Metadatering en Classificatie

METADATERING EN CLASSIFICATIE
TEN BEHOEVE VAN DE
NATIONALE KENNISBANK BASISVAARDIGHEDEN WISKUNDE
Deliverable B1b
31.01.2007
Mike Boldy,
Hans Cuypers
Inleiding
In het kader van het Nationaal Actie Plan e-learning 2006 wordt een repository opgezet waarin alle
activiteiten op het gebied van e-learning en wiskunde ten behoeve van de aansluiting VO-WO in Nederland
worden verzameld en toegankelijk gemaakt. Deze databank, de Nationale Kennisbank Basisvaardigheden
Wiskunde, wordt opgezet als een portaal met daarin onderdelen als een forum, toets- en
oefenmogelijkheden en toegang tot e-learning faciliteiten. De nadruk zal hierbij voornamelijk gelegd
worden op het laatste aspect: het vinden van leermateriaal met behulp van de Nationale Kennisbank.
Om de gebruiker in staat te stellen om op een eenvoudige manier de gewenste leermiddelen te vinden zal
er een zoekmachine worden ontwikkeld, die de metadata doorzoekt die aan de leermiddelen zijn
gekoppeld. Voor het zoeken op categorie en trefwoord is het vereist dat er een classificatie en een
trefwoordenlijst voor de leerobjecten van de Kennisbank wordt opgesteld.
In dit document wordt de wijze van metadatering en classificatie van de leermiddelen in de kennisbank
vastgelegd.
Metadatering
Voor de metadatering van de leermiddelen zal gebruik gemaakt worden van de standaard IEEE-LOM
(Learning
Object
Metadata)
ontwikkeld
door
het
IMS
Global
Learning
Consortium
(http://www.imsglobal.org/). Op dit moment (December 2006) is LOM specificatie 1.3 de meeste recente
versie. Naast het LOM datamodel ontwikkelt IMS een aantal andere specificaties voor leermiddelen. Het
IEEE-LOM datamodel is de standaard voor metadatering van leerobjecten.
Het IEEE-LOM Datamodel
Het LOM datamodel is gedefinieerd in de IEEE 1484.12.1 – 2002 Standard for Learning Object Metadata.
Deze standaard beschrijft de definitie van het LOM datamodel versie 1.3.
De metadata zijn opgebouwd uit hiërarchisch gestructureerde data elementen. Data elementen kunnen
zijn verdeeld in sub-elementen (een dergelijk element heet een “branch”), die op hun beurt ook weer
subelementen kunnen bevatten. Het laatste element in de onderverdeling heet een “leaf”. Figuur 1
illustreert deze hiërarchische structuur.
Ieder LOM leaf element heeft een definitie, een type en een bereik (value space). Bij het type gaat het om
het formaat dat de waarde van het element kan aannemen, bijvoorbeeld een getal of een Unicode string.
Het bereik beperkt deze waarden tot een vastomlijnd gebied. Het type “Vocabulary” schrijft bijvoorbeeld
een woordenlijst voor, waaruit de waarde moet zijn gekozen.
De IEEE 1484.12.1 standaard schrijft niet voor hoe de metadata moeten worden vastgelegd. Hiervoor is
een andere standaard ontwikkeld: de IEEE 1484.12.3 – Standard for Extensible Markup Language (XML)
Schema Definition Language Binding for Learning Object Metadata. Ook doet de IEEE 1484.12.1 standaard
geen uitspraken over de interactie tussen de metadata en de applicaties die van die data gebruik maken.
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
Figuur 1: representatie van de elementen van het LOM datamodel (bron: [1])
1
Voor een goed begrip van het IEEE LOM datamodel wordt verwezen naar de Best Practice Guide for IEEE
1484.12.1-2002 Standard for Learning Object Metadata. Deze gids is verkrijgbaar bij het IMS consortium,
zie [1]. De Best Practice Guide beschrijft een aantal datatypes en standaarden waarop de definities van
deze types zijn gebaseerd. Ook beveelt de Best Practice Guide aan om een zogeheten applicatieprofiel op
te stellen. In de informatica is een applicatieprofiel een verzameling metadata elementen, policies, en
richtlijnen die worden vastgelegd voor een specifieke applicatie. Dit stuk kan worden gezien als een aanzet
om een applicatieprofiel op te stellen voor de zoekfunctie van de Nationale Kennisbank.
Een goed hulpmiddel om inzicht te krijgen in het LOM datamodel is het werkblad LOM11.xls van Piet van
der Zanden (zie [3]). Dit werkblad betreft weliswaar versie 1.1, maar dat beperkt de bruikbaarheid verder
niet.
Overzicht
Er is voor gekozen de Engelse terminologie te gebruiken. Deze termen komen namelijk ook voor in de XML
syntax van de IEEE 1484.12.3 standaard. Raadpleeg [2] voor een vertaling van de termen in het
Nederlands.
In de volgende tabel staat een overzicht van de verschillende data elementen. De tabel vermeldt bij ieder
data element wie de gegevens moet invullen, en of dit verplicht is voor leermiddelen in de Kennisbank,
gewenst of vrij. De invuller is doorgaans degene die het leerobject aanlevert. In dat geval vermeldt de
tabel als invuller: ‘beheerder’. In enkele gevallen kan invullen automatisch gebeuren, bijvoorbeeld als een
datum moet worden ingevuld. In dat geval vermeldt de tabel als invuller: ‘systeem’.
Verplichte elementen moeten worden ingevuld. Als dit niet gebeurt, wordt het bijbehorende leerobject
ontoegankelijk voor de gebruiker van de Kennisbank. Als invulling gewenst of vrij is, kan de metadata door
de gebruiker als nuttige aanvulling worden opgevat. Als gewenste of vrije metadata elementen niet zijn
ingevuld, blijft het leerobject vindbaar.
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
2
1
3
4
Vrij
Gewenst
General
1.1
2
Invuller
Verplicht
LOM data-element
Identifier
1.1.1
Catalog
systeem
x
TekenReeks
1.1.2
Entry
systeem
x
TekenReeks
1.2
Title
beheerder
x
TaalTekenReeks
1.3
Language
beheerder
x
Vocabulaire
1.4
Description
beheerder
x
TaalTekenReeks
1.5
Keyword
beheerder
x
TaalTekenReeks
1.6
Coverage
beheerder
x
TaalTekenReeks
1.7
Structure
beheerder
x
Vocabulaire
1.8
Aggregation Level
beheerder
x
Vocabulaire
Life Cycle
2.1
Version
beheerder
x
TaalTekenReeks
2.2
Status
beheerder
x
Vocabulaire
2.3
Contribute
2.3.1
Role
beheerder
x
Vocabulaire
2.3.2
Entity
beheerder
x
TekenReeks
2.3.3
Date
systeem
x
DatumTijd
Meta-Metadata
3.1
Identifier
3.2
Contribute
3.2.1
Role
3.2.2
Entity
3.2.3
Date
3.3
Metadata Schema
3.4
Language
Technical
4.1
Format
beheerder
4.2
Size
beheerder
4.3
Location
systeem
4.4
Requirement
4.4.1
x
Vocabulaire
x
x
TekenReeks
TekenReeks
OrComposite
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
3
5
6
7
Vrij
Gewenst
4.4.1.1
Type
beheerder
x
Vocabulaire
4.4.1.2
Name
beheerder
x
Vocabulaire
4.4.1.3
Minimum Version
beheerder
x
TekenReeks
4.4.1.4
Maximum Version
beheerder
x
TekenReeks
4.5
Installation Remarks
beheerder
x
Taal TekenReeks
4.6
Other Platform Requirements
beheerder
x
Taal TekenReeks
4.7
Duration
beheerder
x
Tijdsduur
Educational
5.1
Interactivity Types
beheerder
x
Tekenreeks
5.2
Learning Resource Type
beheerder
x
Vocabulaire
5.3
Interactivity Level
beheerder
x
Vocabulaire
5.4
Semantic Density
beheerder
x
Vocabulaire
5.5
Intended End User Role
beheerder
x
Vocabulaire
5.6
Context
beheerder
5.7
Typicle Age Range
beheerder
x
Taal TekenReeks
5.8
Difficulty
beheerder
x
Vocabulaire
5.9
Typical Learning time
beheerder
x
Tijdsduur
5.10
Description
beheerder
x
TaalTekenReeks
5.11
Language
beheerder
x
TekenReeks
x
Vocabulaire
Rights
6.1
Cost
beheerder
x
Vocabulaire
6.2
Copyright and Other Restrictions
beheerder
x
Vocabulaire
6.3
Description
beheerder
x
TaalTekenReeks
Relation
7.1
Kind
7.2
Resource
7.2.1
7.2.2
8
Invuller
Verplicht
LOM data-element
beheerder
x
Vocabulaire
Identifier
7.2.1.1
Catalog
beheerder
x
TekenReeks
7.2.1.2
Entry
beheerder
x
TekenReeks
beheerder
x
TaalTekenReeks
Description
Annotation
8.1
Entity
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
4
9
8.2
Date
8.3
Description
Vrij
Gewenst
Invuller
Verplicht
LOM data-element
Classification
9.1
Purpose
9.2
Taxon Path
9.2.1
Source
9.2.2
Taxon
beheerder
x
Vocabulaire
beheerder
x
TaalTekenReeks
9.2.2.1
Id
beheerder
x
TekenReeks
9.2.2.2
Entry
beheerder
x
TaalTekenReeks
9.3
Description
beheerder
x
TaalTekenReeks
9.4
Keyword
beheerder
x
TaalTekenReeks
Toelichting
1.
General
Algemene informatie die het leerobject als geheel beschrijft. Alle elementen uit deze categorie zijn
verplicht. De identifier (1.1) moet uniek zijn, dus het verdient aanbeveling dit door het systeem in te
laten vullen.
2.
Life Cycle [Levenscyclus]
Alle kenmerken die samenhangen met de geschiedenis en de huidige toestand van het leerobject en
van die welke het leerobject gedurende zijn ontstaansgeschiedenis hebben beïnvloed. Deze informatie
is weliswaar belangrijk, maar als ze ontbreekt, maakt dat het leerobject niet onbruikbaar. Daarom
worden deze data elementen niet verplicht gesteld.
3.
Meta meta-data [Meta-Metadata]
Alle informatie over de metadata-instantie zelf, in plaats van over het leerobject dat door de
metadata-instantie beschreven wordt. Deze gegevens hoeven niet door de beheerder te worden
ingevuld. Eventueel kan het systeem deze elementen invullen.
4.
Technical [Technisch]
Alle technische vereisten en technische kenmerken van het leerobject. Deze velden zijn belangrijk,
maar niet essentieel voor de zoekfunctie van de Kennisbank. Daarom zijn een aantal velden niet
verplicht.
5.
Educational [Educatief]
Alle onderwijstechnische en pedagogisch-didactische kenmerken van het leerobject. Deze elementen
zijn belangrijk, maar de informatie zal niet altijd bekend zijn. Daarom wordt voorgesteld deze
elementen niet verplicht te stellen, op de eerste twee na.
6.
Rights [Rechten]
De intellectuele eigendomsrechten en de voorwaarden waaronder het leerobject mag worden
gebruikt. Deze elementen zijn allemaal verplicht.
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
5
7.
Relation [Relatie]
Alle kenmerken die verbanden tussen het leerobject en andere, verwante leerobjecten beschrijven.
Deze elementen zullen doorgaans niet door beheerders gebruikt worden. Het systeem kan hier echter
gebruik van maken. Zie Relatieve metadatering.
8.
Annotation [Annotatie]
Alle commentaren op het gebruik van het leerobject in een onderwijscontext. Van deze elementen
wordt geen gebruik gemaakt.
9.
Classification [Classificatie]
Alle kenmerken die betrekking hebben op hoe het leerobject zich verhoudt tot een bepaald
classificatiesysteem. Deze elementen zijn verplicht.
Datatypes
Het LOM-model kent de volgende datatypes:
Engels:
Nederlands:
Voorbeeld:
CharacterString
TekenReeks
"De kettingregel"
LangString
TaalTekenReeks
("en","The Chain rule"),("nl","De kettingregel")
DateTime
DatumTijd
21-08-2007
Duration
Tijdsduur
PT1H30M
Vocabulary
Vocabulaire
"oefenen","toets","uitleg"
1.
TekenReeks
Een willekeurige reeks tekens.
2.
TaalTekenReeks
Een rij paren van de vorm (<Taal>, <TekenReeks>). De taalspecificatie is "en" voor Engels en "nl"
voor Nederlands, overeenkomstig met ISO 639 [6]. Als meerdere tekenreeksen voorkomen vormen
deze een omschrijving van hetzelfde begrip in de diverse talen.
3.
DatumTijd
Een tijds- of datumaanduiding volgens ISO 8601 [7].
4.
Tijdsduur
Een tijdsduuraanduiding volgens ISO 8601 [7].
5.
Vocabulaire
Eén tekenreeks uit een vooraf gedefinieerde rij van tekenreeksen. Voor iedere datatelement wordt
een eigen vocabulaire gedefinieerd.
Bij ieder datatype hoort een Value Space: één of meer regels die beperkingen opleggen aan de mogelijke
waarden van het datatype. Zo wordt voor URI's de RFC 3986 standaard [8] gebruikt.
In bovenstaande tabel staan slechts beknopte beschrijvingen van de gebruikte data vermeld. Voor een
meer specifieke definitie wordt verwezen naar het Excel spreadsheet NAP-LOM_data.xls [5].
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
6
Gebruik van sjablonen
Omdat er nogal wat data elementen worden gebruikt verdient het aanbeveling om van sjablonen of
templates gebruik te maken. In het sjabloon kan de beheerder de gemeenschappelijke data elementen
voor een groep leerobjecten vooraf invullen. Bij het invullen van de metadata voor een specifiek leerobject
hoeft dan slechts een (hopelijk klein) gedeelte van de dataelementen echt te worden ingevuld. Het
systeem moet zo worden gemaakt dat het altijd mogelijk is om van een bestaand metadata profiel een
sjabloon te maken.
Relatieve metadatering
Een mogelijkheid om de hoeveelheid werk die het invullen van metadata met zich meebrengt te beperken
is om de metadata te relateren aan metadata van een ander object. Dit object, de ‘parent’, kan een echt
bestaand leerobject zijn, of een dummy object, dat slechts bestaat als container voor de metadata. Dit
resulteert in een boomstructuur van metadata, zoals geïllustreerd door figuur 2.
Figuur 2: boomstructuur van gerelateerde metadata
Relatieve metadatering is bij uitstek geschikt voor samengesteld leermateriaal, waarvan de onderdelen
zelf ook weer moeten worden voorzien van metadata.
Voor de parent-child relatie kan gebruik gemaakt worden van element 7.2.1.2. In dit veld van het ‘child’
kan verwezen worden naar de identifier van de ‘parent’. Zie figuur 3.
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
7
parent
child
1.1.2 General/Identifier/Entry
tue.worteltue.db01.oef3-1.2a
7.2.1.2 Relation/Kind/Identifier/Entry
tue.worteltue.db01.oef3-1.2a
De metadata van de ‘child’ wordt nu als volgt bepaald:
•
Als een data element van het child is ingevuld worden deze data als metadata gebruikt.
•
Als een data element niet is ingevuld, en het is verplicht, dan wordt metadata overgenomen van de
parent.
Metadatering is recursief. Dat wil zeggen dat als het data element van de parent leeg is, dat er dan wordt
gekeken naar de parent van de parent, enzovoort.
Het verschil met het werken met een sjabloon is, dat als in de parent een data element wordt veranderd,
deze verandering automatisch ook geldt voor alle er onder hangende children.
Vocabulaires
Voor veel data elementen wordt de waarde gekozen uit een vooraf vastgestelde vocabulaire.
Classificatie
Het LOM datamodel voorziet in één of meer
classificatie data elementen (hoofdcategorie 9:
Classification). Voor de indeling van de leerobjecten
wordt gebruik gemaakt van een taxonomie, oftewel
een hiërarchisch geordende classificatie. Taxonomieën
hebben een boomstructuur. Het voordeel van een
dergelijke boomstructuur is dat deze direct door de
zoekmachine als navigatiehulpmiddel gebruikt kan
worden. Een voorbeeld van een dergelijk zoekboom is
de inhoudsopgave van de helpfunctie van MS Word.
Voor een prettig gebruik van een dergelijke zoekboom
is het belangrijk dat deze niet te veel vertakt, dus dat
er niet te veel bladen aan een knoop hangen. In het
bijzonder is het vervelend als de lijst van bladen niet
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
8
op het scherm past, waardoor de gebruiker naar beneden moet scrollen. Aan de andere kant moet de
boom ook niet te diep worden, omdat de gebruiker dan veel muisklikken nodig heeft om de informatie te
vinden. Verder is het belangrijk dat de zoekboom min of meer gebalanceerd is, dat wil zeggen dat er aan
iedere knoop ongeveer evenveel blaadjes hangen.
Bij het vaststellen van de te gebruiken taxonomie treedt een lastig dilemma op. Er moet namelijk een
keuze gemaakt worden: óf de taxonomie wordt bepaald door de zoekboom in de zoekmachine , óf de
taxonomie wordt bepaald door de leerobjecten.
Hierdoor kan echter een probleem optreden. De zoekboom kan evenwichtig zijn, dus niet te breed, niet te
diep en min of meer gebalanceerd, maar de in te delen set van leerobjecten hoeft dat niet te zijn. Een
voorbeeld is de MathTax taxonomie. Deze is mooi evenwichtig, en goed te gebruiken als zoekboom, maar
er staan categorieën in, waarvan geen of bijna geen leermateriaal in de Kennisbank voorradig zal zijn
(bijvoorbeeld de categorie 2.2.4 Keuzeaxioma). Andere categorieën zullen echter een flinke hoeveelheid
hits opleveren (bijvoorbeeld categorie 6.1.4 Differentiëren). Aan de andere kant is het mogelijk om de
taxonomie te laten bepalen door de inhoud van de Kennisbank. Echter, om de bijbehorende zoekboom in
evenwicht te brengen moeten categorieën met veel inhoud dan verder worden onderverdeeld. Een
categorie “Differentiëren” bijvoorbeeld zal een onderverdeling krijgen in “de productregel”, “de
quotiëntregel”, “de kettingregel”, etcetera. Hierdoor zal de zoekboom weer minder gebalanceerd worden.
Een bijkomend probleem is dat de inhoud van de kennisbank voortdurend verandert, zodat een taxonomie
gebaseerd op inhoud eigenlijk ook steeds aangepast moet worden.
Bestaande classificaties
•
MSC
Mathematics Subject Classification van de AMS. Minder bruikbaar voor basisvaardigheden: er zijn
maar enkele categorieën waarin het materiaal van de Kennisbank terechtkomt. Zie
http://www.ams.org/msc/.
•
Core Subject Taxonomy for Mathematical Sciences Education
Ook wel bekend als ‘MathTax’ (zie [4]). Veel gebruikte taxonomie voor het classificeren van digitaal
wiskundig lesmateriaal. Maakt deel uit van het Living Taxonomy Project. Goed gebalanceerd.
•
Examenprogramma Wiskunde voor het Centraal Examen
Is gebaseerd op vaardigheden, bepaalde onderwerpen kunnen in meerdere subdomeinen vallen.
•
Nederlandse Basisclassificatie
Gebruikt door bibliotheken. Heeft hetzelfde probleem als de MSC: er zijn maar enkele categorieën
waarin het materiaal van de Kennisbank terechtkomt.
•
Boeken
Een taxonomie kan ook worden opgesteld aan de hand van de inhoudsopgave van een boek. Dit
levert in het algemeen weinig uitgebalanceerde taxonomieën. Of nog erger: als een bepaald
onderwerp door een boek niet wordt behandeld komt deze categorie in de bijbehorende taxonomie
niet voor. Dit is slechts een greep uit de vele mogelijkheden:

Basisboek Wiskunde (Jan van de Craats en Rob Bosch)

Getal en Ruimte

Raaklijn en Oppervlakte

Calculus, Early Transcendentals (Stewart)
Op grond van bovenstaande overwegingen is het duidelijk dat het lastig is om vooaf één taxonomie te
kiezen als de enige juiste. Hoewel het LOM datamodel het toestaat om meerdere taxonomieën te
gebruiken, wordt er voor gekozen om van één taxonomie gebruik te maken, en om met behulp van
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
9
mappings de gebruiker in staat te stellen uit meerdere zoekbomen te kiezen. Omdat we niet willen werken
met een slecht gebalanceerde taxonomie blijft er maar één optie over: de MathTax taxonomie.
Bij MathTax bestaat iedere element uit een unieke sleutel en een beschrijving:
6.1.4 Differentiëren
sleutel
beschrijving
Aan de sleutel is direct te zien dat 6.1.4 Differentiëren een subcategorie is van categorie 6.1 (ook wel
supercategorie van 6.1.4 genoemd). De boomstructuur van de taxonomie is hiermee vastgelegd.
Om aan de bezwaren van onevenredige verdelingen van studiemateriaal tegemoet te komen is de MathTax
taxonomie uitgebreid. Deze uitgebreide taxonomie, die aan het eind van dit document toegevoegd, is de
taxononomie die binnen het project gebruikt zal worden.
Er geldt het volgende:
1.
Toegevoegde elementen zijn rood, elementen die binnen het project waarschijnlijk naquwelijks van
belang zijn, grijs. De overige (oorspronkelijke) MathTax elementen zijn zwart.
2.
De nummering van de oorspronkelijke MathTax elementen is niet gewijzigd.
3.
Als een knoop wordt toegevoegd aan een blad, wordt de sleutel van de nieuwe knoop verkregen door
een punt ‘.’, en daarna een getal achter de sleutel van het parent-blad te plakken. Voorbeeld:
6.1.4 Differentiëren
6.1.4.1 Definitie en eigenschappen
4.
Als een knoop wordt toegevoegd aan een andere knoop, tussen twee bestaande knopen in, dan wordt
de sleutel verkregen door een asterisk ‘*’ en daarna een getal achter de sleutel van de parent knoop
te plakken. Voorbeeld:
3.4.2 Priemgetallen
3.4.2*1 Grootste gemene deler
3.4.2*2 Kleinste gemene veelvoud
3.4.3 Congruenties
De knopen 3.4.2*1 en 3.4.2*2 staan op hetzelfde niveau als 3.4.2 en 3.4.3.
Als een knoop wordt toegevoegd voor de eerste knoop, dan wordt de sleutel verkregen door een
punt ‘.’, een asterisk ‘*’ en daarna een getal achter de sleutel van de parent knoop te plakken.
Voorbeeld:
4.2 Combinatoriek
4.2.*1 Variaties
4.2.1 Combinaties
5.
De MathTax zal en kan flexibel gebruikt worden: Binnen het project zal het mogelijk blijven nieuwe
takken en leafs toe te voegen. Dit zal echter gecoördineerd en op centraal niveau moeten en mogen
gebeuren. Hiervoor wordt binnen het project een beheerder van de taxonomie aangewezen.
6.
Om de bruikbaarheid van de MathTax te verhogen, zal een mapping tussen de MathTax en de
inhoudsopgaven van veel gebruikte wiskunde boeken voor het VO gemaakt worden. Hierbij denken
we in ieder geval aan `Getal en Ruimte', `Moderne Wiskunde' en het `Basisboek Wiskunde'.
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
10
7.
De zoekboom wordt tweetalig aangeboden: alle beschrijvingen worden zowel in het Nederlands als
het Engels vermeld.
Referenties
[1] IMS Meta-data Best Practice Guide for IEEE 1484.12.1-2002 Standard for Learning Object Metadata,
http://www.imsglobal.org/metadata/mdv1p3/imsmd_bestv1p3.html.
[2] Conceptnorm voor leerobject-metadata (Nederlandse vertaling, definitieve versie; versie 1.1), Peter
B. Sloep, Frank Benneker, Pierre Gorissen, http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/mls/lomversie11.pdf.
[3] Overzicht
LOM1.1
data
elementen,
http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/mls/LOM11.xls
Piet
van
der
Zanden,
[4] Core Subject Taxonomy for Mathematical Sciences Education (Latest Revision – May 9, 2005)
http://people.uncw.edu/hermanr/MathTax/
[5] NAP-LOM_data.xls, de LOM specificatie van alle LOM data alementen.
[6] ISO 639, International Standard Language Codes
[7] ISO 8601, Data elements and interchange formats – Information interchange – Representation of
dates and times
[8] RFC 3986, Uniform Resource Identifier (URI): Generic Syntax
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
11
1 Getallen en rekenen
1.1 Getalbegrip
1.1.1 Natuurlijke getallen
1.1.2 Gehele getallen
1.1.3 Rationale getallen
1.1.4 Irrationale getallen
1.1.5 Algebraïsche getallen
1.1.6 Reële getallen
1.1.7 Complexe getallen
1.1.8 Bijzondere getallen
1.1.8.1 0
1.1.8.2 pi
1.1.8.3 e
1.1.8.4 i
1.1.8.5 Gulden snede
1.2 Rekenen
1.2.1 Bewerkingen
1.2.1.1 Optellen
1.2.1.2 Aftrekken
1.2.1.3 Vermenigvuldigen
1.2.1.4 Delen
1.2.1.5 Worteltrekken
1.2.1.6 Faculteit
1.2.1.7 Ontbinden in factoren
1.2.1.8 Eigenschappen van bewerkingen
1.2.1.9 Schatten
1.2.2 Breuken
1.2.2.1 Optellen
1.2.2.2 Aftrekken
1.2.2.3 Vermenigvuldigen
1.2.2.4 Delen
1.2.2.5 Verhouding en evenredigheid
1.2.2.6 Gelijkwaardige breuken
1.2.2.6.2 Breuken gelijknamig maken
1.2.3 Decimale breuken
1.2.3.1 Optellen
1.2.3.2 Aftrekken
1.2.3.3 Vermenigvuldigen
1.2.3.4 Delen
1.2.3.5 Procenten
1.2.4 Vergelijking van getallen
1.2.5 Exponenten
1.2.5.1 Vermenigvuldiging
1.2.5.2 Delen
1.2.5.3 Machten
1.2.5.4 Gehele exponenten
1.2.5.4.1 Negatieve exponenten
1.2.5.5 Rationale exponenten
1.2.5.5.1 Wortels op standaardvorm
1.2.5*1 Complexe getallen
1.2.5*1.1 Canonieke vorm
1.2.5*1.2 Optellen en aftrekken
1.2.5*1.3 Vermenigvuldigen
1.2.5*1.4 Delen
1.2.5*1.5 Conjugeren
1.2.5*1.6 Modulus
1.2.5*1.7 Argument
1.2.5*1.8 Polaire vorm
1.2.5*1.9 Formule van Euler
1.3 Patronen en rijen
1.3.1 Getalpatronen
1.3.1*1 Rijen
1.3.1*1.1 Recursief gedefinieerde rijen
1.3.1*1.1.1 Bepalen van algemene formule
1.3.1*1.1.2 Rekenkundige rij
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
12
1.3.1*1.1.3 Meetkundige rij
1.3.1*1.1.4 Rij van Fibonacci
1.3.1*1.2 Som van een rij
1.3.1*1.2.1 Sigma-teken
1.3.2 Rij van Fibonacci
1.3.3 Rekenkundige reeks
1.3.4 Meetkundige reeks
1.4 Grootheden en eenheden
1.4.1 Eenheden
1.4.1.1 Metrisch systeem
1.4.1.2 Standaard eenheden
1.4.1.3 Niet-standaard eenheden
1.4.2 Eendimensionale grootheden
1.4.2.1 Afstand
1.4.2.2 Omtrek van een cirkel
1.4.2.3 Omtrek algemeen
1.4.3 Oppervlakte
1.4.3.1 Oppervlakte van een veelhoek
1.4.3.2 Oppervlakte van een cirkel
1.4.3.3 Oppervlakte van een gebied
1.4.3.4 Niet-standaard vormen
1.4.4 Volume
1.4.5 Gewicht en massa
1.4.6 Temperatuur
1.4.7 Tijd
1.4.8 Snelheid
1.4.9 Geld
1.4.10 Schaal
2 Logica en grondslagen
2.1 Logica
2.1.1 Venn diagrammen
2.1.2 Propositie en predicatenlogica
2.1.3 Bewijsmethoden
2.2 Verzamelingentheorie
2.2.1 Verzamelingen en bewerkingen
2.2.2 Relaties en functies
2.2.2.1 Carthesisch product
2.2.2.2 Relaties
2.2.2.3 Functies
2.2.2.3.1 Domein en bereik
2.2.2.3.2 Grafiek
2.2.2.3.3 Volledig origineel
2.2.2.3.4 Inverse
2.2.2.3.5 Samenstellen van twee functies
2.2.2.3.6 Reële functies
2.2.2.3.6.1 Bewerkingen
2.2.2.3.6.1.1 Optellen en aftrekken
2.2.2.3.6.1.2 Vermenigvuldigen
2.2.2.3.6.1.3 Delen
2.2.2.3.6.2 Maximum en minimum
2.2.3 Cardinaliteit
2.2.4 Keuzeaxioma
2.3 Berekenbaarheid en beslisbaarheid
2.4 Modeltheorie
3 Algebra en getaltheorie
3.1 Algebra
3.1.1 Plottechnieken
3.1.2 Algebraïsche bewerkingen
3.1.2.1 Expressies
3.1.2.2 Gelijkheid van expressies
3.1.2.2.1 Vereenvoudigen
3.1.2.2.2 Haakjes wegwerken
3.1.2.2.3 Ontbinden in factoren
3.1.2.2.4 Merkwaardige producten
3.1.2.3 Breuken
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
13
3.1.2.3.1 Vereenvoudigen
3.1.2.3.2 Glijknamig maken en optellen
3.1.2.3.3 Breuksplitsen
3.1.2.4 Expresies met vierkantswortels
3.1.2.4.1 Standaardvorm
3.1.2.4.2 Som van expressies met wortels
3.1.2.4.3 Product van expressies met wortels
3.1.2.4.4 Noemers wortelvrij maken
3.1.2.5 Rationale exponenten
3.1.2.5.1 Positieve exponenten
3.1.2.5.2 Negatieve exponenten
3.1.3 Functies
3.1.3.1 Lineaire functies
3.1.3.1.1 Nulpunt en snijpunten met de assen
3.1.3.1.2 Richtingscoëfficiënt
3.1.3.1.3 Vergelijking van een lijn door een punt en met
gegeven richtingscoëfficiënt
3.1.3.1.4 Vergelijking van een lijn door twee punten
3.1.3.2 Kwadratische functies
3.1.3.2.1 Nulpunten
3.1.3.3 Veeltermen
3.1.3.3.1 Basisbegrippen
3.1.3.3.2 Nulpunten
3.1.3.4 Rationale functies
3.1.3.5 Exponentiële functies
3.1.3.6 Logaritmes
3.1.3.7 Stuksgewijs gedefinieerde functies
3.1.3.7.1 Absolute waarde
3.1.3.8 Stapfuncties
3.1.4 Vergelijkingen
3.1.4.1 Eerstegraads vergelijkingen
3.1.4.2 Tweedegraads vergelijkingen
3.1.4.2.1 Som-product methode
3.1.4.2.2 Kwadraatafsplitsen
3.1.4.2.3 De abc-formule
3.1.4.2.3.1 De discriminant
3.1.4.2.3.2 Complexe oplossingen bij negatieve discriminant
3.1.4.3 Veeltermvergelijkingen
3.1.4.3.1 Hoofdstelling van de algebra
3.1.4.3.2 Staartdeling
3.1.4.3.3 Ontbinden in factoren
3.1.4.4 Rationale vergelijkingen
3.1.4.5 Exponentiële vergelijkingen
3.1.4.6 Logaritmische vergelijkingen
3.1.4.7 Stelsels vergelijkingen
3.1.5 Ongelijkheden
3.1.5.1 Eerstegraads ongelijkheden
3.1.5.2 Ongelijkheden met absolute waarde
3.1.5.1 Tweedegraads ongelijkheden
3.1.5.3 Oplossen met behulp van grafiek
3.1.5.4 Stelsels ongelijkheden
3.1.6 Matrices
3.1.7 Rijen en reeksen
3.1.8 Bewijzen
3.2 Lineaire algebra
3.2.1 Stelsels lineaire vegelijkingen
3.2.2 Matrixrekenen
3.2.2.1 Bewerkingen
3.2.2.1.1 Optellen en aftrekken
3.2.2.1.2 Scalair vermenigvuldigen
3.2.2.1.3 Vermenigvuldigen
3.2.2.2 Determinant
3.2.2.2.1 Determinant van een 2x2 matrix
3.2.2.2.2 Determinant van een 3x3 matrix
3.2.2.3 Inverse
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
14
3.2.2.3.1 Inverse van een 2x2 matrix
3.2.2.3.2 Inverse van een 3x3 matrix
3.2.2.4 Verband met stelsel lineaire vergelijking
3.2.2.5 Gauss-Jordan eliminatie
3.2.2.6 Rang
3.2.3 Vectoren in R3
3.2.3*1 Vectoren
3.2.3*1.1 Vectoren in R2
3.2.3*1.2 Vectoren in R3
3.2.3*1.3 Complexe vectoren
3.2.3*1.4 Bewerkingen
3.2.3*1.4.1 Optellen
3.2.3*1.4.2 Aftrekken
3.2.3*1.4.3 Scalair vermenigvuldigen
3.2.3*1.5 Inwendig product
3.2.3*1.6 Hoek tussen vectoren
3.2.3*1.7 Projectie langs een andere vector
3.2.3*1.5 Uitwendig product
3.2.4 Vectorruimten
3.2.4.1 R2
3.2.4.2 R3
3.2.4.3 Lijnen
3.2.4.3.1 Vergelijking van een lijn
3.2.4.3.2 Vectorvoorstelling van een lijn
3.2.4.3.3 Normaalvector van een lijn
3.2.4.4 Vlakken
3.2.4.4.1 Vergelijkingen van een vlak
3.2.4.4.2 Vectorvoorstelling van een vlak
3.2.4.4.3 Normaalvector van een vlak
3.2.4.4.4 Snijlijn van twee vlakken
3.2.4.5 Afstand tussen twee vectoren en lengte van een vector
3.2.4.6 Lineaire onafhankelijkheid
3.2.4.7 Basis van een vectorruimte
3.2.4.8 Gram-Schmid orthonormalisatie
3.2.5 Lineaire afbeeldingen
3.2.6 Eigenwaarden en eigenvectoren
3.2.7 Inwendig productruimtes
3.3 Algebra
3.3.1 Groepen
3.3.2 Ringen en idealen
3.3.3 Lichamen
3.3.4 Galois theorie
3.3.5 Multilineariteit
3.4 Getaltheorie
3.4.1 Gehele getallen
3.4.2 Priemgetallen
3.4.2.1 Deelbaarheid
3.4.2.1.1 Staartdeling
3.4.2.1.2 Delen met rest
3.4.2.2 Ontbinden in factoren
3.4.2.2.1 Ontbinden in priemfactoren
3.4.2.2.2 Vereenvoudigen van breuken
3.4.2.3 De verdeling van priemgetallen
3.4.2*1 Grootste gemene deler
3.4.2*1.1 Algoritme van Euclides
3.4.2*1.2 Lineaire combinatie van twee getallen
3.4.2*2 Kleinste gemene veelvoud
3.4.3 Congruenties
3.4.3.1 Modulo rekenen
3.4.3.1.1 Optellen en aftrekken
3.4.3.1.2 Vermenigvuldigen
3.4.3.1.3 Inverse
3.4.3.1.4 Functie van Euler
3.4.3.2 Kleine stelling van Fermat
3.4.4 Diophantische vergelijkingen
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
15
3.4.5 Irrationale getallen
3.4.6 Beroemde problemen
3.4.7 Coderingstheorie
3.4.8 Cryptografie
3.5 Categoriëntheorie
3.6 K-theorie
3.7 Homologicsche algebra
3.8 Modulo rekenen
4 Discrete wiskunde
4.1 Cellulaire automata
4.2 Combinatoriek
4.2.*1 Variaties
4.2.1 Combinaties
4.2.1.1 Driehoek van Pascal
4.2.2 Permutaties
4.2.2*1 Herhalingsvariaties
4.2.2*2 Binomium van Newton
4.3 Speltheorie
4.4 Algoritmen
4.5 Recursie
4.6 Grafentheorie
4.7 Lineair programmeren
4.8 Ordeningen en roosters
4.9 Berekeningstheorie
4.10 Chaostheorie
5 Meetkunde en topologie
5.1 Meetkundige bewijzen
5.2 Vlakke mneetkunde
5.2.1 Lengte en afstanden
5.2.2 Lijnen en vlakken
5.2.3 Hoeken
5.2.4 Driehoeken
5.2.4.1 Eigenschappen
5.2.4.2 Congruentie
5.2.4.3 Gelijkvormigheid
5.2.4.4 Stelling van Pythagoras
5.2.5 Veelhoeken
5.2.5.1 Eigenschappen
5.2.5.2 Regelmatige veelhoeken
5.2.5.3 Niet-regelmatige veelhoeken
5.2.5.4 Congruentie
5.2.5.5 Gelijkvormigheid
5.2.6 Circkels
5.2.7 Patronen
5.2.7.1 Meetkundige patronen
5.2.7.2 Tegelingen
5.2.7.3 Symmetrie
5.2.7.4 Gulden snede
5.2.8 Transformaties
5.2.8.1 Translatie
5.2.8.2 Rotatie
5.2.8.3 Spiegeling
5.2.8.4 Schaling
5.3 Ruimtemeetkunde
5.3.1 Hoeken tussen vlakken
5.3.2 Bollen
5.3.3 Kegels
5.3.4 Cilinders
5.3.5 Piramides
5.3.6 Prisma’s
5.3.7 Veelvlakken
5.4 Analytische meetkunde
5.4.1 Cartesische coördinaten
5.4.2 Lijnen
5.4.3 Cirkels
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
16
5.4.3.1 Vergelijking van een cirkel
5.4.4 Vlakken
5.4.5 Kegelsneden
5.4.5.1 Parabolen
5.4.5.2 Ellips
5.4.5.3 Hyperbolen
5.4.6 Poolcoördinaten
5.4.7 Geparametriseerde krommen
5.4.7.1 Ruimtekrommen
5.4.8 Oppervlakken
5.4.8.1 Bollen
5.4.8.2 Ruimtekrommen als snijlijn van twee oppervlakken
5.4.9 Afstandsformule
5.5 Projectieve meetkunde
5.6 Differentiaalmeetkunde
5.7 Algebraïsche meetkunde
5.8 Topologie
5.8.1 Topologische ruimten
5.8.2 Algemene topologie
5.8.3 Differentiaaltopologie
5.8.4 Algebraïsche topologie
5.9 Goniometrie
5.9.1 Hoeken
5.9.2 Goniometrische functies
5.9.3 Inversen van goniometrische functies
5.9.4 Gelijkheden
5.9.5 Vergelijkingen
5.9.6 Eenheidswortels
5.9.7 Bolmeetkunde
5.10 Fractale meetkunde
6 Calculus
6.1 Functies van één variabele
6.1.1 Functies
6.1.1.1 Bewerkingen
6.1.1.2 Maximum en minimum
6.1.2 Limieten
6.1.2.1 Definitie en eigenschappen
6.1.2.2 Standaardlimieten
6.1.2.3 Rekenregels
6.1.2.4 Stelling van l’Hopital
6.1.2.5 Insluitstelling
6.1.2.6 Limieten naar oneindig
6.1.3 Continuïteit
6.1.3.1 Definitie en eigenschappen
6.1.3.2 Globale continuïteit
6.1.3.3 Continuïteit van standaardfuncties
6.1.3.4 Rekenregels
6.1.4 Differentiëren
6.1.4.1 Definitie en eigenschappen
6.1.4.2 Afgeleide
6.1.4.3 Afgeleide van standaardfuncties
6.1.4.3.1 Afgeleide van veeltermfuncties
6.1.4.3.2 Afgeleide van exponentiële functies
6.1.4.3.3 Afgeleide van logaritmische functies
6.1.4.3.4 Afgeleide van goniometrische functies
6.1.4.3.5 Afgeleide van inversen van goniometrische functies
6.1.4.4 Rekenregels
6.1.4.4.1 Somregel en vermenigvuldigen met constante
6.1.4.4.2 Productregel
6.1.4.4.3 Quotientregel
6.1.4.4.4 Kettingregel
6.1.4.5 Hogere orde afgeleiden
6.1.4.6 Toepassingen
6.1.4.6.1 Stijgen en dalen
6.1.4.6.2 Maxima en minima
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
17
6.1.4.6.3 Buigpunten
6.1.5 Integreren
6.1.5.1 Definitie en eigenschappen
6.1.5.2 Bepaalde integraal en oppervlakte
6.1.5.3 Primitieve en onbepaalde integraal
6.1.5.4 Integreren van standaardfuncties
6.1.5.4.1 Afgeleide van veeltermfuncties
6.1.5.4.2 Integreren van exponentiële functies
6.1.5.4.3 Integreren van logaritmische functies
6.1.5.4.4 Integreren van goniometrische functies
6.1.5.4.5 Integreren van inversen van goniometrische functies
6.1.5.5 Integratietechnieken
6.1.5.5.1 Methode van substitutie
6.1.5.5.2 Partiële integratie
6.1.5.5.3 Breuksplitsen
6.1.5.6 Oneigenlijke integralen
6.1.6 Reeksen
6.2 Functies van meer variabelen
6.2.1 Functies van meer variabelen
6.2.2 Limieten
6.2.3 Continuïteit
6.2.4 Partiële afgeleiden
6.2.5 Meervoudige integralen
6.2.6 Taylorreeksen
6.3 Voortgezette calculus
6.3.1 Vectorvelden
6.3.2 Lijnintegralen
6.3.3 Oppervlakteintegralen
6.3.4 Stelling van Stokes
6.3.5 Coördinatensystemen
6.3.6 Lineaire ruimten
6.3.7 Fourierreeksen
6.3.8 Orthogonale functies
6.4 Tensorcalculus
6.5 Variatierekening
6.6 Operatorrekening
7 Analyse
7.1 Reële analyse
7.1.1 Metrische ruimten
7.1.2 Convergentie
7.1.3 Continuïteit
7.1.4 Differentiëren
7.1.5 Integreren
7.1.6 Maattheorie
7.2 Complexe analyse
7.2.1 Convergentie
7.2.2 Oneindige rijen
7.2.3 Analytische functies
7.2.4 Integreren
7.2.5 Contourintegralen
7.2.6 Conforme afbeeldingen
7.2.7 Meerdere complexe variabelen
7.3 Numerieke analyse
7.3.1 Machineberekeningen
7.3.2 Oplossen van vergelijkingen
7.3.3 Oplossen van stelsels vergelijkingen
7.3.4 Interpolatie
7.3.5 Numeriek differentiëren
7.3.6 Numeriek integreren
7.3.7 Numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen
7.3.8 Numeriek oplossen van partiële differentialvergelijkingen
7.4 Integraaltransformaties
7.4.1 Fourier transformatie
7.4.2 Laplace transformatie
7.4.3 Hankel transformatie
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
18
7.4.4 Wavelets
7.4.5 Overige transformaties
7.5 Signaalanalyse
7.5.1 Samples
7.5.2 Filters
7.5.3 Ruis
7.5.4 Datacompressie
7.5.5 Beeldverwerking
7.6 Functionaalanalyse
7.6.1 Hilbert ruimten
7.6.2 Banach ruimten
7.6.3 Topologische ruimten
7.6.4 Lokaal convexe ruimten
7.6.5 Begrensde operatoren
7.6.6 Spectraalstelling
7.6.7 Onbegrensde operatoren
7.7 Harmonische analyse
7.8 Globale analyse
8 Differentiaal en differentievergelijkingen
8.1 Gewone differentiaalvergelijkingen
8.1.*1 Lijnelementenveld
8.1.1 Eerste orde
8.1.1.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen
8.1.1.2 Numerieke methoden
8.1.1.2.1 Methode van Euler
8.1.1.3 Scheiden vanvariabelen
8.1.1.4 Toepassingen
8.1.1.4.1 Exponentiële groei en verval
8.1.1.4.2 Logistische groei
8.1.1.4.3 Mathematische slinger
8.1.2 Tweede orde
8.1.2.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen
8.1.2.1.1 Homogene differentiaalvergelijkingen
8.1.2.1.2 Karakteristieke vergelijking
8.1.2.1.3 Particuliere oplossing
8.1.3 Lineaire trillingen
8.1.4 Niet-lineaire trillingen
8.1.5 Stelsels differentiaalvergelijkingen
8.1.6 Sturm-Liouville problemen
8.1.7 Speciale functies
8.1.8 Machtreeksen
8.1.9 Laplace transformaties
8.2 Partiële differentiaalvergelijkingen
8.2.1 Eerste orde
8.2.2 Elliptische
8.2.3 Parabolische
8.2.4 Hyperbolische
8.2.5 Integraaltransformaties
8.2.6 Integraalvergelijkingen
8.2.7 Potentiaaltheorie
8.2.8 Niet-lineare vergelijkingen
8.2.9 Symmetriën en integreerbaarheid
8.3 Differentievergelijkingen
8.3.1 Eerste orde
8.3.2 Tweede orde
8.3.3 Lineaire stelsels
8.3.4 Z-transformaties
8.3.5 Orthogonale veeltermen
8.4 Dynamische systemen
8.4.1 1D afbeeldingen
8.4.2 2D afbeeldingen
8.4.3 Lyapunov exponenten
8.4.4 Bifurcaties
8.4.5 Fractals
8.4.6 Differentieerbare dynamische systemen
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
19
8.4.7 Conservatieve dynamische systemen
8.4.8 Chaos
8.4.9 Complexe dynamische systemen
9 Kansrekening en statistiek
9.1 Dataverwerking
9.1.1 Proefopzetten
9.1.2 Steekproeven en surveys
9.1.3 Data en metingen
9.2 Beschrijven en representeren van data
9.2.1 Beschrijvende statistiek
9.2.1.1 Meten van centrum
9.2.1.2 Meten van spreiding
9.2.2 Datarepresentatie
9.2.2.1 Grafieken en plaatjes
9.2.2.2 Tabellen
9.3 Inductieve statistiek en technieken
9.3.1 Verdelingen van steekproeven
9.3.2 Regressie en correlatie
9.3.3 Betrouwbarheidsintervallen
9.3.4 Toetsingstheorie
9.3.5 Kwalitietscontrole
9.3.6 Non-parametrische technieken
9.3.7 Multivariate technieken
9.3.8 Overlevingsanalyse
9.3.9 Bayesiaanse statistiek
9.4 Kansrekening
9.4.1 Grondslagen van de kansrekening
9.4.1.1 Kansruimten en gebeurtenissen
9.4.1.2 Algemene regels
9.4.1.3 Combinaties en permutaties
9.4.1.4 Toevalsgetallen
9.4.2 Verdelingen
9.4.2.1 Discrete verdelingen
9.4.2.1.1 Homogene verdeling
9.4.2.1.2 Binomiale verdeling
9.4.2.1.3 Geometrischee verdeling
9.4.2.1.4 Hypergeometrischee verdeling
9.4.2.1.5 Poisson verdeling
9.4.2.2 Continue verdelingen
9.4.2.2.1 Exponentiële verdeling
9.4.2.2.2 Normale verdeling
9.4.2.3 Verwachtingswaarde
9.4.2.3*1 Variantie en standaardafwijking
9.4.3 Limietstellingen
9.4.3.1 Centrale limietstelling
9.4.3.2 Wet van de grote aantallen
9.4.4 Multivariate verdelingen
9.4.4.1 Simultane verdeling
9.4.4.2 Marginale verdeling
9.4.4.3 Verwachtingswaarde
9.4.5 Stochastische processen
9.4.5.1 Brownse beweging
9.4.5.2 Markov ketens
9.4.5.3 Wachtrijtheorie
9.4.6 Waarschijnlijkheidsmaten
9.4.7 Simulatie
10 Toegepaste wiskunde
10.1 Natuurkunde
10.2 Economie
10.3 Biologie
10.4 Bedrijfskunde
10.5 Techniek en engineering
10.6 Sociologie
10.7 Maatschappijwetenschappen
10.8 Informatica
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
20
10.9 Menswetenschappen
10.10 Consumenten
11 Geschiedenis van de wiskunde
11.1 Algemeen
11.2 Beroemde problemen
11.3 Biografiën van beroemde wiskundigen
NKBW Metadatering en Classificatie, v1
21