PRACTICUM TRILLINGSKRINGEN onderdeel van het vak

versie 15/2/2013
PRACTICUM TRILLINGSKRINGEN
onderdeel van het vak “Trillingen en Golven”
1
Inleiding
In dit practicum worden experimenten gedaan aan elektrische trillingskringen, bestaande uit weerstanden, condensatoren en spoelen. De elektrische trillingskring fungeert als voorbeeld van een aangedreven, gedempte harmonische oscillator.
Enerzijds ligt de nadruk op het afleiden van overdrachtsfuncties G(ω) uit kennis
van de componenten van het systeem. Anderzijds zullen deze overdrachtsfuncties door
meting vastgelegd worden in de vorm van amplitude en fasekarakteristieken. De informatie uit deze overdrachtsfunctie kan worden gecomprimeerd in de begrippen resonantiefrequentie, kwaliteitsfactor en bandbreedte.
Energiedissipatie speelt een belangrijke rol. Afhankelijk van de dissipatie is de
aard van de staprespons (na de stap is de evenwichtswaarde van de oscillator plotseling
veranderd) een ongedempte trilling, een kruipende beweging naar de eindtoestand of
daar tussen: een zogenaamde gedempte oscillatie.
Als voorkennis dient voor dit practicum de stof uit de hoofdstukken 2 en 3 van de
syllabus beheerst te worden.
2
Stroomresonantie bij de LCR-serieschakeling
Als een spoel, een condensator en een weerstand gecombineerd worden in een elektrische schakeling ontstaat een zogenaamd tweede-orde systeem; het gedrag kan worden
beschreven door een tweede-orde lineaire differentiaalvergelijking (namelijk, die van
de aangedreven, gedempte harmonische oscillator). Kies als voorbeeld de serieschakeling van een weerstand, een condensator en een spoel, zie figuur 1.
Volgens Kirchhoff geldt:
Vi (t)
= VL (t) + VC (t) + VR (t)
Z
dI(t)
1
= L
+
I(t)dt + I(t)R
(1)
dt
C
d2 q(t) q(t)
dq(t)
= L
+
+R
dt2
C
dt
Dit is een tweede-orde differentiaalvergelijking zoals die uitgebreid in de syllabus is
besproken. De oplossing bestaat uit twee delen:
1
Figuur 1: Serieschakeling van een spoel, een condensator en een weerstand
• een particuliere oplossing. Deze beschrijft de gedwongen respons (”steady state”=
stationaire toestand) of asymptotische situatie.
• een homogene oplossing. Deze beschrijft het inschakelverschijnsel (”transient”),
de overblijfselen van de beginvoorwaarden.
In het volgende wordt een iets andere afleiding van de stationaire oplossing besproken
dan in de syllabus. Stel dat op de ingang van de schakeling de wisselspanning
Vi (t) = V0 cos ωt
(2)
wordt aangesloten. Overgaand op de complexe rekenwijze (waarbij we complexe
grootheden met een tilde, ˜ , aangeven) betekent een complexe ingangsspanning
Ṽi (t) = V0 eiωt .
(3)
Omdat de (complex-waardige) impedantie Z van een serieschakeling gelijk is aan de
som van die van de componenten, is
1
1
Z = R + iωL +
= R + i ωL −
(4)
iωC
ωC
Voor de complexe stroom volgt
Ṽi (t)
˜ = Ṽi (t) =
I(t)
Z
R + i ωL −
1
ωC
(5)
De amplitude I0 van I(t) is bij hoekfrequentie ω is dan
˜
I0 = |I(t)|
=
=
˜ (t)|
|V
i
R + i ωL − 1 ωC
V0
q
1 2
R2 + ωL − ωC
2
(6)
Figuur 2: Vectordiagram van een LCR-serieschakeling bij resonantie: |VL | = |VC |.
6VL = iω0 LI
-Vi = Vuit = IR
?VC = I/iω0 C
Hieruit volgt dat I0 maximaal is - vandaar de naam stroomresonantie - wanneer
ωL −
1
= 0,
ωC
dus bij de hoekfrequentie
1
(7)
LC
Hierin heet ω0 de resonantiehoekfrequentie. De bijbehorende frequentie ν0 = ω0 /2π
wordt de resonantiefrequentie genoemd.
ω0 = √
Experiment 1 (resonantiefrequentie)
Bouw de schakeling van figuur 1. Neem een zelfinductie L van ongeveer 1.0 H a 1.5 H
(afhankelijk van wat beschikbaar is), C = 47 nF en R = 1 kΩ. Neem de bronspanning als ingangssignaal en de spanning over weerstand als uitgangssignaal; deze is
evenredig met de stroom, immers: VR = IR. Bereken, alvorens te gaan meten, de
theoretische waarde van de resonantiefrequentie. Meet daarvoor eerst de waarde van
L en C met een LCR-meter. Meet ook de waarde van R na, en de weerstand van de
spoel. Bepaal de resonantiefrequentie met behulp van een oscilloscoop en eventueel
een digitale spanningsmeter. Hoe groot is het faseverschil tussen in- en uitgangssignaal bij deze frequentie?
De amplitude van de maximale stroom is
I0,res =
V0
R
(8)
Het lijkt hier dus alsof de schakeling geen spoel en geen condensator bevat. Die zijn er
wel degelijk, maar de spanningen over de spoel en de condensator heffen elkaar op. Dit
kan men eenvoudig inzien met behulp van een vectordiagram, waarin de spanningen
bij resonantie zijn weergegeven, zie figuur 2. De spanningen
˜
ṼL (t) = iω0 LI(t)
3
en
˜
I(t)
iω0 C
zijn precies even groot, maar tegengesteld van richting, waardoor VL + VC = 0 en
Z = R. Wanneer de spanning over de weerstand als uitgangssignaal van de schakeling
wordt genomen, is de overdrachtsfunctie
ṼC (t) =
G(ω) =
˜
I(t)R
Ṽi (t)
R
1
R + i ωL − ωC
1
ωL
1
1 + i R − ωRC
=
=
(9)
waaruit voor de amplitude |G(ω)| en fase φ van G(ω), met G(ω) = |G(ω)|eiφ , volgt
|G(ω)| = q
1+
1
ωL
R
−
2
1
ωRC
(10)
en
ωL
1
−
.
(11)
ωRC
R
Bij ω0 is |G(ω0 )| maximaal: |G(ω0 )| = 1 en φ(ω0 ) = 0. De spanning over de weerstand is dus gelijk aan de ingangsspanning. De amplitude van de stroom is dan maximaal. Dat klopt met het vectordiagram: Vuit = Vi .
tan φ =
Afsnijfrequenties Als afsnijfrequenties worden de frequenties aangemerkt
waarbij
√
de verzwakking in vermogen (∝ |G(ω)|2 ) een factor 2 is: |G(ω)| = 1/ 2, (de maximale waarde van |G(ω)| is namelijk 1). Dit is het geval als
ωL
1
−
= ±1,
R
ωRC
zie (9). Dit zijn twee vierkantsvergelijkingen in ω. Oplossen van de vergelijking met
+1:
ω 2 LC − ωRC − 1 = 0
(12)
waaruit:
r
R
R
4L
ωb =
±
1+ 2
(13)
2L 2L
R C
Bij het opstellen van de vergelijking voor G(ω) is er vanuit gegaan dat ω positief is.
De negatieve waarde van de wortel vervalt daarom:
r
R
R
4L
ωb =
+
1+ 2
(14)
2L 2L
R C
Oplossen van de vierkantsvergelijking met −1 levert
r
R
R
4L
ωa = −
+
1+ 2
2L 2L
R C
4
(15)
Figuur 3: Amplitude- en fasekarakteristiek van een LCR-schakeling voor verschillende waarden van Q waarbij de spanning over de weerstand als uitgangsspanning
genomen is. De waarden van Q zijn 0.3, 1, 3 en 10.
0.5
φ/π (rad)
|G(ω)|
1
0.1
0.01
0.1
1
ω/ω0
0
-0.5
10
0.1
Beschouw het product van ωb en ωa :
R2
4L
1
ωb ωa =
−1
+
1
+
=
= ω02
4L2
R2 C
LC
1
ω/ω0
10
(16)
zie (7). Dus ωb /ω0 = ω0 /ωa , ofwel op een logaritmische schaal is de afstand ωb − ω0
gelijk aan de afstand ω0 − ωa .
Voor het verschil tussen de afsnijhoekfrequenties geldt
r
R
C 1
ω0
√
ωb − ωa =
=R
(17)
=
L
L LC
Q
waarin
r
1 L
Q=
(18)
R C
de kwaliteitsfactor wordt genoemd. Hoe groter de kwaliteitsfactor Q, des te dichter
bij elkaar liggen de hoekfrequenties ωb en ωa , dus des te scherper is de piek (zie figuur
3). De kwaliteitsfactor geeft dus aan hoe scherp de piek is. Het verschil ωb − ωa is de
bandbreedte (Engels: bandwidth) van de piek.
Opdracht 1
Bewijs dat bij de hoekfrequenties ωa en ωb de faseverschuiving φ tussen in en uitgangssignaal gelijk is aan +π/4 resp. −π/4. Aanwijzing: bedenk de formule voor G(ω) in dit
speciale geval en gebruik dan tan φ = ImG(ω)/ReG(ω)
In figuur 3 zijn |G(ω)| en φ voor verschillende waarden van Q weergegeven als
functie van ω/ω0 . Zo’n grafiek van |G(ω)| tegen ω of tegen ω/ω0 wordt een resonantiekromme genoemd. Dit systeem laat dus wisselspanningen in een bepaalde band
5
rond ω0 beter door dan de “overige frequenties”. Daarom kan men deze schakeling als
een bandfilter ofwel een banddoorlaatfilter gebruiken. De breedte van de doorgelaten
band wordt dus bepaald door Q:
∆ω = ωb − ωa =
ω0
Q
(19)
Experiment 2 (amplitude en fasekarakteristiek)
Gebruik de schakeling van het eerste experiment. Bereken, alvorens te gaan meten, de
theoretische waarde van Q. Meet daarvoor eerst de waarde van R op. (De waarden
van L en C zijn uit het vorige experiment bekend). Bekijk vervolgens het ingangssignaal samen met het uitgangssignaal op een oscilloscoop. Om problemen te voorkomen:
zorg dat het in- en uitgangssignaal een gemeenschappelijke aarding hebben.
Meet |G(ω)| en φ(ω) m.b.v. het programma In-Out. Importeer de data file in Origin (en delete de header uit de datalijst). Bekijk |G(ω)| en φ(ω) rond de resonantiefrequentie ω0 . Bepaal uit de grafiek zo nauwkeurig mogelijk ωb en ωa . Klopt de hieruit
bepaalde kwaliteitsfactor Q met de theoretische waarde? (Wat is de invloed van de
weerstandswaarde van de spoel en de uitgangsimpedantie van de functiegenerator?)
Bepaal de kwaliteitsfactor ook m.b.v. de oscilloscoop en ook m.b.v. een digitale
multimeter. Welke van de drie meetmethodes levert het nauwkeurigste resultaat op?
3
Spanningsresonantie bij de LCR-serieschakeling
De vorige sectie had betrekking op stroomresonantie. Het ingangssignaal van het systeem was een spanning en als uitgangssignaal werd de stroom in de keten beschouwd.
In het volgende wordt de spanning over de condensator als uitgangssignaal beschouwd.
Deze spanning is evenredig met de lading in de condensator. Er wordt gezocht naar
de frequentie waarbij deze spanning maximaal is, en daarmee de amplitude van de
oscillerende lading. Dit wordt aangeduid met spanningsresonantie. Het zal blijken
dat spanningsresonantie bij een andere frequentie optreedt dan stroomresonantie. Beschouw weer de LCR-schakeling van figuur 1), maar neem nu de spanning over de
condensator als uitgangssignaal.
Dan is
G(ω) =
Ṽuit (t)
Ṽi (t)
1/iωC
1/iωC + R + iωL
1
1 + iωRC − ω 2 LC
=
=
(20)
Het is gebruikelijk de relaties die bij stroomresonantie zijn gevonden, in deze uitdrukking te verwerken om het verschil te accentueren en om gemakkelijker de relatie naar
stroomresonantie in te zien. Invullen van
LC =
6
1
ω02
en
RC =
LC
1
1
= 2
=
L/R
ω0 L/R
ω0 Q
geeft:
G(ω) =
1
1+
i ωω0 Q
−
ω2
ω02
.
(21)
Voor ω = ω0 is G(ω) = −iQ, dus |G(ω)| = Q en φ = −π/2.
De factor waarmee het sinusvormige ingangssignaal Vi (t) vermenigvuldigd wordt,
als ω = ω0 , is Q, de eerder genoemde kwaliteitsfactor. Op het eerste gezicht is het
misschien vreemd, dat er in de kring een spanning optreedt die groter is dan de ingangsspanning. In figuur 2 wordt getoond dat dit heel goed mogelijk is: VL en VC zijn
beide groter dan Vi , maar hun som is nul.
Opmerking: hoe kan het nu, dat de spanningen in de schakeling groter worden dan de ingangsspanning? De oorzaak ligt in de permanente toevoer van energie uit de spanningsbron die
op de schakeling is aangesloten. Per periode wordt in de weerstand een bepaalde hoeveelheid
energie afgestaan in de vorm van warmte. Deze hoeveelheid hangt af van de amplitude van de
stroom. Zolang per periode de toegevoerde energie meer bedraagt dan de afgestane energie, zal
de amplitude groeien.
Uit (21) volgen de amplitudeverhouding en de fasehoek:
|G(ω)| = h
1+
1
Q2
tan φ = −
1
2
−2 ω
+
ω2
0
ω/(ω0 Q)
1 − ω 2 /ω02
ω4
ω04
i1/2
(22)
(23)
In figuur 4 zijn |G(ω)| en φ voor verschillende waarden van Q uitgezet tegen ω/ω0 .
Opdracht 2 (asymptotisch gedrag op dubbel-logarithmische schaal)
Laat zien dat de krommen voor |G(ω)| voor hoge frequenties de asymptoot |G(ω)| =
ω02 /ω 2 naderen, zie formule (22). Laat ook zien dat bij lage frequenties de asymptoot
|G(ω)| = 1 is. De twee asymptoten snijden elkaar bij ω = ω0 . Ga dit na.
De factor Q is weer de grootheid die de vorm van de amplitudekarakteristiek bepaalt.
Hoe groter Q, des te scherper de piek. Naarmate Q lager is, verliest het systeem
steeds meer
√ zijn resonerend karakter. Voor Q = 1 is log |G(ω0 )| = 0. Wanneer
Q = 1/ 2 (≈ 0.707) heeft de functie zijn maximum bij ω = 0 en neemt hij monotoon af. Het verloop lijkt dan op dat van een RC laagdoorlaatfilter met dien verstande
dat bij hoge frequenties |G(ω)| afneemt als ω02 /ω 2 in plaats van als ω0 /ω.
Uit (23) blijkt direct dat de faseverschuiving φ = −π/2 optreedt als ω = ω0 ,
onafhankelijk van de waarde van Q (zie ook figuur 4). Uit figuur 4 blijkt ook dat
de maximale waarde van |G(ω)| niet precies bij ω0 ligt. De frequentie waarbij het
maximum wél optreedt, volgt uit
d|G(ω)|
=0
dω
7
(24)
Figuur 4: Amplitude- en fasekarakteristiek van de LCR-schakeling voor verschillende waarden van Q waarbij de spanning over C als uitgangsspanning gekozen is. De
waarden van Q zijn weer 0.3, 1, 3 en 10.
10
0
|G(ω)|
φ/π (rad)
1
0.1
0.01
0.1
1
ω/ω0
-0.5
-1
10
0.1
1
ω/ω0
10
Bij deze frequentie treedt de zogenaamde spanningsresonantie op. De hoekfrequentie
waarbij dit plaats vindt noemen we ωr . Hij volgt uit (24):
ωr2 = ω02 −
ω02
2Q2
(25)
Voor grote waarden van Q is ωr ≈ ω0 . Ook dit systeem kan gebruikt worden om
signalen te bewerken: componenten met hoge frequenties (ten opzichte van ω0 ) worden
verzwakt, componenten met lage frequenties worden doorgelaten en het gedrag van
componenten met frequenties in de buurt van ω0 hangt af van Q. De schakeling kan
men dus gebruiken als filter.
Experiment 3 (laagdoorlatende LCR schakeling)
Bouw met de spoel L, de condensator C en de weerstand R van het vorige experiment
een laagdoorlatend filter, waarbij de spanning over de condensator wordt afgenomen.
Sluit op de ingang een functiegenerator aan en meet het in- en uitgangssignaal. Zorg
weer voor gemeenschappelijke aarding van het in- en uitgangssignaal.
Bepaal |G(ω)| en φ(ω) als functie van de hoekfrequentie m.b.v. het programma
In-Out. Importeer de data in Origin en maak daarin de bijbehorende grafieken voor
|G(ω)| en φ(ω). Kloppen de uit de grafieken bepaalde waarden van ωr en ∆ω (binnen
de foutenschatting) met de theoretische waarde? Klopt de hieruit bepaalde waard van
Q met de theoretische waarde?
Opdracht 3
Laat met behulp van (22) zien, dat de functie |G(ω)| voor ω > 0 net geen maximum
√
meer heeft en monotoon afneemt, als Q = 1/ 2.
8
4
Vrije gedempte trillingen
De oplossing van de differentiaalvergelijking (1) voor het geval dat Vi (t) = 0, hangt
af van de beginvoorwaarden: lading en stroom (“uitwijking” en “snelheid”) op t = 0.
Voor niet te grote demping is de oplossing
q(t) = Ae−γt cos(ω1 t − β)
(26)
p
waarin γ = R/2L(= ω0 /2Q) en ω1 = ω02 − γ 2 .
Als de demping te groot is, zal de oscillator niet in staat zijn om trillingen uit te
voeren en vanuit zijn beginsituatie direct naar zijn eindtoestand gaan waarbij onderweg
alle aanwezige energie gedissipeerd wordt. Dit noemt men het kruipen van de oscillator. Het grensgeval tussen trillen en kruipen treedt op voor γ = ω0 . Men zegt dan dat
de oscillator kritisch gedempt is. De uitwijking gaat dan relatief het snelst terug naar
nul.
Experiment 4 (staprespons van de gedempte oscillator)
Gebruik dezelfde LCR-serieschakeling als bij de voorgaande experimenten. Kies als
ingangssignaal een blokspanning van circa 25 Hz. Gebruik deze spanning ook om de
oscilloscoop te triggeren. Bekijk de spanning over de condensator en maak een grafiek
van het resultaat met behulp van het programma Monitor.
Importeer de data file in Origin en bepaal de frequentie van de oscillatie door de
duur van trillingsperiodes te meten.
Maak nu een minder sterk gedempte trilling. Pas voor een goede zichtbaarheid
eventueel de frequentie van de blokvormige spanning aan. Bepaal weer m.b.v. Origin
de oscillatiefrequentie. Bepaal ook γ door vgl (26) op de data te fitten. Klopt de
uitkomst met de waarden van de gebruikte componenten? Zoek de oorzaak van een
eventueel verschil.
Experiment 5 (kritische demping)
Gebruik de schakeling van het voorgaande experiment. Neem voor de weerstand een
variabele weerstand met een maximum waarde van 47 kΩ. Variëer deze en bekijk
hdet gedrag van de oscillator bij lage demping en bij hoge demping (kruipen). Stel de
weerstand ook zo in, dat kritische demping optreedt. Maak van alle drie de situaties een
karakteristieke grafiek met behulp van het programma Monitor en/of Origin. Bepaal
de waarde van de weerstand waarbij kritische demping optreedt en vergelijk die met
de theoretische waarde.
5
Terugblik en afsluitende opdrachten
De LCR-serieschakeling werd op twee aspecten onderzocht: de stroom door de keten
en de spanning over de condensator. Voor zowel stroom als voor condensatorspanning
is er een maximum (resonantie), in het eerste geval bij ω0 , in het tweede geval — zo
deze optreedt — bij ωr . De stroom kan maximaal Vi /R worden. De spanning kan
echter vele malen groter worden dan de aangelegde spanning: ongeveer een factor Q.
9
Overigens zij nog vermeld dat er eveneens een maximum in de amplitudekarakteristiek optreedt met waarde Q als de spanning over de spoel wordt afgenomen. Het
systeem is dan een laagafsnijdend filter.
De volgende vaardigheden dienen te zijn geleerd:
1. van een LCR-serieschakeling nagaan welke eigenschappen die heeft, dat wil
zeggen: bij welke frequentie de resonantie ligt en waar de afsnijfrequenties liggen; verder de waarde van Q bepalen, en vaststellen of het om een hoog of een
laagafsnijdend, dan wel een bandfilter gaat.
2. een LCR-serieschakeling met gewenste eigenschappen ten aanzien van de amplitudekarakteristiek ontwerpen en bouwen.
Deze vaardigheden kunnen geoefend worden in het volgende experiment. NB: dit hoort
niet bij het verplichte practicum; alleen uitvoeren als er tijd over is!
Experiment 6 (een bandfilter)
Ontwerp een bandfilter met een Q van 5 en een resonantiefrequentie van 1 kHz, gebruik makend van een spoel met L = 1.5 H. Bouw het filter en bepaal de amplitudeen fasekarakteristiek. Ga na of het filter de gewenste eigenschappen heeft. Verklaar
eventuele afwijkingen.
Meet met een digitale meter de effectieve spanningen in de schakeling bij 500 Hz
en teken het vectordiagram.
Opdracht 4 (terugblik)
Ga na, wat in dit practicum geleerd is en formuleer dan een vraag, die over deze
stof gaat, maar die nog niet beantwoord is. Met andere woorden: welk theoretisch
of praktisch onderwerp zou naar aanleiding van dit practicum nog onderzocht moeten
worden?
Laatste wijziging: 15 februari 2013
10