Gevorderde Astrofysica

Gevorderde Astrofysica
Conny Aerts
Katholieke Universiteit Leuven
Faculteit Wetenschappen
Academiejaar 2004 – 2005
Tweede Licentie Wis- en natuurkunde
Vereiste voorkennis: Cursus Sterstructuur en -evolutie
Aanbevolen parallelcursus: Steratmosferen
Examenvorm:
1. bestuderen en voorbrengen van een recent artikel uit de literatuur, waarvan de inhoud nauw
samenhangt met de vakinhoud (1/3)
2. open-boek-examen (2/3)
Maak gebruik van volgende internetadressen voor je zelfstudie:
http://adsabs.harvard.edu/abstract−service.html
http://cdsweb.u-strasbg.fr/Simbad.html
1
2
Inhoudsopgave
1 Waarnemingen van sterrenwinden
11
1.1
Enkele basisbegrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2
De vorming van spectraallijnen in de sterrenwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1
De verschillende processen van lijnvorming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2
P Cygni profielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3
Emissielijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3
Infrarood en radio exces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4
Samenvatting en observationele resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Lijngedreven sterrenwinden
2.1
2.2
2.3
33
Inleiding tot stralingstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2
De radiatieve versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Basisbegrippen van sterrenwinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1
Een isotherme wind enkel onderworpen aan de gasdruk . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2
Een isotherme wind onderworpen aan een extra ∼ 1/r 2 kracht . . . . . . . . 42
Een realistische beschrijving van een lijngedreven sterrenwind: het CAK-model . . . 45
3
2.3.1
Impulsoverdracht door verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2
Het effect van één optische dikke resonantielijn . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3
De Sobolev benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4
Een ensemble van niet-overlappende lijnen in de Sobolev benadering . . . . . 55
2.3.5
Oplossing van de impulsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.6
Verbeteringen aan het CAK-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 De effecten van massaverlies op de evolutie van massieve sterren
3.1
69
De gevolgen van massaverlies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1
Verandering in de chemische samenstelling van het steroppervlak . . . . . . . 69
3.1.2
Verandering in de lichtkracht en de hoofdreeksleeftijd . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3
Het gebrek aan massieve rode superreuzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2
Voorbeeld: de evolutie van een ster met initiële massa 60 M . . . . . . . . . . . . . 72
3.3
Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Nauwe dubbelsterren
79
4.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2
Vorming van nauwe dubbelsterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3
4.2.1
Invanging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2
Fragmentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Effecten van getijden: circularisatie en synchronisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1
Theoretische beschouwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2
Observationele resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
4.4
De Roche potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5
Classificatie van nauwe dubbelsterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.1
Semi-gescheiden systemen met RLOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.2
Gescheiden systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Massatransfert en evolutie van nauwe dubbelsterren
103
5.1
Massatransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2
Effect van conservatief massatransfert op de orbitale parameters . . . . . . . . . . . 106
5.3
Evolutie van de donor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1
Donor met een radiatieve enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.2
Donor met een diepe convectieve enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4
Evolutie van de ontvanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5
Verschillende typen van massatransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.1
Type-A massatransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.2
Type-B massatransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.3
Type-C massatransfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Compacte stellaire resten in een binair systeem
6.1
6.2
117
Vorming van binaire systemen met een compact object . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.1
Het standaard probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.2
Vorming van HMXBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.3
Vorming van LMXBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Nauwkeurige massabepaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5
6.2.1
Massabepaling van witte dwergen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2.2
Massabepaling van neutronensterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.3
Massabepaling van zwarte gaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3
Type-I supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4
Dubbele pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5
Milliseconde pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Gammaflitsen
137
A Waarden van fysische en astronomische constanten
141
6
In de cursus Sterstructuur en -evolutie, waarvan we voor dit vak de voorkennis onderstellen,
werd herhaaldelijk aangestipt dat sterren tijdens verschillende fasen van hun leven massaverlies
ondergaan. Ondanks het feit dat dit massaverlies bepalend is voor de evolutie die de ster volgt,
werd de oorzaak en het preciese mechanisme van dit massaverlies niet besproken. In deze cursus
behandelen we twee belangrijke mechanismen die het massaverlies sturen, namelijk stralingsgedreven sterrenwinden in enkelvoudige massieve sterren en massaoverdracht tussen de componenten in
een binair stersysteem. Voor de bespreking van het mechanisme van het massaverlies tijdens de
asymptotische reuzentak, verwijzen we naar de cursus Interstellaire Materie.
7
8
DEEL I :
STRALINGSGEDREVEN
STERRENWINDEN VAN
MASSIEVE STERREN
9
Hoofdstuk 1
Waarnemingen van sterrenwinden
Uit de spectra in het ultra-violette (UV) deel van het magnetisch spectrum is gebleken dat vroege
OB-type sterren en “Luminous Blue Variables” (LBVs) en Wolf-Rayet (WR) sterren een snel
expanderende atmosfeer hebben en voortdurend massaverlies ondergaan. We lichten even toe wat
een LBV, respectievelijk WR ster is :
• Sommige van de allerhelderste sterren hebben sporadische gewelddadige uitbarstingen waarvan de oorzaak nog niet precies gekend is. Deze sterren worden heldere blauwe variabelen
(LBVs) genoemd. LBVs zijn zeer massieve sterren die een instabiele toestand in hun evolutie
doormaken. Een deel van de verklaring van het fenomeen is de volgende. De buitenwaarts
gerichte kracht ten gevolge van de felle stralingsdruk is in LBVs zodanig groot dat ze bij de
minste storing de tegengestelde gravitatiekracht kan overwinnen. Hierdoor ontstaat plots een
instabiele toestand die aanleiding geeft tot fel massaverlies. De uitbarstingen van een LBV
kunnen soms decennia duren en zeer onregelmatig van aard zijn, met lange perioden van rust
en stilte tussendoor.
• Men spreekt van een Wolf-Rayet ster wanneer een hete heliumkern overblijft na de evolutie
van een massieve ster die haar buitenste enveloppe verloren heeft omwille van een uiterst
sterke stralingsdruk. WR sterren zijn dus de opvolgers van LBVs. In het spectrum van zulk
een WR ster vinden we vooral emissielijnen die veroorzaakt worden door de snel expanderende
enveloppe. Door de aanwezigheid van deze enveloppe is het zeer moeilijk om de sterfotosfeer
te definiëren. De effectieve temperatuur van een Wolf-Rayet ster bedraagt zo’n 30 000 tot
50 000 K. Het zijn sterren die een oorspronkelijke massa hoger dan 40 M hadden en die
tijdens hun evolutie op de hoofdreeks zodanig veel massa verloren hebben in de vorm van
een sterrenwind dat ze in deze fase van hun evolutie nog slechts een massa van om en bij de
4 M hebben. Men deelt de WR sterren op in twee groepen: de koolstofrijke WC sterren en
de stikstofrijke WN sterren. Deze klassen worden nog eens onderverdeeld in WC5 – WC9 en
WN3 – WN8 naargelang de aanwezigheid van bepaalde spectrale lijnen in het spectrum. De
WN en WC variëteiten representeren wellicht verschillende evolutiestadia. Men neemt aan
dat WN sterren evolueren naar WC sterren naarmate er meer stermateriaal verloren wordt
11
door de sterrenwind. Eens een ster de Wolf-Rayet fase bereikt heeft, is er geen weg meer
terug: de ster zal haar leven beëindigen als een supernova van type II.
De ontdekking van expansie van de atmosfeer en massaverlies in OB-type sterren, LBVs en
WR sterren is vooral tot stand gekomen sinds de “International Ultraviolet Explorer”, gelanceerd
in 1979, zulke sterren intensief heeft waargenomen. Vóór het UV spectrum toegankelijk was nam
men aan dat er bij goede benadering tijdens de hoofdreeksfase massabehoud gold.
Ondertussen is het duidelijk geworden dat bijna alle sterren massaverlies ondergaan onder de
vorm van sterrenwinden gedurende een grote fractie van hun leven. Dit massaverlies heeft een invloed op hun evolutie. Daarnaast geeft het massaverlies ook aanleiding tot spectaculaire interacties
van sterrenwinden met het interstellair medium, waardoor de chemische samenstelling en de kinematische eigenschappen van de galaxie waartoe de massaverliezende ster behoort veranderingen
ondergaat.
Onder een sterrenwind verstaan we de continue uitstroom van materie van een ster. De ejectie van het stermateriaal speelt vooral een belangrijke rol in de levenscycli van massieve sterren,
welke meer dan de helft van hun oorspronkelijke stermassa verliezen alvorens te exploderen als een
supernova. In deze cursus behandelen we het mechanisme dat ertoe leidt dat een massieve ster
massa verliest onder de vorm van een sterrenwind. Vervolgens zullen we ingaan op de effecten van
het massaverlies op de evolutie van de ster.
Alvorens we de verschillende type waarnemingen van sterrenwinden bespreken, halen we eerst
enkele basisbegrippen aan en bespreken we de verschillende processen van vorming van spectraallijnen die kunnen optreden in een sterrenwind.
1.1
Enkele basisbegrippen
Naast straling onder de vorm van fotonen verliezen de sterren ook deeltjes, zoals atomen en ionen,
in de vorm van een sterrenwind. De twee belangrijkste parameters die de sterrenwind beschrijven
en die afgeleid kunnen worden uit waarnemingen zijn :
• de hoeveelheid massa die de ster verliest per eenheid van tijd, vanaf nu kortweg het massaverlies Ṁ genoemd, en
• de terminale snelheid van de sterrenwind: v ∞ , welke de snelheid is van de winddeeltjes op
grote afstand van de ster.
Men neemt de conventie aan dat het massaverlies een positieve grootheid is die uitgedrukt wordt
in zonsmassa’s per jaar. Bijvoorbeeld een ster met massaverlies Ṁ = 10−6 M /jaar verliest een
hoeveelheid massa gelijk aan de massa van de aarde in drie jaar tijd. De terminale snelheden
12
hebben waarden gaande van 10 km/s voor een koele superreus tot 3000 km/s (dit is 1% van de
lichtsnelheid !) voor een heldere hete ster.
Deze twee te meten grootheden zijn belangrijk omdat :
• Ṁ beschrijft hoeveel materiaal er verloren wordt door de ster per eenheid van tijd. Deze
grootheid is van belang voor de evolutie van de ster, vermits sterren met een groot massaverlies
anders zullen evolueren dan sterren zonder massaverlies.
• Verschillende versies van de theorie van stralingsgedreven sterrenwinden (zie verder) leiden tot
een verschillende waarde van het massaverlies en de terminale snelheid. Door de waargenomen
waarden te vergelijken met de verschillende theoretische modellen is het dus mogelijk om het
mechanisme van het massaverlies te verfijnen.
• Het gas dat ontsnapt vanuit de ster in het interstellair medium draagt kinetische energie met
zich mee. De hoeveelheid kinetische energie die de sterrenwind overdraagt op het interstellair
2 . Om het effect van de sterrenwind op de
medium per eenheid van tijd bedraagt 12 Ṁ v∞
omgeving te kennen moeten we dus waarden afleiden voor Ṁ en v∞ .
Elk van de fotonen die in de sterkern geproduceerd wordt door de kernreacties draagt een
energie hν met zich mee en heeft een impuls hν/c. Het totale impulsverlies dat de ster leidt
door het uitzenden van fotonen aan haar oppervlak wordt gegeven door L ? /c = 4πR?2 F? /c. Het
overeenkomstige massaverlies bedraagt L ? /c2 . Daarentegen is het impulsverlies van de sterrenwind
gegeven door Ṁ v∞ . Het blijkt nu dat Ṁ v∞ ' L? /c. Dit betekent dat er een efficiënt mechanisme
aan het werk is in de sterrenwind dat er blijkbaar in slaagt om zo goed als alle fotonen die de ster
verlaten te absorberen.
Voor een ster die een stationaire sferisch symmetrische wind ondergaat is het massaverlies in
een bepaald punt in de wind gerelateerd aan de dichtheid en de snelheid in dat punt. Deze relatie
wordt beschreven door de vergelijking die het behoud van massastroom uitdrukt :
Ṁ = 4πr 2 ρ(r)v(r),
(1.1)
waarbij r de afstand van het punt is tot het centrum van de ster, en ρ en v respectievelijk de
dichtheid en de snelheid zijn van de wind op de plaats van het beschouwde punt. Vergelijking (1.1)
drukt uit dat er geen materiaal vernield of gecreëerd wordt in de wind, zodat steeds dezelfde
hoeveelheid gas doorheen een sfeer op een afstand r van de ster stroomt.
Het gas dat ontsnapt vanuit de buitenste sterlagen wordt versneld. Het heeft een lage radiale
snelheid, typisch kleiner dan 1 km/s, aan de sterfotosfeer en wordt versneld tot een hoge snelheid
op een grote afstand van de ster. Op zeer grote afstand van het stercentrum benadert de snelheid
die een deeltje in de sterrenwind ondervindt asymptotisch de terminale snelheid: v ∞ = v(r → ∞).
De verdeling van de snelheid in de sterrenwind als een functie van de radiale afstand r tot het
stercentrum noemt men de snelheidswet v(r). De waarnemingen van sterrenwinden geven aanleiding
13
Figuur 1.1: Verschillende β-type snelheidswetten die de snelheidverdeling in de sterrenwind beschrijven. Een initiële snelheid v0 gelijk aan 1% van de terminale snelheid werd verondersteld. Deze
waarde is een goede waarde voor de verhouding van de geluidssnelheid nabij het steroppervlak tot
de terminale snelheid van de wind. Het verloop voor β = 0.8 beschrijft goed de waarnemingen van
de sterrenwind van een O-type ster.
tot een snelheidsverloop beschreven door een β-wet :
v(r) ' v0 + (v∞ − v0 ) 1 −
R?
r
β
.
(1.2)
Deze snelheidswet beschrijft een algemene toename van v met de radiale afstand van v 0 aan de
fotosfeer r = R? tot v∞ op grote afstand, waarbij v0 v∞ . De parameter β beschrijft hoe steil
de snelheidswet is. Hete sterren hebben bijvoorbeeld een snelheidswet die vrij goed beschreven
wordt door β = 0.8. Deeltjes in deze winden ondervinden dan ook een grote versnelling en bereiken
reeds een snelheid gelijk aan 80% van de terminale snelheid op een afstand ' 4 R ? , m.a.w. op
slechts ' 3 R? boven het steroppervlak. De winden van koele sterren ondergaan een veel kleinere
versnelling. In figuur 1.1 tonen we verschillende β-type snelheidswetten
De snelheidswet kan ook benaderd worden door een alternatieve vorm :
v(r) ' v∞
met
"
r0 ≡ R ? 1 −
r0
1−
r
14
v0
v∞
β
,
1/β #
(1.3)
.
(1.4)
Deze vorm van de β-wet heeft het voordeel dat hij gemakkelijker kan gehanteerd worden wanneer
hij optreedt in integraaluitdrukkingen.
1.2
De vorming van spectraallijnen in de sterrenwind
De spectraallijnen die in de sterrenwind gevormd worden kunnen gemakkelijk onderscheiden worden
van diegenen gevormd in de fotosfeer omwille van hun grote verbreding en grote verschuiving t.o.v.
de rustgolflengte. Windlijnen kunnen optreden als absorptielijnen, emissielijnen of als combinatie
van beiden (de zogenaamde P Cygni profielen – zie verder). Welke vorm precies wordt aangenomen
hangt af van de efficiëntie van de creatie, verstrooiing en vernietiging van fotonen in de sterrenwind.
1.2.1
De verschillende processen van lijnvorming
Spectra van astronomische objecten vertonen continua met daarop gesuperponeerd spectraallijnen.
Deze laatsten kunnen zowel in absorptie als in emissie voorkomen ten opzichte van het lokale
continuüm. We bespreken nu de vorming van continua en spectraallijnen en beperken ons hierbij
tot het kader van dit vak. Voor een uitgebreidere beschrijving ervan verwijzen we naar de cursus
Steratmosferen, gedoceerd in het 1ste semester van de 2de licentie.
Spectraallijnen
Spectraallijnen zijn het gevolg van discrete energieovergangen zoals de sprongen tussen gebonden
niveaus van een electron in een atoom. Men spreekt van gebonden-gebonden overgangen of nog bbovergangen (van “bound-bound”). Excitatie naar een bovenliggend niveau kan enerzijds geschieden
door opname van kinetische energie (botsingsexcitatie) of anderzijds door de absorptie van een foton
(stralingsexcitatie). Analoog kan deëxcitatie naar een lager gelegen niveau veroorzaakt worden door
een botsing (botsingsdeëxcitatie) of door emissie van een foton (stralingsdeëxcitatie).
De energieuitwisseling die hoort bij een bb-overgang houdt steeds verband met een energieverschil hν = 4Emn , waarbij 4Emn = Em − En het energieverschil is tussen de niveaus m en n
(m > n). De betrokken fotonen hebben de bijhorende specifieke golflengte λ = hc/4E mn .
Spectraallijnen hangen altijd samen met discrete bb-processen. Het is echter niet zo dat emissielijnen steeds het gevolg zijn van stralingsdeëxcitatie of dat absorptielijnen altijd veroorzaakt
worden door stralingsexcitatie. De oorzaak van de spectraallijn hangt steeds af van het stralingstransport doorheen het medium. Spectraallijnen zijn in het algemeen het gevolg van extra
bb-processen die op de specifieke lijngolflengte in het medium kunnen optreden, naast de processen
die het continue spectrum op die golflengte veroorzaken.
15
De spectraallijnen worden verbreed door allerlei fenomenen (deze worden besproken in de
cursus Steratmosferen). De kansverdeling die hoort bij de verdeling noemt men het lijnprofiel.
Continua
Continua zijn het gevolg van niet-discrete processen waarbij fotonen worden geabsorbeerd of geëmitteerd.
Men heeft allereerst gebonden-vrij overgangen (of ook bf-overgangen – van “bound-free”) van atomen en ionen. Een electron wordt bijvoorbeeld vrijgemaakt uit een gebonden toestand n, door de
absorptie van een foton met een energie groter of gelijk aan de ionisatie-energie 4E ∞n = E∞ − En
vanuit dat niveau. In dat geval spreekt men van stralingsionisatie. Invanging van een vrij electron
kan leiden tot een gebonden toestand. Hierbij wordt dan een foton uitgezonden (emissie) met een
energie groter of gelijk aan 4E∞n . Men spreekt in dit geval van stralingsrecombinatie. Ionisatie en
recombinatie kunnen tevens gebeuren door opname of afgifte van kinetische energie zonder dat er
fotonen bij te pas komen. Men spreekt in deze gevallen van botsingsionisatie en botsingsrecombinatie. De vrije toestand van de electronen boven de ionisatiegrens zijn niet discreet omdat het vrije
electron een willekeurig grote kinetische energie m e v 2 /2 kan hebben, m.a.w. hν = 4E∞n + me v 2 /2.
Gebonden-gebonden excitatie en deëxcitatie evenals gebonden-vrij ionisatie en recombinatie
kunnen geschieden door zowel opnemen dan wel vrijmaken van stralingsenergie in de vorm van
fotonen als door opnemen dan wel vrijmaken van kinetische energie door een deeltjesbotsing.
Oefening: Geef een schematisch voorstelling van de verschillende bb- en bf overgangen.
Verder treden ook vrij-vrij overgangen (of ff van “free-free”) op. Men spreekt ook wel eens van
remstraling. Dit is emissie of absorptie van fotonen ten gevolge van de versnelling of vertraging van
een geladen deeltje in een Coulombveld, bijvoorbeeld bij een botsing tussen een ion en een electron.
Fotoncreatie, fotondestructie, fotonverstrooiing
We kunnen de bb-processen in drie paren samennemen :
1. botsingsexcitatie gevolgd door stralingsdeëxcitatie. Dit resulteert in de creatie van een foton.
Er wordt in dit geval dus kinetische energie omgezet in straling.
2. stralingsexcitatie gevolgd door botsingdeëxcitatie. Dit geeft aanleiding tot de destructie van
een foton; straling wordt in dit geval omgezet in kinetische energie.
3. stralingsexcitatie gevolgd door stralingsdeëxcitatie. Men spreekt van verstrooiing van het
foton. Er gebeurt in dit geval enkel een herverdeling van straling, welke voor de sterrenwind
van hete sterren isotroop gebeurt.
16
In processen 1 en 2 worden lokale kinetische energie en stralingsenergie in elkaar omgezet. Deze
procesparen koppelen dan het stralingsveld aan de lokale omstandigheden in het medium. Bij
voldoende grote botsingfrequentie valt er dan ook een sterke koppeling te verwachten tussen het
lokale stralingsveld en de lokale deeltjessnelheden. Echter, in de sterrenwind ver van de ster zijn
de deeltjesdichtheden laag, en dus de botsingsexcitaties en botsingsdeëxcitaties zeldzaam. Het
stralingsveld gedraagt zich dan onafhankelijk van de lokale deeltjesenergieën.
Bij fotonverstrooiing verandert minstens de richting tussen het inkomend en het verstrooid foton. Voor de lagere atomaire niveaus is fotonverstrooiing een belangrijk proces omdat de vervaltijd
voor stralingsdeëxcitatie bijzonder kort is voor deze lage niveaus (typisch 10 −10 − 10−9 seconden).
Wanneer er een lijnovergang door verstrooiing vanuit de grondtoestand optreedt, spreekt men van
een resonantielijn. Het verstrooiingsproces wordt in dit geval aangeduid als resonante verstrooiing.
Resonantielijnen representeren de laagst mogelijke energietransities vanuit de grondtoestand. Ze
hebben bijgevolg een zeer korte levensduur, waardoor ze zeer veel kunnen voorkomen, zowel bij
hoge als bij lage dichtheden (er bestaat altijd een zeer groot reservoir aan electronen in de grondtoestand die zitten wachten tot er een foton komt dat hen toelaat om een lijnovergang op basis
van fotonverstrooiing te maken). De meeste P Cygni profielen (zie verder) worden gevormd door
resonante verstrooiing. De continuümstraling in de sterrenwind van hete sterren wordt eveneens
gedomineerd door verstrooiingsprocessen, omdat de dichtheden in de wind veelal laag zijn. Het betreft dan meer specifiek de verstrooiing van fotonen door vrije electronen. Dit komt omdat de ionen
en atomen zeer efficiënt zijn in het verstrooien van fotonen om lijnovergangen te maken (zie verder –
figuur 2.8). Hierdoor zijn het hoofdzakelijk alleen de vrije electronen die voor de continu ümstraling
zorgen.
Wanneer een ion in een sterrenwind een botsing ondergaat met een electron, kan het dit electron gebruiken om te recombineren. De meest waarschijnlijke botsingsrecombinatie is deze naar de
grondtoestand van het ion. Het ion kan echter ook recombineren naar een geëxciteerde toestand
en vervolgens neerwaarts dalen in het energie-niveau-diagram door een opeenvolging van stralingsdeëxcitaties. Elke deëxcitatie gaat in dit geval gepaard met het uitzenden van een foton. Dit proces
veroorzaakt dus aanzienlijke fotoncreaties in de sterrenwind. Lijnen horende bij specifieke electronenovergangen, welke een hoge kans hebben om gevoed te worden door botsingsrecombinatie met
opeenvolgende stralingsdeëxcitatie, kunnen op deze wijze een duidelijk surplus aan straling vertonen: ze treden op in emissie. Dit proces van fotoncreatie is verantwoordelijk voor de Hα emissie en
de infra-rode emissielijnen in de wind van hete sterren. Fotoncreatie vereist veel grotere dichtheden
dan fotonverstrooiing. Het treedt dus alleen op in de dichtste gebieden van de sterrenwind, niet
ver van de sterfotosfeer.
Fotondestructie treedt niet of nauwelijks op in de sterrenwind. Dit komt omdat de meeste
atomen zich in de grondtoestand bevinden. Na stralingsexcitatie is de vervaltijd voor stralingsdeëxcitatie erg kort. Bovendien is de deeltjesdichtheid in de sterrenwind erg laag. Hierdoor zal het
atoom niet tijdig een botsingsdeëxcitatie kunnen ondergaan. Het opgenomen foton zal hierdoor
fotonverstrooiing ondergaan en niet vernietigd worden door fotondestructie.
Oefening: Geef een schematisch voorstelling van fotoncreatie, fotondestructie en fotonverstrooiing.
17
1.2.2
P Cygni profielen
De indicatoren die het meest gevoelig zijn voor het massaverlies door de sterrenwind van massieve sterren zijn de resonantielijnen van abondante ionen. Voorbeelden zijn de resonantielijnen
van C IV, N V en Si IV welke optreden in de UV spectra van O en vroege B type sterren, de
UV-resonantielijnen van C II van late-B tot A sterren en de UV-resonantielijnen van Mg II voor
sterren van type laat-B tot M. De hoge abondantie van deze ionen, in combinatie met de grote
oscillatiesterktes van hun atomische resonantie-overgangen, impliceren dat deze lijnen een merkbare absorptie kunnen produceren. Deze absorptielijnen vertonen tevens de Dopplerverschuiving ten
gevolge van de uitstroom van materie, zelfs wanneer het massaverlies laag is.
Twee begrippen die vaak gebruikt zullen worden en waarvoor we later een formele definitie
invoeren zijn optisch dunne en optische dikke materie. We geven nu reeds een intuı̈tieve omschrijving
van hun betekenis. Een object is optisch dun voor een bepaalde golflengte λ wanneer het voor
straling bij die golflengte doorzichtig is. De waarnemer kan m.a.w. doorheen dit object kijken
bij die bepaalde golflengte λ. Het object is daarentegen optisch dik bij λ wanneer de straling er
niet doorheen geraakt. Een waarnemer kan er in dat geval niet doorheen kijken bij die bepaalde
golflengte.
Wanneer er slechts weinig absorberende ionen in de wind tussen de waarnemer en de sterfotosfeer zijn, dan zal de resonantielijn een zwakke maar duidelijk waarneembare absorptiecomponent
vertonen. Deze absorptiecomponent is verschoven naar kortere golflengte vermits hij gevormd werd
in een gebied dat buitenwaarts beweegt t.o.v. de ster en naar de waarnemer toe. Wanneer het aantal
absorberende ionen groot is, dan zullen de lijnen een P Cygni profiel aannemen. Dit profiel bestaat
uit een blauwverschoven absorptiecomponent en een schijnbaar roodverschoven emissiecomponent.
Voorbeelden van waargenomen P Cygni profielen worden getoond in figuur 1.2.
De meeste waargenomen P Cygni profielen van de UV resonantielijnen in de spectra van hete
superreuzen worden veroorzaakt door verstrooiing van fotonen, en niet door fotoncreatie of fotondestructie. De lijnen representeren een electronische overgang van de grondtoestand naar de eerste
aangeslagen toestand. Na absorptie in de vorm van stralingsexcitatie heeft het atoom een grote
waarschijnlijkheid om via stralingsdeëxcitatie terug in de grondtoestand te belanden. Het foton
gaat dus niet verloren, maar wordt enkel verstrooid in een andere richting.
De vorming van een P Cygni profiel kan kwalitatief als volgt begrepen worden. We beschouwen
een eenvoudig model van een sferisch symmetrische wind waarin de snelheid toeneemt met de
afstand tot de ster (zie figuur 1.3). Een waarnemer herkent vier gebieden die bijdragen leveren tot
de vorming van een spectraallijn :
1. de ster S die continuümstraling uitzendt met een mogelijke fotosferische absorptiecomponent
bij golflengte λ0 van de spectraallijn,
2. de cylinder F vóór de sterschijf. Het gas in F beweegt naar de waarnemer toe met een snelheid
tussen v ' 0 en v∞ ,
18
Figuur 1.2: De waargenomen P Cygni profielen van het N V doublet (boven) en het O VI doublet
(onder) in het UV spectrum van de massieve sterren ζ Pup (O 4 I f) en τ Sco (B 0 V). De rustgolflengten worden aangeduid door de pijltjes. De doublet lijnen smelten samen in één sterk P Cygni
profiel in het geval van ζ Pup. Ze worden gescheiden waargenomen in het geval van τ Sco. Het
spectrum van τ Sco vertoont tevens vele smalle fotosferische absorptielijnen. De profielen van beide
sterren reiken tot grote negatieve snelheden, wat duidt op materie-uitstroom in de richting van de
waarnemer.
19
Figuur 1.3: Bovenste paneel: de geometrie van een sferisch symmetrische sterrenwind met toenemende buitenwaartse snelheid. De waarnemer onderscheidt vier gebieden: S, F, O, H. Voor een
verklaring: zie tekst. Onderste paneel: de bijdrage van de ster (het continuüm), de absorptie door
F en de emissie van H. Het P Cygni profiel is de som van deze drie bijdragen.
20
3. de cylinder O die zich achter de ster bevindt en door deze laatste geocculteerd wordt. Het
gas in O beweegt zich weg van de waarnemer, maar de straling vanuit dit gebied bereikt de
waarnemer niet,
4. de gebieden H rondom de ster, die de waarnemer zou zien als een “halo” rondom de ster
indien de wind ruimtelijk opgelost zou kunnen worden. Het gas in H heeft zowel positieve als
negatieve snelheidscomponenten t.o.v. de waarnemer.
In het onderste paneel van figuur 1.3 worden de bijdragen van de vier verschillende regio’s tot de
vorming van de spectraallijn geschetst. De ster S levert continuümstraling met een fotosferische
absorptielijn. Het gebied F vóór de ster verstrooit fotonen van de ster waardoor deze uit de
gezichtslijn verdwijnen. Deze fotonen zouden de waarnemer wel bereiken indien er geen sterrenwind
optrad. Deze verwijdering van sterfotonen door de versnelde winddeeltjes geeft aanleiding tot
een blauwverschoven absorptiecomponent met een Doppler verschuiving tussen −v ∞ en 0 km/s.
De absorptiecomponent reikt voor optisch dunne materie niet tot een flux gelijk aan 0 omdat er
ook verstrooiing in de gezichtslijn optreedt in de richting van de waarnemer vanuit het gebied
F. Voor optisch dikke lijnen kan de flux wel volledig verstrooid worden. De halo H verstrooit
straling afkomstig van de sterfotosfeer in alle richtingen. Een gedeelte van die straling gebeurt in
de richting van de waarnemer. Dit gedeelte geeft aanleiding tot een emissiecomponent met een
Doppler verschuiving tussen −v∞ en v∞ , maar met een duidelijke grootste bijdrage bij snelheid
0 km/s. Het netto resultaat van al deze bijdragen, wat eenvoudig wordt bekomen door ze te
sommeren, noemt men een P Cygni profiel.
Een alternatieve wijze om de vorm van een P Cygni profiel te begrijpen levert een meer kwalitatief inzicht in het vormingsproces. Deze wijze wordt voorgesteld in figuren 1.4 en 1.5. Onderstel
dat isotrope verstrooiing van sterfotonen gebeurt in een geometrische, optisch dunne schil rondom de ster op een afstand tussen r en r + 4r, die zich beweegt met een expansiesnelheid tussen
v en v + 4v. Deze verstrooiing geeft aanleiding tot een lijnprofiel dat bestaat uit een smalle
blauwverschoven absorptiecomponent en een vlakke emissiecomponent (zie figuur 1.4). De absorptiecomponent reikt van Doppler snelheid −v tot −v cos θ ? , waarbij de hoek θ? gedefinieerd wordt
door sin θ? ≡ R? /r met R? de sterstraal. De sterkte van de absorptiecomponent hangt af van de
hoeveelheid absorberende ionen in de schil. De emissie daarentegen reikt van −v tot +v cos θ ? .
Immers, de totale emissie door de schil uitgestraald dient verminderd te worden met de emissie
gestraald door de deeltjes met Doppler snelheid tussen +v en +v cos θ ? , welke deeltjes zijn die door
de ster geocculteerd worden. In het onderste paneel van figuur 1.4 wordt het resulterende profiel
van de emitterende schil in de sterrenwind voorgesteld. Een P Cygni profiel kan aanzien worden
als de som van vele bijdragen van schillen met verschillende snelheden in de sterrenwind. Deze
bijdragen worden voorgesteld in figuur 1.5. Het bovenste paneel van deze figuur toont de bijdragen
van elk van de schillen. Elke schil draagt volgens haar Doppler snelheid een smalle blauwverschoven
absorptiecomponent en een brede vlakke emissiecomponent bij tot het totale P Cygni profiel, wat
wordt voorgesteld in het onderste paneel.
We merken op dat het niet eenvoudig is om de radiale snelheid van de ster af te leiden uit
de overgang van de absorptie- naar de emissiecomponent, vermits we de golflengteverdeling van de
afzonderlijke componenten van het P Cygni profiel niet kennen (zie bovenste paneel van figuur 1.2).
21
Figuur 1.4: Het profiel van een dunne sferische schil die straling verstrooit. Het bovenste paneel stelt
de geometrie van de schil voor, terwijl het onderste paneel de resulterende absorptiecomponent A(v)
en de vlakke emissiecomponent E(v) weergeeft. Een gedeelte van de emissie wordt geocculteerd
door de ster. Het resulterend profiel van de schil is de som van de absorptie- en emissiecomponent.
22
Figuur 1.5: Het profiel van een spectraallijn gevormd in een sterrenwind met buitenwaarts toenemende windsnelheid. Het bovenste paneel schetst de individuele contributies van de verschillende
schillen omheen de ster. Deze contributies bestaan uit smalle absorptiecomponenten en vlakke
brede emissiecomponenten. In het onderste paneel wordt het P Cygni profiel getoond, welk de som
is van alle verschillende bijdragen van alle schillen.
23
Voor het bepalen van de radiale snelheid van een ster doet men veel beter beroep op fotosferische
absorptielijnen.
De verhouding tussen de sterkte van de emissie- en absorptiecomponent van het P Cygni profiel
hangt af van de relatieve grootte van het gebied dat de sterrenwind inneemt t.o.v. de grootte van
de ster. Wanneer de ster een continuüm straalt zonder een absorptielijn te vertonen, dan is het
verschil tussen de sterkten van beide componenten enkel een gevolg van het verlies van fotonen die
in de gezichtslijn terug verstrooid worden in de richting van de ster (“back-scattering” of terugverstrooiing). Wanneer de ster dan ook nog klein is t.o.v. het emitterend gebied zal slechts een
kleine fractie van de straling verloren gaan en is de emissiecomponent ongeveer even sterk als de
absorptiecomponent. Wanneer de ster echter groot is t.o.v. het emitterend gebied, dan wordt een
aanzienlijke fractie van de fotonen verloren door terug-verstrooiing en is de emissiecomponent veel
kleiner dan de absorptiecomponent. In het limietgeval dat we enkel een dunne verstrooiende laag
hebben boven de fotosfeer worden zowat de helft van de fotonen terug-verstrooid. Wanneer de
fotosfeer dan alleen continuümstraling uitzendt zal de emissiecomponent slechts de helft bedragen
van de absorptiecomponent. De aanwezigheid van een fotosferische absorptiecomponent compliceert
dit beeld tussen de grootte van de verstrooiende gebieden en de netto absorptiecomponent en
vergroot uiteraard de relatieve sterkte van de absorptie- t.o.v. de emissiecomponent.
Oefening: Ga na hoe de vorm van een P Cygni profiel verandert wanneer :
• er zich een schil met merkelijk hogere dichtheid t.o.v. de naburige schillen bevindt in de
sterrenwind en die zich beweegt met snelheid v S .
• het ion dat verantwoordelijk is voor de vorming van de lijn niet voorkomt in het binnenste
gedeelte van de wind, waar de snelheid v(r) kleiner is dan een bepaalde binnensnelheid v in .
• het ion dat verantwoordelijk is voor de vorming van de lijn niet voorkomt in het buitenste
gedeelte van de wind, waar de snelheid v(r) groter is dan een bepaalde buitensnelheid v uit .
• het ion dat verantwoordelijk is voor de vorming van de lijn enkel dicht bij de ster voorkomt.
In tabel 1.1 worden enkele kenmerken van de voornaamste UV spectraallijnen die P Cygni profielen vertonen opgesomd. De P Cygni profielen van deze UV resonantielijnen geven informatie
over het massaverlies en de snelheidswet van de sterrenwind. Men spreekt van sterk gesatureerde
lijnen wanneer een groot deel van de absorptiecomponent “zwart” is, m.a.w. flux nul heeft. Deze
gesatureerde lijnen hebben een steile blauwe absorptierand, zijn het meest gevoelig voor de snelheidswet en kunnen leiden tot een nauwkeurige schatting van v ∞ . De blauwe absorptierand bereikt
het continuüm bij de Doppler snelheid vrand ' −v∞ . Het zwarte absorptiegedeelte van een sterk
gesatureerde resonantielijn reikt bijgevolg ongeveer tot de terminale snelheid (zie figuur 1.2) en de
preciese vorm van de snelheidswet bepaalt op welke wijze de absorptierand het continu üm nadert.
Het massaverlies kan best afgeleid worden van niet-gesatureerde P Cygni profielen van UV
resonantielijnen (anders bekomen we enkel een benedenlimiet voor Ṁ ). Om dit massaverlies af te
leiden worden de geobserveerde P Cygni profielen vergeleken met theoretisch berekende profielen
24
Tabel 1.1: Enkele belangrijke UV lijnen die een signatuur zijn van massaverlies. De abondantie
wordt uitgedrukt als het aantal deeltjes relatief t.o.v. een H deeltje. De ionisatiepotentiaal is uitgedrukt in eV. De centrale golflengte is gegeven in Å. De excitatiepotentiaal is eveneens uitgedrukt
in eV. Het statistisch gewicht g` geeft het aantal mogelijke toestanden van het ion weer. f staat
voor de oscillatorensterkte van de overgang.
Ion
Abondantie
Ionisatiepotentiaal
λ0
Excitatiepotentiaal
g`
f
C II
3.7 ×
10−4
11.26
C III
C IV
3.7 × 10−4
3.7 × 10−4
24.38
47.89
N IV
NV
1.1 × 10−4
1.1 × 10−4
47.45
77.47
O VI
6.8 × 10−4
113.90
Mg II
3.5 × 10−5
7.65
Si II
3.5 × 10−5
8.15
Si III
Si IV
3.5 × 10−5
3.5 × 10−5
16.35
33.49
Fe II
2.5 × 10−5
7.87
1334.532
1335.708
1175.670
1548.195
1550.770
1718.551
1238.821
1242.804
1031.928
1037.619
2795.528
2802.705
1526.707
1533.431
1206.500
1393.755
1402.770
2585.876
2598.370
2599.396
0.00
0.01
6.50
0.00
0.00
16.20
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.05
0.00
2
4
9
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
10
8
10
0.128
0.319
0.257
0.191
0.095
0.179
0.157
0.078
0.130
0.065
0.612
0.305
0.230
0.229
1.669
0.514
0.255
0.065
0.099
0.244
25
voor verschillende radiale verdelingen van de ionendichtheden n i (r) van de optredende ionen in de
sterrenwind. Wanneer de voorspelde en waargenomen profielen voldoende goed op elkaar gelijken,
kent men aldus de verdeling van ni (r). Deze laatste kan men inverteren tot een dichtheidsverdeling
ρ(r) in de sterrenwind wanneer de abondantie en de ionisatiefractie van het waargenomen ion
gekend zijn in de sterrenwind :
ni (r) =
Ṁ
ni (r) nE (r) nH (r)
nH (r)
ρ(r) = qi (r)AE
,
nE (r) nH (r) ρ(r)
ρ(r) 4πr 2 v(r)
(1.5)
waarbij AE = nE /nH de abondantie van het element E t.o.v. waterstof H is en q i = ni /nE de
fractie van ionen in de gepaste ionisatie- en excitatietoestand is om de spectraallijn te produceren.
De verhouding nH /ρ hangt af van de chemische samenstelling van de sterrenwind en bedraagt
(1.36 mu )−1 = 4.43 × 1023 atomen/g voor een chemische samenstelling gelijk aan deze van de zon.
Oefening : Toon het resultaat in vergelijking (1.5) aan door gebruik te maken van de continuı̈teitsvergelijking (1.1).
Wanneer we dan v(r) en ρ(r) kennen, kan het massaverlies Ṁ afgeleid worden uit (1.5). De
bepaling van het massaverlies hangt sterk af van de aangenomen ionisatiefracties, welke niet goed
gekend zijn voor hete sterren omdat voor hen de onderstelling van lokaal thermodynamisch evenwicht niet meer gerechtvaardigd is. Om deze reden is een nauwkeurige bepaling van Ṁ op basis
van P Cygni profielen niet mogelijk en dient elk resultaat geconfronteerd te worden met datgene
afgeleid op basis van andere diagnostieken.
We besluiten dat zowel het massaverlies als de terminale windsnelheid kan bekomen worden op
basis van P Cygni profielen van UV resonantielijnen, wat meteen benadrukt dat deze een bijzonder
belangrijke diagnostiek zijn voor de studie van de sterrenwind van massieve sterren.
1.2.3
Emissielijnen
Sterren die een aanzienlijk massaverlies ondergaan kunnen naast P Cygni profielen tevens emissielijnen vertonen in hun spectra. Deze treden op als het massaverlies groter dan zowat 10 −6 M per
jaar bedraagt. De best gekende emissielijn is de optische Hα lijn bij λ = 6563 Å in de spectra van
O- en B-type superreuzen. De studie van de sterrenwind aan de hand van de Hα emissielijn is
evident: dit gedeelte van het sterspectrum kan vanop Aarde gemeten worden, terwijl voor de UV
resonantielijnen een satelliet nodig is.
Andere voorbeelden van emissielijnen van OB-sterren zijn de Paschen en Brackett lijnen van
waterstof in het nabije infra rood en de He II lijnen bij λ = 1640 en 4686 Å (zie figuur 1.6) in de
spectra van de heetste sterren. Daarnaast zijn de visuele spectra van WR sterren gedomineerd door
emissielijnen.
De sterkte en de profielen van de emissielijnen geven ook informatie prijs over het massaverlies
26
Figuur 1.6: Voorbeelden van emissielijnen gevormd in de sterrenwind. De figuur toont een gedeelte
van het optisch spectrum van zes sterren, met spectraal type gaande van O 8 Ia tot WN 8, met
toenemende sterkte van de emissie. In de spectra van O sterren zien we slechts een paar zwakke
emissielijnen, maar de spectra van de WR sterren zijn gedomineerd door vele brede emissielijnen.
27
en de snelheid van de sterrenwind. De emissielijnen worden veelal gevormd door botsingsrecombinatie, waarbij de emissie ontstaat in gebieden van relatief hoge dichtheid. Deze komen overeen
met de diepere lagen in de sterrenwind, dicht bij de ster. Op deze plaatsen is de versnelling in de
sterrenwind het grootst.
De emissielijnen zijn bij goede benadering symmetrisch rondom hun rustgolflengte. Ze hebben voor OB-superreuzen een typische full-width-at-half-maximum (FWHM) van een paar honderd
km/s. Dit is veel kleiner dan de terminale snelheid van de wind, welke typisch enkele duizenden
km/s bedraagt. De reden hiervoor is precies dat de emissielijnen gevormd worden in de diepere
lagen, waar de dichtheid nog groot en de windsnelheid klein is. De emissielijnen van de WR sterren
daarentegen hebben een FWHM die vergelijkbaar is met de terminale snelheid in de wind. Dit
komt omdat deze lijnen over een veel groter gebied in de sterrenwind gevormd worden, vermits de
dichtheden in de gehele winden van deze sterren aanzienlijk groter zijn.
1.3
Infrarood en radio exces
Sterren met een geı̈oniseerde sterrenwind stralen een exces aan continuüm straling uit bij lange
golflengten, nl. in het infrarood (IR) en radiogebied. Het teveel aan flux wordt steeds gemeten
t.o.v. de hoeveelheid straling die de fotosfeer van de ster zou uitzenden wanneer er geen sterrenwind
optreedt. Het exces wordt veroorzaakt door vrij-vrij emissie van de wind. Deze vrij-vrij straling
hangt af van de dichtheids- en temperatuursstructuur van de sterrenwind.
Het IR exces alleen is niet voldoende om informatie over het massaverlies en de windsnelheid
af te leiden. Wat dit laatste betreft kan het Doppler effect niet gebruikt worden omdat het continuümstraling betreft. Wanneer echter de temperatuursstructuur in de wind gekend is, kan men uit
de exces flux de dichtheidsstructuur afleiden. Deze levert, in combinatie met een schatting van de
snelheid uit bijvoorbeeld UV resonantielijnen, de mogelijkheid om het massaverlies te bepalen.
De IR excessen in het nabije IR kunnen bepaald worden aan de hand van metingen vanop aarde.
De aardatmosfeer is echter niet transparant voor het mid- en verre IR. Daarom zijn IR metingen
van o.a. massieve sterren voor het eerst uitvoerig in kaart gebracht door de metingen gedaan met
de Infra Red Astronomical Satellite (IRAS) in de jaren tachtig. Het exces van normale OB-sterren
is in het algemeen klein, van de orde van een paar tienden van een magnitude bij 5 - 10 µm.
Een voorbeeld van een energieverdeling met een IR en radio exces wordt getoond in figuur 1.7
voor de ster P Cygni, een LBV van spectraal type B 1 Ia met een sterke sterrenwind (P Cygni profielen werden voor het eerst waargenomen in het spectrum van deze ster – vandaar hun naam). De
waargenomen flux daalt wel naarmate de golflengte stijgt, maar deze daling is minder steil dan diegene die verwacht wordt voor de stellaire fotosfeer. Het exces stijgt m.a.w. naar langere golflengten
toe. De fotosferische flux wordt bepaald door een Planckse stralingskromme in het visuele gedeelte
van het spectrum. De Rayleigh-Jeans benadering van de Planckfunctie is nauwkeurig tot een paar
micron. Bij langere golflengten produceert de vrij-vrij straling een exces. De energieflux wordt in
28
Figuur 1.7: De energieverdeling van de B 1 Ia superreus P Cygni. De streepjeslijn is de energieverdeling die we verwachten op basis van een fotosfeer in hydrostatisch evenwicht, m.a.w. een zwarte
straler welke geëxtrapoleerd wordt vanuit de metingen in het visuele deel van het spectrum. Deze
fotosferische flux neemt de vorm aan van de Rayleigh-Jeans benadering van de Planck functie:
Fν ∼ λ−2 . De stippellijn daarentegen is de werkelijk waargenomen energieverdeling, welke benaderd kan worden door Fν ∼ λ−0.6 , welke een typische vorm is voor de energieflux in het geval van
vrij-vrij straling in een geı̈oniseerd materiaal. Het exces wordt aangeduid door het donkere gebied.
29
Figuur 1.8: De terminale windsnelheden in functie van de ontsnappingsnelheid voor O, B en Atype sterren. De verschillende symbolen duiden de verschillende temperatuursintervallen aan. De
onzekerheid op de bepaling van v∞ bedraagt typisch 10 – 20%.
het gebied tussen 3 en 100 µm goed beschreven door een wet ∼ λ −0.6 .
1.4
Samenvatting en observationele resultaten
We hebben kort de verschillende werkwijzen voor het detecteren en meten van het massaverlies
van hete sterren overlopen. De aangehaalde methoden bestrijken het gehele electromagnetische
spectrum, gaande van het UV tot het IR en radio gebied.
De methoden die steunen op de vorm van sommige spectraallijnen (zoals de P Cygni profielen
van UV resonantielijnen) hebben het voordeel dat ze zowel informatie over de snelheid (door het
Doppler effect) als over de dichtheid (op basis van de lijnsterktes) prijsgeven. Er is echter een grote
afhankelijkheid van de onderstellingen over de thermische structuur van de sterrenwind. Dit komt
omdat de lijnabsorptie of -emissie sterk afhangt van de ionisatie- en excitatietoestand. Daarentegen
zijn de methoden die enkel gebruik maken van de metingen van continuümstraling (aan de hand van
het opstellen van een energieverdeling) niet zo sterk afhankelijk van de windstructuur. Echter, zij
geven enkel informatie over de hoeveelheid geı̈oniseerd gas en niet over de snelheid. Onafhankelijke
snelheidsinformatie is daarbij nodig om het massaverlies te kunnen afschatten. Het is evident dat
de meest nauwkeurige schatting van het massaverlies daarom moeten steunen op beide methoden.
30
Figuur 1.9: Het gemodificeerd wind momentum (waarbij het massaverlies dient uitgedrukt te worden in M /jaar, v∞ in km/s en de straal in zonnestralen alvorens de logaritme te bepalen) wordt
uitgezet t.o.v. de lichtkracht voor O en B sterren in de melkweg. Het massaverlies werd enerzijds
afgeleid uit Hα profielen en anderzijds uit radio fluxen.
We zullen later afleiden dat het massaverlies afhangt van de massa en de lichtkracht van de
ster. Echter, de massa van een ster is een zeer onzekere parameter met een relatief grote standaardfout wanneer we ze afleiden uit observaties. Vandaar dat men deze parameter wil elimineren bij
het vergelijken van theoretisch voorspelde en waargenomen massaverliezen. In figuur 1.9 tonen we
daarom waarnemingen van de grootheid Ṁ v∞ R?0.5 , welke het gemodificeerd wind momentum genoemd wordt, in functie van de lichtkracht voor massieve OB-type sterren in de melkweg. Men kan
tonen dat deze grootheid nagenoeg onafhankelijk is van de massa van de ster (het bewijs laten we
hier achterwege). De gemeten waarden voor Ṁ werden afgeleid uit radiometingen (volle stippen)
en Hα profielen (plusjes). Er blijkt een nauwe relatie te bestaan tussen het gemodificeerd wind
momentum (en dus ook het massaverlies) en de lichtkracht.
Figuur 1.8 toont de terminale snelheden van de sterrenwinden van OBA-type
p sterren in functie
van de ontsnappingssnelheid aan het steroppervlak, gedefineerd als v esc ≡ 2GM? /R? wanneer
we geen rekening houden met continuumstraling (verderop zullen we dat wel doen en een betere
definitie hanteren). Er bestaat zeer duidelijk een lineaire relatie tussen v ∞ en vesc voor elk van de
beschouwde intervallen voor de effectieve temperatuur. We stellen vast dat de terminale windsnelheden typisch een paar keer de ontsnappingssnelheid bedragen voor de heetste sterren. De sterren
van spectraal type A (of koeler) leiden nauwelijks massaverlies; hun windsnelheden zijn kleiner
dan de ontsnappingssnelheid zodat het windmateriaal niet wegstroomt van de ster. Voor O- en
B-type sterren, daarentegen, overwint de windsnelheid duidelijk de ontsnappingssnelheid en treedt
aanzienlijk massaverlies op.
31
Eender welke theoretische beschrijving en verklaring voor het massaverlies moet in staat zijn
om beide waargenomen basiseigenschappen, nl. dat het massaverlies een duidelijke functie is van
de lichtkracht en dat de terminale windsnelheid enkele keren de ontsnappingssnelheid bedraagt,
kunnen verklaren. De afleiding en bespreking van het mechanisme van het massaverlies in hete
sterren is het onderwerp van volgend hoofdstuk.
32
Hoofdstuk 2
Lijngedreven sterrenwinden
In dit hoofdstuk bestuderen we de hydrodynamica van de sterrenwind, met als doel uitdrukkingen
af te leiden voor het massaverlies en de terminale snelheid van de wind. De bewegingsvergelijking
van de hydrodynamica voor een sferisch symmetrische configuratie heeft de algemene vorm :
1 dP
GM?
dv(r, t)
=−
− 2 .
dt
ρ dr
r
(2.1)
Hierbij stelt P de totale druk voor: P = P gas + Prad . De buitenwaarts gerichte kracht afkomstig
van de stralingsdruk vermindert dus het effect van de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht. We
kunnen de balans van de krachten in het rechterlid van bovenstaande vergelijking ook anders
schrijven :
1 dPgas
dv(r, t)
=−
+ ggrav + grad ,
(2.2)
dt
ρ dr
waarbij ggrav staat voor de gravitatieversnelling en g rad voor de radiatieve versnelling. Het komt er
dus op neer grad te bepalen en de vergelijking op te lossen.
De sterrenwind van massieve hete sterren wordt gedreven door de verstrooiing van fotonen
in spectraallijnen. Men spreekt daarom van een lijngedreven of nog een stralingsgedreven wind.
We dienen dus grad op te stellen voor een lijngedreven wind. Dit vereist een studie van het stralingstransport in de buitenste steratmosfeer.
Hete sterren stralen het grootste deel van hun energie uit in het ultraviolet. In dit golflengtegebied hebben de atmosferen van zulke sterren zeer talrijke absorptielijnen. De opaciteit (zie verder)
van de absorptielijnen is er dan ook veel groter dan diegene van de continuümstraling. De opaciteit
van één sterke absorptielijn, bijvoorbeeld de C IV resonantielijn bij 1550 Å, kan gemakkelijk een
miljoen keer groter zijn dan de opaciteit van electronenverstrooiing.
De grote stralingsdruk die de ionen ondervinden omwille van hun absorptielijnen zou geen
efficiënt aandrijvingsmechanisme voor massaverlies zijn, indien het Doppler effect niet bestond. In
33
een statische atmosfeer met sterke lijnabsorptie zal het stralingsveld van de fotosfeer geabsorbeerd
of verstrooid worden in de diepere lagen van de atmosfeer. De buitenste lagen ontvangen zo zeer
weinig straling bij de golflengte van de lijn en dus de radiatieve versnelling g rad in de buitenste lagen
van de atmosfeer ten gevolge van lijnabsorptie wordt zeer beperkt gehouden. Wanneer de buitenste
atmosfeer echter dynamisch is, treedt een snelheidsgradiënt op, waardoor de ionen in de buitenlagen
de straling roodverschoven zien. Als gevolg hiervan kunnen deze ionen de straling afkomstig van de
fotosfeer absorberen. Dit blijkt een zeer efficiënt aandrijvingsmechanisme voor een uitstromende
sterrenwind te zijn in hete sterren.
Alvorens we dit mechanisme in detail kunnen beschrijven (m.a.w. g rad kunnen bepalen) is het
nodig om enkele basisbegrippen van stralingstransport in te voeren. We beperken ons hier tot
het hoogstnodige om het verdere verloop van dit hoofdstuk te kunnen begrijpen. Een veel dieper
inzicht in de theorie van stralingstransport wordt aangeboden in de cursus Steratmosferen, welke
gedoceerd wordt tijdens het 1ste semester van de 2de licentie.
2.1
Inleiding tot stralingstransport
We stellen ons hier tot doel om de straling van een ster nauwkeurig te beschrijven in de atmosfeer
van een massieve ster. Hiertoe voeren we eerst enkele basisbegrippen in. Een grootheid die reeds
van vroegere cursussen gekend is, is de totale lichtkracht L van de ster, welke staat voor de totale
uitgestraalde energie per eenheid van tijd. De lichtkracht wordt uitgedrukt in erg/s of in J/s. Deze
grootheid is een globale eigenschap van de ster. Om het stralingstransport te beschrijven is het
nodig om een grootheid in te voeren die een grote verfijning inhoudt t.o.v. de lichtkracht.
2.1.1
Definities
De aangewezen grootheid om straling te beschrijven blijkt de intensiteit I ν te zijn. Deze wordt
gedefinieerd als de evenredigheidscoëfficiënt in
dEν ≡ Iν (~r, ~l, t)(~l.~n)dOdtdνdΩ,
(2.3)
waarin dEν de hoeveelheid energie is die getransporteerd wordt door het oppervlak dO met normaalvector ~n, op positie ~r, tussen de tijdstippen t en t + dt, in het frequentie-interval [ν, ν + dν] en
binnen de ruimtehoek dΩ rond de richting ~l. In feite spreken we beter van de monochromatische
intensiteit. Ze wordt uitgedrukt in cgs eenheden erg s −1 cm−2 Hz−1 ster−1 . De specifieke intensiteit
kan gemakkelijk uitgedrukt worden in golflengte-eenheid: I λ = Iν c/λ2 . De totale intensiteit wordt
dan gedefinieerd als
Z
I≡
∞
0
Iν dν.
(2.4)
We voeren nu enkele afgeleide grootheden van de intensiteit in. Een eerste betreft de gemiddelde
34
intensiteit Jν , welke als volgt gedefinieerd wordt:
1
Jν (~r, t) ≡
4π
Z
Z
1
Iν dΩ =
4π
2π
0
Z
π
0
Iν sin θdθdϕ.
(2.5)
Er wordt m.a.w. een gemiddelde gemaakt over alle richtingen. De gemiddelde intensiteit wordt
uitgedrukt in dezelfde eenheden als de intensiteit. De totale gemiddelde intensiteit is
J≡
1
4π
Z
IdΩ =
1
4π
Z Z
Iν dνdΩ =
Z
∞
0
Jν dν.
(2.6)
Deze hoekgemiddelde intensiteit geeft aan hoeveel intensiteit ergens beschikbaar is voor processen
die niet richtingsgevoelig zijn. Voor een isotroop stralingsveld geldt J ν = Iν .
De monochromatische flux Fν wordt gedefinieerd als
Fν (~r, ~n, t) ≡
Z
Iν cos θdΩ =
Z
2π
0
Z
0
π
Iν cos θ sin θdθdϕ.
(2.7)
Deze flux wordt uitgedrukt in de cgs eenheden erg s −1 cm−2 Hz−1 . Het is de energie die per seconde
door een oppervlak van een cm2 , dat op positie ~r loodrecht op de richting ~n staat, stroomt. Het
betreft een netto stroom, omdat de factor cos θ negatief telt voor neerwaartse bijdragen. Met “de
flux van de ster” bedoelen we echter enkel de buitenwaartse flux
Fν+ ≡
Z
2π
0
Z
π/2
Iν cos θ sin θdθdϕ.
0
(2.8)
De stralingsenergiedichtheid uν wordt gegeven door
uν =
1
c
Z
Iν dΩ
(2.9)
en wordt uitgedrukt in de cgs eenheden erg cm −3 Hz−1 .
Tenslotte voeren we nog de stralingsdruk P ν in:
1
Pν =
c
Z
Iν cos2 θdΩ
(2.10)
uitgedrukt in de cgs eenheden dyne cm −2 Hz−1 . De straling oefent een kracht uit bij een gradiënt
van de stralingsdruk, analoog als voor de gasdruk.
Oefening :
• De intensiteit van de zonnestraling is bij de aarde even groot als bij Saturnus. De afstand
van Saturnus tot de zon is echter 10 keer groter dan die van de aarde tot de zon. Ontvangt
Saturnus evenveel energie als de aarde ?
• Hoe verhouden de intensiteit en de gemiddelde intensiteit van het zonlicht bij Saturnus zich
tot die bij de aarde ?
• Hoe verhoudt de zonneflux bij de aarde zich tot die bij Saturnus ?
35
2.1.2
De radiatieve versnelling
In het algemeen blijft de intensiteit langs een bundel dezelfde, tenzij er onderweg lokale emissieof extinctieprocessen optreden die fotonen toevoegen aan of ontnemen van de bundel. In dit geval
drukt men de lokale toe- of afname van de intensiteit uit met behulp van coëfficiënten, welke net
als de intensiteit zelf als evenredigheidsconstanten worden gedefinieerd. Onder extinctie verstaan
we het gecombineerd effect van verstrooiing én zuivere absorptie. Er kunnen inderdaad fotonen
verdwijnen uit de bundel door vernietiging (fotondestructie), maar evenzeer omdat ze verstrooid
worden. In dit laatste geval wordt het foton niet vernietigd, maar verandert zijn bewegingsrichting,
waardoor het zich niet meer langs de bundel voortplant. Vermits het verstrooien van fotonen
doorheen de steratmosfeer de basis vormt van het mechanisme van het massaverlies in massieve
sterren, beperken we ons hier tot extinctieprocessen.
Het aantal fotonen dat door een proces ontnomen wordt van een bundel straling is evenredig
met het aanbod aan fotonen en het aantal deeltjes dat in staat is om de fotonen te ontnemen van
de bundel. Een bundel straling langs de coördinaatsas s ondervindt een afname van zijn intensiteit
door lokale extinctie gegeven door
dIν (s) = −Iν (s)κν ρds.
(2.11)
De evenredigheidsconstante κν noemt men de monochromatische massa-extinctiecoëfficiënt. Ze
wordt uitgedrukt in de cgs eenheden cm 2 g−1 . De Engelse term voor de extinctiecoëfficiënt is
opacity. In het Nederlands spreekt men daarom ook van opaciteit. Wij zullen hier steeds deze
laatste term gebruiken voor κν .
De monochromatische optische weglengte dτ ν van een laag met dikte ds, gemeten langs de
bundel, is gedefinieerd als
dτν (s) ≡ κν ρds.
(2.12)
Hieruit volgt de definitie van de monochromatische optische dikte van de gehele laag met totale
geometrische dikte D:
Z
D
τν (D) =
0
κν ρds.
(2.13)
Merk op dat de optische weglengte en optische dikte dimensieloze grootheden zijn. Een laag is
optisch dik wanneer τν (D) > 1 en optisch dun wanneer τν (D) < 1.
Voor de behandeling van de stralingsgedreven sterrenwinden in hete sterren zijn, zoals reeds
vermeld in vorig hoofdstuk, de verstrooiingsprocessen veruit dominant. De kans dat fotondesctructie
optreedt is een factor 10 000 kleiner dan de kans op verstrooiing, omdat de meeste atomen zich in
de grondtoestand bevinden en omdat de dichtheden laag zijn. We zullen ons dan ook beperken tot
het bestuderen van het effect van verstrooiing van de in de sterkern geproduceerde fotonen op het
transport van de continuüm- en lijnstraling doorheen de steratmosfeer. Wanneer we in het vervolg
spreken van opaciteit, bedoelen we dus de extinctiecoëfficiënt ten gevolge van verstrooiing.
De zopas ingevoerde definitie van optische dikte werd afgeleid voor straling langsheen een
bundel in de voortplantingsrichting. In het kader van een steratmosfeer is de voortplantingsrichting
36
van de straling volgens een loodlijn op het steroppervlak (deze noemen we voortaan de r-richting) in
de zin van het stercentrum naar het steroppervlak. Een waarnemer ziet de straling dan ook onder
een hoek θ, welke we definiëren als de hoek tussen de gezichtslijn en de voortplantingsrichting
van de straling. We gebruiken daarom de volgende definitie voor de optische weglengte en dikte,
aangepast voor toepassingen van stralingstransport in een ster:
cos θdτν ≡ κν ρdr
en
τν =
Z
r
0
κν ρdr.
(2.14)
Met deze definities vinden we volgende relaties
en
cos θdIν = −Iν κν ρdr
(2.15)
dIν
= −Iν .
dτν
(2.16)
Oefening: Los deze differentiaalvergelijking op.
(We hebben de oplossing later nodig !)
We hebben nu alle ingrediënten die nodig zijn om de radiatieve versnelling g rad te bepalen.
Analoog aan de kracht uitgeoefend door een gradiënt van de gasdruk vinden we de kracht uitgeoefend door een gradiënt van de stralingsdruk als volgt:
−
1
1 dPν
=−
ρ dr
cρ
Z
κν Fν
dIν
cos2 θdΩ =
,
dr
c
(2.17)
waar we gebruik gemaakt hebben van (2.15) en de definitie van de monochromatische flux. We
vinden zodoende
Z
1 ∞
grad =
κν Fν dν.
(2.18)
c 0
2.2
Basisbegrippen van sterrenwinden
In dit deel bespreken we enkele van de fundamentele eigenschappen van sterrenwinden. We doen dit
aan de hand van zeer eenvoudige geı̈dealiseerde windmodellen, waarvoor de vergelijkingen gemakkelijk kunnen afgeleid en opgelost worden. Hieruit kunnen we dan de dichtheids- en snelheidsstructuur
van de sterrenwind bepalen, in functie van de krachten die heersen in de wind. We zullen zien dat
het massaverlies van een stationaire isotherme wind uniek bepaald wordt. Hoewel we slechts eenvoudige modellen beschouwen blijven de besluiten kwalitatief gelden voor meer gecompliceerde en
realistische configuraties die we in het volgende deel behandelen.
37
2.2.1
Een isotherme wind enkel onderworpen aan de gasdruk
Het eenvoudigste model voor een sterrenwind is er één waarbij we een constante temperatuur in
de wind hebben en waarin het gas onderworpen is aan slechts twee krachten, nl. de buitenwaarts
gerichte gradiënt van de gasdruk en de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht. We verwaarlozen
dus in eerste instantie de stralingsdruk.
Zoals we reeds vermeldden, voldoet een tijdsonafhankelijke sterrenwind met een constant massaverlies aan de vergelijking (1.1), die het behoud van massastroom uitdrukt. Verder wordt de
beweging van het gas beschreven door de bewegingsvergelijking, welke zich voor een stationaire
stroom herleidt tot :
dv
1 dP
GM?
dv(r, t)
= v(r)
=−
− 2 .
(2.19)
dt
dr
ρ dr
r
De energievergelijking onderstellen we in dit deel dus eenvoudigweg T (r) = T =constant.
Wanneer de winddeeltjes zich gedragen als een ideaal gas hebben we tevens P = RρT /µ. We
herinneren eraan dat µ ' 0.6 voor de inwendige delen van de zon en µ ' 1.3 voor de buitenlagen.
Oefening : Leid met behulp van de ideale gaswet en de vergelijking die het behoud van
massastroom uitdrukt een uitdrukking af voor de snelheidsgradiënt.
Oplossing :
Met behulp van de vergelijking van een isotherm ideaal gas kunnen we de kracht ten gevolge
van de drukgradiënt schrijven als
RT 1 dρ
1 dP
=
.
(2.20)
ρ dr
µ
ρ dr
Anderzijds staat vergelijking (1.1) toe om de dichtheidsgradiënt te schrijven als een snelheidsgradiënt
1 dρ
1 dv 2
=−
− .
(2.21)
ρ dr
v dr r
Wanneer we dan (2.20) en (2.21) invullen in de bewegingsvergelijking (2.19), vinden we
1 dv
=
v dr
2a2
r
?
− GM
r2
,
v 2 − a2
(2.22)
waarbij a ≡ (RT /µ)1/2 de isotherme geluidssnelheid voorstelt. We noemen deze vergelijking de
impulsvergelijking voor de sterrenwind.
De randvoorwaarde die hoort bij vergelijking (2.22) is de waarde van de snelheid aan de bodem
van het isotherm gebied. Wanneer dit laatste gelocaliseerd is in het punt r 0 , dan hebben we een
randvoorwaarde van de vorm v(r0 ) = v0 nodig. In de praktijk verschilt r0 niet veel van de straal
van de fotosfeer van de ster. De impulsvergelijking (2.22) heeft een singulier punt in v(r) = a. Zoals
we verder zullen zien is dit singulier punt zeer belangrijk, omdat dit het massaverlies vastlegt.
38
Laten we nu de structuur van de wind aan de hand van de impulsvergelijking bestuderen. De
teller van het rechterlid bevat een 1/r en een 1/r 2 afhankelijkheid. Deze teller wordt nul op een
afstand r = rc ≡ GM? /2a2 . We spreken van de kritische afstand, of ook de afstand van het kritisch
punt. Zulk een punt treedt op in de isotherme wind op positie r c > r0 wanneer GM? /2a2 > r0 , of
m.a.w. wanneer
v 2 (r0 )
GM?
≡ esc
> a2 .
(2.23)
2r0
4
Wanneer het kritisch punt zou gelocaliseerd zijn in r k < r0 , dan bevindt het zich niet in het isotherm
regime maar wel in de fotosfeer van de ster. Daar is uiteraard niet voldaan aan de onderstellingen
die we gemaakt hebben.
Vermits de teller van de impulsvergelijking nul wordt in het kritisch punt, treedt daar geen
snelheidsgradiënt op, behalve wanneer v(rc ) = a. Omgekeerd zal de snelheidsgradiënt ±∞ zijn
op de afstand waar v = a, behalve wanneer v = a optreedt in het punt r = r c . We stellen dus
vast dat de enige oplossing waarvoor er een positieve snelheidsgradiënt kan optreden diegene is
die door het kritisch punt gaat. We noemen dit de kritische oplossing. Ze wordt gegeven door
v(rc ) = a
met
rc =
GM?
.
2a2
(2.24)
We vinden dus dat de snelheid in het kritisch punt de helft van de ontsnappingssnelheid in dat punt
moet bedragen :
vesc (rc )
.
(2.25)
v(rc ) = a =
2
Het punt in de sterrenwind waar v(r) = a noemen we het sonisch punt. Het punt waar v(r) = v esc (r)
noemen we het ontsnappingspunt. We hebben dus gevonden dat het kritisch punt samenvalt met
het sonisch punt in een isotherme wind. Dit is niet meer het geval voor algemenere windmodellen.
Bovendien is de kritische oplossing transsonisch, vermits ze subsonisch start dicht bij de fotosfeer
en ze een supersonische snelheid bereikt op grote afstand van de ster.
Alle verschillende typen wiskundige oplossingen voor de impulsvergelijking (2.22) worden grafisch voorgesteld in figuur 2.1 voor verschillende waarden van de initiële snelheid v(r0 ). In het gebied
r < rc , waar de teller van de impulsvergelijking (2.22) negatief is, heerst een positieve (negatieve)
snelheidsgradiënt wanneer v(r) < (>)a. Analoog is in het gebied r > r c , waar de teller positief
is, de snelheidsgradiënt negatief (positief) wanneer v(r) < (>)a. De dikke kromme met label 1 is
de kritische oplossing, welke subsonisch start, door het kritisch punt gaat, en supersonisch wordt
voorbij het kritisch punt. De kromme met label 2 stelt een oplossing voor die eveneens het kritisch
punt bevat, maar die supersonisch start aan de sterfotosfeer. De kromme met label 3 stelt een oplossing voor waarvoor de startsnelheid v(r 0 ) te klein is om aan het sonisch punt te geraken, dus deze
oplossing blijft subsonisch met een maximum in r c . De kromme met label 4 is een oplossing voor
een supersonische startwaarde v0 . De krommen met label 5 en 6 zijn enkel wiskundige oplossingen
die verder geen fysische betekenis hebben.
Uit de voorgaande discussie hebben we dus gevonden dat er slechts één oplossing voor de
impulsvergelijking bestaat welke subsonisch start en supersonisch eindigt op grote afstand van de
ster. Deze oplossing komt overeen met slechts één bepaalde randwaarde v 0 (crit) van de snelheid in
39
Figuur 2.1: Oplossingen van de impulsvergelijking (2.22) voor een isotherme sterrenwind onderhevig
aan de gasdruk en de gravitatiekracht. De oplossingen worden gegeven in termen van v/a versus
r/rc . In dit voorbeeld werd rc = 5 R? genomen. De verschillende krommen worden beschreven in
de tekst. De dikke lijn met label 1 is de transsonische oplossing met toenemende snelheid doorheen
het kritisch punt rc waarin v = a.
40
Figuur 2.2: De snelheid (uitgedrukt in termen van het Mach getal) en de dichtheid worden uitgezet als functie van r/r0 , met r0 de positie van het kritisch punt (aangeduid als een cirkeltje).
De streepjeslijn toont de dichtheidsstructuur voor een atmosfeer in hydrostatisch evenwicht met
dezelfde temperatuur. We stellen vast dat de twee dichtheidsverdelingen nagenoeg identiek zijn in
het subsonisch gedeelte van de wind.
de fotosfeer van de ster. We vinden zo dat een isotherme sterenveloppe met een gegeven dichtheid
ρ0 alleen een supersonische wind kan produceren wanneer ze een hoeveelheid massa
Ṁ = 4πr02 ρ0 v0 (crit)
(2.26)
verliest. Anders geformuleerd: een isotherme wind met een gegeven randvoorwaarde (ρ 0 , T0 ,graviteit)
kan slechts supersonische snelheden bereiken voor één specifieke waarde van het massaverlies. Men
kan bewijzen dat dit een gevolg is van het feit dat de wind niet enkel moet voldoen aan het behoud
van massastroom en impuls, maar tevens aan het behoud van energie (we gaan hier niet dieper op
in). De kritische oplossing voorgesteld in figuur 2.1 toont dat de snelheid op zeer grote afstand van
de ster oneindig toeneemt. Dit is opnieuw een gevolg van het feit dat de wind isotherm ondersteld
wordt, zelfs op zulke grote afstand van de ster. Uiteraard is dit daar geen realistische onderstelling
meer. In werkelijkheid is de isotherme benadering voor de sterrenwind slechts goed tot een zekere
afstand van het steroppervlak en neemt de snelheid op grotere afstand niet significant meer toe.
De dichtheidsstructuur van de wind kan gevonden worden door vergelijking (1.1) op te lossen,
nadat de snelheidsstructuur bepaald werd uit de impulsvergelijking. Figuur 2.2 toont het verloop
van de dichtheid van een isotherme wind vanaf het steroppervlak als een functie van r/r 0 . De
snelheidsstructuur, uitgedrukt in het Mach nummer M ≡ v/a, is eveneens aangeduid. De positie
van het kritisch punt is aangeduid als een cirkeltje. Op de figuur is tevens de dichtheidsstructuur
voor een atmosfeer in hydrostatisch evenwicht aangeduid (stippellijn). We stellen vast dat beide
41
dichtheidsstructuren nauwelijks te onderscheiden zijn in het subsonisch regime. Voorbij het kritisch
punt wijkt de dichtheid van de sterrenwind af van diegene bekomen op basis van de onderstelling van
hydrostatisch evenwicht. De reden waarom beide dichtheidsstructuren gelijk zijn in het subsonisch
regime is dat de term v(dv/dr) in de bewegingsvergelijking bijzonder klein is t.o.v. de term die
de drukgradiënt bevat. We besluiten dat de dichtheidsstructuur van het subsonisch gebied vooral
bepaald wordt door de hydrostatische dichtheidsstructuur en niet door de snelheidswet.
2.2.2
Een isotherme wind onderworpen aan een extra ∼ 1/r 2 kracht
We kunnen ons nu afvragen hoe de resultaten bekomen in vorig deel veranderen wanneer er bijkomende krachten, zoals de gradiënt van de stralingsdruk, actief zijn in de sterrenwind. We beperken
ons eerst tot de radiatieve versnelling ten gevolge van de continuümopaciteit door een puntbron
van straling. Zoals reeds vermeld is het een goede benadering om enkel rekening te houden met
verstrooiingsprocessen. Voor de continuümstraling gaat het dan om fotonen die door de vrije
electronen in de sterrenwind verstrooid worden. Men spreekt van Thomson verstrooiing, welke onafhankelijk van de frequentie van de straling is. De frequentie-onafhankelijke werkzame doorsnede
van één electron bedraagt
8π e2
,
(2.27)
κT =
3 me c2
waarbij me de massa van een electron voorstelt en e de lading ervan. De opaciteit ten gevolge van
electronenverstrooiing wordt gegeven door
κe = κ T
ne
,
ρ
(2.28)
met ne het aantal electronen per cm3 . Dit aantal hangt af van de massafracties X, Y, Z en de
ionisatiegraad in de wind. De opaciteit voor electronenverstrooiing is enkel onafhankelijk van de
afstand tot de ster wanneer de ionisatiegraad constant is doorheen de gehele wind. De radiatieve
versnelling bedraagt in dit geval κ e F? /c, waarbij F? de totale flux van de ster is (m.a.w. de
flux geı̈ntegreerd over alle frequenties). Op een afstand r in de sterrenwind wordt de radiatieve
versnelling dus gegeven door
κe L?
GM?
Γe ,
(2.29)
ge (r) =
=
2
4πr c
r2
met
κe L?
Γe ≡
.
(2.30)
4πcGM?
De opaciteit tengevolge electronenverstrooiing hangt af van de chemische samenstelling van de wind
en van de ionisatiegraad. Voor vroeg-type massieve sterren van populatie I ligt deze opaciteit steeds
tussen 0.28 < κe < 0.35 cm2 /g.
We stellen vast dat de radiatieve versnelling ten gevolge van de continuümstraling dezelfde rafhankelijkheid heeft als de gravitatieversnelling. De overeenkomende kracht is echter tegengesteld
aan de gravitatiekracht, en zal het effect van deze laatste verminderen. We kunnen beide termen
42
daarom bundelen en spreken van de effectieve gravitatieversnelling:
GM?
[1 − Γe ] .
(2.31)
r2
De stralingsdruk ten gevolge van de continuümstraling kan de gravitatie overwinnen wanneer Γ e > 1.
In de praktijk, echter, is Γe 1. De continuümopaciteit alleen kan dus niet de oorzaak van de
sterrenwind zijn.
geff (r) ≡ −
Γe is een functie van L? /M? . We maken nu even een zijsprong en beschouwen de totale opaciteit κ ten gevolge van alle processen. We vinden dan de volgende bovenlimiet voor de lichtkracht
van een ster, opdat de gravitatie in staat zou zijn om de gasbol samen te houden:
4πcGM?
,
(2.32)
κ
Wanneer niet voldaan is aan deze voorwaarde, kan de ster niet in hydrostatisch evenwicht zijn. Er
bestaat dus een kritische lichtkracht die niet kan overschreden worden door hoofdreekssterren. Men
noemt deze de Eddington lichtkracht:
L<
4πcGM?
,
(2.33)
κ
en de overeenkomende voorwaarde op L ? /M? de Eddington limiet. Sterren kunnen dicht bij hun
Eddington limiet komen wanneer ze een zeer grote energieflux hebben en/of wanneer de opaciteit
zeer groot wordt. Ze kunnen dan niet erg stabiel zijn en de minste storing die dan de straling een
beetje helpt om de gravitatie te overwinnen resulteert in fel massaverlies. Dit is het geval voor
LBVs. De toepassing van de massa-lichtkracht relatie levert tevens een bovenlimiet voor de massa
van een ster opdat de gravitatie de gasbol bij elkaar kan houden. We vinden dus dat de hoofdreeks
een bovengrens in massa moet hebben. Wanneer we alleen de continuümopaciteit door verstrooiing
in rekening brengen vinden we zo een bovenlimiet voor de massa van ongeveer 120 M . In de
praktijk weten we dat sterren met veel lagere massa reeds fel massaverlies ondergaan. Dit komt
door de grote lijnopaciteit van massieve sterren.
LEdd ≡
We beschouwen nu de radiatieve versnelling ten gevolge van één optisch dunne lijn. In dit geval
wordt de integraal (2.18) sterk vereenvoudigd. Immers, de integraal over alle frequenties is alleen
verschillend van nul in de lijn zelf, omdat de lijnopaciteit van die bepaalde lijn ` overal elders nul
is. We dienen daarom enkel te integreren over de frequenties die bedekt worden door het profiel van
de lijn, m.a.w. over de lijnbreedte. Deze laatste wordt vooral bepaald door de Dopplerverbreding
van de lijn ten gevolge van de thermische beweging van de deeltjes:
vth
,
(2.34)
4νD ≡ ν`
c
p
met vth = 2kT /m, welke we in de cursus Sterstructuur en -evolutie afgeleid hadden als de meest
waarschijnlijke snelheid voor de deeltjes in een klassiek ideaal gas die een Maxwell-snelheidsverdeling
volgen. In de praktijk is de thermische snelheid van deeltjes in de√
sterrenwind van een massieve ster
van dezelfde orde als de geluidssnelheid (beide een functie van T ). We vinden zo de radiatieve
versnelling van de optisch dunne lijn:
`
gdun
=
L?
ν` Lν
Fν
vth κ`
.
κ` 4νD =
c
L?
4πr 2 c2
43
(2.35)
Figuur 2.3: De snelheidsstructuur (in termen van het Mach getal) en de dichtheidsstructuur als
functie van de afstand r/r0 voor een isotherme wind met een extra buitenwaarts gerichte kracht
van de vorm Γ(GM? /r 2 ) voor verschillende Γ-waarden. De positie van het kritisch punt is telkens
aangeduid door het cirkeltje.
We stellen dus vast dat de radiatieve versnelling van een optisch dunne lijn, net zoals deze ten
gevolge van de continuümopaciteit door verstrooiing, dezelfde r-afhankelijkheid heeft als de gravitatieversnelling maar tegengesteld gericht is. We kunnen daarom de continu ümopaciteit en de
lijnopaciteit van de dunne lijnen bundelen en de graviteit schrijven als
g = ggrav (1 − Γ) ,
(2.36)
met g ∼ 1/r 2 .
Oefening : Leid de impulsvergelijking af in het geval wordt rekening gehouden met continuümstraling. Bepaal de kritische oplossing. Wat gebeurt er met de ligging van het kritisch punt
in vergelijking met datgene gevonden wanneer er alleen gasdruk heerst ?
Oplossing :
We vragen ons nu af wat de invloed is van het optreden van Γ in de impulsvergelijking. Voor
Γ < 1 blijft de voorwaarde (2.24) dezelfde. De snelheid in het kritisch punt blijft de geluidssnelheid,
44
maar het kritisch punt bevindt zich nu een factor (1 − Γ) dichter bij de ster:
rc (Γ) =
GM? (1 − Γ)
.
2a2
(2.37)
In figuur 2.3 tonen we het effect van een toename in Γ op de snelheids- en dichtheidsstructuur.
We merken vooreerst op dat de snelheid v 0 /a fel toeneemt bij stijgende Γ. Hoe groter de extra
buitenwaartse kracht, hoe kleiner de versnelling maar hoe groter de snelheid op elke plaats in de
wind. De reden hiervoor is dat de initiële snelheid v0 moet toenemen met toenemende Γ om een
transsonische oplossing door het kritisch punt te bekomen. Vermits het massaverlies gerelateerd is
met v0 resulteert een grotere Γ tevens in een veel grotere Ṁ .
In de praktijk worden de optische dunne lijnen niet apart behandeld bij de bepaling van g rad ,
maar beschouwt men het totale ensemble van alle absorptielijnen die een belangrijke bijdrage tot
de totale lijnopaciteit leveren. Dit is het onderwerp van het volgende deel.
2.3
Een realistische beschrijving van een lijngedreven sterrenwind:
het CAK-model
De radiatieve versnelling veroorzaakt door een optisch dikke spectraallijn is niet meer van de vorm
1/r 2 , waardoor ze niet op een eenvoudige wijze te combineren is met de gravitatieversnelling.
` , welke we
`
en gdik
Evenzeer is het niet mogelijk om een gewone optelsom te maken tussen g dun
voortaan als afkorting zullen gebruiken voor de radiatieve versnelling ten gevolge van alle optisch
dunne, respectievelijk alle optisch dikke lijnen. Dit komt omdat vele spectraallijnen zich tussen het
optisch dikke en dunne regime bevinden, waardoor de integraal gegeven in (2.18) niet eenvoudig op
te splitsen is. Bovendien is het zo dat er een groot aantal optisch dikke én dunne lijnen optreedt in
het UV gedeelte van het spectrum van hete sterren. We dienen de meeste van deze lijnen in rekening
te brengen om een nauwkeurige beschrijving te vinden. We moeten dus op één of andere manier
het “gecombineerd effect” van alle lijnen trachten op een handige manier te beschouwen om een
nauwkeurige uitdrukking voor grad te bepalen. Dit werd voor het eerst gerealiseerd en uitgevoerd
door de astronomen Castor, Abbott & Klein (CAK) in 1975. We beschrijven nu de verschillende
stappen in hun bepaling van grad en de daaruit afgeleide oplossing van de impulsvergelijking en
massastroomvergelijking.
2.3.1
Impulsoverdracht door verstrooiing
We beschouwen nu de overdracht van impuls van straling naar de deeltjes in de sterrenwind. We
onderstellen nog steeds een puntbron van straling in de sterkern. Het stralingsveld is sterk buitenwaarts gericht. Een ion zal een foton absorberen en het terug emitteren. We veronderstellen
dat het ion beweegt langs de radiale richting met snelheid v = v r en dat het een foton absorbeert
dat zich in dezelfde richting voortplant. Na deze absorptie heeft het ion de impuls van het foton
45
Figuur 2.4: De overdracht van impuls door absorptie en emissie van een foton. Vermits het geabsorbeerde foton steeds uit dezelfde richting komt maar het uitgestraalde foton eender welke richting
kan hebben, is de overdracht van impuls voor verstrooiing ongeveer gelijk aan de overdracht in het
geval van fotondestructie.
gewonnen en wordt zijn snelheid gegeven door
mvr0 = mvr +
hν
.
c
(2.38)
Er treedt dus een toename in zijn snelheid op van 4v r = hν/mc. Wanneer het ion vervolgens een
foton met frequentie ν 0 uitzendt onder een hoek α t.o.v. de radiale richting, dan bedraagt de nieuwe
snelheid van het ion in de radiale richting nog slechts
mvr00 = mvr0 −
hν 0
cos α.
c
(2.39)
Onderstel dat het ion slechts fotonen kan absorberen en emitteren bij de frequentie ν 0 in zijn ruststelsel. Voor een waarnemer heeft het geabsorbeerde foton dan een frequentie ν 0 (1 + vr /c), terwijl
het uitgezonden foton een frequentie ν 0 (1 + vr0 /c) heeft. Immers, de straling is roodverschoven,
dus om een goede golflengte te hebben ter hoogte van het ion moet de golflengte van de straling
lager zijn bij haar vertrekpunt, m.a.w. daar moet zij een hogere frequentie hebben, en wel met een
bedrag volgens de Doppler formule. De snelheid van het ion na absorptie en emissie bedraagt dan
vr00 = vr +
hν0
mc
1+
vr
c
−
hν0
mc
1+
vr0
c
cos α.
(2.40)
Voor v c en vr0 c vinden we hieruit
vr00 − vr =
hν0
(1 − cos α).
mc
46
(2.41)
Voorwaartse verstrooiing verandert dus niets aan de impuls van het ion, terwijl achterwaartse
verstrooiing maximaal de impuls ervan verhoogt met een bedrag 2hν 0 /c. Er treedt dus een netto
winst aan impuls in de buitenwaartse richting op.
Oefening : Bepaal de netto-impulswinst van het ion door de verstrooiing en vergelijk het
resultaat met datgene voor fotondestructie. Verklaar het antwoord !
Oplossing : Het besluit luidt dat de toename aan impuls bij isotrope verstrooiing van fotonen
die zich voortplanten in de radiale richting even groot is als bij fotondestructie. Moesten de fotonen
toestromen vanuit alle richtingen, dan zou er netto geen impulsoverdracht zijn.
De absorberende ionen worden door het invallende stralingsveld dus radiaal versneld. Zoals
reeds vermeld zijn het vooral de ionen van elementen als C, N, O, Ne, Si die efficiënte absorbeerders
zijn. Vervolgens botsen ze op den duur met andere winddeeltjes, nl. de protonen, de helium ionen
en de electronen, en delen ze zo hun gewonnen impuls aan alle deeltjes in de wind. Hierdoor treedt
een globale versnelling van het windmateriaal op.
2.3.2
Het effect van één optische dikke resonantielijn
Onderstel dat een heldere ster een sterrenwind heeft die gedreven wordt door slechts één optisch
dikke spectraallijn bij rustfrequentie ν 0 , welke zich nabij het maximum van de energieverdeling van
de ster bevindt. We gaan er hier dus even van uit dat de gravitatieversnelling precies gecompenseerd
wordt door de continuümstraling. Stel dat er verder geen andere lijnen optreden in het sterspectrum.
De snelheid van de winddeeltjes is nul aan de fotosfeer en neemt geleidelijk aan toe tot v ∞ op r → ∞.
Voor een optisch zeer dikke lijn zal elk foton dat de ster verlaat bij de goede frequentie voor de
spectraallijn geabsorbeerd worden. Dit betekent dat alleen fotonen met frequentie ν 0 in de windlagen vlak boven de fotosfeer, waar de snelheid nagenoeg nul is, geabsorbeerd worden. Anderzijds
zullen alle fotonen met frequentie ν 0 (1 + v∞ /c) geabsorbeerd worden in de buitenlagen van de sterrenwind (zie figuur 2.5). Het verschil in de frequentie van het foton om voor absorptie in aanmerking
te komen wordt volledig bepaald door het Doppler effect. De ionen in de wind zien de ster van zich
weg bewegen, dus de straling uitgezonden door de ster is roodverschoven in een assenstelsel dat
meebeweegt met de ionen in de wind. Men spreekt van het “comoving frame” (cmf). In figuur 2.6
stellen we het verschil voor van snelheidsvectoren in de sterrenwind gezien vanuit een assenstelsel
verbonden met de ster en gezien vanuit het cmf. Vermits de ionen enkel fotonen met frequentie ν 0
in hun ruststelsel kunnen absorberen, moeten deze fotonen het steroppervlak verlaten hebben
met een frequentie ν0 (1 + v/c) in het stelsel verbonden met de ster. Als de lijn optisch dik is zal alle
sterstraling in het frequentie-interval [ν 0 , ν0 (1 + v∞ /c)] geabsorbeerd worden in de windlagen die
een snelheid hebben tussen v = 0 en v∞ . Dit wordt grafisch voorgesteld in figuur 2.5. We vinden
zo meteen de reden waarom de lijnopaciteit erg belangrijk is: dit komt door de snelle beweging van
de winddeeltjes. De windsnelheden zijn van de orde van 1% van de lichtsnelheid, waardoor er grote
Dopplerverschuivingen optreden. Als het gas in de wind niet in beweging was, zou er nauwelijks
47
Figuur 2.5: Het bovenste paneel toont de snelheidswet v(r) in een sterrenwind met een terminale
snelheid v∞ . Het onderste paneel geeft de fractie van de sterflux weer die geabsorbeerd wordt in
de sterrenwind door één optisch dikke absorptielijn bij frequentie ν 0 , die zich rond het maximum
van de energiedistributie bevindt.
48
Figuur 2.6: Bovenste paneel: snelheidsvectoren in een expanderende sterrenwind in en rond een
punt aangeduid door +, gezien vanuit een assenstelsel verbonden met de ster. Onderste paneel:
dezelfde snelheidsvectoren relatief t.o.v. + gezien vanuit het cmf. Een waarnemer in + ziet zijn
omgeving en de ster van zich wegbewegen en hun straling roodverschoven.
49
straling geabsorbeerd kunnen worden.
De totale straling afkomstig van de ster die per eenheid van tijd wordt geabsorbeerd door de
lijn bedraagt
Labs =
Z
ν0 (1+v∞ /c)
ν0
4πR?2 Fν dν
(2.42)
en de fotonen hebben een overeenkomende impulswaarde L abs /c overgedragen aan de wind. Wanneer we nu onderstellen dat de wind gedreven wordt door deze ene lijn, dan moet de hoeveelheid
impuls van de wind, nl. Ṁ v∞ precies gelijk zijn aan Labs /c:
Ṁ v∞
1
=
c
Z
ν0 (1+v∞ /c)
ν0
4πR?2 Fν dν '
4πR?2 Fν0 v∞
ν0
,
c
c
(2.43)
waarbij we voor de laatste gelijkheid ondersteld hebben dat de continuümstraling nabij de frequentie
ν0 constant is over het frequentie-interval van de integraal. Dit is een goede benadering aangezien
de absorptie van een resonantielijn in het UV rond 1 500 Å typisch 15Å breed is (zie ook figuur 2.5).
We stellen vast dat de vergelijking (2.43) ons toelaat het massaverlies ten gevolge van één optisch
dikke lijn af te schatten, vermits de terminale snelheid zowel in het linker- als rechterlid voorkomt.
Hiervoor hebben we een schatting nodig voor ν 0 Fν0 . Voor een zwarte straler is het zo dat een lijn
nabij het maximum van de Planck curve oplevert dat ν 0 Fν0 ' F, zodat Ṁ ' L/c2 . Voor een ster
met L = 105 L , bijvoorbeeld, vinden we zo een massaverlies van ' 7 × 10 −9 M /jaar ten gevolge
van één optisch dikke lijn.
In realiteit zijn er meerdere (Neff ) optisch dikke lijnen in het UV deel van het spectrum van
hete sterren. Wanneer deze elkaar niet overlappen kunnen ze samen aanleiding geven tot een
massaverlies Ṁ = Neff L/c2 . Voor sommige sterren neemt men een massaverlies van 10 −6 M /jaar
waar. Dit betekent dat er zowat 150 optisch dikke lijnen moeten zijn om dit massaverlies te
verklaren (weliswaar in de ruwe benadering waarin we hier gewerkt hebben).
We kunnen tevens het maximum aan massaverlies veroorzaakt door lijnstraling afleiden. Onderstel dan er zodanig veel optisch dikke lijnen zijn die elkaar zodanig overlappen dat alle fotonen
erdoor geabsorbeerd worden. Dan zal de impuls van de sterrenwind gelijk zijn aan de totale impuls
van de straling van de ster: Ṁmax v∞ = L/c. Men spreekt van de enkelvoudige lijnlimiet voor het
massaverlies. Hierbij werd ondersteld dat elk foton zijn impuls slechts één keer aan de winddeeltjes
kan doorgeven (slechts één spectraallijn kan voeden). We zullen later zien dat hieraan niet voldaan
kan zijn voor sommige sterren.
2.3.3
De Sobolev benadering
` voor alle absorptielijnen.
We zullen nu overgaan tot het bepalen van een realistische waarde van g rad
In de uitdrukking (2.18) voor de radiatieve versnelling wordt de integraal over alle frequenties ν
genomen. Het hele frequentiegebied dient inderdaad in rekening gebracht te worden voor de continuümstraling. Echter, elk van de absorptielijnen neemt enkel flux weg over een zeer beperkt gebied
in het frequentiedomein, nl. datgene wat overeenkomt met het lijnprofiel φ van de desbetreffende
50
lijn. De profielfunctie φ(4ν) met 4ν = ν − ν ` is gecentreerd rond het centrum van de lijn 4ν = 0
en is genormeerd zodanig dat
Z ∞
φ(4ν)d4ν = 1.
(2.44)
−∞
Verscheidene processen zijn verantwoordelijk voor de verbreding van een spectraallijn. Deze worden uitvoerig besproken in de cursus Steratmosferen. Voor de deeltjes in de sterrenwind is thermische verbreding dominant. In dit geval wordt de profielfunctie nauwkeurig beschreven door een
Gaussfunctie :
" #
4ν 2
1 1
exp −
Φ(4ν)d(4ν) = √
d(4ν).
(2.45)
π 4νD
4νD
We kunnen nu de integraal in (2.18) beperken tot een som over alle Gaussprofielen van alle
lijnen:
Z
1 X ∞ `
`
κν φ(ν − ν 0 )Fν` (r) dν.
(2.46)
grad
(r) =
c lijnen 0
Hierbij is ν 0 (r) = ν` (1 + v(r)/c) de Dopplerverschoven centrale frequentie van de spectraallijnen op
afstand r. Geschreven in functie van de intensiteit wordt dit:
`
grad
(r)
1 X
=
c lijnen
Z Z
∞
Ω 0
κ`ν φ(ν − ν 0 )Iν` (r) cos θdΩdν.
(2.47)
Oefening : Ga over op een nieuwe veranderlijke, nl. de frequentieverplaatsing x ≡ (ν −
ν` )/4νD , waarbij 4νD gedefinieerd werd in (2.34).
Oplossing :
`
grad
(r)
=
X 4νD Z Z
lijnen
c
∞
Ω −∞
κ`ν φ
v(r) `
Iν (r) cos θdΩdx.
x−
vth
(2.48)
We drukken nu de intensiteit uit als functie van de optische dikte en doen een beroep op de
oplossing van de differentiaalvergelijking (2.16):
I(τν ) = Iν` e−τν ,
(2.49)
waarbij Iν` de continuümstraling is bij frequentie ν` . Zoals we reeds aangehaald hebben bij de
behandeling van één optisch dunne lijn, kunnen we deze onafhankelijk van de frequentie onderstellen
wanneer we de lijnabsorptie beschouwen, vermits de lijn zich slechts uitstrekt over een zeer klein
gedeelte van het totale electromagnetische spectrum. De optische dikte gebruikt in (2.49) voor de
lijnen wordt gegeven door
Z r
v(r 0 )
`
`
0
τν =
κν ρ(r )φ x −
dr 0 .
(2.50)
v
0
th
51
Figuur 2.7: Schematische voorstelling van de Sobolev benadering (bovenste panelen) en de verdelingsfunctie van de Sobolov optische dikte (onderste panelen) voor een oneindig smalle overgang
gecentreerd rond golflengte λ0 (a) en voor een overgang met een Gaussprofiel (b). Voor een verklaring: zie tekst.
We verkrijgen zo
`
grad
(r) =
X 4νD Z
lijnen
c
Ω
I ν`
Z
∞
−∞
κ`ν φ x −
v(r) −τν` (r)
e
cos θdΩdx.
vth
(2.51)
Deze integraal is in het algemeen zeer moeilijk te bepalen, omdat de ruimtelijke veranderlijken
(r, θ, ϕ) en de frequentieveranderlijke x gekoppeld aanwezig zijn (o.a. in de profielfunctie en in de
optische dikte). We zullen nu echter tonen dat we een ontkoppeling kunnen vinden onder bepaalde
voorwaarden, nl. bij een voldoende grote snelheidsgradiënt. Zulk een ontkoppeling werd voor het
eerst gevonden door Sobolev in 1960. Men spreekt dan ook van de Sobolev benadering.
Figuur 2.7 illustreert de Sobolev benadering op een schematisch wijze voor een assenstelsel dat
meebeweegt met de wind (cmf). De ster verwijdert zich dus in het cmf en de dikke lijn stelt de
systematische roodverschuiving als functie van de afstand r voor van een foton dat door de ster
werd uitgezonden bij golflengte λ? . Onderstel nu dat er een spectrale overgang bij golflengte λ 0
mogelijk is voor een ion in de sterrenwind en onderstel dat het profiel van deze overgang een deltafunctie is (een geı̈dealiseerd geval van een oneindig dunne spectraallijn – zie de linkse panelen).
Het foton plant zich onverstoord voort doorheen het windmateriaal tot zijn golflengte in het cmf
52
overeenkomt met λ0 . Op dat ogenblik wordt het geabsorbeerd door het ion en terug verstrooid in
een willekeurige richting. Drie mogelijke verstrooiingsrichtingen worden schematisch aangeduid in
het bovenste paneel: voorwaartse verstrooiing (cos ψ = 1, het foton vervolgt zijn oorspronkelijke
weg), zijwaartse verstrooiing (cos ψ = 0) en terugwaartse verstrooiing naar de ster toe (cos ψ = −1).
Een cruciaal punt is de vaststelling dat het windmateriaal weg beweegt van de plaats waar de
verstrooiing gebeurde, omdat de wind expandeert (denk aan de analogie dat alle galaxieën zich
van elkaar weg bewegen omdat het Heelal uitdijt). Dit betekent dat de golflengte van het verstrooide
foton in het cmf roodverschoven werd, onafhankelijk van de richting waarin het verstrooid werd.
Dit impliceert dan meteen dat het geen overgang bij golflengte λ 0 meer kan veroorzaken. Het zal
dus voortaan vrij bewegen doorheen de wind langs zijn nieuwe traject. Als resultaat hiervan is de
absorptie van de fotonen door dit type ion gelocaliseerd op één enkele plaats op afstand R i in de
wind. Men spreekt van het interactiegebied. Dit betekent meteen dat de optische dikte de vorm
heeft van een stapfunctie op de plaats R i (zie onderste paneel links).
In de praktijk is het absorptieprofiel van een overgang echter nooit een delta-functie, maar
treedt er verbreding op (paneel (b) in de figuur). Wanneer we nu een foton volgen doorheen
de wind, zal het op een gegeven moment aan de blauwe vleugel van de absorptielijn geabsorbeerd
worden. Het wordt weerom in een willekeurige richting verstrooid. Na de eerste verstrooiing kan het
foton nu echter weer wel opgevangen en verstrooid worden door eenzelfde ion, omdat de voorwaarde
om een overgang te bewerkstelligen nu veel minder streng is: zolang de golflengte van het foton
in het cmf valt in het interval [λ0 − 4λD , λ0 + 4λD ] wordt het door het ion terug opgevist en
verstrooid. Bij elke verstrooiing wordt de golflengte van het foton roder in het cmf ten gevolge van
de globale expansie van de wind, zodat het uiteindelijk moet aanbelanden in de rode vleugel van de
lijn. Daar wordt het dan voor de laatste keer verstrooid en nadien zet het zijn traject onverstoord
verder, net zoals in het geı̈dealiseerde geval (a). In het meer realistisch geval gebeurt de interactie
dus over een groter interactiegebied. De breedte van de profielfunctie van de lijn zorgt ervoor dat
de stapfunctie voor de optische dikte wordt “afgerond”. Echter, de positie van het interactiegebied,
tevens het Sobolev punt genoemd, verandert nauwelijks, op voorwaarde dat de snelheidsgradiënt
voldoende groot is. In dat geval kunnen we de opaciteit en de dichtheid constant onderstellen over
de profielfunctie en wordt de integraaluitdrukking voor de optische dikte (2.50) veel eenvoudiger.
De relevante parameter die deze voorwaarde van voldoende grote snelheidsgradiënt uitdrukt is de
zogenaamde Sobolev lengte L, welke de afstand is waarover de gemiddelde windsnelheid toeneemt
met een bedrag vth : L ≡ vth /(dv/dr).
De Sobolev benadering is geldig wanneer
drodynamische grootheden, zoals de dichtheid,
de dichtheid verandert een afschatting maken
massastroom uitdrukt:
v
ρ
≈ dv
dρ
dr
dr
L veel kleiner is dan de afstand waarover de hyveranderen. We kunnen voor de afstand waarover
op basis van de vergelijking die het behoud van
vth
dv
dr
= L,
vermits v ' 100vth in de sterrenwind. We stellen vast dat de Sobolev benadering een uitstekende
benadering is.
We kunnen dus gerust aannemen dat de dichtheid en opaciteit niet variëren over een Sobolev
53
lengte L. Hierdoor vereenvoudigt de uitdrukking voor de optische dikte zich tot
τν` = κ`ν ρ(r)
Z
r
0
φ x−
v(r 0 )
dr 0 .
vth
(2.52)
` gaan we nu over op het cmf door de substitutie x 0 ≡ x−v(r 0 )/v .
Voor de verdere bepaling van grad
th
We vinden dan voor de optische dikte:
τν` (r)
=
κ`ν ρ(r)L
Z
+∞
x−v(r)/vth
φ(x0 )dx0 ≡ κ`ν ρ(r)LΦ(x, r).
(2.53)
Men definieert dan τ0 ≡ κ`ν ρL: de Sobolev optische dikte van de lijn. Ze geeft een verband tussen een
aantal ruimtelijk afhankelijke grootheden die ondersteld worden constant te zijn over een Sobolev
lengte. De functie Φ is benaderend een stapfunctie: ze heeft waarde nul voor alle posities tussen
het steroppervlak en het Sobolev punt en een constante waarde 1 (vermits we werken met een
genormeerd lijnprofiel) voorbij het Sobolev punt (zie figuur 2.7).
Met deze definitie keren we nu terug naar de uitdrukking (2.51). Met alle doorgevoerde substituties, tussenresultaten en definities vinden we:
`
(r) =
grad
X κ` 4νD Z
ν
lijnen
c
Ω
Iν` cos θdΩ
Z
∞
−∞
φ(x0 )e−τ0 Φ(x,r) dx,
(2.54)
wat zich herleidt tot
`
grad
(r) =
X κ` Fν 4νD Z
ν
`
lijnen
c
Φ=1
Φ=0
e−τ0 Φ(x,r) dΦ(x, r).
(2.55)
Merk op dat in deze laatste uitdrukking de radiatieve versnelling ten gevolge van een optisch dunne
lijn, nl. uitdrukking (2.35), voorkomt. Uiteindelijk vinden we voor de radiatieve versnelling van de
lijnen de volgende uitdrukking:
`
grad
(r) =
X
`
gdun
lijnen
1 − e−τ0
τ0
!
.
(2.56)
We vergelijken nu dit resultaat met wat we vroeger reeds bekomen hadden in het geval van
één optisch dunne en één optisch dikke lijn. Voor één lijn verkrijgen we in de Sobolev benadering
`
grad
(r)
=
`
gdun
1 − e−τ0
τ0
!
.
(2.57)
• optisch dun: τ0 1.
`
`
is afhankelijk van de opaciteit,
gegeven door uitdrukking (2.35). g dun
We vinden terug gdun
maar onafhankelijk van de dichtheid in de wind.
Oefening: Maak een afschatting van het massaverlies van één optisch dunne lijn in de Sobolev
benadering. Is dit massaverlies belangrijk ?
54
• optisch dik: τ0 1.
` ' g ` /τ , wat we kunnen omvormen tot
We vinden dan grad
dun 0
`
gdik
'
ν` Lν
L? 1 dv
.
L? 4πr 2 c2 ρ dr
We stellen vast dat de radiatieve versnelling in dit geval onafhankelijk is van de opaciteit,
maar afhangt van de dichtheid en de snelheidsgradiënt. Dit komt omdat de invalshoek van
het foton t.o.v. de lijn van belang is (zie figuur 2.7). De reden waarom de versnelling hier
onafhankelijk van de opaciteit wordt is dat toch alle fotonen in resonantie verstrooid worden.
Oefening: Maak een afschatting van het massaverlies van één optisch dikke lijn in de Sobolev
benadering.
2.3.4
Een ensemble van niet-overlappende lijnen in de Sobolev benadering
De radiatieve versnelling ten gevolge van spectraallijnen in de sterrenwind wordt, zoals in vorig
deel besproken, bekomen door alle bijdragen over alle mogelijke lijnen te sommeren. Dit vereist
het bepalen van de ionisatiegraden en excitatietoestanden van een zeer groot aantal energieniveaus
voor een groot aantal elementen. Bovendien moet men voor elke mogelijke overgang nog de Sobolev
optische dikte bepalen. Het aantal spectraallijnen reduceert al drastisch (met een factor 10 5 )
wanneer men zich beperkt tot resonantielijnen, wat een goede benadering is omwille van de lage
dichtheden in de sterrenwind.
De verspreiding van de resonantielijnen over de golflengten is niet homogeen. Er zijn gebieden
in het spectrum waar ze nauwelijks optreden terwijl andere gebieden zodanig veel resonantielijnen bevatten dat ze elkaar overlappen. Eens de radiatieve kracht van alle lijnen uitgerekend en
getabelleerd is, kan men de overeenkomstige radiatieve versnelling parametriseren. Dit heeft als
bedoeling de impulsvergelijking op te lossen en uitdrukkingen af te leiden voor het massaverlies en
het snelheidsverloop van de wind.
Het cumulatief effect van een ensemble van niet-overlappende absorptielijnen werd voor het
eerst in rekening gebracht door Castor, Abbott & Klein in 1975. Zij
parametriseerden de bijdrage
van elke lijn volgens een machtswet van de lijnopaciteit: N (κ `ν ) ∼ κ`ν
α−2
met 0 < α < 1. Hierin
κ `ν
bepaalt de macht α hoe optisch dun/dik de lijn bij opaciteit
is. Zij vonden dit resultaat empirisch
uit de lijst van enkele honderden koolstoflijnen die ze gebruikten uit waarnemingen. Aan elke lijn
gaven ze een gewicht volgens de waarde ν ` Fν /F, zodat groter belang wordt gehecht aan de sterkere
lijnen dan aan de zwakkere. De evenredigheidsconstante werd zodanig gekozen dat κ 0 N (κ0 ) = 1
met κ0 de opaciteit van de sterkste lijn. Met behulp van deze parametrisatie kan men dan een
`
door de sommatie over de lijnen te vervangen door een continue
uitdrukking bekomen voor grad
integraal over alle opaciteiten:
`
grad
=
Z
∞
0
`
gdun
1 − e−τ0
τ0
55
!
1
κ0
κ`ν
κ0
!α−2
dκ`ν .
(2.58)
Figuur 2.8: De fractie van de sterstraling die in het UV geabsorbeerd wordt in de sterrenwind
wordt aangegeven door de gearceerde delen in de figuur voor sterren met verschillende effectieve
temperatuur.
56
Na deze eerste empirische resultaten en met de opkomst van alsmaar krachtigere computers
werd al gauw een veel grotere lijnlijst gebruikt. In werkelijkheid nemen inderdaad veel meer spec` . In figuur 2.8 wordt grafisch voorgesteld welk gedeelte
traallijnen deel aan de productie van g rad
van de sterflux in het UV gebruikt wordt door de spectraallijnen om de sterrenwind te drijven. Het
gaat om zeer aanzienlijke fracties van de geproduceerde flux, wat verklaart waarom de lijngedreven
sterrenwind zulk een efficiënt massaverlies-mechanisme kan zijn. Uit figuur 2.8 leiden we tevens af
dat de golflengtegebieden die verantwoordelijk zijn voor de lijndrijving gradueel opschuiven naar
langere golflengten naarmate de temperatuur daalt. Er zijn twee redenen die dit verklaren:
1. wanneer de effectieve temperatuur daalt, verschuift de golflengte waarbij het grootste deel
van de energie wordt uitgestraald naar het rood (stralingswetten van Planck),
2. wanneer de effectieve temperatuur afneemt, daalt de graad van ionisatie in de wind. De
sterkste resonantielijnen treden dan op bij langere golflengten (zie tabel 1.1).
Bij de hoogste temperaturen (Teff > 50 000 K) wordt de grootste bijdrage tot de lijnkracht geleverd
door ionen van de elementen Ne, Ca, Si, S. In het temperatuursgebied 25 000 K≤ T eff ≤ 40 000 K
leveren de C, N, O lijnen de grootste bijdrage, en dan vooral de N IV en O VI lijnen. Voor T eff <
25 000 K zijn het vooral de elementen van de Fe groep die de wind drijven.
`
Wanneer een veel grotere lijnlijst gebruikt wordt voor de berekening van g rad
(in de praktijk
5
gebruikt men tegenwoordig zowat 10 lijnen) blijkt dat de parametrisatie voorgesteld door CAK
niet optimaal is. Een betere, nog steeds in gebruik zijnde parametrisatie werd gevonden door
Owocki, Castor & Rybicki in 1988. Zij stelden volgende verdelingsfunctie voor de lijnopaciteit voor
op basis van de resultaten bekomen met hun lijnlijst:
N (κ`ν )
κ`ν
κ0
1
=
κ0
!α−2
`
e−κν /κ0 .
(2.59)
Hiermee wordt de radiatieve versnelling van de lijnen dan
`
grad
=
Z
∞
0
`
`
gdun
1 − e−κν ρL
κ`ν ρL
!
1
κ0
κ`ν
κ0
!α−2
`
e−κν /κ0 dκ`ν ,
(2.60)
waar we de uitdrukking voor de Sobolev optische dikte gebruikt hebben. Het resultaat van de
integratie luidt:
KL? 1 dv α
`
,
(2.61)
gCAK (r) = 2
r
ρ dr
met K een constante.
Oefening: Toon dit belangrijke resultaat aan !
`
een soort geometrisch gemiddelde is van het resultaat voor optisch dunne
We vinden dat gCAK
en optisch dikke lijnen. Hierbij bepaalt de waarde van α hoeveel lijnen van elke soort er zijn.
57
2.3.5
Oplossing van de impulsvergelijking
`
We bepalen nu het effect van gCAK
op de beweging van de deeltjes in de wind door de uitdrukking
ervoor te substitueren in de impulsvergelijking, en deze gebruik makend van de massastroomvergelijking, op te lossen. We maken hierbij gebruik van de uitdrukking voor een ideaal gas voor de
gasdruk, waardoor we de dichtheid kunnen schrijven in termen van de gasdruk en de geluidssnelheid
a:
Ṁ a2
P =
.
(2.62)
4πvr 2
1 dP
Oefening: Leid uit (2.62) uitdrukkingen af voor dP
dr en voor ρ dr . Gebruik deze, samen met de uitcont en g ` , om de impulsvergelijking in functie van r, v, a en Ṁ te schrijven.
drukkingen voor ggrav , grad
rad
De oplossing van de oefening is:
a2
v−
v
!
a2 da2 GM
KL?
dv
−2 +
+ 2 (1 − Γe ) − 2
dr
r
dr
r
r
4πvr 2 dv
Ṁ dr
!α
= 0.
(2.63)
Ten einde deze vergelijking op te lossen gaan we over op de dimensieloze veranderlijken


r


x≡ ,



R


v
(2.64)
u≡ ,


a




r 2 v dv

 w≡
.
GM
dr
Na vermenigvuldiging met r 2 /GM wordt vergelijking (2.63) dan
1−
1
u2
w + 1 − Γe − 2
R 2 da2 KL?
a2 R
x+
x
−
GM
GM
dx
GM
4πGM
w
Ṁ
α
= 0.
(2.65)
We voeren nu de volgende notatie in





a2 R
R 2 da2


H
≡
1
−
Γ
−
2
x
+
x
,

e

GM





KL? 4πGM α


.
C
≡

GM
GM
dx
(2.66)
Ṁ
De afhankelijkheid van het massaverlies bevindt zich dan in de constante C. Hierdoor wordt de op
te lossen vergelijking
1
1 − 2 w + H − Cwα = 0.
(2.67)
u
58
Dit is een expliciet verband tussen x, u, w. We dienen u en w op te lossen in functie van de
afstandcoördinaat x.
In de Sobolev benadering is v vth ' a. Hierdoor is de gasdruk veruit te verwaarlozen t.o.v.
de stralingsdruk. We lossen daarom de vergelijking (2.67) op in de benadering a → 0. Men spreekt
van de “zero-sound-speed wind solution”. In deze benadering geldt H → 1 − Γ e , u → ∞ en herleidt
de vergelijking zich tot:
F ≡ w + H − Cw α = 0.
(2.68)
We zoeken een oplossing van deze vergelijking die een unieke waarde voor het massaverlies (dus voor
de constante C) bepaalt. Dit is enkel voldaan voor elke mogelijke α wanneer w = (r 2 v/GM )(dv/dr)
een constante is, m.a.w. we zoeken een oplossing voor het stelsel




 F = 0,

∂F



= 0.
(2.69)
∂w
Oefening:
1. Bepaal C en w als oplossing van het stelsel (2.69). Gebruik de oplossing voor C om het
massaverlies van het CAK model ṀCAK af te leiden.
2. Vervang terug w door zijn definitie en bepaal de snelheidswet van het CAK model v CAK (r).
3. Interpreteer de resultaten voor het massaverlies en de snelheidswet van het CAK model in
functie van α.
Tenslotte nog volgende opmerking bij de oefening: we vinden dat de vergelijking F = 0, afhankelijk van de waarde voor het massaverlies, respectievelijk geen, juist één of twee oplossingen
heeft. De CAK-oplossing is deze waarvoor er precies één oplossing is. Wanneer we nu toch rekening houden met de (kleine) effectieve waarde van de gasdruk, dan blijkt dat de oplossing van de
vergelijking (2.67) wél uniek is. Verder verandert er niets aan de resultaten. Het valt buiten het
tijdsbestek van de cursus om dit effectief te bewijzen.
2.3.6
Verbeteringen aan het CAK-model
We bespreken nu nog drie fysische fenomenen die tot nu toe verwaarloosd werden bij het bepalen
van de lijnkracht en haar resultaten voor de snelheidswet en het massaverlies.
1. Eindige schijf correctie:
In de vorige delen zijn we er steeds vanuit gegaan dat de straling afkomstig is van een puntbron.
59
Figuur 2.9: De eindige schijf correctie factor D f als functie van de afstand in de sterrenwind met
α = 0.6. Df wordt getoond voor verschillende β-type snelheidswetten, nl. voor β = 0.5, 0.7, 1.0, 2.0
en 10.
De straling heeft dan enkel een component in de radiale richting. Dit is een uitstekende
benadering voor deeltjes in de wind die zich ver van de sterfotosfeer bevinden. Dicht bij de
fotosfeer, echter, heeft de straling een aanzienlijke niet-radiale component. Daarom wordt
de lijnstraling daar overschat wanneer we werken met een puntbron. Dit resulteert in een
overschatting van het massaverlies en een onderschatting van de terminale snelheid.
Om het effect van de niet-radiale component van de straling te beschrijven voert men de
eindige schijf correctie factor Df (“finite disk correction factor”) in. Onderstel dat de ster
straalt als een uniforme schijf. De intensiteit van de fotosferische straling in een punt op
afstand r van het stercentrum, gezien onder een hoek θ met de radiale richting bedraagt


 Iν (r, µ) = I ?
ν

 Iν (r, µ) = 0
wanneer
wanneer
µ? ≤ µ ≤ 1,
(2.70)
0 ≤ µ ≤ µ? .
p
Hierbij is µ = cos θ en µ2? ≡ 1 − (R? /r)2 . Voor zulk een fotosferische straling wordt de
radiatieve versnelling geproduceerd door de spectraallijnen gegeven door uitdrukking (2.47)
aangepast en komt er een extra factor cos θ in de integrand van deze uitdrukking. Hierdoor
krijgt de integraal over de ruimtehoek Ω een andere waarde.
Men kan tonen dat het in rekening brengen van dit effect resulteert in het toevoegen van één
` . In figuur 2.9 wordt deze correctiefactor
enkele correctiefactor Df in de uitdrukking voor grad
uitgezet t.o.v. de afstand tot de sterfotosfeer. De waarde van D f neemt toe van 1/(1 + α)
bij r = R? en bereikt 1 op r → +∞. Dit komt omdat de puntbronbenadering daar exact
is. De kleine waarde van Df nabij de fotosfeer vindt zijn oorzaak in het feit dat de straling
dicht bij de ster het punt r bereikt vanuit een heel groot bereik van hoeken θ. Hierdoor is de
60
radiatieve versnelling daar een factor µ kleiner dan in het geval van de puntbronbenadering,
waarvoor µ = 1. De toename tot Df > 1 is een gevolg van het feit dat de Sobolev optische
dikte in de transversale richting kleiner is dan in de radiale richting op grote afstand van de
ster. Hierdoor is er een afname van τ 0 (µ) en dus een toename van (1 − e−τ0 (µ) )/τ0 (µ). Op
`
r > 2R? is de toename van grad
ten gevolge van de afname van de Sobolev optische dikte
`
groter dan de afname van grad door de reductiefactor µ vergeleken met de puntbronlimiet.
Om het effect van Df op het massaverlies en de snelheidswet te onderzoeken dient men
` , op te lossen. Dit
opnieuw de impulsvergelijking, nu met de aangepaste uitdrukking voor g rad
kan niet meer analytisch en dient dus volledig numeriek te gebeuren. De resultaten van zulk
een numerieke integratie worden voorgesteld in figuur 2.10 voor sterren met een effectieve
temperatuur van respectievelijk 20 000 K en 40 000 K. Het effect van D f op het massaverlies
wordt kleiner naarmate de lichtkracht van de ster stijgt en is in alle gevallen vrij beperkt. Het
massaverlies wordt gereduceerd omdat de radiatieve versnelling dichtbij de ster gereduceerd
wordt.
De terminale windsnelheid wordt weldegelijk sterk beı̈nvloed door Df en stijgt met een factor
1.85. Twee effecten zijn hiervan de oorzaak:
(a) omdat het massaverlies kleiner is, daalt de dichtheid in de wind en dus ook de Sobolev
optische dikte. Hierdoor stijgt de radiatieve versnelling, waardoor de terminale snelheid
eveneens groter wordt.
(b) de correctiefactor Df is groter dan 1 ver in de wind. Dit zorgt eveneens voor een grotere
versnelling en een extra toename in v ∞ .
Merk op dat we ons aan het eind van hoofdstuk 1 tot doel gesteld hadden om een mechanisme
van drijving voor de wind te zoeken dat een duidelijk verband moest geven tussen enerzijds
het massaverlies en de lichtkracht van de ster en anderzijds de terminale windsnelheid en de
ontsnappingssnelheid. Zoals figuur 2.10 toont zijn we hierin geslaagd !
2. Meervoudige verstrooiing:
In de theorie die we tot nu toe beschreven hebben zijn we er steeds vanuit gegaan dat de
fotonen slechts één keer geabsorbeerd kunnen worden door de windlijnen. Dit is een goede
onderstelling wanneer het aantal overgangsmogelijkheden voor de electronen in de ionen beperkt is of wanneer er vele overgangen mogelijk zijn maar waarvan de lijnen ver van elkaar
gespreid zijn in het spectrum. De reden dat deze onderstelling goed is, is dat fotonen die
geabsorbeerd en terug verstrooid worden in de wind niet terug geabsorbeerd kunnen worden
door diezelfde lijn elders in de wind. Door de expansie van de wind zijn er immers geen twee
punten langsheen een pad die dezelfde snelheid hebben langs dit pad. Daarom zal een foton
dat geabsorbeerd en verstrooid werd door een electronenovergang uit de wind ontsnappen,
tenzij het door een andere overgang nog eens kan geabsorbeerd worden. Zulke absorptie van
fotonen door verschillende spectraallijnen noemt men meervoudige verstrooiing.
Meervoudige verstrooiing is belangrijk wanneer de gemiddelde afstand in frequentie tussen de
twee verschillende lijntransities kleiner is dan (2v ∞ /c)ν. Immers, wanneer de separatie van
twee absorptielijnen (2v∞ /c)ν bedraagt, kan een foton dat op grote afstand van de ster, waar
v(r) = v∞ , geabsorbeerd werd door de lijn met hoge frequentie enkel terug geabsorbeerd worden aan de andere kant van de ster waar eveneens v(r) = v ∞ door de lijn met lage frequentie.
61
Figuur 2.10: Het effect van het optreden van de eindige schijf correctie factor op Ṁ (bovenste
paneel) en de terminale windsnelheid (onderste paneel) voor een ster met effectieve temperatuur
40 000 K en 20 000 K. Gevulde en open symbolen refereren respectievelijk naar windmodellen met
en zonder Df . Een windmodel met α = 0.52 werd beschouwd. Het massaverlies wordt logaritmisch
uitgezet t.o.v. de lichtkracht, terwijl v ∞ getekend wordt in functie van vesc . De effecten voor het
massaverlies zijn veel kleiner dan voor v ∞ .
62
Figuur 2.11: Voorwaarde voor meervoudige verstrooiing: een foton dat verstrooid wordt door een
spectraallijn met rustfrequentie ν 1 op positie r1 kan opnieuw verstrooid worden op positie r 2 in een
lijn met rustfrequentie ν2 < ν1 , wanneer het verschil in de snelheidscomponenten tussen r 1 en r2
gelijk is aan c(ν1 − ν2 )/ν1 .
Een foton dat verstrooid wordt door de lijn met lage frequentie kan nooit terug geabsorbeerd
worden door de lijn met hogere frequentie. Voor fotonen die meervoudige verstrooiing ondergaan is het dus steeds zo dat deze verstrooiing moet plaatsgrijpen in spectraallijnen van
lagere frequentie (langere golflengte), totdat er een gat is in de frequentieverdeling van de
absorptielijnen. Gaten in de frequentieverdeling van de lijnen spelen dus een cruciale rol in
het beperken van meervoudige verstrooiing.
De voorwaarde voor meervoudige verstrooiing wordt grafisch voorgesteld in figuur 2.11. We
haalden vroeger reeds aan dat de radiatieve versnelling in de wind van hete sterren gedreven
moet worden door zowat 105 lijnen, waarvan er een 150-tal optisch dik moeten zijn om het
massaverlies te kunnen verklaren. Dit impliceert dat de gemiddelde spreiding van de lijnen
in termen van de snelheid ongeveer 10 −5 c, wat slechts enkele km/s is, moet bedragen. 10 −5 c
is in ieder geval veel kleiner dan 2v ∞ , zodat meervoudige verstrooiing moet optreden in de
winden van hete sterren. De plaats waar dit gebeurt in de wind is sterk afhankelijk van de
positie waar de meeste verstrooiing optreedt.
Meervoudige verstrooiing is niets anders dan opeenvolgende overgaves van impuls van de
fotonen van de ene resonantielijn naar de andere. Wanneer het sterspectrum een zeer dens
spectrum van resonantielijnen is, dan kan een aanzienlijk grotere impulsfractie dan deze voor
de enkelvoudige lijnlimiet doorgegeven worden door de fotonen aan de wind. Deze maximale
impuls kan beschreven worden door Ṁ v∞ = τ (L? /c), waarbij τ = 1 is in de enkelvoudige
lijnlimiet. Uit het in rekening brengen van meervoudige verstrooiing in de oplossing van de
impulsvergelijking stelt men vast dat meervoudige verstrooiing een veel groter massaverlies
kan veroorzaken dan enkelvoudige verstrooiing. Voor de dichte sterrenwind van WR sterren
kan τ oplopen tot 6. Voor O sterren blijft het gevolg van meervoudige verstrooiing beperkt
en is τ eerder van de orde 2.
63
Figuur 2.12: Een spectrum genomen door de satelliet IUE van de O 7.5 III ster ξ Per. Links wordt
het niet-gesatureerde Si IV doublet getoond waarin DACs optreden in de absorptiekant; rechts zien
we het gesatureerde C IV doublet waarin DACs niet optreden. De rustpositie van de blauwe en rode
component van de doubletten zijn aangeduid en de snelheid is gegeven t.o.v. de blauwe component.
3. Wind instabiliteiten:
Tot nu toe onderstelden we steeds dat de sterrenwind stationair is. Op basis hiervan vonden
we een goede overeenkomst met het massaverlies, de terminale snelheden en de snelheidswet
gevonden uit waarnemingen. Dit toont dat stationaire windmodellen adequaat zijn voor de
globale beschrijving van de structuur van lijngedreven winden. Stationaire modellen zijn
echter niet in staat om sommige belangrijke details van waarnemingen in sterrenwinden van
massieve sterren te verklaren. Een voorbeeld hiervan is de detectie van zogenaamde discrete
absorptie componenten (DACs) in de P Cygni profielen in de wind van hete sterren. Een
voorbeeld van het optreden van zulke DACs wordt gegeven in figuren 2.12 en 2.13. De totale
tijdsspanne van de tijdreeks voorgesteld in figuur 2.13 bedraagt 2.6 dagen. De DAC wordt
zichtbaar als een brede component bij gemiddelde snelheid en versnelt vervolgens naar het
blauw terwijl hij smaller wordt bij het bereiken van zijn asymptotische snelheid, die ongeveer
gelijk is aan de terminale windsnelheid. De tijdsschaal van deze versnelling is ongeveer 1 dag.
Het terugkeren van een DAC gebeurt ongeveer 2 dagen na het verschijnen van de vorige DAC.
Deze tijdsschalen zijn ongeveer dezelfde voor alle O sterren waarin DACs gevonden zijn (dit
is in 80% van de waargenomen sterren).
Het optreden van DACs wijst er duidelijk op dat er storingen optreden in het snelheidsgedrag
van de wind. Vermits de radiatieve versnelling evenredig is met (dv/dr) α , zal een storing
in de snelheidsgradiënt op een bepaalde plaats in de wind zich voortplanten en zelfs groeien
doorheen de wind. Ook een storing in de snelheid zelf heeft gevolgen. Een lokale toename
van de snelheid in een wolkje gas verschuift de resonantielijnen uit de schaduw van de lager
gelegen windlagen. Vermits deze gaswolk sneller beweegt dan het gas in zijn omgeving, kan het
`
in het gaswolkje. Hierdoor wordt de wolk
meer aankomende fotonen absorberen en stijgt g rad
sneller versneld dan zijn omgeving en versterkt de storing. Deze groeit daarom exponentieel
in de tijd, waardoor de wind instabiel wordt.
Numerieke hydrodynamische simulaties laten tegenwoordig toe om de effecten van de voortplanting van een storing in de stationaire windstructuur te bestuderen. Figuur 2.14 toont
64
Figuur 2.13: Dynamisch spectrum van het Si IV resonantiedoublet van ξ Per, welke de versnelling
naar het blauw van twee DACs weergeeft. De individuele spectra in deze tijdreeks werden gedeeld
door het gemiddeld spectrum (wat in het onderstel paneel getoond wordt) om het contrast van de
variaties duidelijk te kunnen tonen. Donkere gebieden duiden op een lokaal gebrek aan flux t.o.v.
het gemiddelde en lichte gebied op een surplus aan flux. De rustpositie van de componenten van het
doublet zijn onderaan het gemiddeld spectrum aangegeven. Het gedrag van de DAC is hetzelfde
in beide componenten van de spectraallijn. De witte strook in het midden duidt eenvoudigweg een
gat in de tijdreeks aan.
65
Figuur 2.14: Dichtheids- en snelheidsverdeling als resultaat van de numerieke integratie van de
impulsvergelijking, wanneer een tijdsafhankelijke lijngedreven sterrenwind verstoord wordt door
een instabiliteit. De streepjeslijn duidt de verdeling van de dichtheid en snelheid aan voor een
stationair CAK model.
de dichtheids- en snelheidsverdeling in de sterrenwind wanneer een storing optreedt, 15 uren
na het initiëren van deze storing. Het overeenkomende stationaire CAK model is eveneens
aangeduid en beschrijft nog steeds goed de globale structuur van de sterrenwind. We stellen
daarnaast vast dat sterke schokgolven optreden in de wind, met snelheidspieken die hoog
oplopen en tot ver boven v∞ reiken. De gaswolken die deze snelheidspieken ondergaan botsen met het trager bewegende gas vóór hen uit en geven aanleiding tot een toename van de
lokale dichtheid (denk aan een kettingbotsing). Op die manier zorgt een initiële storing voor
een niet-homogene herverdeling van het windmateriaal. Dit heeft dan weer een effect op de
fotonen die hun weg proberen te zoeken doorheen de wind. Zij komen op zeer verschillende
posities in de wind verdichtingen tegen, die meervoudige verstrooiing in de hand werken.
Vooralsnog is er tot nu toe geen eenduidig verband gevonden tussen deze rekenintensieve
numerieke windmodellen en de DACs uit de waarnemingen.
We besluiten dat de beschrijving van de sterrenwind op basis van het eenvoudige CAK model
globaal zeer goed is. Om details in de structuur van de sterrenwind te beschrijven moet een beroep
gedaan worden op numerieke hydrodynamische modellering, waarvan het laatste woord nog niet
gezegd is.
66
Tenslotte maken we nog een oefening op de interpretatie van waarnemingen in het kader van
CAK theorie.
Oefening: Beschouw de twee P Cygni profielen van de ster ζ Puppis getoond in figuur 1.2 en onderstel dat ze veroorzaakt worden door een lijngedreven sterrenwind die goed beschreven wordt
door het CAK model. De lichtkracht, massa en straal van ζ Puppis bedragen respectievelijk
7.9 × 105 L , 59 M , 17 R , terwijl het waargenomen massaverlies geschat wordt op Ṁ = 2.4 ×
10−6 M /jaar.
1. Leid uit figuur 1.2 een waarde voor v ∞ van ζ Puppis af.
2. Maak een grafiek van de snelheidsverdeling (r, v CAK (r)) vanaf het steroppervlak tot een afstand van 10 R? .
3. Zijn de resonantielijnen in de wind van ζ Puppis eerder optisch dun of eerder optisch dik ?
4. Voldoet het massaverlies van ζ Puppis aan de enkelvoudige lijnlimiet ?
67
68
Hoofdstuk 3
De effecten van massaverlies op de
evolutie van massieve sterren
Het massaverlies veroorzaakt door lijngedreven sterrenwinden heeft een groot gevolg voor de evolutie van sterren met initiële massa groter dan om en bij 25 M . Deze sterren ondergaan tijdens hun
gehele levensloop een aanzienlijk massaverlies. Zij spelen dan ook een cruciale rol in de chemische
verrijking van het interstellair medium, van bij hun geboorte tot en met hun ontploffing als type-II
supernova.
3.1
3.1.1
De gevolgen van massaverlies
Verandering in de chemische samenstelling van het steroppervlak
De kernreacties die optreden in het sterinwendige veranderen de chemische samenstelling van de
ster. De vorming van elementen zwaarder dan helium is vooral efficiënt in sterren die waterstof
verbranden via de CNO cyclus. Zulke sterren produceren vooral stikstof ten nadele van koolstof.
Massieve sterren hebben uitgebreide inwendige convectiezones opdat de afvoer van de geproduceerde energie snel genoeg kan gebeuren. In deze zones worden de producten van de kernreacties
bijzonder snel vermengd. Voor de meest massieve sterren verkrijgen we al gauw een sterinwendige
met zware elementen, omgeven door de oorspronkelijke waterstofenveloppe.
Het massaverlies dat de sterren ondergaan zorgt er nu voor dat deze buitenste waterstoflagen
verdwijnen in het interstellair medium. Op die manier komen de producten van de kernreacties
aan het steroppervlak, met als resultaat dat de abondanties van de zware elementen drastisch
veranderen in de fotosfeer van de ster. Dit verklaart het bestaan van
69
Figuur 3.1: Evolutiesporen voor een ster met initiële massa 30 M voor verschillende massaverliezen
tijdens de hoofdreeksfase. Het massaverlies wordt uitgedrukt als Ṁ = N L? /c2 .
• zogenaamde ON sterren. Dit zijn massieve sterren met een zeer hoge stikstofabondantie en
een zeer lage koolstofabondantie.
• Wolf-Rayet sterren, welke een hoge He abondantie en een zeer lage H abondantie vertonen
aan hun oppervlak. De WN sterren hebben een hoge stikstofabondantie door de waterstofverbranding via de CN cyclus terwijl de WC sterren een hoge koolstofabondantie hebben ten
gevolge van de trippel α reactie.
3.1.2
Verandering in de lichtkracht en de hoofdreeksleeftijd
De lichtkracht van een ster op de hoofdreeks, wanneer centrale waterstofverbranding gebeurt, is
vooral sterk afhankelijk van de massa van de ster (massa-lichtkracht relatie). Vermits het massaverlies de massa van de ster verlaagt, zal ook de lichtkracht erdoor afnemen. Massieve sterren
die massaverlies ondergaan hebben dus een kleinere lichtkracht dan sterren die met dezelfde massa
geboren worden maar geen sterrenwind zouden hebben. Anderzijds verlengt het massaverlies hun
levensduur op de hoofdreeks. In figuur 3.1 worden beide effecten schematisch voorgesteld voor een
ster met initiële massa 30 M . De drie evolutiesporen zijn diegenen waarbij de ster telkens een
verschillend massaverlies ondergaat. Dit massaverlies is gecalibreerd in eenheden Ṁ = N L? /c2 . In
de praktijk bedraagt N ' 100. De lichtkracht van de ster daalt naarmate het massaverlies stijgt.
De massa aan het eind van de hoofdreeksfase en de duur van deze fase zijn eveneens aangeduid.
70
Figuur 3.2: Het bovenste gedeelte van het HR diagram. De dunne lijnen stellen evolutiesporen
voor. De oorspronkelijke Humphreys-Davidson limiet is aangeduid door de dikke punt-stip-lijn,
terwijl de stippellijn een verfijning ervan voorstelt. Het grijze gebied bevat rode superreuzen, welke
voor de duidelijkheid van de figuur niet apart getekend werden.
3.1.3
Het gebrek aan massieve rode superreuzen
Alle sterren starten een expansie van hun buitenlagen aan het eind van de hoofdreeksfase, als gevolg
van het starten van de waterstofschilverbranding. Hierdoor ontstaat convectie in de buitenste
enveloppe. Ze begeven zich dan naar rechts in het HR diagram.
Wanneer de massa van de waterstofrijke enveloppe zeer veel verlaagd werd door massaverlies,
kan deze enveloppe niet langer in convectief evenwicht blijven. Hiermee bedoelen we dat de massa
van de enveloppe zodanig is afgenomen, dat convectief energietransport niet meer in evenwicht kan
gebeuren. Hierdoor contraheert de buitenste enveloppe totdat hij in radiatief evenwicht is, m.a.w.
de straal krimpt. De meest massieve sterren kunnen zodoende nooit rode superreuzen worden
omwille van hun massaverlies.
In de praktijk ontbreken rode superreuzen voor L ? > 5 × 105 L of Mbol < −9.5. Deze waargenomen bovenlimiet voor de verdeling van sterren in het HR diagram noemt men de HumphreysDavidson limiet, genoemd naar de ontdekkers ervan. Deze limiet is een schuine rechte met negatieve
71
helling voor effectieve temperaturen van 50 000 tot 10 000 K en een horizontale voor koelere temperaturen. In figuur 3.2 tonen we het bovenste gedeelte van het HR diagram met de waargenomen
Humphreys-Davidson limiet.
3.2
Voorbeeld: de evolutie van een ster met initiële massa 60 M
We tonen de evolutie van een ster met initiële massa 60 M in figuur 3.3. De bovengrens in het
onderste paneel duidt de dalende massa door het massaverlies aan. Tijdens de fase van centrale
waterstofverbranding (van A tot C) wordt H in He omgezet via de CN cyclus. Deze fase duurt
slechts 3.7 × 106 jaar. Deze fase veroorzaakt een toename in He en 14 N en een afname van H
en 12 C in de uitgebreide convectieve kern. Ondertussen daalt de stermassa aanzienlijk door het
massaverlies. Dit laatste stijgt van 1.4 × 10 −6 M /jaar op de ZAMS tot 7.0 × 10−6 M /jaar aan
het eind van de hoofdreeksfase.
In fase B, wanneer de hoofdreeksfase bijna ten einde is, worden de producten van de waterstofverbranding door de CN-cyclus in de kern naar het oppervlak van de ster getransporteerd door
de uitgebreide convectieve zone. De ster bereikt dan de fase waarin de verticale lijnen optreden bij
het punt B onderaan in figuur 3.3. Op dat ogenblik nemen de abondanties van N en He toe aan
het steroppervlak terwijl de H en C abondanties afnemen: de ster wordt een N-rijke ON ster.
Wanneer de waterstofvoorraad helemaal op is in de sterkern, begint de kern te contraheren,
waardoor de ster even naar links beweegt in het HR diagram. Deze beweging gaat door tot de
temperatuur in het gebied rondom de kern hoog genoeg is om waterstofschilverbranding op gang
te brengen. Dit gebeurt in fase C. Op dat ogenblik heeft de ster reeds een 15-tal M verloren en
de verbrandingsschil omgeeft een kern die zowat 30 M bevat.
Door het starten van waterstofverbranding in een schil expanderen de buitenste lagen van de
ster en deze begeeft zich naar rechts in het HR diagram. Kort daarna wordt de ster instabiel en
wordt een LBV (fasen E → F). Ze leidt erg fel massaverlies, van de orde van 5 × 10 −4 M /jaar. In
totaal verliest ze tijdens deze LBV fase, die zowat 10 000 jaar duurt, ongeveer 5 M . Omwille van
het felle massaverlies komen de He-verrijkte lagen tot aan het steroppervlak. De He/H verhouding
bedraagt dan ongeveer 0.4 op het oppervlak van de ster. Terwijl de ster bezig is met haar posthoofdreeksevolutie en rechtse beweging in het HR diagram verliest ze zoveel massa tijdens de LBV
fase dat haar expansie wordt stopgezet. Ze bereikt m.a.w. de Humphreys-Davidson limiet, waardoor
de enveloppe weer terug samenkrimpt. De beweging is nu naar links in het HR diagram (na fase
E). De ster is nu omgevormd tot een lichtsterke, relatief kleine hete ster met een He-rijke en N-rijke
fotosfeer.
De ster wordt nu een WR ster van type WN gedurende de fasen F → G. Ze verliest verder
haar waterstofenveloppe en put haar energie uit de combinatie van He-verbranding in de kern
en van waterstofschilverbranding, zolang er nog voldoende waterstof aanwezig is in de buitenste
enveloppe. Het massaverlies tijdens de WR fase blijft aanzienlijk, zo’n 3 × 10 −5 M /jaar. Na
72
Figuur 3.3: Bovenste paneel: het evolutiespoor van een ster met initiële massa 60 M in het HR
diagram. Onderste paneel: de interne sterstructuur als functie van de tijd. De fasen van verschillende spectrale klassen zijn aangeduid. In de gebieden met wolkjes gebeurt het energietransport
door convectie. Gebieden met diagonale lijnen duiden aan waar de nucleaire verbranding doorgaat.
In gebieden met dunne vertikale lijnen verandert de oorspronkelijke chemische samenstelling aanzienlijk. De tijdsas is opgesplitst in drie gebieden. De hoofdletters in elk van de panelen duiden op
specifieke fasen in het leven van de ster die besproken worden in de tekst.
73
ongeveer 4 × 106 jaar (fase G) werden de buitenste lagen zodanig verloren dat de koolstof-rijke
lagen aan het steroppervlak verschijnen. Dit C-rijk materiaal werd gevormd door de trippel-α
reactie en wordt door de convectieve bewegingen naar het oppervlak gebracht. De ster wordt nu
een WR ster van type WC met een C-rijke en He-rijke enveloppe.
Ondertussen blijft de ster contraheren (G → H). De lichtkracht blijft nagenoeg constant totdat
ze een straal van ongeveer 0.8 R en een effectieve temperatuur van zowat 200 000 K bereikt. De
waarnemer “ziet” echter deze temperatuur niet omwille van het circumstellair materiaal. Het grote
massaverlies zorgt nl. voor een optisch dikke wind. De straling die ontsnapt naar de waarnemer
is dan ook afkomstig van de wind, waar een temperatuur heerst van om en bij de 30 000 K. De
straal van het gebied waar de wind optisch dik is bedraagt ongeveer 10 R . Deze straling wordt
dus waargenomen van het nabije UV tot het IR. Waargenomen WR sterren hebben dus een veel
lagere effectieve temperatuur en een veel grotere straal dan diegenen die volgen uit sterevolutieberekeningen. De optisch dikke wind maakt het schatten van de observationele parameters van de
WR sterren erg moeilijk.
De fase van centrale He-verbranding (D → H) duurt ongeveer 6 × 10 5 jaar en wordt gevolgd
door een fase van C-verbranding. Deze neemt nog slechts 2 000 jaar in beslag. De volgende fasen
van verbranding van alsmaar zwaardere elementen lopen af in minder dan een jaar. De ster zal
ontploffen als een supernova van type-II en er blijft een zwart gat over.
Tijdens haar evolutie vóór de supernova explosie heeft de ster 38 M van haar materiaal
uitgestoten in het interstellar medium: 29 M aan waterstof wat gedeeltelijk verrijkt werd met 14 N,
8 M aan helium en 1 M aan koolstof en zuurstof. De interactie van dit uitgestoten materiaal met
het omringende interstellair medium veroorzaak een WR (ring)nevel.
3.3
Besluit
Massaverlies ten gevolge van een stralingsgedreven sterrenwind heeft een aanzienlijk effect tijdens
de gehele levensloop van massieve sterren en van galaxieën :
1. het verandert de chemische samenstelling aan het steroppervlak,
2. het verandert fel de levensduur van de ster tijdens bepaalde evolutiefasen,
3. het verklaart het voorkomen van circumstellair materiaal rondom massieve sterren,
4. het verandert aanzienlijk de post-hoofdreeks evolutiesporen in het HR diagram,
5. het verklaart het ontbreken van zeer lichtkrachte rode superreuzen,
6. het verklaart het bestaan van LBVs en WR sterren, welke de voorlopers zijn van zwarte
gaten,
74
7. en last but not least het zorgt voor een aanzienlijke verrijking van zware elementen in het
interstellair medium, en bepaalt zodoende mee de chemische evolutie van melkwegstelsels.
75
76
DEEL II :
STEREVOLUTIE EN BINARITEIT
77
Hoofdstuk 4
Nauwe dubbelsterren
4.1
Inleiding
Meer dan de helft van de sterren bevindt zich in een meervoudig systeem. In sommige binaire
systemen bewegen de sterren zo ver van elkaar dat hun evolutie niet door de component beı̈nvloed
wordt. Anderzijds is in een nauw systeem van dubbelsterren, of kortweg in een nauwe dubbelster,
elke ster onderworpen aan de getijdenkracht van zijn begeleider. Meer precies wordt een nauwe
dubbelster gedefinieerd als een dubbelster waarin de afstand tussen de componenten vergelijkbaar
is met, of tenminste niet veel groter is dan, hun afmetingen. De evolutie van een ster in zulk een
nauwe dubbelster verschilt wel van die van een geı̈soleerde ster ten gevolge van de nabijheid van
de component. Door diens aanwezigheid kan de primaire component niet ongelimiteerd groeien
tijdens de evolutie. Zoals besproken in de cursus Sterstructuur en -evolutie ondergaan de sterren
een reuzenfase waarbij hun straal met een factor 100 tot 1000 toeneemt. Hierdoor zal de evolutie van
de nauwe dubbelster drastisch veranderen door het opzwellen van de component. Zoals duidelijk
gebleken is uit de bespreking van de sterevolutie van een enkelvoudige ster zal de meest massieve
van beide componenten het snelst evolueren.
Het is al zo’n vijftig jaar bekend dat er in een nauwe dubbelster gasstromen van de ene
component naar de andere ontstaan, ofwel als resultaat van de getijdenkracht uitgeoefend door de
component, ofwel omwille van fysische interactie van twee sterren die contact hebben met elkaar.
Zulke gasstromen werden voor het eerst waargenomen in het spectrum van de ster β Lyrae tijdens
één van haar eclipsen.
Dat er massatransfert plaats moet vinden wordt aangetoond door het optreden van de zogenaamde Algol paradox. Deze paradox werd opgemerkt in de jaren veertig. Algol bestaat uit een
rode reus en een hoofdreeksster. Vermits de rode reus het verst geëvolueerd is zou het ook de meest
massieve ster moeten zijn. Echter, uit metingen van de radiale snelheid volgt duidelijk dat de rode
reus minder massief is dan de nog niet geëvolueerde hoofdreeksster. Dezelfde vaststelling werd
79
gedaan voor heel wat gelijkaardige binaire systemen. Dat de meest geëvolueerde ster de minst massieve is, gaat regelrecht in tegen de evolutietheorie geschetst in de cursus Sterstructuur en -evolutie.
De verklaring voor de paradox is dat de verder geëvolueerde ster reeds aanzienlijk massaverlies
ondergaan heeft en dat deze massa is ingevangen door de begeleider, waardoor de laatste de meest
massieve van het systeem geworden is. Algol en de gelijkaardige semi-gescheiden systemen tonen
duidelijk dat er massatransfert plaatsgrijpt tussen beide componenten.
Bij de studie van nauwe dubbelsterren is de evolutie vooral bepaald door de groei van de
sterstralen. De grootte van de sterren zal immers bepalen wanneer massatransfert kan plaatsgrijpen.
Zoals besproken in de cursus Sterstructuur en -evolutie corresponderen de episodes van de grootste
groei van de straal met transities van centrale naar schilverbranding. Op die ogenblikken, immers,
contraheert de kern en zetten de buitenlagen fel uit. Het massatransfert in een nauw binair systeem
heeft dan ook de grootste kans om op deze ogenblikken op gang te komen.
Voortaan noemen we de ster die massaverlies ondergaat de donor, terwijl de ster die deze massa
accreteert de ontvanger genoemd wordt.
4.2
Vorming van nauwe dubbelsterren
Het feit dat meer dan de helft van alle sterren voorkomt in meervoudige systemen kan niet over
het hoofd gezien worden bij de bespreking van het vormingsmechanisme van sterren. In de cursus
Sterstructuur en -evolutie hebben we het stervormingsproces bondig omschreven aan de hand van
het Jeanscriterium, gevolgd door een fragmentatieproces. Voor het ontstaan van dubbelsterren
worden essentieel twee klassen van processen vooropgesteld: modellen van invanging en modellen
gebaseerd op fragmentatie. We bespreken nu beiden.
4.2.1
Invanging
Modellen die steunen op invanging eisen vooreerst dat een moleculaire wolk fragmenteert tot verscheidene enkelvoudige entiteiten. De moederwolk dient dus te bestaan uit een massa die veel groter
is dan de initiële Jeansmassa wanneer de ineenstorting start. Vervolgens gaat men ervan uit dat
twee entiteiten in de gefragmenteerde wolk een binair systeem gaan vormen, door een zodanig dichte nadering dat er een gebonden systeem ontstaat. Invanging kan alleen optreden in stersystemen
met een grote dichtheid en kan bovendien slechts binaire systemen opleveren waarvan de separatie
van de orde van de sterdimensies zelf is.
Het is tevens mogelijk dat een binair systeem ontstaat wanneer een ster een dichte nadering
tot een schijf rondom één van zijn buren ondergaat. Tijdens de pre-hoofdreeksfase bezitten T Tauri
sterren en Herbig Ae/Be sterren inderdaad nog circumstellaire schijven bestaande uit de restanten van het stervormingsproces. De aanwezigheid van zulk een schijf kan de kans op invanging
aanzienlijk verhogen.
80
4.2.2
Fragmentatie
We hebben in de cursus Sterstructuur en -evolutie het fragmentatieproces besproken en vastgesteld
dat fragmentatie op een natuurlijke wijze tot een einde komt. Het is echter mogelijk dat binaire
systemen gevormd worden vooraleer dit proces eindigt. Er zijn drie typen fragmentatieprocessen
die kunnen resulteren in een dubbelster :
1. Fragmentatie vóór ineenstorting:
Onderstel dat twee fragmenten, welke ontstaan uit dezelfde moleculaire wolk, zich zo dicht
bij elkaar bevinden dat ze een gebonden systeem vormen. In dit geval kan, vóór de aanvang
van de definitieve ineenstorting tot een protoster, eerst een interactie tussen de fragmenten
ontstaan. Hierbij kan energie gedissipeerd worden zodat de fragmenten dichter naar elkaar
toe bewegen vooraleer de protosterren gevormd worden. Op deze wijze kunnen wijde dubbelsterren ontstaan.
2. Fragmentatie tijdens ineenstorting:
We weten dat de ineenstorting tot een protoster gepaard gaat met het optreden van twee
schokgolven. Het blijkt nu mogelijk te zijn dat er nog fragmentatie tot twee verschillende
entiteiten mogelijk is tussen de twee schokfronten. Het is snelle rotatie die zulk een splitsing
veroorzaakt. Men spreekt dan ook wel eens van rotationele fragmentatie.
Wanneer de ster-in-wording zodanig snel roteert dat de centrifugaalkrachten verdere instorting
op het centraal object beletten, zal het mogelijk zijn dat het tweede schokfront aanleiding
geeft tot het ontstaan van een begeleider. Dit treedt op wanneer de ster-in-wording omgeven
is door een schijf die zelf nog gevoed wordt. De ster blijft materie accreteren van de schijf
maar de snelle rotatie belet dat deze materie effectief invalt op de dichte kern. Op die manier
ontstaat er een balkvorm. Verstoringen in deze balk kunnen er dan voor zorgen dat er een
asymmetrie ontstaat, waardoor er ook een asymmetrische massaverdeling gecreëerd wordt.
Deze asymmetrie wordt versterkt door het feit dat materie blijft invallen. De sterkste arm
van de balk kan zo voldoende materiaal verzamelen om uiteindelijk ook zelf in te storten. Op
die manier breekt de ster in wording nog op in twee delen vooraleer ze het protoster-stadium
bereikt. Preciese detailberekeningen van dit scenario zijn moeilijk, omdat ze sterk afhankelijk
zijn van de dichtheidsverdeling in het medium. Het is echter een aantrekkelijk scenario omdat
het één van de weinigen is die aanleiding geeft tot zeer nauwe dubbelsterren.
3. Schijffragmentatie:
In dit scenario gaat men ervan uit dat een binair systeem ontstaat doordat het materiaal in
de circumstellaire schijf van een protoster samenklit tot een begeleider. De schijf breekt met
andere woorden op en levert een begeleider. Opdat dit mechanisme zou werken is het nodig
dat er nog een aanzienlijke massa voorhanden is in de schijf. Het kan dus alleen werkzaam
zijn tijdens de vroege stadia van de schijfvorming.
In bovenstaand overzicht werd de nadruk gelegd op de “mogelijkheden” van de vormingsscenario’s. Het ontwikkelen van de verschillende vormingsmechanismen welke hier aangehaald zijn
gebeurt aan de hand van ingewikkelde numerieke codes. Het zou ons te ver leiden in te gaan op
81
al de verschillende fysische processen die hierbij in rekening gebracht worden. We verwijzen de
lezer naar de vakliteratuur hieromtrent (bijvoorbeeld het boek “Evolutionary processes in Binary
Stars”, 1996). De uitkomst van alle modellen is dat paren fragmenten gemakkelijk kunnen bekomen
worden door de vele nog onbekende parameters geschikt te kiezen. Het blijkt echter zeer moeilijk
te zijn om deze modelberekeningen te gebruiken om de orbitale parameters van de resulterende
dubbelsterren te voorspellen.
4.3
Effecten van getijden: circularisatie en synchronisatie
De componenten van nauwe dubbelsterren roteren in het algemeen veel trager dan enkelvoudige
sterren van hetzelfde spectraal type. Bovendien brengen waarnemingen aan het licht dat de sterren
in nauwe dubbelsystemen gesynchroniseerd zijn met de orbitale beweging. Beide resultaten worden
toegeschreven aan de effecten van getijdenkrachten en tonen dat deze belangrijk kunnen zijn in
nauwe dubbelsterren.
4.3.1
Theoretische beschouwingen
Wanneer men de dynamische effecten ten gevolge van getijden in een nauwe dubbelster wil bestuderen, moet men eerst en vooral het uitwendige gravitatieveld, veroorzaakt door de twee componenten,
bepalen. Wanneer de twee componenten van een dubbelster zich zodanig dicht bij elkaar bevinden dat getijdenkrachten één of beide componenten vervormen, dan is de gravitatiepotentiaal geen
eenvoudige functie van 1/r meer maar treden er extra termen op. Deze extra termen worden veroorzaakt doordat de massaverdeling niet meer sferisch symmetrisch is in de verstoorde begeleider
of in beide componenten. Deze extra termen in de gravitatiepotentiaal veroorzaken een afwijking
waarvan de relatieve grootte van de orde van enkele procenten is. Wanneer de sterren rond elkaar
bewegen, veroorzaken de extra termen een kracht die voor een afwijking in energie en impulsmoment van de baanbeweging zorgt. Deze afwijking geeft o.a. aanleiding tot een beweging van de lijn
van de apsiden, zodat de baan geen gesloten ellips meer is. De nauwe dubbelster zal op die manier
evolueren naar een circulair systeem.
De studie van getijden in nauwe dubbelsterren werd aangevat in de eerste helft van de 20ste
eeuw. Deze eerste studies met betrekking tot de vervorming van de componenten van nauwe dubbelsterren door getijden beperkten zich tot het beschouwen van evenwichtsgetijden. Evenwichtsgetijden treden op wanneer de sterren zich op elk ogenblik in een toestand van hydrostatisch evenwicht
bevinden en wanneer bovendien de relatieve baan van de begeleider cirkelvormig is en evenzeer de
rotatie van de primaire component gesynchroniseerd is met de baanbeweging van de begeleider.
De vervorming van de primaire component is dan statisch ten opzichte van een assenstelsel dat
meedraait met de ster.
De getijdenkracht is in het algemeen echter tijdsafhankelijk. Men noemt de getijden in een
component van een nauwe dubbelster in dit geval dynamische getijden. Deze getijdeninteractie zal
82
ervoor zorgen dat de baan van de nauwe dubbelster gecirculariseerd wordt en dat beide componenten in een toestand van co-rotatie met de orbitale periode komen. De oorzaak hiervan is dat
sterren in een excentrische baan en/of sterren die niet co-roteren in een circulaire baan onderworpen
zijn aan de getijdenkracht, welke een veranderlijke amplitude heeft. Hierdoor worden de sterren
gedwongen om te pulseren. Vanuit theoretisch standpunt worden de getijden inderdaad aanzien
als een superpositie van gedwongen lineaire trillingen van een sferisch symmetrische ster. Deze
gedwongen trillingen bestudeert men aan de hand van de reactie van de hoofdster op de tijdsafhankelijke getijdenwerking van de begeleider. Wanneer men de getijdenkracht beschouwt als een
kleine periodieke storende kracht, kunnen zelfs resonanties ontstaan tussen de dynamische getijden
en vrije graviteits-trillingsmodi van lage frequentie. Deze resonanties versterken dan aanzienlijk de
getijdenwerking.
Uit theoretische modellen volgt duidelijk dat de getijdenkracht eerst aanleiding geeft tot synchronisatie van de componenten, terwijl het proces van circularisatie veel langere tijd in beslag
neemt. Men neemt aan dat volgende twee mechanismen de synchronisatie in nauwe dubbelsterren
kunnen verklaren :
1. In een ster bestaande uit een convectieve kern en een radiatieve enveloppe worden de gedwongen trillingen gedempt door viskeuze effecten in de buitenste sterlagen, waardoor de
pulsatie-energie gedissipeerd wordt. Als gevolg van deze dissipatie oefent de begeleider een
torsiekracht uit op de hoofdster, welke aanleiding geeft tot een synchronisatie van de rotatie
met de baanbeweging van de begeleider. Voor relatief nauwe dubbelsterren is de torsiekracht
sterk genoeg om het systeem te synchroniseren op een tijdsspanne die merkelijk korter is
dan de nucleaire tijdschaal van de ster. Deze radiatieve demping van dynamische getijden
blijkt het meest efficiënte mechanisme te zijn voor de synchronisatie van de rotatie van de
componenten van nauwe dubbelsterren die geen convectieve enveloppe hebben.
2. In de componenten van nauwe dubbelsterren met een convectieve enveloppe blijkt turbulente
convectie in staat te zijn om de evenwichtsgetijde te vertragen t.o.v. de getijdenverwekkende
potentiaal, waardoor eveneens een torsiekracht wordt opgewekt die synchronisatie bewerkstelligt. De onzekerheid op de tijdsschaal waarop synchronisatie bekomen wordt is in dit geval
veel groter dan voor sterren met een radiatieve enveloppe.
Hierbij werd ondersteld dat de hoofdster sferisch symmetrisch is, uniform roteert en dat de rotatieas
loodrecht op het baanvlak staat. Verder werden de effecten van de Corioliskracht op de gedwongen
trillingen verwaarloosd.
Voor een gedetailleerde analyse in het geval van hoofdreekssterren verwijzen we naar Zahn
(1977), waarin tevens uitdrukkingen afgeleid worden voor de variatie van de halve grote as, excentriciteit en omloopsperiode in de loop van de tijd voor de hierboven beschreven effecten van
getijden. Zo zal de getijdenkracht de orbitale periode drastisch doen verkorten wanneer de excentriciteit groot is. De tijd waarop circularisatie bekomen wordt hangt sterk af van de omloopsperiode
(of m.a.w. van de separatie tussen de componenten) en is korter naarmate de omloopsperiode korter
is. Als voorbeeld beschouwen we een dubbelster met als primaire component een G-dwerg met een
83
convectieve enveloppe (zoals de zon) die bij aankomst op de hoofdreeks een periode heeft van 11.6
dagen en een excentriciteit van 0.54. De getijdenwerking resulteert na 0.8 10 9 jaar in een periode
van 5.86 dagen en een excentriciteit van 0.35. We herinneren eraan dat de totale hoofdreeksleeftijd
voor de zon ongeveer 1010 jaar bedraagt.
Een alternatieve zienswijze voor de circularisatie van laag-massieve sterren is de volgende. Het
2de mechanisme hierboven beschreven is het meest efficiënt tijdens de pre-hoofdreeksfase, omdat
deze sterren dan nog veel grotere stralen hebben en merkbaar diepere convectiezones, zoals beschreven in de cursus Sterstructuur en -evolutie. Het zou dus kunnen dat de banen reeds volledig
gecirculariseerd zijn bij het aankomen op de hoofdreeks en dat er geen significante circularisatie
meer optreedt tijdens de hoofdreeksfase. Pre-hoofdreeks-circularisatie blijkt mogelijk te zijn voor
initiële orbitale perioden korter dan 8 dagen. Het feit dat er nog een klein aantal banen van hoofdreekssterren met omloopsperioden korter dan 8 dagen excentrisch zijn, wordt dan toegeschreven
aan evolutionaire effecten: de excentrische banen zijn het resultaat van de post-hoofdreeksfase van
de begeleiders. Deze laatste veronderstelling is ad hoc. Zoals we tonen in volgend deel, geven
de waarnemingen voorlopig geen uitsluitsel of deze alternatieve zienswijze de voorkeur dient te
krijgen boven de theorie van de klassieke getijdenwerking die circularisatie op de hoofdreeks zoals
beschreven door mechanismen 1 en 2 onderstelt.
We besluiten dat zowel bij sterren met een convectieve als met een radiatieve enveloppe de
dynamische getijden er, hetzij tijdens de pre-hoofdreeksfase hetzij op de hoofdreeks, voor zorgen
dat het systeem op den duur in een toestand van minimale energie terechtkomt: twee co-roterende
sterren in een circulaire baan. De tijdschaal voor circularisatie is ruwweg twee orden van grootte
langer dan deze voor synchronisatie. Beide tijdschalen zijn korter dan de nucleaire tijdschaal. Het
is daarom een goede onderstelling om aan te nemen dat nauwe dubbelsterren vóór of tijdens de
fase van centrale waterstofverbranding zowel gesynchroniseerd als gecirculariseerd worden.
4.3.2
Observationele resultaten
De resultaten van stervormingscenario’s en evolutiescenario’s van binaire systemen dienen geconfronteerd te worden met de kenmerken van bestaande dubbelsterren. Systematische waarnemingen
van dubbelsterren zijn daarom van groot belang. Bovendien gebeurt nauwkeurige massabepaling
best aan de hand van de componenten van dubbelsterren. Om deze redenen besteedt men (nog
steeds) veel aandacht aan het bepalen van orbitale parameters van dubbelsterren van allerlei kenmerken. Het betreft hier niet alleen steekproeven met een groot bereik in de orbitale parameters
maar tevens in totale massa, leeftijd (of geboortetijdstip), geboorteplaats in de Melkweg (schijf of
halo) en chemische samenstelling. We merken op dat een confrontatie met de theoretische modellen hierboven beschreven alleen zinvol zijn in statistische zin en op basis van een grote steekproef,
omdat we voor de individuele dubbelsterren meestal geen of onnauwkeurige kennis hebben van hun
leeftijd, initiële rotatiesnelheid en initiële excentriciteit.
We gaan nu wat dieper in op de evolutie van de orbitale parameters in de loop van de tijd.
Verschillende effecten kunnen variaties in de parameters veroorzaken. Zo zal het massaverlies dat
84
optreedt in het binair systeem de baanparameters veranderen. Dit effect wordt besproken in het
volgende hoofdstuk. Magnetische activiteiten in (één van) de componenten van de dubbelster
kunnen eveneens aanleiding geven tot variatie in de baanelementen. We gaan hier niet dieper
op in. De opwekking van gravitatiegolven geeft eveneens aanleiding tot een verandering van de
omloopsperiode. Dit relativistisch effect treedt enkel op bij grote massa’s die zich dicht bij elkaar
bevinden en wordt besproken in het laatste hoofdstuk. Wij beperken ons hier tot het effect van
getijden op de orbitale parameters.
We geven eerst een overzicht van de observationele kenmerken van dubbelsterren met het oog
op het testen van de theoretische beschouwingen over circularisatie. Wat synchronisatie betreft:
het is veel moeilijker om dit na te gaan vermits we niet weten met welke rotatiesnelheid de sterren
geboren worden en bovendien zijn de rotatiesnelheden van sterren niet rechtstreeks te bepalen (ze
bevatten een geometrische factor sin i die verbonden is met de hoek tussen de gezichtslijn en de
rotatie-as). We bespreken nu eerst kort de verschillende soorten dubbelsterren vanuit observationeel
standpunt.
Visuele dubbelsterren zijn dubbelsterren waarvan wij beide componenten kunnen onderscheiden
(met het oog of met een telescoop). Het gaat daarom om dubbelsterren die zich relatief dicht bij
de zon situeren en die een lange omloopsperiode (wijde baan) hebben.
Spectroscopische dubbelsterren zijn sterren waarvan het dubbelster-karakter kan afgeleid worden
uit het spectrum. Men onderscheidt twee typen spectroscopische dubbelsterren. Ten eerste bestaan
er spectroscopische dubbelsterren waarvan de spectra van elk van de twee componenten afzonderlijk
zichtbaar zijn in het opgemeten spectrum van het dubbelsysteem. Men noemt dit dubbelgelijnde
spectroscopische dubbelsterren. Dergelijke objecten komen niet zo veel voor. De kans dat het
spectrum van de helderste component het spectrum van de zwakste component niet overheerst is
klein omdat de lichtkracht een grootheid is die veel verschillende ordes van grootte kan variëren. De
enkelgelijnde spectroscopische dubbelsterren zijn dan die spectroscopische dubbelsterren waarvan
het spectrum van de helderste component het gemeten spectrum volledig overheerst.
Spectroscopische dubbelsterren worden ontdekt uit periodieke veranderingen van de radiale
snelheid, welke afgeleid wordt uit het spectrum. Voor een circulaire baan leiden we uit de derde wet
van Kepler (V ∼ P −1/3 ) af dat de grootste variatie in de radiale snelheidscurve optreedt voor nauwe
systemen met een korte omloopsperiode. Daarom treedt er bij spectroscopische dubbelsterren, in
tegenstelling tot bij visuele dubbelsterren, een selectie-effect op naar nauwe systemen. Om deze
reden zijn spectroscopische dubbelsterren veruit het interessantst wanneer we effecten van getijden
willen nagaan. Voor nauwkeurige massabepaling daarentegen spelen visuele dubbelsterren een
belangrijke rol (zie verder).
We beperken volgend overzicht tot spectroscopische dubbelsterren in de hoofdreeksfase, vermits
de processen van synchronisatie en circularisatie op dat ogenblik het best te testen zijn (steekproeven
van geëvolueerde dubbelsterren zijn lang niet volledig genoeg om een verantwoorde statistische
studie te doen). Vermits de hoofdreeksfase langer duurt naarmate de initiële stermassa kleiner
is, bevat de steekproef van spectroscopische dubbelsterren beschouwd door Duquennoy & Mayor
(1992) in de praktijk vooral hoofdreekssterren met massa van om en bij een zonsmassa, m.a.w.
85
Figuur 4.1: De verdeling van de excentriciteit voor nauwe dubbelsterren met F-K componenten in
verschillende open sterclusters voor omloopsperioden tussen 10 en 1000 dagen.
F-G-K dwergen.
De steekproef van nabije dubbelsterren in het vlak van de Melkweg bevat 164 dubbelsterren
waarvan de orbitale perioden reiken tot 3000 dagen (langere perioden zijn zeer moeilijk te bepalen
gedurende het leven van een astronoom !). De kortste perioden bedragen 7 – 8 uren. De verdeling
van de orbitale excentriciteit vertoont een duidelijke “cut-off” periode bij 11.6 dagen. Alle binaire
systemen met kortere orbitale periode blijken circulair of quasi-circulair (e < 0.03) te zijn. De systemen met langere periode zijn allemaal excentrisch, met een gemiddelde waarde e = 0.31 ± 0.04.
Deze bevinding is in overeenstemming met het feit dat in de meest nauwe systemen de getijdeneffecten het grootst zijn. De verdeling van de massaverhoudingen q = M 2 /M1 stijgt naarmate q
kleiner wordt tot q = 0.25 en daalt fel beneden deze waarde.
Binaire sterren in de halo van ons Melkwegstelsel hebben een veel langere cut-off periode, nl.
tussen 12 – 19 dagen. Dit is als volgt te begrijpen. Het moet inderdaad zo zijn dat de cut-off
periode verbonden is met de leeftijd van het ensemble van sterren, omdat ze bepaald wordt door de
tijdspanne die reeds voorhanden is geweest om de getijdenkracht haar werking te laten doen. Hoe
langer de getijdenkracht de tijd krijgt om haar werking te doen, des te langer de omloopsperiode
waarbij circularisatie nog optreedt.
Er werden eveneens verscheidene steekproeven van nauwe dubbelsterren bestudeerd die behoren tot verschillende open sterclusters. Dit heeft voordelen omdat de sterren in een bepaalde
cluster dezelfde leeftijd en chemische samenstelling hebben. Zelfs wanneer een dubbelster gevormd
wordt door invanging in een cluster, hebben beide componenten dezelfde leeftijd. Er werd zowel
86
Figuur 4.2: De verdeling van de omloopsperiode voor een steekproef van 75 dubbelsterren in
verschillende open sterclusters.
fotometrisch als spectroscopisch gezocht naar binariteit in sterren. De spectroscopische zoektocht
bleef beperkt tot magnitude 12 – 14, afhankelijk van de gebruikte telescoop. Zowat 50% van de
spectroscopische dubbelsterren wordt fotometrisch niet gevonden. Dit impliceert dat de begeleiders in dit geval minstens 5 magnituden zwakker zijn dan de hoofdcomponent. Ook voor de cluster
sterren vindt men een duidelijke cut-off die verschilt van cluster tot cluster. In de Pleiaden vindt
men een cut-off periode van slechts 7.1 dagen voor wat betreft het voorkomen van circulaire banen.
Deze cluster is inderdaad relatief jong. Voor de oudere open sterrenhoop M 67 vindt men een cut-off
periode van 12.4 dagen. We vermelden tevens dat een steekproef van pre-hoofdreeks-dubbelsterren
een cut-off periode van om en bij 4 dagen opleverde. Deze bevindingen bevestigen het feit dat circularisatie zich uitbreidt naar alsmaar wijdere systemen naarmate de leeftijd van de sterren hoger
is.
De verdeling van de excentriciteiten voor 43 clustersterren met omloopsperiode tussen 10 en
1000 dagen wordt getoond in Fig. 4.1. Het is vooralsnog niet duidelijk of de afname van het
aantal sterren met grote excentriciteit een vertekening is of niet, omdat variaties in radiale snelheid
moeilijker te meten zijn voor banen met een hoge excentriciteit en een lange periode. De verdeling
van de perioden voor 75 clustersterren wordt getoond in Fig. 4.2. De verdeling is wellicht niet
volledig voor lange perioden met log P > 3, maar voor de globale verdeling van de kortere perioden
kan de steekproef beschouwd worden als onvertekend.
Het verband tussen log P en e wordt voor de dubbelsterren in 5 open sterclusters getoond in
Fig. 4.3. In de linkse figuur staan de dubbelsterren in twee relatief jonge clusters, in de rechtse figuur
diegenen in drie oudere clusters. We merken in de rechtse figuur dat er nog enkele binaire systemen
bestaan die een orbitale periode korter dan ∼10 dagen hebben en die toch nog niet gecirculariseerd
zijn. Wellicht is voor deze sterren het circularisatieproces nog aan de gang, terwijl het voor de
87
Figuur 4.3: Vergelijking tussen de (log P, e) diagrammen voor de nauwe dubbelsterren in twee
verschillende generaties van open sterclusters. De linkse figuur toont de resultaten voor de dubbelsterren in de Pleiaden (volle vierkantjes) en in α Persei (open vierkantjes). Beide clusters zijn
relatief jong. Rechts worden de dubbelsterren in de Hyaden (volle vierkantjes), in Praesepe (open
vierkantjes) en in Coma Berenices (kruisjes) getoond. Deze drie clusters zijn merkelijk ouder.
meeste andere sterren met vergelijkbare omloopsperiode al afgelopen is. Het is daarom best om
de cut-off periode van een steekproef te definiëren als de langste omloopsperiode waarvoor nog
circulaire banen voorkomen en niet als de kortste baanperiode van alle excentrische banen. Zo zou
het best kunnen dat een dubbelster met een excentrische baan een kortere periode heeft dan een
andere met langere periode die reeds gecirculariseerd is, bijvoorbeeld wanneer de eerste geboren
werd met een veel grotere excentriciteit. Het circularisatieproces heeft dan gewoon meer tijd nodig.
Het is voorlopig niet mogelijk om op basis van de cut-off perioden van verschillende clusters te
besluiten of pre-hoofdreeks circularisatie al dan niet optreedt. Indien dit het geval is dient steeds
een cut-off periode van 8 dagen gevonden te worden, onafhankelijk van de leeftijd van de cluster. De
toename van de cut-off periode met de leeftijd lijkt eerder het klassieke scenario van circularisatie
tijdens de hoofdreeks te bevoordelen. Nu is het echter zo dat de onzekerheid op de cut-off periode
zeer groot kan zijn. Voor sommige clusters is ze gebaseerd op slechts één of twee binaire systemen.
We vermelden tenslotte nog dat er geen circulaire banen voorkomen met perioden langer dan
de cut-off periode. Indien de klassieke circularisatie-theorie geldt, dan impliceert dit dat binaire
systemen geboren worden met excentrische banen.
88
4.4
De Roche potentiaal
We beschouwen een binair systeem bestaande uit twee sterren met massa respectievelijk M 1 en M2 .
Wanneer beide sterren sferisch symmetrisch zijn is hun gravitatiepotentiaal ∼ 1/r. In dat geval
beschrijft de verbindingsvector tussen de centra van beide componenten een ellipsbaan. De orbitale
periode is verbonden met de uitgebreidheid van het systeem door de 3de wet van Kepler:
P = 2π
s
b3
,
G(M1 + M2 )
(4.1)
waarin b de halve grote as is van de baan. Wanneer e de excentriciteit van de baan voorstelt, dan
varieert de separatie tussen beide componenten van b(1 − e) in het periastron tot b(1 + e) in het
apastron. Voor een circulaire baan is b eenvoudigweg de separatie tussen de twee sterren. Zoals
beschreven in vorig deel is het een goede benadering om voor de evolutie van een nauwe dubbelster
een circulaire baan en twee synchroon roterende componenten te onderstellen.
We trachten nu een antwoord te vinden op de vraag hoe fel één van de sterren kan groeien
alvorens er massatransfert optreedt. We veronderstellen dat het binair systeem een cirkelvormige
baan heeft en dat de componenten rond hun as draaien met een constante angulaire hoekfrequentie
Ω = 2π/P . We beschouwen een coördinatensysteem waarvan het centrum gesitueerd is in het
massacentrum van de dubbelster. In een inertiaalsysteem wordt de snelheid ~v van een deeltje met
positievector ~r gegeven door
~ × ~r.
~v = ~r˙ + Ω
(4.2)
Hierin beschrijft ~r˙ ≡ d~r/dt de beweging van het deeltje t.o.v. een co-roterend coördinatensysteem en
~ ×~r de snelheid van het punt ~r in het roterend assenstelsel t.o.v. het inertiaalstelsel.
representeert Ω
Analoog is de versnelling ~a van een deeltje uitgedrukt in een inertiaalsysteem gegeven door
~ × ~v ,
~a = ~v˙ + Ω
(4.3)
wat aan de hand van (4.2) kan omgevormd worden tot
~ × ~r˙ + Ω
~ × (Ω
~ × ~r).
~a = ~¨r + 2Ω
(4.4)
De tweede term in het rechterlid van deze vergelijking is de Coriolisversnelling en de derde term stelt
de centrifugaalversnelling voor. Nemen we nu een systeem van cartesiaanse coördinaten (X, Y, Z)
~ = (0, 0, Ω). Voor ~r = (X, Y, Z)
dat co-roteert zodanig dat de Z-as samenvalt met de rotatie-as: Ω
kunnen we dan de gelijkheid
~ × (Ω
~ × ~r) = ∇
~ − 1 Ω2 X 2 + Y 2
Ω
2
~ Ω
≡ ∇Φ
(4.5)
afleiden. We zien dus dat de centrifugaalkracht kan geschreven worden als zijnde afkomstig van een
conservatief krachtveld ΦΩ dat steeds loodrecht op de richting van de rotatie-as inwerkt.
Beschouwen we nu een massa element, dan weten we dat de versnelling ~a van het deeltje
gestuurd wordt door de krachten die ageren op het massa element (we beschouwen een eenheidsmassa):
1~
~ G,
− ∇Φ
(4.6)
~a = − ∇P
ρ
89
met ΦG de gravitatiepotentiaal ten gevolge van de twee sterren. We bekomen op die manier de
bewegingsvergelijking uitgedrukt in roterende coördinaten waaraan een massa element onderworpen
is:
~ × ~r˙ = − 1 ∇P
~ − ∇Φ
~ G − ∇Φ
~ Ω.
~¨r + 2Ω
(4.7)
ρ
Naast deze vergelijking, moeten tevens de continuı̈teitsvergelijking
en de vergelijking van Poisson
∂ρ
~ ~r˙ )
= −∇.(ρ
∂t
(4.8)
~ 2 ΦG = 4πGρ
∇
(4.9)
voldaan zijn.
We gaven reeds argumenten dat de getijdenkracht ervoor zorgt dat de sterren in een toestand
van co-rotatie aanbelanden. In dat geval is ~r˙ = ~0 en wordt de bewegingsvergelijking
1~
~ = ~0 met Φ = ΦG + ΦΩ .
∇P + ∇Φ
ρ
(4.10)
Deze vergelijking impliceert dat oppervlakken van gelijke P en oppervlakken van gelijke Φ samenvallen, waaruit volgt dat P , en dus ook ρ, functies zijn van de totale potentiaal Φ. In het bijzonder
evolueren de druk en de dichtheid aan het oppervlak van de ster naar de waarde nul, zodat het
steroppervlak bepaald wordt door de vorm van het oppervlak Φ =constante. We besluiten dat de
vorm van een ster in een binair systeem afleiden, neerkomt op het bepalen van de vorm van het
equipotentiaaloppervlak Φ =constante.
De algemene vorm van het equipotentiaaloppervlak bepalen is niet eenvoudig. Φ G hangt
via de vergelijking van Poisson immers af van de dichtheidsverdeling in elk van de sterren. De
exacte oplossing van een equipotentiaaloppervlak kan daardoor enkel op numerieke wijze bekomen
worden. In de praktijk beperkt men zich tot een benaderende oplossing, voor het eerst voorgesteld
door Roche. In de Roche benadering wordt verondersteld dat het gravitatieveld van elk van de
sterren kan benaderd worden alsof de ster niet verstoord wordt door rotatie of door de begeleider.
Dit komt erop neer van te onderstellen dat de massa van elk van de sterren geconcentreerd is in
het stercentrum. In dat geval is
ΦG = −
GM1
GM2
−
|~r − ~r1 | |~r − ~r2 |
(4.11)
de oplossing van de vergelijking van Poisson, waarbij we onderstellen dat het stercentrum van de
eerste component gesitueerd is in ~r1 en dat van de tweede component in ~r2 . Deze benadering is goed
tot op een paar procent omdat de meeste sterren een sterke massaconcentratie naar hun centrum
toe vertonen.
Om een expliciete uitdrukking voor de Roche equipotentialen af te leiden is het handig over te
gaan naar een assenstelsel waarvan de oorsprong zich bevindt in het stercentrum van bijvoorbeeld
de primaire component (zie figuur 4.4). We beschouwen carthesiaanse coördinaten (x, y, z) en nemen de z−as samenvallend met de rotatie as. De x−as valt samen met de verbindingslijn van de
90
Figuur 4.4: Het assenstelsel waarvan de oorsprong zich bevindt in het stercentrum van de primaire
component.
twee stercentra, wijzend naar de tweede component. De y−as vult tenslotte de twee vorige assen
aan op zodanige wijze dat we een rechtsdraaiend assenstelsel bekomen. De coördinaten van het
stercentrum van de secundaire component zijn dan (b, 0, 0). Het massacentrum van de dubbelster
bevindt zich in het punt met coördinaten (µb, 0, 0), waarbij µ ≡ M2 /(M1 + M2 ).
Oefening: Bepaal de transformatieformules tussen de systemen van coördinaten (X, Y, Z) en
(x, y, z). Toon aan dat de Roche potentiaal in deze nieuwe coördinaten gegeven wordt door
Φ = Φ G + ΦΩ = −
i
GM1
GM2
1 2h
2
2
,
−
−
(x
−
µb)
+
y
Ω
(x2 + y 2 + z 2 )1/2 ((x − b)2 + y 2 + z 2 )1/2 2
(4.12)
De Roche equipotentialen worden vervolgens gegeven door Φ =constant. We herinneren eraan
dat Ω gegeven wordt door 2π/P met P de omloopsperiode.
In figuur 4.5 tonen we de equipotentialen voor z = 0, wat overeenkomt met het orbitaal vlak.
De equipotentiaaloppervlakken dicht bij elke ster zijn nagenoeg sferisch symmetrisch. Dit geeft
aan dat de invloed van de andere ster daar minimaal is. De aanwezigheid van de component
vervormt de oppervlakken op twee verschillende wijzen. Ten gevolge van de getijdenwerking te
wijten aan het gravitatieveld van de component krijgt het equipotentiaaloppervlak een gerekte
sferoı̈dale vorm waarvan de symmetrie as wijst naar de component. De rotatie van de ster, met
de orbitale frequentie, zorgt ervoor dat de sferoı̈de afgeplat is door de centrifugaalkracht en dat de
91
Figuur 4.5: Roche equipotentialen. Het centrum van de hoofdcomponent ligt in de oorsprong van
het assenstelsel en dat van de component in het punt S. Het massacentrum is gesitueerd in het punt
G. In dit voorbeeld is de massaverhouding M 1 /M2 = 2. Het vlak dat getoond wordt correspondeert
met het baanvlak. Het binnenste (L1 ) en buitenste (L2 ) Lagrange punt zijn eveneens aangeduid.
symmetrie as van de afplatting samenvalt met de rotatie as. Het netto effect van deze beide quasiellipsoı̈dale vervormingen is dat de ster haar grootste dimensie aanneemt langs de verbindingslijn
van de twee stercentra, terwijl ze het kleinst is in de richting van de rotatie as.
Oppervlakken die zich verder en verder van de ster bevinden worden meer en meer vervormd,
totdat ze op den duur de kritische potentiaal bereiken. Deze bevat het binnenste Lagrange punt
L1 , welk een zadelpunt van de potentiaal is. In drie dimensies zijn de equipotentiaaloppervlakken
bij goede benadering axisymmetrisch rondom de verbindingslijn tussen de stercentra. In die zin
bevat het equipotentiaaloppervlak door het punt L 1 twee bijzondere volumes, die de Roche lussen
genoemd worden.
Oefening : Bepaal de Roche potentiaal als functie van de afstand tussen de stercentra, m.a.w.
Φ(x, 0, 0) als functie van x.
Oplossing:
wordt geschetst in figuur 4.6, waarop de diepe potentiaalputten rond elke ster duidelijk te zien.
92
Figuur 4.6: De waarde van de Roche potentiaal Φ wordt getoond als functie van de afstand langsheen de verbindingslijn tussen de twee sterren. Er treden diepe potentiaalputten op rondom de
sterren in de punten O en S (zie figuur 4.5). Tussen de sterren treedt een lokaal maximum op in de
potentiaal, namelijk in het eerste Lagrange punt L 1 . Aan de randen treden nog maxima op in de
Lagrange punten L2 en L3 . Deze zijn te wijten aan de overheersing van de potentiaal, verbonden
met de centrifugaalkracht op grotere afstand.
De drie maxima treden op in de drie Lagrange punten L 1 , L2 , L3 . Deze worden bekomen door de
vergelijkingen
∂Φ
= 0, y = 0, z = 0
(4.13)
∂x
op te lossen.
Facultatieve Oefening: Los dit stelsel op in functie van M 1 , M2 , b. Gebruik een PC en
schrijf een computercode om Φ(x, 0, 0) te tekenen voor verschillende massaverhoudingen en realistische waarden voor de separatie. Bereken tevens L 1 , L2 , L3 .
Wanneer beide sterren voldoende klein zijn, bevindt elke component zich binnen zijn Roche
lus en zijn de sterren nagenoeg sferisch symmetrisch. Men spreekt van een gescheiden systeem.
93
Figuur 4.7: Schematische voorstelling van een contact systeem.
Wanneer de sterren evolueren zullen ze uitzetten. Elke ster kan echter slechts zo ver uitzetten
totdat ze haar ganse Roche lus gevuld heeft. Wanneer dit gebeurt voor één van de componenten
zal deze bij verder uitzetten massa transfereren naar de component langs het L 1 punt. Men spreekt
vanaf dat moment van een semi-gescheiden systeem dat Roche lus overloop (RLOF: “Roche lobe
overflow”) ondergaat. Wanneer tenslotte beide sterren uit hun Roche lus gegroeid zijn vormt zich
een contact systeem, waarvan een schematische voorstelling getoond wordt in figuur 4.7. Een schets
van de potentiaal voor deze drie gevallen wordt gegeven in figuur 4.8.
De enveloppe van een contact systeem kan meeroteren met de orbitale beweging totdat de
expansie verder reikt dan het tweede Lagrange punt L 2 . Wanneer de dubbelster nu nog verder
expandeert leidt het massaverlies langs L 2 en wordt de materie niet meer gedwongen om mee te
roteren. In dit geval is ~r˙ 6= ~0 en zijn de Roche potentialen niet meer relevant.
De getijdenkrachten worden als maar sterker naarmate een ster haar Roche lus opvult. Men
definieert nu de straal van de Roche lus, R L , op zodanige wijze dat het volume ingenomen door de
3 . De verhouding R /b wordt volledig bepaald door de verhouding
Roche lus gelijk is aan 4π/3RL
L
van de massa’s van de componenten. Eens de sterstraal de grootte van de straal van de Roche lus
heeft, zijn de effecten van de getijden zo groot dat de sterren weldegelijk een circulaire baan zullen
hebben en synchroon roteren, zeker wat hun buitenste lagen betreft.
94
Figuur 4.8: De potentiaal wordt voorgesteld zoals in figuur 4.6. (a) In een gescheiden systeem is
geen enkel van beide sterren groot genoeg om een oppervlaktepotentiaal te hebben die reikt tot
aan L1 . (b) In een semi-gescheiden systeem is één van de twee sterren wel groot genoeg en reikt de
oppervlaktepotentiaal tot aan L1 . Het materiaal aan het oppervlak van deze ster is dan in staat
om doorheen het Lagrange punt weg te stromen in de potentiaalput van de tweede ster. (c) In een
contact systeem zijn beide sterren voorbij L 1 geëxpandeerd en heeft zich een gemeenschappelijke
enveloppe gevormd.
95
4.5
4.5.1
Classificatie van nauwe dubbelsterren
Semi-gescheiden systemen met RLOF
Algol systemen
Algol systemen, of kortweg Algols, zijn systemen bestaande uit een rode reus en een hoofdreeksster
met een omloopsperiode van enkele dagen. Zoals reeds vermeld in de inleiding is de rode reus
het verst geëvolueerd maar is de hoofdreeksster door massa accretie de meeste massieve van het
systeem geworden. Vermits de grootste ster ook de koelste is, worden diepe eclipsen waargenomen
in de lichtkurven op het moment dat de heetste ster bedekt wordt.
Voor de meeste van de gekende systemen in deze klasse is het massatransfert van de rode
reus naar de hoofdreeksster nog aan de gang. Dit neemt men waar in de spectra, waarin lijnen
van beide componenten zichtbaar zijn. Men detecteert namelijk emissielijnen in het verre UV
tijdens de primaire eclips. Deze emissielijnen zijn afkomstig van een ring bestaande uit heet gas
in het equatorvlak van de ontvanger. Het massatransfert kan ook afgeleid worden uit een graduele
verandering van de orbitale periode. De minst massieve ster verliest massa en wordt alsmaar minder
massief. Zoals we zullen tonen in het volgende hoofdstuk volgt uit het behoud van hoeveelheid van
beweging bij niet-conservatief massaverlies dat de baan van het systeem uiteindelijk groter moet
worden, wat een toename van de omloopsperiode met zich meebrengt. Zo neemt de periode van
de Algol U Cephei, welke ongeveer 2.49 dagen bedraagt, toe met een waarde van 0.2 seconden per
jaar. Het massaverlies van de donor kan oplopen tot 10 −6 M per jaar.
W Serpentis sterren
W Serpentis sterren hebben veel gemeen met Algols. Het grootste verschil is dat de omloopsperiode
tussen 10 en 200 dagen ligt, dus veel langer is dan die van Algols. Het massaverlies van de donor ligt
ook enkele orden van grootte hoger dan die bij Algols. Omdat de relatieve grootte van de ontvanger
kleiner is, is er binnen het systeem veel meer ruimte voor het ontwikkelen van een accretieschijf
rond de ontvanger.
W Serpentis sterren bestaan dus uit een rode reus of superreus en een hoofdreeksster die omgeven is door een dikke accretieschijf, waardoor de ontvanger verscholen is. De accretieschijf verraadt
haar aanwezigheid door een continuüm exces flux in het UV. W Serpentis sterren worden ook wel
actieve Algols genoemd, wat duidt op hun veel groter massatransfert dan datgene wat optreedt in
de klassieke Algols die we zopas beschreven hebben.
Momenteel bestaat de klasse van de W Serpentis sterren slechts uit een 7-tal objecten, waaronder β Lyrae.
96
W Ursa Majoris sterren
Een W Ursa Majoris ster is een systeem van twee hoofdreekssterren die een proces van samenvoeging
ondergaan. Ze worden waargenomen als twee kernen ingebed in een gemeenschappelijke convectieve
enveloppe. Men spreekt ook van een systeem in overcontact. Typische orbitale perioden bedragen
5 tot 15 uren.
Men neemt spectrale lijnen van beide componenten waar. De convectieve enveloppe zorgt
ervoor dat de verschillen in uitgestraalde energie van de beide componenten snel homogeen verdeeld
is. Hierdoor neemt men even diepe eclipsen waar.
Cataclysmische variabelen
Een cataclysmische variabele bestaat uit een koele lage-massa hoofdreeksster die massa verliest
aan haar begeleider, welke een witte dwerg is. De omloopsperiode van zulke systemen ligt ofwel
tussen 80 en 120 minuten, ofwel tussen 3 en 16 uren. Er is tot nu toe geen enkele cataclysmische
variabele gevonden met een periode tussen 2 en 3 uren. Men spreekt daarom van de “period gap”.
In tegenstelling tot bij de Algols waar de donor verantwoordelijk is voor de gedetecteerde lichtkracht
zorgt het accretieproces hier voor de waargenomen energie.
Sommige cataclysmische variabelen vertonen plotse toenames in hun uitgestraalde energie die
wel kunnen oplopen tot een factor 10 4 . Men spreekt dan van een klassieke nova. Dit nova fenomeen wordt veroorzaakt door een thermo-nucleaire explosie op het oppervlak van de witte dwerg.
Zulk een explosie treedt op wanneer de hoeveelheid geaccreteerde waterstofrijke materie een limiet
overschrijdt, waardoor plots waterstofverbranding aan het oppervlak van de witte dwerg in gang
treedt. Dit zorgt voor een tijdelijke eruptie, waarna de witte dwerg opnieuw in een rustige fase aanbelandt totdat er opnieuw genoeg materie geaccreteerd wordt om verbranding op gang te brengen.
Afhankelijk van het massatransfert treedt er om de 10 4 − 106 jaar een nova explosie op.
Andere cataclysmische variabelen vertonen veel kleinere toenames in de uitgestraalde energie,
gaande van een factor 10 tot 100. Men noemt ze dwergnovae. Het mechanisme van de energietoename is in dit geval nog niet begrepen. Men vermoedt dat een plotse verandering in het massatransfert
de oorzaak is.
Lage-massa X-stralen dubbelsterren
Lage-massa X-stralen dubbelsterren (LMXBs: “low-mass X-ray binaries”) zijn analoog aan cataclysmische variabelen, alleen is de ontvanger nu geen witte dwerg maar wel een neutronenster of
een zwart gat. Voor dezelfde hoeveelheid massatransfert produceert een LMXB veel meer energie
omdat de potentiaalput van een neutronenster zo’n 1000 keer dieper is dan die voor een witte
dwerg. Deze factor is nog groter voor een zwart gat. De materie die in de gravitatieput van de
97
ontvanger valt, straalt energie uit in de vorm van X-stralen, vandaar de naam van de systemen. De
oppervlaktetemperatuur van zulk een bronnen moet zo’n 10 6 – 107 K bedragen opdat de gestraalde
energie in het X-stralen gebied van het electromagnetisch spectrum zo sterk detecteerbaar zou zijn.
De omloopsperioden van LMXBs variëren van een tiental minuten tot 17 dagen.
De eerste X-stralen bronnen werden ontdekt in de jaren zestig. Verscheidene satellietmissies
zijn sindsdien gelanceerd om de bronnen aan de hemel in het X-stralen gebied met steeds grotere
precisie in kaart te brengen. Momenteel bedraagt het aantal gedetecteerde X-stralen bronnen ongeveer 50 000 (dit is groter dan het aantal sterren dat met het blote oog zichtbaar is !). Deze werden
recent allen in kaart gebracht door de satelliet ROSAT (R Öntgen SATelite), welke operationeel
was in de jaren negentig. De meeste van deze bronnen zijn geen X-stralen dubbelsterren, maar wel
sterren die chromosferische activiteit vertonen of zwarte gaten in het centrum van melkwegstelsels.
De helderste bronnen, echter, vertonen een duidelijke concentratie naar het galactisch vlak toe en
bovendien naar het galactisch centrum. Deze zijn wel duidelijk LMXBs of HMXBs (zie verder).
Het onderscheid tussen een neutronenster en een zwart gat als ontvanger in een LMXB wordt
gemaakt op basis van de massafunctie van de dubbelster. Zoals reeds vermeld in de cursus Sterstructuur en -evolutie is het echter nog niet duidelijk wat het preciese massaverschil tussen een
neutronenster en een zwart gat is.
LMXBs noemt men soms ook wel eens X-stralen bursters, omdat ze uitbarstingen in X-stralen
vertonen. De oorzaak hiervan is analoog aan die van de klassieke novae: er wordt waterstof geaccreteerd door de begeleider, welke onmiddellijk wordt omgezet naar helium eens een bepaalde kritische
massa waterstof voorhanden is aan het oppervlak van de neutronenster. Daar is de temperatuur
hoog genoeg opdat de gevormde helium tot koolstof verbrandt. Deze thermo-nucleaire fusie veroorzaakt een felle stijging in de uitgestraalde energie, welke uitgestraald wordt in het golflengtegebied
van de X-stralen.
Rechtstreekse metingen van de donors in LMXBs zijn zeer moeilijk te bekomen omdat de
optische lichtkracht ervan veel kleiner is dan de lichtkracht in het X-stralen gebied welk afkomstig
is van de neutronenster.
4.5.2
Gescheiden systemen
De aanwezigheid van een nauwe begeleider kan een invloed uitoefenen op de evolutie van de ster,
zelfs wanneer er geen RLOF plaatsgrijpt. Zo kan bijvoorbeeld massaverlies gestimuleerd worden
door de begeleider. We bespreken nu enkele klassen van dubbelsterren die interactie tussen de
componenten vertonen, ondanks het feit dat het gaat om gescheiden systemen.
98
Hoge-massa X-stralen dubbelsterren
Wanneer een massieve hoofdreeksster (spectraal type O of B) zich in een nauwe dubbelster bevindt
met een neutronenster, dan ontstaat wellicht een pulsar die X-stralen uitzendt. De magnetische
veldlijnen van de neutronenster vangen het materiaal van de hoofdreeksster, welke een sterke sterrenwind vertoont, in en vervoeren deze materie naar de magnetische polen. Wanneer de ingevangen
materie op de neutronenster valt ontstaat een hoge-energie stroom waarvan de X-stralen worden
waargenomen. Men spreekt van een HMXB: “high-mass X-ray binary”.
Sommige van deze X-stralen bronnen vertonen geen pulsen, zodat het wel om een neutronenster, maar niet om een pulsar gaat. Uit de radiale snelheden leidt men voor sommige bronnen een
massa van meer dan 4 M af en vermoedt men dus dat de begeleider een zwart gat is.
De massieve donor kan zijn Roche lus niet vullen. Immers, het massaverschil tussen beide
componenten is zo verschillend dat er, eens RLOF zou plaatsgrijpen, een dynamisch onstabiele
toestand zou ontstaan waardoor er enorm veel massa op de neutronenster zou gedumpt worden.
Nu is het zo dat de maximale massa die een neutronenster kan opnemen zo’n 10 −8 M per jaar
bedraagt. Bij zeer dynamisch massaverlies zou er daarom een dikke opake enveloppe rondom de
neutronenster komen te zitten, en deze enveloppe zou de X-stralen blokkeren.
Het bekendste voorbeeld van een X-stralen dubbelster met een pulsar is Vela X-1, welke een
orbitale periode van 9 dagen heeft. De spinfrequentie van de pulsar bedraagt 1/283 s. De massabepalingen die voorhanden zijn voor dit systeem leiden tot een massa in het interval 1.4 – 1.9 M .
De massa van de donor in Vela X-1 wordt geschat op 24 M .
Dubbelsterren met een Be ster en een neutronenster
Een andere klasse van X-stralen bronnen bestaat uit objecten waarvan de gedetecteerde X-stralen
veel zwakker zijn dan voor de HMXBs. Bovendien gaat het hier om orbitale perioden die veel
langer zijn, van de orde van 100 – 1000 dagen. De ontvanger in deze systemen is opnieuw een
neutronenster, maar de donor is een Be ster. Een Be ster is een B-type ster die emissielijnen, of
emissiebumps in brede absorptielijnen vertoont in haar spectrum.
De idee achter de vormingsgeschiedenis van deze objecten is de volgende. Ten gevolge van
massatransfert van de neutronenster-in-wording heeft de B ster gedurende twee fasen van massauitwisseling materie ingevangen die zich in een schijf gevestigd heeft (zie figuur 4.9). Door deze
materie invangst is de ster snel beginnen roteren om te voldoen aan behoud van hoeveelheid van
beweging. Ondertussen beëindigt de neutronenster haar evolutie en dan worden de rollen van donor
en ontvanger omgewisseld. Nu bevindt het object zich in de derde fase van massatransfert en is
het de Be ster die de donor geworden is. De sterrenwind die ontstaat aan het oppervlak van de
snel roterende B ster is geconcentreerd in een schijf in het equatorvlak van de nieuwe donor. Het is
de materie in deze schijf die de emissielijnen veroorzaakt, waardoor we te maken hebben met een
99
Figuur 4.9: Scenario dat de vorming en de evolutie van een Be/X-stralen dubbelster weergeeft.
De massa’s van de componenten zijn telkens weergegeven. De verticale stippellijn geeft de positie
van het massacentrum weer. Eens een neutronenster is gevormd, worden de rollen van donor en
ontvanger omgewisseld en verliest de Be ster langsheen haar circumstellaire schijf materie aan de
neutronenster.
100
Be ster als donor. De uitgezonden X-stralen vinden hun oorsprong in de materie uit de schijf die
invalt op de neutronenster.
Oefening: Beschrijf in 2 blz. de vorming van het dubbelstersysteem dat getoond wordt in figuur 4.9.
Dubbelsterren met een Wolf-Rayet ster
Wolf-Rayet sterren komen zowel enkelvoudig als in dubbelsterren voor. Het massaverlies voor
enkelvoudige Wolf-Rayet sterren blijkt veel lager te zijn dan voor zulk een ster in een dubbelsysteem,
waar het verlies kan oplopen tot 10−4 M per jaar.
De begeleider van een binaire ster met een Wolf-Rayet component is meestal een massieve
hoofdreeksster die de uitgestoten massa van de Wolf-Rayet ster accreteert.
Symbiotische sterren
Symbiotische sterren zijn dubbelsterren die nog niet goed begrepen zijn. Ze zijn analoog aan
cataclysmische variabelen, maar dit keer is de donor een koele rode reus of superreus in plaats van
een hoofdreeksster. De aard van de hete begeleider is nog zeer onzeker. Sommige van deze sterren
hebben een hoofdreeksster als ontvanger, maar in de meeste gevallen betreft het een witte dwerg.
Men neemt aan dat de rode reus haar Roche lus nog niet volledig opvult. In de convectieve zone
van de koele reus ontstaat door convectie een dynamo, die ervoor zorgt dat magnetische energie
vrijkomt. Het is deze energie die een sterrenwind, en zodoende massaverlies, induceert.
De orbitale perioden zijn zeer lang, gaande van enkele honderden dagen tot langer dan 1 000
dagen. Periodische uitbarstingen zoals bij cataclysmische variabelen treden ook hier op, opnieuw
ten gevolge van het ontsteken van waterstofrijk materiaal dat in grote hoeveelheden op de witte
dwerg is ingevallen.
101
102
Hoofdstuk 5
Massatransfert en evolutie van nauwe
dubbelsterren
De evolutie van een ster in een nauwe dubbelster verschilt van deze die een enkelvoudige ster
ondergaat ten gevolge van de nabijheid van de begeleider. Door diens aanwezigheid ondervindt de
ster immers een beperking op de mate waarin ze kan groeien. Hierdoor treedt massatransfert op
waardoor de evolutie van de sterren niet meer enkel in termen van hun initiële massa kan beschreven
worden. Bij een ster in een nauwe dubbelster is het vooral de grootte van haar Roche lus die haar
evolutie bepaalt.
In de volgende delen beschrijven we de evolutie van de componenten van een nauwe dubbelster
volgens eenvoudige theoretische principes. We zullen hierbij de conventie aannemen dat de donor
ster 1 is en de ontvanger ster 2. Vermits de evolutie het snelst verloopt voor massievere sterren
onderstellen we dus dat de initiële massa van ster 1 groter is dan die van ster 2.
5.1
Massatransfert
We beschouwen nu de situatie waarbij ster 1 haar Roche lus vult ten gevolge van haar evolutie.
Vraag is dan hoe massatransfert gebeurt nabij het eerste Lagrange punt L 1 wanneer de afmetingen
van de ster de grootte van de Roche lus overschrijden. De gasstroom van gasdeeltjes behorende
tot de atmosfeer van ster 1 doorheen L 1 naar de Roche lus van ster 2 gedraagt zich ruwweg alsof
het gas ontsnapt vanuit de steratmosfeer van ster 1 naar een gebied van vacuüm toe, vermits ster
2 haar Roche lus nog niet opvult. Hierdoor zal de stroomsnelheid van het gas gelijk zijn aan de
geluidssnelheid in de atmosfeer van ster 1. Een ruwe schatting van deze geluidssnelheid wordt
−1/2
gegeven door a ≈ 15T4
km/s. Vermits de temperatuur van de ster kan gaan van zo’n 3 000 K
voor een M ster tot zo’n 30 000 K voor een late O ster, kan a variëren tussen 10 – 30 km/s. In
figuur 5.1 wordt een schematische voorstelling van de gasstroom doorheen L 1 gegeven.
103
Figuur 5.1: Een representatie van de massastroom doorheen het eerste Lagrange punt L 1 . De ster
aan de linkerkant ondergaat RLOF en haar oppervlaktepotentiaal reikt voorbij L 1 . Materie op het
steroppervlak van deze ster stroomt hierdoor naar de begeleider. De stroomsnelheid in het punt
L1 is ruwweg gelijk aan de geluidssnelheid.
Vraag is nu wat er met de gasstroom gebeurt wanneer die na de passage door L 1 versneld
wordt naar ster 2. Hiervoor beschouwen we een tweede relevante snelheid, namelijk de dynamische
snelheid van het binair systeem, welke kan gekarakteriseerd worden door de orbitale snelheid van de
sterren. Deze laatste kunnen we uit de wetten van Kepler afleiden. Een goede benadering hiervan
wordt gegeven door
M1 + M2 1/3 P −1/3
km/s
(5.1)
vorb ≈ 100
M
d
wanneer de massa’s van beide componenten niet te veel verschillen. In het algemeen leiden we
hieruit af dat de geluidssnelheid die de deeltjes in de gasstroom ondergaan veel kleiner is dan de
orbitale snelheid van de twee sterren. Vermits de deeltjes van de gasstroom reeds bewegen met de
geluidssnelheid en vervolgens nog fel versneld worden volgens de orbitale snelheid, zal de gasstroom
met een snelheid groter dan vorb bewegen. De gasstroom zal m.a.w. een supersonische snelheid
bereiken.
Het feit dat we te maken hebben met supersonische snelheden vereenvoudigt de beschrijving
van het probleem enorm. Het is vooreerst zo dat het getransfereerde materiaal in de vorm van een
welgedefinieerde gasstroom blijft nadat het L 1 gepasseerd is, omdat het beweegt met een snelheid
die veel groter is dan zijn eigen natuurlijke snelheid a. Ten tweede kunnen we in de mathematische
beschrijving de invloed van de drukkracht verwaarlozen voor supersonische snelheden. Hierdoor
wordt de berekening van de beweging van de gasstroom gereduceerd tot de beschrijving van het pad
dat een testdeeltje volgt onder de invloed van de stuwkracht van Archimedes die het ondervindt in
het binair systeem vanaf het Lagrange punt L 1 . Hierbij kunnen we in goede benadering onderstellen
dat het gas binnentreedt in de Roche lus van ster 2 met een snelheid die te verwaarlozen is t.o.v.
de dynamische snelheid. Hierdoor zal de gasstroom binnen de Roche lus van ster 2 blijven.
104
Figuur 5.2: Deeltjestrajecten in het baanvlak van een ster met RLOF met een massaverhouding
M2 /M1 = 3/2. De deeltjes hebben allen een gelijke initiële snelheid in de x-richting naar de
accreterende ster. In dit voorbeeld werd deze snelheidscomponent gelijk aan 0.03 genomen, in de
eenheid [G(M1 + M2 )/b]1/2 . De snelheid in de y-richting bedraagt respectievelijk +0.03, 0, -0.03, in
dezelfde eenheid als de snelheid in de x-richting. De dichtste nadering tot de begeleider verandert
niet veel zolang de initiële snelheden niet veel veranderen.
Het traject van een testdeeltje kan berekend worden uit de bewegingsvergelijking waaraan het
onderworpen is en waarin naast de Stuwkracht van Archimedes ten gevolge van de twee rond elkaar
draaiende sterren ook de centrifugale krachten in rekening gebracht worden. In figuur 5.2 tonen
we het traject van een testdeeltje vanaf L 1 in de richting van ster 2 met een bepaalde waarde
voor de initiële snelheidscomponent in de richting van de begeleider. Bovendien tonen we het
traject van twee andere deeltjes, die tevens de Roche lus van ster 2 binnentreden met een gelijke
snelheidcomponent in de x−richting, maar welke onder een hoek van ±45 ◦ t.o.v. de verbindingslijn
van de twee sterren geı̈njecteerd worden. De stroom die het gas volgt bevindt zich tussen de twee
trajecten van deze laatste twee testdeeltjes en blijft weldegelijk binnen de Roche lus van ster 2.
De gasstroom nadert vrij dicht tot ster 2. Hierdoor kunnen twee scenario’s plaatsgrijpen:
1. de binnenkomende gasstroom botst onmiddellijk met het steroppervlak van ster 2. In dit geval
wordt de energie die de gasstroom wint ten gevolge van de aantrekking van ster 2 gedissipeerd
in een schok aan het steroppervlak van ster 2. Zo goed als al het getransfereerde materiaal
105
wordt onmiddellijk geaccreteerd door ster 2. Er is massabehoud en behoud van hoeveelheid
van beweging in het totale systeem.
2. de binnenkomende gasstroom blijft te ver van het steroppervlak van ster 2 zodat het niet
ingevangen wordt. In dit geval beweegt de gasstroom omheen de ster en botst op een gegeven moment met zichzelf in een punt vrij dicht bij ster 2 in vergelijking met de totale
uitgestrektheid van de Roche lus (zie figuur 5.2). Vermits de stroom supersonisch beweegt,
wordt er door de botsing kinetische energie gedissipeerd, wat leidt tot een verhitting van de
gasstroom, waardoor deze thermische energie zal uitstralen en vervolgens terug afkoelen. Vermits de botsing dicht tegen ster 2 gebeurt kunnen we de invloed van ster 1 op de verdere reis
van de gasstroom verwaarlozen. De stroom vestigt zich in een toestand van minimale energie,
welke overeenkomt met een cirkelvormige ring rond ster 2. De straal van deze circulaire baan,
RH , is zodanig dat de orbitale snelheid op afstand R H gelijk is aan de tangentiële snelheid
van de stroom in het punt van botsing met zichzelf.
Vermits het materiaal in de gasring energie uitstraalt bewegen sommige van de deeltjes van de
gasring alsmaar dichter naar ster 2 toe. Behoud van hoeveelheid van beweging impliceert dan
dat er zich ook deeltjes verder van de ster gaan vestigen. De gasring zal zodoende evolueren
naar een schijf rondom ster 2. Op die manier vormt zich een accretieschijf rondom ster 2.
Materie van deze schijf kan zodoende gemakkelijk geaccreteerd worden door ster 2. In dit
scenario is er tevens massabehoud en behoud van hoeveelheid van beweging.
De materie die nog steeds door het Lagrange punt stroomt en die afkomstig is van de koele
begeleider geeft aanleiding tot het ontstaan van een zogenaamde hete vlek (“hot spot”) aan
de buitenkant van de accretieschijf. We verwijzen naar figuur 5.3. Het is deze hete vlek die
hoog energetische straling veroorzaakt welke kan worden waargenomen onder de vorm van een
exces van straling in het ultra violet of bij nog kortere golflengten naargelang de verhitting
die optreedt.
5.2
Effect van conservatief massatransfert op de orbitale parameters
De orbitale periode is de gemakkelijkst te bepalen grootheid van een dubbelster. De orbitale periode
zal veranderen ten gevolge van massatransfert van de donor naar de ontvanger. We beperken ons
hier tot een beschrijving van circulaire banen, vermits we in goede benadering kunnen aannemen
dat de getijdenkracht zodanig ageert dat nauwe dubbelsterren op korte termijn evolueren naar een
cirkelvormige configuratie.
In een assenstelsel waarvan de oorsprong samenvalt met het massacentrum van de nauwe
dubbelster beweegt elk van de sterren volgens een circulaire baan rondom het massacentrum van
het systeem. De banen van sterren 1 en 2 hebben dan de stralen
b1 = b
M2
M1 + M 2
en b2 = b
106
M1
,
M1 + M 2
(5.2)
Figuur 5.3: Een schematische voorstelling van de vorming van een accretieschijf. De koele ster
ondergaat RLOF en verliest materie aan de begeleider doorheen het eerste Lagrange punt. De
materiestroom resulteert uiteindelijk in een schijf. Wanneer de invallende deeltjes op deze schijf
botsen ontstaat er een “hot spot”.
waarbij b de orbitale separatie is. De totale hoeveelheid van beweging in het systeem bedraagt bij
goede benadering
Jorb = M1 b21 Ω + M2 b22 Ω,
(5.3)
waarbij Ω = 2π/P . In feite treden nog additionele termen op wanneer de rotatie van de sterren
niet synchroon met de baan is, maar die rotationele bijdragen zijn verwaarloosbaar klein t.o.v. de
termen in het rechterlid van uitdrukking (5.3) die de orbitale hoeveelheid van beweging beschrijven.
De uitdrukking voor de hoeveelheid van beweging kan met behulp van de uitdrukkingen (5.2) voor
de stralen omgevormd worden tot
M1 M2 2
Jorb =
(5.4)
b Ω.
M1 + M 2
Bij de evolutieberekeningen van nauwe dubbelsterren neemt men vaak aan dat het proces van
massatransfert conservatief is. Dit wil zeggen dat er geen massa verloren gaat uit het ganse binaire
systeem en dat er geen verlies van hoeveelheid van beweging optreedt. In dit geval hebben we de
voorwaarden
d
dJorb
d
M=
(M1 + M2 ) = 0 en
= 0.
(5.5)
dt
dt
dt
Door de tijdsafgeleide te nemen van uitdrukking (5.4) verkrijgen we
J˙orb
ḃ Ω̇ Ṁ1 Ṁ2 Ṁ
=2 + +
+
−
,
Jorb
b Ω M1 M2 M
(5.6)
wat zich door gebruik te maken van behoud van massa en van hoeveelheid van beweging herleidt
tot de voorwaarde
ḃ Ω̇ Ṁ1 Ṁ2
+
= 0.
(5.7)
2 + +
b Ω M1 M2
107
Met behulp van de derde wet van Kepler
b3 =
G (M1 + M2 ) 2
P
4π 2
(5.8)
kunnen we deze voorwaarde omvormen tot volgende voorwaarden voor de variatie van de periode,
respectievelijk orbitale separatie :
3Ṁ1 (M1 − M2 )
Ṗ
=
,
P
M1 M2
(5.9)
ḃ
2Ṁ1 (M1 − M2 )
=
.
b
M1 M2
(5.10)
Oefening: Toon dit aan !
Uit conservatief massaverlies volgt dus dat de orbitale periode verandert aan een tempo dat
bepaald wordt door het massaverlies van de donor. Zowel de orbitale periode als de orbitale
separatie nemen af door het massaverlies van ster 1, vermits M 1 > M2 en Ṁ1 < 0. De verhouding
RL /b neemt af omdat het belang van de afnemende massaverhouding M 1 /M2 bij de bepaling ervan
groter is dan dat van de afnemende separatie. Dit betekent dat de Roche lus van de donor krimpt,
waardoor het massaverlies nog versneld wordt en snel toeneemt.
De gasstroom die op gang gekomen is, draagt een grote hoeveelheid van beweging van de donor
naar de ontvanger. Het alsmaar versneld massaverlies blijft duren totdat de massaverhouding van
de sterren omkeert, waarna de orbitale periode en separatie opnieuw zullen stijgen. Hierdoor stijgt
ook de Roche lus van de donor. Anderzijds blijft de grootte van de Roche lus afnemen door het
massaverlies van de donor. Het netto resultaat van beide effecten is een zeer kleine toename van de
straal van de Roche lus. Hierdoor wordt het proces van versneld massaverlies stopgezet, waardoor
het verlies van massa terug aan een trager tempo (op een thermische of zelfs nucleaire tijdschaal)
verloopt. De meeste nauwe dubbelsterren die massa transfereren worden in deze fase van hun
evolutie aangetroffen.
Op een gegeven moment wordt de straal van de Roche lus opnieuw groter dan de sterstraal.
Op dat ogenblik is de separatie tussen de componenten reeds veel groter dan de oorspronkelijke
separatie vóór het massatransfert, omdat het massaverschil tussen de componenten nu groter is.
Hierdoor herstelt het thermodynamisch evenwicht zich in de donor. Het steroppervlak van de
donor ontkoppelt zich van de Roche lus van ster 2 en we krijgen opnieuw een gescheiden systeem.
De donor bestaat nu uit een helium kern omgeven door een uiterst dunne enveloppe die op korte
tijd dissipeert. Afhankelijk van de duur van het massatransfert en de parameters van de nauwe
dubbelster is de donor getransformeerd naar een helium ster, een witte dwerg of een neutronenster.
108
5.3
Evolutie van de donor
Hierboven hebben we afgeleid dat de Roche lus begint te krimpen eens het proces van massatransfert
op gang gekomen is. Het veranderen van de Roche lus impliceert dat ook de sterstraal zal veranderen
vermits deze niet veel groter dan de straal van de Roche lus kan worden. De evolutie van de donor
hangt af van het feit of de donor in staat is om zijn straal mee te laten evolueren met de Roche lus
en of dit gebeurt ten koste van het behoud van thermisch evenwicht in de ster.
Het hydrostatisch evenwicht in het inwendige van de donor wordt niet verstoord door het
massatransfert, zelfs niet wanneer dit op een korte dynamische tijdschaal gebeurt. De reden hiervoor
is dat de tijdschaal voor het herstellen van een storing van hydrostatisch evenwicht in de sterkern
√
zeer kort is (τkern ∼ 1/ ρ), waardoor het evenwicht zeer snel hersteld wordt. Daarentegen kan het
thermisch evenwicht in de ster weldegelijk verstoord worden door massatransfert wanneer dit op
een vrij korte tijdschaal plaatsvindt. Om dit in te zien voeren we nu eerst het begrip entropieprofiel
in.
De verandering van de specifieke entropie s in de ster wordt gegeven door ds = dq/T . Uit de
eerste wet van de thermodynamica kunnen we volgende uitdrukking voor dq afleiden (zie cursus
Sterstructuur en -evolutie):
δ
(5.11)
dq = cP dT − dP.
ρ
Voor een mono-atomisch ideaal gas hebben we volgende vereenvoudigingen voor de thermodynamische grootheden :
R
1 R
met δ = 1 en P = ρT.
(5.12)
cP =
∇ad µ
µ
Gebruik makend hiervan krijgen we dan voor ds:
"
T 1/∇ad
P
1 R
R
R
ds =
d ln T − d ln P = d
ln
∇ad µ
µ
µ
!#
.
(5.13)
Na integratie bekomen we
s=
R T 1/∇ad
ln
+ constante,
µ
P
(5.14)
wat in combinatie met de voorwaarde voor hydrostatisch evenwicht
dP
Gm
=−
dm
4πr 4
leidt tot
ds
R Gm
=
dm
µ 4πr 4 P
∇
1−
∇ad
(5.15)
.
(5.16)
Het entropieprofiel van de ster is de grafiek waarin het functioneel verband van s t.o.v. m
uitgezet wordt. Aan de hand van het resultaat (5.16) kunnen we drie gebieden onderscheiden in
het entropieprofiel :
109
1. radiatieve lagen. In deze lagen is ∇ = ∇ rad < ∇ad . In zulk een laag stijgt de entropie met
stijgende m, dus naar het steroppervlak toe.
2. lagen met effectieve convectie. Voor zulke lagen is ∇ ≈ ∇ ad , wat een constante entropie
impliceert.
3. lagen met ineffectieve convectie. Dit geval treedt op voor de situatie ∇ ad < ∇ < ∇rad . In
dit geval daalt de entropie met stijgende m. Men spreekt van superadiabatische convectie.
Deze situatie treedt op in de buitenste lagen van de ster, waar de dichtheid laag is. Deze
superadiabatische laag is erg dun en heeft weinig invloed op de reactie van de donor op het
massatransfert, behalve wanneer het een donor betreft met een uitgebreide enveloppe, zoals
een reus of een AGB ster.
We zullen nu het entropieprofiel van de donor vóór en na massatransfert vergelijken. Een
lokale toename van de entropie komt overeen met een energiewinst van die bepaalde laag, terwijl
een lokale afname van de entropie wijst op energieverlies.
5.3.1
Donor met een radiatieve enveloppe
We onderstellen een donor in thermische evenwicht met initiële massa M , welke een convectieve kern
heeft, naast een uitgebreide radiatieve enveloppe en een uiterst dunne convectieve oppervlaktelaag.
Het entropieprofiel van zulk een donor wordt voorgesteld in figuur 5.4. In deze figuur wordt tevens
het entropieprofiel van een vergelijkster in thermische evenwicht met massa M − δM getoond.
Beide entropieprofielen hebben vergelijkbare vorm en vertonen één snijpunt, wat diep in de sterren
gelegen is.
Veronderstel nu dat de donor een hoeveelheid massa δM verliest aan een hoog tempo. Het verlies van de buitenste lagen zal geen onmiddellijke verandering teweeg brengen in het entropieprofiel.
Met andere woorden de ster reageert in eerste instantie adiabatisch op het massaverlies. Moest de
donor tijd genoeg krijgen om het thermisch evenwicht te herstellen, dan zou hij zijn entropieprofiel
zodanig aanpassen dat het samenviel met datgene van de vergelijkster.
Echter, het buitenste gedeelte van het entropieprofiel van de donor is lager dan dat van de
vergelijkster, die zich wel in thermisch evenwicht bevindt. Dit impliceert dat de donor kleiner en
koeler is en een grotere dichtheid heeft dan de vergelijkster. Bovendien is hij minder lichtkrachtig.
De radiatieve enveloppe staat de donor toe om binnen zijn kleiner wordende Roche lus te blijven.
In het centrum van de donor is het entropieprofiel echter hoger dan datgene van de vergelijkster.
Deze hoger dan normale entropie, gepaard gaand met een minder strenge eis van druk om de
bovenliggende lagen te kunnen tillen, resulteert in een uitzetten van de kern van de donor. Hierdoor
zullen de kernreacties vertraagd worden totdat het thermisch evenwicht hersteld is.
110
Figuur 5.4: Entropieprofielen voor sterren met massa m en m − δm die slechts een kleine ondiepe
convectielaag aan het oppervlak hebben (de invloed van deze convectielaag op de profielen wordt
niet getoond, daar ze niet van belang is). Beide sterren bevinden zich in thermisch evenwicht.
Wanneer de donor een fractie δm van zijn massa verliest op adiabatische wijze, dan wordt hij
kleiner dan een ster van dezelfde massa in thermisch evenwicht. Hierdoor is de donor in staat om
binnen zijn Roche lus te blijven.
111
Figuur 5.5: Entropieprofielen voor sterren met massa m en m − δm die een diepe convectielaag
aan het oppervlak hebben. Beide sterren bevinden zich in thermisch evenwicht. De reactie van de
donor op het snelle massaverlies resulteert in dit geval in een expansie, waardoor de ster niet in
staat is om binnen haar Roche lus te blijven.
5.3.2
Donor met een diepe convectieve enveloppe
Het entropieprofiel van een donor met initiële massa M en datgene van een vergelijkster met massa
M − δM , welke beiden een diepe convectieve enveloppe hebben, wordt getoond in figuur 5.5. Deze
entropieprofielen zijn gecompliceerder dan diegenen voor een ster met een radiatieve enveloppe en
er treden nu twee snijpunten op. De laag die het meest relevant is voor de reactie van de donor op
het massatransfert is diegene gelegen tussen het steroppervlak en de dichtste intersectie van beide
profielen bij het oppervlak.
Wanneer de donor op adiabatische wijze een massa δM verliest, is de entropie veel hoger
dan die in de buitenste lagen van normale sterren met massa M − δM . De donor is nu heter en
lichtkrachtiger dan de vergelijkster. Hij zet daardoor uit. Omwille van de convectieve enveloppe
is de donor niet in staat om binnenin zijn krimpende Roche lus te blijven. Het gevolg is dat het
massaverlies nog versneld wordt.
We komen zodoende tot het volgende besluit: wanneer de donor een convectieve enveloppe
ontwikkeld heeft vóór het massaverlies, dan gebeurt het massatransfert op een (korte) dynamische tijdschaal en is het massaverlies gewelddadig; wanneer daarentegen de donor een radiatieve
112
enveloppe heeft, dan gebeurt het massaverlies op een (lange) thermische tijdschaal.
5.4
Evolutie van de ontvanger
We hebben duidelijk aangetoond in vorig deel dat het massaverlies de evolutie van de donor aanzienlijk beı̈nvloedt. Voor de ontvanger, echter, is de verandering in evolutie nog veel drastischer
dan voor de donor, vooral wanneer het massatransfert op een dynamische tijdschaal plaatsgrijpt.
Bij de aanvang van het massaverlies is de ontvanger de minst massieve ster van de twee. Hij
heeft dus de kleinste straal en lichtkracht. Door het massatransfert komt de ontvanger in een
toestand die zeer ver afwijkt van evenwicht. De verandering in de evolutie van de ontvanger wordt
opnieuw bestudeerd aan de hand van de vorm van de entropieprofielen.
Opnieuw is de reactie van de ontvanger verschillend voor een ster met een radiatieve en een
convectieve enveloppe. Wanneer nieuwe materie met een veel hogere entropie invalt op de radiatieve
enveloppe van de ontvanger, expandeert deze ver voorbij de straal van de vergelijkster met dezelfde
massa. De sterkern reageert op de aanwinst van de massa door te krimpen. Een ontvanger met
een convectieve enveloppe reageert veel minder fel op de getransfereerde massa. Hij expandeert
eventueel een weinig maar kan evengoed een beetje krimpen.
De ontvanger heeft af te rekenen met een probleem waarvan er geen analoog is voor de donor.
Omwille van het massatransfert accreteert de ontvanger niet alleen massa, maar moet hij bovendien
een toename in hoeveelheid van beweging opvangen. Wanneer de ontvanger relatief klein is t.o.v.
de orbitale separatie, vormt zich een accretieschijf. Deze kan de ontvanger gedeeltelijk of zelfs
geheel verduisteren voor een waarnemer. Wrijvingskrachten die optreden tussen de sterenveloppe
en de binnenkant van de accretieschijf doen de ontvanger sneller roteren. Op die manier wordt de
ontvanger sterk afgeplat. Dit “spin-up” proces kan ervoor zorgen dat de ster een rotatiesnelheid
krijgt die zeer dicht bij de kritische snelheid komt. Hierdoor wordt het accretieproces gestopt
en al het nieuwe geaccreteerde materiaal komt vervolgens terecht in de schijf, die daardoor veel
dikker wordt. De ontvanger moet op die manier een enorme toevoer van hoeveelheid van beweging
verwerken.
5.5
Verschillende typen van massatransfert
Men verdeelt het massatransfert dat optreedt in nauwe dubbelsterren in drie typen. Deze classificatie is hoofdzakelijk gebaseerd op de positie van de donor in het HR diagram bij de aanvang van
het massatransfert.
113
5.5.1
Type-A massatransfert
In dit geval start het massatransfert wanneer de donor zich nog op de hoofdreeks in de fase van
centrale waterstofverbranding bevindt. De toename van de sterstraal gebeurt uiterst langzaam op
de hoofdreeks. Als gevolg hiervan gebeurt het type-A massatransfert op een tijdschaal die zeer
lang is, nl. de nucleaire tijdschaal of de tijdschaal van evolutionaire verandering van de orbitale
beweging. Door dit trage massatransfert kan de donor zich op elk ogenblik rustig aanpassen aan de
verandering van de dimensies van zijn Roche lus zonder daarbij te moeten afwijken van thermisch
evenwicht.
Dit type massatransfert treedt op in W Ursa Majoris sterren, in cataclysmische variabelen en
in lage-massa X-stralen dubbelsterren :
• Een W UMa dubbelster bestaat uit twee hoofdreekssterren met lage massa die zich in of nabij
een contact configuratie bevinden. Vermits de enveloppes van beide sterren convectief zijn,
zetten zij uit eens massatransfert begint. Hierdoor raken de Roche lussen van beide sterren
vol en een gemeenschappelijke convectieve enveloppe wordt gecreëerd.
• In een cataclysmische variabele is de donor eveneens een lage-massa hoofdreeksster, maar de
ontvanger is nu een witte dwerg. Het waargenomen massatransfert is hier al aan een tweede
fase toe. De eerste fase van massaverlies heeft vroeger geleid tot een gemeenschappelijke
enveloppe die reeds verdwenen is. De huidige ontvanger (=witte dwerg) is het overblijfsel van
de vroegere donor. Na de eerste massatransfertfase expandeert de oorspronkelijke ontvanger
zodat deze zijn Roche lus vult, nog tijdens de hoofdreeksfase. Dit komt omdat het orbitaal
systeem zeer nauw is en de grootte van de Roche lus snel bereikt wordt.
• LMXBs hebben een lage-massa hoofdreeks donor en een neutronenster of zwart gat als ontvanger. Een LMXB met een neutronenster ontvanger is wellicht ontstaan uit een cataclysmische
variabele waarbij de witte dwerg op een relatief rustige wijze de Chandrasekhar limiet overschreden heeft zonder het systeem uiteen te rukken. We hebben in dit geval dus ook te maken
met een tweede massatransfertfase waarbij de donor zich nog op de hoofdreeks bevindt.
5.5.2
Type-B massatransfert
Bij massatransfert van type B is de donor een ster die reeds weggeëvolueerd is van de hoofdreeks
en die op weg is naar de reuzentak. De ster ondergaat waterstofschilverbranding, waardoor haar
buitenste lagen snel uitzetten. De heliumverbrandingsfase is nog niet aangebroken.
Massieve sterren ontsteken helium wanneer ze nog niet aangekomen zijn op de reuzentak. Voor
zulk een massieve ster die zich nog niet op de reuzentak bevindt op het ogenblik van RLOF spreekt
men van laat-type-B massatransfert.
Vermits type-B massatransfert een donor vereist die duidelijk sneller evolueert dan de ontvanger
114
hebben we hier te maken met een massaverhouding M 1 /M2 > 1. Het tempo van massatransfert
is hoog en daardoor krimpt de Roche lus van de donor. Deze laatste kan daardoor het thermisch
evenwicht niet bewaren.
W Serpentis sterren en Algols zijn voorbeelden van type-B massatransfert :
• W Serpentis sterren hebben een donor die zich doorheen het HR diagram naar rechts begeeft.
RLOF start reeds vooraleer de donor een diepe convectieve enveloppe opgebouwd heeft, m.a.w.
vóór dat de donor op de reuzentak is aangekomen. De donor transfereert in zulk een systeem
massa naar een ster die zich op of dicht bij de hoofdreeks bevindt. W Serpentis sterren
bevinden zich dan ook in de eerste massatransfertfase.
• Algol systemen hebben veel gemeenschappelijk met W Serpentis sterren, maar omwille van de
kleinere dimensie van het orbitaal systeem start RLOF vroeger, wanneer de donor zich nog
dichter tegen de hoofdreeks bevindt. Ten gevolge van de kleinere orbitale dimensie gebeurt
het massatransfert aan een lager tempo.
5.5.3
Type-C massatransfert
We spreken van type-C massatransfert wanneer de donor reeds helium ontstoken heeft. Opdat dit
zou optreden moet één van de componenten veel zwaarder zijn dan de andere: M 1 /M2 1. Het
massatransfert is zo fel en snel dat de donor niet in staat is om binnen zijn Roche lus te blijven.
Het transfert gebeurt op een dynamische tijdschaal en is dus zeer intens en van korte duur.
Symbiotische sterren zijn wellicht voorbeelden van type-C massatransfert, waarbij een koele
donor massa afstaat aan een hoog tempo. Het massatransfert gebeurt zo snel en fel dat de ontvanger, welke meestal een witte dwerg is, er niet in slaagt om het getransfereerde materiaal te
accreteren. Hierdoor treedt er niet-conservatief massatransfert op, waarbij massa uit het binair
systeem ontsnapt langsheen het tweede Lagrange punt L 2 .
115
116
Hoofdstuk 6
Compacte stellaire resten in een
binair systeem
Bij de classificatie van de nauwe dubbelsterren hebben we al verschillende typen besproken waarbij
één van de componenten een witte dwerg of een neutronenster is. We bespreken in dit hoofdstuk
nog enkele bijzondere configuraties waarbij compacte objecten de hoofdrol spelen. In eerste instantie bespreken we de vormingsgeschiedenis en evolutie van binaire systemen met een compacte
component. Vervolgens behandelen we het bepalen van massa’s van componenten van een dubbelster. Nauwkeurige massabepaling is belangrijk om de massa’s, bekomen op basis van de huidige
sterevolutiemodellen, te confronteren met de waarnemingen. In het bijzonder is een nauwkeurige massabepaling van compacte objecten in een dubbelster relevant, omdat de limietmassa’s voor
neutronensterren en de massa’s van zwarte gaten nog niet éénduidig bepaald zijn. Tevens willen
we testen hoezeer voldaan is aan de limietmassa van Chandrasekhar voor witte dwergen.
6.1
Vorming van binaire systemen met een compact object
Het bestaan van X-stralen dubbelsterren bewijst dat binaire systemen in sommige omstandigheden
de supernova explosie van één of beide componenten kunnen overleven. In het geval van een HMXB
is het overleven een gevolg van het feit dat de initieel meest massieve component bijzonder veel
massaverlies heeft ondergaan, waardoor hij op het ogenblik van de explosie die minst massieve
component van het systeem geworden is. Een explosieve massa-uitstoting leidt in het algemeen
niet tot de vernietiging van het systeem wanneer het de minst massieve ster is die explodeert. Voor
LMXBs is het veel moeilijker te begrijpen waarom ze de supernova explosie kunnen overleven. We
gaan hier nu wat dieper op in.
117
6.1.1
Het standaard probleem
Onmiddellijk na de ontdekking van neutronensterren in een binair systeem besefte men dat een
eenvoudige interpretatie van hun bestaan tot problemen leidt. Beschouw nl. een binair circulair
systeem waarvan de orbitale straal b 0 bedraagt en dat bestaat uit componenten met massa’s M 1
en M2 . Onderstel dat de ster met massa M1 plotseling een hoeveelheid massa 4M (dus energie)
verliest ten gevolge van een supernova explosie en dat het binair systeem hierdoor een excentrische
baan krijgt. Wanneer we ervan uitgaan dat de posities en snelheden van de componenten vlak vóór
en vlak na de explosie dezelfde zijn (m.a.w. dat het energieverlies enkel te wijten is aan het verlies
van massa), dan moet de periastron afstand van de nieuwe baan gelijk zijn aan de straal van de
oude baan :
b0 = bn (1 − e),
(6.1)
waarbij bn en e de halve grote as en de excentriciteit van de nieuwe baan voorstellen. Bovendien
moet de relatieve snelheid in het periastron dan gelijk zijn aan de relatieve snelheid van de circulaire
baan :
G(M1 + M2 − 4M ) 1 + e
G(M1 + M2 )
=
.
(6.2)
b0
bn
1−e
Wanneer we beide vergelijkingen combineren, vinden we de excentriciteit van de nieuwe baan :
e=
4M
.
M2 + M1 − 4M
(6.3)
Volgens dit resultaat zal de excentriciteit van de baan groter worden dan 1 wanneer meer dan de helft
van de totale massa van het binair systeem verloren gaat tijdens de explosie. In dat geval wordt het
binair systeem vernietigd. Uit de cursus Sterstructuur en -evolutie weten we dat de meest massieve
component eerst zal exploderen als een supernova. We moeten dus besluiten dat de initiële massa’s
van beide componenten zeer dicht bij elkaar moeten liggen, meer bepaald M 1 > M2 > M1 − 2Mns
met Mns de massa van de overblijvende neutronenster, opdat de dubbelster kan blijven bestaan na
de supernova explosie. We verwachten daarom op basis van deze theoretische overwegingen zeer
weinig binaire systemen met een neutronenster. De ROSAT All Sky Survey toont dat dit niet klopt
met de werkelijkheid.
6.1.2
Vorming van HMXBs
Verscheidene oplossingen voor het standaard probleem zijn ondertussen gevonden. We overlopen
er nu één in het geval van HMXBs : pre-supernova massatransfert.
Wanneer de meest massieve ster voldoende massa transfereert naar de begeleider alvorens te
ontploffen, kan voldaan worden aan de voorwaarde voor e < 1. Dit is nl. het geval wanneer de
oorspronkelijk meest massieve ster reeds de minst massieve van het systeem is vóór de supernova
explosie. Er blijkt nu dat er slechts voldoende massatransfert kan plaatsvinden voor vrij wijde
systemen. In figuur 6.1 wordt als voorbeeld de vormingsgeschiedenis van zulk een systeem met een
omloopsperiode van 200 dagen geschetst. De initiële massa’s in dit voorbeeld bedragen respectievelijk 9 en 5 M .
118
Figuur 6.1: Scenario dat de vorming en de evolutie van een HMXB weergeeft. De stippellijn duidt
de positie van het massacentrum aan. Voor een verklaring: zie tekst.
119
• (a) Tijdens de hoofdreeksfase van beide sterren evolueren ze op de nucleaire tijdschaal. Deze
is veel korter voor de ster met massa 9 M dan voor de ster met massa 5 M .
• (b) Bij het starten van de H-schilverbrandingsfase, na uitputting van de centrale waterstofvoorraad in de meest massieve component, zullen de buitenste lagen van deze ster fel uitzetten.
De ster zal haar Roche lus opvullen.
• (c) Tijdens de volgende fase van RLOF transfereert de massieve ster massa naar haar begeleider. Hierdoor krimpt de baan en wordt de omloopsperiode korter. Dit gaat verder totdat
de massaverhouding 1 is.
• (d) Wanneer de begeleider het meest massief wordt, begint de baan opnieuw uit te zetten en
stijgt de omloopsperiode fel. Het massaverlies van de donor stopt wanneer deze terechtkomt
in een toestand van centrale He-verbranding, zodat de buitenste sterlagen niet meer uitzetten.
In de praktijk blijft er nu zo goed als enkel een He kern over van de primaire ster.
• (e) Tijdens de opeenvolgende verbrandingscycli worden steeds zwaardere kernen aangemaakt
in de primaire ster, totdat deze een ijzerkern gevormd heeft. De primaire ontploft dan als een
supernova en er blijft een neutronenster over. Op dat ogenblik wordt de baan excentrisch en
leidt het totale systeem voor het eerst massaverlies.
• (f) Vervolgens start de begeleider de fase van H-schilverbranding, waardoor deze in het reuzenstadium terecht komt. Zijn buitenste lagen zetten uit en de primaire wordt een X-stralen
bron door het opvangen van massa van de begeleider in de vorm van een sterrenwind of door
RLOF. Deze fase verloopt bijzonder snel en de neutronenster begint te spiraleren in de enveloppe van haar begeleider. De evolutie verloopt nu sterk niet-conservatief in de zin dat er geen
behoud van massa, noch van hoeveelheid van beweging meer is. De baan krimpt hierdoor
zeer sterk.
• (g) Wanneer de buitenlagen van de begeleider uitgestoten werden van het systeem, vormt de
overblijvende heliumkern van de begeleider nu een binair systeem met de neutronenster. Voor
de visibiliteit werd een schaalverandering doorgevoerd in de figuur in deze fase.
• (h) Dit systeem zal evolueren naar een dubbele neutronenster wanneer ook de begeleider de
opeenvolgende verbrandingscycli doorlopen heeft, een ijzerkern gevormd heeft, en explodeert
als een supernova die het systeem niet vernietigt. Anderzijds is het ook mogelijk dat de
begeleider eindigt als een witte dwerg, wanneer het massaverlies zodanig groot was dat de
eindmassa beneden de Chandrasekhar limiet eindigt. De baan zal door de effecten van getijden
snel gecirculariseerd worden.
6.1.3
Vorming van LMXBs
Zoals reeds vermeld is het standaardprobleem veel moeilijker op te lossen voor LMXBs. Ook hier
werden verschillende oplossingen voorgesteld. Een mogelijkheid is de volgende: men vertrekt van
een wijde dubbelster met een zeer ongelijke massa van beide componenten. Wanneer deze massieve
component evolueert naar het reuzenstadium, reikt zijn enveloppe tot aan de begeleider, waardoor
120
deze niet anders kan dan inspiraleren. Opnieuw verliest het totale systeem massa en impulsmoment. Op die manier kan de begeleider tot dicht bij de kern van de meest massieve ster komen,
welke vervolgens evolueert naar een witte dwerg met een massa dicht bij de Chandrasekhar limiet.
Wanneer de begeleider nu zijn hoofdreeksfase beëindigt en H-schilverbranding start, zal een gedeelte van zijn massa getransfereerd worden naar de witte dwerg. Deze overschrijdt de Chandrasekhar
limiet en implodeert tot een neutronenster, waardoor een excentrische nauwe dubbelster gevormd
wordt. Hierbij gaat men ervan uit dat deze implosie veel minder impact heeft op de dubbelster dan
dat dit het geval is voor een supernova explosie. De getijdenkracht zal ervoor zorgen dat de baan
snel gecirculariseerd wordt.
Dit scenario heeft enkele zwakke punten. Het is vooreerst helemaal niet duidelijk of dubbelsterren met componenten van zeer ongelijke massa wel bestaan. Bovendien is het scenario van
inspiraleren summier.
6.2
Nauwkeurige massabepaling
De twee componenten van een dubbelster bewegen volgens de eerste wet van Kepler in een ellipsvormige baan. Deze ellipsvormige beweging wordt gekenmerkt door 4 baanelementen:
• P : de orbitale periode
• b: de halve grote as van de ellips,
• e: de excentriciteit,
• τ : het tijdstip van dichtste nadering (= periastrondoorgang) van de componenten.
De positie van de ellipsbaan in de ruimte wordt vervolgens gekenmerkt door de drie hoeken van Euler
(Ω, ω, i). Voor de betekenis van deze hoeken en hun bepaling verwijzen we naar G094: Practicum
Sterrenkunde, een reeks practica te volgen gedurende de eerste licentie. We leiden hieruit af dat de
banen van dubbelsterren volledig bepaald worden door 7 baanelementen. We gaan nu wat dieper
in op massabepaling voor dubbelsterren.
Om de massa van de componenten van een dubbelster af te leiden dienen we eerst de zeven
baanelementen te bepalen. Deze baanelementen zijn voor visuele dubbelsterren relatief gemakkelijk
te bepalen, maar de halve grote assen zijn enkel gekend in boogseconden. Om deze assen uit te
drukken in astronomische eenheden (AE, zie Bijlage A) moeten we dus de parallax π kennen:
00
b
(6.4)
bAE = 00 .
π
De som van de massa’s van de twee componenten van een visuele dubbelster wordt gegeven door
M1 + M 2 =
121
(bAE )3
,
(Pjaar )2
(6.5)
waarbij de massa’s worden uitgedrukt in M , P staat voor de omloopsperiode en b = b 1 + b2 .
Anderzijds wordt de verhouding van de massa’s gegeven door
b2
M1
= .
M2
b1
(6.6)
Uit deze twee vergelijkingen kunnen we de massa’s bepalen. De nauwkeurigheid die bereikt kan
worden hangt grotendeels af van de nauwkeurigheid van de parallax. We merken op dat een
onzekerheid van 5% op de parallax reeds een onzekerheid van 15% voor de massa’s impliceert.
De onzekerheid van de parallax en de moeilijkheid om de halve grote as met zeer grote precisie
te bepalen voor deze systemen met lange omloopsperiode zijn de twee grootste beperkingen van
het gebruik van visuele dubbelsterren voor massabepaling. Er bestaan momenteel slechts enkele
visuele dubbelsterren waarvan de individuele massa’s met een relatieve nauwkeurigheid kleiner dan
2% konden bepaald worden. De meeste visuele dubbelsterren hebben componenten met een lage
massa.
Dubbelsterren met massieve componenten zijn erg zeldzaam in de nabijheid van de zon en dus
ook in de lijst van visuele dubbelsterren. Voor de massabepaling van sterren met massa’s groter
dan 3M zijn we daarom aangewezen op spectroscopische dubbelsterren. Een grootheid die men
voor alle spectroscopische dubbelsterren uit de baanelementen kan bepalen is de massafunctie :
f (M ) =
(M2 sin i)3
.
(M1 + M2 )2
(6.7)
Voor de werkwijze ter bepaling van de baanelementen van spectroscopische dubbelsterren verwijzen
we opnieuw naar G094: Practicum Sterrenkunde. De massafunctie is één vergelijking voor de
drie onbekenden M1 , M2 , i. Ze vormt een benedenlimiet voor de massa van de tweede component
(M1 = 0, i = 90◦ ).
Bij dubbelgelijnde spectroscopische dubbelsterren beschikken we over een tweede betrekking
tussen de drie onbekenden, nl.
b2
b2 sin i
M1
=
=
.
(6.8)
M2
b1
b1 sin i
Zelfs in dit geval kunnen we pas de massa’s van beide componenten bepalen indien we de inclinatie
kennen. Voor een spectroscopische dubbelster die tevens een visuele dubbelster is, kunnen we i op
onafhankelijke wijze bepalen.
6.2.1
Massabepaling van witte dwergen
De mogelijkheid om een rechtstreekse bepaling van de massa’s van witte dwergen uit te voeren is
zeldzaam. Dit komt omdat witte dwergen zodanig weinig energie uitstralen in vergelijking met hun
begeleider dat niet veel van deze objecten gevonden zijn in nabije dubbelsterren. Momenteel kent
men slechts drie visuele dubbelsterren waarin één van de componenten een witte dwerg is. Hiervan
is Sirius (α CMa) de bekendste. Ze bestaat uit een A1V hoofdcomponent en een omloopsperiode
van 50 jaar. Daarnaast gaat het om de dubbelsterren α CMi en o 2 Eri BC, welke naast de witte
122
Tabel 6.1: Massabepaling van witte dwergen in cataclysmische variabelen. De massa’s zijn uitgedrukt in zonsmassa’s
object
massa
(primaire)
massa
(witte dwerg)
inclinatie
AE Aqr
Z Cam
BV Cen
SS Cyg
EM Cyg
U Gem
RU Peg
..
.
0.47
0.85
0.9
0.78
0.76
0.56
1.14
..
.
0.94
1.20
0.83
1.33
0.56
1.18
1.47
..
.
58◦
69◦
62◦
35◦
59◦
67◦
32◦
..
.
dwerg bestaan uit respectievelijk een F5IV en een M4.5V ster en waarvan de orbitale perioden 41
en 252 jaar bedragen. Voor deze drie witte dwergen kon men dan ook de massa bepalen met de
methode hierboven geschetst. Men vindt zo voor de massa’s van deze witte dwergen 0.94, 0.65 en
0.43 M .
Massabepaling in cataclysmische veranderlijken is ook mogelijk, maar met minder grote precisie. In dit geval wordt de witte dwerg niet rechtstreeks waargenomen, maar neemt men emissielijnen
waar ten gevolge van de inval van materie afkomstig van de donor in een accretieschijf rondom de
witte dwerg. Door de beweging van de emissielijnen te volgen kan men de beweging van de schijf
rond de hoofdreeksster bepalen, en zodoende ook de beweging van de witte dwerg schatten. Dit is
mogelijk wanneer de emissielijnen uitgesproken en niet te breed zijn. In die zin vormen cataclysmische variabelen waarvan men de emissielijnen van de accretieschijf kan waarnemen een bijzonder
geval van dubbelgelijnde spectroscopische dubbelsterren. De bepaling van de inclinatie is nodig om
een schatting van de massa’s van de componenten af te leiden en levert de grootste onzekere factor
in de massabepaling. In tabel 6.1 geven we enkele cataclysmische veranderlijken waarvoor de massa
van beide componenten kon bepaald worden. De massa’s op deze wijze bekomen voor de witte
dwergen zijn veel hoger dan die voor de componenten van de drie visuele dubbelsterren. De reden
hiervoor is wellicht dat deze witte dwergen massa accreteren. Deze afgeleide massa’s zijn dan ook
niet geschikt om de eindproducten van sterevolutiemodellen van enkelvoudige sterren te toetsen.
We merken nog op dat de massa van de witte dwerg in RU Peg schijnbaar in tegenstrijd is met
de Chandrasekhar limiet. Echter, de onzekerheden op deze massabepalingen van witte dwergen in
cataclysmische variabelen is vrij groot, zeker bij lage baaninclinaties.
Voor enkelvoudige witte dwergen kan men, in tegenstelling tot voor andere enkelvoudige sterren, ook nauwkeurige massabepaling bekomen. Een witte dwerg heeft immers een polytropische
structuur bepaald door het ontaard electronengas, waarvoor de druk niet afhangt van de temperatuur. Uit integratie van de vergelijking die het massabehoud uitdrukt en uit integratie van de
123
vergelijking die het hydrostatisch evenwicht beschrijft, vindt men een verband tussen de totale massa en de straal van de witte dwerg. Wanneer we dan nog op een andere wijze een verband tussen de
massa en de straal kunnen vinden, zijn we in staat om deze twee onbekenden te bepalen. Het tweede
verband haalt men uit een spectrale analyse van de witte dwerg. Zoals voor elke ster kan men uit
het spectrum van de witte dwerg de effectieve temperatuur en de graviteit bepalen. In principe is de
bepaling van de graviteit voldoende, vermits dit een verband geeft tussen de massa en de straal. In
de praktijk is het echter zo dat de bepaling van de effectieve temperatuur veel nauwkeuriger is dan
diegene van de graviteit. Meestal berekent men dan ook de absolute magnitude van de witte dwerg
aan de hand van de gemeten parallax (witte dwergen zijn talrijk aanwezig in de omgeving van de
zon) en de visuele magnitude. Aan de hand van de schatting van de effectieve temperatuur bepaalt
men dan achtereenvolgens de bolometrische correctie, de bolometrische magnitude, de lichtkracht
en de straal. Deze waarde voor de straal laat dan toe om via de massa-straal relatie een waarde
van de massa af te leiden.
Rekening houdend met de onzekerheden op de massabepaling voldoen alle massa’s aan de bovenlimiet van Chandrasekhar. Het histogram van de massaverdeling blijkt een duidelijk maximum
te vertonen bij M = 0.58 M . Dit komt omdat de initiële massafunctie, welke het aantal sterren
geeft in functie van de massa, fel daalt bij stijgende massa. Er komen veel meer sterren voor met
een initiële massa beneden 1.5 M dan met een hogere massa. De huidige evolutiemodellen voorspellen dat sterren met een beginmassa beneden 1.5 M hun leven eindigen als witte dwerg met
een massa beneden 0.65 M . De bepaling van de massa’s van witte dwergen is belangrijk om de
vrij onbekende fase van massaverlies tijdens en na de asymptotische reuzentak beter te begrijpen.
Men schat dat Sirius B een initiële massa tussen 3 en 4 M moet gehad hebben. Alle witte dwergen
in open sterrenhopen met een keerpunt rond 6 M blijken een massa te hebben van om en bij de
1.2 M . Dit toont dat alle sterren met initiële massa tot 6 M blijkbaar zonder moeite voldoende
massa verliezen om hun leven te beëindigen met een massa beneden de Chandrasekhar limiet.
Daarentegen evolueren sterren met een beginmassa beneden 0.8 M naar witte dwergen met
een massa beneden 0.56 M . Vraag is dus hoe het komt dat er witte dwergen bestaan met massa’s
aanzienlijk lager dan 0.56 M . Dit wordt niet begrepen vanuit evolutionair standpunt. Men vermoedt dat de binariteit op één of andere manier verantwoordelijk is voor de evolutie naar zulk een
lage-massa witte dwergen.
6.2.2
Massabepaling van neutronensterren
Het ontaard neutronengas belet de gravitationele ineenstorting van een neutronenster. In tegenstelling tot voor het ontaard electronengas in witte dwergen, is men er nog niet in geslaagd om een
toestandsfunctie op te stellen voor het ontaard neutronengas. Om die reden heeft men ook nog
geen analogon van de zeer nauwkeurige Chandrasekhar limiet voor de hoogst mogelijke massa van
een neutronenster kunnen afleiden. De huidige, nog zeer onzekere, theoretische toestandsfuncties
voor neutronensterren leggen een bovenlimiet van om en bij de 2–4 M op voor de massa. Onder
meer om deze reden, en tevens als toetsing voor de vorming en het eindproduct van een type-II
supernova explosie, is massabepaling van neutronensterren belangrijk.
124
Massabepaling van neutronensterren gebeurt aan de hand van LMXBs of HMXBs, welke allen
bronnen van X-stralen zijn (zie Hoofdstuk 4). Zulke X-stralen dubbelsterren kan men beschouwen
als dubbelgelijnde spectroscopische dubbelsterren. We zien het spectrum van de neutronenster
niet expliciet, maar de beweging van de neutronenster rondom de begeleider wordt verraden door
de lichttijdeffecten van de pulsen. Immers, de pulsen lijken korter wanneer de neutronenster zich
naar ons toe beweegt terwijl ze langer lijken wanneer de ster van ons weg beweegt (zie ook verder:
dubbele pulsars). Om uit de beweging van de neutronenster rondom de begeleider de massa te
kunnen afleiden, hebben we een waarde voor de inclinatie van het baanvlak nodig. Men schat deze
op basis van de bedekking van de X-stralen bron door de begeleider. Op het ogenblik van een
bedekking worden namelijk geen X-stralen waargenomen. De inclinaties zijn over het algemeen vrij
onnauwkeurig, wat een grote onzekerheid op de massa’s impliceert.
Tot nu toe zijn op de wijze hierboven beschreven de massa’s bepaald van een tiental X-stralen
bronnen. De baanperiode ligt voor deze objecten tussen 1.4 en 4.0 dagen, de excentriciteiten
zijn allen klein (< 0.2) en de massa’s van de neutronensterren variëren van 0.5 tot 2.2 M . Op
grond van deze massabepalingen kan men geen uitspraak doen over het feit of al dan niet alle
massa’s van neutronensterren dicht tegen de Chandrasekhar limiet gelegen zijn. Hiervoor zijn
de betrouwbaarheidsintervallen voor de massa’s té onzeker. Bovendien is het zo dat de massa’s
van neutronensterren in dubbelsterren aanzienlijk kunnen verschillen van massa’s van enkelvoudige
neutronensterren, omdat massa-accretie van stermateriaal afkomstig van een donor een aanzienlijke
stijging van de massa kan impliceren.
6.2.3
Massabepaling van zwarte gaten
Zoals reeds vermeld in de cursus Sterstructuur en -evolutie is het moeilijk om zwarte gaten te
observeren. De enige wijze die men tot nu toe heeft, is vast te stellen dat een component van
een gevonden LMXB of HMXB een massa hoger dan 2–4 M heeft. Het eerste zwarte gat dat zo
ontdekt werd is Cygnus X-1 in 1972.
Een tweede, veel betere, kandidaat-zwart-gat werd gevonden in 1983. Het betreft de dubbelster
LMC X-3, welke bestaat uit een B3 hoofdreeksster en een compact object. Men is zeker van de
correcte classificatie van de hoofdreekscomponent, omdat het een ster betreft die tot de Grote
Magelhaanse Wolk behoort. Van dit nabijgelegen melkwegstelsel is de afstand zeer nauwkeurig
gekend, waardoor de absolute magnitude met grote precisie kan afgeleid worden uit de visuele
magnitude. De massafunctie van LMC X-3 bedraagt 2.3 M . Uit de bedekking van het compact
object door de hoofdreeksbegeleider schat men dat de inclinatie kleiner moet zijn dan 70 ◦ . Zo vindt
men een benedenlimiet voor de massa van het compact object van 7 M .
LMXBs zijn beter geschikt om kandidaat-zwarte gaten te vinden, omdat de begeleider een
hoofdreeksster met lage massa is. Hierdoor is de massafunctie enorm groot wanneer zulk een
hoofdreeksster begeleid zou zijn door een zwart gat. Er zijn momenteel inderdaad verscheidene
LMXBs bekend met een massafunctie groter dan 2 M . De eerste LMXB met een kandidaat zwart
gat is V 616 Mon, welke een massafunctie van 3.2 M heeft. De inclinatie van dit systeem heeft
125
men kunnen schatten uit de ellipsoı̈dale variaties van de hoofdreeksster. Hiermee schat men de
massa van de compacte begeleider op zo’n 10 M . Er zijn momenteel nog meerdere LMXBs met
kandidaat zwarte gaten.
Het bestaan van compacte objecten met massa’s groter dan de theoretische limiet voor neutronensterren wordt heden ten dage niet meer betwijfeld. Vermits er tot nu toe geen theoretische
verklaring voor deze objecten gevonden werd, is het wellicht gerechtvaardigd om deze compacte
sterren de naam “zwart gat” toe te kennen.
6.3
Type-I supernovae
Het meest spectaculaire dat een ster kan overkomen is uitbarsten in een supernova. In de cursus
Sterstructuur en -evolutie hebben we het ontstaan van type-II supernovae besproken. Zoals deze
naam laat vermoeden, bestaan er ook supernovae van type I. Deze supernovae vertonen geen waterstoflijnen in hun spectrum. We zien daarentegen spectrale lijnen van de meeste elementen gaande
van helium tot ijzer optreden. Het feit dat de waterstoflijnen afwezig zijn, verraadt onmiddellijk
welke de voorgangers zijn van type-I supernovae: het moeten vergeëvolueerde sterren zijn die zo
goed als al hun oorspronkelijke waterstof verloren hebben tijdens de evolutiefase die voorafgaat aan
de supernova explosie. We merken op dat de opsplitsing in type I en II gebeurt volgens de observationele kenmerken van de supernova explosie, m.a.w. het al dan niet optreden van waterstoflijnen
in het spectrum.
Het huidige standaardmodel dat men aanneemt voor de vorming van een type-I supernova is
het volgende. Het gaat om een nauwe dubbelster waarbij één van de componenten een witte dwerg is
en waarvan de andere component massaverlies ondergaat. We hebben reeds verscheidene van deze
systemen besproken bij de classificatie van nauwe dubbelsterren, maar er dient een bijkomende
voorwaarde vervult te zijn opdat een supernova zou ontstaan. De witte dwerg moet een massa
hebben die dicht bij de Chandrasekhar limietmassa ligt. De oorzaak hiervan kan zuiver evolutionair
zijn of te wijten aan massa accretie ten nadele van de andere component. Wanneer nu steeds meer
massa geaccreteerd wordt door zulk een witte dwerg, dan is het onvermijdelijke gevolg dat de witte
dwerg moet samentrekken en een energiebron zoeken om de gravitatie te overwinnen. Dit proces
gaat goed zolang de limietmassa van Chandrasekhar niet overschreden wordt. Op het moment dat
dit gebeurt zullen thermonucleaire reacties zoals de verbranding van koolstof en zuurstof geı̈nitieerd
worden in een ontaard midden. Men spreekt van koolstofdetonatie. Het resultaat hiervan is een
thermische ontsporing: een supernova treedt op.
Naargelang de spectrale lijnen die men in het spectrum waarneemt verdeelt men type-I supernovae in verschillende klassen. Supernovae van type Ia worden het meest waargenomen. Bij
dit type worden spectraallijnen van O, Mg, Si, Ca, Fe waargenomen tijdens de explosie en blijken
spectraallijnen van Fe en Co zichtbaar te zijn enkele maanden na de explosie. Type Ia supernovae vindt men in alle galaxiën, terwijl type-II supernovae niet optreden in oude sterpopulaties
(zoals elliptische melkwegstelsels). Type-II supernovae vindt men vooral in de spiraalarmen van
126
spiraalvormige melkwegstelsels waar stof- en gaswolken voorhanden zijn en stervorming optreedt.
Dit duidt erop dat type-II supernova afkomstig zijn van jonge massieve sterren. Daarentegen zijn
type-I supernovae de restanten van zowel populatie I als populatie II objecten. Het is inderdaad zo
dat witte dwergen zich in elke sterpopulatie vormen en de accretieprocessen in dubbelsterren vertonen een grote variëteit. Hierdoor kunnen type-I supernovae zowel in oude als jonge sterpopulaties
optreden. Een gevolg hiervan is dat type-I supernovae veel interessantere afstandsindicatoren zijn
als type-II supernovae, omdat ze zichtbaar zijn in veel verder verwijderde oude melkwegstelsels.
Type-I supernovae zijn zodoende belangrijke objecten voor cosmologische studies waarin men de
grootte en de leeftijd van het heelal tracht te schatten.
Detailberekeningen van het explosieproces van een type-I supernova zijn nog zeer onzeker,
maar wat wel vaststaat is dat er twee cruciale parameters in het spel zijn: de massa van de witte
dwerg en de massa-accretie snelheid. Verschillende combinaties van deze parameters leiden tot vrij
verschillende explosies wat de restanten betreft. Bij sommige explosies vindt men geen restant
meer, terwijl andere explosies minder hevig zijn en opnieuw leiden tot een, zij het minder massieve,
witte dwerg. De huidige modellen leveren geen neutronenster, noch een pulsar op als restant. Van
deze objecten neemt men dus aan dat ze alleen het resultaat van een type-II supernova zijn.
Een belangrijk detail bij type Ia supernovae is dat 56 Ni één van de hoofdbijproducten is. Dit
isotoop vervalt tot 56 Co welke op zijn beurt vervalt tot 56 Fe op een halfwaardetijd van 77 dagen.
Dit beeld kon nauwkeurig worden vastgelegd door het waarnemen van Co-lijnen enkele maanden
na de explosie van SNIa. Voor de type Ib of Ic supernovae, die respectievelijk O, Ca, Mg en O, Mg
lijnen vertonen enkele maanden na de explosie, zijn momenteel geen modellen voorhanden die het
explosieproces kunnen nabootsen.
Tenslotte vermelden we nog dat de observationele indeling in type-I en II supernovae niet meer
overeenkomt met het strikte onderscheid tussen het al dan niet ontploffen van een ijzerkern. Zo
zijn er supernovae van type-I die toch afkomstig zijn van het ontploffen van een massieve ster. Het
betreft dan meestal Wolf-Rayet sterren die al hun waterstof verloren hebben door een zeer sterke
stralingsgedreven sterrenwind. Het spectrum van hun ontploffende kern vertoont dan nauwelijks
waterstoflijnen, terwijl het toch om een ineenstortende ijzerkern gaat. Zulke supernovae worden
toch ingedeeld als type-I.
6.4
Dubbele pulsars
In 1974 ontdekten de astronomen Joseph Taylor en Russell Hulse (nog doctoraatsstudent toen !)
voor het eerst een pulsar in een binair systeem. Het gaat om het object genaamd PSR 1913+16,
nu beter bekend als de dubbelpulsar van Taylor-Hulse. Deze pulsar is één van de componenten van
een dubbelster met een zeer excentrische baan waarvan de omloopsperiode 7.75 uur bedraagt. De
pulsperiode bedraagt 0.059 seconden.
De begeleider van de pulsar is niet zichtbaar, maar zijn bestaan werd aangetoond door de
127
Figuur 6.2: De baan van de dubbelpulsar PSR 1913+16 en de zon op dezelfde schaal afgebeeld. De
hier getoonde baan is de relatieve baan t.o.v. de begeleider.
vaststelling dat de pulsperiode zelf periodisch verandert. Dit verklaarden Taylor en Hulse als volgt:
wanneer de pulsar in zijn omloopsbaan naar ons toe beweegt, nemen we een iets kortere pulsperiode
waar dan wanneer de pulsar van ons weg beweegt. Immers wanneer de pulsar naar ons toe komt,
is zijn afstand bij het uitzenden van een tweede puls een weinig verkleind t.o.v. diegene bij het
uitzenden van de eerste puls. Zodoende moet de tweede puls een iets kortere afstand afleggen (met
de lichtsnelheid) dan de eerste puls. Precies het omgekeerde gebeurt er wanneer de pulsar van
ons wegbeweegt langsheen zijn binaire baan. Uit deze verlenging en verkorting van de pulsperiode
kan men zeer precies de baan- en de pulsperiode afleiden, alsook de baanelementen. De baan van
PSR 1913+16 wordt voorgesteld in figuur 6.2. De afmetingen van de baan zijn niet veel groter dan
die van de zon !
Men neemt geen eclipsen waar tijdens de omloopsbeweging. Dit impliceert dat de begeleider tevens een compact object moet zijn, t.t.z. een witte dwerg of een neutronenster. Uit de baansnelheid
volgt dat de begeleider een massa van minstens 1 M moet hebben.
Omwille van de grote excentriciteit moet de begeleider afwisselend een veel groter en veel
kleiner gravitatieveld van de pulsar ondervinden. Men realiseerde zich dan ook al snel dat deze
dubbelpulsar de mogelijkheid biedt om enkele, door de algemene relativiteitstheorie voorspelde,
effecten te toetsen met de werkelijkheid. We maken nu even een zijsprong en beschrijven kort een
aantal fenomenen die het optreden van algemeen relativistische effecten bewijzen.
128
Effecten van de algemene relativiteitstheorie van Einstein
Het feit dat de gravitatietheorie afgeleid door Newton in de loop van de 17de eeuw al meer dan
drie eeuwen uitstekende diensten bewezen heeft, toont aan dat deze theorie nauwkeurig is voor het
beschrijven van vele fenomenen die in de natuur optreden en die astronomen aanbelangen. Zo kan
men aan de hand van de Newtoniaanse theorie met grote nauwkeurigheid en tot honderden jaren op
voorhand de positie van de planeten berekenen, de tijdstippen van zon- en maansverduisteringen
voorspellen, de positie en baan van gelanceerde ruimtetuigen bepalen, enz.
Hoe goed Newtons theorie ook is, er zijn toch een aantal fenomenen die een aanpassing van deze
theorie vergen, willen we een nauwkeurige omschrijving ervan geven. Het betreft dan verschijnselen
waarbij een uiterst sterk gravitatieveld in het spel is. In ons zonnestelsel bestaan geen sterke gravitatievelden en zijn de correcties voor de Newtoniaanse beschrijving niet echt nodig. Toch treden
er zelfs in het zonnestelsel enkele fenomenen op ten gevolge van algemeen relativistische effecten
die effectief waargenomen zijn. Zo heeft men tijdens zonsverduisteringen reeds meerdere malen de
afbuiging van sterlicht aan de rand van de zon kunnen vaststellen. Tijdens een zonsverduistering
lijkt het namelijk zo dat de sterren vlakbij de zon wijder uit elkaar staan dan op een foto van
hetzelfde gebied van de hemel een half jaar later. Dit verschijnsel is voor het eerst gemeten bij een
zonsverduistering in 1919.
Tevens treedt een draaiing van de halve grote as van de ellipsvormige baan die de planeet
Mercurius doorloopt op (zie figuur 6.3). Deze draaiing werd reeds in de 19de eeuw vastgesteld
maar bleef onverklaard tot in 1915. De waarde van deze draaiing is uiterst klein en bedraagt 42
boogseconden per eeuw, precies de waarde die Einstein (die niet wist van de waarnemingen van het
optreden van deze draaiing met deze waarde) aan de hand van zijn theorie vond. Het verdraaien
van de halve grote as wordt vastgesteld aan de hand van een vormverandering van de waargenomen
radiale snelheidskromme die de omloopsbeweging van de planeet rondom de zon weergeeft.
Een ander effect van de algemene relativiteitstheorie is de zogenaamde gravitatie-roodverschuiving. De fotonen die door een ster worden uitgezonden zullen een klein bedrag aan energie verliezen
omdat ze de “gravitatieput” van de ster moeten overbruggen alvorens te kunnen ontsnappen. Dit
energieverlies dat de fotonen lijden, impliceert dat de fotonen roder worden waargenomen. Het
optreden van gravitatie-roodverschuiving kan ook opgevat worden als het langzamer verlopen van de
tijd wanneer men zich in een gravitatieveld bevindt. Hoe sterker het gravitatieveld, hoe langzamer
de tijd verloopt. Ook dit verschijnsel is in het zonnestelsel nauwkeurig vastgesteld.
Een belangrijk gevolg van de algemene relativiteitstheorie is het bestaan van zogenaamde
gravitatiegolven. De theorie voorspelt dat een versnelde massa aanleiding geeft tot een verstoring
van het gravitatieveld, welke zich in de ruimte voortplant met de lichtsnelheid. Vermits deze
gravitatiegolf een bepaalde hoeveelheid energie draagt, verliest het versnelde voorwerp energie,
waardoor het afgeremd wordt. Een gevolg hiervan is bijvoorbeeld dat de baan van een dubbelster
steeds nauwer zal worden en dus de omloopstijd korter. Het verkorten van de omloopsperiode is
het best waarneembaar wanneer de dubbelster bestaat uit compacte objecten. Een schematische
voorstelling van het uitzenden van gravitatiegolven van een binair systeem met een pulsar wordt
129
Figuur 6.3: Schematische weergave van de draaiing van de halve grote as van de ellipsvormige baan
van Mercurius. Einsteins algemene relativiteitstheorie voorspelt dat de lange as van de ellipsbaan
sneller verandert naarmate de baan kleiner is. Dit effect bedraagt 42 boogseconden per eeuw voor
Mercurius. Bij de dubbelpulsar PSR 1913+16 met zijn veel kleinere baan is dit verschijnsel veel
sterker: 4.22 graden per jaar.
130
Figuur 6.4: Twee sterren die rond elkaar draaien zenden volgens Einsteins theorie gravitatiegolven
uit. Daar deze golven energie met zich meedragen, krimpt de baan, waardoor de omloopsperiode
steeds korter zal worden. Bij de dubbelpulsar PSR 1913+16 is het korter worden van de periode
met grote nauwkeurigheid gemeten (zie figuur 6.6).
gegeven in figuur 6.4. De afname van de omloopsperiode in een dubbelster is momenteel de enige
wijze die men kan bedenken om gravitatiegolven te detecteren, omdat het gaat om enorm zwakke
golven (waarvan het bestaan absoluut niet tot de mogelijkheden behoort in een aards laboratorium).
We keren nu terug naar de dubbelpulsar van Taylor-Hulse. De pulsar van dit systeem bevindt
zich afwisselend in het zeer sterk en minder sterk zwaartekrachtsveld van de begeleider. Men is er
voor dit object vooreerst in geslaagd om een verdraaiing van de halve grote as vast te stellen met
4.22 graden per jaar, wat 50 000 keer sneller is als voor de baan van Mercurius. De snelheid waarmee
de halve grote as ronddraait is enkel afhankelijk van de gezamelijke massa van de twee sterren. Op
die wijze vindt men een totale massa van 2.8282 M voor de Taylor-Hulse dubbelpulsar.
Tevens is met zeer grote precisie de variatie in de gravitatie-roodverschuiving vastgesteld in
functie van de omloop. Wanneer de pulsar het dichtst bij zijn begeleider staat ondervindt hij de
grootste invloed van de gravitatieput ervan, waardoor de gravitatie-roodverschuiving zorgt voor een
schijnbare verlenging van de pulsperiode, met enkele duizendsten van een seconde. Deze verlenging
is gesuperponeerd op de verandering van de pulsperiode die het gevolg is van de beweging van
de pulsar in de ellipsbaan. Als gevolg hiervan beweegt de pulsar voor een waarnemer op aarde
niet precies volgens een ellips. Het verschil tussen de verandering van de pulsperiode op basis van
het doorlopen van de ellipsbaan met gekende baanparameters en de waargenomen variatie van de
131
Figuur 6.5: Door de baanbeweging van de dubbelpulsar wordt een Doppler-effect veroorzaakt,
waardoor tijdens één baanomloop de pulsen afwisselend enkele seconden te vroeg of te laat op
aarde aankomen. Naast dit effect neemt men echter nog een regelmatig afwisselende vervroeging
en vertraging waar van de aankomsttijden van de pulsen op aarde, met enkele duizendsten van een
seconde. Dit laatste effect wordt hier voorgesteld en is te wijten aan de gravitatie-roodverschuiving.
De curve toont de gemeten gravitatie-roodverschuiving over één baanomloop van PSR 1913+16.
pulsperiode laat toe om de variatie in roodverschuiving te bestuderen tijdens een omloop. Deze
variatie wordt getoond in figuur 6.5. Einstein heeft bewezen dat de grootte van de variatie ten
gevolge van de gravitatie-roodverschuiving afhangt van de massa’s van de twee sterren en van de
baanperiode en de excentriciteit van de baan. Dit verband levert een tweede vergelijking op voor
de beide massa’s, naast de waarde van de som van de massa’s gevonden uit de verdraaiing van de
halve grote as.
Op die manier kan men de massa’s van beide componenten bepalen. Taylor & Weisberg vonden
zo dat de massa van de pulsar 1.386±0.003 M bedraagt terwijl de begeleider een massa heeft van
1.442±0.003 M . Merk op dat deze twee stermassa’s bepaald werden uit twee relativistische effecten
en dat ze bovendien één van de nauwkeurigste massabepalingen zijn die bestaan van sterren (andere
voorbeeld wordt gegeven in de cursus Pulserende Sterren en zijn gebaseerd op asteroseismologie).
Wellicht is de begeleider ook een neutronenster en is die de oudste van de twee, waardoor het geen
pulsar meer is.
Aan de hand van de gevonden waarden van de massa’s, de baanperiode en de excentriciteit
132
Figuur 6.6: De sinds 1974 gemeten tijdstippen (punten) van periastrondoorgang van PSR 1913+16
worden vergeleken met de tijdstippen als de omloopsperiode niet zou veranderen (horizontale lijn).
De volle neerwaartse lijn geeft de theoretische kromme voor het steeds vroeger optreden van periastrondoorgang op basis van de algemene relativiteitstheorie. De metingen volgen exact de door
Einsteins theorie voorspelde afname van de omloopsperiode.
van de baan kan men uit de algemene relativiteitstheorie voorspellen wat de snelheid is waarmee
de omloopsperiode moet afnemen ten gevolge van het optreden van gravitatiegolven. Deze voorspelling leidt tot een bijzonder klein bedrag: 2.400±0.030 × 10 −12 seconden per seconde, wat een
afname van 1.54 milliseconden op een tijdsspanne van 20 jaar impliceert. Sinds de ontdekking in
1974 heeft men met grote nauwkeurigheid de afname van de omloopsperiode, verbonden met het
inkrimpen van de baan, gemeten. Deze waarnemingen zijn voorgesteld in figuur 6.6, waarin de
gemeten tijdstippen van periastron doorgangen (punten) vergeleken worden met de theoretische
voorspellingen op basis van de algemene relativiteitstheorie (volle dalende lijn). Indien er geen
verkorting van de baanperiode zou optreden, dan zou men een horizontale lijn vinden. We stellen
vast dat de metingen perfect de door Einstein voorspelde vóórlopende periastrondoorgang volgen.
De pulsar gaat nu reeds een dertigtal seconden vroeger door het periastron dan wanneer het geval
zou zijn moest de omloopsperiode sinds 1974 niet verkort zijn. De onomstotelijke conclusie is dat
gravitatiestraling bestaat ! Het is de eerste en tot nu toe enige keer dat het bestaan van gravitatiegolven aangetoond kon worden. Op grond van de metingen voorgesteld in figuur 6.6 kregen Taylor
en Hulse in 1993 de Nobelprijs voor natuurkunde.
133
Het lot van de Taylor-Hulse dubbelpulsar is duidelijk: de twee sterren zullen alsmaar dichter
naar elkaar toe bewegen, waardoor ze op een gegeven moment zullen samensmelten. Er zal zich
dan allicht een (enkelvoudig) zwart gat vormen.
Tenslotte vermelden we nog dat er ondertussen vele varianten op de algemene relativiteitstheorie afgeleid door Einstein bestaan. Tot vóór de ontdekking van de Taylor-Hulse dubbelpulsar was
er geen enkele methode om de juistheid van deze varianten na te gaan, omdat al deze theoriën
zodanig geconstrueerd waren dat ze volledig in overeenstemming zijn met de relativistische effecten
waargenomen in het zonnestelsel. Nu blijkt dat geen enkele van deze varianten de metingen van de
Taylor-Hulse dubbelpulsar kunnen verklaren. Het besluit is: Einstein had toch gelijk !
Ondertussen zijn er nog verscheidene andere soortgelijke objecten gevonden. De tweede pulsar
in een binair systeem werd ontdekt in 1990, nl. PSR 1534+12. De omloopsperiode voor deze dubbelster bedraagt 0.421 dagen en de excentriciteit van de baan is 0.274. De componenten hebben
in dit geval massa’s gelijk aan 1.36 en 1.32 M . Nog een analoog object is PSR 0021-72A, welke
bestaat uit een pulsar en een witte dwerg met massa’s gelijk aan respectievelijk 1.38 en 0.77 M .
Opvallend is dat alle pulsars in dubbelsterren een massa hebben die zeer dicht ligt bij de Chandrasekhar limiet. Dit is niet verwonderlijk als men bedenkt dat de pulsars in een dubbelsysteem
wellicht het overblijfsel zijn van een supernova-type I explosie.
6.5
Milliseconde pulsars
Naast de hierboven beschreven dubbelpulsars werd in de jaren tachtig een tweede type pulsar gevonden die toelaat de algemene relativiteitstheorie van Einstein te toetsen. Het betreft de zogenaamde
milliseconde pulsars: neutronensterren die vele honderden keren per seconde om hun as draaien. In
1982 werd een pulsar, PSR 1937+21, gevonden met een pulsperiode van slechts 0.00155 seconden
= 1.55 milliseconden. Deze neutronenster draait dus 642 keer per seconde om haar as. Dit was
toen ruim 20 keer sneller dan de pulsar in de Krabnevel, die destijds de snelste was onder de zowat
300 gekende pulsars. In figuur 6.7 tonen we de pulsgrafiek van PSR 1937+21. Momenteel zijn er
een dertigtal milliseconde pulsars gekend, maar PSR 1937+21 heeft nog steeds de kortst gekende
pulsperiode.
Het grote verschil met de andere pulsars is dat de rotatiesnelheid van milliseconde pulsars
vrijwel niet afneemt. De reden hiervan is dat de milliseconde pulsars een uiterst zwak magneetveld
hebben, waardoor magnetische afremming veel langzamer gebeurt dan bij gewone pulsars. Het
magneetveld van PSR 1937+21 bedraagt “slechts” zo’n 5 × 10 4 Tesla, wat bijvoorbeeld tienduizend
keer zwakker is dan het magneetveld van de Krabpulsar.
Ten gevolge van de enorme hoeveelheid draaiingsenergie en de uiterst geringe afmetingen van
milliseconde pulsars zijn zij uiterst stabiele klokken. De pulsperiode en de verandering ervan voor
PSR 1937+21 bedragen respectievelijk P = 0.00155780644887275(3) seconden en Ṗ = 1.051054(8)×
10−19 seconden per seconde. Doordat de waarden van beide zó nauwkeurig gekend zijn is deze
134
Figuur 6.7: Pulsgrafiek van de milliseconde-pulsar PSR 1937+21 opgemeten in 1982. De pulsar
heeft een periode van 0.00155 seconden, wat betekent dat de neutronenster 642 maal om haar as
draait op 1 seconde tijd.
pulsar als klok zodanig goed dat we momenteel aan de hand van P en Ṗ de aankomsttijd van een
puls 50 jaar vantevoren kunnen voorspellen met een nauwkeurigheid van 1 microseconde = één
miljoenste van een seconde. Hiermee overtreft deze pulsar veruit de nauwkeurigheid van de huidige
atoomklokken, welke gebaseerd zijn op een welbepaalde overgang in een Cesium atoom.
De milliseconde pulsars hebben aanleiding gegeven tot het vaststellen van het vierde “klassieke”
effect van Einsteins algemene relativiteitstheorie dat optreedt in het zonnestelsel. Het betreft de
zogenaamde gravitatie-tijdvertraging, ook wel Shapiro-vertraging genoemd naar de Amerikaanse
natuurkundige die dit effect ontdekte in de jaren zestig. Het effect treedt op ten gevolge van de
ruimte-kromming in de buurt van een hemellichaam. Een lichtsignaal dat het gravitatieveld van
een lichaam moet passeren zal er langer over doen om ons te bereiken dan wanneer het via een
rechte lijn, d.w.z. via een ruimte waarin zich geen lichamen bevinden, naar ons toe zou komen.
De kromming van de ruimte in de buurt van de zon impliceert dat, wanneer de zon dicht bij een
pulsar aan de hemel staat, de pulsar-signalen er wat langer over doen om de aarde te bereiken dan
wanneer de pulsar een half jaar later tegenover de zon aan de hemel staat. In figuur 6.8 tonen we
de gemeten jaarlijkse variatie van de aankomsttijden van PSR 1937+21 op aarde voor het geval
dat men de aankomsttijden niet corrigeert voor de Shapiro-vertraging maar wel voor alle andere
algemeen relativistische effecten. We stellen vast dat de Shapiro-vertraging optreedt en wel met
een waarde van ongeveer 20 microseconden.
Naast de Shapiro-vertraging heeft men aan de hand van milliseconde pulsars nog tal van andere
uiterst kleine relativistische effecten ontdekt die optreden in het zonnestelsel. Deze zouden nooit
ontdekt geworden zijn indien we niet konden beschikken over zulk een nauwkeurige stabiele klok
die zich ver van het zonnestelsel bevindt. Het is tevens zo dat milliseconde pulsars toelaten om de
stabiliteit van de aardse atoomklokken te testen, wat voorheen niet mogelijk was.
135
Figuur 6.8: De jaarlijkse variatie van de aankomsttijden van de pulsen van PSR 1937+21 wanneer
men corrigeert voor alle relativistische effecten behalve de Shapiro-vertraging.
136
Hoofdstuk 7
Gammaflitsen
De benaming gammaflits (gamma-ray burst) wordt gebruikt om een explosie van gammastraling
in het Heelal te beduiden. Gammastraling is de meest energetische straling die ons bekend is.
Gammaflitsen zijn voor het eerst ontdekt in 1967, maar een verklaring voor het fenomeen heeft 30
jaar op zich laten wachten. In 1997 heeft men voor het eerst een nauwkeurige plaatsbepaling aan de
hemel kunnen doen voor een gammaflits, en zodoende de optische tegenhanger ervan kunnen vinden
en meten. Het bleek om een hypernova (=supernova met buitengewoon hoge energie, veroorzaakt
door de vorming van een zwart gat) in een ver melkwegstelsel te gaan.
Ondertussen is de zoektocht naar nieuwe gammaflitsen en mogelijke verklaringen ervan in een
stroomversnelling gekomen. Voor de bespreking van de historiek van gammaflitsen en hun verband
met super- en hypernovae en/of binaire pulsars verwijs ik naar het bijgevoegde artikel.
137
138
Literatuur
Duquennoy, A., Mayor, M., 1992, Binaries as Tracers of Stellar Formation, Cambridge University
Press
Lamers, H.J.G.L.M., Cassinelli, J.P., 1999, Introduction to Stellar Winds, Cambridge University
Press
Lewin, H.G., van Paradijs, J., van den Heuvel, E.P.J., 1995, X-Ray Binaries, Cambridge Astrophysics Series, Volume 26, Cambridge University Press
Pringle, J.E., Wade, R.A., 1985, Interacting Binary Stars, Cambridge University Press
Wijers, A.M.J., Davies, M.B., Tout, C.A., 1996, Evolutionary Processes in Binary Stars, NATO
ASI Series, Kluwer Academic Publishers
Zahn, J.P., 1977, Tidal Friction in Close Binary Stars, Astronomy & Astrophysics 57, 383 – 394
139
140
Bijlage A
Waarden van fysische en
astronomische constanten
In de sterrenkunde worden alle grootheden meestal nog steeds uitgedrukt in cgs eenheden. Echter,
studenten zijn (terecht !) meer vertrouwd met het SI stelsel. Ik laat aan eenieder de keuze in
het gebruik van de eenheden en heb ze zelf gemengd gebruikt in dit vak. Hieronder volgen enkele
waarden van fysische en astronomische constanten en andere veel gebruikte grootheden in zowel
het cgs als het SI stelsel. We geven tevens nog enkele omzettingsformules naar andere eenheden.
Fysische constanten :
Constante
Symbool cgs eenheden
Lichtsnelheid
c=
Gravitatie
G=
Atomic Mass Unit
mu =
Massa electron
me =
Massa proton
mp =
Massa neutron
mn =
Lading electron
e=
Planck
h = 2πh =
Boltzmann
k=
Gas
R=
Straling
a=
Stefan-Boltzmann
σ=
SI eenheden
1010
s−1
2.99792458 ×
cm
−8
6.67259 × 10 cm3 g−1 s−2
1.6605402 ×10−24 g
9.1093897 ×10−28 g
1.6726231 ×10−24 g
1.6749286 × 10−24 g
1.60217733 ×10−20 c esu
6.6260755 ×10−27 erg s
1.380658 ×10−16 erg K−1
8.314510 ×107 erg K−1 g−1
7.5646 ×10−15 erg cm−3 K−4
5.67051 ×10−5 erg cm−2 s−1 K−4
141
2.99792458 × 108 m s−1
6.67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2
1.6605402 ×10−27 kg
9.1093897 ×10−31 kg
1.6726231 ×10−27 kg
1.6749286 × 10−27 kg
1.60217733 ×10−19 Coulomb
6.6260755 ×10−34 J s
1.380658 ×10−23 J K−1
8.314510 ×103 J K−1 kg−1
7.5646 ×10−16 J m−3 K−4
5.67051 ×10−8 J m−2 s−1 K−4
Astronomische constanten :
Constante
Straal zon
Massa zon
Lichtkracht zon
Astronomische eenheid
Parsec
Lichtjaar
Symbool cgs eenheden
R =
M =
L =
AE =
pc =
lj =
×1010
6.9598
cm
33
1.9891 ×10 g
3.8515 ×1033 erg s−1
1.49598 × 10 13 cm
3.08568 × 1018 cm
9.463 × 1017 cm
SI eenheden
6.9598 ×108 m
1.9891 ×1030 kg
3.8515 ×1026 J s−1
1.49598 × 1011 m
3.08568 × 1016 m
9.463 × 1015 m
Omzettingen :
Van
Van
Van
Van
Van
Ångström naar cm :
1 Å
Newton naar dyne :
1N
Joule naar erg :
1J
electronvolt naar erg :
1 eV
−2
atmosfeer naar dyne cm : 1 atm
=
=
=
=
=
10−8 cm
105 dyne
107 erg
1.60217733 × 10 −12 erg
1.01325 × 106 dyne cm−2
142

Gevorderde Astrofysica

Related documents

Products

Support

Gevorderde Astrofysica

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib