Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09
College:
L. Habets
HG 8.09, Tel. 4230,
Email: [email protected]
Instructie:
H. Wilbrink
HG 9.49, Tel. 2783,
E-mail: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2WF09
1
Lichaam:
Een verzameling F waarop een somoperatie + en een
productoperatie · zijn gedefinieerd heet een lichaam als aan de
onderstaande condities (A), (B), en (C) is voldaan:
(A) (optelling): Voor α, β, γ ∈ F geldt
(i) (commutatief) α + β = β + α,
(ii) (associatief) α + (β + γ) = (α + β) + γ
(iii) (nulelement) ∃ 0 ∈ F : α + 0 = α
(iv) (tegengestelde) ∀ α ∈ F, ∃ β ∈ F : α + β = 0
2
(B) (vermenigvuldiging) Voor alle α, β, γ ∈ F geldt
(i) (commutatief) αβ = βα
(ii) (associatief) α(βγ) = (αβ)γ
(iii) (eenheidselement) ∃1 ∈ F : 1 · α = α
(iv) (inverse) ∀α ∈ F, α 6= 0, ∃β ∈ F : αβ = 1
(C) (distributieve eigenschap): Voor alle α, β, γ ∈ F geldt:
α(β + γ) = αβ + αγ.
3
Voorbeelden:
De volgende verzamelingen zijn ringen (maar geen lichaam):
Z,
R[s].
De volgende verzamelingen zijn lichamen:
Q,
R,
C,
R(s).
• Rn×n is geen lichaam en ook geen ring; vermenigvuldiging niet
commutatief, en existentie van inverse is niet verzekerd.
• Zmod6 is wel een ring, maar heeft nuldelers: 2 · 3 = 0. Daarom
is Zmod6 zeker geen lichaam.
4
Vectorruimte:
Zij F en lichaam. Een vectorruimte over F is een verzameling V ,
waarop een optelling is gedefinieerd, en een scalaire
vermenigvuldiging met elementen uit F . Voor twee vectoren
x, y ∈ V wordt de som aangeduid door x + y, en voor α ∈ F en
x ∈ V het scalaire veelvoud met αx. V is een vectorruimte over F
indien optelling en scalaire vermenigvuldiging de volgende
eigenschappen hebben:
(1) Voor alle x, y ∈ V : x + y ∈ V (V is gesloten onder optelling).
(2) Voor alle α ∈ F en x ∈ V : αx ∈ V (V is gesloten onder scalaire
vermenigvuldiging).
5
(3) x + y = y + x voor alle x, y ∈ V (optelling is commutatief).
(4) (x + y) + z = x + (y + z) voor alle x, y, z ∈ V (optelling is
associatief).
(5) Er is een vector 0 ∈ V zó dat x + 0 = x = 0 + x voor elke
vector x ∈ V (existentie nulvector).
(6) Voor alle x ∈ V is er een vector −x ∈ V zó dat
x + (−x) = 0 = (−x) + x (existentie van inverse ten aanzien
van de optelling).
6
(7) α(x + y) = αx + αy en (α + β)x = αx + βx voor alle vectoren
x, y ∈ V en scalairen α, β ∈ F (scalaire vermenigvuldiging is
distributief).
(8) (αβ)x = α(βx) voor elke vector x ∈ V en scalairen α, β ∈ F
(scalaire vermenigvuldiging is associatief).
(9) 1x = x voor elke vector x ∈ V (het eenheidselement van F is
neutraal element ten aanzien van de scalaire
vermenigvuldiging).
7
Voorbeelden:
• R, C
• Rn , Cn , in het algemeen: F n
• P, de verzameling van alle polynomen
• Pn , de verzameling van alle polynomen van graad ≤ n
• {p ∈ P | p(3) = 0}, de verzameling van alle polynomen met een
nulpunt in 3,
• C[0, 1], alle continue functies op [0, 1].
De volgende verzamelingen zijn echter geen vectorruimte:
• alle polynomen met p(3) = 2
• alle polynomen van graad 3
8
Eigenschappen van vectorruimten:
Zij V een vectorruimte over F . Dan geldt:
• Als 00 een vector is met de eigenschap dat 00 + x = x voor alle
x ∈ V , dan 00 = 0 (eenduidigheid van de nulvector).
• Als x + y = 0, dan y = −x (eenduidigheid van de
tegengestelde).
• Als z = z + z, dan z = 0.
• Voor elke vector x ∈ V geldt dat 0x = 0 en voor elke scalar
α ∈ F geldt α0 = 0.
9
• Voor elke vector x ∈ V en scalar α ∈ F geldt:
α(−x) = −(αx) = (−α)x
• Voor elke vector x ∈ V geldt dat −x = (−1)x.
• Voor elke vector x ∈ V en scalar α ∈ F geldt αx = 0 dan en
slechts dan als x = 0 of α = 0.
10
Lineaire combinaties:
Een vector x ∈ V is een lineaire combinatie van vectoren
x1 , . . . , xn ∈ V als er scalairen α1 , . . . , αn ∈ F bestaan zó dat
x=
n
X
α i xi .
i=1
De verzameling van alle lineaire combinaties van {x1 , . . . , xn } heet
het lineair opspansel van {x1 , . . . , xn }, en wordt aangeduid met
hx1 , . . . , xn i
• Als x ∈ hx1 , . . . , xn i dan heet x lineair afhankelijk van
{x1 , . . . , xn }.
• Als S een verzameling vectoren uit V is, dan x ∈ hSi als er een
Pn
eindig aantal vectoren x1 , . . . , xn ∈ S is zó dat x = i=1 αi xi .
11
Deelruimten:
Definitie: Een niet-lege deelverzameling M van een vectorruimte
V over F is een deelruimte van V als M zelf vectorruimte over F is.
Stelling: Een niet-lege deelverzameling M van een vectorruimte V
is een deelruimte van V dan en slechts dan als aan de volgende
twee eisen is voldaan:
• Als x, y ∈ M dan ook x + y ∈ M ,
• Als α ∈ F en x ∈ M dan ook αx ∈ M .
12
Stelling: De doorsnede van een willekeurige collectie van
deelruimten van een vectorruimte is zelf wederom een deelruimte.
Gevolg: De doorsnede van twee deelruimten M en N is de
grootste lineaire deelruimte, bevat in zowel M als N .
Zij S ⊂ V een deelverzameling van de vectorruimte V . De
doorsnede van alle deelruimten die S bevatten heet de deelruimte
opgespannen door S oftewel het opspansel van S.
Stelling: Zij M ⊂ V het opspansel van een verzameling S. Dan is
M gelijk aan de verzameling van alle lineaire combinaties van
elementen van S.
13
N.B. Als M1 en M2 deelruimten van V . Dan is M1 ∪ M2 niet
noodzakelijkerwijs een deelruimte.
Definitie: Zij M1 en M2 deelruimten van de vectorruimte V . Dan
is de som van M1 en M2 gedefinieerd als
M1 + M2 = {x1 + x2 | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 }.
Stelling: De som van twee deelruimten M1 en M2 van V is zelf
weer een deelruimte van V , en
M1 + M2 = hM1 ∪ M2 i.
In het bijzonder is M1 + M2 de kleinste deelruimte van V die zowel
M1 als M2 bevat.
14
Modulaire regel:
Zij M , N en P deelruimtes van vectorruimte V , en veronderstel dat
M ⊂ P . Dan geldt:
P ∩ (M + N ) = M + (P ∩ N )
15
Productruimte:
Zij U en V vectorruimten over hetzelfde lichaam F . Dan is de
productruimte W , notatie U × V , de vectorruimte bestaande uit
alle paren (x, y) met x ∈ U , y ∈ V met de volgende vectorruimte
structuur:
α1 (x1 , y1 ) + α2 (x2 , y2 ) = (α1 x1 + α2 x2 , α1 y1 + α2 y2 )
16
Zij U en V deelruimten van een vectorruimte W zo dat
U ∩ V = {0} en U + V = W . Dan kan iedere w ∈ W op precies één
manier geschreven worden als
w =x+y
met x ∈ U en y ∈ V .
In dit geval heet W de directe som van U en V ; notatie W = U ⊕ V .
17
Zij V = V1 × V2 de product vectorruimte. Definieer
M1 = { (x1 , 0) | x1 ∈ V1 }
M2 = { (0, x2 ) | x2 ∈ V2 }
V is de directe som van de deelruimten M1 en M2 , dat wil zeggen
V = M 1 ⊕ M2 .
18
Lineaire afbeeldingen:
Definitie: Beschouw twee vectorruimten V en W over hetzelfde
lichaam F . Een afbeelding T : V −→ W heet lineair als voor alle
u, v ∈ V en voor alle α, β ∈ F geldt:
T (αu + βv) = αT u + βT v.
Gevolg: T (0) = 0.
De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van V naar W wordt
aangeduid met L(V, W ), en met L(V ) als W = V .
19
Stelling: Laat V, W vectorruimten zijn over F , en T : V −→ W
een lineaire afbeelding. Dan geldt:
• Als M een lineaire deelruimte is van V , dan is
T (M ) := {T v | v ∈ M }
een lineaire deelruimte van W .
• Als N een lineaire deelruimte is van W , dan is
T −1 (N ) := {v ∈ V | T v ∈ N }.
een lineaire deelruimte van V .
20
Beeldruimte en Nulruimte
Definitie: Zij T : V −→ W een lineaire afbeelding.
• De beeldruimte R(T ) van T wordt gedefinieerd door
R(T ) = { T x | x ∈ V }.
• De nulruimte N (T ) van T wordt gedefinieerd door:
N (T ) = { x ∈ V | T x = 0 }.
Gevolg:
• R(T ) is een lineaire deelruimte van W ,
• N (T ) is een lineaire deelruimte van V .
21
Lemma: Zij x1 , x2 ∈ V , en T een lineaire afbeelding T : V −→ W .
Dan T x1 = T x2 dan en slechts dan als x1 − x2 ∈ N (T ).
Gevolg
T injectief ⇐⇒ N (T ) = {0}.
22
Lemma: Zij T : V −→ W een lineaire afbeelding.
• Voor y ∈ W is de vergelijking T x = y oplosbaar dan en slechts
dan als y ∈ R(T ).
• Indien y ∈ R(T ), dan wordt de oplossingsverzameling van de
vergelijking T x = y gegeven door:
xp + N (T )
waarbij xp een (particuliere) oplossing is van T x = y.
23