F x = –74
l
m x + 125 = 125 F x = 125 – 125 F x = 0
d x : (–5) = 25 F x = 25 . (–5) F x = –125
n x : 35 = –6 F x = –6 . 35 F x = –210
e x : 15 = 0 F x = 0 . 15 F x = 0
o (–3) + x = –51 F x = –51 + 3 F x = –48
f
p 2x = –1042 F x = –1042 : 2 F x = –521
g –154 + x = 29 F x = 29 + 154 F x = 183 h x – (–5) = 16 F x + 5 = 16 F x = 16 –5 F x = 11r x – 16 = –9 F x = –9 + 16 F x = 7
i
9 – x = 71 F 9 – 71 = x F –62 = x
s –8 . x = 72 F x = 72 : (–8) F x = –9
j
–5x = 65 F x = 65 : (–5) F x = –13
t 7x = –861 F x = –861 : 7 F x = –123
a
b –x = 12 F x = 12 : (–1) F x = –12
c
–12 . x = 36 F x = 36 : (–12) F x = –3
(–3) . x = 51 F x = 51 : (–3) F x = –17
4 + x = 2 F x = 2 – 4 F x = –2
q x : (–11) = 132 F x = 132 . (–11) F x = –1452
Lb
Wb
Lwb
2 Los op in Z.
89
72
116
a
b –88 = –11 + 7x F –11 + 7x = –88 F 7x = –88 + 11 F 7x = –77 F x = –77 : 7 F x = –11
c
d 26 = 5 + 3v F 5 + 3v = 26 F 3v = 26 –5 F 3v = 21 F v = 21 : 3 F v = 7
e 4t – 7 = 29 F 4t = 29 + 7 F 4t = 36 F t = 36 : 4 F t = 9
f
g 2 – 3z = 11 F –3z = 11 – 2 F –3z = 9 F z = 9 : (–3) F z = –3
h 33 = 3 - 6a F 3 – 6a = 33 F –6a = 33 – 3 F –6 = 30 F a = 30 : (–6) F a = –5
i
10b – 15 = –115 F 10b = – 115 + 15 F 10b = –100 F b = –100 : 10 F b = –10
j
x : 2 + 15 = 16 F x : 2 = 16 –15 F x : 2 = 1 F x = 1 . 2 F x = 2
k 5x = –21 + 2x F 5x – 2x = –21 F 3x = –21 F x = (–21) : 3 F x = –7
l
m 2 + 5x = 16 - 2x F 5x + 2x = 16 – 2 F 7x = 14 F x = 14 : 7 F x = 2
n 1 + 2a – 7= 5 + 9a – 11 F 2a – 9a = 5 –11 –1 + 7 F –7a = 0 F a = 0
o
p 7 – (–x + 1) = 9x + 6 F 7 + x – 1 = 9x + 6 F x –9x = 6 – 7 + 1 F –8x = 0 F x = 0
q 8b – 6(b – 1) = 7(10 – 2b) F 8b – 6b + 6 = 70 – 14b F 2b + 14b = 70 – 6 F 16b = 64 F b = 4
r
2 + (x +1 ) = 2(x + 1) F 2 + x + 1 = 2x + 2 F x – 2x = 2 – 2 – 1 F –x = –1 F x = 1
s
(c – 5) – (c – 9) – (8 – c) = 0 F c – 5 – c + 9 – 8 + c = 0 F c = 4
t
3x + 13 = 3(x - 12) valse vergelijking
3y + 5 = –25 F 3y = –25 – 5 F 3y = –30 F y = –30: 3 F y = –10
–5x + 73 = 13 F –5x = 13 – 73 F –5x = –60 F x = –60 : (–5) F x = 12
–7 + 5x = –47 F 5x = –47 + 7 F 5x = –40 F x = –40 : 5 F x = –8
2x + 3 = 9 +4x F 2x – 4x = 9 – 3 F –2x = 6 F x = 6 : (–2) F x = –3
5y – 3 = –4y + 37 + y F 5y + 4y – y = 37 + 3 F 8y = 40 F y = 40 : 8 F y = 5
Deel 2
Gehele getallen
73
Lb
Wb
Lwb
89
73
116
3 Zet om in een lettervorm en gebruik hierbij de onbekende x.
a
36 meer dan een getal b het dubbel van een getal c
7 minder dan een getal x + 36
2x
x – 7
d de helft van een getal x : 2
e het kwadraat van een getal x2
f
twee opeenvolgende getallen g een even getal x en x + 1
2x
h twee opeenvolgende even gehele getallen 2x en 2x + 2
i
een oneven getal 2x + 1
j
twee opeenvolgende oneven getallen 2x + 1 en 2x + 3
k een vijfvoud l
twee opeenvolgende vijfvouden 5x
5x en 5x + 5
Lb
Wb
Lwb
4 Los volgende vraagstukken op door middel van een vergelijking.
89
73
117
aAls je 35 van een getal aftrekt, dan krijg je 70. Welk is dit getal?
• x = het getal
• x – 35 = 70 F x = 70 + 35 F x = 105
• Het getal is 105.
bHet vijfvoud van een getal is –515. Welk is dit getal?
• x = het getal
• 5x = –515 F x = –515 : 5 F x = –103
• Het getal is –103.
cAls je een getal deelt door –13, krijg je 169. Welk is dit getal?
• x = het getal
• x : (–13) = 169 F x = 169 . (–13) F x = –2197
• Het getal is –2197.
d –17 vermeerderd met een getal is 17. Welk is dit getal?
• x = het getal
• –17 + x = 17 F x = 17 + 17 F x = 34
• Het getal is 34.
74
e 45 meer dan een getal is –101. Welk is dit getal?
• x = het getal
• x + 45 = –101 F x = –101 – 45 F x = –146
• Het getal is –146.
fAls je een getal deelt door –33, krijg je 297. Welk is dit getal?
• x = het getal
• x : (–33) = 297 F x = 297 . (–33) F x = –9801
• Het getal is –9801.
gHet drievoud van een getal is 6 minder dan 18. Welk is dit getal?
• x = het getal
• 3x = 18 – 6 F 3x = 12 F x = 12 : 3 F x = 4
• Het getal is 4.
hHet dubbel van een getal is 8 meer dan –26. Welk is dit getal?
• x = het getal
• 2x = –26 + 8 F 2x = –18 F x = –18 : 2 F x = –9
• Het getal is –9.
Deel 1
Algebraïsch rekenen
75
Coördinaten
2.8
Lb
Wb
Lwb
91
75
119
1 Stel in een assenstelsel (x, y) de volgende punten voor.
A (–5, 2)
C (0, –4)E (–5, –4)
B (3, –3)
D (7, –3)
F (8, 0)
y
8
7
6
5
4
3
A
2
1
0
–5
F
1
–1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
–2
–3
E
–4
B
C
D
–5
Lb
Wb
Lwb
91
75
119
2Stel de volgende punten voor in een assenstelsel (x, y) en verbind ze. Welke figuur ontstaat er?
A (0, 5)
C (0, –5)
B (5, 0)
D (–5, 0)
y
8
7
6
5 A
4
3
2
D
–5
1
0
B
1
–1
2
3
4
5
6
7
–2
–3
een vierkant
–4
–5
–6
–7
–8
C
8
9 10
x
76
Lb
Wb
Lwb
91
76
120
3 A heeft als coördinaat (a + 1, b) en ligt in het 3e kwadrant.
a = –5
b = –1
a Geef een mogelijke waarde voor a en b.
bAan welke voorwaarde(n) moeten a en b voldoen ? Ze moeten allebei negatief zijn en a Õ –1
Lb
Wb
Lwb
4 Gegeven is het punt A (3, 4). Wat is de coördinaat van het punt B
91
76
120
a dat symmetrisch ligt t.o.v. x-as met A ?
(3, –4)
b dat symmetrisch ligt t.o.v. y-as met A ?
(–3, 4)
Lb
Wb
Lwb
91
76
120
5 Noteer de coördinaten van de punten in het volgende assenstelsel.
y
J
L
B
7
F
(–2, 6)
6
(3, 6)
(8, 7)
5
(–7, 5)
4
A
3
2
C
1
(–5, 1)
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
E
–3
(0, –4)
–4
–5
Wb
Lwb
91
76
120
2
3
4
5
6
7
8
9
x
(–1, –2) –2
(–5, –3)
Lb
1
–1
D
H
(6, 3)
G
(5, –4)
M
(9, –5)
6In Hammerfest, aan de
Noordkaap, worden telkens
op het middaguur de
temperaturen opgemeten.
De wetenschappers die
de metingen uitvoeren
begonnen op 1 januari. Dit
zijn de meet-resultaten:
DAG
1
2
3
4
5
6
TEMPERATUUR in °C
–12
–9
–5
3
7
5
7
8
8
2
Deel 2
Gehele getallen
77
a Plaats deze metingen in een assenstelsel.
8
temperatuur
(in °C)
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
dag
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
b Plots vinden onze wetenschappers ook de meetresultaten van de laatste dagen van het
vorig jaar. De dag waarop de wetenschappers aankwamen aan hun meetstation, was het
–8 °C. De dag ervoor –9 °C en de dag daarvoor –5 °C. Breng ook deze gegevens aan op de
grafiek.
78
Opgaande en
niet-opgaande deling
2.9
Lb
Wb
Lwb
93
78
123
1 Bepaal uit je hoofd telkens het quotiënt en de rest van de volgende delingen.
Noteer ook of het een opgaande of niet-opgaande deling is.
a 25 : 3 = q = 8; r = 1; niet opgaande deling.
b 27 : 14 = q = 1; r = 13; niet opgaande deling.
c 27 : 6 = q = 4; r = 3; niet opgaande deling.
d 13 : 2 = q = 6; r = 1; niet opgaande deling.
e 38 : 12 = q = 3; r = 2; niet opgaande deling.
f
Lb
Wb
Lwb
93
78
123
13 : 18 = q = 0; r = 13; niet opgaande deling.
g 36 : 5 = q = 7; r = 1; niet opgaande deling.
h 14 : 7 = q = 2; r = 0; opgaande deling.
2Bepaal telkens met de staartdeling het quotiënt en de rest van de deling.
Noteer ook of het een opgaande of een niet-opgaande deling is.
a 762 : 14 c 58 088 : 123
762 14
–70 54
58088 123
–492 472
62
888
–56
–861
6
278
–246
32
q = 54; r = 6; niet opgaande deling
b 5405 : 23
d 9882 : 61
5405 23
–46 235
q = 472; r = 32; niet opgaande deling
9882 61
–61 162
80
378
–69
–366
115
122
–115
–122
0
0
q = 235; r = 0; opgaande deling
q = 162; r = 0; opgaande deling
Deel 2
Gehele getallen
79
e 7691 : 532
g 1484 : 106
7691 532
1484 106
–532 14
–106 14
2371
424
–2128
–424
243
0
q = 14; r = 243; niet opgaande deling
q = 14; r = 0; opgaande deling
f
10 112 : 112
h 2 752 935 : 223
10112 112
2752935 223
–1008 90
–223 12345
32
522
–0
–446
32
769
–669
1003
–892
1115
–1115
0
Lb
Wb
Lwb
93
79
124
q = 90; r = 32; niet opgaande deling
q = 12 345; r = 0; opgaande deling
3 a Zoek een methode om met je rekenmachine quotiënt en rest van een deling te vinden.
(Tip: maak de oefeningen 1 en 2 opnieuw met je rekenmachine).
Afhankelijk van het soort rekenmachine: zie de gebruikshandleiding van het toestel.
b Zoek met je rekenmachine q en r van de volgende delingen:
1303 : 45
q = 28
r = 43
217 134 : 562
q = 386
r = 202
80
Lb
Wb
Lwb
93
80
125
4 Vul de volgende tabel in en noteer ook je berekeningen.
deeltal
2108
227
42 009
471
5919
deler
quotiënt
rest
9
65
89
48
90
123
15
3528
49
72
0
2645
56
47
13
b 42009 471
________________________________________________________________________________________________________________
a 2108 227
–20439
–3768 89
________________________________________________________________________________________________________________
–4239
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
4329
65
90
c 48 . 123 + 15 = 5919
d 3528 72
–288 49
648
–648
0
Lb
Wb
Lwb
93
80
125
e 2645 – 13 = 2632 en 2632 : 47 = 56
5Onderzoek de volgende eigenschap aan de hand van 2 voorbeelden.
Vermenigvuldigt men deeltal en deler van een deling met een zelfde getal, dan blijft het quotiënt
onveranderd, maar wordt de rest met dat getal vermenigvuldigd.
12 :   7 q = 1
↓. 4 ↓. 4
r =   5   65 : 11 q = 5
r = 20
48 : 28 q = 1
↓. 4
↓. 3 ↓. 3
195 : 33 q = 5
r = 10
↓. 3
r = 30
Deel 2
Gehele getallen
81
Lb
Wb
Lwb
93
81
126
Lb
Wb
Lwb
93
81
126
6Onderzoek wat er gebeurt met het quotiënt en de rest van een deling, als je deeltal en deler door
een zelfde getal deelt.
65 : 15 q = 4
↓: 5 ↓: 5
r = 5 Het quotiënt verandert niet.
r = 1
13 :   3 q = 4
↓: 5
De rest wordt door het getal gedeeld.
7Hoe verandert het quotiënt van een opgaande deling als
a men deeltal en deler met 5 vermenigvuldigt?
Het quotiënt blijft hetzelfde en de deling blijft opgaand.
8 4
–82
0
8 . 5 = 40
40 20
4 . 5 = 20
–402
0
b men alleen het deeltal met 5 vermenigvuldigt?
8 4
–82
0
8 . 5 = 40
40 4
–4 10
00
–0
0
Het quotiënt is vijf maal groter en de deling blijft opgaand.
82
Lb
Wb
Lwb
93
82
127
Lb
Wb
Lwb
94
82
127
8De deler van een deling is 23. De rest is 8. Wat is het grootste getal waarmee men het deeltal mag
vermeerderen zonder dat het quotiënt verandert? 22
Onderzoek dit probleem als volgt:
D
d
q
r
54
23
2
8
55
23
2
9
deeltal met 1 vermeerderd
56
23
2
10
deeltal met 2 vermeerderd
57
23
2
11
deeltal met 3 vermeerderd
58

23
2
12
deeltal met 4 vermeerderd
67
23
2
21
deeltal met 13 vermeerderd
68
23
2
22
deeltal met 14 vermeerderd
69
23
2
0
deeltal met 15 vermeerderd
9 D = 1126
D = 1174 (= 1126 + 48)
d = 48
d = 48
Zoek q en r.
Zoek q en r.
q = 23
r = 22
q = 24
r = 22
D = 1222 (= 1126 + 48 + 48)
D = 1078 (= 1126 – 48)
d = 48
d = 48
Zoek q en r.
Zoek q en r.
q = 25
r = 22
q = 22
r = 22
a Zoek telkens het quotiënt q en de rest r.
bWat besluit je hieruit?
D = d . q + r
c Formuleer deze eigenschap in woorden.
Lb
Wb
Lwb
94
82
127
Het deeltal is het product van de deler en het quotiënt vermeerderd met de rest.
10Een congrescentrum heeft 25 kamers van 6 personen.
Voor een congres schrijven 136 personen in.
aHoeveel kamers van 6 personen zullen dan benomen zijn?
136 : 6 q = 22
r = 4
Zijn er kamers niet bezet? Hoeveel personen slapen in een onvolledige kamer?
Er zijn 22 kamers van 6 personen bezet, 2 kamers blijven leeg.
4 personen slapen in een onvolledige kamer.
Deel 2
Gehele getallen
83
b Kunnen alle deelnemers logeren als we een kamerindeling van 5 personen per kamer maken?
25 . 5 = 125 Niet alle deelnemers zullen kunnen logeren. Er resten dan 11 deelnemers.
cBedenk een alternatieve kamerverdeling zodat we toch zo weinig mogelijk kamers moeten
gebruiken en de verdeling gelijk gespreid is.
Lb
Wb
Lwb
94
83
128
21 kamers van 6; 2 kamers van 5.
11Een jongen heeft 2327 postzegels in zijn verzameling. Hij wil ze opbergen in een ringmap. Hij
kan hiervoor speciale verzamelbanden kopen. De eerste soort kost 42 cent per blad en kan 25
zegels per blad opbergen. De tweede soort kost 35 cent per blad en kan 20 zegels per blad opbergen. Hij heeft een bedrag gespaard van 37 euro. Een ringmap heeft hij al.
aWelke bladen koopt hij best aan om zoveel mogelijk zegels te kunnen opbergen?
Eerste soort: 3700 : 42 q = 88 Aantal zegels: 88 . 25 = 2200
Tweede soort: 3700 : 35 q = 105 Aantal zegels: 105 . 25 = 2100
bHoeveel zegels blijven er over?
Hij koopt best 88 bladen van soort 1. Er blijven dan 127 zegels over.
cWelk bedrag heeft hij dan nog over?
Er rest hem nog 4 cent.
Lb
Wb
Lwb
94
83
128
12Het rekeningnummer van een financiële instelling bestaat uit 12 cijfers.
Voorbeeld:
280 - 0526250 - 62
verwijst naar de financiële
rekening-
instelling
nummer
controlegetal
Dit controlegetal is de rest van de deling van het getal gevormd door de eerste 10 cijfers door 97.
Zoek nu het controlegetal van volgende rekeningen en noteer je berekeningen:
000 - 0372119 - 27
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
393 - 0276827 - 78
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
035 - 0153691 - 84
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
422 - 4071068 - 40
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
84
Lb
Wb
Lwb
94
84
129
13Bij een opgaande deling is het quotiënt 16. De som van deeltal en deler is 1 326. Zoek deeltal en
deler.
D + d = 1326 en D = d . 16
Lb
Wb
Lwb
94
84
129
dus: 16d + d = 17d = 1326 of d = 78
D = 1248
d = 78
14 Vervang de stippen door gepaste cijfers. a . . . . .
27
. . 27
5.
54
b . . . 9 . 53
. . . 9 . 53
. . . . 169
...
21.
...
21.
...
b 28196 53
a 32616 27
–27 1208
0
–265 532
56
169
–54
–159
216
106
–216
–106
0
0
0
Deel 1
Algebraïsch rekenen
85
2.10
Lb
Wb
Lwb
100
85
135
Deelbaarheid in N
1 Geef door opsomming:
a del 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
b del 39 = {1, 3, 13, 39}
c del 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
d del 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
e 4N = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …}
11N = {0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, …}
g 12N = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, …}
h 13N = {0, 13, 26, 39, 52, 65, 78, …}
f
Lb
Wb
Lwb
100
85
135
2 Duid met een kruisje de juiste uitspraken aan.
is deelbaar
door 2
door 4
door 25
door 9
door 5
door 3
278
3125
4000
164
32 875
342
1020
4888
Lb
Wb
Lwb
100
85
136
3 Noteer een getal, bestaande uit 4 cijfers dat
a deelbaar is door 9 3267
d deelbaar is door 4 en 9 b deelbaar is door 25 3275
e deelbaar is door 100 en 3 8400
c deelbaar is door 3 en 2 1752
Lb
Wb
Lwb
101
85
136
4Als een getal deelbaar is door 15, dan is het ook deelbaar door 3. Verklaar.
Wat denk je van het omgekeerde? Verklaar ook dit antwoord.
Bv.: 60 is deelbaar door 15 want 60 = 15 . 4 en 60 = 3 . 5 . 4
Het omgekeerde geldt niet: 27 is deelbaar door 3, niet door 15.
dus ook deelbaar door 3 (15 is zelf een drievoud!)
3816
86
Lb
Wb
Lwb
101
86
136
5 In het getal 378x stelt x het cijfer van de eenheden voor. Zoek x als 378x een
a tweevoud is.
d negenvoud is.
x is 0, 2, 4, 6 of 8.
b vijfvoud is.
e viervoud is.
x is 0 of 5.
c drievoud is.
x is 0, 3, 6 of 9.
Lb
Wb
Lwb
101
86
136
Lwb
101
86
137
tweevoud en een negenvoud is.
x is 0.
Als we 728 het omgedraaide getal zouden noemen, bereken dan het verschil tussen getal en
omgedraaide getal. Is dit verschil een 9-voud?
Wb
f
x is 0, 4, of 8.
6Beschouw het getal 827.
Onderzoek of dit steeds zo is, met minstens drie andere voorbeelden, en plaats alles in tabelvorm.
Lb
x is 0 of 9.
getal
omgedraaide getal
verschil
verschil 9-voud?
827
728
…
ja / neen
827
728
99
ja
123
321
198
ja
9555
5559
3996
ja
12
21
9
ja
7 Vervang in volgende getallen elke letter door een cijfer, zodat het verkregen getal deelbaar is
a door 9 en 5: 4x57y
x = 2; y = 0 of x = 6; y = 5
b door 4 en 3: 20x2y
x = 2 of 5 of 8; y = 0 of x = 1; y = 4 of x = 4; y = 4 of x = 7; y = 4 of x = 0; y = 8 of x = 3; y = 8 of
x = 6; y = 8 of x = 9; y = 8
c door 25 en 10: 725xy
Wb
Lwb
101
86
137
x = 0 of 5; y = 0
d door 3, 9 en 4: 3x7y
Lb
x = 6; y = 2 of x = 2; y = 6
8 Noteer op het honderdveld alle drievouden (in blauw) en alle negenvouden (in rood). Zijn alle
negenvouden ook drievouden? Of zijn alle drievouden negenvouden? Hoe zie je dit op het honderdveld?
Alle negenvouden zijn 3-vouden.
Alle rode vakjes zijn ook blauw.
Het omgekeerde geldt niet.
Deel 2
Gehele getallen
87
Lb
Wb
Lwb
101
87
137
9Noteer op het honderdveld alle getallen die deelbaar zijn door twee (in groen), alle getallen die
deelbaar zijn door 5 (in zwart) en plaats een kruisje daar waar het getal deelbaar is door 2 en door
5. Wat is je conclusie?
Getallen die deelbaar zijn door 2 en 5 zijn deelbaar door 10
10Bereken en maak de negenproef:
a 4789 + 3859 + 12 109 =
4789
1
3859
7
+12109
4
20757
3
3
b 372 . 4289 =
372
.4289
3348
2976
744
1488 3
6 6
5
4
1595508
c 8275 . 319 =
8275
.319
74475
8725
24825 2644225
7 7
4
d de Euclidische deling van 20 037 door 952
20037 952
–1904 21
997
3 3
–952
45
7
3
88
e de Euclidische deling van 11 308 door 98
11308 98
–98 115
150
–98
528
–490
8 is de rest van 98 : 9
8
7 is de rest van 115 : 9
4
4
4 is de rest van (8 . 7 + 38) : 9
7
4 is de rest van 11 308 : 9
38
Lb
Wb
Lwb
101
88
138
11Een leerling heeft een bewerking uitgevoerd. Hij controleert deze met het maken van de negenproef. De negenproef klopt.
Ben je absoluut zeker dat de leerling juist gerekend heeft? Verklaar.
Neen! De leerling begaat227 11
–11 12
bijvoorbeeld een telfout27
Lb
Wb
Lwb
101
88
139
2 2
–22
bij de eerste deling:
5
2
3
12Een jaartal geeft een schrikkeljaar weer als het getal deelbaar is door 4, tenzij het eindigt op
twee nullen. Dan moet het getal deelbaar zijn door 400.
Zijn volgende jaartallen schrikkeljaren?
a 1984
d 1998
g 2004
b 1200
e 1996
h 1780
f
i
c 1900
2000
1700
Deel 2
Gehele getallen
89
Lb
Wb
Lwb
102
89
139
13 Over volmaakte getallen.
6 = 1 + 2 + 3 = de som van al zijn delers (6 uitgezonderd).
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = de som van al zijn delers (496 uitgezonderd).
Een volmaakt getal is een getal dat gelijk is aan de som van al zijn delers, het getal zelf uitgezonderd.
a Controleer of 8128 een volmaakt getal is.
del 8128 = {1,8128, 2,4064, 4,2032, 8,1016, 16,508, 32,254, 64,127}
De som is 8128 (8128 uitgezonderd), het is een volmaakt getal.
b Zoek nog een volmaakt getal, dat kleiner is dan 40.
6 en 28 zijn volmaakte getallen.
c Merk op dat 6 en 496 ook driehoeksgetallen zijn. Dit geldt ook voor 8128.
6
•
•  •
•  •  •
aantal stippen per zijde: 3
496
aantal stippen per zijde: 31
8128
aantal stippen per zijde: 127
Is je gevonden getal beneden de 40 ook een driehoeksgetal?
Controleer dit en maak een tekening.
28 Aantal stippen per zijde: 7
Lb
Wb
Lwb
102
90
139
14Over bevriende getallen.
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
(of de som van de delers van 284, uitgezonderd 284 zelf).
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (of de som van de delers van 220, uitgezonderd 220 zelf). Daarom noemen we 220 en 284 bevriende getallen.
Twee getallen zijn bevriende getallen als de som van de delers van het eerste getal (op uitzondering van het getal zelf), gelijk is aan het andere getal, en omgekeerd.
90
Zijn de volgende getallen bevriende getallen?
a 222 en 150
Neen
b 1184 en 1210
Ja
c 2620 en 2924
Ja
d 5020 en 5564
Ja
Lb
Wb
Lwb
102
90
140
15 Controleer de volgende uitspraak met enkele voorbeelden.
Als 2 getallen niet deelbaar zijn door 3, dan is hun som of verschil wel deelbaar door 3.
Voorbeeld:
1e getal
2e getal
som
verschil
deelbaar door 3?
7
11
18
4
som
10
14
24
4
som
31
1
32
30
verschil
Deel 2
Gehele getallen
91
Lb
Wb
Lwb
102
91
140
16 Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar? Controleer met een voorbeeld of verklaar.
aEen gemeenschappelijke deler van 2 getallen is ook een deler van het verschil.
Waar
57 – 36 = 21
3 is een deler van 57, 36 en 21.
b Van 6 op elkaar volgende natuurlijke getallen is er altijd één dat door 6 deelbaar is.
Waar
(er is altijd een 6-voud bij)
cAls een getal niet deelbaar is door 5, dan is zijn tweede macht een 5-voud + 1 of een
5-voud – 1.
Waar
(= 730 – 1)
Alle 2e machten van getallen die niet eindigen op 5, eindigen op 1, 4, 6 of 9
d De tweede macht van een even getal is altijd een 4-voud.
WAAR
(2a)2 = 4a2, dus een 4-voud
eDe tweede macht van een oneven getal is ook oneven en laat bij deling door 8 als rest 1 over.
WAAR (2n + 1)2
= (2n + 1)(2n + 1)
= 4n2 + 2n + 2n +1
= 4n2 + 4n + 1
= 4n(n +1) + 1
V
even
= 8-voud + 1
92
2.11
Lb
Wb
Lwb
107
92
145
Lb
Wb
Lwb
107
92
145
Lb
Wb
Lwb
107
92
145
GGD en KGV
1 Omcirkel bij de onderstaande getallen de priemgetallen.
1
41
2
5
0
143
201
565
602
101
48
39
33
29
27
23
53
59
63
77
2 aBestaan er even priemgetallen?
87
97
Ja slechts één: 2
b Zoek het kleinste priemgetal dat groter is dan 50.
c Zoek het grootste priemgetal dat kleiner is dan 100.
53
97
3 De Griek Eratosthenes, die in de derde eeuw voor Christus leefde, trok op zoek naar priemgetallen, gewapend met een zeef. Alle priemgetallen bleven achter in deze zeef terwijl de nietpriemgetallen er door vielen.
Hoe ging hij tewerk? Om alle priemgetallen kleiner dan 100 te vinden, deed hij het volgende:
- hij noteerde alle getallen van 2 tot 100 (waarom begon hij pas vanaf 2?);
- hij handelde volgens volgend schema:
n=2
omcirkel n
schrap alle veelvouden van n
zijn alle getallen
in de tabel
omcirkeld of
geschrapt?
JA
KLAAR
NEEN
n wordt het volgende,
niet-doorstreepte getal
- als hij klaar was, waren alle priemgetallen omcirkeld, terwijl de niet-priemgetallen geschrapt waren.
Probeer jij nu op deze manier alle priemgetallen kleiner dan 200 te vinden.
101 • 103 • 107 • 109 • 113 • 127 • 131 • 137 • 139 • 149 • 151
• 157 • 163 • 167 • 173 • 179 •181 • 191 • 193 • 197 • 199
Deel 2
Gehele getallen
93
Lb
Wb
Lwb
107
93
146
Lb
Wb
Lwb
108
93
146
Lb
Wb
Lwb
108
93
146
Lb
Wb
Lwb
108
93
146
4Zoals je kon lezen zijn er oneindig veel priemgetallen. Er bestaat geen formule om ze te berekenen. Wel zijn er enkele “bijna-formules” gevonden. Zo levert de uitdrukking n2 + n + 41 priemge
tallen op voor n = 0 tot n = 39. Controleer dit a.d.h.v. 5 voorbeelden.
n = 2
4 + 2 + 41 = 47
een priemgetal
n = 8
64 + 8 + 41 = 47
een priemgetal
n = 12
144 + 12 + 41 = 197
een priemgetal
n=0
0 + 0 + 41 = 41
een priemgetal
n = 10
100 + 10 + 41 = 151
een priemgetal
Voor n = 40 krijg je jammer genoeg geen priemgetal meer. Controleer dit!
n = 40
1600 + 40 + 41 = 1681
geen priemgetal (deelbaar door 4)
5In 1742 schreef Goldbach het vermoeden neer dat elk even getal groter dan 2 te schrijven is
als de som van 2 priemgetallen.
Zo is 4 = 2 + 2
6=3+3
8=3+5
10 = 5 + 5
12 = 5 + 7
Controleer zelf dit vermoeden voor 16; 20; 24; 38; 76; 100; 240; 440 (Tot op heden heeft nog
niemand hiervoor een bewijs gevonden!)
16 = 3 + 13
38 = 7 + 31
20 = 7 + 13
76 = 17 + 59
24 = 5 + 19
100 = 3 + 97
240 = 19 + 221
440 = 201 + 239
6 Tussen een natuurlijk getal (groter dan 1) en zijn dubbel ligt altijd minstens één priemgetal. Onderzoek dit met 5 voorbeelden.
getal . dubbel > priemgetal
2 . 4 > 3
3 . 6 > 5
7 . 14 > 11 (of 13)
8 . 16 > 11 (of 13)
9 . 18 > 11 (of 13 of 17)
7In het rijtje 2, 3, 4, 5, 6, 7 zitten 4 priemgetallen. Het is niet mogelijk om nog een ander rijtje
van 6 opeenvolgende getallen te vinden met daarin 4 priemgetallen. Waarom niet?
In een rij van 6 opeenvolgende getallen zijn steeds 3 getallen deelbaar door 2.
Alleen als het eerste getal 2 zelf is, kan je 4 priemgetallen bekomen.
94
Lb
Wb
Lwb
108
94
147
8 Ontbind de volgende getallen in priemfactoren:
48
36
30
150
459
460
1078
1173
4949
48 2
36 2
30 2
150 2
459 3
242
182
153
753
1533
122
93
55
255
513
62
33
1
55
1717
33
1
1
1
150 = 2 . 3 . 52
459 = 33 . 17
1
48 = 24 . 3
Lb
Wb
Lwb
108
94
148
36 = 22 . 32
30 = 2 . 3 . 5
468 2
1078 2
1173 3
4949 7
2302
5397
39117
7077
1155
777
2323
101101
2323
1111
1
1
1
1
468 = 22 . 5 . 23
1078 = 2 . 72 .11
1173 = 3 . 17 . 23
4949 = 72 . 101
9Ontbind 72 en 3780 beide in priemfactoren. Leg dan uit waarom 72 geen deler kan zijn van 3780.
72 2
3780 2
362
18902
182
9453
93
3153
33
1053
1
355
77
1
72 = 2 . 3 3
2
3780 = 22 . 33 . 5 . 7
In de ontbinding van 72 komt één keer de factor 2 meer in dan in de ontbinding van 3780.
Deel 2
Gehele getallen
95
Lb
Wb
Lwb
108
95
148
Lb
Wb
Lwb
108
95
148
10 Bepaal (uit het hoofd of door opsomming van de delers) de ggd van:
a 30 en 20 10
b 48 en 60 12
c 27 en 36 9
d 12 en 18 6
e 21 en 14 7
f 32 en 56 8
11 Bepaal (uit het hoofd of door opsomming van de veelvouden) het kgv van:
a 4 en 7 28
b 8 en 6 24
c 20 en 30 60
d 4 en 12 12
e 10 en 15 30
f 8 en 12 24
g 20 en 25 100
h 2, 4 en 6 12
96
Lb
Wb
Lwb
108
96
149
12 Zoek de grootste gemene deler (gebruik de praktische werkwijze).
a ggd (38, 54)
d ggd (1196, 5720)
38 2
54 2
1488 2
1152 2
1919
273
7442
5762
1
93
3722
2882
33
1862
1442
1
933
722
3131
362
1
182
93
33
1
38 = 2 . 19
1488 = 24 . 3 . 31
54 = 2 . 3
1152 = 2 . 3
ggd (38,54) = 2
ggd (1488, 1152) = 24 . 3 = 16 . 3 = 48
3
7
b ggd (375, 525)
2
e ggd (1488, 1152)
375 3
525 3
1196 2
5720 2
1255
1755
5982
28602
255
355
29913
14302
55
77
2323
7155
1
1
1
14311
1313
1
375 = 3 . 53
1196 = 22 . 13 . 23
525 = 3 . 5 . 7
5720 = 23 . 5 . 11 . 13
ggd (375, 525) = 3 . 52 = 3 . 25 = 75
ggd (1196, 5720) = 22 . 13 = 4 . 13 = 52
2
c ggd (72, 90, 108)
f
ggd (2440, 460, 920)
72 2
90 2
108 2
2440 2 460 2
920 2
362
453
542
12202 2302
4602
182
153
273
6102 1155
2302
93
55
93
3055 2323 1155
33
1
33
6161 1
2323
1
1
1
1
72 = 23 . 32
2440 = 23 . 5 . 61
90 = 2 . 32 . 5
460 = 22 . 5 . 23
108 = 2 . 3
920 = 23 . 5 . 23
ggd (72, 90, 108) = 2 . 32 = 2 . 9 = 18
ggd (2440, 460, 920) = 22 . 5 = 4 . 5 = 20
2
3
Gehele getallen
Deel 2
97
Lb
Wb
Lwb
108
97
150
13 Zoek het kleinste gemeen veelvoud (gebruik de praktische werkwijze).
a kgv (76, 240)
d kgv (7990, 2210)
76 2
240 2
7990 2
2210 2
382
1202
39955
11055
1919
602
79917
22113
1
302
4747
1717
153
1
1
55
1
76 = 22 . 19
7990 = 2 . 5 . 17 . 47
240 = 2 . 3 . 5
2210 = 2 . 5 . 13 . 17
4
kgv (76, 240) = 24 . 3 . 5 . 19 = 4560
b kgv (630, 360)
kgv (7990, 2210) =
2 . 5 . 13 . 17 . 47
= 103 870
e kgv (216, 240, 384)
630 2
360 2
216 2 240 2
384 2
3153
1802
1082 1202
1922
1053
902
542 602
962
355
453
273 302
482
77
153
93 153
242
1
55
33 55
122
1
1
62
1
33
1
630 = 2 . 3 . 5 . 7
216 = 2 . 3
360 = 23 . 32 . 5
240 = 24 . 3 . 5
2
3
kgv (630, 360) = 23 . 32 . 5 . 7 = 2520
c kgv (140, 248, 320)
f
3
384 = 27 . 3
kgv (216, 240, 384) =
27 . 33 . 5 = 17 280
kgv (220, 121, 418)
140 2
248 2
320 2
220 2
121 11 418 2
702
1242
1602
1102
1111 20911
355
622
802
555
1
77
3131 402
1111
1
1
1
202
1119
1
102
55
1
140 = 22 . 5 . 7
220 = 22 . 5 . 11
240 = 23 . 31
121 = 112
320 = 2 . 5
6
kgv (140, 248, 320) = 2 . 5 . 7 . 31
6
= 69 440
418 = 2 . 11 . 19
kgv (220, 121, 418) =
22 . 5 . 112 . 19 = 45 980
98
Lb
Wb
Lwb
109
98
151
14 Bereken.
a ggd (60, 84)
e kgv (56, 48)
60 2
84 2
302
153
56 2
48 2
422
282
242
213
142
122
55
77
77
62
1
1
1
33
1
22 . 3 = 12
24 . 3 . 7 = 336
b kgv (18, 24)
f
18 2
24 2
93
33
1
ggd (54, 72)
54 2
72 2
122
273
362
62
93
182
33
33
93
1
1
33
1
23 . 32 = 72
2 . 32 = 18
c kgv (42, 105)
g kgv (252, 525)
252 2
525 3
355
1262
1755
77
633
355
1
213
77
77
1
42 2
105 3
213
77
1
1
22 . 32 . 52 . 7 = 6300
2 . 3 . 5 . 7 = 210
d ggd (70, 105)
h ggd (32, 40, 56)
32 2
40 2
56 2
355
162
202
282
77
82
102
142
1
42
55
77
22
1
1
70 2
105 3
355
77
1
1
5 . 7 = 35
23 = 8
Deel 2
Gehele getallen
99
Lb
Wb
Lwb
109
99
152
15 Iemand houdt regelmatig zijn gas- en elektriciteitsverbruik bij.
Controle op het gasverbruik: om de 18 dagen.
Controle op het elektriciteitsverbruik: om de 24 dagen.
Vandaag controleerde hij beide meterstanden. Over hoeveel
dagen gebeurt dit voor het eerst opnieuw samen?
Lb
Wb
Lwb
109
99
152
kgv (18, 24) = 72
Binnen 72 dagen gebeurt dit opnieuw.
16 Drie stukken stof meten respectievelijk 180 m, 252 m en 324 m. Men wil ze verdelen in stukken
van gelijke lengte. Welke zal die lengte zijn als het aantal stukken zo klein mogelijk moet zijn?
180 2
252 2
324 2
902
453
153
1262
1622
633
813
213
273
55
1
77
93
1
33
Aantal stukken zo klein mogelijk,
dus de lengte zo groot mogelijk.
De lengte van één stuk is 36 meter.
1
180 = 22 . 32 . 5
252 = 22 . 32 . 7
324 = 22 . 34
ggd (180, 252, 324) = 22 . 32 = 36
Lb
Wb
Lwb
109
99
152
17In een metrostation vertrekt op spoor 1 om de twaalf minuten
een metrostel, op spoor 2 om de acht minuten en op spoor 3
om de 10 minuten. Als op dit moment op elk spoor een
metrostel vertrekt, wanneer zal dit dan de eerstvolgende keer
opnieuw gebeuren?
12 2
8 2
10 2
12 = 22 . 3
62
42
55
  8 = 23
33
22
1
10 = 2 . 5
1
1
kgv (12, 8, 10) = 23 . 3 . 5 = 120
Na elke 120 minuten zullen tegelijk op spoor 1, spoor 2 en
spoor 3 metrostellen vertrekken.
100
Lb
Wb
Lwb
109
100
153
18Men zet 2 klokken gelijktijdig op het juiste uur. De ene klok
loopt 10 minuten voor in 12 uur, de andere klok loopt 5
minuten achter in 12 uur. Na hoeveel dagen zullen ze weer
voor de eerste keer samen het zelfde uur aanwijzen?
Lb
Wb
Lwb
109
100
153
15 minuten verschil in 12 uur, 30 minuten verschil in 24 uur,
1 uur verschil in 2 dagen, 12 uren verschil in 24 dagen.
Na 24 dagen zullen de klokken voor de eerste keer samen
hetzelfde uur aanwijzen.
19 Twee opeenvolgende natuurlijke getallen zijn steeds onderling ondeelbaar. Illustreer deze
eigenschap met 3 voorbeelden.
ggd (18, 19) = 1
!
ok
ggd (3, 4) = 1
ok
ggd (100, 101) = 1 ok
Lb
Wb
Lwb
109
100
153
!
!
20 Controleer de volgende eigenschap met 3 getallenvoorbeelden:
Het product van 2 natuurlijke getallen is gelijk aan het product van hun ggd en hun kgv.
10 . 12 = 2 . 60
!
ok
!
ok
12 . 18 = 6 . 36
144 . 150 = 6 . 3600 ok
!
Deel 2
Gehele getallen
101
Lb
Wb
Lwb
109
101
154
21Onderzoek eerst met een getallenvoorbeeld en vul nadien de uitspraken verder aan: (a en b zijn
natuurlijke getallen en a æ b).
ggd (34, 17) = 17
ggd (34, 35) = 1
kgv (34, 17) = 34
kgv (34, 35) = 1190
Lb
Wb
Lwb
109
101
154
a is een veelvoud van b
a en b zijn onderling ondeelbaar
L
ggd (a, b) = b
ggd (a, b) = 1
L
kgv (a, b) = a
kgv (a, b) = a . b
22 Controleer de volgende eigenschap met 2 voorbeelden:
Vermenigvuldigt men 2 getallen met eenzelfde getal, dan wordt hun ggd ook met dat getal
vermenigvuldigd.
ggd (60, 84) = 12
ggd (180, 252) = 36
ggd (70, 105) = 35
ggd (140, 210) = 70
Geldt deze eigenschap ook voor het kgv? Onderzoek dit.
kgv (18, 24) = 72
36 2
48 2
kgv (36, 48) = 144
182
242
93
122
33
62
1
33
1
24 . 32 = 144
Ja, de eigenschap klopt ook voor kgv.
102
103
Rationale getallen
3.1
Even kennismaken > 104
3.2
Hoofdbewerkingen > 115
3
Machten en
vierkantswortels > 123
3.3 3.4
Volgorde van bewerkingen Rekenkundig gemiddelde > 125
Eigenschappen van de
hoofdbewerkingen > 132
3.5
3.6
Rekenen met
lettervormen > 136
3.7
Verhouding - Kans - Schaal- Percent > 143
Vergelijkingen en
vraagstukken > 153
3.9
Coördinaten > 159
3.10
Regelmaat > 160
3.8 104
Even kennismaken
3.1
Lb
Wb
Lwb
120
104
166
1 Stel het gearceerde deel voor met een breuk.
Moeten even lang zijn!
Lb
Wb
Lwb
121
104
167
3
5
4
7
________________________
12
_______________________
9
_______________________
2Kleur of arceer het passende deel van de gegeven tekening.
2
5
7
8
5
6
2
3
3
4
1
6
3
4
1
4
Deel 3
Rationale getallen
105
Lb
Wb
Lwb
121
105
167
3Bij een tornooi is het staafdiagram van de gewonnen wedstrijden voor de ploegen a, b, c en d het
volgende:
totaal
d
c
b
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
aSchrijf in breukvorm het aandeel van elke ploeg in het totaal van de wedstrijden.
d
7
17
c
3
17
b
5
17
a
2
17
bEr is in totaal 1275 euro te verdelen naar rato van de gewonnen wedstrijden.
Hoeveel krijgt elke ploeg?
Lb
121
Wb
105
d = e 525 c = e 225 b = e 375 a = e 150
4In een ander tornooi worden 18 wedstrijden gespeeld. De matchwinst is als volgt verdeeld:
Lwb
168
- ploeg a won 1 van de wedstrijden;
9
- ploeg b won 7 van de wedstrijden;
18
- ploeg c won 1 van de wedstrijden;
3
- ploeg d won 1 van de wedstrijden.
6
ploegen
a
b
c
d
totaal
wedstrijden
2
7
6
3
18
Vul de tabel en grafiek verder aan.
20
15
10
5
0
a
b
c
d
totaal
106
Lb
Wb
Lwb
122
106
168
5In een school met 369 leerlingen volgt 4 van de leerlingen “Latijn”, 1 volgt “Humane 9
3
Wetenschappen” en de rest volgt “Industriële Wetenschappen”.
aHoeveel leerlingen zitten er in elke groep?
bWelk is het breukdeel voor de groep “Industriële Wetenschappen”?
Lb
Wb
Lwb
122
106
168
Latijn: 164IW: 82HW: 123
82
369
2
9
___________________________________________________________________________________________________________
=
1
Peter: euro.
· 4 500
= 1 500over
000elke verkoper is
6In een firma met 4 verkopers is de omzet 4,5 miljoen
De 000
verdeling
3
opgenomen in onderstaande grafiek.
1
Karel: · 4 500 000 = 500 000
Welk was de omzet per verkoper?
9
1
7
Bart:
· 4 500 000 = 1 750 000
Peter: 3 · 4 500 000 = 1 500 000
18
1
1
Karel: · 4 500 000 = 500 000
Carlo: · 4 500 000 = 750 000
9
6
Bart: 7 · 4 500 000 = 1 750 000
18
1
Carlo: · 4 500 000 = 750 000
6
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Peter
Lb
Wb
Lwb
122
106
169
Lb
Wb
Lwb
122
106
169
Karel
Bart
Carlo
7Schrijf volgende breuken met een positieve noemer.
3
a –3 = …………………
4
–4
−8
b 8 = …………………
–5
5
3
c –3 = …………………
7
–7
12
d – 12 = …………………
–5
5
13
e –13 = …………………
17
–17
− 18
18
f
= …………………
–13
13
8 Geef van elk van volgende getallen het tegengestelde.
−7
a 7 …………………
2
2
4
b – 4 …………………
5
5
−6
c 6 …………………
7
7
3
d – 3 …………………
11
11
−0, 4
g 0,4 …………………
−17
e 17 …………………
18
18
1,25
h –1,25 …………………
f
–10 …………………
10
i
62,5 …………………
−62,5
Totaal
Deel 3
Rationale getallen
107
Lb
Wb
Lwb
123
107
169
9 Geef van elk van de volgende getallen het omgekeerde.
Lb
Wb
Lwb
123
107
169
3 …………………
4
17
d 15 …………………
4
17
3
15
4
35
−
b – 3 …………………
e 33 …………………
3
33
4
35
− 17
−1
c –12 …………………
f –10 …………………
12
10
17
Wb
Lwb
123
107
170
i
2
62,5 …………………
125
10Schrijf eenvoudiger.
Lb
5
g 0,4 …………………
2
−4
h –1,25 …………………
5
a
a
 288  − 288
−
=
 53 
53
h
13
 13 
−  = −
 17 
17
o
− (0,4 ) = − 0,4
4
b
 0
−  = 0
 4
i
 33 
−   = − 33
 35 
35
p
− ( − 1,25) = 1, 25
c
 1 1
−−  =
 2 2
j
− ( − 3,7 ) = 3,7
q
− ( −0, 8) = 0,8
d
−
2 2
=
7 7
k
3,14 = 3,14
r
− 3,7 = 3,7
e
 24 
 − 
48
l
 4
 − 
3
s
( −0, 8)−1 =
f
 1513 


752 
m
( − 8 ) −1 = −
t
0,1−1 = 10
g
 1
 
23
n
0,5 −1 = 2
−1
= −2
−1
=9
−1
=−
3
4
1
8
−1
= 23
u 16 −1 =
11 Verbind de gelijke breuken met lijnen in eenzelfde kleur.
7
8
2
3
16
30
-48
30
-8
5
35
40
21
24
4
6
-8
-12
8
15
-40
25
-56
-64
1
16
−5
4
108
Lb
Wb
Lwb
123
108
170
Lb
Wb
Lwb
124
108
170
12 Zet om tot een onvereenvoudigbare breuk.
Wb
Lwb
124
108
170
22 1
=
44 2
f
−
b
14 7
=
6 3
g
c
− 21 − 1
=
63
3
d
e
Lwb
124
108
170
Lwb
124
108
171
l
6545
17
=
13 475 35
h
− 120 − 2
=
180
3
m
1668 4
=
2085 5
5 1
=
15 3
i
108 9
=
120 10
n
230
2
=
6325 55
−9 −3
=
12 4
j
336
=3
112
o
−247 −19
=
533
41
24
16
21
14
18
12
15
10
12
8
9
6
6
4
3
2
105
315
15
45
21
63
a 15
b 21
c 35
35
105
________________________________________________________________________________________________________________
=
=
=
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
15Herleid – 48 tot een breuk met als noemer
30
−48
30
− 24
15
− 16
10
a 15
b 10
c5
−8
5
________________________________________________________________________________________________________________
=
=
=
Wb
72 2
=
108 3
Lb
1001 7
=
1430 10
________________________________________________________________________________________________________________
=
=
=
=
= = =
Wb
k
14Herleid 105 tot een breuk met als teller
315
Lb
16 − 4
=
20 5
13 Noteer alle breuken die gelijk zijn aan 24 en kleinere termen hebben.
16
Lb
a
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
16 Maak de volgende breuken gelijknamig:
a
12 8
,
15 25
4 8
20 8
→ ,
→ ,
5 25
25 25
e
11 5 85
22 60 85
11 50 85
→ , ,
→ ,
,
,
,
36 6 72
72 72 72
36 60 72
b
24 21
,
16 14
3 3
→ ,
2 2
f
7 15
,
36 96
→
56 45
,
288 288
c
12 − 1 15
1 5
→ ,
,
2, − ,
6 6 6
6 2
g
5 4 9
,
,
12 15 20
→
25 16 27
,
,
60 60 60
d
6
11
1 −11
9 −11
, −
→ ,
→ ,
12
18
2 18
18 18
h
17
7
,
148 222
→
21 34
,
444 444
Deel 3
Rationale getallen
109
Lb
Wb
Lwb
124
109
171
17 Vul in met < of >
Lb
Wb
Lwb
124
109
171
a
8
6
7
7
d
1
2
−
6
3
g
0,7 0,9
b
2
5
3
4
e
4
2
5
3
h
− 0,7 − 0,9
c
1
1
2
3
f
−9
−2
4
i
2,6 18Orden de volgende rationale getallen van klein naar groot.
a
1 5 3
, ,
2 9 4
1 5 3
2 9 4
b
4
5
2
, − , −
5
2
−3
4 −2 5
− 5 −3 2
c
1 2
5
, , −
3 7
2
5 2 1
− 2 7 3
d
−3 −7 −5 −1
,
,
,
7
3 7 3
−3 −1 5
−7 −5
7
3
7
3
7
1,07 1,17 1,7
e 1,7; 1,17; 1,07
f
− 2,9;
− 3; 0
g 11,66;
h
Lb
Wb
Lwb
124
109
171
Wb
Lwb
124
109
172
− 3 − 2,9 0
23
; 11,06
2
11,06 53,723; 53,7220; 53,7020; 53,7192
23
11,66
2
53,7020 53,7192 53,7220 53,723
19 Juist of fout?
a
1 3
<
3 9
b
fout
Lb
7
3
1
3
3
9
juist
c
1 3
>
3 9
1
3
d
fout
3
9
e
1 3
=
3 9
juist
juist
20 Zet de volgende breuken om in decimale vormen.
17
=
10
−1,7
g
7
=
42
0,166...
0,68
h
99
=
100
99
0,9
− 0,625
i
12
=
13
0,923076923076...
2,5
j
−8
=
7
−1142857142857
,
...
9
=
125
−0,072
k
27
=
110
0,24545...
39
=
15
− 2,6
l
523
=
37
14,135135. . .
a
−
b
17
=
25
c
−
d
35
=
14
e
−
f
−
5
=
8
110
Lb
Wb
Lwb
125
110
172
21Zeg van elke breuk - zonder uit te rekenen - of de decimale vorm begrensd of onbegrensd is.
Controleer achteraf met je rekenmachine.
Lb
Wb
Lwb
125
110
172
a
8
99
O
e
−
11
18
O
i
8
75
O
b
103
37
O
f
−
265
22
O
j
2
11
O
c
9
4
B
g
17
25
B
k
5
2
B
d
−6
60
B
h
−2
24
O
l
27
64
B
22Schrijf volgende decimale getallen als onvereenvoudigbare breuk.
1
5
i
2,012 = 503
250
b 4,5 = 9
2
j
8,5 = 17
2
c 0,025 = 1
40
k
21,3 = 213
10
d 8,06 = 403
50
l
1,05 = 21
20
e 0,125 = 1
8
m
–7,45 = − 149
20
f
2,75 = 11
4
n
32,105 = 6421
200
g 0,09 = 9
100
o
3,111 = 3111
1000
h 1,4 = 7
5
p
0,0020 = 1
500
a 0,2 = Lb
Wb
Lwb
125
110
173
23 Plaats de getallen in de tabel.
D
3
H
T
E
t
h
d
td
3
4
5
2
3
0
8
3
2
4
5
9
5
8
0
0
3
2
5
7
7
5
1
3
1
a 345,2308
c 58,0032
b 32,459
d 3 157,7513
Deel 3
Rationale getallen
111
Lb
Wb
Lwb
125
111
173
Lb
Wb
Lwb
125
111
173
Lb
Wb
Lwb
125
111
174
24 Vul in (gebruik eventueel de tabel).
a 8t = 80 h
b 17d = 170 td
d 900 d = 9 t
e 8T = 800 t
c 8E = 800 h
f
25 Noteer het getal a als je weet dat er 35 eenheden, 3 honderdsten en 9 tienduizendsten zijn.
a = 35,0309
26 Duid volgende getallen aan op een getallenas
−
a
1
2
2
;
3
; −
2
3
5
;
; −
3
–1
−
b
−
3
−
4
2;
–3
−1
2
Lwb
126
111
174
;
1
4
; −
1
2
1
3
4
2
2
3
;
5
8
;
−3
8
; 1;
Q
5
3
−2
4
0
1
4
5
8
1
2
1
2
Q
0,2 ; − 0,75 ; − 1 ; 3, 8 ; 4 ; − 2,7
–2
–2,7
Wb
3
1
2 1 1
− −
3 3
2 3
2 3
− −
4 8
c
4
0
4
−
3
Lb
7,5 E = 750 h
–1
0
–0,75
0,2
1
2
3
4
Q
3,8
27Schrijf op de stippen het passende rationaal getal.
a
b
5
−5
−5
2
−2
2
–2,5
–2,5
–2,5
9
−9
−9
8 –1
− 8 –1
8 –1
–1,125
–1,125
–1,125
c 9
−9
−9
4 –2
− 4 –2
4 –2
–2,25
–2,25
–2,25
–2
–2
–2
3
−3
−3
4
−4
4
–0,75
–0,75
–0,75
3
−3
−3
2
−2
2
–1,5
–1,5
–1,5
3
−3
–1
−3
2
–1
−2
–1
2
–1,5
–1,5
–1,5
3
−3
−3
8
−8
8
–0,375
–0,375
–0,375
3
−3
−3
4
−4
4
–0,75
–0,75
–0,75
1
−1
−1
2
−2
2
–0,5
–0,5
–0,5
1
1
8
0 1
0 8
0 8
0,125
0,125
0,125
1
1
0 1
4
0 4
0 4
0,25
0,25
0,25
1
1
1
2
2
2
0,5
0,5
0,5
0
0
0
3
3
3
2
2
2
1,5
1,5
1,5
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
0,5
0,5
0,5
3
3
3
4
4
4
0,75
0,75
0,75
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1,5
1,5
1,5
1
1
1
1,5
1,5
1,5
2
2
2
3
3
3
2,5
2,5
2,5
3
3
3
2
2
2
4
4
4
112
Lb
Wb
Lwb
126
112
174
28 a Duid van elk getal het tegengestelde aan op de getallenas en benoem.
–4
–3
-2
–1
0
1
2
3
4
–4
–3
-2
–1
0
1
2
3
4
bDuid van elk getal het omgekeerde aan op de getallenas en benoem het.
-2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
–1
2
−
3 –0,5
0
0,5
1
1,5
2
Kun je voor elk getal het omgekeerde terugvinden? Neen, niet voor nul
-2
–1,5
Lb
Wb
Lwb
126
112
174
Lb
Wb
Lwb
126
112
175
Lb
Wb
Lwb
127
112
175
2
−
3
\
29 Pietje Precies vereenvoudigt de breuk 27 als volgt: 27 = 27
24
24
24
\
= 7
4
Dit is fout natuurlijk! Maar toch …
26 = 2\6 = 2 … en dit klopt wel (deel teller en noemer van 26 door 13)!
65 65
\
5
65
Dit klopt nog bij 3 breuken waarvan teller en noemer kleiner zijn dan 100.
Zoek je mee?
49 = 4
98
8
19 = 1
95
5
16 = 1
64
4
30 1 = 6729 Niets speciaal zou je denken, ware het niet dat bij deze laatste breuk
2
13 458
alle cijfers van 1 tot en met 9 net eenmaal gebruikt werden.
Dit kan nog op andere manieren gedaan worden. Zoek er zoveel­mogelijk.
Gissen en wissen!
Zoeken door proberen!
31In sommige sporttakken moet men metingen
uitvoeren tot op 1/10, tot op 1/100 en zelfs
tot op 1/1000 van een seconde.
Zoek in kranten of weekbladen voorbeelden
hiervan.
Deel 3
Rationale getallen
113
Lb
Wb
Lwb
127
113
175
32 a Rond af tot een geheel.
2,569 3
6,0248 6
0,5858 1
3,33… 3
0,1587 0
0,5001 1
6,09 6
153,9191… 154
69,36464… 69
5,3131… 5
11,0808… 11
125,999 126
b Rond af tot op 0,1 nauwkeurig.
2,569 = 2,6
6,0248 = 6,1
0,5858 = 0,6
3,33… = 3,3
0,1587 = 0,2
0,5001 = 0,5
6,09 = 6,1
153,9191… = 153,9
69,36464… = 69,4
5,3131… = 5,3
11,0808… = 11,1
125,999 = 126,0
c Rond af tot op 0,01 nauwkeurig.
2,569 = 2,57
6,0248 = 6,02
0,5858 = 0,59
3,33… = 3,33
0,1587 = 0,16
0,5001 = 0,50
6,09 = 6,09
153,9191… = 153,92
69,36464… = 69,36
5,3131… = 5,31
11,0808… = 11,08
125,999 = 126,00
33 a Leg uit waarom op je rekenmachine 8, 66666667 verschijnt als je 260 deelt door 30.
In feite is het repeterend cijfer 6, maar het 8e cijfer na de komma is hier afgerond naar 7.
bAls je met je rekenmachine 433 deelt door 50, verschijnt er 8,66.
Waarom wordt hier de laatste 6 niet afgerond tot 7 ?
Omdat er na de laatste 6 geen 6 maar wel 0 kan geschreven worden. Lb
Wb
Lwb
127
113
176
8,66 is een begrensd getal. 34 Gevaren bij afronden!
aJe moet de decimale schrijfwijze van de som van 7 en 9 afronden tot op 0,001 nauwkeurig.
9
7
Inge telt beide breuken op, zoekt van deze som de decimale schrijfwijze en rondt dan af.
Joris zoekt eerst van beide breuken de decimale schrijfwijze, rondt deze af en maakt dan
de som van de decimale getallen.
Vinden beiden hetzelfde resultaat?
Inge: 7 + 9 =
9 7
=
≈
49 81 130
+
=
63 63 63
2,063492063492...
2,063
Joris:
7 9
+ ≈ 0,778 + 1,286
9 7
= 2,064
114
Zo neen, wie heeft dan de juiste werkwijze toegepast?
De methode die Inge volgde is correcter. bBart haalt op zijn toets 49,45 %. De leerkracht rondt dit af naar 49 %. Dit komt overeen met
de afrondingsmethode die in de wiskundelessen is gezien.
Toch protesteert Bart: hij beweert dat 49,45 % naar 50 % moet worden afgerond. Hij redeneert als volgt:
Als je 49,45 afrondt tot op 0,1 nauwkeurig, krijg je 49,5.
Als je nu 49,5 afrondt tot op een eenheid, krijg je 50 !
Klopt zijn redenering?
Helaas voor Bart niet: 49,45  49,50 Haal er eventueel een getallenas bij om zijn (on)gelijk aan te tonen.
Deel 1
Algebraïsch rekenen
115
Hoofdbewerkingen
3.2
Lb
Wb
Lwb
134
115
183
1 Bereken de volgende sommen uit het hoofd.
a
b
c
d
e
Lb
Wb
Lwb
134
115
183
a
c
d
Wb
Lwb
134
115
183
e
a
Wb
Lwb
134
115
183
15
=3
5
15
8
14
=2
7
6
=1
6
g
h
i
j
9  −2 
+  =
11  11 
7
11
9  −3 
+  =
8  8
9 3
+ =
8 8
− 9 12
+
=
8
8
3 −7
+
=
2 2
6 3
=
8 4
12 3
=
8 2
3
8
−4
= −2
2
2 3
+
=
3 27
1 3
+ =
8 8
2 1 6 1 7
+ = + =
3 9 9 9 9
4 1
=
8 2
 2
3+ −  =
 5
15 2 13
− =
5 5 5
5  3
10 9
1
+ −  =
−
=
12  8 
24 24 24
11
− 30 11 − 19
−5 + =
+ =
6
6
6
6
f
g
h
i
j
5 1
10 3 13
+ =
+
=
6 4
12 12 12
−7  −9 
− 14 27 − 41
+  =
−
=
9  6
18 18 18
5  −7 
20 35
15
3
−
=−
=−
+  =
10  8 
40 40
40
8
−3 11
+
=
4 15
2
+ ( − 1) =
5
− 45 44 − 1
+
=
60 60 60
2 5 −3
− =
5 5 5
3Bereken de volgende verschillen uit het hoofd.
b
Lb
12 3
+ =
5 5
13 2
+ =
8 8
2 12
+
=
7 7
− 5 11
+ =
6
6
f
2Bereken de volgende sommen.
b
Lb
3  −7 
−4
+  =
= −1
4  4
4
c
7 1
6
− =
=2
3 3
3
1  3 4
− −  = =1
4  4 4
3 2
1
− =
8
8 8
d
e
f
5 4
1
− =
7 7
7
−2
6  −4 
− −  =
13
13  13 
5
7
−2 −1
−
=
=
12 6
12 12
4Bereken de volgende verschillen.
a
b
c
d
e
2 3
−
=
3 27
2 1 6 1 5
− = − =
3 9 9 9 9
 2  15 2 17
3− −  =
+ =
 5
5 5 5
5 3
10 9
1
− =
−
=
12 8
24 24 24
− 10 3 − 13
−5 1
− =
−
=
12 12 12
6 4
2
2 5 −3
− 1=
− =
5
5 5 5
f
g
h
i
j
−7  −9 
− 14 27 13
−  =
=
+
9  6
18 18 18
−1
−7 =
7
2
0− =
5
3
− ( −4 ) =
10
−7 5
− =
5 7
− 1 49 − 50
−
=
7
7
7
−2
5
3 40 43
+
=
10 10 10
− 49 25
74
−
=−
35 35
35
116
Lb
Wb
Lwb
135
116
184
5 Bereken de volgende producten.
Lb
Wb
Lwb
135
116
184
Lb
Wb
Lwb
135
116
184
1
a
4  3
. −  =
5  8
− 4 · 3 −3
=
10
5· 8 2
b
2 7
. =
11 4
7
2 ·7
=
11· 4 2 22
c
2
. ( − 3) =
9
−2 · 3
−2
=
3
9
·
1
3
d
5
. 4=
6
5· 4
10
=
3
·
6
1
3
e
−2  −5 
2 ·5 5
. =
=


6
3
3· 6 3 9
−
2 6
− 2 · 6 − 12
. =
=
5 5
5·5
25
g
−
4 3 − 4 · 3 −6
. =
=
2 7
7
8 1 ·7
h
−2 .
i
0.
j
−5
. 1=
3
1
2
1
1
2
1
6Bereken de volgende quotiënten.
3
6
−9
−9
1 −3
 18 
:3=
·
=
 −  : =
4
2
2
2
31 2
2
4
8 17 34
8
:
=
b
=
·
11 4 1 11
11 17
−4
−4
 12 
: 1=
c  −  : 1=
 15 
5
5
 21
 21
d −  : −  = 1
 5
 5
1
8
3 − 4 · 3 −3
−4 · =
=
e −4 : =
3
8 1· 8 2
2
3
−
9
1
3
−
−
18


·
=
f 
: 6=
 4 
2 62
4
− 21 21
:
=
−1
g
5
5
2
2
2 − 10
−4
 3
: −  =
h
·
=
15  10 
3
9
15 3
32
i 0 :
=
0
17
− 3 17
3
3
7
·
=−
j −
=
:
7
7
17
17
17
a
7 Reken uit.
a
b
c
d
f
e
f
g
6
van 69 = 3 · 69 = 207
2
18
8 · 126
8
8
= 144
van 126 =
· 126 =
7
7
71
5
van 400 =
8
3
van 18 =
11
1
van 96 =
5
1
8
van =
7
3
2
15
van
=
5
8
50
5
5 · 400
= 250
· 400 =
8
81
3
3 · 18 54
· 18 =
=
11
11
11
96
1
· 96 =
5
5
1 8 8
· =
7 3 21
1
3
2 15 2 · 15
3
·
=
=
5 8
4
51· 84
1
h
i
j
1
9
2
9 2 9 ·2
van =
· =
=1
2
9
2 9 21· 91
2
2
2 2 4
· =
van =
3
3
3 3 9
4
7
4 · 7 28
24
14 24 14 24 · 14
van
=
·
=
=
=
9
9
18
6
18 6
18 9 · 6 1
5
− 2 · 5 −5
=
=
12 1· 18 6
6
−5
= 0
3
−5 · 1 −5
=
3 ·1
3
Deel 3
Rationale getallen
117
1
Lb
Wb
Lwb
135
117
185
8 Een deling van 2 breuken kun je ook op een andere manier noteren:
Deze schrijfwijze noemt men een samengestelde breuk.
Reken nu de volgende delingen uit.
a
1
2=
3
5
1 3 1 5 5
: = · =
2 5 2 3 6
b
−3
14 =
4
42
−9
−3 4
− 3 42
·
=
:
=
4
14 42 14 1 4
c
7
2
11 = 7 : − 17 = 7 · − 22 = − 14
−17
11 22
17
11 1 17
22
d
e
f
Lb
Wb
Lwb
136
117
185
8
3=
7
18
24 =
27
18
2
=
9
8
1
2
:
3
5
=2
3
5
3
8
8 1 8
:7= · =
3
3 7 21
3
·2· 4
18 27
18
18
1
=
:
=
·
24 18 2 · 4 · 24 27 3
2
2:
8 16
9
= 2· =
9 9
8
9Schat eerst het resultaat van de volgende oefeningen. Reken dan uit. Controleer eventueel
met je rekenmachine.
reeks 1
a 5,38 + 9,751 + 14,03 = 29,161
b 81,2 + 16,04 + 4,18 = 101,42
c 125,003 + 17,8 + 5,26 = 148,063
d 13,12 + 7,6 + 5,24 = 25,96
e 2,36 + 3,258 + 1,882 = 7,5
f 1004,28 + 26,12 + 108,05 = 1138,45
reeks 2
a –15,6 + 7,32 = –8,28
d 21,135 – 23,543 = –2,408
b –2,13 + 13,2 = 11,07
e –0,713 – 8,55 = –9,263
c –5,18 – 7,82 = –13
f
0,07 – 5 = –4,93
118
Lb
Wb
Lwb
136
118
186
reeks 3
a –573,8 + 62,15 –511,65
d –23 – (–13,22) –9,78
b –341,25 – 58,6 –399,85
e 12,758 – 12,5 0,258
c –5,008 – 3,0205 –8,0285
f
–450,27
reeks 4
a 17,25 . 4,6 79,35
d 3,21 . 9,4 30,174
b –0,038 . 2,45 –0,0931
e –0,125 . (–0,8) 0,1
c 544,2 . 3,005 1635,321
f
–42,875
reeks 5
a 16,48 : 2,06 8
d 25,4 : 8 3,175
b 19,5 : 3,6 5,4166…
e –4 : 25 –0,16
c 0,582 : 4,05 0,14370370…
f
–61
Wb
Lwb
137
118
186
12,25 . (–3,5)
7,625 : (–0,125) 10 Reken uit.
a
−
b
7
5
: =
4
6
−21
10
i
− 6,073 + 2, 8 =
23,725 − 5, 85 = 17, 875
j
− 18 .
c
− 5, 4 . 7,08 =
− 38,232
k
− 12,6 − ( − 0,051) = − 12,549
d
−7
4
:
=
5
15
− 21
4
l
−1 −7
:
=
3
6
2
7
e
4
− ( − 3) =
5
19
5
m
8,2 : ( − 0, 45) =
− 18,22...
f
21  4 
. −  =
8  3
−7
2
n
5
+ ( − 5) =
8
− 35
8
g 12, 31+ 5,206 = 17,516
o
8  6
− − −  =
15  20 
−7
30
− 15,6 : 3,12 = −5
p
40,5 . (-0,33) =
−13, 365
h
Lb
–512,42 + 62,15
8
=
27
11 Vul in.
a
b
c
d
1  −7 
−2
+   =
2  6
3
2 11
1
−
=
8
5 40
1
−5
+3=
2
2
1 1 −1
− =
6 3 6
e
f
g
h
1 8
.
4 7
−8
:
3
1
:
18
−7
.
4
2
7
2
− 20
=
3
5
1 1
=
6 3
2 −1
=
7 2
=
− 3,273
− 16
3
Deel 3
Rationale getallen
119
Lb
Wb
Lwb
137
119
187
12 Karel wil zijn tuin opnieuw met gras inzaaien. De tuin meet 13,75 m bij 21,30 m.
De verkoper zegt hem dat hij 3 kg zaad per 100 m2 nodig heeft.
Hoeveel zaad moet hij dan minstens kopen als het verpakt is per kg?
13,75 . 21,3 = 292,875 m2 en 1 kg / 33,33… m2
Dus: hij moet minstens 9 kg zaad kopen.
Hij wil rondom zijn tuin sierdraad plaatsen van 0,75 m hoogte.
De verkoper zegt dat hij best maximum 2,5 m afstand tussen de palen houdt.
Hoeveel palen en hoeveel draad moet Karel minimum meenemen? De draad is enkel op rollen
van 10 m te krijgen.
P tuin = 70,1 m
70,1 : 2,5  28,04
Karel heeft 29 palen nodig en 8 rollen draad van 10 m.
Op welke afstand zal Karel de palen uiteindelijk plaatsen, wil hij ze gelijk verdelen?
70,1 : 29  2,42 m
Karel kan de palen op 2,42 m van elkaar plaatsen.
Als het graszaad E 4,80/kg kost, de palen elk 3,45 euro kosten en een rol draad 21 euro kost,
welk budget moet Karel dan minstens hebben?
Lb
Wb
Lwb
137
119
187
4,8 . 9 + 29 . 3,45 + 8 . 21 = E 311,25
Karel moet een budget hebben van 311,25 euro.
13 Joris gaat zijn kamer opnieuw vloeren met tegels van 30 cm x 30 cm. = 0,09 m2
Zijn kamer meet 8,30 m bij 10,25 m. Hoeveel tegels heeft hij minstens nodig?
8,3 . 10,25 = 85,075 en 85,075 : 0,09  946 tegels. Joris heeft 946 tegels nodig.
Hoeveel tegels kan hij leggen in de lengte? In de breedte?
8,3 . 0,3 = 27,66… tegels en 10,25 : 0,3 = 34,166… tegels Hij kan 27,66 tegels leggen in delengte en 34,17 tegel in de breedte. De tegels zijn verpakt in dozen van 15 tegels. Hoeveel dozen moet hij meenemen?
Hij moet 64 dozen nemen.
De prijs per doos is 21,70 euro. Wat kosten hem al deze tegels?
946 : 15 = 63,07
64 . 21,7 = � 1388,8
De tegels kosten hem 1388,8 euro.
120
Lb
Wb
Lwb
137
1220
188
14Elke is een hevige fan van “The Black Eyed Peas” en wil al hun cd’s kopen. Ze kan echter maar
2
1
van het totaal bedrag betalen. Haar broer Bart wil er bijleggen als hij ook haar cd’s eens mag
5
3
lenen. Welk deel van het bedrag moet vader nog bijleggen?
11
4
15
15
4
van het bedrag bijleggen.
Vader moet nog
________________________________________________________________________________________________________________
15
Lb
Wb
Lwb
137
120
188
2
5
1
3
6
5
15 15
+ =
+
=
blijft over:
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
15Een stikster moet voor een winkel een aantal dassen maken.
1
De eerste week levert zij van de bestelling en de tweede week
4
3
van de bestelling.
5
Welk deel van de bestelling moet ze nog leveren?
1
4
3
5
5 12
20 20
17
20
3
20
______________________________________________________________________________
+ =
+
=
blijft over:
______________________________________________________________________________
1 3 5 12
17
moet
nog 3 van de bestelling leveren.
+ =
+ De =stiksterblijft
over:
4 5 20 20 20
20
Lb
Wb
Lwb
138
120
188
16Een tovervierkant?
Zijn de sommen horizontaal, verticaal
en diagonaal steeds gelijk?
5
Ja
4
22 2
11 1
33 3
121212
22 2
11 1
11 1
11 1
55 5
33 3
12
1212
22 2
44 4
12
1212
11 1
11 1
55 5
77 7
11 1
33 3
22 2
44 4
121212
121212
33 3
44 4
7 77
1 11
3 33
1 11
121212
3 33
4 44
6 66
____________________________________________________________________
2 22
1 11
1 11
1 11
5 55
____________________________________________________________________
3 33
121212
2 22
4 44
121212
____________________________________________________________________
Deel 3
Rationale getallen
121
1
2
Lb
Wb
Lwb
138
121
189
17 Een magisch vierkant?
44 4
11 1
22 2
15 151
15
11 1
77 7
60 60
60
Maak per rij, kolom en diagonaal de
20
20 20
10 10
10
55 5
30 302
30
22 2
10 10
10
100100
100
606060
7 454545
10 505050
100
100
100
som van het eerste en het laatste getal.
44
1 1 1af. 2 2 2
Trek van die som het 4middengetal
151515
1 11
7 77
202020uitkomst?
101010
Bekom je steeds dezelfde
303030
2 22
101010
606060
454545
202020
100
100
100 505050
252525
1
2
1
2
1
2
5 55
15
4 4 4 Neen,
1 1 1wel 2als2 2 wordt
151515vervangen
1 11
7 77
30
202020 101010
303030 2 2 2
101010
3 5 95 5
of
of …
door
30
10
3
10
Lb
Wb
Lwb
138
121
189
1
2
202020
252525
18Voor de aankoop van een nieuwe auto leende Wim geld bij zijn ouders. De eerste zes maanden
betaalde hij 1/5 van de geleende som terug. De andere helft van het jaar betaalde hij 2/3 van
het resterende bedrag terug.
Welk deel van het bedrag blijft er nog te betalen?
Lb
Wb
Lwb
138
121
189
138
121
189
Lwb
138
121
189
4
15
11
15
5
7
5 5
100 7
1
1 5
20 4 7
1
28
i 5 % van betekent:
· =
·
=
________________________________________________________________________________________________________________
1
28
________________________________________________________________________________________________________________
van het aardoppervlak is bedekt mett zoetwater.
bevolkingsaantal van de andere gemeente.
12
7
1
7
5
7
7
7
________________________________________________________________________________________________________________
n w. → = 21 000 inw.
= 36 000 inw. → = 3000 inw.; = 15 000 in
5
7
12
7
________________________________________________________________________________________________________________
i
+ 1=
________________________________________________________________________________________________________________
De ene gemeente heeft 15 000 inwoners, de andere 21 000.
21Een chauffeur legde eerst
lang is de tocht?
5
van het
7
Hoeveel inwoners zijn er in elke gemeente?
Wb
1 8
5 15
20Twee gemeenten hebben samen 36 000 inwoners. De bevolking van de ene gemeente is
Lb
8
15
5
van de aardoppervlakte is bedekt met water. 95 % daarvan is zout water.
7
Welk deel van de aardoppervlakte is bedekt met zoet water?
Lwb
2 4
3 5
van het bedrag te betalen.
+
=
Er blijft nog
__i______________________________________________________________________________________________________________
Wb
4
5
19
Lb
1
5
Eerste 6 maanden: (er rest nog )
i Tweed
de helft: · =
__i______________________________________________________________________________________________________________
7
20
2
1
en nadien van zijn tocht af. Hij moet nog 60 kilometer afleggen. Hoe
5
4
1
20
60
20
20 · 60
7
20
7
2 1 13
7
________________________________________________________________________________________________________________
i
+ =
Rest:
5 4 20
20
429 km
= 60 km →
=
km;
=
≈ 171,4
________________________________________________________________________________________________________________
De volledige toc ht is ongeveer 171,429 km.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
122
Lb
Wb
Lwb
138
122
190
22Op blz. 174 vertelden we reeds dat de Egyptenaren enkel met stambreuken werkten en ook met de
2 2 2 22
breuk als enige uitzondering.
3 3 3 33
Elke breuk die geen stambreuk was, noteerden zij als een som van stambreuken. Zo noteerden zij
19 191919119 11 1111 1111 11 1 1
1 11 111 11 1 1
5 5 5 55
als + +(reken
als
+ + + maar na!) en
+ ++ ++.+ ++. +. + . .
20 202020220 24 2452 4254 54 5 5
6 6 6 6 26 23 232 32 3 3
Noteer nu zelf de volgende breuken als een som van zo weinig mogelijk stambreuken. Lb
Wb
Lwb
139
122
190
a
7
=
10
1 1
+
2 5
b
7
=
12
1 1
+
2 12
c
8
=
15
1 1
+
3 5
d
13
=
12
1 1
+
1 12
e
3
=
5
1 1
+
2 10
f
3
=
10
1 1
+
5 10
g
7
=
8
1 1 1
+ +
2 4 8
h
7
=
9
1 1 1
+ +
2 4 36
23Een oude bedoeïen liet zijn 3 zonen bij zijn overlijden enkel zijn kamelen na. In zijn testament
had vader het volgende geschreven:
“Mijn oudste zoon krijgt de helft van de kamelen, mijn tweede zoon krijgt één derde van het kamelenaantal en mijn jongste zoon krijgt één negende.”
De drie zonen togen naar de stal, waar zij 17 kamelen vonden. Zij wilden snel de erfenis verdelen maar raakten het niet eens. 17 kamelen zijn immers onmogelijk levend te verdelen in 2, 3
of 9 delen.
Gelukkig was er een slimme oom in de buurt. Hij leende hen een van zijn kamelen om hun probleem op te lossen.
aHoe verdeelden de drie zonen nu de erfenis?
Nu zijn er 18 kamelen, dus krijgt de eerste zoon 9 kamelen, de tweede zoon 6 en de derde zoon 2 kamelen
bHoe kreeg de slimme oom zijn kameel terug?
Er blijft 1 kameel van de 18 over. Die is voor de oom.
cWelke fout had hun vader in zijn testament gemaakt bij de verdeling?
Vader had enkel rekening gehouden met de tellers.
1 1 1 9
6
2 17
+ + =
+
+
=
2 3 9 18 18 18 18
Deel 1
Algebraïsch rekenen
123
Machten
en vierkantswortels
3.3
Lb
Wb
Lwb
142
123
193
1 Bereken de volgende machten.
2
a
 1
  =
3
1
9
b
8
 2
 −  = −
3
27
c
9
 −3 
  =
4
16
d
 2
  =
5
e
 7
  =
8
f
g
(0,12)2 =
0,0144
h
( −0,2)4 =
0,0016
i
(0,5)3 =
0,1
125
8
125
j
(0, 3)4 =
0,0081
49
64
k
( −0,2)5 =
− 0,00032
16
 −2 
  =
3
81
l
( −0,1)7 =
− 0,0000001
3
2
3
2
4
Lb
Wb
Lwb
142
123
193
2Bereken de volgende vierkantswortels.
b
Lb
Wb
Lwb
142
123
193
4
=
25
a
2
5
16
4
= −
81
9
−
c
81
=
64
9
8
d
0,25 = 0,5
e
− 0,16 = − 0, 4
i
f
− 0,04 = − 0,2
j
g −
h
25
=
49
100
=
169
−
121
11
= −
225
15
1, 44 =
1,2
5
7
k
− 0,09 = − 0, 3
10
13
l
0,0001 = 0,01
−
3 Vul in met < of > of =.
a
(0,01)2
0,0001
b
 1
−
 4 
−
c
1
64
(0,5)2
0,25
 1
 
 10 
3
d
0,25
0,001
3
 1
 
 4
3
1
64
(0,2)
5
0,00032
(0,5)2
 − 1
e  
 7
 1
 
 5
2
g
1,21
0,04
4
05
h
0
1
2401
f
(0, 3)3
0,027
2
, )
(11
(11
, )
 1
01  
 2
0 2
(0, 3)
0,09
2
3
1,331
−1
124
Lb
Wb
Lwb
142
124
194
4 Reken uit.
a
23
=
32
8
9
e
( −1)6
=
( −6)1
−
1
6
i
93
=
2
b
−2 4
=
7
−1
16
7
f
−4 2
=
−3
16
3
j
−
c
9
 3
−  = −
 8
64
125
 −5 
g −  =
 3
27
d
− 62
=
−63
h −
2
Lb
Wb
Lwb
142
124
194
− 36 1
=
− 216 6
− 22
=
72
27
256
4
49
 1
 
2
(− 4 )
2
2
23
4
25
=
3
5Verbind de opgaven die hetzelfde resultaat
hebben met elkaar.
( −3)3
( −4 )4
729
2
2
−4 2
−2
1
8
 
4
− 26
( − 2)
 −2 
−  
8
4
2
−  
8
2
26
82
 1
 
2
−1
−1
Deel 1
Algebraïsch rekenen
125
Volgorde van bewerkingen
Rekenkundig gemiddelde
3.4
Lb
Wb
Lwb
144
125
196
Lb
Wb
Lwb
145
125
197
1 Werk uit.
a (0,25 + 0,33) . 0,16 = 0,58 . 0,16 = 0,0928
g
b 0,25 + 0,33 . 0,16 = 0,25 + 0,0528 = 0,3028 h
c 0,56 + 1,126 – 0,02 .4,3 = i
0,56 + 1,126 – 0,086 = 1,6
d (0,3 + 0,85 – 0,15) . 2,4 = 1 . 2,4 = 2,4
j
e 0,3 + 0,85 – 0,15 . 2,4 = k
0,3 + 0,85 – 0,36 =0,79
f 0,3 + (0,85 – 0,15) . 2,4 = l
0,3 + 0,7 . 2,4 = 0,3 + 1,68 = 1,98
2,68 + (2,5 – 1,22) . 0,25 =
2,68 + 1,28 . 0,25 = 2,68 + 0,32 = 3
3,124 + 12,194 : 2,6 . 0,4 =
3,124 + 4,69 . 0,4 = 3,124 + 1,0876 = 5
(–7,22 – 2,78) : 2,5 = –10 : 2,5 = –4
9,748 + 8,032 : (– 3,2) . 0,2 =
9,748 + (–2,51) . 0,2 = 9,748 –0,502 = 9,246
(–4,58) : 2,29 . 0,65 + 0,2
–2 . 0,65 + 0,2 = –1,3 + 0,2 = –1,1
–3,124 + 12,194 : (–2,6) . 0,4 = 0
–3,214 + (–4,69) . 0,4 = –3,124 – 1,876 = –5
2 Reken uit.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
 2 3   1  4 9  3 13 3 10 5
=
− =
 +  +  −  =  +  − =
3 2
2
6 6
6 6 6 6 3
2  3 1 2 2 2
2 3 5
+  −  = + = + 1= + =
3  2 2 3 2 3
3 3 3
2
1
5 3
 3 2 1  9 4 1
 − +  + =  − +  + = − + = − = −
6
3
2 3
2
6 6
2
6 6
5 10 5
 3 4   1 3   21 16   7 12  5
+
=
=
 −  +  − +  =  −  +  − +  =
28 28
28 28 28 14
4 7
4 7
28 28
7 −5 −1
1  3 2 1 1  6
4
5 1  7 2
+ − + −  = + − +
−  = + −  =
−
=
=
5  5 5 2  5  10 10 10  5  10  10 10 10 2
5  3 1 4  5  45 10 24  5 59 75 59 134 67
=
=
−
+ = +
=
+
+ − +  = +
2  2 3 5  2  30 30 30  2 30 30 30 30 15
11 2
13
 6 8 1  2  18 24 5  2
= −
− −
=− −
=−
 − −  −
5 5 3 15  15 15 15  15
15 15
15
9
3 1
8
2  16 7 
8
2
8 1  4 7
− + − − +  = − +
− − +  = − +
+
=−
=
12 4
12 12  12 12 
12 12 12
12 6  3 12 
7 14
7  8 7 4  7  8 21 20  7
− =
+
=
− − + −  =
−− +
15  15 5 3  15  15 15 15  15 15 15
7
9
1 7
9
1
 7 9 1  7 9 1
−  + −
+  =− +
− + −
+ =0
 − +
8 12 2   8 12 2 
8 12 2 8 12 2
5 3
8
1  1
 9 7 1  9 7 1
 − −  −  − +  = − − = − = − 1 of − −  +  = − 1
12 8 2
12 8 2
8 8
2
2
8
1
26 7
26
 2 4  7  14 12  7
=  + . =
.
=
 +  .
11  21 21 11 21 3 11 33
3 7
1  15 8   42 1 7 43 301
 15
 
m  − 4 .  7 +  =  −  . 
=
+ = .
 2
 
6  2 2  6 6 2 6
12
 5 3   3 4  11 29 319
n  +  . + = . =
 8 4   5 3  8 15 120
l
1
o
p
q
1
 5 1   4  13  4 
. −
=−
 −  .  −  =

28  13 1 
7
7 4
13
7
3 1  2 4  3 1  6 20  3 1 26 3 26 45 52
=
−
=−
− .  +  = − . +  = − . = −
60
4 2  5 3  4 2  15 15  4 2 15 4 30 60 60
1 3 1 3  1 1 1 3 1 3 1 3 1 3
9 10 6
5
1
. − + . − = . − + . =
=
=
− +
=
−
+
4 5 6 5  2 3  4 5 6 5 6 20 6 30 60 60 60 60 12
1
r
s
1
7
15
1
7  7 7  7  21 35  7 56
:
.
=
=
: +  =
: +  =
15  5 3  15  15 15  15 15 15 1 56 8 8
1
1
.
5
1
1 2
1
: =
:
=
1  15 8   42 1 7 43 301
 15
 
− 4 .  7 +  = 
−  .
+ = .
=
m 
 2
 
6  2 2  6 6 2 6
12
 5 3   3 4  11 29 319
n  +  . + = .
=
 8 4   5 3  8 15 120
126
1
o
p
q
4 
1
 5 1   4  13 
. −
=−
 −  .  −  =
7 4
13
28  13 1 
7
7
3 1  2 4  3 1  6 20  3 1 26 3 26 45 52
+ = − .
= −
=
−
=−
− .  +  = − .
60
4 2  5 3  4 2  15 15  4 2 15 4 30 60 60
9 10 6
5
1
1 3 1 3  1 1 1 3 1 3 1 3 1 3
=
=
. − + . − = . − + . =
− +
=
−
+
4 5 6 5  2 3  4 5 6 5 6 20 6 30 60 60 60 60 120
1
r
1
7
15
1
7  7 7  7  21 35  7 56
=
=
:
.
+ =
: +  =
:
15  5 3  15  15 15  15 15 15 1 56 8 8
1
1 1 2
1
5
1
. : =
:
=
2 5 5 10 2 2
4
13 7 12 3 7 12 3 7 12 9
4
t
.
−
+ =
−
+ =
−
+
=
15 13 15 5 15 15 5 15 15 15 15
7 2 8 14 8 7 8 35 48 83
u
. + =
+ = + =
+
=
4 3 5 12 5 6 5 30 30 30
7 2 8 7 3 8 21 8 105 64 169
v
: + = . + =
+ =
+
=
4 3 5 4 2 5 8 5 40 40 40
7
1 2 2 3 1 1 2
5
=
w
. + . = + =
+
2 5 3 4 5 2 10 10 10
1
1 16 2 3
2
1  2 2  3 1  6 10  3
.
.
=
+ . =
x
.  +  . = .
2  5 3  4 2  15 15  4 2 1 15 5 4 1 5
3
5
1 − 40 1
 1
y ( − 2) : . 4 −  −  = ( − 2) : . 4 + =
+ = − 13
 3
5
3
3
3
3
2
2 17 6 2 17 12 4
2 17 3
1
9
17 3
+ .
.4 + =
− + =
−
+
=
z
+ : ( − 2) . 4+ =
5 10 5 5 10 10 10 10
5 10 5 ( − 2) 1
10 5
s
Lb
Wb
Lwb
145
126
198
3 Werk uit.
2
a
1
3
1
1 3 1 3 1 9 10
 1
=−
= . − =
− =
−
  . −
60
2
5
36
4 5 6 20 6 60 60
b
1
3  1 1
3  1 1 3  3 2  3 1
.
=
.
−
= . −  = . −  =
5 6 2 10
5  4 3 
5  2 3 5  6 6
c
2
2
1 3  1 1 1 3 1 3 1 3 1 1
3
1 3  1 1
 1
 1 3
− +
+ .
− =   . −
+ . −  = . − + . =
  . −
 2 5
36 5  4 3 
36 5  2 3  4 5 6 5 6 20 6 10
2
5
1
Lb
Wb
Lwb
146
126
198
=
5
1
9 10 6
−
+
=
=
60 60 60 60 12
d
3 . 0, 86 + (0,25 − 1,22) . 0,52 = 3. 0, 86 + ( − 0,97 ). 0,52 = 3. 0, 86 + ( − 0,97 ). 0,25 = 2,58 − 0,2425 = 2, 3375
e
3 . (0, 86 + 0,25) − 1,22 . 0,52 = 3. 111
, − 1,22. 0,52 = 3, 33 − 0, 305 = 3,025
f
3 . (0, 86 + 0,25 − 1,22 . 0,52 = 3. (0, 86 + 0,25 − 0, 305) = 3. 0, 805 = 2,415
)
4 Vorm zelf breuken door meermaals te kiezen uit :
breuken
1.
2
bewerkingen
2.
5
1.
3
.3
4
x
+
–
:
Meerdere oplossingen zijn mogelijk. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. Controleer !
Rationale getallen
Deel 3
127
Voorbeeld : 11 = 1 – 1 . 2 30
2
3 5
Controle : 1 – 1 . 2 = 1 – 2
2
3 5
2
15
= 15 – 4
30
30
Werk analoog voor 7 ; 8 ; 15 ; 19
12 45
4
10
= 11
30
7 1 2  3 2
= : − − 
12 3 5  4 4 
8 1 2 3
= . :
45 3 5 4
15 1 2 1
= : :
4 2 5 3
19 1 1 2
= : +
10 2 3 5
Lb
Wb
Lwb
146
127
199
5Werk uit. Denk aan de volgorde van bewerkingen.
1
3
a
2
4
−1 3
2
−1 4
−1
 − 1 3
. 6=
: −4+
.6 =
.
−4+4 =
  : − 4 +
2
4
9
8 4
6
31
82 3
b
3
3
9
−8 4 14
−82 31 14 7 1 − 2 7
2
4
 2 4 
 2 4 
: −
:6 =
:6 = −  : − 4 +  :6 =
. −
. =
− = − = −1
 −  : −  4 +

 3 3 
27 9 41
3 63
9 9
9
3
27 3 3
3
3 
9
c
5 4 5 16 25 − 9
16  1 3   4 
16 5 16 4 5 16 5
 4
− +  =   :
: − =
.
− = − =
−
=
− =
  :
25  2 4   5 
25 4 25 5 4 25 5 4 1 4 5 4 20 20 20
5
d
1 5 3
1
5
1
40
7
− 33
 2 3 5 3  5 3 
.
=− +
=−
+
=
 −  . + .  −  = − . +
7 7
2 4
6 4
7 2 4 12 4
14 16
112 112 112
e
1 1  5 1  7 3   29 3  5 1 3 87 5 1 3 1305

 15 − 2  : 3  . 7 . 2 .  8 − 6  =  2 . 1  . 7 . 2 . 8 = 2 . 7 . 2 . 8 = 224


2
4
2
1
1
f
3  
2   1 1    28 3    15 2   4
3   31 13 1 93 52 1 40 10

−
−
=
−
−
=
=
 7 +  −  5 −  −  − +   =  +  −   −  −  − +   =
4
3
3 4 
4 4
4 3 12 12 12 12 12 3
3 3
12 12

g
2
55  12   200   27
9
9
9
9 100 9 109
.   : 
= 5 .[ 4 : 2 ] +
= 5.2 +
= 10 +
=
+
=
− 2  +
= 5 .[2 2 : ( 4 − 2 )] +
  30
11  6   50
10
10
10
10 10 10 10
h
3
1
139
19  25 3 6  3 19  18 149 288
19  25 3 5  18 12
 18 6
=
−
=−
.
−
. . = −
. : =
−
−
 : −
 −
112
24 12 112
7 5 6  24 2 6 1 112  7
5 5  2 112  7 112 112
i
(5 − 4,28) . 3 − (0, 87 − 0,5) = 0,72.3 − 0, 37 = 2,16 − 0, 37 = 1,79
g
2
9
9
9
9 100 9 109
55  12   200   27
= 5 .[ 4 : 2 ] +
= 5.2 +
= 10 +
=
.   : 
+
=
− 2  +
= 5 .[2 2 : ( 4 − 2 )] +
  30
10
10
10
10 10 10 10
11  6   50
h
3
1
19  25 3 6  3 19  18 149 288
139
19  25 3 5  18 12
 18 6
.
. . = −
=
−
=−
−
. : =
−
−
 : −
 −
112
24 12 112
7 5 6  24 2 6 1 112  7
5 5  2 112  7 112 112
i
(5 − 4,28) . 3 − (0, 87 − 0,5) = 0,72.3 − 0, 37 = 2,16 − 0, 37 = 1,79
j
3,17 . (2, 3 + 8,26 : 4,13) + 0, 869  : 72,5 = [ 3,17. (2, 3 + 2) + 0, 869] : 72,5 = [ 3,17. 4, 3 + 0, 869] : 72,5
128
= (13,631+ 0, 869) : 72,5 = 14,5 : 72,5 = 0,2
k
(5,9 + 7,7 ) : 3, 4 − 1,68  : 2,9 = [13,6 : 3, 4 − 1,68] : 2,9 = [ 4 − 1,68] : 2,9 = 2, 32 : 2,9 = 0, 8
l
2 . (2,27 − 1,92) : 7 + 0,24 . 0, 4  = 2.[0, 35 : 7 + 0,24. 0, 4 ] = 2.[0,05 + 0,096] = 2.0,146 = 0,292
m 0, 4 . ( 8,758 − 1,258) :  − ( −0,235) + 0,965  = 0, 4. (7,5) : (1,2) = 3 : 1,2 = 2,5
n
2
2
2 . 1, 3 + 10 . (0,7 ) − (0,9) : 0, 3  . 2 = 2. 1, 3 + (10. 0, 49 − 0, 81: 0, 3). 2 = 2. 1, 3 + ( 4,9 − 2,7 ). 2 = 2. 1, 3 + 2,2. 2
= 2,6 + 4, 4 = 7
o
Lb
Wb
Lwb
147
128
200
2,05 − 6, 4 . 0,04 : (0, 8)2  = [2,05 − 6, 4. 0,2 : 0,64 ] = [2,05 − 2] = 0,05


6 Reken uit.
3
−
17
14
a
−2 = −
4
4
42
b
c
d
e
f
3
11 + 1 = 29
17 2
34
22
2
5 = 39
2
5
4+
3
36 +
1
2
1 1
−
3 4
=6
1 1 1
+ +
2 3 4 = 65
1
12
5
3+
1
2
2 1
2+ +
3 2
=
21
19
g
 2 1  1 3 
 +  .  −  245
3 2
3 4
=
−4
288
7
h
1 1
+
3 4 5 27
.
=
5 1 1 25
−
2 4
f
Lb
Wb
Lwb
147
129
200
Lb
Wb
Lwb
147
129
201
Lb
Wb
Lwb
147
129
201
Lb
Wb
Lwb
147
129
201
3+
1
2
2 1
2+ +
3 2
=
21
19
g
 2 1  1 3 
 +  .  −  245
3 2
3 4
=
−4
288
7
h
1 1
+
3 4 5 27
.
=
5 1 1 25
−
2 4
i
2  3 2
. − 
4
5  7 5
=−
−4 1
375
−
7 2
Deel 3
Rationale getallen
129
7Uit een kraan loopt 4,5 l water per minuut, uit een andere 5,25 l en uit een derde 6,4 l. Hoeveel liter water is er na 1 uur in de vergaarbak waar ze alle drie in uitlopen?
4,5 l/min x 60 min/uur = 270 l /uur ; 5,25 l/min x 60 min/uur = 315 l/uur ;
6,4 l/min x 60 min/uur = 384 l/uur
Na 1 uur zit er 969 liter in de vergaarbak.
270 + 315 + 384 = 969
8Een bouwgrond is 1210,25 m2 groot. Door een wegverbreding wordt er 186,82 m2 onteigend.
Hoeveel is deze bouwgrond nog waard als de prijs van 1 m2 grond 75 euro bedraagt?
Blijft over: 1210,25 – 186,82 = 1023,43
De bouwgrond is 25 585,75 euro waard.
waarde: 1023,43 . 25 = 25585,75
9 Bij een zieke nam men om de 4 uur zijn temperatuur: 38,7 °C; 38,9 °C; 38,2 °C; 37,7 °C; 37,4 °C.
Bereken zijn gemiddelde temperatuur die dag.
(38,7 + 38,9 + 38,2 + 37,7 + 37,4) : 5 = 190,9 : 5 = 38,18
De gemiddelde temperatuur van de man was 38,18 °C.
10 Iemand spaart in januari 1 van zijn inkomen, in februari 1 en in maart 1 . Welk deel van zijn
4
3
6
inkomen spaarde hij gemiddeld per maand?
9
3
3 1 1
 1 1 1
:3= :3= . =
 + +  : 3 =
4 3 6
12
4
4 3 4
De man spaart gemiddeld 1 van zijn inkomen per maand.
4
130
Lb
Wb
Lwb
147
130
201
Lb
Wb
Lwb
147
130
201
Lb
Wb
Lwb
147
130
201
Lb
Wb
Lwb
147
130
202
11Om een inrit 0,2 m op te hogen heeft men 8 vrachtwagens zand nodig. Hoeveel wagens zijn er
­nodig om de grond 1 m op te hogen?
2
0,2 m → 8 vrachtwagens
1 m → 40 vrachtwagens
0,5 m → 0,5 . 40 = 20 vrachtwagens
Om de inrit 0,5 m op te hogen zijn er 20 vrachtwagens nodig.
12 Een fietser legt in 5 minuten 1,5 km af. Hoeveel km legt hij in 1 uur af?
5 min → 1,5 km ; 60 min → 1,5 . 12 = 18 km
De fietser legt in 1 uur 18 km af.
13Stijn gaat met vakantie naar de VSA. Hij koopt daar een fototoestel van $ 112,50 en 4‑cd-roms met
pc-spelletjes van elk $ 12. Bereken het bedrag dat hij heeft uitgegeven in euro, als je weet dat $ 1
gelijk is aan
1,20.
112,50 + 4,12 = 112,50 + 48 = 160,5
$ 1 → � 1,20 ; $ 160,5 → � 192,6
14Onderstaande tabel geeft het aantal wedstrijden aan waarin voetbalploeg ‘De Sjotters’ telkens een
bepaald aantal doelpunten maakte.
aantal doelpunten
0
1
2
3
4
5
aantal wedstrijden
6
7
8
5
2
2
Bepaal het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd. Rond af op 0,01.
Lb
Wb
Lwb
148
130
202
56 : 30  1,87 (doelpunten)
15 Van 36 gezinnen wordt het aantal kinderen opgetekend:
aantal kinderen
0
1
2
3
4
aantal gezinnen
3
6
13
10
4
Bepaal het gemiddeld aantal kinderen per gezin en rond af op gehelen.
Lb
Wb
Lwb
148
130
202
78 : 36  2 (kinderen)
16Een taxichauffeur legde met zijn wagen in de loop van een week de volgende afstanden af: maandag
256 km, dinsdag 198 km, woensdag 237 km, donderdag 251 km, vrijdag 149 km, zaterdag 296 km,
zondag 258 km.
Hoeveel km legde hij gemiddeld af per dag?
1645 : 7 = 235 (km)
Deel 3
Rationale getallen
131
Lb
Wb
Lwb
148
131
202
Lb
Wb
Lwb
148
131
202
Lb
Wb
Lwb
148
131
202
17In een gezin liep de elektriciteitsrekening het eerste trimester van het jaar op tot 115 euro, het
tweede trimester tot 119 euro, het derde trimester tot 135 euro en het vierde tot 123 euro. Hoeveel
werd gemiddeld betaald per trimester? Per maand?
492 : 4 = 123 ( �/trim)
492 : 12 = 41 (�/maand)
18 Een chauffeur reed 3 uur met een snelheid van 80 km/h en 2 uur met een snelheid van 75 km/h.
Wat was zijn gemiddelde snelheid?
390 km : 5 h = 78 km/h
19 Een chauffeur rijdt 4 uur met een gemiddelde snelheid van 90 km/h.
Gedurende het eerste uur heeft hij 80 km afgelegd, tijdens de twee daaropvolgende uren legt
hij 175 km af. Hoe snel reed hij gedurende het laatste uur?
totaal gereden: 90 km/h . 4 h = 360 km
aantal km gereden laatste uur = 360 – 175 – 80 = 105 km
Dus: het laatste uur reed de chauffeur 105 km/h.
132
Eigenschappen van
hoofdbewerkingen
3.5
Lb
Wb
Lwb
154
132
208
Lb
Wb
Lwb
154
132
208
1 Noteer bij elke regel welke eigenschap werd toegepast.
a ∀ x, y, z C Q: (x + y) + z = x + (y + z) + in Q is associatief
b ∀ x, y C Q0: x: y C Q0 : in Q0 is overal gedefinieerd
c ∀ x, y, z C Q: x . (y + z) = x . y + x . z . in Q is distributief t.o.v. +
d ∀ x, y C Q: x . y = y . x . in Q is commutatief
e ∀ x C Q0, ∃! x–1 C Q0: x . x–1 = 1 = x–1 . x symmetrisch element
f ∀ x, y C Q: x – y C Q
g 0 C Q en ∀ x C Q: x + 0 = x = 0 + x 0 is neutraal element voor + in Q
– in Q is overal gedefinieerd
1 5
7
2 Toon aan met de getallen , en dat:
4 6
2
a het aftrekken in Q niet commutatief is.
1 5 5 1
− ≠ −
4 6 6 4
7
7
−
≠
12 12
b het delen in Q niet associatief is.
1  5 7
 1 5 7
: : ≠ : : 
 4 6  2
4  6 2
3
21
≠
35
20
c het vermenigvuldigen distributief is t.o.v. het aftrekken in Q.
1  5 7
1 5 1 7
. −  = . − .
4  6 2
4 6 4 2
2
= −
3
Deel 3
Rationale getallen
133
Lb
Wb
Lwb
154
133
209
3 Toon aan met de getallen 0,35; 1,2 en –0,4 dat:
a het aftrekken niet associatief is in Q.
(0, 35 − 1,2) − (0, 4 ) ≠ 0, 35 − (1,2 − ( −0, 4 ))
− 0, 45 ≠ − 1,25
b het delen niet commutatief is in Q.
0, 35 : 1,2 ≠ 1,2 : 0, 35
7 24
≠
24 7
c het vermenigvuldigen distributief is t.o.v. het optellen in Q.
0, 35. (1,2 + ( − 0, 4 )) = 0, 35. 1,2 − 0, 35. 0, 4
Lb
Wb
Lwb
155
133
210
0,28 = 0,28
4 Onderzoek met een getallenvoorbeeld en antwoord.
a Is het aftrekken overal gedefinieerd in Q–?
–3 – (–9) = 6
Neen
b Heeft elk element van Q+ een symmetrisch element voor het optellen in Q+?
5+…=0
Neen
134
c Heeft elk element van Q –0 een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen in Q–0?
 1
−4.  −  = 1
 4
maar 1 ∉ Q −0
Het symmetrisch element van een strikt negatief rationaal getal is een strikt
negatief rationaal getal.
d Is het optellen overal gedefinieerd in Q0?
5 + (–5) = 0
Neen.
e Is het delen overal gedefinieerd in Q –0?
Lb
Wb
Lwb
155
134
211
–4 : (–2) = 2
Neen.
5Werk de haakjes weg en reken uit. (Pas eventueel andere eigenschappen toe als je er rekenvoordeel uit kunt halen).
a
4  3 1 4 3 1 1 1 4
5 −1
− +  = − − = − =
−
=
5  5 4  5 5 4 5 4 20 20 20
b
3
3 4 1
6 7
 1 1  7 6  1 1 7 6
 +  −  −  = + − + = − + = − + 1 = − + =
4
4 4 4
8 7
8 7
8 7 8 7
8 7
c
1  3 9  1 3 1 9 1 3 2 15 17
+
=
. + = . + . = + =
3  5 2  3 5 3 2 5 2 10 10 10
d
2  3 4   6 8  3 7  2 3 4 6 8 3 7
+ −  − −  + −  = + − − + + −
9  11 9   11 9   11 9  9 11 9 11 9 11 9
1 0
1
=− + =−
9 11
9
e
1 4 2 5 4 6 15 4 25
2 1 
4 2 1
+ =
+ .  5 +  = + .5 + . = + + = +
3 3 3 3 9 9 9 9 9
3 3 
3 3 3
f
8  9  7 1  −1 6   8  9 7 1 1 6  8 9 7 1 1 6
− − +  − −  = − − − + + = − + + − −
5  5  5 3   3 5   5  5 5 3 3 5  5 5 5 3 3 5
=0
g
5  6  7
1 2 3
4
5 6 7
1 2  3  4
=
−
−
−
−
− −
− +  + +
+
+
10  10  10  10 10   10  10 10  10  10 10 10  10  10
=
4
5
6 7
1 2
3
4
5
6
7
6
3
1 2
3
+
+
+
−
+
=−
=−
+
=
−
+
−
−
−
−
10
5
10  10 10 10 10 10  10 10 10 10 10 10 10 10
Deel 3
Rationale getallen
135
Lb
Wb
Lwb
155
135
211
6Zet in de volgende tabel een kruisje indien de eigenschap geldt in de opgegeven v­ erzameling.
Q0
+
overal gedefinieerd
associatief
neutraal element
elk element heeft een
symmetrisch element
commutatief
–
Q+
.
:
+
–
Q.
:
+
–
.
:
136
Rekenen met lettervormen
3.6
Lb
Wb
Lwb
158
136
214
1 Vereenvoudig de volgende breuken :
a
12a 4a
=
15
5
c
− 6ab − 2b
=
9ac
3c
e
− 18abc − 3ab
=
e
24cde
4de
b
21a 3a
=
14b 2b
d
15ab 3
=
10ab 2
f
132abc
= 3a
44bc
Lb
Wb
Lwb
158
136
214
2 Maak de volgende breuken gelijknamig.
a
b
c
d
e
f
g
h
Lb
Wb
Lwb
158
136
214
a
a
en
2
5
a
a
en
6
8
4a
2a
en
3
5
3a
4b
en
5
7
4
5
en
a
b
4
9
en
3a
5a
3
5
en
4a
6b
3c
2a
en
b
2d
5b
5a 2a
,
10 10
4a 3a
,
24 24
10a 12a
,
15 15
21a 20b
,
35
35
4b 5a
,
ab ab
20 27
,
15a 15a
10 a
9b
,
12ab 12ab
4ad 15 bc
,
10bd 10 bd
3 Reken uit.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
a b
+ =
5 5
a b
−
=
12 16
3a 3b
=
−
16 10
3 4
+ =
a b
7 1
− =
a 2
3
4
+
=
2a 5b
1 1
+ =
a b
a b
+ =
c d
2a 4b
−
=
c
d
2a 4b
+
=
3c 3d
2a 4b
−
=
3c 5d
a+b
5
4a 3b 4a − 3b
−
=
48 48
48
15a 24b 15a − 24b
−
=
80 80
80
3b 4a 3b + 4a
=
+
ab ab
ab
14 a 14 − a
−
=
2a 2a
2a
8
8a + 15b
15b
+
=
10ab 10ab
10ab
a+b
ab
ad + bc
cd
2ad − 4bc
cd
2ad + 4bc
3cc d
10ad − 12bc
15cd
Deel 3
Rationale getallen
137
Lb
Wb
Lwb
158
137
215
4 Reken uit.
a
a b ab  − 8b 
. =


5 5 25  9 
f
1 1 1  − 8b 
. =


a b ab  9 
b
a b ab  − 8b 
. =


12 6 72  9 
g
a b ab  − 8b 
. =


c d cd  9 
c
1
−1
3 a  −8 b 
ab
.
 =−
6
16 2  9 3 
h
 − 2a  4b − 8ab
=

 .
c  d
cd
d
3 4 12  − 8b 
. =


a b ab  9 
i
2a  − 4b  − 8ab
.
=
3c  3d 
9cd
j
2 a  − 9 b  − 3ab − 3b
.
=
=
2c
3 1c  4 2 a  2ac
2
e
Lb
Wb
Lwb
159
137
215
12
2
3  −4 
=−
.   =−


3ab
2a
9b
18 3 ab
5 Vul de volgende tabel verder aan.
a
−
Wb
Lwb
159
137
215
1
4
b
−a
a −1
1
b
a.b
2
1
4
−4
1
2
−
1
2
a
7
4
−2
1 1
−
a b
−
9
2
a . b −1
−
1
8
1
2
−
1
3
3
−2
−
1
6
1
6
−6
5
−
2
3
4
3
−2
−
4
3
3
4
−
1
2
−
8
3
2
3
−
3
8
5
4
−
2
3
1
5
1
3
−
1
5
5
3
1
15
−
8
15
15
2
−5
1
6
−
6
5
−
29
5
−
1
5
1
5
6
1
1
a + b2c
2
3
wordt :
voor a =
−1
3
; b = − 1; c =
2
2
1  1 1
2 3
.  −  + . ( − 1) .


2
2
3
2
1  1 1 3
= .  −  + .1.
2  2 3 2
1 1
=− +
4 2
1
=
4
b
−
(ab)−1
−
6 Bereken de getalwaarde van
− a + ( −b)
1
3
−
Lb
−3
1
0,2x 2 + 2yz
voor x = 0,1; y = 1,2; z = 3
5
6
−
31
6
3
5
−
1
30
= .  −  + .1.
2  2 3 2
1 1
=− +
4 2
1
=
4
138
b
0,2x 2 + 2yz
voor x = 0,1; y = 1,2; z = 3
wordt :
0,2. (0,1) + 2. 1,2.3
2
= 0,2.0,01+ 2.1,2.3
= 0,002 + 7,2
= 7,202
c
6
1
ab − a2 + 2
10
3
wordt :
5
9
Voor a = ; b =
7
6
2
6 5 9 1  5
. . − .  + 2
10 6 7 3  6 
1
=
6 5 9 1 25
. . − . +2
10 2 6 7 3 36
9
25
−
+2
14 108
486 175 1512
=
−
+
756 756 756
1823
=
756
=
d
1
2a2 − 3a3 + a
2
wordt :
2
voor a =
−1
6
3
1  1
 1
 1
2.  −  − 3.  −  + .  − 
 6
 6
2  6
1
1
1 1
= 2. + 3.
− .
36
216 2 6
1
1
1
=
+
−
18 72 12
4
1
6
=
+
−
72 72 72
−1
=
72
e
( x − z) . ( x + y )
voor x = 0,75;
y=
−5
; z = 0,1
4
wordtt :
5

(0,75 − 0,1).  0,75 +  −  

4 
= 0,65. (0,75 − 1,25)
= 0,65. ( −0,5)
= −0, 325
Deel 3
Rationale getallen
139
Lb
Wb
Lwb
159
139
217
7 Werk uit en noteer het resultaat zo eenvoudig mogelijk.
reeks 1
a
1
1
3
2
5
a+ a = a+ a = a
2
3
6
6
6
b
4
8
2
9
11
a− a+ a− a = − a
7
7
7
7
7
c
1
1
1
4
1
5
31
a + 4b +2a − b = a + a + 4b − b = a + b
2
8
2
2
8
2
8
d
0,24x y − 0,08xy + 8xy + 0,10xy = 8,26xy
e
0,027a − 0,027b + 0,027a = 0,054a − 0,027b
f
1
1
1
3
1
5
9
6
1
3
3
x
x− x− y+ y = x− x− y+ y = x− x =
3
7
7
4
3
12
12
18
7
21
4
g
35 2 25 2
35 2
28 2 27 2
a b+
a b−
ab =
a b−
ab
40
16
40
64
24
h
− 0,23xyz −0,17xy +1,28xyz − 0,017xy = 1,05xyz − 0,187xy
reeks 2
a
1
1
1
a . a = a2
2
3
6
. 2.
1
b
a
4
− 14
1
− 4 . 14 .1 3 2
1
ab .
a.
abc =
a b c = a3b2c
7
3
−8
3
− 7 1. 3 . 8 . 2 .
1
c
0,04x . ( − 6x ) . 3y = − 0,72x 2 y
d
0,17ab . 0,24ab . 0a = 0
e
− 240
−84
−240  84  12 2 2
20160 2 2
140 2 2
x.
xy . 12yz =
x y z=
x y z=
x y z
.
−
1296
9
144
108
144 12  108  1
f
4a b .
g
( −0,1x ) . ( −1,2xy ) . ( −10y ) = −1,2x 2 y 2
h
1
1
1
1
a. b. c=
abc
7
7
7
343
1
1
1
3
4 1 3 3 3 1 3 3
ab . ab = .
.
ab = ab
6
4
1 62 4
2
reeks 3
1
 11 1 1 1 
aa.  aa+.  ba=+ b =
 22 3 2 3 
2
1 1 1 11 1 1 1
a. a + a. a.a +b a. b
2 2 2 22 3 2 3
=
b
1 7  1− 7   − 7 
7
a −  ba −.  b a. = a =  b
2
4 2  4 2   2 
1 2 11 2  −17   − 7 
a += ab
a + ab
a  a
4
64  26   2 
7  −77   −17  −71   −7 
a.  aa. − ba. − ab.  a
2  22   24  24   2 
=
c
1
−49 2 −49
7 2 7  −7   −7 
a= + ab
a + ab a  a
4
48
8  2  2 
4 24 2 24
 − 1  −61  6 4  4  4
+
xy
x −.  −x y.  =− y = xy 2 + xyxy
 c xy − xy
 9  9  99
11
11  11
11
9999
99
 −7   −7 
a
2


a .  a + b =
2
3 
a. a + a. b
2 2
2 3
=
140
b
1   −7 
7
 a − b .  a =
2
4
2
7  −7  1  −7 
a.  a − b.  a
2  2  4  2 
=
c
6   4 
 −1
 xy − x .  − y =
11
11
9
1 2 1  −7 
a + ab  a
4
6  2 
− 49 2 7
a + ab
4
8
 −7 
 a
2
4
24
xy 2 +
xy = 4 xy 2 + 8 xy
99
33
99
99
 −7 
 a
2
d
0, 3a2 . (0,3x + 0,5y ) =
0,09a2 x + 0,15a2 y
 −7 
 a
2
 −7 
 a
2
e
1  2
1 
1
 a + b .  a + b =
3
3
4
2
1 2 1
2
1
a + ab + ab + b2
12
3
8
9
1
25
1
= a2 + ab + b2
3
72
12
f
4  7
1 
 2
 − x − y .  x + z =
5
5
3
6
−
 −7 
 a
2
2
14 2 1
28
x − xz − xy − yz
15
15
15
15
 −7 
 a
2
g
( −0,2a − 0, 3b) . (1,5b − 0,5a) =
= −0,15ab + 0,1a2 − 0, 45b2
h
( 4, 4x − 1,7 y ) . (0,1x + 10y ) =
Wb
Lwb
160
140
218
 −7 
 a
2
 −7 
0, 44x 2 + 44xy − 0,17xy − 17 y 2  a
 2 
= 0, 44x 2 + 43, 83xy − 17 y 2
Lb
 −7 
 a
2
− 0, 3ab + 0,1a2 − 0, 45b2 + 0,15ab
 −7 
 a
2
8 Werk uit en noteer het resultaat zo eenvoudig mogelijk.
a
5  −9 
1
2
x+ x− x = x
y
3
4
6  33 
b
2
6a
1
1 

2
−a−
 3a −  .  4a+  = 12a +
5
5
10
4
1
1
= 12a2 + a −
5
10
c
6 
1
− 4x 2 y .  z − y = −2 x 2 yz + 3 x 2 y 2
2
8 
d
 −9 
y
0,2xy . 6xy = 1,2 x 2 y 2 
 33 
 −9 
c
6 
1
−4x 2 y .  z − y = −2 x 2 yz + 3 x 2 y 2
2
8 
Deel 3
Rationale getallen
141
d
 −9 
y
0,2xy . 6xy = 1,2 x 2 y 2 
 33 
e
 −9 
2, 4ab − 0,17ab + 2, 8a − 3,6a = 2,23ab − 0, 8a 
y
 33 
f
2
1
2
1  −9 
1
y
a + a . a = a + a2 
9  33 
3
3
3
3
g
1  2
1  9
5
3 2
1
a. a =
a
 a + a .  a − a =
4
5
3
4
20 12
16
h
2  2
4 2
2
2
 
2
 a + b .  b + a = ab + a + b + ab
5
5
25
5
5
=
i
4
4
ab + a2 + b2
5
25
0,1x . 0,1y − 0,2x . 0,2y − 0, 3x . 0, 3y = 0,01xy − 0,04 xyy − 0,09 xy
 −9 
= − 0,12 xy 
y
 33 
Lb
Wb
Lwb
160
141
219
Lb
Wb
Lwb
160
141
219
 −9 
9
6
18
x −
y =0
x−
y−
13
22
26
 33 
j
9
a

Vul aan  ∈Q 0  .
b

a
+
b
a
b
.
b
a
+
c
b
a
a
b
a
1=
b
 a
 −  = 0
b
0 =
d
e
f
10 Noteer zo eenvoudig mogelijk.
a
a
1b
b
a
=
a
bb
a
b
0
a
a = 0b
b
b
a
a
.
b
a
.
b
a
−
b
b
=1
a
g
0 =0
h
a
:
b
a
.
b
a
=1
b
 b
 −  = − 1
a
i
j
a
+
b
a
.
b
a
 2a 
 −  = −
b
2
( −1) = − a
b
a
=0
b
c
−a
b = −1
a
b
d
a
2
b = a.a = a
b
b.b b2
a
e
a
3a + a
4a
=
=2b
b
3a − a
2a
a
f
a
a
a
2 b
= a. = a
b
1
1
a
a
142
Lb
Wb
Lwb
160
142
220
11Zoek de fout! Noteer bij elke opgave in welke stap een fout is geslopen, vermeld de fout en
verbeter.
mag niet
a
a
a 1 a.1 a
. 1= .
=
=
b
b b
b
b
a
a 1 a. 1 a
=
.1 = . =
b
b 1 b. 1 b
b
a
a 0 a+0 a
+0 = + =
=
b
b 0 b+0 b
a
a
+0 =
b
b
c
a −1 −a
a
=
. ( − 1) = .
b − 1 −b
b
a −1 −a
. =
b 1
b
+1
Lb
Wb
Lwb
161
142
220
12 Jaak en de bonenstaak of Toontje en het boontje …
Jaak en Toon krijgen van de sint een merkwaardig bonenplantje. Bij hun thuiskomst planten zij
het plantje in hun tuin.
De volgende dag groeit het plantje 1/2 van zijn lengte aan.
De derde dag groeit het plantje 1/3 van zijn nieuwe lengte aan.
De vierde dag groeit het plantje 1/4 van zijn nieuwe lengte aan, enzovoort.
De sint beweerde dat het plantje 100 keer zo groot zal worden als het oorspronkelijk was. Na
­hoeveel dagen zal het plantje zijn maximale lengte bereiken?
Na 201 dagen.
Als je de volgende tabel overneemt en aanvult ben je waarschijnlijk wel in staat om het antwoord te vinden.
dag nr.
1
2
3
4
enz.
201
aangroei
totale lengte
a
1
1 13 3
1a
= 33a
aa
a + 1a a+ =1 3
a1+ 2aaa++=212
aa
= 2a
2a
a
+
a
2
2= 222a = 22 a
2
1
1
3
1 1 3a 3
3 3 1 a +1 a = a
23 a 33a 3 a +331a a+ =1122
2
1 van
11 van
a
=
a
a
2
3 van
2 a ...
31 van
2 a 2 a +2 2a a+ =2 2aa= 2a
van
3 33 van
2 22 a 2 222a + 22 a = 2a
1 15 5
1
1 3
1 van
1 van
a a=15 a
21a 2a 3 2a +21a a+3=115
+
aa+a== 25aaa= 2a
2
2
a
a
2
a
2
van
a
2
41 van
2a2
4 van
22aaa++2=2
2
4 44 van
3 2a 2
222
200200 2
200200
1
5
1
a
a
a2 2a…+ a = a
van 2a 2 200
…
2 22 a 2
2
4
200
a
2
1
11a
21 aaa
22
2
Deel 1
Algebraïsch rekenen
143
Verhouding - Kans
Schaal - Percent
3.7
Lb
Wb
Lwb
167
143
226
Lb
Wb
Lwb
167
143
226
3
. Er zitten 12
2
meisjes in deze klas. Hoeveel jongens telt klas 1A? Hoeveel leerlingen zitten er in deze klas?
1 In klas 1A is de verhouding van het aantal meisjes tot het aantal jongens
Er zitten 8 jongens in de klas.
Er zitten 20 leerlingen in de klas.
2In een kookboek staan volgende benodigdheden voor 6 frangipanetaartjes: 200 g bladerdeeg – 150 g geraspte amandelen – 150 g kristalsuiker – 150 g boter – 2 lepels bloem – 4 eieren.
Pas de benodigdheden aan naargelang het aantal taartjes.
3 taartjes
12 taartjes
9 taartjes
bladerdeeg
100 g
400 g
300 g
geraspte amandelen
75 g
300 g
225 g
kristalsuiker
75 g
300 g
225 g
boter
75 g
300 g
225 g
bloem
1 lepel
4 lepels
3 lepels
eieren
2 eieren
8 eieren
6 eieren
Lb
Wb
Lwb
167
143
226
Lb
Wb
Lwb
167
143
226
3 We trekken 1 kaart uit een spel van 52 kaarten. Hoe groot is de kans op het trekken van …
a) schoppen 7
1
52
b) een rode 3
2
52
c) een boer
4
52
d) een zwarte kaart 26
52
e) geen harten kaart
39
52
f) geen zwarte dame 50
52
4 In een zak zitten 6 gele, 3 rode en 9 groene knikkers. Hoe groot is de kans dat je uit de zak …
a) een rode knikker haalt
3
18
b) een gele of een groene knikker haalt
9
18
c) een blauwe knikker haalt 0
18
d) geen groene knikker haalt 9
18
e) geen rode en geen groene knikker haalt.
6
18
f) een gele, rode of groene knikker haalt 18
18
144
Lb
Wb
Lwb
167
144
227
5 Teken deze rechthoek:
a op schaal 1 : 2;
b op schaal 1 : 4.
A
B
1:4
1:2
D
Lb
Wb
Lwb
167
144
227
C
6 Vergroot deze figuur:
a
tweemaal
b driemaal
a
b
Deel 3
Rationale getallen
145
Lb
Wb
Lwb
168
145
228
7 Bepaal de afmetingen van de vloer van je klaslokaal.
a Vul daarna volgende tabel in. Afhankelijk van het lokaal.
lengte
breedte
op schaal 1 : 10
op schaal 1 : 20
op schaal 1 : 50
op schaal 1 : 100
op schaal 1 : 500
op schaal 1 : 1000
bWelke schaal zou je kunnen nemen om de vloer verkleind op je blad te tekenen?
Afhankelijk van het lokaal.
Lb
Wb
Lwb
168
145
228
8 Op welke schaal is deze badkamer getekend?
90
Waarschijnlijk op schaal 1/60.
_________________________________________
60
35
200
170
_________________________________________
_________________________________________
35
50
310
Lb
Wb
Lwb
168
145
228
Lb
Wb
Lwb
168
145
228
schaal tabel aan.
9 Vul de volgende
afmeting op de tekening
werkelijke afmeting
1 : 50 000
3 cm
1,5 km
1 : 1 250 000
6,4 cm
80 km
1 : 1 000 000
5 cm
50 km
1 : 30 000
2,5 cm
750 m
250 : 1
0,25 cm
0,001 mm
1250 : 1
160 cm
10 Bereken de werkelijke afstand tussen …
aBrugge - Bastenaken
6,2 cm
De afstand is 204,6 km.
bIeper - Verviers
5,9 cm
De afstand is 194,7 km.
cKortrijk - Tienen
3,3 cm
De afstand is 108,9 km.
1 : 3 300 000
146
Lb
Wb
Lwb
169
146
229
11Kamiel heeft een tuin van 22 m breed en 28 m lang. Langs 2 kanten wil hij sparren aanplanten. Voorzie hiervoor tweemaal een ruimte van 1 m breed en 28 m lang. Tevens wil hij een groentetuin
voorzien van 20 m op 8 m.
Teken dit alles op plan en kies eerst zelf een passende schaal.
m
0,5 c
S
Shaal =
m
10 cm
GROENTENTUIN
1
.
200
0,5 c
4 cm S
P
P
A
A
R
R
R
R
10 cm
Lb
Wb
Lwb
169
146
229
Lb
Wb
Lwb
169
146
229
E
E
N
N
12 Een auto rijdt 100 km per uur.
Om 20 cm op kaart af te leggen, reed de wagen 2 uur.
Op welke schaal is deze kaart getekend?
100 km > 10 cm
De schaal is 1 : 1 000 000.
13 Hiernaast is een speelplein getekend.
De werkelijke afstanden zijn 80 m bij 60 m.
Op welke schaal is dit speelplein getekend?
De schaal is 1 : 2000.
14 cm
Deel 3
Rationale getallen
147
Lb
Wb
Lwb
169
147
230
14 Ik heb twee kaarten van België. De eerste op schaal 1:100 000, de tweede op schaal 1:200 000.
aWelke is de grootste kaart?
De eerste kaart is de grootste.
bOp de eerste kaart meet de afstand Brussel-Antwerpen 50 cm.
Hoeveel meet deze afstand op de tweede kaart?
De afstand op de tweede kaart is 25 cm.
Lb
Wb
Lwb
169
147
230
15Uit een lading gewassen suikerbieten kan men 15 % suiker halen. Hoeveel suiker kan men verkrijgen als men beschikt over 1600 ton gewassen suikerbieten?
15
. 1600 = 240
100
______________________________________
Er is 240 ton suiker uit
1600 ton suikerbieten te halen.
Lb
Wb
Lwb
169
147
230
16Iemand met een maandelijks inkomen van 1250 euro kan maandelijks 10 % van zijn inkomen sparen.
Hoeveel euro spaart hij elke maand? 125 euro
Hoeveel maanden moet hij sparen om een tv van 750 euro te kunnen kopen? _____________________
Lb
Wb
Lwb
169
147
230
750
125
=6
Hij moet 6 maanden sparen.
________________________________________________________________________________________________________________
17Vader koopt in een groothandel een tv en een gereedschapskoffer. De gereedschapskoffer kost
van de tv. Samen kosten ze 338 euro (exclusief btw). Hoeveel kost de tv zonder btw?
De tv kost 135,2 euro zonder btw. (De koffer kost 202,8 euro)
3
2
Bereken ook het totale bedrag dat vader moet betalen als hij gebruik maakt van zijn betaalkaart (het btw-tarief bedraagt 21 % en de onkosten voor het gebruik van een betaalkaart bedragen 0,12 euro).
Lb
Wb
Lwb
169
147
230
338 . 1,21 + 0,12 = 409,1
Vader moet 409,1 euro betalen.
18 Wat betekenen de volgende uitspraken?
a “Ik ben niet voor 100 % tevreden.”
Ik ben niet helemaal tevreden.
b “Om te slagen moet je voor elk vak 50 % halen.” Je moet voor elk vak de helft halen.
c “Mijn spelers hebben zich voor 200 % ingezet.”
Ze hebben zich dubbel zo hard ingezet.
3
d “In een gouden sieraad van 18 karaat zit voor 75 % goud.” Er zit 4 goud in.
e “In België werkt 3 % van de beroepsbevolking in de landbouwsector.” 3 mensen op 100 werken in de landbouwindustrie.
148
Lb
Wb
Lwb
170
148
231
19 Bereken.
Lb
Wb
Lwb
170
148
231
Wb
Lwb
170
148
231
75 . 100 = 75
100
f
55 % van 1500 =
55 . 1500 = 825
100
b 15 % van 200 =
15 . 200 = 30
100
g
78 % van 10 000 =
78 . 10 000 = 7800
100
c
2 % van 100 =
2 . 100 = 2
100
h
97 % van 30 000 =
97 .30 000 = 29 100
100
d
7 % van 1200 =
7 .1
1200 = 84
100
i
70 % van 2700 =
70 . 2700 = 1890
100
j
150 % van 300 =
150 . 300 = 450
100
e 12 % van 1800 = 12 . 1800 = 216
100
20 Bereken.
Lb
75 % van 100 =
a
a
55 % van 950 =
55 . 950 = 522,5
100
f
24 % van 370 =
24 . 370 = 88, 8
100
b
40 % van 27 =
40 . 27 = 10, 8
100
g 10 % van 21,8 =
10 . 21, 8 = 2,18
100
c
3 % van 1528 =
23
23 . 1528 = 351, 44
100
h 120 % va n 35,5 = 120 . 35,5 = 42,6
100
d
2 % van 420 =
2 . 420 = 8, 4
100
i
3,5 % van 60 =
3,5
. 60 = 2,1
100
j
4,5 % van 920 =
4,5
.920 = 41, 4
100
18 780
f
… % van 500 is 75 =
260
g … % van 76 is 19 =
25
15,625
e 116 % van 491 = 116 . 491 = 569,56
100
21 Bereken en vul in.
a
25 % van … is 4695 =
b 15 % van … is 39 =
15
c
78 % van … is 939,9 = 1205
h … % van 64 is 10 =
d
99 % van … is 42 768 = 43 200
i
… % van 3690 is 1992,6 = 54
j
… % van 75 is 375 =
e 120 % van … is 144 =
120
500
Lb
Wb
Lwb
170
148
231
22Jan, Peter, Frans en Dieter hebben samen 50 knikkers. In het diagram werd de verdeling zichtbaar
gemaakt. Hoeveel knikkers heeft ieder ? Vul de tabel in.
Dieter
16 %
Jan
34 %
Frans
22 %
Peter
28 %
Jan
Peter
Frans
Dieter
Totaal
17
14
11
8
50
Deel 3
Rationale getallen
149
Lb
170
Wb
149
23Verbind de percenten uit de
Lwb
232
100 %
2
25 %
1
3
33 %
1
4
10 %
1
10
5%
0,55
12,5 %
0,2
50 %
1
33
55 %
1
8
75 %
3
4
20 %
1
200 %
1
20
eerste kolom met het bij
behorende rationaal getal
uit de tweede kolom.
Lb
Wb
Lwb
170
149
232
Lb
Wb
Lwb
170
149
232
24 Bereken en vul in.
50
2500
25
50
50
2500
25
a 50 % van 50 % van een getal is 50
% van dat getal.
=
50
50
2500
25
==10
==100
==25
25
50.. 100
50=
2500
25=
..50
25
50
2500
25
100
000
=
=
25
100
100
10
000
100
.
=
=
==25
100
100
10
000
100
100
100
10
000
100
100 100 10 000 100
2
10
20
220
10
20
000
00 =
22 =
10
20
b 10 % van 20 % van een getal is 100
==102
22% van dat getal.
10.. 100
20=
0
=
=2
..20
10
22
0000
00 =
22 =
=10
=100
100
100
000
100
.
=
=
==22
10
000
100
100
100
100
100
10
000
100
100 100 10 000 100
250
10
2500
25
250
10
2500
25
=
10
2500
25
250
==10
==100
==25
25
250.. 100
10=
2500
25=
..10
25
c 250 % van 10 % van een getal is100
250
2500
25
000
25 % van dat getal.
=10
=100
100
100
000
==25
.
=
=
100
100
10
000
100
100
100
10
000
100
100 100 10 000 100
100
50
5000
50
100
50
5000
50
=
100
50
5000
50
==10
==100
==50
50
100.. 100
50=
5000
50=
..50
50
5000
50
000
d 100 % van 50 % van een getal is100
=10
=100
50 % van dat getal.
100
100
000
.
=
=
==50
100
100
10
000
100
100
100
10
000
100
100 100 10 000 100
20
20
400
4
20
20
400
4
=
20
20
400
4=4
==10400
==100
4
400
20.. 1..20
20=
44 ==
20
000
=10
=100
=4
4
100
100
00
000
e 20 % van 20 % van een getal is 100
100
00
10
000
100
1
00= 10
10000
000= 100
100= 4 % van dat getal.
100. 11
00
100
25Je wilt een stereotoren kopen van 800 euro. Firma A geeft je 20 % korting en daarna nog een 5 %
korting op het overblijvende bedrag. Firma B geeft onmiddellijk 25 % korting. Welke firma is het
voordeligst?
A 20 % van 800 is 160
800 – 160 = 640
B 25 % van 800 is 200
5 % van 640 is 32
640 – 32 = 608
800 – 200 = 600
Te betalen: 608 euro
Conclusie: de voordeligste firma is firma B.
Te betalen: 600 euro
150
Lb
Wb
Lwb
171
150
233
26De prijs van een vaatwasmachine bedraagt 825 euro. Bij contante betaling krijgt men 5 % korting.
Men kan de machine ook afbetalen tegen volgende voorwaarden: 100 euro voorschot en verder 2
jaar lang 33 euro per maand.
Welke formule is het voordeligst en hoe groot is het verschil tussen beide manieren van betaling?
Contant 5 % van 825 is 41,25Afbetaling 100 + 24 . 33= 100 + 792
Lb
Wb
Lwb
171
150
233
825 – 41,25 = 783,75
= 892
Te betalen: 783,75 euro
Te betalen: 892 euro
Contant betalen is het voordeligst: je bespaart 108,25 euro.
27In 2005 waren er op de Antwerpse boekenbeurs 170 000 bezoekers. 56 % waren mannen en 44 %
waren vrouwen. 74 % kwam met de wagen naar de beurs, 21 % kwam met het openbaar vervoer.
64 % kwam vooral voor de fictieafdeling.
aHoeveel vrouwelijke bezoekers waren er?
44 . 170 000 = 74 800
___________________________________________________________
100
44 170
000 = 74 800
b Hoeveel
bezoekers
waren er voor de a
­ fdeling
64 .. 170
100
000 = 108 800
100
“fictie”?
64 . 170 000 = 108 800
___________________________________________________________
21 = 170 000 = 35 700
100
100
44 . 170 000 = 74 800
100
64 .170 000 = 108 800
100
c Hoeveel bezoekers maakten ­gebruik van het
v­ ervoer?
21openbaar
= 170 000 = 35 700
100
21 = 170 000 = 35 700
___________________________________________________________________________________________________________
100
___________________________________________________________________________________________________________
dMaak de som van het percentage vrouwen en het percentage m
­ annen. Wat stel je vast?
Verklaar.
56 % + 44 % = 100 %
Alle mensen zijn ofwel man of wel vrouw.
e Maak de som van het percentage ­bezoekers dat met de wagen kwam en het percentage
­bezoekers dat met het ­openbaar vervoer kwam. Wat stel je vast? Verklaar.
Lb
Wb
Lwb
171
150
233
Lb
Wb
Lwb
171
150
233
21 % + 74 % = 95 % →
5 % is te voet gekomen of met de fiets of nog anders.
28Een haagschaar kost 98,99 euro exclusief btw. De btw die hierop moet betaald worden is 21 %.
Welk bedrag moet men betalen?
21
100
· 98,99 = 20,79 →
98,99 +20,79 = 119,78 euro te betalen.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
29Een wetenschappelijke rekenmachine kost 30,99 euro. Hierop moet nog 21 % btw betaald worden.
Hoeveel krijg je terug als je betaalt met een briefje van 50 euro?
30,99 + 21 % . 30,99 = 30,99 + 6,51 = 37,50
50 – 37,50 = 12,50
Je krijgt 12,50 euro terug. Deel 3
Rationale getallen
151
Lb
Wb
Lwb
171
151
234
30Een VW Golf cabrio kost 24 200 euro inclusief btw (21 %). Hoeveel bedraagt de btw en hoeveel kost
de wagen exclusief btw?
Lb
Wb
Lwb
171
151
234
Lb
Wb
Lwb
171
151
234
Lwb
172
151
234
982,52
121
121 % → 982,52
1%→
________________________________________________________________________________________________________________
21 % →
. 21 = 170,52
De BTW op de droogkast bedraagt 170,5
52 euro.
________________________________________________________________________________________________________________
982,52
121
32De brutomassa van een partij fruit is 3600 kg. De nettomassa is 2800 kg. Hoeveel % massaverlies
is er?
Wb
200 → 1 %
.100
de BT
TW bedraagt 4200 euro.
20
000
→ 100 %
________________________________________________________________________________________________________________
. 100
31 Een droogkast kost 982,52 euro, 21 % btw inbegrepen. Hoeveel bedraagt de btw?
Lb
24 200 → 121 %
: 121
: 121
De auto kost 20 000 euro excl. BTW en
________________________________________________________________________________________________________________
800 / 3600 massaverlies.
→
Dat is 22,22…%
________________________________________________________________________________________________________________
33Het gezin Elskens moet voor de periode november-januari volgende rekeningen betalen:
Elektriciteit: € 216,04
Gas:
Water:
€ 202,88
€ 52,43
}
totaal1 = 471,35
Bij deze bedragen moet de btw nog bijgerekend worden: 21 % op elektriciteit en gas, 6 % op
het water.
Wat moet dit gezin in het totaal betalen?
Lb
Wb
Lwb
172
151
234
Lb
Wb
Lwb
172
151
234
Lb
Wb
Lwb
172
151
234
21 % van 216,04 → 21 . 216,04 = 45, 3684 

100
________________________________________________________________________________________________________________
Totaal = tot1 + tot2 = 562, 47

21
,
. 202, 88 = 42,6048  totaal 2 = 91119
Het gezin moet nog 562,47 eruo
21 % va n 202, 88 →
100
________________________________________________________________________________________________________________

betalen.
3,1458 
6 % van 52, 43 → 6 . 52, 43 =

________________________________________________________________________________________________________________
100
34 Els behaalt op een examen 682 op 800 punten. Hoeveel % heeft Els behaald?
682
800
= 0, 8525
Els heeft 82,25 % behaald.
________________________________________________________________________________________________________________
35Een klopboormachine kost nu slechts 61,95 euro i.p.v. 86,75 euro. Hoeveel % korting krijgt men?
86,75 − 61,95 = 24, 80
24, 80 : 86,75 ≈ 0,286 = 28,6 %
________________________________________________________________________________________________________________
Je krijgt op de aankoop van de klopboormachin
n e een korting van ongeveer 28,6 %.
________________________________________________________________________________________________________________
36Hoeveel % korting krijg je
als je dit servies koopt?
Normale prijs: 950 euro
ACTIEPRIJS: 688,75 euro
Uw voordeel: 261,25 euro
100
950
100
950
950 euro → 100 %
1 euro →
261,25 euro →
. 261,25 = 27,5 % .
________________________________________________________________________________________________________________
152
Lb
Wb
Lwb
171
151
234
37In het puntenboekje van de wiskundeleerkracht van klas 1A vind je volgende tabel met de resultaten die de leerlingen behaalden op de toetsen. (Niet iedereen heeft aan alle toetsen deelgenomen,
vandaar de verschillen in de derde kolom).
Naam
behaalde punten
maximum
1. Jan Aelbrecht
124
140
88,6
2. Peter Cornelis
98
140
70,0
3. Mieke de Bolle
76
120
63,3
4. Els Eerdekens
101,5
140
72,5
5. Ilse Geeroms
50,5
105
48,1
6. Raf Peeters
119
130
91,5
7. Lars Rogiers
119
140
85,0
8. An Travers
86
140
61,4
9. Lies Vaeremans
91
140
65,0
10. Jo Vanhamel
75
120
62,5
118
125
94,4
Gemiddelde:
72,9
11. Ward Wauters
a Bereken voor elke leerling het behaalde percentage (tot op 0,1 nauwkeurig) en noteer het in
de laatste kolom. Noteer je berekening hieronder.
140 → 124
: 1,4
1. Jan Aelbrecht : 1,4 100 → 88,6
140 → 98
2. Peter Cornelis : 1,4 : 1,4
100 → 70
%
120 → 76
3. Mieke De Bolle : 1,2 100 → 63,3
…
: 1,2
b Bereken het gemiddelde van de resultaten. Noteer je berekening hieronder.
88,6 + 70,0 + 63, 3 + 72,5 + 48,1+ 91,5 + 85,0 + 61, 4 + 65,0 + 62,5 + 94, 4
= 72,9
11
Deel 1
Algebraïsch rekenen
153
Vergelijkingen
en vraagstukken
3.8
Lb
Wb
Lwb
174
153
237
1 Los volgende vergelijkingen op:
a x . (–25) = 10
⇔ − 25x = 10
⇔ x = 10 : ( − 25)
⇔ x = − 10
25
⇔ x = − 0, 4
b –3x – 5 = 2
⇔ − 3x = 2 + 5
⇔ − 3x = 7
⇔ x = 7 : ( − 3)
⇔ x = −7
3
c – x – 4 = – 6
⇔ − x = −6 + 4
⇔ − x = −2
⇔ x = ( −2) : ( − 1)
⇔x=2
d x – 1 = 7 – x
⇔ x + x = 7 +1
⇔ 2x = 8
⇔ x = 8:2
⇔x=4
e 6x – 9 – 2x = 17 + 7x
⇔ 4x − 9 = 17 + 7x
⇔ 4x − 7x = 17 + 9
⇔ − 3x = 26
⇔ x = − 26
3
2x – 19 = 5x – 34
f
⇔ 2x − 5x = − 34 + 19
⇔ −3x = − 15
⇔x=5
154
g (2 – x) – (3 – x) + 7x = 0
⇔ 2 − x − 3 + x + 7x = 0
⇔ 7x − 1 = 0
⇔ 7x = 1
⇔x= 1
7
h 5 – (x – 2) = 11
⇔ 5 − x + 2 = 11
⇔ − x = 11− 5 − 2
⇔ −x = 4
i
⇔ x = −4
5(6 – 2x) – 3(1 – x) = 2
⇔ 30 − 10x − 3 + 3x = 2
⇔ −10x + 3x = 2 − 30 + 3
⇔ −7x = −25
j
⇔ x = − 25
−7
⇔ x = 25
7
3(x – 7) = 2(5 – x)
⇔ 3x − 21 = 10 − 2x
⇔ 3x + 2x = 10 + 21
⇔ 5x = 31
⇔ x = 31
5
k 4 + 2x = 5 (2 – x) + 11
⇔ 4 + 2x = 10 − 5x + 11
⇔ 2x + 5x = 10 + 11− 4
⇔ 7x = 17
⇔ x = 17
7
–(1 – x) – 3(x – 1)= –2 + 2x
l
⇔ − 1 + x − 3x + 3 = − 2 + 2x
⇔ x − 3x − 2x = − 2 + 1 − 3
⇔ − 4x = −4
⇔ x = −4
−4
⇔ x =1
Deel 3
Rationale getallen
155
m –2 (x + 2) = (3 – x) . 4
⇔ − 2x − 4 = 12 − 4x
⇔ − 2x + 4x = 12 + 4
⇔ 2x = 16
⇔x=8
n 17 = 2 – 5x + 2x + 3(1 – x)
⇔ 17 = 2 − 5x + 2x + 3 − 3x
⇔ 5x − 2x + 3x = 2 + 3 − 17
⇔ 6x = − 12
Lb
Wb
Lwb
174
155
239
⇔ x = − 12
6
⇔ x = −2
2 Los de volgende vraagstukken op.
aHet drievoud van een getal is 25. Welk is dit getal?
x = het getal
3x = het drievoud van dat getal
x = 25
3x
⇔ x = 25
3
b Tel je bij een getal zijn zevenvoud op, dan krijg je 28. Zoek dat getal.
x + 7x = 28
8x = 28
x = 28 = 7
8 2
het getal is 7
2
c De som van 2 opeenvolgende gehele getallen is 145. Zoek deze getallen.
x = het eerste getal
x + 1 = het volgende getal
⇔ x + x + 1 = 145
⇔ 2x = 144
⇔ x = 72
De twee getallen zijn 72 en 73.
dIn het schooljaar 2000 - 2001 zaten er in het beroepsonderwijs 75 187 leerlingen.
Er waren 2955 jongens meer dan meisjes. Hoeveel meisjes waren er?
x = aantal meisjes
dan is x = 2955 jongens en x + (x + 2955) = 75187
⇔ 2x = 75 187 − 2955
⇔ 2x = 72 232
⇔ x = 36 116
Er waren 36 116 meisjes (en 39 071 jongens).
156
eErik heeft vijfmaal zoveel postzegels als Bram. Als Erik er 140 aan Bram geeft, dan hebben
ze er evenveel.
Hoeveel postzegels heeft elk?
x = aantal zegels Bram
5x = aantal zegels Erik
5x − 140 = x + 140
⇔ 5x − x = 140 + 140
⇔ 4x = 280
⇔ x = 70
Bram heeft 70 postzegels, Erik heeft 350 po
ostzegels.
f
De omtrek van een rechthoek is 240m. De lengte is 20 meter meer dan de breedte. Bepaal de afmetingen van deze rechthoek.
x = de breedte
x + 20 = de lengte
2x + 2 ( x + 20) = 240
⇔ 2x + 2x + 40 = 240
⇔ 4x = 200
⇔ x = 50
De lengte en de breedte zijn 70 m en 50 m.
g Vader is één jaar ouder dan het dubbele van de leeftijd van Bart.
Bart is 9 jaar ouder dan Elke. Samen zijn ze 84 jaar oud.
Hoe oud is ieder?
x = de leeftijd van ELke
x + 9 = de leeftijd van Bart
2. ( x + 9) + 1 of 2x + 19 = leeftijd vader
x + x + 9 + 2x + 19 = 84
⇔ 4x = 84 − 9 − 19
⇔ 4x = 56
⇔ x = 14
Elke is 14 jaar, Bart is 23 jaar en vader iss er 47.
hBoer Elskens houdt kippen en koeien. Samen zijn er 34 koppen en 112 poten. Hoeveel koeien heeft boer Elskens?
kippen hebben 2 poten
 allebei 1 kop dus 34 dieren.
koeien hebben 4 poten 
aantal koeien
n = x, dan is het aantal kippen 34 − x
x . 4 (aa n tal poten koeien) + ( 34 − x ). 2 (aantal poten k ippen) = 112 (totaal aantal poten)
⇔ 4x + 68 − 2x = 112
⇔ 2x = 112 − 68
⇔ 2x = 44
x = 22
i
Er zijn 22 koeien en 12 kippen.
Moeder is 33 jaar en haar dochter is 6 jaar. Over hoeveel jaar zal moeder viermaal zo oud
zijn als haar dochter?
x = aantal bij te tellen jaren
33 + x = 4. (6 + x )
⇔ 33 + x = 24 + 4x
⇔ 33 − 24 = 4x − x
⇔ 9 = 3x
⇔3=x
Over 3 jaar iss moeder viermaal zo oud als haar dochter.
Deel 3
Rationale getallen
157
j
Voor een optreden van K3 betalen kinderen onder 12 jaar 14 euro en anderen 19 euro. In
totaal zijn de ontvangsten 20 510 euro en waren er 1250 toeschouwers. Hoeveel kinderen
onder de 12 jaar waren er?
x = aantal kinderen − 12 jaar
20 510 = 14 . x + 19 . (1250 − x )
⇔ 20 510 = 14x + 23 750 − 19x
⇔ 19x − 14x = 23 750 − 20 510
⇔ 5x = 3240
⇔ x = 648
Er waren 648 kinderen jonger dan 12 jaar.
3
De gemiddelde leeftijd van grootvader, grootmoeder en hun 7 kleinkinderen is 28 jaar. De kleinkinderen hebben een gemiddelde leeftijd van 15 jaar. Grootvader is 3 jaar ouder dan grootmoeder. Hoeveel jaar is grootvader? Noteer je berekeningen.
Lb
Wb
Lwb
175
157
241
Opa = x
Oma = x − 3
7 kinderen = 15 . 7 = 105
28 = x + x − 3 + 105
9
⇔ 9 . 28 = x + x − 3 + 105
⇔ 252 − 105 + 3 = 2x
⇔ 150 = 2x
⇔ 2x = 150
⇔ x = 75
A 71B 72
4
C 73
D 74E 75
De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Van een driehoek ABC is hoek A drie keer
zo groot als hoek B, en half zo groot als hoek C. Hoe groot is hoek A? Noteer je berekeningen.
hoek A = x
Lb
Wb
Lwb
175
157
242
hoek B = x
3
hoek C = 2x
x + x + 2x = 180°
3
3
⇔ x + x + 6x = 180°
3 3 3
10
⇔ x = 180°
3
⇔ x = 180 : 10 ⇔ x = 180 . 3 ⇔ x = 54
3
10
A 30°B 36°
C 54°
D 60°E 72°
158
5
De klas van Thijs gaat op schoolreis. Als ieder van de leerlingen 24 euro betaalt, dan is er een
tekort van 18 euro. Als ieder van de leerlingen 26 euro betaalt, dan is er 12 euro over.
Hoeveel euro moet elke leerling betalen om precies uit te komen? Noteer je berekeningen.
24x + 18 = 26x − 12
⇔ 24x − 26x = − 12 − 18
Lb
Wb
Lwb
175
158
242
⇔ − 2x = − 30
⇔ x = 15
→ Er zijn 15 leerlingen.
In geval 1: 24 . 15
5 = 360 euro en 18 euro bijbetalen is 378 eu ro te betalen voor een hele klas.
In geval 2: (moet zelfde zijn) 26 . 15 − 12 = 378 klopt!
378 : 15 = 25,20
A 24,80B 25,00
6
C 25,20
D 25,40E 25,60
Grootmoeder heeft koekjes voor haar kleinkinderen gebakken. Als zij ieder twee koekjes
geeft, dan houdt ze drie koekjes over. Als zij ieder drie koekjes wil geven, dan heeft ze er twee
tekort. Hoeveel kleinkinderen heeft grootmoeder? Noteer je berekeningen.
Lb
Wb
Lwb
175
158
242
x = aantal kleinkinderen
geval 1: elk 2 koekjes ⇒ 2x
3 over: 2x + 3
geval 2: elk 3 koekjes ⇒ 3x
2 t ekort: 3x − 2
geval 1 en 2: evenveel koekjes dus:
3x − 2 = 2x + 3
⇔ 3x − 2x = 3 + 2
⇔x=5
A 2B 3
7
C 4
D 5E 6
Drie soorten marsmannetjes vliegen per raket naar de maan. Groene marsmannetjes hebben
twee tentakels, oranje mannetjes hebben er drie en blauwe mannetjes hebben vijf tentakels.
In de raket zijn evenveel groene als oranje marsmannetjes en er zijn 10 blauwe mannetjes
meer dan groene. Samen hebben de marsmannetjes 250 tentakels.
Hoeveel blauwe marsmannetjes vliegen er mee in de raket? Noteer je berekeningen.
Lb
Wb
Lwb
175
158
243
G = 2 tentakels
aantal groene = x
O = 3 tentakels
aan
n tal oranje = groene = x
B = 5 tentakels
aantal blauwe = x + 10
aantal
Groene
tentakels
aantal
Oranje
tentakels
aantal
Blauwe
tentakels
totale
aantal
tentakels
. ( x + 10) = 250
. x + 3
. x + 5
⇔ 2
⇔ 2x + 3x + 5x + 50 = 250
⇔ 10x = 250 − 50
⇔ 10x = 200
⇔ x = 200
10
A 15B 20
C 25
D 30E 40
Deel 1
Algebraïsch rekenen
159
Coördinaten
3.9
Lb
Wb
Lwb
176
159
244
1 Bepaal de coördinaat van de punten A en B.
1
3
− , − 11
2 15
(
–1
A
3
− , − 11
2 15
(
Lb
Wb
Lwb
176
159
245
)
B
0
)
( 23 , 21)
1
( 23 , 21)
2 Stel in een assenstelsel volgende punten voor.
 3 5
A  ,− 
 2 4

1
B  − 2, 
4

 2 1
C  , 
 3 2
 −3 
D  , − 1
 4

y
1
C
B
–2
–1
1
D
–1
2
A
x
160
3.10
Lb
Wb
Lwb
180
160
249
Regelmaat
1 Bestudeer de regelmaat in volgende vierkanten.
3
5
2
4
a
Teken zelf het volgende
vierkant met zijde 6.
6
b Vul deze tabel aan.
zijde
2
3
4
5
6
9
32
aantal gekleurde vakjes
3
5
7
9
11
17
63
c
Teken de grafiek. Plaats horizontaal de zijde.
aantal
gekleurde vakjes
60
50
40
30
20
10
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
zijde
Rationale getallen
Deel 3
161
dBepaal de formule om het aantal gekleurde vakjes (v) te vinden. Gebruik voor zijde de
letter z.
v = 2 . z – 1
eBepaal het aantal gekleurde tegels als de zijde van het vierkant 212 is.
v = 2 . 212 – 1 = 424 – 1 = 423
Lb
Wb
Lwb
180
161
250
Er zullen dan 423 tegels gekleurd zijn.
fWat zal de zijde van het vierkant zijn, als het aantal gekleurde tegels 317 bedraagt?
317 = 2 . z – 1 F 318 = 2 . F 159 = z
De zijde van dit vierkant is 159.
2 Bestudeer de regelmaat in volgende rechthoeken.
a
b Vul deze tabel aan.
Teken zelf de volgende figuur.
aantal grijze vierkanten
1
2
3
4
9
21
72
12
aantal rode vierkanten
8
10
12
14
24
48
150
30
162
c
Teken de grafiek. Plaats horizontaal het aantal grijze vakken.
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1234
9
12
21
72
dBepaal de formule om het aantal rode vierkanten (r) te vinden, als het aantal grijze vierkanten (g) gegeven is.
r = (g + 2) . 2 + 2
r = 2g + 6
eBepaal de formule om het aantal grijze vierkanten te vinden als het aantal rode vierkanten
­gegeven is.
of
g= r −6
2
Deel 3
Rationale getallen
163
Lb
Wb
Lwb
181
163
252
150
3 Ook door lucifers te leggen, ben je eigenlijk een wiskundige regelmaat aan het toepassen.
140
a Vul de tabel aan.
130
Lb
Wb
Lwb
181
163
252
aantal driehoeken
1
2
3
4
8
39
aantal lucifers
3
5
7
9
17
79
b
120
Bepaal de formule om het aantal lucifers (I) te vinden, bij een bepaald aantal driehoeken (d).
l = 2 . d + 1
110
100
4 Nog meer regelmaat bij rechthoeken en vierkanten. Los bij elk van volgende reeksen volgende
vragen op.
90
- Hoeveel gekleurde vakjes heeft volgende figuur ?
- Bepaal een formule om het aantal gekleurde vakjes te vinden, als je de zijde van het vierkant kent.
Lb
Wb
Lwb
182
163
252
a
b c
d 80
volgende figuur = 20
formule: g = 4 . z – 4
70
60
volgende figuur = 11
50
formule: g = 2 . z – 1
40
volgende figuur = 20
30
formule: 4 + (z –2)2
20
volgende figuur = 12
10
formule: z even: 2z
0
z oneven: 2z – 1
2 4 6 8 101214161820
5 Deze kubussen zijn opgebouwd uit witte en rode kubusjes.
a Tel het aantal gekleurde kubusjes en vul de tabel aan.
lengte zijde
1
2
3
4
5
8
6
44
aantal witte kubusjes
0
0
7
32
81
432
160
84 672
aantal rode kubusjes
1
8
20
32
44
80
56
512
164
bBepaal de formule om het aantal rode (r) kubusjes te vinden als de zijde (z) gegeven is.
Vanaf 3: r = 12z – 16
cBepaal de formule om het aantal witte (w) kubusjes te vinden als de zijde (z) gegeven is.
Vanaf 3: w = z3 – 12z + 16
d Teken de grafiek met horizontaal de lengte van de zijde en verticaal het aantal witte kubusjes.
450
405
360
315
270
225
180
135
90
45
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Deel 3
Rationale getallen
165
e Teken de grafiek met horizontaal de lengte van de zijde en verticaal het aantal rode kubusjes.
r
90
80
70
450
60
405
50
360
40
315
30
270
20
225
10
180
0
135
1
Lb
Wb
Lwb
182
165
254
2
3
4
5
6
7
8
z
90
6 Op bladzijde 9 legden we uit wat een driehoeksgetal en een vierkantsgetal is.
aBepaal de vijf volgende driehoeks- en vierkantsgetallen.
15,
4521, 28, 36, 45 (driehoeksgetallen)
25, 36, 49, 64, 81 (vierkantsgetallen)
0
1
2
3
4
5
6
7
166
b Zoek een formule om het n-de driehoeksgetal te vinden.
1
3
6
10
n . (n + 1) : 2
___________________________________________________________________________________________________________
c Zoek een formule om het n-de vierkantsgetal te vinden.
1
9
16
n2
4
d Zoek een formule om het n-de vijfhoekgetal te vinden.
1
12
n . (n − 1) + n . (n + 1) : 2 = 3 n2 − n = n ( 3n − 1)
2
2 2
5
22