Afgeleiden van exponentiële functies

Hoofdstuk 1
Afgeleiden
1.1
Afgeleiden van goniometrische en
cyclometrische functies
1.1.1 Goniometrische functies
1.1.2 Limieten van goniometrische functies
1.1.3 Afgeleiden van goniometrische
basisfuncties
1.1.4 Afgeleiden van samengestelde
functies
1.1.5 Afgeleiden van cyclometrische
functies
1.2
Afgeleiden van exponentiële en
logaritmische functies
1.2.1 Exponentiële en logaritmische
functies
1.2.2 Afgeleiden van exponentiële functies
1.2.3 Afgeleiden van logaritmische functies
V 1.2.4 Differentiaalvergelijkingen
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
Hoofdstuk
1
1.1 Afgeleiden van goniometrische en
cyclometrische functies
1.1.1 Goniometrische functies
1
Instap
De hoogte h (in m) van een gondel van een
reuzenrad in functie van de tijd t (in minuten)
wordt beschreven door het voorschrift
p

h(t ) = 30 sin  (t – 1) + 32
2

1 Hoe lang duurt een omwenteling van een
gondel?
2 Welke maximale en minimale hoogte bereikt de gondel?
3 Wat is de betekenis van 32 in het voorschrift?
4 Met welke hoeksnelheid (in radialen per minuut) draait de gondel?
Goniometrische functies
We kennen al het verloop van goniometrische basisfuncties en algemene
sinusfuncties. We herhalen kort de belangrijkste eigenschappen van deze functies.
• Goniometrische basisfuncties
Voor de sinusfunctie f: x |→ sin x en de cosinusfunctie g: x |→ cos x geldt:
– periode: p = 2p
– dom f = dom g = R
1
– ber f = ber g = [–1, 1]
– nulpunten f: k ? p met k Œ Z
nulpunten g:
p
2
+ k ? p met k Œ Z
–p
0
–1
y
y = sin x
x
p
2p
y = cos x
Op de grafiek zien we dat de sinus- en de cosinusfunctie continu zijn.
Men kan inderdaad bewijzen dat lim sin x = sin a en lim cos x = cos a voor
x →a
x →a
elke a Œ R.
8
Afgeleiden
1
– periode: p = p
– dom f = R \
p
2
3 y
+ k p; k ŒZ
Hoofdstuk
Voor de tangensfunctie f: x |→ tan x en de cotangensfunctie g: x |→ cot x geldt:
y = tan x
2
dom g = R \ {k ? p; k Œ Z}
1
– ber f = ber g = R
x
– nulpunten f: k ? p met k Œ Z
nulpunten g: p
2
y = cot x
0
–p
2
+ k ? p met k Œ Z
p
p
2
–1
p
– V.A. grafiek f: x = + k ? p met k Œ Z
2
V.A. grafiek g: x = k ? p met k Œ Z
–2
Ook de tangens- en de cotangensfunctie zijn continu in hun domein.
Er geldt: lim tan x = tan a voor elke a Œ R \
x →a
p
2
+ k p; k ŒZ
lim cot x = cot a voor elke a Œ R \ {k ? p; k Œ Z}
x →a
• Algemene sinusfuncties
De grafiek van een functie met voorschrift f(x) = a sin[b(x – c)] + d, met a > 0 en b > 0, heeft als
– amplitude a
2p
– periode p =
b
– evenwichtslijn r ´ y = d
y
y = a sin(b(x – c)) + d
a
y=d
(c, d)
– mogelijk startpunt (c, d)
a
x
0
p=
2p
b
Om de kenmerken (verloop, extrema, buigpunten …) van andere goniometrische
functies te onderzoeken, zullen we gebruik maken van afgeleiden.
9
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1.1.2 Limieten van goniometrische functies
Hoofdstuk
1
2
Instap
1 lim
x →1
x2 – 6x + 5
0
geeft aanleiding tot de onbepaaldheid .
2
x –1
0
Bereken deze limiet.
sin x
0
geeft ook aanleiding tot de onbepaaldheid .
x→0 x
0
sin x
Gebruik de grafiek van de functie f: x |→
om deze limiet te bepalen.
x
2 lim
3
als x π 1 2 x
Gegeven de functies f: x |→ x2 en g: x |→ 
.
als x = 1
0
1 Bepaal het voorschrift van de functies h: x |→ (f ° g)(x) = f(g(x)) en i: x |→ (g ° f)(x) = g(f(x)).
(
)
3 Is lim g( f( x )) = g ( lim f( x )) ?
2 Is lim f( g( x )) = f lim g( x ) ?
4
x →1
x →1
x →1
x →1
Bereken de oppervlakte van een cirkelsector met straal r bij
een middelpuntshoek a gelijk aan
r
1 2p rad
2 a rad
10
a
Afgeleiden
1
Om afgeleiden van goniometrische functies te bepalen, zullen we gebruik maken van
de limietdefinitie van de afgeleide. Het is echter niet eenvoudig om limieten van
goniometrische functies te bepalen met de rekentechnieken die we tot nog toe hebben
gezien.
Hoofdstuk
Limieten van goniometrische functies
We geven daarom eerst een aantal bijkomende eigenschappen van limieten.
• Limieten van samengestelde functies
– Voorbeeld

Om lim  cos
x → +• 
1
 te bepalen, kunnen we informeel als volgt redeneren:
x
1
1
als x Æ +•, zal Æ 0 en dus cos
cos Æ cos 0 = 1.
x
x
Intuïtief brengen we hierbij de limiet ‘naar binnen’.
Formeel schrijven we: 
lim  cos
x → +• 
1

 = cos  lim
x → +•
x
1
 = cos 0 = 1
x
– E igenschap
Als lim g(x) = b en f is continu in b, dan geldt: x →a
(
)
lim f ( g( x )) = f lim g( x ) = f( b).
x →a
x →a
Hierbij kan a ook ± • zijn.
Dat de continuïteit van f in b vereist is, maar van g niet, wordt geïllustreerd in
opdracht 3.
Het bewijs van deze eigenschap valt buiten het bestek van dit handboek.
– Gevolg
Als g continu is in a en f is continu in g(a), dan geldt: lim f ( g( x )) = f( g(a)).
x →a
11
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
• Insluitingsstelling voor limieten
Hoofdstuk
– Voorbeeld
cos x
te berekenen, kunnen we indirect te werk gaan: we sluiten
x → +•
x cos x
f: x |→
in tussen twee functies die dezelfde limiet hebben voor x Æ +•.
x
Om lim
Aangezien –1 £ cos x £ 1, zal
y
cos x
–1 cos x 1
y=
£ voor elke x Œ R+0 .
£ 2
x
1
x
x
x
y=
x x
–1
1
Omdat we weten dat lim
= lim
= 0,
0
2
4
6
x → +• x
x → +• x
1
y
=
–
–2
cos x
x
is het aannemelijk dat lim
= 0.
x → +•
x
Deze redenering illustreert de volgende eigenschap, die we de insluitingsstelling
(of sandwichstelling) voor limieten noemen.
– E igenschap
Stel Ba een basisomgeving van a.
Als voor x Œ Ba \ {a} geldt dat f(x) £ g(x) £ h(x) en als lim f(x) = lim h(x) = b,
x →a
x →a
dan is ook lim g(x) = b.
x →a
Gelijkaardige eigenschappen gelden als a en b ± • zijn.
De insluitingsstelling kan met de e-d definitie bewezen worden. Dit bewijs valt
buiten het bestek van het handboek.
• E en bijzondere limiet
sin x
De limiet lim
zal bij het berekenen van de afgeleide van de sinusfunctie een
x→0 x grote rol spelen.
We bewijzen algebraïsch dat deze limiet gelijk is aan 1.
E igenschap
lim
x→0
12
sin x
=1
x
Afgeleiden
1
Bewijs
p
Hoofdstuk
1 x > 0
y
Aangezien x Æ
0 zal 0 < x < ,
>
2
met x in radialen.
B(1, tan x)
Op de figuur is zo’n hoek x met beeldpunt
D voorgesteld. Hierbij is C de loodrechte
projectie van D op de x-as, B het snijpunt
van OD met de rechte met vergelijking x = 1 en A het raakpunt van deze rechte
en de cirkel.
D(cos x, sin x)
1
x
O
x
C(cos x, 0)
A(1,0)
Er geldt:
OC CD cos x sin x
=
2
2
122 x
– opp. cirkelsector OAD
OAD = xx ? == 2 2
– opp. D OCD =
– opp. D OAB =
opp. sector met straal r en middelpuntshoek
a r2
a radialen is 2
OA AB 1 tan x tan x
=
=
2
2
2
p
Uit de figuur is duidelijk dat voor 0 < x < geldt:
2
opp. D OCD < opp. cirkelsector OAD < opp. D OAB
fl
cos x sin x
x tan x
<
<
2
2
2
fl
cos x <
x
1
<
sin x cos x
fl
cos x <
sin x
1
<
x
cos x
delen door 1 sin x > 0
2
cos x > 0 en 0 < a < b < c fi 0 < 1c < 1b < a1
1
1
=
= 1.
x→0
x → 0 cos x cos 0
>
>
sin x
Wegens de insluitingsstelling geldt bijgevolg: lim
= 1.
x→0 x
>
2 x < 0
Nu is lim cos x = cos 0 = 1 en lim
lim
x→0
<
sin x
x
stel t = – x
=
lim
t →0
>
sin (– t )
– sin t
sin t zie 1
= lim
= lim
= 1
t → 0 –t
t→0 t
–t
>
>
■
13
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
Opmerkingen
Hoofdstuk
1 Deze eigenschap kan geïllustreerd worden
met de betekenis van de radiaal.
In de goniometrische cirkel snijdt een hoek
van x radialen een cirkelboog af met
lengte | x |.
Op de figuur is duidelijk dat voor kleine
ª | AC |,
waarden van x geldt dat AB
m.a.w. dat x ª sin x.
1
y
0
2 Uit de eigenschap volgt dat voor kleine
sin x
waarden van x geldt:
ª 1 of sin x ª x.
x
In de fysica vervangt men dan ook vaak sin x door x als x ª 0.
Dit zien we ook grafisch: voor x ª 0 vallen
de grafieken van de functies met
voorschrift y = sin x en y = x zo goed als
samen.
A
sin x x
B
C 1
x
y
1
x
y=x
y = sin x
x
–p
0
p
–1
3 Steunend op de bovenstaande basislimiet en de rekenregels van limieten, kunnen
we limieten van een aantal goniometrische functies berekenen.
Voorbeeld
sin 3 x
sin 3 x
x
lim
= lim
x → 0 sin 4 x
x → 0 sin 4 x
x
sin 3 x
3 lim
= x → 0 3x
sin 4 x
4 lim
x → 0 4x
sin 3 x
lim
3
= 3 x → 0 3x
sin 4 x
4
lim
4 x → 0 4x
3 1 3
= =
4 1 4
14
als x Æ 0, zal ook 3x Æ 0 en 4x Æ 0
Afgeleiden
5
1
Hoofdstuk
Rekening houdend met sin x ª x voor kleine waarden van x kunnen we informeel
ook als volgt te werk gaan:
sin 3 x 3 x 3
sin 3 x 3
voor x Æ 0 geldt ≈ = zodat lim
= .
x → 0 sin 4 x
sin 4 x 4 x 4 4
Verwerking
Bereken
1 lim
x
sin 3x
2
x
3 lim
1
x → -•
2–
x
2 lim
tan 4x
x

4 lim  x2 sin
x→0 
x→0
x→0
6
cos
p

x
Bepaal de eventuele horizontale asymptoot van de grafiek van de functie
p x2
f: x |→ tan 2
.
3 x + 1 1.1.3 Afgeleiden van goniometrische basisfuncties
7
Instap
We gaan op zoek naar de afgeleide functie van f: x |→ sin x en van g: x |→ cos x.
1 Plot de grafiek van f: x |→ sin x en de
numerieke benadering van de afgeleide functie
van f.
d
(sinxx)?
Wat vermoed je voor (sin
)
dx
d
2 Wat vermoed je voor (cos
(cosxx)?
)
dx
3 Plot de numerieke benadering van de afgeleide functie van g: x |→ cos x. Klopt je vermoeden uit 2?
15
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
Afgeleiden van goniometrische basisfuncties
Hoofdstuk
• Afgeleide functie van de sinusfunctie
d
(sin x ) = cos x
dx
Bewijs
We bepalen de afgeleide functie van f: x |→ sin x met de limietdefinitie van
afgeleide.
f( x ) – f(a)
x →a
x–a
sin x – sin a
= lim
x →a
x–a
x–a
x+a
cos
2 sin
2
2
= lim
x →a
x–a
x–a
sin
2 lim cos x + a
= lim
x – a x →a
x →a
2
2
x – a

sin

2  cos a
=  lim
x–a 
x →a


2 
f ’(a) = lim
x – a

sin

2  cos a
=  lim
x –a
x–a 
0
→
 2

2 
sin t 

=  lim
cos a
 t → 0 t 
= 1 cos a
= cos a
d
Bijgevolg is (sin x) = cos x.
dx
16
onbepaaldheid 0 , teller ontbinden in factoren met
0
een formule van Simpson
rekenregel limieten
de cosinusfunctie is continu dus x+a
x + a

lim cos
= cos  lim
 = cos a

x →a
x →a
2
2 
x Æ a ¤ x-a
Æ0
2
stel x - a = t
2
bijzondere limiet
■
Afgeleiden
1
Hoofdstuk
• Afgeleide functie van de cosinusfunctie
d
(cos
(cos x)
x ) == -–sin
sinxx
dx
Dit kan op analoge manier bewezen worden als de afgeleide van de sinusfunctie
(zie opdracht 8).
• Afgeleide functie van de tangensfunctie
d
1
(tan
(cos x)
x ) == – sin
x
dx
cos2 x
Bewijs
sin x
, kunnen we met de quotiëntregel de afgeleide van de
cos x
tangensfunctie bepalen.
d
d  sin x 
( tan x ) = 

dx
dx  cos x 
d
d
cos x (sin x ) – sin x (cos x )
dx
dx
=
2
cos x
cos x cos x – sin x (– sin x )
=
cos 2 x
cos 2 x + sin2 x
=
cos 2 x
1
=
cos 2 x
Aangezien tan x =
■
• Afgeleide functie van de cotangensfunctie
d
1
(cot x ) = – 2
dx
sin x
Dit kan op analoge manier bewezen worden als de afgeleide van de tangensfunctie
(zie opdracht 8).
17
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
Hoofdstuk
1
• We kunnen de gevonden formules nu combineren met andere formules en
rekenregels voor afgeleiden.
Voorbeeld
d  sin x 
 =

dx  1 + cos x 
=
=
=
=
8
9
Verwerking
Bewijs
d
1
(cos x ) = –sin x
dx
Bereken
d
1
(3 sin x – 2 tan x )
dx
2
18
d
d
(sin x ) – sin x (1 + cos x )
dx
dx
2
(1 + cos x )
(1 + cos x ) cos x – sin x ( –sin x )
(1 + cos x )2
cos x + cos 2 x + sin2 x
(1 + cos x )2
cos x + 1
(1 + cos x)2
1
1 + cos x
(1 + cos x ) d
(cos3 x )
dx
2
d
1
(cot x ) = – 2
dx
sin x
3
d
(2x cos x )
dx
4
d  1 – sin x 


dx  1 + sin x 
Afgeleiden
1.1.4 Afgeleiden van samengestelde functies
1
Hoofdstuk
Afgeleiden van samengestelde functies
• Inleidende voorbeelden
Voorbeeld 1
Gegeven de functie met voorschrift h(x) = sin4 x = (sin x)4.
We kunnen de functie h beschouwen als een ketting van twee aan elkaar
geschakelde functies f en g. Dit wordt duidelijk als we de hulpvariabele u invoeren
en stellen dat f(x) = sin x = u en g(u) = u4.
h is dan de samengestelde functie van f en g en we noteren h(x) = g(f(x)) = ( g ° f)(x).
Schematisch:
h=g°f
f
g
g(u) = u4
f(x) = sin x = u
x
We kunnen de afgeleide van h met de machtregel berekenen:
h’(x) = 4 sin3 x ? cos x
Vergelijken we dit met de afgeleiden van de aparte schakels f’(x) = cos x en g’(u) = 4u3 = 4 sin3 x, dan kunnen we schrijven dat
h’(x) = g’(u) ? f’(x) of
(g ° f)’(x) = g’( f(x)) ? f’(x)
h
f
g(f(x)) = (sin x)4 = u4
f(x) = sin x = u
x
h’(x) =
g
cos x
?
4 ? u3
f’(x)
?
g’(f(x))
Stellen we u = sin x en y = u4, dan is y = sin4 x en noteren we met de Leibniznotatie:
dy
d
du dy du
= 4u3 cos x = (u4 ) = dx
du
dx du dx
19
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
Voorbeeld 2
Hoofdstuk
Gegeven de functie met voorschrift h(x) = sin 2x = 2 sin x cos x.
We kunnen de afgeleide van h met de productregel berekenen:
h’(x) = 2 sin x ? (– sin x) + 2 cos x ? cos x
= 2 (cos2 x – sin2 x)
= 2 ? cos 2x
We kunnen h ook beschouwen als een samengestelde functie met als schakels f(x) = 2x = u en g(u) = sin u.
Er geldt dan: f’(x) = 2 en g’(u) = cos u.
Hiermee kunnen we h’(x) schrijven als
h’(x) = f’(x) ? g’(u) = g’(f(x)) ? f’(x)
We vinden dezelfde formule terug als in het eerste voorbeeld.
Schematisch:
h
f
x
h’(x) =
g
f(x) = 2x = u
g(f(x)) = sin 2x = sin u
2
?
cos u
f’(x)
?
g’(f(x))
Stellen we u = 2x en y = sin u, zodat y = sin 2x, dan schrijven we met de
Leibniznotatie:
dy
d
du dy du
= cos u 2 = (sin u) = dx
du
dx du dx
• De kettingregel
Als f en g twee afleidbare functies zijn en g ° f is de samengestelde functie van f en g, dan is g ° f afleidbaar en ( g ° f)’(x) = g’(f(x)) ? f’(x)
Omdat we bij het afleiden van een samengestelde functie de aparte schakels van
de ketting moeten afleiden, noemen we deze formule ook de kettingregel.
Stellen we u = f(x) en y = g(u) = g(f(x)), dan wordt deze uitdrukking met de
Leibniznotatie: dy dy du
= dx du dx
20
Afgeleiden
1
Hoofdstuk
Deze laatste notatie is gemakkelijk te onthouden, omdat we hier een analogie zien met het vereenvoudigen van breuken. Vergeet echter niet dat de uitdrukkingen
dy dy du
, en niet beschouwd mogen worden als echte quotiënten.
dx du dx
Het bewijs van de kettingregel valt buiten het bestek van dit handboek.
• De kettingregel toepassen
– Voorbeeld 1
dy
du
du
dx
d
1
sin( x + 3)
cos ( x + 3) = –sin u =–
dx
2 x
2 x
u= x +3
x
y = cos u
We kunnen ook ‘van buiten naar binnen’ afleiden, waarbij we eerst de buitenste
functie afleiden en pas in de tweede stap de binnenste functie(s) afleiden.
We noteren dan:
d
d
cos ( x + 3) = – sin( x + 3) ( x + 3)
dx
dx
1
= – sin( x + 3) 2 x
=–
sin( x + 3)
2 x
– Voorbeeld 2
d
tan 3 ( x2 + 1)]
[
dx
De functie met voorschrift y = tan 3 ( x2 + 1) = [ tan(x2 + 1)] kan opgesplitst
worden in drie schakels.
3
u = x2 + 1
x
du
= 2x
dx
v = tan u
1
dv
= 2
du cos u
y = v3
dy
= 3v2
dv
21
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
Hoofdstuk
1
dy
dv
dv
du
du
dx
1
d
tan 3 ( x2 + 1)] = 3 v 2 2 2 x
[
dx
cos u
= 3 tan 2 ( x2 + 1) =
1
2x
cos 2 ( x2 + 1)
6 x sin2 ( x2 + 1)
cos4 ( x2 + 1)
Van de buitenste naar de binnenste functie afleiden geeft:
d
d
tan3 ( x2 + 1)] = 3 tan2 ( x2 + 1) [ tan (x2 + 1)]
[
dx
dx
1
d
= 3 tan2 (x2 + 1) 2 2
( x 2 + 1)
cos ( x + 1) dx
1
= 3 tan2 ( x2 + 1) 2 2
2x
cos ( x + 1)
6 x sin2 ( x2 + 1)
=
cos 4 ( x2 + 1)
– Onthoud: stel u is een functie van x, dan geldt:
d
du
(sin u) = cos u dx
dx
d
du
(cos u) = – sin u dx
dx
d
1
du
( tan u) =
2
dx
cos u dx
d
1 du
(cot u) = – 2 dx
sin u dx
– Merk op dat de machtregel uit het 5e jaar een bijzonder geval is van de
kettingregel:
d n
du
(u ) = n u n – 1 dx
dx
22
Afgeleiden
10
11
1
Verwerking
Bereken
d
1
(sin 5 x )
dx
d
2
2
 cos 
dx
x
Bereken
d
1
 –2 x cos
dx 
Hoofdstuk
d
(cos(tan 2x ))
dx
d
4
(cot 2 4 x )
dx
3
x

4
2
d  sin2 x + 4 


dx  sin2 x 
p
12
Welke kromme met vergelijking y = a sin bx heeft als periode en heeft in de
2
oorsprong een helling gelijk aan 2?
13
Bereken met de gegevens in de tabel.
x
f(x)
f’(x)
2
1
6
8
4
–3
1 g’(2) met g(x) = [f(x)]3
2 h’(2) met h(x) = f(x3)
23
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1.1.5 Afgeleiden van cyclometrische functies
Hoofdstuk
1
Afgeleiden van cyclometrische functies
• Herhaling: de cyclometrische functies
1 Boogsinus
Definitie
 p
y = Bgsin x ¤ x = sin y met y Œ  – ,
 2
p
2 
De inverse functie van de sinusfunctie,
 p p
met het domein beperkt tot  – , ,
 2 2
is de boogsinusfunctie Bgsin.
E igenschappen van f: x |→ Bgsin x
y
y=x
2
1
p y = Bgsin x
−
2
–1
0
y = sin x
p
–1
– domein: [–1, 1]
−
 p p
– bereik:  – , 
 2 2
1
x
p
p
2
p
2
– nulpunt f: 0
– f is overal stijgend
2 Boogcosinus
Definitie
y = Bgcos x ¤ x = cos y met y Œ [0, p]
De inverse functie van de
cosinusfunctie, met het domein
beperkt tot [0, p], is de
boogcosinusfunctie Bgcos.
p y
y = Bgcos x
2
1
E igenschappen van f: x |→ Bgcos x
y = cos x
– domein: [–1, 1]
– bereik: [0, p]
– nulpunt f: 1
– f is overal dalend
24
y=x
p
p
− –1
2
0
–1
1
p
2
x
p
Afgeleiden
1
3 Boogtangens
Hoofdstuk
Definitie
 p p 
y = Bgtan x ¤ x = tan y met y Œ  – , 
 2 2 
De inverse functie van de tangensfunctie, met het domein beperkt tot
 p p 
 – 2 , 2 , is de boogtangensfunctie Bgtan.
E igenschappen van f: x |→ Bgtan x
– domein: R
 p p 
– bereik:  – , 
 2 2 
– nulpunt f: 0
– f is overal stijgend
p
p
– H.A.: y = en y = –
2
2
3
y= p
2
y
y=x
y = tan x
2
1
y = Bgtan x
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1
y=-p
2
–2
x=-p
2
–3
x= p
2
25
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
• Afgeleide van Bgsin x
Hoofdstuk
1
d
(Bgsin x ) =
dx
1 – x2
Bewijs
y = Bgsin x
(1)
definitie Bgsin
sin y = x
 p p
(2) met y Œ  – , 
 2 2
fl
gelijke functies hebben gelijke afgeleiden
d
d
(sin y ) = ( x )
dx
dx
fl
cos y kettingregel
dy
=1
dx
fl
dy
1
=
dx cos y
 p p 
p
opdat cos y π 0 moet y π ± , zodat y Œ  – , 
2
 2 2 
sin2 y + cos2 y = 1 fi cos y = ± 1 – sin2 y
fl
dy
1
=
dx
1 – sin2 y
fl
 p p 
voor y Œ  – ,  is cos y > 0, zodat cos y = 1 – sin2 y
 2 2 
(2)
dy
1
=
dx
1 – x2
fl
(1)
d
1
(Bgsin x ) =
dx
1 – x2
Merk op dat de boogsinusfunctie niet afleidbaar is in -1 en in 1.
26
■
Afgeleiden
1
• Afgeleide van Bgcos x
Hoofdstuk
d
1
(Bgcos x ) = –
dx
1 – x2
Het bewijs verloopt analoog als bij de boogsinusfunctie (zie opdracht 14).
• Afgeleide van Bgtan x
d
1
(Bgtan x ) =
dx
1 + x2
Bewijs
y = Bgtan x
(1)
definitie Bgtan
tan y = x
 p p 
(2) met y Œ  – , 
 2 2 
fl
gelijke functies hebben gelijke afgeleiden
d
d
( tan y ) = ( x )
dx
dx
fl
kettingregel
1
dy
=1
2
cos y dx
fl
dy
= cos2 y
dx
fl
1 + tan 2 y =
dy
1
=
dx 1 + tan 2 y
fl
1
1
fi cos 2 y =
1 + tan 2 y
cos 2 y
(2)
dy
1
=
dx
1 + x2
fl
d
1
(Bgtan x ) =
dx
1 + x2
(1)
■
27
1.1 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies
1
• Opmerking
Hoofdstuk
Door de kettingregel toe te passen, kunnen we ook andere cyclometrische functies
afleiden.
Voorbeeld
d
1
d 2
6x
Bgtan(3x2 – 5) =
x
(
3
–
5
)
=
1 + (3 x2 – 5)2 dx
9 x 4 – 30 x2 + 26
dx
Als u een functie is van x, dan geldt:
1
du
d
(Bgsin u) =
dx
1 – u2 dx
d
1
du
(Bgcos u) = –
dx
1 – u2 dx
d
du
1
(Bgtan u) =
dx
1 + u2 dx
14
15
28
Verwerking
Bewijs:
d
1 (Bgcos x ) = –
.
dx
1 – x2
Bereken.
d
1
[Bgcos(4x )]
dx
d
Bgsin(2 x2 – 3)
2
dx
d
 1 

 Bgtan 
dx
1+ x
d
4
x Bgsin x + 1 – x2
dx
3
(
)
Afgeleiden
1
We kennen
– de eigenschap over limieten van samengestelde functies en de insluitingsstelling
voor limieten
sin x
– het bewijs van de eigenschap lim
=1
x→0 x
– de afgeleide van sin x, cos x, tan x en de bewijzen ervan
Hoofdstuk
Studiewijzer: afgeleiden van goniometrische en cylometrische functies
– de formules voor de afgeleiden van de cyclometrische functies en de bewijzen ervan
– de kettingregel om samengestelde functies af te leiden
We kunnen
instap
– de eigenschappen van limieten
toepassen
2
– de formules voor de afgeleiden
van goniometrische basisfuncties
toepassen
7
– de kettingregel toepassen
– de formules voor de afgeleiden
van cyclometrische functies
toepassen
3
1e reeks
2e reeks
5
6
27
38
8
9
28
39
41
29
30
10
11
12
13
40
31
32
33
42
43
34
35
14
15
3e reeks
46
44
36
45
37
29
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
Hoofdstuk
1
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische
functies
1.2.1 E xponentiële en logaritmische functies
16
Instap
Begin 2014 bedroeg de wereldbevolking 7,2 miljard. De procentuele toename was
toen 1,3 % per jaar.
1 Met welk getal wordt de wereldbevolking elk jaar vermenigvuldigd bij een groei
van 1,3 % per jaar?
2 Indien we veronderstellen dat de wereldbevolking blijft groeien met 1,3 % per
jaar, wat is dan de wereldbevolking B (in miljard) in functie van de tijd t (in
jaar), gerekend vanaf 2014?
3 Hoeveel zal, volgens dit model, de wereldbevolking bedragen in 2024?
4 In welk jaar zal de wereldbevolking 20 miljard overschrijden?
Exponentiële en logaritmische functies
Heel wat verschijnselen in de natuur, de wetenschappen en in het dagelijks leven
kunnen beschreven worden met exponentiële groei. Voorbeelden van deze groei zijn de
bevolkingsevolutie, de toename van een kapitaal bij samengestelde intrest,
radioactief verval, celdeling ...
Exponentiële functies beschrijven deze groeiprocessen.
• E xponentiële groei
Een grootheid groeit exponentieel als
haar waarde per tijdseenheid met een
vaste groeifactor a vermenigvuldigd
wordt.
Bij een exponentieel groeiproces met b
als beginwaarde (op t = 0) en a als
groeifactor, kunnen we de waarde van de
grootheid na t tijdseenheden voorstellen
door de functie met voorschrift f(t) = b ? at.
30
+1
+1
+1
t
y
0
1
2
3
...
t
b
b?a
b ? a2
b ? a3
...
b ? a t
?a
?a
?a
Afgeleiden
1
Een functie met voorschrift f(x) = b ? ax (a > 0 en a π 1) noemen we een
y
5
exponentiële functie.
Hoofdstuk
• E xponentiële functies
y = 2 3x
4
In de meeste toepassingen is de
beginwaarde b positief.
y = 2 1,4x
3
E igenschappen van f: x |→ b ? ax met b > 0
2
–
–
–
–
domein: R
bereik: ]0, + •[
f heeft geen nulpunt
verloop: de functie is overal stijgend als
a > 1 en overal dalend als 0 < a < 1
– de x-as is horizontale asymptoot
y = 2 0,85x
1
–2
–1
x
 1
y=2 
 4 x
0
1
2
3
• Logaritmen
– Definitie
a
log x = y ¤ a y = x met a > 0 en a π 1
Het getal alog x is de macht waartoe we a moeten verheffen om x te verkrijgen.
– E igenschappen
1 alog(x1 ? x2) = alog x1 + alog x2
2 alog
x1 aa
= log
log x1 -– aalog
log x2
x2
3 alog (xn) = n ? alog x
4 blog x =
a
a
log x
log b
• Logaritmische functies
Een functie met voorschrift f(x) = alog x noemen we een logaritmische functie.
Er geldt: y = alog x ¤ a y = x zodat de functies
f: x |→ alog x en g: x |→ ax inverse functies
zijn.
In een orthonormaal assenstelsel zijn hun
grafieken elkaars spiegelbeeld om de rechte met vergelijking y = x.
y
y = 2x
6
y=x
4
y = 2log x
2
x
0
2
4
6
8
31
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
E igenschappen van f: x |→ alog x
Hoofdstuk
domein: ]0, +•[
bereik: R
nulpunt f: 1
verloop: de functie is overal stijgend als a > 1 en overal dalend als 0 < a < 1
– de y-as is verticale asymptoot
2
–
–
–
–
y
y = 2log x
y = 5log x
1
x
0
1
2
3
4
0,1
y = log x
–1
y = 0,5log x
–2
1.2.2 Afgeleiden van exponentiële functies
17
Instap
Gegeven de exponentiële functie f: x |→ 2x.
1 Hiernaast zie je de grafiek van f: x |→ 2x en
van de numerieke benadering van de
afgeleide functie f’.
30
Welk soort functie zal f’ vermoedelijk zijn?
6
–3
-5
2 Ga na of je vermoeden uit 1 door de tabel
bevestigd wordt.
3 Leid m.b.v. de tabel een mogelijk
voorschrift af voor f’.
Afgeleiden van exponentiële functies
• Afgeleide van een exponentiële functie
In opdracht 17 kwamen we tot het volgende vermoeden:
als f(x) = ax, dan is f’(x) = c ? ax
De afgeleide functie f’ en de functie f zouden dus recht evenredig zijn.
We verklaren nu de juistheid van dit vermoeden.
32
Afgeleiden
Hierbij formuleren we de limietdefinitie van
afgeleide enigszins anders dan hiervoor.
y
Hoofdstuk
f(x + D x)
De figuur verduidelijkt dit.
Stel f(x) = ax, dan is
D ff
D
ff ’(
’( xx )) =
= Dlim
lim
x→0 Dx
Dx → 0 D
x
+D
– ff(( xx ))
ff(( xx +
D xx )) –
=
lim
= Dlim
x→0
D
Dx → 0
D xx
x + Dx
a x + D x –– aa xx
a
lim
= lim
=
Dx → 0
D xx
Dx → 0
D
x
aa x aa DD xx –– aa xx
lim
= lim
=
Dx → 0
D xx
Dx → 0
D
aa DD xx –– 11
x
= lim
lim aa x D xlim
lim
=
→0
Dx → 0
D xx
Dx → 0
Dx → 0
D
a DD xx –– 11
x
x lim a
=
a
= a Dlim
x→0
D
Dx → 0
D xx
1
y = f(x)
Df
f(x)
Dx
x
0
x
x + Dx
rekenregel machten
rekenregel limieten
ax is onafhankelijk van D x, limiet van een constante
aD x – 1
a0 + D x – a0
= lim
= f ’(0),
Hierbij is lim
Dx → 0
Dx → 0
Dx
Dx
dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f voor x = 0. Omdat
de raaklijn aan de grafiek van een exponentiële functie nooit verticaal is, is f’(0)
een reëel getal, dat afhankelijk is van de groeifactor a. We noteren dit getal vanaf
nu dan ook als ca.
Besluit
aD x – 1
d x
x
(a ) = ca a met ca = f ’(0) = lim
Dx → 0
Dx
dx
De tabel hieronder geeft deze evenredigheidsfactor ca voor enkele waarden van a,
afgerond op 4 cijfers na de komma.
a
ca = lim
Dx → 0
aD x – 1
Dx
a
ca = lim
Dx → 0
aD x – 1
Dx
0,25
–1,3863
3
1,0986
0,5
–0,6931
3,5
1,2528
1,5
0,4055
4
1,3863
2
0,6931
4,5
1,5041
2,5
0,9163
5
1,6094
33
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
• Het getal e
Hoofdstuk
– Als f(x) = ax, dan is f’(x) = ca ? ax met ca = f’(0). De evenredigheidsconstante ca is
dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn
aan de grafiek van f in het snijpunt met de
y-as.
Als a toeneemt, wordt de grafiek van f
steiler in dit punt, zodat ook ca toeneemt.
a
aD x – 1
ca = lim
Dx → 0
Dx
2,5
0,9163
3
1,0986
2,7
0,9932
2,72
1,0006
Aangezien c2,5 < 1 en c3 > 1, lijkt het
2,718
0,9999
aannemelijk dat ergens bij een
groeifactor tussen 2,5 en 3 de evenredigheidsconstante ca gelijk zal zijn aan 1.
In dat geval hebben we het grondtal gevonden van een exponentiële functie die
zichzelf als afgeleide heeft!
Deze groeifactor, waarbij de evenredigheidsconstante ca gelijk is aan 1, noemen
we e.
De letter e is de eerste letter van Euler, die in de 18e eeuw deze notatie invoerde.
– Aangezien ca = lim
Dx → 0
aD x – 1
aD x – 1
ca ,=is lim
ca ª
voor kleine waarden van D x.
Dx → 0
Dx
Dx
Kiezen we bijvoorbeeld D x = 0,0001, dan is ca ª
a0,0001 – 1
en kunnen we het
0,0001
getal e als volgt benaderen:
1
e0,0001 – 1
ª 1 ¤ e0,0001 ª 1,0001 ¤ e ª 1,00010,0001 ª 2,7181
0,0001
– Om het getal e exact te definiëren, gaan we als volgt te werk.
aD x – 1
In het algemeen is ca = lim
.
Dx → 0
Dx eDx – 1
Bepalen we het grondtal e met ce = 1, dan zal Æ 1 als D x Æ 0.
Dx
D x
1
Dit betekent dat e – 1 Æ D x of e Æ (1 + D x ) als D x Æ 0.
Dx
1
Een exacte definitie van het getal e is dan e = lim (1 + D x ) of
Dx
Dx → 0
e = lim
x→0
1
(1 + x ) x
Men kan aantonen dat deze limiet bestaat en gelijk is aan 2,7182818284...
34
Afgeleiden
Er bestaan twee soorten irrationale getallen.
1 Getallen die een oplossing zijn van veeltermvergelijkingen met rationale
coëfficiënten.
Zo is bv. 2 een oplossing van x2 – 2 = 0 en 5 10 is een oplossing van x5 – 10 = 0.
1
Hoofdstuk
– Het getal e is, net zoals p en 2, een irrationaal getal en is dus niet als breuk te
schrijven.
We noemen deze getallen algebraïsche getallen.
2 Getallen die geen oplossing zijn van veeltermvergelijkingen met rationale
coëffiënten.
Deze getallen noemen we transcendent. In 1873 bewees de Franse wiskundige
Charles Hermite dat e een transcendent getal is. Ook p is een transcendent getal.
• Afgeleide van ex
– De afgeleide functie van f(x) = ex is f’(x) = ex of
d x
(e ) = e x
dx
De functie met voorschrift f(x) = ex is een functie die gelijk is aan haar
afgeleide functie. Dit maakt het getal e zo bijzonder.
Met de kettingregel kunnen we nu afgeleiden van samengestelde functies,
waarin ook de exponentiële functie met grondtal e voorkomt, berekenen.
d 2x + 1
d
(e
) = e2 x + 1 (2 x + 1) = 2e2 x + 1
dx
dx
d
(sin(e x )) = cos(e x ) d (e x ) = e x cos(e x )
dx
dx
Als u een functie is van x, dan geldt:
d u
du
(e ) = e u dx
dx
Opmerking
Een andere veelgebruikte notatie voor ex is exp(x).
35
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
Hoofdstuk
1
– De functie f: x |→ ex is een exponentiële functie met grondtal groter dan 1. De volgende eigenschappen gelden bijgevolg:
dom f = R
ber f = ]0, +•[
3
f heeft geen nulpunt
lim e x = + • en lim e x = 0
x → +•
y
4
y = ex
2
x → –•
f is overal stijgend
1
x
–3
–2
–1
0
1
• De natuurlijke logaritme
– De logaritme met grondtal e wordt de natuurlijke logaritme genoemd.
We noteren ‘ elog ’ als ‘ ln ’. Zo wordt elog 3 geschreven als ln 3.
e
ln x = log x
De afkorting ‘ ln ’ komt van het Latijnse ‘ logarithmus naturalis ’.
Met de definitie van logaritme vinden we:
y
y = ln x ¤ e = x
Hieruit volgen de formules:
ln ex = x
eln x = x
voor alle x Œ R
voor alle x Œ R0+
– De functie f: x |→ ln x is de inverse functie van g: x |→ ex.
f is een logaritmische functie met grondtal groter dan 1. De volgende eigenschappen gelden bijgevolg:
dom f = ]0, +•[
y
ber f = R
y = ex
3
e
nulpunt f: 1
y=x
2
lim ln x = + • en
x → +•
lim ln x = – •
y = ln x
1
x →0
>
f is overal stijgend
–1
0
–1
36
1
2
e
x
3
4
Afgeleiden
1
– Gebruik makend van de natuurlijke logaritme, vinden we nu een formule voor de
afgeleide van een exponentiële functie:
d x
(a ) = a x ln a
dx
Hoofdstuk
• Afgeleide van ax
Bewijs
x
d x
d
(a ) = ( eln( a ) )
dx
dx
d
= (e x ln a )
dx
d
= e x ln a ( x ln a)
dx
x
y = eln y
rekenregel logaritmen
kettingregel
= eln (a ) ln a
rekenregel logaritmen
= a x ln a
eln y = y
■
Op deze manier vinden we de evenredigheidsconstante ca uit de tabel op blz 33
terug: ca = ln a.
– Met de kettingregel kunnen we nu afgeleiden van samengestelde functies,
waarin ook exponentiële functies voorkomen, berekenen.
d
d x
1
3 x ln 3
x
(Bgsin(3 )) =
(3 ) =
dx
1 – 32x
1 – (3 x )2 dx
d cos x
d
(2 ) = 2cos x ln 2 (cos x ) = – 2cos x ln 2 sin x
dx
dx
Als u een functie is van x, dan geldt:
18
d u
du
(a ) = au ln a dx
dx
Verwerking
1
1 Bereken ln 1, ln e en ln zonder rekentoestel.
e
4
3
2 Bereken e , ln 10 en log e met je rekentoestel.
3 Hoe kun je 2log 5 met de ln-toets berekenen?
37
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
19
1 e3 ln 2
Hoofdstuk
1
Vereenvoudig zonder rekentoestel.
2 ln
20
1
e
3 eln 4 – 2 ln 3
4 ln e–2 ln 3
Los de volgende vergelijkingen op.
21
1 e2x = 5
3 ln(1 – 2x) = 1
2 e– x + 2 = 4
4 ln(3x – 5) = 0
Bereken
d x
cos 33x)
1
((ee ?cos
x)
dx
d x
2
 
dx  e x 
d sin 2x
(e )
dx
d
6
(2 Bgsin(e – x ))
dx
5
3
d 1–-3 x3x
(3
(3 ))
dx
7
d
(10 x )
dx
4
d
( x sin (2 x ))
dx
8
d  b x ln b 


dx  ln b
b 
1.2.3 Afgeleiden van logaritmische functies
Afgeleide van logaritmische functies
• Afgeleide van ln x
Door gebruik te maken van de kettingregel, kunnen we de afgeleide van ln x
bepalen uit die van ex.
38
d
1
(ln x ) =
dx
x
Afgeleiden
1
Bewijs
(1)
Hoofdstuk
y = ln x
definitie ln
ey = x
fl
(2)
gelijke functies hebben gelijke afgeleiden
d y
d
(e ) = ( x )
dx
dx
fl
ey kettingregel
dy
=1
dx
fl
dy 1
=
dx e y
fl
(1) en (2)
d
1
(ln x ) =
dx
x
■
• Afgeleide van alog x
Door alog x te schrijven als een natuurlijke logaritme, kunnen we de afgeleide ervan
bepalen.
d a
1
( log x ) =
dx
x ln a
Bewijs
d a
d  ln x 
( log x ) =  
dx
dx  ln a 
d 1

= 
ln x 


dx ln a
1 d
(ln x )
=
ln a dx
1 1
=
ln a x
1
=
x ln a
verandering van grondtal
1
is een constante
ln a
■
39
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
• Gebruik van de kettingregel: voorbeelden
Hoofdstuk
d
d
1
6x2
3
d  33 log(2 x33 ) = 31 d (2 x33 ) = 63x2 = 3
dx  log(2x ) = 2 x3 ln 3 dx(2 x ) = 2 x3 ln 3 = x ln 3
dx
2 x ln 3 dx
2 x ln 3 x ln 3
d
x
d  x
d 
x 
1
1
1
ln tan   =
 tan  =
 

x dx 
x
x dx  2 
dx  
2
2 
tan
tan
cos2
2
2
2
x
cos
1
1
2 1 1 =
=
=
x
x 2
x
x sin x
sin
cos2
2 sin cos
2
2
2
2
Als u een functie is van x, dan geldt:
d
1 du
(ln u) = dx
u dx
d a
1
du
( log u) =
dx
u ln a dx
• Afgeleide van een machtsfunctie
d
In het vijfde jaar hebben we gezien dat de regel ( x q ) = q x q – 1 geldt voor
dx
rationale exponenten q Œ T \ {0,1}.
We tonen nu aan dat deze regel algemeen geldt voor reële exponenten.
d r
( x ) = r x r – 1 met r Œ R \ {0,1} en x Œ R0+
dx
Bewijs
r
d r
d
( x ) = (eln x )
dx
dx
d
= (e r ln x )
dx
d
= e r ln x ( r ln x )
dx
1
= xr r x
= r xr –1
40
y = eln y
■
Afgeleiden
1
Hoofdstuk
Gevolg
Als u een functie is van x, dan geldt:
d r
du
(u ) = r u r – 1 dx
dx
• Afgeleide van f g
De functie met voorschrift y = x x is noch een exponentiële, noch een machtsfunctie
omdat zowel in het grondtal als in de exponent een variabele voorkomt. Hoewel x x
bestaat voor sommige x Œ R –, beperken we het domein tot R0+.
We kunnen de afgeleide ervan op een van de volgende manieren bepalen.
x
d x
d
ofwel
( x ) = (eln x )
dx
dx
d
= (e x ln x )
dx
d
= e x ln x ( x ln x )
dx
d 
 d
= x x  x (ln x ) + ln x ( x )
dx 
 dx
 1

= x x  x + ln x 
 x

= x x (1 + ln x)
y = x x (1)
fl
ln y = ln(x x) = x ln x
fl
d
d
(ln y ) = ( x ln x )
dx
dx
fl
1 dy
1
= x + ln x 1
x
y dx
fl
dy
= y (1 + ln x )
dx
fl (1)
d x
( x ) = x x (1 + ln x )
dx
Op een analoge manier kunnen we functies van de vorm f g afleiden waarbij zowel
het grondtal als de exponent variabel zijn.
41
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
Hoofdstuk
22
23
24
Verwerking
Bereken
d
1
ln ( x2 )]
[
dx
d 2
[ln x ]
2
dx
d
x2 – 1 
log

dx 
x 
d
2

4
ln x + x + 1 
dx
3
(
Bereken
d
1
[(1 – x )– p ]
dx
2
)
d sin x
(x )
dx
ln x
.
x
De rechte t gaat door de oorsprong en raakt de
 ln x 
grafiek van f in het punt P  x0 , 0  .
x0 

Gegeven de functie f: x |→
Bepaal x0.
1
y
t
P
0
–1
x0 2
ln x
y=
x
1
x
3
V 1.2.4 Differentiaalvergelijkingen
Differentiaalvergelijkingen
• Groeisnelheid in de wetenschappen
In de natuur komt het vaak voor dat de snelheid van verandering van een grootheid
(m.a.w. haar afgeleide) recht evenredig is met de grootheid zelf.
dy
We zeggen dat de groeisnelheid recht evenredig is met de grootheid y.
dt
dm
Zo is bij radioactief verval te beschouwen als de vervalsnelheid (de
dt
massaverandering per tijdseenheid) als m de massa voorstelt van de radioactieve
stof op het ogenblik t.
Uit metingen blijkt dat 42
dm
= k m.
dt
Afgeleiden
Als er twee keer zoveel radioactieve deeltjes zijn, zullen er ook twee keer meer
verdwijnen (vervallen) per tijdseenheid.
1
Hoofdstuk
De evenredigheidsconstante k verschilt van stof tot stof en is negatief, aangezien
de massa afneemt met de tijd.
• Functies die recht evenredig zijn met hun afgeleide
dy
= k y.
dx
dy
Omgekeerd kunnen we ook bewijzen dat elke functie waarvoor geldt = k y een
dx
exponentiële functie is met voorschrift y = b ? ekx.
Voor de functies met voorschrift y = b ? ekx geldt dat E igenschap
dy
= k y ¤ y = b ? ekx
dx
Bewijs
1 ‹
y = b ? ekx
dy
fi = b e kx k
dx
dy
fi = k y
dx
2 fi
dy
= k y
dx
e kx d y
  =
dx  e kx 
y
fi kx = b e
fi fi y = b ? ekx
dy
– y e kx k
e kx k y – y e kx k
dx
=
=0
(e kx )2
e2kx
■
We hebben hiermee aangetoond dat y = b ? ekx de enige functies zijn waarbij de
dy
afgeleide , dus de groeisnelheid, recht evenredig is met de functiewaarden.
dt
43
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
• Differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarbij een verband wordt gegeven
tussen een functie en haar afgeleiden en waarbij je een functievoorschrift moet
vinden dat aan die voorwaarde voldoet.
dy
Zo bijvoorbeeld is = 2 y een differentiaalvergelijking, die ook genoteerd wordt
dx
als y’ = 2 y.
De oplossingen zijn y = b ? e2x met b een willekeurig reëel getal.
Oplossingen van een differentiaalvergelijking zijn dus functies.
In het vorig punt toonden we aan dat de differentiaalvergelijking y’ = 2 y geen
andere oplossingen heeft dan y = b ? e2x.
• Differentiaalvergelijkingen in de wetenschappen
– Radioactief verval
Het massaverval van Xenon 133 verloopt volgens de differentiaalvergelijking
dm
= – 0,14 m waarbij de tijd t in dagen en de massa m in mg wordt gemeten.
dt
Stel dat voor t = 0 de massa 10 mg bedraagt.
dm
Uit = – 0,14 m volgt dat m(t) = b ? e–0,14 t en aangezien m(0) = 10, is b = 10.
dt
Bijgevolg is m(t) = 10 ? e–0,14 t.
We berekenen hiermee de halveringstijd, door t te bepalen waarbij m = 5:
10 ? e–0,14 t = 5
¤ e–0,14 t = 0,5
¤ –0,14t = ln 0,5
ln 0,5
¤ t = –
0,14
¤ t ª 4,95
De halveringstijd is ongeveer 4,95 dagen, wat ook op de grafiek te zien is.
44
Afgeleiden
m
8
1
Hoofdstuk
Na 4,95 dagen is er van de 10 mg nog 5 mg over; na 9,9 dagen nog 2,5 mg; na 14,85 dagen nog 1,25 mg …
m = 10e–0,14t
5
4
2,5
1,25
t
0
4 4,95
8
9,90
12
14,85
– Afkoelingswet van Newton
Volgens de afkoelingswet van Newton is de snelheid waarmee de temperatuur
van een warm voorwerp afneemt door vrije convectie evenredig met het
temperatuursverschil tussen het voorwerp en zijn omgeving.
dT
Dit proces wordt beschreven met de differentiaalvergelijking = k (T – T0 ).
dt
Hierbij is T de temperatuur van het voorwerp op tijdstip t, T0 is de
omgevingstemperatuur en k is een (voor afkoeling negatieve) experimenteel te
bepalen constante.
We kunnen het temperatuursverloop als volgt bepalen:
dT
= k (T – T0 )
dt
d(T – T0 )
dT0
¤ =0
= k (T – T0 )
dt
dt
¤ T – T0 = b ? ekt
¤ T = T0 + b ? ekt
45
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
1
Voorbeeld
Hoofdstuk
Een kom soep koelt op 2 minuten tijd af van 90°C tot 80°C in een kamer waar de
temperatuur 20°C is. Hoe lang duurt het voor de soep afgekoeld is tot 60°C ?
Oplossing
• Volgens de afkoelingswet van Newton is T = 20 + b ? ekt (T in °C en t in
minuten).
• b vinden we uit de beginwaarde: als t = 0 dan is T = 90.
Daaruit volgt 90 = 20 + b ? e0 ¤ b = 70.
Bijgevolg is T = 20 + 70 ? ekt.
• Als t = 2 dan is T = 80 zodat
20 + 70 ? ek ? 2 = 80
¤ e2k =
6
7
6
7
1 6
¤ k = ln ª -0,077
2 7
¤ 2k = ln
We vinden T = 20 + 70 e
 1 6
 ln  t
2 7
.
• Het tijdstip t waarop T = 60 bepalen we als volgt:
20 + 70 e
¤ e
 1 6
 ln  t
2 7
 1 6
 ln  t
2 7
=
= 60
4
7
4
 1 6
ln  t = ln
7
2 7
4
2 ln
7 ≈ 7,26
¤ t=
6
ln
7
¤ 

Het duurt ongeveer 7 minuten en 15 seconden vooraleer de soep is afgekoeld
van 90°C tot 60°C.
46
Afgeleiden
25
1
Verwerking
Hoofdstuk
De afkoelingswet van Newton geldt ook als een voorwerp koeler is dan de
omgeving.
1 Zoë neemt een kip uit de koelkast die een temperatuur heeft van 6°C en wil die
braden in een oven met een temperatuur van 200°C. Na 20 minuten is de
temperatuur van de kip opgelopen tot 160°C.
Schrijf de temperatuur T (in °C) van de kip in functie van de tijd t (in
minuten).
2 Na 45 minuten is de kip klaar. Welke temperatuur heeft ze dan?
26
Er is een vrouw vermoord in een hotel. De gerechtsdokter is aanwezig en stelt om
middernacht vast dat de lichaamstemperatuur van het slachtoffer nog 29,4°C is. Twee uur later meet hij de temperatuur opnieuw, nu is de temperatuur nog 27,3°C. De temperatuur van de kamer is constant 21°C. Veronderstel dat de vrouw geen
koorts had en dus een lichaamstemperatuur van 37°C had op het ogenblik van het
overlijden.
Bereken het vermoedelijke tijdstip van de moord.
Studiewijzer: afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
We kennen
– de definitie van het getal e en van de natuurlijke logaritme
– de afgeleide van ax, ln x, alog x en xr en de bewijzen ervan
V
– de eigenschappen van de functies met voorschrift y = ex en y = ln x
dy
– het bewijs van de eigenschap = k ? y ¤ y = b ? e kx
dx
We kunnen
instap
– de formules voor de afgeleiden
van exponentiële en
logaritmische functies toepassen
17
– rekenen met het getal e en de
natuurlijke logaritme
V
– vraagstukken over
differentiaalvergelijkingen in de
wetenschappen oplossen
1e reeks
2e reeks
3e reeks
70
72
71
73
21
22
48
23
24
49
50
52
60
61
53
54
55
62
64
65
66
58
59
18
19
47
51
25
26
57
20
63
56
67
69
68
74
47
Samenvatting
Samenvatting
Hoofdstuk
1
Het getal e en de natuurlijke logaritme
samenvatting
• Het getal e is het grondtal van de exponentiële functie die zichzelf als afgeleide
heeft.
e = lim (1 +
x→0
1
x) x
≈ 2,7182818 en d x
(e ) = e x
dx
De natuurlijke logaritme is de logaritme met grondtal e die we noteren als ln.
ln x = elog x
Er geldt:
ln e x = x voor alle x Œ R
eln x = x voor alle x Œ R0+
• De functies f: x |→ ex en g: x |→ ln x zijn inverse functies met eigenschappen:
– dom f = R = ber g
y
– ber f = ]0, +•[ = dom g
– f heeft geen nulpunten
nulpunt g: 1
x
x
x →0
>
– f en g zijn overal stijgend
48
y = ln x
1
x → –•
lim ln x = + • en lim ln x = – •
x → +•
y=x
2
– lim e = + • en lim e = 0
x → +•
y = ex
3
e
–1
0
–1
1
2
e
x
3
4
Afgeleiden
1
• Als f en g twee afleidbare functies zijn en g ° f is de samengestelde functie van f en
g, dan is g ° f afleidbaar en (g ° f)’(x) = g’(f(x)) ? f ’(x)
Omdat we bij het afleiden van een samengestelde functie de aparte schakels van
de ketting moeten afleiden, noemen we deze formule de kettingregel.
• Stellen we u = f(x) en y = g(u) = g(f(x)), dan wordt deze uitdrukking met de
Leibniznotatie: dy dy du
=
dx du dx
• Schematisch:
g°f
f
g
f(x) = u
x
samenvatting
Hoofdstuk
De kettingregel
g(u) = g(f(x)) = y
( g ° f)’(x) =
f’(x)
?
g’(f(x))
dy
=
dx
du
dx
?
dy
du
49
Samenvatting
1
Afgeleiden: formules
samenvatting
Hoofdstuk
50
basisfuncties
samengestelde functies
d
(sin x ) = cos x
dx
d
du
(sin u) = cos u dx
dx
d
(cos x ) = – sin x
dx
d
du
(cos u) = - sin u dx
dx
d
1
(tan x ) = 2
dx
cos x
d
1 du
(tan u) = 2 dx
cos u dx
d
1
(cot x ) = – 2
dx
sin x
d
1 du
(cot u) = – 2 dx
sin u dx
d
1
(Bgsin x ) =
dx
1 – x2
d
1
du
(Bgsin u) =
dx
1 – u2 dx
d
1
(Bgcos x ) = –
dx
1 – x2
d
1
du
(Bgcos u) = –
dx
1 – u2 dx
d
1
(Bgtan x ) =
dx
1 + x2
d
1
du
(Bgtan u) =
2
dx
1 + u dx
d x
(e ) = e x
dx
d u
du
(e ) = eu dx
dx
d x
(a ) = a x ln a
dx
d u
du
(a ) = au ln a dx
dx
d
1
(ln x ) =
dx
x
d
1 du
(ln u) = dx
u dx
d a
1
( log x ) =
dx
x ln a
d a
1 du
( log u) =
dx
u ln a dx
Afgeleiden
Opdrachten
27
Bereken
x2
4 lim
x → 0 1 – cos 2 x
2 x + sin 4 x
5 lim
x→0
x
sin 6 x
1 lim
x → 0 sin 8 x
x
2 lim
x → 0 tan x
3 lim
x→0
28
sin2 5 x
x2
opdrachten
EERSTE REEKS
1
Hoofdstuk
1.1 Afgeleiden van goniometrische en
cyclometrische functies
1

6 lim  x sin 
x→0 
x
Welke van de onderstaande mogelijkheden is de afgeleide van de functie met
sin x
voorschrift f( x ) =
?
cos x – sin x 1
1 – sin 2 x
–cos x
D
sin x + cos x
A
cos 2 x
1 – sin 2 x
cos x
E
sin x – cos x
B
C 1
(bron © Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur 2013)
29
30
Bereken
d  cos x 
1


dx  x 
2
d 3
( tan x )
dx
3
d
2
((sin
sin xx cos
? cosx2)x)
dx
d  cos x 


dx  2 – sin x 
d x
5


dx  sin x 
4
6
d
((x
x sin
x cos
x ) x)
? sin
x ? cos
dx
Voor welke x-waarden in het interval [0, 2p] heeft de grafiek van f: x |→ x + 2 sin x een horizontale raaklijn?
51
Opdrachten
Welk verband bestaat er tussen a en b als de grafieken van de functies f: x |→ sin ax en g: x |→ sin bx elkaar loodrecht snijden in de oorsprong?
32
Bereken
dd
1
sin(7xx++2)
2)]]
[[sin(7
dx
dx
dd
2
((55cos
cos22xx))
dx
dx
opdrachten
Hoofdstuk
1
31
3
dd
(( sin
sin44xx))
dx
dx
dd
cos((cos
cosxx))]]
[[cos
dx
dx
dd
5
cos
cos(sin
(sinxx22))]
[
dx
dx
34
19
( (
)
Bereken
d2
1
[sin(3 x2 )]
2
dx
dd  11
22 

 22 ––
dx
dx cos
cos xx
cos xx cos
d
( tan––44(3s + 1))
ds
––11
dd 
11  
14
cos aa ++
cos
 
ddaa 
sin
sinaa 
13
12
d2  1 


dx2  cos x 
35
Als f’(0) = 2, g(0) = 0 en g’(0) = 3, bereken dan (f ° g)’(0).
36
Bereken
d
5
1
 Bgtan 
dx
x
d
2
(Bgcos(2 – x ))
dx
3
37
))
dd  sin(
sin(xx22))++11 
10
dx
dx cos
cos((xx22))–– sin(
sin(xx22))
Bereken
dd
1
25
25 –– sin
sin33 qq
ddqq
dd  55pptt
55pptt
2
cos
sin 
++ sin
cos
dt
dt
33
33 
(
dd
sin(cot
cot 55xx))]]
[[sin(
dx
dx
dd
cos 11++ xx
cos
dx
dx
dd cos
cos 22xx
18


dx
xx 
dx
17
4
33
52
16
d
tan 4 x (Bgtan 4 x )2 )
(
dx
d
( Bgsin(sin x ) )
dx
d
15
(Bgsin x )3 )
(
dx
14
16
(
d
Bgtan x2 – 1
dx
)
d
x –1

Bepaal het reëel getal a als  Bgtan
+ a Bgtan x  = 0 voor elke x Œ R \ {–1}.

dx 
x +1
Afgeleiden
TWEEDE REEKS
Bereken.
tan x – x
1 lim
x→0
sin x
x→0
1 – cos 5x
cos 7x – 1
lim
opdrachten
2 lim
cos 2 x – cos x
x→0
sin2 x
1
x2 cos
x
14 lim
x → +• 4 x 2 + 1
13
d  sin x – x cos x  
.
dx  cos x + x sin x 
39
Bereken 40
Bereken de afgeleiden met de gegevens uit de tabel.
1
Hoofdstuk
38
x
f(x)
f’(x)
g(x)
g’(x)
2
3
–2
5
3
5
2
6
–4
1
1 F’(5) met F(x) = f( f(x))
2 G’(2) met G(x) = f( g(x))
3 H’(2) met H(x) = f(x2 + 1)
41
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die één of meerdere afgeleiden
van een onbekende functie bevat.
d2 y
Zo is 2 + y = 0 een voorbeeld van een differentiaalvergelijking, die we ook
dx
noteren als y” + y = 0.
1 Toon aan dat y = cos x en y = sin x oplossingen zijn van de
differentiaalvergelijking y” + y = 0.
2 Toon aan dat ook y = A sin x + B cos x, waarbij A en B willekeurige constanten
zijn, een oplossing is van de differentiaalvergelijking y” + y = 0.
3 Bepaal de constanten A en B zodanig dat de functie y = A sin x + B cos x een
oplossing is van de differentiaalvergelijking y” + y’ – 3y = cos x.
42
Voor welke waarde van a en b is y = x(a cos 2x + b sin 2x) een oplossing van de
differentiaalvergelijking y” + 4y = sin x cos x?
53
Opdrachten
1
een oplossing van de differentiaalvergelijking y” + y = 3y5 ?
cos 2 x
Toon aan met een berekening.
44
Bereken (f ° g)’(a).
1
1
1 f( x ) = 1 – , g( x ) =
, a = –1
1 – x x px
2 f( x ) = cot , g( x ) = 5 x , a = 1
10 1
1
3 f( x ) = x + 2 , g(x) = p x, a =
cos x 4
2x
4 f( x ) = 2
, g(x) = 10x2 + x + 1, a = 0
x + 1 45
Bereken opdrachten
Hoofdstuk
1
43
Is y =
d 2
x–a

+ ( x – a) 2ax – x2  met a > 0.
 a Bgsin

dx
a
DERDE REEKS
46
Impliciet afleiden
De meeste grafieken die we tot nog toe hebben ontmoet, worden beschreven met
een voorschrift waarbij één variabele expliciet wordt uitgedrukt als functie van
een andere variabele zoals y = x cos x, y = x2 – 4x + 3 of in het algemeen y = f(x).
Soms worden krommen echter impliciet gedefinieerd met een verband tussen x en y.
Zo zijn x2 + y2 = 25 (1)
en x3 + y3 = 12 x y (2)
voorbeelden van impliciete voorschriften.
y
5
y
5
x2 + y 2 = 25
x
–5
0
5
x
–5
0
5
x3 + y 3 = 12 xy
–5
54
–5
Afgeleiden
1
y = ± 25 – x2 .
Voorbeeld 1
dy
Om te bepalen als x2 + y2 = 25, kunnen we beide leden afleiden zonder y in
dx
functie van x te schrijven:
x2 + y2 = 25
d
d
fi ( x 2 + y 2 ) = (25)
dx
dx
d
d
fi ( x 2 ) + ( y 2 ) = 0
dx
dx
dy
fi 2 x + 2 y =0
dx
dy
x
fi =–
dx
y
opdrachten
Bij (2) is het niet meer zo eenvoudig om y in functie van x uit te drukken.
Gelukkig is het niet nodig om y te expliciteren als functie van x om de afgeleide
van y naar x te kunnen berekenen, zoals in de onderstaande voorbeelden
geïllustreerd wordt.
Hoofdstuk
Soms is het mogelijk om y in functie van x uit te drukken. Zo volgt uit (1) dat
y is impliciet een functie van x dus passen we de kettingregel toe
Deze manier om afgeleiden te berekenen noemen we de methode van het impliciet
afleiden.
Impliciet afleiden is bijzonder handig als het moeilijk of onmogelijk is om y
expliciet uit te drukken in functie van x.
Voorbeeld 2
dy
Gegeven de kromme k ´ x3 + y3 = 12 x y (2). Bereken en bepaal een
dx
vergelijking van de raaklijn t aan k in het punt P(6, 6).
Oplossing
Beide leden van (2) afleiden geeft
d 3
d
( x + y 3 ) = (12 x y )
dx
dx
d
d
d
d
fi ( x 3 ) + ( y 3 ) = 12 x ( y ) + 12 y ( x )
dx
dx
dx
dx
dy
dy
fi 3 x 2 + 3 y 2
= 12 x + 12 y
dx
dx
55
Opdrachten
1
fi (3 y 2 – 12 x )
opdrachten
Hoofdstuk
fi dy
= 12 y – 3 x2
dx
dy 4 y – x2
=
dx y 2 – 4 x
fi rico t =
4 6 – 62
dy
= –1
= 2
dx (6, 6) 6 – 4 6
Een vergelijking van de raaklijn t aan k in het punt P is
y – 6 = –(x – 6) of y = –x + 12.
De kromme k ´ x3 + y3 = 12xy wordt een folium van Descartes genoemd.
8
y
P
6
k
4
t
2
x
–4
–2
0
2
4
6
8
10
12
–2
dy
1 Bereken door impliciet afleiden.
dx
a 3x2 – y2 = 6
d (x – 2) y3 = x + 2
b x = cos 2y
e xy = tan(2xy)
c 2xy + y2 = x + y
f Bgtan(x + y) = x
2 Bereken de helling van de
hyperbool h ´ x2 – xy – y2 = 2
in de snijpunten van h met de
x-as.
h
2
y
1
x
–3
–2
–1
0
–1
–2
56
1
2
3
Afgeleiden
1
Hoofdstuk
3 In de figuur is de grafiek getekend van de kromme met vergelijking
 p p
x sin 2y = y cos 2x met de raaklijn t in het punt P  ,  .
 4 2
Bepaal een vergelijking van t.
y
opdrachten
t
5
4
3
2
x sin 2y = y cos 2x
 p p
P , 
 4 2
1
x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
4 Bepaal exacte vergelijkingen van de horizontale raaklijnen aan de kromme k
met vergelijking y3 = 4( y – x2 – xy).
y
2
1
x
–2
–1
0
1
2
3
4
–1
–2
k
–3
57
Opdrachten
Hoofdstuk
1
1.2 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische
functies
opdrachten
EERSTE REEKS
47
Vereenvoudig.
1 ln e –ln e
48
8
14 ln 3 e4
2 e –2 ln 5
15 eln a + ln b
3 e4 ln
16 ec ln a – d ln b
2
Een bacteriecultuur groeit exponentieel volgens de formule y = 4 et waarbij de
tijd t wordt gemeten in uren en y de hoeveelheid bacteriën voorstelt.
dy
1 Toon aan dat = y.
dt
Wat betekent dit voor de groei van de bacteriecultuur?
2 Hoe snel groeit de cultuur op het moment dat ze 1000 bacteriën telt?
49
Bereken
d
(sin x e x )
1
dx
d 5x – 1
(5 e
)
2
dx
d x –x
(e – e )
3
dx
d  e2 x – 1 
4


dx  2e x 
50
1
d  1 –x 
e
15


dx  x
( )
x
d
a 2b
16
dx
d cos x
(3 )
dx
d
18
(sin(e – x ))
dx
17
1 In welk punt van de grafiek van f : x |→ 1 + 2ex – 3x is de raaklijn t evenwijdig
met de rechte r ´ 3x – y = 5?
2 Bepaal een vergelijking van t.
51
Een besmettelijke ziekte breekt uit in een geïsoleerd stadje met 2000 inwoners.
Wetenschappers hebben de volgende formule opgesteld die het aantal personen
2000
geeft dat t dagen na het uitbreken van de ziekte besmet is: N(t ) =
.
1 + 1999e –0,2t
Bereken na hoeveel dagen de helft van de bevolking besmet is.
58
Afgeleiden
Bereken
d ( 1+ 2 )
x
1
dx
d
(sin x )ln 3 ]
[
2
dx
d 2
( x ln x )
dx
d
((ln(ln
ln (ln xx))
))
16
dx
d 2
( log(7 – x3 ))
17
dx
d
1
3
18
log x – log 
dx
x
15
d ln x
(x )
dx
d 2x + 1
(x
)
14
dx
13
54
Voor welke waarden van m is y = emx een oplossing van de differentiaalvergelijking y” + 5y’ – 6y = 0?
55
Toon aan dat y = sin(ln x ) een oplossing is van de differentiaalvergelijking
1
x2 y” + x y ’ + y = 0.
4
56
Het verval van het radioactief element Polonium 218 verloopt volgens de
dm
differentiaalvergelijking = – 0,227 m.
dt
Daarbij wordt de tijd t in minuten en de massa m in mg gemeten. 1
opdrachten
53
Bereken
d
(ln(3 x + 7))
1
dx
d
(ln(cos x ))
2
dx
d 4
(ln x )
3
dx
d  ln 2 x 
4


dx  x 
Hoofdstuk
52
Stel dat voor t = 0 de massa m0 bedraagt.
1 Geef het voorschrift voor m in functie van t.
2 Bereken de halveringstijd.
3 Op welk tijdstip is nog 10 % van de beginmassa aanwezig?
57
Een radioactief isotoop heeft een halveringstijd van 16 dagen. Je wenst na 30
dagen 30 g van het isotoop over te houden.
Welke hoeveelheid moet je dan aanvankelijk hebben?
59
Opdrachten
1
TWEEDE REEKS
opdrachten
Hoofdstuk
58
59
Los de volgende vergelijkingen op.
1 e2x – 6ex + 8 = 0
14 e–2x – 3e–x = –2
2 e2x – 3ex = 0
15 ln2 x – 4 ln x – 5 = 0
3 2ex – 3e–x – 5 = 0
3
16 2 ln 2x – 5 = ln 2 x
Los de volgende stelsels op.
3 ln x – ln y = ln 1024
1 
3
2 ln x – ln y = 2 ln 2
e x ln y = 3
12  x
7e – 4 ln y = 17
60
Bereken het reëel getal k als y = e–2x(sin 2x + cos 2x) een oplossing is van de
differentiaalvergelijking y” + k y’ + 2k y = 0.
61
1 Voor welke waarden van x geldt de formule ln x2 = 2 ln x?
2 Pas het rechterlid van de formule aan zodat ze geldt voor alle x π 0.
62
Bepaal a zodanig dat de rechte l ´ y = 4x + a raakt aan de grafiek van de functie
f : x |→ e2x.
63
Voor welke waarde(n) van de reële parameter m is de functie
f : x |→ ln (m sin x + 3) gedefinieerd voor alle waarden van x?
64
1 

Bepaal k als y = cos x ln tan x +
 een oplossing is van de

cos x 
p
differentiaalvergelijking y” + y = k ? tan x als 0 < x < .
2
65
66
Bereken
d
((ln 2x )sin x )
1
dx
d
((sin 3x )2 – x )
2
dx
(
d
Bgtan ( x
dx
x
))
1
Bereken het rationaal getal q als y = 4 x e –2
differentiaalvergelijking x2 y” +
60
13
x
een oplossing is van de
3
y = x qe –2 x .
16
Afgeleiden
De stralingsintensiteit van radioactief materiaal kan verlaagd worden met behulp
van absorberend materiaal. Hiervoor geldt de absorptieformule I = I0 e–kx, waarin
I0 de stralingsintensiteit is vóór het binnendringen, I de stralingsintensiteit bij het
verlaten van het absorberend materiaal, x de dikte van het materiaal in mm en k
de absorptiecoëfficiënt.
x
 1 d
2 Toon aan dat de formule I = I0 e–kx kan geschreven worden als I = I0   .
 2
3 Lood heeft een halveringsdikte van 10 mm. Hoe dik moet een loden wand zijn
om de straling tot 1 % van de oorspronkelijke waarde terug te dringen?
4 Zelfde vraag als 3 voor beton met een halveringsdikte van 35 cm.
68
Als een geneesmiddel zoals penicilline voorgeschreven wordt, dan moet men dit
geneesmiddel 3 tot 4 keer per dag innemen. Een model waarmee we de
concentratie in functie van de tijd kunnen beschrijven, staat bekend onder de
naam ‘Rustogi’-model. In dit model geldt dat de hoeveelheid (in mg) van een
geneesmiddel in de bloedsomloop t uren na toediening van een dosis van A mg
gegeven wordt door de formule x = Ae
–
opdrachten
1 Bereken de halveringsdikte d, dit is de dikte die nodig is om de
stralingsintensiteit te halveren, in functie van k.
1
Hoofdstuk
67
t
8.
Veronderstel dat elke 8 uur een dosis van 10 mg wordt toegediend.
1 Schets de grafiek van x in functie van t gedurende de eerste 8 uur.
2 Een nieuwe dosis van 10 mg wordt toegediend op tijdstip t = 8, daardoor
krijgen we een nieuwe waarde voor A die we de effectieve dosis noemen op dit
tijdstip. Vervolledig de grafiek nu voor 8 < t < 16.
3 Herneem stap 2 en ga na hoe de hoeveelheid van het geneesmiddel varieert
gedurende de eerste 32 uur.
4 Toon aan dat de maximale hoeveelheid van het geneesmiddel nadert tot
10e 10e
mg
≈ 16≈mg
16 mg.
e – e1 – 1
5 In ziekenhuizen, waar het van belang is dat de patiënt snel reageert op de
behandeling, zal een dokter vaak een eerste verhoogde dosis geven van 16 mg.
Ga na wat er gebeurt gedurende de eerste 32 uur indien de eerste dosis 16 mg
is en vervolgens om de 8 uur een bijkomende dosis van 10 mg wordt
toegediend.
(Deze methode wordt niet gebruikt voor geneesmiddelen die worden
voorgeschreven door de huisarts. Als na 8 uur nogmaals een dosis van 16 mg
zou genomen worden, dan zou de hoeveelheid 16 ? 1,6 mg = 25,6 mg worden,
met mogelijke gezondheidsrisico’s.)
61
Opdrachten
69
De snelheid van een raket bij
verticale lancering kan bij
benadering beschreven worden
door de volgende
differentiaalvergelijking: dv
dM
M + uuit = – M g (1)
dt
dt
opdrachten
Hoofdstuk
1
De raketvergelijking
Hierbij is M de totale massa (in kg) in functie van de tijd, v de snelheid (in m/s)
in functie van de tijd t, uuit de snelheid van de uitlaatgassen (in m/s) t.o.v. de
raket, g de valversnelling (9,81 m/s2) en t de tijd (in s).
In dit model wordt geen rekening gehouden met bv. de luchtweerstand of de
verandering van de valversnelling met toenemende hoogte. Deze blijken bij
lancering echter nauwelijks een invloed te hebben.
 M(0) 
1 Ga na dat v(t ) = uuit ln 
– g t een oplossing is van (1).
 M(t ) 
2 Van de lancering van de Saturnus V raket zijn de volgende gegevens bekend:
– beginmassa: M(0) = 2,5 ? 106 kg
– snelheid van de uitlaatgassen: uuit = 3000 m/s
– verbrandingssnelheid (van de brandstof): 1,6 ? 104 kg/s
– lanceringsduur: 120 s
a Reken na dat de raket aan het eind van de lancering nog maar 0,58 ? 106 kg
weegt.
Dit is M(120).
b Bereken de snelheid van de raket na 120 seconden.
DERDE REEKS
70
Bepaal a zodanig dat de grafieken van de functies f : x |→ ln | x | en
1
g : x |→ x2 + a elkaar raken.
8
Bepaal ook de coördinaten van de raakpunten.
71
Een kom met warm water van 46°C wordt in de koelkast gezet. Na 10 minuten is de
temperatuur van het water nog 39°C. Nogmaals 10 minuten later is de
temperatuur 33°C.
Bereken de temperatuur in de koelkast in de veronderstelling dat die constant
blijft.
62
Afgeleiden
13 y = x ex
2 y = e–kx
14 y = 2kx + xn
Logistische groei
Veronderstel dat P het aantal individuen in een populatie voorstelt, bv. de
wereldbevolking, het aantal uilen in België ...
dP
De verandering van de populatie veronderstellen we vaak recht evenredig met
dt
dP
de populatie op het tijdstip t, zodat we dan kunnen schrijven dat = k P (1)
dt
waarbij k > 0 indien de populatie toeneemt.
1
opdrachten
73
1 y = e–x
Hoofdstuk
72
dn y
Bepaal telkens een uitdrukking voor n .
dx
Dit model leidt echter tot exponentiële groei, wat op lange termijn niet houdbaar is.
Vaak is er voor een populatie een verzadigingsniveau door schaarste aan voedsel,
vervuiling, uitputting van de natuurlijke rijkdommen ... Als de populatie tot deze
maximale capaciteit M nadert, dan zal de groeisnelheid afnemen. Een model dat
hiermee rekening houdt, werd in 1840 door de Belgische wiskundige Pierre
François Verhulst voorgesteld: het ondertussen wereldwijd gebruikte logistiek
model. In dat model wordt de constante k uit (1) vervangen door een variabele
 P
factor die afneemt naarmate P dichter tot M nadert: k = c  1 –  waarbij c > 0.
 M
Het logistisch groeimodel wordt beschreven door de differentiaalvergelijking
dP
 P
= c  1 –  P (2)
 M dt
M
een oplossing is van de
1 + a e – ct
differentiaalvergelijking (2) (a is een constante).
1 Ga na dat P =
2 In een wildreservaat is er voldoende nestruimte
voor maximaal 330 arenden. We veronderstellen
dat de groei van de arendenkolonie logistisch
verloopt en dat de populatie gegeven wordt door
M
.
de formule P =
1 + a e – ct
Aanvankelijk waren er 30 arenden en na 5 jaar
worden er 90 geteld.
a Bepaal de constanten a, c en M.
b Plot de grafiek van de populatie P in functie van de tijd t zodanig dat de
typische S-vorm die hoort bij logistische groei in beeld komt.
c Na hoeveel jaar zullen er volgens dit model meer dan 300 arenden zijn?
63
Opdrachten
74
opdrachten
Hoofdstuk
1
België heeft regelmatig te maken met griepepidemieën. In het begin neemt het
aantal griepgevallen dan sterk toe en na verloop van tijd bereikt de epidemie
haar maximum.
Onderzoekers nemen aan dat het verloop van zo’n epidemie te beschrijven is met
logistische groei (waarbij men het aantal besmette personen cumuleert d.w.z.
dat men het totaal aantal personen die de griep hadden sinds het uitbreken van
de epidemie telt, ongeacht of ze al genezen zijn of niet).
Veronderstel dat op het moment dat de griep werd ontdekt al 100 personen
besmet waren en dat na 20 dagen dit (gecumuleerd) aantal al was opgelopen tot
1100.
Een onderzoeker beschrijft de groei van het aantal griepgevallen G op tijdstip t
(in dagen) met de differentiaalvergelijking dG
 G
= 0,12  1 –  G .
 M
dt
1 In het begin was de groei nagenoeg exponentieel. Ga na dat de factor 0,12 door de onderzoeker goed gekozen is.
2 De formule die het aantal griepgevallen weergeeft, is G =
Bereken de waarden van a en M.
M
.
1 + a e –0,12t
3 Bij welk aantal patiënten is volgens het model de stijging van het aantal
zieken het grootst?
Op welk tijdstip is dit?
64
Afgeleiden
Herhalingsopdrachten
1e reeks
76
2e reeks
77
78
75
79
80
82
83
81
Bereken
1
d
(3 cot (10x – 5))
dx
16
d
 x 
Bgcos 

 x + 1  
dx 
2
d
(sin 2xx cos
)
(sin
? cos3 x3x)
dx
17
d 4
(ln (sin x ))
dx
3
d  5  3x – 1  

tan 
dx 
4x  
18
d
1


dx  x(1 – ln x ) 
4
d
[sin (cos (3x – 1))]
dx
19
d
1 + 6x 
log

dx
1 – 6x 
d  (1 + x ) eBgtan x 
10

dx 
1 + x2 
d 1
x 3
5
Bgtan
dx  3
1 – x 2 
76
herhalingsopdrachten
75
1
Hoofdstuk
Studiewijzer
Veronderstel dat x en y reële getallen zijn die voldoen aan ex = 3e y.
Wat mag je besluiten over x en y?
A x = 3y
B x = y ln 3
D x = y + ln 3
E x = y3
C x = 3 + y
(bron © Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur 2013)
77
Tijdens het ademhalen verandert de luchtdruk in de longen. Voor een persoon in
rust geldt bij benadering p(t) = 20 sin (0,4pt), waarbij t de tijd is in seconden en p de druk in mm Hg.
1 Bepaal de periode van deze functie. Hoeveel maal ademt deze persoon in en
uit per minuut?
2 Bereken p’(2). Ademt de persoon op dat moment in of uit?
65
Herhalingsopdrachten
78
Hoofdstuk
1
Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat
moment wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S(t) = 200 – 180e–0,29t.
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf
15.00 uur.
herhalingsopdrachten
De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100°C. Zodra die temperatuur
bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur
constant gehouden.
In de figuur is de grafiek van S getekend.
1 Bereken hoe laat het opwarmen wordt
gestopt. Geef het tijdstip tot op 1 minuut
nauwkeurig.
S
100
80
60
40
20
0
2 Bereken met behulp van afgeleiden de
0
0,5
1,0
1,5
2,0
snelheid waarmee de temperatuur in
de sauna toeneemt om 16.00 uur.
Geef je antwoord tot op een tiende van een graad Celsius nauwkeurig.
2,5
t
3 Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang
de sauna nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule
gebruiken die t uitdrukt in S.
Druk t uit in functie van S.
(bron © examen 2006 VWO wiskunde B Nederland)
79
 x  .
Bereken met de gegevens uit de tabel als g(x) = f(x ? f(x)) en h(x) = f 
 2 
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
f(x)
1,7
1,8
2
2,5
3,1
4,4
f’(x)
-0,2
0
0,4
1
1,5
2,7
1 g’(1)
2 h’(8)
66
Afgeleiden
6
4
2
x
–4
–2
0
2
4
6
–2
–4
–6
V
1
y
81
ln2 x + ln(x y ) = 4
Bepaal alle oplossingen van het stelsel 
.
2
ln x + ln( y ) = 5
82
Een kop koffie heeft bij het inschenken een temperatuur van 75°C. De kamertemperatuur is 20°C.
herhalingsopdrachten
Bewijs dat alle grafieken van de
1
functies f : x |→ – x2 + k de
2
grafieken van g : x |→ ln x + m
loodrecht snijden, d.w.z. dat de
raaklijnen in elk snijpunt van beide
families functies loodrecht op
elkaar staan.
Hoofdstuk
80
Na 1 minuut is de temperatuur van de koffie gedaald tot 67°C.
1 Schrijf de temperatuur T (in °C) van de koffie in functie van de tijd t (in
minuten).
2 De koffie is pas drinkbaar als de temperatuur lager is dan 60°C.
Hoe lang moet je na het inschenken wachten om de koffie te kunnen drinken?
83
2a
 x
Bgtan   , met k en a constanten verschillend van 0, een
 k
k
2( x + a)
oplossing van de differentiaalvergelijking ( x + a) y” + x( y ’)2 = 2 2 ?
x +k
Verklaar met een berekening.
Is y = ln(x2 + k2 ) +
67
Hersenbrekers
Hersenbrekers
hersenbrekers
Hoofdstuk
1
1
In het getallenvierkant hiernaast staan positieve
getallen. Het product van de getallen in iedere rij,
iedere kolom en elk van de twee diagonalen is
steeds hetzelfde.
1
2
32
A
B
C
2
8
2
Welk getal staat op de plaats van H?
4
1
D
E
F
G
H
16
(bron © NWO tweede ronde 2013)
2
Twee cirkels raken elkaar en hun
gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen staan
loodrecht op elkaar zoals in de figuur.
De verhouding van de straal van de grote cirkel
tot die van de kleine cirkel is gelijk aan
A 2+3 2
B 5
D 3+2 2
E 6
C 2+2 3
(bron VWO © eerste ronde 2013)
3
Wat is het getal a als alog 10 + alog(102) + ... + alog(1010) = 110?
A
10
B e+1
C 10
D 20
E
1 1
1
1 + + + ... +
2
3
10
10
(bron © University of South Carolina High School Math Contest 2014)
68