Trainingsboek Wiskunde VMBO 2016

Trainingsboek Wiskunde VMBO 2016
Hey jij daar!
Welkom op de examentraining Wiskunde VMBO! Het woord examentraining zegt het al:
trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en
oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je
examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit
welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste
kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je
zorgt dat je overzicht houdt.
Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met
examenvragen. Tijdens het oefenen hiervan zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder
te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij
is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen;
ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden.
Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie
naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige
vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken.
Mocht je nog meer willen oefenen na deze examentraining, neem dan een kijkje op
www.examentraining.nl. Daar vind je oude examens en ons lesmateriaal van vorig jaar.
Na de tips volgen het programma voor vandaag en de bijbehorende opgaven. We
verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver
mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! We willen je graag leren hoe
je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een
heel jaar hard werken…
We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks!
Namens het team van de Nationale Examentraining,
Eefke Meijer
Hoofdcoördinator
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
2
Tips en trics bij het voorbereiden en tijdens je examens
Examens voorbereiden
Tip 1: Heb vertrouwen in jezelf
Laat je niet gek maken door uitspraken als “Nu komt het er op aan”. Het examen is een
afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd
veel kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit
wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je kennis was verdwenen. De beste
garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt
gedaan. Heb vooral vertrouwen in jezelf!
Tip 2: Bereid je goed voor
Om jezelf goed voor te bereiden op je eindexamen maak je een planning, leer je de stof en
oefen je met vragen. Hoe pak je dit nou het beste aan?
Begin allereerst met het maken van een overzicht van alle stof en een planning. Je kunt
bijvoorbeeld een schema maken met daarin alle hoofdstukken die je moet leren en welke
onderwerpen daarbij horen. Daarbij schrijf je wanneer je welk onderdeel gaat leren.
Als je aan de slag gaat met leren, zorg dat je op tijd begint en plan dan niet teveel studieuren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders
moet je iedere keer opnieuw opstarten.
Wissel verschillende vakken af en wissel het leren af met oefenen. Op die manier kun je je
beter concentreren en leer je effectiever. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede
komt, is leren op vaste tijdstippen.
Tip 3: Leer alsof je examens zit te maken
Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit
betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg
dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon weg) en maak je tafel zo leeg
mogelijk. Maak ook een keer een proefexamen met een timer of eierwekker erbij, zodat je
weet hoe het is om voor langere tijd een examen te maken en zodat je weet hoe je je tijd het
beste in kunt delen.
Tip 4: Herhaal de geleerde stof
Belangrijk is om alle leerstof te herhalen! Wat heb je de vorige dagen ook alweer geleerd?
Door te herhalen blijft de stof langer in je hoofd (lange termijn geheugen) en verklein je de
kans dat je het weer vergeet. Zorg dat je de dag vóór het examen geen nieuwe stof meer
hoeft te leren en dat je alles nog even doorneemt en herhaalt.
Tip 5: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken)
Alleen maar lezen in je boek verandert al snel in staren in je boek zonder dat je nog wat
opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een
samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat
het ook echt een samenvatting wordt. Kijk ook eens op Youtube, daar zijn talloze filmpjes te
zien waarin de stof duidelijk wordt uitgelegd. Maak daar gebruik van, want op die manier
komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg
je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
3
stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken
waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen
je prima beheerst.
Mindmap:
Goed voor jezelf zorgen!
Tip 1: Zorg voor voldoende beweging
Eigenlijk is leren net als topsport: het vergt een goede voorbereiding, planning, rust, oefenen
en concentratie. Om een goede prestatie te leveren, is het belangrijk dat je je fit voelt.
Sporten en bewegen tussen het leren door en aan het einde van de dag is daarom aan te
raden. Het doorbreekt de sleur van het leren, brengt zuurtstof naar de hersenen, zorgt voor
ontspanning en dat je je weer opgeladen voelt om verder te gaan met leren.
Tip 2: Zorg voor een goede balans tussen spanning en ontspanning
Om een goede prestatie te leveren is er een goede balans nodig tussen spanning en
ontspanning. Spanning zorgt ervoor dat je alert bent en ontspanning zorgt ervoor dat je je
aandacht erbij kan houden. Teveel spanning is niet goed en teveel ontspanning ook niet. Als
je merkt dat je té ontspannen bent en dat daardoor je concentratie en motivatie weg zijn,
probeer dan voor jezelf doelen te stellen. Slagen met een 8 gemiddeld bijvoorbeeld, dan
komt die gezonde spanning vanzelf. Als je té gespannen bent, probeer dan eens of
mindfulness iets is voor jou of ga lekker sporten.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
4
Tip 3: Zorg voor voldoende slaap
Een nachtje doorblokken is geen slim idee. Je hebt namelijk slaap nodig om goed te kunnen
functioneren en concentreren. Bovendien, tijdens je slaap wordt alle geleerde informatie van
die dag vastgelegd in je geheugen. Langdurig onthouden lukt dus beter als je na het leren
gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren.
Tip 4: Zorg dat je goed eet en drinkt
Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de
kinderschoenen, toch weten we al een aantal handige dingen daarover.
En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je
hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed.
Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda’s leveren meer langdurige energie dan
koekjes en snoep. Koffie en thee bevatten cafeïne, wat kan zorgen voor een betere
concentratie. Drink er echter niet teveel van; het kan je onrustig maken.
En dan het examen zelf
De dag is eindelijk gekomen. Je bent er klaar voor en de examens worden uitgedeeld. Je
mag beginnen!
Tip 1: Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd
Wat doe je tijdens het examen?
- Lees rustig alle vragen
- Blijf niet te lang hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet
- Schrijf zoveel mogelijk op maar…. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat
kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren.
- Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die
worden gevraagd. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk
zonde van de tijd.
- Vul bij meerkeuzevragen maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan
duidelijk aan.
- Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen is
alleen maar goed voor je concentratie.
- Let niet op wat klasgenoten doen. Sommige van hen zullen al snel klaar zijn, maar trek je
daar niets van aan en ga rustig verder.
- Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe
saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van
een) vraag overslaan.
- Tot slot: bedenk van tevoren of je thuis je antwoorden van het zojuist gemaakte examen
wilt nakijken. Hoe reageer je als blijkt dat je veel fouten hebt? Heeft dit negatieve of juist
positieve invloed op het leerwerk voor de examens die nog komen gaan?
Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding
Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is.
Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
5
even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC of leg gewoon even je pen neer. Als je
goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht
het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te
hebben om toch gewoon je examen te halen.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
6
Hoe pak je open vragen en meerkeuzevragen aan?
Een examen bestaat vaak uit een mix van open en meerkeuzevragen. Je hebt verschillende
strategieën om tot het juiste antwoord te komen. Bij meerkeuzevragen gaat het erom dat je
de juiste uitspraak of bewering kiest, bij meerkeuzevragen is het belangrijk dat je antwoord
geeft op de vraag, dat je volledig bent of dat je de juiste berekening toepast.
Meerkeuzevragen
Veel leerlingen vinden meerkeuzevragen lastig. Er staan namelijk vaak meerdere
antwoordmogelijkheden die op elkaar lijken. Hoe pak je zo’n vraag nou het handigste aan?
Tip 1: Omcirkel en streep de foute antwoorden weg
Lees de vraag goed en omcirkel eventueel de belangrijkste kernwoorden uit de vraag.
Vervolgens kun je het beste eerst nagaan welk antwoord je zelf zou geven. Daarna vergelijk
je dat met alle antwoordmogelijkheden die er staan. Vaak kun je dan al de twee meest foute
antwoord wegstrepen. Er blijven dan nog twee antwoorden over. Lees de vraag nogmaals en
bekijk welk antwoord van de twee overgebleven antwoorden het meest volledig is.
Tip 2: Blijf bij je gevoel
Het komt je vast bekend voor: je krijgt een toets terug, waarbij je ziet dat je het goede
antwoord toch nog op het laatst hebt veranderd in een antwoord dat fout blijkt te zijn.
Daarom: je eerste ingeving blijkt meestal te kloppen. Verander je antwoord alleen als het een
extreem wilde gok was, als je nieuwe inzichten hebt gekregen of als je de vraag per ongeluk
verkeerd hebt gelezen.
Tip 3: Gok als je het antwoord niet weet
Het kan natuurlijk gebeuren dat je het antwoord echt niet weet op de vraag. Gok in dat geval
het antwoord, wie weet gok je goed. Je hebt immers een kans van 1 op 4 en misschien zelfs
groter als je een fout antwoord hebt weg kunnen strepen.
Als je moet gokken, kun je dat ‘slim doen’:
- Streep foute antwoorden eerst weg
- Let op woorden als ‘altijd’, ‘nooit’ of ‘in geen enkel geval’. Vaak zijn die fout.
- Laat je niet leiden door de langste zin of het meest ingewikkelde antwoorden.
- Heb je bij je vorige vragen al drie keer A geantwoord, trek je daar niets van aan. Een
vierde keer A kan ook gewoon.
- Bekijk welke antwoorden sterk op elkaar lijken, vaak is een van die twee antwoorden
juist.
Open vragen
Tip 1: Wees volledig
Het komt vaak voor dat vragen niet volledig worden beantwoord en dat je daardoor niet alle
punten voor die vraag krijgt. Kijk daarom goed wat er precies gevraagd wordt. Let op
woorden als: ‘leg uit’, ‘verklaar’, ‘waarom’ etc. Als er gevraagd wordt naar twee redenen, let
er dan op dat je ook echt twee redenen geeft. Als je er meer geeft, tellen die niet mee. Nadat
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
7
je het antwoord hebt opgeschreven, lees de vraag dan nog even door en kijk of je volledig
bent geweest.
Tip 2: Haal informatie uit de bronnen
Vaak krijg je bij een vraag een bron erbij. Dit kan een kaart, afbeelding, grafiek, tabel of
afbeelding zijn. Het goed bestuderen van de bron kan je al een eind op weg helpen in het
beantwoorden van de vraag. Wat zie ik eigenlijk? Wat is de titel? Wat geeft de bron weer? Is
er een legenda? Wat staat er op de x-as en y-as? Welke eenheden zijn er gebruikt? Wie is
de maker? Staat er een jaartal bij?
Tip 3: Schrijf tussenstappen op
Je krijgt niet alleen punten voor het juiste antwoord, ook de tussenberekeningen leveren
punten op. Het is jammer om die punten te verliezen, terwijl je wel weet hoe het moet.
Tip 4: Schrijf nuttige informatie op
Weet je het antwoord op de vraag niet, maar weet je wel iets nuttigs te melden over de
vraag? Schrijf maar op! Vaak krijg je hier ook punten voor. Zorg er wel voor dat het relevant
blijft en dat je geen onzin op gaat schrijven.
Tip 5: Zorg dat je alles nog even controleert
Je hebt de laatste vraag gemaakt en het liefst wil je zo snel mogelijk naar huis. Blijf toch nog
even zitten en controleer je toets nog even. Heb je niet per ongeluk een vraag
overgeslagen? Heb je antwoord gegeven op de vraag? Zijn je antwoorden leesbaar? Ben je
nog iets vergeten?
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
8
Programma
Blok 1
Blok 2
Blok 3
Blok 4
Blok 5
Blok 6
Blok 7
Kennismaking en inleiding
Procenten
Verbanden
Verhoudingen
Meetkunde
Goniometrie
Examen oefenen
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
9
Het examen wiskunde VMBO
Het examen zal uit ongeveer 20 vragen bestaan waar je drie uur de tijd voor krijgt. Er zullen
verschillende soorten vragen in voorkomen. Bij sommige vragen zul je meteen de theorie die
je geleerd hebt herkennen, bij andere vragen moet je goed de tekst lezen en zelf bedenken
hoe je de theorie toe kunt passen. Ook kan het voorkomen dat je de theorie van meerdere
onderwerpen moet combineren in een vraag.
Laat je niet afschrikken door een vraag waarvan je niet meteen weet wat je er mee moet. Er
gaat niets gevraagd worden over stof die je niet gehad hebt. Neem rustig de tijd om na te
denken bij welk onderwerp de vraag hoort.
Toegestane hulpmiddelen
 Schrijfmateriaal, inclusief millimeterpapier
 Tekenpotlood
 Blauw en rood kleurpotlood
 Liniaal met millimeterverdeling
 Passer
 Geodriehoek
 Gum
 Grafische rekenmachine
 Roosterpapier in cm2
Kijk voor alle informatie op www.examenblad.nl.
Tips
Vooraf


Zorg voor verse batterijen in je GR.
Zet dingen in je GR die je echt niet kunt onthouden, dit is toegestaan. Maar teveel
erin zetten leidt af, je kunt het beste zoveel mogelijk uit je hoofd leren.
Bij het zoeken naar een antwoord
 Bekijk het examen rustig en begin bij de opgave waar je mee wilt beginnen. Je hoeft
de opgaven niet op volgorde te maken.
 Blijf niet te lang bij een vraag hangen als je er niet uitkomt, maak eerst de rest en
kom hier dan later bij terug.
 Lees de vraag rustig door en schrijf gegevens uit de vraag overzichtelijk op of
onderstreep ze op je examenboekje, dan heb je meteen een duidelijk overzicht van
de informatie.
 Zoek een logische opbouw in de vraag. Vaak heb je antwoord a nodig bij b etc.
 Soms zul je een formule moeten verklaren of een gegeven moeten narekenen. Vaak
zul je dan de formule of het antwoord in de volgende vraag moeten gebruiken.
 Ga af op de tekst en nooit op plaatjes, plaatjes zijn vaak slechts een hulpmiddel,
tenzij dit erbij staat.
 Als je twijfelt aan een antwoord moet je dit pas doorstrepen als je een alternatief
antwoord weet. Beter iets dan niets en misschien klopt het wel gedeeltelijk
Bij het opschrijven van je antwoord
 Schrijf alle stappen die je maakt om tot het antwoord te komen op. De manier waarop
je het antwoord vindt is vaak belangrijker dan het antwoord zelf.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
10




Wees alert of je het algebraïsch/exact op moet lossen of alleen hoeft te
benaderen/bepalen.
Let op of er een eenheid achter je antwoord moet staan.
Als je eindantwoord in bijv. twee decimalen gegeven moet worden, geef je
tussenstappen dan in vier decimalen.
Kijk achteraf of je echt antwoord gegeven hebt op de vraag.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
11
___________________________________
___________________________________
Welkom op de examentraining
Wiskunde VMBO
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Wat gaan we doen?
Blok 1: Kennismaking en inleiding
___________________________________
Blok 2: Procenten
Blok 3: Verbanden
___________________________________
Blok 4: Verhoudingen
Blok 5: Meetkunde
___________________________________
Blok 6: Goniometrie
Blok 7: Examen oefenen
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 1: Kennismaking en inleiding
Kennismaken
•
Kennismaken
– Wie zijn wij?
– Wat is je naam?
– Waar kom je vandaan?
– Wat vind je moeilijk aan wiskunde?
– Wat verwacht je van deze cursus?
___________________________________
Inleiding
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
12
Blok 1: Kennismaking en inleiding
Kennismaking
•
___________________________________
Inleiding
___________________________________
Inleiding
– Hoe gaat vandaag er uit zien?
– Wat verwachten wij van jou?
– Algemene tips voor het examen
– Zijn er nog vragen?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 1: Kennismaking en inleiding
Kennismaking
•
___________________________________
Inleiding
Aanpak van een vraag
– Lees welke informatie je hebt.
• Tip: je mag in je examenboekje schrijven, je kunt dus de informatie in de vraag
onderstrepen die je nodig denkt te gaan hebben. Je kunt het ook geordend
opschrijven.
___________________________________
___________________________________
– Lees de vraag en bedenk hoe je dit soort vragen op kunt lossen.
– Los de vraag op
___________________________________
– Controleer aan het einde of je antwoord volledig is
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 2: Procenten
Procenten
Als je de oude situatie kent
Als je de nieuwe situatie kent
___________________________________
• Procent betekent per honderd
• Promille betekent per duizend
Percentage
Toename/Afname
Breuk
Groeifactor
1%
=
1/100
=
0,01
2%
=
…
=
0,02
5%
=
5/100
=
…
…
=
10/100
=
0,10
99%
=
…
=
…
150%
=
150/100
=
1,50
200%
=
…
=
…
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
13
___________________________________
Blok 2: Procenten
Procenten
•
Als je de nieuwe situatie kent
Toename/Afname
___________________________________
Stel er is een toename van 6%
–
–
•
Als je de oude situatie kent
100% + 6% = 106%
Oud x 1,06 = Nieuw
Stel er is een afname van 19,5%
–
–
___________________________________
100% - 19,5% = 80,5%
Oud x 0,805 = Nieuw
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 2: Procenten
Procenten
•
Als je de oude situatie kent
Als je de nieuwe situatie kent
Toename/Afname
___________________________________
Stel er was een toename van 42%
–
–
–
100% + 42% = 142%
Oud x 1,42 = Nieuw
dus Oud = Nieuw/1,42
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 2: Procenten
Procenten
•
Als je oude situatie kent
Als je de nieuwe situatie kent
___________________________________
–
–
Toename/Afname
Als de uitkomst positief is spreken we van een toename.
Als de uitkomst negatief is spreken we van een afname.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
14
___________________________________
Blok 3: Verbanden
Lineair
•
•
Kwadratisch
Wortel
Exponentieel
Lineaire verbanden zijn verbanden met regelmaat. De grafiek is altijd een rechte lijn.
Je moet van een tabel een formule op kunnen stellen en met een formule een tabel in
kunnen vullen.
___________________________________
___________________________________
X
Klassikaal03
Y
1
5
2
7
3
9
4
11
5
13
6
15
X
Y
1
5
2
7
3
9
4
11
5
13
6
15
Maak een formule en grafiek bij
0
3
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 3: Verbanden
Lineair
•
•
Kwadratisch
Wortel
Exponentieel
Kwadratische verbanden zijn lijnen met een minimum of maximum, parabolen
genoemd.
Je krijgt op je examen de formule, hiermee moet je een grafiek kunnen tekenen en een
tabel in kunnen vullen.
___________________________________
___________________________________
Klassikaal
Maak een tabel en grafiek bij ___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 3: Verbanden
Lineair
•
•
Kwadratisch
Wortel
Exponentieel
De grafiek is een kromme lijn die steeds langzamer stijgt.
Je krijgt op je examen de formule. Je moet een tabel in kunnen vullen en een grafiek
kunnen tekenen.
___________________________________
___________________________________
X
Klassikaal0
Y
1
X
Y
1
4
9
16
25
36
9
16
25
36
Maak een tabel en grafiek bij 0
4
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
15
___________________________________
Blok 3: Verbanden
Lineair
•
•
Kwadratisch
Wortel
Exponentieel
Een exponentieel verband heeft te maken met een procentuele toename.
We hebben in het vorige blok bekeken hoe je van een percentage een groeifactor kunt
maken. De formule die bij een exponentieel verband hoort is
– ___________________________________
___________________________________
X
Klassikaal02
Y
1
3
2
4,5
3
6,75
4
10,12
5
15,19
6
22,78
X
Y
1
3
2
4,5
3
6,75
4
10,12
5
15,19
6
22,78
Wat is de groeifactor hier? En de beginwaarde?
0
2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 4: Verhoudingen
Tijd
•
•
•
•
•
1 minuut
1 uur
1 dag
1 week
1 jaar
Schaal
=
=
=
=
=
Windroos
Decimale stelsel
___________________________________
60 seconden
60 minuten
24 uur
7 dagen
365 dagen
___________________________________
___________________________________
Klassikaal
Hoeveel seconden zitten er in een jaar?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 4: Verhoudingen
Tijd
•
Windroos
Bij schaalrekenen heb je te maken met de volgende drie gegevens:
–
–
–
•
Schaal
Decimale stelsel
___________________________________
de afstand op de kaart
de werkelijke afstand
de schaal (cm kaart: cm werkelijkheid)
Als je twee van de drie gegevens weet, kun je de derde uitrekenen.
Klassikaal
Als de schaal 2:3 is en je meet 10 cm op de kaart, hoeveel cm is dat dan in
werkelijkheid? Gebruik voor deze berekening een verhoudingstabel.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
16
___________________________________
Blok 4: Verhoudingen
Tijd
Schaal
Windroos
Decimale stelsel
___________________________________
___________________________________
Klassikaal
Hierboven staat een windroos. Soms worden windrichtingen ook in graden
gegeven, dit heet dan de koershoek. Noord staat gelijk aan 0 graden,
hoeveel graden is in dat geval het zuiden?
En het westen?
En het zuidoosten?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 4: Verhoudingen
Tijd
Schaal
Windroos
Decimale stelsel
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Klassikaal
Als iemand 5 kilometer per uur rent, hoeveel meter per seconde is dit dan?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
•
•
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
Je kunt van ruimtefiguren verschillende maten uitrekenen. Zo kun je van platte figuren
een omtrek en een oppervlakte berekenen, simpel gezegd het lijntje er omheen en
hoeveel er binnen dat lijntje aan ruimte wordt ingenomen.
Van driedimensionale figuren kun je ook nog de inhoud berekenen.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
17
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
•
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
Bij een vierkant, rechthoek, driehoek en kubus wordt verwacht dat je weet welke
formules hier bij horen.
Klassikaal
Ga met z'n allen na, wat is de omtrek van een vierkant, rechthoek of driehoek?
Wat is de oppervlakte van een vierkant, rechthoek of driehoek?
Wat is de inhoud van een kubus?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
•
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
Van een aantal formules krijg je een lijstje bij je examen, deze hoef je niet uit je hoofd te
kennen maar moet je wel kunnen toepassen. Hieronder het rijtje.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
•
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
Je moet inzicht hebben in kijkhoeken, en begrijpen hoe een voor-, zij- en bovenaanzicht
werkt. Dit gaan we eerst klassikaal oefenen en het komt terug in een aantal van de
opgaven die we gaan maken.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
18
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
19
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 5: Meetkunde
Ruimtefiguren
Formules
Formulekaart
Voor-, zij- en bovenaanzicht
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
20
Blok 6: Goniometrie
Pythagoras
•
___________________________________
SOS CAS TOA
Als een van de hoeken van een driehoek 90 graden is, kun je de stelling van Pythagoras
toepassen. Je hebt dan altijd één lange, schuine zijde en twee kortere, rechte zijdes.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
De formule die je nu kunt gebruiken is
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 6: Goniometrie
Pythagoras
•
___________________________________
SOS CAS TOA
Een andere manier om berekeningen te doen met een driehoek waarbij een van de
hoeken 90 graden is, is de SOS CAS TOA regel. Dit is een ezelsbruggetje om de volgende
verhoudingen te onthouden
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Blok 6: Goniometrie
Pythagoras
•
___________________________________
SOS CAS TOA
In het figuur hieronder is de rode hoek, hoek α.
___________________________________
___________________________________
Klassikaal
Maak een tekening, zet de volgende gegevens erin en bereken zowel de
aanliggende rechthoekzijde als de overstaande rechthoekzijde.
Hoek α = 60 graden
Schuine zijde = 5 centimeter
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
21
Blok 7: Examen oefenen
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Veel succes!
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Evaluatie
___________________________________
___________________________________
Laat ons weten wat je van de training vond:
www.examentraining.nl/evaluatie
Enthousiast na deze training?
Kijk op www.examentraining.nl voor al je andere vakken
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
22
Blok 1 | Kennismaking en inleiding
Kennismaking
We gaan een lange maar leuke dag tegemoet, daarom nemen we nu even de tijd om elkaars
naam te leren kennen. Ook zal geïnventariseerd worden welke onderwerpen in deze groep
extra aandacht verdienen omdat ze als moeilijk worden ervaren.
Inleiding
We zullen je nu wat algemene tips geven voor het aanpakken van een examenvraag bij
wiskunde. Als je nog vragen hebt over het examen krijg je nu ook de kans om deze te
stellen, al mag dat de hele dag door natuurlijk.
-
Rekenen met de wetenschappelijke notatie en grote getallen
De wetenschappelijke notatie wordt gebruikt om hele grote of hele kleine getallen
korter op te kunnen schrijven.
Om een getal om te schrijven naar deze notatie neem je een getal tussen de 1 en 10
en kijk je hoeveel plaatsen de komma opschuift om weer op de oude plek terug te
komen. Het aantal plaatsen van de komma zet je als macht boven de tien.
Rekenvoorbeelden:
Vul in:
3400000
= …. x 10….
10400000
= …. x 10…. (let op, neem hier niet 10,4, maar wel 1,04)
0,00009
= …. x 10.... (let op, waar moet de komma naar toe?)
0,003406
= …. x 10….
Schrijf 15,4 miljard in de wetenschappelijke notatie.
-
Handige manier: inklemmen
Op je examen mag je de methode inklemmen gebruiken om een x-waarde uit de
grafiek te halen. Dit kan soms heel handig zijn!
-
Handige manier: schatten en proberen
Op je examen mag je soms ook op je antwoord komen door eerst te schatten en
waardes te proberen. Dit doe je wanneer je een formule hebt gekregen en de vraag
bijvoorbeeld is: wanneer komt de uitkomst boven een bepaalde waarde? Vul dan
verschillende waarden in de formule in en kijk wanneer het klopt! Vergeet niet dat je
dan ook twee berekeningen op moet schrijven: één berekening voor wanneer de
uitkomst onder die waarde zit en dan de volgende waarde waarvoor de uitkomst wel
boven die bepaalde waarde zit.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
23
Blok 2 | Procenten
Procenten
Procent betekent per honderd
Promille betekent per duizend
Percentage
1%
2%
5%
...
99%
150%
200%
=
=
=
=
=
=
=
Breuk
1/100
...
5/100
10/100
...
150/100
...
=
=
=
=
=
=
=
Groeifactor
0,01
0,02
...
0,10
...
1,50
...
Deel van geheel berekenen
Voorbeeld:
Hoeveel procent is 18 van 1200?
18
Antwoord: 1 00
,
Hoeveel procent is 15 van 350?
Als nieuw gevraagd wordt
Stel er is een toename van 6%
100% + 6% = 106%
Oud x 1,06 = Nieuw
Stel er is een afname van 19,5%
100% - 19,5% = 80,5%
Oud x 0,805 = Nieuw
Als oud gevraagd wordt
Stel er was een toename van 42%
100% + 42% = 142%
Oud x 1,42 = Nieuw
dus Oud = Nieuw / 1,42
Toename/Afname
𝑁
−
Als de uitkomst positief is spreken we van een toename.
Als de uitkomst negatief is spreken we van een afname.
Bij het rekenen met procenten krijg je te maken met: het oude bedrag, het nieuwe bedrag en
de toe- of afname. In een vraag is één van deze onbekend, en is de rest gegeven.
Oud (plus aantal procenten)  nieuw
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
24
Kijk altijd eerst wat 100% procent is, dit is áltijd het oude bedrag. Deze kan soms ook
gevraagd worden.
Er zijn verschillende manieren om met procenten te rekenen. Je kunt bijvoorbeeld ook
verhoudingstabellen gebruiken! Dit kan makkelijker zijn als je de formules moeilijk vindt om
te onthouden.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
25
Blok 3 | Verbanden
Lineaire verbanden
Lineaire verbanden zijn verbanden met regelmaat. De grafiek is altijd een rechte lijn.
Je moet van een tabel een formule op kunnen stellen en met een formule een tabel in
kunnen vullen. Ook moet je bij een gegeven formule of tabel een grafiek kunnen tekenen.
Een lineaire formule heeft een stapgrootte/hellingsgetal en een startgetal/begingetal. De
formule ziet er altijd zo uit:
y=ax+b
Hierin is a het hellingsgetal en b het begingetal (waar de y-as gesneden wordt). Om zelf een
formule bij een tabel te vinden, zoek je waardes voor a en b en vul je deze in.
Klassikaal
Maak een formule en grafiek bij
X
0
1
Y
3
5
2
7
3
9
4
11
5
13
6
15
Kwadratisch verband
Kwadratische verbanden zijn lijnen met een minimum of maximum, parabolen genoemd.
Je krijgt op je examen de formule, hiermee moet je een grafiek kunnen tekenen en een tabel
in kunnen vullen.
Klassikaal
Maak een tabel en grafiek bij Wortel verband
De grafiek is een kromme lijn die steeds langzamer stijgt.
Je krijgt op je examen de formule. Je moet een tabel in kunnen vullen en een grafiek kunnen
tekenen.
Klassikaal
Maak een tabel en grafiek bij X
0
1
Y
√
4
9
16
25
36
Exponentieel verband
Een exponentieel verband heeft te maken met een procentuele toename.
We hebben in het vorige blok bekeken hoe je van een percentage een groeifactor kunt
maken.
Stel je hebt per jaar een toename van 7%, wat is de groeifactor? En bij een afname van
12%?
De formule die bij een exponentieel verband hoort is
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
26
Klassikaal
Wat is de groeifactor hier? En de beginwaarde?
X
0
1
2
3
Y
2
3
4,5
6,75
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
4
10,12
5
15,19
6
22,78
27
Blok 4 | Verhoudingen
Bij verhoudingen zijn verhoudingstabellen heel handig. Als je hiermee werkt moet je
onthouden dat je eerst invult wat je weet, wat gegeven is. Daarna ga je rekenen naar wat er
gevraagd wordt. Let op, alles wat je boven doet, moet je onder óók doen.
Tijd
1 minuut
1 uur
1 dag
1 week
1 jaar
=
=
=
=
=
60 seconden
60 minuten
24 uur
7 dagen
365 dagen
Klassikaal
Hoeveel seconden zitten er in een jaar?
Hoeveel seconden zitten er in 14,8 uur?
Snelheid
Je moet m/s om kunnen rekenen naar km/uur en andersom. Dit kan makkelijk door dit te
onthouden:
• m/s 3,6 = km/uur
• km/uur : 3,6 = m/s
12 kilometer per uur betekent dat je in 1 uur 12 kilometer aflegt, dit is de verhouding. Je kunt
dit dus in een verhoudingstabel (uur boven, km onder) zetten om uit te rekenen hoeveel
kilometer je bijvoorbeeld na 4,5 uur hebt afgelegd.
Klassikaal
Als iemand 5 kilometer per uur rent, hoeveel meter per seconde is dit dan?
Schaal
Bij schaalrekenen heb je te maken met de volgende drie gegevens:
 de afstand op de kaart
 de werkelijke afstand
 de schaal (cm kaart: cm werkelijkheid)
Als je twee van de drie gegevens weet, kun je de derde uitrekenen.
Ook hier kun je vaak een verhoudingstabel gebruiken. Zet boven de afstand (in cm) op de
kaart en onder de afstand (in cm) in werkelijkheid. Gebruik de tabel om andere afstanden te
vinden.
Klassikaal
Als de schaal 2:3 is en je meet 10 cm op de kaart, hoeveel cm is dat dan in
werkelijkheid? Gebruik voor deze berekening een verhoudingstabel.
Hoeveel deciliter is 3,5 m3?
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
28
Decimale stelsel
Let op: 1 Liter = 1 dm3
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
29
Blok 5 | Meetkunde
Ruimtefiguren
Je kunt van ruimtefiguren verschillende maten uitrekenen. Zo kun je van platte figuren een
omtrek en een oppervlakte berekenen, simpel gezegd het lijntje er omheen en hoeveel er
binnen dat lijntje aan ruimte wordt ingenomen.
Van driedimensionale figuren kun je ook nog de inhoud berekenen.
Formules
Bij een vierkant, rechthoek, driehoek en kubus wordt verwacht dat je weet welke formules
hier bij horen.
Klassikaal
Ga met z'n allen na, wat is de omtrek van een vierkant, rechthoek of driehoek?
Wat is de oppervlakte van een vierkant, rechthoek of driehoek?
Wat is de inhoud van een kubus?
Bereken de inhoud van een tent met hoogte 15 decimeter, breedte 2 meter en diepte 3
centimeter. Let op: Wat voor figuur is dit? Wat is de vorm van het grondoppervlak?
Formulekaart
Van een aantal formules krijg je een lijstje bij je examen, deze hoef je niet uit je hoofd te
kennen maar je moet ze wel kunnen toepassen. Hieronder het rijtje.
Voor-, zij- en bovenaanzicht
Je moet inzicht hebben in kijkhoeken, en begrijpen hoe een voor-, zij- en bovenaanzicht
werkt. Dit gaan we eerst klassikaal oefenen en daarna voor onszelf met een deel van de
opgaven.
Klassikaal
Oefen op het bord opgave 1 en 2 op pagina 77 van de examenbundel
(Aanzichten van een tafel)
Uitslag
Je moet een uitslag kunnen maken van een driedimensionaal figuur. Een uitslag krijg je
wanneer je het figuur helemaal “uitvouwt” als het ware.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
30
Klassikaal
Maak een uitslag van een cilinder met straal 6 cm en hoogte 13 cm. Schrijf ook alle
lengtes erbij.
Oppervlaktes van samengestelde figuren
Soms moet je een oppervlakte berekenen van een figuur dat niet standaard is. Je mag dan
het figuur opdelen in vlakken die je wel kent! Tel alle oppervlakten bij elkaar op om het totale
oppervlakte te krijgen.
Deel van een cirkel
Op het examen wordt soms gevraagd naar een deel van een cirkel. Dit kan een oppervlakte
zijn of een omtrek van een cirkeldeel. Probeer in zulke gevallen te onthouden dat een cirkel
altijd 360 graden is en kijk hoeveel graden dat het cirkeldeel heeft. Dit is dan ook de
verhouding voor de omtrek en oppervlakte.
Klassikaal
Bereken de totale omtrek van onderstaand figuur:
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
31
Blok 6 | Goniometrie
Stelling van Pythagoras
Als een van de hoeken van een driehoek 90 graden is, kun je de stelling van Pythagoras
toepassen. Je hebt dan altijd één lange, schuine zijde en twee kortere, rechte zijdes.
De formule die je nu kunt gebruiken is
Stappenplan Pythagros:
1.
Check: is er een hoek van 90 graden?
2.
Staat alles in dezelfde eenheden? Schrijf het zo nodig om.
3.
Benoem de 2 korte zijdes en de lange zijde (in de tekening of op je blaadje)
4.
Welke zijde is gevraagd? Zet daar een vraagteken
5.
Vul de formule
in. Is het vraagteken een korte zijde? Dan moet je de
formule omschrijven!
SOS CAS TOA
Een andere manier om berekeningen te doen met een driehoek waarbij een van de hoeken
90 graden is, is de SOS CAS TOA regel. Dit is een ezelsbruggetje om de volgende
verhoudingen te onthouden
In het figuur hieronder is de rode hoek, hoek α.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
32
Stappenplan SOS CAS TOA:
1.
Check: is er een hoek van 90 graden?
2.
Check:
- 2 zijdes bekend en hoek onbekend?
- of: 1 zijde en 1 hoek bekend en 1 zijde onbekend?
3.
Check: Staal alles in dezelfde eenheden? Schrijf het zo nodig om.
4.
Benoem de zijdes (aanliggend/overstaand/schuin) gezien vanuit de gegeven of
gevraagde hoek.
5.
Kijk welke regel je moet gebruiken: SOS, CAS of TOA
6.
Vul de formule in
7.
Uitrekenen
Hoek gevraagd? Gebruik de shift knop om het aantal graden te berekenen (je
krijgt dan: sin-1)
Check de gevraagde eenheid.
Klassikaal
Maak een tekening, zet de volgende gegevens erin en bereken zowel de aanliggende
rechthoekzijde als de overstaande rechthoekzijde.
Hoek α = 60 graden
Schuine zijde = 5 centimeter
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
33
Blok 7 | Proefexamen
Tijdens dit blok wordt een proefexamen gemaakt. Probeer je goed te concentreren, zie het
als een generale repetitie voor je echte examen van straks.
Succes!
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
34
Opgaven
Blok 2 | Procenten
Opgave 1: Olie (deel 1)
De totale hoeveelheid geproduceerde olie in de wereld zal volgens deskundigen na het jaar
2015 afnemen.
Je kunt in de grafiek aflezen dat er in 2015 volgens de verwachting van de deskundigen
4000 miljoen ton olie geproduceerd zal worden en in 2040 nog maar 1500 miljoen ton.
3p a. Bereken met hoeveel procent de totale hoeveelheid geproduceerde olie in 2040
volgens deze verwachting gedaald zal zijn ten opzichte van 2015. Schrijf je berekening op.
3p b. Vanaf 2040 zal volgens de deskundigen de totale hoeveelheid geproduceerde olie met
5% per jaar dalen.
→Bereken hoeveel miljoen ton olie er dan in 2050 geproduceerd zal worden.
Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
35
Opgave 2: Valse euro’s
In de tabel hieronder kun je aflezen hoe de aantallen in beslag genomen
vervalsingen in het jaar 2006 zijn verdeeld over de verschillende biljetten
in Nederland en Europa.
In 2006 zijn er in Nederland 20 745 valse eurobiljetten in beslag genomen.
2p a. Bereken hoeveel valse biljetten van € 50 er in 2006 in Nederland in beslag zijn
genomen. Laat zien hoe je het berekend hebt.
In totaal werden in 2006 in heel Europa 565 100 valse eurobiljetten in beslag genomen. Dat
is minder dan in 2005 toen 579 000 valse eurobiljetten in beslag werden genomen.
3p b. Bereken met hoeveel procent het aantal in heel Europa in beslag genomen valse
eurobiljetten in 2006 is gedaald in vergelijking met 2005. Schrijf je berekening op.
2p c. Thomas denkt dat de tabel niet kan kloppen. Hij zegt: “In de tabel staat dat er in 2006 in
Nederland meer biljetten van € 50 in beslag zijn genomen dan in heel Europa, en dat is
natuurlijk onmogelijk”.
→ Leg uit of Thomas gelijk heeft.
3p d. Er zijn in 2006 in heel Europa 565 100 valse eurobiljetten in beslag genomen, dat is
een groot bedrag.
→ Bereken voor hoeveel euro aan € 20 en € 50 biljetten er totaal in 2006 in heel
Europa in beslag is genomen. Schrijf je berekening op.
3p e. In totaal werden er in 2006 in heel Europa 565 100 valse eurobiljetten in beslag
genomen. Toch is dit slechts een heel klein percentage van het totale aantal van 11,4 miljard
eurobiljetten dat in 2006 in Europa in omloop was.
→ Bereken in drie decimalen hoeveel procent dit was.
Opgave 3: Dorp
Het aantal inwoners van een dorp op de Veluwe nam vanaf 2007 sterk af doordat veel
inwoners naar de stad verhuisden.
De formule die bij benadering hierbij hoort, is
8
,86
Hierin is t in jaren en t = 0 op 1 januari 2007.
2p a. Met hoeveel procent neemt volgens de formule het aantal inwoners per jaar af?
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
36
Opgave 4: Euromunten
In 2002 werd de euro ingevoerd. Elk land had eerst alleen zijn eigen euromunten. Hieronder
zie je links een Nederlandse 2 euromunt en rechts een Franse 2 euromunt.
Doordat de munten in alle eurolanden gebruikt mochten worden, verspreidden ze zich vanaf
2002 langzaam over alle eurolanden. Ook in het buitenland werd met Nederlandse munten
betaald en in Nederland kwamen steeds meer buitenlandse munten.
In september 2006 waren er in Nederland 50 miljard euromunten in omloop.
In de tabel hieronder kun je aflezen hoeveel procent van die 50 miljard munten uit de
verschillende eurolanden afkomstig waren.
3p a. Karel heeft 19 munten in zijn portemonnee. Daarvan komen er 3 uit Frankrijk.
→ Is het percentage Franse munten in de portemonnee van Karel groter dan het
percentage Franse munten in Nederland? Schrijf je berekening op.
3p b. Bereken in één decimaal hoeveel miljard buitenlandse munten er in september 2006
in Nederland in omloop waren. Schrijf je berekening op.
4p c. In de tabel hieronder zie je hoe die 50 miljard euromunten in Nederland verdeeld waren
over de verschillende waarden.
In Nederland worden de munten van 1 en 2 cent bijna niet meer gebruikt. De bedragen
worden vaak afgerond op 5 cent. Maar deze munten van 1 en 2 cent (€ 0,01 en € 0,02) zijn
samen wel vele miljoenen euro’s waard.
→ Bereken hoeveel miljoenen euro’s ze samen waard zijn. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
37
Blok 3 | Verbanden
Opgave 1: Olie (deel 2)
De landen waarin olie geproduceerd wordt, gebruiken een deel van de olie zelf. In de grafiek
zie je het eigen gebruik van olie van één van deze landen in de afgelopen jaren. Bij deze
grafiek hoort een lineair verband.
3p a. Geef een formule die hoort bij de grafiek. Neem voor het aantal jaren na 2000 de letter
t en voor het eigen gebruik in duizend tonnen de letter G.
3p b. Hieronder zie je de grafiek van het eigen gebruik nogmaals. In hetzelfde assenstelsel
staat ook de grafiek van de hoeveelheid olie die het land geproduceerd heeft. Ook bij deze
grafiek hoort een lineair verband.
De geproduceerde olie die overbleef na eigen gebruik werd door dit land verkocht aan het
buitenland.
→Teken op de uitwerkbijlage de grafiek van de hoeveelheid olie die tussen 2000 en
2008 aan het buitenland verkocht werd.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
38
Opgave 2: Rattenplaag
Honderdduizenden ratten eten in een dorp in Afrika alles op wat ze
tegenkomen.
De ratten eten ook de verbouwde gewassen op, zodat de inwoners
vrezen voor een gebrek aan voedsel.
Op 1 januari 2000 heeft men geschat dat er in een bepaald dorp in
Afrika ongeveer 5000 ratten leefden. Als het aantal ratten elk half
jaar met 30% toeneemt, kun je onderstaande formule gebruiken:
𝐴
,
Hierin is A het geschatte aantal ratten en is de tijd t het aantal halve
jaren na 1 januari 2000.
2p a. Laat met een berekening zien dat er volgens de formule 8450 ratten waren op 1 januari
2001.
3p b. Bereken met hoeveel procent het aantal ratten is toegenomen op 1 januari 2001 in
vergelijking met 1 januari 2000. Schrijf je berekening op.
3p c. Bereken in welk jaar het aantal ratten volgens de formule voor het eerst meer dan 150
000 zou zijn. Schrijf je berekening op.
Op 1 januari 2008 schatte men het aantal ratten op 300 000. De overheid besloot om in te
grijpen. Men wil dat het aantal ratten met 25% per half jaar afneemt. Voor die afname kan
de volgende formule gebruikt worden:
𝐴
,7
Hierin is A het aantal ratten en is de tijd t het aantal halve jaren na 1 januari
2008.
2p d. Leg uit hoe het getal 0,75 in de formule is gevonden.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
39
3p e. Op 1 januari 2010 werd het aantal ratten geschat op 90 000.
→ Is de overheid er in geslaagd om het aantal ratten met 25% per half jaar te laten
afnemen? Schrijf je berekening op.
Opgave 3: Blikken stapelen
Sander gaat blikken stapelen op dezelfde manier als op de foto hieronder.
Hierdoor krijgt hij een toren die bestaat uit een aantal lagen. Op de foto zie je een toren die
bestaat uit 5 lagen.
3p a. Er is een verband tussen het aantal lagen a van een toren en het totaal aantal
blikken b die nodig zijn voor de toren. Hieronder staat een tabel, die hoort bij dit verband.
→ Vul de tabel verder in.
Een formule die hoort bij dit verband is
(
)
2p b. Laat met een berekening zien dat er in totaal meer dan 500 blikken nodig zijn om een
toren van 34 lagen te maken.
3p c. Sander heeft 500 blikken. Hij wil een zo hoog mogelijke toren bouwen.
→ Uit hoeveel lagen kan deze toren maximaal bestaan?
Schrijf je berekening op.
4p d. In supermarkten worden vaak torens van blikken gemaakt waarbij van zo’n toren de
bovenste lagen worden weggelaten.
→ Hoeveel blikken zijn er nodig voor een toren van blikken, waarbij de onderste laag
bestaat uit 25 blikken en de bovenste laag uit 5 blikken? Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
40
Opgave 4: Slagharen
Een fabrikant van practicummateriaal voor natuurkunde heeft in 2009 als reclame
onderstaande ansichtkaart verstuurd aan alle scholen in Nederland.
Op de volgende pagina staat de grafiek die hoort bij dit gedeelte van de achtbaan volgens de
formule
𝐻 − ,
√
Hierin is H de hoogte in meter en a de horizontale afstand in meter.
De vragen gaan over de grafiek op de uitwerkbijlage.
1p 1. Toon met een berekening aan dat bij een horizontale afstand van 0 meter de hoogte
van de achtbaan 14,9 meter is.
3p 2. Bereken in één decimaal de hoogte in meter van het hoogste punt van dit deel van de
achtbaan. Schrijf je berekening op.
2p 3. Leg uit hoe het komt dat de grafiek op de bijlage een andere vorm heeft dan de grafiek
op de kaart, terwijl het over dezelfde formule gaat.
4p 4. De topsnelheid in de achtbaan is 77 km/h. De hele achtbaan heeft een lengte van 583
meter. Een rit duurt 1 minuut en 42 seconden.
→ Bereken hoe groot het verschil is tussen de gemiddelde snelheid en de
topsnelheid. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
41
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
42
Blok 4 | Verhoudingen
Opgave 1: Waterlinie (deel 1)
De Nieuwe Hollandse Waterlinie was een verdedigingslinie met water als
verdedigingswapen. Als de vijand eraan kwam, kon het weiland tussen Muiden en de
Biesbosch onder water gezet worden. Het land werd daardoor moeilijk begaanbaar.
Op de kaart is te zien welke delen onder water gezet konden worden. Dit is het grijze
gedeelte. De stippen zijn forten. Een fort is een versterkt gebouw waarin militairen konden
verblijven, zie de foto.
De Waterlinie was ongeveer 85 km lang.
Op deze kaart is de Waterlinie ongeveer 17 cm lang.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
43
2p 1. Bereken de schaal die bij de kaart hoort. Schrijf je berekening op.
4p 2. De oppervlakte van het gebied dat onder water gezet kon worden, is bij benadering
even groot als de oppervlakte van een rechthoek met lengte 85 km en breedte 4 km. Ga
ervan uit dat het gebied onder water gezet werd met een laag water van 50 cm.
→ Bereken hoeveel m3 water er dan nodig was. Schrijf je berekening op.
Opgave 2: Serie driehoeken
In het assenstelsel hieronder zie je een aantal gelijkvormige driehoeken.
De driehoeken worden steeds groter en zijn genummerd met de nummers 1, 2, 3, enzovoort.
Driehoek nummer 1 heeft als hoekpunten A1, B1 en C1.
Driehoek nummer 2 heeft als hoekpunten A2, B2 en C2, enzovoort.
De volgende driehoeken uit deze serie ontstaan steeds op dezelfde manier.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
44
3p 1. Hieronder staat het assenstelsel vergroot.
→Teken driehoek nummer 4 in het assenstelsel.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
45
2p 2. De coördinaten van A1 zijn (1, 3). In een groter assenstelsel kun je ook driehoeken met
hogere nummers tekenen.
→Schrijf de coördinaten van A12 op. Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
4p 3. Om de oppervlakte van driehoek A1B1C1 te berekenen, kun je een om de driehoek
heen getekende rechthoek gebruiken. Zie de schets. Elk hokje stelt 1 cm2 voor.
De coördinaten van B1 zijn (−1; −0,5).
→Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van driehoek A1B1C1 gelijk is aan
5,75 cm2. Schrijf je berekening op.
3p 4. Driehoek A6B6C6 is een vergroting van driehoek A1B1C1. De zijden van driehoek A6B6C6
zijn 6 keer zo groot als de zijden van driehoek A1B1C1.
→Bereken de oppervlakte van driehoek A6B6C6. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
46
Opgave 3: Baikalmeer
In Siberië ligt het diepste meer ter wereld, het Baikalmeer.
Dat meer bevat vele duizenden km3 zoet water.
3p 1. Bereken hoeveel liter water er in 1 km3 gaat. Schrijf je antwoord in de
wetenschappelijke notatie.
3p 2. De totale hoeveelheid water op aarde is ongeveer 1,4 x 1021 liter.
Daarvan is 2,5% zoet water. Van dat zoete water bevindt 0,06% zich in het Baikalmeer.
→ Laat met een berekening zien dat het Baikalmeer 2,1 x 1016 liter zoet water bevat.
3p 3. Op een bepaald moment leefden er zo’n 6,5 miljard mensen op aarde.
Een mens gebruikt gemiddeld 126 liter zoet water per dag.
→ Bereken hoeveel hele jaren het Baikalmeer minimaal al deze mensen van zoet
water zou kunnen voorzien. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
47
Opgave 4: Houtwaarde
3p 1. De hoogte van een boom kan worden geschat met behulp van de volgende methode:
Zet een stok recht in de grond. Leg je hoofd op de grond zodat je oog zo laag mogelijk is.
Schuif achteruit tot je de punt van de stok en de top van de boom in één lijn ziet. Meet de
afstand van je oog tot de stok en van je oog tot de boom.
Iemand heeft de methode gevolgd en de maten gevonden die in de schets rechts staan.
→ Bereken de hoogte van de boom. Schrijf je berekening op.
Opgave 5: Bloedvaten
3p 1. Hiernaast zie je een tekening van een volwassen man en zijn
bloedvaten.
→ Geef een schatting van de schaal die bij de afbeelding hoort. Schrijf je
berekening op en rond de schaal af op gehele getallen.
3p 2. Bij een volwassen man stroomt door de bloedvaten 6 liter bloed.
In 1 mm3 bloed zitten 5 000 000 rode bloedcellen.
→ Bereken hoeveel rode bloedcellen er in 6 liter bloed zitten. Schrijf je
berekening op en geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.
4p 3. Haarvaten zijn bloedvaten die heel erg dun zijn. De straal van een
cilindervormig haarvat is 4 micrometer. 1 micrometer is gelijk aan 10-6
meter. Bij een volwassen man zijn de haarvaten in totaal 1200 km lang.
→ Bereken de totale inhoud van de haarvaten in cm3. Schrijf je
berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
48
Blok 5 | Meetkunde
Overzicht formules:
omtrek cirkel
oppervlakte cirkel
inhoud prisma
inhoud cilinder
inhoud kegel
= x diameter
= x straal 2
= oppervlakte grondvlak x hoogte
= oppervlakte grondvlak x hoogte
1
= x oppervlakte grondvlak x hoogte
inhoud piramide
= x oppervlakte grondvlak x hoogte
inhoud bol
= x
1
4
x straal 3
Opgave 1: Waterlinie (deel 2)
Om te kunnen kijken en schieten vanuit een fort was het belangrijk dat er weinig gebouwen
om het fort heen lagen.
4p 1. Hieronder zie je het gebied rond Fort Everdingen.
In het lichtgrijze gebied werden alleen houten gebouwen en laagbouw van steen toegestaan.
→ Bereken in twee decimalen de oppervlakte in km2 van het lichtgrijze gebied.
Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
49
Opgave 2: Piramides in Egypte
In het noorden van Egypte staan drie grote piramides en een aantal kleine piramides bij
elkaar. De drie grote piramides heten de piramide van Cheops, de piramide van Chefren en
de piramide van Mycerinus. Vooraan op de foto zie je de kleine piramides die bij Mycerinus
horen.
2p 1. In 2511 voor Christus werd de bouw van de piramide van Cheops voltooid.
→Hoeveel jaar is dat geleden? Schrijf je berekening op.
3p 2. Hieronder staat een plattegrond met de piramides. Er zijn vier posities aangegeven met
een letter.
→Omcirkel de letter van de positie waarvandaan de foto genomen kan zijn.
Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
50
4p 3. De piramide van Chefren lijkt hoger dan die van Cheops omdat de piramide van
Chefren op een verhoging staat. Beide piramides hebben een grondvlak in de vorm van een
vierkant. We hebben van de piramides de volgende gegevens:
→Controleer met een berekening of de piramide van Chefren hoger is dan de
piramide van Cheops. Schrijf je berekening op.
Opgave 3: Tafeltennistafel
Op de foto hierboven staat een betonnen tafeltennistafel voor buiten.
De tafel bestaat uit 2 onderdelen: een cilindervormige poot en een blad dat hierop bevestigd
is. Het massieve blad is 12 cm dik en heeft een rechthoekige bovenkant met breedte 155 cm
en lengte 275 cm.
3p 1. Laat met een berekening zien dat er meer dan 0,5 m3 beton nodig is voor het maken
van het blad.
5p 2. De poot van de tafel staat precies onder het midden van het blad. De diameter is
110 cm.
→ Teken de onderkant van het tafelblad op schaal 1 : 25. Geef in je tekening ook
duidelijk de plaats van de poot van de tafel aan.
Schrijf de berekeningen die je daarvoor maakt op.
De leverancier van de tafeltennistafel geeft het volgende advies voor de ruimte die nodig is
rondom de tafel: “We raden aan om als speelruimte 1,5 m aan de zijkanten en 2 m aan de
voor- en achterkant van de tafel vrij te houden.”
3p 3. Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van de plek die nodig is om de tafel,
inclusief de speelruimte, te plaatsen, volgens het advies van de leverancier afgerond 31 m2
is.
De tafeltennistafel zal worden geplaatst op een pleintje bij een buurthuis. Men vindt dat de
tafel, inclusief de speelruimte eromheen, veel ruimte inneemt. Klaas komt met het idee om
een ronde tafeltennistafel te kopen.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
51
De diameter van het bovenblad is 240 cm.
3p 4. Klaas denkt dat de ronde tafel, inclusief de speelruimte van 2 m rondom de tafel voor
de spelers, minder ruimte zal innemen dan de rechthoekige tafel, inclusief de speelruimte.
→ Laat met een berekening zien of Klaas gelijk heeft.
Opgave 4: IJsje
Hieronder zie je twee foto’s van een ijsje. Het model van het ijsje past precies in balk ABCD
EFGH, waarvan de vlakken ABCD en EFGH vierkant zijn. Het model bestaat uit vier even
grote, gelijkbenige driehoeken ACF, ACH, AFH en CFH.
In deze driehoeken geldt AF = AH = CF = CH = 9,8 cm en AC = FH = 6 cm.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
52
Voor het maken van de verpakking wordt eerst een uitslag getekend en daarna de
oppervlakte uitgerekend. Hieronder is de uitslag getekend.
3p 1. Zet bij alle hoekpunten in de uitslag de juiste letter.
5p 2. In driehoek ACF is de hoogte FM getekend.
→ Bereken hoeveel cm2 de totale oppervlakte van de uitslag is. Schrijf je berekening
op en rond af op hele getallen.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
53
Blok 6 | Goniometrie
Opgave 1: Zonnehoek
In Nederland staat in de zomer de zon veel hoger boven de horizon dan in de winter. We
noemen de hoek die de stralen van de zon maken met de aarde de zonnehoek, zie de
tekening.
In deze opgave bekijken we de zonnehoek steeds om 12:00 uur ’s middags.
In de grafiek is bij benadering af te lezen hoe groot de zonnehoek gedurende het jaar in
Nederland is.
Op 21 juni staat de zon het hoogst en is de zonnehoek 61,5°.
Op 21 december staat de zon het laagst en is de zonnehoek 14,5°.
2p 1. Bereken van bovenstaande grafiek de amplitude. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
54
3p 2. Helga doet een proef. Ze laat op 21 juni in Nederland een bundel zonlicht door een gat
met een diameter van 10 cm vallen. AB wordt verlicht door de zon.
→ Laat met een berekening zien dat de lengte AB afgerond 11 cm is.
Schrijf je berekening op.
5p 3. Een aantal maanden later herhaalt Helga de proef. Ze laat opnieuw in Nederland een
bundel zonlicht door een gat met een diameter van 10 cm vallen. Nu is de lengte van AB 23
cm.
→ Op welke dag(en) kan Helga deze proef hebben uitgevoerd? Laat met een
berekening zien hoe je aan je antwoord komt.
Opgave 2: Scheve torens
Hieronder staat een foto van de beroemde scheve toren van Pisa in Italië. In de foto is
driehoek ABC getekend. Aan de driehoek kun je zien hoe scheef de toren staat.
De loodrecht gemeten hoogte BC van de toren van Pisa is 55,86 meter.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
55
3p 1. Hoe scheef de toren staat kun je onder andere zien aan de grootte van hoek C in
driehoek ABC. De afstand AB is bij de toren van Pisa 3,91 meter.
→ Bereken hoeveel graden hoek C is. Schrijf je berekening op.
In de krant van 2 november 2007 stond dat de scheefste toren ter wereld in het Duitse
plaatsje Suurhusen staat.
2. Bij de toren van Suurhusen geldt dat PR = 27,48 meter en PQ = 2,43 meter.
→ Ga met een berekening na of de toren van Suurhusen schever staat dan de toren
van Pisa.
Opgave 3: Dorp in de schaduw
Het Italiaanse dorp Viganella ligt elk jaar van 11 november tot 2 februari volledig in de
schaduw van een hoge berg. De zon komt in de winter niet hoog genoeg boven de berg uit,
omdat dan de hoek die de zonnestralen maken met het horizontale aardoppervlak (de
zonnehoek) te klein is.
De top van de berg ligt 1000 meter boven het dorp Viganella.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
56
4p 1. Op 11 november om 12:00 uur is de zon voor het laatst te zien. De zonnehoek is dan
37°. De situatie op dat moment is in bovenstaande tekening te zien.
→ Bereken hoeveel meter de afstand VT van het dorp Viganella tot de top van de
berg is. Rond af op een geheel getal. Schrijf je berekening op.
Om in de donkere winterdagen toch nog zonlicht op het dorp te laten vallen, is op de
berghelling links van het dorp een grote spiegel geplaatst. Hierdoor weerkaatsen de
zonnestralen.
Bij weerkaatsing van licht is de hoek waaronder het licht op de spiegel valt even groot als de
hoek waarmee het licht terugkaatst. In de tekening hieronder is hoek S1 = hoek S2.
De spiegel is 500 meter boven Viganella op de berghelling geplaatst.
Het dorp is in onderstaande tekening aangegeven met V en het midden van de spiegel heet
S. De horizontale afstand van de spiegel tot het dorp is 750 meter.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
57
Hieronder staat een schets van de stand van de zon op 2 december om 13:00 uur.
3p 2. Bereken de afstand SV. Rond je antwoord af op hele meters. Schrijf je berekening op.
3p 3. Laat met een berekening zien dat hoek V afgerond 34° is.
2p 4. Hoek S1 is de zonnehoek op 2 december om 13:00 uur.
→ Hoeveel graden is hoek S1? Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
Opgave 4: Zonnepanelen
Op de foto zie je een dak met zonnepanelen erop. Zonnepanelen zetten zonlicht om in
elektriciteit.
Om zoveel mogelijk zonlicht op te vangen, moeten de panelen naar het zuiden gericht zijn.
Bij een schuin dak worden de zonnepanelen plat tegen het dak gemonteerd, zie de foto. De
hellingshoek van het dak heeft invloed op de hoeveelheid elektriciteit die de zonnepanelen
kunnen omzetten.
2p 5. In de tekening op de volgende pagina zie je welke hellingshoeken van het dak gunstig
zijn, welke ongunstig en wat de grensgebieden zijn.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
58
→Meet in de tekening hierboven tussen welke twee waarden een gunstige
hellingshoek ligt. Schrijf je antwoord op.
De familie Klein laat zonnepanelen op het dak van hun huis plaatsen.
5p 6. In de tekening zie je het vooraanzicht van het huis van de familie Klein.
De maten staan in de tekening aangegeven. De hellingshoek van het dak is met een boogje
aangegeven. Het vooraanzicht van het huis is symmetrisch.
→Bereken hoeveel graden de hellingshoek van het dak is. Schrijf je berekening op.
4p 7. De prijs van elektriciteit is 23 eurocent per kWh. Ga ervan uit dat de prijs van
elektriciteit gelijk blijft.
→ Bereken na hoeveel jaren de familie Klein de zonnepanelen terugverdiend heeft.
Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op één decimaal.
2p 8. De leverancier voorspelt dat de prijs van elektriciteit met 7% per jaar zal stijgen.
→ Zal de familie Klein in deze situatie de zonnepanelen eerder of later terugverdiend
hebben dan in de situatie van de vorige vraag? Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
59
Blok 7 | Examen oefenen
Overzicht formules:
omtrek cirkel
oppervlakte cirkel
inhoud prisma
inhoud cilinder
inhoud kegel
= x diameter
= x straal 2
= oppervlakte grondvlak x hoogte
= oppervlakte grondvlak x hoogte
1
= x oppervlakte grondvlak x hoogte
inhoud piramide
= x oppervlakte grondvlak x hoogte
inhoud bol
= x
1
4
x straal 3
Opgave 1: Reiskostenvergoeding
Werknemers van de gemeente Houten die met de auto naar het werk gaan, kunnen een
reiskostenvergoeding aanvragen.
De hoogte van de reiskostenvergoeding wordt berekend met de volgende formule
,
− 7
Hierin is r de maandelijkse reiskostenvergoeding in euro’s en a het aantal kilometers per
maand dat met de auto van huis naar het werk gereden wordt en weer terug.
3p 1 Bas werkt 16 dagen per maand voor de gemeente Houten en woont op 12 kilometer
van zijn werk. Hij gaat altijd met de auto.
→Bereken hoeveel euro de maandelijkse reiskostenvergoeding voor Bas is. Schrijf je
berekening op.
3p 2 Tot een bepaald aantal kilometers per maand heeft het geen zin om
reiskostenvergoeding aan te vragen, omdat deze dan lager is dan 0 euro.
→Tot hoeveel kilometer per maand krijg je geen reiskostenvergoeding?
Laat met een berekening zien hoe je aan je antwoord komt.
3p 3 Als je met de fiets naar je werk gaat, kun je ook een reiskostenvergoeding aanvragen.
Hiervoor wordt de volgende formule gebruikt
,
Hierin is r de maandelijkse reiskostenvergoeding in euro’s en a het aantal kilometers per
maand dat met de fiets van huis naar het werk gereden wordt en weer terug.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
60
Hieronder zie je de grafieken die bij de formules over de reiskostenvergoeding horen.
40
→Bereken hoeveel kilometer per maand je minstens moet reizen om een hogere
reiskostenvergoeding voor de auto dan voor de fiets te krijgen.
Geef je antwoord in hele kilometers. Schrijf je berekening op.
Vraag 2: Uitschuifcaravan
In een folder staat informatie over een uitschuifcaravan:
De caravan heeft de vorm van een cilinder, waarvan onderaan een gedeelte afgesneden is.
De caravan is een soort buis die aan beide kanten uitgeschoven kan worden, zodat de
breedte bijna drie keer zo groot wordt.
3p 4 De maten van de caravan achter de auto worden gegeven in meter en in voet. De
breedte van de caravan is 1,80 m = 5,91 voet en de hoogte is 8,26 voet.
→Bereken de hoogte van de caravan in meter. Schrijf je berekening op.
Rond je antwoord af op twee decimalen.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
61
5p 5 Het zijaanzicht van de caravan heeft de vorm van een afgesneden cirkel met
middelpunt M en straal 1,30 m. AB is het zijaanzicht van de vloer van de caravan. Punt C is
het midden van AB; de lengte van CD is 0,30 m.
→Bereken de lengte van AB. Schrijf je berekening op.
3p 6 De caravan bestaat uit drie delen die elk 1,80 m breed zijn. Als de caravan wordt
uitgeschoven, blijft het middelste deel op zijn plaats. Eén deel schuift naar rechts en het
andere deel even ver naar links. De totale breedte van de uitgeschoven caravan is dan
4,60 m. Dat betekent dat de delen elkaar nog gedeeltelijk overlappen.
→Hoeveel cm is de overlap van het rechterdeel met het middelste deel, als de
caravan helemaal is uitgeschoven? Schrijf je berekening op.
4p 7 Hierboven zie je het zijaanzicht van de caravan nog een keer.
De oppervlakte van het grijze gedeelte van de cirkel is ongeveer 0,41 m2.
→Bereken hoeveel m3 de inhoud van de caravan is, nu deze uitgeschoven is tot een
breedte van 4,60 m. Schrijf je berekening op.
Vraag 3: Online-shoppers
In de krant stond het volgende bericht:
Steeds meer online-shoppers in Nederland
Online-shoppers zijn mensen die winkelen op het internet. Elk jaar op 31 december worden
gegevens over de Nederlandse online-shoppers in dat jaar bekend gemaakt.
In 2010 kwamen er 600 000 nieuwe online-shoppers bij. Het totaal aantal online-shoppers in
2010 kwam daarmee op 9,25 miljoen.
In 2010 gaven zij in totaal 8,2 miljard euro uit aan online-aankopen. Dat was 11% meer dan
het jaar daarvoor.
2p 8 Bereken hoeveel euro een online-shopper in 2010 gemiddeld uitgaf.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
62
Schrijf je berekening op.
4p 9 Bereken met hoeveel procent het aantal online-shoppers is toegenomen in 2010.
Schrijf je berekening op.
3p 10 Bereken hoeveel miljard euro er in 2009 aan online-shoppen werd uitgegeven.
Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op één decimaal.
4p 11 In 2010 gaven de online-shoppers in totaal 8,2 miljard euro uit. Neem aan dat dit
bedrag na 2010 elk jaar met 11% blijft toenemen.
→Bereken in welk jaar dit bedrag dan voor het eerst zal zijn verdubbeld.
Schrijf je berekening op.
Opgave 4: Piramide
Gegeven is de gelijkzijdige driehoek ABC met zijden van 35 cm. In de driehoek zijn de
hoogtelijnen getekend. Deze hoogtelijnen snijden elkaar in punt S.
5p 12 Bereken hoeveel cm2 de oppervlakte van driehoek ABC is. Schrijf je berekening op.
4p 13 Bereken hoeveel cm de lengte van AS is.
Schrijf je berekening op. Rond je antwoord af op één decimaal.
Wanneer je bij vraag 13 geen antwoord gevonden hebt, neem dan bij vraag 14 aan dat de
lengte van AS gelijk is aan 20,8 cm.
4p 14 Hieronder zie je een piramide met de gegeven gelijkzijdige driehoek ABC als
grondvlak. De opstaande ribben zijn 28 cm.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
63
→Bereken hoeveel cm de hoogte DS van de piramide is. Schrijf je berekening op.
Vraag 5: Maisplant
Hieronder zie je een schets van een maisplant. In deze opgave bekijken we de groei van
deze plant.
Op 1 mei wordt een zaadje in de grond gestopt. Na 12 dagen komt er een blad boven de
grond. Neem aan dat er daarna om de 6 dagen een nieuw blad bijkomt. Onderstaande foto’s
zijn om de 6 dagen genomen.
3p 15 Op de derde foto kun je zien dat het vijfde blad erbij is gekomen.
→Bepaal met bovenstaande gegevens op welke datum deze foto gemaakt is. Leg uit
hoe je aan je antwoord komt.
3p 16 Het laatste blad van de maisplant komt er op 30 juli bij.
→Bereken hoeveel bladeren de plant op die dag in totaal heeft. Laat zien hoe je aan
je antwoord bent gekomen.
Tot 65 dagen nadat het eerste blad boven de grond is gekomen, kun je de hoogte van de
maisplant boven de grond uitrekenen met de formule
, 6
− ,
Hierin is hoogte maisplant in cm en t de tijd in dagen na 13 mei.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
64
4p 17 Teken hieronder de grafiek van de hoogte van de maisplant voor de eerste 65 dagen.
Je mag de tabel gebruiken.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
65
3p 18 In een veld met maisplanten wordt soms een doolhof gemaakt.
Het doolhof wordt geopend als de maisplanten minstens 180 cm hoog zijn. We gaan ervan
uit dat de maisplanten in het doolhof allemaal op 13 mei boven de grond kwamen en
groeiden volgens de formule.
→Bereken hoeveel dagen na 13 mei het doolhof geopend kon worden.
Vraag 6: Muurtje bouwen
Joris gaat in de tuin een muurtje metselen. De afmetingen van de baksteen die hij gaat
gebruiken zie je in de afbeelding.
Tussen de bakstenen komt een laag specie van gemiddeld 10 mm dik. Dit noemen we de
voeg.
Hierboven zie je een schets van het bovenaanzicht van de onderste laag bakstenen van het
muurtje (laag 1).
2p 19 Laat met een berekening zien dat de lengte AB van de muur 1,42 meter is.
2p 20 Bereken in mm de lengte van AD. Schrijf je berekening op.
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
66
Hieronder zie je een schets van het bovenaanzicht van laag 2. Deze laag wordt op laag 1
gemetseld. De hoekstenen van laag 2 zijn met een kruis aangegeven. Deze hoekstenen zijn
gemaakt door de bakstenen korter te maken. Alle hoekstenen zijn even lang.
3p 21 Bereken in mm de lengte PT van de hoeksteen. Schrijf je berekening op.
Het muurtje van Joris wordt 1,20 meter hoog. Joris begint met een voeg en metselt de
bakstenen afwisselend volgens laag 1 en laag 2.
4p 22 Voor laag 1 en laag 2 heeft hij 33 bakstenen nodig.
→Hoeveel bakstenen heeft Joris in totaal nodig om dit muurtje te metselen?
Schrijf je berekening op.
2p 23 Hieronder zie je drie vooraanzichten van verschillende muurtjes nadat acht lagen
gemetseld zijn.
→Welk van de drie vooraanzichten hoort bij het muurtje dat Joris metselt?
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
67
Uitwerkingen
Blok 2 | Procenten
Opgave 1: Olie (deel 1)
a) maximumscore 3
• Het verschil is (
−
)
• De procentuele afname is
miljoen ton olie
500
4000
(1)
(1)
• Dit is een daling van 63% (of nauwkeuriger)
(1)
b) maximumscore 3
• De groeifactor per jaar is 0,95
•
,9
• Het antwoord: 989 miljoen ton (of nauwkeuriger)
(1)
(1)
(1)
Opgave 2: Valse euro’s
a) maximumscore 2
• ,6
7
86 ,9
• Dus in totaal 12862 biljetten van €50
(1)
(1)
b) maximumscore 3
• 79
− 6
(1)
•
9
1 900
579000
(1)
• Daling is dus 2,4%
(1)
c) maximumscore 2
• Het zijn percentages van twee verschillende getallen
• Thomas heeft dus geen gelijk
(1)
(1)
d) maximumscore 3
• ,
6
97 88
• , 6
6
7 8
• Opgeteld totaal €15 144 680
(1)
(1)
(1)
Opgave 3: Dorp
a) maximumscore 2
•
− 86
• Neemt af met 14%
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
(1)
(1)
68
Opgave 4: Euromunten
a) maximumscore 3
• Aandeel Franse munten in Karels portemonnee: 19
(1)
• Karel heeft 15,8% Franse munten
• Ja, dit is groter dan de 9,9% Franse munten in Nederland
(1)
(1)
b) maximumscore 3
• Percentage buitenlandse munten is
• ,6
, (miljard)
• Dat is afgerond 30,2 miljard
(1)
(1)
(1)
− 9,7
6 , %
c) maximumscore 4
• Er zijn , 7
8, miljard munten van 1 cent
• Er zijn , 7
6,8 miljard munten van 2 cent
• De totale waarde is 8,
,
6,8
,
,
• Dt is 222,5 (of 223) miljoen euro
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
miljard euro
(1)
(1)
(1)
(1)
69
Blok 3 | Verbanden
Opgave 1: Olie (deel 2)
a) maximumscore 3
• Een voorbeeld van een juiste formule: 𝐺
• Het startgetal 400 (duizend ton)
• Het hellingsgetal is
100
4
(duizend ton)
(1)
(1)
• Een geheel juiste formule
(1)
b) maximumscore 3
• Het beginpunt is (2000, 600)
• Het nulpunt ligt bij 2008
• Rechte lijn door deze twee punten
(1)
(1)
(1)
Opgave 2: Rattenplaag
a) maximumscore 2
• Op 1 januari 2001 is
•𝐴
,
8
b) maximumscore 3
• Toename is 8
−
• De berekening:
(1)
(1)
(ratten)
450
5000
• Dit is een toename van 69%
of
8450
• 5000
,69
• Toename is 69%
of
• ,
,69
• Toename is 69%
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
(1)
(1)
(1)
(2)
(1)
(2)
70
c) maximumscore 3
•
:𝐴
, 1
6 9
1
•
:𝐴
,
8
• Het antwoord: (na 6,5 jaar dus,) in 2006
(1)
(1)
(1)
d) maximumscore 2
• Bij een afname van 25% blijft er 75% over
• De groeifactor is dan 0,75
(1)
(1)
e) maximumscore 3
•
•𝐴
,7 4 9 9 (ratten)
• De overheid is erin geslaagd
(1)
(1)
(1)
Opgave 3: Blikken stapelen
a) maximumscore 3
b) maximumscore 2
•
1
(
)
(1)
• Aantal blikken is 595 (en dit is meer dan 500)
(1)
c) maximumscore 3
• Als
is
96
• Als
is
8
• Deze toren kan maximaal uit 31 lagen bestaan
(1)
(1)
(1)
d) maximumscore 4
• Voor een toren van 25 lagen zijn 325 blikken nodig
• Er is een toren van 4 lagen afgehaald
• Dat zijn 10 blikken minder
• Het bouwwerk bevat dus
−
blikken
(1)
(1)
(1)
(1)
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
71
Opgave 4: Slagharen
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
72
Blok 4 | Verhoudingen
Opgave 1: Waterlinie (deel 1)
Opgave 2: Serie driehoeken
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
73
Opgave 3: Baikalmeer
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
74
Opgave 4: Houtwaarde
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
75
Opgave 5: Bloedvaten
16 Maximumscore 3
Een voorbeeld van een juiste schatting:



De lengte van de man in de afbeelding is … cm
De gemiddelde lengte van een volwassen man is 180 cm
De schaal is 1: … (lengte volwassen man gedeeld door gemeten lengte)
1
1
1
Opmerkingen
De gemeten waarde mag 1 mm afwijken
Als een andere reële schatting is gegeven voor de lengte van de man, hiervoor geen
scorepunten aftrekken
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
76
Blok 5 | Meetkunde
Opgave 1: Waterlinie (deel 2)
Opgave 2: Piramides in Egypte
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
77
Opgave 3: Tafeltennistafel
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
78
Opgave 4: IJsje
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
79
Blok 6 | Goniometrie
Opgave 1: Zonnehoek
Opgave 2: Scheve torens
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
80
Opgave 3: Dorp in de schaduw
Opgave 4: Zonnepanelen
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
81
Blok 7 | Examen oefenen
Opgave 1: Reiskostenvergoeding
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
82
Opgave 2: Uitschuifcaravan
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
83
Opgave 3: Online-shoppers
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
84
Opgave 4: Piramide
Opgave 5: Maisplant
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
85
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
86
Opgave 6: Muurtje bouwen
Nationale Examentraining | Wiskunde | VMBO | 2016
87