Priemtweelingen

Priemtweelingen
Fokko van de Bult
(samenwerking met Prof. J. Korevaar)
Universiteit van Amsterdam
24 april 2008
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
1 / 10
Definitie (Priemgetal)
Een priemgetal is een geheel getal p groter dan 1, dat alleen deelbaar is
door p en door 1.
Voorbeeld
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 134.033, . . . , 40.959.311.387, . . .
zijn priemgetallen.
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
2 / 10
Priemgetallen zijn de bouwstenen voor andere getallen.
Stelling
Elk positief geheel getal n > 1 kan op unieke manier geschreven worden als
product van priemgetallen
n = p1 p2 p3 · · · pk ,
waar p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pk .
Voorbeeld
6 = 2 · 3,
91 = 7 · 13,
9800328 = 2 · 2 · 2 · 3 · 408347.
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
3 / 10
Stelling (Euclides, ca. 300 v. Chr.)
Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Bewijs:
Stel er zijn maar eindig veel priemgetallen, zeg p1 , p2 , . . . , pk . Dan is
N = p1 · p2 · · · pk + 1 een getal dat niet deelbaar is door p1 , p2 , . . . , pk .
Dus het is of zelf een priemgetal die niet in de lijst staat of deelbaar door
een nieuw priemgetal. Tegenspraak.
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
4 / 10
We kunnen zelfs een schatting geven van hoeveel priemgetallen er
ongeveer zijn!
Stelling
Laat π(n) het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan n zijn. Dan
geldt
Z n
1
n
π(n) ∼ li(n) =
dx ≈
.
ln(x)
ln(n)
2
Reclameonderbreking
Zie voor meer informatie hierover de webklas in de herfst over Riemann’s
zeta functie.
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
5 / 10
Definitie (Priemtweeling)
Een priemtweeling is een paar priemgetallen (p, p + 2). Dus een priemgetal
p, zodat ook p + 2 een priemgetal is.
Voorbeeld
(3, 5)
(5, 7)
(17189, 17191)
(1300127, 1300129)
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
6 / 10
Vragen
Zijn er oneindig veel priemtweelingen?
Kun je een schatting verzinnen voor het aantal priemtweelingen?
Vermoeden
Er zijn oneindig veel priemtweelingen en wel het aantal priemtweelingen
(p, p + 2) met p kleiner dan n is ongeveer
Z n
n
1
2C2 li2 (n) = 2C2
dx ≈ 2C2
,
2
ln(n)2
2 ln(x)
waarbij C2 de constante is gegeven door een oneindig (!) product over alle
oneven priemgetallen
1
1
C2 = 1 −
1−
· · · ≈ 0.66
(3 − 1)2
(5 − 1)2
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
7 / 10
Definitie
Definieer een priem 2r -paar als twee priemgetallen die 2r verschillen (dus
als p en p + 2r allebei priem zijn).
Vermoeden
Het aantal priem 2r -paren met p kleiner dan n is ongeveer
2C2 li2 (n)
Y p−1
,
p−2
p|r ,p>2
waar de laatste term een product is over alle oneven priemdelers van r .
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
8 / 10
Neem 2r = 6.
Heuristiek
Als je wilt dat p en p + 6 allebei priem zijn, kun je voor elk (klein)
priemgetal testen of ze daardoor deelbaar zijn. Zo ja, dan ben je niet
priem, anders wel. Omdat als p priem is, p geen 3-voud is, is duidelijk dat
p + 6 ook geen drievoud is. Dus de test op 3-voud zijn kun je voor p + 6
achterwege laten. De “kans” voor “willekeurige” getallen p dat p of p + 6
door drie deelbaar is is dus 1/3. Voor een priemtweeling is de kans dat p
of p + 2 deelbaar is door 3 gelijk aan 2/3. Nu is (1 − 1/3) = 2(1 − 2/3),
dus zijn er ongeveer 2 keer zoveel priemparen van de vorm (p, p + 6), als
van de vorm (p, p + 2).
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
9 / 10
Experimentele Resultaten
Deze tabel geeft het aantal priemparen (p, p + 2r ) kleiner dan of gelijk aan
n, en als laatste kolom de schatting volgens de formule van het vorige
scherm.
2r n = 104 n = 106 n = 108 schatting
2
205
8169 440312
440368
4
203
8144 440258
440368
6
411
16386 879908
880736
8
208
8242 439908
440368
10
270
10934 586811
587157
12
404
16378 880196
880736
641
26178 1409150 1409177
210
De schatting lijkt dus heel goed te kloppen. Bovendien is het inderdaad zo
dat er twee keer zoveel paren (p, p + 6) lijken te zijn als (p, p + 2).
Fokko van de Bult (UvA)
Priemtweelingen
24 april 2008
10 / 10