priemrecords? Jaap Top

priemrecords?
Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT
[email protected]
18-23 april 2013
(Collegecaroussel, Groningen)
1
priemrecords?!
• over priemgetallen
• 2, 3, 5, 7, . . . , 101, . . . , 2017, . . . . . .
• p priem: niet deelbaar door een d met 1 < d < p
2
Stelling (Euclides): er bestaan oneindig veel priemgetallen.
Euclides, ≈ 300 voor Christus
(volgens Justus van Gent, ≈ 1410–1480)
3
Want:
Stel je hebt priemen p1, . . . pt.
Vermenigvuldig: P := p1 × p2 × . . . × pt.
Tel er één bij op: N := P + 1
Kies een priemgetal q dat N deelt (misschien N zelf wel...)
Dan q 6= pj , want anders zou q zowel P als N = P + 1 delen, dus
dan had je twee opeenvolgende getallen in de tafel van q.
Dus is q een nieuw priemgetal!
4
Voorbeeld: begin met 2 en 3 en 5.
Product: P := 2 × 3 × 5 = 30.
Eén erbij: N = P + 1 = 31, een nieuwe priem!
Voorbeeld: begin met alle priemen onder 100.
Product plus één:
N = 2305567963945518424753102147331756071.
Een priemdeler daarvan: q = 13848803.
5
Oneindig veel priemgetallen, maar hoe vind je die?
Eratosthenes, bibliothecaris in Alexandrië, wist het:
2 is priem, dus de veelvouden ervan (4, 6, 8, . . .) niet. Streep die
veelvouden door.
Het kleinste niet doorgestreepte getal voorbij 2 is 3. Die is priem,
streep de veelvouden ervan door.
Zo doorgaan. Steeds is de kleinste nieuwe een priemgetal, want
anders was het een veelvoud van een eerdere kleinste, en die
veelvouden zijn al doorgestreept.
6
Eratosthenes(?) (270–194 voor Christus)
7
Voordeel: de methode van Eratosthenes geeft (uiteindelijk. . .)
alle priemgetallen.
Nadeel: om bijvoorbeeld het priemgetal 1000003 te vinden, schrijven we alle ruim miljoen kleinste getallen op, dan heeeeeeel veel
doorstrepen.
Samen met deze priem vindt de methode dan ook alle priemen
kleiner dan miljoen (dat zijn er 78498).
8
Hoe vind je dan een groot priemgetal?
Pierre de Fermat (jurist in Toulouse, Frankrijk, iets na 1600 tot
1665):
n
probeer Fn := 2(2 ) + 1.
F1
F
Dus 2
F3
F4
= 22 + 1 =
5
= 24 + 1 =
17
= 28 + 1 = 257
= 216 + 1 = 65537
Dit zijn priemgetallen!
9
Maar helaas:
F5 = 232 + 1 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 274177 × 67280421310721
(We denken, maar weten niet zeker: na F2, F3, F4 is geen van de
Fn met n ≥ 5 een priemgetal!)
10
Overigens: al die getallen F2, F3, F4, . . . eindigen op een 7. Alleen
F1 = 5 niet.
Reden hiervoor: (Fn − 1) × (Fn − 1)
n)
n)
(2
(2
2
×2
=
=
=
= 2(2
n+1 )
n +2n )
(2
2
n
2(2×2 )
= Fn+1 − 1
11
Dus
Fn+1 = 1 + (Fn − 1)2.
Eindigt een Fn op 7, dan is het laatste cijfer van Fn − 1 een
6. Dus (Fn − 1)2 eindigt ook op 6, en daaraan zie je dat Fn+1
als laatste cijfer een 7 heeft. Enzovoort, alle volgende eindigen
eveneens op 7.
12
Andere poging:
Marin Mersenne, een Franse priester, 1588–1648:
probeer Mn := 2n − 1.
Claim: als n > 1 geen priemgetal is, dan is Mn = 2n − 1 dat ook
niet.
13
Want: schrijf n = k × ` met k ≥ 2 en ` ≥ 2.
We gaan aantonen dat dan 2k` − 1 geen priemgetal is.
Voorbeeld: 24 − 1 = 3 × 5
Voorbeeld: 215 − 1 = 7 × 31 × 151
Voorbeeld: 277 − 1 = 23 × 89 × 127 × 581283643249112959
14
Neem m > 1 en schrijf
f (x) = 1 + x + x2 + . . . + xm−1
dan
xf (x) = x + x2 + x3 + . . . + xm
Aftrekken:
xf (x) − f (x) = xm − 1
oftewel
(x − 1)f (x) = xm − 1.
15
We zagen: met f (x) = 1 + x + . . . + xm−1 geldt
xm − 1 = (x − 1)f (x).
Dit passen we toe op x = 2k en m = `:
2k` − 1 = (2k − 1) · f (2k )
Dus het getal links is het product van de twee getallen rechts.
Die twee factoren rechts zijn ≥ 2 en geheel, dus is het getal links
geen priemgetal.
Conclusie: Mn = 2n − 1 kan alleen een priemgetal zijn als n dat
ook is.
16
Maar: neem n = p een priemgetal.
priem?
Is Mp = 2p − 1 dan ook
Mersenne had in de inleiding van zijn boek “Cogitata PhysicaMathematica” (1644) het voorbeeld
M127 = 170141183460469231731687303715884105727,
echter ook:
M11 = 23 × 89, M23 = 47 × 178481, M29 = 233 × 1103 × 2089.
17
Interesse in priemgetallen Mp was er al sinds Euclides (300 voor
Christus):
Als Mp priem is, dan is Pp := Mp × 2p−1 “perfect”!
Dat houdt in: Pp is gelijk aan de som van z’n echte delers.
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
18
De wiskundigen É. Lucas (1842–1891) uit Frankrijk en
D.H. Lehmer (1905–1991) uit de Verenigde Staten bedachten
een manier, om in ongeveer p eenvoudige rekenstappen te bepalen
of het getal Mp wel of niet een priemgetal is.
Zo kon Lucas al in 1876 nagaan dat inderdaad M127 priem is,
zoals Mersenne had beweerd (maar: veel andere beweringen van
Mersenne over getallen Mp waren fout).
De Amerikaanse informaticus George Woltman startte in 1996 de
Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS): hij schreef een
computerprogramma dat de test van Lucas en Lehmer uitvoert.
Iedereen mag dit downloaden en op de eigen computer uitvoeren.
Dankzij GIMPS zijn nu 48 priemgetallen Mp bekend.
19
De grootste tot nu toe, gevonden op 25 januari 2013 door de
Amerikaan Curtis Cooper:
257885161 − 1,
een getal van 12978189 cijfers...
George Woltman
Curtis Cooper
20
É. Lucas & D.H. Lehmer
21
Kunnen wij een groter priemgetal vinden?
(Zou M57885161 + 1 werken? Die is groter...)
(Misschien M57885161 + 2? Waarom wel/niet?)
22
We kunnen ook een variatie op de getallen van Mersenne proberen.
Neem, in plaats van 2n − 1 bijvoorbeeld 6n − 1.
Probleem: 6n heeft als laatste cijfer een 6 (als n ≥ 1), dus
6n − 1 eindigt op een 5. Conclusie: als n > 1 dan is 6n − 1 geen
priemgetal.
Maar: deel gewoon door 5.
Dus we nemen de getallen Gn gegeven door
5 · Gn = 6n − 1.
23
Een tabelletje:
n: 1 2 3
4
5
6
7
8
9
Gn : 1 7 43 259 1555 9331 55987 335923 2015539
n:
10
11
12
13
Gn : 12093235 72559411 435356467 2612138803
n:
14
15
16
Gn : 15672832819 94036996915 564221981491
Wat valt op?
24
∗ Als n door 5 deelbaar is, dan is Gn dat ook.
Immers, er geldt
5Gn = 6n − 1,
en dus
30Gn = 6 × (6n − 1) = 6n+1 − 6 = (6n+1 − 1) − 5,
dus (deel door 5)
6Gn = Gn+1 − 1
oftewel
Gn+1 = 6Gn + 1.
25
Met de formule Gn+1 = 6Gn + 1 zie je wat het laatste cijfer is:
er geldt G1 = 1,
dus het laatste cijfer is achtereenvolgens
1 → 7 → 3 → 9 → 5 → 1 → (enzovoort).
Na 5 stappen hebben we weer hetzelfde laatse cijfer!
Bij stap 5 is dat een 5, dus bij stap 10 en stap 15 en stap 20 en
stap 5m ook: als n deelbaar is door 5, dan eindigt Gn op een 5
en dus is in dat geval ook Gn deelbaar door 5.
26
Stelling: als n geen priemgetal is, dan is Gn dat ook niet.
Immers, net als eerder gebruiken we de regel xm −1 = (x−1)f (x).
Stel dat n = k × `. Vul in: x = 6k en m = `, dan staat er
6k` − 1 = (6k − 1) · f (6`),
en dus
Gk` = Gk × f (6`).
Voor k > 1 staan er rechts twee getallen groter dan 1, en dus is
Gk` geen priemgetal.
27
Een getal Gn kan dus alleen een priemgetal zijn als n zelf een
priemgetal is, en bovendien n 6= 5.
De kleinste p’s waarvoor Gp priem is:
2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883
28
We verwachten, maar weten niet zeker, dat er oneindig veel
priemgetallen zijn waarvoor Mp = 2p − 1 ook priem is.
Evenzo verwachten we, dat er oneindig veel priemgetallen zijn
waarvoor geldt dat Gp = (6p − 1)/5 ook priem is.
Het verschil: Mp is al eeuwenlang bestudeerd. Maar de getallen
Gp zijn speciaal bedacht voor deze collegecaroussel in 2013.
29
Zou er misschien ook voor de getallen Gp een test te bedenken
zijn, net als die van Lucas en Lehmer voor Mp, waarmee in
ongeveer p eenvoudige rekenstappen is na te gaan of Gp priem
is?
We weten het (nog) niet.
30
Wel weten we:
∗ Als p 6= 5 priem is en ` is een priemgetal waardoor Gp deelbaar
is, dan is ` van de vorm
` = 1 + 2pk
voor een geheel getal k ≥ 1,
en ook
` = {1 of 5 of 19 of 23} + 24m
voor een geheel getal m.
31
Voorbeeld: p = 11. Dat geeft G11 = 72559411.
Een deler hiervan die bovendien een priemgetal is, moet dan een
priemgetal van de vorm ` = 1 + 22k zijn.
Bovendien moet dat priemgetal ` een rest 1 of 5 of 19 of 23
overlaten als je ` probeert te delen door 24.
De kleinste priem ` die aan beide eisen voldoet, is ` = 23.
En inderdaad: 72559411 = 23 × 3154757
32
Meer eigenschappen van Gp voor p > 2 een priemgetal:
(∗) Gp levert een rest 3 bij delen door 8.
(∗∗) Gp levert een rest 1 bij delen door 7.
Dit zie je door eerst op te merken dat het klopt voor G3 = 43.
Verder Gn+2 = 6Gn+1 + 1 = 6 × (6Gn + 1) + 1 = 36Gn + 7.
Hiermee zie je dat de eigenschappen waar blijven als je p twee
groter maakt. Dus het klopt voor elke p > 2.
33
Voor het priemgetal p = 8237951 geldt dat Gp groter is dan het
record priemgetal M57885161.
Dus als we een snelle manier zouden weten om te bepalen of Gp
een priemgetal is, dan hebben we misschien een nieuw record....
34
35