Meten en meetkunde in de bovenbouw
advertisement
Meten en meetkunde in de bovenbouw TAL-team Uitgeverij: Wolters-Noordhoff Inleiding en overzicht Bij meten kennen we getallen toe aan verschijnselen om zo greep te krijgen op de werkelijkheid. Met die getallen kunnen we rekenen, vergelijken maken en voorspellingen doen. Hoeveel we ergens van nodig hebben, hoe lang iets zal gaan duren of wat iets gaat kosten. Meetkunde legt de basis om greep te krijgen op de ruimtelijke aspecten van de werkelijkheid. We gebruiken meetkundige kennis onbewust bij het plannen van een route, het inrichten van een kamer of het interpreteren van een werktekening. Meten en meetkunde moet gezien worden als een samenhangend geheel met het inzicht in de gatellen. Maar binnen het reken-wiskundeonderwijs kan meten en meetkunde goed als deelonderwerp beschreven worden. In dit boek wordt achtereenvolgens besproken: - Meten. Hiervoor gebruiken we ons wiskundig gereedschap in de vorm van maten en formules. Het is niet de bedoeling dat de kinderen de regelmatigheden en regels uit het hoofd leren, maar dat de leerlingen inzien hoe de relaties tussen de verschillende maten kunnen beredeneren. Hiervoor is het nodig dat de kinderen de betekenis van de voorvoegsels als centi- en kilo kennen en zich een voorstelling van de verschillende maten kunnen maken. Referentiepunten van de werkelijkheid (deur 2 meter) zijn belangrijk. - Meetkunde. In de onderbouw ligt het accent sterk op de activiteiten van de leerlingen. In de bovenbouw verschuift het accent naar verklaren en redeneren. Er worden drie terreinen beschreven: oriëntatie in de ruimte (lokaliseren en navigeren); vlakke en ruimtelijke figuren; visualiseren en representeren. - grafieken (apart hoofdstuk omdat het zowel bij meetkunde als bij meten thuishoort. Grafieken hebben een meetkundig karakter, maar zijn ook een belangrijk instrument voor het weergeven van meetresultaten) Domeinbeschrijving meten. Het is van belang dat kinderen wiskundig gereedschap ontwikkelen om te kunnen meten en de meetresultaten kunnen interpreteren. Dit betekent dat zij greep moeten krijgen op het aan het meten gerelateerde concepten en procedures. Voorbeeld oppervlakte: van afpassen ..naar .. formule lengte x breedte (wat na het verwerven van inzicht een nieuw gereedschap is). Het metriek stelsel behoort ook tot het wiskundig gereedschap. Het biedt een systematische opbouw in maten van een bepaalde soort. Ze zijn in elkaar om te rekenen via stappen van 10. Bovendien koppelt het metriek stelsel verschillende maatsoorten aan elkaar : oppervlakte en inhoud aan lengte. We kunnen cm² lezen als ‘vierkante cm’ en daarbij aan kleine vierkantjes denken. Wat betekent dit voor het basisonderwijs? Veel lln hebben moeite met oppervlakte en inhoud. De formules en omrekentrappen lijken op elkaar en er zitten veel overeenkomsten in de namen van tal van maten. Ze zijn extra moeilijk uit elkaar te houden, omdat de lln. het geheel leren kennen als een kant-en-klaar systeem, terwijl het systeem eigenlijk een resultaat is van een langdurig proces van het ontwikkelen van geschikt gereedschap, zoals handige maten, een maatsysteem en daarbij passende formules. Omdat het systeem nogal formeel wordt bij oppervlakte en inhoud haken veel lln. af. Het TAL-team kiest er voor dat lln. dit proces van construeren en uitvinden zo veel mogelijk zelf ervaren. Daarmee wordt een goede inzichtelijke basis gelegd. Bovendien zullen lln. straks in staat zijn om allerlei verbanden te reconstrueren. Als alternatief voor het uit het hoofd kennen van formules en trappetjes, kiest het TAL-team voor het (re)construeren en leggen van relaties. Daarbij richten ze zich op de slimme vondsten, die aan ons systeem van maten en formules ten grondslag liggen. In de bovenbouw van de basisschool leren de lln. werken met lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, tijd, temperatuur, en samengestelde grootheden als snelheid en soortelijk gewicht. Er is ook aandacht voor het gebruik van meetinstrumenten en de nauwkeurigheid bij het meten. De voorvoegsels mili-, centi- deci-, deca-, hecto- en kilo- verdienen het om uitdrukkelijk onder de aandacht te worden gebracht. Het meten vindt zijn oorsprong in de behoefte om objecten of toestanden op een of ander kenmerk met elkaar te vergelijken (Jan is langer dan Piet). Met getallen kun je veel preciezere uitspraken doen. Je kunt zeggen dat van echt meten pas sprake is wanneer je de verschillen gaat kwantificeren. Het basisidee van het meten is het afpassen met een eenheidsmaat. Het getal dat je zo vindt (het aantal keren dat je de eenheidsmaat kunt afpassen) geeft de verhouding aan tussen de eenheidsmaat en de maat van datgene wat je hebt gemeten. Je kunt de getallen nu niet alleen met elkaar vergelijken. Je kunt er ook mee rekenen. De verhouding tussen de getallen geeft ook de verhouding tussen de objecten. Wanneer 1 zak aardappelen 6 kilo weegt mag je er van uit gaan dat twee zakken 12 kilo wegen enz.. Dit verhoudingsaspect is niet vanzelfsprekend. Windkracht 8 is niet het dubbele van windkracht 4. Wanneer we willen dat de leerlingen begrijpen wat ze doen, moeten we ze bewust maken van het geheel van handige vondsten dat in ons metriek stelsel verborgen zit. De leerlingen moeten immers leren om de relaties binnen het systeem van maten en rekenprocedures altijd kunnen reconstrueren. Het metriek stelstelsel is goed georganiseerd: er wordt optimaal gebruik gemaakt van de structuur van het tientallig stelsel Er worden zo veel mogelijk dezelfde voorvoegsels gebruikt om grotere en kleinere maten aan de eenheidsmaat te verbinden Lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten zijn op een handige manier aan elkaar gekoppeld. De oppervlakte- en inhoudsmaten zijn geconstrueerd met behulp van lengtematen. In het basisonderwijs worden formules en procedures inzichtelijk aangeboden. Maar één keer ‘zien’ is niet voldoende. Inzicht moet worden onderhouden, anders worden formules en procedures niet meer gekoppeld aan praktijksituaties. Om dit te voorkomen gaat het TALteam uit van de volgende uitgangspunten: leerlingen bewust maken van de algemene structuur van de voorvoegsels en ze zo houvast te geven leerlingen zo vertrouwd maken met de lengtematen, zodat deze als basis kunnen dienen voor het doorzien en onderhouden van de relaties tussen de voorvoegsels inperken van het aantal oppervlakte- en inhoudsmaten waarmee de leerlingen routinematig moeten kunnen werken betekenis geven aan de oppervlakte- en inhoudsmaten door veel te investeren in steeds opnieuw beredeneren van de onderliggende structuur van handig tellen laten doorzien hoe lengte- oppervlakte- en inhoudsmaten in het metriek stelsel aan elkaar gekoppeld zijn. Het ontwikkelen van maatkennis (bijv. weten dat een deur 2 meter hoog is) Voorvoegsels Maten kunnen ‘op maat’ worden gemaakt door ze te verbinden met een voorvoegsel. Bij voorvoegsels gaat het om woorden en betekenissen, zoals kilo-, die kinderen op een gegeven moment paraat moeten hebben. De betekenissen van voorvoegsels worden daarom geoefend. Dat gebeurt in het algemeen aan de hand van de lengtematen. Door regelmatig aandacht te geven aan de betekenis van de voorvoegsels leren de kinderen deze voorvoegsels in verschillende situaties kennen. De minder gebruikelijke voorvoegsels worden maar kort aangetipt. Oppervlakte Bij de oppervlakte maten blijkt het voor kinderen moeilijk te zijn om de verworven kennis toe te passen. Vaak wordt te snel overgegaan naar de formule lengte x breedte. Ze weten niet waar dit op gebaseerd is. Koppel het uitdrukkelijk aan de rijen tegeltjes van 1cm². Dit gaat uitstekend bij rechthoeken en vierkanten. Maar wat bij figuren met schuine zijden? Dan werken we met driehoeken. Vaak is het voor een leerling niet duidelijk waarom er in de formule vermenigvuldigd wordt. Wanneer ze het rechthoeksmodel (met tegeltjes van 1cm²) niet snappen, wordt het lastig om de relaties tussen de verschillende oppervlaktematen te begrijpen. Ze realiseren zich dan niet dat het weghalen of toevoegen van de nullen is gebaseerd om op handig tellen van vierkantjes binnen het vierkant. Ze kunnen vergissingen en fouten dan ook niet corrigeren. Probeer te voorkomen dat formules betekenisloze rekenregels worden. De begrippen ‘omtrek’ en ‘oppervlakte’ moeten niet te snel na elkaar geïntroduceerd worden. Vaak gaan de kinderen dan de formules door elkaar gooien. Ook moeten kinderen ontdekken dat wanneer de omtrek 4 keer zo groot wordt de oppervlakte dat niet hoeft te doen. Op rekenweb staat een programma ‘vergroten’. http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03164/toepassing_rekenweb.html Kinderen moeten ontdekken dat bij een bepaalde oppervlakte niet één omtrek hoort. Dat is het gevaar van snel overstappen op formules. Geef een oppervlakte en laat daar figuren met verschillende omtrekken bij bedenken. En een omtrek, waarbij figuren met verschillende oppervlakten moeten worden getekend. Al in groep vier zijn kinderen eigenlijk al bezig met oppervlakte. Daar is bij het aanleren van de tafeltjes het rechthoekmodel geïntroduceerd. Hier komt het bepalen van de oppervlakte aan de orde als ‘handig hokjes tellen”. Het bepalen van oppervlakte gaat gemakkelijk bij rechthoeken en vierkanten. Maar als te snel op formules wordt overgestapt levert dat problemen op bij bijv. parallellogram en trapezium. Een parallellogram, een driehoek en een trapezium laten zich gemakkelijk omvormen tot een rechthoek. Laat de ‘handige-tel-aanpakken niet te snel los bij het bepalen van oppervlakten. Inhoud Net als bij de oppervlaktematen stellen we bij de inhoudsmaten het construeren centraal. Daar grijpen we de verbanden tussen lengtematen aan om relaties te construeren en af te leiden. Dat (re)construeren moet regelmatig gedaan worden in verschillende situaties. Inhoud is voor kinderen een zeer moeilijk onderwerp. Dat komt wellicht door het bepalen van inhoud als kubieke maten. Het eigenlijke meten betreft eigenlijk het meten van een lengte, een breedte en een hoogte. Wanneer we het onderwijs willen laten aangrijpen bij het concept inhoud, ligt het meer voor de hand het verkennen van inhoud te starten met maten die afgeleid zijn van een liter.. Hier wordt gebruik gemaakt van maatbekers en dergelijke. Een vaardigheid die de leerlingen hierbij moeten ontwikkelen is het aflezen van een schaal. Interessant is dat er vaak twee eenheden op zo’n schaallijn staan. Bijv. liters en milliliters. Het biedt een fraaie context voor het aan elkaar relateren van verschillende maten en voor het ontwikkelen van getalrelaties. Ze zien bijv. dat ¾ liter overeenkomt met 750 milliliter. De gas- en watermeters laten zien hoeveel water of gas er door de water (gas)leiding is opgeschoven. Het wordt weergegeven in kubieke meter. Het gaat door een ronde pijp. Een mooie gelegenheid om kinderen te laten ervaren dat een kubieke meter niet de vorm van een kubus hoeft te hebben.. Vaak wordt voor een kubusvorm gekozen. Bijvoorbeeld om te laten ontdekken hoeveel cm³ er in 1 m³ passen. Op de bodem 100x 100 blokjes en dan nog een keer 100 blokjes hoog.. Dit moeten kinderen steeds opnieuw kunnen reconstrueren. Ook als ze de formules feilloos toepassen. Het construeren legt de basis voor het reconstrueren. Niet te snel overstappen naar formule of regel. Het moet steeds opnieuw beredeneerd worden. Gebruik ook niet alleen kubussen, maar ook bijv. tonnen waar kleinere blikjes in moeten. Volumematen en inhoudsmaten Naast het systeem van inhoudsmaten, die uitgaan van kubieke maten, is er ook een maatstelsel dat is afgeleid van ‘liter’. De voorvoegsels bij kubieke maten zijn afgeleid van de meter. Dan zou je denken dat 1 cm³ een honderdste deel van een m³ is. Dit klopt dus niet. Bij 1cm³ moeten we denken aan één cm, die in drie richtingen wordt afgepast om een inhoudsmaat te maken. Hier merk je dus dat de voervoegsels bij meter en liter een andere functie hebben dan bij kubieke maten. De leerlingen moeten dit goed uit elkaar leren houden. Het is gebruikelijk om de ‘liter’ te gebruiken bij vloeistoffen en de kubieke maten bij vaste stoffen. Vergroten en verkleinen Kwadratisch vergroten: wanneer de lengtes met een zekere factor worden vergroot, wordt de oppervlakte met het kwadraat van deze factor vergroot (vierkant l 2 keer zo groot maken en breedte 2 x zo groot maken: oppervlakte 4x zo groot) Kubieke vergroting: betreft inhoud. Wanneer de lengtes 10x zo groot worden wordt de inhoud 1000x zo groot. Gewicht, tijd, snelheid, temperatuur en andere grootheden Gewicht De grootheid ‘gewicht’ past mooi in het metriek stelsel. Bij gewicht gaat het om de kracht die de aarde uitoefent op een zekere massa. Omdat die kracht in de dagelijkse praktijd telkens gelijk is, kan massa vervangen worden door ‘gewicht’. Als je heel precies gaat meten, zul je merken dat het ook te maken heeft met de plaats op de aarde waar gemeten wordt. Objecten met een zelfde volume kunnen een ander gewicht hebben. Dat is voor kinderen vreemd. Hier wordt dan de term soortelijk gewicht geïntroduceerd. Een baksteen heeft bijv. een sg van 1500 gram per liter/dm³ Tijd In de bovenbouw is er nadrukkelijk aandacht voor het cyclische karakter van de tijd. De relatie van het draaien van de aarde om haar as en de 24 uur die een etmaal duurt wordt besproken. Het rekenen en redeneren rond tijd krijgt in de bovenbouw meer invulling door aan de slag te gaan met de volgende onderwerpen: dag en nacht en de stand van de zon de stand van de maandag weken, maanden, jaren tiende en honderdste van een seconde tijdverschillen op aarde lezen van tv-gids, treintijden enz. Temperatuur Bij het aflezen van de temperatuur ontdekken de kinderen dat de meetschaal doorloopt onder de 0. Ze gaan kennis maken met negatieve getallen. In de bovenbouw beperkt het rekenen met temperaturen zich tot het aflezen van de temperaturen en deze te interpreteren in termen van stijgen of dalen. Snelheid Een van de lastigste grootheden waar lln. in de bovenbouw mee te maken krijgt is ‘snelheid’. ‘Snelheid’ is een samengestelde grootheid: een combinatie van tijd en afstand, met als gebruikelijke maten kilometer per uur en meter per seconde. Het rekenen gebeurt met gemiddelde snelheden per uur. Het blijkt dat kinderen vooral naar de afgelegde weg kijken en daarbij de tijd die er voor nodig is uit het oog verliezen. Een verhoudingstabel kan een belangrijke rol spelen bij het toegankelijk maken van het begrip in de verhouding tijd/afstand ___afgelegd____ǀ_____10m_________ǀ____600m________ǀ________________________ Tijd ǀ 1sec ǀ ǀ 60 minuten Beknopte leerlijnen en tussendoelen meten. In de bovenbouw richt het meetonderwijs zich in het algemeen op het flexibel manipuleren en redeneren met maten. Activiteiten zijn dan ook niet gericht op het inprenten van rekenregels en relaties, maar op het zoeken van dergelijke relaties vanuit bekende maatbetekenissen: meetreferenties en meetinstrumenten voorvoegsels en lengtematen oppervlaktematen inhoudsmaten gewicht tijd temperatuur snelheid en andere samengestelde maten Meetreferenties en meetinstrumenten Bij het leren meten van lengte en gewicht hebben de leerlingen in de onderbouw al een aantal referenties ontwikkeld (duim ongeveer 1 cm breed, deur 2 meter hoog enz.). In de bovenbouw wordt dit op 2 manieren uitgebreid. Naast referenties voor centimeter en meter ontwikkelen de leerlingen ook referenties bij de maten kilometer en mm. Naast referenties voor kilogram ook voor gram. Ook bij andere grootheden dan lengte en gewicht worden referenties ontwikkeld. Het gaat dan om referenties als cm² en m² en later ook voor hectare en km². Bij inhoudsmaten gaat het om ml, cl, dl en liter en de kubieke maten cm³, dm³ en m³. Ook bij de grootheden snelheid, temperatuur en tijd is er aandacht voor het ontwikkelen van referenties (hoe lang is een minuut ongeveer; vriezen.. temp. Onder 0 enz. 1 uur lopen is ongeveer 5 km). De oppervlaktematen en kubieke inhoudsmaten komen tot stand door constructie. Na constructie van de meest bekende maten gaan deze voor de leerlingen leven. Greep op lengte- en inhoudsmaten wordt verkregen door het leren gebruiken van passende meetinstrumenten. Doelen: - de leerlingen ontwikkelen een breed arsenaal aan referenties die in de praktijk van alle dag regelmatig worden gebruikt. - Leerlingen zijn in staat (eenvoudige) alledaagse meetinstrumenten te gebruiken. Zij kunnen meetresultaten die door de instrumenten worden aangegeven aflezen en interpreteren. Voorvoegsels en lengte (Lengte)maten krijgen door voorvoegsels hun betekenis. De leerlingen leren de voorvoegsels allereerst in de context van de lengtematen. De meetlat helpt hierbij. Dus deci centi en milli Al snel is er ook aandacht voor de lengtematen die niet binnen de meetlat vallen zoals kilometer. Eerst komen de voorvoegsels milli, centi, deci, deca, hecto en kilo aan de orde. Daarna pas micro, nano, mega en giga Doelen: Groep 5 en 6: - leerlingen kunnen de meetlat gebruiken om lengtes te meten - leerlingen kennen de voorvoegsels milli, cent en kilo en kunnen die inzetten om betekenis te geven aan lengtematen. Groep 7 en 8: - leerlingen herkennen regelmaat in de voervoegsels en kunnen die verklaren vanuit gekende lengtematen - leerlingen herkennen micro nano mega en giga als voorvoegsel. Constructie oppervlakte maten Het afpassen van oppervlaktematen, zoals in de onderbouw aangeboden, wordt in de bovenbouw uitgebrouwd. Hert afpassen leidt daar tot het handig tellen van af te passen eenheden. In de praktijk gaat het dan om het afpassen van tegeltjes of hokjes. Om snelle generalisering te voorkomen wordt daarbij gevarieerd in de te tellen eenheden, die bijvoorbeeld driehoekig, vierkant, rechthoekig of zeshoekig kunnen zijn. Op een gegeven moment wordt de overgang gemaakt naar situaties waarin geen tegeltjes- of hokjesstructuur voorhanden is en de leerlingen zelf een maat moeten nemen. Ze ontdekken dan dat het handig is om hokjes van 1cm bij 1 cm te nemen. Zo introduceer je de cm². Van hieruit ontdekken sommige leerlingen dat bij regelmatige figuren algemene formules gelden. Bij onregelmatige figuren moet er benaderd worden. Na de introductie van de cm² komen ook de maten dm² m² hm² km². Ook hier vormt de kennis van de lengtemaat de basis voor de oppervlaktemaat. Leerlingen moeten ook ervaren dat een hectare niet altijd een vierkante vorm heeft. Doelen groep 5 en 6 - leerlingen kunnen bij eenvoudige regelmatige en onregelmatige figuren de oppervlakte bepalen door een gegeven eenheid af te passen - leerlingen kunnen de oppervlakte van een figuur bepalen door gebruik te maken van een al aanwezige hokjes- of tegeltjesstructuur. Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen kennen de standaard oppervlaktematen cm² dm² m² hm² km² en doorzien de relaties met de bijbehorende lengtematen. - De leerlingen kunnen de oppervlakte van eenvoudige regelmatige en onregelmatige figuren berekenen in de standaardmaten - De leerlingen kunnen relaties tussen cm² dm² m² hm² km² beredeneren. Constructie inhoudsmaten Ook het leren van inhoud begint in de bovenbouw met afpassen (of uitscheppen) van een maat. Bij verkennen van inhoudsmaten, die gebaseerd zijn op de liter, wordt teruggegrepen op de voorvoegsels die zijn verkend in de context van de lengtematen. Bij het verkennen van de inhoudsmaten is een belangrijke rol weggelegd voor de maatbeker. De aandacht concentreert zich dan op de maat of maten op de maatbeker. Bij kubieke maten ligt de nadruk op het zo organiseren van het afpassen dat het resultaat door handig tellen bepaald kan worden (hoeveel kubusjes passen in een regelmatige figuur). Op den duur kan het handig tellen worden verkort tot vermenigvuldigen. Dan wordt de vaste maat van cm³ geïntroduceerd. Een liter is een andere naam voor dm³. De leerlingen weten dan ook dat de maat niet aan een vaste vorm is verbonden. Doelen groep 5 en 6 - leerlingen kunnen bij eenvoudige blokkenbouwsels de inhoud bepalen door te bedenken hoeveel blokjes er in gaan. - De leerlingen kennen de inhoudsmaten die zijn afgeleid van de liter en kunnen deze aan elkaar relateren door gebruik te maken van betekenissen van voorvoegsels. Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen kennen de kubieke inhoudsmaten cm³ dm³ m³ en kunnen die relateren aan de bijbehorende lengtematen. - De leerlingen kunnen de relaties tussen de inhoudsmaten beredeneren, ook tussen inhoudsmaten die zijn afgeleid van de liter en de kubieke inhoudsmaten - De leerlingen kunnen de inhoud van regelmatige figuren als kubus en balk bepalen wanneer lengte, breedte en hoogte bekend zijn. Gewicht Doelen groep 5 en 6 - de leerlingen beschikken over referenties bij de maten kilogram en gram - de leerlingen kunnen met behulp van een weegschaal het gewicht van een object in kilogram of gram achterhalen, ook als het meetresultaat een kommagetal is. Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen kunnen – door gebruik te maken van voorvoegsels – van verschillende gewichtsmaten beredeneren waar deze voor staan en deze in elkaar omrekenen. - De leerlingen hebben een globaal idee wat soortelijk gewicht is. Tijd In de bovenbouw wordt het klokkijken, uren, kwartieren, minuten, seizoenen enz. verder geoefend. Daarnaast is er aandacht voor het aflezen van de digitale uurwerken, het rekenen met kloktijden, rekenen met de kalender en het omgaan met tijdtabellen. Tot slot wordt er aandacht besteed aan tijdzones. Doelen groep 5 en 6 - de leerlingen kennen de tijdsaanduidingen, minuut, uren, seconde, milliseconde, etmaal, week, maand, jaar, eeuw. - De leerlingen kunnen klokkijken met zowel de analoge als digitale klokken - De leerlingen kunnen een kalender en agenda gebruiken. Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen kunnen rekenen met tijd - de leerlingen kunnen eenvoudige situaties met tijdverschillen beredeneren. - De leerlingen kunnen gebruik maken van tijdtabellen om informatie op te zoeken en om na te gaan hoe lang het nog duurt voor iets gebeurt of hoe lang geleden er iets gebeurt is, ongeacht in welke tijdseenheid de informatie gegeven is. Temperatuur Doelen groep 5 en 6 - de leerlingen kunnen de temperatuur aflezen van een thermometer - de leerlingen kunnen een grafiek maken van de ontwikkeling van de temperatuur Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen weten dat er naast het maatsysteem in graden Celsius voor temperatuur een systeem bestaat dat temperatuur meet in graden Fahrenheit. - De leerlingen weten dat water kookt bij 100° Celsius en bevriest bij 0° C - Ze weten dat de eigen lichaamstemperatuur 37° C is. Snelheid en andere samengestelde maten Snelheid is de belangrijkste samengestelde maat waarmee de leerlingen in de bovenbouw te maken krijgen. De leerling leren onderscheid te maken tussen snelheid op een bepaald moment en de gemiddelde snelheid. Voor rekenen met snelheden wordt een verhoudingstabel gebruikt. Hierdoor wordt het complexe begrip ‘snelheid’ hanteerbaar. Naast snelheid komen nog andere samengestelde maten aan de orde: bevolkingsdichtheid, prijs per kilo, neerslag, inkomen per hoofd van de bevolking. Doelen groep 7 en 8 - de leerlingen kennen het verschil tussen de gemiddelde snelheid en de snelheid op een bepaald moment. - De leerlingen kunnen onbekende samengestelde maten interpreteren en beredeneren welke informatie deze maten geven - De leerlingen kennen snelheid als een verhoudingsgetal en kunnen met snelheid rekenen, bijvoorbeeld door gebruik te maken van een verhoudingstabel. Het domein van de meetkunde. Terreinen van meetkunde in de bovenbouw: oriëntatie op de ruimte vlakke en ruimtelijke figuren Visualiseren en representeren: zichtbaar maken van een werkelijkheid in een plaatje Kinderen komen in het dagelijks leven veel in aanraking met meetkunde. Omdat het zo gewoon is wordt het vaak niet als een onderdeel van meetkunde herkend. Het leren gebruiken van meetkunde gaat niet vanzelf. Die vaardigheden moeten geleerd worden (classificeren, kijken, ervaren, handelen, analyseren, vergelijken, verklaren, verbanden zien en leggen en voorspellen). Uitgangspunten, legitimering en karakterisering Uitgangspunten: voortbouwen op de meetkunde in de onderbouw. In de onderbouw ging het vooral om het verkennen, beleven en waarnemen van de omgeving waarin de kinderen bewegen en leven. De kinderen leerden taal om plaatsen op het platte vlak en in de ruimte te benoemen. Er werd beroep gedaan op het oriëntatievermogen van kinderen. Ze gaan construeren met blokken, doosjes enz. en daarna gaan ze schuiven met figuren, draaien ze figuren. Door de gesprekjes hierover krijgen de kinderen steeds meer greep op de ruimte en groeit hun ruimtelijk inzicht. In groep 5 en 6 komen aspecten van analyseren en verklaren steeds meer in beeld. De meetkundige activiteiten worden complexer en het taalgebruik formeler. Ze leren de betekenis van termen als vooraanzicht, zijaanzicht, bovenaanzicht, gespiegeld, plattegrond, driehoek, vierkant enz. Mathematiseren van de ruimte. In de bovenbouw worden de leerlingen steeds meer gestimuleerd om verbanden te leggen, een afbeelding te maken, te verklaren en te voorspellen. Al doende ontwikkelen ze meetkundige begrippen en instrumenten als vlak, lijn, hoek of aanzicht. In de bovenbouw leren de leerlingen om de ruimte de modelleren en aan de hand van de modellen zijn ze steeds meer in staat om te redeneren, begrijpen en voorspellen. Het zelf ervaren, kijken of doen blijft heel belangrijk. Leerlingen gaan waarnemingen steeds preciezer beschrijven, gaan kijken welke presentatie het meest geschikt is voor verdere analyse enz.. Het handelen, ervaren en kijken heeft niet meer het verkennende karakter van de onderbouw, maar dient als ervaringsbasis voor het redeneren, het construeren van modellen en voor reflectie. Tegelijkertijd vindt er een verschuiving plaats naar het handelen met mentale beelden. Ze verwerven inzicht in het begrip schaal en maken daar gebruik van bij het tekenen van bijv. plattegronden. Ze ontwikkelen meetkundetaal die reflecteren en redeneren mogelijk maakt. Legitimering Meetkunde heeft een praktische waarde: Om iemand de weg te kunnen wijzen, moet je een kaart kunnen lezen; je moet weten dat driehoeken voor een stevige constructie vormen; je moet weten dat de schaduw te maken heeft met de stand van de zon. Meetkunde heeft ook een voorbereidende waarde: Voorbereiding op het voortgezet onderwijs. Maar ook de voorbereiding op reken- en wiskundeactiviteiten op de basisschool: meten, getalbegrip en bewerkingen. En meetkunde heeft een intrinsieke waarde: Leerlingen worden in aanraking gebracht met de schoonheid van het vak (patronen, kunst, architectuur enz,). Karakterisering Onderzoeksmatig. Meetkunde in de onderbouw wordt gekenmerkt door een hoog gehalte aan onderzoeksactiviteiten.. In de bovenbouw ligt de nadruk op het redeneren, vergelijken, weergeven, begrijpen, en verklaren. Dit vraagt om rijkere, complexere situaties om op onderzoek uit te gaan. Een rijke onderzoeksactiviteit biedt de kinderen de mogelijkheid om op min of meer eigen niveau een probleem te onderzoeken, dan welk een probleem op te lossen. De leerlingen moeten op een interactieve manier met elkaar samenwerken: het werk kan verdeeld worden, er vindt reflectie plaats, er worden strategieën ontwikkeld enz.. Niveauverschillen. In het meetkundeonderwijs in de bovenbouw vindt een verschuiving plaats van informeel naar formeel met een groeiende nadruk op ontwikkelen van wiskundige modellen. Leerlingen kunnen met verschillende oplossingen komen, wat zeer gewenst is. In een gesprek met en tussen leerlingen moeten de gebruikte strategieën of de oplossingsmethoden besproken worden. Opbouw. In het begin beleven of onderzoeken kinderen concrete situaties. Het waarnemen neemt daarbij een belangrijke plaats in. Vanuit de concrete ervaring wordt de wiskunde taal ontwikkeld en ontstaan wiskundige modellen die een weerspiegeling van de situatie zijn. Daarbij wordt meestal gebruik gemaakt van visuele representaties (tekeningen). Leerlingen worden gestimuleerd om door middel van reflectie te komen tot voorspellingen. Uiteindelijk wordt een hogere abstractieniveau bereikt wanneer leerlingen komen tot generaliseren en leggen van verbanden. Inhoud van de meetkunde in de bovenbouw Het TAL-project geeft een driedeling van wat kinderen moeten kunnen: Oriëntatie in de ruimte: Greep krijgen op de ruimte om je heen. Dit onderdeel sluit goed aan bij de meetkundelessen onderbouw. Vlakke en ruimtelijke figuren: Classificeren, beschrijven en ontdekken van meetkundige figuren, hetzij in twee dan wel in drie dimensies. Visualiseren en representeren: Bijvoorbeeld de landkaart als model van een deel van de werkelijkheid. Het blijft belangrijk dat kinderen allerlei meetkundige constructies maken en dat ze ook concreet opereren met vormen en figuren (net als in de onderbouw), maar de nadruk van deze activiteiten verschuift van het construeren en opereren naar het leggen van verbanden, het vergelijken en het reflecteren, het verklaren en het voorspellen. Oriëntatie in de ruimte Het gaat om: - willen verklaren waarom je dingen ziet zoals je ze ziet - willen verklaren hoe wat je ziet afhangt van de plaats waar je je bevindt - vanuit de waarneming zoeken naar een verklaringsmodel voor het vreemde gedrag van een schaduw In de onderbouw stonden het lokaliseren en het innemen van een standpunt centraal. In groep 5/6 wordt hieraan de vorm ‘draaiingen en richting’ toegevoegd. In de onderbouw was het lokaliseren (waar bevind jij/iets/iemand zich) binnen het schoolgebouw. Vanaf groep 5 gaan we buiten het gebouw. De lln. krijgen te maken met plattegronden, kaarten, maquettes, schaal, coördinaten, windrichtingen enz.. Bij het innemen van een standpunt gedacht worden aan het vanuit verschillende posities naar hetzelfde object kijken. In het bovenbouw gaat het om het werken met verschillende aanzichten. Bij draaiingen en richting gaat het om de rol van draaiingen bij bewegingen in de ruimte en de daaruit voortvloeiende richtingveranderingen (lopen van een route met begrippen als links, kwartdraai, enz. waarbij het eigen lichaam het uitgangspunt is). In de bovenbouw komt het hoekbegrip vanuit de draai aan de orde. Kerninzichten In navolging van de onderbouw hanteren we voor de bovenbouw de onderstaande indeling voor ‘oriënteren in de ruimte’: - lokaliseren: Waar bevindt iemand of iets zich. Hier kunnen we drie kerninzichten aanwijzen nl.: inzicht in kaarten, richting en afstanden. - Het innemen van een standpunt in de ruimte: Wat kan een persoon vanuit zijn positie zien. Dit onderdeel wordt ook wel “kijkmeetkunde” genoemd. - Verplaatsing in de ruimte: een persoon gaat van de ene naar de andere locatie. Verplaatsen kan vastgelegd worden op kaarten, routebeschrijvingen en zelfs in nieuwe apparaten zoals een navigatiesysteem. Ze maken kennis met instrumenten, die een richtingverandering aangeven (graden, kompas) . De belangrijkste kerninzichten zijn vormen richting en richtingverandering, uitgedrukt in een draai of een hoek. Vlakke en ruimtelijke figuren Het gaat hier bij om het beschrijven van de relatie tussen en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke figuren. Dit gebeurt d.m.v. onderzoeksactiviteiten en redeneren. Ze leren zich steeds nauwkeuriger uit te drukken door meetkundige taal te gebruiken. In het begin van de bovenbouw laat de doorgaande lijn zich voornamelijk kenschetsen door twee ontwikkelingen: een verschuiving van het concrete naar het mentale en een uitbreiding van constructies met meetkundige constructies. Bij de verschuiving van concreet naar mentaal komt het ruimtelijk voorstellingsvermogen in beeld. Leerlingen stellen zich voor hoe een ruimtelijk object er uit komt te zien. Het handelen heeft nog steeds een duidelijke plaats. De meetkundige constructie ontstaat bijvoorbeeld bij de vraag: Hoe maak je een vierkant? Kerninzichten eigenschappen en relaties tussen figuren. De ruimtelijke figuren bol, cilinder, kegel en kubus spelen de hoofdrol bij het krijgen van greep op ruimtelijke figuren. Bij de vlakke figuren zijn dat het vierkant, de rechthoek, de cirkel en de driehoek. Het hoekbegrip speelt een grote rol. Met name de rechte hoek. Van daaruit kan de stap gezet worden naar ‘loodrecht’ en ‘evenwijdig’. Operaties, transformaties en constructies. Wat betreft operaties moeten we denken aan spiegelen, mozaïeken en schaduwen. Er zal voortgebouwd worden op vergroten en verkleinen van figuren, waarbij de vorm, maar niet de grootte hetzelfde blijft. Bij constructies kan gedacht worden aan ‘afzagen’ van plakjes van ruimtelijke figuren. Visualiseren en representeren Het betreft hier de weergave van de twee- en driedimensionale werkelijkheid. Het gaat om het maken van een geschikt plaatje (tweedimensionaal) om een probleemsituatie weer te geven, te analyseren en te beredeneren. Voorbeelden zijn het leren lezen van een kaart of een plattegrond; het maken van een plattegrond; het maken van een uitslag van een kubus; het tekenen van een kubus of een blok; het inzien hoe de ruimtelijke figuur samenhangt met de drie aanzichten en hoeveel aanzichten je minimaal nodig hebt om zeker te zijn van de vorm van de figuur. Kerninzichten Het terrein van ‘visualiseren en representeren’ sluit minder naadloos aan bij de onderbouw dan de andere twee terreinen. soorten representaties. Een visualisatie of representatie is een schematische weergaven van een bepaald deel van de werkelijkheid. De mate van gedetailleerdheid kan variëren. Het gaat hier om aanzichten, foto’s, schema’s van bijv. een metronet, bouwplaten, bouwtekeningen, grafieken, uitslagen van figuren projecties. Parallelprojecties (voorbeeld: rails blijven ook aan de horizon even ver uit elkaar) en perspectiefprojecties (voorbeeld: rails lijken elkaar aan de horizon te raken. Ook bij het onderdeel schaduw komen we projecties tegen. De cartografie is de derde vorm van projecties waar de kinderen in de bovenbouw kennis mee maken. Schaalgetrouwheid.Soms kan een deel van de werkelijkheid schetsmatig worden weergegeven zonder verhoudingen. Als het echter gaat om een kaart of plattegrond, waarin je wil meten, moeten de verhoudingen binnen de kaart of plattegrond wel kloppen. Leerlijnen binnen de meetkunde. De beschrijving van de leerlijnen meetkunde bovenbouw gebeurt aan de hand van de drie voornoemde aspecten. In het boek worden bij elk aspect voorbeeldactiviteiten beschreven. De leerlijnen zijn een manier om tot inzicht, begrip, kennis te komen. Binnen meetkunde zijn er veel manieren om inzicht te verkrijgen. Oriëntatie in de ruimte Als voorbeeldactiviteit wordt hier ‘schatzoeken op Maanviseiland’ uitgewerkt. Het is een voorbeeldactiviteit van het TAL-project. Hierin komen zaken als uitzetten en lezen van een route; afstand en richting; lezen van een kompas en schaal aan de orde. Het betreft dus navigeren. De leerlijn: Groep 5/6 Lokaliseren: lln kunnen een eenvoudige kaart gebruiken om een locatie op te zoeken. Het innemen van een standpunt: lln kunnen beredeneren wat je kunt zien vanuit een bepaalde positie Navigeren: lln kunnen op een plattegrond of een kaart van een bekende omgeving een route uitzetten beschrijven met informele aanduidingen van richting en afstand. Groep 6/7 Lokaliseren: lln kunnen overweg met schetsen, plattegronden en kaarten, die variëren in schaalgetrouwheid, gedetailleerdheid en oriëntatie; lln kunnen de positie van personen of objecten in de ruimte aangeven. Daarbij maken ze gebruik van schetsen, plattegronden en kaarten en van informele en rechthoekcoördinaten Het innemen van een standpunt: lln kunnen beredeneren vanuit welke positie afbeeldingen of foto’s tot stand zijn gekomen. Ze kunnen deze redeneringen onderbouwen door gebruik te maken van aanzichten en kijklijnen Navigeren: lln kunnen routes beschrijven met behulp van de begrippen ‘hoek’ ‘draai’ ‘afstand’ ‘schaal’ ‘richting’ en çoördinaten’ Vlakke en ruimtelijke figuren Om hier de onderdelen van dit gedeelte van de leerlijn te verduidelijken is in het boek de activiteit ‘kubuszagen’ beschreven. Het gaat om het verwerven van inzicht en opdoen van kennis inzake vlakke en ruimtelijke figuren. Met name het ruimtelijk redeneren vormt het zwaartepunt binnen de opdracht ‘kubuszagen’. Elke onderzoeksactiviteit kent de fasen ‘voorspellen met behulp van ruimtelijk redeneren’, het ‘doen’ en het ‘vastleggen in tekeningen’. Het programma ‘doorzien’ op rekenweb is hier te gebruiken. De leerlijn: Groep 5/6 Eigenschappen van en relaties tussen figuren: lln kunnen de ruimtelijke figuren bol, cilinder, kegel en kubus herkennen en benoemen; lln kunnen de vlakke figuren driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek herkennen en benoemen. Operaties, transformaties en constructies: lln kunnen in eenvoudige gevallen beredeneren of je met vlakke figuren een vlak kunt vullen; lln kunnen een mozaïek analyseren op vormen van symmetrie. Groep 7/8 Eigenschappen van relaties tussen figuren: lln kunnen de ruimtelijke figuren balk en piramide herkennen en benoemen; lln kunnen de vlakke figuren gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, ruit en parallellogram herkennen en benoemen; lln kunnen eenvoudige relaties leggen tussen vlakke en ruimtelijke figuren; lln zijn vertrouwd met de begrippen ‘loodrecht’ en ‘parallel’; lln kunnen perspectivische tekeningen van eenvoudige ruimtelijke figuren herkennen en benoemen en gebruiken als ondersteuning van het ruimtelijk redeneren. Operaties, transformaties en constructies: lln kunnen operaties op vlakke en ruimtelijke figuren uitvoeren (concreet materiaal; op papier, op pc) en de consequenties daarvan voorspellen en analyseren; lln kunnen uitslagen van ruimtelijke figuren schetsen; lln kunnen afgebeelde uitslagen van eenvoudige ruimtelijke figuren analyseren en mentaal dichtvouwen. Visualiseren en representeren Bij dit onderdeel van de leerling staat de uitwerking van de activiteit ‘schaduwen in beeld brengen’ beschreven. Het gaat hierin om schaduwen, kijklijnen, hoeken, verhoudingen, stand van de zon ten opzichte van de aarde. Het gaat hierbij om het ontwikkelen van meetkundig gereedschap voor wiskundig modelleren van situaties. In het vervolgonderwijs wordt hier veelvuldig gebruik van gemaakt. Daar is het ook bruikbaar in de vakken economie, aardrijkskunde, natuur en techniek. We moeten hier denken aan grafieken, een model van een ruimtelijk figuur of een schets van een situatie. Het gaat dus om het verschralen van de werkelijkheid tot iets overblijft waarin alleen de essentiële informatie is opgenomen. Het computerprogramma ‘zon en schaduw’ sluit goed aan bij bovengenoemde activiteit. Leerlijn: Groep 7/8 soorten visualisaties en representaties: aanzichten, perspectivische weergave van een ruimtelijk figuur; schema, bouwtekening, bouwplaat of uitslag van een ruimtelijk figuur, grafiek projecties: de leerlingen zijn er zich van bewust dat er verschillende projectiemethodes zijn die gebruikt kunnen worden om een driedimensionale werkelijkheid in twee dimensies weer te geven; leerlingen kunnen een in parallelprojectie getekende, eenvoudige ruimtelijke figuur in relatie brengen met een concreet ruimtelijk object dat de figuur representeert; leerlingen kunnen een in parallelprojectie getekende eenvoudige ruimtelijke figuur gebruiken om lijnen en vlakken in een figuur aan te geven schaalgetrouwheid: de leerlingen kunnen nagaan of een representatie een schaalgetrouwe weergave is van de werkelijkheid. Grafieken. Grafieken kan ingedeeld bij meetkunde. Het gaat immers om representeren. Maar er zit ook een duidelijk meetaspect aan. Het gaat steeds om metingen van gegevens of tellingen, die in een zekere eenheid worden weergegeven. Daarom wordt grafieken als een apart onderdeel beschreven. In het voortgezet onderwijs worden grafieken vooral gebruikt omverbanden tussen verschillende variabelen in beeld te brengen en om die verbanden te bestuderen. Het onderwijs in grafieken heeft dus een voorbereidende waarde. Maar omdat de kinderen in het dagelijks leven ook grafieken tegenkomen en die moeten kunnen begrijpen heeft het ook een praktische waarde. Wij gaan bij grafieken uit van twee variabelen. Grafieken zijn in drie hoofdcategorieën (met daarbinnen allerlei varianten) te verdelen: staafgrafieken. Deze gebruiken we als bij een van de variabelen de verhouding tussen de getallen betekenis heeft, terwijl dat bij de andere variabel niet zo is (voorbeeld: aantal lln per school per jaar. Het aantal leerlingen geeft aan hoe snel de school gegroeid is, terwijl de jaartallen alleen als volgorde van belang zijn) cirkeldiagrammen. Hier gaat het om delen ten opzichte van het geheel te visualiseren. Lijngrafieken. De relatie tussen twee variabelen in een grafiek wordt met een lijn weergegeven. Het moet dan gaan met variabelen met een continue schaal. Voorbeelden zijn tijd, temperatuur en lichaamslengte Kinderen moeten leren nadenken welk soort grafiek voor een bepaalde weergave/boodschap de beste is. Ze moeten eenvoudige grafieken kunnen maken en gegeven grafieken kunnen uitleggen.
