Studiefiche Vanaf academiejaar 2016-2017 Algebraïsche topologie en homologe algebra (C002997) Cursusomvang (nominale waarden; effectieve waarden kunnen verschillen per opleiding) Studiepunten 6.0 Studietijd 165 u Contacturen 45.0 u Aanbodsessies en werkvormen in academiejaar 2016-2017 A (semester 2) werkcollege: geleide oefeningen 15.0 u hoorcollege 30.0 u Lesgevers in academiejaar 2016-2017 Thas, Koen Struyve, Koen WE01 WE01 Aangeboden in onderstaande opleidingen in 2016-2017 Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting toegepaste wiskunde) Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting wiskundige natuurkunde en sterrenkunde) Master of Science in de wiskunde (afstudeerrichting zuivere wiskunde) Master of Science in de wiskunde Verantwoordelijk lesgever Medelesgever stptn 6 aanbodsessie A 6 A 6 A 6 A Onderwijstalen Nederlands Trefwoorden Topologische ruimte, topologische variëteit, fundamentaalgroep, homotopie, homologie, cohomologie, CW-complex, fixpuntstellingen, topologische groep, categorie, functor, complex, exacte rij, projectief object, resolutie, moduul, afgeleide functor, schema. Situering Een kennismaking met de Algebraïsche Topologie, als model om meer algemene begrippen in Homologe Algebra in te voeren. Introductie tot de basisprincipes van Homologe Algebra. Het ontwikkelen van algebraïsche technieken om topologische ruimten te bestuderen. Het belang tonen van abstracte methoden. Met voorbeelden de relatie met diverse andere gebieden van de wiskunde duidelijk maken. Dit sluit aan bij de opleidingscompetenties: M.1.1, M.1.2, M.1.4, M.1.5, M.1.6, M.A.1, M. A.2, M.2.2, M.2.3, M.3.1, M.3.3, M.3.4, M.3.6, M.4.1, M.5.1, M.6.1, M.O.2. Inhoud De grondbegrippen uit de Topologie, herhaling. Homotopie: de fundamentaalgroep, overdekkingen, stelling van Seifert-Van Kampen, toepassingen. Homologie: inleiding in de singuliere homologie, stelling Mayer-Vietoris, toepassingen. Toepassingen van deze technieken, in het bijzonder fixpuntstellingen. Categorie theorie: basisbegrippen. Meer algemene cohomologie theorieën. Begincompetenties Basisbegrippen Topologie. Modulen. Groepentheorie. Verzamelingtheorie. Eindcompetenties 1 Het inzicht hebben dat het vak door de grote algemeenheid enorm veel 1 toepassingsmogelijkheden heeft. 2 Begrippen als homotopie en (co-)homologie (zowel binnen als buiten Topologie) (Goedgekeurd) 1 1 kunnen bevatten en illustreren met voorbeelden (dit betekent ook homotopiegroepen 1 en homologiegroepen van eenvoudige ruimten kunnen uitrekenen). 3 Het geheel kunnen plaatsen in de meer algemene theorie van categorieën. 4 Begrijpen wat een schema is en inzien hoe de technieken uit de Algebraïsche 1 Topologie en Homologe Algebra gebruikt kunnen worden bij het bestuderen van (o. 1 a. topologische) eigenschappen van schema's. Creditcontractvoorwaarde Toelating tot dit opleidingsonderdeel via creditcontract is mogelijk mits gunstige beoordeling van de competenties Examencontractvoorwaarde Dit opleidingsonderdeel kan niet via examencontract gevolgd worden Didactische werkvormen Hoorcollege, werkcollege: geleide oefeningen Toelichtingen bij de didactische werkvormen Theorie: interactieve hoorcolleges. (Er worden richtlijnen gegeven over hoe men de lessen kan voorbereiden zodat in de colleges op een interactieve manier kan gewerkt worden.) Oefeningen: oefeningen worden voorbereid en in oefeningensessies onder begeleiding uitgewerkt. Hierin worden technieken aangeleerd en voorbeelden uitgewerkt die de theorie verduidelijken. Leermateriaal Boeken en papers (in het Engels) aangevuld met samenvattende syllabus en nota's (in het Nederlands en Engels) en oefeningen. Alles wordt ter beschikking gesteld via Minerva. Referenties Hatcher A., Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002. Jänich K., Topology, Springer, 2001. Lenstra H. W. Jr., Profinite groups, Lecture notes. Massey W.S., A basic course in Algebraic Topology, Springer, 1991. Munkres J., Topology: A first course, Prentice Hall, 1975. Weibel, C.A., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994. Vakinhoudelijke studiebegeleiding Tijdens de interactieve hoorcolleges worden begrippen en technieken uitgelegd en worden richtlijnen gegeven om de lessen voor te bereiden en/of te herhalen. Oefeningen worden voorbereid en worden in oefeningensessies onder begeleiding uitgewerkt en besproken aan de hand van de eventuele vragen en/of problemen die de studenten bij het oplossen van de oefeningen hebben. Er is natuurlijk ook de mogelijkheid tot consultatiegesprekken met de lesgever. Evaluatiemomenten periodegebonden en niet-periodegebonden evaluatie Evaluatievormen bij periodegebonden evaluatie in de eerste examenperiode Schriftelijk examen met open vragen, openboekexamen, mondeling examen Evaluatievormen bij periodegebonden evaluatie in de tweede examenperiode Schriftelijk examen met open vragen, openboekexamen, mondeling examen Evaluatievormen bij niet-periodegebonden evaluatie Participatie, werkstuk, vaardigheidstest Tweede examenkans in geval van niet-periodegebonden evaluatie Examen in de tweede examenperiode is mogelijk Toelichtingen bij de evaluatievormen Theorie: schriftelijk en mondeling, periodegebonden en niet-periodegebonden examen. De vragen zijn gericht op het testen van de kennis van nieuwe begrippen en hun samenhang binnen de theorie. Methoden en concepten moet men kunnen illustreren met voorbeelden. De logische bewijsstructuur van stellingen en de onderliggende ideeën moet men kunnen uitleggen en met voorbeelden (en tegenvoorbeelden) verduidelijken. Ook naar het inzicht in de samenhang met andere gebieden van de wiskunde wordt gepeild. Er wordt getest of de student inzicht heeft in de opbouw van de materie, de relaties tussen de verschillende delen en het belang van de theorie. Er wordt tevens getest of de studenten nieuw materiaal in eigen woorden kunnen brengen en presenteren na zelf-studie. (Goedgekeurd) 2 Oefeningen: niet-periodegebonden evaluatie. De student moet door zijn medewerking in de oefeningensessies, het huiswerk en de seminaries tonen dat hij/zij de nodige technieken kent en de denkwijzen en bewijsmethoden van het gebied in zekere mate beheerst. Er wordt nagegaan of de nodige technische vaardigheden aanwezig zijn en of men de bewijsmethoden beheerst en concrete (topologische) problemen kan oplossen. In het seminarie wordt nagegaan of de student zelf resultaten kan verwerken. Eindscoreberekening Oefeningen (40%) en theorie (60%). (Goedgekeurd) 3