zie ommezijde

Tentamen Klassieke Elektrodynamica, 13 april 2012, 14–17 uur.
1. Toen de Maxwellvergelijkingen nog niet bekend waren, wisten Gauss en Ampère al hoe je de elektrische en magnetische velden kon berekenen, voor
tijdsonafhankelijke ladingen en stromen. De wetten van Gauss en Ampère
luiden
~
~ = ρ/ε0 , ∇ × B
~ = µ0 j.
∇·E
(a) Laat zien dat deze wetten niet kunnen gelden voor tijdsafhankelijke ladingen en stromen.
(b) Faraday had al vóór Maxwell ontdekt dat een tijdsafhankelijke magnetische flux Φ(t) door een stroomkring een potentiaalverschil V = dΦ/dt
opwekt. Leid hieruit één van de Maxwellvergelijkingen af.
(c) Schrijf de Maxwellvergelijkingen in vacuum op en beschouw een oplos~ = f (r , t)r̂ , B
~ = g(r , t)r̂ . Leid af dat deze elektrising met bolsymmetrie: E
sche en magnetische velden tijdsonafhankelijk moeten zijn.
2. Een lange cylindervormige metalen draad (straal a) heeft een geleidingsvermogen σ . Door de draad loopt een stroom I. (U mag veronderstellen dat de
stroomdichtheid j~ in de draad constant is.)
~ als het magnetische veld B
~ in het
(a) Bereken zowel het elektrische veld E
binnenste van de draad (grootte en richting).
(b) De elektromagnetische velden verrichten op de ladingen in de draad een
~ · j~ per volume-eenheid en per tijds-eenheid. Waarom komt B
~ in
arbeid E
deze uitdrukking niet voor? Bereken de totale verrichte arbeid in een tijd T
voor een draad van lengte L.
(c) We kunnen de verrichte arbeid ook berekenen door middel van de stelling
van Poynting, uitgaande van de elektromagnetische energie die van buitenaf
de draad instroomt. Geef deze berekening en ga na dat het antwoord hetzelfde is als in b.
3. Een neutraal molekuul op positie r0 heeft een ladingsverdeling gegeven door
~
ρ(~
r ) = f (~
r − r~0 ). Het dipoolmoment is p.
~
(a) Bewijs dat het dipoolmoment p van dit molekuul niet verandert als we
het verplaatsen van r~0 naar r~0 + δ~
r.
(b) Stel dat de ladingsverdeling bolsymmetrisch is, d.w.z. ρ(~
r ) = f (|~
r − r~0 |)
hangt alleen af van de afstand tot r~0 . Bewijs dat het dipoolmoment dan
gelijk is aan nul.
~ aan. Op een ladingselementje
(c) We leggen een uniform elektrisch veld E
~
dq, ter plaatse r~, oefent dit elektrische veld een kracht (force) dF~ = Edq
uit
~
~
en een koppel (torque) dK = (~
r × E)dq.
~
~ op het hele molekuul.
Bereken de kracht F en koppel K
zie ommezijde
~ r , t) en een ladingsdichtheid ρ(~
4. Beschouw een stroomdichtheid j(~
r , t) die
met frequentie ω van de tijd afhangen. In de complexe notatie kunnen we
schrijven
~ r , t) = Re j(~
~ r )eiωt , ρ(~
j(~
r , t) = Re ρ(~
r )eiωt .
We willen de elektromagnetische potentialen vinden in de Lorentz-ijk,
∂
~ r , t) = − 1 ∂ Φ(~
· A(~
r , t).
∂ r~
c 2 ∂t
Ook voor deze potentialen gebruiken we de complexe notatie,
~ r , t) = Re A(~
~ r )eiωt , Φ(~
A(~
r , t) = Re Φ(~
r )eiωt .
(a) Ga uit van de algemene oplossing van de inhomogene golfvergelijking en
bewijs dat
Z
µ0
1
0
~ r 0 ),
~
d~
r 0 e−ik|~r−~r |
j(~
A(~
r) =
4π Z
|~
r − r~0 |
1
1
0
ρ(~
r 0 ).
Φ(~
r) =
d~
r 0 e−ik|~r−~r |
4π ε0
|~
r − r~0 |
Hoe hangt k af van ω?
~ r ) en
(b) Welke relatie tussen de complexe, tijdsonafhankelijke functies j(~
~ r)
ρ(~
r ) volgt uit de wet van behoud van lading? En welke relatie tussen A(~
en Φ(~
r ) volgt uit de Lorentz-ijk?
(c) Bewijs dat het resultaat in onderdeel a voldoet aan de Lorentz-ijk.
antwoorden tentamen KED, 13 april 2012
~ de wet van Ampère geeft,
1. (a) wet van behoud van lading: dρ/dt = −∇ · j;
na het nemen van de divergentie, ∇ · j~ = 0, dus die geldt alleen als ρ tijdsonafhankelijk is.
R
R
H
~ en dΦ/dt = S (∂ B/∂t)
~ dus
~ · d~
~ · dS,
~
l = − S (∇ × E)
· dS;
(b) V = − C E
~ = −∂ B/∂t.
~
∇×E
~ = −∂ B/∂t
~
~ = ε0 µ0 ∂ E/∂t;
~
(c) in vacuum: ∇ × E
en ∇ × B
de rotatie van bolsym~ als B
~ zijn tijdsonafhankelijk.
metrische velden is nul, dus zowel E
~ = φ̂µ0 Ir /(2π a2 ) (in cylindercoordina2. (a) E = I/(σ π a2 ) langs de draad; B
ten)
~ staat loodrecht op de verplaatsing en verricht dus
(b) W = T LI 2 /(σ π a2 ) (B
geen arbeid)
~ × B)/µ
~
(c) W = T L2π ar̂ · (E
0 , voor r = a; hetzelfde als in b.
R
R
~0 = d~
~ + δ~
~ want het molekuul heeft
3. (a) p
r r~ρ(~
r − δ~
r) = p
r d~
r ρ(~
r) = p
totale lading nul.
R
~ = d~
(b) kies zonder verlies van algemeenheid r~0 = 0; dan is p
r r f (r ) = 0
~
omdat de
bijdragen
van
r
en
−~
r
elkaar
opheffen.
R
R
~ = 0, K
~ = d~
~=p
~
~ × E.
(c) F~ = d~
r ρ(~
r )E
r ρ(~
r )~
r ×E
4. (a) algemene oplossing:
R
~ r 0 , t − |~
~ r , t) = (µ0 /4π )Re d~
A(~
r 0 j(~
r − r~0 |/c)|~
r − r~0 |−1 ,
waarbij t − |~
r − r~0 |/c de geretardeerde tijd is; invullen geeft de gevraagde
uitdrukking, met k = ω/c; evenzo voor Φ.
~ r ) + iωρ(~
~ r ) + (iω/c 2 )Φ(~
(b) ∇ · j(~
r ) = 0; ∇ · A(~
r ) = 0.
~
(c) bereken eerst (∂/∂ r~) · A(~
r ); de afgeleide naar r~ kan omgeschreven wor0
den naar een afgeleide naar r~0 van e−ik|~r−~r | |~
r − r~0 |−1 , met een minteken, en
~ r 0 ), weer
vervolgens via partiële integratie als een afgeleide naar r~0 van j(~
met een minteken. Beide mintekens heffen elkaar op, en je vindt
Z
∂
µ
1
∂ ~ 0
0
0
~ r) =
· A(~
d~
r 0 e−ik|~r−~r |
· j(~
r ) = −(iω/c 2 )Φ(~
r ).
0
∂ r~
4π
|~
r − r~ | ∂ r~