Het gebruik van flash-applicaties in de wiskundeles

T3 Vlaanderen
Teachers Teaching with Technology
- applicaties in de
wiskundeles
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 1
Hans Bekaert
Wat zijn applicaties en waar haal je ze?
Flash-applicaties zijn programma’s die werken in het archief-geheugen (het flash-geheugen)
van de rekenmachine. Ze betekenen een meerwaarde voor de rekenmachine omdat ze het
toepassen van standaardfuncties op een gebruiksvriendelijke manier en met een aangepaste
interface mogelijk maken.
Een aantal applicaties vind je terug op de CD-rom die bij het rekentoestel wordt geleverd,
maar alle applicaties zijn ook te downloaden van de website education.ti.com. Als je je
bovendien aanmeldt als VIP, dan kun je de applicaties gratis downloaden via je eigen login.
Eens de applicaties op je computer staan kun je ze via TI Connect naar je rekenmachine
doorsturen. Gewoon een rechtermuisklik op de bestanden en kiezen voor Verzenden naar…
TI Device. Ook het programma TI Connect is gratis te downloaden van de website
education.ti.com
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 2
Transformation Graphing
Transformation Graphing maakt het mogelijk om op een zeer eenvoudige manier de invloed
van parameters op de grafiek van reële functies te onderzoeken. Als voorbeeld bekijken we
de kwadratische functie f ( x )  ax 2  bx  c met a  0 .
1. f(x) = A(x - C)2 + B
1.1 f(x) = x 2
Vertrekkende van de grafiek van de functie f ( x )  x 2 bouwen we de grafiek op van de
functies f ( x )  A( x  C )2  B .
De grafiek van de functie f ( x )  x 2 is de verzameling van koppels die voldoen aan de
vergelijking y  x 2 . Om een eerste idee te bekomen van de grafiek definiëren we de
volgende lijsten: L1=seq(X,X,-5,5) en L2 = L12.
De puntenwolk (L1,L2) geeft een idee van de vorm van de grafiek. Het uitvoeren van het
commando STAT<CALC> 5:QuadReg L1,L2,Y1 berekent de kwadratische functie door de
koppels met als x-coördinaten de lijst L1 en y-coördinaten de lijst L2.
De grafiek van de functie f ( x )  x 2 is de parabool met als vergelijking y  x 2 . De parabool
vormt een dal (opening naar boven) vandaar dat we deze parabool een dalparabool noemen.
1.2 f(x) = Ax 2 (A > 0)
Start de applicatie Transformation Graphing en definieer de functie Y1=AX2.
Gebruik de onderstaande WINDOW-settings en ga naar het grafische venster, [GRAPH].
Door te drukken op  wordt de coëfficiënt verhoogd met 1. Onmiddellijk wordt de grafiek
aangepast.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 3
Duidelijk geldt dat de grafiek van f(x) = Ax 2 (A >1) dezelfde kenmerken vertoont als de
grafiek van f ( x )  x 2 , enkel de opening van de parabool verkleint.
Om terug de grafiek van f ( x )  x 2 te bekomen, gebruiken we , maar dit kan ook door
gewoon op 1 te drukken.
Verander de Step-grootte in 0.2. Door te drukken op bekomen we A-waarden kleiner dan
1. Weer zien we dat de grafiek dezelfde kenmerken vertoont maar dat in dit geval de opening
groter wordt.
1.3 f(x) = Ax 2 (A < 0)
Stel de waarde van A terug gelijk aan 1 en kies voor
Zstandard.
Zet in de grafische instellingen (2nd[FORMAT]) de optie
TrailOn aan.
Verander de parameter A=1 in A=-1 door -1 in te tikken
(Gebruik het (-)-teken !!!)
Merk op dat de grafiek van f ( x )   x 2 het spiegelbeeld is
van
f ( x )  x 2 t.o.v. de x-as.
Met de toetsen en bekomen we gelijkaardige grafieken ( A  0 ) als de grafiek van
f ( x )   x 2 met een kleinere opening indien A  1 en een grotere opening indien 1  A  0 .
Voor A  0 noemen we de grafiek van f(x) = Ax 2 een bergparabool (opening naar onder)
Om de gestippelde grafieken van het scherm te wissen gebruik je  DRAW - ClrDraw.
1.4 f(x) = Ax 2 + B
Herdefinieer de functie: Y1=AX2+B. We veronderstellen
B  0.
Stel (via   Settings) A=0.5 en B=0. Plot de grafiek in
Zstandard.
Plaats met de -toets de cursor bij de parameter B en verander de waarde van B.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 4
De grafiek van de functie f(x) = Ax 2 wordt over een afstand | B | , in verticale richting,
verschoven. Indien B  0 wordt de parabool naar boven verschoven en indien B  0 naar
onder.
Enkele eigenschappen:

De parabool y  Ax 2 wordt verticaal over een afstand | B | verschoven zodat de top
van de parabool behorende bij de functie f(x) = Ax 2 + B gelijk is aan (0, B) .
Het domein blijft
0.
en het beeld is gelijk aan [ B,  [ indien A  0 en ]  , B ] als A <
1.5 f(x) = A(x - C) 2 + B
Herdefinieer de functie: Y1=A(X-C)2+B. We veronderstellen C  0 .
Stel (via  Settings) A=0.5, B=2 en C=0. Plot de grafiek in Zstandard.
Plaats met de -toets de cursor bij de parameter C en verander de waarde van C.
De grafiek van de functie f(x) = Ax 2  B wordt over een afstand | C | , in horizontale richting,
verschoven. Indien C  0 wordt de parabool naar rechts verschoven en indien C  0 naar
links.
Enkele eigenschappen:

De parabool behorende bij f(x) = Ax 2  B wordt over een afstand | C | horizontaal
verschoven zodat de top van de parabool behorende bij de functie f(x) = A(x - C)2 + B
gelijk is aan (C, B ) .
Het domein blijft
0.
en het beeld is gelijk aan [ B,  [ indien A  0 en ]  , B ] als A <
1.6 f(x) = ax 2 + bx + c
Het functievoorschrift van een kwadratische functie f ( x )  ax 2  bx  c kan altijd geschreven
worden als de som van een volkomen kwadraat en een constante:
ax 2  bx  c  a( x 2 
b
c
b
b2
b2
c
b 2 b2
x  )  a( x 2  2
 2  2  )  a( x 
) 
c
a
a
2a 4a
a
2a
4a
4a
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 5
zodat f ( x )  a( x 
b 2 b 2  4ac
) 
.
2a
4a
 b b 2  4ac 
Uit het voorgaande volgt dat de top van de parabool gelijk is aan   ,
.
4a
 2a

b
De vergelijking van de symmetrieas is: x  
.
2a
Het aantal snijpunten van de parabool met de x-as, de nulpunten van de kwadratische
functie, is afhankelijk van de ligging van de top.
1.7 Een voorbeeld
Beschouw de functie f ( x )  2x 2  12x  14 .
Er geldt: f ( x )  2x 2  12x  14  2( x 2  6 x  7)  2( x 2  2  3 x  9  2)  2( x  3) ^ 2  4 .
2x 2

2( x  3) ^ 2

2( x  3) ^ 2  4
Transformation Graphing, kan slechts met één functievoorschrift werken. Het manipuleren
van de coëfficiënten is beperkt tot A, B, C en D. Om een tweede grafiek op het scherm te
plaatsen, kun je gebruik maken van de statistische lijsten.
2. Instellen van animaties
De applicatie Transformation Graphing biedt de mogelijkheid om animaties te maken van
functievoorschriften met veranderende parameterinstellingen.
Beschouw de functie f(x) = A(x - C)2 + B . Je gaat als volgt te werk
1. Kies via  Settings voor de PLAY-mode (>) of de PLAY FAST-mode (>>).
2. Selecteer de parameter (vb. A) die je wilt laten veranderen in de animatie.
3. Stel de stapgrootte in.
4. Zet de maximumwaarde in (maximum 13 stappen).
5. Druk op  om te starten en op  om te stoppen.
3. Oefeningen
Oefening 1
Beschouw de functie f(x) =
2x +1
. Ga na hoe deze functie een transformatie is van de
x -1
1
. Teken de grafiek van f(x) en transformeer de grafiek van g(x) met behulp
x
van Transformation Graphing. Maak gebruik van een Euclidische deling om de gevonden
transformaties te bevestigen.
functie g(x) =
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 6
Oefening 2
Beschouw de functie f(x) = A sin(B(x - C)) + D .
 Stel een animatie in, die de invloed van de parameter A op de amplitude illustreert.
 Stel een animatie in van de parameter die de periode beïnvloedt. Ga na hoe de
periode vergroot en verkleint.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 7
Inequality Graphing
In heel wat toepassingen is het nodig om een gebied in het vlak, begrensd door meerdere
functies, te berekenen. Inequality Graphing laat toe zo’n gebied snel grafisch voor te stellen.
Voor verdere berekeningen zijn sommige snijpunten van de grafieken belangrijk. Met deze
applicatie kan men deze interessante punten opsporen en eventueel opslaan in lijsten. We
bekijken twee voorbeelden.
1.
Een optimalizatieprobleem (Lineair Programmeren)
Een meubelfabrikant, in stoelen en tafel (beide één model), heeft twee productie-afdelingen.
Afdeling 1 doet bewerkingen, heeft een capaciteit van 400 uren per week en de nodige
bewerkingen voor een stoel vergen 1 uur en voor een tafel 2 uren.
Afdeling 2 doet montage en heeft een capaciteit van 600 uren per week. Voor de montage
van een stoel heeft men 1 uur nodig en voor een tafel 4 uren.
De winst per stoel bedraagt € 20 en € 50 voor een tafel.
Bepaal het productieprogramma per week met een maximale winst indien we
veronderstellen dat alle stoelen en tafels verkocht worden.
Oplossing
Stel:
x = het aantal geproduceerde stoelen per week,
y = het aantal geproduceerde tafels per week.
De totale winst per week wordt bepaald door W  20x  50y .
Er moet rekening gehouden worden met de voorwaarden:
Afdeling 1: x  2y  400
Afdeling 2: x  4y  600
x 0, y 0.
Deze voorwaarden bepalen een begrensd gebied in het vlak waarover we moeten
optimaliseren. We bepalen dit gebied als volgt. We nemen hierbij een aangepaste schaal. (4
= 400 uren en 6 = 600 uren).
Start Inequal en definieer de volgende functies.
Y1=0.5(4-X)
Y2=0.25(6-X)
Y3=0
Plaats dan de cursor op de gelijkheidstekens om deze te veranderen in ongelijkheidstekens.
Onderaan het scherm verschijnen de ongelijkheidstekens die als volgt geactiveerd worden:
 F1  
 F2  
 F5  
 F4  
 F3  
Om de voorwaarde X  0 in te voeren plaatsen we de cursor, in het Y=-scherm, bovenaan op
X= en drukken op . Definieer X1  0 en plot de ongelijkheden met de volgende
onderstaande WINDOW-settings.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 8
Kies via  F1 voor 1. Ineq Intersection om het gebied, de doorsnede, te arceren. Door
achtereenvolgens op  en  te drukken verdwijnt het menu onderaan. Om dit menu opnieuw
te activeren, druk opnieuw op .
De optie Pol-Trace,  F3, bepaalt o.a. de hoekpunten van de vierhoek. Met de toetsen  en 
selecteer je de ongelijkheid Yn of Xn en met  en  de snijpunten van Yn of Xn met de andere
ongelijkheden. De coördinaten van de snijpunten verschijnen onderaan het scherm.
Om deze coördinaten te bewaren drukken we op .
De coördinaten worden toegevoegd aan de lijsten LINEQX
(x-coördinaat) en LINEQY (y-coördinaat).
Bepaal op deze manier alle hoekpunten.
Selecteer in de applicatielijst opnieuw Inequality Graphing om
af
te
sluiten
en
verwijder
alle
gedefinieerde
functievoorschriften.
Merk op dat bij niet-lineaire krommen deze Pol-trace functie slechts één snijpunt kan vinden.
Om het gebied opnieuw te plotten, definiëren we de XY-lijn (LINEQX, LINEQY).
We bekijken met Transformation Graphing wanneer de functie W maximaal is op de bekomen
1
vierhoek. Definieer de functie A=20X+50Y1  Y1=
(A-20X).
50
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 9
De parameter A bepaalt de totale winst. Indien we de parameter laten variëren, zien we
grafisch dat de maximale winst zal aangenomen worden in één van de hoekpunten. In dit
geval in het hoekpunt (2,1).
In dit hoekpunt geldt: 20  200  50  100  9000 euro.
Dit resultaat bekomen we ook door in alle hoekpunten de
winst te berekenen en het maximum van deze waarden
te nemen.
2.
Oppervlakte berekening met integralen.
Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door y 2  4 x en y  2x  4 .
Definieer de functies Y1=2§X, Y2=-2§X en Y3=2X-4. Aan de hand van deze plot kunnen de
ongelijkheden bepaald worden om het gebied te arceren.
Met Pol-Trace kunnen we de integratiegrenzen bepalen, nl. van 0 tot 1 en van 1 tot 4, zodat
1
4
0
1
de oppervlakte gelijk is aan:  (Y1  Y 2)   (Y1  Y3) .
Uitgewerkt geeft dit:
1

0
4

1
4 xdx  (2 x  2 x  4)dx  4
1

0
4
xdx  2

1
4

4

xdx  2 xdx  4dx  9 .
1
1
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 10
Ter controle van de berekening kunnen we gebruik maken van het commando fnInt.
Merk op dat arceringen ook gerealiseerd kunnen worden via
Shade(lagerefunctie,hogerefunctie,ondergrens,bovengrens,patroon,resolutie). Voor deze
oefening wordt dat dan:
3.
Oefening
Los het volgende stelsel van ongelijkheden met twee onbekenden grafisch op:
2

y  x  5x  4  0


x  y  4  0
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 11
Polynomial Root Finder
Simultaneous Equation Solver
Het oplossen van vergelijkingen en/of stelsels leidt bij de behandeling van vele topics tot
tijdverlies en/of rekenfouten waardoor de aandacht voor het essentiële verloren gaat.
Deze applicatie voert het rekenwerk uit bij het bepalen van de nulpunten van
veeltermfuncties en het oplossen van stelsels.
Het gebruik van deze applicatie neemt niet weg dat leerlingen nog in staat moeten zijn de
oplossingsmethodes manueel uit te voeren. Maar deze kennis kan apart getest worden
zodat bij toepassingen het rekenwerk kan uitgevoerd worden door de TI-83 Plus. Hierdoor
komt er meer tijd vrij voor de interpretatie van de resultaten.
1.
Polynomial Root Finder
We tonen hoe je met Polynomial Root Finder
vergelijkingen oplost. Als eerste voorbeeld bepalen we
de oplossingen van de vergelijking 6 x 2  x  2  0 .
Na het starten van de applicatie PolySmlt opent een
menu waar we de optie 1: Poly Root Finder kiezen.
Eerst geven we de graad van vergelijking in en dan de coëfficiënten van de vergelijking.
De oplossingen bekomen we na het drukken op  F5 of op .
Met de optie STOa kunnen de ingevoerde coëfficiënten gesaved worden in een lijst en met
STOx de oplossingen. De lijsten waarin de data gesaved worden, moeten wel leeg zijn of
nog niet gedefinieerd zijn. STOy plaatst de veelterm, als een functievoorschrift, in de eerste
niet-gedefinieerde Y-variabele, zodat de nulpunten onmiddelijk grafisch voorgesteld kunnen
worden.
Indien oplossingen rationaal zijn, kunnen ze, na te saven, in het rekenscherm zoals
hieronder omgezet worden in breukvorm.
In een tweede voorbeeld tonen we hoe de complexe machtwortels bepaald kunnen worden
van een reëel getal, bijvoorbeeld de derdemachtswortels van 8.
Hiervoor lossen we de vergelijking x 3  8  0 op.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 12
Om de complexe wortels te tonen, drukken we op  en veranderen de MODE-settings als
volgt. De Floating Point-mode zetten we op 2 en voor de complexe mode hebben we de
keuze tussen a+bi of re^i.
Om de oplossingen voor te stellen in het complexe vlak plaatsen we de reële delen en
complexe delen van de wortels, zoals hieronder aangeven, in aparte lijsten en maken
hiervan een XY-lijn.
Met de LOAD-optie kunnen de coëfficiënten vooraf in lijsten gedefineerd worden om later in
de applicatie opgeroepen te worden.
2.
Simultaneous Equation Solver
Voorbeeld 1
x  y - z  4

We bepalen de oplossingen van het stelsel 3 x  y - z  6 .
 x  y - 2z  4

Hiervoor gebruiken we de optie 2: Simult Eqn Solver.
Eerst geven we het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden in. Dan verschijnt er een
matrix waar we de coëfficiënten, één voor één, kunnen ingeven. Ook hier kan de uitgebreide
matrix vooraf gedefinieerd worden en opgeroepen worden via de LOAD-optie. Via  F5, of
, bekomen we de oplossing van het stelsel.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 13
Met de STOsys kan het stelsel in matrixvorm bewaard worden en met STOx de oplossing.
Weer moeten de matrices waarin gegevens gesaved worden, leeg zijn.
Voorbeeld 2
 x  2y  3z  4
Los op: 
.
 5 x  6 y  7z  8
In dit geval bekomen we de onderstaande oplossing. In plaats van de optie STOx kan nu de
trapvorm getoond worden met de optie RREF (Row Reduced Echelon Form).
Deze trapvorm kan bewaard worden met de optie STORE RREF.
Voorbeeld 3
 2 x  6 y  14  11
Los op: 
.
 x  3 y  7z  3
Ook in dit geval kunnen we de trapvorm bepalen met de optie RREF.
Voorbeeld 4
Om een vergelijking in meerdere onbekenden op te lossen, voegen we een nulrij toe. Voor
de optie Simultaneous Equation Solver is 2 het minimum aantal vergelijkingen.
Voor x  2y  z  5 bekomen we het volgende resultaat.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 14
3.
Oefening
Een kleine firma leent 500 000 euro bij de bank om z’n productielijn te vergroten. Een deel
van dit kapitaal wordt geleend tegen 9% intrest, een ander deel tegen 10% en een derde
deel tegen 12%.
Hoe is het kapitaal verdeeld als de jaarlijkse intrest 52 000 euro bedraagt en als je weet dat
het kapitaal dat geleend werd tegen 10% 2,5 keer groter is dan het deel dat tegen 9% is
geleend?
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 15
Probability Simulation
Met Probability Simulation is het zeer eenvoudig het verband tussen de relatieve frequentie
van een gebeurtenis en de kans op een gebeurtenis visueel voor te stellen.
Bovendien kan de bekomen data bewaard worden in lijsten zodat deze na afsluiten van de
applicatie nog verder geanalyseerd kunnen worden.
1. Opwerpen van muntstukken
a. Eén muntstuk
Start de applicatie Prob Sim en kies optie 1. Toss Coins.
Druk op F3 om de instellingen te wijzigen. Verander de optie
StoTabl in All. Alle opworpen worden nu bewaard in een tabel.
We willen het muntstuk 300 keer opwerpen. Stel daarom Trial
Set in op 300.
Druk op OK, F5, en dan op F2,TOSS, om het experiment te
starten. Aan het einde van het experiment kun je de -toetsen
gebruiken om de frequentie te bekijken.
Na het drukken op F4, DATA, verschijnt een scherm waar
bevestigd kan worden, OK, om de data te bewaren.
De data worden als volgt bewaard:
bevat het worpnummer
bevat kruis, 1, of munt, 0,
LCUMH bevat het cummulatieve aantal keer kruis.
LTOSS
LC1
Deze data kunnen na afsluiten van de applicatie bv. zoals
hiernaast afgebeeld gebruikt worden:
b. Twee muntstukken
De procedure om twee muntstukken op te werpen verloopt analoog als voor één. We
veranderen enkel de optie Coins in 2.
Op het scherm verschijnt tijdens het werpen van de muntstukken hoeveel keer geen enkele
keer kruis, hoeveel keer één keer kruis en hoeveel keer twee keer kruis gewopren is.
De resultaten van het opwerpen van het eerste en het tweede munstuk kunnen bekeken
worden met de optie TABL, F5. De grafiek wordt dan vervangen door een tabel waarin
genavigeerd kan worden met  en . Om terug het histogram te tonen, drukken we op
GRPH, F5.
Ook hier kunnen de data bewaard worden voor verdere analyses.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 16
2. Werpen van dobbelstenen
a. Twee dobbelstenen
Met 2. Roll Dice gebeurt de simulatie van het werpen van twee dobbelstenen analoog aan
het opwerpen van twee muntstukken.
Bepaal door simulatie de kansverdeling van de som van het aantal ogen bij het werpen van
twee dobbelstenen.
Dice 1 Dice 2
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
Dice 1 Dice 2
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
Dice 1 Dice 2
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
Dice 1 Dice 2
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
Dice 1 Dice 2
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
Dice 1 Dice 2
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
Bepaal a.h.v. van de resultaten van de simulatie een benadering voor de kans dat de som
van het aantal ogen kleiner en groter is dan zeven.
b. Een vervalste dobbelsteen
Met de optie ADV van het SETTINGS-scherm kunnen we een
dobbelsteen vervalsen. In de linkerkolom worden de relatieve
gewichten getoond. Bij het aanpassen van de relatieve
gewichten wordt de kans automatisch aangepast. Ook bij het
aanpassen van de kansen worden de relatieve gewichten
aangepast.
Veronderstel dat we de dobbelsteen verzwaren zodat het werpen van zes tweemaal zoveel
voorkomt dan iedere andere ogen. Verander het gewicht van zes in 2 en voer de simulatie
uit.
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 17
De ADV-optie kan ook in omgekeerde zin gebruikt worden. Verander de gewichten of de
kansen en laat de leerlingen d.m.v. simulatie een benadering bepalen van de kansverdeling
a.h.v. de relatieve frequenties.
3. Knikkers
Veronderstel dat we 4 witte knikkers en 2 zwarte knikkers in een urne plaatsen. We trekken 3
knikkers uit de urne, eerst met terugleggen en dan zonder terugleggen.
Wat is de kans, in beide gevallen, op precies één zwarte knikker?
Hiervoor gebruiken we als volgt de optie 3. Pick Marbles van de applicatie Prob Sim.
Laat iedere leerling 10 trekkingen van 3 knikkers uitvoeren in beide gevallen. Met CLEAR
worden de gegevens van de vorige trekking verwijderd. In dit geval gebruiken we de TABLoptie i.p.v. de GRPH-optie.
Met teruglegging
Zonder teruglegging
4. Oefeningen
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 18
Oefening 1
Een vaas bevat 6 witte, 8 rode en 11 blauwe knikkers.
1. Bereken P(wit), P(rood), P(blauw)
2. Simuleer dit experiment met de GRM en ga bij een experiment met 10 trekkingen na of
de berekende kansen overeenstemmen met het experiment. Ga dit ook na voor 100
trekkingen.
Oefening 2
Om een verdachte dobbelsteen te testen, heeft men 200 worpen uitgevoerd. Op grond van
deze resultaten, neemt men P(1)=0,19, P(2) = 0,15 en P(6)=0,16.
1. Bereken P({3,4,5}) en P({1,2,3,4,5})
2. Voer een simulatie uit van dit experiment en toets je berekeningen aan de experimentele
uitkomsten.
Bibliografie
Koen Stulens, Transformation Graphing, Limburgs Universitair Centrum, 2004
Koen Stulens, Inequality Graphing, Limburgs Universitair Centrum, 2004
Koen Stulens, Polynomial Root Finder and Simultaneous Equation Solver,
Universitair Centrum, 2004
Limburgs
Koen Stulens, Probability Simulation, Limburgs Universitair Centrum, 2004
Het gebruik van Flash-applicaties in de wiskundeles - 19