Hoofdstuk 9 Vectorruimten - science.uu.nl project csg

Hoofdstuk 9
Vectorruimten
9.1
Scalairen
In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten
gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen en determinanten in andere getalsystemen te bekijken. Bijvoorbeeld de complexe getallen, die we met C aangeven. Alle stellingen en beschouwingen die we tot nu toe
gedaan hebben gaan onverminderd op voor de complexe getallen. We kunnen in
al onze stellingen R door C vervangen. Maar in plaats van R kunnen we ook Q
nemen. Merk op dat alle tot nu toe behandelde voorbeelden in dit diktaat zelfs
voorbeelden met coëfficienten in Q zijn! De verzamelingen R, C, Q hebben als gemeenschappelijk kenmerk dat het getalsystemen zijn waarin we kunnen optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door nul) met de gebruikelijke
eigenschappen. Dergelijke getalsystemen heten lichamen. In het tweede jaars
college Algebra wordt dieper ingegaan op het wiskundige begrip lichaam. Hier
volstaan we slechts met een aantal voorbeelden.
Er bestaan ook eindige lichamen. We noemen er één van, namelijk F2 , het lichaam
bestaande uit de elementen 0, 1 en met de optel- en vermenigvuldigingsregels
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0, 0 × 0 = 0, 1 × 0 = 0, 1 × 1 = 1.
Eigenlijk is rekenen in F2 hetzelfde als met de gehele getallen modulo 2 rekenen.
Ook in F2 kunnen we lineaire vergelijkingen oplossen. Hier is een voorbeeld.
x1
x1
x1
+ x2
De uitgebreide coëfficientenmatrix

1
1
1
+ x3
+ x3
+ x4
+ x4
+ x4
ziet er uit als
¯ 
0 1 1 ¯¯ 1
1 1 1 ¯¯ 0 
0 0 1¯ 1
100
= 1
= 0
= 1
9.2. AXIOMA’S
101
Standaard Gauss-eliminatie geeft
¯ 

1 0 1 1 ¯¯ 1
0 1 0 0¯ 1
¯
0 0 1 0¯ 0
en de oplossing luidt
x3 = 0 − x4 , x2 = 1 − x4 , x1 = 1 − x3 − x4 = 1 + x4 − x4 = 1, x4 ∈ F2
en omdat −1 = 1 in F2 ,
x3 = x4 , x2 = 1 + x4 , x1 = 1, x4 ∈ F2 .
Merk op, dat Z, de gehele getallen, geen lichaam vormen. Het quotient van
twee gehele getallen hoeft namelijk niet geheel te zijn. Als gevolg daarvan gaan
niet alle stellingen uit die we behandeld hebben, voor Z op. Bijvoorbeeld, als
een n × n-matrix determinant 6= 0 heeft, dan is er een inverse matrix. Dit gaat
echter
niet
toelaten. De matrix
µ
¶
µ
¶ op als we alleen matrices met gehele coëfficienten
1
−1
3 1
en deze heeft geen
heeft determinant 2 6= 0. De inverse is 12
−1 3
1 1
gehele coëfficienten.
De verzamelingen R, C, Q, F2 zullen we in de lineaire algebra lichamen van scalairen noemen.
9.2
Axioma’s
In de voorgaande hoofdstukken hebben we het voornamelijk over Rn gehad. Indien we andere scalairenlichamen toelaten, zouden we ook andere vectorruimten
kunnen toelaten zoals Cn , Qn , F2n , . . .. In het algemeen kunnen we F n als vectorruimte over het scalairenlichaam F zien. Matrixvermenigvuldiging en oplossing
van lineaire vergelijkingen kunnen we nog steeds uitvoeren als we met een willekeurig lichaam F werken. Ook gaan onze stellingen over rang en dimensie
onverminderd door.
We maken nu een abstractiestap door het algemene begrip vectorruimte in te
voeren. We beginnen met een lichaam F dat het lichaam van scalairen zal heten.
Zoals gezegd, voorbeelden zijn F = R, C, Q, F2 , etc. Een vectorruimte over F
is een niet-lege verzameling V met daarin een optelling x, y ∈ V 7→ x + y en
een scalaire vermenigvuldiging λ ∈ F, x ∈ V 7→ λx die voldoet aan de volgende
eigenschappen.
1. Voor alle x, y ∈ V geldt x + y = y + x.
2. Voor alle x, y, z ∈ V geldt (x + y) + z = x + (y + z).
102
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
3. Bij elke x, y ∈ V is er een uniek bepaalde z ∈ V zó dat x + z = y.
4. Voor alle λ, µ ∈ F en x ∈ V geldt λ(µx) = (λµ)x.
5. Voor alle λ ∈ F en alle x, y ∈ V geldt λ(x + y) = λx + λy.
6. Voor alle λ, µ ∈ F en alle x ∈ V geldt (λ + µ)x = λx + µx
7. Voor alle x ∈ V geldt 1 · x = x.
De elementen van V noemen we vectoren. Allereerst een aantal belangrijke opmerkingen.
1. We noemen de oplossing z in eigenschap (3) het verschil van de vectoren y
en x. Notatie: y − x.
2. Er is een uniek bepaald element 0 ∈ V zó dat x + 0 = x voor alle x ∈ V .
Om dit te zien kiezen we v ∈ V (dat kan, V is immers niet leeg) en nemen
0 = v − v. Dus v + 0 = v. Zij nu x willekeurig en tel aan beide zijden
x − v op. We vinden (x − v) + v + 0 = (x − v) + v. Per definitie geldt dat
(x − v) + v = x. Onze gelijkheid gaat dus over in x + 0 = x. Het element
0 heeft dus de gewenste eigenschap en is bovendien uniek vastgelegd.
3. Voor elke x ∈ V geldt 0 · x = 0. Dit zien we uit het feit dat x + 0 · x =
(1 + 0)x = 1 · x = x. Aangezien 0 de unieke vector is met de eigenschap
dat x + 0 = x concluderen we dat 0 · x = 0.
4. Voor elke x, y ∈ V geldt y − x = y + (−1) · x. Stel z = y + (−1) · x. Dan
geldt x + z = x + y + (−1) · x = y + (1 − 1)x = y + 0 · x = y. Hieruit zien
we dat ook z = y − x.
Voortaan noteren we 0 − x als −x. In het bijzonder geldt −x = (−1) · x.
Hier zijn een aantal voorbeelden van vectorruimten. Het symbool F staat voor
een scalairenlichaam. Denk met name aan F = R, C, Q, F2 . Ga van elk van
de voorbeelden na dat ze inderdaad een vectorruimte vormen en geef ook de
nulvector aan.
1. De intuı̈tieve vectoren uit onze inleiding.
2. De verzamelingen F n , F ∞ , F0∞ over F . Hierin bedoelen we F n de verzameling van oneindige rijen elementen uit F , en met F0n de deelverzameling van
F n bestaande uit rijen waarvan de elementen vanaf zekere index nul zijn.
Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn de coördinaatsgewijze.
3. De verzameling van m × n-matrices met elementen uit F en gebruikelijke
optelling en scalaire vermenigvuldiging vormen een vectorruimte over F .
9.2. AXIOMA’S
103
4. De verzameling van polynomen
{ak X k + ak−1 X k−1 + · · · + a1 X + a0 | ai ∈ F }
met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging. Notatie: F [X]
5. Zij I ⊂ R een interval. De verzameling van continue functies f : I → R vormen een vectorruimte over R als we optelling en scalaire vermenigvuldiging
als volgt kiezen:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λf )(x) = λf (x).
Notatie: C 0 (I).
6. In plaats van bovenstaand voorbeeld kunnen we natuurlijk ook de verzameling van continu differentieerbare functies, (C 1 (I)) oneindig vaak differentieerbare functies (C ∞ (I)), of willekeurige functies nemen.
7. De complexe getallen vormen een vectorruimte over R als we gebruikelijke
optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen.
8. De reële getallen vormen een vectorruimte over Q als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen.
9. Algemener, als we twee lichamen K, L hebben met K ⊂ L en optelling en
vermenigvuldiging in K komen van die van L, dan is L een vectorruimte
over K.
Zij V een vectorruimte over F en W ⊂ V een deelverzameling. We noemen W
een (lineaire) deelruimte van V als de volgende eigenschappen gelden:
1. 0 ∈ W .
2. Als x, y ∈ W dan x + y ∈ W .
3. Als λ ∈ F en x ∈ W dan λx ∈ W
Stelling 9.2.1 Een lineaire deelruimte W van een vectorruimte V is zelf ook een
vectorruimte als we de optelling en scalaire vermenigvuldiging uit V nemen.
Bewijs: Zij W een deelruimte van V . Uit de definitie van deelruimte volgt dat
we in W een optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren hebben. Omdat
deze optelling en vermenigvuldiging aan de axioma’s voor de ruimte V voldoen,
voldoen ze zeker ook als we ons beperken tot de vectoren in W . Daarmee is W
zelf ook een vectorruimte.
2
2
Voorbeelden van deelruimten.
104
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
1. V = Rn en W is oplossingsvezameling van een stelsel homogene lineaire
vergelijkingen Ax = 0 met x ∈ Rn .
2. Zij I ⊂ R een interval en V = C 0 (I). Dan zijn C 1 (I) en C ∞ (I) voorbeelden
van lineaire deelruimten.
3. Zij V = F [X]. Dan zijn de volgende deelverzamelingen ook deelruimten
(a) Kies n ∈ N. De polynomen met graad ≤ n. Notatie: F [X]n .
(b) De verzameling p(X) ∈ F [X] met p(1) = 0. Of algemener, kies a ∈ F
en neem als W de verzameling polynomen met p(a) = 0.
4. V = R∞ . Ga na dat de volgende deelverzamelingen lineaire deelruimten
zijn:
∞
(a) R∞
met xn = 0 als n groot
0 : de verzameling van alle (x1 , x2 , . . .) ∈ R
genoeg is.
(b) l∞ : de verzameling (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ zó dat limn→∞ xn = 0.
(c) l2 : de verzameling (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ zó dat x21 + x22 + x23 + · · · een
convergente reeks is.
Ga tevens na dat we in dit voorbeeld de inclusies
2
∞
R∞
⊂ R∞
0 ⊂ l ⊂ l
hebben.
5. Gegeven een vectorruimte V over F en een eindige verzameling vectoren
v1 , . . . , vn . Het opspansel van deze vectoren gegeven door
Span(v1 , . . . , vn ) = {λ1 v1 + · · · + λn vn |λ1 , . . . , λn ∈ F }
is een lineaire deelruimte van V .
6. Gegeven een vectorruimte V over F en een willekeurige deelverzameling S ⊂
V . De verzameling van alle (eindige) lineaire combinaties van elementen uit
S noemen we het opspansel van S. Notatie: Span(S). Merk op dat Span(S)
ook een lineaire deelruimte van V is. Verder geldt voor elke deelruimte W ⊂
V met de eigenschap S ⊂ W , dat alle lineaire combinaties van elementen
uit S ook in W bevat moeten zijn. Met andere woorden, Span(S) ⊂ W .
Op deze manier kunnen we Span(S) zien als de kleinste deelruimte die een
gegeven verzameling S omvat.
9.3. AFHANKELIJKHEID
9.3
105
Afhankelijkheid
Ook in onze abstracte vertorruimten hanteren we het begrip (on)afhankelijkheid.
Stel we hebben een vectorruimte V over het lichaam F en zij v1 , v2 , . . . , vr een
r-tal vectoren in V . Een lineaire combinatie van v1 , v2 , . . . , vr is een vector van
de vorm
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr
waarin λ1 , . . . , λr ∈ F . Onder een (lineaire) relatie tussen v1 , v2 , . . . , vr verstaan
we een lineaire combinatie die de nulvector oplevert.
Definitie 9.3.1 Zij V een vectorruimte over het lichaam F . Een r-tal vectoren
v1 , v2 , . . . , vr ∈ V noemen we (lineair) onafhankelijk als de enige relatie
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr = 0
met λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ F de triviale is, dat wil zeggen λ1 = λ2 = · · · = λr = 0.
We noemen de vectoren (lineair) afhankelijk als er een niet-triviale relatie bestaat.
We kunnen ook lineaire onafhankelijkheid voor willekeurige verzamelingen definiëren (dus ook oneindige verzamelingen).
Definitie 9.3.2 Zij V een vectorruimte over het lichaam F . Een deelverzameling S ⊂ V heet (lineair) onafhankelijk als elke eindige deelverzameling van S
onafhankelijk is.
Met dit begrip onafhankelijkheid kunnen we ook het begrip basis van een vectorruimte invoeren.
Definitie 9.3.3 Zij V een vectorruimte over het lichaam F . Een deelverzameling
S van V heet een basis van V als
1. S onafhankelijk is
2. Elke vector in V lineaire combinatie van een eindig aantal vectoren uit S
is.
Als een vectorruimte V een eindige basis heeft, bestaande uit n vectoren, dan
noemen we n de dimensie van V . Het bewijs dat de dimensie onafhankelijk van
de basiskeuze, gaat op dezelfde manier als in Stelling 5.2.2.
De dimensie van de triviale vectorruimte, dat wil zeggen de vectorruimte die
alleen uit de nulvector bestaat, definiëren we als nul.
Bij abstracte vectorruimten kan het gebeuren dat er helemaal geen eindige basis
bestaat. In dat geval bevat de vectorruimte een oneindige onafhankelijke deelverzamneling en we zeggen dat de dimensie van V oneindig is. In dergelijke gevallen
106
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
kan het gebeuren dat we een oneindige basis kunnen aanwijzen, maar veel vaker
gebeurt het dat er helemaal geen basis aangegeven kan worden.
Twee mooie voorbeelden worden gegeven door R∞ bestaande uit de oneindige
rijen reële getallen, en R∞
0 , bestaande uit de oneindige rijen reële getallen die
vanaf zeker moment nul zijn. De vectoren
(1, 0, 0, 0, . . .)
(0, 1, 0, 0, . . .)
(0, 0, 1, 0, . . .)
...
vormen een basis van R∞
0 . Ga zelf na dat dit zo is. Begrijp je ook waarom
bovenstaand stelsel geen basis van R∞ is?
Definitie 9.3.4 Zij V een vectorruimte en S ⊂ V een deelverzameling. De
rang van S wordt gedefinieerd als de dimensie van het opspansel van S. Notatie
rang(S).
Hier volgen een aantal voorbeelden van (on)afhankelijke verzamelingen en eventuele bases van vectorruimten.
Voorbeeld 9.3.5. Beschouw de vectorruimte over R bestaande uit de reëelwaardige
continue functies op ]0, 1[. We geven deze aan met C 0 (]0, 1[). De rol van de nulvector in deze ruimte wordt gespeeld door de constante functie 0. Als voorbeeld
laten we zien dat 1/x, 1/x2 , 1/(1 − x) onafhankelijk zijn. Stel namelijk
1
1
1
a +b 2 +c
≡0
x
x
1−x
voor zekere a, b, c ∈ R. Met het ≡-teken geven we hier nog een keer extra aan dat
het om een gelijkheid van functies gaat. Dat wil zeggen dat de gelijkheid geldt
voor alle keuzen van x.
Om onafhankelijkheid aan te tonen kunnen we een aantal waarden van x kiezen.
Neem bijvoorbeeld achtereenvolgens x = 1/3, 1/2, 2/3. We vinden dan,
3a + 9b + 3c/2 = 0
2a + 4b + 2c = 0
3a/2 + 9b/4 + 3c = 0
Oplossing van dit stelsel leert dat a = b = c = 0. Met andere woorden, alleen de
triviale relatie geldt, en de functies zijn onafhankelijk.
∗∗∗
Voorbeeld 9.3.6. De ruimte C(R) van continue functies op R. De nulvector in
deze ruimte is de triviale functie 0. Beschouw de functies f0 , f1 , f2 , . . . gegeven
9.3. AFHANKELIJKHEID
107
door fm (x) = emx . Wij beweren dat de functies f0 , f1 , . . . , fn onafhankelijk zijn
voor elke gehele n. Stel dat er a0 , a1 , . . . , an ∈ R bestaan, zó dat
an fn + an−1 fn−1 + · · · + a1 f1 + a0 f0 = 0
Anders gezegd,
an enx + an−1 e(n−1)x + · · · + a1 ex + a0
is identiek gelijk nul voor alle keuzen van x. Anders geschreven, P (ex ) = 0 voor
alle x, waarin
P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .
Anders gezegd, het polynoom P (X) heeft oneindig veel verschillende nulpunten.
Als P (X) een niet-triviaal polynoom zou zijn, dan kunnen er hooguit n nulpunten
zijn. We moeten dus concluderen dat P (X) het triviale polynoom is. Met andere
woorden, an = an−1 = · · · = a1 = a0 = 0.
In het bijzonder zien we dat het opspansel van f0 , f1 , f2 , . . . in C(R) een oneindigdimensionale deelruimte van C(R) is.
∗∗∗
Voorbeeld 9.3.7. De vectorruimte van complexe getallen
√ over R. Elk complex
−1. Hieruit volgt dat
getal
kan
op
unieke
manier
geschreven
worden
als
a
+
b
√
1, −1 een basis van onze vectorruimte is. De dimensie van C over R is dus twee.
De situatie wordt heel anders als we C zien als vectorruimte over Q. We krijgen
dan een oneindig dimensionale vectorruimte. In het volgende voorbeeld zullen
dit iets nader uitwerken, waarbij we R in plaats van C nemen.
∗∗∗
Voorbeeld
√9.3.8. De vectorruimte van reële getallen over Q. Beschouw de reële
getallen 1, 2. Wij beweren dat ze lineair onafhankelijk
√ over Q zijn. Stel namelijk
dat er a, b ∈ Q, niet beide nul, bestaan zó dat a + b 2 = 0. Er geldt
√ natuurlijk
b 6= 0, want anders zou√uit de relatie volgen dat a ook nul is. Dus 2 = −a/b,
met andere woorden, 2 is een rationaal getal (een breuk). We weten echter
dat dit√niet zo is. Dus onststaat er een tegenspraak en we moeten concluderen
dat 1, 2 onafhankelijk over Q zijn. We zien hier een voorbeeld waarin lineaire
onafhankelijk van getallen over Q neerkomt op irrationaliteitseigenschappen van
getallen.
Het is zelfs mogelijk om oneindige verzamelingen reële getallen aan te geven die
lineair onafhankelijk over Q zijn. Het bewijs hiervan is echter bijzonder lastig.
Voorbeelden zijn,
{1, e, e2 , e3 , . . .}
{1, π, π 2 , π 3 , . . .}
108
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
√ √ √ √ √
{1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .}
Het laatste voorbeeld bestaat uit de wortels van alle priemgetallen.
Hier is iets wat je wellicht wèl kunt aantonen:
√
1. Laat zien dat de verzameling { n|n ∈ Z>0 } afhankelijk is over Q.
2. Laat zien dat de verzameling
{log 2, log 3, log 5, log 7, log 11, . . .}
de logaritmen van de priemgetallen, onafhankelijk over Q is.
∗∗∗
9.4
Lineaire afbeeldingen
Van bijzonder belang zijn afbeeldingen tussen vectorruimten die de vectorruimtestructuur intact laten. Om wat preciezer te zijn, zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F . Een lineaire afbeelding A : V → W is een
afbeelding met de volgende eigenschappen
1. Voor elke x, y ∈ V geldt A(x + y) = A(x) + A(y).
2. Voor elke λ ∈ F, x ∈ V geldt A(λx) = λA(x).
Alvorens enige voorbeelden te bespreken, maken we de volgende opmerking.
Lemma 9.4.1 Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F
en A : V → W een lineaire afbeelding.
1. Voor elk tweetal x, y ∈ V en λ, µ ∈ F geldt A(λx + µy) = λA(x) + µA(y).
2. A(0) = 0.
Geef zelf een bewijs voor dit Lemma.
Een belangrijke ruimte die bij een lineaire afbeelding hoort is de kern
indexkern. Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de
verzameling van alle x ∈ V met f (x) = 0. Notatie: ker(f ).
Lemma 9.4.2 De kern van een lineaire afbeelding f : V → W is een lineaire
deelruimte van V .
Geef ook van dit Lemma zelf een bewijs. Verder geldt,
9.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN
109
Stelling 9.4.3 Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire
afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = {0}.
Bewijs: Dit is niet lastig in te zien. Stel namelijk dat A injectief is. Dan geldt
x ∈ ker(A) ⇒ Ax = 0 = A0 en wegens injectiviteit van A volgt hieruit dat
x = 0. Dus ker(A) = {0}.
Stel anderzijds dat ker(A) alleen uit de nulvector bestaat. Dan volgt uit Ax = Ay
dat A(x−y) = 0 wegens de lineariteit van A. Omdat de kern triviaal is impliceert
dit x − y = 0 en dus x = y. Met andere woorden, A is injectief.
2
Hier zijn een aantal voorbeelden van lineaire afbeeldingen. Voorbeeld 9.4.4.
Als vectorruimten V nemen we de intuı̈tieve vectoren in de ruimte. Meetkundig
realiseren we deze ruimte door de punten in de driedimensionale ruimte met
gegeven oorsprong O. Beschouw nu de volgende twee voorbeelden.
1. Zij S een vlak door O met normaalvector n. De loodrechte projectie P van
V op S is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij namelijk v ∈ V .
De loodrechte projectie van v op S is dat punt op de lijn x = v + λn met
de eigenschap dat x · n = 0. Dus (v + λn) · n = 0 waaruit volgt v · n + λ|n|2 .
Dus λ = −v · n/|n|2 en
P (v) = v −
v·n
n.
|n|2
(9.1)
Dat P lineair is volgt uit:
(x + y) · n
n
|n|2
x·n
y·n
= x+y−
n−
n
2
|n|
|n|2
= P (x) + P (y)
P (x + y) = x + y −
en
(λx) · n
n
|n|2
x·n
= λx − λ 2 n
|n|
= λP (x)
P (λx) = λx −
De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden, in dit
geval alle vectoren die loodrecht op het vlak W staan.
2. Kies een lijn l door O. Draaiı̈ng R van de ruimte rond l om een zekere
hoek φ is een lineaire afbeelding van V naar zichzelf. De reden hiervoor is
meetkundig. Beschouw het optelparallellogram van een willekeurig tweetal
110
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
vectoren x, y. Na rotatie om R gaat deze figuur over in het optelparallellogram voor R(x) en R(y). Dus R(x+y) = R(x)+R(y). Voor elke x ∈ V en
λ ∈ R>0 geldt dat x en λx in dezelfde richting wijzen en lengteverhouding
λ hebben. Na rotatie zal dit nog steeds zo zijn. Dus R(λx) = λR(x). De
enige vector die na rotatie overgaat in de nulvector is de nulvector zelf. Dit
is dus de kern.
∗∗∗
Voorbeeld 9.4.5. Zij V = F [X], de ruimte van polynomen. Dan is differentiatie
naar X een lineaire afbeelding van V naar V . Immers,
d
d
(λf (X)) = λ
f (X).
dX
dX
en
d
d
d
(f (X) + g(X)) =
f (X) +
g(X).
dX
dX
dX
De enige polynomen die na differentiatie nul worden, zijn de constante polynomen. Deze constante polynomen vormen dus de kern.
∗∗∗
Voorbeeld 9.4.6. Zij V = C(R) de ruimte van continue functies op R. Integratie van een continue functie over het interval [0, 1] (of een ander interval) geeft
een lineaire afbeelding van V naar R. Immers,
Z 1
Z 1
Z 1
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
0
en
0
Z
0
Z
1
1
λf (x)dx = λ
0
f (x)dx.
0
De kern wordt gegeven door alle functies waarvan de integraal nul is.
∗∗∗
Voorbeeld 9.4.7. Zij M een m×n-matrix met reële coëfficienten. De afbeelding
Rn → Rm die aan x ∈ Rn de vector M x toekent is een lineaire afbeelding. Uit
de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers dat
M (x + y) = M x + M y
en
M (λx) = λM x.
In het volgende hoofdstuk zal blijken dat lineaire afbeeldingen tussen eindigdimensionale vectorruimten allemaal kunnen worden teruggebracht tot matrixvermenigvuldiging met een matrix M waarvan de coëfficienten in het scalairen
9.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN
111
lichaam F zitten.
∗∗∗
Voorbeeld 9.4.8. Zij M2,2 de ruimte van 2 × 2-matrices met elementen in R.
De afbeelding M2,2 → R4 gegeven door
µ
¶
a b
7→ (a, b, c, d)t
c d
is lineair. Ga dit na!
∗∗∗
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V → W bestaat. Er geldt:
Stelling 9.4.9 Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee
vectorruimten V, W . Dan is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Bewijs: Zij x, y ∈ W . Kies u, v ∈ V zó dat A(u) = x en A(v) = y. Dan
geldt, wegens lineariteit van A, dat A(u + v) = A(u) + A(v) = x + y. Gevolg:
A−1 (x + y) = u + v = A−1 (x) + A−1 (y). Hiermee is het eerste kenmerk van
lineariteit aangetoond.
Kies nu x ∈ W en λ ∈ F . Stel v zó dat x = A(v). Dan geldt dat A(λv) =
λA(v) = λx. Dus A−1 (λx) = λv = λA−1 (x).
2
We kunnen isomorfe vectorruimten zien als twee incarnaties van dezelfde vectorruimte structuur. De 1-1-duidige correspondentie tussen de twee wordt gegeven
door de bijectie A. Hier zijn een paar voorbeelden. Voorbeeld 9.4.10. Zij M2,2
de ruimte van 2 × 2-matrices met elementen in R. De afbeelding M2,2 → R4
gegeven door
µ
¶
a b
7→ (a, b, c, d)t
c d
is een bijectieve lineaire afbeelding tussen M2,2 en R4 . Goed beschouwd maakt
het ook niet uit of we de vier componenten van vectoren uit R4 in een rij, kolom
of vierkantsvorm opschrijven.
∗∗∗
Voorbeeld 9.4.11. De ruimten F [X] van polynomen en F0∞ zijn isomorf via de
lineaire bijectie
a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n 7→ (a0 , a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, 0, 0, . . .).
∗∗∗
Hier is nog een algemene opmerking.
112
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
Lemma 9.4.12 Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire
afbeelding. Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Opgave 9.4.13 Geef zelf een bewijs van dit Lemma.
Tenslotte wijzen we erop dat een eindigdimensionale vectorruimte over F altijd
isomorf is met F n . Dit gaat als volgt Zij V een eindigdimensionale vectorruimte
over F en B = {b1 , . . . , bn } een geordende basis. Elke vector x ∈ V kan op
unieke manier geschreven worden als x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn met xi ∈ F .
We noemen x1 , x2 , . . . , xn de coördinaten van x ten opzichte van B. De kolom
bestaande uit deze coördinaten noemen we de coördinatenkolom. We geven deze
aan met xB .
Opgave 9.4.14 Laat zien dat de toekenning
x 7→ xB
een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en F n geeft.
We zien hieruit dat alle eindigdimensionale vectorruimten over F isomorf zijn
met F n voor zekere n. Men zou dus kunnen zeggen dat, wat betreft eindigdimensionale vectorruimten, alles weer bij het oude is. In de praktijk blijkt het echter
vaak onhandig of omslachtig een basis te kiezen. Vaak is zo’n keuze helemaal niet
voor de hand liggend. In zulke gevallen is het veel eleganter om coördinaatvrij te
werken. Dit is de kracht van een axiomatische opzet van vectorruimten.
9.5
Lineaire afbeeldingen in eindige dimensie
In deze paragraaf geven we aan wat het verband is tussen lineaire afbeeldingen
en matrices. Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam F en
A : V → W een lineaire afbeelding. We nemen aan dat V, W eindigdimensionaal
zijn met dimensies n respectievelijk m. Zij B = {b1 , b2 , . . . , bn } een geordende
basis van V en C = {c1 , c2 , . . . , cm } een geordende basis van W . Net zoals
aan het eind van de vorige paragraaf geven we de coördinatenkolom van x ∈ V
tenopzichte van B aan met xB . En evenzo is yC de coördinatenkolom van y ∈ W
ten opzichte van C.
Stelling 9.5.1 Zij V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W als daarnet.
Stel x ∈ V, y ∈ W zó dat y = A(x). Zij AB
C de m × n-matrix die we krijgen door
als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte van C te nemen. Dan
geldt:
yC = A B
C xB .
9.5. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
113
Bewijs: De volgende stappen spreken hopelijk voor zich,
yC = (A(x))C
n
X
= (
xi A(bi ))C
i=1
=
=
n
X
xi A(bi )C
i=1
AB
C xB
2
Hier is een tweetal voorbeelden.
Voorbeeld 9.5.2. Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en
beschouw de lineaire afbeelding D : R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) 7→
p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen we voor B en C dezelfde
basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = {1, X, X 2 , X 3 }. De afbeelding
D losgeleten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven
we deze vectoren uit ten opzichte van C = B, dan vinden we de coördinaten
kolommen
 
 
 
 
0
1
0
0
0
0
0
0
 ,  ,  ,  .
0
0
2
0
0
0
0
3
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus


0 1 0 0
0 0 2 0
B

DB
=
0 0 0 3.
0 0 0 0
∗∗∗
Voorbeeld 9.5.3. Zij C de vectorruimte van complexe getallen over R. De
afbeelding µ : C → C geven door µ(z) 7→ (1 + i)z is linear. We kiezen de
natuurlijke basis B = {1, i} van C. Deze basisvectoren gaan onder µ over in
1 + i, −1 + i. De coördinaatkolommen van deze vectoren ten opzichte van C = B
zijn,
µ ¶
µ
¶
1
−1
,
.
1
1
De matrix van µ ten opzichte van B wordt dus
µ
¶
1 −1
.
1 1
114
HOOFDSTUK 9. VECTORRUIMTEN
∗∗∗
Het zal duidelijk zijn dat de matrix van een lineaire afbeelding sterk afhangt van
de bases ten opzichte waarvan deze wordt uitgeschreven. Zij V, W en A : V → W
als aan het begin van deze paragraaf. In plaats van B, C kiezen we een tweetal
andere geordende bases B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB
C
0
zullen
we
in
Hoofdstuk
10
aangeven.
en AB
0
C
9.6
Vectorruimteconstructies (optioneel)
Gegeven een aantal vectorruimten is het mogelijk om daaruit op abstracte wijze
nieuwe vectorruimten te creëren. Met deze constructies zullen we als beginners
in de lineaire algebra niet veel in aanraking komen. Later zullen ze evenwel van
steeds groter belang worden in de algebra, meetkunde en analyse.
1. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F . De directe som van V en W
is de vectorruimte bestaande uit alle geordende paren (v, w), v ∈ V, w ∈
W met als optelling (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) = (v1 + w1 , v2 + w2 ) en scalaire
vermenigvuldiging λ(v, w) = (λv, λw). Notatie V ⊕ W .
2. Zij V een vectorruimte en W een deelruimte. We zeggen dat twee vectoren
v1 , v2 ∈ V equivalent zijn modulo W als v1 − v2 ∈ W . De verzameling van
vectoren die equivalent modulo W zijn met een gegeven vector v noemen we
de equivalentieklasse van v. Notatie: v (mod W ). Merk op, als v1 ∈ V en
v2 ∈ V niet equivalent zijn modulo W dan zijn de klassen v1 (mod W ) en
v2 (mod W ) disjunct. Als ze namelijk een element W gemeenschappelijk
zouden hebben, dan v1 − w ∈ W en v2 − w ∈ W . Na verschil nemen,
v1 −v2 ∈ W en we hebben een tegenspraak. De ruimte V kan dus opgedeeld
worden in een disjuncte vereniging van equivalentieklassen modulo W .
Zij v1 (mod W ) en v2 (mod W ) een tweetal klassen modulo W en w1 , w2
een tweetal elementen in de respectievelijke klassen. Dan geldt w1 −v1 ∈ W
en w2 − v2 ∈ W . Na optelling, (w1 + w2 ) − (v1 + v2 ) ∈ W . Met andere
woorden, kiezen we twee elementen uit v1 (mod W ) respectievelijk v2
(mod W ) dan zal hun som altijd in de klasse v1 + v2 (mod W ) liggen.
Hiermee hebben we een optelling gedefinieerd op de equivalentieklassen
modulo W . Op dezelfde manier kunnen we een scalaire vermenigvuldiging invoeren, en daarmee krijgen de klassen modulo W een vectorruimte
structuur die we de quotientruimte zullen noemen. Notatie: V /W .
3. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F . De verzameling lineaire afbeeldingen A : V → W vormen een vectorruimte als we optelling en scalaire
9.7. OPGAVEN
115
vermenigvuldiging als volgt definiëren: (A + B)x = Ax + Bx voor alle
x ∈ V en (λA)x = λ(Ax) voor alle λ ∈ F, x ∈ V . Notatie Hom(V, W ).
4. Nemen we in het bijzonder in voorgaand voorbeeld W = F , dan krijgen we
de vectorruimte Hom(V, F ), die we de duale vectorruimte noemen. Notatie:
V d . Een lineaire afbeelding V → F noemen we ook wel een lineaire vorm
op V . De duale vectorruimte is dus de ruimte van lineaire vormen op V .
5. Zij V, W een tweetal vectorruimten over F . Het tensorproduct van V, W
bestaat uit alle (eindige) lineaire combinaties van symbolen v ⊗ w met
v ∈ V, w ∈ W die voldoen aan de volgende rekenregels
(a) λ(v ⊗ w) = (λv) ⊗ w = v ⊗ (λw) voor alle v ∈ V, w ∈ W, λ ∈ F .
(b) (v1 + v2 ) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w voor alle v1 , v2 ∈ V, w ∈ W .
(c) v ⊗ (w1 + w2 ) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2 voor alle v ∈ V, w1 , w2 ∈ W .
Notatie: V ⊗ W .
9.7
Opgaven
1. Zij W1 , W2 een tweetal deelruimten van een vectorruimte V . Laat zien dat
W1 ∩ W2 een deelruimte van V is.
2. Zij W1 , W2 een tweetal deelruimten van de vectorruimte V . Laat zien dat
W1 ∪ W2 een deelruimte is precies dan als W1 ⊂ W2 of W2 ⊂ W1 .
3. Als S1 , S2 niet-lege deelverzamelingen van een vectorruimte V zijn, dan
geven we met S1 + S2 de verzameling {x + y|x ∈ S1 , y ∈ S2 } aan.
Stel dat W1 , W2 deelruimten van V zijn. Laat zien dat W1 + W2 een deelruimte van V is die W1 , W2 omvat. Laat ook zien dat W1 + W2 de kleinste
deelruimte van V is die W1 en W2 omvat.
4. Een vectorruimte V is een directe som van twee deelruimten W1 , W2 als
V = W1 + W2 en W1 ∩ W2 = {0}. Notatie: V = W1 ⊕ W2 .
(a) Laat zien dat F n de directe som is van de deelruimten
W1 = {(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ F n |an = 0}
en
W2 = {(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ F n |a1 = a2 = · · · = an−1 = 0}.
(b) Beschouw de ruimte van polynomen R[X] en de deelruimten W1 =
{P (X)|P (x) = P (−X)} (even polynomen) en W2 = {P (X)|P (X) =
−P (X)} (oneven polynomen. Laat zien dat R[X] = W1 ⊕ W2 .