TU Delft - a bird`s eye view

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
College 5
25 februari 2014
Challenge the future
1
Opbouw college
Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8
• Voor de pauze: hoofdstuk 1.7
• Na de pauze: hoofdstuk 1.8
Challenge the future
2
Verschillende notaties
De uitgebreide matrix
𝒂1
𝒂2
⋯
𝒂𝑛
𝒃
van een stelsel lineaire vergelijkingen heeft dezelfde oplossing
set als de vector vergelijking
𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝒃
en de matrix vergelijking
𝐴𝒙 = 𝒃.
Challenge the future
3
Inhomogeen & homogeen stelsel
• Een homogeen stelsel kan geschreven worden als 𝐴𝒙 = 𝟎 en
heeft altijd de triviale oplossing 𝒙 = 𝟎.
• De homogene vergelijking 𝐴𝒙 = 𝟎 heeft alleen een niet-triviale
oplossing als de vergelijking minstens één vrije variabele
heeft.
• Een oplossing van een stelsel kan worden beschreven door
een parametrische vectornotatie zoals 𝒙 = 𝒑 + 𝑠𝒖 + 𝑡𝒗.
• De oplossing van een inhomogeen stelsel 𝐴𝒙 = 𝒃 kan
geschreven worden in de vorm 𝒘 = 𝒑 + 𝒗ℎ waarbij 𝒑 een
oplossing is van 𝐴𝒙 = 𝒃 en 𝒗ℎ een oplossing is van 𝐴𝒙 = 𝟎.
Challenge the future
4
Lineaire (on)afhankelijkheid
• Het homogene stelsel 𝐴𝒙 = 𝟎 kan ook geschreven worden als
𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎.
Challenge the future
5
Lineaire (on)afhankelijkheid
• Het homogene stelsel 𝐴𝒙 = 𝟎 kan ook geschreven worden als
𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎.
• Vectoren 𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair onafhankelijk als de
vergelijking 𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 heeft.
Challenge the future
6
Lineaire (on)afhankelijkheid
• Het homogene stelsel 𝐴𝒙 = 𝟎 kan ook geschreven worden als
𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎.
• Vectoren 𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair onafhankelijk als de
vergelijking 𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 heeft.
• Vectoren 𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair afhankelijk als de
vergelijking 𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎 een oplossing heeft
met minstens één constante van 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ongelijk aan 0.
Challenge the future
7
Lineaire (on)afhankelijkheid
• Het homogene stelsel 𝐴𝒙 = 𝟎 kan ook geschreven worden als
𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎.
• Vectoren 𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair onafhankelijk als de
vergelijking 𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 heeft.
De kolommen van matrix 𝐴 zijn lineair onafhankelijk dan en
slechts dan als de matrix vergelijking 𝐴𝒙 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing heeft.
Challenge the future
8
Eén vector
Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk?
𝑥1 𝒗 = 𝟎
Challenge the future
9
Eén vector
Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk?
• 𝑥1 𝒗 = 𝟎 heeft alleen de triviale oplossing 𝑥1 = 0 als 𝒗 ≠ 𝟎.
• 𝑥1 𝒗 = 𝟎 heeft oneindig veel oplossingen als 𝒗 = 𝟎.
Challenge the future
10
Eén vector
Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk?
• 𝑥1 𝒗 = 𝟎 heeft alleen de triviale oplossing 𝑥1 = 0 als 𝒗 ≠ 𝟎.
• 𝑥1 𝒗 = 𝟎 heeft oneindig veel oplossingen als 𝒗 = 𝟎.
Dus, een enkele vector 𝒗 is lineair onafhankelijk als 𝒗 ≠ 𝟎.
Challenge the future
11
Twee vectoren
Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk?
𝑥1 𝒗1 + 𝑥𝟐 𝒗2 = 𝟎
Challenge the future
12
Twee vectoren
Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk?
−𝑥𝟐
𝑥1 𝒗1 + 𝑥𝟐 𝒗2 = 𝟎 ⇒ 𝑥1 𝒗1 = −𝑥𝟐 𝒗2 ⇒ 𝒗1 =
𝒗2
𝑥𝟏
Challenge the future
13
Twee vectoren
Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk?
−𝑥𝟐
𝑥1 𝒗1 + 𝑥𝟐 𝒗2 = 𝟎 ⇒ 𝑥1 𝒗1 = −𝑥𝟐 𝒗2 ⇒ 𝒗1 =
𝒗2
𝑥𝟏
• Twee vectoren zijn lineair afhankelijk als de ene vector een
veelvoud van de andere vector is.
• Twee vectoren lineair onafhankelijk dan en slechts dan als de
ene vector niet een veelvoud van de andere vector is.
Challenge the future
14
Set van twee of meer vectoren
Stelling
Een set 𝑆 = 𝒗1 , … , 𝒗𝑛 is lineair afhankelijk dan en slechts dan
als tenminste één van de vectoren in 𝑆 een lineaire combinatie
is van de andere vectoren in 𝑆. In feite, als set 𝑆 lineair
afhankelijk is en 𝒗1 ≠ 𝟎, dan is er een vector 𝒗𝑗 (𝑗 > 1) welke
een lineaire combinatie is van de voorgaande vectoren
𝒗1 , … , 𝒗𝑗−1 .
Challenge the future
15
Speciale gevallen
Stelling
Als een set meer vectoren bevat dan het aantal elementen van
elke vector, dan is de set lineair afhankelijk. Oftewel, een set
𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 is lineair afhankelijk als 𝑝 > 𝑛.
Challenge the future
16
Speciale gevallen
Stelling
Als een set 𝑆 = 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 de nul-vector bevat, dan is de
set lineair afhankelijk.
Challenge the future
17
Speciale gevallen
Stelling
Als een set 𝑆 = 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 de nul-vector bevat, dan is de
set lineair afhankelijk.
Bewijs
Herschik de vectoren zodat 𝒗1 = 𝟎. De vergelijking
1 ∙ 𝒗1 + 0 ∙ 𝒗2 + 0 ∙ 𝒗𝑝 = 𝟎
laat zien dat de vectoren lineair afhankelijk zijn.
Challenge the future
18
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
3 1 2 3
2 , 2 , 0 , 5
4 5 1 2
Challenge the future
19
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
3 1 2 3
2 , 2 , 0 , 5
4 5 1 2
Lineair afhankelijk want het aantal elementen per kolom is
kleiner dan het aantal vectoren.
Challenge the future
20
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
3 0 3
2 , 0 , 5
4 0 2
Challenge the future
21
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
3 0 3
2 , 0 , 5
4 0 2
Lineair afhankelijk want de set vectoren bevat de nul-vector.
Challenge the future
22
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
1 2
2 , 4
4 5
Challenge the future
23
Lineair on(afhankelijk)?
Voorbeeld
1 2
2 , 4
4 5
Lineair onafhankelijk want de tweede vector is geen veelvoud
van de eerste.
Challenge the future
24
Samenvatting
• Vectoren 𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair onafhankelijk als de
vergelijking 𝑥1 𝒂1 + 𝑥2 𝒂2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝒂𝑛 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 heeft. Anders zijn de vectoren
𝒂1 , 𝒂2 , … . , 𝒂𝑛 zijn lineair afhankelijk.
• Een set 𝑆 = 𝒗1 , … , 𝒗𝑛 is alleen lineair afhankelijk als
tenminste één van de vectoren in 𝑆 een lineaire combinatie is
van de andere vectoren in 𝑆.
Challenge the future
25
Opgaven maken
Hoofdstuk 1.7
Opgaven: 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 26
Challenge the future
26
Transformatie
• Door vermenigvuldiging met matrix 𝐴 wordt vector 𝒙
getransformeerd tot vector 𝒃.
𝒙
vermenigvuldig met 𝐴
𝒃
Challenge the future
27
Transformatie
• Door vermenigvuldiging met matrix 𝐴 wordt vector 𝒙
getransformeerd tot vector 𝒃.
𝒙
vermenigvuldig met 𝐴
𝒃
• Het oplossen van de vergelijking 𝐴𝒙 = 𝒃 is gelijk aan de
vectoren 𝒙 vinden die door vermenigvuldiging met 𝐴
transformeren tot 𝒃.
Challenge the future
28
Transformatie
• Een transformatie 𝑇 van ℝ𝑛 naar ℝ𝑚 is een regel die elke
vector 𝒙 ∈ ℝ𝑛 transformeert naar een vector 𝑇(𝒙) ∈ ℝ𝑚 .
Challenge the future
29
Transformatie
• Een transformatie 𝑇 van ℝ𝑛 naar ℝ𝑚 is een regel die elke
vector 𝒙 ∈ ℝ𝑛 transformeert naar een vector 𝑇(𝒙) ∈ ℝ𝑚 .
• ℝ𝑛 is het domein van 𝑇 en ℝ𝑚 is het codomein van 𝑇. We
noteren dit als 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 .
Challenge the future
30
Transformatie
• Een transformatie 𝑇 van ℝ𝑛 naar ℝ𝑚 is een regel die elke
vector 𝒙 ∈ ℝ𝑛 transformeert naar een vector 𝑇(𝒙) ∈ ℝ𝑚 .
• ℝ𝑛 is het domein van 𝑇 en ℝ𝑚 is het codomein van 𝑇. We
noteren dit als 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 .
• De vector 𝑇(𝒙) is het beeld van 𝒙. De set van alle beelden
𝑇(𝒙) is het bereik van 𝑇.
Challenge the future
31
Matrix transformaties
• Matrix transformatie: 𝑇(𝒙) wordt gegeven door 𝐴𝒙.
• Het domein van 𝑇 is ℝ𝑛 en het codomein van 𝑇 is ℝ𝑚 als 𝐴
een 𝑚 × 𝑛 matrix is.
• Het bereik van 𝑇 is de set van alle lineaire combinaties van de
kolommen van 𝐴.
Challenge the future
32
Matrix transformaties
Voorbeeld
1 0
𝐴 = 2 1 en de transformatie 𝑇: ℝ2 → ℝ3 is 𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙.
0 1
1 0
2
2
2
Als 𝒙 =
, dan 𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙 = 2 1
= 5 .
1
1
0 1
1
Challenge the future
33
Matrix transformaties
Voorbeeld
1
𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙 = 2
0
0
2
2
= 5 .
1
1
1
1
𝑥3
𝑥2
𝑥2
𝑥1
𝑥1
Challenge the future
34
Matrix transformaties
Voorbeeld
𝐴=
1
−5
−2
3
2
3
, 𝒃=
en 𝒄 =
.
10 −15
−10
0
Definieer transformatie 𝑇: ℝ3 → ℝ2 door 𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙.
a) Vind een 𝒙 in ℝ3 met beeld 𝒃 onder 𝑇.
b) Is er meer dan één 𝒙 met beeld 𝒃 onder 𝑇?
c) Bepaal of 𝒄 in het bereik van 𝑇 zit.
Challenge the future
35
Matrix transformaties
Voorbeeld
1 0
De transformatie 𝑇: ℝ2 → ℝ1 door 𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙 met 𝐴 =
0 0
heet een projectie, want
𝑥1
𝑥1
1 0 𝑥1
𝑥2 → 0 0 𝑥2 = 0 .
Challenge the future
36
Matrix transformaties
Voorbeeld
1 4
De transformatie 𝑇: ℝ2 → ℝ2 door 𝑇 𝒙 = 𝐴𝒙 met 𝐴 =
0 1
heet een shear transformatie.
𝑥2
𝑥2
𝑥1
𝑥1
Challenge the future
37
Samenvatting
• Een transformatie 𝑇 van ℝ𝑛 naar ℝ𝑚 is een regel die elke
vector 𝒙 ∈ ℝ𝑛 transformeert naar een vector 𝑇(𝒙) ∈ ℝ𝑚 .
• ℝ𝑛 is het domein van 𝑇 en ℝ𝑚 is het codomein van 𝑇. We
noteren dit als 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 .
• De vector 𝑇(𝒙) is het beeld van 𝒙. De set van alle beelden
𝑇(𝒙) is het bereik van 𝑇.
Challenge the future
38
Opgaven maken
Hoofdstuk 1.7
Opgaven: 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 26
Hoofdstuk 1.8
Opgaven: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Challenge the future
39