Quantumwereld bijeenkomst 4

Quantumwereld
bijeenkomst 4
●
losse eindjes vorige bijeenkomst
(waterstofatoom 3D-doosje)
●
model voor geleiders en isolatoren
●
halfgeleiders
●
chemische binding
●
huiswerkopgaven (deeltje in doosje)
Waterstofatoom
ψ2nlm (r , θ , ϕ)r 2 sin θ dr d θ d ϕ
2
2
P (r )dr ~ r R dr
Waterstofatoom
Bohrstraal en onbepaaldheidsrelatie
●
●
●
●
●
●
Voor energie geldt:
2
2
p
e
E=
−
2m r
Stel dat we voor r en p de orde van grootte
invullen.
Deze orde van grootte komt overeen met de
orde van grootte van de spreiding Δr en Δp
Er geldt op zijn best: ΔrΔp = ħ
Dus:
p2 e 2 p
E=
−
2m
ℏ
Deze energie minimaliseren geeft Bohrstraal en
bijbehorende Rydberg energie
3D-doosje
●
drie dimensies, kubus met zijden L
●
drie quantumgetallen: nx, ny en nz
●
●
elk quantumgetal geeft een bijdrage aan de
energie in de vorm: Ex ~ nx2
totale energie: E ~ nx2 + ny2 + nz2
Energieniveaus
Model voor vaste stof


Valentie-elektronen zijn vrij, wisselwerken niet
met elkaar, niet met ionen
Gevolgen:



zeer veel energieniveaus
elektronen zijn fermionen: allemaal verschillende
toestanden
altijd hoger gelegen energieniveau beschikbaar:
geleiding is altijd mogelijk
Aanpassing model

Interactie valentie-elektronen met ionen-rooster

Geen interactie elektronen onderling

Gevolgen:

nog steeds zeer veel energie-niveaus beschikbaar

ontstaan van gaps: verboden energieën

bandenstructuur


vulling banden afhankelijk van aantal
valentie-elektronen
verklaring voor gedrag geleiders en isolatoren
Halfgeleiders

zelfde bandenstructuur

vulling als een isolator

details verschillen: gaps zijn kleiner

thermische excitaties zijn mogelijk

(valentie)elektron komt in geleidingsband
Doping



verontreinigingen voegen
energietoestanden toe in de gap
n-type:

extra elektronen (of minder gaten)

vrije toestanden bij de geleidingsband
p-type:

minder elektronen (of extra gaten)

vrije toestanden in valentieband
Chemische binding
●
Zeer ingewikkeld
●
H2+ molecuul: drie deeltjes, al niet oplosbaar
●
verschillende benaderingen zijn mogelijk
●
–
variatierekening
–
storingsrekening
–
“valence bond”
–
LCAO: lineaire combinaties van atomaire orbitalen
atomaire orbitalen: complete set (eigenfuncties
en eigenwaarden)
Chemische binding



Waterstofmolecuul-ion: H2+
Interactie tussen protonen en
protonen-elektronen
Benadering:

twee protonen (kernen) op vaste afstand

elektron in atomaire toestand

Superpositie van toestanden

Opnieuw interferentie!

twee mogelijkheden: symmetrisch,
anti-symmetrisch (Pauli)
Moleculaire orbitalen uit atomaire orbitalen
H2 molecuul

Nog ingewikkelder:



Verschillende methoden

valence bond: atomaire orbitalen

LCAO-MO: moleculaire orbitalen
principe voor binding is hetzelfde:


nu ook interactie tussen elektronen onderling
overlap (interferentie) van golffuncties zorgt voor
binding
http://www.chm.davidson.edu/vce/MolecularOrbitals