73-9 Jeroen .indd - Sterrenwacht Vesta

In het kielzog van Kelvin
Puntverstoring
In het volgende vereenvoudigen we het
schip tot een varend punt. De verstoring
van het wateroppervlak, die het plaatselijk teweegbrengt, is dan te vergelijken
met die van een steentje dat in het water
wordt gegooid. Het varende schip is te
beschouwen als een opeenvolging van
zulke steentjes. Op ieder punt van de
vaarroute veroorzaakt het kringvormige
golven, die zich uitbreiden naarmate het
schip verder vaart. Dit model van het
schip als bewegende puntbron leent
zich voor een strikt mathematische verdere aanpak (zie bijv. [5], [6]). Maar uit
de cirkelsymmetrie van de uitgezonden
golven zijn al direct diverse kenmerken
af te leiden van het uiteindelijk waarneembare golfpatroon.
Een eend zwemt met haar jongen in een sloot. Een van de kuikens dwaalt af. Moeder eend haalt het kuiken snel in. Wat is het
verschil in de hoeken van het V-vormige kielzog van moeder en
jong?
A. De hoek die de moedereend maakt is scherper.
B. De hoek die de moedereend maakt is stomper.
C. Er is geen verschil.
Aldus een vraag uit de Nationale Wetenschapsquiz 2005 van
NWO. Zoals met zoveel vragen in die quiz moet men zich niet
laten leiden door intuïtie: het juiste antwoord is C. Sterker nog,
in water van voldoende diepte is de hoek hetzelfde voor elk varend object, ongeacht zijn snelheid. Hoe zit dat? In het kielzog
van Kelvin gaan we op zoek naar de oplossing.
Lucas Ellerbroek en Leo van den Horn
272
Een varend schip veroorzaakt een naar
beide zijden uitwaaierend golfpatroon
dat het schip bij zijn vaart vergezelt. Bekijken we dit patroon nader, dan nemen
we een aantal bijzonderheden waar. Het
meest opvallend zijn de V-vormige lijnen
die van de boeg naar achteren lopen. De hoek die zij
met elkaar maken blijkt altijd 39º te zijn, ongeacht de
vaarsnelheid, iets wat men
intuïtief misschien niet zou
verwachten. De armen van
de V-vorm bestaan niet
uit één enkele golf, maar
uit kleinere golven waarvan de toppen een vaste
hoek met de vaarrichting
maken. Verder zien we
recht achter het schip nog
een reeks golven, waarvan de kammen
haaks op de vaarrichting staan.
Kelvins kielzog
De verklaring van dit kielzog is een klassiek probleem; zelfs zo klassiek, dat men
tamelijk diep moet graven om te achterhalen hoe het voor het eerst is opgelost.
Aan het eind van de negentiende eeuw
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
augustus 2007
heeft Lord Kelvin (William Thomson,
1824-1907) zich met vrucht hierover gebogen. Scheepsgolven worden daarom
ook wel Kelvin-golven genoemd. In zijn
verhandeling [1], gepubliceerd in 1904,
wordt het schip mathematisch beschre-
ven als een verstoring van het wateroppervlak, vanwaaruit zich in alle richtingen golven voortplanten. Het waargenomen golfpatroon is het resultaat van
een groot aantal van zulke opeenvolgende verstoringen langs de vaarroute.
Kelvin verwijst in zijn publicatie terloops
naar de ‘theorie van de groepssnelheid’,
waarbij hij uiting geeft aan enig voorbe-
ook bruikbaar is als uitgangspunt voor
het verkrijgen van een mathematische
parametrisatie van het patroon van Kelvin-golven.
houd. In zijn eerdere Popular Lectures [2]
zou hij echter melding hebben gemaakt
van een daarop gebaseerde oplossing
van het probleem.
Horace Lamb [3] merkt op dat in [2] al
eenzelfde schets van het golfpatroon
wordt gepresenteerd als
in [1]. Bij zijn eigen wiskundige afleiding van dit patroon (zie figuur 5) baseert
Lamb zich, in navolging van
Kelvin, op diens ‘methode
van de stationaire fase’. In
dit verband blijkt de voorwaarde van stationariteit
tevens in te houden dat de
groepssnelheid bepalend
is voor het waargenomen
patroon.
In het boek van Ronald
Tricker [4] wordt een poging gedaan de
ongepubliceerde methode van Kelvin
te achterhalen. Hier worden de opvallende kenmerken van het kielzog op
meetkundige wijze afgeleid. Met name
worden ook de karakteristieke hoeken
van het golfpatroon bepaald. In dit artikel volgen wij deze aanpak en zullen wij
laten zien dat de gevonden geometrie
Vaste hoek
Beschouw nu een schip, dat met constante snelheid in een rechte lijn van O
naar P vaart. Veronderstel dat een golf
die het op punt O veroorzaakte, zich
op het moment dat het schip punt P
bereikt, rondom O heeft uitgebreid tot
een cirkel met straal OR (zie figuur 1).
Golven met dezelfde voortplantingssnelheid die op andere punten langs
de vaarroute zijn ontstaan, zullen zich
eveneens tot cirkels hebben uitgebreid,
waarvan de diameter schaalt met de tijd.
Deze cirkels hebben dus een gemeenschappelijke raaklijn waarop de golven
volgens Huygens’ golffrontprincipe
elkaar versterken. Dit is de lijn PR. Het
golffront PR staat loodrecht op OR, dus
liggen O, P en R op een cirkel met middellijn OP (zie figuur 2). Een overeenkomstige bewering gaat op voor golven
met een andere gemeenschappelijke
fasesnelheid; zo geldt voor een golf met
fasesnelheid overeenkomend met OR0
dat R0 ook op deze cirkel ligt. In diep
water hangen fasesnelheid en golflengte
direct met elkaar samen (zie kader). De
cirkel is dus de verzameling van punten
die vanuit O bereikt worden door golven
met een zodanige golflengte en richting
dat ze het schip kunnen volgen.
Omdat de uitgezonden golven een
groot aantal verschillende golflengtes
omvatten, zal alleen daar een duidelijk
golfpatroon ontstaan daar waar de golven elkaar door interferentie versterken.
De componenten van de uitgezonden
golven hebben een gemeenschappelijke
R
O
P
Een schip heeft op punt O een kringgolf veroorzaakt, die zich inmiddels heeft uitgebreid naar R.
Figuur 1
R
R´
P
Figuur 2
M
O
De stippellijnen zijn golffronten die elk behoren bij een bepaalde fasesnelheid. De golven versterken elkaar op de groepssnelheidscirkel, waarvan de middellijn OM de helft van OP is.
Fase- en groepssnelheid
Een golf met een gegeven golflengte plant zich voort met de fasesnelheid, het product
van golflengte en frequentie. In dit verband wordt deze veelal geschreven als vf = ω/ k, met
k = 2π/ λ het golfgetal en ω de cirkelfrequentie. In diep water (diepte >> λ )
treedt dispersie op: frequentie en snelheid hangen af van de golflengte,



g
gλ
ω = gk
vf =
=
,
k
2π
Hierin is g de zwaartekrachtsversnelling. De grotere golflengten gaan dus het snelst.
Een samengestelde golf beweegt zich voort met de groepssnelheid vg =
dω
.
dk
Deze kan worden bepaald uit de dispersierelatie ω = ω (k); voor diep-watergolven volgt

g
vg = 0, 5
= 0, 5v f
k
Men kan ook aantonen dat de energie van de golven zich met de groepssnelheid
voortplant.
augustus 2007
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
273
groepssnelheid. In diep water bedraagt
de groepssnelheid de helft van de fasesnelheid, zodat de golven vanuit O die
elkaar versterken de cirkel met middellijn OM (precies de helft van OP) hebben bereikt. Een dergelijke groepssnelheidscirkel kan worden geconstrueerd
voor alle punten langs de vaarroute.
In figuur 3 is te zien dat de golffronten
–wederom naar Huygens’ principe– gevormd worden door de gemeenschappelijke raaklijnen aan deze cirkels. Dit
zijn de karakteristieke V-vormige lijnen
die het kielzog begrenzen. De hoek tussen deze lijnen is aan de hand van figuur
3 eenvoudig te bepalen. In de rechthoekige driehoek PTC past de 0verstaande
zijde TC drie keer in de schuine zijde PC,
zodat geldt sin α = 1/3. De tophoek van
de boeggolven ligt dus vast:
2α = 38º560ʹ
Merk op dat de vaarsnelheid op dit resultaat niet van invloed is!
Boeg- en hekgolven
Aan de hand van de geometrie van figuur 3 is het tevens mogelijk de oriëntatie van de golftoppen op de V-vormige
armen nader vast te leggen. Ze blijken
een vaste hoek daarmee te maken. De
golf in T is afkomstig uit O; de golftop
zal dus raken aan de stippellijn die door
T is geschetst. De hoek waaronder deze
boeggolven staan is daarmee bepaald:
omdat de hoek TCP gelijk is aan 2β
volgt
tevens raaklijn aan de curve van gelijke
fase door Q. Op deze manier is het hele
richtingsveld van de curves van gelijke
fase te construeren.
β
T
α
M
P
O
C
Figuur 3 Gemeenschappelijke raaklijnen aan de groepssnelheidcirkels vormen het V-vormige
kielzog. De hoeken α en β zijn onafhankelijk van de vaarsnelheid.
Q
y
ψ
P
m
M
O
β = 0,5 (90º - α) ≈ 35º
274
De andere groep zichtbare golven zijn
de z.g. hekgolven, waarvan de toppen
haaks op de vaarrichting OP staan. De
configuratie van boeg- en hekgolven is
stationair ten opzichte van het schip,
omdat ze precies de juiste golflengte en
snelheid bezitten om met het schip mee
te reizen. Hun golflengte, en daarmee
hun snelheid, verschilt echter wel onderling.
Uit figuur 3 zien we dat de onderlinge
snelheid een factor cos verschilt (OT
staat onder een hoek met de vaarrichting). De golflengtes verhouden
zich als het kwadraat van de snelheden;
daarmee volgt dat de golflengte van de
boeggolven een factor 2/3 kleiner is dan
die van de hekgolven:
x
Figuur 4
vh=vs
,
De stippellijn is raaklijn aan het golffront afkomstig uit O én aan de curve van gelijke fase door Q. De
raaklijn deelt het interval OP doormidden.
vb =

2
vs
3
Dit geldt ook voor de golflengtes van
boeg- en hekgolf; deze zullen langer
worden naarmate het schip sneller
vaart.
Curves van gelijke fase
Tot hier hebben wij [4] gevolgd in een
mogelijke uitwerking van Kelvins verloren gegane model. Wij willen hier nog
2
v
λb
2
= b2 =
een stap verder gaan en uit de besproλh
3
vh
ken geometrie ook de wiskundige verTerwijl de hoeken en niet afhangen gelijkingen distilleren die de loop van
van de vaarsnelheid, zijn de snelheden het golfpatroon binnen het zog verder
van boeg- en hekgolven dus juist wel af- beschrijven. Het fysische argument dat
hankelijk daarvan:
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde
augustus 2007
aan de te volgen redenering ten grondslag ligt, is dat de waterdeeltjes binnen
een golftop onderling in hetzelfde stadium van oscillatie verkeren: ze zijn met
elkaar in fase. Gedetailleerd inzicht in
het golfpatroon wordt dus verkregen
door de curves van gelijke fase binnen
het kielzog te bepalen.
Beschouw een punt Q binnen het kielzog. De golf waarvan dit punt deel uitmaakt, is afkomstig uit O; een deel van
het golffront is getekend in Figuur 4.
Tekenen we een raaklijn m aan dit golffront, dan gaat deze door punt M en
deelt dus het interval OP doormidden.
De waterdeeltjes op m in de omgeving
van Q zijn in fase met Q. De lijn m is dus
Niet te snel
In het voorgaande is het kielzog van een
varend schip in kaart gebracht. Hiertoe
werd het schip opgevat als puntverstoring, waardoor langs de vaarroute golven ontstaan die zich cirkelvormig uitbreiden. Dit houdt in dat de verkregen
resultaten strikt genomen pas geldig
zijn op zodanige afstand van het schip,
dat de verstoring als ‘klein’ kan worden
beschouwd. Daarnaast was de aanname
van diep water essentieel. Alleen dan
geldt dat de groepssnelheid van de golven
de helft is van de fasesnelheid. Op deze
verhouding berust de gehele hier beschreven geometrie van het zog, in het
bijzonder de vaste hoeken waardoor
het gekenmerkt wordt.
Of het water als ‘diep’ beschouwd mag
worden, hangt af van de verhouding van
de diepte en de golflengte van de opgewekte golven. Zoals hierboven is besproken, neemt de golflengte toe met
de vaarsnelheid. Het schip mag dus
niet zo snel gaan dat het water, natuurkundig gezien, ondiep zou worden
omdat de golflengte veel groter wordt
dan de waterdiepte. In ondiep water
zijn faseen groepssnelheid van
de golven beide gegeven door v = gd .
Bij een diepte d = 10 m bedraagt dit ca.
10 m/s, of 36 km/h. Als deze snelheid
wordt overschreden zullen de hekgolven verdwijnen, terwijl de boeggolven
zich langs de armen van de omhullende
V richten. Ook zal de V-vorm nauwer
worden naarmate het schip sneller
vaart. Voor een zwemmende eend is
dit effect, zelfs in een sloot, niet weggelegd. Het antwoord bij de quiz blijft C.
referenties
1 W. Thomson (Lord Kelvin) - Deep Sea ShipWaves, Proceedings of the Royal
Society of Edinburgh (1904) pp. 1060-1084.
2 W. Thomson (Lord Kelvin) - Popular Lectures
and Addresses, Volume III,
MacMillan
(1891) pp. 451-501.
3 H. Lamb - Hydrodynamics; Cambridge University Press (1916), Par. 254, 255.
4 R.A.R. Tricker - Bores, Breakers, Waves and
Wakes. An Introduction to the Study
of Waves on Water, American Elsevier (1964),
Ch. XVII.
5 A. Sommerfeld - Mechanics of Deformable
Bodies, Volume II, Academic Press
(1950). Ch. 27, 28.
6 L.E. Ellerbroek - In het kielzog van Kelvin, Bachelorscriptie, Instituut voor Theoretische
Fysica, Universiteit van Amsterdam (2006).
n
lve
go
g
oe
b
hekgolven
Figuur 5
Curves van gelijke fase, voor verschillende waarden van a.
Parametrisatie van Kelvin-golven
De richting van een curve van gelijke fase in een punt Q(x, y) binnen het kielzog is
zodanig dat de raaklijn in Q door het punt M gaat (Figuur 4). Deze eigenschap leidt
tot de differentiaalvergelijking
y = dy/dx
,
yy2 − xy − 2y = 0
voor de curves van gelijke fase. De differentiaalvergelijking is analytisch oplosbaar.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is y'' = cot ψ; dit geeft in principe
een parametrisatie in termen van de hoek , zoals de parametrisatie van Lamb [3].
Wij kiezen hier voor een equivalente parametrisatie in termen van de parameter
p = tan ψ,
x(p) = a
1 + 2p2
3
2
,
p
x(p) = a
3
(1 + p2 ) 2
(1 + p2 )
die overeenkomt met die van Kelvin [1]. De waarde van a komt overeen met de
afstand waarop een hekgolf het schip volgt.
275
Lucas Ellerbroek (r) is vierdejaars student theoretische natuurkunde aan de
Universiteit van Amsterdam. Dit artikel vloeit voort uit zijn bachelorscriptie
(2006), die tot stand kwam onder begeleiding van Leo van den Horn, universitair hoofddocent aan het Instituut
voor Theoretische Fysica & Centrum
voor Hoge-Energie Astrofysica van de
Universiteit van Amsterdam.
augustus 2007
Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde