Algebraïsche topologie en homologe algebra

Studiefiche
Vanaf academiejaar 2016-2017
Algebraïsche topologie en homologe algebra (C002997)
Cursusomvang
(nominale waarden; effectieve waarden kunnen verschillen per opleiding)
Studiepunten 6.0
Studietijd 165 u
Contacturen
45.0 u
Aanbodsessies en werkvormen in academiejaar 2016-2017
A (semester 2)
werkcollege: geleide oefeningen
15.0 u
hoorcollege
30.0 u
Lesgevers in academiejaar 2016-2017
Thas, Koen
Struyve, Koen
WE01
WE01
Aangeboden in onderstaande opleidingen in 2016-2017
Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting toegepaste
wiskunde)
Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting wiskundige
natuurkunde en sterrenkunde)
Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting zuivere
wiskunde)
Master of Science in de wiskunde
Verantwoordelijk lesgever
Medelesgever
stptn
6
aanbodsessie
A
6
A
6
A
6
A
Onderwijstalen
Nederlands
Trefwoorden
Topologische ruimte, topologische variëteit, fundamentaalgroep, homotopie,
homologie, cohomologie, CW-complex, fixpuntstellingen, topologische groep,
categorie, functor, complex, exacte rij, projectief object, resolutie, moduul, afgeleide
functor, schema.
Situering
Een kennismaking met de Algebraïsche Topologie, als model om meer algemene
begrippen in Homologe Algebra in te voeren. Introductie tot de basisprincipes van
Homologe Algebra.
Het ontwikkelen van algebraïsche technieken om topologische ruimten te bestuderen.
Het belang tonen van abstracte methoden. Met voorbeelden de relatie met diverse
andere gebieden van de wiskunde duidelijk maken. Dit sluit aan bij de opleidingscompetenties: M.1.1, M.1.2, M.1.4, M.1.5, M.1.6, M.A.1, M.
A.2, M.2.2, M.2.3, M.3.1, M.3.3, M.3.4, M.3.6, M.4.1, M.5.1, M.6.1, M.O.2.
Inhoud
De grondbegrippen uit de Topologie, herhaling. Homotopie: de fundamentaalgroep, overdekkingen, stelling van Seifert-Van Kampen,
toepassingen.
Homologie: inleiding in de singuliere homologie, stelling Mayer-Vietoris, toepassingen. Toepassingen van deze technieken, in het bijzonder fixpuntstellingen.
Categorie theorie: basisbegrippen.
Meer algemene cohomologie theorieën.
Begincompetenties
Basisbegrippen Topologie. Modulen. Groepentheorie. Verzamelingtheorie.
Eindcompetenties
1 Het inzicht hebben dat het vak door de grote algemeenheid enorm veel
1 toepassingsmogelijkheden heeft.
2 Begrippen als homotopie en (co-)homologie (zowel binnen als buiten Topologie)
(Goedgekeurd)
1
1 kunnen bevatten en illustreren met voorbeelden (dit betekent ook homotopiegroepen
1 en homologiegroepen van eenvoudige ruimten kunnen uitrekenen).
3 Het geheel kunnen plaatsen in de meer algemene theorie van categorieën.
4 Begrijpen wat een schema is en inzien hoe de technieken uit de Algebraïsche
1 Topologie en Homologe Algebra gebruikt kunnen worden bij het bestuderen van (o.
1 a. topologische) eigenschappen van schema's.
Creditcontractvoorwaarde
Toelating tot dit opleidingsonderdeel via creditcontract is mogelijk mits gunstige beoordeling
van de competenties
Examencontractvoorwaarde
Dit opleidingsonderdeel kan niet via examencontract gevolgd worden
Didactische werkvormen
Hoorcollege, werkcollege: geleide oefeningen
Toelichtingen bij de didactische werkvormen
Theorie: interactieve hoorcolleges. (Er worden richtlijnen gegeven over hoe men de
lessen kan voorbereiden zodat in de colleges op een interactieve manier kan gewerkt
worden.)
Oefeningen: oefeningen worden voorbereid en in oefeningensessies onder begeleiding
uitgewerkt. Hierin worden technieken aangeleerd en voorbeelden uitgewerkt die de
theorie verduidelijken.
Leermateriaal
Boeken en papers (in het Engels) aangevuld met samenvattende syllabus en nota's (in
het Nederlands en Engels) en oefeningen.
Alles wordt ter beschikking gesteld via Minerva.
Referenties
Hatcher A., Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002.
Jänich K., Topology, Springer, 2001.
Lenstra H. W. Jr., Profinite groups, Lecture notes.
Massey W.S., A basic course in Algebraic Topology, Springer, 1991.
Munkres J., Topology: A first course, Prentice Hall, 1975.
Weibel, C.A., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press,
1994.
Vakinhoudelijke studiebegeleiding
Tijdens de interactieve hoorcolleges worden begrippen en technieken uitgelegd en
worden richtlijnen gegeven om de lessen voor te bereiden en/of te herhalen.
Oefeningen worden voorbereid en worden in oefeningensessies onder begeleiding
uitgewerkt en besproken aan de hand van de eventuele vragen en/of problemen die de
studenten bij het oplossen van de oefeningen hebben. Er is natuurlijk ook de
mogelijkheid tot consultatiegesprekken met de lesgever.
Evaluatiemomenten
periodegebonden en niet-periodegebonden evaluatie
Evaluatievormen bij periodegebonden evaluatie in de eerste examenperiode
Schriftelijk examen met open vragen, openboekexamen, mondeling examen
Evaluatievormen bij periodegebonden evaluatie in de tweede examenperiode
Schriftelijk examen met open vragen, openboekexamen, mondeling examen
Evaluatievormen bij niet-periodegebonden evaluatie
Participatie, werkstuk, vaardigheidstest
Tweede examenkans in geval van niet-periodegebonden evaluatie
Examen in de tweede examenperiode is mogelijk
Toelichtingen bij de evaluatievormen
Theorie: schriftelijk en mondeling, periodegebonden en niet-periodegebonden examen.
De vragen zijn gericht op het testen van de kennis van nieuwe begrippen en hun
samenhang binnen de theorie. Methoden en concepten moet men kunnen illustreren
met voorbeelden. De logische bewijsstructuur van stellingen en de onderliggende
ideeën moet men kunnen uitleggen en met voorbeelden (en tegenvoorbeelden)
verduidelijken. Ook naar het inzicht in de samenhang met andere gebieden van de
wiskunde wordt gepeild. Er wordt getest of de student inzicht heeft in de opbouw van
de materie, de relaties tussen de verschillende delen en het belang van de theorie.
Er wordt tevens getest of de studenten nieuw materiaal in eigen woorden kunnen
brengen en presenteren na zelf-studie.
(Goedgekeurd)
2
Oefeningen: niet-periodegebonden evaluatie. De student moet door zijn medewerking
in de oefeningensessies, het huiswerk en de seminaries tonen dat hij/zij de nodige
technieken kent en de denkwijzen en bewijsmethoden van het gebied in zekere mate
beheerst. Er wordt nagegaan of de nodige technische vaardigheden aanwezig zijn en
of men de bewijsmethoden beheerst en concrete (topologische) problemen kan
oplossen. In het seminarie wordt nagegaan of de student zelf resultaten kan verwerken.
Eindscoreberekening
Oefeningen (40%) en theorie (60%).
(Goedgekeurd)
3