Les 1

De wondere wereld van de
kwantummechanica
Erik Lagendijk
HOVO RU Leiden
februari, maart, april 2009
Deze Powerpoint presentatie is beschikbaar op:
www.tudelft.nl/elagendijk bij publicaties
Een geruststelling(?)
“I think I can safely say that no one understands quantum
mechanics.”
Richard P. Feynman
To be OR not to be?
That’s NOT the question!
The question is: how to be AND not to be?
Kwantummechanica in zes lessen
1. Introductie. Klassieke natuurkunde.
2. Klassieke natuurkunde (vervolg).
3. Historie van de kwantummechanica.
4. Historie van de kwantummechanica (vervolg).
5. Voorbeelden.
6. Toepassingen. Vragenuur.
De wondere wereld van de
kwantummechanica
Eerste les
Introductie
Klassieke natuurkunde
Introductie
Deeltje EN golf??
Deeltje (knikker, elektron, …) ligt stil onderin een krater.
Wat voorspelt Newton over de beweging van het deeltje?
Het deeltje blijft liggen waar het ligt zolang er niets
verandert.
Wat voorspellen Schrödinger c.s. voor de beweging van het deeltje?
Voor de knikker: als Newton (correspondentiebeginsel),
maar voor het elektron:
1. Het elektron kan niet op een bepaalde plek stilliggen.
Er is nulpuntsenergie. Dit hangt samen met een
onzekerheids-relatie tussen plaats en impuls.
2. Het elektron kan ook buiten de krater gevonden
worden. Er is “tunneling”.
3. Het elektron is ononderscheidbaar van andere
elektronen in dezelfde toestand.
4. Iedere elektrontoestand kan maar door 1 elektron
worden bezet: uitsluitingsbeginsel.
5. Het elektron heeft een extra interne vrijheidsgraad:
spin.
Zolang je niet “kijkt”, is het elektron overal en nergens.
Einstein: “Ik zou het prettig vinden als de maan er ook is als ik niet kijk.”
Deeltje krijgt een stoot
stoot
Wat voorspelt Newton?
1. Zwakke stoot: deeltje rolt heen en weer in de krater
(periodieke beweging in gebonden toestand).
2. Sterke stoot: deeltje rolt uit de krater, de krater af en
verder over de vlakte als een vrij deeltje.
Wat voorspellen Schrödinger c.s.? Knikker: als Newton, maar …
voor het elektron:
1. Gebonden toestanden corresponderen met stationnaire
golven en zijn daarom gekwantiseerd.
2. Vrije toestand correspondeert met een lopend
golfpakket. Diffractie (buiging) en interferentie zijn
mogelijk.
Klassieke natuurkunde
Drie grootmeesters van de
klassieke natuurkunde
Isaac Newton
Mechanica
James Clerk Maxwell Ludwig Boltzmann
Elektromagnetisme
Statistische Mechanica
Klassieke natuurkunde
…“on the shoulders of giants.”
“If I have seen further it is by standing
on the shoulders of giants.”
“I do not know what I may appear to the
world; but to myself I have seen only
like a boy playing on the seashore, and
diverting myself in now and then finding
a smoother pebble or prettier shell than
ordinary, whilst the great ocean of truth
lay all undiscovered before me.”
…”a tortured man, an extremely neurotic person who teetered always, at least
through middle age, on the verge of breakdown.” (Westfall in Never at Rest)
Klassieke natuurkunde
Isaac Newton: levensloop
1643 Te vroeg geboren zoon van een drie maanden eerder overleden
hereboer in Woolstorpe-by-Costerworth. Niet getrouwd, geen kinderen.
1646 Moeder hertrouwt en verhuist. Newton blijft achter en wordt
grootgebracht door zijn grootmoeder van moeders kant.
1655-1659 Onderwijs aan The Free Grammar School of King Edward VI te
Grantham in Latijn, Grieks en de Bijbel. Uitblinker en ”A sober, silent,
thinking lad.” Construeert veel, waaronder zonnewijzers.
1659 Moeder weer weduwe, keert terug en probeert tevergeefs van Newton
een boer te maken. Op voorspraak van het schoolhoofd mag hij zijn
opleiding aan The King’s School voltooien.
1661 Toegelaten tot Trinity College in Cambridge. Ontdekt het binomiaal
theorema en begint aan de differentiaalrekening. Later: prioriteitsoorlog
met Leibniz
1666 Terug naar huis vanwege een pestepidemie. Heeft zijn ”maan=vallende
appel” ervaring (?). Wonderjaar.
1669 Lucasian professor in de wiskunde in Cambridge.
1670-1672 Doceert optica. Ontdekt de spiegeltelescoop.
Veronderstelt dat licht een stroom deeltjes is.
1670(?)-1690 (?) Voert scheikundige experimenten uit
(alchemie). Proeft van zijn brouwsels.
1687 Publiceert op aandrang van Halley “Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica”. Prioriteitsoorlog met
Hooke.
1690 e.v. Publiceert religieuze artikelen over de letterlijke
interpretatie van de Bijbel. Is (in het geheim) arianist.
1689,1690,1701 Lid van het parlement.
1692-1693 Zenuwinzinking. Paranoïde. ”Zwart jaar”.
1696 Gaat naar Londen om Bewaker (na 1699 Meester)
van de Munt te worden. Bestrijdt actief valsemunterij .
1703 President van de Royal Society.
1704 Publiceert “Opticks”.
1705 Geridderd.
1727 Overlijdt in Londen. Begraven in Westminster Abbey. Heeft
grote hoeveelheden kwik in zijn lichaam als gevolg van
alchemie experimenten. Verklaring voor zijn gedrag (?)
Klassieke natuurkunde
De wetten van Newton
Eerste wet (wet van de traagheid of inertie)
“Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line,
unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon.”
Een onbeïnvloed lichaam staat stil of beweegt rechtlijnig eenparig.
Tweede wet (wet van de krachtswerking)
“The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed;
and is made in the direction of the right line in which that force is impressed. “
F=ma (als m constant is! anders: F = dp/dt met p=mv – impuls)
Derde wet (wet van actie en reactie)
“To every action there is always opposed an equal and opposite reaction: or
the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and
directed to contrary parts.”
FBA=-FAB.
Actie is minus reactie
De wet van de universele gravitatie
F
-F
F  G
r
M
m
Mm e
r
r2
er is een eenheidsvector in de
richting van r
met G=6,67 10-11 m3kg-1s-2 (gravitatieconstante, niet
verwarren met gravitatieversnelling g)
F in newton
zon – aarde
3,5 1022
aarde – maan
2 1020
aarde – mens (op aarde)
gewicht=massa × g≈massa ×9,8
proton – elektron (in H atoom)
3,6 10-47
proton – proton (in kern)
5 10-35
Klassieke natuurkunde
Plaats
Newton:
“Space, in its own nature, without regard to any thing external, remains
always similar and immovable. Relative Space is some moveable dimension
or measure of the absolute spaces; which our senses determine, by its
position to bodies; and which is vulgarly taken for immovable space. …
And so instead of absolute places and motions, we use relative ones. ”
De plaats van een puntvormig voorwerp (deeltje) in een kamer kunnen
we aangeven ten opzichte van een hoekpunt (oorsprong) met drie
getallen (coördinaten): zoveel meter naar rechts, zoveel meter naar
achteren, zoveel meter omhoog. Waarbij negatieve waarden zijn
toegestaan.
Wat is op dit moment uw plaats?
We hebben zo een rechthoekig (cartesiaans) coördinatenstelsel (assenstelsel)
gedefinieerd. De coördinaten duiden we aan met x, y en z.
Klassieke natuurkunde - intermezzo
Vectoren
Een grootheid met drie componenten kunnen we weergeven door een
lijnstuk met richting: vector.
Voorbeeld: de plaats r van een deeltje.
r heet de plaats- of radiusvector.
De projecties van de vector op de assen heten
componenten.
r heeft als componenten de coördinaten x, y, z.
Van een willekeurige vector a geven we de
componenten aan met ax, ay, az.
Vectoren geven we vetgedrukt weer: plaats r,
snelheid v, impuls p, impulsmoment L,
versnelling a, kracht F.
De volgende site bevat wiskundeonderwerpen gericht op het gebruik van
wiskunde in de natuurkunde:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/hmat.html#hmath (Eng.)
Het natuurkunde broertje hiervan is:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html (Eng.)
Specifiek voor vectoren zijn:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Vector_(wiskunde) (NL)
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector (Eng.)
http://wiskunde.classy.be/3vectoren.htm (NL)
http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/vectors/vectors.html (Eng.)
Oefenmogelijkheid bieden:
http://www.mcasco.com/p1agva.html (Eng.)
Speciaal over het uit (cross) product van twee vectoren:
http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html (Eng.)
Etc.
Klassieke natuurkunde
Tijd
Newton:
“Absolute, True, and Mathematical Time, of itself, and from its own nature
flows equably without regard to any thing external, and by another name is
called Duration: Relative, Apparent, and Common Time is some sensible
and external (whether accurate or unequable) measure of Duration by the
means of motion, which is commonly used instead of True time; such as an
Hour, a Day, a Month, a Year. ...”
Met een klok leggen we het tijdstip van een gebeurtenis vast.
Bijvoorbeeld op tijdstip 8 uur 29 minuten heeft een deeltje plaats
(1, -2, 1 m). Daarmee is een punt van de wereldlijn van het
deeltje vastgelegd.
Met het Global Position System bepaalt uw TomTom uw positie
op aarde via satellietpeilingen als lengte, breedte en hoogte op
een bepaald tijdstip. Het GPS legt daarmee uw wereldlijn vast.
Klassieke natuurkunde – intermezzo
Relativiteitstheorie
Einstein heeft de Newtonse begrippen van absolute ruimte
en tijd vervangen door relatieve begrippen (speciale
relativiteitstheorie). De effecten hiervan (tijddilatatie,
lengtecontractie) zijn zichtbaar bij snelheden vergelijkbaar
met de lichtsnelheid (ca 300000 km/s). Voorbeelden:
• Het lichtdeeltje (foton) beweegt met lichtsnelheid.
• Elementaire deeltjes (proton, elektron,…) kunnen in versnellers zoals
de LHC in Genève snelheden van 99% van de lichtsnelheid bereiken.
• Bij vervalprocessen komen deeltjes vrij met hoge snelheden.
Einstein heeft ook aangetoond dat we iedere versnelling kunnen
interpreteren als afkomstig van een zwaartekracht (algemene
relativiteitstheorie). De zwaartekracht kromt de ruimte zodanig dat het
deeltje de bijbehorende versnelling krijgt.
Voorbeelden:
•
Licht wordt afgebogen bij de zon.
Einstein (1916) voorspelt 1,7 boogsec.
Eddington (1919) bevestigt dit bij een zonne-eclips.
•
Het perihelium van Mercurius draait.
Einstein (1915) bevestigt de waargenomen en
onverklaarde 43 boogsec per eeuw.
“Enige dagen was ik buiten mijzelf van vreugde.”
•
Klokken vertragen (roodverschuiving).
GPS moet daarvoor corrigeren.
De zwaartekracht speelt geen rol bij atomaire systemen vergeleken met de
elektrische kracht (?) Verhouding is 10-40.
Het wachten is op een kwantumgravitatietheorie (string theorie?)
Klassieke natuurkunde
Beweging
Als de coördinaten van uw plaats met de tijd veranderen, dan is er sprake
van beweging. Bent u op dit moment in beweging?
Niet ten opzichte van het “kamer” coördinatenstelsel, maar wel als u de
volgende effecten in rekening brengt:
De asrotatie van de aarde.
De beweging van de aarde rond de zon.
Beweging van de zon rond het
centrum van de melkweg (zwart gat).
Beweging van het melkwegstelsel.
Beweging is een relatief begrip. Afhankelijk van het gekozen assenstelsel
veranderen de coördinaten x, y, z in de tijd t.
De functies x(t), y(t) en z(t) noemen we de baanbeweging.
Voorbeeld: eenparige cirkelbeweging (maan om aarde, aarde om zon,
elektron rond proton(?)…)
Cirkelbaan:
x(t)2+y(t)2=R2
v
y
θ R
x
Eenparige beweging: v is constant
van grootte (niet van richting! Er
werkt een versnelling).
Gevolg: θ(t)=ωt waarin ω
(hoeksnelheid) constant is.
Voor de coördinaten geldt:
x(t)=Rcos(ωt)
y(t)=Rsin(ωt)
Klassieke natuurkunde - intermezzo
Functies
Een functie van 1 variabele is een voorschrift dat aan een getal een ander
getal toevoegt. Voorbeeld f(x)=x2, dus f(0)=0, f(2)=4, f(-3,02)=9,1204 enz.
(parabool)
Websites over functies:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde) (Ned.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics) (Eng.)
http://library.thinkquest.org/2647/algebra/funcbasc.htm (Eng.)
Voorbeelden van functies staan op:
http://www.edumedia-sciences.com/nl/n94-functie (Ned.)
Functies in de natuurkunde zijn meestal een functie van de plaats: f(x), of
van de tijd: f(t), of van beide f(x,t). Voorbeelden:
U(x)
Potentiële energiefunctie van de 1-dimensionale
harmonische oscillator U(x)=½kx2=½mω2x2 met
ω=√(k/m).
Baanbeweging van de 1-dimensionale
harmonische oscillator: x(t)=Asin(ωt).
Lopende golf in positieve x richting:
f(x,t)=Asin (ωt-kx).
x
In de natuurkunde willen we vaak de veranderlijkheid (steilheid) van een
functie bepalen. Bijvoorbeeld: de mate waarin de positie x(t) verandert als
functie van de tijd geeft ons de snelheid vx(t).
x(t)
raaklijn of
afgeleide
helling is 0 - omkeerpunten!
x1(t)
x2(t)
ℓ
t1
Gemiddelde snelheid:
Die is hier negatief!
t2
 x2  x1 
 t2  t1 
t
is – per definitie – de helling van ℓ.
Momentane snelheid voor t=t1 krijgen we door t2 naar t1 te laten gaan.
ℓ wordt dan de raaklijn aan de figuur. De helling van de raaklijn noemen
dx
ook wel x ' . Die is hier positief!
we de afgeleide van x naar t, notatie
dt
Klassieke natuurkunde - intermezzo
Differentiëren
Stel f(x) is een functie van x (x mag ook t zijn of ieder willekeurig symbool
– wel consequent zijn). Voorbeeld: f(x)=x2.
Aan deze functie voegen we een nieuwe functie toe, de afgeleide (ook het
differentiaalquotiënt). De wiskundige definitie van de afgeleide is:
df
f ( x  h)  f ( x )
x
(notatie
ook
f
'
x
)

lim
 
 
dx
h
h 0
f(x+h)
ℓ
f(x)
x+h
x
Helling van ℓ is f ( x  h )  f ( x ), in de limiet h→0 wordt ℓ de raaklijn van f in x.
h
De afgeleide is in ieder punt gelijk aan de helling van de raaklijn in dat
punt.
Verandert f snel dan is de helling en daarmee de afgeleide groot en v.v. De
afgeleide is dus een maat voor de veranderlijkheid van de functie.
Voor het voorbeeld wordt dit:
df

dx
   lim  x  h 2  x 2  lim x 2  2xh  h2  x2
d x2
dx
h0
2
h0
h
h
2xh  h
 lim  2x  h   2x
h
h0
h0
 lim
ℓ
f(x+h)
f(x+h)-f(x)
f(x)
x
x+h
De afgeleide van x2 is 2x. Zo kunnen we ook de afgeleide bepalen van
sin(x), cos(x), ex, …
De afgeleide van f is een functie van x en kan ook een afgeleide hebben.
Dat noemen we dan de tweede afgeleide van f. Notatie: d2f/dx2 of f ‘’.
Bijvoorbeeld: de tweede afgeleide van x2 is 2. Bewijs:
 
2
d
x
d f
d df
d
d
2( x  h)  2x
2h



 lim
2
 2x   lim
2
dx dx dx dx
dx
h
h0
h0 h
dx
2
d2x(t)/dt2=dvx(t)/dt is de mate waarin de snelheid langs de x-as verandert als
functie van de tijd: dat is de versnelling.
De eerste afgeleide van de plaats is de snelheid, de eerste
afgeleide van de snelheid, dat is de tweede afgeleide van de
plaats, is de versnelling.
Enkele functies met hun eerste en tweede afgeleide staan hieronder.
a en b zijn constanten en waar t staat mag u ook x lezen.
Functie
1e afgeleide1
2e afgeleide1
Macht atb
abtb-1
ab2tb-2
Sinus asin(bt)
abcos(bt)
-ab2sin(bt)
Cosinus acos(bt)
-absin(bt)
-ab2cos(bt)
Exponentieel2 aebt
abebt
ab2ebt
1. Bij het bepalen van de afgeleide maken we vaak gebruik van de kettingregel.
Voorbeeld: om de afgeleide van sin(bt) te vinden, differentiëren we eerst sin(bt) naar
bt, dat geeft cos(bt), en daarna bt naar t en dat geeft b.
2. De exponentiële functie ex of ook exp(x) is de inverse van de natuurlijke logaritme, die
het grondtal e=2,718… heeft. Er geldt dus: elog(ex)=x. De exponentiële functie heeft
als eigenschap dat hij bij differentiatie zichzelf teruggeeft: dex/dx=ex. In de cursus zal
ik van deze functie gebruikmaken met een complex argument ix (i=√-1), dus eix. Dit is
een periodieke functie omdat geldt: eix= cos(x)+isin(x),
Uitleg van het begrip afgeleide (u kunt vaak doorklikken naar een ander
begrip, zoals tweede afgeleide):
http://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide (Ned.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative (Eng.)
http://nl.wikibooks.org/wiki/Analyse/Inleiding_in_differenti%C3%ABren (Ned.)
http://home.scarlet.be/~katroot/afgeleide/defafgeleide.htm (Ned.)
Er is een groot aanbod van oefenmateriaal (“Tutorials”). Bijvoorbeeld:
http://www.calculusapplets.com/derivfunc.html (Eng.)
http://www.walter-fendt.de/m11e/deriv12.htm (Eng.)
http://www.rinsepoortinga.nl/afgeleide.html (Ned.)
Tabellen en rekenregels:
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives (Eng.)
Galileo Galilei:
“Het natuurkundeboek is geschreven in de taal der wiskunde.”
Klassieke natuurkunde
Snelheid
De mate waarin de plaats verandert als functie van de tijd noemen we de
snelheid v. Net zoals de plaats is de snelheid een vector (grootte en
richting!).
Verplaatsen we ons in een tijd Δt over een afstand Δs, dan is onze
gemiddelde snelheid Δs/ Δt . In de limiet Δt →0 wordt dit de momentane
snelheid v=ds/dt. Dit is de raaklijn aan de baan.
Voorbeeld: eenparige cirkelbeweging.
y
Voor de coördinaten geldt:
x(t)=Rcos(ωt)
y(t)=Rsin(ωt)
v
Δs
r
x
Voor de snelheid geldt dan
(kettingregel):
vx(t)= dx(t)/dt=-ωRsin(ωt)
vy(t)= dy(t)/dt=ωRcos(ωt)
De momentane snelheid is in ieder punt van de baan gericht langs de raaklijn.
v staat loodrecht op r . Alleen de richting van v verandert!
Klassieke natuurkunde
Versnelling
De mate waarin de snelheid verandert noemen we de versnelling a. Ook dit
is een vector. Verandert de snelheid in een tijd Δt met een bedrag Δv, dan is
de gemiddelde versnelling Δv/ Δt . In de limiet Δt →0 wordt dit de
momentane versnelling a=dv/dt=d2r/dt2. Eenparige cirkelbeweging:
Δv
Voor de coördinaten geldt:
x(t)=Rcos(ωt)
y(t)=Rsin(ωt)
v
v
y
r
x
Voor de snelheid geldt:
vx(t)= dx(t)/dt=-ωRsin(ωt)
vy(t)= dy(t)/dt=ωRcos(ωt)
Voor de versnelling geldt dan
ax(t)=dvx(t)/dt=-ω2Rcos(ωt)
ay(t)=dvy(t)/dt=-ω2Rsin(ωt)
Merk op: ax(t)=-ω2x(t) en ay(t)=-ω2y(t).
In vectornotatie: a(t)=-ω2r(t).
De versnelling is constant van grootte: a= ω2R en gericht naar de
oorsprong: centripetale versnelling.
Klassieke natuurkunde
Kracht
Kracht is datgene wat een massa een versnelling geeft.
Newton:
“The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed;
and is made in the direction of the right line in which that force is
impressed. “
F=ma of a=dv/dt=d2r/dt2=F/m Differentiaalvergelijking
voor r(t)
Om de differentiaalvergelijking op te lossen, moeten we de omgekeerde
weg bewandelen van differentiëren: we zoeken een functie v(t) waarvan de
gegeven F/m een afgeleide is. Die functie heet een primitieve van F/m. Dat
herhalen we nog een keer: we zoeken een primitieve van v(t) en dat is de
gezochte r(t).
Dit proces heet integreren of primitieveren.
Klassieke natuurkunde - intermezzo
Integreren
De omgekeerde bewerking van differentiëren is het vinden van een
functie F waarvan de gegeven functie f de afgeleide is: dF/dx=f.
F heet een primitieve (ook wel de onbepaalde integraal en soms de
anti-afgeleide) van f.
Als F een primitieve van f is, dan is ook F+c een primitieve van f want
d(F+c)/dx=dF/dx+dc/dx=dF/dx omdat de afgeleide van een constante 0 is.
Differentiëren komt neer op raaklijn bepalen. Integreren komt neer
f
op oppervlak bepalen.
Als F een primitieve is van f, dan geldt:
b
 f  x dx  gearceeerd oppervlak = F  b   F a 
a
Waar x staat kan ook t staan!
a
b
x of t
Om de bewegingsvergelijking d2r/dt2=F/m op te lossen naar r moeten we
twee keer integreren of primitieveren. De eerste primitieve is de snelheid
v=dr/dt. De tweede primitieve is r.
We krijgen dan twee keer een onbepaalde constante. De eerste keer voor de
snelheid, de tweede keer voor de positie. Meestal leggen we die vast met
begin- of randvoorwaarden v(0)=v0 en r(0)=r0
Hieronder staat een aantal functies met hun primitieven. a en b zijn
constanten en waar t staat mag u ook x lezen.
Functie
1e primitieve1
(1e integraal)
2e primitieve1
(2e integraal)
Macht atb
[a/(b+1)]tb+1
[a/((b+1)(b+2))]tb+2
Sinus asin(bt)
-(a/b)cos(bt)
-(a/b2)sin(bt)
Cosinus acos(bt)
(a/b)sin(bt)
-(a/b2)cos(bt)
Exponentieel aebt
(a/b)ebt
(a/b2)ebt
1. De primitieve is op een constante na bepaald, want als F een primitieve is,
dan is F+c ook een primitieve.
Websites over integreren en differentiaalvergelijkingen:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Integraalrekening(NL)
http://en.wikipedia.org/wiki/Integral (Eng.)
http://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijking (NL)
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation (Eng.)
Op het web staat een aantal dictaten met meer informatie. Ik noem er hier
twee:
http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma1002/index/index.html (Eng.)
http://www.eldamar.org.uk/maths/calculus/calculus.html (Eng.)
Een uitleg met videocolleges vindt u op (wel de juiste software zonodig
installeren!):
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-01Fall2006/CourseHome/index.htm (Eng.)
Klassieke natuurkunde
De harmonische oscillator
Voorbeeld van de uitvoering van het klassieke programma.
Veer met puntmassa m ligt langs de x-as. In rust bevindt de puntmassa zich
in de oorsprong. Rek de veer uit over een afstand A. Wat is de
terugdrijvende kracht? Wat is de beweging?
We veronderstellen dat de kracht evenredig is met de uitwijking en naar de
oorsprong gericht: F=-kx (ideale ongedempte veer, k heet de veerconstante)
De bewegingsvergelijking is: md2x(t)/dt2=-kx(t) of ook d2x(t)/dt2=-(k/m)x(t)
Welke functie is na twee keer primitieveren gelijk aan zijn tegengestelde op
een constante na? Zie tabellen!
Antwoord: de sinus en de cosinus of een combinatie van beide.
Begin(rand)voorwaarden zijn x(0)=A en v(0)=0.
Dan blijft de cosinus over:
x(t)=Acos(ωt) met ω=√(k/m) (controleer!)
Dit is de bewegingsvergelijking van een harmonische oscillator.
De harmonische oscillator is om twee redenen belangrijk:
1. Iedere periodieke functie kan geschreven worden als een som van
harmonische oscillatoren (stelling van Fourier).
2. De eerste benadering van een functie in een dal is de harmonische
oscillator (Taylor reeks ontwikkeling).